Khối đa diện lồi đều. Khối đa diện

Khối đa diện không chỉ chiếm một vị trí nổi bật trong hình học, mà còn xuất hiện trong Cuộc sống hàng ngày mỗi người. Chưa kể đến các vật dụng gia đình được tạo nhân tạo dưới dạng nhiều hình đa giác khác nhau, bắt đầu bằng bao diêm và kết thúc bằng các yếu tố kiến ​​trúc, trong tự nhiên cũng có các tinh thể ở dạng khối lập phương (muối), lăng kính (pha lê), kim tự tháp (scheelite), bát diện (kim cương), v.v.

Khái niệm về khối đa diện, các loại khối đa diện trong hình học

Hình học như một môn khoa học bao gồm một phần của hình học lập thể nghiên cứu các đặc điểm và tính chất của các vật thể ba chiều, các mặt của chúng nằm trong không gian ba chiềuđược tạo thành bởi các mặt phẳng giới hạn (các mặt), được gọi là "khối đa diện". Các loại khối đa diện bao gồm hơn một chục đại diện, khác nhau về số lượng và hình dạng của các mặt.

Tuy nhiên, tất cả các khối đa diện đều có các tính chất chung:

1. Tất cả chúng đều có 3 thành phần tích phân: một mặt (bề mặt của một đa giác), một đỉnh (các góc tạo thành ở giao nhau của các mặt), cạnh (cạnh của hình hoặc một đoạn được tạo thành tại giao nhau của hai mặt ).
2. Mỗi cạnh đa giác nối hai và chỉ hai mặt tiếp giáp với nhau.
3. Lồi có nghĩa là cơ thể chỉ nằm hoàn toàn về một phía của mặt phẳng mà một trong các mặt nằm trên đó. Quy tắc áp dụng cho tất cả các mặt của hình đa diện. Các hình hình học như vậy trong phép lập thể được gọi là khối đa diện lồi. Ngoại lệ là các khối đa diện hình sao, là các dẫn xuất của chất rắn hình học đa diện đều.

Khối đa diện có thể được chia thành:

1. Các loại khối đa diện lồi, bao gồm các lớp sau: thường hoặc cổ điển (lăng trụ, hình chóp, song song), thường (còn gọi là chất rắn Platonic), bán đều (tên thứ hai - chất rắn Archimedean).
2. Khối đa diện không lồi (xếp nếp).

Lăng kính và các thuộc tính của nó

Hình học lập thể là một nhánh của hình học nghiên cứu các tính chất của các hình ba chiều, các loại khối đa diện (lăng trụ là một trong số đó). Họ gọi nó là lăng kính cơ thể hình học, mà nhất thiết phải có hai mặt hoàn toàn giống nhau (chúng còn được gọi là cơ sở) nằm trong mặt phẳng song song, và số mặt bên thứ n ở dạng hình bình hành. Đổi lại, hình lăng trụ cũng có một số loại, bao gồm các loại hình đa diện như:

1. Hình bình hành được tạo thành nếu đáy là hình bình hành - đa giác có 2 cặp góc đối đỉnh bằng nhau và 2 cặp cạnh đối đồng dạng.
2. Một hình lăng trụ thẳng có các cạnh vuông góc với mặt đáy.
3. được đặc trưng bởi sự hiện diện của các góc không vuông (khác 90) giữa các mặt và mặt đế.
4. Hình lăng trụ đều được đặc trưng bởi các đáy ở dạng có các mặt bên bằng nhau.

Các tính chất chính của lăng kính:

• Căn cứ đồng dư.
• Tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng nhau và song song với nhau.
• Tất cả các mặt bên có dạng là hình bình hành.

Kim tự tháp

Hình chóp là một khối hình học, bao gồm một đáy và số mặt tam giác thứ n, được nối tại một điểm - đỉnh. Cần lưu ý rằng nếu các mặt bên của kim tự tháp nhất thiết phải được biểu diễn bằng hình tam giác, thì ở đáy có thể có một đa giác tam giác, một tứ giác và một ngũ giác, v.v. Trong trường hợp này, tên của kim tự tháp sẽ tương ứng với đa giác ở đáy. Ví dụ, nếu có một tam giác ở đáy của hình chóp - đây là một tứ giác - tứ giác, v.v.

Hình chóp là khối đa diện đều có dạng hình nón. Các loại khối đa diện thuộc nhóm này, ngoài các loại đã liệt kê ở trên, còn có các đại diện sau:

1. Hình chóp đều có đáy là một đa giác đều và chiều cao của nó là tâm của một đường tròn nội tiếp đáy hoặc ngoại tiếp đường tròn đó.
2. Hình chóp là hình chữ nhật được tạo thành khi một trong các cạnh bên cắt với đáy một góc vuông. Trong trường hợp này, cũng công bằng khi gọi cạnh này là chiều cao của hình chóp.

Thuộc tính kim tự tháp:

• Nếu tất cả các cạnh bên của hình chóp đều đồng dư ( cùng chiều cao), sau đó tất cả chúng cắt với mặt đáy một góc, và xung quanh mặt đáy bạn có thể vẽ một đường tròn có tâm trùng với hình chiếu của đỉnh của hình chóp.
• Nếu một đa giác đều nằm ở đáy của hình chóp thì tất cả các cạnh bên đều đồng dư và các mặt là tam giác cân.

Khối đa diện đều: các loại và tính chất của khối đa diện

Trong phép đo lập thể nơi đặc biệt chiếm các thể hình học có các mặt hoàn toàn bằng nhau, tại các đỉnh có cùng số cạnh được nối với nhau. Những chất rắn này được gọi là chất rắn Platonic, hay khối đa diện đều. Các loại khối đa diện có tính chất như vậy chỉ có năm hình:

1. Khối tứ diện.
2. Hình lục diện.
3. Khối bát diện.
4. Khối tứ diện.
5. Khối Icosahedron.

Các khối đa diện đều mang tên nhà triết học Hy Lạp cổ đại Plato, người đã mô tả các khối hình học này trong các tác phẩm của mình và kết nối chúng với các yếu tố tự nhiên: đất, nước, lửa, không khí. Hình thứ năm được trao giải có sự tương đồng với cấu trúc của vũ trụ. Theo ý kiến ​​của ông, các nguyên tử của các nguyên tố tự nhiên có hình dạng giống với các loại khối đa diện đều. Do tính chất thú vị nhất của chúng - tính đối xứng, các cơ thể hình học này đại diện cho lãi lớn không chỉ cho các nhà toán học và triết học cổ đại, mà còn cho các kiến ​​trúc sư, họa sĩ và nhà điêu khắc của mọi thời đại. Sự hiện diện của chỉ 5 loại khối đa diện có tính đối xứng tuyệt đối được coi là một khám phá cơ bản, chúng thậm chí còn được trao cho một mối liên hệ với nguyên lý thần thánh.

Hexahedron và các thuộc tính của nó

Dưới dạng một hình lục giác, những người kế tục Plato đã giả định một sự tương đồng với cấu trúc của các nguyên tử trên trái đất. Tất nhiên, hiện tại, giả thuyết này đã bị bác bỏ hoàn toàn, tuy nhiên, điều này không ngăn cản các nhân vật thu hút tâm trí trong thời hiện đại. nhân vật nổi tiếng với tính thẩm mỹ của nó.

Trong hình học, khối lục diện, còn được gọi là khối lập phương, được coi là một trường hợp đặc biệt của một hình bình hành, đến lượt nó, là một loại lăng trụ. Theo đó, các tính chất của hình lập phương liên quan đến sự khác biệt duy nhất là tất cả các mặt và các góc của hình lập phương đều bằng nhau. Các thuộc tính sau đây theo sau:

1. Tất cả các cạnh của hình lập phương đều đồng dư và nằm trong các mặt phẳng song song với nhau.
2. Tất cả các mặt đều là hình vuông đồng dư (có tổng cộng 6 mặt trong một hình lập phương), bất kỳ mặt nào trong số đó đều có thể được lấy làm cơ sở.
3. Tất cả các góc nội tiếp bằng 90.
4. Từ mỗi đỉnh có một số cạnh bằng nhau, cụ thể là 3.
5. Hình lập phương có 9 đều cắt nhau tại giao điểm của các đường chéo của hình lục giác, được gọi là tâm đối xứng.

Tứ diện

Một tứ diện là một tứ diện có các mặt bằng nhau ở dạng tam giác, mỗi đỉnh là một điểm nối của ba mặt.

Tính chất của tứ diện đều:

1. Tất cả các mặt của một tứ diện - điều này dẫn đến việc tất cả các mặt của một tứ diện đều đồng dư.
2. Vì cơ sở được biểu diễn bằng một hình hình học thông thường, nghĩa là, nó có hai bên bằng nhau Khi đó các mặt của tứ diện đồng quy một góc, tức là các góc đều bằng nhau.
3. Tổng các góc phẳng tại mỗi đỉnh là 180, vì tất cả các góc đều bằng nhau nên mọi góc của tứ diện đều bằng 60.
4. Mỗi đỉnh được chiếu tới giao điểm của các chiều cao của mặt đối diện (trực tâm).

Khối bát diện và các thuộc tính của nó

Mô tả các loại hình đa diện đều, không thể không lưu ý một vật thể như một hình bát diện, có thể được biểu diễn trực quan như hai hình chóp tứ giác đều được dán với nhau ở các đáy.

Thuộc tính bát diện:

1. Chính cái tên của một vật thể hình học gợi ý số lượng các mặt của nó. Hình bát diện bao gồm 8 tam giác đều đồng dạng, trong mỗi đỉnh có một số mặt bằng nhau hội tụ, cụ thể là 4.
2. Vì tất cả các mặt của một hình bát diện đều bằng nhau nên các góc thiết diện của nó cũng vậy, mỗi mặt đều bằng 60 và tổng các góc mặt phẳng của bất kỳ đỉnh nào trong số các đỉnh là 240.

Dodecahedron

Nếu chúng ta tưởng tượng rằng tất cả các mặt của một hình học đều là một ngũ giác đều, thì chúng ta sẽ có một khối đa diện - một hình gồm 12 đa giác.

Thuộc tính khối dodecahedron:

1. Ba mặt cắt nhau tại mỗi đỉnh.
2. Tất cả các cạnh đều bằng nhau và có cùng chiều dài các cạnh, cũng như diện tích bằng nhau.
3. Hình khối đa diện có 15 trục và mặt phẳng đối xứng, và bất kỳ mặt phẳng nào trong số chúng đều đi qua đỉnh của mặt và giữa của cạnh đối diện.

icosahedron

Không kém phần thú vị so với khối mười hai mặt, khối icosahedron là một khối hình học ba chiều với 20 mặt bằng nhau. Trong số các thuộc tính của một hai mươi hedron thông thường, có thể lưu ý những điều sau:

1. Tất cả các mặt của khối lập phương đều là tam giác cân.
2. Năm mặt hội tụ tại mỗi đỉnh của hình đa diện và tổng các góc liền kềđỉnh là 300.
3. Khối icosahedron, giống như khối đa diện, có 15 trục và mặt phẳng đối xứng đi qua các trung điểm của các mặt đối diện.

Đa giác hình bán nguyệt

Ngoài các chất rắn Platon, nhóm các khối đa diện lồi còn bao gồm các khối chất rắn Archimede, là các khối đa diện đều bị cắt ngắn. Các loại khối đa diện thuộc nhóm này có các tính chất sau:

1. Các vật thể hình học có các mặt bằng nhau theo từng cặp thuộc một số loại, ví dụ, một tứ diện cắt ngắn có 8 mặt, giống như một tứ diện thông thường, nhưng trong trường hợp của một vật rắn Archimede, 4 mặt sẽ là hình tam giác và 4 mặt sẽ là hình lục giác.
2. Tất cả các góc của một đỉnh là đồng dư.

Hình đa diện hình sao

Các đại diện của các dạng hình học phi thể tích là các khối đa diện hình sao, các mặt của chúng giao nhau. Chúng có thể được hình thành bằng cách hợp nhất hai vật thể ba chiều thông thường hoặc bằng cách tiếp tục khuôn mặt của chúng.

Do đó, các khối đa diện được đánh dấu như vậy được gọi là: các dạng sao của khối bát diện, khối dodecahedron, khối icosahedron, khối lập phương, khối icosidodecahedron.

Khối đa diện lồi được gọi là hình đều nếu tất cả các mặt đều giống nhau. đa giác đều, và cùng một số mặt hội tụ tại mỗi đỉnh. Các khối đa diện như vậy còn được gọi là chất rắn Platonic.

Chỉ có năm khối đa diện đều:

Hình ảnh	Loại đa diện đều	Số mặt trên một mặt	Số cạnh kề với một đỉnh	Tổng số đỉnh	tổng số cạnh	Tổng số khuôn mặt
Tứ diện
Khối lục diện hoặc khối lập phương
Dodecahedron
icosahedron

Tên của mỗi hình đa diện bắt nguồn từ Tên Hy Lạp số mặt của nó và từ "cạnh".

Tứ diện

Khối tứ diện (tiếng Hy Lạp là fefsbedspn - tứ diện) là một khối đa diện có 4 mặt là tam giác, tại mỗi đỉnh có 3 mặt hội tụ. Một tứ diện có 4 mặt, 4 đỉnh và 6 cạnh.

Tính chất của tứ diện

Các mặt phẳng song song đi qua các cặp cạnh chéo nhau của tứ diện xác định các đường tròn ngoại tiếp tứ diện song song.

Đoạn nối đỉnh của tứ diện với giao điểm của các trung trực của mặt đối diện được gọi là trung tuyến của nó, được bỏ từ đỉnh này.

Đoạn kết nối các điểm giữa của các cạnh chéo của một tứ diện được gọi là bimedian của nó, nối các cạnh này.

Đoạn thẳng nối một đỉnh với một điểm trên mặt đối diện và vuông góc với mặt này được gọi là đường cao của nó từ đỉnh đã cho.

Định lý. Tất cả các trung tuyến và nhị diện của một tứ diện đều cắt nhau tại một điểm. Điểm này chia các trung gian theo tỷ lệ 3: 1, tính từ trên xuống. Điểm này chia đôi các nhà nghiên cứu bimedian.

Chỉ định:

• Một tứ diện đều, trong đó tất cả các mặt là các tam giác đều cạnh nhau;
• · Một tứ diện trực tâm, trong đó tất cả các chiều cao giảm từ các đỉnh đến các mặt đối diện giao nhau tại một điểm;
• một tứ diện hình chữ nhật, trong đó tất cả các cạnh kề với một trong các đỉnh đều vuông góc với nhau;
• tứ diện đều, trong đó các mặt đều là tam giác đều;
• khung tứ diện - một tứ diện thỏa mãn điều kiện nào sau đây:
• · Có một hình cầu chạm tất cả các cạnh.
• · Tổng độ dài các cạnh chéo bằng nhau.
• · Tổng các góc nhị diện ở hai cạnh đối diện bằng nhau.
• Các đường tròn nội tiếp trong các mặt là tiếp tuyến theo từng cặp.
• · Tất cả các tứ giác sinh ra từ một tứ diện đều là các đường tròn ngoại tiếp.
• · Các đường vuông góc nâng lên các mặt từ tâm của các đường tròn nội tiếp trong chúng cắt nhau tại một điểm.
• một tứ diện tương xứng, tất cả các biheights của chúng đều bằng nhau;
• · Một tứ diện nghiêng, trong đó các đoạn nối các đỉnh của tứ diện với tâm của các đường tròn nội tiếp các mặt đối diện cắt nhau tại một điểm.

Hình lập phương hay hình lục diện đều là hình đa diện đều, mỗi mặt của nó là một hình vuông. trương hợp đặc biệt hình bình hành và hình lăng trụ.

Thuộc tính hình khối

• · Bốn phần của khối lập phương là các hình lục giác đều - các phần này đi qua tâm của khối vuông góc với bốn đường chéo chính của nó.
• Một tứ diện có thể được nội tiếp trong một hình lập phương theo hai cách. Trong cả hai trường hợp, bốn đỉnh của tứ diện sẽ thẳng hàng với bốn đỉnh của hình lập phương và cả sáu cạnh của tứ diện đều thuộc các mặt của hình lập phương. Trong trường hợp thứ nhất, tất cả các đỉnh của tứ diện đều thuộc các mặt của góc tam diện, đỉnh của nó trùng với một trong các đỉnh của hình lập phương. Trong trường hợp thứ hai, các cạnh chéo nhau của tứ diện thuộc về các mặt đối diện nhau của hình lập phương. Một tứ diện như vậy là đúng.
• · Một khối bát diện có thể được nội tiếp trong một khối lập phương, hơn nữa, tất cả sáu đỉnh của khối bát diện sẽ thẳng hàng với tâm của sáu mặt của khối lập phương.
• · Một hình lập phương có thể được nội tiếp trong một hình bát diện, hơn nữa, tất cả tám đỉnh của hình lập phương sẽ nằm ở tâm của tám mặt của hình bát diện.
• · Một khối icosahedron có thể được nội tiếp trong một khối lập phương, trong khi sáu cạnh song song với nhau của khối icosahedron sẽ lần lượt nằm trên sáu mặt của khối lập phương, 24 cạnh còn lại nằm bên trong khối lập phương. Tất cả mười hai đỉnh của khối icosahedron sẽ nằm trên sáu mặt của khối lập phương.

Đường chéo của hình lập phương là đoạn nối hai đỉnh đối xứng nhau về tâm của hình lập phương. Đường chéo của một khối lập phương được tìm thấy bằng công thức

khối đa diện icosahedron khối bát diện

trong đó d là đường chéo và a là cạnh của hình lập phương.

Bát diện

Khối bát diện (tiếng Hy Lạp pkfedspn, từ tiếng Hy Lạp pkfyu, "tám" và tiếng Hy Lạp Edsb - "cơ sở") là một trong năm khối đa diện đều lồi, được gọi là chất rắn Platon.

Hình bát diện đều có 8 mặt là tam giác, 12 cạnh, 6 đỉnh, mỗi đỉnh có 4 cạnh đồng quy.

Nếu độ dài cạnh của một hình bát diện là a thì diện tích của nó bề mặt đầy đủ(S) và thể tích của khối bát diện (V) được tính theo công thức:

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một hình bát diện là:

bán kính của một mặt cầu nội tiếp một khối bát diện có thể được tính theo công thức:

Một hình bát diện đều có đối xứng Oh, giống như của một hình lập phương.

Hình bát diện đều có một hình sao duy nhất. Khối bát diện được Leonardo da Vinci phát hiện, sau đó gần 100 năm, Johannes Kepler phát hiện lại và được ông đặt tên là Stella octangula - một ngôi sao hình bát giác. Do đó hình thức này có tên thứ hai là "Kepler's stella octangula".

Trên thực tế, nó là một hợp chất của hai tứ diện

Dodecahedron

Dodecahedron (từ tiếng Hy Lạp dudekb - mười hai và edspn - mặt), dodecahedron - một khối đa diện đều, bao gồm mười hai ngũ giác đều. Mỗi đỉnh của khối đa diện là một đỉnh của ba hình ngũ giác đều.

Như vậy, khối đa diện có 12 mặt (ngũ giác), 30 cạnh và 20 đỉnh (mỗi cạnh hội tụ 3 cạnh). Tổng các góc mặt phẳng tại mỗi đỉnh trong số 20 đỉnh là 324 °.

Khối mười hai mặt có 3 mẫu: khối dát nhỏ, khối lớn, khối lớn, khối lớn, mẫu cuối cùng). Hai cái đầu tiên được Kepler phát hiện (1619), cái thứ ba bởi Poinsot (1809). Không giống như hình bát diện, bất kỳ dạng sao nào của khối đa diện đều không phải là hợp chất của chất rắn Platonic, mà tạo thành một hình đa diện mới.

Tất cả 3 khối của khối đa diện, cùng với khối icosahed lớn, tạo thành một họ các chất rắn Kepler-Poinsot, tức là khối đa diện đều không lồi (xếp chồng).

Các mặt của khối đa diện đều là các hình ngũ giác, hội tụ năm ở mỗi đỉnh. Các khối lập diện tráng men nhỏ và lớn đều phải đối mặt - năm cánh sao(các ngôi sao năm cánh), trong trường hợp đầu tiên hội tụ bằng 5, và trong trường hợp thứ hai bằng 3. Các đỉnh của khối đa diện trùng với các đỉnh của khối tròn ngoại tiếp. Mỗi đỉnh nối ba mặt.

Các công thức cơ bản:

Nếu chúng ta lấy a là độ dài của cạnh thì diện tích bề mặt của khối đa diện là:

Thể tích khối tứ diện:

Bán kính của hình cầu ngoại tiếp:

Bán kính của mặt cầu nội tiếp:

Các yếu tố đối xứng của khối tứ diện:

· Khối lập phương có một tâm đối xứng và 15 trục đối xứng.

Mỗi trục đi qua trung điểm của các sườn song song đối diện.

Khối lập phương có 15 mặt phẳng đối xứng. Bất kỳ mặt phẳng nào của phép đối xứng đi qua mỗi mặt qua đỉnh và giữa của cạnh đối diện.

icosahedron

Icosahedron (từ tiếng Hy Lạp. Eykput - hai mươi; -edspn - mặt, mặt, đáy) - một hình đa diện lồi đều, có hai mặt, một trong những khối rắn của Platon. Mỗi mặt trong số 20 mặt là Tam giác đều. Số cạnh là 30, số đỉnh là 12.

Diện tích S, thể tích V của khối chóp đều có độ dài cạnh là a, cũng như bán kính của khối cầu nội tiếp và ngoại tiếp được tính theo công thức:

bán kính mặt cầu nội tiếp:

bán kính của mặt cầu ngoại tiếp:

Đặc tính

• Một khối icosahedron có thể được nội tiếp trong một khối lập phương, trong khi sáu cạnh vuông góc với nhau của khối icosahedron sẽ nằm lần lượt trên sáu mặt của khối lập phương, 24 cạnh còn lại bên trong khối lập phương, tất cả mười hai đỉnh của khối icosahedron sẽ nằm trên sáu mặt của khối lập phương. .
• · Một tứ diện có thể được nội tiếp trong một khối icosahedron, hơn nữa, bốn đỉnh của tứ diện sẽ được kết hợp với bốn đỉnh của khối icosahed.
• · Một khối icosahedron có thể được nội tiếp trong một khối mười hai mặt, trong khi các đỉnh của khối icosahedron sẽ thẳng hàng với các tâm của các mặt của khối đa diện.
• · Một khối tứ diện có thể được nội tiếp trong một khối icosahedron với sự thẳng hàng của các đỉnh của khối nón và các tâm của các mặt của khối icosahedron.
• · Có thể thu được một hình tứ diện cắt ngắn bằng cách cắt bỏ 12 đỉnh để tạo thành các mặt có dạng ngũ giác đều. Đồng thời, số đỉnh của hình đa diện mới tăng lên 5 lần (12? 5 = 60), 20 mặt tam giác biến thành hình lục giác đều (tổng số mặt trở thành 20 + 12 = 32), và số cạnh tăng lên 30 + 12? 5 = 90.

Khối icosahedron có 59 khối, trong đó có 32 khối đối xứng hoàn toàn và 27 khối đối xứng khối không hoàn toàn. Một trong những ngôi sao này (thứ 20, bản mod. 41 theo Wenninger), được gọi là khối tứ diện lớn, là một trong số bốn đúng Khối đa diện tráng men Kepler-Poinsot. Các mặt của nó là các hình tam giác đều hội tụ tại mỗi đỉnh năm; tài sản này được chia sẻ bởi khối đại diện với khối icosahedron.

Trong số các dạng sao còn có: một hợp chất của năm bát diện, một hợp chất của năm tứ diện, một hợp chất của mười tứ diện.

Hình học đẹp ở chỗ, không giống như đại số, không phải lúc nào nó cũng rõ ràng bạn nghĩ gì và tại sao, nó mang lại khả năng hiển thị cho đối tượng. Đây thế giới tuyệt vời các cơ quan khác nhau tô điểm cho khối đa diện đều.

Thông tin chung về khối đa diện đều

Theo nhiều người, các khối đa diện đều, hay còn được gọi là chất rắn Platonic, có các đặc tính độc đáo. Những đối tượng này được liên kết với một số giả thuyết khoa học. Khi bạn bắt đầu nghiên cứu các khối hình học này, bạn hiểu rằng thực tế bạn không biết gì về một khái niệm như khối đa diện đều. Việc trình bày những đồ vật này ở trường không phải lúc nào cũng thú vị, vì vậy nhiều người thậm chí không nhớ chúng được gọi là gì. Hầu hết mọi người chỉ nhớ khối lập phương. Không có khối nào trong hình học hoàn hảo như khối đa diện đều. Tất cả tên của các khối hình học này đều bắt nguồn từ Hy Lạp cổ đại. Chúng có nghĩa là số mặt: tứ diện - bốn mặt, lục diện - sáu mặt, bát diện - tám mặt, khối đa diện - mười hai mặt, icosahedron - hai mặt. Tất cả các cơ thể hình học này đã chiếm giữ nơi quan trọng trong khái niệm của Plato về vũ trụ. Bốn trong số chúng đã nhân cách hóa các nguyên tố hoặc thực thể: khối tứ diện - lửa, khối icosahed - nước, khối lập phương - đất, khối bát diện - không khí. Khối mười hai mặt là hiện thân của mọi thứ tồn tại. Nó được coi là cái chính vì nó là biểu tượng của vũ trụ.

Khái quát khái niệm về một khối đa diện

Một khối đa diện là một tập hợp số giới hạnđa giác sao cho:

• mỗi cạnh của bất kỳ đa giác nào đồng thời là cạnh của một đa giác khác ở cùng một phía;
• từ mỗi đa giác, bạn có thể đến những đa giác khác bằng cách đi dọc theo các đa giác liền kề với nó.

Các đa giác tạo nên một hình đa diện là các mặt của nó và các cạnh của chúng là các cạnh của nó. Các đỉnh của khối đa diện là các đỉnh của đa giác. Nếu khái niệm đa giác được hiểu là các đường đứt đoạn đóng phẳng, thì chúng đi đến một định nghĩa về hình đa diện. Trong trường hợp khái niệm này có nghĩa là một phần của mặt phẳng, nó bị giới hạn đường bị hỏng, nên hiểu nó là một bề mặt bao gồm các mảnh đa giác. gọi là vật thể nằm nghiêng về một phía của mặt phẳng tiếp giáp với mặt của nó.

Định nghĩa khác về khối đa diện và các yếu tố của nó

Một hình đa diện là một bề mặt bao gồm các đa giác giới hạn một thể hình học. Họ đang:

• không lồi;
• lồi (đúng và sai).

Đa giác đều là đa giác lồi có đối xứng cực đại. Các phần tử của khối đa diện đều:

• tứ diện: 6 cạnh, 4 mặt, 5 đỉnh;
• lục diện (lập phương): 12, 6, 8;
• khối tứ diện: 30, 12, 20;
• khối bát diện: 12, 8, 6;
• icosahedron: 30, 20, 12.

Định lý Euler

Nó thiết lập mối quan hệ giữa số cạnh, đỉnh và mặt tương đương về mặt cấu trúc liên kết với một hình cầu. Bằng cách cộng số đỉnh và mặt (B + D) của các khối đa diện đều khác nhau và so sánh chúng với số cạnh, có thể thiết lập một mẫu: tổng số mặt và đỉnh bằng số cạnh (P) tăng thêm 2. Một công thức đơn giản có thể được suy ra:

• C + D = P + 2.

Công thức này đúng với mọi khối đa diện lồi.

Định nghĩa cơ bản

Khái niệm về một khối đa diện đều không thể được mô tả trong một câu. Nó có ý nghĩa và đồ sộ hơn. Để một cơ thể được công nhận như vậy, nó phải đáp ứng một số định nghĩa. Vì vậy, một thể hình học sẽ là một hình đa diện đều với các điều kiện sau:

• nó lồi;
• cùng một số cạnh hội tụ tại mỗi đỉnh của nó;
• tất cả các mặt của nó là đa giác đều, bằng nhau;
• tất cả đều bình đẳng.

Tính chất của khối đa diện đều

Có 5 các loại khác nhau khối đa diện đều:

1. Hình lập phương (sáu mặt) - nó có một góc phẳng ở đỉnh là 90 °. Nó có một góc 3 cạnh. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 270 °.
2. Tứ diện - góc bẹt ở đỉnh - 60 °. Nó có một góc 3 cạnh. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 180 °.
3. Hình bát diện - góc phẳng ở đỉnh - 60 °. Nó có một góc 4 mặt. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 240 °.
4. Khối lập phương - góc phẳng ở đỉnh 108 °. Nó có một góc 3 cạnh. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 324 °.
5. Icosahedron - nó có một góc phẳng ở đỉnh - 60 °. Nó có một góc 5 cạnh. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 300 °.

Diện tích bề mặt của các khối hình học này (S) được tính bằng diện tích của một đa giác đều nhân với số mặt của nó (G):

• S \ u003d (a: 2) x 2G ctg π / p.

Thể tích của một khối đa diện đều

Giá trị này được tính bằng cách nhân khối lượng kim tự tháp chính xác, tại đáy của nó là một đa giác đều, bằng số mặt và chiều cao của nó là bán kính của hình cầu nội tiếp (r):

• V = 1: 3rS.

Thể tích của khối đa diện đều

Giống như bất kỳ khối hình học nào khác, khối đa diện đều có thể tích khác nhau. Dưới đây là các công thức mà bạn có thể tính toán chúng:

• tứ diện: α x 3√2: 12;
• khối bát diện: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• lục diện (lập phương): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
• khối tứ diện: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Khối lục diện và khối bát diện đều là chất rắn hình học kép. Nói cách khác, chúng có thể nhận được từ nhau nếu lấy trọng tâm của mặt này làm đỉnh của mặt kia và ngược lại. Khối icosahedron và khối mười hai mặt cũng là đối ngẫu. Chỉ có tứ diện là đối ngẫu với chính nó. Theo phương pháp Euclid, bạn có thể lấy một khối đa diện từ một khối lục diện bằng cách xây dựng các "mái nhà" trên các mặt của một khối lập phương. Các đỉnh của một tứ diện sẽ là 4 đỉnh bất kỳ của một hình lập phương không kề nhau theo từng cặp dọc theo một cạnh. Từ khối lục diện (khối lập phương), bạn có thể nhận được các khối đa diện đều khác. Mặc dù thực tế là có vô số, chỉ có 5 khối đa diện đều.

Bán kính của đa giác đều

Mỗi khối hình học này được liên kết với 3 mặt cầu đồng tâm:

• được mô tả, đi qua các đỉnh của nó;
• nội tiếp, chạm vào mỗi mặt của nó ở trung tâm của nó;
• giữa, chạm vào tất cả các xương sườn ở giữa.

Bán kính của hình cầu được mô tả được tính theo công thức sau:

• R \ u003d a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Bán kính của một mặt cầu nội tiếp được tính theo công thức:

• R \ u003d a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,

trong đó θ là góc nhị diện nằm giữa các mặt liền kề.

Bán kính của hình cầu trung tuyến có thể được tính theo công thức sau:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

Trong đó giá trị h = 4,6,6,10 hoặc 10. Tỉ số của bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn nội tiếp đối xứng với p và q. Nó được tính theo công thức:

• R / r \ u003d tg π / p x tg π / q.

Tính đối xứng của khối đa diện

Tính đối xứng của khối đa diện đều là mối quan tâm hàng đầu đối với các chất rắn hình học này. Nó được hiểu là chuyển động của vật thể trong không gian, để lại cùng một số đỉnh, mặt và cạnh. Nói cách khác, dưới tác dụng của một phép biến đổi đối xứng, một cạnh, đỉnh, mặt hoặc giữ nguyên vị trí ban đầu của nó hoặc di chuyển đến vị trí ban đầu của một cạnh, đỉnh hoặc mặt khác.

Các yếu tố đối xứng của khối đa diện đều là đặc trưng của tất cả các dạng hình học đó. Ở đây chúng ta đang nói về một phép biến hình giống hệt nhau khiến bất kỳ điểm nào ở vị trí ban đầu của nó. Vì vậy, khi bạn quay một lăng trụ đa giác, bạn có thể nhận được một số đối xứng. Bất kỳ trong số chúng có thể được biểu diễn như một sản phẩm của phản xạ. Phép đối xứng là sản phẩm của một số phản xạ chẵn được gọi là đường thẳng. Nếu nó là sản phẩm của một số lẻ các phản xạ, thì nó được gọi là nghịch đảo. Vì vậy, tất cả các phép quay về một đoạn thẳng là đối xứng trực tiếp. Bất kỳ phản xạ nào của một hình đa diện đều là một phép đối xứng nghịch đảo.

Để hiểu rõ hơn về các yếu tố đối xứng của khối đa diện đều, chúng ta có thể lấy ví dụ về một khối tứ diện. Bất kỳ đường thẳng nào sẽ đi qua một trong các đỉnh và tâm của điểm này hình học, cũng sẽ đi qua tâm của khuôn mặt đối diện với nó. Mỗi góc quay 120 và 240 ° xung quanh đường thẳng thuộc về số nhiều tính đối xứng của tứ diện. Vì nó có 4 đỉnh và 4 mặt nên chỉ có tám phép đối xứng trực tiếp. Bất kỳ đường thẳng nào đi qua giữa cạnh và trọng tâm của cơ thể này đi qua giữa cạnh đối diện của nó. Bất kỳ phép quay 180 ° nào, được gọi là nửa quay, xung quanh một đường thẳng là một phép đối xứng. Vì tứ diện có ba cặp cạnh nên có thêm ba cạnh đối xứng trực tiếp. Dựa trên những điều trên, có thể kết luận rằng Tổng sốđối xứng trực tiếp, bao gồm chuyển đổi danh tính sẽ lên đến mười hai. Tứ diện không có đối xứng trực tiếp nào khác, nhưng nó có 12 đối xứng nghịch đảo. Do đó, tứ diện được đặc trưng bởi tổng số 24 đối xứng. Để rõ ràng hơn, bạn có thể xây dựng mô hình của một tứ diện đều từ bìa cứng và đảm bảo rằng khối hình học này thực sự chỉ có 24 đối xứng.

Khối hai mặt và khối icosahedron gần nhất với mặt cầu của cơ thể. Icosahedron có số lượng lớn nhất các mặt, mặt lớn nhất và dày đặc nhất có thể bị ép vào mặt cầu nội tiếp. Khối lập phương có góc khuyết nhỏ nhất, góc đặc ở đỉnh lớn nhất. Anh ta có thể lấp đầy quả cầu được mô tả của mình nhiều nhất có thể.

Sự phát triển của khối đa diện

Những cái chính xác, mà tất cả chúng ta đã gắn bó với nhau trong thời thơ ấu, có nhiều khái niệm. Nếu có một tập hợp các đa giác mà mỗi cạnh của chúng chỉ được xác định bằng một mặt của khối đa diện thì việc xác định các cạnh đó phải thỏa mãn hai điều kiện:

• từ mỗi đa giác có thể đi qua các đa giác có một cạnh được xác định;
• các cạnh được xác định phải có cùng độ dài.

Tập hợp các đa giác thỏa mãn các điều kiện này được gọi là khai triển của khối đa diện. Mỗi cơ quan này có một số trong số chúng. Vì vậy, ví dụ, một khối lập phương có 11 trong số chúng.

Để sử dụng bản xem trước của bản trình bày, hãy tạo một tài khoản Google (tài khoản) và đăng nhập: https://accounts.google.com

Chú thích của trang trình bày:

Khối đa diện. Các đỉnh, các cạnh, các mặt của một hình đa diện. LÝ THUYẾT CỦA EULER. Lớp 10 Hoàn thành bởi: Kaigorodova S.V.

Hình đa diện đều là hình đa diện đều là hình đa giác đều và tất cả các góc ở các đỉnh của hình đa diện đều bằng nhau.

Từ thời cổ đại, con người đã biết đến 5 khối đa diện tuyệt vời.

Theo số lượng các mặt chúng được gọi là một tứ diện đều.

hexahedron (sáu mặt) hoặc khối lập phương

bát diện (bát diện)

khối mười hai mặt (dodecahedron)

icosahedron (hai mặt)

Khai triển của khối đa diện đều

Bối cảnh lịch sử Bốn bản chất của tự nhiên đã được nhân loại biết đến: lửa, nước, đất và không khí. Theo Plato, các nguyên tử của chúng trông giống như các khối đa diện đều đặn Nhà triết học Hy Lạp cổ đại vĩ đại Plato, sống vào thế kỷ 4 - 5. BC, tin rằng những cơ thể này nhân cách hóa bản chất của tự nhiên.

nguyên tử lửa trông giống như một khối tứ diện, trái đất - một khối lục diện (khối lập phương) không khí - một khối bát diện nước - một khối icosahedron

Nhưng có một khối tứ diện, mà không có sự tương ứng. Plato gợi ý rằng có một thực thể (thứ năm) khác. Ông gọi nó là ether thế giới. Các nguyên tử của bản chất thứ năm này trông giống như một khối tứ diện. Plato và các học trò của ông trong các tác phẩm của họ sự chú ý lớn cho khối đa diện được liệt kê. Do đó, các khối đa diện này còn được gọi là chất rắn Platonic.

Đối với đa diện lồi bất kỳ, quan hệ là đúng: Г + В-Р = 2, trong đó Г là số mặt, В là số đỉnh, Р là số cạnh của đa diện đã cho. Mặt + Đỉnh - Cạnh = 2. Định lý Euler

Đặc điểm của khối đa diện đều Khối đa diện Số cạnh của một mặt Số mặt hội tụ tại mỗi đỉnh Số mặt (G) Số cạnh (P) Số đỉnh (V) Khối tứ diện 3 3 4 6 4 Khối tứ diện 4 3 6 12 8 Khối bát diện 3 4 8 12 6 Khối tam diện 3 5 20 30 12 Khối tứ diện 5 3 12 30 20

Tính đối ngẫu của khối đa diện đều Một khối lục diện (hình lập phương) và một khối bát diện tạo thành một cặp đa diện kép. Số mặt của một khối đa diện bằng số đỉnh của khối kia và ngược lại.

Lấy một hình lập phương bất kỳ và xem xét một hình đa diện có các đỉnh là tâm của các mặt của nó. Như bạn có thể dễ dàng thấy, chúng tôi nhận được một hình bát diện.

Tâm của các mặt của khối bát diện đóng vai trò là các đỉnh của khối lập phương.

Natri antimon sulfat là một tứ diện. Khối đa diện trong Tự nhiên, Hóa học và Sinh học Tinh thể của một số chất mà chúng ta quen thuộc có hình dạng của các khối đa diện đều. Tinh thể Pyrit - mô hình khối tứ diện tự nhiên. pha lê muối ăn truyền tải hình dạng của một khối lập phương. Đơn tinh thể của phèn nhôm-kali có dạng một khối bát diện. Tinh thể (lăng kính) Khối lập phương đã trở thành tâm điểm chú ý của các nhà sinh vật học trong các cuộc tranh cãi của họ về hình dạng của virus. Vi rút không thể tròn hoàn hảo như người ta vẫn nghĩ trước đây. Để thiết lập hình dạng của nó, họ lấy các khối đa diện khác nhau, hướng ánh sáng vào chúng theo các góc giống như luồng nguyên tử tới virus. Hóa ra chỉ có một khối đa diện cho cùng một bóng - khối icosahedron. Trong quá trình phân chia của quả trứng, đầu tiên một tứ diện gồm bốn ô được hình thành, sau đó là một khối bát diện, một khối lập phương và cuối cùng là một cấu trúc tứ diện-icosait của ống dạ dày. Và cuối cùng, có lẽ quan trọng nhất, cấu trúc của DNA mã di truyền cuộc sống - là sự quét bốn chiều (dọc theo trục thời gian) của một khối đa diện xoay! Trong phân tử metan có dạng tứ diện đều.

Khối đa diện trong tác phẩm nghệ thuật "Chân dung Monna Lisa" Bố cục của bức tranh dựa trên các hình tam giác vàng, là các phần của một hình ngũ giác ngôi sao đều đặn. khắc "U sầu" Ở tiền cảnh của bức tranh là một khối tứ diện. "Bữa tối cuối cùng" Chúa Kitô với các môn đệ của mình được mô tả trên nền của một khối đa diện trong suốt khổng lồ.

Các khối đa diện trong kiến ​​trúc của Bảo tàng Trái cây ở Yamanashi được tạo ra bằng cách sử dụng mô hình ba chiều. Tháp Spasskaya bốn tầng với Nhà thờ Đấng cứu thế không được tạo ra bởi bàn tay là lối vào chính của Điện Kremlin Kazan. Được xây dựng vào thế kỷ 16 bởi kiến ​​trúc sư Pskov Ivan Shiryai và Postnik Yakovlev, biệt danh "Barma". Bốn tầng của tháp là hình lập phương, hình đa diện và hình chóp. Tháp Spasskaya của Điện Kremlin. Bảo tàng hoa quả Lighthouse of Alexandria Pyramids Fruit

Sự định nghĩa. Một hình đa diện được gọi là hình đều nếu: 1) nó lồi; 2) tất cả các mặt của nó là đa giác đều bằng nhau; 3) hội tụ tại mỗi đỉnh của nó Cùng một số xương sườn; 4) tất cả các mặt của nó đều bằng nhau.

Ví dụ về một khối đa diện đều là một khối lập phương: nó là một khối đa diện lồi, tất cả các mặt của nó là các hình vuông bằng nhau, mỗi đỉnh có ba cạnh đồng quy và tất cả các góc của khối nhị diện đều là hình vuông. Một khối tứ diện đều cũng là một khối đa diện đều.

Câu hỏi đặt ra: có bao nhiêu nhiều loại khác nhau khối đa diện đều?

Năm loại khối đa diện đều:

Xét một hình đa diện đều M , có B đỉnh, P cạnh và G mặt. Theo định lý Euler, đối với khối đa diện này, đẳng thức sau đây là:

V - R + G \ u003d 2. (1)

Cho mỗi mặt của hình đa diện đã cho chứa m các cạnh (cạnh) và tại mỗi đỉnh hội tụ N xương sườn. Rõ ràng,

Vì hình đa diện B có các đỉnh và mỗi đỉnh có n cạnh nên ta nhận được n cạnh. Nhưng bất kỳ cạnh nào nối hai đỉnh của hình đa diện, vì vậy mỗi cạnh sẽ nhập tích n hai lần. Vậy khối đa diện có nhiều xương sườn. sau đó

Từ (1), (3), (4) ta thu được - Р + = 2, khi đó

+ = + > . (5)

Do đó, chúng tôi có

Từ bất đẳng thức 3 và 3 suy ra rằng các mặt của một hình đa diện đều có thể là tam giác đều, tứ giác đều hoặc ngũ giác đều. Hơn nữa, trong các trường hợp m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 ta đi đến mâu thuẫn với điều kiện. Do đó, vẫn có thể xảy ra năm trường hợp: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Hãy xem xét từng trường hợp này bằng cách sử dụng các quan hệ (5), (4) và (3).

1) m = n = 3(mỗi mặt của khối đa diện - tam giác vuông. Điều này được chúng tôi biết tứ diện đều (« tứ diện"nghĩa là một tứ diện).

2) m = 4, n = 3(mỗi mặt là một hình vuông, và ba cạnh đồng quy tại mỗi đỉnh). Chúng ta có

P = 12; B = 8; G = 6.

Chúng ta nhận được một hình lục giác đều, trong đó mỗi mặt là một hình vuông. Hình đa diện này được gọi là hình lục diện đều và là một khối lập phương (" hình lục diện "- hexahedron), bất kỳ hình bình hành nào cũng là một hình lục diện.

3) m = 3, n = 4(mỗi mặt là một tam giác đều, bốn cạnh đồng quy tại mỗi đỉnh). Chúng ta có

P = 12; B = = 6; G \ u003d \ u003d 8.

Ta nhận được một hình bát diện đều, trong đó mỗi mặt là một tam giác đều. Hình đa diện này được gọi là bát diện đều ("bát diện" - bát diện).

4) m = 5, n = 3(mỗi mặt là một ngũ giác đều, ba cạnh đồng quy tại mỗi đỉnh). Chúng ta có:

P = 30; B = = 20; G \ u003d \ u003d 12.

Chúng ta nhận được một khối đa diện đều, trong đó mỗi mặt là một ngũ giác đều. Hình đa diện này được gọi là khối mười hai mặt đều (« khối mười hai mặt"- khối mười hai mặt).

5) m = 3, n = 5(mỗi mặt là một tam giác đều, năm cạnh đồng quy tại mỗi đỉnh). Chúng ta có

P = 30; B = = 12; G = = 20.

Chúng tôi nhận được đúng hai mươi mặt. Hình đa diện này được gọi là icosahedron thông thường (« icosahedron”- hai mươi mặt).

Như vậy, chúng ta đã thu được định lý sau.

Định lý. Có năm loại đa diện đều khác nhau (đến mức giống nhau): tứ diện đều, lục diện đều (lập phương), bát diện đều, khối đa diện đều và khối icosahedron.

Kết luận này có thể được đưa ra theo một cách hơi khác.

Thật vậy, nếu mặt của một hình đa diện đều là một tam giác đều và hội tụ tại một đỉnh k xương sườn, tức là tất cả các góc lồi phẳng k- góc tứ diện bằng nhau thì. Do đó, số tự nhiên k có thể nhận các giá trị: 3; 4; 5. trong khi Г =, Р =. Dựa trên định lý Euler, ta có:

B + - = 2 hoặc B (6 - k) = 12.

Sau đó tại k\ u003d 3 ta được: B \ u003d 4, G \ u003d 4, P \ u003d 6 (tứ diện đều);

tại k = 4 ta được: B \ u003d 6, G \ u003d 8, P \ u003d 12 (bát diện đều);

tại k = 5 chúng ta nhận được: B \ u003d 12, G \ u003d 20, P \ u003d 30 (icosahedron thông thường).

Nếu thiết diện của hình đa diện đều là tứ giác đều thì. Điều kiện này tương ứng với số tự nhiên duy nhất k= 3. Khi đó: Г =, Р =; B + - = 2 hoặc. Vì vậy, B \ u003d 8, G \ u003d 6, P \ u003d 12 - chúng ta nhận được một hình lập phương (hình lục diện đều).

Nếu mặt của một hình đa diện đều là một hình ngũ giác đều thì Điều kiện này cũng chỉ được đáp ứng k= 3 và Г =; R =. Tương tự tính toán trước đó chúng ta nhận được: và B \ u003d 20, G \ u003d 12, P \ u003d 30 (khối mười hai mặt đều).

Bắt đầu với các hình lục giác đều, có lẽ là các mặt của một hình đa diện đều, các góc mặt phẳng không nhỏ hơn và hẹp hơn k= 3 tổng của chúng trở thành ít nhất, điều này là không thể. Do đó, chỉ có năm loại khối đa diện đều.

Các hình cho thấy bố cục của mỗi trong năm khối đa diện đều.

tứ diện đều

Bát diện đều

Hình lục diện đều

Icosahedron thông thường

Khối mười hai mặt thông thường

Một số tính chất của khối đa diện đều được cho trong bảng sau.

Loại khuôn mặt	góc phẳng ở trên cùng	Hình chiếu của góc đa diện ở đỉnh	Tổng các góc phẳng ở đỉnh				Tên của khối đa diện
Đúng Tam giác	3 mặt				tứ diện đều
Đúng Tam giác	4 mặt				Bát diện đều
Đúng Tam giác	5 mặt				Icosahedron thông thường
	3 mặt				Đúng hexahedron (khối lập phương)
Đúng Hình năm góc	3 mặt					Đúng khối mười hai mặt

Đối với mỗi khối đa diện đều, ngoài những khối đã được chỉ ra, chúng ta thường quan tâm đến:

• 1. Giá trị của nó Góc nghiêng tại xương sườn (với chiều dài của xương sườn một).
• 2. Diện tích tổng bề mặt của nó (với chiều dài của xương sườn một).
• 3. Khối lượng của nó (với chiều dài của xương sườn một).
• 4. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp nó (bằng độ dài của cạnh một).
• 5. Bán kính của mặt cầu nội tiếp (bằng độ dài cạnh một).
• 6. Bán kính của một hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của nó (với độ dài cạnh một).

Giải pháp đơn giản nhất là tính tổng diện tích bề mặt của một hình đa diện đều; nó bằng Г, trong đó Г là số mặt của một hình đa diện đều và là diện tích của một mặt.

Nhớ lại sin =, cho chúng ta cơ hội để viết thành các gốc: ctg =. Xem xét điều này, chúng tôi lập các bảng:

a) cho diện tích của một mặt của một hình đa diện đều

b) cho tổng diện tích bề mặt của một hình đa diện đều

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang tính giá trị của góc nhị diện của một hình đa diện đều cạnh của nó. Đối với một tứ diện đều và một hình lập phương, bạn có thể dễ dàng tìm được giá trị của góc này.

Trong một khối tứ diện đều, tất cả các góc phẳng của các mặt của nó đều bằng nhau, do đó, áp dụng định lý côsin cho các góc tam diện cho bất kỳ góc tam diện nào của một khối đa diện đã cho tại đỉnh của nó, ta nhận được: cos, khi đó

Trên hình bát diện đều ABCDMF được mô tả, bạn có thể thấy rằng góc ở cạnh của hình bát diện đều là 2 cạnh.

Để tìm giá trị của góc nhị diện ở cạnh của một khối ngoại tiếp đều, ta có thể coi góc tứ diện ABCD ở đỉnh A: góc mặt phẳng BAC và CAD bằng nhau và góc mặt phẳng thứ ba BAD, góc mặt phẳng thứ ba B so với góc mặt phẳng đó. (AC) D = nằm, bằng (BCDMF - một ngũ giác đều). Theo định lý côsin cho góc tam diện ABCD ta có:. Cho rằng, chúng tôi nhận được ở đâu. Như vậy, góc nhị diện ở cạnh của khối icosahedron bằng nhau.

Vì vậy, ta nhận được bảng giá trị của các góc nhị diện ở các cạnh của khối đa diện đều sau đây.

Trước khi tìm thể tích của một hay một khối đa diện đều khác, trước hết chúng ta cùng nhau thảo luận về cách tìm thể tích của khối đa diện đều ở dạng tổng quát.

Trước hết hãy thử chứng minh rằng nếu tâm của mọi mặt của bất kỳ hình đa diện đều là một đường thẳng, vuông góc với mặt phẳng khuôn mặt này, sau đó tất cả các đường được vẽ sẽ giao nhau tại một điểm nào đó O, cách xa tất cả các mặt của một hình đa diện đã cho bằng cùng một khoảng cách, chúng ta ký hiệu là r. Chấm O hóa ra là tâm của một hình cầu nội tiếp trong một hình đa diện đã cho, và r- bán kính của nó. Bằng cách kết nối điểm kết quả O với tất cả các đỉnh của một hình đa diện đã cho, ta sẽ chia nó thành Г hình chóp bằng nhau (Г là số mặt của một hình đa diện đều): các đáy của hình chóp đều là r. Khi đó thể tích của khối đa diện này bằng tổng thể tích của tất cả các kim tự tháp này. Vì khối đa diện đều nên thể tích của nó V có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:

Nó vẫn còn để tìm chiều dài của bán kính r.

Để làm điều này, bằng cách kết nối dấu chấm O với giữa Đến các cạnh của hình đa diện, cố gắng đảm bảo rằng phần nghiêng KOđối với một mặt của hình đa diện có chứa một cạnh thì tạo một góc với mặt phẳng của mặt này bằng một nửa giá trị của góc nhị diện tại cạnh của hình đa diện này; hình chiếu xiên KO lên mặt phẳng của mặt này thuộc một góc của nó và bằng bán kính của đường tròn nội tiếp trong nó. sau đó

với p là bán kinh nghiệm của mặt. Sau đó, từ (1) và (2) chúng ta thu được công thức tính thể tích của chúng chung cho tất cả các khối đa diện đều:

Công thức này hoàn toàn không cần thiết để tìm thể tích của một khối lập phương, một khối tứ diện đều và một khối bát diện, nhưng nó làm cho việc tìm thể tích của một khối icosahedron và khối đa diện đều khá dễ dàng.