Τύποι σύγκλισης ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών.

Ακολουθίες τυχαίες μεταβλητέςΧ 1, Χ 2 , . . ., X n, . . ., δίνεται σε κάποιο χώρο πιθανότητας σε μια τυχαία μεταβλητή Χ,ορίζεται ως εξής: εάν για οποιαδήποτε στο
Στα μαθηματικά Αυτή η ανάλυση σύγκλισης ονομάζεται σύγκλιση σε μέτρο. Από S. έως c. ακολουθεί σύγκλιση στη διανομή.
V. I. Bityutskov.

Μαθηματική εγκυκλοπαίδεια. - Μ.: Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Δείτε τι είναι η "ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ" σε άλλα λεξικά:

- ... Βικιπαίδεια

Σύγκλιση με πιθανότητα ένα, σύγκλιση ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών X1, X2, . . ., Х n. . . ., που δίνεται σε έναν ορισμένο χώρο πιθανότητας σε μια τυχαία μεταβλητή X, που ορίζεται ως εξής: (ή a.s.), εάν B είναι μαθηματική. ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Στη θεωρία πιθανοτήτων, μια μορφή σύγκλισης τυχαίων μεταβλητών. Περιεχόμενα 1 Ορισμός 2 Σημειώσεις ... Wikipedia

Στα μαθηματικά σύγκλιση σημαίνει ότι μια άπειρη ακολουθία ή το άθροισμα μιας άπειρης σειράς ή ακατάλληλο ολοκλήρωμαέχουν ένα όριο. Οι έννοιες έχουν νόημα για αυθαίρετες ακολουθίες, σειρές και ολοκληρώματα: Όριο ακολουθίας ... ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Σύγκλιση. Μια ακολουθία συναρτήσεων συγκλίνει σχεδόν παντού σε μια οριακή συνάρτηση εάν το σύνολο των σημείων για τα οποία δεν υπάρχει σύγκλιση έχει μέτρο μηδέν. Περιεχόμενα 1 Ορισμός 1.1 Όρος ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Σύγκλιση. Η σύγκλιση στη συναρτησιακή ανάλυση, τη θεωρία πιθανοτήτων και συναφείς κλάδους είναι μια μορφή σύγκλισης μετρήσιμων συναρτήσεων ή τυχαίων μεταβλητών. Ορισμός Αφήστε το διάστημα με ... ... Wikipedia

- (από την άποψη της πιθανότητας) στη συναρτησιακή ανάλυση, τη θεωρία πιθανοτήτων και συναφείς κλάδους, αυτός είναι ένας τύπος σύγκλισης μετρήσιμων συναρτήσεων (τυχαίες μεταβλητές) που δίνονται σε ένα χώρο με ένα μέτρο (χώρος πιθανότητας). Ορισμός Έστω ένα διάστημα με ένα μέτρο. ... ... Wikipedia

Μια μαθηματική έννοια που σημαίνει ότι κάποια μεταβλητόςέχει ένα όριο. Υπό αυτή την έννοια, μιλάμε για S. μιας ακολουθίας, S. μιας σειράς, S. ενός άπειρου γινομένου, S. ενός συνεχούς κλάσματος, S. ενός ολοκληρώματος, κλπ. Η έννοια του S. προκύπτει, . .. ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Το ίδιο με τη σύγκλιση στις πιθανότητες... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Η γενική αρχή, δυνάμει της οποίας κοινή δράσητυχαίοι παράγοντες οδηγεί για ορισμένους πολύ γενικές συνθήκεςσε ένα αποτέλεσμα σχεδόν ανεξάρτητο από την τύχη. Προσέγγιση της συχνότητας εμφάνισης τυχαίο συμβάνμε την πιθανότητα του όσο αυξάνεται ο αριθμός ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Βιβλία

Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική σε Προβλήματα Περισσότερα από 360 προβλήματα και ασκήσεις, Borzykh D. Το προτεινόμενο εγχειρίδιο περιέχει προβλήματα διαφόρων επιπέδων πολυπλοκότητας. Ωστόσο, η εστίαση είναι στα καθήκοντα μέτριας δυσκολίας. Αυτό γίνεται σκόπιμα για να ενθαρρύνει τους μαθητές να…
Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική σε Προβλήματα. Περισσότερες από 360 εργασίες και ασκήσεις, Borzykh D.A. Το προτεινόμενο εγχειρίδιο περιέχει εργασίες διαφόρων επιπέδων πολυπλοκότητας. Ωστόσο, η κύρια έμφαση δίνεται σε εργασίες μέσης πολυπλοκότητας. Αυτό γίνεται σκόπιμα για να ενθαρρύνει τους μαθητές να…

Στη θεωρία πιθανοτήτων, σε αντίθεση με τη μαθηματική ανάλυση, αρκετές διάφορα είδησύγκλιση μιας ακολουθίας συναρτήσεων (τυχαίες μεταβλητές) και οι κατανομές τους. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στη θεωρία πιθανοτήτων συνηθίζεται να παραμελούνται απίθανα γεγονότα και αυτό μπορεί να γίνει με διαφορετικούς τρόπους. Η σημειακή σύγκλιση των τυχαίων μεταβλητών, η σύγκλιση σχεδόν σίγουρα και η σύγκλιση των μέτρων πιθανότητας σε παραλλαγή έχουν ήδη οριστεί. Ας δώσουμε δύο ακόμη σημαντικούς ορισμούς της σύγκλισης των τυχαίων μεταβλητών − σύγκλιση στις πιθανότητεςκαι σύγκλιση σε rmsκαι ένας ορισμός της σύγκλισης των κατανομών – ασθενής σύγκλιση.

Σύγκλιση στις πιθανότητες

συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή

κατά πιθανότητα αν

Η σύγκλιση στην πιθανότητα συμβολίζεται ως

Σύγκλιση στο RMS

Ακολουθία τυχαίων μεταβλητών

συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή

σε rms (σε L 2) εάν

Η σύγκλιση σε rms συμβολίζεται ως

Ασθενής σύγκλιση κατανομών

Ακολουθία τυχαίων μεταβλητών

συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή

ασθενώς (κατά κατανομή) αν

σε όλα τα σημεία συνέχειας της συνάρτησης

Η ασθενής σύγκλιση συμβολίζεται ως

Η κύρια διαφορά μεταξύ ασθενούς σύγκλισης και άλλων τύπων σύγκλισης είναι ότι οι τυχαίες μεταβλητές δεν απαιτείται να ορίζονται στον ίδιο χώρο πιθανοτήτων, καθώς οι συνθήκες σύγκλισης διατυπώνονται χρησιμοποιώντας μόνο τις συναρτήσεις κατανομής τους.

Η σχέση διαφορετικών τύπων σύγκλισης

Η σχέση μεταξύ διαφορετικών τύπων σύγκλισης φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.

Σημειώστε ότι κανένα από τα βέλη σε αυτό το διάγραμμα δεν μπορεί, γενικά, να γυρίσει πίσω, δηλ. οποιοιδήποτε δύο τύποι σύγκλισης δεν είναι ισοδύναμοι. Πρακτικής σημασίας είναι κυρίως η ασθενής σύγκλιση και η σύγκλιση στο rms γιατί σας επιτρέπουν να κάνετε κατά προσέγγιση υπολογισμούς πιθανοτήτων και μαθηματικών προσδοκιών και να αντικαταστήσετε ένα μαθηματικά μοντέλαοι υπολοιποι. Άλλοι τύποι σύγκλισης χρησιμοποιούνται κυρίως για την απόδειξη ασθενούς σύγκλισης ή τη μελέτη των ποιοτικών ιδιοτήτων του μοντέλου. Επομένως, μελετάμε λεπτομερέστερα τη σχέση μεταξύ αυτών των δύο τύπων σύγκλισης στα υπόλοιπα.

Ας δείξουμε πρώτα ότι η σύγκλιση στις πιθανότητες συνεπάγεται ασθενή σύγκλιση.

Θεώρημα (P->W).

Απόδειξη.

Έστω x σημείο συνέχειας της συνάρτησης

Με αυτόν τον τρόπο

Στο μικρό και μεγάλο n αριστερά και δεξί μέροςοι ανισότητες διαφέρουν αυθαίρετα ελάχιστα από
, που αποδεικνύει το θεώρημα.

Η απόδειξη είναι πλήρης.

Το θεώρημα της αντίστροφης είναι αληθές υπό μια πρόσθετη συνθήκη.

Θεώρημα (W->P).

Απόδειξη.

Η απόδειξη είναι πλήρης.

Ας δείξουμε ότι η σύγκλιση σε rms συνεπάγεται σύγκλιση στην πιθανότητα.

Θεώρημα (L 2 ->P).

Απόδειξη.

Χρησιμοποιούμε την ανισότητα Markov

Η απόδειξη είναι πλήρης.

Το παρακάτω θεώρημα δίνει ένα παράδειγμα εφαρμογής του προηγούμενου θεωρήματος για να αποδειχθεί η σύγκλιση της σχετικής συχνότητας ενός γεγονότος με την πιθανότητα του στο σχήμα Bernoulli.

Νόμος των μεγάλων αριθμών σε μορφή Bernoulli

Αφήνω - ο αριθμός των επιτυχιών σε nδοκιμές σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας Π.Επειτα

Απόδειξη.

Η απόδειξη είναι πλήρης.

Έτσι, για να αποδειχθεί η ασθενής σύγκλιση, αρκεί να αποδειχθεί η σύγκλιση στην πιθανότητα ή στο μέσο τετράγωνο.

Κατά την απόδειξη θεωρημάτων σχετικά με ασθενή σύγκλιση, χρησιμοποιείται επίσης το ακόλουθο σημαντικό θεώρημα.

Θεώρημα ((Helly-Bray).

Συνεχής οριοθετημένη συνάρτηση. Επειτα

Απόδειξη.

Οποιαδήποτε συνάρτηση συνεχής σε ολόκληρη τη γραμμή
μπορεί να προσεγγιστεί αυθαίρετα με ακρίβεια με έναν γραμμικό συνδυασμό βηματικών συναρτήσεων σε οποιοδήποτε διάστημα [-A,A), A>0.

Ας επιλέξουμε το Α έτσι ώστε τα σημεία –Α, Α και τα σημεία κατάτμησης

θα ήταν σημεία συνέχειας της συνάρτησης διανομής

Μετά τα ολοκληρώματα

εκφράζονται με τον ίδιο τρόπο ως προς τις τιμές των συναρτήσεων κατανομής
και
και μπορεί να γίνει αυθαίρετα κλείσιμο επιλέγοντας ένα αρκετά μεγάλο n. Επομένως, τα ολοκληρώματα είναι επίσης κοντά

Από τη λειτουργία
οριοθετείται, τότε επιλέγοντας ένα αρκετά μεγάλο Α μπορεί κανείς να κάνει τα ολοκληρώματα αυθαίρετα μικρά

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Το θεώρημα της αντίστροφης είναι επίσης αληθές.

Θεώρημα (αντίστροφο θεώρημα Helly-Bray)

Αφήστε για κανένα

συνεχής οριοθετημένη συνάρτηση

Απόδειξη.

Η ιδέα της απόδειξης είναι παρόμοια με την ιδέα της απόδειξης του προηγούμενου θεωρήματος και βασίζεται στη δυνατότητα προσέγγισης της συνάρτησης βήματος
συνεχής λειτουργία
. Πράγματι, πάλι επιλέγοντας κατάλληλα σημεία συνέχειας και σκηνικού

βλέπουμε ότι τα ολοκληρώματα είναι κοντά το ένα στο άλλο

μπορεί να γίνει αυθαίρετα κλείσιμο, αντίστοιχα. σε ολοκληρώματα

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

τότε τα δύο τελευταία θεωρήματα δίνουν απαραίτητες και επαρκείς προϋποθέσεις για ασθενή σύγκλιση ως προς τη σύγκλιση των μαθηματικών προσδοκιών συνεχών οριοθετημένων συναρτήσεων.

Θεώρημα (f(W)).

συνεχής λειτουργία. Επειτα

Απόδειξη.

Από την αντικατάσταση συνεχής λειτουργίασε μια οριοθετημένη συνεχή συνάρτηση οδηγεί ξανά σε μια συνεχή οριοθετημένη συνάρτηση, τότε η απόδειξη αυτού του θεωρήματος προκύπτει απευθείας από τα θεωρήματα Helly-Bray.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το παρακάτω θεώρημα είναι επίσης αληθές

Θεώρημα (f(P)).

συνεχής λειτουργία. Επειτα

Αποδείξτε μόνοι σας αυτό και τα επόμενα δύο θεωρήματα ως ασκήσεις.

Θεώρημα (W+P->W).

Θεώρημα (W*P->W).

Στη συνέχεια, θα πρέπει να λειτουργήσουμε εκτενώς με παράγωγα και ολοκληρώματα του τυχαίες διαδικασίες. Και οι δύο πράξεις - διαφοροποίηση και ολοκλήρωση - προϋποθέτουν, όπως γνωρίζετε, τη σύγκλιση μιας ορισμένης ακολουθίας ποσοτήτων στο όριο. Αλλά για τυχαίες μεταβλητές που ορίζονται όχι ντετερμινιστικά, αλλά από τις δικές τους κατανομές πιθανοτήτων, η έννοια της σύγκλισης στο όριο (και επομένως οι έννοιες της συνέχειας, της διαφοροποίησης, της ολοκλήρωσης για τυχαίες συναρτήσεις) δεν μπορεί να έχει την ίδια σημασία που του δίνεται στην ανάλυση. Για μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών, μόνο ένας πιθανολογικός ορισμός της σύγκλισης στο όριο είναι δυνατός, ο οποίος, παρεμπιπτόντως, ανοίγει περισσότερα διάφορες δυνατότητεςστην επιλογή του ορισμού. Η πιθανοτική σύγκλιση είναι επίσης απαραίτητη για την εξέταση των λεγόμενων εργοδικών ιδιοτήτων των τυχαίων συναρτήσεων, στις οποίες θα αναφερθούμε στην επόμενη ενότητα.

Ας ξεκινήσουμε, για λόγους απλότητας, εξετάζοντας διάφοροι τύποισύγκλιση μιας ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών σε έναν (μη τυχαίο) αριθμό α.

Ένας από τους τύπους πιθανολογικής σύγκλισης είναι η σύγκλιση στο μέσο τετράγωνο (r.m.s.), η οποία νοείται ως η εξαφάνιση του μέσου όρου τυπική απόκλισηαπό τον αριθμό α στο

που γράφεται ως

Ονομασία 1. i. Μ. που αποτελείται από αρχικά γράμματα αγγλικό όνομααυτό το όριο (όριο στο μέσο τετράγωνο). Η χρήση αυτού του τύπου σύγκλισης είναι πιο σκόπιμη σε εκείνες τις περιπτώσεις που κάποιος πρέπει να ασχοληθεί με τετραγωνικούς (ιδίως αυτούς που έχουν ενεργειακή σημασία) συνδυασμούς τυχαίων μεταβλητών.

Η ισότητα (19.1) προφανώς προϋποθέτει το πεπερασμένο του πιο πεπερασμένου και τη μέση τιμή από τότε. Αφαιρώντας και προσθέτοντας σε αγκύλες στην (19.1), ξαναγράφουμε αυτήν την ισότητα διαφορετικά:

Όμως το όριο του αθροίσματος δύο μη αρνητικών μεγεθών μπορεί να είναι ίσο με μηδέν μόνο αν τα όρια και των δύο όρων είναι ίσα με μηδέν, δηλ.

Έτσι, είναι το όριο της ακολουθίας των μέσων και το όριο της διακύμανσης είναι μηδέν.

Ένα άλλο είδος πιθανολογικής σύγκλισης προς το α - σύγκλιση στην πιθανότητα (σε ver.) - ορίζεται ως εξής:

όπου, ως συνήθως, είναι οποιοδήποτε αυθαίρετα μικρό θετικός αριθμός. Σε αυτή την περίπτωση, γράψτε

Ισότητα (19.2) σημαίνει ότι η πιθανότητα να χτυπήσετε κάπου έξω από ένα αυθαίρετα στενό διάστημα εξαφανίζεται στο όριο. Λαμβάνοντας υπόψη την αυθαίρετη μικρότητα, αυτό με τη σειρά του σημαίνει ότι η πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής υπερβαίνει το . Ωστόσο, σε καμία περίπτωση δεν προκύπτει από αυτό ότι το a είναι το όριο της ακολουθίας και ότι το D τείνει στο μηδέν. Επιπλέον, μπορούν να αυξάνονται επ' αόριστον με την αύξηση του N ή ακόμη και να είναι άπειρα για οποιοδήποτε N. Έστω, για παράδειγμα, μη αρνητικά και κατανεμημένα σύμφωνα με το νόμο του Cauchy:

Για οποιαδήποτε, το όριο για είναι ίσο με μηδέν, ενώ το όριο δεν υπάρχει. Ωστόσο, η συνθήκη κανονικοποίησης ικανοποιείται πάντα:

έτσι τείνει να . Ωστόσο, είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι για οποιοδήποτε N και είναι άπειρα.

Η σύγκλιση στις πιθανότητες ονομάζεται συχνά σύγκλιση με την έννοια του νόμου μεγάλα νούμερα. Οι τυχαίες μεταβλητές λέγονται οριακές σταθερές εάν υπάρχει μια ακολουθία σταθερών τέτοια ώστε

Εάν όλα είναι ίδια (ίσα με α), τότε αυτή η ισότητα πηγαίνει στο (19.2), δηλαδή, σημαίνει ότι συγκλίνει κατά πιθανότητα στο α ή στη διαφορά - το α συγκλίνει κατά πιθανότητα στο μηδέν.

Η σύγκλιση στην πιθανότητα θα πρέπει να διακρίνεται σαφώς από τη συνηθισμένη σύγκλιση

Πράγματι, σχετικά με τη συμπεριφορά των εμπειρικών αριθμών - τιμών - τίποτα δεν μπορεί να αποδειχθεί μαθηματικά. Μόνο ισχυρισμοί που σχετίζονται με θεωρητικές έννοιες, συμπεριλαμβανομένης της έννοιας της πιθανότητας όπως ορίζεται στα αρχικά αξιώματα. Σε σύγκλιση στην πιθανότητα μιλαμεόχι αυτό αλλά στο , αλλά ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος τείνει προς την ενότητα. Η σύνδεση αυτής της δήλωσης με την εμπειρία έγκειται στο «αξίωμα της μέτρησης», σύμφωνα με το οποίο η πιθανότητα μετράται με τη σχετική συχνότητα

η εμφάνιση του θεωρούμενου τυχαίου γεγονότος σε μια αρκετά μεγάλη σειρά δοκιμών, σε ένα αρκετά εκτεταμένο σύνολο συστημάτων κ.λπ.

Για καλύτερη κατανόηση αυτής της θεμελιώδους πτυχής του ζητήματος, ας σταθούμε σε ορισμένα οριακά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, τα οποία συνδυάζονται υπό συνηθισμένο όνομαο νόμος των μεγάλων αριθμών, συγκεκριμένα, για τα θεωρήματα που σχετίζονται με την περίπτωση που η (19.2) περιέχει τον αριθμητικό μέσο όρο Ν τυχαίων μεταβλητών

Κάνουμε μια σειρά Ν δοκιμών, παίρνουμε τα αποτελέσματά τους και υπολογίζουμε τον μέσο όρο (19,3). Μετά κοιτάμε να δούμε αν υπάρχει κάποιο συμβάν (ας το ονομάσουμε συμβάν BN) αυτό

Για να μετρήσουμε την πιθανότητα ενός συμβάντος BN, πρέπει να κάνουμε ένα πολύ μεγάλος αριθμόςΗ σειρά M δοκιμών N θα πρέπει να έχει μια συλλογή τέτοιων σειρών. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών (19.2) δηλώνει ότι όσο μεγαλύτερη είναι η σειρά που σχηματίζει το συλλογικό (τόσο μεγαλύτερο Ν), τόσο πιο κοντά στη μονάδα, δηλαδή σύμφωνα με το «αξίωμα της μέτρησης», η μεγάλη ποσότηταΗ σειρά θα αντιστοιχεί στην έναρξη του BN (στο όριο - σχεδόν όλα):

Επομένως, αυτή είναι μια πολύ σημαντική δήλωση, αλλά γίνεται έτσι μόνο με μια σαφή σύγκριση μαθηματική έννοιαπιθανότητες με εμπειρική έννοιασχετική συχνότητα. Χωρίς αυτό, ο νόμος των μεγάλων αριθμών παραμένει ένα ορισμένο θεώρημα, που λογικά προκύπτει από ορισμένο σύστημααξιώματα για την ποσότητα Р, η οποία ορίζεται ως εντελώς προσθετική, μη αρνητική και κανονικοποιημένη ως προς τη μονάδα συνάρτηση του τομέα.

Συχνά αυτό το ερώτημα, το οποίο έχουμε ήδη θίξει στην § 1, εκτίθεται στο εκπαιδευτική βιβλιογραφίαμάλλον ασυνεπώς, χωρίς σαφή ένδειξη ότι το «αξίωμα της μέτρησης», που συνδέει τις έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων με πραγματικά φαινόμενα, με το πείραμα και την πράξη, δεν περιέχεται στο μαθηματική θεωρίαως τέτοια. Μπορεί κανείς να συναντήσει δηλώσεις ότι τα θεμέλια για την επιτυχία της εφαρμογής της θεωρίας πιθανοτήτων σε διάφορα προβλήματαη φυσική επιστήμη και η τεχνολογία βρίσκονται ακριβώς στο νόμο των μεγάλων αριθμών. Αν ήταν έτσι, τότε αυτό θα σήμαινε

το θεμέλιο της πρακτικής επιτυχίας είναι η λογική συνέπεια ορισμένων αφηρημένων αξιωμάτων και ότι αυτά τα μαθηματικά αξιώματα καθορίζουν τον τρόπο με τον οποίο πρέπει να συμπεριφέρονται τα εμπειρικά μεγέθη.

Κατ' αρχήν, θα μπορούσε κανείς να προχωρήσει από άλλα αξιώματα - και να κατασκευάσει μια άλλη θεωρία πιθανοτήτων, τα συμπεράσματα της οποίας είναι διαφορετικά από εκείνα που υπάρχουσα θεωρία, θα ήταν εξίσου λογικά άψογο και εξίσου περιττό για πραγματικά φαινόμενα. Η κατάσταση εδώ είναι η ίδια όπως και με τις διάφορες πιθανές γεωμετρίες. Αλλά μόλις μια μαθηματική θεωρία συμπληρώνεται από ορισμένες μεθόδους μέτρησης των ποσοτήτων με τις οποίες λειτουργεί, και έτσι γίνεται φυσική θεωρία, η κατάσταση αλλάζει. Η ορθότητα ή η ανακρίβεια μιας θεωρίας τότε παύει να είναι ζήτημα μόνο της λογικής της συνέπειας, αλλά γίνεται ζήτημα αντιστοιχίας της με πραγματικά πράγματα και φαινόμενα. Το ζήτημα της αλήθειας των ίδιων των αξιωμάτων αποκτά περιεχόμενο, αφού πλέον αυτό μπορεί να υποβληθεί σε πειραματική και, γενικά, πρακτική επαλήθευση.

Ωστόσο, ακόμη και πριν από μια τέτοια επαλήθευση, είναι απαραίτητη μια εσωτερική αντιστοιχία μεταξύ των δύο μερών της φυσικής θεωρίας: οι καθιερωμένες μέθοδοι μέτρησης ποσοτήτων δεν θα πρέπει να έρχονται σε αντίθεση με τις εξισώσεις στις οποίες υπόκεινται αυτές οι ποσότητες από το μαθηματικό μέρος της θεωρίας . Για παράδειγμα, οι εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα υποθέτουν ότι η δύναμη είναι ένα διάνυσμα και επομένως είναι ασύμβατες με έναν τρόπο μέτρησης της δύναμης που θα τη χαρακτήριζε μόνο με όρους απόλυτη τιμή. Ίσως, στην πραγματικότητα, η δύναμη δεν είναι ένα διάνυσμα, αλλά, ας πούμε, ένας τανυστής, αλλά αυτό είναι ένα άλλο ερώτημα σχετικά με το πόσο καλά αντανακλά αντικειμενική πραγματικότηταδεδομένος φυσική θεωρίαγενικά. Μιλάμε τώρα μόνο για το γεγονός ότι η παρουσία μιας αντίφασης μεταξύ των μαθηματικών και μετρικών μερών μιας φυσικής θεωρίας την καθιστά αβάσιμη ακόμη και πριν από οποιαδήποτε επαλήθευση των συνεπειών της στο πείραμα.

Από αυτή την άποψη, ο νόμος των μεγάλων αριθμών διαφέρει από άλλα -λογικά ισοδύναμα- θεωρήματα της θεωρίας των πιθανοτήτων μόνο στο ότι, όπως θα φανεί από τα παρακάτω, δείχνει ιδιαίτερα καθαρά και ξεκάθαρα τη συμβατότητα μαθηματικός ορισμόςπιθανότητα και τη μέθοδο συχνότητας μέτρησής του. Δείχνει ότι η συχνότητα «αξίωμα μέτρησης» δεν έρχεται σε αντίθεση με τη μαθηματική θεωρία, αλλά η τελευταία, φυσικά, δεν αντικαθιστά και δεν μπορεί να αντικαταστήσει αυτό το «αξίωμα».

Απόδειξη διάφορα θεωρήματα, έχοντας τη μορφή του νόμου των μεγάλων αριθμών, χρησιμοποιεί συνήθως την ανισότητα του Chebyshev, που αποδείχθηκε στη διατριβή του το 1846. Έστω μια τυχαία μεταβλητή πεπερασμένη διακύμανση Η ανισότητα του Chebyshev

δηλώνει ότι

Εάν, ειδικότερα, , τότε η ανισότητα (19.4) παίρνει τη μορφή

Αν και οι ανισότητες (19,4) και (19,5) δίνουν μόνο μια πολύ πρόχειρη εκτίμηση του P (περισσότερα ακριβής εκτίμησημπορούν να ληφθούν εάν είναι γνωστός ο νόμος κατανομής), για τις θεωρητικές κατασκευές είναι πολύ χρήσιμες και σημαντικές.

Στην περίπτωση που η ανισότητα του Chebyshev περιέχει τον αριθμητικό μέσο όρο (19,3) των N τυχαίων μεταβλητών, η ανισότητα (19,5) μας επιτρέπει να αποδείξουμε το θεώρημα του Chebyshev, το οποίο είναι μια αρκετά γενική έκφραση του νόμου των μεγάλων αριθμών. Δηλαδή, αν είναι μια ακολουθία ζευγών ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με ομοιόμορφα οριοθετημένες διακυμάνσεις (D С), τότε

Πραγματικά,

Σύμφωνα με την ανισότητα Chebyshev

από όπου για την πιθανότητα αντίθετο γεγονόςκαι ακολουθεί το θεώρημα (19.6), δηλ. σύγκλιση στην πιθανότητα προς

Μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Chebyshev είναι το θεώρημα του Poisson. Έστω - τυχαίες μεταβλητές-διορθωτές του αποτελέσματος της δοκιμής ή 0 σύμφωνα με την εμφάνιση ή τη μη εμφάνιση του συμβάντος Α κατά τη διάρκεια της δοκιμής, στην οποία . Επειτα

και το θεώρημα του Chebyshev δίνει

Αυτό είναι το θεώρημα του Poisson. Ακόμα περισσότερο ειδική περίπτωση- πότε . Στη συνέχεια ερχόμαστε στο θεώρημα του Bernoulli, μια από τις πρώτες διατυπώσεις του νόμου των μεγάλων αριθμών:

Ας σταματήσουμε σε αυτό απλούστερη μορφήνόμος. Το θεώρημα (19.8) δείχνει ότι με την αύξηση του αριθμού των δοκιμών N, η σχετική συχνότητα του γεγονότος Α, δηλ., η εμπειρική τιμή συγκλίνει κατά πιθανότητα προς - την πιθανότητα του γεγονότος Α. Εάν δεν ήταν έτσι, τότε θα είναι άσκοπο να μετρήσουμε την πιθανότητα χρησιμοποιώντας τη σχετική συχνότητα. Αλλά μόλις συμβεί αυτό, τότε η μέθοδος συχνότητας μέτρησης των πιθανοτήτων τόσο (από τη σχετική συχνότητα εμφάνισης του γεγονότος Α σε μια σειρά Ν δοκιμών) όσο και με το P (από τη σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος σε μια ομάδα δοκιμών σειράς M) μπορεί να ληφθεί ως προσθήκη στη μαθηματική θεωρία, επειδή δεν την έρχεται σε αντίθεση. Μετά από αυτό, είναι ήδη δυνατό να ρωτήσουμε και να δοκιμάσουμε εμπειρικά εάν η φυσική θεωρία που προκύπτει αντανακλά πραγματικές στατιστικές κανονικότητες.

Περιέργως, για την εκπλήρωση του Θεωρήματος (19.8) για οποιεσδήποτε τιμές του , δηλ. για σύγκλιση στην πιθανότητα

Αρκεί να απαιτείται αυτή η σύγκλιση να πραγματοποιείται μόνο για (η σχετική συχνότητα των απίθανων γεγονότων πρέπει να είναι μικρή).

Τώρα γράφουμε το θεώρημα του Chebyshev για την περίπτωση που όλα είναι α. Επειτα

και το θεώρημα γίνεται

που είναι η βάση του κανόνα του αριθμητικού μέσου όρου στις μετρήσεις. Τα άτομα μπορούν να αποκλίνουν πολύ από το a, αλλά με πιθανότητα έχουμε a στο Αυτό συμβαίνει επειδή κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής τυχαίες αποκλίσειςοι επιμέρους όροι αντισταθμίζονται και στις περισσότερες περιπτώσεις η απόκλιση είναι πολύ μικρή.

Οι αποκλίσεις από το α μπορεί να είναι τυχαία σφάλματα μέτρησης. Αλλά αν η ίδια η ακρίβεια ανάγνωσης κατά τη μέτρηση δεν είναι μικρότερη από , δηλ. υπάρχει συστηματικό λάθος, που σχετίζεται με την τιμή της διαίρεσης της κλίμακας, τότε η ακρίβεια δεν είναι μικρότερη για κανένα Ν, επομένως είναι άσκοπο, κάνοντας έκκληση στον νόμο των μεγάλων αριθμών, να προσπαθήσουμε να λάβουμε σε αυτήν την περίπτωση την τιμή του a με σφάλμα μικρότερο από λόγω σας επιτρέπει να ξεπεράσετε την ακρίβεια μέτρησης που περιορίζεται από κάτω και να αποκτήσετε, ας πούμε, με τη βοήθεια ενός αμπερόμετρου θωράκισης, την ένδειξη της ισχύος ρεύματος με ακρίβεια μικροαμπέρ.

Μια άλλη κατάσταση είναι επίσης δυνατή: η ίδια η μέτρηση μπορεί να είναι τυχαία (ρεύμα θορύβου, κ.λπ.). Τότε μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι στο , δηλ., ο αριθμητικός μέσος όρος τείνει στη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής.

Η προϋπόθεση της αμοιβαίας ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων της μέτρησης μιας τυχαίας μεταβλητής απαιτεί, σε γενικές γραμμές, να μετράται σε αρκετά μεγάλα χρονικά διαστήματα. Ωστόσο, για την εγκυρότητα του νόμου των μεγάλων αριθμών, αυτή η ίδια η συνθήκη ανεξαρτησίας δεν είναι απαραίτητη, αφού η ανισότητα Chebyshev απαιτεί μόνο για . Δεν θα σταματήσουμε για περισσότερα γενικά θεωρήματακαι σε αναγκαίες και επαρκείς συνθήκες υπό τις οποίες ισχύει ο νόμος των μεγάλων αριθμών για τον αριθμητικό μέσο όρο, αφού αυτές οι συνθήκες αφορούν την ίδια την ποσότητα και επομένως είναι λιγότερο ενδιαφέρουσες στην πράξη από τις στενότερες συνθήκες, αλλά σχετίζονται με μεμονωμένους όρους

Το 1909, ο E. Borel (τότε - σε περισσότερα γενική μορφή- Ο F. P. Cantelli, μετά ο A. N. Kolmogorov) αποδείχθηκε ισχυρότερος ισχυρισμός από τον νόμο των μεγάλων αριθμών. Σύμφωνα με το θεώρημα του Bernoulli

Σύμφωνα με τον Borel (ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών)

δηλαδή με βεβαιότητα ή, όπως λένε, «σχεδόν πιθανώς», η σχετική συχνότητα έχει ως όριο μια πιθανότητα. Αυτή είναι μια ακόμη ισχυρότερη βάση για τη μέτρηση της πιθανότητας με σχετική συχνότητα.

Με βάση το (19.9), μπορεί κανείς να εισαγάγει έναν άλλο τύπο πιθανολογικής σύγκλισης - σύγκλιση με την έννοια του ισχυρού νόμου των μεγάλων αριθμών, ο οποίος ονομάζεται επίσης σύγκλιση με πιθανότητα ή σχεδόν σίγουρη σύγκλιση:

(19.10)

Εν συντομία, αυτό μπορεί να γραφτεί ως

Μερικές φορές, σε σχέση με τον ορισμό (19.10), δημιουργείται σύγχυση σχετικά με το γεγονός ότι περιέχει το συνηθισμένο όριο μιας ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών. Έχει κανείς την εντύπωση ότι φαίνεται να αποκλίνουμε εδώ από τη δήλωση που έγινε παραπάνω ότι η σύγκλιση των τυχαίων μεταβλητών μπορεί να έχει μόνο μια πιθανολογική σημασία. Αλλά αυτό είναι ακριβώς αυτό που συζητείται αυτή η υπόθεση. Ανάμεσα στις διάφορες πραγματοποιήσεις της ακολουθίας, υπάρχουν επίσης πιθανές πραγματοποιήσεις που συγκλίνουν στο α με τη συνήθη έννοια. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το σύνολο τέτοιων πραγμάτων έχει μια ορισμένη πιθανότητα P. Η σύγκλιση σημαίνει σχεδόν σίγουρα ότι αυτή η πιθανότητα, δηλ. η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος, είναι ίση με ένα. Με άλλα λόγια, πραγματοποιήσεις που συγκλίνουν σε ένα με τη συνήθη έννοια «εξαντλούν σχεδόν» το σύνολο όλων των πιθανών πραγματοποιήσεων της ακολουθίας.Έτσι, στο (19.10) δεν πάμε πουθενά από τον πιθανολογικό ορισμό της σύγκλισης, αν και τώρα δεν εννοούμε το όριο της πιθανότητας (όπως στη σύγκλιση στην πιθανότητα ), και το όριο πιθανότητας.

Παρουσιάζουμε δύο από τις προϋποθέσεις για σύγκλιση σε ένα σχεδόν σίγουρο. Ένα από αυτά είναι απαραίτητο και επαρκές

Ωστόσο, αυτή η προϋπόθεση δεν μπορεί ποτέ να επαληθευτεί στην πράξη. Μια άλλη, ισχυρότερη επαρκής προϋπόθεση, είναι αυτή

ότι για οποιαδήποτε η σειρά πρέπει να συγκλίνει

Άλλες επαρκείς προϋποθέσεις και, γενικά, μια λεπτομερής μαθηματική συζήτηση των ερωτημάτων που αφορούν την πιθανολογική σύγκλιση μπορούν να βρεθούν στα βιβλία (Κεφάλαιο 3) και (Κεφάλαιο 1).

Η σύγκλιση στο μέσο τετράγωνο συνεπάγεται (λόγω της ανισότητας του Chebyshev) σύγκλιση στην πιθανότητα, και αν όλα είναι σχεδόν βέβαιο ότι οριοθετούνται ομοιόμορφα σε απόλυτη τιμή, τότε, αντίθετα, η σύγκλιση στην πιθανότητα συνεπάγεται σύγκλιση στο μέσο τετράγωνο. Η σύγκλιση σχεδόν σίγουρα συνεπάγεται επίσης σύγκλιση στην πιθανότητα, αλλά όχι σύγκλιση στο μέσο τετράγωνο. Ταυτόχρονα, η μέση τετραγωνική σύγκλιση δεν συνεπάγεται σύγκλιση σχεδόν σίγουρα.

θεωρία πιθανότητα σύγκλισης

Οριακά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων

Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών και κατανομές πιθανοτήτων

1.1.1.1 Σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών

Ας υπάρχει ένας χώρος πιθανοτήτων με ένα σύστημα τυχαίων μεταβλητών και μια τυχαία μεταβλητή που δίνεται σε αυτό. Στη θεωρία πιθανοτήτων, εξετάζει κανείς τους παρακάτω τύπουςσύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών.

Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών συγκλίνει κατά πιθανότητα σε μια τυχαία μεταβλητή εάν υπάρχει

Αυτός ο τύπος σύγκλισης συμβολίζεται ως:, ή.

Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή με πιθανότητα 1 (ή σχεδόν σίγουρα) αν

δηλαδή, αν για όλους εκτός, ίσως, από κάποιο σύνολο μηδενικών πιθανοτήτων (). Η σύγκλιση με την πιθανότητα 1 θα συμβολίζεται ως εξής: , ή. Η σύγκλιση με την πιθανότητα 1 είναι σύγκλιση σχεδόν παντού σε σχέση με το μέτρο πιθανότητας.

Σημειώστε ότι η σύγκλιση είναι ένα γεγονός από την -άλγεβρα, το οποίο μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Ας διατυπώσουμε ορισμένα θεωρήματα που καθορίζουν κριτήρια για σχεδόν σίγουρη σύγκλιση.

Θεώρημα 1.1. εάν και μόνο εάν υπάρχει

ή, που είναι το ίδιο,

Θεώρημα 1.2. Αν η σειρά

συγκλίνει για οποιαδήποτε

Μπορεί να αποδειχθεί ότι η σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση (αυτό προκύπτει από το (1.1)) Ο αντίστροφος ισχυρισμός δεν ισχύει γενικά, αλλά ισχύει το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα 1.3. Αν, τότε υπάρχει μια υποακολουθία τέτοια ώστε για .

Η σύνδεση μεταξύ σύγκλισης και σύγκλισης καθορίζεται από τα ακόλουθα θεωρήματα.

Θεώρημα 1.4. (Είσοδος στη μονότονη σύγκλιση) Έστω ότι υπάρχει μια μονότονη ακολουθία μη αρνητικών τυχαίων μεταβλητών: που έχουν πεπερασμένες μαθηματικές προσδοκίες, περιορίζεται στην ίδια τιμή: . Τότε η ακολουθία συγκλίνει με την πιθανότητα 1 σε κάποια τυχαία μεταβλητή c, και

Θεώρημα 1.5. (Lebesgue σχετικά με την κυρίαρχη σύγκλιση) Έστω και είναι ποσότητες, όπου είναι μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή με πεπερασμένη μαθηματική προσδοκία. Τότε η τυχαία μεταβλητή έχει επίσης μια πεπερασμένη μαθηματική προσδοκία και

Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή με μέση σειρά αν

Θα υποδηλώσουμε μια τέτοια σύγκλιση. Όταν μιλούν για σύγκλιση στο μέσο τετράγωνο και δηλώνουν. Δυνάμει της γενικευμένης ανισότητας Chebyshev, η σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση. Από τη σύγκλιση στην πιθανότητα, και ακόμη περισσότερο από τη σύγκλιση, σχεδόν σίγουρα, η σύγκλιση της σειράς δεν ακολουθεί. Έτσι, η σύγκλιση στην πιθανότητα είναι η πιο αδύναμη σύγκλιση από τις τρεις που εξετάσαμε.

Μια ακολουθία λέγεται ότι είναι θεμελιώδης στην πιθανότητα (σχεδόν πιθανώς, στη μέση τάξη) εάν υπάρχει

Θεώρημα 1.6. (Κριτήριο σύγκλισης του Cauchy) Για να είναι μια ακολουθία θεμελιώδης με την αντίστοιχη έννοια (κατά πάσα πιθανότητα, σχεδόν σίγουρα, στον μέσο όρο της τάξης) είναι απαραίτητο και αρκετό.

1.1.1.2 Ασθενής σύγκλιση κατανομών

Λέγεται ότι η κατανομή πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών συγκλίνει ασθενώς στην κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής εάν για οποιαδήποτε συνεχή οριοθετημένη συνάρτηση

Η ασθενής σύγκλιση θα συμβολίζεται ως εξής: . Σημειώστε ότι η σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση. Το αντίστροφο δεν ισχύει, αλλά για ασθενή σύγκλιση συνεπάγεται σύγκλιση στις πιθανότητες.

Η συνθήκη (1.2) μπορεί να ξαναγραφτεί χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα Lebesgue σε ένα μέτρο ως εξής

Για τυχαίες μεταβλητές με πυκνότητα πιθανότητας, ασθενής σύγκλιση σημαίνει σύγκλιση για οποιαδήποτε οριοθετημένη συνάρτηση

Αν μιλάμε για συναρτήσεις διανομής και την αντίστοιχη και, τότε αδύναμη σύγκλιση σημαίνει αυτό

αντίγραφο

1 S.Ya. Shatskikh Διαλέξεις για Θεωρία Πιθανοτήτων Τύποι Σύγκλισης Ακολουθιών Τυχαίων Μεταβλητών Πρόχειρη Σύγκλιση στις Πιθανότητες. Θα υποθέσουμε ότι όλες οι τυχαίες μεταβλητές που μας ενδιαφέρουν ορίζονται στον ίδιο χώρο πιθανοτήτων Ω, Α, ). Ας θυμηθούμε τον ορισμό της σύγκλισης των τυχαίων μεταβλητών στην πιθανότητα, που συναντήσαμε όταν μελετήσαμε το νόμο των μεγάλων αριθμών με τη μορφή P.L. Chebyshev. Ορισμός 1. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X n (ω)) λέγεται ότι συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή X(ω) κατά πιθανότητα εάν για οποιαδήποτε ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, n. Σημείωση: X n (ω) X(ω). Η σύγκλιση στην πιθανότητα είναι πλήρες αναλογικόσύγκλιση σε μέτρο, που εξετάζεται στα μαθήματα της λειτουργικής ανάλυσης και του «ολοκληρώματος Lebesgue». Θεώρημα. Αν για n X n (ω) X(ω), X n (ω) Y (ω), τότε ω : X(ω) = Y (ω)) = 1 (η μοναδικότητα του ορίου είναι σχεδόν βέβαιη). Θεώρημα. Αν για n X n (ω) X(ω), Y n (ω) Y (ω), τότε 1 ax n (ω) + b Y n (ω) 2 X n (ω) Y n (ω) ax( ω) + b Y (ω) 3 X n (ω) X(ω) Y (ω), X(ω). (a, b const), Θεώρημα. Για τις τυχαίες μεταβλητές X(ω), Y (ω) η συνάρτηση ) X(ω) Y (ω) d(x(ω), Y (ω)) = M 1 + X(ω) Y (ω) 1

Το 2 ορίζει μια μέτρηση στο χώρο των τυχαίων μεταβλητών 1. Η σύγκλιση σε αυτή τη μέτρηση ισοδυναμεί με τη σύγκλιση στην πιθανότητα. Απόδειξη. Πρώτα αποδεικνύουμε την ισοδυναμία των συγκλίσεων. Εξετάστε το ενδεχόμενο αύξησης στη μισή γραμμή. A = B() είναι η άλγεβρα Borel σ του διαστήματος ; Μέτρο Lebesgue. Ας ορίσουμε [ k 1 Xn(ω) k:= 1 A k n (ω), όπου A k n = n, k ], k = 1, n. n Θεωρήστε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X 1 1(ω), X 1 2(ω), X 2 2(ω), X 1 3(ω), X 2 3(ω), X 3 3(ω),. .. (6) Είναι σαφές ότι για κάθε ω η κατασκευασμένη ακολουθία είναι η ένωση άπειρων ακολουθιών μηδενικών και μονάδων. Επομένως, σε οποιοδήποτε σημείο ω αυτή η ακολουθία δεν έχει όριο και το σύνολο σύγκλισής της είναι κενό. Από την άλλη πλευρά, για κάθε ε (0, 1) ω : Xn(ω) k > ε) = 1, k = 1, n, n, επομένως η ακολουθία (6) συγκλίνει κατά πιθανότητα (πανομοιότυπα) στο μηδέν. Αν και η σχεδόν βέβαιη σύγκλιση δεν προκύπτει από τη σύγκλιση στις πιθανότητες, εντούτοις ισχύει το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 4 (F. Riess). Αν για n X n (ω) X(ω), τότε υπάρχει μια υποακολουθία n k ) τέτοια ώστε για k X nk (ω) a.s. Χ(ω). 7

8 Απόδειξη 3. Αρχικά, κατασκευάζουμε την απαιτούμενη υποακολουθία n k ). Θέτουμε n 0 = 1 και μετά, για k N, ορίζουμε επαγωγικά το n k ως το ελάχιστο φυσικός αριθμός, για τις οποίες ισχύουν οι ακόλουθες ανισώσεις: n k > n k 1, ω : X nk (ω) X(ω) 1 )< 1 k 2 k Такое число существует в силу сходимости по вероятности ω : X n (ω) X(ω) 1 } 0, (n). k Теперь установим сходимость X nk (ω) п.н. X(ω), (k). Ввиду соотношения (9) (см. доказательство теоремы 2) } ω : sup X nk (ω) X(ω) >ε k m = k=m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). Επομένως ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). k=m () Για κάθε ε > 0, υπάρχει ένα φυσικό Μ ε τέτοιο ώστε, για m > M ε 1 m< ε. m >M ε με επιλογή n k ω : X nk (ω) X(ω) > ε ) k=m k=m ω : X nk (ω) X(ω) > 1 k ) k=m 1 2 k. Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη το (), θα έχουμε ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m k=m 1 2 k. Περνώντας στο όριο αυτής της ανισότητας για m, εν όψει του πεπερασμένου του αθροίσματος γεωμετρική πρόοδος, λαμβάνουμε ) lim ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε = 0. m k m Για να αποδείξουμε το θεώρημά μας, μένει να εφαρμόσουμε το σχεδόν σίγουρο κριτήριο σύγκλισης (βλ. Θεώρημα 2). 3 Αυτό το θεώρημα εξετάζεται κατά τη διάρκεια της συναρτησιακής ανάλυσης. οκτώ

9 Το ζήτημα της μέτρησης της σύγκλισης είναι σχεδόν βέβαιο. Εξετάστε το ζήτημα της μετρήσεως της σχεδόν σίγουρης σύγκλισης. Όπως θα δούμε, σε γενικές γραμμές, η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι αρνητική: σε αντίθεση με τη σύγκλιση στις πιθανότητες, η σύγκλιση είναι σχεδόν σίγουρα μη μετρήσιμη. Ωστόσο, εδώ πρέπει να γίνουν ορισμένες παρατηρήσεις. Υπάρχουν παραδείγματα χώρων πιθανότητας για τους οποίους η σύγκλιση στις πιθανότητες είναι ισοδύναμη με σχεδόν σίγουρη σύγκλιση. Σε τέτοιους χώρους, κάθε ακολουθία τυχαίων μεταβλητών που συγκλίνει ως προς την πιθανότητα είναι αναγκαστικά σχεδόν βέβαιο ότι συγκλίνει. Σε μια τέτοια κατάσταση, η σύγκλιση είναι σχεδόν σίγουρα μετρήσιμη λόγω της μετρητικότητας της σύγκλισης στην πιθανότητα (δείτε το θεώρημα;). Ωστόσο, διαφορετικά, όπως δείχνει το παρακάτω θεώρημα, η μέτρηση της σύγκλισης είναι σχεδόν σίγουρα αδύνατη. Θεώρημα 5. Εάν σε ένα σύνολο τυχαίων μεταβλητών που ορίζονται σε έναν ορισμένο χώρο πιθανοτήτων οι έννοιες της σύγκλισης με την πιθανότητα ένα και της σύγκλισης στην πιθανότητα δεν συμπίπτουν, τότε για ένα τέτοιο σύνολο τυχαίων μεταβλητών δεν υπάρχει μέτρηση της οποίας η σύγκλιση είναι ισοδύναμη με σχεδόν βέβαιη σύγκλιση. Απόδειξη. Υποθέστε το αντίθετο, δηλ. στο σύνολο των τυχαίων μεταβλητών υπάρχει μια μετρική ρ (,) που αντιστοιχεί σε σχεδόν βέβαιη σύγκλιση: για n X n (ω) a.s. X(ω) ρ (X n (ω), X(ω)) 0. Θεωρήστε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X n (ω)), η οποία συγκλίνει στην τυχαία μεταβλητή X(ω) κατά πιθανότητα αλλά όχι σχεδόν σίγουρα στην ένα χέρι, για κάποιο δ > 0 υπάρχει μια υποακολουθία n k ) για όλα τα μέλη της οποίας η ανισότητα ρ (X nk (ω), X(ω)) > δ ικανοποιείται. () Από την άλλη, η σύγκλιση στην πιθανότητα παραμένει: X nk (ω) X(ω), για k. Ωστόσο, δυνάμει του Θεωρήματος 4, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η υποακολουθία n k ) έχει μια "υποακολουθία" n km ) για την οποία, για m Επομένως X nkm (ω) a.s. Χ(ω). lim m ρ (X nkm (ω), X(ω)) = 0, που έρχεται σε αντίθεση με (). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Δίνουμε τώρα παραδείγματα χώρων πιθανότητας για τους οποίους η σύγκλιση στις πιθανότητες είναι ισοδύναμη με σχεδόν βέβαιη σύγκλιση. Αρχικά, ας θυμηθούμε τον ορισμό ενός χώρου ατομικής πιθανότητας 5 (βλ. Εγκυκλοπαίδεια TV και MS, επιμέλεια Yu.V. Prokhorov, Neveu J. "MOTV"). 4 Ένα παράδειγμα τέτοιας ακολουθίας έχει συζητηθεί παραπάνω. 5 Σε γενικές γραμμές, ένας χώρος ατομικής πιθανότητας αποτελείται από ένα πεπερασμένο ή μετρήσιμο σύνολο σημείων, καθένα από τα οποία έχει θετική πιθανότητα. Ένα παράδειγμα πεπερασμένου ατομικού χώρου είναι το σχήμα Bernoulli. 9

10 Ορισμός. Ένας χώρος πιθανότητας Ω, Α, ) ονομάζεται ατομικός αν υπάρχει πεπερασμένος ή μετρήσιμος διαμερισμός του Ω σε άτομα A i A: 1 Ω = A i, A i A j =, (i j), το σύνολο των δεικτών I είναι πεπερασμένο ή μετρήσιμο. i I 2 A i ) > 0, για οποιοδήποτε i I; 3 για οποιοδήποτε B A κάθε άτομο A i έχει μία από τις δύο ιδιότητες ή B A i ) = 0, ή B A i ) = A i ); ) 4 A i = A i ) = 1. i I i I Θεώρημα 6. Για ένα χώρο ατομικής πιθανότητας, η σύγκλιση με την πιθανότητα μία ισοδυναμεί με τη σύγκλιση στην πιθανότητα. Απόδειξη. Σε ένα χώρο ατομικής πιθανότητας, η σύγκλιση στην πιθανότητα συνεπάγεται σύγκλιση σε κάθε άτομο. Πράγματι, αν για κάθε ε > 0, για n ω : X n (ω) X(ω) ε) 0, τότε για κάθε i I Επομένως, το σύνολο σύγκλισης ω A i: X n (ω) X(ω) ε ) 0 ω : X n (ω) Το X(ω)) περιέχει όλα τα άτομα και επομένως η πιθανότητα του είναι μία. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 3, λαμβάνουμε την απόδειξη του θεωρήματός μας. Σχόλιο. Η αντίστροφη πρόταση 6 είναι επίσης αληθής: εάν σε κάποιο χώρο πιθανοτήτων οι έννοιες της σύγκλισης με την πιθανότητα ένα και της σύγκλισης στην πιθανότητα συμπίπτουν, τότε ένας τέτοιος χώρος πιθανότητας είναι ατομικός (βλ. Neveu "MOTV σελ. 37; Prokhorov A.V., Ushakov V.G., Ushakov N. G. «Συλλογή προβλημάτων στο τηλεοπτικό πρόβλημα 5.25, σελ. 107.). Μέση σύγκλιση Ορισμός 4. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X n (ω)) λέγεται ότι συγκλίνει κατά μέσο όρο τάξης p > 0 σε μια τυχαία μεταβλητή X(ω) εάν για n M X n (ω) X(ω) p ) 0 Για το p = 2 μιλάει για μέση τετραγωνική σύγκλιση. Φυσικά, μιλώντας για μέση σύγκλιση της τάξης p, υποθέτουμε το πεπερασμένο των μαθηματικών προσδοκιών M X n (ω) p )<, M X(ω) p } <. В следующей теореме мы установим, что сходимость по вероятности является необходимым условием сходимости в среднем порядка p >0.6 Για το στοιχειώδες μάθημά μας στη θεωρία πιθανοτήτων, η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού είναι πολύ τεχνική. δέκα

11 Θεώρημα. Αν για κάποιο p > 0 για n M X n (ω) X(ω) p ) 0. τότε X n (ω) X(ω). Απόδειξη. Chebyshev Και σημειώστε ότι αρκεί να περάσετε στο όριο στο n στο P.L. X n (ω) X(ω) p > ε)< M X n(ω) X(ω) p } ε 2. X n (ω) X(ω) p >ε) = X n (ω) X(ω) > ε 1/p). Το ακόλουθο απλό παράδειγμα δείχνει ότι η σύγκλιση στην πιθανότητα δεν μπορεί να είναι επαρκής κατάστασηγια τη μέση σύγκλιση. Παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι Έστω Ω = , A = B(), ) = λ ) το μέτρο Lebesgue στο διάστημα . Τότε για οποιαδήποτε ε > 0, Ωστόσο, για p 1 X(ω) 1, X n (ω), = n όταν ω [ 0, 1/n ], 1, όταν ω (1/n, 1 ]. X n (ω) X(ω) > ε) = λ[ 0, 1/n ]) = 1/n 0, n. M X n (ω) X(ω) p ) = n p 1 n = np 1 1 για όλα τα n N. Η απουσία σύγκλισης κατά μέσο όρο σε αυτό το παράδειγμα οφείλεται στην "περιοχή που πηγαίνει στο άπειρο". Στο επόμενο θεώρημα σημαντικός ρόλοςπαίζει την συνθήκη της ομοιόμορφης οριοθέτησης των ενοποιήσιμων τυχαίων μεταβλητών, η οποία εμποδίζει μια τέτοια «αποχώρηση». Θεώρημα. Αν για μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X n (ω)) υπάρχει πραγματικός αριθμός 0< C < + такое, что ω : X n (ω) C} = 1, для любого n N, и при n имеет место сходимость по вероятности X n (ω) X(ω), то M X(ω) } C и lim M X n (ω) X(ω) } = 0. Доказательство. Вначале покажем, что из условия равномерной ограниченности случайных величин X n (ω)} с вероятностью единица следует ограниченность предельной случайной величины с вероятностью единица: ω : X(ω) C} = 1. 11

12 Πράγματι, η σύγκλιση στην πιθανότητα συνεπάγεται σύγκλιση α.σ. για κάποια υποακολουθία Επομένως, από τις ιδιότητες των ορίων, αν Επομένως, και ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1, για m. ω ω : X n(m) (ω) X(ω)), μετά X(ω) C. ω : X n(m) (ω) X(ω)) ω : X(ω) C) ω : X (ω) C) = 1. Επομένως, λαμβάνουμε την ύπαρξη και το όριο της μαθηματικής προσδοκίας της τυχαίας μεταβλητής X(ω) M X(ω) ) C. Τώρα είναι εύκολο να επαληθεύσουμε την εγκυρότητα της ανισότητας ω : X n (ω) X(ω) 2C) = 1. Περαιτέρω, από τις ιδιότητες των μαθηματικών προσδοκιών, MX n (ω)) MX(ω)) M X n (ω) X(ω) ) X n (ω) X(ω ) d + X n (ω) X(ω) d ω : X n(ω) X(ω) ε) ω: X n(ω) X(ω) > ε) ε + 2C ω : X n (ω) X(ω) > ε). Περνώντας στο όριο ως n, ενόψει της αυθαιρεσίας του ε, λαμβάνουμε την απόδειξη του θεωρήματός μας. Στο παρακάτω θεώρημα, αντί της συνθήκης να οριοθετείται ομοιόμορφα από μια σταθερά, θα εξεταστεί μια ασθενέστερη συνθήκη ομοιόμορφου περιορισμού από μια (μη αρνητική) ολοκληρωμένη τυχαία μεταβλητή. Το θεώρημα του Lebesgue για την κυρίαρχη σύγκλιση. Εάν για μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X n (ω)) υπάρχουν τυχαίες μεταβλητές X(ω) και Y (ω) τέτοιες ώστε 1 X n (ω) X(ω), n, τότε για n 2 για όλες τις n X n ( ω) Y (ω), - σχεδόν σίγουρα, 3 MY (ω))<, M X(ω) } MY (ω)} < M X n (ω) X(ω) } 0. 12

13 Απόδειξη 7. Αρχικά, καθορίζουμε τις ανισώσεις X(ω) Y (ω), - σχεδόν βέβαιοι. Η σύγκλιση μιας ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών στην πιθανότητα συνεπάγεται σύγκλιση σχεδόν σίγουρα για κάποια υποακολουθία: X n(m) (ω) a.s. X(ω), m. Με άλλα λόγια, η πιθανότητα του συνόλου σύγκλισης είναι ίση με μονάδα ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1. Επομένως, περνώντας στο όριο (m) στην ανισότητα X n(m) ( ω) Y (ω), για οποιοδήποτε ω ω : X n(m) (ω) X(ω)) Από αυτό προκύπτει η ύπαρξη του MX(ω)) και μια εκτίμηση (σχεδόν σίγουρα). M X(ω) ) MY (ω)). Επομένως, και Υπολογίστε την ποσότητα = X n (ω) X(ω) 2Y (ω), (σχεδόν πιθανώς) M X n (ω) X(ω) ) 2MY (ω)). M X n (ω) X(ω) ) = X n (ω) X(ω) d + X n (ω) X(ω) d ω: X n(ω) X(ω) ε) ε + 2 ω: X n(ω) X(ω) > ε) Y (ω) d. () ω: X n(ω) X(ω) > ε) Με την συνθήκη 1 του θεωρήματος (σύγκλιση σε πιθανότητα), για οποιαδήποτε ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, ( ιδ) . Επομένως, χρησιμοποιώντας το λήμμα στο ολοκλήρωμα σε ένα σύνολο χαμηλών πιθανοτήτων, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι το lim Y (ω) d = 0. ω: X n(ω) X(ω) > ε) η σύγκλιση αναφέρεται στη μοναδική θέση στο Lebesgue's θεωρία της ολοκλήρωσης όπου οι αφελείς διατυπώσεις μπορούν να οδηγήσουν σε εσφαλμένο αποτέλεσμα». Βλέπε Feller, v.2, p.

14 Περνώντας στο όριο στην ανισότητα () θα έχουμε 0 lim M X n (ω) X(ω) ) ε. Επομένως, λόγω της αυθαιρεσίας του ε > 0, λαμβάνουμε την απόδειξη του θεωρήματος. Σχόλιο. Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος αναλύεται στο μάθημα «Ολοκλήρωμα του Lebesgue». Μια ελαφρώς διαφορετική εκδοχή της απόδειξης μπορεί να βρεθεί στο βιβλίο [Shiryaev "Πιθανότητα"]. Ας παρουσιάσουμε χωρίς απόδειξη δύο ακόμη κλασικά αποτελέσματα (πραγματικής ανάλυσης), τα οποία χρησιμοποιούνται συχνά στην ανάλυση της μέσης σύγκλισης. Θεώρημα για τη μονότονη σύγκλιση. Εάν μια μη φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών τυχαίων μεταβλητών X n (ω)) X n (ω) X n+1 (ω), n = 1, συγκλίνει σχεδόν σίγουρα σε μια τυχαία μεταβλητή X(ω), τότε για n MX n (ω)) MX (ω)). Σχόλιο. Εάν η μαθηματική προσδοκία MX(ω)) είναι πεπερασμένη, τότε (λόγω μονοτονίας) οι μαθηματικές προσδοκίες όλων των τυχαίων μεταβλητών MX n (ω) είναι πεπερασμένες. Έχουμε σύγκλιση μονοτονική ακολουθίαπρος την απόλυτο όριο MX n (ω)) MX(ω)). Εάν η μαθηματική προσδοκία MX(ω)) είναι άπειρη, τότε, υποθέτοντας πεπερασμένες μαθηματικές προσδοκίες των τυχαίων μεταβλητών MX n (ω)), λαμβάνουμε τη σύγκλιση της μονότονης ακολουθίας στο άπειρο όριο MX n (ω)) +. Λήμμα Φάτου. Οποιαδήποτε ακολουθία μη αρνητικών τυχαίων μεταβλητών X n (ω)) ικανοποιεί την ανισότητα lim MX n (ω)) Mlim X n (ω)). Σχόλιο. Ο ισχυρισμός του λήμματος Fatou δείχνει ότι η ανισότητα 2 = lim MX n (ω)) M lim X n (ω)) = 1, που έλαβε χώρα στο παραπάνω παράδειγμα, είναι μια εκδήλωση γενικό μοτίβο. Μια εργασία. Αν για n M X n (ω) X(ω) p ) 0, τότε M X n (ω) p ) M X(ω) p ). Λύση. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του G. Minkowski, μπορούμε να γράψουμε (M X n (ω) p )) 1/p = (M X n (ω) X(ω) + X(ω) p )) 1/p 14

15 (M X n (ω) X(ω) p )) 1/p + (M X(ω) p )) 1/p. Γυρίζοντας σε ανώτατο όριο, για n παίρνουμε lim (M X n (ω) p )) 1/p (M X(ω) p )) 1/p. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιώντας τη συνέχεια και τη μονοτονία λειτουργία ισχύος, έχουμε lim M X n (ω) p ) M X(ω) p ). () Από την άλλη, υποστηρίζοντας παρόμοια, από την ανισότητα (M X(ω) p )) 1/p (M X(ω) X n (ω) p )) 1/p + (M X n (ω) p )) 1/ σελ. λαμβάνουμε M X(ω) p ) lim M X n (ω) p ). Συνδυάζοντας τις ανισότητες () και (), παίρνουμε τη λύση του προβλήματός μας. Θεώρημα. Αν στο n (). M X n (ω) X(ω) p ) 0, τότε για οποιοδήποτε q (0, p) M X n (ω) X(ω) q ) 0. Απόδειξη. Αρκεί να περάσει στο όριο στο n σε Α.Μ. Lyapunov (βλ.< q p. При p = 2 и q = 1 доказательство теоремы можно получить с помощью следующего варианта неравенства Коши-Буняковского M X n (ω) X(ω) } = M X n (ω) X(ω) 1} (M X n (ω) X(ω) 2}) 1/2 (M 1 2 }) 1/2 = (M Xn (ω) X(ω) 2}) 1/2. Пространство L p Ω, A, } Рассмотрим пространство L p Ω, A, } - т.е. множество всех случайных величин X(ω), определенных на Ω, измеримых относительно σ алгебры A и таких, что M X n (ω) p } = X n (ω) p d <. Ω Это пространство вполне аналогично известному из курса функционального анализа линейному пространству L p [ 0,1], которое состоит из всех функций y = f(x) определенных на отрезке [ 0, 1], измеримых по Лебегу и интегрируемых с показателем p по мере Лебега 1 0 f(x) p dx <. 15

16 Χωρίς να δίνουμε λεπτομερείς αποδείξεις, διατυπώνουμε αρκετές προτάσεις που σχετίζονται με το διάστημα L p Ω, A, ), οι οποίες είναι παρόμοιες με τις αντίστοιχες προτάσεις για το διάστημα L p . Η συνάρτηση X(ω) p:= (M X(ω) p )) 1/p ορίζει τον κανόνα στο χώρο των τυχαίων μεταβλητών 8 L p Ω, A, ) : 1 X(ω) p 0, 2 c X( ω) p = c X(ω) p, c = const, 3 X(ω) + Y (ω) p X(ω) p + Y (ω) p, (ανισότητα Μινκόφσκι). Σημειώστε ότι η γραμμικότητα του συνόλου L p Ω, A, ) προκύπτει αμέσως από τις ιδιότητες του κανόνα. Επιπλέον, ως προς τη σύγκλιση στον κανόνα 9 X n (ω) X(ω) p 0, ο χώρος L p Ω, A, ) είναι πλήρης. Στην περίπτωσή μας, ο ορισμός της πληρότητας είναι ο ακόλουθος: εάν μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών είναι θεμελιώδης στον κανόνα X n (ω)) L p Ω, A, ) X n (ω) X m (ω) p 0, για n, m, τότε υπάρχει μια τυχαία μεταβλητή X (ω) L p Ω, A, ) τέτοια ώστε X n (ω) X(ω) p 0, για n. Άρα, το L p Ω, A, ) είναι ένας πλήρης γραμμικός κανόνας χώρος, δηλ. Χώρος Banach. Για p = 2, ο χώρος L 2 Ω, A, ) είναι ένας χώρος Hilbert με βαθμωτό γινόμενο 10: X(ω), Y (ω) := MX n (ω)y (ω)) = X n (ω) y (ω) d. Για το έτσι εισαγόμενο προϊόν με κουκκίδεςτυχαίες μεταβλητές πραγματικής αξίας, η ανισότητα Minkowski X(ω), Y (ω) X(ω) 2 + Y (ω) 2. Σύγκλιση στην κατανομή και ασθενής σύγκλιση 8 .to. εξ ορισμού της νόρμας X(ω) p = 0 X(ω) 0. 9 Δηλ. σύγκλιση κατά μέσο όρο με p. 10 Έχουμε να κάνουμε με τυχαίες μεταβλητές πραγματικής αξίας, επομένως το σύμβολο σύνθετης σύζευξης στον δεύτερο παράγοντα μπορεί να παραλειφθεί. Ω 16

17 Ας εισαγάγουμε τον συμβολισμό για τις συναρτήσεις κατανομής των τυχαίων μεταβλητών X n (ω) και X(ω) : Επιπλέον, μέσω C F F (x) : F n (x) = ω : X n (ω) x), F (x) = ω : X(ω) x). συμβολίζουμε το σύνολο των σημείων συνέχειας της συνάρτησης C F:= x R: lim x x F (x) = F (x)). Ορισμός 4. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών X n (ω)) λέγεται ότι συγκλίνει κατά την κατανομή σε μια τυχαία μεταβλητή X(ω) εάν για n F n (x) F (x) σε κάθε σημείο x C F. (11) d Σημείωση: X n (ω) X(ω). Ορισμός 5. Αν για n F n (x) F (x), σε κάθε σημείο x C F, (12) τότε λέμε ότι η ακολουθία των συναρτήσεων κατανομής F n (x)) συγκλίνει ασθενώς 11 στη συνάρτηση κατανομής F (x ). w Ονομασία: F n (x) F (x). Σχόλιο. Εάν η συνάρτηση κατανομής F (x) είναι συνεχής σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα (CF = (,)), τότε οι σχέσεις (11) και (12) είναι σημειακή σύγκλιση. Επιπλέον, μπορεί να φανεί 12 ότι στην περίπτωση αυτή η σύγκλιση F n (x) F (x) είναι ομοιόμορφη σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα. w Σημείωση. Αν F n (x) F (x), τότε για x / C F οι ανισώσεις 13 F (x) lim F n (x)< lim F n (x) F (x). Пример. Рассмотрим последовательность функций распределения 0, когда x (, 1/n); n F n (x) = x + 1, когда x [ 1/n, 1/n]; 2 2 1, когда x (1/n,), графики которых имеют вид F n (x) 1 1/2 1/n 0 1/n 11 Иногда слабую сходимость называют "сходимостью в основном". 12 См. задачу См. задачу 5. x 17

18 Είναι εύκολο να δούμε ότι για κάθε x (,) lim F n(x) = F (x) = Η γραφική παράσταση της συνάρτησης F (x) έχει τη μορφή F (x) 0 όταν x (, 0); 1/2 όταν x = 0; 1 όταν x(0,). 1 1/2 0 Εφόσον η οριακή συνάρτηση F (x) δεν είναι σωστή συνεχής, δεν μπορεί να είναι συνάρτηση κατανομής. Επειδή όμως ο ορισμός 5 της ασθενής σύγκλισης ασχολείται με τη σύγκλιση προς συναρτήσεις διανομής, σε αυτό το παράδειγμα δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι F n (x) F (x). Ωστόσο, μετά από μια μικρή αλλαγή στην οριακή συνάρτηση F (x), μπορεί κανείς να αποκτήσει τη συνάρτηση κατανομής F (x), στην οποία οι συναρτήσεις F n (x) θα συγκλίνουν ασθενώς. Πράγματι, θεωρήστε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X(ω) 0: 0 όταν x (, 0); F(x) = 1 όταν x ; A = B() είναι η άλγεβρα Borel σ του διαστήματος ; Μέτρο Lebesgue. Να συμβολίσετε με Φ 1 () τη συνάρτηση αντίστροφη της τυπικής κατανομής Gauss. Έστω τότε Φ(x) = 1 2π x exp) (u2 du. 2 X 2k (ω) = Φ 1 (ω), X 2k 1 (ω) = Φ 1 (ω), ω ;k = 1, 2,.... ω : X n (ω) x) Φ(x), για όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς n. Επομένως, η ακολουθία X n ) (τετριμμένα) συγκλίνει στην κατανομή. Ωστόσο, είναι εύκολο να δούμε ότι δεν υπάρχει σύγκλιση στις πιθανότητες. Πράγματι, αφού X 2k (ω) X 2m 1 (ω) 2 Φ 1 (ω), για οποιαδήποτε k, m. τότε ω : X 2k (ω) X 2m 1 (ω) > ε) ω : Φ 1 (ω) > ε ) [ (ε = 2 1 Φ. 2 2)] Τώρα εξετάζουμε την πρόταση, η οποία είναι στην πραγματικότητα η δεύτερη εκδοχή του ορισμού ασθενής σύγκλιση. Αυτή η παραλλαγή είναι πιο κατάλληλη για τον προσδιορισμό της ασθενούς σύγκλισης των συναρτήσεων πολυμεταβλητής κατανομής και ακόμη και για τον προσδιορισμό 20

21 ασθενής σύγκλιση κατανομών σε πιο σύνθετους μετρικούς χώρους απεριόριστων διαστάσεων. Θεώρημα 6. Για να συγκλίνει η ακολουθία των συναρτήσεων κατανομής F n (x)) ασθενώς προς τη συνάρτηση κατανομής F (x), είναι απαραίτητο και αρκετό η ισότητα lim φ(x) df n (x) = ϕ(x) df (x) (15) για οποιαδήποτε συνεχή και οριοθετημένη συνάρτηση ϕ(x) στον πραγματικό άξονα R. Απόδειξη. Ας δείξουμε πρώτα ότι η ασθενής σύγκλιση (12) συνεπάγεται ισότητα 14 (15). Για κάθε ε > 0, υπάρχει ένα θετικό A(ε) C F τέτοιο ώστε, από τις ιδιότητες της συνάρτησης κατανομής 15 x: x > A(ε)) df (x) = 1 A(ε) A(ε ) df (x) = 1< ε, (16) и, кроме того, найдется натуральное N(ε, A(ε)) такое, что при всех n >N(ε, A(ε)) n F n (A(ε))< ε, F n (A(ε)) F (A(ε)) < ε. Тогда при всех n >N(ε, A(ε)) x: x > A(ε)) df n (x)< 3ε. (17) Пусть ϕ(x) - непрерывная и ограниченная на вещественной оси R функция. Будем считать, что для всех действительных x ϕ(x) C = const. В силу существования интеграла Римана - Стилтьеса от непрерывной функции по интегрирующей функции распределения, а также из определения этого интеграла как предела интегральных сумм 16 следует, что для любого ε >0, υπάρχει δ > 0 έτσι ώστε για οποιοδήποτε διαμέρισμα του τμήματος [ A(ε), A(ε)] του οποίου η διάμετρος είναι μικρότερη από δ > 0, οι ανισώσεις A(ε) A(ε) ϕ(x) df (x) S n (δ)< ε, A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) S(δ) < ε. (18) где k 1 k 1 S n (δ) = ϕ(t i) i F n (x), S(δ) = ϕ(t i) i F (x). i=0 i=0 14 Импликация (12) = (15) носит название теоремы Хелли-Брея. 15 Множество точек непрерывности функции распределения всюду плотно на вещественной оси. 16 см. Рудин У. "Основы математического анализа стр

22 Πάρτε ένα διαμέρισμα του τμήματος [ A(ε), A(ε)] [ A(ε), A(ε)] = A(ε) = x 0< x 1 <... < x k = A(ε)}, считая что все точки деления x i C F, а диаметр разбиения меньше δ. Кроме того, для ε >0 για ένα επιλεγμένο k (ο αριθμός των σημείων διαμερίσματος), θα θεωρήσουμε τον προηγουμένως επιλεγμένο αριθμό N(ε, A(ε)) τόσο μεγάλο ώστε για όλα τα n > N(ε, A(ε)) F n (x i) F (x i)< ε, i = 0, k. k Тогда Поэтому i F n (x i) i F (x i) = F n (x i+1) F n (x i) F (x i+1) + F (x i) F n (x i+1) F (x i+1) + F n (x i) F (x i) < 2 ε, i = 0, k. k S n (δ) S(δ) k 1 ϕ(t i) i F n (x i) i F (x i) C k 2 ε k i=0 = 2 Cε. (19) Тогда из неравенств (18) и (19) получим A(ε) ϕ(x) df (x) A(ε) A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) < 2 ε + 2 C ε. (20) В свою очередь из неравенства (16) и (17) будем иметь ϕ(x) df (x) ϕ(x) df n (x) x: x >A(ε)) x: x > A(ε))< 4 C ε. (21) Собирая вместе неравенства (20) и (21), можно утверждать, что для любого ε >0, υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N(ε, A(ε)) έτσι ώστε για όλα τα n > N(ε, A(ε)) η ανισότητα ϕ(x) df (x) ϕ(x) df n (x)< 6 C ε + 2 ε. Равенство (15) доказано. Покажем теперь, что из равенства (15) следует слабая сходимость (12). Возьмем x 0 C F и рассмотрим две вспомогательные функции. Функция f ε (1) (x) непрерывна на всей числовой оси, равна единице при x x 0 ε, нулю при x x 0 и линейна на отрезке . Функция f ε (2) (x) := f ε (1) (x ε). Графики этих функций изображены на рис.? 22

23 1 0 f (1) ε f ε (2) x 0 ε x 0 x 0 + ε Εικ.; x Είναι εύκολο να δούμε ότι F n (x 0) = x 0 f ε (2) (x) df n (x) Χρησιμοποιώντας τη συνθήκη (15), περνάμε στο όριο στο n, f ε (2) (x ) df n ( x). lim F n (x 0) f (2) ε (x) df (x) = x 0 + ε f (2) ε (x) df (x) + x 0 + ε f ε (2) (x) df (x) x 0 + ε 1 df (x) + 0 = F (x 0 + ε). Υποστηρίζοντας παρόμοια, θα έχουμε F n (x 0) = Επομένως, για n = x 0 ε x 0 1 df n (x) x 0 lim F n (x 0) f (1) ε (x) df (x) + x 0 ε x 0 x 0 ε f (1) ε (x) df n (x) = f (1) ε (x) df (x) = f ε (1) (x) df n (x). f ε (1) (x) df (x) + f ε (1) (x) df (x) x 0 1 df (x) + 0 = F (x 0 ε). Έτσι, έχουμε λάβει την ανισότητα F (x 0 ε) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0 + ε). 23

24 Περνώντας στο όριο αυτής της ανισότητας στο ε 0, λαμβάνοντας υπόψη ότι x 0 C F F (x 0) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0). Έτσι, για οποιοδήποτε x 0 C F lim F n(x 0) = F (x 0). Αποδεικνύεται η ισότητα (12), και μαζί της το θεώρημα. Παρατήρηση για τα ολοκληρώματα Riemann-Stieltjes και Lebesgue-Stieltjes. Σημειώστε ότι το ολοκλήρωμα Riemann-Stieltjes I (, x0 ](x) df n (x) = lim N L, N L I (, x0 ](x) df n (x) δεν υπάρχει εάν η συνάρτηση κατανομής F n (x) έχει μια ασυνέχεια στο σημείο x 0. Η τυπική απόδειξη αυτού του γεγονότος είναι η εξής: Λαμβάνοντας υπόψη τα αθροίσματα Riemann-Stieltjes για το ολοκλήρωμα N L I (, x0 ](x) df n (x), x 0 (L, N) () , είναι εύκολο να ληφθεί η ισότητα S = n 1 I (, x0 ](ξ i) = I (, x0 ](ξ i0), i=0 όπου τα σημεία x 0, ξ i0 είναι εσωτερικά σημείαμερικό τμήμα 17 : Τότε Αφού S = x 0, ξ i0 (x i0, x i0 +1). Fn (x i0 +1) F n (x i0), όταν επιλέγετε ξ i0< x 0, 0, при выборе ξ i0 >x 0. F n (x i0 +1) F n (x i0) > 0, τότε τέτοια ολοκληρωτικά αθροίσματα δεν μπορούν να έχουν όριο καθώς η διάμετρος του διαμερίσματος τείνει στο μηδέν. Επομένως, το ολοκλήρωμα () δεν υπάρχει με την έννοια του Riemann-Stieltjes και, αυστηρά μιλώντας, η ανισότητα (21) δεν μπορεί να ληφθεί με την ολοκλήρωση (σύμφωνα με τους Riemann-Stieltjes) της ανισότητας (20). Ωστόσο, η ανισότητα (21) μπορεί επίσης να ληφθεί χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα Riemann-Stieltjes. Πράγματι, εφόσον η συνάρτηση f ε (1) (x) είναι συνεχής, υπάρχει το ολοκλήρωμα Riemann-Stieltjes f ε (1) (x) df n (x), 17 Διαμερίσματα ενός τμήματος με αυτήν την ιδιότητα μπορεί να έχουν αυθαίρετα μικρό διάμετρος. 24

25 και f (1) ε (x) df n (x) = Αφού για όλα τα x (, x 0 ] τότε x 0 f ε (1) (x) df n (x) x 0 x 0 ότι η f (1) ε (x) = 0 για x x 0 Ομοίως, f (2) ε (x) df n (x) = x 0 f ε (1) (x) df n (x) + f ε ( 1) (x) df n (x).x 0 f (1) ε (x) 1, 1 df n (x) = F n (x 0) F n () = F n (x 0).f ε (1) (x) df n (x) = 0. x 0 f (2) ε (x) df n (x) + x 0 +ε Είναι εύκολο να δούμε ότι, από τις ιδιότητες της συνάρτησης f ε (2) (x) x 0 Επομένως f (2) ε (x) df n (x) = F n (x 0)· x 0 + ε f ε (2) (x) df n (x) + x 0 f ε (2) (x ) df n (x) 0;x 0 f (2) ε (x) df n (x) F n (x 0).x 0 + ε x 0 + ε f ε (2) (x) df n (x) f (2) ε (x) df n (x) = 0. Αν θεωρήσουμε το ολοκλήρωμα () ως ολοκλήρωμα Lebesgue-Stieltjes για x 0 (L, N), τότε, αφού ο δείκτης I (, x0 ]( x ) είναι μια απλή συνάρτηση, με τον ορισμό του ολοκληρώματος Lebesgue-Stieltjes θα έχουμε N I (, x0 ](x) df n (x) = 1 (F n (x 0) F n (L)). , L I ( , x0 ](x) df n (x) = F n (x 0) Δίνουμε μια νέα διατύπωση του Θεωρήματος 6. Για να γίνει αυτό, συμβολίζουμε με C(R) τον χώρο συνεχούς συναρτήσεις που οριοθετούνται στον πραγματικό άξονα. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας μια αυθαίρετη συνάρτηση κατανομής G(x), ορίζουμε στον χώρο C(R) τη γραμμική συνάρτηση G(ϕ) := ϕ(x) dg(x), 25 ϕ(x) C(R)

26 Χρησιμοποιώντας νέα σημειογραφία, το Θεώρημα 6 μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής. w Θεώρημα 6. Ασθενής σύγκλιση F n (x) F (x) είναι ισοδύναμη με τη σύγκλιση γραμμικών συναρτήσεων F n (φ) F (ϕ) στο διάστημα C(R). Μέτρηση ασθενής σύγκλισης. Metric P. Levy. Για ένα ζευγάρι αυθαίρετες λειτουργίεςκατανομές F (x) και G(x) στην πραγματική ευθεία, θεωρήστε τη συνάρτηση L(F, G) = inf h > 0: F (x h) h G(x) F (x + h) + h), ( ) που φέρει το όνομα της απόστασης P. Levy μεταξύ των κατανομών F και G. Θεώρημα 7. Η συνάρτηση L(,) ορίζει μια μετρική στο σύνολο των συναρτήσεων κατανομής στην πραγματική γραμμή. Η σύγκλιση σε αυτή τη μέτρηση είναι ισοδύναμη με ασθενή σύγκλιση w F n (x) F (x) L(F n, F) 0, (n). Απόδειξη. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. d Πρόβλημα 1. Αν X n X c = const, τότε X n Λύση. Συνάρτηση κατανομής σταθεράς c X. F (x) = ω : X(ω) x) = 1 για x c, 0 για x< c непрерывна во всех точках вещественной оси, кроме точки x = c. Поэтому в этой задаче слабая сходимость означает следующее 1 для x >c, lim F n(x) = 0 για x< c. Для любого ε >0 ω : X n (ω) c > ε) = ω : X n (ω)< c ε} + ω : X n (ω) >γ+ε). Χρησιμοποιώντας προφανείς σχέσεις, παίρνουμε την ανισότητα ω : X n (ω)< c ε} ω : X n (ω) c ε} = F n (c ε), ω : X n (ω) >c + ε) = 1 ω : X n (ω) c + ε) = 1 F n (c + ε), ω : X n (ω) c > ε) F n (c ε) + 1 F n (c + ε). Περνώντας στο όριο αυτής της ανισότητας, για n λαμβάνουμε μια λύση στο πρόβλημα. d d Πρόβλημα 2. Αν X n (ω) X(ω), και Y n (ω) 0, τότε X n (ω) + Y n (ω) X(ω). 26

27 Απόφαση. Έστω F (x) := ω : X(ω) x). Επιλέγοντας ε > 0 έτσι ώστε x, x ε, x+ε C F είναι εύκολο να καθοριστούν τα εγκλείσματα ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) ω : Y n ( ω) > ε), Τότε ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : Y n (ω) > ε). ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) + ω : Y n (ω) > ε), ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) + ω : Y n (ω) > ε). Επομένως, δηλώνοντας F n (x) := ω : X n (ω) x), έχουμε F n (x ε) ω : Y n (ω) > ε) ω : X n (ω)+y n (ω) x) F n (x+ε)+ω : Y n (ω) > ε). Περνώντας σε αυτή την ανισότητα στο όριο στο n, λαμβάνοντας υπόψη ότι x ε, x+ε C F, λαμβάνουμε τη σχέση F (x ε) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x + ε). Τώρα περνάμε στο όριο, τείνοντας ε 0: F (x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x) ). Εξ ου και lim ω : X n(ω) + Y n (ω) x) = F (x). Πρόβλημα 3. Εάν μια ακολουθία συναρτήσεων κατανομής F n (x)) συγκλίνει ασθενώς σε μια συνάρτηση κατανομής F (x) που είναι συνεχής σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα, τότε αυτή η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα: F n (x) w F (x), και F (x) C (,) F n (x) F (x) στο R. Λύση. Για αυθαίρετο ε > 0, πάρτε έναν φυσικό αριθμό m > 1/ε. Εφόσον η συνάρτηση F (x) είναι συνεχής, υπάρχουν σημεία x 1<... < x m 1 такие, что F (x i) = i, i = 1,..., m 1. (!) m Ввиду слабой сходимости, в этих точках для всех n, начиная с некоторого, будут выполнены неравенства F n (x i) F (x i) < ε, i = 1,..., m 1. (!!) В силу неубывания функций распределения, а также свойств (!!) и (!) получаем следующие неравенства: при x [ x i, x i+1 ], (i = 1,..., m 2) F n (x) F (x) F n (x i+1) F (x i) F (x i+1) + ε F (x i) = 1 m + ε < 2ε. Аналогично, при x (, x 1 ] F n (x) F (x) F n (x 1) F (x 1) + ε = 1 m + ε < 2ε, 27

28 και για x [ x 1, x 2 ]... [ x m 2, x m 1 ] = F (x 0) F (x 0 1/m). lim X n = x 0 ) lim = 0. m Πρόβλημα 7. Εάν μια ακολουθία συναρτήσεων κατανομής F n (x)) συγκλίνει σε μια συνάρτηση κατανομής F (x) για όλα τα x από κάποιο σύνολο παντού πυκνό στην πραγματική γραμμή, τότε w F n (x)F(x). Λύση. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να αποδείξουμε ότι lim F n(x) = F (x) για όλα τα x C F. () Έστω x C F, τότε για κάθε ε > 0 υπάρχει δ 1 (ε) > 0 έτσι ώστε μόλις x S(x, δ 1 (ε)) x: x x< δ 1 (ε)}, то F (x) F (x) < ε. () Рассмотрим всюду плотное на вещественной прямой множество A такое, что lim F n(x) = F (x) для всех x A. () Tогда существует пара точек x, x A таких, что x δ 1 (ε) < x < x, x < x < x + δ 1 (ε). Так как для точек x, x выполняется свойство (), то для любого ε >0, υπάρχει N ε N έτσι ώστε μόλις n > N ε, τότε F n (x) F (x)< ε и F n (x) F (x) < ε. Следовательно, ввиду (), как только n >N ε, μετά F n (x) F (x)< 2ε и F n (x) F (x) < 2ε. 31

32 Επομένως, εν όψει της μονοτονίας της συνάρτησης F n (x), για όλα τα n > N ε λαμβάνουμε την ανισότητα F n (x) F n (x) F n (x), F n (x) F ( Χ)< 2ε. Cходимость () доказана. Замечание. Так как множество точек разрыва функции распределения (ввиду монотонности) является не более чем счетным, то множество её точек непрерывности является всюду плотным на вещественной оси. 32

ΔΙΑΛΕΞΗ 3Α (4) Το θεώρημα του Ραδονίου Νικοδήμ Αυτό το μάθημα θα αφιερωθεί στην απόδειξη του θεωρήματος του Ραδονίου Νικοδίμ. Θα το χρειαστούμε για να αποδείξουμε τον ισομορφισμό των χώρων L p (Ω) και (L q (Ω)) *, όπου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 5 ΠΕΡΑΣΜΑ ΣΤΟ ΟΡΙΟ ΥΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΥ LEBEGH I. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ Τ Η Ο Ρ Ε Μ

ΤΡΩΩ. ΟΡΓΑΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗ ΣΕΙΡΑ NOVOSIBIRSK 200 2 ΡΩΣΙΚΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ SEI HPE «NOVOSIBIRSK STATE PEDAGGOGICAL UNIVERSITY» E.M. Rudoy ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ.

Διάλεξη 1 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ LEBESCUE MEASURE FROM R 2. 1. Η ανάγκη επέκτασης της έννοιας ενός ολοκληρώματος. Ας συζητήσουμε πρώτα την κατασκευή του ολοκληρώματος Riemann. Έστω η συνάρτηση f(x) να οριστεί στο δικό της τμήμα. Ας ορίσουμε ένα διαμέρισμα

5. Θεωρία μετρήσεων, διάλεξη 5: μετρήσιμες συναρτήσεις Οι έννοιες του μέτρου και του ολοκληρωτικού είναι πολύ κοντά. Το μέτρο ενός συνόλου είναι το ολοκλήρωμα της χαρακτηριστικής του συνάρτησης. Αντίστροφα, αν δίνεται ένα μέτρο σε ένα διάστημα, μπορούμε να πούμε

Έγκυρη ανάλυση. Διάλεξη 4. 25 Φεβρουαρίου 2009 1 Πραγματική ανάλυση. IV εξάμηνο. έτος 2009. Λέκτορας Skvortsov V. A. Γράψτε για λάθη στο [email προστατευμένο]Διάλεξη 4 25 Φεβρουαρίου 2009 Ο Lebesgue όρισε την τάξη

Τελευταία ενημέρωση: 16 Μαρτίου 2008 Λίστα ορισμών: 1.1 Μη επικαλυπτόμενα τμήματα .................................. ............. 2 1.2 Σύστημα μη επικαλυπτόμενων τμημάτων ............................ .............

V.V. Zhuk, Α.Μ. Καμάτσκιν 1 Power σειρά. Ακτίνα σύγκλισης και διάστημα σύγκλισης. Η φύση της σύγκλισης. Ένταξη και διαφοροποίηση. 1.1 Ακτίνα σύγκλισης και διάστημα σύγκλισης. Λειτουργικό εύρος

ΔΙΑΛΕΞΗ 4Α Μετρικοί χώροι 1. Οι απλούστερες (και πιο σημαντικές) ιδιότητες των μετρικών χώρων 1) Συνέχεια απόστασης. Είναι εύκολο να δούμε ότι η συνάρτηση "απόστασης" ρ(x, y) είναι συνεχής σε καθένα από τα ορίσματα.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΑΣ εκπαιδευτικό ίδρυμαπιο ψηλά επαγγελματική εκπαίδευση«Εθνικό Κράτος Έρευνας του Νοβοσιμπίρσκ

Διάλεξη 1 Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας και οι πεπερασμένες διαστάσεις της κατανομές Η θεωρία των τυχαίων διεργασιών είναι μέρος της θεωρίας των πιθανοτήτων. Η ιδιαιτερότητα της θεωρίας των τυχαίων διεργασιών είναι ότι εξετάζει

Λίστα προβλημάτων με λύσεις στη συναρτησιακή ανάλυση Έστω ένας γραμμικός νόρμας χώρος Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε στοιχεία η ανισότητα από τα αξιώματα της νόρμας

Διάλεξη 6 9 Η αρχή των αντιστοιχίσεων συστολής Θεωρήματα σχετικά σταθερό σημείοΈστω D ένας τελεστής, γενικά, μη γραμμικός, που ενεργεί από έναν χώρο Banach B στον εαυτό του. Ορισμός Ο τελεστής D, που ενεργεί από έναν χώρο Banach

Θέμα 2 Πληρότητα, συμπαγές, εσωτερικές μετρήσεις. 2.1 Σύγκλιση και πληρότητα Ορισμός 2.1. Μια ακολουθία σημείων x 1, x 2,... ενός μετρικού χώρου (X, d) ονομάζεται θεμελιώδης εάν για οποιοδήποτε

ΔΙΑΛΕΞΗ A Το ολοκλήρωμα Riemann-Stieltjes 1. Έστω f n (x) C[; b], g(x) BV[; b], f n (x) f(x) στο [; σι]. Τότε Πράγματι, δυνάμει της εκτίμησης f n (x)dg(x) f(x)dg(x). F (x)dg(x) F C[;b]V b (g) (1) και ιδιότητες γραμμικότητας

Συμπληρωματική Διάλεξη 1 ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1. Οι απλούστερες ιδιότητες των μετρικών χώρων Ιδιότητα 1. Συνέχεια απόστασης. Είναι εύκολο να δούμε ότι η συνάρτηση «απόστασης» ρ(x, y) είναι συνεχής

G. N. Yakovlev Λειτουργικοί χώροι σύντομη εισαγωγήστη θεωρία των μετρικών, κανονικών και ευκλείδειων χώρων, καθώς και στη θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων, και είναι το τελικό

Κεφάλαιο 1. Όρια και συνέχεια 1. Αριθμητικά σύνολα 1 0. Πραγματικοί αριθμοίΑπό σχολικά μαθηματικάΓνωρίζετε φυσικούς N ακέραιους Z ρητούς Q και πραγματικούς R αριθμούς Φυσικούς και ακέραιους αριθμούς

Όρια και συνέχεια. Όριο συνάρτησης Έστω η συνάρτηση = f) να οριστεί σε κάποια γειτονιά του σημείου = α. Ταυτόχρονα, στο σημείο α, η συνάρτηση δεν ορίζεται απαραίτητα. Ορισμός. Ο αριθμός b ονομάζεται όριο

Διάλεξη 1. Φωτιστικά χώρου πιθανοτήτων). τυχαία πειράματα. Χώρος

8 Μιγαδικές σειρές αριθμών Θεωρήστε μια σειρά αριθμών με μιγαδικοί αριθμοίτης μορφής k a, (46) όπου το (a k) είναι το δεδομένο αριθμητική ακολουθίαμε μιγαδικούς όρους k Η σειρά (46) ονομάζεται συγκλίνουσα αν

Μόσχα Κρατικό ΠανεπιστήμιοΤο όνομά του από τον M.V. Lomonosov, Τμήμα Υπολογιστικών Μαθηματικών και Κυβερνητικής Γενικά Μαθηματικά Tasks in functional analysis (V εξάμηνο) Λέκτορας Αναπληρωτής Καθηγητής N. Yu.

Διάλεξη A. Yu. Pirkovsky Λειτουργική Ανάλυση 4 4.1. Χώροι Banach Θυμηθείτε ότι μια ακολουθία (x n) σε ένα μετρικό διάστημα (, ρ) ονομάζεται θεμελιώδης ακολουθία (ή ακολουθία Cauchy),

ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ 8 9 Θεώρημα Hille Yosida S 3. Ορισμός και στοιχειώδεις ιδιότητεςτων μέγιστων μονότονων τελεστών Σε όλες αυτές τις δύο διαλέξεις, το σύμβολο H υποδηλώνει έναν χώρο Hilbert με βαθμωτό

V.V. Zhuk, Α.Μ. Kamachkin 5 Λειτουργικές ακολουθίες και σειρές. Ομοιόμορφη σύγκλιση, δυνατότητα μετάθεσης μεταπτώσεων ορίων, ολοκλήρωση και διαφοροποίηση σειρών και ακολουθιών.

Κεφάλαιο 28 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 28.1. Διαστήματα Δ, Δ βασικών και γενικευμένων συναρτήσεων Η έννοια της γενικευμένης συνάρτησης γενικεύει κλασική έννοιαλειτουργεί και καθιστά δυνατή την έκφραση σε μαθηματική μορφήτέτοιος

21. Συμπυκνότητα Η συμπαγής είναι εξαιρετικά σημαντική τεχνική έννοιατοπολογία και ανάλυση. Ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό. Ορισμός 21.1. Ένας τοπολογικός χώρος Χ λέγεται συμπαγής εάν έχει

ομοσπονδιακή υπηρεσίααπό εκπαίδευση Ομοσπονδιακό Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης ΝΟΤΙΟ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Μεθοδολογική

1. Ορισμός και βασικές ιδιότητεςΟλοκληρωμένο Riemann Ορισμός διαμερίσματος Ένα διαμέρισμα ενός τμήματος [, b] είναι ένα σύνολο σημείων = x 1< x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ 7 ΠΛΗΡΕΣ ΚΑΙ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ ΣΕ ΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ Ορισμός. Έστω X μια αντιστοίχιση: X X R που βάζει κάθε ζεύγος (x y) X X σε

Σεμινάριο Διάλεξη 3 ΑΠΟΛΥΤΑ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Ορισμοί και ιδιότητες Θυμηθείτε τον ορισμό που δόθηκε στη διάλεξη. Ορισμός 1. Η συνάρτηση f(x) ονομάζεται απολύτως συνεχής στο τμήμα [; β] αν για

Θεωρία μετρήσεων, διάλεξη 4: Μέτρο Lebesgue Mischa Verbitsky 14 Μαρτίου 2015 NMU 1 Δακτύλιοι Boole (ανασκόπηση) ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένας Boolean δακτύλιος είναι ένας δακτύλιος του οποίου όλα τα στοιχεία είναι αδύναμα. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Σε δακτύλιο boolean

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σε αυτό το κεφάλαιο, μελετάμε τη σταθερότητα του απλή τάξη διαφορικά συστήματα γραμμικά συστήματαΕιδικότερα, διαπιστώνεται ότι για γραμμικά συστήματα με σταθερές

ΘΕΜΑ V ΣΕΙΡΑ FOURIER ΔΙΑΛΕΞΗ 6 Αποσύνθεση περιοδική λειτουργίαστη σειρά Fourier Πολλές διεργασίες που συμβαίνουν στη φύση και την τεχνολογία έχουν τις ιδιότητες να επαναλαμβάνονται σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα Τέτοιες διεργασίες

Συναρτήσεις συνεχείς σε ένα τμήμα (θεωρήματα Bolzano-Cauchy, Weierstrass, Kantor). Οι συναρτήσεις είναι συνεχείς σε ένα συμπαγές σύνολο.. Θεώρημα για ενδιάμεσες τιμές Θεώρημα. (Bolzano-Cauchy) Έστω η συνάρτηση f συνεχής

ΟΡΙΣΤΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ. Ολοκληρωτικά αθροίσματα και οριστικό ολοκλήρωμαΈστω μια συνάρτηση y = f () που ορίζεται στο τμήμα [, b ], όπου< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας που πήρε το όνομά του από τον MV Lomonosov Χημική σχολήΟδηγός προετοιμασίας για τις εξετάσεις μαθηματική ανάλυσηγια γενικούς φοιτητές Τρίτο εξάμηνο Σειρά αριθμώνΔιαφορικός

ΔΙΑΛΕΞΗ 4Α Μετρικοί χώροι 1 1. Παραδείγματα και αντιπαραδείγματα

Διάλεξη 5 ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. 1. Ορισμός τοπολογικού χώρου Ορισμός 1. Ένα αυθαίρετο σύνολο Χ με διακεκριμένο σύστημα υποσυνόλων τ του συνόλου Χ ονομάζεται τοπολογικός χώρος

Διάλεξη A. Yu. Pirkovsky Λειτουργική Ανάλυση 23 23.1. Συμπαγείς τελεστές σε χώρο Hilbert Γνωρίζουμε ήδη πολλά για τους συμπαγείς τελεστές σε χώρους Banach (βλ. Διαλέξεις 18

2. Πτυχίο γ ορθολογικός δείκτης; εκθετικός Εκτός από όσα ειπώθηκαν στην προηγούμενη διάλεξη, δείχνουμε επίσης πώς η έννοια του ορίου μπορεί να αναχθεί στην έννοια της συνέχειας. Δηλαδή το εξής προφανές

V.V. Zhuk, Α.Μ. Kamachkin 7 Hilbert space. Ορισμός. Οι απλούστερες ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος. Κύριο θεώρημα. Σειρά Fourier στον χώρο Hilbert. 7.1 Ορισμός χώρου Hilbert.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το εγχειρίδιο αποτελεί συνέχεια του . Βασίζεται σε γνωστά διδακτικά βοηθήματαστη μαθηματική ανάλυση [6]. Βασίζεται στις διαλέξεις του V. V. Zhuk, οι οποίες διαβάστηκαν επανειλημμένα

13. Εκθέτης και λογάριθμος Για να ολοκληρώσουμε την απόδειξη της Πρότασης 12.8, μένει να δώσουμε έναν ορισμό και να αποδείξουμε μία πρόταση. Ορισμός 13.1. Μια σειρά a i ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα αν

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν Ιδιότητες απειροελάχιστων και απείρως μεγάλων συναρτήσεων Αξιοσημείωτα όριαΣυνέχεια συναρτήσεων Ιδιότητες απειροελάχιστων Κριτήρια ύπαρξης ορίου 3Ιδιότητες απειροελάχιστων 4Πρώτο

S. S. Platonov Elements αρμονική ανάλυσηΜέρος I. Σειρά Fourier f(x) = n= c n e inx Petrozavodsk 2010 Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα ανώτερων επαγγελματιών

Kolodiy A.M., Kolodiy N.A. Διαλέξεις για τη θεωρία των πιθανοτήτων για φοιτητές της ειδικότητας «Μαθηματική υποστήριξη και διοίκηση» πληροφοριακά συστήματα"τέσσερις. Οριακά θεωρήματα 4.. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών.

ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ EA Baklanov MMF NSU, 2012 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ανισώσεις πιθανοτήτων 1. Εκθετικές ανισώσεις. Σε όλη αυτή την ενότητα, τα X 1,..., X n είναι ανεξάρτητα τυχαία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θέμα: Όριο και συνέχεια συνάρτησης Διάλεξη 7 Όριο συνάρτησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ: Όριο συνάρτησης σε σημείο Όριο συνάρτησης στο άπειρο Βασικά θεωρήματα για τα όρια συναρτήσεων Άπειρο