Ξεκινήστε από την επιστήμη. Μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων

Η εξίσωση που αντιπροσωπεύει τετραγωνικό τριώνυμο, ονομάζεται συνήθως τετραγωνική εξίσωση. Από αλγεβρική άποψη, περιγράφεται με τον τύπο a*x^2+b*x+c=0. Σε αυτόν τον τύπο, το x είναι το άγνωστο που πρέπει να βρεθεί (ονομάζεται ελεύθερη μεταβλητή). Τα α, β και γ είναι αριθμητικοί συντελεστές. Υπάρχουν ορισμένοι περιορισμοί σχετικά με τα στοιχεία που υποδεικνύονται: για παράδειγμα, ο συντελεστής α δεν πρέπει να είναι ίσος με 0.

Επίλυση εξίσωσης: η έννοια του διακριτικού

Η τιμή του αγνώστου x στην οποία η τετραγωνική εξίσωση μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα ονομάζεται ρίζα μιας τέτοιας εξίσωσης. Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση, πρέπει πρώτα να βρείτε την τιμή ενός ειδικού συντελεστή - του διαχωριστή, ο οποίος θα δείχνει τον αριθμό των ριζών της εν λόγω ισότητας. Η διάκριση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο D=b^2-4ac. Στην περίπτωση αυτή, το αποτέλεσμα του υπολογισμού μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή ίσο με μηδέν.

Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η έννοια απαιτεί μόνο ο συντελεστής a να είναι αυστηρά διαφορετικός από το 0. Κατά συνέπεια, ο συντελεστής b μπορεί να είναι ίσος με 0 και η ίδια η εξίσωση σε αυτή την περίπτωση είναι της μορφής a*x^2+c =0. Σε μια τέτοια περίπτωση, μια τιμή συντελεστή 0 θα πρέπει να χρησιμοποιείται στους τύπους για τον υπολογισμό της διάκρισης και των ριζών. Άρα, η διάκριση σε αυτή την περίπτωση θα υπολογιστεί ως D=-4ac.

Επίλυση της εξίσωσης με θετική διάκριση

Εάν η διάκριση της τετραγωνικής εξίσωσης αποδειχθεί θετική, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αυτή η ισότητα έχει δύο ρίζες. Αυτές οι ρίζες μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Έτσι, για να υπολογιστεί η τιμή των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης στο θετική αξίαχρησιμοποιούνται διακρίσεις γνωστές αξίεςσυντελεστές διαθέσιμοι σε . Χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά στον τύπο για τον υπολογισμό των ριζών, το αποτέλεσμα των υπολογισμών θα είναι δύο τιμές που κάνουν την εν λόγω ισότητα αληθινή.

Επίλυση της εξίσωσης με μηδέν και αρνητική διάκριση

Αν η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αποδειχθεί ίση με 0, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι καθορισμένη εξίσωσηέχει μία ρίζα. Αυστηρά μιλώντας, σε αυτήν την κατάσταση η εξίσωση έχει ακόμα δύο ρίζες, αλλά λόγω της μηδενικής διάκρισης θα είναι ίσες μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή x=-b/2a. Εάν, κατά τη διαδικασία υπολογισμού, η τιμή της διάκρισης αποδειχθεί αρνητική, θα πρέπει να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η εν λόγω τετραγωνική εξίσωση δεν έχει ρίζες, δηλαδή τέτοιες τιμές του x στις οποίες μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα .

Η εξίσωση είναι μια μαθηματική έκφραση που είναι ισότητα και περιέχει ένα άγνωστο. Εάν μια ισότητα ισχύει για οποιεσδήποτε αποδεκτές τιμές των αγνώστων που περιλαμβάνονται σε αυτήν, τότε ονομάζεται ταυτότητα. για παράδειγμα: μια σχέση της μορφής (x – 1)2 = (x – 1) (x – 1) ισχύει για όλες τις τιμές του x.

Εάν μια εξίσωση που περιέχει ένα άγνωστο x ισχύει μόνο για ορισμένες τιμές του x και όχι για όλες τις τιμές του x, όπως στην περίπτωση μιας ταυτότητας, τότε μπορεί να είναι χρήσιμο να προσδιοριστούν εκείνες οι τιμές του x για τις οποίες ισχύει η εξίσωση. Τέτοιες τιμές του x ονομάζονται ρίζες ή λύσεις της εξίσωσης. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 είναι η ρίζα της εξίσωσης 2x + 7= 17.

Στον κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία εξισώσεων, το κύριο αντικείμενο μελέτης είναι οι μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων. ΣΕ σχολικό μάθημαΟι εξισώσεις της Άλγεβρας λαμβάνουν μεγάλη προσοχή.

Η ιστορία της μελέτης των εξισώσεων πηγαίνει πίσω πολλούς αιώνες. Οι πιο διάσημοι μαθηματικοί που συνέβαλαν στην ανάπτυξη της θεωρίας των εξισώσεων ήταν:

Ο Αρχιμήδης (περ. 287–212 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας επιστήμονας, μαθηματικός και μηχανικός. Κατά τη μελέτη ενός προβλήματος που μειώνεται σε κυβική εξίσωση, ο Αρχιμήδης ανακάλυψε τον ρόλο του χαρακτηριστικού, το οποίο αργότερα ονομάστηκε διαχωριστικό.

Ο Francois Viet έζησε τον 16ο αιώνα. Είχε μεγάλη συνεισφορά στη μελέτη διάφορα προβλήματαμαθηματικά. Συγκεκριμένα, εισήγαγε χαρακτηρισμούς γραμμάτων για τους συντελεστές της εξίσωσης και καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης.

Leonhard Euler (1707 – 1783) - μαθηματικός, μηχανικός, φυσικός και αστρονόμος. Συγγραφέας του St. 800 εργασίες για μαθηματική ανάλυση, διαφορικές εξισώσεις, γεωμετρία, θεωρία αριθμών, υπολογισμοί κατά προσέγγιση, ουράνια μηχανική, μαθηματικά, οπτική, βαλλιστική, ναυπηγική, θεωρία της μουσικής κ.λπ. Είχε σημαντική επιρροή στην ανάπτυξη της επιστήμης. Παρήγαγε τύπους (τύποι του Euler) που εκφράζουν τριγωνομετρικές συναρτήσειςμεταβλητή x μέσω μιας εκθετικής συνάρτησης.

Lagrange Joseph Louis (1736 - 1813), Γάλλος μαθηματικόςκαι μηχανικός. Έχει πραγματοποιήσει εξαιρετική έρευνα, συμπεριλαμβανομένης της έρευνας για την άλγεβρα (η συμμετρική συνάρτηση των ριζών μιας εξίσωσης, για τις διαφορικές εξισώσεις (θεωρία ειδικές λύσεις, μέθοδος μεταβολής σταθερών).

Ο J. Lagrange και ο A. Vandermonde είναι Γάλλοι μαθηματικοί. Το 1771 χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά μια μέθοδος για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων (η μέθοδος υποκατάστασης).

Gauss Karl Friedrich (1777 -1855) - Γερμανός μαθηματικός. Έγραψε ένα βιβλίο που περιγράφει τη θεωρία των εξισώσεων για τη διαίρεση ενός κύκλου (δηλαδή τις εξισώσεις xn - 1 = 0), η οποία από πολλές απόψεις ήταν ένα πρωτότυπο της θεωρίας Galois. εκτός κοινές μεθόδουςλύνοντας αυτές τις εξισώσεις, δημιούργησε μια σύνδεση μεταξύ τους και την κατασκευή κανονικών πολυγώνων. Για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες επιστήμονες, έκανε ένα σημαντικό βήμα μπροστά σε αυτό το θέμα, δηλαδή: βρήκε όλες εκείνες τις τιμές του n για τις οποίες κανονικό n-gonμπορεί να κατασκευαστεί με πυξίδα και χάρακα. Μελέτησα τη μέθοδο της πρόσθεσης. Κατέληξα στο συμπέρασμα ότι τα συστήματα εξισώσεων μπορούν να προστεθούν, να διαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν.

O. I. Somov - εμπλούτισε διάφορα μέρη των μαθηματικών με σημαντικά και πολυάριθμα έργα, μεταξύ των οποίων η θεωρία ορισμένων αλγεβρικών εξισώσεων υψηλότερους βαθμούς.

Galois Evariste (1811-1832) - Γάλλος μαθηματικός. Το κύριο πλεονέκτημά του είναι η διατύπωση ενός συνόλου ιδεών στις οποίες κατέληξε σε σχέση με τη συνέχιση της έρευνας για τη διαλυτότητα των αλγεβρικών εξισώσεων, που ξεκίνησε από τους J. Lagrange, N. Abel και άλλους, και δημιούργησε τη θεωρία των αλγεβρικών εξισώσεων του ανώτερα πτυχία με ένα άγνωστο.

A. V. Pogorelov (1919 – 1981) - Το έργο του περιλαμβάνει γεωμετρικές μεθόδους με Αναλυτικές μέθοδοιθεωρία μερικών διαφορικών εξισώσεων. Τα έργα του είχαν επίσης σημαντική επίδραση στη θεωρία των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

P. Ruffini - Ιταλός μαθηματικός. Αφιέρωσε μια σειρά εργασιών στην απόδειξη της μη επιλυτότητας των εξισώσεων του βαθμού 5, χρησιμοποιώντας συστηματικά την κλειστότητα του συνόλου των αντικαταστάσεων.

Παρά το γεγονός ότι οι επιστήμονες μελετούν τις εξισώσεις για μεγάλο χρονικό διάστημα, η επιστήμη δεν γνωρίζει πώς και πότε οι άνθρωποι έπρεπε να χρησιμοποιούν εξισώσεις. Είναι γνωστό μόνο ότι οι άνθρωποι λύνουν προβλήματα που οδηγούν στη λύση των απλούστερων εξισώσεων από τη στιγμή που έγιναν άνθρωποι. Άλλα 3 - 4 χιλιάδες χρόνια π.Χ. μι. Οι Αιγύπτιοι και οι Βαβυλώνιοι ήξεραν πώς να λύνουν εξισώσεις. Ο κανόνας για την επίλυση αυτών των εξισώσεων συμπίπτει με τον σύγχρονο, αλλά είναι άγνωστο πώς έφτασαν εκεί.

ΣΕ Αρχαία Αίγυπτοςκαι Βαβυλώνα, χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της ψευδούς θέσης. Μια εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο μπορεί πάντα να αναχθεί στη μορφή ax + b = c, στην οποία τα a, b, c είναι ακέραιοι αριθμοί. Σύμφωνα με τους κανόνες αριθμητικές πράξειςτσεκούρι = γ - β,

Αν b > c, τότε το c b είναι αρνητικός αριθμός. Αρνητικοί αριθμοίήταν άγνωστοι στους Αιγύπτιους και σε πολλούς άλλους μεταγενέστερους λαούς (μαζί με θετικούς αριθμούςάρχισαν να χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά μόλις τον δέκατο έβδομο αιώνα). Για να λύσουμε προβλήματα που τώρα λύνουμε με εξισώσεις πρώτου βαθμού, εφευρέθηκε η μέθοδος της ψευδούς θέσης. Στον πάπυρο Ahmes λύνονται 15 προβλήματα με αυτή τη μέθοδο. Οι Αιγύπτιοι είχαν μια ειδική πινακίδα για έναν άγνωστο αριθμό, που μέχρι πρόσφατα διαβαζόταν «πώς» και μεταφραζόταν ως «σωρός» («σωρός» ή «άγνωστος αριθμός» μονάδων). Τώρα διαβάζουν λίγο λιγότερο ανακριβώς: «ναι». Η μέθοδος λύσης που χρησιμοποιεί ο Ahmes ονομάζεται μέθοδος μιας ψευδούς θέσης. Με τη μέθοδο αυτή λύνονται εξισώσεις της μορφής ax = b. Αυτή η μέθοδος περιλαμβάνει τη διαίρεση κάθε πλευράς της εξίσωσης με α. Το χρησιμοποιούσαν τόσο οι Αιγύπτιοι όσο και οι Βαβυλώνιοι. U διαφορετικά έθνηΧρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των δύο ψευδών θέσεων. Οι Άραβες μηχανοποίησαν αυτή τη μέθοδο και έλαβαν τη μορφή με την οποία μεταφέρθηκε στα σχολικά βιβλία των ευρωπαϊκών λαών, συμπεριλαμβανομένης της Αριθμητικής του Magnitsky. Ο Magnitsky αποκαλεί τη λύση «ψευδή κανόνα» και γράφει στο μέρος του βιβλίου του που περιγράφει αυτή τη μέθοδο:

Αυτό το κομμάτι είναι πολύ πονηρό, γιατί μπορείς να βάλεις τα πάντα μαζί του. Όχι μόνο ό,τι είναι στην ιθαγένεια, αλλά και οι ανώτερες επιστήμες στο διάστημα, που καταγράφονται στη σφαίρα του ουρανού, καθώς οι σοφοί έχουν ανάγκες.

Το περιεχόμενο των ποιημάτων του Magnitsky μπορεί να συνοψιστεί εν συντομία ως εξής: αυτό το μέρος της αριθμητικής είναι πολύ δύσκολο. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να υπολογίσετε όχι μόνο τι χρειάζεται στην καθημερινή πρακτική, αλλά λύνει επίσης τις «υψηλότερες» ερωτήσεις που αντιμετωπίζουν οι «σοφοί». Ο Magnitsky χρησιμοποιεί τον «ψευδή κανόνα» με τη μορφή που του έδωσαν οι Άραβες, αποκαλώντας τον «αριθμητική δύο σφαλμάτων» ή «μέθοδο της κλίμακας». Οι Ινδοί μαθηματικοί έδιναν συχνά προβλήματα σε στίχους. Πρόβλημα Lotus:

Πάνω από την ήσυχη λίμνη, μισό μέτρο πάνω από το νερό, φαινόταν το χρώμα του λωτού. Μεγάλωσε μόνος και ο αέρας σαν κύμα τον έσκυψε στο πλάι και όχι πια

Λουλούδι πάνω από το νερό. Το μάτι του ψαρά τον βρήκε δύο μέτρα από το μέρος που μεγάλωσε. Πόσο βάθος είναι το νερό της λίμνης εδώ; Θα σου κάνω μια ερώτηση.

Τύποι εξισώσεων

Γραμμικές εξισώσεις

Οι γραμμικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής: ax + b = 0, όπου a και b είναι μερικές σταθερές. Αν το a δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα: x = - b: a (ax + b; ax = - b; x = - b: a.).

Για παράδειγμα: αποφασίστε γραμμική εξίσωση: 4x + 12 = 0.

Λύση: Αφού a = 4, και b = 12, τότε x = - 12: 4; x = - 3.

Έλεγχος: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Εφόσον 0 = 0, τότε -3 είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση. x = -3

Αν το a είναι ίσο με μηδέν και το b είναι ίσο με μηδέν, τότε η ρίζα της εξίσωσης ax + b = 0 είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Για παράδειγμα:

0 = 0. Εφόσον το 0 είναι ίσο με 0, τότε η ρίζα της εξίσωσης 0x + 0 = 0 είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Αν το a είναι ίσο με μηδέν και το b δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε η εξίσωση ax + b = 0 δεν έχει ρίζες.

Για παράδειγμα:

0 = 6. Εφόσον το 0 δεν είναι ίσο με 6, τότε το 0x – 6 = 0 δεν έχει ρίζες.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένα σύστημα στο οποίο όλες οι εξισώσεις είναι γραμμικές.

Το να λύνεις ένα σύστημα σημαίνει να βρίσκεις όλες τις λύσεις του.

Πριν λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, μπορείτε να προσδιορίσετε τον αριθμό των λύσεών του.

Έστω ένα σύστημα εξισώσεων: (a1x + b1y = c1, (a2x + b2y = c2.

Εάν το a1 διαιρούμενο με το a2 δεν είναι ίσο με το b1 διαιρούμενο με το b2, τότε το σύστημα έχει μία μοναδική λύση.

Εάν το a1 διαιρούμενο με το a2 είναι ίσο με το b1 διαιρούμενο με το b2, αλλά ίσο με το c1 διαιρούμενο με το c2, τότε το σύστημα δεν έχει λύσεις.

Εάν το a1 διαιρούμενο με το a2 είναι ίσο με το b1 διαιρούμενο με το b2, και το ίσο με το c1 διαιρούμενο με το c2, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Ένα σύστημα εξισώσεων που έχει τουλάχιστον μία λύση ονομάζεται ταυτόχρονο.

Ένα σύστημα άρθρωσης ονομάζεται οριστικό εάν έχει τελικός αριθμόςλύσεις, και αόριστο αν το σύνολο των λύσεών του είναι άπειρο.

Ένα σύστημα που δεν έχει μια ενιαία λύση ονομάζεται ασυνεπές ή αντιφατικό.

Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης γραμμικών εξισώσεων:

1) Μέθοδος επιλογής. Αυτό είναι το πιο ο απλούστερος τρόπος. Βρίσκεται στο γεγονός ότι όλοι είναι επιλεγμένοι έγκυρες τιμέςάγνωστο με απαρίθμηση.

Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Έστω x = 1. Τότε

4 = 6. Εφόσον το 4 δεν είναι ίσο με 6, τότε η υπόθεση μας ότι x = 1 ήταν λανθασμένη.

Έστω x = 2.

6 = 6. Εφόσον το 6 είναι ίσο με 6, τότε η υπόθεση μας ότι x = 2 ήταν σωστή.

Απάντηση: x = 2.

2) Μέθοδος απλοποίησης

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στη μεταφορά όλων των όρων που περιέχουν άγνωστα στην αριστερή πλευρά και γνωστών στη δεξιά πλευρά. αντίθετο σημάδι, δώστε παρόμοια και διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον συντελεστή του αγνώστου.

Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

5x – 4 = 11 + 2x;

5x – 2x = 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Απάντηση. x = 5.

3) Γραφική μέθοδος.

Συνίσταται στην κατασκευή γραφήματος συναρτήσεων δεδομένη εξίσωση. Εφόσον σε μια γραμμική εξίσωση y = 0, η γραφική παράσταση θα είναι παράλληλη προς τον άξονα y. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα x θα είναι η λύση αυτής της εξίσωσης.

Για παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Έστω y = 7. Τότε y = 2x + 3.

Ας σχεδιάσουμε τις συναρτήσεις και των δύο εξισώσεων:

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Στην έβδομη τάξη, μελετούν τρεις τρόπους επίλυσης συστημάτων εξισώσεων:

1) Μέθοδος αντικατάστασης.

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην έκφραση ενός αγνώστου ως προς ένα άλλο σε μία από τις εξισώσεις. Η έκφραση που προκύπτει αντικαθίσταται με μια άλλη εξίσωση, η οποία στη συνέχεια μετατρέπεται σε εξίσωση με έναν άγνωστο και στη συνέχεια λύνεται. Η προκύπτουσα τιμή αυτού του αγνώστου αντικαθίσταται σε οποιαδήποτε εξίσωση του αρχικού συστήματος και βρίσκεται η τιμή του δεύτερου αγνώστου.

Για παράδειγμα.

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y = 4 - 3x.

Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση που προκύπτει με μια άλλη εξίσωση:

5x – 2(4 – 3x) -2 = 1;

5x – 8 + 6x = 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που προκύπτει στην εξίσωση 3x + y = 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y = 4 – 3; y = 1.

Εξέταση.

/3 1 + 1 = 4,

\5 · 1 – 2 · 1 – 2 = 1;

Απάντηση: x = 1; y = 1.

2) Τρόπος προσθήκης.

Αυτή η μέθοδος είναι ότι εάν αυτό το σύστημααποτελείται από εξισώσεις που, όταν προστίθενται όρος προς όρο, σχηματίζουν μια εξίσωση με έναν άγνωστο, στη συνέχεια, λύνοντας αυτήν την εξίσωση, λαμβάνουμε την τιμή ενός από τους αγνώστους. Η προκύπτουσα τιμή αυτού του αγνώστου αντικαθίσταται σε οποιαδήποτε εξίσωση του αρχικού συστήματος και βρίσκεται η τιμή του δεύτερου αγνώστου.

Για παράδειγμα:

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

/3υ – 2х = 5,

\5x – 3y = 4.

Ας λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει.

3x = 9; : (3) x = 3.

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που προκύπτει στην εξίσωση 3y – 2x = 5.

3у – 2 3 = 5;

3у = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Άρα x = 3; y = 3 2/3.

Εξέταση.

/3 11/3 – 2 3 = 5,

\5 · 3 – 3 · 11/ 3 = 4;

Απάντηση. x = 3; y = 3 2/3

3) Γραφική μέθοδος.

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στο γεγονός ότι οι εξισώσεις απεικονίζονται σε ένα σύστημα συντεταγμένων. Αν οι γραφικές παραστάσεις μιας εξίσωσης τέμνονται, τότε οι συντεταγμένες του σημείου τομής είναι η λύση σε αυτό το σύστημα. Αν οι γραφικές παραστάσεις της εξίσωσης είναι παράλληλες ευθείες, τότε αυτό το σύστημα δεν έχει λύσεις. Αν οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων συγχωνευθούν σε μία ευθεία γραμμή, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.

Για παράδειγμα.

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y = 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Υ = 5 - 2x; 3y = 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Ας κατασκευάσουμε γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 2x - 5 και y = 3 - 6x στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = 2x - 5 και y = 3 - 6x τέμνονται στο σημείο Α (1; -3).

Επομένως, η λύση σε αυτό το σύστημα εξισώσεων θα είναι x = 1 και y = -3.

Εξέταση.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Απάντηση. x = 1; y = -3.

συμπέρασμα

Με βάση όλα τα παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι εξισώσεις είναι απαραίτητες στο σύγχρονος κόσμοςόχι μόνο για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, αλλά και ως επιστημονικό εργαλείο. Γι' αυτό τόσοι πολλοί επιστήμονες έχουν μελετήσει αυτό το θέμα και συνεχίζουν να το μελετούν.

Υπουργείο Γενικών και επαγγελματική εκπαίδευση RF

Δημοτικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα

Γυμνάσιο Νο 12

σύνθεση

με θέμα: Εξισώσεις και μέθοδοι επίλυσής τους

Συμπλήρωσε: μαθητής της τάξης 10 "Α"

Krutko Evgeniy

Έλεγχος: καθηγήτρια μαθηματικών Iskhakova Gulsum Akramovna

Tyumen 2001

Σχέδιο................................................. ................................................ .......................................... 1

Εισαγωγή................................................. .......................................................... .......................................... 2

Κύριο μέρος ................................................ ................................................ .................... 3

Συμπέρασμα................................................. ................................................ ................... 25

Εφαρμογή................................................. ................................................ ...................... 26

Κατάλογος χρησιμοποιημένης βιβλιογραφίας................................................ ........................... 29

Σχέδιο.

Εισαγωγή.

Ιστορική αναφορά.

Εξισώσεις. Αλγεβρικές εξισώσεις.

α) Βασικοί ορισμοί.

β) Γραμμική εξίσωση και μέθοδος επίλυσής της.

γ) Τετραγωνικές εξισώσεις και μέθοδοι επίλυσής τους.

δ) Διωνυμικές εξισώσεις και τρόπος επίλυσής τους.

ρε) Κυβικές εξισώσειςκαι τρόπους επίλυσής του.

μι) Διτετραγωνική εξίσωσηκαι ένας τρόπος να το λύσουμε.

ζ) Εξισώσεις τέταρτου βαθμού και μέθοδοι επίλυσής τους.

ζ) Εξισώσεις υψηλών βαθμών και μέθοδοι επίλυσής τους.

η) Ορθολογική αλγεβρική εξίσωση και η μέθοδος της

Και) Παράλογες εξισώσειςκαι τρόπους επίλυσής του.

ι) Εξισώσεις που περιέχουν άγνωστο κάτω από ζώδιο.

απόλυτη τιμή και μέθοδος επίλυσής του.

Υπερβατικές εξισώσεις.

ΕΝΑ) Εκθετικές εξισώσειςκαι έναν τρόπο επίλυσής τους.

σι) Λογαριθμικές εξισώσειςκαι έναν τρόπο επίλυσής τους.

Εισαγωγή

Μαθηματική εκπαίδευση που έλαβε στο δευτεροβάθμιο σχολείο, είναι βασικό συστατικό γενική εκπαίδευσηΚαι γενική κουλτούρα ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΑΝΘΡΩΠΟΣ. Σχεδόν όλα όσα περιβάλλουν τον σύγχρονο άνθρωπο είναι όλα κατά κάποιο τρόπο συνδεδεμένα με τα μαθηματικά. ΕΝΑ τελευταία επιτεύγματαστη φυσική, την τεχνολογία και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣμην αφήνετε καμία αμφιβολία ότι στο μέλλον η κατάσταση των πραγμάτων θα παραμείνει η ίδια. Επομένως, η επίλυση πολλών πρακτικών προβλημάτων καταλήγει στην επίλυση διάφοροι τύποιεξισώσεις που πρέπει να μάθετε να λύνετε.

Η παρούσα εργασία αποτελεί μια προσπάθεια περίληψης και συστηματοποίησης του μελετημένου υλικού για το παραπάνω θέμα. Έχω κανονίσει το υλικό με σειρά δυσκολίας, ξεκινώντας από το πιο απλό. Περιλαμβάνει τόσο τους τύπους των εξισώσεων που μας είναι γνωστοί από το μάθημα της σχολικής άλγεβρας, όσο και πρόσθετο υλικό. Ταυτόχρονα, προσπάθησα να δείξω τους τύπους εξισώσεων που δεν μελετώνται στο σχολικό μάθημα, αλλά η γνώση των οποίων μπορεί να χρειαστεί κατά την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση εκπαιδευτικό ίδρυμα. Στην εργασία μου, όταν λύνω εξισώσεις, δεν περιορίστηκα μόνο στην πραγματική λύση, αλλά υπέδειξα και τη σύνθετη, αφού πιστεύω ότι διαφορετικά η εξίσωση είναι απλά άλυτη. Άλλωστε, αν μια εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, αυτό δεν σημαίνει ότι δεν έχει λύσεις. Δυστυχώς, λόγω έλλειψης χρόνου, δεν μπόρεσα να παρουσιάσω όλο το υλικό που έχω, αλλά ακόμα και με το υλικό που παρουσιάζεται εδώ, μπορεί να προκύψουν πολλά ερωτήματα. Ελπίζω ότι οι γνώσεις μου είναι αρκετές για να απαντήσω στις περισσότερες ερωτήσεις. Λοιπόν, αρχίζω να παρουσιάζω το υλικό.

Τα μαθηματικά... αποκαλύπτουν την τάξη,

συμμετρία και βεβαιότητα,

και αυτό είναι πιο σημαντικά είδηπανεμορφη.

Αριστοτέλης.

Ιστορική αναφορά

Σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους, όταν οι σοφοί άρχισαν να σκέφτονται για πρώτη φορά τις ισότητες που περιείχαν άγνωστες ποσότητες, πιθανότατα δεν υπήρχαν νομίσματα ή πορτοφόλια. Υπήρχαν όμως σωροί, καθώς και γλάστρες και καλάθια, που ήταν ιδανικά για τον ρόλο των κρυφών αποθήκευσης που μπορούσαν να χωρέσουν άγνωστο αριθμό αντικειμένων. «Ψάχνουμε έναν σωρό που μαζί με τα δύο τρίτα, το μισό και ένα έβδομο του κάνουν 37...», διδάσκεται τη 2η χιλιετία π.Χ. νέα εποχήΑιγύπτιος γραμματέας Αχμές. Στα αρχαία μαθηματικά προβλήματαΜεσοποταμία, Ινδία, Κίνα, Ελλάδα, άγνωστες ποσότητες εξέφραζαν τον αριθμό των παγωνιών στον κήπο, τον αριθμό των ταύρων στο κοπάδι, το σύνολο των πραγμάτων που λαμβάνονται υπόψη κατά τη διαίρεση της περιουσίας. Γραμματείς, αξιωματούχοι και ιερείς μυημένοι στη μυστική γνώση, καλά εκπαιδευμένοι στην επιστήμη των λογαριασμών, αντιμετώπισαν τέτοια καθήκοντα με μεγάλη επιτυχία.

Οι πηγές που έφτασαν σε εμάς αναφέρουν ότι οι αρχαίοι επιστήμονες είχαν κάποιες γενικές τεχνικές για την επίλυση προβλημάτων με άγνωστες ποσότητες. Ωστόσο, ούτε ένας πάπυρος ή πήλινη ταμπλέτα δεν περιέχει περιγραφή αυτών των τεχνικών. Οι συγγραφείς παρείχαν μόνο περιστασιακά τους αριθμητικούς υπολογισμούς τους με πεζά σχόλια όπως: «Κοίτα!», «Κάνε αυτό!», «Βρήκες το σωστό». Υπό αυτή την έννοια, εξαίρεση αποτελεί η «Αριθμητική» του Έλληνα μαθηματικού Διόφαντου της Αλεξάνδρειας (III αιώνας) - μια συλλογή προβλημάτων για τη σύνθεση εξισώσεων με συστηματική παρουσίαση των λύσεών τους.

Ωστόσο, το πρώτο εγχειρίδιο για την επίλυση προβλημάτων που έγινε ευρέως γνωστό ήταν το έργο του επιστήμονα της Βαγδάτης του 9ου αιώνα. Μοχάμεντ μπιν Μούσα αλ Χουαρίζμι. Η λέξη "al-jabr" από το αραβικό όνομα αυτής της πραγματείας - "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Βιβλίο αποκατάστασης και αντίθεσης") - με την πάροδο του χρόνου μετατράπηκε στη γνωστή λέξη "άλγεβρα" και al- Το ίδιο το έργο του Χουαρίζμι υπηρέτησε το σημείο εκκίνησης στην ανάπτυξη της επιστήμης της επίλυσης εξισώσεων.

εξισώσεις Αλγεβρικές εξισώσεις

Βασικοί ορισμοί

Στην άλγεβρα θεωρούνται δύο τύποι ισοτήτων - ταυτότητες και εξισώσεις.

Ταυτότηταείναι μια ισότητα που ισχύει για όλες τις (αποδεκτές) τιμές των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτό). Για να καταγράψετε μια ταυτότητα μαζί με μια πινακίδα

χρησιμοποιείται επίσης το σημάδι.

Η εξίσωσηείναι μια ισότητα που ισχύει μόνο για ορισμένες τιμές των γραμμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτό. Τα γράμματα που περιλαμβάνονται στην εξίσωση, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, μπορεί να είναι άνισα: μερικά μπορούν να πάρουν όλες τις επιτρεπόμενες τιμές τους (ονομάζονται Παράμετροιή συντελεστέςεξισώσεις και συνήθως συμβολίζονται με τα πρώτα γράμματα Λατινικό αλφάβητο:

, , ... - ή τα ίδια γράμματα που παρέχονται με δείκτες: , , ... ή , , ...); καλούνται άλλα των οποίων οι τιμές πρέπει να βρεθούν άγνωστος(συνήθως προσδιορίζονται με τα τελευταία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου: , , , ... - ή τα ίδια γράμματα με δείκτες: , , ... ή , , ...).

Γενικά, η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

(, , ..., ).

Ανάλογα με τον αριθμό των αγνώστων, η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση με έναν, δύο κ.λπ. αγνώστους.

Συνήθως, εξισώσειςεμφανίζονται σε προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε μια συγκεκριμένη ποσότητα. Η εξίσωση σάς επιτρέπει να διατυπώσετε το πρόβλημα στη γλώσσα της άλγεβρας. Έχοντας λύσει την εξίσωση, παίρνουμε την τιμή της επιθυμητής ποσότητας, η οποία ονομάζεται άγνωστη. «Ο Αντρέι έχει πολλά ρούβλια στο πορτοφόλι του. Αν πολλαπλασιάσετε αυτόν τον αριθμό με το 2 και στη συνέχεια αφαιρέσετε το 5, θα έχετε 10. Πόσα χρήματα έχει ο Αντρέι;» Ας ορίσουμε το άγνωστο χρηματικό ποσό ως x και γράψουμε την εξίσωση: 2x-5=10.

Για να μιλήσουμε για τρόποι επίλυσης εξισώσεων, πρώτα πρέπει να ορίσετε τις βασικές έννοιες και να εξοικειωθείτε με τις γενικά αποδεκτές σημειώσεις. Για ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙεξισώσεις, υπάρχουν διάφοροι αλγόριθμοι για την επίλυσή τους. Ο ευκολότερος τρόπος επίλυσης εξισώσεων είναι πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Πολλοί άνθρωποι είναι εξοικειωμένοι με τη φόρμουλα για την επίλυση από το σχολείο τετραγωνικές εξισώσεις. Τεχνικές ανώτερα μαθηματικάθα βοηθήσει στην επίλυση εξισώσεων περισσότερο υψηλή τάξη. Το σύνολο των αριθμών στο οποίο ορίζεται μια εξίσωση σχετίζεται στενά με τις λύσεις της. Επίσης ενδιαφέρουσα είναι η σχέση μεταξύ εξισώσεων και γραφημάτων συναρτήσεων, αφού η αναπαράσταση των εξισώσεων στο γραφική μορφήΤους βοηθάει πολύ.

Περιγραφή. Μια εξίσωση είναι μια μαθηματική ισότητα με ένα ή περισσότερα άγνωστα μεγέθη, για παράδειγμα 2x+3y=0.

Οι εκφράσεις και στις δύο πλευρές του ίσου ονομάζονται αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου δηλώνουν άγνωστα. Αν και μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός αγνώστων, παρακάτω θα μιλήσουμε μόνο για εξισώσεις με έναν άγνωστο, τον οποίο θα συμβολίσουμε με x.

Βαθμός εξίσωσηςείναι η μέγιστη ισχύς στην οποία μπορεί να ανυψωθεί το άγνωστο. Για παράδειγμα,
Το $3x^4+6x-1=0$ είναι μια εξίσωση τέταρτου βαθμού, η $x-4x^2+6x=8$ είναι μια εξίσωση του δεύτερου βαθμού.

Καλούνται οι αριθμοί με τους οποίους πολλαπλασιάζεται το άγνωστο συντελεστές. Στο προηγούμενο παράδειγμα, ο άγνωστος στην τέταρτη δύναμη έχει συντελεστή 3. Αν, όταν αντικαθιστούμε το x με αυτόν τον αριθμό, δεδομένης ισότητας, τότε λέμε ότι αυτός ο αριθμός ικανοποιεί την εξίσωση. Λέγεται λύνοντας την εξίσωση, ή τη ρίζα του. Για παράδειγμα, το 3 είναι η ρίζα ή η λύση της εξίσωσης 2x+8=14, αφού 2*3+8=6+8=14.

Επίλυση εξισώσεων. Ας πούμε ότι θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση 2x+5=11.

Μπορείτε να αντικαταστήσετε κάποια τιμή x σε αυτό, για παράδειγμα x=2. Αντικαταστήστε το x με 2 και λάβετε: 2*2+5=4+5=9.

Κάτι δεν πάει καλά εδώ γιατί στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης θα έπρεπε να είχαμε πάρει 11. Ας δοκιμάσουμε x=3: 2*3+5=6+5=11.

Η απάντηση είναι σωστή. Αποδεικνύεται ότι αν το άγνωστο πάρει την τιμή 3, τότε η ισότητα ικανοποιείται. Επομένως, δείξαμε ότι ο αριθμός 3 είναι λύση της εξίσωσης.

Η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση ονομάζεται μέθοδος επιλογής. Προφανώς είναι άβολο στη χρήση. Επιπλέον, δεν μπορεί να ονομαστεί καν μέθοδος. Για να το επαληθεύσετε, απλώς προσπαθήστε να το εφαρμόσετε σε μια εξίσωση της μορφής $x^4-5x^2+16=2365$.

Μέθοδοι λύσης. Υπάρχουν οι λεγόμενοι «κανόνες του παιχνιδιού» με τους οποίους θα είναι χρήσιμο να εξοικειωθείτε. Στόχος μας είναι να προσδιορίσουμε την τιμή του αγνώστου που ικανοποιεί την εξίσωση. Επομένως, είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε το άγνωστο με κάποιο τρόπο. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να μεταφέρετε τους όρους της εξίσωσης από το ένα μέρος στο άλλο. Ο πρώτος κανόνας για την επίλυση εξισώσεων είναι...

1. Όταν μετακινείται ένα μέλος μιας εξίσωσης από το ένα μέρος στο άλλο, το πρόσημο του αλλάζει στο αντίθετο: το συν αλλάζει σε μείον και αντίστροφα. Θεωρήστε ως παράδειγμα την εξίσωση 2x+5=11. Ας μετακινήσουμε το 5 από την αριστερή πλευρά προς τα δεξιά: 2x=11-5. Η εξίσωση θα γίνει 2x=6.

Ας περάσουμε στον δεύτερο κανόνα.
2. Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν με έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν. Ας εφαρμόσουμε αυτόν τον κανόνα στην εξίσωσή μας: $x=\frac62=3$. Στην αριστερή πλευρά της ισότητας, έμεινε μόνο ο άγνωστος x, επομένως, βρήκαμε την τιμή του και λύσαμε την εξίσωση.

Μόλις εξετάσαμε το απλούστερο πρόβλημα - γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο. Οι εξισώσεις αυτού του τύπου έχουν πάντα μια λύση, επιπλέον, μπορούν πάντα να λυθούν χρησιμοποιώντας τις απλούστερες πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Αλίμονο, δεν είναι όλες οι εξισώσεις τόσο απλές. Επιπλέον, ο βαθμός πολυπλοκότητάς τους αυξάνεται πολύ γρήγορα. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις του δεύτερου βαθμού μπορούν να λυθούν εύκολα από κάθε μαθητή Λύκειο, αλλά μέθοδοι επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων ή εξισώσεων ανώτερων βαθμών μελετώνται μόνο στο λύκειο.

κ.λπ., είναι λογικό να εξοικειωθείτε με εξισώσεις άλλων τύπων. Επόμενοι στη σειρά είναι γραμμικές εξισώσεις, η στοχευμένη μελέτη του οποίου ξεκινά στα μαθήματα άλγεβρας στην 7η τάξη.

Είναι σαφές ότι πρώτα πρέπει να εξηγήσετε τι είναι μια γραμμική εξίσωση, να δώσετε έναν ορισμό μιας γραμμικής εξίσωσης, τους συντελεστές της, να το δείξετε γενική μορφή. Στη συνέχεια, μπορείτε να υπολογίσετε πόσες λύσεις έχει μια γραμμική εξίσωση ανάλογα με τις τιμές των συντελεστών και πώς βρίσκονται οι ρίζες. Αυτό θα σας επιτρέψει να προχωρήσετε στην επίλυση παραδειγμάτων και έτσι να εδραιώσετε τη θεωρία που έχετε μάθει. Σε αυτό το άρθρο θα κάνουμε αυτό: θα σταθούμε λεπτομερώς σε όλα τα θεωρητικά και πρακτικά σημεία που σχετίζονται με τις γραμμικές εξισώσεις και τις λύσεις τους.

Ας πούμε αμέσως ότι εδώ θα εξετάσουμε μόνο γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή και σε ξεχωριστό άρθρο θα μελετήσουμε τις αρχές της λύσης γραμμικές εξισώσεις με δύο μεταβλητές.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι είναι μια γραμμική εξίσωση;

Ο ορισμός της γραμμικής εξίσωσης δίνεται από τον τρόπο γραφής της. Επιπλέον, σε διάφορα εγχειρίδια μαθηματικών και άλγεβρας, οι διατυπώσεις των ορισμών των γραμμικών εξισώσεων έχουν κάποιες διαφορές που δεν επηρεάζουν την ουσία του ζητήματος.

Για παράδειγμα, στο εγχειρίδιο άλγεβρας για την τάξη 7 από τον Yu. N. Makarychev et al., μια γραμμική εξίσωση ορίζεται ως εξής:

Ορισμός.

Εξίσωση της φόρμας a x=b, όπου x είναι μια μεταβλητή, a και b είναι κάποιοι αριθμοί, καλείται γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή.

Ας δώσουμε παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων που πληρούν τον καθορισμένο ορισμό. Για παράδειγμα, το 5 x = 10 είναι μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή x, εδώ ο συντελεστής a είναι 5 και ο αριθμός b είναι 10. Ένα άλλο παράδειγμα: −2,3·y=0 είναι επίσης γραμμική εξίσωση, αλλά με μεταβλητή y, στην οποία a=−2,3 και b=0. Και στις γραμμικές εξισώσεις x=−2 και −x=3,33 a δεν υπάρχουν ρητά και ισούνται με 1 και −1, αντίστοιχα, ενώ στην πρώτη εξίσωση b=−2, και στη δεύτερη - b=3,33.

Και ένα χρόνο νωρίτερα, στο εγχειρίδιο μαθηματικών του N. Ya. Vilenkin, οι γραμμικές εξισώσεις με έναν άγνωστο, εκτός από τις εξισώσεις της μορφής a x = b, εξέτασαν επίσης εξισώσεις που μπορούν να έρθουν σε αυτή τη μορφή μεταφέροντας όρους από ένα μέρος της εξίσωσης σε άλλο με το αντίθετο πρόσημο, καθώς και χρησιμοποιώντας χύτευση παρόμοιους όρους. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, εξισώσεις της μορφής 5 x = 2 x + 6, κ.λπ. επίσης γραμμικό.

Με τη σειρά του, στο εγχειρίδιο άλγεβρας για την τάξη 7 από τον A. G. Mordkovich δίνεται ο ακόλουθος ορισμός:

Ορισμός.

Γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή xείναι μια εξίσωση της μορφής a·x+b=0, όπου a και b είναι κάποιοι αριθμοί που ονομάζονται συντελεστές της γραμμικής εξίσωσης.

Για παράδειγμα, οι γραμμικές εξισώσεις αυτού του τύπου είναι 2 x−12=0, εδώ ο συντελεστής a είναι 2, και b είναι ίσος με −12, και 0,2 y+4,6=0 με συντελεστές a=0,2 και b =4,6. Αλλά ταυτόχρονα, υπάρχουν παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων που έχουν τη μορφή όχι a·x+b=0, αλλά a·x=b, για παράδειγμα, 3·x=12.

Ας μην έχουμε αποκλίσεις στο μέλλον, με γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή x και συντελεστές a και b εννοούμε μια εξίσωση της μορφής a x + b = 0. Αυτός ο τύπος γραμμικής εξίσωσης φαίνεται να είναι ο πιο δικαιολογημένος, αφού οι γραμμικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές εξισώσεις πρώτου βαθμού. Και όλες οι άλλες εξισώσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω, καθώς και οι εξισώσεις που, χρησιμοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούςανάγεται στη μορφή a x+b=0, θα καλέσουμε εξισώσεις που ανάγονται σε γραμμικές εξισώσεις. Με αυτή την προσέγγιση, η εξίσωση 2 x+6=0 είναι γραμμική εξίσωση και 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, κ.λπ. - Πρόκειται για εξισώσεις που ανάγονται σε γραμμικές.

Πώς να λύσετε γραμμικές εξισώσεις;

Τώρα ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς λύνονται οι γραμμικές εξισώσεις a·x+b=0. Με άλλα λόγια, είναι καιρός να μάθουμε αν μια γραμμική εξίσωση έχει ρίζες, και αν ναι, πόσες από αυτές και πώς να τις βρούμε.

Η παρουσία ριζών μιας γραμμικής εξίσωσης εξαρτάται από τις τιμές των συντελεστών a και b. Σε αυτή την περίπτωση, η γραμμική εξίσωση a x+b=0 έχει

• η μόνη ρίζα για a≠0,
• δεν έχει ρίζες για a=0 και b≠0,
• έχει άπειρες ρίζες για a=0 και b=0, οπότε οποιοσδήποτε αριθμός είναι ρίζα γραμμικής εξίσωσης.

Ας εξηγήσουμε πώς προέκυψαν αυτά τα αποτελέσματα.

Γνωρίζουμε ότι για να λύσουμε εξισώσεις μπορούμε να περάσουμε από την αρχική εξίσωση σε ισοδύναμες εξισώσεις, δηλαδή σε εξισώσεις με τις ίδιες ρίζες ή, όπως η αρχική, χωρίς ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ακόλουθους ισοδύναμους μετασχηματισμούς:

• μεταφέροντας έναν όρο από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη με το αντίθετο πρόσημο,
• καθώς και τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση και των δύο πλευρών μιας εξίσωσης με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

Άρα, σε μια γραμμική εξίσωση με ένα μεταβλητή της μορφής a x+b=0 μπορούμε να μετακινήσουμε τον όρο b από την αριστερή πλευρά στο σωστη πλευραμε το αντίθετο πρόσημο. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή a·x=−b.

Και τότε τίθεται το ζήτημα της διαίρεσης και των δύο πλευρών της εξίσωσης με τον αριθμό α. Αλλά υπάρχει ένα πράγμα: ο αριθμός a μπορεί να είναι ίσος με μηδέν, οπότε μια τέτοια διαίρεση είναι αδύνατη. Για να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα, θα υποθέσουμε πρώτα ότι ο αριθμός a είναι μη μηδενικός και θα εξετάσουμε την περίπτωση ενός όντος ίσου με το μηδέν ξεχωριστά λίγο αργότερα.

Έτσι, όταν το a δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης a·x=−b με το a, μετά από το οποίο θα μετατραπεί στη μορφή x=(−b):a, αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να είναι γραμμένο χρησιμοποιώντας την κλασματική κάθετο ως.

Έτσι, για a≠0, η γραμμική εξίσωση a·x+b=0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση, από την οποία φαίνεται η ρίζα της.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτή η ρίζα είναι μοναδική, δηλαδή η γραμμική εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες. Αυτό σας επιτρέπει να κάνετε την αντίθετη μέθοδο.

Ας συμβολίσουμε τη ρίζα ως x 1. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια άλλη ρίζα της γραμμικής εξίσωσης, την οποία συμβολίζουμε ως x 2, και x 2 ≠x 1, η οποία, λόγω ορισμοί ίσοι αριθμοίμέσω της διαφοράςείναι ισοδύναμη με τη συνθήκη x 1 −x 2 ≠0. Εφόσον τα x 1 και x 2 είναι ρίζες της γραμμικής εξίσωσης a·x+b=0, τότε ισχύουν οι αριθμητικές ισότητες a·x 1 +b=0 και a·x 2 +b=0. Μπορούμε να αφαιρέσουμε τα αντίστοιχα μέρη αυτών των ισοτήτων, που μας επιτρέπουν οι ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων, έχουμε a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, από το οποίο a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 και μετά a·(x 1 −x 2)=0 . Αλλά αυτή η ισότητα είναι αδύνατη, αφού τόσο a≠0 όσο και x 1 − x 2 ≠0. Καταλήξαμε λοιπόν σε μια αντίφαση, η οποία αποδεικνύει τη μοναδικότητα της ρίζας της γραμμικής εξίσωσης a·x+b=0 για a≠0.

Λύσαμε λοιπόν τη γραμμική εξίσωση a·x+b=0 για a≠0. Το πρώτο αποτέλεσμα που δίνεται στην αρχή αυτής της παραγράφου είναι δικαιολογημένο. Απομένουν άλλα δύο που πληρούν την προϋπόθεση a=0.

Όταν a=0, η γραμμική εξίσωση a·x+b=0 παίρνει τη μορφή 0·x+b=0. Από αυτή την εξίσωση και την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού των αριθμών με το μηδέν προκύπτει ότι όποιον αριθμό και αν πάρουμε ως x, όταν αντικατασταθεί στην εξίσωση 0 x + b=0, θα προκύψει η αριθμητική ισότητα b=0. Αυτή η ισότητα είναι αληθής όταν b=0, και σε άλλες περιπτώσεις όταν b≠0 αυτή η ισότητα είναι ψευδής.

Κατά συνέπεια, με a=0 και b=0, οποιοσδήποτε αριθμός είναι η ρίζα της γραμμικής εξίσωσης a·x+b=0, αφού υπό αυτές τις συνθήκες, αντικαθιστώντας οποιονδήποτε αριθμό με x προκύπτει η σωστή αριθμητική ισότητα 0=0. Και όταν a=0 και b≠0, η γραμμική εξίσωση a·x+b=0 δεν έχει ρίζες, αφού υπό αυτές τις συνθήκες, η αντικατάσταση οποιουδήποτε αριθμού αντί του x οδηγεί στη λανθασμένη αριθμητική ισότητα b=0.

Οι δεδομένες αιτιολογήσεις μας επιτρέπουν να διατυπώσουμε μια ακολουθία ενεργειών που μας επιτρέπει να λύσουμε οποιαδήποτε γραμμική εξίσωση. Ετσι, αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικής εξίσωσηςείναι:

• Αρχικά, γράφοντας τη γραμμική εξίσωση, βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών a και b.
• Αν a=0 και b=0, τότε αυτή η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, δηλαδή, οποιοσδήποτε αριθμός είναι ρίζα αυτής της γραμμικής εξίσωσης.
• Αν το α είναι μη μηδενικό, τότε
• ο συντελεστής b μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο και η γραμμική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή a·x=−b,
• μετά την οποία και οι δύο πλευρές της εξίσωσης που προκύπτει διαιρούνται με έναν μη μηδενικό αριθμό α, ο οποίος δίνει την επιθυμητή ρίζα της αρχικής γραμμικής εξίσωσης.

Ο γραπτός αλγόριθμος είναι μια περιεκτική απάντηση στο ερώτημα πώς να λύσουμε γραμμικές εξισώσεις.

Ολοκληρώνοντας αυτό το σημείο, αξίζει να πούμε ότι ένας παρόμοιος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων της μορφής a·x=b. Η διαφορά του είναι ότι όταν a≠0, και οι δύο πλευρές της εξίσωσης διαιρούνται αμέσως με αυτόν τον αριθμό· εδώ το b βρίσκεται ήδη στο απαιτούμενο μέρος της εξίσωσης και δεν χρειάζεται να το μεταφέρουμε.

Για την επίλυση εξισώσεων της μορφής a x = b, χρησιμοποιείται ο ακόλουθος αλγόριθμος:

• Αν a=0 και b=0, τότε η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, που είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
• Αν a=0 και b≠0, τότε η αρχική εξίσωση δεν έχει ρίζες.
• Αν το α είναι μη μηδενικό, τότε και οι δύο πλευρές της εξίσωσης διαιρούνται με έναν μη μηδενικό αριθμό α, από τον οποίο βρίσκεται η μόνη ρίζα της εξίσωσης, ίση με b/a.

Παραδείγματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Ας προχωρήσουμε στην εξάσκηση. Ας δούμε πώς χρησιμοποιείται ο αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων. Ας δώσουμε λύσεις σε τυπικά παραδείγματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές έννοιεςσυντελεστές γραμμικών εξισώσεων.

Παράδειγμα.

Να λύσετε τη γραμμική εξίσωση 0·x−0=0.

Λύση.

Σε αυτή τη γραμμική εξίσωση, a=0 και b=−0 , που είναι ίδιο με το b=0 . Επομένως, αυτή η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες· κάθε αριθμός είναι ρίζα αυτής της εξίσωσης.

Απάντηση:

x – οποιοσδήποτε αριθμός.

Παράδειγμα.

Η γραμμική εξίσωση 0 x + 2,7 = 0 έχει λύσεις;

Λύση.

ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηο συντελεστής α είναι ίσος με μηδέν και ο συντελεστής β αυτής της γραμμικής εξίσωσης είναι ίσος με 2,7, δηλαδή διαφορετικός από το μηδέν. Επομένως, μια γραμμική εξίσωση δεν έχει ρίζες.