Laboratorijska radionica numeričkih metoda. Praktikum numeričkih metoda

Ispod su laboratorijski rad sa rješenjima numeričkim metodama (izvedeno u Matburu). Gotove radne datoteke možete preuzeti sa linkova ispod, kao i dobiti više informacija o rješavanju takvih zadataka iz priručnika i radionica.

Numeričke metode(ili Računarska matematika) - dio primijenjene matematike u kojem se razvijaju, matematički potkrepljuju (konvergencija, stabilnost) i implementiraju (u posebnim programima ili u programskim jezicima visoki nivo) metode približnih rješenja matematički problemi: nema rješenja linearne jednačine, SLAE, obične diferencijalne jednadžbe i sistemi, parcijalne diferencijalne jednadžbe, granični problemi, problemi numeričke interpolacije, aproksimacije, integracije itd.

Gotova laboratorija iz računarske matematike

Kviz iz numeričkih osnova, 3 str
Zadatak 1. Interpolirajte koristeći Newtonov polinom i izračunajte vrijednost ovog polinoma u tački x=0,0014.

Zadatak 2. Precizirajte vrijednost korijena na intervalu u tri iteracije

Zadatak 3. Koristite metode pravougaonika, trapeza i Simpsona za izračunavanje integrala
Padéov aproksimacijski zadatak s rješenjem, 2 stranice
Primijenite Padéovu aproksimaciju na aproksimaciju funkcije $f(x)=x^2*e^(1-x)$ racionalni razlomak.
, 4 str
1. Odredite koja je jednakost tačnija.

2. Zaokružite sumnjive cifre broja, ostavljajući ispravne znakove.

3. Pronađite apsolutnu granicu i relativna greška brojeve ako imaju samo važeće cifre.

4. Izračunajte i odredite grešku rezultata.

5. Odvojite korijene nelinearne jednadžbe analitički

6. Analitički odvojite korijene nelinearne jednadžbe i precizirajte jedan od njih probnom metodom s tačnošću od 0,01
Numeričke metode: laboratorijski riješen 3 zadatka, 11 strana
Zadatak 1. Razmotrite funkciju
Potrošiti matematičko istraživanje graf funkcije f(x). Konstruirajte skicu grafa funkcije.
Izolirajte nule funkcije f(x), odnosno pronađite intervale u kojima f(x) mijenja predznak. U svakom intervalu napravite 4 koraka koristeći metodu pola divizije.
Pronađite približne vrijednosti korijena Newtonovom metodom (tangente). Kao početne aproksimacije, uzmite sredine intervala pronađenih iznad. Napravite 2 koraka.
Svi proračuni moraju biti izvedeni sa tačnošću od najmanje 5 decimalnih mjesta.

Zadatak 2. Razmotrite matrice
Nađi inverzna matrica$P^(-1)$ i izračunaj matrični proizvod $W=P\cdot R \cdot P^(-1)$
Pronađite $\det W$ koristeći Gaussovu metodu.
Riješite sistem linearnih algebarskih jednadžbi Gaussovom metodom sa odabirom glavnih elemenata po stupcima $Wx=b$

Zadatak 3. Zadata je tabela eksperimentalnih podataka
Uz pretpostavku da je zavisnost linearna, tj. $y=ax+b$, pronađite $a$ i $b$ koristeći metodu najmanjih kvadrata.
Na istom listu milimetarskog papira ucrtajte tačke tabele i nacrtajte rezultujuću ravnu liniju.
Svi proračuni se vrše sa tačnošću od 5 decimala.
Rješavanje Cauchyjevog problema numeričkim metodama, 5 str
Riješite problem koristeći Ojlerovu metodu, Adamsovu metodu, Runge-Kutta metodu.
Test numeričkih metoda sa rješenjem, 6 zadataka, 9 stranica
Zadatak 1. Nađite korijen jednadžbe na segmentu koristeći Newtonov metod sa tačnošću od 0,01.

Zadatak 2. Koristeći metodu akorda za pronalaženje negativni korijen jednadžbe sa tačnošću od 0,0001. Potrebna je preliminarna konstrukcija grafa funkcije i odvajanje korijena.

Zadatak 3. Odredite vrijednosti korijena sistema jednadžbi pomoću Seidelove metode

Zadatak 4. Metodom pravougaonika izračunajte integral sa korakom od 0,02:

Zadatak 5. Koristite Euler-Cauchyjevu metodu da pronađete rješenje diferencijalna jednadžba na intervalu x = , početni uslovi y(x=0) = 0. Korak integracije h = 0,02.

Zadatak 6. Zadana tablica vrijednosti funkcije. Koristeći Newtonov interpolacijski polinom, izračunajte vrijednost funkcije na x = 0,077.
Test računarske matematike u MathCad + xmcd proračunskoj datoteci
Zadatak 1. Koristeći ugrađene funkcije MathCad-a, izvršite jednostavne proračune.

Zadatak 2. Koristite ugrađene MathCad funkcije za rješavanje jednačine. Koristite metodu odvajanja korena, dobijete grafičku interpretaciju, koristite ugrađene funkcije Mathcada, dobijete rešenje metodom poludeljenja i Newtonovom metodom.

Zadatak 3. Pomoću ugrađenih funkcija MathCad-a riješite sisteme linearnih jednačina, a zatim provjerite numeričkom metodom. Gaussova metoda.

Zadatak 4. Koristeći ugrađene MathCad funkcije, riješite sistem nelinearnih jednačina, a zatim ga numerički provjerite. Newtonova metoda.

Zadatak 5. Riješiti problem numeričke diferencijacije funkcije.

Zadatak 6. Uporedi rezultate numeričke integracije. Metoda pravougaonika sa metodom trapeza

Zadatak 7. Numerički riješiti običnu diferencijalnu jednačinu: Eulerova metoda

Zadatak 8. Riješite zadatak nalaženja interpolacionog polinoma za funkciju datu u tabeli. Pronađite vrijednost funkcije u dati poen: 2. i 6. stepen

transkript

1 savezna agencija po obrazovanju Nacionalnog istraživanja Ruske Federacije nuklearni univerzitet"MEPhI" V.I. Raschikov NUMERIČKE METODE. RAČUNARSKA RADIONICA Moskva 009

2 UDK 519.(075) BBK.193ya7 A R8 Raščikov V.I. Numeričke metode. Računarska radionica: Nastavno sredstvo. M.: NRNU MEPhI, str. Ovaj priručnik predstavlja glavne numeričke metode za rješavanje fizički zadaci: aproksimacija i interpolacija funkcija, numerička integracija i diferencijacija, rješavanje nelinearnih jednačina i sistema, problemi linearne algebre, obične diferencijalne jednadžbe i parcijalne diferencijalne jednadžbe, metode optimizacije. Odabran je veliki broj za ilustraciju svake metode. tipični zadaci, koji se najčešće susreću u inženjerskim i fizičkim proračunima. Dati blok dijagrami programa i praktični saveti njihovim pisanjem omogućavaju vam da detaljno shvatite algoritam za rješavanje problema i olakšate proces programiranja. Priručnik je namijenjen studentima dnevnih i večernjih fakulteta MEPhI, a može biti od koristi i studentima drugih univerziteta fizičkog profila. Odobren od strane redakcije NRNU MEPhI kao nastavno sredstvo. Recenzent tech. nauka, vanr. V.M. Barbašov ISBN Nacionalni istraživački nuklearni univerzitet MEPhI, 009

3 SADRŽAJ Predgovor... 4 Zadatak 1. Analiza sekvence podataka... 7 Zadatak. Rješavanje nelinearnih jednačina Zadatak 3. Interpolacija... 1 Zadatak 4. Aproksimacija... 7 Zadatak 5. Numerička diferencijacija Zadatak 6. Numerička integracija Zadatak 7. Proračun višestrukih integrala Monte Carlo metodom Zadatak 8. Rješavanje sistema linearnih algebarske jednadžbe Zadatak 9. parcijalni problem sopstvene vrijednosti Zadatak 10. Pronalaženje minimuma funkcije jedne varijable Zadatak 11. Pronalaženje minimuma funkcije od dva varijable Zadatak 1. Numeričko rješenje Cauchyjevog problema za obične diferencijalne jednadžbe Zadatak 13. Numeričko rješenje linearnog graničnog problema za običnu diferencijalnu jednačinu drugog reda Zadatak 14. Numeričko rješenje linearne transportne jednačine Zadatak 15. Numeričko rješenje jedno- dimenzionalna jednačina toplote Zadatak 16. Numeričko rešenje jednačine toplote u pravougaoniku Zadatak 17. Numeričko rešenje jednodimenzionalnog talasna jednačina Zadatak 18. Numeričko rješenje Poissonove jednadžbe u pravokutniku Bibliografija

4 PREDGOVOR Ovo nastavno pomagalo sastavljeno na osnovu višegodišnjeg iskustva autora u izvođenju praktične nastave i predavanja na predmetu „Numeričke metode“ na dnevnim i večernjim fakultetima MEPhI. Računarska radionica je jedan od glavnih faktora za praktično savladavanje numeričkih metoda za rješavanje fizičkih zadataka, zbog čega se i dodjeljuje večina vreme predviđeno za kurs. Priručnik se sastoji od 18 zadataka koji pokrivaju gotovo sve glavne dijelove predmeta: interpolacija i aproksimacija funkcija, numerička integracija i diferencijacija, rješavanje nelinearnih jednadžbi i sistema, problemi linearne algebre, obične diferencijalne jednadžbe i jednadžbe u parcijalnim izvodima, numeričke metode za pronalaženje minimuma funkcija jedne i više varijabli. Svaki zadatak daje ono što je potrebno za razumijevanje metode teorijske informacije, opcije zadataka za samoispunjenje i praktične preporuke za programiranje, podržane dijagramima toka računskih algoritama. Na kraju svakog zadatka nalazi se lista kontrolnih pitanja koja vam omogućavaju da provjerite stepen asimilacije proučavanog materijala. Dijagrami toka su potrebni za više vizuelna prezentacija algoritam problema, što znatno olakšava razumijevanje načina rješavanja i pisanja samog programa. Prilikom izvođenja shema korišten je GOST, koji regulira pravila za izradu shema i izgled njihovih elemenata. Glavni elementi koji će se koristiti u budućnosti u priručniku su: - terminator; element prikazuje unos iz spoljašnje okruženje ili izađite iz njega (najčešća upotreba je početak i kraj programa). Odgovarajuća radnja je zapisana unutar figure; četiri

5 - proces; izvođenje jedne ili više operacija, obrada podataka bilo koje vrste (promjena vrijednosti podataka, oblika prezentacije, lokacije). Unutar slike, same operacije su direktno napisane; - rješenje; prikazuje odluku ili funkciju tipa prekidača s jednim ulazom i dva ili više alternativnih izlaza, od kojih se samo jedan može odabrati nakon procjene uvjeta definiranih unutar ovog elementa. Ulaz u element je označen linijom koja obično ulazi u gornji vrh elementa. Ako postoje dva ili tri izlaza, tada je obično svaki izlaz označen linijom koja izlazi iz preostalih vrhova (bočni i donji). Koristi se za ilustraciju uslovnih iskaza f (dva izlaza: tačno, netačno) i case (više izlaza); - unapred definisani proces; simbol prikazuje izvršenje procesa koji se sastoji od jedne ili više operacija, a koji je definiran na drugom mjestu u programu (u potprogramu, modulu). Unutar simbola ispisuje se naziv procesa i podaci koji se na njega prenose. Koristi se za označavanje poziva procedure ili funkcije; - podaci (ulaz-izlaz); pretvaranje podataka u formu pogodnu za obradu (ulaz) ili prikaz rezultata obrade (izlaz). Ovaj simbol ne definira medij podataka (specifični simboli se koriste za označavanje tipa medija podataka); - granica ciklusa; simbol se sastoji od dva dijela, odnosno početka i kraja ciklusa, između njih su smještene operacije koje se izvode unutar ciklusa. Uslovi i inkrementi petlje su upisani unutar simbola za početak ili kraj petlje, ovisno o vrsti organizacije petlje. Često se za sliku na blok dijagramu ciklusa, umjesto ovog simbola, koristi simbol odluke, koji označava 5 u njemu

6 stanje, a jedna od izlaznih linija je zatvorena više u blok dijagramu (prije operacija petlje); - konektor; simbol predstavlja izlaz u dio kruga i ulaz iz drugog dijela tog kruga. Koristi se za prekid linije i nastavak negdje drugdje (primjer: razdvajanje dijagrama toka koji ne stane na list); -komentar; korišten za više Detaljan opis korak, proces ili grupa procesa. Opis se nalazi sa strane uglata zagrada i pokrivena svuda. tačkasta linija ide na opisani element ili grupu elemenata (u ovom slučaju grupa je istaknuta zatvorenom isprekidanom linijom). Također, simbol komentara se koristi u slučajevima kada količina teksta u bilo kojem drugom simbolu (na primjer, simbol procesa, simbol podataka, itd.) premašuje njegovu zapreminu. Redoslijed radnji postavljen je povezivanjem vrhova, što nam omogućava da dijagrame toka razmotrimo ne samo kao vizualnu interpretaciju algoritma, pogodnu za ljudsku percepciju, već i kao usmjereni graf. Prilikom pisanja ovog priručnika uglavnom je korišten materijal iz [-4]. Za potpunije proučavanje numeričkih metoda u bibliografska lista dati su potrebni tutorijali. 6

7 Zadatak 1 ANALIZA REDOVNOG PODATAKA Svrha rada je izgradnja račva i cikličnih struktura u programima, razvoj programa za analizu tokova podataka. FORMULACIJA PROBLEMA U ovom radu analiziramo sekvencu koja simulira tok eksperimentalnih podataka. Neka je f(x) eksperimentalna zavisnost uzeta na segmentu sa fiksnim korakom b a h, N 1 gdje je N broj tačaka u eksperimentalna zavisnost. Vrijednosti apscisa ovih tačaka određene su formulom x = a + h, = 0, 1, n. Potrebno je izračunati: 1) maksimalna vrijednost funkcije fmax max f i broj čvora max, u kojem se ova vrijednost postiže;) minimalna vrijednost funkcije fmn mn f ; 3) prosječna vrijednost f, srednji kvadrat f i RMS vrijednost f t funkcije: n n 1 1 f f, f f, fm f ; n 1 0 n 1 0 negativne vrijednosti f (= 0, 1,..., n); 7

8 5) standardna devijacija od srednje vrijednosti 1 n 1 n (f f). 0 OPCIJE FUNKCIJE f(h) k m 1) f (x) cos (x /) x ; k m) f (x) sn (x /) (1 x) ; k m 3) f (x) sh x cos (x) ; k m 4) f (x) 1 x tg (x / 4) ; k m 5) f (x) (1 x) tg (x / 4) ; 6) 1/ k m f (x) (1 x) tg (x / 4) ; 7) () x m f x e sn(x /) ; x k m 8) f (x) e x sn(x /) ; m 9) (1 x) x ; 10) (1) 1/ m 1/ x x ; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (x /) x ; k m 13) f (x) (1 x) sh x ; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) arcsn x (1 x) ; m l 18) f (x) k cos(π x) x (1 x) ; m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x) ; m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ch x. U funkcijama parametri l, k, t uzimaju vrijednosti od 1 do 4, 0 x 1, preporučene vrijednosti n su od 50 do

9 PROGRAMIRANJE Gotovo sve moderne implementacije univerzalni jezici programiranja, kao što su Fortran, C, Pascal, postoje isti strukturni elementi pomoću kojih su programi izgrađeni. Glavne strukture koje se proučavaju u ovom programu su viljuška i petlja. Vilica se može predstaviti u blok dijagramu kao što je prikazano na sl.

10 Ovdje je P (rješenje) nešto boolean uslov, koji može uzeti vrijednost "true" (Yes, True) ili "false" (No, False). Ovisno o tome, izvršit će se ili blok naredbi A ili blok naredbi B. Može se implementirati ili korištenjem viljuške ili pomoću posebnih operatora petlje sa preduvjetom (uslov za izvršavanje naredbi tijela petlje provjerava se pri ulasku u petlju), s postuslovom (izrazi uvjeta izvršenja tijela petlje se provjeravaju pri izlasku iz petlje), sa brojačem (varijabla koja se zove brojač petlje mijenja se u inkrementima dok ne dostigne fiksnu vrijednost). Na blok dijagramu ciklus je predstavljen ili viljuškom (slika 1.), ili simbolom koji se sastoji od dva dijela, koji prikazuje početak i kraj ciklusa (slika 1.3). Oba dijela simbola imaju isti identifikator. Uslovi za inicijalizaciju, povećanje, završetak, itd. se nalaze unutar simbola na početku ili na kraju, ovisno o lokaciji operacije koja provjerava stanje. Fig Blok dijagram vilice („odluka“, „izbor“) Fig. 1.. Šema ciklusa sa viljuškom U primjeru na sl. 1. jednostavna varijabla cjelobrojnog tipa koja se zove varijabla petlje; t 1 početna vrijednost varijabla petlje, m 3 je korak promjene, a m definira konačnu vrijednost, F je tijelo petlje. deset

Slika 11 Šema ciklusa sa posebnim simbolom U našem zadatku, vrijednosti funkcije u izračunate na x čvorovima treba staviti u jednodimenzionalni niz, prethodno opisati njegov tip i dimenziju. Blok dijagram programa je prikazan na sl. U blok se unose početni podaci, ciklus za izračunavanje glavnih veličina, sa izuzetkom standardna devijacija od prosjeka, čije je izračunavanje izdvojeno u poseban ciklus, budući da se zasniva na rezultatima prethodnih operacija. U bloku 9 rezultati se dovode u traženi oblik, au bloku 10 izlaze. 1 Početak 6 sa =1,N Početni podaci 11 7 (f f)

12 Za provjeru ispravnosti programa preporučuje se prvo proučiti test funkciju u(x) x(1 x) 1/ 8, N 101, za koju treba dobiti sljedeće rezultate: 1

13 umax 0,15, max 51, umn 0,15, mn 1; u u um p 0,970, p , ζ , Preporučljivo je izvršiti proračune za nekoliko vrijednosti n i analizirati kako se rezultati mijenjaju. SADRŽAJ IZVJEŠTAJA Izvještaj treba da sadrži: formule, parametre i grafikon funkcije u(x) za određenu varijantu; tekst programa; rezultati proračuna. KONTROLNA PITANJA 1. Kako se opisuju nizovi?. Kako se piše i izvršava naredba petlje? 3. Koja su ograničenja za operator petlje? 4. Kako se pišu i izvode ulazni i izlazni iskazi? 13

14 Zadatak RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA Svrha rada: proučavanje uslovno i bezuslovno konvergentnih iterativnih metoda za rješavanje nelinearnih jednačina. POSTAVKA ZADATAKA Jedan od najčešćih problema s kojima se fizičar suočava je rješenje jednačina oblika f(x) = 0. (.1) Rješenja se traže metodama uzastopne aproksimacije ili iterativne metode. Početna aproksimacija se može naći iz fizičkih razmatranja, iz iskustva rješavanja sličnih problema, korištenjem grafičke metode itd. Potraga za korijenom jednadžbe se matematički provodi pomoću konstrukcije Cauchyjevog niza (x), kada za dato postoji takvo N da za sve n i p koje prelaze N, x n x p<, причем корень находится внутри этого отрезка неопределѐнности. Метод половинного деления (дихотомия) Пусть известно, что на отрезке находится искомое значение корня уравнения (.1), т. е. x (рис..1). В качестве начального приближения возьмем a b середину отрезка x 0. Теперь исследуем значения функции f(x) на концах образовавшихся отрезков и . Выберем из них тот, на концах которого функция принимает Рис..1. Иллюстрация метода дихотомии значения разного знака, так как 14

15 sadrži željeni korijen. Druga polovina segmenta se može zanemariti. Zatim novi segment podijelimo na pola i opet dolazimo do dva segmenta, na krajevima jednog od kojih funkcija mijenja predznak, odnosno sadrži korijen. Dakle, nakon svake iteracije, originalni segment se prepolovi, odnosno nakon n iteracija smanjit će se za n puta. Proces iteracije će se nastaviti sve dok vrijednost modula funkcije ne bude manja od navedene tačnosti, tj. f(x n)<, или длина исследуемого отрезка станет меньше удвоенной допустимой: x n+1 x n <. Тогда в качестве приближенного значения корня можно принять середину последнего отрезка 0,5(x n + x n+1). Как видно из сказанного, метод довольно медленный, однако он безусловно сходящийся, т. е. всегда сходится к корню. Метод касательных Метод касательных (метод Ньютона) можно отнести к методам, в основе которых лежит замена исследуемой функции f(x) более простой функцией, в данном случае касательной. Геометрически в начальной точке x 0 проводится касательная к кривой f(x) и находится точка ее пересечения с осью абсцисс (рис..). Рис... Иллюстрация метода касательных Уравнение касательной к кривой f(x) в точке M 0 (x 0, f(x 0)) имеет вид y f(x 0) = f (x 0)(x x 0), 15

16, a sljedeća aproksimacija x 1, koja je tačka presjeka tangente sa x-osom, data je formulom f(x0) x1 x0. f (x0) Slično, mogu se naći aproksimacije f(xn) xn 1 x, n f (xn) konstruisanjem tangenta sekvencijalno iz tačaka M 1,..,M n-1, ne zaboravljajući da je f (x n) 0. Metoda tangente je uslovno konvergentna metoda, odnosno za njenu konvergenciju * lm x x mora biti zadovoljen sljedeći uslov u području pretraživanja korijena " " ff (f), x * je željena vrijednost korijena. Za proizvoljnu nultu aproksimaciju, iteracije će konvergirati ako je gore dobiveni uvjet svuda zadovoljen. U suprotnom, konvergencija će biti samo u nekom susjedstvu korijena. Sljedeći kriteriji se mogu koristiti za završetak iterativnog procesa. 1. Maksimalan broj iteracija. Ovaj kriterij je neophodan ako se metode ne konvergiraju. Međutim, teško je unaprijed odrediti koliko će iteracija biti potrebno da bi se postigla zadovoljavajuća tačnost Slaba varijacija aproksimacije korijenu: x n+1 x n< или x n+1 x n < x n. (.) 3. Достаточно малое значение функции f(x n) <. Метод Ньютона обладает сходимостью второго порядка. Это означает, что вблизи корня погрешность уменьшается по закону ε const ε 1. Поэтому итерации по методу Ньютона сходятся очень быстро, так что для достижения условия (.) достаточно нескольких итераций. 16

17 Neispunjenje uslova (.) na > 10 obično ukazuje na nedostatak konvergencije, grešku u formulama ili u programu. Metoda sekante Izračunavanje derivacije funkcije f (x), koje je neophodno u Newtonovoj metodi, nije uvijek zgodno niti moguće. Zamjena derivacije prve podijeljene razlike, koja se nalazi u posljednje dvije iteracije (tj. zamjena tangente sekantom) vodi nas do metode sekansa. Sa stanovišta analitičkih metoda, prava linija koja prolazi kroz posljednje dvije tačke x n i x n 1 uzima se kao aproksimirajuća, odnosno umjesto derivacije u metodi tangente potrebno je zamijeniti "f (xn) f (xn 1) f, xn xn 1 onda dolazimo do formule metode sekante: xn xn 1 xn 1 xn f (xn).f (x) f (x) n Slika 3. Ilustracija metode sekante 17 n 1 (ubrzavajuće) tačke x 0 i x 1. Grafički, metoda je ilustrovana na sl. 3. Prvo, kroz odabrane tačke (x 0, f (x 0)), (x 1, f (x 1) ) crtamo pravu liniju dok se ne siječe sa x-osom i odredimo x, a okomita linija na x daje f(x) Zatim se linija povlači kroz tačke (x 1, f(x 1)) i (x , f(x)) i tako dalje, sve do jednog od tri uslova za završetak iterativnog procesa (.). Obično, metoda sekante zahtijeva više iteracija od metode tangente, ali svaka iteracija je mnogo brža, jer nije potrebna izračunati f "(x), i stoga često m isti obim obračuna

18 iteracija, možete napraviti više iteracija i postići veću preciznost. OPCIJE ZADODJELJIVANJA Koristeći metodu bezuslovno konvergentne dihotomije i jednu od uslovno konvergentnih metoda (tangenta ili sekansa), pronađite na segmentu 0 x 1 korijen jedne od funkcija ispod. U funkcijama parametri l, k, t poprimaju vrijednosti od 1 do 4. Preporučuje se istražiti istu funkciju kao u zadatku 1. k m 1) f (x) cos (π x /) x ; k m) f (x) sn (π x /) (1 x) ; k m 3) f (x) sh x cos (π x); k m 4) f (x) 1 x tg (π x / 4) ; k m 5) f (x) (1 x) tg (π x / 4) ; 6) 1/ k m f (x) (1 x) tg (π x / 4) ; 7) () x m f x e sn(π x /) ; x k m 8) f (x) e x sn(π x /) ; m 9) (1 x) x ; 10) (1) 1/ m 1/ x x ; k m l 11) f (x) (1 x) ch x x ; k m l 1) f (x) (1 x) cos (π x /) x ; k m 13) f (x) (1 x) sh x ; 14) 15) 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; 1/ k m f (x) (1 x) sh x ; k m l 16) f (x) (1 x) ch x x ; m k 17) f (x) arcsn x (1 x) ; m l 18) f (x) k cos(π x) x (1 x) ; m k 19) f (x) ln (1 x) (1 x) ; m k l 0) f (x) ln (1 x) (1 x) ch x. osamnaest

19 PROGRAMIRANJE Prilikom kompajliranja programa, preporučljivo je postaviti maksimalni dozvoljeni broj iteracija max, prekidajući iterativni proces ako je = max. Time se sprečava takozvano "petljanje" programa, koje se ponekad dešava zbog grešaka u formulama ili programu, kao i neuspešnog izbora početne iteracije. U ovom zadatku je dovoljno postaviti max = 30, jer se u nedostatku grešaka konvergencija postiže mnogo ranije. Vrijednost ε se preporučuje da se izabere u rasponu.Kao početnu iteraciju, možete uzeti x 0 = 0,. Ako se iteracije ne konvergiraju, ova vrijednost se može smanjiti ili povećati, ostajući u rasponu od 0< х 0 < 1. Блок-схемы программ решения нелинейных уравнений методом дихотомии и секущих приведены на рис..4 и.5. Они составлены так, чтобы на каждой итерации вычислялось лишь одно новое значение f (х). Это обеспечивает максимальную скорость решения, так как основное время решения занимает вычисление значений функции f (х). В качестве «разгонных» значений в методе секущих можно принять х 0 = 0,; х 1 = х 0 + (10 100)ε. a,b,ε,n max f(x) f(x) fa=f(a), n=0 c=(a+b)/ fc=f(c), n=n+1 a-b ε n0 b=c Sl..4. Blok dijagram programa za rješavanje nelinearne jednadžbe metodom dihotomije 19

20 1 Početak Početni podaci 3 =1, x -1 =x 0 x =x 1 f -1 =f(x -1) f(x) Ne x x 1 x 1 x f 4 > f f 1 max 5 x x f f (x) 1 da da<ε 6 Нет 8 9 График f Результаты Конец x 1 1 f x x x f Рис..5. Блок-схема программы решения нелинейного уравнения методом секущих 0

21 SADRŽAJ IZVJEŠTAJA Izvještaj treba da sadrži: formulu funkcije f(x) za određenu varijantu; zadata vrijednost ε i početne vrijednosti x 0 ; tekst programa; pronađene približne vrijednosti korijena i broj iteracija za obje metode; graf funkcije f(x) konstruisan u prethodnom zadatku. KONTROLNA PITANJA 1. Kako se konstruiše rješenje nelinearnih jednačina metodom tangente, koje su njegove karakteristike? Dobiti uvjet konvergencije za tangentnu metodu. 3. Dobiti procjenu brzine (reda) konvergencije tangentne metode. 4. Kako se konstruiše rješenje nelinearnih jednačina metodom sekante, koje su njegove karakteristike? 5. Koje druge metode postoje za rješavanje nelinearnih jednačina? 6. Kako se konstruiše rješenje nelinearnih jednačina metodom dihotomije, koje su njegove karakteristike? 7. Uporedite metode za rješavanje nelinearnih jednačina u smislu brzine konvergencije koristeći rezultate koje ste dobili kao primjer. jedan

22 Zadatak 3 INTERPOLACIJA Svrha rada je proučavanje metoda interpolacije, konstrukcija Njutnovog interpolacionog polinoma. FORMULACIJA PROBLEMA Numerička simulacija većine fizičkih problema povezana je, po pravilu, sa potrebom da se uzmu u obzir faktori koji se ne mogu analitički opisati. Postoji samo određeni broj eksperimentalnih zavisnosti dobijenih na fiksnom broju tačaka u opsegu varijabli koje nas zanimaju. Dakle, prilikom rješavanja široko rasprostranjenog problema o dinamici makro- i mikro objekata u vanjskim gravitacijskim ili elektromagnetnim poljima, informacije o polju često je nemoguće dobiti u obliku analitičkih funkcija bez uvođenja dodatnih pojednostavljujućih pretpostavki koje mogu značajno utjecati na rezultat. . U ovom slučaju potrebno je pribjeći eksperimentalnim karakteristikama, a eksperiment se može izvesti samo konačan broj puta. Tako dolazimo do fizičkog problema u kojem je dat broj funkcija na konačnom broju točaka x fiksnog raspona argumenta x. Numerička metoda, međutim, može zahtijevati poznavanje ovih funkcija za sve vrijednosti argumenata u ovoj regiji. U ovom slučaju nastaje problem vraćanja funkcije y(x) za sve vrijednosti x ako su njene vrijednosti poznate u nekom fiksnom broju tačaka x ovog segmenta. Najjednostavniji i najčešći način rješavanja ovog problema je interpolacija između susjednih vrijednosti, koja se svodi na konstruiranje funkcije (x) koja se poklapa sa funkcijom y(x) u tačkama x, tj. (x) = y(x) = y, = 0, 1, n, gdje je n + 1 broj tačaka specificiranih na segmentu, a x su interpolacijski čvorovi.

23 Prilikom odabira interpolirajuće funkcije (x) potrebno je ograničiti pretragu na funkcije koje se lako i brzo izračunavaju na računaru, jer se po pravilu moraju računati više puta. Postoji mnogo interpolacionih polinoma i načina da se oni konstruišu, pogodni za različite lokacije čvorova. Prilikom konstruiranja interpolacijskih polinoma, obično se pretpostavlja da je skup korištenih čvorova poznat. Međutim, često je poznata samo potrebna tačnost, a broj čvorova nije fiksiran. Newtonov interpolacijski polinom, koji je predmet ovog rada, odlikuje se činjenicom da se broj korištenih čvorova može lako povećati ili smanjiti bez ponavljanja cijelog ciklusa proračuna, čime se mijenja točnost interpolacije. Interpolacija se izvodi na tablici sa ekvidistantnim čvorovima, iako je Newtonov interpolacijski polinom primjenjiv za bilo koji raspored čvorova. Zadatak uključuje sljedeće korake. 1. Izračunajte tablicu vrijednosti y y(x) datu funkciju y(x) na ekvidistantnim čvorovima x h (0,1,..., n), h 1/ n, segment .. Napravite tabelu prvih razlika funkcije y 1 y y 1 y y(x 1, x) (0 ,1,..., n 1). x x h 1 3. Napravite tabelu drugih podijeljenih razlika y(x, x 1) y(x 1, x) y y 1 y y(x, x 1, x) x x h (0,1,..., n) Prema na ove tabele, koristeći Njutnov interpolacioni polinom drugog reda P(x) y (x x) y(x, x) (x x)(x x) y(x, x, x) y 1 y y y 1 y y (x x) (x x )(x x 1), h h

24 izračunajte vrijednosti P(x) u tačkama (čvorovima) sa polucijelim indeksima x 1/ (1/) h (0,1,..., n). 5. Pronađite interpolacionu grešku na ovim čvorovima ε y(x) P(x) (0,1,..., n), 1/ 1/ 1/ maksimalnu grešku ε max, srednju kvadratnu grešku i srednju kvadratnu grešku ε m: n 1 εmax max ε 1/, ε ε 1/, εm ε. n 1 6. Istražiti kako se greške ε max i ε m mijenjaju sa n. 0 OPCIJE FUNKCIJA y(x) (a, b 1 5; k, m 1 4; n 0 100) k m k m 1) y(x) sn (π x);) y(x) cos (π x); 3) y(x) k 1/ m sn (π x); 4) y(x) k 1/ m cos (π x); 5) y(x) k m tg (π x / 4); 6) y(x) k 1/ m tg (π x / 4); 7) y(x) 4 ax 3 bx ; 8) y(x) (a m k bx) ; 9) y(x) (a m 1/ k bx) ; 10) y(x) (a 1/ m k bx) ; 11) y(x) (a 1/ m 1/ k bx) ; 1) y(x) k x /(a m bx); 13) y(x) k x /(a m bx) ; 14) y(x) 1/ k x /(a m bx) ; 15) y(x) k x /(a 1/ m bx) ; 16) y(x) 1/ k x /(a 1/ m bx) ; 17) y(x) (a k x) / (b 4 m x) ; 18) y(x) (a 1/ k x) / (b 4 m x) ; 19) y(x) (a k x) / (b 4 1/ m x) ; 0) y(x) (a 1/ k x) / (b 4 1/ m x) ; 1) y(x) k x / (a m bx);) y(x) 1/ k x / (a m bx); 3) y(x) k x / (a 1/ m bx); 4) y(x) 1/ k x / (a 1/ m bx); k m 1/ k m 5) yx () ln (1 x); 6) y(x)ln(1x); četiri

25 k 1/ m 1/ k 1/ m 7) y(x) ln (1 x); 8) y(x)ln(1x); k x 1/ k x 9) y(x) x e ; 30) y(x) x e; 1/ m 1/ m k x 1/ k x 31) y(x) x e ; 3) y(x) x e ; 8(x 0,5) k 8(x 0,5) 33) y(x) e ; 34) y(x) x e ; 1/ k 8(x 0,5) m 1/ k 35) y(x) x e ; 36) y(x) (a bx) ; 1/ m 1/ k m k 37) y(x) (a bx) ; 38) y(x) (a bx) ; m 1/ k 1/ m 1/ k 39) y(x) (a bx) ; 40) y(x) (a bx) ; k m k m 41) y(x) arcsn; 4) y(x) arccos; k 1/ m k m 43) y(x) arcsn; 44) y(x) arccos; m 1/ m 45) y(x) arctg(a bx); 46) y(x) arctg(a bx); 47) y(x) sh(a m bx) ; 48) y(x) sh(a 1/ m bx) ; 47) y(x) ch(a m bx) ; 50) y(x) ch(a 1/ m bx). PROGRAMIRANJE Blok dijagram programa je prikazan na slici Program se zasniva na tri uzastopna ciklusa blokova, 6-7-8. Za pohranjivanje vrijednosti funkcije izračunate u ovim ciklusima, prve i druge razlike, kao i greške, odgovarajuće nizove treba opisati. Za provjeru ispravnosti programa preporučljivo je prvo izvršiti proračune za testnu funkciju y(x) x, za koju ε max i ε m moraju nestati. 5

26 1 Početak 9 sa =1,n- Početni podaci 3 sa =1,n 10 y(x, x, x), 1 Px (), 1/ 1/, max 1/ 4 y 11 sa 5 sa 1, m 6 po =1,n-1 13 Grafovi Rezultati 7 y(x +1, x) 14 Kraj 8 prema Sl.3.1. Blok dijagram interpolacionog programa 6

27 SADRŽAJ IZVJEŠTAJA Izvještaj treba da sadrži: formulu i grafikon funkcije y(x) za određenu varijantu; tekst programa; tabela grešaka ε 1/ (0,1,..., n); vrijednosti ε max i ε t KONTROLNA PITANJA 1. Kako je formuliran problem interpolacije? Koje interpolacijske polinome poznajete? 3. Kako se određuju podijeljene razlike različitih redoslijeda? 4. Kako je konstruiran Newtonov interpolacijski polinom? 5. Koja je greška (rezidualni član) interpolacionog polinoma? 6. Kako se praktično može procijeniti interpolaciona greška? 7

28 Zadatak 4 APOKSIMACIJA Svrha rada: proučavanje aproksimacije funkcija na primjeru metode najmanjih kvadrata. FORMULACIJA PROBLEMA Prilikom zamjene funkcije interpolacijskim polinomom, neophodan uvjet je prolazak interpolacijskog polinoma kroz vrijednosti funkcije u čvorovima interpolacije. U slučaju korištenja eksperimentalnih ovisnosti, vrijednosti funkcije u čvorovima dobivaju se s određenom greškom (često prilično velikom), pa je neprikladno pribjeći interpolaciji, prisiljavajući interpolacijski polinom da ponavlja ove greške. U ovom slučaju, bolje je koristiti aproksimaciju, odnosno odabir funkcije koja prolazi usko iz datih tačaka, nakon što su prethodno određeni kriteriji za "blizinu". Ovisno o odabranoj metodi aproksimacije, možete dobiti vrlo različite rezultate jedni od drugih: kriva može proći tačno kroz sve date tačke i istovremeno se uvelike razlikovati od izglađene aproksimirajuće funkcije. = c 0 + c 1 x + c x + + c m x m, čiji su koeficijenti c odabrani tako da minimiziraju odstupanje polinoma od date funkcije. osam

29 Koristimo aproksimaciju srednjeg kvadrata funkcije y(x) polinomom (x) na skupu (x, y), (= 0, 1, n), u kojem je mjera odstupanja vrijednost S , što je jednako zbroju kvadrata razlika između vrijednosti polinoma i funkcije u ovim tačkama: n n 0 1 m 0 0 S [ (x, c, c,..., c) y ]. Za konstruiranje aproksimativnog polinoma potrebno je odabrati koeficijente c 0, c 1, c m tako da vrijednost S bude najmanja. Ovo je metoda najmanjih kvadrata. Ako se odstupanje pridržava zakona normalne distribucije, tada su vrijednosti parametara dobivene na ovaj način najvjerovatnije. Kao što je gore spomenuto, rms aproksimacija izglađuje nepreciznosti funkcije, dajući je ispravan prikaz. Pošto c deluje kao nezavisne varijable funkcije S, minimum nalazimo izjednačavanjem sa nulom parcijalnih izvoda u odnosu na ove varijable: S S S S 0, 0, 0,..., 0, c c c c 0 1 tj. dolazimo do sistema jednadžbi za određivanje c. Ako polinom uzmemo kao aproksimirajuću funkciju, tada će izraz za kvadratne devijacije imati oblik: n m (m). 0 S c c x c x c x y Izjednačavanjem parcijalnih izvoda sa nulom dolazimo do sistema: S c 0 S c 1... S c m n m (c c x... c x y) 0; 0 n m (c c x... c x y) x 0; n 0 1 m m (c c x... c x y) x m m m 9 n

30 Prikupljajući koeficijente za nepoznate c 0, c 1, c m, dobijamo sistem jednačina: n n n n m (n 1) c0 c1 x c x... cm x y; n n n n 3 m m c x c x c x... c x x y ;... n n n n m m 1 m m m 0 1 m c x c x c x... c x x y. Rješavajući sistem, nalazimo nepoznate parametre c 0, c 1, c m. U kompaktnijem obliku možemo napisati: b 00 c 0 + b 01 c b 0m c m = a 0 ; b 10 c 0 + b 11 c b 1m c m = a 1 ; (4.1) b m0 c 0 + b m1 c b mm c m = a m, n k l k ako uvedemo oznaku b x, a x y ; k, l 0,1,...,m. kl k 0 0 Označavamo linijom usrednjavanje po skupu čvorova x 1 u n 1 i uvodimo oznaku: n 0 k mk x (k 1,...), K x y. Tada se sistem (4.1) može zapisati kao: c m c m c K ; u m c m c m c K mc0 m3c1 m4c K1. Sistem jednačina se može riješiti bilo kojom od direktnih metoda razmatranih u nastavku. Pošto sistem ima simetričnu matricu, možemo koristiti metodu kvadratnog korijena, formule za izračunavanje koji su dati u nastavku: n ; trideset

31 s 1, s m, s m ; s m m, s (m m m) / s ; s m (s s) m (m s); z K, z (K m K) / s ; z [K (s z s z)] / s; z z z c c, c, c z (s c s c) s33 s .., n) i greškom aproksimacije εmax max ε, ε y(x) φ(x), εm ε, pri čemu je srednji kvadrat greške ε S / (n 1 ). OPCIJE DODJELE Parametri: a 0, b 1, n Čvorovi: x h(0,1,..., n), h 1/ n. VARIJANTE FUNKCIJA y(x) q 1) y(x) sn x (q 1 3); 1/ q) y(x) sn x (q,3); 3) y(x) x e ; 4) y(x) log(1 q x)(q 1 3); 1/ q 5) y(x) cos x (q,3); q 6) y(x) cos x (q 1 3); 1/ q x 7) y(x) e (q,3); 1/ q 8) y(x) ln(1 x)(q 1 3); 31

32 q 9) y(x) x(1 x) 0,01 x (q 3 5); 1/ q 10) y(x) x(1 x) x (q 5); 1/ q 11) y(x) tan x (q 1 3); q 1) y(x) 1 x (q 1 4); 13) y(x) (1 q 1 x) (q 1 4); 14) y(x) 15) y(x) (1 (1 1/ q x) (q x) / (1 1 3 x); 3); 16) y(x) x(1 1/ q x) (q 4); x 17) y(x) e ; x 18) y(x) e ; 19) y(x) 1/ q arcsn x (q 1 3); 0) y(x) (1 1/ q x) (q 4); 1) y(x) (1 1/ q x) (q 1 3);) y(x) (1 1/ q x) (q 4); q 3) y(x) x / (1 x)(q 1 4); x q 4) y(x) x e (q 1,). PROGRAMIRANJE Blok dijagram programa prikazan je na sl. 4.. Da biste pohranili y, θ(x), dodijelite nizove sa najmanje n+1 elementa. Izračune se preporučuje izvršiti za nekoliko vrijednosti n, obraćajući pažnju na promjenu greške s povećanjem n. Dovoljno je na ekranu prikazati rezultate za jednu vrijednost n. Za provjeru ispravnosti programa preporučljivo je aproksimirati funkciju y(x) (1 x) kao testni zadatak, za koji su greške ε max , ε t, mora biti jednako nuli. 3

33 1 3 Start Početni podaci za =1,n 7 8 za =1,n (x(x),), max max 4 y, m k, k l, 9 sa 5 za 10 m 6 S, z k, c, c, c Rezultati 1 Kraj Fig. 4..Blok dijagram programa aproksimacije 33

34 SADRŽAJ IZVJEŠTAJA Izvještaj treba da sadrži: formulu funkcije y(x) i parametre za konkretnu varijantu; tekst programa; vrijednosti c 0, c 1, s; nizovi i grafovi y, θ(x); greške ε max, ε t, ε. KONTROLNA PITANJA 1. Kako je postavljen zadatak aproksimacije funkcija? Šta je aproksimacija srednjeg kvadrata? 3. Šta je uniformna aproksimacija? 4. Kako se konstruiše metoda najmanjih kvadrata? 5. Koja je greška (rezidualni član) aproksimacije stepenom funkcija? 6. Koji su uslovi za potpunost sistema funkcija? 34

35 Zadatak 5 NUMERIČKA DIFERENCIJACIJA Svrha rada je proučavanje metoda numeričke diferencijacije, izračunavanje prvog i drugog izvoda date funkcije korištenjem Newtonovog interpolacionog polinoma. FORMULACIJA ZADATAKA Numerička diferencijacija je jedan od najčešćih problema u računarskoj matematici, koji ima različite primjene. Neka je data mrežna funkcija y y(x) (0,1,..., n) definirana na skupu čvorova x, (= 0, 1,...,n). Da bismo izračunali derivaciju y (k) (x) reda k (k=1,...) u nekoj tački x, biramo m+1 (m k) čvorova u okolini ove tačke i konstruišemo interpolacioni polinom R m (x) stepena m (na primjer, Newtonov polinom (vidi zadatak 3)) koji prolazi kroz sve odabrane čvorove: (5.) y(x) P (x) R (x), m (X). Diferencirajući jednakost (5.), nalazimo (k) (k) (k) y (x) Pm (x) Rm (x) (k 1,...). (5.3) Uzmimo sada kao približnu vrijednost derivacije y) (x) izvod polinoma: (k (k) (k) y (x) P (x). (5.4) Tada je preostali član ( greška) izvoda Q m,k ( x) jednaka je izvodu ostatka (greške) interpolacionog polinoma: Q x y x P x R x (k) (k) (k) m, k () () m () m ().m m (5.1) 35

36 Derivati (5.4) se nazivaju konačna razlika. U praksi se najčešće koriste uniformne mreže, tj. mreže sa jednako raspoređenim čvorovima. Na takvim mrežama, prvi i drugi izvod konačnih razlika u čvorovima x dobijeni ovom metodom, sa greškom O(h) u odnosu na korak mreže h, daju se formulama: y 1 y 1 y y (x), y y h O(h); y 1 y y 1 y y (x), y h y O(h); (1,..., n 1). U graničnim čvorovima s brojevima = 0 i =n, potrebno je izračunati takozvane jednostrane derivacije odabirom interpolacijskih čvorova samo na jednoj strani graničnog čvora. Na uniformnoj mreži, formule drugog reda za prvi i drugi izvod su: 3y0 4y1 y y 0 y (x0) O(h); h yn 4yn 1 3yn y n y (xn) O(h); h 1y0 30y1 4y 6y3 y 0 y (x0) O(h); 6h 6y 4y 30y 1y y n y x O h 6h n 3 n n 1 n (n) (). Kao što se vidi iz formula, kod jednostranih izvoda je potrebno više čvorova da bi se postigla ista tačnost. Za obavljanje laboratorijskog rada, tabela vrijednosti (5.1) se preliminarno sastavlja za jednu od funkcija y (x) datih u nastavku u jednako raspoređenim čvorovima 36

37 x h (0,1,..., n), h 1/ n, na intervalu 0 x 1. Vrijednosti n se biraju u rasponu n = Tada je tačno y", y" (analitički) i približne vrijednosti y i y prve i druge derivacije dobijene "prema gornjim formulama. Na svim čvorovima postoje maksimum i srednji kvadrat (k) (k) εk,max max y y (k 1,) 1 n ε k n (k) (k) (y y) 1 0 ( k 1,) vrijednosti greške numeričke diferencijacije, kao i brojevi čvorova kmax, u kojima su vrijednosti ε kmax (k=1 ,) se postižu x; 4) cos(π x /); x 5) x e; 6) xch x; x / 7) sh x; 8) e; 9) x sh x; x / 10) ch x; 11) e; 1 ) x ch x; 13) x sn x; 14) sn x; 15) x sh x; 16) x cos x; 17) cos x; 18) tg(π x / 4); 19) x sn x; 0 ) x sn x; 1)(x 1) ln(x 1);) x cos x; 3) xcos x; 4) xln(x 1); x / x 5) e sn x; 6 ) xe ; 7) arcsn(x /);x / 8) arctg x ;9) xe ;30)(x 1) ln(x 1).37

38 PROGRAMIRANJE Blok dijagram programa za numeričko diferenciranje prikazan je na slici. Za pohranjivanje vrijednosti mrežne funkcije, tačnih i približnih vrijednosti derivacija, kao i njihovih grešaka, nizovi dužine najmanje n + l bi trebao biti dodijeljen. Budući da u ovom radu n<100, достаточно описать массивы, каждый их которых имеет 101 элемент. Функцию у(х), а также ее аналитические и конечно-разностные производные удобно описать в виде подпрограмм-функций. В цикле вычисляются узлы и значения функции в них, а в цикле аналитические и численные значения производных и погрешности. Правильность программы можно проверить, задавая, например, тестовую функцию у = х /, для которой должны получаться точные значения " y / ï, y 1 (0,1,..., n). Рабочие варианты рекомендуется рассчитать для нескольких значений n, наблюдая за уменьшением погрешности с ростом п. На экран достаточно вывести результаты вычислений для какого-либо одного значения п. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА Отчет должен содержать: функцию у(х) и расчетные формулы для конкретного варианта; текст программы; результаты вычислений и графики функций: " у", y ", у ", y, (= 0, 1,..., п), причем точные и приближѐнные значения соответствующих производных должны быть изображены разными цветами в одном окне. 38

39 1 Početak 6 sa =1,n Početni podaci 7 y, y, y, y, y y (k) (k) k, 3 sa =1,n k,max, k, k,max y, y, y, y , 41 x, y 8 x 5 x 9 k 10 Rezultati 11 Kraj Fig Dijagram toka programa numeričke diferencijacije. 39

40 KONTROLNA PITANJA 1. Kako je formuliran problem numeričke diferencijacije? Kako se konstruiraju formule numeričke diferencijacije, koja je njihova greška? 3. Procijenite grešku formula koje koristite. 4. Kako opada redoslijed greške numeričke diferencijacije s povećanjem reda derivacije za isti broj čvorova? 5. Kako možete izgraditi formule za numeričku diferencijaciju povećane tačnosti? 6. U čemu je neispravnost formulacije problema numeričke diferencijacije? 40

41 Zadatak 6 NUMERIČKA INTEGRACIJA Svrha rada je proučavanje metoda numeričke integracije, izračunavanje određenog integrala date funkcije metodama pravougaonika i Gausa. POSTAVKA ZADATAKA Neka je funkcija y = f(x) data na segmentu u tačkama x 0 = a, x 1, x n = b. Moramo izračunati definitivni integral oblika b a f (x) dx. Koristeći definiciju integrala kao granice zbroja integrala, imamo: b a n 1 f (x) dx lm f () x, x x x, max x (6.1) gdje je x x +1 neka srednja tačka intervala x, x +1. Zadatak integracije grafički se svodi na pronalaženje površine ispod grafa funkcije f(x) na datom segmentu Slika Slika Ilustracija numeričke integracije X-osa je podijeljena na n segmenata dužine x i odabrana je tačka na svakom segmentu prema određenom kriterijumu i izračunato u ovom 41

42 pokažite vrijednost funkcije f(). Površina je određena zbirom površina rezultirajućih pravokutnika. Kada su dužine segmenata x 0, zbir površina pravougaonika teži vrijednosti integrala. Za numeričku integraciju, funkcija f(x) je zamijenjena takvom aproksimirajućom funkcijom (x), čiji bi se integral lako izračunao. Najčešće, generalizirani interpolacijski polinomi djeluju kao aproksimanti. Budući da je takva aproksimacija linearna u odnosu na parametre, funkcija se zamjenjuje određenim linearnim izrazom čiji su koeficijenti vrijednosti funkcije u čvorovima: n f (x) f (x) (x) r( x), 0 gdje je r(x) preostali član aproksimacije. Zamjenom ovog izraza za funkciju u originalni integral (6.1), dobijamo b a n f (x) dx q f (x) R, gdje je q (x) dx, R r(x) dx. b a b a 0 Formula (6.) se naziva kvadraturnom formulom sa težinama q i čvorovima x. Kao što se može vidjeti iz formule, težine q ovise samo o lokaciji čvorova, ali ne i o obliku funkcije f(x). Za kvadraturnu formulu se kaže da je tačna za polinome stepena m ako, kada se funkcija f(x) zameni proizvoljnim algebarskim polinomom stepena m, preostali član postaje jednak nuli. Najpoznatije kvadraturne formule se dobijaju odabirom x čvorova jednako raspoređenih na intervalu integracije. Takve formule se nazivaju Newton-Cotes formule. Formule ovog tipa uključuju dobro poznate formule pravokutnika, trapeza, parabola (Simpson) i neke druge. U metodi pravougaonika na sl. 6. Funkcija f(x) je aproksimirana polinomom stepena nula f (x) f (x) f. 0 0 (6.) 4

43 Da bismo izračunali integral na segmentu [a, b], dijelimo ga na male segmente dužine h, a integral na zbir integrala u odvojenim odsjecima. Zatim za jedan odsjek h / h / f (x) dx hf, gdje je f 0 vrijednost funkcije u sredini segmenta. Dakle, površina krivolinijskog trapeza aproksimira se pravokutnikom, a funkcija se izračunava u sredini segmenta. 0 Fig. 6. Metoda pravougaonika Za -ti segment x 1 x f (x) dx hf, 43 1/ gdje je f +1/ = f(a + (+ 1/)h). Zatim, konačno, vrijednost integrala na [a, b] b a f (x) dx h(f f... f) r(x). 1/ 3/ n 1/ Ako su čvorovi x fiksni (jednako raspoređeni na ), tada su u kvadraturnoj formuli (6.) težine q također fiksne. Zatim, da bi se konstruirao interpolacijski polinom koji aproksimira funkciju f(x) na , ostaje samo (n + 1) neovisni uvjet, tj. poznate vrijednosti funkcije u čvorovima interpolacije f(x). Dakle, koristeći ove uslove, moguće je konstruisati polinom koji nije viši od n-og stepena. Ako ne fiksiramo položaj čvorova, a time i q, tada imamo na raspolaganju (n +)

44 uslova sa kojima možete konstruisati polinom (n + 1)-ti stepen. Tako je nastao problem da se među svim kvadraturnim formulama sa (n + 1) čvorova nađe formula sa takvim rasporedom čvorova x na i sa takvim težinama q za koje je tačna za polinome maksimalnog stepena. Intuitivno je jasno da je greška metode manja, što je veći red polinoma, čija numerička integracija daje tačan rezultat. Promijenimo integracijsku varijablu u originalnom integralu (6.1) x a (b a) t (0 t 1) i transformirajmo je u oblik I = (b a) J, gdje je 1 J f (t) dt, f (t) f (x(t)). 0 Dakle, dovodimo integral na bilo kojem segmentu na fiksni interval , gdje ćemo tražiti optimalan raspored čvorova. Ovaj problem je uspješno riješen, a u referentnim knjigama za ovaj interval prikazana je lokacija čvorova t i težina A, gdje je =1,m. Za izračunavanje integrala koristimo kvadraturnu formulu sljedećeg oblika: 1 m J f (t) dt A f (t) R. 0 1 m Preostali član Gausove formule sa m čvorova ima oblik R M f t M ( m) m m max (), m 0 t 1 (m!) (m 1) (m)! 4 3. Konkretno, M 3 = , M 5 = , M 7 = , M 9 = , M 10 = , itd. Težine A i čvorovi t Gaussovih kvadraturnih formula imaju sljedeće vrijednosti: m =3 t 1 = 1 t 3 = , t = , A 1 = A 3 = , A =

45 m =5 t 1 = 1 t 5 = , t =1 t 4 = , A 1 = A 5 = , A =A 4 = , t 3 = , A 3 = m=7 t 1 = 1 t 7 = , t = 1 t 6 = , t 3 =1 t 5 = , t 4 = , A 1 = A 7 = , A = A 6 = , A 3 = A 5 = , A 4 = m = 9 t 1 = 1 t 9 = , t =1 t 8 = , t 3 =1 t 7 = , t 4 = 1 t 6 = , t 5 == , A 5 = , A 1 = A 9 = , A = A 8 = , A 3 = A 7 = , A 4 = A 6 = m=11 t 1 = 1 t 11 = , t = 1 t 10 = , t 3 = 1 t 9 = , t 4 = 1 t 8 = , t 5 = 1 t 7 = , t 6 = , A 1 = A 11 = , A = A 10 = , A 3 = A 9 = , A 4 = A 8 = , A 5 = A 7 = , A 6 = OPCIJE ZADATA Za izračunavanje integrala , koristimo metodu pravokutnika sa brojem čvorova od m do 100 i Gaussovom kvadraturnom formulom cm=5 11 čvorova. Početni podaci uključuju: funkciju f(x); granice integracije a, b; broj čvorova m, težine A i čvorova t Gaussove kvadraturne formule. Izračunajte integral tabele oblika b a E (ξ) ξ 0 d prema podacima datim u 45

46 E () a b 0 1 ξ e e ξ sn(ξ /) 0 π 3 ξ (ξ 1)e 0 4 1/ 3 cos(ξ /) 0 π 5 ξ 1 ξ ξ / ln ξ / 4 3sn(ξ / ) 0 π 8 3 3ξ ξ e ξ ξ e 0 10 arcsn ξ(ξ ξ(1 ξ) cos (0.5ξ 0.15ξ) 0 π 1 ξ arktan ξ sh ξ ξ ch / ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ PROGRAMIRANJE Za pohranjivanje pondera A, čvorova t Gaussove kvadraturne formule i vrijednosti funkcija u centrima odabranih segmenata f+1/ u metodi pravokutnika, treba opisati nizove odgovarajuće dužine. Proračuni u Gaussova metoda se može pojednostaviti, uzimajući u obzir simetriju težina i čvorova oko sredine segmenta t = 0,5 Vrijednosti A, t, (= 1,...,11) moraju se prvo unijeti u nizovi A() i T() koristeći operatore dodjeljivanja ili operator za unos početnih podataka.

47 1 Početak Početni podaci 7 po =1,m 8 J m 1 A f (t) 3 po =1,n 9 po 41 x, n 1 I h f (x) 1/ 10 I (b a) J 5 po 11 Rezultati 6 A,t 1 Kraj Slika Blok dijagram integracijskog programa 47

48 Blok dijagram programa za izračunavanje integrala metodom pravougaonika i Gaussovom metodom prikazan je na sl. U ciklusu je implementirana metoda pravougaonika, a implementirana je Gausova metoda. Ispravnost integracije može se provjeriti izračunavanjem kao testom integrala 1 n I (n 1) x dx (n m 1), za koji treba dobiti tačnu vrijednost 1, ili I 1 4 (1 1 x) dx , čija je vrijednost jednaka π. 0 0 SADRŽAJ IZVEŠTAJA Izveštaj treba da sadrži: integrand i granice integracije određene varijante; broj čvorova u metodama pravougaonika i Gausa; tekst programa; graf integranda; vrijednost integrala dobijena pomoću dvije metode. KONTROLNA PITANJA 1. Kako je formulisan problem numeričke integracije? Kako se konstruiraju interpolacijske kvadraturne formule, kolika je njihova greška (rezidualni član)? 3. Kako se konstruišu Gaussove kvadraturne formule, kolika je njihova greška (rezidualni član)? 4. Kako se konstruiraju složene (velike) kvadraturne formule (pravokutnici, trapezi, parabole), kolika je njihova greška (zaostali član)? 5. Uporedite tačnost metode pravougaonika i Gaussove metode sa istim brojem čvorova. 48

49 Zadatak 7. IZRAČUN VIŠESTRUKIH INTEGRALA MONTE KARLO METODOM Svrha rada je upoznavanje sa numeričkim metodama Monte Karla, računanje Monte Karlo metodom višestrukog integrala date funkcije u konveksnoj oblasti. POSTAVKA ZADATAKA Razmotrimo problem izračunavanja n-dimenzionalnog integrala I f (x) dx, X (x, x,..., x), dx dx, dx,..., dx (V) 1 n 1 u domeni V sa granicom G ugrađenom u n-dimenzionalni paralelepiped zapremine Slika Površina integracije u slučaju dve varijable W = po formuli t 1 T T(x1, x, x3, t) dx1dx dx3dt, V (t t) s 1 t1 (Vs) gdje je Vs 4 π 3 3 R - zapremina lopte. 51

52 Kao T(x,t) uzmimo T(x1, x, x3, t) ρ(x1 g1t, x gt, x3 g3t), gdje je ρ(h) jedna od funkcija prethodnog zadatka, g 1 =0 .l 0,9 (=1,3). 3. Izračunajte volumen V tijela ograničenog šestodimenzionalnim elipsoidom 6 x G () 1 0 (c 0,1). c 1 Izvršite Monte Carlo proračun koristeći formulu V dx dx dx dx dx dx dx. (V) (V) PROGRAMIRANJE Izračunavanje integrala će se izvršiti za nekoliko vrijednosti N, datih posebnim nizom N (L) u glavnom programu. Shodno tome, program treba da organizuje izlaz rezultata kada broj slučajnih brojeva dostigne sledeću vrednost N iz niza. Ovo će omogućiti da se posmatra promena rezultata i konvergencija integracije sa povećanjem N. Blok dijagram programa je prikazan na sl. 7.. Osnova programa je ciklus (blokovi 3-10) za l od l do L, gdje je L dati broj opcija sa različitim brojem slučajnih brojeva N l, za koje se izlaze rezultati. U bloku 4, generatoru slučajnih brojeva se pristupa za izračunavanje ξ. Na slici je trenutni broj slučajnih tačaka, M je broj slučajnih tačaka u području V, I è V procjene integrala I i zapremine područja V. Kao test potrebno je izračunati zapremine elipsoida u trodimenzionalnoj oblasti u skladu sa stavom 3 zadatka. Poznato je analitičko rješenje V 4 π c. 1cc 3 3 5

1. Numeričke metode rješavanja jednačina 1. Sistemi linearnih jednačina. 1.1. direktnim metodama. 1.2. iterativne metode. 2. Nelinearne jednačine. 2.1. Jednačine sa jednom nepoznatom. 2.2. Sistemi jednačina. jedan.

Predavanje 5. Aproksimacija funkcija metodom najmanjih kvadrata. U inženjerskim djelatnostima često postaje potrebno opisati u obliku funkcionalnog odnosa odnos između vrijednosti datih u tabeli

RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA I SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA oblika Numeričko rješenje nelinearnih algebarskih ili transcendentalnih jednačina. lezi u pronalaženje vrednosti

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE UKRAJINE NACIONALNI TEHNIČKI UNIVERZITET "HARKOVSKI POLITEHNIČKI INSTITUT" Smjernice laboratorijskom radu "Proračun korijena transcendentalnih jednačina"

Numeričke metode Tema 2 Interpolacija V I Velikodny 2011 2012 akademska godina 1 Koncept interpolacije Interpolacija je metoda aproksimativnog ili tačnog pronalaženja bilo koje vrijednosti iz poznatih pojedinačnih vrijednosti

APROKSIMIRANJE FUNKCIJA NUMERIČKA DIFERENCIJACIJA I INTEGRACIJA U ovom odeljku razmatramo probleme aproksimacije funkcija korišćenjem Lagranžovih i Njutnovih polinoma korišćenjem spline interpolacije

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije obrazovne ustanove viši stručno obrazovanje Tomsk Državni univerzitet Upravljački sistemi i radioelektronika Zavod TUSUR

Laboratorijski rad Metode za minimiziranje funkcija jedne varijable koristeći informacije o derivacijama funkcije cilja Izjava o problemu: Potrebno je pronaći bezuslovni minimum funkcije jedne varijable (

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Penza State University" Kvadraturne i kubaturne formule Metodički

Predavanje 9 3. NUMERIČKE METODE ZA RJEŠAVANJE NELINEARNIH JEDNAČINA FORMULACIJA ZADATAKA Neka je data nelinearna jednačina (0, (3.1) gdje je (funkcija definirana i kontinuirana na nekom intervalu. U nekim slučajevima

Tema 4. NUMERIČKO RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA -1- Tema 4. NUMERIČKO RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA 4.0. Izjava problema Problem pronalaženja korijena nelinearne jednadžbe oblika y=f() često se susreće u znanstvenim

NUMERIČKE METODE U RUDARSKOJ INDUSTRIJI Matematički modeli i numeričke metode

RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA I SISTEMA NELINEARNIH JEDNAČINA RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA oblika Numeričko rješenje nelinearnih algebarskih ili transcendentalnih jednadžbi f =) sastoji se u pronalaženju vrijednosti,

1 Lagrangeov polinom Neka se iz eksperimenta dobiju vrijednosti nepoznate funkcije (x i = 01 x [ a b] i i i). proizvoljna tačka x Za

Zadaci za praktičnu nastavu iz discipline "Računarska matematika" Praktična lekcija na temu Teorija grešaka test pitanja Definirajte računski eksperiment Nacrtajte dijagram

Državna budžetska obrazovna ustanova srednjeg stručnog obrazovanja "Vladimirska vazduhoplovna mašinska škola" METODOLOŠKA UPUTSTVA za izvođenje laboratorijskih radova iz discipline NUMERIČKA

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "VORONJEŽSKI DRŽAVNI PEDAGOŠKI UNIVERZITET" Katedra za informatiku i metode

Opcija 1. 1. Polje kompleksnih brojeva. Njegov dizajn. Algebarski i trigonometrijski oblik pisanja kompleksnih brojeva. Moivreova formula i formula za vađenje korijena n-tog stepena iz kompleksnog broja.

Pod numeričkom integracijom se podrazumijeva skup numeričkih metoda za pronalaženje vrijednosti određenog integrala. Prilikom rješavanja inženjerskih problema ponekad je potrebno izračunati prosječnu vrijednost

2 Numeričke metode za rješavanje jednačina. 2.1 Klasifikacija jednačina, njihovi sistemi i metode rješavanja. Jednačine i sistemi jednačina dijele se na: 1) algebarske: jednačina se naziva algebarska ako je preko

OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA Osnovni pojmovi Diferencijalna jednačina je jednačina u koju nepoznata funkcija ulazi pod predznakom izvoda ili diferencijala.

Ministarstvo prosvjete i nauke Ruska Federacija Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog obrazovanja „DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET NIŽNJI NOVGOROD IM. R.

Postavljanje problema, osnovni pojmovi Konačne razlike i njihova svojstva Interpolacijski polinomi Procjena preostalog člana interpolacionih polinoma Postavka problema, osnovni pojmovi Neka, tj.

Predavanje3. 3. Newtonova metoda (tangenti. Postavimo neku početnu aproksimaciju [, b] i lineariziramo funkciju f (u susjedstvu koristeći segment Taylorovog reda f (= f (+ f "((-. (5)) Umjesto jednacinu (rjesavamo

Poglavlje Izračunavanje određenih integrala! " #%$&" %(" #)* +,- "#" dx. U principu, problem se rješava aproksimacijom funkcije drugom funkcijom, za koju se integral izračunava analitički.

Diferencijalne šeme za nelinearne probleme. Kvazilinearna transportna jednačina. Za numeričko rešenje nelinearni problemi u raznim situacijama, koriste se i linearne i nelinearne sheme. Održivost relevantnih

Alati za evaluaciju za tekuće praćenje napretka, srednja certifikacija na osnovu rezultata savladavanja discipline i obrazovna i metodička podrška samostalan rad učenici 1 Računski zadaci Opcije

1 1.57.5-5-.5 RJEŠENJE JEDNAČINA SA JEDNOM Varijablom Zadatak: Naći rješenje jednačine sa tačnošću od 0,0001 koristeći sljedeće metode: dihotomije; proporcionalni dijelovi (akordi); tangente (njutn); modificirano

Predavanje 2. Rješavanje nelinearnih jednačina. Izjava problema: Nađite faktor greške instrumenta σ prilikom izvođenja geodetskih mjerenja iz jednačine: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Vrijednosti δ = 0,186, υ = 4,18,

Osnovni koncepti teorije razlika šema. Primjeri konstruiranja dijagrama za početno-granične probleme. Veliki broj problema u fizici i tehnologiji dovodi do graničnih ili početno-graničnih problema za linearne

Matematičko modeliranje termoenergetskih objekata Predavanje 1 Nelinearne algebarske i transcendentalne jednadžbe. Termini i koncepti 2 Modeliranje je proučavanje objekta ili sistema objekata pomoću

SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA Nakon proučavanja ove teme, moći ćete: izvoditi numeričko rješavanje zadataka linearne algebre. Brojni praktični problemi svode se na rješavanje sistema linearnih jednačina, rješenja

Integral. 8 Metode numeričke integracije. U ovom poglavlju ćemo razmotriti metode za izračunavanje određene metode.Metode numeričke integracije se široko koriste u automatizaciji rješenja naučnih

PREDAVANJE 11 PROBLEM OPTIMIZACIJE MULTIDIMENZIONALNE INTERPOLACIJE Na prošlom predavanju su razmatrane metode za rješavanje nelinearnih jednačina.Razmatrane su metode u dvije tačke koje koriste lokalizaciju korijena,

DEFINITIVNI INTEGRAL. Integralni zbroji i određeni integral Neka je funkcija y = f () definirana na segmentu [, b ], gdje je< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE Ruske Federacije R.E.

Poglavlje 4. NUMERIČKE METODE ZA RJEŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA I NJIHOVI SISTEMI

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA RUJSKE FEDERACIJE Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja „Izhevsk State Technical University ODOBRAVA rektora I.V. Abramova

MINISTARSTVO PROSVETE RUSKE FEDERACIJE DRŽAVNI TEHNOLOŠKI INSTITUT SANKT PETERBURG (TEHNIČKI UNIVERZITET) Odsek za primenjenu matematiku M.V. Lukina METODE PRIBLIŽNIH PRORAČUNA

FEDERALNA DRŽAVNA BUDŽETSKA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG OBRAZOVANJA „NIŽNJI NOVGORODSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET im. R.E. ALEKSEEVA INSTITUT ZA RADIO ELEKTRONIKU I INFORMACIJE

PREDAVANJE 3 Metode obrade eksperimentalnih podataka Interpolacija

Pascal 13. Rješenje nelinearnih jednadžbi. Nelinearne jednačine se mogu podijeliti u 2 klase - algebarske i transcendentalne. Algebarske jednadžbe nazivaju se jednadžbe koje sadrže samo algebarske

Ritzova metoda Postoje dvije glavne vrste metoda za rješavanje varijacionih problema. Prvi tip uključuje metode koje originalni problem svode na rješenje diferencijalnih jednadžbi. Ove metode su veoma dobro razvijene

1. Ciljevi i zadaci discipline. Svrha discipline: proučavanje metoda za konstruisanje numeričkih algoritama i proučavanje numeričkih metoda za rješavanje matematičkih problema koji simuliraju različite fizičke procese.

Sintaksa operatora: OPŠTI IZJAVA PETLJE DO [( WHILE UNTIL ) ] ... PETLJA [( WHILE UNTIL ) ] pri čemu su ključne riječi prevedene na sljedeći način

MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "KUBANSKI DRŽAVNI AGRARNI UNIVERZITET"

Ch Niz stepena a a a Niz oblika a a a a a () naziva se niz stepena, gdje, a, konstante, nazivaju se koeficijenti niza power series više opšti pogled: a a(a) a(a) a(a) (), gdje

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Katedra "Državni univerzitet Kurgan"

Metode A.P. Popova optimalna rješenja Priručnik za studente ekonomskih specijalnosti univerziteta Rostov na Donu 01 1 Uvod B primijenjena matematika Postoji nekoliko pravaca, prvenstveno usmjerenih na

46 Praktična nastava 6 Numerička integracija Trajanje - 2 sata Svrha rada: učvrstiti znanja o numeričkoj integraciji koristeći generalizovane formule za prosječne pravokutnike, trapeze,

UDK 004.9 LBC 32.97 T47 Elektronski analog štampanog izdanja: Informatika i matematika: za 3 sata 2. dio: Rješavanje jednačina / V. I. Tišin. M. : BINOM. Laboratorij znanja, 2013. 112 str. : ill. Tišin V. I. T47

Predavanje 4 8 NUMERIČKE METODE ZA RJEŠAVANJE SISTEMA OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA NAVEDBA ZADATAKA Problem rješavanja sistema običnih diferencijalnih jednačina prvog reda povezivanja

Numeričke metode za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi Rješenje Cauchyjevog problema... Cauchyjev problem za jednu običnu diferencijalnu jednačinu. Mi razmatramo Cauchyjev problem za jedan diferencijal

Poglavlje 1 Numeričke metode za izračunavanje određenog integrala Svrha rada je proučavanje numeričkih metoda integracije i njihove praktične primjene za aproksimativno izračunavanje pojedinačnih integrala. Trajanje

METODOLOŠKA UPUTSTVA za izvođenje laboratorijskih radova iz discipline "Informatika" semestar 3 NOVOSIBIRSK 008 Ministarstvo nauke i obrazovanja Ruske Federacije Novosibirsk tehnološkog instituta Moskovska država

Metode.doc Približne metode proračuna Strana 1 od 6 Opšte stanje zadatak: Koristeći dvije date numeričke metode, izračunajte približnu vrijednost korijena 1 funkcionalne jednadžbe oblika f()=0 za N vrijednosti

Saratovski nacionalni istraživački državni univerzitet po imenu N.G. Černiševskog" A.I. Zinina V.I. Kopnina Numeričke metode linearne i nelinearne algebre Tutorial Saratov

Departman za računarske sisteme i tehnologije (naziv katedre) ODOBRENO na sednici katedre 4. marta 2016. protokol 6 Šef katedre Kondratiev V.V.

transkript

1 Alekseeva O.A. NUMERIČKE METODE Radionica Čeljabinsk

2 UDK 59.6 BBK.9 A-47 Alekseeva O.A. Numeričke metode: praktični rad. Čeljabinsk: NOUVPO RBIM,. 77 str. Razmatraju se najčešće metode numeričke analize: metoda jednostavne iteracije i Seidelova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, numeričke metode za pronalaženje korijena transcendentalnih jednadžbi, Lagrangeova formula, metoda najmanjih kvadrata koja se široko koristi u praksi. . U svakom laboratorijskom radu izvode se radne formule koje se koriste za njihovu naknadnu implementaciju na računaru. Razmatrani algoritmi su ilustrovani primjerima. Svaki laboratorijski rad sadrži oko 8 varijanti pojedinačnih zadataka i kontrolnih primjera. Radionica je osmišljena za organizaciju praktične nastave i samostalnog rada iz discipline „Numeričke metode“ za studente smjerova „Primijenjena informatika“ i „Poslovna informatika“. Recenzenti: Turlakova S.U. Kandidat fizike i matematike sci., vanredni profesor Odsjeka za primijenjenu matematiku FSBEI HPE "SUSU" (NRU UDK 59.6 BBK.9 Alekseeva O.A., NOUVPO RBIM,

3 Sadržaj Laboratorijski rad. Iterativne metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi Postavljanje problema Klasifikacija metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi Jednostavna iteracija metoda (Jacobijeva metoda Uslovi za konvergenciju i elementarne transformacije matrice Seidelova metoda (Gauss-Seidelova metoda uzastopnih supstitucija Kontrolni zadaci... 4 Kontrolna pitanja... Laboratorijski rad. Metode za pronalaženje rješenja nelinearnih jednačina sa jednom nepoznatom.... Prikaz problema.... Metode rješavanja nelinearnih jednačina.... Test zadaci... 7 Test pitanja... 9 Laboratorijski rad. Lagrangeova interpolaciona formula Postavljanje problema Posebni slučajevi Lagrangeovog polinoma Vrednovanje grešaka Kontrolni zadaci Test pitanja ... 5 Laboratorijski rad 4. Metoda najmanjih kvadrata Opis metode Linearna funkcija Kvadratna funkcija Funkcija snage Logaritamska funkcija Kontrolni zadaci Test pitanja ... 7 Bibliografski popis Dodatak ... 75

4 Laboratorijski rad. Iterativne metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina Svrha rada: rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina jednostavnom iteracijom i Seidel metodom sa zadatom tačnošću. Redoslijed rada. Proučiti teorijski materijal.. Rešiti datu verziju kontrolnog zadatka (videti odlomak 6.. Napisati izveštaj. 4. Odgovoriti na kontrolna pitanja. 5. Zaštititi laboratorijski rad.. Prikaz problema Neka je sistem linearnih jednačina sa nepoznatim dato: a a... a b, a a... a b, a a... a b Označimo sa A matricu koeficijenata sistema (: a a... a a a... a A, a a. .. stupac slobodnih termina sistema ( kroz vektor b: b b b.... b (4

5 Rješenje sistema jednadžbi (željeni vektor označavamo kroz kolonu nepoznanica: .... Ako je matrica A nesingularna, onda sistem (ima jedinstveno rješenje (vidi Dodatak. Skup brojeva, ..., (tj. vektor koji invertuje sistem (u identičnosti se naziva rešenje ovog sistema, a sami brojevi su njegovi koreni. U realnim uslovima kompjuterski proračuni su skoro uvek praćeni greškama. One su posledica grešaka u početnim podacima, greške zaokruživanja, greške u pretvaranju brojeva iz decimalnog u binarni pri upisu informacija u memoriju računara i greške, povezane sa ograničenjem bitne mreže. Metode rešavanja sistema linearnih jednačina dele se u dve grupe: tačne i iterativne metode.. Klasifikacija metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.. Egzaktne metode (direktne metode Ove metode su konačni algoritmi za izračunavanje korijena sistema. Daju odluku nakon izvođenja unaprijed određenog broja operacija, npr. pravilo K veličina, Gaussova metoda, metoda kvadratnog korijena, itd. Ove metode su relativno jednostavne i najsvestranije, tj. pogodan za rješavanje široke klase linearnih sistema. Tačne metode se koriste za rješavanje sistema linearnih jednadžbi u kojima je broj nepoznatih, matrica gusto popunjena, a determinanta nije blizu nule. Zbog neizbježnog zaokruživanja, rezultati čak i egzaktnih metoda su približni, a procjena grešaka korijena u opšti slučaj teško. 5

6 .. Iterativne metode Omogućavaju dobijanje korijena sistema sa zadatom tačnošću konvergirajućim procesima, na primjer, jednostavna metoda iteracije, Seidelova metoda, metoda relaksacije, itd. U ovim metodama potrebno je specificirati neke približne rješenje početne aproksimacije. Nakon toga, koristeći algoritam, izvodi se jedan ciklus proračuna, koji se naziva iteracija. Kao rezultat iteracije, pronađena je nova aproksimacija. Iteracije se izvode sve dok se ne dobije rješenje sa traženom tačnošću. Algoritmi za rješavanje linearnih sistema korištenjem iterativnih metoda obično su složeniji od direktnih metoda. Nije moguće unaprijed precizno odrediti obim proračuna. Efikasna primena iterativnih metoda u suštini zavisi od dobrog izbora početne aproksimacije i brzine konvergencije procesa. Iterativne metode se koriste za rješavanje sistema velikih dimenzija (za >, kada je upotreba direktnih metoda nemoguća zbog ograničenja RAM-a računala. Veliki sistemi Jednačine koje nastaju u aplikacijama su obično rijetke, pa je upotreba egzaktnih metoda neefikasna, jer bez obzira da li je element nula ili ne, on mora biti pohranjen u memoriji. U iterativnim metodama, matrica ostaje rijetka. Ove metode se također koriste za oplemenjivanje dobivenih korijena preciznim metodama.. Metoda jednostavne iteracije (Jacobi metoda Metoda jednostavne iteracije , razmotrite primjer sistema od tri linearne algebarske jednadžbe: a a a b, a a a b, (a a a b, što se može ukratko napisati kao matrična jednačina: Ah=b. U originalnom sistemu izdvajamo dijagonalne koeficijente a (gdje je =,. 6

7 Pretpostavimo da dijagonalni koeficijenti zadovoljavaju uslove: a a a a a,. a a a (a /(a (a (a 7 /(a /(a /(a b b b b) kao rezultat, dobijamo ekvivalentni sistem:, gdje je b / a, a / a za j (, j=,. j j /(a /( a /(a Sistem (možemo pisati u matričnom obliku:. Sistem (riješićemo metodom jednostavne iteracije. Kao nultu aproksimaciju) (uzimamo elemente kolone slobodnih članova: (=, tj. (=, (=, (=). nalazimo prvu aproksimaciju x (, zamjenjujući pronađene vrijednosti nulte aproksimacije u sistem (: ((, (((, (((, Zamjena vrijednosti aproksimacije x (in desna strana sistem (, dobijamo: (((, (((, druga aproksimacija. (((,. (

8 8 Nastavljajući ovaj proces dalje, dobijamo sekvencu x (, (, (, (k,... aproksimacije izračunate po radnim formulama:., (((((, (((k k k k k k k k k k općenito), radne formule za sistem su jednadžbe: , (, (((((, ((((k k k k k k k k k k k (4)) se možda neće proizvesti velika količina iteracije, već da se postavi određena tačnost rješenja, po dostizanju koje se iterativni proces završava. Uslov za kraj iterativnog procesa se može napisati kao:, ((k k gdje je =,. Primjer. Rešiti sistem sa tačnošću od = = -. 46,5,5,7,9, Rešenje. suprotan znak na desnu stranu. Svaku od jednadžbi sistema dijelimo odgovarajućim koeficijentom na lijevoj strani jednačine:

9 4 /,9(,7, /,(7.46, /9.8(8.76, /,(49,7,9,5,5,5,9,5, 4 4 4,.. Kao početni vektor (mi uzet će elemente kolone slobodnih članova, zaokružujući njihove vrijednosti na dvije decimale:,4 (,.,45,55. Proračune ćemo vršiti do uslova (k (k, gdje je = - , =, 4. Izračunajte sekvencijalno: za k = : (/,9(,7,45,9,55,75, (/,(7,46,4,5,45,5,55,95, (/ 9,8) (8,76,4,5,55,4, (4 /,(49,7,9,4,5,45,6. Upoređujući dobijeno ( sa ( ), vidimo da uslovi konvergencije nisu zadovoljeni. Kada k = : ((((4 6.94 /,9.86.45 /,8.99 /9.8.7, 45.88 /.477. Upoređujući dobijeno (sa, vidimo da uslovi konvergencije nisu zadovoljeni. Za k = 9

10 ((((4 6.6744 /,9.7978.548 /.9977.7 /9.8.975, 44.88575 /.98. : (4 6.795 /.9.84, (4.6 /.5, (4.77 /9.4.4, 4.77 /9.8.5, 4. /.4. Za poređenje (4 sa (, nalazimo module razlika vrijednosti (4 (: (4 (4 (4 4 (((4,6,8, Pošto su svi pronađeni moduli vrijednosti su veći od datog broja = -, nastavljamo iteraciju. Dobijamo za k = 5: (5 (5 (5 (5 4 6.788 /.9.7999.98 /.9999.758 /9.8.999, 44.9774 /.999.

11 Nađite module razlika vrijednosti: (5 (4 (5 (4,5, (5 (4,6, (5 (4,6, (5 (4,4, 4 4)) Oni su manji od datog broja, pa uzimamo kao rješenje : =,7999, =,9999, =,999, 4 =, Uslovi konvergencije i transformacije elementarne matrice do jedinstvenog rješenja ovog sistema, bez obzira na izbor početne aproksimacije. Posljedica Za sistem j, (=,.. ., j b j , metoda iteracije konvergira ako vrijede sljedeće nejednakosti: a j a j, (=,..., j, tj. ako su dijagonalni koeficijenti za svaku jednačinu sistema veći od zbira modula svih ostalih koeficijenata (ne računajući Sljedeće transformacije matrice nazivaju se elementarnim transformacijama matrice: transpozicija, tj. zamjena svakog reda kolonom s istim brojem; permutiranje dva reda ili dva stupca; množenje svih elemenata reda ili stupca bilo kojim ne -nula broj c; zbrajanje na sve jedemo elemente reda ili stupca odgovarajućih elemenata paralelnog niza, pomnožene istim brojem.

12 5. Seidelova metoda (Gauss-Seidelova metoda, metoda uzastopnih supstitucija) Seidelova metoda je modifikacija jednostavne iteracijske metode x, ..., x -l [, 5].U ovoj metodi, kao u metodi jednostavne iteracije potrebno je sistem dovesti u formu (, tako da dijagonalni koeficijenti budu maksimalni u apsolutnoj vrijednosti, te provjeriti uslove konvergencije. Ako uvjeti konvergencije nisu zadovoljeni, potrebno je izvršiti elementarne transformacije (vidi tačku 4. Neka je dat sistem od tri linearne jednadžbe. Dovedimo ga do oblika (. Biramo proizvoljno početne aproksimacije korijena: x (, x (, x (, pokušavajući ih napraviti u neka mjera je odgovarala željenim nepoznanicama. Za nultu aproksimaciju možemo uzeti stupac slobodnih termina, tj. x (= (tj. (=, (=, (=. Naći prvu aproksimaciju x (po formulama: ((( , ((( , (((Potrebno je obratiti pažnju na singularnost Seidelova metoda, koja se sastoji u tome da se vrijednost x (l) dobijena u prvoj jednadžbi odmah koristi u drugoj jednadžbi, a vrijednosti x ((, x (u trećoj jednadžbi itd. Odnosno, sve pronađene vrijednosti x (zamjenjuju se u jednačine za pronalaženje x +. Radne formule za Seidelovu metodu za sistem od tri jednačine su sljedeće: (k (k, (k (k ( k, (k (k (k

13 (k (k) Zapišimo u opštem obliku za sistem -jednačina radne formule: (k (k (k (k...,k (k (k)..., (k (k) (k (k.. .,. Imajte na umu da teorema konvergencije za metodu jednostavne iteracije vrijedi i za Seidelovu metodu. Postavimo određenu tačnost rješenja, po dostizanju koje se iterativni proces završava, tj. rješenje se nastavlja dok se ne ispuni uslov za sve jednačine:, gde je =, Primer: Koristite Seidel metod da rešite sistem sa tačnošću = -:,9.9 4.7.5.5 4 7.46.5 9.8, 4 8.76.9.5, 4 49.7 Rešenje. dovesti sistem u oblik: /,9(,7,9 4, /,(7,46,5,5 4, /9,8(8,76,5, 4, 4 /,(49,7 , 9,5,.. Kao početni vektor x (uzimamo elemente kolone slobodnih pojmova, zaokružujući njihove vrijednosti na dvije decimale:,4 (,.,45,55. Ponavljamo pomoću Seidelove metode . Za k = (/,9 (,7,45,9,55,75. (Prilikom izračunavanja x koristimo već dobijenu vrijednost (x =,75:

14 (/,(7,46,75,5,45,5,55,9674. ((Prilikom izračunavanja x koristite vrijednosti x i x(: (/9,8(8,76,75, 5,9674,55,977 Konačno, koristeći vrijednosti x (, x (, x (, dobijamo: (4 /, (49,7,9,75,5,9674,977,47. Slično, izvodimo proračuni za k= i k=. Za k = : (6.766 /.9.89, (.9 /.9996, (.758 /9.8.996, (4 44.998 /.4. Za k= : (6.7 /.9.86, (.58 / , (, /9,8,9999, (4 44,9999 /,4. Nađimo module razlika vrijednosti (k (k za k = : ((, ((,4, ((,4, ((, 4 4 Oni su manji od datog broja, pa kao rješenje uzimamo: =, 86, =, =, 9999, 4 =, 4. 6. Kontrolni zadaci Riješi datom sistemu linearne algebarske jednadžbe jednostavnim iteracijama i Seidelovim metodama. Tačnost rješenja =,.,7, 4, 5.6, 4, 5, 5.8 7,. 4, 4,5 4,8 4,9,.,8, 4, 5,7,8,7. 7.8 5, 6, 5.8. četiri

15 5.,.,5,4,8,7,4,4,5,6 5, 6, 4.,4., 5,6,5, 7,8 4,7,5,4, 4,5,7 5. 5,6., 7, 5,8,4,8 4,5,7,5 6.,., 4,5,5,5 5,8,5,4,8,7,9 7. 5,5. 8,6,5,4,5,5 4,5,9,5,4 8.,5.,5,6,7 4, 6,8,5 5,5,8,4 5,4 9.,5. 5,4, 4,8, 8,7,4. 4,5., 7,4 6,5, 6,4,8,8,8,5,.,. 4,6,5,8,6,7,6,8 4,5.,8.,75,5,7,7,8,65,7,8,6,7,4.,.,75,75,8, 4.,7.,7,7,75,5,4, 5,5.,8,7,75,7,8,75 6.,.,9,7,8,77,8,75,5,4, 7.,88.,67,8,7,6,4,54,4,5,6,8,9 8.,5.,6,5,48,5,44,45,46,7,87,4 9.,64.,5,84,44,58,4,6,85,4,.,87.,6,7,58,4,56,4,8,68,86,44,6

16 6.,6.,7,86,75,8,8,5,44,5,7,46.,5.,6,5,5,6,5,7,4,87,55,7 4,4.,74.,8,55,58,84,45,8,64,8,44,6,4 4.,8.,4,4,7,7,76,88,6,4,56,6 5.,.,68,4,57,4,8,67,7,5,7,5 6.,97.,6,8,74,4,4,6,5,4,7,95 7.,4.,7,8,7,4,7,5,4,7,7, 8.,7.,6,7,5,8,8,76,65,6,6,8,6 9.,6.,74,78,77,7,4,74,7,65,7,.,54.,88,77,86,7,4,8,58, 4,8,64.,9.,8,75,66,78,66,5,58,8,4,7.,.,8,58,4,6,7,8,74,7,58,4,4.,5.,8,7,86,5,54,7,4,4,88,65,47 4.,6.,8,47,4,55,6,54,7,6,4,6 5.,88.,57,8,7,4,57,8,5,4,95,6,4 6.,45.,5,4,9,7,8,4,6,9,7,8 7.,76.,95,48,56,64,5,7,6,8,8,7 8.,8.,7,5,5,8,7,7,5,8,6

17 7 9.,5.,8,56,4,7,4,5,7,45,9,65 4.,8.,7 4,8,4,7,9,8,7 4.,8.,7 5,8 4,7,8,7,5,7 4., 5,8., 5,7 4, 6,7,8 5,8 9,8, 7,8 5,6 9, 4. 5,6. 4,8,8 7,5,9,9,8, 44.,.,8,7 5,7, 4,8,7 4,8,8, 45.,8.,6,85,44,7,48,4,75,4,7,4,.,5,6,4,7,4,5 6,5,7,5, 47.,6., 4,5,5,4,9,6,7,8, 4,7,8,6 48.,.,7,8,4, 6,7,6,4,9,7,7 5,6 49.,4.,4,7 5,6, 6,7,8 4,5,5,5,9,7 5. 6,4.,5 7,4,8,5,6,5, 7,4,5 4,5 5.,6.,5 4,5,4,8,7, 6,4 5, 6,7,8 5.,8.,8,4,8,8,4,5,5 6, 5,4 5.,4.,8, 4,5,8,8, 4,8 5, 7,8.,8, 5,8,9, 4,8, 4,.,9 4,8,9,8,. 4,8 7, 6,5 7,8,5 4,5,8,8

18 ,. 5, 4,8 4, 6,9,7 5,8, 4,7, 58. 5,8. 7, 7,8 8, 6, 5, 4,8 5, 7, 6, 6,8 7, 59. 7,8.,8,9 9,7,7 4,8, 4,7 5,8 7,6 6.,47.,65,95,84,7,86,8,76,6,5 6.,9. 7,4,4,4,7,7 4,5,4, 5,4 6.,4.,8,45,7,45,7,7,4 6.,8.,44,6,55,75,6,87,4,48,55,4,9 64.,6.,85,8,4,4,8,6,75,4,75,45 65.,87.,8,4,65,87,4,6,8,65,6, 66.,88.,8,7,5,8,76,5,48,7,5,4 67.,87.,77,4,6,64,4,45,7,8,6,7, 68.,47.,86,7,5,7,7,8,8,57,5,8,78 69.,5.,6,5,8,5,7,8,6,8,75 7.,4.,55,64,64,96,75,8,75,48 7.,74.,4,6,7,7,6,7,7,75,7,7,6 7.,68.,88,5,67,7,5,87,8,67,8 7.,87.,5,7,54,68,7,6,65,4,54,65,7 74.,57.,65,7,77,88,7,8,77,7

19 9 75.,.,76,7,8,5,6,8,8,7,8,74 76.,7.,5,6,9,7,6,4,5,8,9,5,64 77.,.,6,46,8,9,46,7,7,5,8,7,65 78.,7.,5,9,8,95,9,68,75,68,8,75,5 79.,74.,7,57,8,88,57,45,6,65,8,6,4 8.,5. 8,7,84,6,7,65,7,5,84,7,6

20 Kontrolna pitanja. Šta se naziva rješenjem sistema linearnih algebarskih jednačina?. Koje su metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina?. Kada su iterativne metode prikladne? 4. Da li je Cramerova metoda egzaktna ili približna metoda? 5. Zapišite radne formule metode iteracije. 6. Navedite primjere iterativnih metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina. 7. Koja je razlika između Seidel metode i metode jednostavne iteracije? 8. Kako se klasifikuju metode za rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina? 9. Koja metoda je bolja za rješavanje sistema jednačina nižeg reda, na primjer, trećeg? Šta određuje stopu konvergencije metode iteracije? Pod kojim uslovom će se metoda jednostavne iteracije konvergirati? Zapišite radne formule Seidelove metode za sistem od x linearnih algebarskih jednačina Koja je glavna razlika između egzaktnih i aproksimativnih metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina?

21 Laboratorijski rad. Metode pronalaženja rješenja nelinearnih jednačina sa jednom nepoznatom Svrha rada: rješavanje nelinearne jednačine sa zadatom tačnošću. Redoslijed rada. Upoznajte se sa opisom laboratorijskog rada.. Rešite zadatu opciju (vidi paragraf 4: a izdvajanje korena, b pojašnjenje vrednosti korena.. Napravite izveštaj. 4. Odgovorite na kontrolna pitanja. 5. Zaštitite laboratorijski rad.. Prikaz problema Problem nalaženja korijena nelinearne jednadžbe u raznim oblastima naučno istraživanje i danas aktuelno. Često je to elementarni korak u rješavanju naučnih i tehničkih problema. Analitičke metode za pronalaženje korijena nelinearnih jednačina postoje samo za pojedinačne jednadžbe, na primjer, a b c. U pravilu se za pronalaženje korijena koriste približne metode. Nelinearne jednačine mogu biti dvije vrste: algebarske i transcendentalne. Jednačine oblika a b c nazivaju se algebarske, jednačine oblika s (transcendentalne, jer sadrže transcendentalne funkcije. One uključuju trigonometrijske funkcije x s(, cos(, tg(, ctg(, eksponencijalna funkcija e, logaritamske funkcije lg(, l(. U opštem slučaju, nelinearne jednadžbe sa jednom nepoznatom imaju oblik F (. (Koren jednačine je svaki realan ili imaginarni broj koji se pretvara (u identitet.

22 Korijeni se nalaze u dvije faze: prva je odvajanje korijena, tj. pronalaženje segmenta koji sadrži jedan korijen jednadžbe; drugo preciziranje vrijednosti korijena na pronađenim segmentima sa zadatom tačnošću. Ako je funkcija F (kontinuirana i preuzima krajeve segmenta različiti znakovi, tj. F (a* F(b Različiti putevi.. Sastaviti tabelu vrijednosti funkcije y F(na odabranom segmentu promjene argumenta. Za odvajanje korijena potrebno je da na krajevima odabranog segmenta funkcija ima različite predznake i da bude monotona . Kao znak monotonosti funkcije, možete koristiti uslov da je prvi izvod konstantan. Iz date funkcije F ( pronađite F (i izračunajte njene vrijednosti na krajevima segmenta ako je F (a * F (b, funkcija F (monotono.. Napravi graf funkcije y F (na segmentu promjene; tačka preseka grafika sa o osom daće nam koren jednačine. Za dalje pojašnjenje korena, uzmimo susjedstvo korijena i označimo ih .. Jednadžba F (zamijeni joj ekvivalent F (F (, izgradi dva grafika y F (i y F (. Apscisa presječne tačke ovih grafova, projektovana na osu, dat će koristimo segment unutar kojeg se nalazi korijen jednadžbe F (.. Metode rješavanja nelinearnih jednačina .. Metoda bisekcije (metoda bisekcija) Zadatak. Pronađite rješenje nelinearne jednačine F (sa preciznošću. Metoda je sljedeća: kao rezultat podjelom korijena, nalazi se segment u kojem se nalazi željena vrijednost korijena. Kao početnu aproksimaciju korijena, uzimamo vrijednost c o \u003d (b + a /. Zatim proučavamo vrijednosti F (na krajevima segmenata i . Onu na čijim krajevima F (preuzima vrijednosti različitih predznaka, sadrži željeni korijen. Stoga se uzima kao novi segment (vidi sl., ovdje je korijen na segmentu

23 ke. Zatim podijelimo rezultirajući segment na pola i ponovo provjerimo znakove. F (a, F (b, F (c. sl. Sada nalazimo korijen na segmentu. Zatim nalazimo c sa c, itd. Iterativni proces se nastavlja sve dok F (postane manji od datog broja: F (c. Radna formula za pronalaženje korena ima oblik c c c. Broj iteracija u ovoj metodi zavisi od unapred određene tačnosti i dužine segmenta i ne zavisi od tipa funkcije F (. Metoda je spora, uvijek konvergira, možete dobiti rješenje sa zadatom tačnošću, široko se koristi u praksi Blok dijagram algoritma metode bisekcije prikazan je na Sl., gdje je segment u kojem se nalazi korijen jednadžbe; s korijenom jednadžbe; broj iteracija; F (- vrijednost funkcije u odgovarajućoj tački ... Metoda tetiva Zadatak. Pronađite korijen jednačine F (sa preciznošću. Neka imamo segment na čijim krajevima F (mijenja svoj predznak, pri čemu je F (monotona funkcija. Neka je F (a, F (b. Na slici je grafički prikazan problem pronalaženja korijena metodom tetive. Bilo koja tačka segmenta može biti prva aproksimacija korena Povežimo tačke A i B pravom linijom , tj. hajde da napravimo akord. Dakle, dobijamo b, što je aproksimacija korena.

24 Koristimo jednačinu olovke linija koje prolaze kroz tačku B(b, F(b. y y =k(, y F(b =k(b. Tetiva mora proći kroz tačku A(a, F(a) , tj. F( a F(b k. ab Napišite jednadžbu prave F(a F(b y F(b) (b. a b Početni unos a, b, =, ε) Izračunajte F (a = + c a b F (c b = c F (c Ne Ne F(c* F(a Da Da Izlaz c, a = c Kraj Slika 4

25 5 Sl. Nacrtana linija siječe x-osu (((b a b b F a F b F y. Pronađite x kada je y = (((, ((((b F a F b a b F b b b F a F b a b F b. Dalje, upoređujući predznake F ( b i F(b, pronađite novi segment . Povežite tačke A i B sa novom tetivom, na taj način pronađite novu aproksimaciju korena. Iterativni proces se nastavlja do F(b manje od broja: (b F. Prilikom rješavanja ove metode nemoguće je izgubiti korijen. Radna formula metode akorda: b b b b F a F b a b F b b ili (((, gdje je b početak segmenta, a kraj (tačka a je fiksna. Kraj za koji se predznačna funkcija (F poklapa sa predznakom njene druge derivacije). Blok dijagram algoritma metode tetiva prikazan je na slici 4, gdje je segment u kojem nalazi se korijen jednadžbe; b je korijen jednadžbe; broj iteracija; F(b je vrijednost funkcije u odgovarajućoj tački.

26 .. Newtonova metoda (metoda tangente) 5, koja pokazuje grafičko rješenje zadataka. Iz tačke A povlači se tangenta na funkciju. Tačka presjeka tangente sa osom Ox je prva aproksimacija korijena, na sl. 5 je označeno kao a. Zatim iz tačke a povučemo pravu liniju okomitu na x-osu. Tačka preseka ove linije sa funkcijom biće označena sa A, i tako dalje. Početak Ulaz b, = b b b = + F (b Da Ne Izlaz b, Kraj Slika 4 Napišite jednačinu tangente linije na F (: y-y =k(-, y=, F(a gdje je k F(a, a , F (a F(a y F(a. a a. F(a y F a F(a (. (a 6

27 Fig. 5 Početak Unos a, = a a a = + F (a Da Ne Izlaz a, Kraj Slika 6 Radna formula tangentne metode: F(a a a, F(a a a a,... 7

28 Iterativni proces se nastavlja sve dok F (ne bude manji od zadatog broja: F (a. Kada se radi sa ovom metodom, korijen se može izgubiti, ali uz pravilnu primjenu metode, brzo konvergira, 4-5 iteracija daju greška od -5, koristi se i za pojašnjenje vrijednosti korijena. Dijagram toka algoritma tangentne metode prikazan je na slici 6, gdje je a korijen jednačine, broj iteracija, F(a je vrijednost funkcije u odgovarajućoj tački. (sa zadatom tačnošću. U ovom slučaju se istovremeno koriste metode tangenti i tetiva. Pristup korijenu se odvija sa dvije strane. Razmotrimo četiri slučaja koji odgovaraju moguće kombinacije znakova F (i F (. Iz grafova prikazanih na slici 7, metoda tetive je primijenjena sa strane udubljenja, a metoda tangente sa konveksne strane grafa. Slika 7 Kombinirana upotreba obje metode odmah daje pretjerana i nedovoljna aproksimacija. Primjenom ove metode pretpostavljamo da su F (, F ( i F (kontinuirani na segmentu , a F (i F) zadržavaju svoj predznak. Poznato je da je očuvanje znaka 8

29 y F (označava monotonost F (, a očuvanje predznaka y F (znači da je konveksnost krive y F (za sve [a, b)] okrenuta u istom smjeru. Radi pogodnosti izračunavanja, označavamo do i kraja segmenta, u kojem se znaci F (i F (poklapaju. Od mogućih slučajeva, razmotrite prvi slučaj. Neka F (a* F(b i F (* F (, tj. znakovi prvi i drugi izvod se poklapaju.Pri rješavanju jednadžbe svaka iteracija je sljedeća: iz tačke I povučemo tetivu koja savija luk AB, i povučemo tangentu na luk tako da tačka preseka tangente sa x -osa je unutar segmenta... Tetiva na grafovima siječe x-osu u tački b, koja leži između tačaka b i željenog korijena, a tangenta na luk u tački A siječe x-osu u tački a, koja leži između tačaka a i željenog korena jednačine (slika 8. Dobijene vrednosti a i b daju novu aproksimaciju korena. Dajemo formule za izračunavanje za a + i b +, izvedene u paragrafu .. i .. F(b (a b F(a b b, a a. F(a F(b F(a)) Proces pronalaženja a + i b + se nastavlja do jednog od sledećim uslovima: a b, gdje je navedena tačnost; F; (b ili F(a F a b sl. 8 9

30 Sva zaokruživanja u proračunima treba da se vrše dalje od korijena. Na sl. 9 je blok dijagram kombinovana metoda tetive i tangente, gdje je broj iteracija; a, b aproksimacijske vrijednosti korijena; F(a F(b vrijednosti funkcije u datim tačkama. Početak Unos a, b, = a a a b b b c a b = + F (c Ne Da Izlaz c, Kraj Fig) Jednostavna metoda iteracije (metoda uzastopne aproksimacije) Za primjenu jednostavne metode iteracije za rješenje nelinearne jednačine F(=, potrebno je transformisati u sledeća vrsta: (. (Ova transformacija (dovođenje jednačine u oblik pogodan za iteraciju) može se izvesti na različite načine; neki od njih će biti razmotreni u nastavku. Funkcija se naziva iterativnom funkcijom.

31 Odaberemo na neki način približnu vrijednost korijena (x i zamijenimo ga u desnu stranu jednačine (. Dobijamo vrijednost x (x. Sada zamjenjujemo x u desnu stranu (((jednačine ( ((, imamo x (x. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo niz aproksimacija korenu, izračunat po formuli (((,. (Ako postoji granica konstruisanog niza (x lm, onda, prolazeći do granice u jednakosti (i uz pretpostavku da je funkcija kontinuirana, dobijamo jednakost x (x (4 To znači da je x korijen jednadžbe (. Metoda omogućava jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Konstruiramo grafove funkcija y = i y \u003d (, (sl., a i, b. Korijen jednadžbe y = (je apscisa točke presjeka krive y = (sa pravom linijom y \u003d. Uzimajući kao početnu proizvoljna tačka , build slomljena linija. Apscise vrhova ove izlomljene linije su uzastopne aproksimacije korijena. Iz slika se može vidjeti da ako "(< на отрезке , то последовательные приближения = (-, колеблются около корня, если же производная "(>, tada uzastopne aproksimacije monotono konvergiraju korijenu. a b Fig.

32 Kada koristite jednostavne iteracije Glavna stvar je izbor funkcije y = (, ekvivalentne originalnoj. Na slici je prikazan primjer kada je uslov za kraj iterativnog procesa y zadovoljen na prvom koraku iterativnog procesa, tj. iz ovoga da je x približna vrijednost željenog korijena. Međutim, slika pokazuje da to nije tačno, jer je rješenje problema. Za metodu iteracije treba odabrati funkciju (tako da "(δ<, в противном случае процесс итерации расходящийся. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности { } к корню тем выше, чем меньше число δ. Ключевой момент в применении метода простой итерации эквивалентное преобразование уравнения F(= к виду (. Конечно, Рис. такое преобразование имеет смысл только тогда, когда оказывается выполненным условие (х q при q. Если первая (обычно самая простая и напрашивающаяся попытка представления уравнения в требуемом виде оказалась неудачной, отчаиваться не следует. В ряде случаев можно использовать специальные приемы. Рассмотрим некоторые из них [,5]. Способ. Если f (содержит в себе выражение некоторой обратимой на [с; d] функции y (, причем такой, что (q на , то следует попытаться заменить уравнение на равносильное с использованием обратной для функции: (y. Этот способ основан на известном соотношении между производными взаимообратных функций (y / (y и следствии из него:

33 if (q, onda (y (q. Primjer. Dovedite jednadžbu u oblik pogodan za rješavanje jednostavnom iteracijom na intervalu [,8; ].). Dodajmo x desnom i lijevom dijelu i dobijemo:. Provjerite konvergenciju uslov: ((; (za x [,8; ], uslov konvergencije nije zadovoljen. Druga verzija jednadžbe:. Proverite uslov konvergencije: ((; (4 za x [,8; ], uslov konvergencije je nije zadovoljan.S obzirom da nijedna od jednadžbi koje smo predstavili ne zadovoljava uslov konvergencije, onda je opisana metoda primjenjiva: teško je primijeniti ili neće dati željeni rezultat, možete koristiti sljedeći trik. Neka jednačina sa jednim Pretpostavimo da je na segmentu [c; d] derivacija f funkcije F kontinuirana, nije jednaka konstanti i uzima vrijednosti istog predznaka. Pretpostavit ćemo da je f (, jer u suprotnom mogu razmotrimo ekvivalentnu jednačinu: f (. Uvedemo oznaku: m m m f (, M ma f (, k i q -. [ c; d ] [ c; d ] M M

34 Jasno je da q. Zamijenimo ekvivalentnu jednačinu s njoj ekvivalentnom k f (i pokažimo da za funkciju g(k f (on) vrijedi uvjet konvergencije. Za [ c, d] razlomke nejednačina, dobijamo nejednakost: f (m q, M M odakle slijedi da je g(k f (q za sve [ c, d]. Primjer. Svesti jednadžbu l na oblik pogodan za rješavanje jednostavnom iteracijom na intervalu [,4;, 7]. Pošto uslov konvergencije nije zadovoljni, primenjujemo drugu metodu redukcije jednačine: f (; f (,4,4,4,7,7,44; f (,7,7,7,59,4,99 ; m m f (m,99 ; M ma f (k M q m M,44,69;,99,44 4,. M,44; jednačina l u obliku pogodnom za rješavanje jednostavnom iteracijom na intervalu [,7;,]..

35 Pošto uslov konvergencije nije zadovoljen, primenjujemo drugu metodu redukcije jednačine: f (; l f (,7,6,4,66;,7 l,7 f (,4;, l, m m f (m, 4; M ma f (k M,66,5; M,66; m,4 q,6. M,66 pogodan za rešavanje metodom jednostavne iteracije na intervalu [,;,7]. Pošto je uslov konvergencije nije zadovoljan, primjenjujemo drugu metodu redukcije jednačine: e.7 5.5;.7;5

36 m m k M f (M ma f (5.5,; m.7; M 5.5; m.7 q.9. M 5.5) Blok dijagram algoritma jednostavne iteracijske metode prikazan je na slici, gdje je c korijen jednadžbe; broj iteracija; F(c je vrijednost funkcije u odgovarajućoj tački. Početak Unos c, = (c c = = + F (c Da Ne Izlaz c, Kraj Slika 6)

37 . Kontrolni zadaci Razmotrenim metodama rješavati jednačine s jednom nepoznatom.. l.. cos. l. 4. cos 5. cos. 6. (e. 7. (e. 8. l. 9. e.. lg.. l.. cos.. t g ctg cos l s. 8. s. 9. lg.. tg.. s cos.. s, 5.. s cos, cos, cos 4 7. tg. 8. ctg, 5. 9. cos.. lg.. 7 lg. 6. cos. e (. 4. e.. 5. e 4(

38 7. e 4. 8., 9 s. 9. e. 4.s. 4. e 4.,58 s. 4. s s. 46. cos. 47.ctg. 48.s e. 5. (s. 5. cos. 5. lg tg, lg, s, 5. e. 57. (, 58. l tg 6. s. 6. l (. 6. lg(. 64. s(,5 , (e, s 67. e. 68. s 69. tg 7. s lg(. 7. e lg(. 74. l(. 75. s(,6, s(,5, lg(, (e. (e. 8. e... 8

39 Kontrolna pitanja. metoda poludijeljenja. Zašto se ova metoda smatra pouzdanom metodom za rješavanje nelinearnih jednačina? Koji je nedostatak ove metode? Da li je uvijek potrebno provjeriti uslove konvergencije za razmatrane metode?. Što objašnjava svrsishodnost korištenja kombiniranih metoda, posebno metode tetiva i tangenta? 4. Uslovi za konvergenciju metode jednostavnih iteracija. 5. Uvjeti za završetak iterativnog procesa koji se koristi u programu. 6. Navedite faze približnog određivanja korijena. 7. Koji je korijen ili rješenje nelinearne jednačine? 8. Dajte geometrijsku interpretaciju metode bisekcije. 9. Koji kraj akorda je fiksiran pri implementaciji metode akorda?. Kako se bira prva aproksimacija u Newtonovoj metodi? Zapišite algoritam za rješavanje zadatka metodom tetiva Metodom poludijeljenja. Zašto se ova metoda smatra pouzdanom metodom za rješavanje nelinearnih jednačina? Koji je nedostatak ove metode? Da li je uvijek potrebno provjeriti uslove konvergencije za razmatrane metode? 4. Šta objašnjava svrsishodnost upotrebe kombinovanih metoda, posebno metode tetiva i tangenta? 5. Uvjeti za konvergenciju metode jednostavnih iteracija? 6. Uvjeti za završetak iterativnog procesa koji se koristi u programu? 7. Navedite faze približnog određivanja korijena. 8. Koji je korijen ili rješenje nelinearne jednačine? 9. Dajte geometrijsku interpretaciju metode poludijeljenja.. Koji kraj tetive je fiksiran kod primjene metode tetiva?. Kako se bira prva aproksimacija u Newtonovoj metodi? Napišite algoritam za rješavanje problema metodom akorda. 9

40 Laboratorijski radovi. Lagrangeova interpolaciona formula Uvod Interpolacija je poseban slučaj problema aproksimacije jedne funkcije drugoj. Govorit ćemo o aproksimaciji funkcije jedne varijable. Interpolacijski problemi se javljaju u praksi inženjera u sljedećim slučajevima: interpolacija tabelarnih podataka; dobijanje analitičke zavisnosti od eksperimentalnih podataka; zamjena računski složene funkcije jednostavnijom ovisnošću; približna diferencijacija i integracija; numeričko rješenje diferencijalnih jednadžbi. Svrha rada: izračunati vrijednost funkcije date u tabeli u tačkama koje se ne poklapaju sa čvorovima, koristeći Lagrangeovu interpolacionu formulu. Redoslijed rada. Proučiti teorijski materijal.. Napraviti program za rješavanje problema, otkloniti ga.. Riješiti zadatu verziju kontrolnog zadatka. 4. Sastavite izvještaj koji sadrži zadatak, listu programa, izračunate vrijednosti funkcije. 5. Zaštitite laboratorijski rad. Izjava problema Početna funkcija y = F (data na segmentu u obliku tablice s nejednako raspoređenim čvorovima (x + x cijena. Za analitički zapis ove funkcije pomoću interpolacijske formule, ona potrebno je ispuniti uvjet da se originalna funkcija i funkcija φ (x koja je zamjenjuje) moraju poklapati u čvorovima, odnosno potrebno je ispuniti uvjet F(= φ (, gdje je ì =,. (Predstavljamo funkcija y = F( kao polinom stepena n: L (x = a + a x + a x a p x. (4

41 Za ovo koristimo polinome, od kojih svaki u tački x = x (=, uzima vrijednost y=, a na svim ostalim čvorovima =, =, = -, = +, = pretvara y u nulu y=y =y = =- , + = =y =. Slika, j; P (, j. Na slici je prikazan polinom. Pošto se željeni polinom pretvara u u tačkama,..., onda ima oblik P C, (gdje je C konstantni koeficijent. koeficijent se može naći na =, pošto P, C, (4 odakle C. (5 Zamjenom (5 u (, dobijamo P. (6 Stepen polinoma je n. Numeracija tačaka počinje sa i završava sa n, dok -ta tačka ispada. Rezultirajući polinom predstavlja originalnu funkciju y = F (samo u jednoj tački. Da biste predstavili cijelu tabelarnu funkciju takvih polinoma, trebat će vam stavka L 4 P y. (7

42 4. Posebni slučajevi Lagrangeovog polinoma Razmotrimo posebne slučajeve Lagrangeovog polinoma za n=; n=; p=. Za n=, originalna tabela funkcija će izgledati ovako: y y, tada po formuli (7 imamo y y y P y P L. Za slučaj n = : y y y. y y y y P y P y P L Za slučaj n=: y y y y P y P y P y P L y y.y y Uzmimo konkretan primjer: Funkcija je definirana tablicom njenih vrijednosti: Izračunajte vrijednost funkcije u tački,5.

43 Funkcionalne vrijednosti y= l x 4 5 y= l,69,986,86,694 Koristeći prve tri vrijednosti kao interpolacijske čvorove, dobijamo: L (=((-(-4/(-(-4.69+(-- (- 4/(-(-4, ((-(-/(4-(4-.,86=-,589 +,7 -,47; L (,5=,9. L) Gradimo polinom od treći stepen na četiri čvora: ,9,86,94,6849; , L,99.,69,986,89 Za poređenje ističemo da je u četvorocifrenim tabelama vrednost l,5 =,99.. Procena grešaka Konstruisani Lagrangeov polinom se poklapa sa originalnom funkcijom F , u svim ostalim tačkama L(predstavlja funkciju F(na intervalu približno. Bez izvođenja, pišemo formulu koja se koristi za procenu grešaka: f R f (L(, (8!!) gdje je R preostali član ili greška; f (+ i izvod originalne funkcije, dok pretpostavljamo da će F(na segmentu a b promjena u x imati sve a, b, izvode do (+-tog reda uključujući; tačka u kojoj daje maksimalnu vrijednost funkcije f polinoma,. ; stepen 4

44 Fig. 44

45 Procijenimo grešku funkcije zadane u tabeli, izaberemo stepen polinoma n =, datu funkciju y= l. Nađimo izvod trećeg reda y"=/; y""= /, y"""=/. Očigledno, maksimalna vrijednost y""" će se dobiti na =: y"""=/ =/4. R (,5 (,5 (,5 4) X Y X Y X Y.5.54.5 8.6579.5.8678.45.946.55 4.8, 8.99.887.46 9.6.6 6.598.5 7.9589.5.7788, 7.9589.5.7788, 7.9589.5.7788 7.4 8. 7. 4. 7. 4. 7. 4. .7 4.447.5 7.65.5.74688,49 7,75 4.5.4 7.96.4.67.5 6.8 44, 7.45 6.8485.45.6768.5 5.985.85 46.99.5 6.6659.9 49.44.55 6.9986.55.57695.5.558. 95 5.954.6 6.9658.6.5488.54.997 =.5 =, =.7 =.455 =.9 =.6 =.58 =, X Y X Y X Y X Y.4 -.4476.4 4.556.5 4.487 .9984.5 .9984.5 4.95.7.9595.65.7 5.479.965.7 -.846.55 4.5684.8 6.56.87695, 8 -.5.6 4.6744.9 6.6855.8688.9 -.779.65 4.798, 7.89.7.87789,4 -.95.7 4.96, 8.66 .775.4 -, 4598.75 5.49, 9.5.6.744.4 -.599.8 5.7744, 9.974.4.749.4 -.77.85 5.6.4.46.68547=,45=,6=, 8, =5 =,6=, 8 =,45 45

46 9 X Y X Y X Y X Y.8555.5.644.85 5.6965.67644.9 5.69.9.45.8967.9.967, 95 5.94.6.67.4.89667.54, 5.6649.45.89687.5.8.5 4.9469.6.66.44.89698. 4.4776, 4.87.57.445 8947.45.8759.5 4.76.6.677.45.89569.5.467, 4.6855.4.857.455.896677.55.896677.55.45.8759.5 4.76.6.677.45.89569.5.467. 4-6,94647,7,4499,6,89,44-7, 8945 5.8655.9.59.7.8.54-7.67 7.776.59774.8.5.64-7.8678 9.446.6587.7.8678 9.446.6587.7.4.7.446.6587.7.4. 7.75.77648.7.769 4.498.94-7.8666 5.999.9.86 4.458.4-8.56 7.7558.8474 4.4586.4-8.46 9.449.845 9.449.845 6.8,4 = 8,8,4 = 8,8,4 = 8,8,4,8,4 ,87 = 4, =,5 = 9, X Y X Y X Y X Y,5 -,6844,9,5844,47 -,788,5 -,84, -,5688, 95.67884.48 -.8 -.99.7 -.474.69.49 -.947 -.796 -.9987.5.6546.5 -.8768.4 -.79.9 --, 96.6754.5 -.84.7 -.69.45 -.88.5.696759.5 -.7444 -.584.5 -.7685 -.685. 5.57 - .74.5.784.54 -.66.6 -.4858.6 -.6664.75847.55 -.5489.9 -.4464.69 -.8.5.7777.56 -.4846 -.49 x =,6,4 x =,5 x x =,66 x =, x =,55 9 x =, 46

47 4 X Y X Y X Y X Y.7 -.7896 5.5.964.4 -.788.789 -.98.8 -.7445 5.969.5 -.498.79 -.978.9 -.5.94585, 6 -.65.79 -.65.79 -.7.95 . -.997 -.6659 5.5.9658.8 -.96758.79 -.957 -.595 5 .97456.9 -.946.794 -.97 -.5664 5.5.98949.4 -.969.795 -.969.795 -.969.795 -.5.97 . 947,5 -.547 5, 45.468.4 -.8675.797 -.9497.6 -.4945 5.5.6.4 -.8497.798 -.9557 =.79 x = 5.6 x =. 5 x = 5.48 x Y X. X. Y X. 75 4.5.5 7.65.7488.9 5.6.8 44.7.4 7.96.5 .74688.95 5.9.85 46.99.45 6.8485.4.67, 5.6655.44.6768.5 4.946.95 5.954.55 6.9986.5.665, 4.87 4.54.598.6 6.9658.55.57695.5 4.76 4.5 57.975.65 6.55.6.5488.4.685 4.6.546.5 5.555.65.546,5 4,59 4,5 6,44,75 5.6558.7.496585, 4.44 4.66.686.8 5.4954.75.476.5 4, =. 76 = .6=, x=.98=4 ,7 x =,7 x =,74 x =,7 9 X Y X Y X Y X Y,7 5.479.4.88959.6.7644.6 6.598.8 6.496.45.896.9.65 8.474.85 8.474.85 8966.6.67.7 4.447, 7.89.45.8968.75 4.5, 8.66.44.8969.6.66.8 44.7, 9.5.445.8947, 57.85 46.99, 45.94, 45.69.6.6. 7.4.857.95 5.95.5.85.46.89765.46.9959 4.54.598.6.467.465.8986.5.4579 4.5 57.97=.74x=.46x=.8x= .6 = 7.4 x 4.5

48 4 5 6 X Y X Y X Y X Y.57 8.945.99, 7.6489.748.48 8.746.885.4. 7.65.5.7468.49 7.4, 6755.4 7.96.4.67.5 6.6.555.45 6.8485.45.676.5 5.984.8.5 6.6659 .5.665.5.9484.4.55 6.9986.55, 57695.5.558, -.584.6 6.9658.6.5488.54.997.4 -.555.65 6.55.65.54.558, 57695.5.558, -.584.6 -. ,69 =,6 x =,7 x =,465 x =, =,67 x =,67 x =,557 x =, X Y X Y X Y X Y,99, - .46 6.68.7.486:8.885, -.5885 6.5.5.9. 985.5.6755.4 -.774 6.7.448.69.7.555.6 -.8569 6.9.5784.67.9 .5.8 -.94 7.79.5.87.4 -.99 7.854.7.49 -9.68.5 -9.68.5. 555.4 -.45 7.7.988.7 -.445.6 -.489 7.9.9989.98.9 -.69.8 -.5 8.5.5.85 x =.7 =.8 x =, =.7 x = 6, = 7.6 x =,75 =, X Y X Y X Y X Y, 45,48,47,58,48,56,49,54,5,546,5,576,5,5859,54,5994,55,6,57, 64,58,655,59,6696,6,684,6 79,6,79,64,7445,65,76,67,79,68,887,69,85,7,84,7,877,7,949,74,9,75, 96,77,9696,78,989,79,4, 8,96,8,77,8,94,84,56,85,8,87,85,88,97,89,46,9,6,9, 9.49.94.69 x=.48 x=.48 x =.5 x=.5 x=.87 x=.9 x=.9 x=.9 48

49 X Y X Y X Y X Y 7456.8.7.84.7.8949.44, 957.75.96.78.989.55.4.8.96.8.94.75.78.85.8.88.97.4 4.96 .4 4.96 .4 4.96 .4 4.96 .4 4.96 .4 9.6.7 .9 . 5.9 x=,49 x=,5 x=,75 x=, 7 x \u003d,9 x \u003d,95 x \u003d,6 x \u003d, X Y X Y X Y X Y .7966, 4.9.7.644.8.95.8.986, 4.9.7.644.8.95.8.986 9.78.9.554.9.7, 4.97.89.6.4 5.466.966.69.86.5 .546.5645.6 6.6947.7.78.758.7 7.46.9.6.4.9477.4= x=.5 x=.95 x=. x= , x =,8 x =, X Y X Y X Y X Y, 8.947.97.75.474.98 8.4.8546.4.744.95.867.4.9 8.6.744.5.75.5.66.6.85 8.8.66.6.85 8.8.584.9 .4.6.9.9. 55.545 9.9.8 5.8.75.78.64 9.4.48.9 6.859.95.4, 4.699 9.6 -.74, 8.5.65.6 -.9 9.8 -.665, 9.6.5.7.4, 9.6.5.954.5 -.8 x 4.5. x=8, 5 x =.5 x =.78 =.66 = 9.9 =.4 =.45 49

50 X Y 6 X Y 6 X 6 Y X 64 Y.7 X.8 Y X.5.5 Y 4, X -.7568 Y.5 X.5 Y 84.8.54.55.5666.4.6.666.9 4 .65 -.876 8.4747. 6.6485. 8 -.996 44.7.9.5 .49 7.65.94.847.48.75.887 5.85 -.68 46.99.4.97 7.96.4.669.79.5.56.8776 5.9 -.4 48.5.5 48.5.5 48.5.5 . 67 5.954.5.576 6.6659.5.4 4.487.585.54.6984.8577 5.6 4, -.54 54.598 .55.78 6.9986.6.4 4.95.7786.56.4.447 5.8 4.5 -.4 57.975.4.6.959 6.9658 X.44 =, 75.999.58 x =, 54.865 4, x = 4, 6.4.65 x =, 56.55 x =, 55.55 x =, 4.5 x =, 655 5.7 x =, 6.7 =, 46 =, 57 = 4.7 =, X Y X Y X Y X Y.46 . 6.959.6 4.95.45 4.55.47 8.945.96.7 5.479.5 4.455.48 8.746.6.8769.8 6.496.55 4.5684, 49 7.846.59 7.6.6.5 7.6 7.6 . 775, 8.66.7 4.96.5.9484.6.744, 9.5, 75 5.49.5.558.4.74, 9.974.8 5.7744.54.997.46.6854.4.85 5.6.5 = 5.6.5 = 5.6.5 = 5.6.5 x 5.6.5 ,66 x =,465 =,7 =,57 =,57 =, X Y X Y X Y X Y 5,44774,765,56,478,6,848,4855,796,57,4745,7,964,5,5745,67,58,46668,8,7,4,556,6,59,46,9,448,84, , 5669 x =, 59 =, 7 x =, 5 x =, 56 =, 6 =, 87 =, 44 =, 7 5

51 X Y X Y X Y X Y .7554.6.75.6.55.7.864.7.6.7.864.7.847.8.9896.8.8.9896.8 4.57.9.77.9.66.9.77.9 = 4,57 x 5 = 4,57 x , 7 =, 57 =, 87 =, 8 Kontrolna pitanja. Šta znače pojmovi: aproksimacija, interpolacija, ekstrapolacija?. Mjere blizine (odstupanja dvije funkcije.. Napišite interpolacijske formule za tabele: a sa promjenjivim korakom; b sa konstantnim korakom. 4. Konačne razlike, kako ih izračunati? 5. Razdijeljene razlike, kako se izračunavaju? 6. Zapišite funkcija navedena u tabeli u analitičkom obliku koristeći interpolacijske formule X - Y Napišite posebne slučajeve Newtonove formule za n=, n= 8. Napišite posebne slučajeve Lagrangeove formule za n=, n=, n= 9. Kako procijeniti grešku interpolacijske formule? Lagrange.. Izračunaj konačne razlike različitih redova: 5

52 . Konstruirajte Lagrangeov interpolacijski polinom za tablično datu funkciju y = nx:. Napišite funkciju u analitičkom obliku, koristeći podijeljene razlike za ovo: 4. Kako možete odrediti najbolji stupanj polinoma koji treba aproksimirati? 5. Da li je moguće proizvoljno podesiti stepen aproksimirajućeg polinoma tokom aproksimacije? 6. Pronađite polinom najmanjeg stepena koji uzima date vrijednosti u datim tačkama. y,45,4,6 4,5,4 5,65 ovu funkciju. y 4 6 5

53 Laboratorijski rad 4. Metoda najmanjih kvadrata Svrha rada: Odabrati vrstu zavisnosti i odrediti nepoznate parametre tabelarne date funkcije metodom najmanjih kvadrata. Redoslijed rada. Upoznajte se sa opisom laboratorijskog rada Za datu varijantu odredite: vrstu zavisnosti; b nepoznati parametri Napravite izvještaj. 4. Odgovorite na sigurnosna pitanja. 5. Zaštita laboratorijskog rada Opis metode Neka eksperiment rezultira tablicom neke funkcije F(y y y y). Potrebno je pronaći funkciju oblika y = F(, koja u tačkama uzima vrijednosti najbliže tablične vrijednosti y,y,y. Takva formula se naziva empirijska formula ili regresijska jednadžba y on, sama funkcija se naziva aproksimirajuća funkcija ili aproksimirajuća. U praksi se ova aproksimirajuća funkcija nalazi na sljedeći način. Prema tabeli, gradi se tačkasti dijagram funkcije F prema kojem se postavlja tip aproksimirajuće funkcije. Kao aproksimirajuća funkcija, y = F (ovisno o Sljedeće funkcije se često koriste ovisno o prirodi dijagrama raspršenja: y =a+b; y=a +b+c; y=a m ; y=b a ; y=a+b s; y=a l+b; y=/(a+ b; y=a/+b; y= /(a+b, y=a e m ; gdje su a, b, c, m konstante. Izbor aproksimirajuće funkcije nije algoritamski;

54 funkcija proksimacije se nalazi nabrajanjem. Kao pomoć, možete koristiti metodu poravnanja. Dakle, ako se uspostavi oblik aproksimirajuće funkcije, onda se problem svodi na pronalaženje vrijednosti parametara. Oni se mogu izračunati metodom najmanjih kvadrata, čija je suština sljedeća. Neka je potrebno pronaći aproksimirajuću funkciju, na primjer, sa tri parametra: y ǐ =F(ǐ,a,b,c (Za (gdje je =, iz tabele ova funkcija će uzeti vrijednosti =F(, a,b,c), manje se razlikuju od datih (tabelarne vrijednosti, odnosno razlika treba da bude blizu nule. Dakle, zbir kvadrata razlika odgovarajućih vrijednosti funkcija F (i y F a , b, c Fa, b c, takođe treba da poprimi minimalnu vrijednost. Dakle, problem se sveo na pronalaženje minimuma funkcije F(a, b, c. Koristimo neophodan uslov ekstremuma: F, a F, b F, c ili y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, b, c y F, a, b, cf, a, b, c 54 a b c ,b,c Očigledno je da će se vrijednosti pronađene funkcije F(,a,b,c u tačkama razlikovati od vrijednosti u tabeli y,y,y.. Vrijednosti razlika y F,a,b , c, gdje je =,.. , nazivaju se odstupanja ovih y vrijednosti od onih izračunatih po formulama e (. Zbir kvadrata odstupanja (treba biti najmanji. Imajte na umu da je od nekoliko aproksimacija za istu funkciju tabele najbolja ona za koju ima najviše

55 je donja vrijednost. U našem slučaju, aproksimirajuća funkcija zavisi od tri parametra, ali će promena broja parametara uticati samo na promenu broja sistemskih jednačina (, a suština metode će ostati ista. Razmotrimo posebne slučajeve nalaženje aproksimirajućih funkcija.. Linearna funkcija Neka je potrebno pronaći aproksimirajuću funkciju u obliku linearne: ,a,b = a + b. Pošto su njene parcijalne derivacije u odnosu na parametre a i b:, a, b F b, a, b, tada će sistem (poprimiće oblik: F a, y a b, y a b. Nakon jednostavnih transformacija, može se dovesti u oblik: y a b, (a y a b. Nakon što smo riješili sistem, dobijamo vrijednosti parametara a i b, a samim tim i specifičan oblik aproksimirajuće funkcije F(,a,b = a+b. Primjer. Pronađite aproksimirajuću funkciju u obliku linearnog polinoma F(,a, b = a+b y 66.7 7, 76, 8.6 85.7 9.9 99.4.6 5 = , = =8,, = 54.8, = 46. Rješavamo sistem linearnih algebarskih jednadžbi za a i b, dobijamo a =.87, b = 9. Pribl. modulirajuća funkcija ima oblik F(,a,b =,87+9,. 55

56 . Kvadratna funkcija Neka je potrebno pronaći aproksimirajuću funkciju u obliku kvadratne: F(,a,b,c = a +b+c. Budući da su njene parcijalne derivacije u odnosu na parametre a, b i c, respektivno , su jednaki: F a, a, b, c, F b, a, b, c, F c, a, b, c, tada će sistem poprimiti oblik: y a b c, y a b c, y a b c. F(,a ,b,c=a +b+c. 4. Argument funkcije snage i vrijednost funkcije su pozitivni, uzimamo logaritam jednakosti (: lf = la + ml. Uvedemo sljedeću notaciju u = l; A = m; B = la, tada će lf biti funkcija od u: F (u, A, B = Au + B. Dakle, pronalaženje parametara funkcija snage sveli smo na pronalaženje parametara linearna funkcija. Stoga će dalje rješenje postavljenog problema biti slično prvom slučaju. Pošto su parcijalni izvodi funkcije F (u, A, B u odnosu na parametre A, B: F a u, F, onda će sistem (poprimiti oblik: b u y A u B u, y Au B. 56

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE UKRAJINE NACIONALNI TEHNIČKI UNIVERZITET "KARKIVSKI POLITEHNIČKI INSTITUT" Uputstvo za laboratorijski rad "Izračunavanje korena transcendentalnih jednačina"

Rješenje nelinearnih jednadžbi Ne mogu se uvijek tačno riješiti algebarske ili transcendentalne jednadžbe Koncept tačnosti rješenja podrazumijeva:) mogućnost pisanja „tačne formule“, odnosno

Saratovski nacionalni istraživački državni univerzitet po imenu N.G. Černiševskog" A.I. Zinina V.I. Kopnina Numeričke metode linearne i nelinearne algebre Tutorial Saratov

Laboratorijski rad na temu "Tema.. Metode rješavanja nelinearnih jednačina" Idi na temu. tema. Ogl... Pitanja za proučavanje. Postavljanje problema numeričkog rješavanja nelinearnih jednačina

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "VORONJEŽSKI DRŽAVNI PEDAGOŠKI UNIVERZITET" Katedra za informatiku i metode

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja „NACIONALNO ISTRAŽIVAČKO TOMSK POLYTECHNICAL

Državna budžetska obrazovna ustanova srednjeg stručnog obrazovanja "Vladimirska vazduhoplovna mašinska škola" METODOLOŠKA UPUTSTVA za izvođenje laboratorijskih radova iz discipline NUMERIČKA

Postavka problema Metoda bisekcije Metoda tetiva (metoda proporcionalnih dijelova 4 Njutnova metoda (metoda tangenti 5 Metoda iteracija (metoda uzastopnih aproksimacija)) Postavljanje problema Neka je dato

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja Tomski državni univerzitet za upravljačke sisteme i radioelektroniku Odsjek TUSUR

MINISTARSTVO PROSVETE RUSKE FEDERACIJE DRŽAVNI TEHNOLOŠKI INSTITUT SANKT PETERBURG (TEHNIČKI UNIVERZITET) Odsek za primenjenu matematiku M.V. Lukina METODE PRIBLIŽNIH PRORAČUNA

DRŽAVNI UNIVERZITET SANKT PETERBURG Fakultet primijenjene matematike upravljačkih procesa A. P. IVANOV RADIONICA O NUMERIČKIM METODAMA NJUTNOVA METODA Smjernice Sankt Peterburg 2013.

Federalna agencija za obrazovanje Ruske Federacije Državni tehnički univerzitet Ukhta Smjernice za računsku matematiku i test papiri UHTA 6 UDC.6 7. LBC. i 7

METODOLOŠKA UPUTSTVA za izvođenje laboratorijskih radova iz discipline "Računarstvo" semestar 3 NOVOSIBIRSK 008 Ministarstvo nauke i obrazovanja Ruske Federacije Novosibirsk Tehnološki institut Moskovske države

A. P. Ivanov Smjernice Tema 4: Newtonova metoda za rješavanje nelinearnih jednačina i sistema jednačina Fakultet PM PU St. Petersburg State University 2007 Sadržaj 1. Rješavanje skalarnih jednačina................ ......... ........

1 Lagrangeov polinom Neka se iz eksperimenta dobiju vrijednosti nepoznate funkcije (x i = 01 x [ a b] i i i).

NUMERIČKO RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA -1- NUMERIČKO RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA 0. Izjava problema Problem nalaženja korijena nelinearne jednadžbe oblika y=f() često se nalazi u naučnim istraživanjima

Zadaci za praktičnu nastavu iz discipline "Računarska matematika" Praktična nastava na temu Teorija grešaka Test pitanja Definišite računski eksperiment Nacrtajte dijagram

Evaluacijski alati za tekuće praćenje napredovanja, srednja certifikacija na osnovu rezultata savladavanja discipline i nastavno-metodička podrška samostalnom radu studenata 1 Računski zadaci Varijante

LEKCIJA PRIBLIŽNO RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA Razdvajanje korijena Neka je jednačina f () 0, () gdje je funkcija f () C[ a; Definicija Broj se naziva korijenom jednadžbe () ili nula funkcije f (), ako

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA RUSKE FEDERACIJE DRŽAVNI UNIVERZITET PENZA NUMERIČKE METODE LINEARNE ALGEBRE Uputstvo za izvođenje laboratorijskih radova PENZA 7

Metode.doc Približne metode proračuna Strana 1 od 6 Opšti uslov zadatka: Koristeći dve date numeričke metode, izračunajte približnu vrednost korena 1 funkcionalne jednačine oblika f()=0 za N vrednosti

20 Praktična nastava 3 Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina iterativnim metodama Trajanje rada - 2 sata Svrha rada: učvršćivanje znanja o metodama jednostavne iteracije i Gauss-Seidelove metode;

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUSKE FEDERACIJE Kostromska država Tehnološki univerzitet I.V. Zemlyakova, O.B. Sadovskaya, A.S. Iljukhina NUMERIČKE METODE Preporučeno od strane uredništva i izdavaštva

POGLAVLJE NELINEARNE JEDNAČINE. Koncepti i definicije. Formulacija problema. Rješenje nelinearnih jednadžbi s jednom nepoznatom jedan je od važnih matematičkih problema koji se javljaju u različitim dijelovima

1 Rješenje jednadžbe sa jednom nepoznatom Jednačina je data u obliku f(x)=0, gdje je f(x) neka funkcija varijable x. Broj x * naziva se korijen ili rješenje zadata jednačina, ako prilikom zamjene x=x * u jednadžbu

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Moskovski državni univerzitet za geodeziju i kartografiju (MIIGAiK) Fakultet udaljene forme učenje Ekstramural PROGRAM I KONTROLA

Predavanje 3 Taylor i Maclaurin serija Primjena nizova stepena Proširivanje funkcija u nizove stepena Taylor i Maclaurin serije Za primjene je važno biti u mogućnosti proširiti datu funkciju u niz stepena, te funkcije

MINISTARSTVO POLJOPRIVREDE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "KUBANSKI DRŽAVNI AGRARNI UNIVERZITET"

Katedra za matematičko-informatičke elemente višu matematiku Trening i metodološki kompleks za učenike srednjeg stručnog obrazovanja koji studiraju koristeći daljinske tehnologije Račun modula Sastavio:

MODUL „Primjena kontinuiteta i derivata. Primjena derivacije u proučavanju funkcija. Primjena kontinuiteta.. Metoda intervala.. Tangenta na graf. Lagrangeova formula. 4. Primjena izvedenice

Pitanja za ispit iz kursa Računske metode Linearna algebra 2. godina, 3. semestar Predavač: profesor S.B. Sorokin Dio 1. Numerička analiza Tema 1. Algebarske metode interpolacija. 1. Formulacija

Laboratorijski rad Svrha rada: Učvršćivanje vještina u radu sa osnovnim sintaktičke konstrukcije C jezik i sposobnost organizovanja petlji i izvođenja proračuna.. TEORIJSKI DIO.. Metode rješenja

Pascal 13. Rješenje nelinearnih jednadžbi. Nelinearne jednačine se mogu podijeliti u 2 klase - algebarske i transcendentalne. Algebarske jednačine se nazivaju jednadžbama koje sadrže samo algebarske

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Tambovski državni tehnički univerzitet"

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "ULJANOVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET"

A.P.Popov Metode optimalnih odluka Priručnik za studente ekonomskih specijalnosti univerziteta Rostov na Donu 01 1 Uvod Postoji nekoliko pravaca u primijenjenoj matematici, prvenstveno usmjerenih na

Ch Niz stepena a a a Niz oblika a a a a a () naziva se niz stepena, gde su, a, konstante, koje se nazivaju koeficijenti niza. Ponekad se razmatra niz stepena opšteg oblika: a a (a) a ( a) a (a) (), gdje

Departman za matematiku i informatiku Matematička analiza Obrazovno-metodološki kompleks za studente HPE koji studiraju uz korištenje tehnologija na daljinu Modul 4 Primjena derivata Sastavio: vanr.

) Koncept SLAE) Cramerovo pravilo za rješavanje SLAE) Gaussova metoda 4) Rang matrice, Kronecker-Capelli teorema 5) Rješenje SLAE invertiranjem matrica, koncept uslovljenosti matrica) Koncept SLAE O SLAE sistem

NUMERIČKE METODE ZA RJEŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA.. NUMERIČKE METODE ZA RJEŠAVANJE CAUCHYEVA ZADATAKA... Cauchyjev zadatak za jednu običnu diferencijalnu jednačinu. Razmatramo Cauchyjev problem

Poglavlje 4 Osnovne teoreme diferencijalni račun Otkrivanje nesigurnosti Osnovne teoreme diferencijalnog računa Fermaova teorema (Pierre Fermat (6-665) francuski matematičar) Ako je funkcija y f

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja „Ural State University. A.M. Gorky" IONTS "Poslovna informatika"

NUMERIČKE METODE ANALIZE IZDAVAČKA KUĆA GOU VPO TSTU Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja „Tambovska država

Ministarstvo saobraćaja Ruske Federacije (Ministarstvo saobraćaja Rusije) Federalna agencija za vazdušni saobraćaj (Rosaviatsiya) Državni univerzitet u Sankt Peterburgu civilno vazduhoplovstvo» E.

Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije Južno-uralski državni univerzitet (NRU) Ogranak SUSU (NRU) u Ust-Katavu

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUSIJE TOMSK DRŽAVNI UNIVERZITET FAKULTET INFORMATIVNIH NAUKA Radni program disciplina RAČUNARSKA MATEMATIKA Smjer 010300 Osnove informatike i informatike

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA Nižnji Novgorodski državni tehnički univerzitet. R.E. Alekseeva RADIONICA O

4 Iterativne metode za rješavanje SLAE Jednostavna metoda iteracije veliki brojevi Jednačine, direktne metode za rješavanje SLAE (sa izuzetkom metode sweep) postaju teške za implementaciju na računaru, prvenstveno zbog