Μέτρο μοίρας γωνίας. Ακτινικό μέτρο γωνίας

Μέτρο μοίρας γωνίας. Το ακτινικό μέτρο μιας γωνίας. Μετατροπή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Στο προηγούμενο μάθημα κατακτήσαμε την καταμέτρηση γωνιών σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Έμαθε πώς να μετράει θετικές και αρνητικές γωνίες. Συνειδητοποίησε πώς να σχεδιάσεις μια γωνία μεγαλύτερη από 360 μοίρες. Ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τη μέτρηση των γωνιών. Ειδικά με τον αριθμό "Πι", που προσπαθεί να μας μπερδέψει σε δύσκολες εργασίες, ναι ...

Οι τυπικές εργασίες στην τριγωνομετρία με τον αριθμό "Pi" επιλύονται αρκετά καλά. Η οπτική μνήμη βοηθά. Αλλά οποιαδήποτε απόκλιση από το πρότυπο - γκρεμίζει επί τόπου! Για να μην πέσει - καταλαβαίνουναπαραίτητη. Αυτό που θα κάνουμε με επιτυχία τώρα. Κατά μία έννοια - καταλαβαίνουμε τα πάντα!

Ετσι, τι μετράνε οι γωνίες; ΣΤΟ σχολικό μάθημαΗ τριγωνομετρία χρησιμοποιεί δύο μέτρα: μοίρα μέτρο μιας γωνίαςκαι ακτινικό μέτρο γωνίας. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτά τα μέτρα. Χωρίς αυτό, στην τριγωνομετρία - πουθενά.

Μέτρο μοίρας γωνίας.

Έχουμε συνηθίσει κατά κάποιο τρόπο σε βαθμούς. Η γεωμετρία, τουλάχιστον, πέρασε ... Ναι, και στη ζωή συναντάμε συχνά τη φράση "γύρισε 180 μοίρες", για παράδειγμα. Πτυχίο, με λίγα λόγια, ένα απλό πράγμα...

Ναί? Απάντησε μου τότε τι είναι πτυχίο; Τι δεν λειτουργεί αμέσως από το ρόπαλο; Κάτι...

Τα πτυχία εφευρέθηκαν στην αρχαία Βαβυλώνα. Ήταν πολύ καιρό πριν ... 40 αιώνες πριν ... Και μόλις το σκέφτηκαν. Πήραν και έσπασαν τον κύκλο σε 360 ίσα μέρη. 1 μοίρα είναι το 1/360 ενός κύκλου. Και αυτό είναι όλο. Μπορεί να σπάσει σε 100 κομμάτια. Ή μέχρι το 1000. Αλλά το έσπασαν στο 360. Παρεμπιπτόντως, γιατί ακριβώς στο 360; Γιατί το 360 είναι καλύτερο από το 100; Το 100 φαίνεται να είναι κάπως πιο ομοιόμορφο... Προσπαθήστε να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση. Ή αδύναμη κατά Αρχαία Βαβυλώνα?

Κάπου την ίδια στιγμή Αρχαία Αίγυπτοςβασανίζεται από ένα άλλο θέμα. Πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η περιφέρεια ενός κύκλου από το μήκος της διαμέτρου του; Και έτσι μέτρησαν, και έτσι... Όλα έγιναν λίγο περισσότερα από τρία. Αλλά κατά κάποιο τρόπο αποδείχθηκε δασύτριχος, άνισος ... Αλλά αυτοί, οι Αιγύπτιοι, δεν φταίνε. Μετά από αυτούς, υπέφεραν για άλλους 35 αιώνες. Μέχρι που τελικά απέδειξαν ότι όσο ψιλοκόβουμε τον κύκλο σε ίσα κομμάτια, από τέτοια κομμάτια να κάνουμε λείοςτο μήκος της διαμέτρου είναι αδύνατο ... Κατ 'αρχήν, είναι αδύνατο. Λοιπόν, πόσες φορές η περιφέρεια είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο, φυσικά. Σχετικά με. 3,1415926... φορές.

Αυτός είναι ο αριθμός "Pi". Αυτό είναι δασύτριχο, τόσο δασύτριχο. Μετά την υποδιαστολή - ένας άπειρος αριθμός ψηφίων χωρίς καμία σειρά ... Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι. Αυτό, παρεμπιπτόντως, σημαίνει ότι από ίσα κομμάτια ενός κύκλου, η διάμετρος λείοςμην διπλώνετε. Ποτέ.

Για Πρακτική εφαρμογηΣυνηθίζεται να απομνημονεύετε μόνο δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή. Θυμάμαι:

Εφόσον καταλάβαμε ότι η περιφέρεια ενός κύκλου είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο κατά "Pi" φορές, είναι λογικό να θυμόμαστε τον τύπο για την περιφέρεια ενός κύκλου:

Οπου μεγάλοείναι η περιφέρεια, και ρεείναι η διάμετρός του.

Χρήσιμο στη γεωμετρία.

Για γενική εκπαίδευσηΘα προσθέσω ότι ο αριθμός "Πι" δεν βρίσκεται μόνο στη γεωμετρία ... Στα πιο διαφορετικά τμήματα των μαθηματικών, και ειδικά στη θεωρία πιθανοτήτων, αυτός ο αριθμός εμφανίζεται συνεχώς! Από μόνο του. Πέρα από τις επιθυμίες μας. Σαν αυτό.

Αλλά πίσω στους βαθμούς. Έχετε καταλάβει γιατί στην αρχαία Βαβυλώνα ο κύκλος χωριζόταν σε 360 ίσα μέρη; Αλλά όχι 100, για παράδειγμα; Δεν? ΕΝΤΑΞΕΙ. Θα σας δώσω μια έκδοση. Δεν μπορείς να ρωτήσεις τους αρχαίους Βαβυλώνιους... Για την κατασκευή, ή, ας πούμε, την αστρονομία, βολεύει να χωρίσεις έναν κύκλο σε ίσα μέρη. Τώρα υπολογίστε με ποιους αριθμούς διαιρούνται εντελώς 100, και ποιες - 360; Και σε ποια έκδοση αυτών των διαχωριστικών εντελώς- περισσότερο? Αυτό το τμήμα είναι πολύ βολικό για τους ανθρώπους. Αλλά...

Όπως αποδείχθηκε πολύ αργότερα από την Αρχαία Βαβυλώνα, δεν αρέσουν σε όλους τα πτυχία. Τα ανώτερα μαθηματικά δεν τους αρέσουν... ανώτερα μαθηματικά- η κυρία είναι σοβαρή, τακτοποιημένη σύμφωνα με τους νόμους της φύσης. Και αυτή η κυρία δηλώνει: "Σήμερα σπάσατε τον κύκλο σε 360 μέρη, αύριο θα τον σπάσετε σε 100 μέρη, μεθαύριο σε 245 ... Και τι να κάνω; Όχι πραγματικά ..." Έπρεπε να υπακούσω. Δεν μπορείς να ξεγελάσεις τη φύση...

Έπρεπε να εισαγάγω ένα μέτρο της γωνίας που δεν εξαρτάται από τις ανθρώπινες αντιλήψεις. Συναντώ - ακτίνιο!

Το ακτινικό μέτρο μιας γωνίας.

Τι είναι το ακτίνι; Ο ορισμός του ακτινίου βασίζεται ούτως ή άλλως σε κύκλο. Γωνία 1 ακτινίου είναι η γωνία που κόβει ένα τόξο από έναν κύκλο του οποίου το μήκος είναι ( μεγάλο) ισούται με το μήκος της ακτίνας ( R). Κοιτάμε τις εικόνες.

Τόσο μικρή γωνία, δεν υπάρχει σχεδόν τίποτα... Μετακινούμε τον κέρσορα πάνω από την εικόνα (ή αγγίζουμε την εικόνα στο tablet) και βλέπουμε περίπου ένα ακτίνιο. L=R

Νιώθεις τη διαφορά;

Ένα ακτίνιο είναι πολύ μεγαλύτερο από μια μοίρα. Πόσες φορές?

Ας δούμε την επόμενη εικόνα. Πάνω στο οποίο σχεδίασα ένα ημικύκλιο. Η διευρυμένη γωνία είναι, φυσικά, 180 ° σε μέγεθος.

Και τώρα θα κόψω αυτό το ημικύκλιο σε ακτίνια! Περνάμε πάνω από την εικόνα και βλέπουμε ότι 3 ακτίνια με ουρά ταιριάζουν σε 180 °.

Ποιος μπορεί να μαντέψει τι είναι αυτή η αλογοουρά!;

Ναί! Αυτή η ουρά είναι 0,1415926.... Γεια σου Πι, δεν σε ξεχάσαμε ακόμα!

Πράγματι, υπάρχουν 3,1415926 ... ακτίνια στις 180 μοίρες. Όπως μπορείτε να φανταστείτε, το να γράφετε συνεχώς 3.1415926... είναι άβολο. Επομένως, αντί για αυτόν τον άπειρο αριθμό, γράφουν πάντα απλά:

Και εδώ είναι ο αριθμός στο Διαδίκτυο

είναι άβολο να γράψω ... Επομένως, στο κείμενο το γράφω με το όνομα - "Πι". Μην μπερδεύεστε...

Τώρα, είναι πολύ σημαντικό να γράψουμε μια κατά προσέγγιση ισότητα:

Ή ακριβής ισότητα:

Προσδιορίστε πόσες μοίρες είναι σε ένα ακτίνιο. Πως? Εύκολα! Αν υπάρχουν 180 μοίρες σε 3,14 ακτίνια, τότε 1 ακτίνιο είναι 3,14 φορές λιγότερο! Δηλαδή, διαιρούμε την πρώτη εξίσωση (ο τύπος είναι επίσης εξίσωση!) με το 3,14:

Αυτή η αναλογία είναι χρήσιμη για να θυμάστε. Υπάρχουν περίπου 60° σε ένα ακτίνιο. Στην τριγωνομετρία, συχνά πρέπει να καταλάβετε, να αξιολογήσετε την κατάσταση. Εδώ βοηθάει πολύ η γνώση.

Αλλά η κύρια δεξιότητα αυτού του θέματος είναι μετατροπή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα.

Αν η γωνία δίνεται σε ακτίνια με τον αριθμό "pi", όλα είναι πολύ απλά. Γνωρίζουμε ότι "pi" ακτίνια = 180°. Έτσι αντικαθιστούμε αντί για "Pi" ακτίνια - 180 °. Παίρνουμε τη γωνία σε μοίρες. Μειώνουμε ό,τι μειώνεται, και η απάντηση είναι έτοιμη. Για παράδειγμα, πρέπει να μάθουμε πόσο βαθμούςστη γωνία «Πι»/2 ακτίνιο? Εδώ γράφουμε:

Ή, πιο εξωτική έκφραση:

Εύκολο, σωστά;

Η αντίστροφη μετάφραση είναι λίγο πιο περίπλοκη. Αλλά όχι πολύ. Εάν η γωνία δίνεται σε μοίρες, πρέπει να καταλάβουμε ποια είναι η μία μοίρα σε ακτίνια και να πολλαπλασιάσουμε αυτόν τον αριθμό με τον αριθμό των μοιρών. Τι είναι 1° σε ακτίνια;

Εξετάζουμε τον τύπο και συνειδητοποιούμε ότι αν 180° = "Pi" ακτίνια, τότε η 1° είναι 180 φορές μικρότερη. Ή, με άλλα λόγια, διαιρούμε την εξίσωση (ο τύπος είναι και εξίσωση!) με το 180. Δεν χρειάζεται να παριστάνουμε το "Pi" ως 3,14, γράφεται πάντα με ένα γράμμα ούτως ή άλλως. Παίρνουμε ότι ένας βαθμός ισούται με:

Αυτό είναι όλο. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό των μοιρών με αυτήν την τιμή για να πάρετε τη γωνία σε ακτίνια. Για παράδειγμα:

Ή, ομοίως:

Όπως μπορείτε να δείτε, σε μια χαλαρή συνομιλία με παρεκβάσειςΑποδείχθηκε ότι τα ακτίνια είναι πολύ απλά. Ναι, και η μετάφραση είναι χωρίς προβλήματα ... Και το "Πι" είναι ένα εντελώς ανεκτό πράγμα ... Από πού λοιπόν η σύγχυση!;

Θα αποκαλύψω το μυστικό. Το γεγονός είναι ότι στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις γράφεται το εικονίδιο μοιρών. Είναι πάντα. Για παράδειγμα, sin35°. Αυτό είναι το ημίτονο 35 βαθμούς . Και το εικονίδιο Radians ( χαρούμενος) δεν γράφεται! Αυτός υπονοείται. Είτε η τεμπελιά των μαθηματικών άρπαξε, είτε κάτι άλλο... Αλλά αποφάσισαν να μην γράψουν. Εάν δεν υπάρχουν εικονίδια μέσα στο ημιτονο - συνεφαπτομένη, τότε η γωνία - σε ακτίνια ! Για παράδειγμα, το cos3 είναι το συνημίτονο των τριών ακτίνια .

Αυτό οδηγεί σε παρεξηγήσεις ... Ένα άτομο βλέπει το "Pi" και πιστεύει ότι είναι 180 °. Οποτεδήποτε και οπουδήποτε. Παρεμπιπτόντως, αυτό λειτουργεί. Για την ώρα, ενώ τα παραδείγματα είναι στάνταρ. Αλλά το Pi είναι ένας αριθμός! Ο αριθμός 3,14 δεν είναι μοίρες! Αυτό είναι ακτίνια "Pi" = 180°!

Για άλλη μια φορά: Το «Πι» είναι αριθμός! 3.14. Παράλογο, αλλά αριθμός. Το ίδιο με το 5 ή το 8. Μπορείτε, για παράδειγμα, να κάνετε περίπου βήματα "Pi". Τρία βήματα και λίγο παραπάνω. Ή αγοράστε κιλά γλυκών "Πι". Αν πιαστεί ένας μορφωμένος πωλητής...

Το "Πι" είναι ένας αριθμός! Τι, σε κατάλαβα με αυτή τη φράση; Έχεις ήδη καταλάβει τα πάντα; ΕΝΤΑΞΕΙ. Ας ελέγξουμε. Μπορείτε να μου πείτε ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος;

Ή τι είναι λιγότερο;

Αυτό είναι από μια σειρά ελαφρώς μη τυπικών ερωτήσεων που μπορεί να οδηγήσουν σε λήθαργο ...

Αν πέσατε κι εσείς σε λήθαργο, θυμηθείτε το ξόρκι: «Πι» είναι ένας αριθμός! 3.14. Στο πρώτο κιόλας ημίτονο, υποδεικνύεται ξεκάθαρα ότι η γωνία - σε βαθμούς! Επομένως, είναι αδύνατο να αντικαταστήσετε το "Pi" κατά 180 °! Οι βαθμοί "Pi" είναι περίπου 3,14 μοίρες. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε:

Δεν υπάρχουν σύμβολα στο δεύτερο ημίτονο. Εκεί λοιπόν - ακτίνια! Εδώ, η αντικατάσταση του "Pi" με 180 ° θα λειτουργήσει αρκετά καλά. Μετατρέποντας τα ακτίνια σε μοίρες, όπως γράφτηκε παραπάνω, παίρνουμε:

Μένει να συγκρίνουμε αυτές τις δύο ημιτονιές. Τι. ξέχασες πώς; Με τη βοήθεια ενός τριγωνομετρικού κύκλου, φυσικά! Σχεδιάζουμε έναν κύκλο, σχεδιάζουμε κατά προσέγγιση γωνίες 60° και 1,05°. Εξετάζουμε τα ημίτονο αυτών των γωνιών. Με λίγα λόγια, όλα, όπως στο τέλος του θέματος για τον τριγωνομετρικό κύκλο, είναι ζωγραφισμένα. Σε έναν κύκλο (ακόμα και στον στραβό!) θα φανεί καθαρά αυτό αμαρτία60°σημαντικά περισσότερο από αμαρτία 1,05°.

Ακριβώς το ίδιο θα κάνουμε και με τα συνημίτονα. Στον κύκλο σχεδιάζουμε γωνίες περίπου 4 βαθμούςκαι 4 ακτίνιο(θυμηθείτε, τι είναι περίπου 1 ακτίνιο;). Ο κύκλος θα τα πει όλα! Φυσικά, το cos4 είναι μικρότερο από το cos4°.

Ας εξασκηθούμε στο χειρισμό των μέτρων γωνίας.

Μετατρέψτε αυτές τις γωνίες από μοίρες σε ακτίνια:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Θα πρέπει να καταλήξετε με αυτές τις τιμές σε ακτίνια (με διαφορετική σειρά!)

0

Παρεμπιπτόντως, έχω επισημάνει ειδικά τις απαντήσεις σε δύο γραμμές. Λοιπόν, ας καταλάβουμε ποιες είναι οι γωνίες στην πρώτη γραμμή; Είτε σε μοίρες είτε σε ακτίνια;

Ναί! Αυτοί είναι οι άξονες του συστήματος συντεταγμένων! Εάν κοιτάξετε τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε η κινούμενη πλευρά της γωνίας σε αυτές τις τιμές ταιριάζει ακριβώς στον άξονα. Αυτές οι αξίες πρέπει να είναι γνωστές ειρωνικά. Και σημείωσα τη γωνία των 0 μοιρών (0 ακτίνια) όχι μάταια. Και τότε κάποιοι δεν μπορούν να βρουν αυτή τη γωνία στον κύκλο με κανέναν τρόπο ... Και, κατά συνέπεια, μπερδεύονται στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις του μηδέν ... Ένα άλλο πράγμα είναι ότι η θέση της κινούμενης πλευράς σε μηδέν μοίρες συμπίπτει με τη θέση στις 360 °, άρα οι συμπτώσεις στον κύκλο είναι πάντα δίπλα.

Στη δεύτερη γραμμή υπάρχουν και ειδικές γωνίες... Αυτές είναι 30°, 45° και 60°. Και τι το ιδιαίτερο έχουν; Τίποτα ιδιαίτερο. Η μόνη διαφορά μεταξύ αυτών των γωνιών και όλων των άλλων είναι ότι πρέπει να γνωρίζετε για αυτές τις γωνίες. όλα. Και πού βρίσκονται, και ποιες είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις αυτών των γωνιών. Ας πούμε την τιμή sin100°δεν χρειάζεται να ξέρεις. ΑΛΛΑ αμαρτία45°- Σε παρακαλώ να είσαι ευγενικός! Αυτή είναι υποχρεωτική γνώση, χωρίς την οποία δεν υπάρχει τίποτα να κάνουμε στην τριγωνομετρία ... Αλλά περισσότερα για αυτό στο επόμενο μάθημα.

Μέχρι τότε, ας συνεχίσουμε την εξάσκηση. Μετατρέψτε αυτές τις γωνίες από ακτίνια σε μοίρες:

Θα πρέπει να έχετε αποτελέσματα όπως αυτό (σε ένα χάος):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Συνέβη; Τότε μπορούμε να το υποθέσουμε μετατροπή μοιρών σε ακτίνια και αντίστροφα- δεν είναι πια το πρόβλημά σας.) Αλλά η μετάφραση γωνιών είναι το πρώτο βήμα για την κατανόηση της τριγωνομετρίας. Στο ίδιο μέρος, πρέπει ακόμα να εργαστείτε με ημιτονοειδή-ημιτονοειδή. Ναι, και με τις εφαπτομένες, και τις συνεφαπτομένες ...

Το δεύτερο δυνατό βήμα είναι τη δυνατότητα προσδιορισμού της θέσης οποιασδήποτε γωνίας τριγωνομετρικός κύκλος. Και σε μοίρες και σε ακτίνια. Σχετικά με αυτήν ακριβώς την ικανότητα, θα σας υποδείξω βαρετά σε όλη την τριγωνομετρία, ναι ...) Εάν γνωρίζετε τα πάντα (ή νομίζετε ότι γνωρίζετε τα πάντα) για τον τριγωνομετρικό κύκλο και την καταμέτρηση των γωνιών στον τριγωνομετρικό κύκλο, μπορείτε να το ελέγξετε έξω. Λύστε αυτές τις απλές εργασίες:

1. Σε ποιο τέταρτο εμπίπτουν οι γωνίες:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Εύκολα? Συνεχίζουμε:

2. Σε ποιο τέταρτο πέφτουν οι γωνίες:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°;

Επίσης κανένα πρόβλημα; Λοιπόν, κοίτα...)

3. Μπορείτε να τοποθετήσετε γωνίες σε τέταρτα:

Μπόρεσες; Λοιπόν, δίνεις..)

4. Σε ποιους άξονες θα πέσει η γωνία:

και γωνία:

Είναι και εύκολο; Χμ...)

5. Σε ποιο τέταρτο πέφτουν οι γωνίες:

Και δούλεψε!? Λοιπόν, πραγματικά δεν ξέρω...)

6. Προσδιορίστε σε ποιο τέταρτο εμπίπτουν οι γωνίες:

1, 2, 3 και 20 ακτίνια.

Θα δώσω την απάντηση μόνο στην τελευταία ερώτηση (είναι λίγο δύσκολη) της τελευταίας εργασίας. Μια γωνία 20 ακτίνων θα πέσει στο πρώτο τέταρτο.

Δεν θα δώσω τις υπόλοιπες απαντήσεις από απληστία.) Μόνο αν εσύ δεν αποφάσισεκάτι αμφιβολίαως αποτέλεσμα, ή δαπανήθηκαν για την εργασία Νο. 4 περισσότερο από 10 δευτερόλεπταείστε κακώς προσανατολισμένοι σε κύκλο. Αυτό θα είναι το πρόβλημά σας σε όλη την τριγωνομετρία. Είναι καλύτερα να απαλλαγείτε από αυτό (πρόβλημα, όχι τριγωνομετρία!) αμέσως. Αυτό μπορεί να γίνει στο θέμα: Πρακτική εργασία με τριγωνομετρικό κύκλο στην ενότητα 555.

Λέει πώς να επιλύσετε τέτοιες εργασίες απλά και σωστά. Λοιπόν, αυτά τα καθήκοντα λύνονται, φυσικά. Και η τέταρτη εργασία λύθηκε σε 10 δευτερόλεπτα. Ναι, έτσι αποφάσισε ότι ο καθένας μπορεί!

Εάν είστε απολύτως σίγουροι για τις απαντήσεις σας και δεν σας ενδιαφέρουν απλοί και απροβλημάτιστοι τρόποι εργασίας με radians, δεν μπορείτε να επισκεφτείτε το 555. Δεν επιμένω.)

καλή κατανόηση- αρκετά καλός λόγοςγια να προχωρήσουμε!)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο τρώνε ένα κομμάτι κέικ κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου - άλλωστε αυτή είναι η μέρα του Πι, του πιο διάσημου παράλογου αριθμού. Αυτή η ημερομηνία σχετίζεται άμεσα με τον αριθμό του οποίου τα πρώτα ψηφία είναι 3,14. Pi είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Εφόσον είναι παράλογο, είναι αδύνατο να το γράψουμε ως κλάσμα. Αυτός είναι ένας απείρως μεγάλος αριθμός. Ανακαλύφθηκε πριν από χιλιάδες χρόνια και από τότε μελετάται συνεχώς, αλλά έχει απομείνει στον Πι κανένα μυστικό; Από αρχαία προέλευσημέχρι ένα απροσδιόριστο μέλλον, εδώ είναι μερικά από τα πιο ενδιαφέροντα στοιχεία για το pi.

Απομνημόνευση Pi

Το ρεκόρ απομνημόνευσης αριθμών μετά την υποδιαστολή ανήκει στον Rajveer Meena από την Ινδία, ο οποίος κατάφερε να θυμηθεί 70.000 ψηφία - έκανε το ρεκόρ στις 21 Μαρτίου 2015. Πριν από αυτό, ο κάτοχος του ρεκόρ ήταν ο Chao Lu από την Κίνα, ο οποίος κατάφερε να απομνημονεύσει 67.890 ψηφία - αυτό το ρεκόρ σημειώθηκε το 2005. Ο ανεπίσημος κάτοχος του ρεκόρ είναι ο Akira Haraguchi, ο οποίος βιντεοσκόπησε την επανάληψη των 100.000 ψηφίων το 2005 και πρόσφατα δημοσίευσε ένα βίντεο όπου καταφέρνει να θυμάται 117.000 ψηφία. Επίσημο ρεκόρ θα γινόταν μόνο εάν αυτό το βίντεο καταγραφόταν παρουσία εκπροσώπου του βιβλίου των ρεκόρ Γκίνες και χωρίς επιβεβαίωση παραμένει μόνο εντυπωσιακό γεγονός, αλλά δεν θεωρείται επίτευγμα. Οι λάτρεις των μαθηματικών λατρεύουν να απομνημονεύουν τον αριθμό Pi. Πολλοί άνθρωποι χρησιμοποιούν διάφορες μνημονικές τεχνικές, όπως η ποίηση, όπου ο αριθμός των γραμμάτων σε κάθε λέξη είναι ο ίδιος με το π. Κάθε γλώσσα έχει τις δικές της παραλλαγές τέτοιων φράσεων, οι οποίες βοηθούν να θυμάστε τόσο τα πρώτα λίγα ψηφία όσο και μια ολόκληρη εκατοντάδα.

Υπάρχει μια γλώσσα Pi

Γοητευμένοι από τη λογοτεχνία, οι μαθηματικοί επινόησαν μια διάλεκτο στην οποία ο αριθμός των γραμμάτων σε όλες τις λέξεις αντιστοιχεί στα ψηφία του Πι με ακριβή σειρά. Ο συγγραφέας Mike Keith έγραψε ακόμη και ένα βιβλίο, Not a Wake, το οποίο είναι εντελώς γραμμένο στη γλώσσα Pi. Οι λάτρεις μιας τέτοιας δημιουργικότητας γράφουν τα έργα τους σε πλήρη συμφωνία με τον αριθμό των γραμμάτων και τη σημασία των αριθμών. Αυτό δεν έχει πρακτική εφαρμογή, αλλά είναι ένα αρκετά κοινό και γνωστό φαινόμενο στους κύκλους των ενθουσιωδών επιστημόνων.

Εκθετική αύξηση

Το Pi είναι ένας άπειρος αριθμός, επομένως οι άνθρωποι, εξ ορισμού, δεν θα μπορέσουν ποτέ να καταλάβουν τους ακριβείς αριθμούς αυτού του αριθμού. Ωστόσο, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή έχει αυξηθεί πολύ από την πρώτη χρήση του Pi. Ακόμη και οι Βαβυλώνιοι το χρησιμοποιούσαν, αλλά ένα κλάσμα από τρία και ένα όγδοο ήταν αρκετό για αυτούς. Κινέζοι και δημιουργοί Παλαιά Διαθήκηκαι περιορίστηκε εντελώς σε τρεις. Μέχρι το 1665, ο Sir Isaac Newton είχε υπολογίσει 16 ψηφία του pi. Μέχρι το 1719 Γάλλος μαθηματικόςΟ Tom Fante de Lagny υπολόγισε 127 ψηφία. Η έλευση των υπολογιστών έχει βελτιώσει ριζικά τις γνώσεις του ανθρώπου για το Pi. Από το 1949 έως το 1967 ο αριθμός γνωστό στον άνθρωποοι αριθμοί εκτοξεύτηκαν από το 2037 στις 500.000. Όχι πολύ καιρό πριν, ο Peter Trueb, ένας επιστήμονας από την Ελβετία, μπόρεσε να υπολογίσει 2,24 τρισεκατομμύρια ψηφία του Pi! Αυτό κράτησε 105 ημέρες. Φυσικά, αυτό δεν είναι το όριο. Είναι πιθανό ότι με την ανάπτυξη της τεχνολογίας θα είναι δυνατή η εγκατάσταση ακόμη περισσότερων ακριβής αριθμός- δεδομένου ότι το Pi είναι άπειρο, απλά δεν υπάρχει όριο στην ακρίβεια και μόνο τα τεχνικά χαρακτηριστικά της τεχνολογίας υπολογιστών μπορούν να το περιορίσουν.

Υπολογισμός Pi με το χέρι

Εάν θέλετε να βρείτε μόνοι σας τον αριθμό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την τεχνική της παλιάς κοπής - θα χρειαστείτε χάρακα, βάζο και κορδόνι, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε ένα μοιρογνωμόνιο και ένα μολύβι. Το μειονέκτημα της χρήσης ενός βάζου είναι ότι πρέπει να είναι στρογγυλό και η ακρίβεια θα καθοριστεί από το πόσο καλά μπορεί το άτομο να τυλίξει το σχοινί γύρω του. Είναι δυνατό να σχεδιάσετε έναν κύκλο με ένα μοιρογνωμόνιο, αλλά αυτό απαιτεί επίσης επιδεξιότητα και ακρίβεια, καθώς ένας ανομοιόμορφος κύκλος μπορεί να παραμορφώσει σοβαρά τις μετρήσεις σας. Περισσότερο ακριβής μέθοδοςπεριλαμβάνει τη χρήση της γεωμετρίας. Διαιρέστε τον κύκλο σε πολλά τμήματα, όπως φέτες πίτσας, και στη συνέχεια υπολογίστε το μήκος μιας ευθείας γραμμής που θα μετέτρεπε κάθε τμήμα σε ισοσκελές τρίγωνο. Το άθροισμα των πλευρών θα δώσει έναν κατά προσέγγιση αριθμό pi. Όσο περισσότερα τμήματα χρησιμοποιείτε, τόσο πιο ακριβής θα είναι ο αριθμός. Φυσικά, στους υπολογισμούς σας δεν θα μπορείτε να προσεγγίσετε τα αποτελέσματα ενός υπολογιστή, παρόλα αυτά αυτά απλά πειράματασας επιτρέπουν να κατανοήσετε με περισσότερες λεπτομέρειες τι είναι ο αριθμός pi γενικά και πώς χρησιμοποιείται στα μαθηματικά.

Ανακάλυψη του Πι

Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι γνώριζαν για την ύπαρξη του αριθμού Πι ήδη τέσσερις χιλιάδες χρόνια πριν. Οι βαβυλωνιακές πινακίδες υπολογίζουν το Pi ως 3,125 και ο αιγυπτιακός μαθηματικός πάπυρος περιέχει τον αριθμό 3,1605. Στη Βίβλο, ο αριθμός Pi δίνεται σε ένα απαρχαιωμένο μήκος - σε πήχεις, και ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης χρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να περιγράψει το Πι, τη γεωμετρική αναλογία του μήκους των πλευρών ενός τριγώνου και του εμβαδού του \u200τις φιγούρες εντός και εκτός των κύκλων. Έτσι, είναι ασφαλές να πούμε ότι το Pi είναι ένα από τα πιο αρχαία μαθηματικές έννοιες, όμως το ακριβές όνομα δεδομένου αριθμούκαι εμφανίστηκε σχετικά πρόσφατα.

Μια νέα άποψη για το Pi

Ακόμη και πριν το pi συσχετιστεί με κύκλους, οι μαθηματικοί είχαν ήδη πολλούς τρόπους να ονομάσουν ακόμη και αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, στα παλιά εγχειρίδια μαθηματικών μπορεί κανείς να βρει μια φράση στα λατινικά, η οποία μπορεί να μεταφραστεί χονδρικά ως «η ποσότητα που δείχνει το μήκος όταν η διάμετρος πολλαπλασιάζεται με αυτήν». Ο παράλογος αριθμός έγινε διάσημος όταν ο Ελβετός επιστήμονας Leonhard Euler τον χρησιμοποίησε στην εργασία του για την τριγωνομετρία το 1737. Ωστόσο, το ελληνικό σύμβολο για το πι δεν χρησιμοποιήθηκε ακόμα - συνέβη μόνο σε ένα βιβλίο του λιγότερο γνωστού μαθηματικού William Jones. Το χρησιμοποίησε ήδη από το 1706, αλλά είχε παραμεληθεί για πολύ. Με την πάροδο του χρόνου, οι επιστήμονες υιοθέτησαν αυτό το όνομα και τώρα αυτή είναι η πιο διάσημη εκδοχή του ονόματος, αν και πριν ονομαζόταν επίσης ο αριθμός Λούντολφ.

Το pi είναι φυσιολογικό;

Ο αριθμός pi είναι σίγουρα περίεργος, αλλά πώς υπακούει στους κανονικούς μαθηματικούς νόμους; Οι επιστήμονες έχουν ήδη λύσει πολλά ερωτήματα που σχετίζονται με αυτό παράλογος αριθμόςαλλά μερικά μυστήρια παραμένουν. Για παράδειγμα, δεν είναι γνωστό πόσο συχνά χρησιμοποιούνται όλα τα ψηφία - οι αριθμοί από το 0 έως το 9 πρέπει να χρησιμοποιούνται σε ίση αναλογία. Ωστόσο, τα στατιστικά στοιχεία μπορούν να εντοπιστούν για τα πρώτα τρισεκατομμύρια ψηφία, αλλά λόγω του γεγονότος ότι ο αριθμός είναι άπειρος, είναι αδύνατο να αποδειχθεί κάτι με βεβαιότητα. Υπάρχουν άλλα προβλήματα που εξακολουθούν να διαφεύγουν οι επιστήμονες. Είναι πολύ πιθανό αυτό περαιτέρω ανάπτυξηη επιστήμη θα βοηθήσει να ρίξει φως πάνω τους, αλλά αυτή τη στιγμήπαραμένει έξω από την ανθρώπινη νόηση.

Το Pi ακούγεται θεϊκό

Οι επιστήμονες δεν μπορούν να απαντήσουν σε ορισμένες ερωτήσεις σχετικά με τον αριθμό Pi, ωστόσο, κάθε χρόνο κατανοούν καλύτερα την ουσία του. Ήδη τον δέκατο όγδοο αιώνα, ο παραλογισμός αυτού του αριθμού αποδείχθηκε. Επιπλέον, έχει αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι υπερβατικό. Αυτό σημαίνει όχι ορισμένη φόρμουλα, το οποίο θα επέτρεπε τον υπολογισμό του pi χρησιμοποιώντας ρητούς αριθμούς.

Δυσαρέσκεια για τον Πι

Πολλοί μαθηματικοί είναι απλά ερωτευμένοι με τον Πι, αλλά υπάρχουν και εκείνοι που πιστεύουν ότι αυτοί οι αριθμοί δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία. Επιπλέον, ισχυρίζονται ότι ο αριθμός Tau, ο οποίος είναι διπλάσιος από το Pi, είναι πιο βολικός να χρησιμοποιηθεί ως παράλογος. Το Tau δείχνει τη σχέση μεταξύ της περιφέρειας και της ακτίνας, η οποία, σύμφωνα με ορισμένους, αντιπροσωπεύει μια πιο λογική μέθοδο υπολογισμού. Ωστόσο, για να ορίσουμε ξεκάθαρα κάτι στο Αυτό το θέμααδύνατο, και ο ένας και ο άλλος αριθμός θα έχουν πάντα υποστηρικτές, και οι δύο μέθοδοι έχουν δικαίωμα στη ζωή, έτσι είναι ακριβώς ενδιαφέρον γεγονός, και δεν είναι λόγος να πιστεύετε ότι δεν πρέπει να χρησιμοποιείτε τον αριθμό Pi.

Πίνακας αξιών τριγωνομετρικές συναρτήσεις μεταγλωττισμένο για γωνίες 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 και 360 βαθμούςκαι τις αντίστοιχες γωνίες τους σε ακτίνια. Από τριγωνομετρικές συναρτήσειςδείχνει ο πίνακας ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, τέμνουσακαι συντεμνούσα. Για την ευκολία της λύσης σχολικά παραδείγματααξίες τριγωνομετρικές συναρτήσειςστον πίνακα γράφονται ως κλάσμα με τη διατήρηση των σημείων εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας των αριθμών, κάτι που πολύ συχνά βοηθά στη μείωση σύνθετων μαθηματικών εκφράσεων. Για εφαπτομένοςκαι συνεφαπτομένηορισμένες γωνίες δεν μπορούν να προσδιοριστούν. Για αξίες εφαπτομένοςκαι συνεφαπτομένητέτοιες γωνίες στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι μια παύλα. Είναι γενικά αποδεκτό ότι εφαπτομένοςκαι συνεφαπτομένητέτοιες γωνίες ισοδυναμούν με άπειρο. Σε ξεχωριστή σελίδα υπάρχουν τύποι για τη μείωση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ο πίνακας τιμών για την τριγωνομετρική συνάρτηση sine δείχνει τις τιμές για τις ακόλουθες γωνίες: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in μέτρο βαθμού, που αντιστοιχεί σε sin 0 pi, sin pi / 6, sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi σε ακτινική μέτρηση γωνιών. σχολικό τραπέζιιγμόρεια.

Για την τριγωνομετρική συνάρτηση συνημιτόνου, ο πίνακας δείχνει τις τιμές​​για τις ακόλουθες γωνίες: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 σε μοίρες, που αντιστοιχεί σε cos 0 pi, cos pi έως 6, cos pi κατά 4, cos pi κατά 3, cos pi κατά 2, cos pi, cos 3 pi επί 2, cos 2 pi σε ακτινική μέτρηση γωνιών. Σχολικός πίνακας συνημίτονων.

Ο τριγωνομετρικός πίνακας για την εφαπτομένη τριγωνομετρική συνάρτηση δίνει τιμές για τις ακόλουθες γωνίες: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 σε μέτρο μοιρών, που αντιστοιχεί σε tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi σε ακτινική μέτρηση γωνιών. Ακολουθούν αξίεςοι τριγωνομετρικές συναρτήσεις της εφαπτομένης δεν ορίζονται tg 90, tg 270, tg pi / 2, tg 3 pi / 2 και θεωρούνται ίσες με το άπειρο.

Για την τριγωνομετρική συνάρτηση συνεφαπτομένη στον τριγωνομετρικό πίνακα, δίνονται οι τιμές των ακόλουθων γωνιών: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 σε μέτρο μοιρών, που αντιστοιχεί σε ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 σε ακτινική μέτρηση γωνιών. Οι ακόλουθες τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων συνεφαπτομένης δεν ορίζονται ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi και θεωρούνται ίσες με το άπειρο.

Οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων τέμνουσα και συνεφαπτομένη δίνονται για τις ίδιες γωνίες σε μοίρες και ακτίνια με το ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη.

Ο πίνακας τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μη τυπικών γωνιών δείχνει τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για γωνίες σε μοίρες 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 μοίρες και σε ακτίνια pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 ακτίνια. Οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων εκφράζονται σε κλάσματα και τετραγωνικές ρίζες για να απλοποιηθεί η αναγωγή των κλασμάτων στα σχολικά παραδείγματα.

Τρία ακόμη τέρατα της τριγωνομετρίας. Το πρώτο είναι η εφαπτομένη της 1,5 μοίρας και μισό, ή π διαιρούμενο με το 120. Το δεύτερο είναι το συνημίτονο του π διαιρούμενο με το 240, pi/240. Το μεγαλύτερο είναι το συνημίτονο του pi διαιρούμενο με το 17, pi/17.

Ο τριγωνομετρικός κύκλος των τιμών των συναρτήσεων ημιτονοειδούς και συνημιτονοειδούς αντιπροσωπεύει οπτικά τα σημάδια του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς ανάλογα με το μέγεθος της γωνίας. Ειδικά για τις ξανθιές, οι τιμές συνημιτόνου υπογραμμίζονται με πράσινη παύλα για να μπερδεύονται λιγότερο. Η μετατροπή των μοιρών σε ακτίνια παρουσιάζεται επίσης πολύ καθαρά, όταν τα ακτίνια εκφράζονται μέσω pi.

Αυτός ο τριγωνομετρικός πίνακας παρουσιάζει τις τιμές του ημιτόνου, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης για γωνίες από 0 μηδέν έως 90 ενενήντα μοίρες σε διαστήματα μιας μοίρας. Για τις πρώτες σαράντα πέντε μοίρες, τα ονόματα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων πρέπει να εξετάζονται στην κορυφή του πίνακα. Η πρώτη στήλη περιέχει μοίρες, οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων, των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων αναγράφονται στις επόμενες τέσσερις στήλες.

Για γωνίες από σαράντα πέντε μοίρες έως ενενήντα μοίρες, τα ονόματα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων αναγράφονται στο κάτω μέρος του πίνακα. Η τελευταία στήλη περιέχει μοίρες, οι τιμές των συνημιτόνων, των ημιτόνων, των συνεφαπτομένων και των εφαπτομένων αναγράφονται στις τέσσερις προηγούμενες στήλες. Θα πρέπει να είστε προσεκτικοί, γιατί στο κάτω μέρος τριγωνομετρικός πίνακαςτα ονόματα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι διαφορετικά από τα ονόματα στην κορυφή του πίνακα. Τα ημιτόνια και τα συνημίτονα ανταλλάσσονται, όπως η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Αυτό οφείλεται στη συμμετρία των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων φαίνονται στο παραπάνω σχήμα. κόλπων έχει θετικές αξίες 0 έως 180 μοίρες ή 0 έως pi. Αρνητικές αξίεςτο ημίτονο έχει 180 έως 360 μοίρες ή pi έως 2 pi. Οι τιμές συνημιτόνου είναι θετικές από 0 έως 90 και 270 έως 360 μοίρες ή 0 έως 1/2 pi και 3/2 έως 2 pi. Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη έχουν θετικές τιμές από 0 έως 90 μοίρες και από 180 έως 270 μοίρες, που αντιστοιχούν σε τιμές από 0 έως 1/2 pi και από pi έως 3/2 pi. Η αρνητική εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη είναι 90 έως 180 μοίρες και 270 έως 360 μοίρες, ή 1/2 pi προς pi και 3/2 pi έως 2 pi. Κατά τον προσδιορισμό των σημείων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για γωνίες μεγαλύτερες από 360 μοίρες ή 2 pi, θα πρέπει να χρησιμοποιούνται οι ιδιότητες περιοδικότητας αυτών των συναρτήσεων.

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι περιττές συναρτήσεις. Οι τιμές αυτών των συναρτήσεων για αρνητικές γωνίες θα είναι αρνητικές. Το συνημίτονο είναι μια άρτια τριγωνομετρική συνάρτηση - η τιμή συνημιτόνου για αρνητική γωνίαθα είναι θετικό. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση τριγωνομετρικών συναρτήσεων, πρέπει να ακολουθείτε τους κανόνες των ζωδίων.

Η ρίζα του 2/2 είναι πόσα pi;- Συμβαίνει με διαφορετικούς τρόπους (βλ. εικόνα). Πρέπει να ξέρετε ποια τριγωνομετρική συνάρτηση είναι ίση με τη ρίζα δύο διαιρούμενων με δύο.

Αν σας άρεσε η ανάρτηση και θέλετε να μάθετε περισσότερα, είμαι σε διαδικασία επεξεργασίας άλλων υλικών.

cos pi διαιρούμενο με 2

Αρχική > Κατάλογος > Μαθηματικοί τύποι.

Μαθηματικοί τύποι.

Μετατρέψτε τα ακτίνια σε μοίρες.
A d = A r * 180 / pi

Μετατρέψτε τις μοίρες σε ακτίνια.
A r = A d * pi / 180
Όπου A d είναι η γωνία σε μοίρες, A r είναι η γωνία σε ακτίνια.

Περιφέρεια.
L = 2 * pi * R

Το μήκος του τόξου ενός κύκλου.
L=A*R

Εμβαδόν τριγώνου.

p=(a+b+c)/2 - ημιπερίμετρος.

Περιοχή κύκλου.
S = pi * R 2

Τομέας περιοχής.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2

Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * Pi * R * H

Όπου S είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου, R είναι η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου, H είναι το ύψος του κυλίνδρου.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

Ο όγκος της μπάλας.
V = 4 / 3 * pi * R 3

Όγκος κυλίνδρου.
V = pi * R 2 * H

Όγκος κώνου.

Δημοσίευση: 15/01/13
Ενημέρωση: 15/11/14
Συνολικές προβολές: 10754
σήμερα: 1

Αρχική > Κατάλογος > Μαθηματικοί τύποι.

Έγκορ

Καλό απόγευμα! ρώτησες πολύ ενδιαφέρον Ρωτήστεελπίζουμε να μπορούμε να σας βοηθήσουμε.

Πώς να λύσετε το C1. Μάθημα 2

Εσείς και εγώ πρέπει να λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα: βρείτε το cos pi διαιρούμενο με το 2.
Τις περισσότερες φορές, για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι δείκτες συνημιτόνου ή ημιτόνου. Για γωνίες από 0 έως 360 μοίρες, σχεδόν οποιαδήποτε τιμή cos ή sin μπορεί εύκολα να βρεθεί στις αντίστοιχες πλάκες που υπάρχουν και είναι κοινές, όπως αυτές:

Όμως δεν έχουμε ημίτονο (αμαρτία), αλλά συνημίτονο. Ας καταλάβουμε πρώτα τι είναι το συνημίτονο. Το συν (συνημίτονο) είναι μια από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για να υπολογιστεί το συνημίτονο μιας οξείας ορθογώνιο τρίγωνοΘα χρειαστεί να γνωρίζετε την αναλογία του σκέλους της περιλαμβανόμενης γωνίας προς την υποτείνουσα. Το συνημίτονο του pi διαιρούμενο με το 2 μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από τριγωνομετρικός τύπος, που αναφέρεται σε τυπικές φόρμουλεςτριγωνομετρία. Αλλά αν μιλάμε για την τιμή του συνημιτόνου pi διαιρούμενο με 2, τότε για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα, τον οποίο έχουμε ήδη αναφέρει περισσότερες από μία φορές:

Καλή τύχη με τις μελλοντικές σας προσπάθειες όπως αυτή!
Απάντηση:

Αρχική > Κατάλογος > Μαθηματικοί τύποι.

Μαθηματικοί τύποι.

Μετατρέψτε τα ακτίνια σε μοίρες.
A d = A r * 180 / pi

Μετατρέψτε τις μοίρες σε ακτίνια.
A r = A d * pi / 180
Όπου A d είναι η γωνία σε μοίρες, A r είναι η γωνία σε ακτίνια.

Περιφέρεια.
L = 2 * pi * R
Όπου L είναι η περιφέρεια, R είναι η ακτίνα του κύκλου.

Το μήκος του τόξου ενός κύκλου.
L=A*R
Όπου L είναι το μήκος του τόξου ενός κύκλου, R είναι η ακτίνα του κύκλου, Α είναι κεντρική γωνία, που εκφράζεται σε ακτίνια
Για κύκλο A = 2*pi (360 μοίρες), παίρνουμε L = 2*pi*R.

Εμβαδόν τριγώνου.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Όπου S είναι το εμβαδόν του τριγώνου, a, b, c είναι τα μήκη των πλευρών,
p=(a+b+c)/2 - ημιπερίμετρος.

Περιοχή κύκλου.
S = pi * R 2
Όπου S είναι η περιοχή του κύκλου, R είναι η ακτίνα του κύκλου.

Τομέας περιοχής.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2
Όπου S είναι η περιοχή του τομέα, R είναι η ακτίνα του κύκλου, L d είναι το μήκος του τόξου.

Το εμβαδόν της επιφάνειας μιας σφαίρας.
S = 4 * pi * R 2
Όπου S είναι η επιφάνεια της μπάλας, R είναι η ακτίνα της μπάλας.

Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου.
S = 2 * Pi * R * H
Όπου S είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου, R είναι η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου, H είναι το ύψος του κυλίνδρου.

τετράγωνο πλήρη επιφάνειακύλινδρος.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Όπου S είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κυλίνδρου, R είναι η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου, H είναι το ύψος του κυλίνδρου.

Η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κώνου.
S = pi * R * L
Όπου S είναι το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του κώνου, R είναι η ακτίνα της βάσης του κώνου, L είναι το μήκος της γεννήτριας του κώνου.

Η συνολική επιφάνεια ενός κώνου.
S = pi * R * L + pi * R 2
Όπου S είναι το εμβαδόν της πλήρους επιφάνειας του κώνου, R είναι η ακτίνα της βάσης του κώνου, L είναι το μήκος της γεννήτριας του κώνου.

Ο όγκος της μπάλας.
V = 4 / 3 * pi * R 3
Όπου V είναι ο όγκος της μπάλας, R είναι η ακτίνα της μπάλας.

Όγκος κυλίνδρου.
V = pi * R 2 * H
Όπου V είναι ο όγκος του κυλίνδρου, R είναι η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου, H είναι το ύψος του κυλίνδρου.

Όγκος κώνου.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Όπου V είναι ο όγκος του κώνου, R είναι η ακτίνα της βάσης του κώνου, L είναι το μήκος της γεννήτριας του κώνου, A είναι η γωνία στην κορυφή του κώνου.

Δημοσίευση: 15/01/13
Ενημέρωση: 15/11/14
Συνολικές προβολές: 10742
σήμερα: 1

Αρχική > Κατάλογος > Μαθηματικοί τύποι.

Έγκορ
Μπορείτε να στερεώσετε το καλώδιο στους ακροδέκτες της μπαταρίας Krona με ένα σωλήνα αποκομμένο από το καπάκι μιας ιατρικής βελόνας.

Σήμερα είναι τα γενέθλια του αριθμού Πι, που με πρωτοβουλία Αμερικανών μαθηματικών γιορτάζεται στις 14 Μαρτίου στη 1 ώρα και 59 λεπτά το μεσημέρι. Αυτό οφείλεται σε μια πιο ακριβή τιμή του Pi: όλοι έχουμε συνηθίσει να μετράμε αυτήν τη σταθερά ως 3,14, αλλά ο αριθμός μπορεί να συνεχιστεί ως εξής: 3, 14159... Μεταφράζοντας αυτό σε ημερολογιακή ημερομηνία, παίρνουμε 03,14, 1: 59.

Φωτογραφία: AIF / Nadezhda Uvarova

Ο Vladimir Zalyapin, καθηγητής στο Τμήμα Μαθηματικής και Λειτουργικής Ανάλυσης στο South Ural State University, λέει ότι η 22η Ιουλίου θα πρέπει να εξακολουθεί να θεωρείται «ημέρα pi», επειδή στην ευρωπαϊκή μορφή ημερομηνίας αυτή η ημέρα γράφεται ως 22/7 και η τιμή του αυτό το κλάσμα είναι περίπου ίσο με την τιμή του Pi.

«Η ιστορία του αριθμού που δίνει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρο ενός κύκλου πηγαίνει πίσω στην αρχαιότητα», λέει ο Zalyapin. — Οι Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν ήδη ότι αυτή η αναλογία δεν εξαρτάται από τη διάμετρο του κύκλου και είναι σταθερή. Μια από τις πρώτες αναφορές του αριθμού Pi μπορεί να βρεθεί στα κείμενα Αιγύπτιος γραμματέας Αχμές(περίπου 1650 π.Χ.). Οι αρχαίοι Έλληνες, που δανείστηκαν πολλά από τους Αιγύπτιους, συνέβαλαν στην ανάπτυξη αυτής της μυστηριώδους ποσότητας. Σύμφωνα με τον μύθο, Αρχιμήδηςπαρασύρθηκε τόσο πολύ από τους υπολογισμούς που δεν παρατήρησε πώς τον πήραν οι Ρωμαίοι στρατιώτες πατρίδαΣυρακούσαι. Όταν ένας Ρωμαίος στρατιώτης τον πλησίασε, ο Αρχιμήδης φώναξε στα ελληνικά: «Μην αγγίζετε τους κύκλους μου!». Σε απάντηση, ο στρατιώτης τον μαχαίρωσε με ένα σπαθί.

Πλάτωνέλαβε μια αρκετά ακριβή τιμή του pi για την εποχή του - 3.146. Λούντολφ βαν Ζέιλενξοδεύτηκε πλέοντης ζωής του στους υπολογισμούς των πρώτων 36 ψηφίων μετά την υποδιαστολή του π, και χαράχτηκαν στην ταφόπλακα του μετά θάνατον.

Παράλογο και ανώμαλο

Σύμφωνα με τον καθηγητή, ανά πάσα στιγμή η επιδίωξη υπολογισμού νέων δεκαδικών ψηφίων καθοριζόταν από την επιθυμία να ληφθεί η ακριβής τιμή αυτού του αριθμού. Θεωρήθηκε ότι ο αριθμός Pi είναι ρητός και, επομένως, μπορεί να εκφραστεί ως απλό κλάσμα. Και αυτό είναι βασικά λάθος!

Το Pi είναι επίσης δημοφιλές επειδή είναι μυστικιστικό. Από τα αρχαία χρόνια υπήρχε μια θρησκεία λατρευτών της σταθεράς. Εκτός από παραδοσιακή έννοια Pi - μια μαθηματική σταθερά (3,1415 ...), που εκφράζει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του, υπάρχουν πολλές άλλες τιμές του αριθμού. Τέτοια γεγονότα είναι περίεργα. Στη διαδικασία μέτρησης διαστάσεων Μεγάλη Πυραμίδαστη Γκίζα, αποδείχθηκε ότι έχει τον ίδιο λόγο ύψους προς την περίμετρο της βάσης του με την ακτίνα ενός κύκλου προς το μήκος του, δηλαδή ½ pi.

Αν υπολογίσουμε το μήκος του ισημερινού της Γης χρησιμοποιώντας το Pi στο ένατο δεκαδικό ψηφίο, το σφάλμα υπολογισμού είναι μόνο περίπου 6 mm. Τριάντα εννέα δεκαδικά ψηφία στον αριθμό Pi είναι αρκετά για τον υπολογισμό της περιφέρειας ενός κύκλου που περιβάλλει το γνωστό διαστημικά αντικείμεναστο Σύμπαν, με σφάλμα όχι μεγαλύτερο από την ακτίνα ενός ατόμου υδρογόνου!

Η μελέτη του Πι ασχολείται, μεταξύ άλλων, με μαθηματική ανάλυση. Φωτογραφία: AIF / Nadezhda Uvarova

Χάος στους αριθμούς

Σύμφωνα με έναν καθηγητή μαθηματικών, το 1767 Λάμπερτκαθιέρωσε τον παραλογισμό του αριθμού Πι, δηλαδή την αδυναμία αναπαράστασής του ως αναλογία δύο ακεραίων. Αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία των δεκαδικών ψηφίων του pi είναι χάος που ενσωματώνεται σε αριθμούς. Με άλλα λόγια, η «ουρά» των δεκαδικών ψηφίων περιέχει οποιονδήποτε αριθμό, οποιαδήποτε ακολουθία αριθμών, όποια κείμενα ήταν, είναι και θα υπάρχουν, αλλά δεν είναι δυνατή η εξαγωγή αυτής της πληροφορίας!

«Είναι αδύνατο να γνωρίζουμε την ακριβή τιμή του Πι», συνεχίζει ο Βλαντιμίρ Ίλιτς. Όμως αυτές οι προσπάθειες δεν εγκαταλείπονται. Το 1991 Τσουντόφσκιπέτυχε νέα 2260000000 δεκαδικά ψηφία της σταθεράς και το 1994 - 4044000000. Μετά από αυτό, ο αριθμός των σωστών ψηφίων του αριθμού Pi αυξήθηκε σαν χιονοστιβάδα.

Κινέζος κατέχει παγκόσμιο ρεκόρ απομνημόνευσης πι Λιου Τσάο, ο οποίος κατάφερε να απομνημονεύσει 67890 δεκαδικά ψηφία χωρίς λάθος και να τα αναπαράγει μέσα σε 24 ώρες και 4 λεπτά.

Σχετικά με τη "χρυσή τομή"

Παρεμπιπτόντως, η σύνδεση μεταξύ του "pi" και μιας άλλης εκπληκτικής ποσότητας - της χρυσής αναλογίας - δεν έχει πραγματικά αποδειχθεί. Ο κόσμος έχει από καιρό παρατηρήσει ότι η «χρυσή» αναλογία - είναι και ο αριθμός Phi - και ο αριθμός Pi διαιρούμενος με δύο διαφέρουν μεταξύ τους κατά λιγότερο από 3% (1,61803398... και 1,57079632...). Ωστόσο, για τα μαθηματικά, αυτά τα τρία τοις εκατό είναι πολύ σημαντική διαφορά για να θεωρηθούν αυτές οι τιμές πανομοιότυπες. Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να πούμε ότι ο αριθμός Pi και ο αριθμός Phi είναι συγγενείς μιας άλλης γνωστής σταθεράς - του αριθμού Euler, αφού η ρίζα του είναι κοντά στο μισό του αριθμού του Pi. Ένα δευτερόλεπτο του Pi είναι 1,5708, το Phi είναι 1,6180, η ρίζα του E είναι 1,6487.

Αυτό είναι μόνο ένα μέρος της σημασίας του Πι. Φωτογραφία: Στιγμιότυπο

Τα γενέθλια του Πι

Στα νότια Ουράλια κρατικό ΠανεπιστήμιοΤα γενέθλια της Constant γιορτάζουν όλοι οι δάσκαλοι και οι μαθητές των μαθηματικών. Πάντα ήταν έτσι - δεν μπορεί να ειπωθεί ότι το ενδιαφέρον εμφανίστηκε μόνο σε τα τελευταία χρόνια. Το νούμερο 3.14 καλωσορίζεται μάλιστα με μια ξεχωριστή γιορτινή συναυλία!

Αυτό το άρθρο έχει συλλέξει πίνακες ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων. Αρχικά, δίνουμε έναν πίνακα βασικών τιμών​​των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή έναν πίνακα με ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτόμενες και συνεφαπτομένες γωνιών 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 μοιρών ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πακτίνιο). Μετά από αυτό, θα δώσουμε έναν πίνακα ημιτόνων και συνημιτόνων, καθώς και έναν πίνακα εφαπτομένων και συνεφαπτομένων του V. M. Bradis και θα δείξουμε πώς να χρησιμοποιείτε αυτούς τους πίνακες κατά την εύρεση των τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Πίνακας ημιτόνων, συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων για γωνίες 0, 30, 45, 60, 90, ... μοίρες

Βιβλιογραφία.

• Αλγεβρα: Proc. για 9 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky.- M.: Διαφωτισμός, 1990.- 272 σελ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Μπασμάκοφ Μ.Ι.Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
• Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 σελ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.
• Bradis V. M.Τετραψήφιοι μαθηματικοί πίνακες: Για γενική εκπαίδευση. εγχειρίδιο εγκαταστάσεις. - 2η έκδ. - M.: Bustard, 1999.- 96 σελ.: ill. ISBN 5-7107-2667-2