Ποια είναι η διάμεσος στον τύπο του τριγώνου. Τρίγωνο διάμεσος

Η διάμεσος και το ύψος ενός τριγώνου είναι ένα από τα πιο συναρπαστικά και ενδιαφέροντα θέματαγεωμετρία. Ο όρος "διάμεσος" σημαίνει μια γραμμή ή τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τριγώνου με αυτήν αντίθετη πλευρά. Με άλλα λόγια, η διάμεσος είναι μια γραμμή που εκτείνεται από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου προς την αντίθετη κορυφή του ίδιου τριγώνου. Εφόσον ένα τρίγωνο έχει μόνο τρεις κορυφές και τρεις πλευρές, μπορεί να υπάρχουν μόνο τρεις διάμεσοι.

Ιδιότητες μέσης τριγώνου

Όλες οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο και χωρίζονται από αυτό το σημείο σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή. Έτσι, αν σχεδιάσετε και τις τρεις διάμεσους σε ένα τρίγωνο, τότε το σημείο τομής τους θα τις χωρίσει σε δύο μέρη. Το τμήμα που είναι πιο κοντά στην κορυφή θα είναι τα 2/3 ολόκληρης της γραμμής και το τμήμα που είναι πιο κοντά στην πλευρά του τριγώνου θα είναι το 1/3 της γραμμής. Οι διάμεσοι τέμνονται σε ένα σημείο.
Τρεις διάμεσοι που σχεδιάζονται σε ένα τρίγωνο χωρίζουν αυτό το τρίγωνο σε 6 μικρά τρίγωνα, των οποίων το εμβαδόν θα είναι ίσο.
Όσο μεγαλύτερη είναι η πλευρά του τριγώνου από την οποία προέρχεται η διάμεσος, τόσο μικρότερη είναι αυτή η διάμεσος. Αντίθετα, τα περισσότερα κοντή πλευράέχει τη μεγαλύτερη διάμεσο.
Διάμεσος σε ορθογώνιο τρίγωνοέχει μια σειρά από δικά του χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, εάν ένας κύκλος περιγράφεται γύρω από ένα τέτοιο τρίγωνο, ο οποίος θα διέρχεται από όλες τις κορυφές, τότε η διάμεσος ορθή γωνία, που έλκεται από την υποτείνουσα, θα γίνει η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου (δηλαδή, το μήκος του θα είναι η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο του κύκλου μέχρι το κέντρο του).

Εξίσωση μέσου μήκους τριγώνου

Ο διάμεσος τύπος προέρχεται από το θεώρημα του Stewart και δηλώνει ότι η διάμεσος είναι Τετραγωνική ρίζααπό τον λόγο των τετραγώνων του αθροίσματος των πλευρών του τριγώνου που σχηματίζουν την κορυφή, μείον το τετράγωνο της πλευράς προς την οποία σύρεται η διάμεσος σε τέσσερα. Με άλλα λόγια, για να μάθετε το μήκος της μέσης, πρέπει να τετραγωνίσετε τα μήκη κάθε πλευράς του τριγώνου και στη συνέχεια να το γράψετε ως κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου θα είναι το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών που σχηματίζουν η γωνία από την οποία προέρχεται η διάμεσος, μείον το τετράγωνο της τρίτης πλευράς. Ο παρονομαστής εδώ είναι ο αριθμός 4. Στη συνέχεια, από αυτό το κλάσμα, πρέπει να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα και, στη συνέχεια, παίρνουμε το μήκος της διάμεσης τιμής.

Σημείο τομής των διάμεσων τριγώνου

Όπως γράψαμε παραπάνω, όλες οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο του τριγώνου. Διαιρεί κάθε διάμεσο σε δύο μέρη, το μήκος των οποίων αντιστοιχεί σε 2:1. Το κέντρο του τριγώνου είναι επίσης το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από αυτό. Και άλλοι γεωμετρικά σχήματαέχουν τα δικά τους κέντρα.

Οι συντεταγμένες του σημείου τομής των διάμεσων του τριγώνου

Για να βρούμε τις συντεταγμένες τομής των διάμεσων ενός τριγώνου, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα του κέντρου, σύμφωνα με την οποία διαιρεί κάθε διάμεσο σε τμήματα 2:1. Σημειώνουμε τις κορυφές ως A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

και υπολογίστε τις συντεταγμένες του κέντρου του τριγώνου με τον τύπο: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 \u003d (y 1 + y 2 + y 3) / 3.

Εμβαδόν τριγώνου ως προς τη διάμεσο

Όλες οι διάμεσοι ενός τριγώνου διαιρούν αυτό το τρίγωνο με το 6 ίσα τρίγωνα, και το κέντρο του τριγώνου διαιρεί κάθε διάμεσο με αναλογία 2:1. Επομένως, εάν οι παράμετροι κάθε διάμεσου είναι γνωστές, είναι δυνατό να υπολογιστεί η περιοχή του τριγώνου μέσω της περιοχής ενός από τα μικρά τρίγωνα και στη συνέχεια να αυξηθεί αυτός ο αριθμός κατά 6 φορές.

Η διάμεσος είναι το τμήμα που σχεδιάζεται από την κορυφή του τριγώνου μέχρι το μέσο της απέναντι πλευράς, δηλαδή το διαιρεί στο μισό με το σημείο τομής. Το σημείο στο οποίο η διάμεσος τέμνει την απέναντι πλευρά από την οποία βγαίνει ονομάζεται βάση. Από ένα σημείο, που ονομάζεται σημείο τομής, περνά κάθε διάμεσος του τριγώνου. Ο τύπος για το μήκος του μπορεί να εκφραστεί με διάφορους τρόπους.

Τύποι για την έκφραση του μήκους της διάμεσης

Συχνά σε προβλήματα γεωμετρίας, οι μαθητές πρέπει να αντιμετωπίσουν ένα τμήμα όπως η διάμεσος ενός τριγώνου. Ο τύπος για το μήκος του εκφράζεται ως προς τις πλευρές:

όπου α, β και γ είναι πλευρές. Επιπλέον, c είναι η πλευρά στην οποία πέφτει η διάμεσος. Έτσι τα περισσότερα απλή φόρμουλα. Μερικές φορές απαιτούνται διάμεσοι τριγώνων για βοηθητικούς υπολογισμούς. Υπάρχουν και άλλοι τύποι.

Εάν κατά τον υπολογισμό είναι γνωστές δύο πλευρές του τριγώνου και μια ορισμένη γωνία α που βρίσκεται μεταξύ τους, τότε το μήκος της μέσης του τριγώνου, χαμηλωμένο στην τρίτη πλευρά, θα εκφραστεί ως εξής.

Βασικές ιδιότητες

Όλοι οι διάμεσοι έχουν ένα κοινό σημέιοτις τομές του Ο και χωρίζεται σε αναλογία δύο προς ένα, αν μετρήσουμε από πάνω. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο βάρους του τριγώνου.
Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο άλλα, τα εμβαδά των οποίων είναι ίσα. Τέτοια τρίγωνα ονομάζονται ίσα τρίγωνα.
Εάν σχεδιάσετε όλες τις διάμεσες, τότε το τρίγωνο θα χωριστεί σε 6 ίσα σχήματα, τα οποία θα είναι επίσης τρίγωνα.
Εάν σε ένα τρίγωνο και οι τρεις πλευρές του είναι ίσες, τότε σε αυτό καθεμία από τις διάμεσες θα είναι επίσης ένα ύψος και μια διχοτόμος, δηλαδή κάθετη στην πλευρά προς την οποία τραβιέται, και διχοτομεί τη γωνία από την οποία εξέρχεται.
ΣΤΟ ισοσκελές τρίγωνοη διάμεσος που πέφτει από μια κορυφή που βρίσκεται απέναντι από μια πλευρά που δεν είναι ίση με καμία άλλη θα είναι επίσης το ύψος και η διχοτόμος. Οι διάμεσοι που αφαιρούνται από άλλες κορυφές είναι ίσες. Είναι επίσης απαραίτητο και επαρκής κατάστασηισοσκελής.
Αν το τρίγωνο είναι η βάση σωστή πυραμίδα, τότε το ύψος που έπεσε στη δεδομένη βάση προβάλλεται στο σημείο τομής όλων των διαμέσου.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η διάμεσος που τραβιέται στη μεγαλύτερη πλευρά είναι το ήμισυ του μήκους της.
Έστω Ο το σημείο τομής των διαμέτρων του τριγώνου. Ο παρακάτω τύπος θα ισχύει για οποιοδήποτε σημείο Μ.

Μια άλλη ιδιότητα είναι η διάμεσος ενός τριγώνου. Ο τύπος για το τετράγωνο του μήκους του ως προς τα τετράγωνα των πλευρών παρουσιάζεται παρακάτω.

Ιδιότητες των πλευρών στις οποίες σύρεται η διάμεσος

Εάν συνδέσετε οποιαδήποτε δύο σημεία τομής των διάμεσων με τις πλευρές στις οποίες είναι χαμηλωμένα, τότε το τμήμα που προκύπτει θα είναι η μέση γραμμή του τριγώνου και θα είναι το μισό από την πλευρά του τριγώνου με το οποίο δεν έχει κοινά σημεία.
Οι βάσεις των υψών και των μέσων στο τρίγωνο, καθώς και τα μέσα των τμημάτων που συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με το σημείο τομής των υψών, βρίσκονται στον ίδιο κύκλο.

Συμπερασματικά, είναι λογικό να πούμε ότι ένα από τα πιο σημαντικά τμήματα είναι ακριβώς η διάμεσος του τριγώνου. Ο τύπος του μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρείτε τα μήκη των άλλων πλευρών του.

Εντολή

Να αποσύρω τύποςΓια διάμεσοισε ένα αυθαίρετο, είναι απαραίτητο να στραφούμε στο συμπέρασμα του θεωρήματος συνημιτόνου για ένα παραλληλόγραμμο που προκύπτει με τη συμπλήρωση τρίγωνο. Ο τύπος μπορεί να αποδειχθεί σε αυτό, είναι πολύ βολικό κατά την επίλυση εάν είναι γνωστά όλα τα μήκη των πλευρών ή μπορούν να βρεθούν εύκολα από άλλα αρχικά δεδομένα του προβλήματος.

Στην πραγματικότητα, το θεώρημα συνημιτόνου είναι μια γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ακούγεται κάπως έτσι: για ένα δισδιάστατο τρίγωνομε μήκη πλευρών a, b και c και γωνία α απέναντι από a, ισχύει η ακόλουθη ισότητα: a² = b² + c² - 2 b c cos α.

Το γενικευμένο συμπέρασμα από το θεώρημα συνημιτόνου ορίζει ένα από τα τις πιο σημαντικές ιδιότητεςτετράπλευρο: το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων όλων των πλευρών του: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Συμπληρώστε το τρίγωνο προς το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προσθέτοντας ευθείες παράλληλες στα α και γ. άρα με πλευρές a και c και διαγώνιο b. Ο πιο βολικός τρόπος κατασκευής είναι ο εξής: στην ευθεία στην οποία ανήκει η διάμεσος, ένα τμήμα MD ίδιου μήκους, συνδέστε την κορυφή του με τις κορυφές των υπόλοιπων A και C.

Σύμφωνα με την ιδιότητα του παραλληλογράμμου, οι διαγώνιοι χωρίζονται από το σημείο τομής σε ίσα μέρη. Εφαρμόστε το συμπέρασμα του θεωρήματος συνημιτόνου, σύμφωνα με το οποίο το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το άθροισμα των διπλασίων των τετραγώνων των πλευρών του: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Εφόσον BK = 2 BM και BM είναι η διάμεσος του m, τότε: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², επομένως: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

έβγαλες τύποςένας από τρίγωνογια την πλευρά β: mb = m. Παρομοίως, υπάρχουν διάμεσοιοι άλλες δύο πλευρές του: ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²), mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Πηγές:

διάμεσος τύπος
Τύποι για τη διάμεσο ενός τριγώνου [βίντεο]

Διάμεσος τρίγωνοονομάζεται τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε κορυφή τρίγωνομε τη μέση της απέναντι πλευράς. Τρεις διάμεσοι τέμνονται σε ένα σημείο πάντα μέσα τρίγωνο. Αυτό το σημείο χωρίζει το καθένα διάμεσοςσε αναλογία 2:1.

Εντολή

Το πρόβλημα της εύρεσης της μέσης μπορεί να λυθεί με πρόσθετες κατασκευές τρίγωνοσε παραλληλόγραμμο και μέσω του θεωρήματος στις διαγώνιες ενός παραλληλογράμμου Ας επεκτείνουμε τις πλευρές τρίγωνοκαι διάμεσος, χτίζοντας τα σε παραλληλόγραμμο. Ο διάμεσος λοιπόν τρίγωνοθα είναι η μισή διαγώνιος του παραλληλογράμμου που προκύπτει, δύο πλευρές τρίγωνο- η πλευρά του (α, β) και η τρίτη πλευρά τρίγωνο, στο οποίο σχεδιάστηκε η διάμεσος, είναι η δεύτερη διαγώνιος του παραλληλογράμμου που προκύπτει. Σύμφωνα με το θεώρημα, το άθροισμα των τετραγώνων ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το διπλάσιο του αθροίσματος των τετραγώνων των πλευρών του.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
όπου
d1, d2 - διαγώνιες του παραλληλογράμμου που προκύπτει.
από εδώ:
d1 = 0,5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

Η διάμεσος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή τρίγωνοκαι η μέση της απέναντι πλευράς. Γνωρίζοντας τα μήκη και των τριών πλευρών τρίγωνο, μπορείτε να βρείτε τις διάμεσές του. Σε ειδικές περιπτώσεις ισοσκελούς και ισόπλευρου τρίγωνο, προφανώς, αρκεί να γνωρίζουμε, αντίστοιχα, δύο (όχι ίσα μεταξύ τους) και μια πλευρά τρίγωνο.

Θα χρειαστείτε

Κυβερνήτης

Εντολή

Σκεφτείτε γενική περίπτωση τρίγωνο ABC με άνισο φίλο κόμματα. Το μήκος της διάμεσης ΑΕ αυτού τρίγωνομπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Οι υπόλοιποι διάμεσοι είναι ακριβώς οι ίδιοι. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα Stewart ή μέσω της ολοκλήρωσης τρίγωνοσε παραλληλόγραμμο.

Εάν το ABC είναι ισοσκελές και το AB = AC, τότε η διάμεσος AE θα είναι και τα δύο τρίγωνο. Επομένως, το τρίγωνο BEA θα είναι ορθογώνιο. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Από το συνολικό μήκος της διάμεσης τρίγωνο, για τις διαμέσους BO και СP ισχύει: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Πηγές:

Διάμεσοι και μη τομείς ενός τριγώνου

Η διάμεσος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τριγώνου και το μέσο της απέναντι πλευράς. Γνωρίζοντας τα μήκη και των τριών πλευρών ενός τριγώνου, μπορείτε να το βρείτε διάμεσοι. Σε ειδικές περιπτώσεις ισοσκελούς και ισόπλευρο τρίγωνο, προφανώς, αρκεί να γνωρίζουμε, αντίστοιχα, δύο (όχι ίσες μεταξύ τους) και τη μία πλευρά του τριγώνου. Η διάμεσος μπορεί επίσης να βρεθεί από άλλα δεδομένα.

Θα χρειαστείτε

Τα μήκη των πλευρών του τριγώνου, οι γωνίες μεταξύ των πλευρών του τριγώνου

Εντολή

Εξετάστε τη γενικότερη περίπτωση τριγώνου ABC με τρεις άνισες πλευρές. Μήκος διάμεσοιΤο AE αυτού του τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Υπόλοιπο διάμεσοιείναι ακριβώς τα ίδια. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα του Stewart ή από τη συμπλήρωση ενός τριγώνου σε ένα παραλληλόγραμμο.

Αν το ABC είναι ισοσκελές και το AB = AC, τότε το AE θα είναι ταυτόχρονα αυτό το τρίγωνο. Επομένως, το τρίγωνο BEA θα είναι ορθογώνιο. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Από το συνολικό μήκος διάμεσοιτρίγωνο, για BO και CP ισχύει: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Η διάμεσος ενός τριγώνου μπορεί επίσης να βρεθεί από άλλα δεδομένα. Για παράδειγμα, εάν δίνονται τα μήκη δύο πλευρών, σύρεται μια διάμεσος σε μία από αυτές, για παράδειγμα, τα μήκη των πλευρών AB και BC, καθώς και η γωνία x μεταξύ τους. Στη συνέχεια το μήκος διάμεσοιμπορεί να βρεθεί μέσω του θεωρήματος συνημιτόνου: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Πηγές:

Διάμεσοι και διχοτόμοι τριγώνου
πώς να βρείτε το μήκος της διάμεσης

Τρίγωνο διάμεσοςείναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς αυτού του τριγώνου.

Ιδιότητες μέσης τριγώνου

1. Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα του ίδιου εμβαδού.

2. Οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο, το οποίο χωρίζει το καθένα από αυτά σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή. Το σημείο αυτό ονομάζεται κέντρο βάρους του τριγώνου (κεντροειδές).

3. Ολόκληρο το τρίγωνο χωρίζεται από τις διάμεσές του σε έξι ίσα τρίγωνα.

Το μήκος της μέσης που τραβιέται στο πλάι: (εγγράφετε δημιουργώντας ένα παραλληλόγραμμο και χρησιμοποιώντας την ισότητα στο παραλληλόγραμμο του διπλάσιου αθροίσματος των τετραγώνων των πλευρών και του αθροίσματος των τετραγώνων των διαγωνίων )

Τ1.Οι τρεις διάμεσοι του τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο Μ, το οποίο διαιρεί το καθένα από αυτά σε αναλογία 2:1, μετρώντας από τις κορυφές του τριγώνου. Δίνονται: ∆ αλφάβητο, SS 1, AA 1, ΒΒ 1 - διάμεσοι
∆αλφάβητο. Απόδειξη: και

D-in: Έστω M το σημείο τομής των διαμέσου CC 1 , AA 1 του τριγώνου ABC. Σημείωση A 2 - το μέσο του τμήματος AM και C 2 - το μέσο του τμήματος CM. Στη συνέχεια A 2 C 2 - ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑτρίγωνο AMS.Που σημαίνει, A 2 C 2|| ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ

και A 2 C 2 \u003d 0,5 * AC. ΑΠΟ 1 ΑΛΛΑ 1 είναι η μέση του τριγώνου ABC. Ετσι, ένα 1 ΑΠΟ 1 || AC και A 1 ΑΠΟ 1 \u003d 0,5 * AC.

τετράπλευρο A 2 C 1 A 1 C 2- παραλληλόγραμμο, αφού οι απέναντι πλευρές του Α 1 ΑΠΟ 1 και A 2 C 2ίσες και παράλληλες. Συνεπώς, A 2 M = MA 1 και C 2 M =Κυρία 1 . Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία Α2και Μδιαιρέστε τη διάμεσο ΑΑ 2σε τρία ίσα μέρη, δηλαδή AM = 2MA 2. Ομοίως CM = 2MC 1 . Άρα, το σημείο Μ της τομής δύο διαμέσου ΑΑ 2και CC2Το τρίγωνο ABC διαιρεί καθένα από αυτά σε αναλογία 2:1, μετρώντας από τις κορυφές του τριγώνου. Ομοίως, αποδεικνύεται ότι το σημείο τομής των διαμέσου AA 1 και BB 1 διαιρεί το καθένα από αυτά σε αναλογία 2:1, μετρώντας από τις κορυφές του τριγώνου.

Στη διάμεσο AA 1, ένα τέτοιο σημείο είναι το σημείο M, επομένως, το σημείο Μκαι υπάρχει σημείο τομής των διαμέσου AA 1 και BB 1.

Με αυτόν τον τρόπο, n

Τ2.Να αποδείξετε ότι τα τμήματα που συνδέουν το κέντρο με τις κορυφές του τριγώνου το χωρίζουν σε τρία ίσα μέρη. Δίνεται: ∆ABC , είναι οι διάμεσοί του.

Αποδεικνύω: S AMB =S BMC =S-AMC.Απόδειξη. ΣΤΟ,έχουν κοινά. επειδή οι βάσεις τους είναι ίσες και το ύψος που τραβιέται από την κορυφή Μ,έχουν κοινά. Επειτα

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι S AMB = S AMC .Με αυτόν τον τρόπο, S AMB = S AMC = S CMB .n

Διχοτόμος τριγώνου Θεωρήματα που σχετίζονται με τις διχοτόμους τριγώνου. Τύποι εύρεσης διχοτόμων

Διχοτόμος γωνίαςΜια ακτίνα που ξεκινά από την κορυφή μιας γωνίας και χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες.

Η διχοτόμος γωνίας είναι γεωμετρικό μέροςσημεία μέσα σε μια γωνία που απέχουν ίσα από τις πλευρές της γωνίας.

Ιδιότητες

1. Θεώρημα διχοτόμου: Η διχοτόμος εσωτερικής γωνίας τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά σε λόγο ίσο με τον λόγο των δύο γειτονικών πλευρών

2. Οι διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο - το κέντρο - το κέντρο του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό το τρίγωνο.

3. Αν δύο διχοτόμοι σε ένα τρίγωνο είναι ίσες, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές (θεώρημα Steiner-Lemus).

Υπολογισμός μήκους διχοτόμου

l c - το μήκος της διχοτόμου που τραβιέται στην πλευρά c,

a,b,c - πλευρές τριγώνου έναντι κορυφών A,B,C αντίστοιχα,

p - η μισή περίμετρος του τριγώνου,

a l ,b l - τα μήκη των τμημάτων στα οποία η διχοτόμος l c χωρίζει την πλευρά c,

α,β,γ - εσωτερικές γωνίεςτρίγωνο στο κορυφές A,B,Cαντίστοιχα,

h c - το ύψος του τριγώνου, χαμηλωμένο στην πλευρά c.

μέθοδος περιοχής.

Χαρακτηριστικό της μεθόδου.Από το όνομα προκύπτει ότι το κύριο αντικείμενο αυτή τη μέθοδοείναι η περιοχή. Για έναν αριθμό σχημάτων, για παράδειγμα, για ένα τρίγωνο, η περιοχή εκφράζεται πολύ απλά μέσω διαφόρων συνδυασμών των στοιχείων του σχήματος (τρίγωνο). Επομένως, μια τεχνική είναι πολύ αποτελεσματική όταν συγκρίνονται διαφορετικές εκφράσεις για την περιοχή ενός δεδομένου σχήματος. Σε αυτή την περίπτωση, προκύπτει μια εξίσωση που περιέχει τα γνωστά και τα επιθυμητά στοιχεία του σχήματος, επιλύοντας τα οποία προσδιορίζουμε το άγνωστο. Εδώ εκδηλώνεται το κύριο χαρακτηριστικό της μεθόδου εμβαδού - από ένα γεωμετρικό πρόβλημα «κάνει» αλγεβρικό, ανάγοντας τα πάντα στην επίλυση μιας εξίσωσης (και μερικές φορές ενός συστήματος εξισώσεων).

1) Μέθοδος σύγκρισης: σχετίζεται με μεγάλο αριθμό τύπων S των ίδιων σχημάτων

2) Μέθοδος αναλογίας S: βασίζεται στις ακόλουθες εργασίες αναφοράς:

Θεώρημα Ceva

Έστω τα σημεία A",B",C" στις ευθείες BC,CA,AB του τριγώνου. Οι ευθείες AA",BB",CC" τέμνονται σε ένα σημείο αν και μόνο αν

Απόδειξη.

Να συμβολίσετε με το σημείο τομής των τμημάτων και . Ας ρίξουμε τις κάθετες από τα σημεία C και A στην ευθεία BB 1 μέχρι να τέμνονται μαζί της στα σημεία K και L, αντίστοιχα (βλ. σχήμα).

Από τρίγωνα και έχουν κοινή πλευρά, τότε οι περιοχές τους συσχετίζονται ως τα ύψη που έλκονται προς αυτήν την πλευρά, δηλ. AL και CK:

Η τελευταία ισότητα είναι αληθής, αφού τα ορθογώνια τρίγωνα είναι παρόμοια σε οξεία γωνία.

Ομοίως, παίρνουμε και

Ας πολλαπλασιάσουμε αυτές τις τρεις ισότητες:

Q.E.D.

Σχόλιο. Το τμήμα (ή η συνέχεια του τμήματος) που συνδέει την κορυφή του τριγώνου με ένα σημείο που βρίσκεται στην απέναντι πλευρά ή τη συνέχειά του ονομάζεται ceviana.

Θεώρημα ( θεώρημα αντίστροφηςΚυνηγώ). Έστω τα σημεία A",B",C" στις πλευρές BC,CA και AB του τριγώνου ABC αντίστοιχα. Έστω η σχέση

Στη συνέχεια τα τμήματα AA", BB", CC" και τέμνονται σε ένα σημείο.

Θεώρημα Μενελάου

Θεώρημα Μενελάου. Αφήστε τη γραμμή να τέμνεται τρίγωνο ABC, όπου C 1 είναι το σημείο τομής του με την πλευρά AB, A 1 είναι το σημείο τομής του με την πλευρά BC και B 1 είναι το σημείο τομής του με την προέκταση της πλευράς AC. Επειτα

Απόδειξη . Σχεδιάστε μια ευθεία στο σημείο Γ παράλληλη στο ΑΒ. Να συμβολίσετε με K το σημείο τομής του με την ευθεία B 1 C 1 .

Τα τρίγωνα AC 1 B 1 και CKB 1 είναι παρόμοια (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Συνεπώς,

Τα τρίγωνα BC 1 A 1 και CKA 1 είναι επίσης παρόμοια (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Που σημαίνει,

Από κάθε ισότητα εκφράζουμε CK:

Οπου Q.E.D.

Θεώρημα (το αντίστροφο θεώρημα του Μενέλαου).Έστω να δοθεί το τρίγωνο ABC. Έστω το σημείο C 1 να βρίσκεται στην πλευρά AB, το σημείο A 1 να βρίσκεται στην πλευρά BC και το σημείο B 1 να βρίσκεται στην προέκταση της πλευράς AC, και η σχέση

Τότε τα σημεία A 1 , B 1 και C 1 βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

1. Ποια είναι η διάμεσος;

Είναι πολύ απλό!

Πάρτε το τρίγωνο

Σημειώστε τη μέση σε μια από τις πλευρές του.

Και συνδεθείτε με την απέναντι κορυφή!

Η γραμμή που προκύπτει και είναι η διάμεσος.

2. Ιδιότητες της διάμεσης.

Ποιες είναι οι καλές ιδιότητες της διάμεσης;

1) Ας φανταστούμε ότι το τρίγωνο - ορθογώνιος.Υπάρχουν και αυτά, σωστά;

Γιατί??? Τι συμβαίνει με τη σωστή γωνία;

Ας κοιτάξουμε προσεκτικά. Μόνο όχι σε τρίγωνο, αλλά σε ... ορθογώνιο. Γιατί ρωτάς?

Αλλά περπατάτε στη Γη - βλέπετε ότι είναι στρογγυλή; Όχι, φυσικά, για αυτό πρέπει να κοιτάξετε τη Γη από το διάστημα. Κοιτάμε λοιπόν το ορθογώνιο τρίγωνό μας «από το διάστημα».

Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο:

Θυμάστε ότι οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου ίσοςκαι μερίδιοσημείο τομής στο μισό? (Αν δεν θυμάστε, δείτε το θέμα)

Άρα η μισή από τη δεύτερη διαγώνιο είναι δική μας διάμεσος. Οι διαγώνιοι είναι ίσες, τα μισά τους, φυσικά, επίσης. Εδώ φτάνουμε

Δεν θα αποδείξουμε αυτή τη δήλωση, αλλά για να την πιστέψετε, σκεφτείτε μόνοι σας: υπάρχει άλλο παραλληλόγραμμο με ίσες διαγώνιες, εκτός από ένα ορθογώνιο; Φυσικά και όχι! Λοιπόν, αυτό σημαίνει ότι η διάμεσος μπορεί να είναι ίση με το μισό της πλευράς μόνο σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Ας δούμε πώς αυτή η ιδιότητα βοηθά στην επίλυση προβλημάτων.

Εδώ, μια εργασία:
Στα πλάγια? . Από την κορυφή που κρατήθηκε διάμεσος. Βρείτε αν.

Ζήτω! Μπορείτε να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα! Βλέπετε πόσο υπέροχο είναι; Αν δεν το ξέραμε διάμεσοςίσο με μισή πλευρά

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

2) Και τώρα ας μην έχουμε ένα, αλλά ολόκληρο τρεις διάμεσοι! Πώς συμπεριφέρονται;

Θυμηθείτε πολύ σημαντικό γεγονός:

Δύσκολος? Κοίτα την εικόνα:

Οι διάμεσοι και τέμνονται σε ένα σημείο.

Και .... (το αποδεικνύουμε στο , αλλά προς το παρόν Θυμάμαι!):

- διπλάσια από?
- διπλάσια από?
- το διπλάσιο.

Δεν κουράστηκες ακόμα; Αρκετή δύναμη για το επόμενο παράδειγμα; Τώρα θα εφαρμόσουμε όλα όσα μιλήσαμε!

Μια εργασία: Σε ένα τρίγωνο, διαμεσολαβούν και σχεδιάζονται, τα οποία τέμνονται σε ένα σημείο. Βρείτε αν

Βρίσκουμε από το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Και τώρα εφαρμόζουμε τη γνώση για το σημείο τομής των διαμέσου.

Ας το σημαδέψουμε. κόβω, α. Αν δεν είναι όλα ξεκάθαρα - κοιτάξτε την εικόνα.

Το έχουμε ήδη διαπιστώσει.

Που σημαίνει, ; .

Στο πρόβλημα ερωτούμαστε για ένα τμήμα.

στη σημειογραφία μας.

Απάντηση: .

Σας άρεσε; Τώρα προσπαθήστε να εφαρμόσετε τις γνώσεις σας για τη διάμεσο!

ΔΙΑΜΕΣΟΣ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1. Η διάμεσος διχοτομεί την πλευρά.

Και όλα? Ή μήπως χωρίζει κάτι στη μέση; Φανταστείτε ότι είναι!

2. Θεώρημα: Η διάμεσος διχοτομεί την περιοχή.

Γιατί; Και ας θυμηθούμε τα περισσότερα απλή φόρμαπεριοχή ενός τριγώνου.

Και εφαρμόζουμε αυτή τη φόρμουλα δύο φορές!

Κοιτάξτε, η διάμεσος χωρίζεται σε δύο τρίγωνα: και. Αλλά! Έχουν το ίδιο ύψος! Μόνο σε αυτό το ύψος πέφτει στο πλάι, και στο - για τη συνέχεια της πλευράς. Παραδόξως, συμβαίνει και έτσι: τα τρίγωνα είναι διαφορετικά, αλλά το ύψος είναι το ίδιο. Και έτσι, τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο δύο φορές.

Τι θα σήμαινε αυτό; Κοίτα την εικόνα. Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο προτάσεις σε αυτό το θεώρημα. Το προσέξατε;

Πρώτη δήλωση:οι διάμεσοι τέμνονται σε ένα σημείο.

Δεύτερη δήλωση:το σημείο τομής της μέσης χωρίζεται σε σχέση, μετρώντας από την κορυφή.

Ας προσπαθήσουμε να ξετυλίξουμε το μυστικό αυτού του θεωρήματος:

Ας συνδέσουμε τις τελείες και. Τι συνέβη?

Και τώρα ας τραβήξουμε μια άλλη μεσαία γραμμή: σημειώστε τη μέση - βάλτε ένα σημείο, σημειώστε τη μέση - βάλτε ένα σημείο.

Τώρα - η μεσαία γραμμή. Αυτό είναι

παράλληλο;

Παρατηρήσατε συμπτώσεις; Και τα δύο και είναι παράλληλα. Και, και.

Τι προκύπτει από αυτό;

παράλληλο;

Φυσικά, μόνο ένα παραλληλόγραμμο!

Έτσι - παραλληλόγραμμο. Και λοιπόν? Και ας θυμηθούμε τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου. Για παράδειγμα, τι γνωρίζετε για τις διαγώνιες ενός παραλληλογράμμου; Σωστά, χωρίζουν το σημείο τομής στο μισό.

Ας δούμε ξανά την εικόνα.

Δηλαδή - η διάμεσος χωρίζεται με σημεία και σε τρία ίσα μέρη. Και ακριβώς το ίδιο.

Αυτό σημαίνει ότι και οι δύο διάμεσοι χωρίζονται από ένα σημείο ακριβώς σε σχέση, δηλαδή και.

Τι θα γίνει με τον τρίτο διάμεσο; Ας επιστρέψουμε στην αρχή. Ω Θεέ μου?! Όχι, τώρα όλα θα είναι πολύ πιο σύντομα. Ας ρίξουμε τη διάμεσο και ας σχεδιάσουμε τις διάμεσες και.

Τώρα φανταστείτε ότι έχουμε εφαρμόσει ακριβώς τον ίδιο συλλογισμό με τους διαμεσολαβητές και. Τι τότε?

Αποδεικνύεται ότι η διάμεσος θα διαιρέσει τη διάμεσο με τον ίδιο ακριβώς τρόπο: σε σχέση, μετρώντας από το σημείο.

Αλλά πόσα σημεία μπορεί να υπάρχουν σε ένα τμήμα που το διαιρούν σε σχέση, μετρώντας από ένα σημείο;

Φυσικά, μόνο ένα! Και το έχουμε ήδη δει - αυτό είναι το θέμα.

Τι έγινε στο τέλος?

Ο διάμεσος ακριβώς πέρασε! Και οι τρεις διάμεσοι πέρασαν από αυτό. Και όλοι ήταν διχασμένοι σε σχέση, μετρώντας από την κορυφή.

Λύσαμε λοιπόν (αποδείξαμε) το θεώρημα. Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα παραλληλόγραμμο που κάθεται μέσα σε ένα τρίγωνο.

4. Ο τύπος για το μήκος της διάμεσης

Πώς να βρείτε το μήκος της μέσης αν οι πλευρές είναι γνωστές; Είστε σίγουροι ότι το χρειάζεστε; Ας ανοίξουμε τρομερό μυστικό: Αυτή η φόρμουλα δεν είναι πολύ χρήσιμη. Αλλά και πάλι, θα το γράψουμε, αλλά δεν θα το αποδείξουμε (αν σας ενδιαφέρει η απόδειξη, δείτε το επόμενο επίπεδο).

Πώς θα καταλάβει κανείς γιατί συμβαίνει αυτό;

Ας κοιτάξουμε προσεκτικά. Μόνο όχι σε τρίγωνο, αλλά σε ορθογώνιο.

Ας δούμε λοιπόν ένα ορθογώνιο.

Έχετε παρατηρήσει ότι το τρίγωνό μας είναι ακριβώς το μισό αυτού του ορθογωνίου;

Ας σχεδιάσουμε μια διαγώνιο

Θυμάστε ότι οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ίσες και διχοτομούν το σημείο τομής; (Αν δεν θυμάστε, δείτε το θέμα)
Όμως μια από τις διαγώνιες είναι η υποτείνουσα μας! Άρα το σημείο τομής των διαγωνίων είναι το μέσο της υποτείνουσας. Την κάλεσαν εμείς.

Άρα η μισή δεύτερη διαγώνιο είναι η διάμεσος μας. Οι διαγώνιοι είναι ίσες, τα μισά τους, φυσικά, επίσης. Εδώ φτάνουμε

Επιπλέον, αυτό συμβαίνει μόνο σε ορθογώνιο τρίγωνο!

Εδώ είναι η εργασία:

Στα πλάγια? . Η διάμεσος τραβιέται από την κορυφή. Βρείτε αν.

Ζήτω! Μπορείτε να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα! Βλέπετε πόσο υπέροχο είναι; Αν δεν ξέραμε ότι η διάμεσος είναι η μισή πλευρά μόνο σε ορθογώνιο τρίγωνο, δεν μπορέσαμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα με κανέναν τρόπο. Και τώρα μπορούμε!

Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα:

ΔΙΑΜΕΣΟΣ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

1. Η διάμεσος διχοτομεί την πλευρά.

2. Θεώρημα: Η διάμεσος διχοτομεί την περιοχή

4. Ο τύπος για το μήκος της διάμεσης

Αντίστροφο θεώρημα:αν η διάμεσος είναι ίση με το μισό της πλευράς, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και αυτή η διάμεσος σύρεται στην υποτείνουσα.

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Αν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ cool.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν έχεις διαβάσει μέχρι το τέλος, τότε είσαι στο 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, είναι ... είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για επιτυχημένη περνώντας τις εξετάσεις, για εισαγωγή στο ινστιτούτο επί του προϋπολογισμού και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, εφ' όρου ζωής.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Άνθρωποι που έλαβαν μια καλή εκπαίδευση, κερδίζουν πολύ περισσότερα από όσους δεν το έλαβαν. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως γιατί πολλά ανοίγονται μπροστά τους. περισσότερες δυνατότητεςκαι η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Αλλά σκέψου μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από τους άλλους στις εξετάσεις και τελικά θα είσαι ... πιο ευτυχισμένος;

ΓΕΜΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ, ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Στις εξετάσεις δεν θα ερωτηθείτε θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση προβλημάτων εγκαίρως.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΛΑ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα το κάνετε εγκαίρως.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε μια συλλογή όπου θέλετε αναγκαστικά με λύσεις λεπτομερής ανάλυση και αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (όχι απαραίτητα) και σίγουρα τις προτείνουμε.

Για να μπορέσετε να βοηθήσετε με τη βοήθεια των εργασιών μας, πρέπει να βοηθήσετε να παρατείνετε τη διάρκεια ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο - 299 τρίψτε.
Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σεμιναρίου - 499 τρίψτε.

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για όλη τη διάρκεια ζωής του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοητό» και το «Ξέρω πώς να λύνω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε!