Xác suất có thể. Xác suất là gì

Ban đầu, chỉ là một tập hợp thông tin và quan sát thực nghiệm về trò chơi xúc xắc, lý thuyết xác suất đã trở thành một môn khoa học kỹ lưỡng. Người đầu tiên đưa ra khuôn khổ toán học cho nó là Fermat và Pascal.

Từ suy nghĩ về cái vĩnh cửu đến lý thuyết xác suất

Hai cá nhân mà lý thuyết xác suất mang ơn nhiều công thức cơ bản của nó, Blaise Pascal và Thomas Bayes, được biết đến như những người sùng đạo sâu sắc, người sau này là một mục sư Trưởng lão. Rõ ràng, mong muốn của hai nhà khoa học này trong việc chứng minh sự sai lầm của quan điểm về một Vận may nào đó mang lại may mắn cho những người cô yêu thích đã thúc đẩy nghiên cứu trong lĩnh vực này. Trên thực tế, bất kỳ trò chơi cờ bạc nào với số tiền thắng và thua đều chỉ là một bản giao hưởng của các nguyên tắc toán học.

Cảm ơn niềm đam mê của quý ông de Mere, người bằng nhau Là một tay cờ bạc và là người không thờ ơ với khoa học, Pascal buộc phải tìm cách tính xác suất. De Mere quan tâm đến câu hỏi sau: “Bạn cần ném hai viên xúc xắc theo cặp bao nhiêu lần để xác suất đạt 12 điểm vượt quá 50%?” Câu hỏi thứ hai được quý ông rất quan tâm: “Làm thế nào để chia tiền cược cho những người tham gia trò chơi còn dang dở?” Tất nhiên, Pascal đã trả lời thành công cả hai câu hỏi của de Mere, người vô tình trở thành người khởi xướng sự phát triển lý thuyết xác suất. Điều thú vị là con người của de Mere vẫn được biết đến trong lĩnh vực này chứ không phải trong văn học.

Trước đây, chưa có nhà toán học nào thử tính xác suất của các sự kiện, vì người ta tin rằng đây chỉ là một giải pháp phỏng đoán. Blaise Pascal đã đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất của một sự kiện và chỉ ra rằng đó là một con số cụ thể có thể chứng minh được. về mặt toán học. Lý thuyết xác suất đã trở thành cơ sở của thống kê và được sử dụng rộng rãi trong khoa học hiện đại.

Sự ngẫu nhiên là gì

Nếu chúng ta xem xét một bài kiểm tra có thể lặp lại vô số lần thì chúng ta có thể xác định một sự kiện ngẫu nhiên. Đây là một trong những kết quả có thể xảy ra của thí nghiệm.

Kinh nghiệm là việc thực hiện các hành động cụ thể trong những điều kiện không đổi.

Để có thể làm việc với kết quả của thí nghiệm, các sự kiện thường được ký hiệu bằng các chữ cái A, B, C, D, E...

Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên

Để bắt đầu phần toán học của xác suất, cần phải xác định tất cả các thành phần của nó.

Xác suất của một sự kiện được thể hiện bằng dạng số thước đo khả năng xảy ra một số sự kiện (A hoặc B) do kết quả của một trải nghiệm. Xác suất được ký hiệu là P(A) hoặc P(B).

Trong lý thuyết xác suất họ phân biệt:

đáng tin cậy sự kiện được đảm bảo xảy ra do kết quả của trải nghiệm P(Ω) = 1;
không thể nào sự kiện không bao giờ có thể xảy ra P(Ø) = 0;
ngẫu nhiên một sự kiện nằm giữa chắc chắn và không thể xảy ra, nghĩa là xác suất xảy ra của nó là có thể xảy ra nhưng không được đảm bảo (xác suất sự kiện ngẫu nhiên luôn nằm trong 0<Р(А)< 1).

Mối quan hệ giữa các sự kiện

Cả một và tổng các sự kiện A+B đều được xem xét, khi sự kiện được tính khi ít nhất một trong các thành phần A hoặc B hoặc cả hai thành phần A và B được đáp ứng.

Trong mối quan hệ với nhau, các sự kiện có thể là:

Tương đương có thể.
Tương thích.
Không tương thích.
Đối lập (loại trừ lẫn nhau).
Sự phụ thuộc.

Nếu hai sự kiện có thể xảy ra với xác suất bằng nhau thì chúng đều có thể.

Nếu việc xảy ra sự kiện A không làm giảm xác suất xảy ra sự kiện B về 0 thì họ tương thích.

Nếu sự kiện A và B không bao giờ xảy ra đồng thời trong cùng một trải nghiệm thì chúng được gọi là không tương thích. Tung đồng xu - ví dụ tốt: sự xuất hiện của những cái đầu tự động là sự không xuất hiện của những cái đầu.

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích như vậy bao gồm tổng xác suất của từng sự kiện:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Nếu sự xuất hiện của một sự kiện làm cho sự kiện khác không thể xảy ra thì chúng được gọi là ngược lại. Sau đó, một trong số chúng được chỉ định là A, và cái còn lại - Ā (đọc là “không phải A”). Sự kiện A xảy ra nghĩa là Ā không xảy ra. Hai sự kiện này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh với tổng xác suất bằng 1.

Các sự kiện phụ thuộc có ảnh hưởng lẫn nhau, giảm hoặc tăng xác suất của nhau.

Mối quan hệ giữa các sự kiện. Ví dụ

Sử dụng các ví dụ sẽ dễ hiểu hơn nhiều các nguyên tắc của lý thuyết xác suất và sự kết hợp của các sự kiện.

Thí nghiệm sẽ được thực hiện bao gồm việc lấy các quả bóng ra khỏi hộp và kết quả của mỗi thí nghiệm là kết quả cơ bản.

Một sự kiện là một trong những kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm - quả bóng màu đỏ, quả bóng màu xanh, quả bóng có số sáu, v.v.

Bài kiểm tra số 1. Có 6 quả bóng tham gia, trong đó có 3 quả bóng màu xanh lam với số lẻ và 3 quả bóng còn lại màu đỏ với số chẵn.

Bài kiểm tra số 2. 6 quả bóng liên quan có màu xanh với các số từ một đến sáu.

Dựa trên ví dụ này, chúng ta có thể đặt tên cho các kết hợp:

Sự kiện đáng tin cậy bằng tiếng Tây Ban Nha Số 2, sự kiện “lấy quả bóng xanh” là đáng tin cậy vì xác suất xảy ra của nó bằng 1, vì tất cả các quả bóng đều có màu xanh và không thể bỏ sót. Trong khi đó sự kiện “lấy được bóng số 1” là ngẫu nhiên.
Sự kiện không thể xảy ra. bằng tiếng Tây Ban Nha Số 1 với bóng xanh và đỏ, sự kiện “lấy bóng tím” là không thể xảy ra vì xác suất xuất hiện của nó là 0.
Các sự kiện có thể xảy ra như nhau. bằng tiếng Tây Ban Nha Số 1, các sự kiện “lấy bóng số 2” và “lấy bóng số 3” đều có thể xảy ra như nhau, và các sự kiện “lấy bóng số chẵn” và “lấy bóng số 2” đều có thể thực hiện được. ” có xác suất khác nhau.
Sự kiện tương thíchĐạt được điểm sáu hai lần liên tiếp trong khi ném xúc xắc là một sự kiện tương thích.
Sự kiện không tương thích. Trong cùng một tiếng Tây Ban Nha Thứ 1, sự kiện “lấy bi đỏ” và “lấy bi số lẻ” không thể kết hợp trong cùng một trải nghiệm.
Sự kiện trái ngược nhau. Hầu hết tấm gương sángĐây là trò tung đồng xu, trong đó việc rút được mặt ngửa tương đương với việc không vẽ được mặt sấp và tổng xác suất của chúng luôn bằng 1 (nhóm đầy đủ).
Sự kiện phụ thuộc. Vì vậy, trong tiếng Tây Ban Nha Số 1, bạn có thể đặt mục tiêu rút được quả bóng đỏ hai lần liên tiếp. Việc lấy lại lần đầu hay không ảnh hưởng đến khả năng lấy lại lần thứ hai.

Có thể thấy, sự kiện đầu tiên ảnh hưởng đáng kể đến xác suất xảy ra sự kiện thứ hai (40% và 60%).

Công thức xác suất sự kiện

Quá trình chuyển đổi từ bói toán sang dữ liệu chính xác xảy ra thông qua việc chuyển chủ đề sang mặt phẳng toán học. Nghĩa là, các phán đoán về một sự kiện ngẫu nhiên như “xác suất cao” hoặc “xác suất tối thiểu” có thể được chuyển thành dữ liệu số cụ thể. Đã được phép đánh giá, so sánh và nhập tài liệu đó vào các phép tính phức tạp hơn.

Từ quan điểm tính toán, việc xác định xác suất của một sự kiện là tỷ lệ giữa số lượng kết quả tích cực cơ bản với số lượng tất cả các kết quả có thể có của trải nghiệm liên quan đến một sự kiện nhất định. Xác suất được ký hiệu là P(A), trong đó P là viết tắt của từ “xác suất”, được dịch từ tiếng Pháp là “xác suất”.

Vì vậy, công thức tính xác suất của một sự kiện là:

Trong đó m là số kết quả thuận lợi cho sự kiện A, n là tổng tất cả các kết quả có thể xảy ra cho trải nghiệm này. Trong trường hợp này, xác suất xảy ra sự kiện luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1:

0  P(A)  1.

Tính xác suất của một sự kiện. Ví dụ

Hãy học tiếng Tây Ban Nha. Số 1 với các quả bóng, đã được mô tả trước đó: 3 quả bóng màu xanh có số 1/3/5 và 3 quả bóng màu đỏ có số 2/4/6.

Dựa trên thử nghiệm này, một số vấn đề khác nhau có thể được xem xét:

A – quả bóng màu đỏ rơi ra ngoài. Có 3 quả bóng màu đỏ và có tổng cộng 6 lựa chọn. ví dụ đơn giản nhất, trong đó xác suất của sự kiện bằng P(A)=3/6=0,5.
B - cán một số chẵn. Có 3 số chẵn (2,4,6) và tổng cộng Có 6 phương án số có thể xảy ra. Xác suất của sự kiện này là P(B)=3/6=0,5.
C - sự xuất hiện của một số lớn hơn 2. Có 4 phương án như vậy (3,4,5,6) trên tổng số các kết quả có thể xảy ra là 6. Xác suất của sự kiện C bằng P(C)=4 /6=0,67.

Như có thể thấy từ các tính toán, sự kiện C có xác suất cao hơn vì số lượng kết quả tích cực có thể xảy ra cao hơn trong A và B.

Sự kiện không tương thích

Những sự kiện như vậy không thể xuất hiện đồng thời trong cùng một trải nghiệm. Như trong tiếng Tây Ban Nha Số 1 không thể có được quả bóng xanh và quả bóng đỏ cùng một lúc. Nghĩa là, bạn có thể nhận được một quả bóng màu xanh hoặc màu đỏ. Tương tự như vậy, số chẵn và số lẻ không thể xuất hiện cùng lúc trên xúc xắc.

Xác suất của hai sự kiện được coi là xác suất của tổng hoặc tích của chúng. Tổng các sự kiện A+B như vậy được coi là một sự kiện bao gồm sự xuất hiện của sự kiện A hoặc B và tích của chúng AB là sự xuất hiện của cả hai. Ví dụ, sự xuất hiện của hai số sáu cùng một lúc trên các mặt của hai viên xúc xắc trong một lần ném.

Tổng của một số sự kiện là một sự kiện giả định trước sự xuất hiện của ít nhất một trong số chúng. Việc tạo ra một số sự kiện là sự xuất hiện chung của tất cả chúng.

Trong lý thuyết xác suất, theo quy luật, việc sử dụng kết hợp “và” biểu thị một tổng và kết hợp “hoặc” - phép nhân. Các công thức có ví dụ sẽ giúp bạn hiểu logic của phép cộng và phép nhân trong lý thuyết xác suất.

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích

Nếu xác suất của các sự kiện không tương thích được xem xét thì xác suất của tổng các sự kiện bằng với việc cộng xác suất của chúng:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ví dụ: hãy tính xác suất trong tiếng Tây Ban Nha. Số 1 với các quả bóng màu xanh và đỏ, một số từ 1 đến 4 sẽ xuất hiện, chúng ta sẽ tính toán không phải bằng một hành động mà bằng tổng xác suất của các thành phần cơ bản. Vì vậy, trong một thí nghiệm như vậy chỉ có 6 quả bóng hoặc 6 kết quả có thể xảy ra. Các số thỏa mãn điều kiện là 2 và 3. Xác suất được số 2 là 1/6, xác suất được số 3 cũng là 1/6. Xác suất để lấy được số từ 1 đến 4 là:

Xác suất của tổng các sự kiện không tương thích của một nhóm hoàn chỉnh là 1.

Vì vậy, nếu trong một thí nghiệm với khối lập phương, chúng ta cộng xác suất của tất cả các số xuất hiện thì kết quả sẽ là một.

Điều này cũng đúng với các sự kiện trái ngược nhau, ví dụ như trong thử nghiệm với một đồng xu, trong đó một mặt là sự kiện A và mặt kia là sự kiện. sự kiện ngược lạiĀ, như đã biết,

P(A) + P(Ā) = 1

Xác suất xảy ra các sự kiện không tương thích

Phép nhân xác suất được sử dụng khi xem xét sự xuất hiện của hai hoặc nhiều sự kiện không tương thích trong một quan sát. Xác suất để các sự kiện A và B xuất hiện đồng thời bằng tích các xác suất của chúng, hoặc:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Ví dụ, xác suất rằng trong tiếng Tây Ban Nha Số 1, sau hai lần thử, một quả bóng màu xanh sẽ xuất hiện hai lần, bằng

Nghĩa là, xác suất xảy ra một sự kiện khi sau hai lần thử lấy bóng, chỉ lấy được bóng xanh là 25%. Rất dễ dàng để thực hiện các thí nghiệm thực tế về vấn đề này và xem liệu điều này có thực sự đúng hay không.

Sự kiện chung

Các sự kiện được coi là kết hợp khi sự xuất hiện của một trong số chúng có thể trùng với sự xuất hiện của một sự kiện khác. Mặc dù thực tế là chúng là chung nhưng xác suất không được xem xét sự kiện phụ thuộc. Ví dụ: ném hai viên xúc xắc có thể cho kết quả khi số 6 xuất hiện trên cả hai viên. Mặc dù các sự kiện trùng khớp và xuất hiện cùng lúc nhưng chúng độc lập với nhau - chỉ có sáu viên có thể rơi ra, viên xúc xắc thứ hai không có. ảnh hưởng lên nó.

Xác suất của các sự kiện chung được coi là xác suất của tổng của chúng.

Xác suất của tổng các sự kiện chung. Ví dụ

Xác suất của tổng các sự kiện A và B có mối liên hệ với nhau bằng tổng xác suất của sự kiện đó trừ đi xác suất xảy ra của chúng (nghĩa là sự xuất hiện chung của chúng):

khớp R (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Giả sử xác suất bắn trúng mục tiêu chỉ bằng một phát bắn là 0,4. Khi đó sự kiện A sẽ bắn trúng mục tiêu ở lần thử đầu tiên, B - ở lần thử thứ hai. Những sự kiện này là chung, vì bạn có thể bắn trúng mục tiêu bằng cả phát đầu tiên và phát thứ hai. Nhưng các sự kiện không phụ thuộc. Xác suất xảy ra trường hợp hai phát bắn trúng mục tiêu (ít nhất là một phát) là bao nhiêu? Theo công thức:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Đáp án cho câu hỏi là: “Xác suất bắn trúng mục tiêu bằng hai phát đạn là 64%”.

Công thức xác suất xảy ra một sự kiện này cũng có thể được áp dụng cho các sự kiện không tương thích, trong đó xác suất xảy ra đồng thời của một sự kiện P(AB) = 0. Điều này có nghĩa là xác suất của tổng các sự kiện không tương thích có thể được coi là trường hợp đặc biệt của công thức được đề xuất.

Hình học xác suất cho rõ ràng

Điều thú vị là xác suất của tổng các sự kiện chung có thể được biểu diễn dưới dạng hai khu vực A và B, giao nhau. Như có thể thấy trên hình, diện tích phần giao của chúng bằng tổng diện tích trừ đi diện tích giao điểm của chúng. Cách giải thích hình học này làm cho công thức có vẻ phi logic trở nên dễ hiểu hơn. Lưu ý rằng lời giải hình học- không hiếm trong lý thuyết xác suất.

Việc xác định xác suất của tổng của nhiều (nhiều hơn hai) sự kiện chung là khá phức tạp. Để tính toán, bạn cần sử dụng các công thức được cung cấp cho những trường hợp này.

Sự kiện phụ thuộc

Các sự kiện được gọi là phụ thuộc nếu sự xuất hiện của một (A) trong số chúng ảnh hưởng đến xác suất xảy ra (B) khác. Hơn nữa, ảnh hưởng của cả việc xảy ra và không xảy ra sự kiện A đều được tính đến. Mặc dù các sự kiện được gọi là phụ thuộc theo định nghĩa, nhưng chỉ một trong số chúng là phụ thuộc (B). Xác suất thông thường được ký hiệu là P(B) hoặc xác suất của các sự kiện độc lập. Trong trường hợp các sự kiện phụ thuộc, một khái niệm mới được đưa ra - xác suất có điều kiện P A (B), là xác suất của sự kiện phụ thuộc B, tùy thuộc vào sự xuất hiện của sự kiện A (giả thuyết), mà nó phụ thuộc vào.

Nhưng sự kiện A cũng là ngẫu nhiên nên nó cũng có xác suất cần thiết và có thể được tính đến trong các phép tính được thực hiện. Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra cách làm việc với các sự kiện phụ thuộc và một giả thuyết.

Một ví dụ về tính xác suất của các sự kiện phụ thuộc

Một ví dụ điển hình để tính toán các sự kiện phụ thuộc là một bộ bài tiêu chuẩn.

Lấy một bộ bài gồm 36 lá làm ví dụ, chúng ta hãy xem xét các sự kiện phụ thuộc. Chúng ta cần xác định xác suất lá bài thứ hai rút ra từ bộ bài sẽ là kim cương nếu lá bài đầu tiên rút ra là:

Bubnovaya.
Một màu khác.

Rõ ràng, xác suất của sự kiện B thứ hai phụ thuộc vào A đầu tiên. Vì vậy, nếu tùy chọn đầu tiên là đúng, tức là có ít hơn 1 lá bài (35) và 1 viên kim cương (8) trong bộ bài, xác suất của sự kiện B:

RA (B) =8/35=0,23

Nếu lựa chọn thứ hai là đúng thì bộ bài bây giờ có 35 lá bài, và số đầy đủ tambourine (9), thì xác suất của sự kiện B tiếp theo:

RA (B) = 9/35=0,26.

Có thể thấy, nếu sự kiện A dựa vào lá bài đầu tiên là kim cương thì xác suất xảy ra sự kiện B sẽ giảm và ngược lại.

Nhân các sự kiện phụ thuộc

Theo hướng dẫn của chương trước, chúng ta chấp nhận sự kiện đầu tiên (A) là một sự kiện, nhưng về bản chất, nó có tính chất ngẫu nhiên. Xác suất của sự kiện này, cụ thể là rút được một viên kim cương từ bộ bài, bằng:

P(A) = 9/36=1/4

Vì lý thuyết không tồn tại một mình mà nhằm mục đích phục vụ mục đich thực tiên, thì công bằng mà nói cần lưu ý rằng điều cần thiết nhất là xác suất tạo ra các sự kiện phụ thuộc.

Theo định lý tích xác suất của các sự kiện phụ thuộc, xác suất xảy ra sự kiện phụ thuộc chung A và B bằng xác suất của một sự kiện A nhân với xác suất có điều kiện của sự kiện B (phụ thuộc vào A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Sau đó, trong ví dụ về bộ bài, xác suất rút được hai lá bài có chất kim cương là:

9/36*8/35=0,0571, hay 5,7%

Và xác suất lấy được không phải kim cương trước mà sau đó là kim cương bằng:

27/36*9/35=0,19 hoặc 19%

Có thể thấy rằng xác suất xảy ra sự kiện B sẽ lớn hơn với điều kiện lá bài đầu tiên được rút là chất khác không phải kim cương. Kết quả này khá logic và dễ hiểu.

Tổng xác suất của một sự kiện

Khi một bài toán với xác suất có điều kiện trở nên đa dạng, nó không thể được tính toán bằng các phương pháp thông thường. Khi có nhiều hơn hai giả thuyết là A1, A2,…, An, .. tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh được cung cấp:

P(A i)>0, i=1,2,…
A i ∩ A j =Ø,i≠j.
Σ k A k = Ω.

Vậy công thức xác suất đầy đủđối với sự kiện B với một nhóm đầy đủ các sự kiện ngẫu nhiên A1, A2,..., Và n bằng:

Một cái nhìn về tương lai

Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là vô cùng cần thiết trong nhiều lĩnh vực khoa học: kinh tế lượng, thống kê, vật lý, v.v. Vì một số quá trình không thể được mô tả một cách xác định, vì bản thân chúng có tính xác suất nên cần có các phương pháp làm việc đặc biệt. Lý thuyết về xác suất sự kiện có thể được sử dụng trong bất kỳ lĩnh vực công nghệ nào như một cách để xác định khả năng xảy ra lỗi hoặc trục trặc.

Chúng ta có thể nói rằng bằng cách nhận ra xác suất, theo một cách nào đó, chúng ta thực hiện một bước lý thuyết vào tương lai, nhìn nó qua lăng kính của các công thức.

Rõ ràng là mỗi sự kiện có một mức độ khác nhau về khả năng xảy ra (việc thực hiện nó). Để so sánh một cách định lượng các sự kiện với nhau theo mức độ khả năng xảy ra của chúng, rõ ràng cần phải liên kết một con số nhất định với mỗi sự kiện, con số nào càng lớn thì sự kiện đó càng có khả năng xảy ra. Con số này được gọi là xác suất của một sự kiện.

Xác suất của sự kiện– là thước đo bằng số về mức độ có thể xảy ra khách quan của sự kiện này.

Hãy xem xét một thí nghiệm ngẫu nhiên và một sự kiện ngẫu nhiên A được quan sát thấy trong thí nghiệm này. Hãy lặp lại thí nghiệm này n lần và gọi m(A) là số thí nghiệm trong đó sự kiện A xảy ra.

Mối quan hệ (1.1)

gọi điện tần số tương đối sự kiện A trong chuỗi thí nghiệm được thực hiện.

Thật dễ dàng để xác minh tính hợp lệ của các thuộc tính:

nếu A và B không nhất quán (AB= ), thì ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Tần số tương đối chỉ được xác định sau một loạt thử nghiệm và nói chung có thể thay đổi theo từng chuỗi. Tuy nhiên, kinh nghiệm cho thấy rằng trong nhiều trường hợp, khi số lượng thí nghiệm tăng lên thì tần số tương đối sẽ tiến đến một con số nhất định. Thực tế về sự ổn định của tần số tương đối này đã được xác minh nhiều lần và có thể được coi là đã được xác lập bằng thực nghiệm.

Ví dụ 1.19.. Nếu bạn ném một đồng xu, không ai có thể đoán trước được nó sẽ rơi lên mặt nào. Nhưng nếu bạn ném hai tấn đồng xu, thì mọi người sẽ nói rằng khoảng một tấn sẽ rơi cùng với quốc huy, tức là tần số tương đối của quốc huy rơi ra là khoảng 0,5.

Nếu, với sự gia tăng số lượng thí nghiệm, tần suất tương đối của sự kiện ν(A) có xu hướng tiến tới một số cố định nhất định, thì người ta nói rằng sự kiện A ổn định về mặt thống kê, và con số này được gọi là xác suất của sự kiện A.

Xác suất của sự kiện MỘT một số cố định P(A) nào đó được gọi, mà tần số tương đối ν(A) của sự kiện này có xu hướng tăng lên khi số lượng thử nghiệm tăng lên, nghĩa là,

Định nghĩa này được gọi là xác định thống kê xác suất .

Chúng ta hãy xem xét một thí nghiệm ngẫu nhiên nhất định và cho không gian các sự kiện cơ bản của nó bao gồm một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn (nhưng đếm được) các sự kiện cơ bản ω 1, ω 2, …, ω i, …. Giả sử rằng mỗi sự kiện cơ bản ω i được gán một số nhất định - р i , đặc trưng cho mức độ có thể xảy ra của một sự kiện cơ bản nhất định và thỏa mãn các thuộc tính sau:

Số p i này được gọi là xác suất của một sự kiện cơ bảnωi.

Giả sử A là một biến cố ngẫu nhiên được quan sát thấy trong thí nghiệm này và cho nó tương ứng với một tập hợp nào đó

Trong hoàn cảnh này xác suất của một sự kiện MỘT gọi tổng xác suất của các sự kiện cơ bản có lợi cho A(có trong bộ A tương ứng):

(1.4)

Xác suất được đưa ra theo cách này có cùng đặc tính với tần số tương đối, cụ thể là:

Và nếu AB = (A và B không tương thích),

thì P(A+B) = P(A) + P(B)

Thật vậy, theo (1.4)

Trong mối quan hệ trước, chúng ta đã lợi dụng thực tế là không một sự kiện cơ bản nào có thể hỗ trợ hai sự kiện không tương thích cùng một lúc.

Chúng tôi đặc biệt lưu ý rằng lý thuyết xác suất không chỉ ra các phương pháp xác định số pi; chúng phải được tìm kiếm vì những lý do thực tế hoặc thu được từ một thí nghiệm thống kê tương ứng.

Ví dụ, hãy xem xét sơ đồ cổ điển của lý thuyết xác suất. Để làm điều này, hãy xem xét một thí nghiệm ngẫu nhiên, không gian của các sự kiện cơ bản bao gồm một số phần tử hữu hạn (n). Chúng ta hãy giả sử thêm rằng tất cả những điều này sự kiện cơ bảnđều có thể xảy ra như nhau, nghĩa là xác suất của các sự kiện cơ bản bằng p(ω i)=p i =p. Nó theo sau đó

Ví dụ 1.20. Khi ném một đồng xu đối xứng thì khả năng nhận được mặt ngửa và mặt sấp đều bằng nhau, xác suất của chúng bằng 0,5.

Ví dụ 1.21. Khi ném xúc xắc đối xứng, tất cả các mặt đều có khả năng như nhau, xác suất của chúng bằng 1/6.

Bây giờ hãy để sự kiện A được m sự kiện cơ bản ủng hộ, chúng thường được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố A. Sau đó

Lấy định nghĩa cổ điển về xác suất: xác suất P(A) của sự kiện A bằng tỷ lệ giữa số kết quả có lợi cho sự kiện A trên tổng số kết quả

Ví dụ 1.22. Trong hộp có m quả cầu trắng và n quả cầu đen. Xác suất để lấy nó ra là bao nhiêu? Quả bóng trắng?

Giải pháp. Tổng số sự kiện cơ bản là m+n. Tất cả đều có khả năng xảy ra như nhau. Sự kiện thuận lợi A trong đó m. Kể từ đây, .

Các tính chất sau đây suy ra từ định nghĩa xác suất:

Bất động sản 1. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bằng một.

Thật vậy, nếu sự kiện là đáng tin cậy thì mọi kết quả cơ bản của phép thử đều ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này t=p, kể từ đây,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Tài sản 2. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bằng không.

Thật vậy, nếu một sự kiện là không thể xảy ra thì không có sự kiện nào kết quả cơ bản bài kiểm tra không có lợi cho sự kiện này. Trong trường hợp này T= 0, do đó, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Tài sản 3.Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng từ 0 đến 1.

Thật vậy, chỉ một phần trong tổng số kết quả cơ bản của bài kiểm tra được ưa chuộng bởi một sự kiện ngẫu nhiên. Tức là 01, do đó xác suất xảy ra sự kiện nào đó thỏa mãn bất bình đẳng kép 0≤P(A) ≤1. (1.8)

So sánh định nghĩa xác suất (1.5) và tần số tương đối (1.1), ta kết luận: định nghĩa xác suất không yêu cầu thực hiện thử nghiệm Trên thực tế; định nghĩa về tần số tương đối giả định rằng các thử nghiệm đã thực sự được thực hiện. Nói cách khác, xác suất được tính trước thí nghiệm và tần số tương đối - sau thí nghiệm.

Tuy nhiên, việc tính toán xác suất đòi hỏi thông tin sơ bộ về số lượng hoặc xác suất của các kết quả cơ bản có lợi cho một sự kiện nhất định. Trong trường hợp không có thông tin sơ bộ như vậy, dữ liệu thực nghiệm được sử dụng để xác định xác suất, nghĩa là tần suất tương đối của sự kiện được xác định dựa trên kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên.

Ví dụ 1.23. Phòng kiểm soát kỹ thuật phát hiện 3 các bộ phận không đạt tiêu chuẩn trong một lô gồm 80 bộ phận được chọn ngẫu nhiên. Tần suất xuất hiện tương đối của các bộ phận không chuẩn r(A)= 3/80.

Ví dụ 1.24. Theo mục đích.sản xuất 24 bắn, và 19 lần trúng đích được ghi. Tỷ lệ trúng mục tiêu tương đối. r(A)=19/24.

Quan sát dài hạn cho thấy rằng nếu các thí nghiệm được thực hiện trong các điều kiện giống hệt nhau, trong đó số lượng thử nghiệm đủ lớn thì tần số tương đối thể hiện tính chất ổn định. Tài sản này là rằng trong các thí nghiệm khác nhau, tần số tương đối thay đổi rất ít (càng ít, càng thực hiện nhiều thử nghiệm), dao động xung quanh một số không đổi nhất định. Hoá ra là cái này số không đổi có thể được coi là một giá trị xác suất gần đúng.

Mối quan hệ giữa tần suất tương đối và xác suất sẽ được mô tả chi tiết và chính xác hơn dưới đây. Bây giờ chúng ta hãy minh họa tính chất ổn định bằng các ví dụ.

Ví dụ 1.25. Theo thống kê của Thụy Điển, tần suất sinh con gái tương đối trong năm 1935 theo tháng được đặc trưng bởi các con số sau (các con số được sắp xếp theo thứ tự các tháng, bắt đầu bằng Tháng Giêng): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Tần số tương đối dao động quanh số 0,481, có thể coi là giá trị gần đúng xác suất sinh con gái.

Lưu ý rằng dữ liệu thống kê nhiều nước khác nhau cho giá trị tần số tương đối gần như nhau.

Ví dụ 1.26. Thí nghiệm tung đồng xu được thực hiện nhiều lần, trong đó tính số lần xuất hiện của “huy hiệu”. Kết quả của một số thí nghiệm được thể hiện trong bảng.

Hầu như không có nhiều người nghĩ đến việc liệu có thể tính toán các sự kiện ít nhiều ngẫu nhiên hay không. Nói một cách đơn giản nói một cách đơn giản, liệu có thực sự có thể biết được mặt nào của khối lập phương sẽ xuất hiện vào lần tới không? Đó là câu hỏi mà hai nhà khoa học vĩ đại đã tự hỏi mình, những người đã đặt nền móng cho một ngành khoa học như lý thuyết xác suất, trong đó xác suất của một sự kiện được nghiên cứu khá rộng rãi.

Nguồn gốc

Nếu bạn cố gắng định nghĩa một khái niệm như lý thuyết xác suất, bạn sẽ nhận được những điều sau: đây là một trong những nhánh toán học nghiên cứu tính không đổi của các sự kiện ngẫu nhiên. Tất nhiên rồi, Khái niệm này không thực sự bộc lộ toàn bộ bản chất nên cần xem xét chi tiết hơn.

Tôi muốn bắt đầu với những người tạo ra lý thuyết này. Như đã đề cập ở trên, có hai người trong số họ và họ là một trong những người đầu tiên thử sử dụng công thức và Tính toán toán học tính toán kết quả của một sự kiện. Nhìn chung, sự khởi đầu của khoa học này xuất hiện từ thời Trung cổ. Vào thời điểm đó, nhiều nhà tư tưởng và nhà khoa học đã cố gắng phân tích bài bạc, chẳng hạn như roulette, xúc xắc, v.v., từ đó thiết lập một khuôn mẫu và phần trăm sự xuất hiện của một hoặc một số khác. Nền tảng được đặt vào thế kỷ XVII bởi các nhà khoa học nói trên.

Lúc đầu, công trình của họ không thể được coi là thành tựu lớn trong lĩnh vực này, bởi tất cả những gì họ làm chỉ đơn giản là những dữ kiện thực nghiệm, và các thí nghiệm được thực hiện một cách trực quan, không sử dụng công thức. Theo thời gian, có thể đạt được kết quả tuyệt vời xuất hiện nhờ quan sát việc ném xúc xắc. Chính công cụ này đã giúp tạo ra những công thức dễ hiểu đầu tiên.

Những người cùng chí hướng

Không thể không nhắc đến một người như Christiaan Huygens trong quá trình nghiên cứu chủ đề “lý thuyết xác suất” (xác suất của một sự kiện được đề cập chính xác trong ngành khoa học này). Người này rất thú vị. Ông, giống như các nhà khoa học đã trình bày ở trên, đã thử dưới hình thức công thức toán học rút ra một mô hình của các sự kiện ngẫu nhiên. Đáng chú ý là ông đã không làm điều này cùng với Pascal và Fermat, tức là tất cả các tác phẩm của ông đều không giao thoa với những bộ óc này. Huygens đã suy luận

Một sự thật thú vị là công trình của ông ra đời rất lâu trước kết quả công trình của những người khám phá, hay nói đúng hơn là hai mươi năm trước đó. Trong số các khái niệm được xác định, nổi tiếng nhất là:

khái niệm xác suất là giá trị của may rủi;
kỳ vọng toán học cho các trường hợp rời rạc;
định lý nhân và cộng xác suất.

Cũng không thể không nhớ ai cũng có đóng góp đáng kể cho việc nghiên cứu vấn đề này. Tiến hành các thử nghiệm của riêng mình, độc lập với bất kỳ ai, anh ấy có thể cung cấp bằng chứng về pháp luật số lượng lớn. Đổi lại, các nhà khoa học Poisson và Laplace, những người làm việc vào đầu thế kỷ 19, đã có thể chứng minh các định lý ban đầu. Chính từ thời điểm này, lý thuyết xác suất bắt đầu được sử dụng để phân tích sai số trong các quan sát. Đường vòng khoa học này Các nhà khoa học Nga, hay đúng hơn là Markov, Chebyshev và Dyapunov, cũng không thể. Họ, dựa trên công việc được thực hiện bởi những thiên tài vĩ đại, đã bảo đảm vật phẩm này như một nhánh của toán học. Những con số này đã có tác dụng vào cuối thế kỷ 19 và nhờ sự đóng góp của chúng, các hiện tượng sau đã được chứng minh:

luật số lớn;
lý thuyết chuỗi Markov;
định lý giới hạn trung tâm.

Như vậy, với lịch sử ra đời của khoa học và với những người chính chịu ảnh hưởng của nó thì mọi chuyện ít nhiều đã rõ ràng. Bây giờ đã đến lúc làm rõ mọi sự thật.

Các khái niệm cơ bản

Trước khi đề cập đến các định luật và định lý, cần nghiên cứu các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Sự kiện này đóng một vai trò hàng đầu trong đó. Chủ đề này khá đồ sộ, nhưng không có nó, bạn sẽ không thể tìm ra mọi thứ khác.

Một sự kiện trong lý thuyết xác suất là bất kỳ tập hợp kết quả nào của một thí nghiệm. Có khá nhiều khái niệm về hiện tượng này. Vì vậy, nhà khoa học Lotman, làm việc trong lĩnh vực này, đã nói rằng trong trường hợp này Chúng ta đang nói về về những gì “đã xảy ra, mặc dù nó có thể không xảy ra.”

Các sự kiện ngẫu nhiên (lý thuyết xác suất tập trung vào chúng) Đặc biệt chú ý) là một khái niệm bao hàm hoàn toàn bất kỳ hiện tượng nào có cơ hội xảy ra. Hoặc ngược lại, kịch bản này có thể không xảy ra nếu đáp ứng nhiều điều kiện. Cũng cần biết rằng chính những sự kiện ngẫu nhiên đã nắm bắt toàn bộ khối lượng các hiện tượng đã xảy ra. Lý thuyết xác suất chỉ ra rằng mọi điều kiện đều có thể được lặp lại liên tục. Hành vi của họ được gọi là "thử nghiệm" hoặc "thử nghiệm".

Một sự kiện đáng tin cậy là một hiện tượng có khả năng xảy ra một trăm phần trăm trong một thử nghiệm nhất định. Theo đó, biến cố không thể xảy ra là biến cố sẽ không xảy ra.

Sự kết hợp của một cặp hành động (có điều kiện, trường hợp A và trường hợp B) là hiện tượng xảy ra đồng thời. Chúng được chỉ định là AB.

Tổng các cặp sự kiện A và B là C, nói cách khác, nếu ít nhất một trong số chúng xảy ra (A hoặc B) thì sẽ thu được C. Công thức tính hiện tượng mô tả được viết như sau: C = A +. B.

Các sự kiện không nhất quán trong lý thuyết xác suất ngụ ý rằng hai trường hợp loại trừ lẫn nhau. Trong mọi trường hợp chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Sự kiện chung trong lý thuyết xác suất, đây là phản âm của chúng. Điều muốn nói ở đây là nếu A xảy ra thì nó không ngăn cản B dưới bất kỳ hình thức nào.

Các sự kiện đối nghịch (lý thuyết xác suất xem xét chúng rất chi tiết) rất dễ hiểu. Cách tốt nhất để hiểu chúng là so sánh. Chúng gần giống như sự kiện không tương thích trong lý thuyết xác suất. Nhưng sự khác biệt của chúng nằm ở chỗ một trong nhiều hiện tượng phải xảy ra trong mọi trường hợp.

Các sự kiện có khả năng xảy ra như nhau là những hành động có số lần lặp lại như nhau. Để rõ ràng hơn, bạn có thể tưởng tượng việc tung một đồng xu: việc mất một mặt của nó cũng có khả năng rơi ra khỏi mặt kia như nhau.

Sẽ dễ dàng hơn khi xem xét một sự kiện tốt lành bằng một ví dụ. Giả sử có một tập B và một tập A. Đầu tiên là tung xúc xắc với một số lẻ xuất hiện, và thứ hai là xuất hiện số năm trên xúc xắc. Sau đó hóa ra A ủng hộ B.

Các sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất chỉ được chiếu lên hai hoặc nhiều trường hợp và ngụ ý sự độc lập của bất kỳ hành động nào với trường hợp khác. Ví dụ: A là mất mặt khi tung đồng xu và B là rút ra một con jack từ bộ bài. họ đang sự kiện độc lập trong lý thuyết xác suất. Lúc này mọi chuyện đã trở nên rõ ràng hơn.

Các sự kiện phụ thuộc trong lý thuyết xác suất cũng chỉ được phép đối với một tập hợp chúng. Chúng ngụ ý sự phụ thuộc của cái này vào cái kia, nghĩa là hiện tượng B chỉ có thể xảy ra nếu A đã xảy ra hoặc ngược lại, chưa xảy ra, khi đây là điều kiện chính cho B.

Kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên gồm một thành phần là các sự kiện cơ bản. Lý thuyết xác suất giải thích rằng đây là hiện tượng chỉ xảy ra một lần.

Công thức cơ bản

Vì vậy, các khái niệm về “sự kiện” và “lý thuyết xác suất” đã được thảo luận ở trên; định nghĩa về các thuật ngữ cơ bản của khoa học này cũng đã được đưa ra. Bây giờ là lúc làm quen trực tiếp với công thức quan trọng. Những biểu thức này xác nhận về mặt toán học tất cả các khái niệm chính trong một chủ đề phức tạp như lý thuyết xác suất. Xác suất của một sự kiện cũng đóng một vai trò rất lớn ở đây.

Tốt hơn hết bạn nên bắt đầu với những cái cơ bản. Và trước khi bắt đầu với chúng, bạn nên xem xét chúng là gì.

Tổ hợp chủ yếu là một nhánh của toán học; lượng lớn các số nguyên, cũng như các hoán vị khác nhau của cả bản thân các số và các phần tử của chúng, các dữ liệu khác nhau, v.v., dẫn đến sự xuất hiện của một số kết hợp. Ngoài lý thuyết xác suất, nhánh này còn quan trọng đối với thống kê, khoa học máy tính và mật mã.

Vì vậy, bây giờ chúng ta có thể chuyển sang phần trình bày các công thức và định nghĩa của chúng.

Đầu tiên trong số chúng sẽ là biểu thức cho số lượng hoán vị, nó trông như thế này:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Phương trình chỉ được áp dụng nếu các phần tử chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp của chúng.

Bây giờ công thức vị trí sẽ được xem xét, nó trông như thế này:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Biểu thức này không chỉ áp dụng cho thứ tự vị trí của phần tử mà còn cho thành phần của nó.

Phương trình thứ ba của tổ hợp, và cũng là phương trình cuối cùng, được gọi là công thức tính số tổ hợp:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Sự kết hợp đề cập đến các lựa chọn không được sắp xếp tương ứng, quy tắc này áp dụng cho chúng.

Thật dễ dàng để hiểu các công thức tổ hợp; bây giờ bạn có thể chuyển sang định nghĩa cổ điển về xác suất. Biểu thức này trông như thế này:

Trong công thức này, m là số điều kiện thuận lợi cho sự kiện A, và n là số các kết quả cơ bản và hoàn toàn có thể xảy ra như nhau.

tồn tại một số lượng lớn các biểu thức, bài viết sẽ không xem xét tất cả chúng, nhưng điều quan trọng nhất trong số chúng sẽ được đề cập đến, chẳng hạn như xác suất của tổng các sự kiện:

P(A + B) = P(A) + P(B) - định lý này chỉ dùng để cộng các sự kiện không tương thích;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - và cái này chỉ dùng để thêm những cái tương thích.

Xác suất xảy ra sự kiện:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - định lý này áp dụng cho các sự kiện độc lập;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - và cái này dành cho người phụ thuộc.

Danh sách các sự kiện sẽ được hoàn thiện theo công thức sự kiện. Lý thuyết xác suất cho chúng ta biết về định lý Bayes như thế này:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N

Trong công thức này H 1, H 2, ..., H n là một nhóm giả thuyết hoàn chỉnh.

Ví dụ

Nếu bạn nghiên cứu kỹ bất kỳ phần nào của toán học, nó sẽ không thể hoàn thiện nếu không có bài tập và lời giải mẫu. Lý thuyết xác suất cũng vậy: các sự kiện và ví dụ ở đây là thành phần không thể thiếu xác nhận các tính toán khoa học.

Công thức tính số hoán vị

Giả sử có ba mươi lá bài trong một bộ bài, bắt đầu bằng giá trị là một. Câu hỏi tiếp theo. Có bao nhiêu cách xếp bộ bài sao cho các quân bài có giá trị một và hai không nằm cạnh nhau?

Nhiệm vụ đã được đặt ra, bây giờ chúng ta hãy chuyển sang giải quyết nó. Trước tiên, bạn cần xác định số lượng hoán vị của ba mươi phần tử, để làm điều này, chúng tôi sử dụng công thức được trình bày ở trên, hóa ra P_30 = 30!.

Dựa trên quy tắc này, chúng ta tìm ra có bao nhiêu lựa chọn để gấp bộ bài theo nhiều cách khác nhau, nhưng chúng ta cần loại bỏ những lựa chọn trong đó quân bài thứ nhất và quân bài thứ hai nằm cạnh nhau. Để làm điều này, hãy bắt đầu với tùy chọn khi cái đầu tiên ở trên cái thứ hai. Hóa ra lá bài đầu tiên có thể chiếm 29 vị trí - từ vị trí thứ nhất đến vị trí thứ hai mươi chín, và lá bài thứ hai từ vị trí thứ hai đến vị trí thứ ba mươi, tạo nên tổng cộng hai mươi chín vị trí cho một cặp thẻ. Đổi lại, những người còn lại có thể chấp nhận hai mươi tám vị trí và theo bất kỳ thứ tự nào. Tức là, để sắp xếp lại 28 tấm thẻ, có 28 phương án P_28 = 28!

Kết quả là, nếu chúng ta xét giải pháp khi quân bài thứ nhất cao hơn quân bài thứ hai thì sẽ có thêm 29 ⋅ 28 khả năng! = 29!

Sử dụng phương pháp tương tự, bạn cần tính số phương án dự phòng cho trường hợp quân bài thứ nhất nằm dưới quân bài thứ hai. Hóa ra nó cũng là 29 ⋅ 28! = 29!

Từ đó suy ra có 2 ⋅ 29 lựa chọn bổ sung!, trong khi những cách cần thiết thu thập boong 30! - 2 ⋅ 29!. Tất cả những gì còn lại là đếm.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Bây giờ bạn cần nhân tất cả các số từ một đến hai mươi chín, rồi cuối cùng nhân mọi số với 28. Câu trả lời là 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Giải pháp ví dụ. Công thức tính số vị trí

Trong bài toán này, bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách để xếp 15 tập trên một kệ nhưng với điều kiện là có tổng cộng 30 tập.

Giải pháp cho vấn đề này đơn giản hơn một chút so với vấn đề trước. Đang dùng rồi công thức nổi tiếng, cần tính tổng số cách sắp xếp của ba mươi tập mười lăm.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Câu trả lời theo đó sẽ bằng 202.843.204.931.727.360.000.

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện một nhiệm vụ khó khăn hơn một chút. Bạn cần tìm xem có bao nhiêu cách xếp ba mươi cuốn sách thành hai giá sách, với điều kiện là chỉ có thể đặt mười lăm tập trên một kệ.

Trước khi bắt đầu giải pháp, tôi muốn làm rõ rằng một số vấn đề có thể được giải quyết theo nhiều cách và cách này có hai phương pháp, nhưng cả hai đều sử dụng cùng một công thức.

Trong bài toán này, bạn có thể lấy câu trả lời từ bài trước, vì ở đó chúng tôi đã tính số lần bạn có thể lấp đầy một kệ với mười lăm cuốn sách theo nhiều cách khác nhau. Hóa ra A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Chúng tôi sẽ tính toán kệ thứ hai bằng công thức hoán vị, vì có thể đặt mười lăm cuốn sách trong đó, trong khi chỉ còn lại mười lăm cuốn sách. Chúng tôi sử dụng công thức P_15 = 15!.

Hóa ra tổng sẽ là A_30^15 ⋅ P_15 cách, nhưng, ngoài ra, tích của tất cả các số từ ba mươi đến mười sáu sẽ cần phải được nhân với tích của các số từ một đến mười lăm, cuối cùng bạn sẽ nhận được tích của tất cả các số từ một đến ba mươi, tức là đáp án bằng 30!

Nhưng vấn đề này có thể được giải quyết theo cách khác - dễ dàng hơn. Để làm điều này, bạn có thể tưởng tượng rằng có một kệ chứa ba mươi cuốn sách. Tất cả chúng đều được đặt trên mặt phẳng này, nhưng vì điều kiện yêu cầu phải có hai kệ nên chúng tôi thấy một cái dài làm đôi, nên chúng tôi có hai trong số mười lăm. Từ đó suy ra có thể có P_30 = 30 phương án sắp xếp!.

Giải pháp ví dụ. Công thức tính số tổ hợp

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một dạng của bài toán thứ ba trong tổ hợp. Cần phải tìm ra có bao nhiêu cách để sắp xếp mười lăm cuốn sách, với điều kiện là bạn phải chọn từ ba mươi cuốn hoàn toàn giống nhau.

Tất nhiên, để giải quyết, công thức tính số tổ hợp sẽ được áp dụng. Từ điều kiện này, rõ ràng là thứ tự của mười lăm cuốn sách giống nhau là không quan trọng. Vì vậy, trước tiên bạn cần tìm hiểu Tổng số sự kết hợp của ba mươi cuốn sách mười lăm.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Đó là tất cả. sử dụng công thức này, V thời gian ngắn nhấtđã giải quyết được vấn đề này, câu trả lời tương ứng là 155.117.520.

Giải pháp ví dụ. Định nghĩa cổ điển về xác suất

Sử dụng công thức trên, bạn có thể tìm ra câu trả lời cho một vấn đề đơn giản. Nhưng điều này sẽ giúp nhìn rõ và theo dõi tiến trình của các hành động.

Bài toán phát biểu rằng có mười quả bóng hoàn toàn giống nhau trong bình. Trong số này, bốn màu vàng và sáu màu xanh. Một quả bóng được lấy từ bình. Bạn cần tìm ra xác suất nhận được màu xanh.

Để giải bài toán, cần biểu thị việc giành được quả bóng xanh theo sự kiện A. Kinh nghiệm này có thể có mười kết quả, lần lượt chúng là cơ bản và có thể xảy ra như nhau. Đồng thời, trong số 10 thì có 6 thuận lợi cho sự kiện A. Ta giải bằng công thức:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Áp dụng công thức này ta biết xác suất để lấy được bi xanh là 0,6.

Giải pháp ví dụ. Xác suất của tổng các sự kiện

Bây giờ, một tùy chọn sẽ được trình bày và được giải quyết bằng công thức xác suất tổng các sự kiện. Vì vậy, điều kiện là có hai hộp, hộp thứ nhất chứa một quả bóng màu xám và năm quả bóng trắng, hộp thứ hai chứa tám quả bóng màu xám và bốn quả bóng trắng. Kết quả là họ lấy được một trong số chúng từ hộp thứ nhất và thứ hai. Bạn cần tìm hiểu xem khả năng những quả bóng bạn nhận được sẽ có màu xám và trắng là bao nhiêu.

Để giải quyết nhiệm vụ này, các sự kiện phải được xác định.

Vì vậy, A - lấy một quả bóng màu xám từ hộp đầu tiên: P(A) = 1/6.
A’ - cũng lấy một quả bóng trắng từ ô đầu tiên: P(A”) = 5/6.
B - một quả bóng màu xám được lấy ra khỏi hộp thứ hai: P(B) = 2/3.
B’ - lấy một quả bóng màu xám từ hộp thứ hai: P(B”) = 1/3.

Tùy theo điều kiện của bài toán cần phải xảy ra một trong các hiện tượng: AB' hoặc A'B. Sử dụng công thức, chúng ta nhận được: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Bây giờ công thức nhân xác suất đã được sử dụng. Tiếp theo, để tìm ra đáp án, bạn cần áp dụng phương trình cộng của chúng:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Đây là cách bạn có thể giải quyết các vấn đề tương tự bằng cách sử dụng công thức.

Điểm mấu chốt

Bài báo trình bày thông tin về đề tài “Lý thuyết xác suất”, trong đó xác suất của một sự kiện đóng vai trò vai trò quan trọng. Tất nhiên, không phải mọi thứ đều được tính đến, nhưng, dựa trên văn bản được trình bày, về mặt lý thuyết, bạn có thể làm quen với phần toán học này. Khoa học được đề cập có thể hữu ích không chỉ trong công việc chuyên môn mà còn trong Cuộc sống hàng ngày. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể tính toán mọi khả năng của bất kỳ sự kiện nào.

Văn bản cũng đề cập đến ngày quan trọng trong lịch sử hình thành lý thuyết xác suất với tư cách là một khoa học, và tên của những người có công lao đầu tư vào nó. Đây là lý do tại sao sự tò mò của con người đã dẫn đến việc con người học cách tính toán ngay cả những sự kiện ngẫu nhiên. Ngày xửa ngày xưa họ chỉ quan tâm đến điều này, nhưng ngày nay mọi người đều đã biết về nó. Và sẽ không ai nói điều gì đang chờ đợi chúng ta trong tương lai, những khám phá rực rỡ nào khác liên quan đến lý thuyết đang được xem xét sẽ được thực hiện. Nhưng có một điều chắc chắn - nghiên cứu không đứng yên!

“Tai nạn không phải là ngẫu nhiên”… Nghe như một triết gia đã nói, nhưng thực chất, nghiên cứu tai nạn là định mệnh khoa học vĩ đại toán học. Trong toán học, cơ hội được giải quyết bằng lý thuyết xác suất. Các công thức và ví dụ về nhiệm vụ, cũng như các định nghĩa chính của khoa học này sẽ được trình bày trong bài viết.

Lý thuyết xác suất là gì?

Lý thuyết xác suất là một trong những ngành toán học nghiên cứu các sự kiện ngẫu nhiên.

Để làm cho nó rõ ràng hơn một chút, hãy đưa ra một ví dụ nhỏ: nếu bạn ném một đồng xu lên, nó có thể rơi vào mặt ngửa hoặc mặt ngửa. Trong khi đồng xu đang được tung ra thị trường, cả hai khả năng này đều có thể xảy ra. Tức là xác suất Những hậu quả có thể xảy ra tỷ lệ là 1:1. Nếu một lá bài được rút ra từ bộ bài 36 lá thì xác suất sẽ được biểu thị là 1:36. Có vẻ như không có gì để khám phá và dự đoán ở đây, đặc biệt là với sự trợ giúp của các công thức toán học. Tuy nhiên, nếu bạn lặp lại Hành động cụ thể Nhiều khi, có thể xác định một mô hình nhất định và trên cơ sở đó dự đoán kết quả của các sự kiện trong các điều kiện khác.

Để tóm tắt tất cả những điều trên, lý thuyết xác suất theo nghĩa cổ điển nghiên cứu khả năng xảy ra một trong những sự kiện có thể xảy ra ở một giá trị số.

Từ những trang lịch sử

Lý thuyết về xác suất, công thức và ví dụ về các nhiệm vụ đầu tiên xuất hiện từ thời Trung cổ xa xôi, khi những nỗ lực dự đoán kết quả của trò chơi bài lần đầu tiên xuất hiện.

Ban đầu, lý thuyết xác suất không liên quan gì đến toán học. Nó được chứng minh bằng các sự kiện hoặc đặc tính thực nghiệm của một sự kiện có thể được tái tạo trong thực tế. Những công trình đầu tiên trong lĩnh vực này như một môn toán học xuất hiện vào thế kỷ 17. Những người sáng lập là Blaise Pascal và Pierre Fermat. Thời gian dài họ đã nghiên cứu về cờ bạc và nhìn thấy một số mô hình nhất định và họ quyết định nói cho xã hội biết.

Kỹ thuật tương tự được phát minh bởi Christiaan Huygens, mặc dù ông không quen thuộc với kết quả nghiên cứu của Pascal và Fermat. Ông đã đưa ra khái niệm “lý thuyết xác suất”, các công thức và ví dụ được coi là đầu tiên trong lịch sử của ngành này.

Các công trình của Jacob Bernoulli, định lý Laplace và Poisson cũng có tầm quan trọng không nhỏ. Họ làm cho lý thuyết xác suất giống một môn toán hơn. Lý thuyết xác suất, các công thức và ví dụ về các nhiệm vụ cơ bản có được hình thức hiện tại nhờ các tiên đề Kolmogorov. Kết quả của tất cả những thay đổi này là lý thuyết xác suất đã trở thành một trong những nhánh toán học.

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất. Sự kiện

Khái niệm chính của môn học này là “sự kiện”. Có ba loại sự kiện:

Đáng tin cậy. Những điều đó dù sao cũng sẽ xảy ra (đồng tiền sẽ rơi).
Không thể nào. Các sự kiện sẽ không xảy ra trong bất kỳ trường hợp nào (đồng xu sẽ vẫn lơ lửng trong không khí).
Ngẫu nhiên. Những điều sẽ xảy ra hoặc sẽ không xảy ra. Chúng có thể bị ảnh hưởng bởi nhiều yếu tố khác nhau rất khó dự đoán. Nếu chúng ta nói về một đồng xu, thì các yếu tố ngẫu nhiên có thể ảnh hưởng đến kết quả: tính chất vật lýđồng xu, hình dạng của nó, vị trí ban đầu, lực ném, v.v.

Tất cả các sự kiện trong ví dụ được viết hoa bằng chữ Latinh, ngoại trừ P, có vai trò khác. Ví dụ:

A = “sinh viên đến giảng bài.”
Ā = “sinh viên không đến dự giờ giảng.”

TRONG nhiệm vụ thực tế Các sự kiện thường được ghi lại bằng lời.

Một trong những đặc điểm quan trọng nhất sự kiện - khả năng bình đẳng của họ. Nghĩa là, nếu bạn tung một đồng xu, tất cả các biến thể của lần rơi ban đầu đều có thể xảy ra cho đến khi nó rơi. Nhưng các sự kiện cũng không thể xảy ra như nhau. Điều này xảy ra khi ai đó cố tình tác động đến một kết quả. Ví dụ: "được gắn nhãn" đang chơi bài hoặc xúc xắc trong đó trọng tâm được dịch chuyển.

Các sự kiện cũng có thể tương thích và không tương thích. Các sự kiện tương thích không loại trừ sự xuất hiện của nhau. Ví dụ:

A = “sinh viên đến nghe giảng.”
B = “sinh viên đến nghe giảng.”

Những sự kiện này độc lập với nhau và sự xuất hiện của một trong số chúng không ảnh hưởng đến sự xuất hiện của sự kiện kia. Các sự kiện không tương thích được xác định bởi thực tế là sự xuất hiện của một sự kiện sẽ loại trừ sự xuất hiện của sự kiện khác. Nếu chúng ta nói về cùng một đồng xu, thì việc mất đi các “mặt sấp” khiến cho việc xuất hiện các “mặt ngửa” trong cùng một thí nghiệm là không thể.

Hành động trên các sự kiện

Các sự kiện có thể được nhân lên và cộng thêm cho phù hợp, bộ môn giới thiệu; kết nối logic"VÀ" và "HOẶC".

Số tiền được xác định bởi thực tế là sự kiện A hoặc B hoặc hai sự kiện có thể xảy ra đồng thời. Trong trường hợp chúng không tương thích, lựa chọn cuối cùng không thể, A hoặc B sẽ được tung ra.

Phép nhân các sự kiện bao gồm sự xuất hiện của A và B cùng một lúc.

Bây giờ chúng ta có thể đưa ra một số ví dụ để ghi nhớ tốt hơn những điều cơ bản, lý thuyết xác suất và công thức. Ví dụ về giải quyết vấn đề dưới đây.

Bài tập 1: Công ty tham gia cuộc thi giành hợp đồng cho ba loại công việc. Các sự kiện có thể xảy ra:

A = “công ty sẽ nhận được hợp đồng đầu tiên.”
A 1 = “công ty sẽ không nhận được hợp đồng đầu tiên.”
B = “công ty sẽ nhận được hợp đồng thứ hai.”
B 1 = “công ty sẽ không nhận được hợp đồng thứ hai”
C = “công ty sẽ nhận được hợp đồng thứ ba.”
C 1 = “công ty sẽ không nhận được hợp đồng thứ ba.”

Bằng cách sử dụng các hành động trên các sự kiện, chúng ta sẽ cố gắng diễn đạt các tình huống sau:

K = “công ty sẽ nhận được tất cả các hợp đồng.”

TRONG dạng toán học phương trình sẽ có lượt xem tiếp theo: K = ABC.

M = “công ty sẽ không nhận được một hợp đồng nào cả.”

M = A 1 B 1 C 1.

Hãy phức tạp hóa nhiệm vụ: H = “công ty sẽ nhận được một hợp đồng.” Vì không biết công ty sẽ nhận được hợp đồng nào (thứ nhất, thứ hai hay thứ ba), nên cần phải ghi lại toàn bộ các sự kiện có thể xảy ra:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Và 1 BC 1 là một chuỗi các sự kiện mà công ty không nhận được hợp đồng thứ nhất và thứ ba mà nhận được hợp đồng thứ hai. Các sự kiện có thể xảy ra khác được ghi lại bằng phương pháp thích hợp. Ký hiệu υ trong môn học biểu thị từ liên kết “HOẶC”. Nếu chúng ta dịch ví dụ trên sang ngôn ngữ con người, thì công ty sẽ nhận được hợp đồng thứ ba, hợp đồng thứ hai hoặc hợp đồng thứ nhất. Theo cách tương tự, bạn có thể viết ra các điều kiện khác trong môn “Lý thuyết xác suất”. Các công thức và ví dụ giải quyết vấn đề được trình bày ở trên sẽ giúp bạn tự làm được điều này.

Trên thực tế, xác suất

Có lẽ, trong môn toán này, xác suất của một sự kiện là khái niệm trung tâm. Có 3 định nghĩa về xác suất:

cổ điển;
thống kê;
hình học.

Mỗi cái đều có vị trí của nó trong việc nghiên cứu xác suất. Lý thuyết xác suất, công thức và ví dụ (lớp 9) chủ yếu sử dụng định nghĩa cổ điển, có dạng như sau:

Xác suất của tình huống A bằng tỷ lệ giữa số kết quả có lợi cho sự xuất hiện của nó và số tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Công thức như sau: P(A)=m/n.

A thực sự là một sự kiện. Nếu xuất hiện trường hợp ngược lại với A thì có thể viết là Ā hoặc A 1.

m là số trường hợp thuận lợi có thể xảy ra.

n - tất cả các sự kiện có thể xảy ra.

Ví dụ: A = “rút một lá bài thuộc bộ trái tim”. Có 36 lá bài trong một bộ bài tiêu chuẩn, trong đó có 9 lá hình trái tim. Theo đó, công thức giải bài toán sẽ như sau:

P(A)=9/36=0,25.

Kết quả là xác suất để rút được một lá bài thuộc bộ trái tim từ bộ bài sẽ là 0,25.

Hướng tới toán học cao hơn

Bây giờ người ta ít biết lý thuyết xác suất là gì, các công thức và ví dụ giải các bài toán gặp trong chương trình giáo dục. Tuy nhiên, lý thuyết xác suất cũng được tìm thấy trong toán cao cấp, được dạy ở các trường đại học. Thông thường họ hoạt động với hình học và định nghĩa thống kê lý thuyết và công thức phức tạp.

Lý thuyết xác suất rất thú vị. Công thức và ví dụ ( toán cao hơn) tốt hơn là nên bắt đầu nghiên cứu nhỏ - với định nghĩa thống kê (hoặc tần số) về xác suất.

Phương pháp thống kê không mâu thuẫn với phương pháp cổ điển nhưng mở rộng nó một chút. Nếu trong trường hợp đầu tiên cần xác định xác suất xảy ra của một sự kiện, thì trong phương pháp này cần phải chỉ ra tần suất nó sẽ xảy ra. Ở đây một khái niệm mới về “tần số tương đối” được giới thiệu, có thể ký hiệu là W n (A). Công thức không khác gì công thức cổ điển:

Nếu như công thức cổ điển tính toán để dự đoán, sau đó thống kê - theo kết quả thí nghiệm. Hãy lấy một nhiệm vụ nhỏ làm ví dụ.

Bộ phận kiểm soát công nghệ kiểm tra chất lượng sản phẩm. Trong số 100 sản phẩm, có 3 sản phẩm kém chất lượng. Làm thế nào để tìm xác suất tần số của một sản phẩm chất lượng?

A = “hình thức bên ngoài của một sản phẩm chất lượng.”

W n (A)=97/100=0,97

Như vậy, tần số của một sản phẩm chất lượng là 0,97. Bạn lấy 97 từ đâu? Trong số 100 sản phẩm được kiểm tra, có 3 sản phẩm kém chất lượng. Chúng ta trừ 3 từ 100 và nhận được 97, đây là số lượng hàng hóa chất lượng.

Một chút về tổ hợp

Một phương pháp khác của lý thuyết xác suất được gọi là tổ hợp. Nguyên tắc cơ bản của nó là nếu có thể thực hiện được một lựa chọn A nhất định. những cách khác, và việc chọn B theo n cách khác nhau, thì việc chọn A và B có thể thực hiện bằng cách nhân.

Ví dụ: có 5 con đường dẫn từ thành phố A đến thành phố B. Có 4 con đường từ thành phố B đến thành phố C. Có bao nhiêu cách bạn có thể đi từ thành phố A đến thành phố C?

Rất đơn giản: 5x4=20, nghĩa là bạn có thể đi từ điểm A đến điểm C bằng 20 cách khác nhau.

Hãy làm phức tạp nhiệm vụ. Có bao nhiêu cách xếp bài trong trò solitaire? Có 36 lá bài trong bộ bài - đây là điểm bắt đầu. Để tìm ra số cách, bạn cần “trừ” từng thẻ một từ điểm bắt đầu và nhân lên.

Nghĩa là, 36x35x34x33x32...x2x1= kết quả không vừa trên màn hình máy tính, vì vậy nó có thể được chỉ định đơn giản là 36!. Dấu hiệu "!" bên cạnh số cho biết toàn bộ chuỗi số được nhân với nhau.

Trong tổ hợp có các khái niệm như hoán vị, vị trí và tổ hợp. Mỗi người trong số họ có công thức riêng của mình.

Tập hợp có thứ tự các phần tử của một tập hợp được gọi là sự sắp xếp. Các vị trí có thể được lặp lại, nghĩa là một phần tử có thể được sử dụng nhiều lần. Và không lặp lại, khi các phần tử không được lặp lại. n là tất cả các phần tử, m là các phần tử tham gia vào vị trí. Công thức sắp xếp không lặp lại sẽ như sau:

Một n m =n!/(n-m)!

Các kết nối của n phần tử chỉ khác nhau về thứ tự vị trí được gọi là hoán vị. Trong toán học có dạng: P n = n!

Sự kết hợp của n phần tử của m là những hợp chất trong đó điều quan trọng là chúng là những phần tử nào và tổng số của chúng là bao nhiêu. Công thức sẽ trông như sau:

Một n m =n!/m!(n-m)!

Công thức Bernoulli

Trong lý thuyết xác suất, cũng như trong mọi ngành học, có những công trình của các nhà nghiên cứu xuất sắc trong lĩnh vực của họ đã đưa nó đến cấp độ mới. Một trong những công trình đó là công thức Bernoulli, cho phép bạn xác định xác suất của một sự kiện nào đó xảy ra khi điều kiện độc lập. Điều này cho thấy rằng sự xuất hiện của A trong một thử nghiệm không phụ thuộc vào việc xảy ra hay không xảy ra của cùng một sự kiện trong các thử nghiệm trước đó hoặc sau đó.

Phương trình Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Xác suất (p) xảy ra sự kiện (A) là không đổi cho mỗi lần thử. Xác suất để tình huống đó xảy ra đúng m lần trong n số lần thí nghiệm sẽ được tính theo công thức đã trình bày ở trên. Theo đó, câu hỏi đặt ra là làm thế nào để tìm ra số q.

Nếu sự kiện A xảy ra p số lần thì nó có thể không xảy ra. Đơn vị là một con số dùng để chỉ tất cả các kết quả của một tình huống trong một môn học. Vì vậy, q là con số biểu thị khả năng xảy ra một sự kiện.

Bây giờ bạn đã biết công thức Bernoulli (lý thuyết xác suất). Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ về giải quyết vấn đề (cấp độ đầu tiên) dưới đây.

Nhiệm vụ 2: Một khách ghé thăm cửa hàng sẽ mua hàng với xác suất 0,2. 6 du khách độc lập bước vào cửa hàng. Khả năng khách truy cập sẽ mua hàng là bao nhiêu?

Giải pháp: Vì không biết có bao nhiêu khách truy cập nên mua hàng, một hoặc cả sáu, nên cần phải tính toán tất cả các xác suất có thể xảy ra bằng cách sử dụng công thức Bernoulli.

A = “khách truy cập sẽ mua hàng.”

Trong trường hợp này: p = 0,2 (như đã chỉ ra trong bài tập). Theo đó, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (vì trong cửa hàng có 6 khách hàng). Số m sẽ thay đổi từ 0 (không một khách hàng nào sẽ mua hàng) đến 6 (tất cả khách đến cửa hàng sẽ mua thứ gì đó). Kết quả là, chúng tôi nhận được giải pháp:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Không ai trong số những người mua sẽ thực hiện mua hàng với xác suất 0,2621.

Công thức Bernoulli (lý thuyết xác suất) được sử dụng như thế nào? Ví dụ về giải quyết vấn đề (cấp độ thứ hai) dưới đây.

Sau ví dụ trên, câu hỏi đặt ra là C và r đã đi đâu. So với p, một số lũy thừa 0 sẽ bằng một. Đối với C, nó có thể được tìm thấy theo công thức:

C n m = n! /m!(n-m)!

Vì trong ví dụ đầu tiên m = 0, tương ứng, C = 1, về nguyên tắc không ảnh hưởng đến kết quả. Sử dụng công thức mới, chúng ta hãy thử tìm hiểu xác suất để hai khách mua hàng là bao nhiêu.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Lý thuyết xác suất không phức tạp lắm. Công thức Bernoulli, ví dụ được trình bày ở trên, là bằng chứng trực tiếp cho điều này.

công thức Poisson

Phương trình Poisson được sử dụng để tính toán các tình huống ngẫu nhiên có xác suất thấp.

Công thức cơ bản:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Trong trường hợp này λ = n x p. Đây là một công thức Poisson đơn giản (lý thuyết xác suất). Chúng tôi sẽ xem xét các ví dụ về giải quyết vấn đề dưới đây.

Nhiệm vụ 3: Nhà máy sản xuất 100.000 bộ phận. Tỷ lệ xuất hiện bộ phận bị lỗi = 0,0001. Xác suất để có 5 sản phẩm bị lỗi trong một lô là bao nhiêu?

Như bạn có thể thấy, hôn nhân là một sự kiện khó xảy ra và do đó công thức Poisson (lý thuyết xác suất) được sử dụng để tính toán. Ví dụ về giải các bài toán loại này không khác gì các bài tập khác trong môn học; chúng ta thay thế dữ liệu cần thiết vào công thức đã cho:

A = “một bộ phận được chọn ngẫu nhiên sẽ bị lỗi.”

p = 0,0001 (theo điều kiện nhiệm vụ).

n = 100000 (số phần).

m = 5 (bộ phận bị lỗi). Chúng tôi thay thế dữ liệu vào công thức và nhận được:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Giống như công thức Bernoulli (lý thuyết xác suất), ví dụ về nghiệm sử dụng được viết ở trên, phương trình Poisson có ẩn số e. Trên thực tế, nó có thể được tìm thấy bằng công thức:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Tuy nhiên, có những bảng đặc biệt chứa hầu hết các giá trị của e.

Định lý De Moivre-Laplace

Nếu trong sơ đồ Bernoulli số lần thử nghiệm đủ lớn và xác suất xảy ra sự kiện A trong tất cả các sơ đồ là như nhau thì xác suất xảy ra sự kiện A ở một số lần nhất định trong một loạt thử nghiệm có thể được tìm thấy bằng cách Công thức Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Để nhớ rõ hơn công thức Laplace (lý thuyết xác suất), các ví dụ về bài toán dưới đây có thể trợ giúp.

Đầu tiên, hãy tìm X m, thay thế dữ liệu (tất cả đều được liệt kê ở trên) vào công thức và nhận được 0,025. Sử dụng bảng, chúng ta tìm thấy số ϕ(0,025), giá trị của số này là 0,3988. Bây giờ bạn có thể thay thế tất cả dữ liệu vào công thức:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Như vậy, xác suất để tờ rơi phát huy tác dụng đúng 267 lần là 0,03.

công thức Bayes

Công thức Bayes (lý thuyết xác suất), các ví dụ về giải quyết vấn đề sẽ được đưa ra dưới đây, là một phương trình mô tả xác suất của một sự kiện dựa trên các trường hợp có thể liên quan đến nó. Công thức cơ bản như sau:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A và B là hai biến cố xác định.

P(A|B) là xác suất có điều kiện, nghĩa là sự kiện A có thể xảy ra với điều kiện sự kiện B là đúng.

P (B|A) - xác suất có điều kiện của sự kiện B.

Vì vậy, phần cuối cùng của khóa học ngắn hạn “Lý thuyết Xác suất” là công thức Bayes, dưới đây là các ví dụ về giải pháp cho các vấn đề.

Nhiệm vụ 5: Điện thoại của ba công ty đã được đưa về kho. Đồng thời, tỷ lệ điện thoại được sản xuất tại nhà máy thứ nhất là 25%, nhà máy thứ hai - 60%, nhà máy thứ ba - 15%. Người ta cũng biết rằng tỷ lệ trung bình của sản phẩm bị lỗi ở nhà máy đầu tiên là 2%, ở nhà máy thứ hai - 4% và ở nhà máy thứ ba - 1%. Bạn cần tìm xác suất để một chiếc điện thoại được chọn ngẫu nhiên sẽ bị lỗi.

A = “điện thoại được chọn ngẫu nhiên.”

B 1 - chiếc điện thoại mà nhà máy đầu tiên sản xuất. Theo đó sẽ xuất hiện phần giới thiệu B 2 và B 3 (dành cho nhà máy thứ 2 và thứ 3).

Kết quả là chúng tôi nhận được:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - do đó chúng tôi đã tìm thấy xác suất của mỗi phương án.

Bây giờ bạn cần tìm xác suất có điều kiện của sự kiện mong muốn, tức là xác suất sản phẩm bị lỗi ở các công ty:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Bây giờ hãy thay thế dữ liệu vào công thức Bayes và nhận được:

P(A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Bài viết trình bày lý thuyết xác suất, các công thức và ví dụ giải quyết vấn đề, nhưng đây chỉ là phần nổi của tảng băng chìm trong một ngành học rộng lớn. Và sau tất cả những gì đã được viết ra, sẽ rất hợp lý khi đặt câu hỏi liệu lý thuyết xác suất có cần thiết trong cuộc sống hay không. Đến người bình thường Thật khó để trả lời, tốt hơn hết bạn nên hỏi người đã từng trúng giải độc đắc nhiều lần.

Xác suất sự kiện là tỷ lệ giữa số kết quả cơ bản thuận lợi cho một sự kiện nhất định với số tất cả các kết quả có thể xảy ra như nhau của trải nghiệm mà sự kiện này có thể xuất hiện. Xác suất xảy ra sự kiện A được ký hiệu là P(A) (ở đây P là chữ cái đầu tiên từ Pháp xác suất - xác suất). Theo định nghĩa
(1.2.1)
số kết quả cơ bản có lợi cho sự kiện A là bao nhiêu; - số lượng tất cả các kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau của thí nghiệm, tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh.
Định nghĩa xác suất này được gọi là cổ điển. Nó phát sinh vào giai đoạn đầu sự phát triển của lý thuyết xác suất

Xác suất của một sự kiện có các tính chất sau:
1. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bằng một. Chúng ta hãy biểu thị một sự kiện đáng tin cậy bằng chữ cái . Do đó, đối với một sự kiện nhất định
(1.2.2)
2. Xác suất xảy ra một sự kiện không thể xảy ra là bằng không. Chúng ta hãy biểu thị một sự kiện không thể xảy ra bằng chữ cái . Do đó, đối với một sự kiện không thể xảy ra
(1.2.3)
3. Xác suất xảy ra sự kiện ngẫu nhiên được thể hiện số dương, ít hơn một. Vì đối với một biến cố ngẫu nhiên, các bất đẳng thức , hoặc , được thỏa mãn, nên
(1.2.4)
4. Xác suất của một biến cố nào đó thỏa mãn bất đẳng thức
(1.2.5)
Điều này suy ra từ quan hệ (1.2.2) - (1.2.4).

Ví dụ 1. Một chiếc bình chứa 10 quả bóng có kích thước và trọng lượng bằng nhau, trong đó có 4 quả màu đỏ và 6 quả màu xanh. Một quả bóng được rút ra từ chiếc bình. Xác suất để quả bóng được rút ra sẽ có màu xanh là bao nhiêu?

Giải pháp. Chúng ta ký hiệu sự kiện “quả bóng rút ra có màu xanh” bằng chữ A. Phép thử này có 10 kết quả cơ bản có khả năng xảy ra như nhau, trong đó có 6 kết quả thiên về sự kiện A. Theo công thức (1.2.1), ta thu được

Ví dụ 2. Tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 30 đều được viết trên những tấm thẻ giống hệt nhau và đặt trong một chiếc bình. Sau khi xáo trộn kỹ các lá bài, một lá bài sẽ được lấy ra khỏi bình. Xác suất để số trên tấm thẻ được lấy là bội số của 5 là bao nhiêu?

Giải pháp. Chúng ta hãy ký hiệu bằng A sự kiện “số trên thẻ lấy được là bội số của 5”. Trong phép thử này có 30 kết quả cơ bản có khả năng xảy ra như nhau, trong đó sự kiện A được ưa chuộng bởi 6 kết quả (các số 5, 10, 15, 20, 25, 30). Kể từ đây,

Ví dụ 3. Hai con xúc xắc được tung ra và tổng số điểm được tính toán. mặt trên. Tìm xác suất của sự kiện B sao cho mặt trên của xúc xắc có tổng số 9 điểm.

Giải pháp. Trong bài kiểm tra này chỉ có 6 2 = 36 kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau. Sự kiện B nghiêng về 4 kết quả: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), do đó

Ví dụ 4. Được chọn ngẫu nhiên số tự nhiên, không vượt quá 10. Xác suất để số này là số nguyên tố là bao nhiêu?

Giải pháp. Chúng ta hãy biểu thị bằng chữ C sự kiện “số được chọn là số nguyên tố”. Trong trường hợp này n = 10, m = 4 ( số nguyên tố 2, 3, 5, 7). Do đó, xác suất yêu cầu

Ví dụ 5. Hai đồng xu đối xứng được tung lên. Xác suất để có các số ở mặt trên của cả hai đồng xu là bao nhiêu?

Giải pháp. Chúng ta hãy biểu thị bằng chữ D sự kiện “có một con số ở mặt trên của mỗi đồng xu”. Trong bài kiểm tra này có 4 kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Ký hiệu (G, C) nghĩa là đồng xu thứ nhất có hình quốc huy, đồng xu thứ hai có số). Sự kiện D được ưa chuộng bởi một kết quả cơ bản (C, C). Vì m = 1, n = 4 nên

Ví dụ 6. Xác suất để một số có hai chữ số được chọn ngẫu nhiên có các chữ số giống nhau là bao nhiêu?

Giải pháp. Số có hai chữ số là các số từ 10 đến 99; Tổng cộng có 90 số như vậy, trong đó có 9 số có chữ số giống nhau (là các số 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Vì trong trường hợp này m = 9, n = 90, nên
,
trong đó A là sự kiện “số có các chữ số giống nhau”.

Ví dụ 7. Từ các chữ cái của từ sự khác biệt Một chữ cái được chọn ngẫu nhiên. Xác suất để chữ cái này sẽ là: a) một nguyên âm, b) một phụ âm, c) một chữ cái h?

Giải pháp. Từ vi phân có 12 chữ cái, trong đó có 5 chữ cái là nguyên âm và 7 chữ cái là phụ âm. Bức thư h không có trong từ này. Chúng ta hãy biểu thị các sự kiện: A - “chữ nguyên âm”, B - “chữ phụ âm”, C - “chữ cái h". Số kết quả cơ bản thuận lợi: - đối với sự kiện A, - đối với sự kiện B, - đối với sự kiện C. Vì n = 12 nên
, Và .

Ví dụ 8. Hai con xúc xắc được tung và số điểm trên đầu mỗi con xúc xắc được ghi lại. Tìm xác suất để cả hai viên xúc xắc đều đổ số tương tựđiểm.

Giải pháp. Hãy ký hiệu sự kiện này bằng chữ A. Sự kiện A được ưa chuộng bởi 6 kết quả cơ bản: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Tổng số các kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh, trong trường hợp này n=6 2 =36. Điều này có nghĩa là xác suất cần thiết

Ví dụ 9. Cuốn sách có 300 trang. Xác suất để một trang được mở ngẫu nhiên sẽ có số seri, bội số của 5?

Giải pháp. Từ các điều kiện của bài toán, suy ra rằng tất cả các kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau tạo thành một nhóm sự kiện hoàn chỉnh sẽ là n = 300. Trong số này, m = 60 thiên về sự xuất hiện của sự kiện cụ thể. Thật vậy, một số là bội số của 5 có dạng 5k, trong đó k là số tự nhiên và , do đó . Kể từ đây,
, trong đó A - sự kiện “trang” có số thứ tự là bội số của 5".

Ví dụ 10. Hai con xúc xắc được tung lên và tính tổng số điểm ở các mặt trên. Điều gì có nhiều khả năng hơn - nhận được tổng số 7 hoặc 8?

Giải pháp. Chúng ta hãy biểu thị các sự kiện: A - “được 7 điểm”, B – “được 8 điểm”. Sự kiện A thuận lợi bởi 6 kết quả cơ bản: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), và sự kiện B thuận lợi bằng 5 kết quả: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Tất cả các kết quả cơ bản có thể xảy ra như nhau là n = 6 2 = 36. Do đó, Và .

Vì vậy, P(A)>P(B), nghĩa là việc nhận được tổng cộng 7 điểm có nhiều khả năng xảy ra hơn là nhận được tổng cộng 8 điểm.

Nhiệm vụ

1. Một số tự nhiên không quá 30 được chọn ngẫu nhiên. Xác suất để số này là bội số của 3 là bao nhiêu?
2. Trong bình Mộtđỏ và b quả bóng màu xanh, có kích thước và trọng lượng giống nhau. Xác suất để một quả bóng được lấy ngẫu nhiên từ chiếc bình này sẽ có màu xanh là bao nhiêu?
3. Một số không quá 30 được chọn ngẫu nhiên. Xác suất để số này chia hết cho 30 là bao nhiêu?
4. Trong bình MỘT màu xanh và b quả bóng màu đỏ, cùng kích thước và trọng lượng. Một quả bóng được lấy từ chiếc bình này và đặt sang một bên. Quả bóng này hóa ra có màu đỏ. Sau đó, một quả bóng khác được rút ra từ chiếc bình. Tìm xác suất để viên bi thứ hai cũng có màu đỏ.
5. Một số quốc gia không quá 50 được chọn ngẫu nhiên. Xác suất để số này là số nguyên tố là bao nhiêu?
6. Tung ba viên xúc xắc và tính tổng số điểm ở các mặt trên. Điều gì có nhiều khả năng hơn - nhận được tổng điểm 9 hoặc 10?
7. Ba con xúc xắc được tung ra và tính tổng số điểm được tung ra. Điều gì có nhiều khả năng hơn - nhận được tổng cộng 11 điểm (sự kiện A) hoặc 12 điểm (sự kiện B)?

Câu trả lời

1. 1/3. 2 . b/(Một+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(Một+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - xác suất đạt được tổng cộng 9 điểm; p 2 = 27/216 - xác suất được tổng cộng 10 điểm; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Câu hỏi

1. Xác suất của một sự kiện được gọi là gì?
2. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy là bao nhiêu?
3. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra là bao nhiêu?
4. Giới hạn xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là gì?
5. Giới hạn xác suất của bất kỳ sự kiện nào là gì?
6. Định nghĩa nào về xác suất được gọi là cổ điển?