Kuidas arvutada sündmuse tõenäosust. Mängu tasakaalu alused: juhuslikkus ja erinevate sündmuste toimumise tõenäosus

Majanduses, nagu ka muudes valdkondades inimtegevus või looduses peame pidevalt tegelema sündmustega, mida pole võimalik täpselt ennustada. Seega sõltub toote müügimaht nõudlusest, mis võib oluliselt erineda, ja mitmetest muudest teguritest, mida on peaaegu võimatu arvesse võtta. Seetõttu tuleb tootmist korraldades ja müüki teostades ennustada selliste tegevuste tulemust kas enda varasema kogemuse või teiste inimeste sarnase kogemuse või intuitsiooni põhjal, mis suures osas toetub ka eksperimentaalsetele andmetele.

Et kõnealust sündmust kuidagi hinnata, on vaja arvestada või spetsiaalselt korraldada tingimused, milles see sündmus salvestatakse.

Nimetatakse teatud tingimuste või toimingute rakendamine kõnealuse sündmuse tuvastamiseks kogemusi või katse.

Üritus on nn juhuslik, kui kogemuse tulemusena võib see tekkida või mitte.

Üritus on nn usaldusväärne, kui see ilmneb tingimata antud kogemuse tulemusena ja võimatu, kui see selles kogemuses ilmneda ei saa.

Näiteks lumesadu Moskvas 30. novembril on juhuslik sündmus. Igapäevast päikesetõusu võib pidada usaldusväärseks sündmuseks. Lumesadu ekvaatoril võib pidada võimatuks sündmuseks.

Tõenäosusteooria üks peamisi probleeme on määramise probleem kvantitatiivne mõõt sündmuse toimumise võimalus.

Sündmuste algebra

Sündmusi nimetatakse kokkusobimatuteks, kui neid ei saa ühes kogemuses koos vaadelda. Seega on kahe ja kolme auto korraga müügil olemine ühes kaupluses kaks kokkusobimatut sündmust.

Summa sündmused on sündmus, mis koosneb vähemalt ühe neist sündmustest

Sündmuste summa näiteks on kahest tootest vähemalt ühe olemasolu poes.

Töö sündmused on sündmus, mis koosneb kõigi nende sündmuste samaaegsest toimumisest

Sündmus, mis koosneb kahe kauba korraga kauplusesse ilmumisest, on sündmuste produkt: - ühe toote ilmumine, - teise toote ilmumine.

Sündmused moodustavad tervikliku sündmuste rühma, kui vähemalt üks neist kindlasti toimub kogemuses.

Näide. Laevade vastuvõtmiseks on sadamas kaks kaid. Käsitleda võib kolme sündmust: - laevade puudumine kaide ääres, - ühe laeva viibimine ühe kai ääres, - kahe laeva olemasolu kahe kai ääres. Need kolm sündmust moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

Vastupidi nimetatakse kahte ainulaadset võimalikku sündmust, mis moodustavad tervikliku rühma.

Kui ühte sündmustest, mis on vastupidine, tähistatakse , siis vastupidine sündmus tavaliselt tähistatakse .

Sündmuse tõenäosuse klassikalised ja statistilised definitsioonid

Kõiki võrdselt võimalikke katsete (katsete) tulemusi nimetatakse elementaarseks tulemuseks. Tavaliselt tähistatakse neid tähtedega. Näiteks visatakse täringut. Kokku võib olla kuus elementaarset tulemust, mis põhinevad külgede punktide arvul.

Alates elementaarsed tulemused on võimalik luua keerulisem üritus. Seega määratakse paarisarv punktide sündmus kolme tulemusega: 2, 4, 6.

Kõnealuse sündmuse toimumise võimalikkuse kvantitatiivne mõõde on tõenäosus.

Enamik laialdane kasutamine sai sündmuse tõenäosuse kaks definitsiooni: klassikaline Ja statistiline.

Klassikaline tõenäosuse definitsioon on seotud soodsa tulemuse mõistega.

Tulemust nimetatakse soodne antud sündmusele, kui selle toimumine toob kaasa selle sündmuse toimumise.

Ülaltoodud näites on kõnealusel sündmusel – paarisarv punkte veeretaval küljel – kolm soodsat tulemust. IN sel juhul tuntud ja üldine
võimalike tulemuste arv. See tähendab, et siin saab kasutada klassikalist sündmuse tõenäosuse definitsiooni.

Klassikaline määratlus võrdub soodsate tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhtega

kus on sündmuse tõenäosus, on sündmusele soodsate tulemuste arv, on võimalike tulemuste koguarv.

Vaadeldavas näites

Tõenäosuse statistiline definitsioon on seotud sündmuse toimumise suhtelise sageduse mõistega katsetes.

Sündmuse suhteline esinemissagedus arvutatakse valemi abil

kus on sündmuse esinemiste arv katsete (testide) seerias.

Statistiline määratlus. Sündmuse tõenäosus on arv, mille ümber suhteline sagedus stabiliseerub (koguneb) katsete arvu piiramatu suurenemisega.

Praktilistes ülesannetes võetakse sündmuse tõenäosuseks suhteline sagedus piisaval tasemel suur number testid.

Nendest sündmuse tõenäosuse määratlustest on selge, et ebavõrdsus on alati täidetud

Sündmuse tõenäosuse määramiseks valemi (1.1) alusel kasutatakse sageli kombinatoorika valemeid, mille abil leitakse soodsate tulemuste arv ja võimalike tulemuste koguarv.

Tõenäosus on mingi sündmuse toimumise võimalikkuse aste (suhteline mõõt, kvantitatiivne hinnang). Kui mõne võimaliku sündmuse tegeliku toimumise põhjused kaaluvad üles vastupidised põhjused, nimetatakse seda sündmust tõenäoliseks, muidu - ebatõenäoliseks või ebatõenäoliseks. Võib esineda positiivsete põhjuste ülekaal negatiivsete üle ja vastupidi erineval määral, mille tulemusena on tõenäosus (ja ebatõenäosus) suurem või väiksem. Seetõttu hinnatakse tõenäosust sageli kvalitatiivsel tasemel, eriti juhtudel, kui enam-vähem täpne kvantitatiivne hindamine on võimatu või äärmiselt keeruline. Võimalikud on erinevad tõenäosuse "tasemete" gradatsioonid.
Tõenäosusuuring koos matemaatiline punkt vaade on eriline distsipliin- tõenäosusteooria. Tõenäosusteoorias ja matemaatiline statistika tõenäosuse mõiste vormistatakse sündmuse numbrilise tunnusena - tõenäosusmõõt (või selle väärtus) - mõõt sündmuste kogumil (elementaarsündmuste hulga alamhulgad), võttes väärtusi
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Tähendus
(\displaystyle 1)
Vastab usaldusväärsele sündmusele. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0 (vastupidine ei ole üldiselt alati tõsi). Kui sündmuse toimumise tõenäosus on
(\displaystyle p)
Siis on selle mitteesinemise tõenäosus võrdne
(\displaystyle 1-p)
Eelkõige tõenäosus
(\displaystyle 1/2)
Tähendab sündmuse toimumise ja mittetoimumise võrdset tõenäosust.
Tõenäosuse klassikaline määratlus põhineb tulemuste võrdse tõenäosuse kontseptsioonil. Tõenäosus on antud sündmuse jaoks soodsate tulemuste arvu suhe võrdselt võimalike tulemuste koguarvusse. Näiteks juhusliku mündiviskega peade või sabade saamise tõenäosus on 1/2, kui eeldada, et ainult need kaks võimalust esinevad ja et need on võrdselt võimalikud. Seda klassikalist tõenäosuse "definitsiooni" saab üldistada lõpmatu arvu võimalike väärtuste korral - näiteks kui mõni sündmus võib toimuda võrdse tõenäosusega mis tahes punktis (punktide arv on lõpmatu) mõnes piiratud piirkonnas. ruum (tasapind), siis tõenäosus, et see mõnes selle osas aset leiab kehtiv ala võrdne selle osa ruumala (pindala) ja kõigi võimalike punktide piirkonna ruumala (pindala) suhtega.
Tõenäosuse empiiriline "definitsioon" on seotud sündmuse sagedusega, tuginedes asjaolule, et piisavalt suure katsete arvu korral peaks sagedus kalduma selle sündmuse objektiivsele võimalikkuse astmele. IN kaasaegne esitlus tõenäosusteooria, tõenäosust defineeritakse aksiomaatiliselt kui erijuhtum Abstraktne hulga mõõtude teooria. Ühendavaks lüliks abstraktse mõõdiku ja sündmuse toimumise võimalikkuse astet väljendava tõenäosuse vahel on aga just selle vaatlemise sagedus.
Teatud nähtuste tõenäosuslik kirjeldamine on muutunud laialt levinud tänapäeva teaduses, eelkõige ökonomeetrias, makroskoopiliste (termodünaamiliste) süsteemide statistilises füüsikas, kus isegi osakeste liikumise klassikalise deterministliku kirjelduse korral kogu süsteemi deterministlik kirjeldamine. ei tundu praktiliselt võimalik ega asjakohane. IN kvantfüüsika Kirjeldatud protsessid ise on tõenäosusliku iseloomuga.

Vaevalt, et paljud inimesed mõtlevad sellele, kas enam-vähem juhuslikke sündmusi on võimalik välja arvutada. Lihtsamalt öeldes, kas on võimalik teada, milline kuubi pool järgmisena üles kerkib? Just selle küsimuse esitasid endale kaks suurt teadlast, kes panid aluse sellisele teadusele nagu tõenäosusteooria, milles uuritakse sündmuse tõenäosust üsna põhjalikult.

Päritolu

Kui proovite sellist mõistet defineerida tõenäosusteooriana, saate järgmise: see on üks matemaatika harudest, mis uurib juhuslike sündmuste püsivust. Loomulikult ei avalda see kontseptsioon tegelikult kogu olemust, seega on vaja seda üksikasjalikumalt käsitleda.

Tahaksin alustada teooria loojatest. Nagu eespool mainitud, oli neid kaks ja nad olid ühed esimestest, kes proovisid kasutada valemeid ja matemaatilised arvutused arvutada sündmuse tulemus. Üldiselt ilmnes selle teaduse algus keskajal. Sel ajal püüdsid erinevad mõtlejad ja teadlased analüüsida hasartmänge nagu rulett, craps ja nii edasi, luues seeläbi mustri ja protsentidesühe või teise numbri esinemine. Vundamendi rajasid XVII sajandil ülalnimetatud teadlased.

Esialgu ei saanud nende töid selles vallas suurteks saavutusteks pidada, sest kõik, mida nad tegid, olid lihtsalt empiirilised faktid ja katsed viidi läbi visuaalselt, valemeid kasutamata. Aja jooksul oli võimalik saavutada suurepäraseid tulemusi, mis ilmnesid täringuviske jälgimise tulemusena. Just see tööriist aitas tuletada esimesed arusaadavad valemid.

Sarnaselt mõtlevad inimesed

Sellist isikut nagu Christiaan Huygens on võimatu mainimata jätta "tõenäosusteooriaks" nimetatud teema uurimise protsessis (sündmuse tõenäosus on selles teaduses täpselt käsitletud). See inimene on väga huvitav. Ta, nagu ülaltoodud teadlased, proovis vormis matemaatilised valemid tuletada juhuslike sündmuste muster. Tähelepanuväärne on, et ta ei teinud seda koos Pascali ja Fermat'ga, see tähendab, et kõik tema tööd ei ristunud nende meeltega. Huygens järeldas

Huvitav fakt on see, et tema töö ilmus ammu enne avastajate töö tulemusi, õigemini kakskümmend aastat varem. Tuvastatud mõistete hulgas on kõige kuulsamad:

tõenäosuse mõiste kui juhuse väärtus;
matemaatiline ootus diskreetsete juhtumite jaoks;
tõenäosuste korrutamise ja liitmise teoreemid.

Samuti on võimatu mitte meenutada, kes samuti probleemi uurimisse olulise panuse andis. Oma katseid korraldades, kellestki sõltumatult, suutis ta tõestada seadust suured numbrid. Teadlased Poisson ja Laplace, kes töötasid 19. sajandi alguses, suutsid omakorda tõestada algseid teoreeme. Sellest hetkest alates hakati vaatlusvigade analüüsimiseks kasutama tõenäosusteooriat. Möödasõit see teadus Seda ei saanud ka vene teadlased, õigemini Markov, Tšebõšev ja Djapunov. Nad, tuginedes suurte geeniuste tehtud tööle, kindlustasid see üksus matemaatika haruna. Need arvud töötasid juba 19. sajandi lõpus ja tänu nende panusele said tõestatud järgmised nähtused:

suurte arvude seadus;
Markovi ahela teooria;
keskpiiri teoreem.

Nii et teaduse sünniloo ja peamiste seda mõjutanud inimestega on kõik enam-vähem selge. Nüüd on aeg kõik faktid selgeks teha.

Põhimõisted

Enne seaduste ja teoreemide puudutamist tasub uurida tõenäosusteooria põhimõisteid. Sündmus mängib selles juhtivat rolli. See teemaüsna mahukas, kuid ilma selleta ei saa te kõike muud aru.

Tõenäosusteoorias on sündmus mis tahes katse tulemuste kogum. Selle nähtuse mõisteid on üsna palju. Nii ütles selles valdkonnas töötav teadlane Lotman, et antud juhul me räägime selle kohta, mis "juhtus, kuigi see poleks juhtunud".

Juhuslikud sündmused (tõenäosusteooria keskendub neile Erilist tähelepanu) on mõiste, mis hõlmab absoluutselt kõiki nähtusi, millel on võimalus esineda. Või vastupidi, see stsenaarium ei pruugi juhtuda, kui paljud tingimused on täidetud. Samuti tasub teada, et just juhuslikud sündmused haaravad kogu toimunud nähtuste mahu. Tõenäosusteooria näitab, et kõiki tingimusi saab pidevalt korrata. Nende käitumist nimetatakse "kogemuseks" või "testiks".

Usaldusväärne sündmus on nähtus, mis antud testis juhtub sada protsenti. Sellest tulenevalt on võimatu sündmus see, mida ei juhtu.

Tegevuspaari (tinglikult juhtum A ja juhtum B) kombinatsioon on samaaegselt esinev nähtus. Need on tähistatud kui AB.

Sündmuspaaride A ja B summa on C ehk kui vähemalt üks neist juhtub (A või B), siis saadakse C. Kirjeldatud nähtuse valem kirjutatakse järgmiselt: C = A + B.

Ebakõlalised sündmused tõenäosusteoorias viitavad sellele, et kaks juhtumit välistavad üksteist. Mitte mingil juhul ei saa need juhtuda samal ajal. Ühised üritused tõenäosusteoorias on see nende antipood. Siin mõeldakse seda, et kui A juhtus, siis see ei takista B-d kuidagi.

Vastandlikke sündmusi (tõenäosusteooria käsitleb neid väga üksikasjalikult) on lihtne mõista. Parim viis nende mõistmiseks on võrdlus. Need on peaaegu samad, mis tõenäosusteoorias kokkusobimatud sündmused. Kuid nende erinevus seisneb selles, et üks paljudest nähtustest peab igal juhul juhtuma.

Sama tõenäolised sündmused on need tegevused, mille kordumine on võrdne. Selguse huvides võite kujutleda mündi viskamist: selle ühe külje kaotamine on sama tõenäoline, et see kukub teiselt poolt välja.

Soodsat sündmust on lihtsam pidada eeskujuga. Oletame, et on episood B ja episood A. Esimene on paaritu numbriga täringu viskamine ja teine on numbri viie ilmumine täringule. Siis selgub, et A soosib B-d.

Sõltumatud sündmused on tõenäosusteoorias projitseeritud ainult kahele või enamale juhtumile ja viitavad mis tahes tegevuse sõltumatusele teisest. Näiteks A on peade kaotus mündi viskamisel ja B on tungraua tekilt tõmbamine. Need on tõenäosusteoorias sõltumatud sündmused. Sel hetkel sai asi selgemaks.

Tõenäosusteoorias on ka sõltuvad sündmused lubatud ainult nende hulgast. Need viitavad ühe sõltuvusele teisest, see tähendab, et nähtus B saab ilmneda ainult siis, kui A on juba juhtunud või, vastupidi, pole juhtunud, kui see on B põhitingimus.

Ühest komponendist koosneva juhusliku katse tulemus on elementaarsed sündmused. Tõenäosusteooria selgitab, et see on nähtus, mis juhtus vaid korra.

Põhivalemid

Niisiis arutati eespool mõisteid "sündmus" ja "tõenäosusteooria", samuti anti selle teaduse põhimõistete määratlus. Nüüd on aeg vahetult tutvuda olulised valemid. Need avaldised kinnitavad matemaatiliselt kõiki peamisi mõisteid sellises keerulises õppeaines nagu tõenäosusteooria. Sündmuse tõenäosus mängib ka siin suurt rolli.

Parem on alustada põhilistest. Ja enne nendega alustamist tasub kaaluda, mis need on.

Kombinatoorika on peamiselt matemaatika haru, mis tegeleb tohutu hulga täisarvude uurimisega, aga ka nii arvude endi kui ka nende elementide, erinevate andmete jms permutatsioonide uurimisega, mis viib mitmete kombinatsioonide ilmumiseni. Lisaks tõenäosusteooriale on see haru oluline statistika, arvutiteaduse ja krüptograafia jaoks.

Niisiis, nüüd saame liikuda valemite endi ja nende määratluse esitamise juurde.

Esimene neist on permutatsioonide arvu avaldis, see näeb välja järgmine:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Võrrandit rakendatakse ainult siis, kui elemendid erinevad ainult nende paigutuse järjekorras.

Nüüd võetakse arvesse paigutuse valemit, see näeb välja selline:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

See väljend on rakendatav mitte ainult elemendi paigutuse järjekorra, vaid ka selle koostise kohta.

Kombinatoorika kolmandat võrrandit, mis on ka viimane, nimetatakse kombinatsioonide arvu valemiks:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinatsioon viitab valikutele, mis ei ole järjestatud, seega kehtib see reegel nende kohta.

Kombinatoorika valemitest oli lihtne aru saada, nüüd saate liikuda klassikalise tõenäosuste määratluse juurde. See väljend näeb välja selline:

Selles valemis on m sündmusele A soodsate tingimuste arv ja n on absoluutselt kõigi võrdselt võimalike ja elementaarsete tulemuste arv.

Avaldisi on palju, artikkel ei käsitle neid kõiki, kuid puudutatakse kõige olulisemat, nagu näiteks sündmuste summa tõenäosus:

P(A + B) = P(A) + P(B) - see teoreem on mõeldud ainult mitteühilduvate sündmuste liitmiseks;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - ja see on mõeldud ainult ühilduvate lisamiseks.

Sündmuste toimumise tõenäosus:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - see teoreem mitte sõltuvad sündmused;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - ja see on ülalpeetava jaoks.

Sündmuste loetelu täiendab sündmuste valem. Tõenäosusteooria räägib meile Bayesi teoreemist, mis näeb välja järgmine:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Selles valemis on H 1, H 2, ..., H n täielik hüpoteeside rühm.

Näited

Kui uurite hoolikalt mõnda matemaatika osa, pole see täielik ilma harjutuste ja näidislahendusteta. Nii on ka tõenäosusteooriaga: sündmused ja näited on siin lahutamatu osa, mis kinnitab teaduslikke arvutusi.

Permutatsioonide arvu valem

Oletame, et kaardipakis on kolmkümmend kaarti, mille väärtus algab ühest. Järgmine küsimus. Mitu võimalust on pakki laduda nii, et kaardid väärtusega üks ja kaks ei oleks kõrvuti?

Ülesanne on püstitatud, nüüd liigume edasi selle lahendamisega. Kõigepealt peate määrama kolmekümne elemendi permutatsioonide arvu, selleks võtame ülaltoodud valemi, selgub, et P_30 = 30!.

Selle reegli alusel saame teada, mitu võimalust on paki erineval viisil voltimiseks, kuid peame neist lahutama need, milles esimene ja teine kaart on kõrvuti. Selleks alustame valikuga, kui esimene on teisest kõrgemal. Selgub, et esimene kaart võib võtta kakskümmend üheksa kohta - esimesest kahekümne üheksanda ja teine kaart teisest kuni kolmekümnendani, mis teeb kaardipaari jaoks kokku kakskümmend üheksa kohta. Ülejäänud saavad omakorda vastu võtta kakskümmend kaheksa kohta ja seda suvalises järjekorras. See tähendab, et kahekümne kaheksa kaardi ümberkorraldamiseks on kakskümmend kaheksa valikut P_28 = 28!

Selle tulemusena selgub, et kui arvestada lahendusega, kui esimene kaart on teisest kõrgemal, tekib 29 ⋅ 28 lisavõimalust! = 29!

Sama meetodit kasutades peate arvutama üleliigsete valikute arvu juhuks, kui esimene kaart on teise all. Samuti selgub, et 29 ⋅ 28! = 29!

Sellest järeldub, et lisavõimalusi on 2 ⋅ 29!, samas vajalikke viise kogumistekk 30! - 2 ⋅ 29!. Jääb üle vaid lugeda.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Nüüd peate korrutama kõik arvud ühest kahekümne üheksani ja lõpuks korrutama kõik 28-ga. Vastus on 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Näidislahendus. Paigutuse numbri valem

Selle ülesande puhul peate välja selgitama, mitu võimalust on viisteist köidet ühele riiulile panna, kuid tingimusel, et neid on kokku kolmkümmend köidet.

Selle probleemi lahendus on veidi lihtsam kui eelmine. Kasutades juba tuntud valem, on vaja arvutada korralduste koguarv kolmkümmend köidet viisteist.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 3

Vastus on seega võrdne 202 843 204 931 727 360 000-ga.

Võtame nüüd veidi keerulisema ülesande. Peate välja selgitama, mitu võimalust on kolmekümne raamatu paigutamiseks kahele raamaturiiulid, eeldusel, et ühele riiulile saab paigutada ainult viisteist köidet.

Enne lahenduse alustamist tahaksin selgitada, et mõnda probleemi saab lahendada mitmel viisil ja sellel on kaks meetodit, kuid mõlemad kasutavad sama valemit.

Selles ülesandes saab vastuse võtta eelmisest, sest seal arvutasime välja, mitu korda saab erineval viisil täita riiuli viieteistkümne raamatuga. Selgus A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Teise riiuli arvutame permutatsioonivalemi abil, sest sinna saab paigutada viisteist raamatut, samas kui alles jääb vaid viisteist. Kasutame valemit P_15 = 15!.

Selgub, et kogusumma on A_30^15 ⋅ P_15 viisil, kuid lisaks sellele tuleb kõigi arvude korrutis kolmekümnest kuueteistkümneni korrutada arvude korrutisega ühest viieteistkümneni. saab kõigi arvude korrutise ühest kolmekümneni, see tähendab, et vastus võrdub 30-ga!

Kuid seda probleemi saab lahendada muul viisil - lihtsamalt. Selleks võib ette kujutada, et kolmekümne raamatu jaoks on üks riiul. Kõik need on sellele tasapinnale paigutatud, aga kuna tingimus nõuab, et riiulit oleks kaks, siis nägime ühe pika pooleks, nii et viieteistkümnest saame kaks. Sellest selgub, et paigutuse variante võib olla P_30 = 30!.

Näidislahendus. Kombinatsiooninumbri valem

Nüüd käsitleme kombinatoorika kolmanda ülesande versiooni. Tuleb välja selgitada, kui palju viise on viieteistkümne raamatu paigutamiseks, eeldusel, et peate valima kolmekümne täiesti identse raamatu hulgast.

Lahendamiseks rakendatakse loomulikult kombinatsioonide arvu valemit. Tingimusest selgub, et identse viieteistkümne raamatu järjestus pole oluline. Seetõttu peate esialgu välja selgitama kolmekümne viieteistkümne raamatu kombinatsioonide koguarvu.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

See on kõik. Kasutades seda valemit, in lühim aegõnnestus see probleem lahendada, on vastus vastavalt 155 117 520.

Näidislahendus. Klassikaline tõenäosuse määratlus

Ülaltoodud valemit kasutades leiate vastuse lihtsale probleemile. Kuid see aitab tegevuste edenemist selgelt näha ja jälgida.

Probleem ütleb, et urnis on kümme absoluutselt identset palli. Neist neli on kollased ja kuus sinised. Urnist võetakse üks pall. Peate välja selgitama sinise saamise tõenäosuse.

Ülesande lahendamiseks on vaja tähistada sinise palli omandamist sündmusega A. See kogemus võib olla kümme tulemust, mis omakorda on elementaarsed ja võrdselt võimalikud. Samas on kümnest kuus soodsad sündmusele A. Lahendame valemiga:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Seda valemit rakendades saime teada, et sinise palli saamise tõenäosus on 0,6.

Näidislahendus. Sündmuste summa tõenäosus

Nüüd esitatakse valik, mis on lahendatud sündmuste summa tõenäosuse valemi abil. Seega on tingimuseks antud, et kaste on kaks, millest esimene sisaldab ühte halli ja viis valget palli ning teises kaheksa halli ja neli valget palli. Selle tulemusena võtsid nad ühe neist esimesest ja teisest kastist. Peate välja selgitama, kui suur on võimalus, et saadud pallid on hallid ja valged.

Selle probleemi lahendamiseks on vaja sündmused tuvastada.

Niisiis, A - võttis esimesest kastist halli palli: P(A) = 1/6.
A’ - võttis valge palli ka esimesest kastist: P(A") = 5/6.
B - teisest kastist eemaldati hall pall: P(B) = 2/3.
B’ - võttis teisest kastist halli palli: P(B") = 1/3.

Vastavalt ülesande tingimustele on vajalik, et juhtuks üks nähtustest: AB’ või A’B. Valemit kasutades saame: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Nüüd on kasutatud tõenäosuse korrutamise valemit. Järgmisena peate vastuse leidmiseks rakendama nende liitmise võrrandit:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Nii saate valemi abil sarnaseid probleeme lahendada.

Alumine joon

Artiklis esitati teavet teemal "Tõenäosusteooria", milles mängib sündmuse tõenäosus oluline roll. Loomulikult ei võetud kõike arvesse, kuid esitatud teksti põhjal saate teoreetiliselt selle matemaatika osaga tutvuda. Kõnealune teadus võib olla kasulik mitte ainult erialases töös, vaid ka selles Igapäevane elu. Tema abiga saate arvutada mis tahes sündmuse võimaluse.

Tekst puudutas ka olulised kuupäevad tõenäosusteooria kui teaduse kujunemisloos ja inimeste nimed, kelle tööd sellesse investeeriti. Nii viis inimlik uudishimu selleni, et inimesed õppisid arvutama isegi juhuslikke sündmusi. Kunagi nad olid sellest lihtsalt huvitatud, kuid tänapäeval teavad seda juba kõik. Ja keegi ei ütle, mis meid tulevikus ees ootab, milliseid säravaid avastusi vaadeldava teooriaga seoses veel tehakse. Üks on aga kindel – uuringud ei seisa paigal!

Minu blogis tõlge kursuse “Mängu tasakaalu põhimõtted” järgmisest loengust mängudisainer Jan Schreiberilt, kes töötas selliste projektidega nagu Marvel Trading Card Game ja Playboy: the Mansion.

Enne täna peaaegu kõik, millest me rääkisime, oli deterministlik ja eelmisel nädalal vaatasime põhjalikult transitiivset mehaanikat, laskudes nii palju üksikasjadesse, kui suudan selgitada. Kuid siiani pole me paljude mängude veel ühele aspektile tähelepanu pööranud, nimelt mittedeterministlikule aspektile – teisisõnu juhuslikkusele.

Juhuslikkuse olemuse mõistmine on mängudisainerite jaoks väga oluline. Loome süsteeme, mis mõjutavad kasutaja kogemust antud mängus, seega peame teadma, kuidas need süsteemid töötavad. Kui süsteemis on juhuslikkus, peame mõistma selle juhuslikkuse olemust ja teadma, kuidas seda muuta, et saada vajalikke tulemusi.

Täringud

Alustame millestki lihtsast – täringuveeretamisest. Kui enamik inimesi mõtleb täringutele, mõtlevad nad kuuepoolsele matriitsile, mida tuntakse kui d6. Kuid enamik mängijaid on näinud palju muid täringuid: tetraeedriline (d4), kaheksanurkne (d8), kaheteistkümnetahuline (d12), kahekümnetahuline (d20). Kui olete tõeline nohik, võib teil olla kuskil 30- või 100-tahuline täring.

Kui te pole terminoloogiaga kursis, tähistab d die ja selle järel olev arv on selle külgede arv. Kui number on enne d, siis näitab see veeretavate täringute arvu. Näiteks mängus Monopoly viskad 2d6.

Seega on antud juhul väljend “täring” sümbol. Olemas suur summa muud juhuslike arvude generaatorid, mis ei näe välja nagu plastilised kujundid, vaid täidavad sama funktsiooni - genereerivad juhusliku arvu 1-st n-ni. Tavalist münti võib kujutada ka kahetahulise täringuna d2.

Nägin kahte kujundust seitsmepoolsetest täringutest: üks neist nägi välja nagu täring ja teine nägi rohkem välja nagu seitsmetahuline puidust pliiats. Tetraeedriline dreidell, tuntud ka kui titotum, on sarnane tetraeedrilise luuga. Chutes & Laddersi pöörlev noolelaud, kus hinded võivad olla vahemikus 1 kuni 6, vastab kuuepoolsele matriitsile.

Arvuti juhuslike arvude generaator võib luua mis tahes arvu vahemikus 1 kuni 19, kui kujundaja selle määrab, kuigi arvutil pole 19-tahulist stantsi (üldiselt räägin lähemalt arvude ilmumise tõenäosusest arvuti järgmisel nädalal). Kõik need üksused näevad välja erinevad, kuid tegelikult on need samaväärsed: teil on võrdne võimalus mitme võimaliku tulemuse saavutamiseks.

Täringutel on mõned huvitavad omadused, mida peame teadma. Esiteks on ühe täringu maandumise tõenäosus sama (eeldan, et veerete õiget täringut). geomeetriline kuju). Kui soovite teada veeremise keskmist väärtust (tõenäosusteooriaga tegelejate jaoks nimetatakse seda eeldatavaks väärtuseks), liidage kõigi servade väärtused ja jagage see arv servade arvuga.

Tavalise kuuepoolse matriitsi kõigi külgede väärtuste summa on 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Jagage 21 külgede arvuga ja saage veeremise keskmine väärtus: 21 / 6 = 3,5. See on erijuhtum, sest eeldame, et kõik tulemused on võrdselt tõenäolised.

Mis siis, kui teil on spetsiaalsed täringud? Näiteks nägin mängu kuusnurgaga täringut külgedel on spetsiaalsed kleebised: 1, 1, 1, 2, 2, 3, nii et see käitub nagu kummaline kolmepoolne täring, mis tõenäolisemalt viskab 1 kui 2 ja saab tõenäolisemalt 2 kui 2. 3. Milline keskmine viskeväärtus selle täringu puhul? Niisiis, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, jagatud 6-ga - selgub 5/3 ehk ligikaudu 1,66. Seega, kui teil on spetsiaalne täring ja mängijad viskavad kolm täringut ja seejärel liidavad tulemused, siis teate, et nende viskamise summa on umbes 5 ja saate selle eelduse põhjal mängu tasakaalustada.

Täringud ja iseseisvus

Nagu ma juba ütlesin, lähtume eeldusest, et mõlemad pooled kukuvad välja võrdselt. Pole tähtis, mitu täringut viskate. Iga täringuvise on sõltumatu, mis tähendab, et eelmised täringuvisked ei mõjuta järgmiste tulemusi. Piisavate katsete korral märkate kindlasti numbrite mustrit – näiteks veeretakse enamasti suuremaid või madalamaid väärtusi – või muid funktsioone, kuid see ei tähenda, et täringud oleksid "kuumad" või "külmad". Sellest räägime hiljem.

Kui viskad tavalist kuuepoolset täringut ja kaks korda järjest ilmub number 6, on tõenäosus, et järgmise viske tulemuseks on 6, täpselt 1/6. Tõenäosus ei suurene, kuna täring on “kuumenenud” . Samas tõenäosus ei vähene: on vale arutleda, et number 6 on juba kaks korda järjest üles tulnud, mis tähendab, et nüüd peaks tulema teine pool.

Muidugi, kui viskate täringut kakskümmend korda ja saate iga kord 6, on tõenäosus, et kahekümne esimesel korral 6 viskate, üsna suur: võib-olla on teil lihtsalt vale täring. Kuid kui täring on õiglane, on mõlemal poolel sama tõenäosus maanduda, sõltumata teiste visete tulemustest. Võite ka ette kujutada, et me asendame täringu iga kord: kui number 6 visatakse kaks korda järjest, eemaldage mängust "kuum" täring ja asendage see uuega. Vabandan, kui keegi teist sellest juba teadis, kuid ma pidin selle enne edasiliikumist selgeks tegema.

Kuidas täringut enam-vähem juhuslikult veerema panna

Räägime sellest, kuidas erinevatel täringutel erinevaid tulemusi saada. Olenemata sellest, kas viskate täringut vaid korra või mitu korda, tundub mäng juhuslikum, kui täringul on rohkem külgi. Mida sagedamini pead täringuid veeretama ja mida rohkem täringut veeretad, seda enam lähenevad tulemused keskmisele.

Näiteks 1d6 + 4 korral (st kui viskad standardse kuuepoolse täringuga ühe korra ja lisad tulemusele 4), oleks keskmine arv vahemikus 5 kuni 10. Kui viskad 5d2, siis keskmine oleks ka arv vahemikus 5 kuni 10. 5d2 veeremise tulemused on peamiselt numbrid 7 ja 8, harvemini muud väärtused. Sama jada, isegi sama keskmine väärtus (mõlemal juhul 7,5), kuid juhuslikkuse iseloom on erinev.

Oota hetk. Kas ma lihtsalt ei öelnud, et täringud ei "kuumuta" ega "jahuta"? Nüüd ütlen: kui visata palju täringuid, lähenevad visketulemused keskmisele. Miks?

Las ma seletan. Kui viskad ühe täringu, on mõlemal poolel maandumise tõenäosus sama. See tähendab, et kui veerete aja jooksul palju täringuid, kerkib kumbki pool umbes sama palju kordi. Mida rohkem täringut viskate, seda enam läheneb kogutulemus keskmisele.

See ei tulene sellest, et väljatõmmatud number "sunnib" loosima teist numbrit, mis pole veel välja tõmmatud. Aga sellepärast, et väike numbri 6 (või 20 või mõne muu numbri) veeretamise seeria lõpuks tulemust nii palju ei mõjuta, kui veeretada täringut veel kümme tuhat korda ja enamasti tulebki keskmine number. Nüüd saate mõned suured numbrid ja hiljem mõned väikesed - ja aja jooksul jõuavad need keskmisele lähemale.

See ei juhtu mitte sellepärast, et eelmised viskamised mõjutavad täringuid (tõsiselt, täringud on plastikust, tal ei ole aju, et mõelda: "Oh, sellest on aega möödas, kui sa veeretasid 2"), vaid sellepärast, et see on mis tavaliselt juhtub paljude täringutega

Seega on üsna lihtne teha arvutusi ühe juhusliku täringuviske kohta – vähemalt arvutada väljaheite keskmine väärtus. On ka viise, kuidas arvutada "kui juhuslik" miski on ja öelda, et 1d6+4 veeremise tulemused on "juhuslikumad" kui 5d2. 5d2 puhul jaotuvad rullid ühtlasemalt. Selleks peate arvutama standardhälbe: mida suurem väärtus, seda juhuslikumad on tulemused. Ma ei tahaks täna nii palju arvutusi teha, selgitan seda teemat hiljem.

Ainus asi, mida ma palun teil meeles pidada, on see, et mida vähem täringut viskate, seda suurem on reeglina juhuslikkus. Ja mida rohkem külgi täringul on, seda suurem on juhuslikkus, sest rohkem võimalikud variandid tähendusi.

Kuidas arvutada tõenäosust loenduse abil

Teil võib tekkida küsimus: kuidas saame arvutada täpse saamise tõenäosuse teatud tulemus? Tegelikult on see paljude mängude jaoks üsna oluline: kui alguses täringut veeretate, on tõenäoliselt mingi optimaalne tulemus. Minu vastus on: me peame arvutama kaks väärtust. Esiteks tulemuste koguarv täringu viskamisel ja teiseks soodsate tulemuste arv. Teise väärtuse jagamine esimesega annab soovitud tõenäosuse. Protsendi saamiseks korrutage tulemus 100-ga.

Näited

Siin on väga lihtne näide. Tahad, et number 4 või suurem veereks kuuepoolset täringut ühe korra. Maksimaalne tulemuste arv on 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Neist 3 tulemust (4, 5, 6) on soodsad. See tähendab, et tõenäosuse arvutamiseks jagame 3 6-ga ja saame 0,5 või 50%.

Siin on natuke keerulisem näide. Tahad veeretada 2d6 paarisarv. Maksimaalne tulemuste arv on 36 (iga täringu jaoks 6 võimalust, üks täring ei mõjuta teist, seega korrutage 6 6-ga ja saate 36). Seda tüüpi küsimuste raskus seisneb selles, et neid on lihtne kaks korda lugeda. Näiteks 2d6 veeretamisel on 3 kaks võimalikku tulemust: 1+2 ja 2+1. Need näevad välja ühesugused, kuid erinevus seisneb selles, milline number kuvatakse esimesel ja milline teisel.

Võite ka ette kujutada, et täringud erinevad värvid: Nii et näiteks sel juhul on üks täring punane, teine sinine. Seejärel loendke paarisarvu veeremise võimaluste arv:

2 (1+1);
4 (1+3);
4 (2+2);
4 (3+1);
6 (1+5);
6 (2+4);
6 (3+3);
6 (4+2);
6 (5+1);
8 (2+6);
8 (3+5);
8 (4+4);
8 (5+3);
8 (6+2);
10 (4+6);
10 (5+5);
10 (6+4);
12 (6+6).

Selgub, et soodsa tulemuse saamiseks on 18 varianti 36-st – nagu ka eelmisel juhul, on tõenäosus 0,5 ehk 50%. Võib-olla ootamatu, kuid üsna täpne.

Monte Carlo simulatsioon

Mis siis, kui teil on selle arvutuse jaoks liiga palju täringuid? Näiteks soovite teada, kui suur on tõenäosus saada 8d6 viskamisel kokku 15 või rohkem. Kaheksa täringu jaoks on tohutult palju erinevaid tulemusi ja nende käsitsi loendamine võtaks väga kaua aega – isegi kui leiame mõne hea lahenduse erinevate täringuveeretuste grupeerimiseks.

Sel juhul on kõige lihtsam mitte käsitsi loendada, vaid kasutada arvutit. Tõenäosuse arvutamiseks arvutis on kaks võimalust. Esimene meetod võib anda teile täpse vastuse, kuid see hõlmab natuke programmeerimist või skriptimist. Arvuti vaatab iga võimaluse läbi, hindab ja loeb kokku iteratsioonid ja iteratsioonide arv, mis vastavad soovitud tulemusele ning annavad seejärel vastused. Teie kood võib välja näha umbes selline:

Kui sa programmeerimisest aru ei saa ja vajad pigem ligikaudset kui täpset vastust, saad seda olukorda simuleerida Excelis, kus veeretad 8d6 mitu tuhat korda ja saad vastuse. Excelis 1d6 rullimiseks kasutage valemit =PÕRAND(RAND()*6)+1.

Olukorral, kus vastust ei tea ja lihtsalt proovid ikka ja jälle, on nimi – Monte Carlo simulatsioon. See on suurepärane lahendus, mida kasutada, kui tõenäosuse arvutamine on liiga keeruline. Suurepärane on see, et sel juhul ei pea me mõistma, kuidas matemaatika töötab, ja me teame, et vastus on "päris hea", sest nagu me juba teame, mida rohkem veereb, seda lähemale tulemus jõuab keskmine.

Kuidas ühendada sõltumatuid katseid

Kui küsite mitme korduva, kuid sõltumatud testid, siis ühe viske tulemus ei mõjuta teiste visete tulemusi. Sellele olukorrale on veel üks lihtsam seletus.

Kuidas teha vahet sõltuval ja sõltumatul? Põhimõtteliselt, kui saate täringu iga viske (või visete seeria) eraldada eraldi sündmusena, on see sõltumatu. Näiteks viskame 8d6 ja tahame kokku 15. Seda sündmust ei saa jagada mitmeks iseseisvaks täringuviskeks. Tulemuse saamiseks arvutate kõigi väärtuste summa, nii et ühe stantsi tulemus mõjutab tulemusi, mis peaksid ilmnema teistel.

Siin on näide sõltumatutest viskamisest: mängite täringumängu ja veerete mitu korda kuuepoolset täringut. Mängus püsimiseks peab esimene viset olema 2 või suurem. Teiseks viskeks - 3 või rohkem. Kolmas nõuab 4 või kõrgem, neljas 5 või suurem ja viies nõuab 6. Kui kõik viis viset on edukad, võidate. Sel juhul on kõik visked iseseisvad. Jah, kui üks vise on ebaõnnestunud, mõjutab see kogu mängu tulemust, kuid üks vise ei mõjuta teist. Näiteks kui teie teine täringuvise on väga edukas, ei tähenda see, et järgmised täringuvisked on sama head. Seetõttu võime iga täringuviske tõenäosust arvestada eraldi.

Kui teil on sõltumatud tõenäosused ja soovite teada, milline on kõigi sündmuste toimumise tõenäosus, määrate iga üksiku tõenäosuse ja korrutate need kokku. Teine võimalus: kui kasutate sidesõna "ja" mitme tingimuse kirjeldamiseks (näiteks milline on mõne tingimuse esinemise tõenäosus juhuslik sündmus ja mõni muu sõltumatu juhuslik sündmus?) - loendage individuaalsed tõenäosused ja korrutage need.

Pole tähtis, mida te arvate, ärge kunagi ühendage sõltumatuid tõenäosusi. See on levinud viga. Et mõista, miks see vale on, kujutage ette olukorda, kus viskate münti ja soovite teada, milline on tõenäosus, et saate kaks korda järjest pead. Mõlema poole väljakukkumise tõenäosus on 50%. Kui liidate need kaks tõenäosust kokku, on 100% tõenäosus, et saate pead, kuid me teame, et see pole tõsi, sest see oleks võinud olla kaks korda järjest. Kui korrutate selle asemel kaks tõenäosust, saate 50% * 50% = 25% – see on õige vastus kaks korda järjest peade saamise tõenäosuse arvutamiseks.

Näide

Pöördume tagasi kuuepoolse täringumängu juurde, kus peate esmalt viskama arvu, mis on suurem kui 2, seejärel suurem kui 3 - ja nii edasi kuni 6. Kui suur on tõenäosus, et antud viie viske seeria puhul on kõik tulemused soodsad ?

Nagu eespool öeldud, on need sõltumatud katsed, seega arvutame iga üksiku veeremise tõenäosuse ja korrutame need kokku. Tõenäosus, et esimese viske tulemus on soodne, on 5/6. Teine - 4/6. Kolmas - 3/6. Neljas - 2/6, viies - 1/6. Korrutame kõik tulemused üksteisega ja saame ligikaudu 1,5%. Võidud selles mängus on üsna haruldased, nii et kui lisate selle elemendi oma mängu, vajate üsna suurt jackpoti.

Eitus

Siin on veel üks kasulik vihje: Mõnikord on sündmuse toimumise tõenäosust raske välja arvutada, kuid lihtsam on määrata tõenäosust, et sündmust ei toimu. Näiteks oletame, et meil on veel üks mäng: viskad 6d6 ja võidad, kui viskad vähemalt korra 6. Kui suur on võidu tõenäosus?

Sel juhul tuleb kaaluda palju võimalusi. Võimalik, et veeretatakse ühte numbrit 6, see tähendab, et üks täringutest näitab numbrit 6 ja teised näitavad numbreid 1 kuni 5, siis on 6 võimalust, kumb täringust näitab 6. Võite saada numbri 6 kahe täringu või kolme või isegi enama täringuga ja iga kord peate tegema eraldi arvutuse, nii et siin on lihtne segadusse sattuda.

Aga vaatame probleemi teisest küljest. Sa kaotad, kui ükski täring ei viska 6. Sel juhul on meil 6 sõltumatut katset. Tõenäosus, et iga täring viskab mõne muu arvu kui 6, on 5/6. Korrutage need ja saate umbes 33%. Seega on kaotuse tõenäosus üks kolmest. Seega on võidu tõenäosus 67% (ehk kaks kuni kolm).

Sellest näitest on ilmne: kui arvutate tõenäosuse, et sündmust ei toimu, peate tulemuse 100% -st lahutama. Kui võidu tõenäosus on 67%, siis kaotuse tõenäosus on 100% miinus 67% ehk 33% ja vastupidi. Kui ühte tõenäosust on raske arvutada, kuid vastupidist on lihtne, arvutage vastupidine ja lahutage see arv 100% -st.

Kombineerime ühe sõltumatu testi tingimused

Ütlesin just eespool, et te ei tohiks kunagi sõltumatute katsete vahel tõenäosusi lisada. Kas on juhtumeid, kus on võimalik tõenäosusi kokku võtta? Jah, ühes eriolukorras.

Kui soovite arvutada ühe katse puhul mitme omavahel mitteseotud soodsa tulemuse tõenäosuse, liidage iga soodsa tulemuse tõenäosus kokku. Näiteks 4, 5 või 6 veeremise tõenäosus 1d6 peal on võrdne 4 veeremise tõenäosuse, 5 veeremise tõenäosuse ja 6 veeremise tõenäosuse summaga. See olukord võib ette kujutada nii: kui kasutate tõenäosuse küsimuses sidesõna "või" (näiteks kui suur on ühe juhusliku sündmuse ühe või teise tulemuse tõenäosus?) - loendage individuaalsed tõenäosused ja summeerige need.

Pange tähele: kui arvutate välja kõik mängu võimalikud tulemused, peab nende esinemise tõenäosuste summa olema võrdne 100%, vastasel juhul tehti teie arvutus valesti. See on hea viis oma arvutusi üle kontrollida. Näiteks analüüsisite kõigi kombinatsioonide tõenäosust pokkeris. Kui kõik tulemused kokku liita, siis peaks saama täpselt 100% (või vähemalt üsna 100% lähedale: kui kasutada kalkulaatorit, siis võib tekkida väike ümardamisviga, aga kui täpsed arvud käsitsi kokku liita, siis kõik peaks liitma ). Kui summa ei ühti, tähendab see, et tõenäoliselt ei võtnud te mõnda kombinatsiooni arvesse või arvutasite mõne kombinatsiooni tõenäosuse valesti ja arvutusi tuleb veel kord kontrollida.

Ebavõrdsed tõenäosused

Siiani oleme eeldanud, et täringu mõlemat külge veeretatakse sama sagedusega, sest nii näivad täringud töötavat. Kuid mõnikord võite kokku puutuda olukorraga, kus on võimalikud erinevad tulemused ja nende ilmnemise võimalused on erinevad.

Näiteks tuumasõja kaardimängu ühes laienduses on noolega mänguväli, millest sõltub raketi stardi tulemus. Enamasti tekitab see tavalisi kahjustusi, tugevamaid või nõrgemaid, kuid mõnikord on kahju kahekordne või kolmekordne või rakett plahvatab stardiplatvormil ja teeb sulle haiget või juhtub mõni muu sündmus. Erinevalt noolelauast mängudes Chutes & Ladders või A Game of Life on mängulaua tulemused tuumasõjas ebaühtlased. Mõned mänguvälja lõigud on suuremad ja nool peatub neil palju sagedamini, samas kui teised osad on väga väikesed ja nool peatub neil harva.

Seega näeb stants esmapilgul välja umbes selline: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - me juba rääkisime sellest, see on midagi kaalutud 1d3 sarnast. Seetõttu peame jagama kõik need lõigud võrdseteks osadeks, leidma väikseima mõõtühiku, mille jagaja kõik on kordne, ja seejärel esitama olukorra d522 (või mõne muu) kujul, kus täringu kogum näod esindavad sama olukorda, kuid rohkemate tulemustega. See on üks viis probleemi lahendamiseks ja see on tehniliselt teostatav, kuid on ka lihtsam variant.

Läheme tagasi meie standardse kuuepoolse täringu juurde. Oleme öelnud, et tavalise matriitsi keskmise veeremise arvutamiseks peate liitma kõigi tahkude väärtused ja jagama tahkude arvuga, kuid kuidas see arvutus täpselt käib? Selle väljendamiseks on veel üks viis. Kuuepoolse matriitsi puhul on kummagi külje veeremise tõenäosus täpselt 1/6. Nüüd korrutame iga serva tulemuse selle tulemuse tõenäosusega (antud juhul 1/6 iga serva kohta) ja seejärel liidame saadud väärtused. Seega, summeerides (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ), saame sama tulemuse (3.5) nagu ülaltoodud arvutuses. Tegelikult loeme me iga kord nii: korrutame iga tulemuse selle tulemuse tõenäosusega.

Kas saame teha sama arvutuse tuumasõja mänguväljal oleva noole jaoks? Muidugi saame. Ja kui me kõik leitud tulemused kokku võtame, saame keskmise väärtuse. Kõik, mida me peame tegema, on arvutada iga tulemuse tõenäosus mängulaual oleva noole jaoks ja korrutada tulemuse väärtusega.

Veel üks näide

See keskmise arvutamise meetod sobib ka siis, kui tulemused on võrdselt tõenäolised, kuid neil on erinevad eelised – näiteks kui viskad täringut ja võidad mõnel poolel rohkem kui teistel. Näiteks võtame kasiinomängu: panustad ja viskad 2d6. Kui veeretatakse kolme numbriga madalaim väärtus(2, 3, 4) või neli numbrit koos kõrge väärtus(9, 10, 11, 12) – võidad oma panusega võrdse summa. Madalaima ja kõrgeima väärtusega numbrid on erilised: kui viskate 2 või 12, võidate oma panuse kahekordselt. Kui veeretatakse mõni muu number (5, 6, 7, 8), kaotate oma panuse. See on kaunis lihtne mäng. Aga kui suur on võidu tõenäosus?

Alustuseks loendame, mitu korda võite võita. Maksimaalne tulemuste arv 2d6 veeretamisel on 36. Kui palju on soodsaid tulemusi?

On 1 variant, et veeretatakse 2, ja 1 variant, et veeretatakse 12.
On 2 valikut, millest 3 veereb ja 2 valikut, millest 11 veereb.
On 3 võimalust, mille puhul veereb 4, ja 3 võimalust, mille puhul 10 veereb.
9 veeretamiseks on 4 võimalust.

Kõik võimalused kokku võttes saame 16 soodsat tulemust 36-st. Seega koos normaalsetes tingimustes võidad 16 korda 36-st võimalikust – võidu tõenäosus on veidi alla 50%.

Kuid kahel juhul neist kuueteistkümnest võidate kaks korda rohkem – see on nagu kaks korda võitmine. Kui mängite seda mängu 36 korda, panustades iga kord 1 dollari ja iga võimaliku tulemuse saabub üks kord, võidate kokku 18 dollarit (tegelikult võidate 16 korda, kuid kaks neist lähevad arvesse kahe võiduna). Kui mängid 36 korda ja võidad 18 dollarit, kas see ei tähenda, et koefitsiendid on võrdsed?

Võta aega. Kui loendate, mitu korda võite kaotada, saate lõpuks 20, mitte 18. Kui mängite 36 korda, panustades iga kord 1 dollari, siis võidate kogu summa 18 dollarit, kui kõik soodsad tulemused ilmnevad. Kuid kui saavutate kõik 20 ebasoodsat tulemust, kaotate kokku 20 dollarit. Selle tulemusena jääte veidi alla: kaotate keskmiselt 2 dollarit neto iga 36 mängu kohta (võib ka öelda, et kaotate keskmiselt 1/18 dollarit päevas). Nüüd näete, kui lihtne on sel juhul viga teha ja tõenäosust valesti arvutada.

Ümberkorraldamine

Seni oleme eeldanud, et täringuviskamisel pole numbrite järjekord oluline. Veeretamine 2 + 4 on sama mis veeretamine 4 + 2. Enamasti loendame soodsate tulemuste arvu käsitsi, kuid mõnikord seda meetodit on ebapraktiline ja parem on kasutada matemaatilist valemit.

Selle olukorra näide on Farkle täringumängust. Iga uue ringi jaoks viskad 6d6. Kui sul veab ja saad kõik võimalikud tulemused 1-2-3-4-5-6 (sirge), saad suure boonuse. Kui suur on selle juhtumise tõenäosus? Sel juhul on selle kombinatsiooni saamiseks palju võimalusi.

Lahendus on järgmine: ühel täringul (ja ainult ühel) peab olema number 1. Mitmel viisil võib arv 1 ühel täringul esineda? Võimalusi on 6, kuna täringuid on 6 ja igaüks neist võib langeda numbrile 1. Vastavalt sellele võtke üks täring ja pange see kõrvale. Nüüd peaks üks allesjäänud täringutest viskama numbri 2. Selleks on 5 võimalust. Võtke veel üks täring ja asetage see kõrvale. Seejärel võib 4 ülejäänud täringust saada 3, 3 ülejäänud täringust 4 ja 2 ülejäänud täringust 5. See jätab sulle ühe täringu, mis peaks saama 6 (in viimasel juhul on ainult üks stants ja valikut pole).

Rea tabamise soodsate tulemuste arvu arvutamiseks korrutame kõik erinevad sõltumatud võimalused: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 – selle kombinatsiooni tekkimiseks tundub olevat üsna palju võimalusi .

Sirge saamise tõenäosuse arvutamiseks peame jagama 720 veeremise 6d6 kõigi võimalike tulemuste arvuga. Kui suur on kõigi võimalike tulemuste arv? Igal stantsil võib olla 6 külge, seega korrutame 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (palju suurem arv kui eelmine). Jagage 720 46656-ga ja saame tõenäosuseks ligikaudu 1,5%. Kui te seda mängu kavandaksite, oleks teile kasulik seda teada, et saaksite luua vastava punktisüsteemi. Nüüd mõistame, miks Farkle'is saate rea saamisel nii suure boonuse: see on üsna haruldane olukord.

Tulemus on huvitav ka teisel põhjusel. Näide näitab, kui harva lühikese aja jooksul tekib tõenäosusele vastav tulemus. Muidugi, kui me viskaksime mitu tuhat täringut, erinevad näod täringud tulevad üsna sageli välja. Aga kui me viskame vaid kuut täringut, ei juhtu peaaegu kunagi, et iga nägu kerkib esile. Saab selgeks, et on rumal oodata, et nüüd ilmub rida, mida pole veel juhtunud, sest "me pole juba ammu numbrit 6 veeretanud." Kuule, su juhuslike numbrite generaator on katki.

See viib meid levinud eksiarvamusele, et kõik tulemused ilmnevad lühikese aja jooksul sama sagedusega. Kui viskame täringuid mitu korda, ei ole kummagi poole väljakukkumise sagedus sama.

Kui olete kunagi varem mõne juhusliku arvu generaatoriga võrgumängu kallal töötanud, olete suure tõenäosusega kokku puutunud olukorraga, kus mängija kirjutab tehnilisele toele kaebades, et juhuslike numbrite generaator ei näita juhuslikke numbreid. Ta jõudis sellisele järeldusele, kuna tappis 4 koletist järjest ja sai 4 täpselt samasugust auhinda ning need auhinnad peaksid ilmuma vaid 10% juhtudest, seega ei tohiks seda ilmselgelt peaaegu kunagi juhtuda.

Te teete matemaatilist arvutust. Tõenäosus on 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, see tähendab, et 1 tulemus 10 tuhandest on üsna harv juhtum. Seda üritab mängija teile öelda. Kas antud juhul on probleem?

Kõik oleneb asjaoludest. Kui palju mängijaid teie serveris praegu on? Oletame, et teil on üsna populaarne mäng ja seda mängib iga päev 100 tuhat inimest. Mitu mängijat suudab tappa neli koletist järjest? Võimalik, et kõik, mitu korda päevas, aga oletame, et pooled neist lihtsalt vahetavad erinevad objektid oksjonitel, peab kirjavahetust RP-serverites või teeb muid mängutoiminguid – seega vaid pooled neist jahtivad koletisi. Kui suur on tõenäosus, et keegi saab sama tasu? Sellises olukorras võite eeldada, et see juhtub vähemalt mitu korda päevas.

Muide, seepärast tundub, et iga paari nädala tagant võidab keegi loterii, isegi kui see keegi pole kunagi olnud sina või keegi, keda tunned. Kui piisavalt palju inimesi regulaarselt mängib, on tõenäoline, et kuskil on vähemalt üks õnnelik mängija. Kuid kui mängite ise loterii, siis tõenäoliselt ei võida te, vaid pigem kutsutakse teid Infinity Wardi tööle.

Kaardid ja sõltuvus

Oleme arutanud sõltumatuid sündmusi, nagu täringu viskamine, ja teame nüüd palju võimsaid tööriistu juhuslikkuse analüüsimiseks paljudes mängudes. Tõenäosuse arvutamine on kaardipakist kaartide tõmbamisel veidi keerulisem, sest iga meie väljatõmmatav kaart mõjutab pakki jäävaid.

Kui teil on tavaline 52-kaardiline pakk, eemaldate sellelt 10 südant ja soovite teada tõenäosust, et järgmine kaart on sama värviga - tõenäosus on muutunud algsest, kuna olete juba eemaldanud ühe kaardi kaardist. südameid tekilt. Iga eemaldatud kaart muudab järgmise kaardi kaardipakki ilmumise tõenäosust. Sel juhul mõjutab eelmine sündmus järgmist, seega nimetame seda tõenäosusest sõltuvaks.

Pange tähele, et kui ma ütlen "kaardid", pean ma silmas mis tahes mängumehaanikut, kus teil on objektide komplekt ja te eemaldate ühe objekti ilma seda asendamata. “Kaardipakk” on antud juhul analoogne krõpsude kotiga, millest võtad ühe kiibi, või urniga, millest võetakse värvilisi palle (ma pole kunagi näinud mänge urniga, kust värvilisi palle võetakse, aga õpetajad tõenäosusteooriast, mille järgi seda näidet eelistatakse).

Sõltuvusomadused

Tahaksin selgitada, et kaartide puhul eeldan, et tõmbate kaarte, vaatate neid ja eemaldate kaardipakist. Kõik need toimingud on olulised omadused. Kui mul oleks näiteks kuuest kaardist koosnev pakk numbritega 1 kuni 6, siis ma segaksin need ja tõmbaksin ühe kaardi, seejärel segaksin uuesti kõik kuus kaarti – see oleks sarnane kuuepoolse täringu viskamisega, sest üks tulemus on järgmistele ei mõju. Ja kui ma võtan kaardid välja ja ei asenda neid, siis 1. kaardi väljavõtmisega suurendan tõenäosust, et järgmine kord tõmban kaardi numbriga 6. Tõenäosus suureneb, kuni lõpuks eemaldan selle kaardi või sega tekki.

Oluline on ka asjaolu, et me vaatame kaarte. Kui ma võtan kaardi pakist välja ja ei vaata seda, siis mul ei ole Lisainformatsioon ja tegelikult tõenäosus ei muutu. See võib tunduda vastuoluline. Kuidas saab lihtsalt kaarti ümber pöörata maagiliselt tõenäosust muuta? Kuid see on võimalik, sest saate arvutada tundmatute üksuste tõenäosuse lihtsalt selle põhjal, mida teate.

Näiteks kui segate tavalist kaardipakki ja paljastate 51 kaarti ning ükski neist pole klubide kuninganna, siis võite olla 100% kindel, et ülejäänud kaart on nuiade kuninganna. Kui segate tavalist kaardipakki ja võtate neid vaatamata välja 51 kaarti, on tõenäosus, et allesjäänud kaart on klubide kuninganna, ikkagi 1/52. Iga kaardi avamisel saate rohkem teavet.

Sõltuvate sündmuste tõenäosuse arvutamine järgib samu põhimõtteid nagu sõltumatute sündmuste puhul, välja arvatud see, et see on veidi keerulisem, kuna tõenäosused muutuvad kaartide paljastamisel. Nii et peate palju korrutama erinevad tähendused, selle asemel, et sama väärtust korrutada. See tähendab tegelikult seda, et peame ühendama kõik tehtud arvutused üheks kombinatsiooniks.

Näide

Segate tavalise 52-kaardilise kaardipaki ja tõmbate kaks kaarti. Kui suur on tõenäosus, et tõmbate paari? Selle tõenäosuse arvutamiseks on mitu võimalust, kuid kõige lihtsam on võib-olla järgmine: kui suur on tõenäosus, et kui tõmbad ühe kaardi, ei saa te paari tõmmata? See tõenäosus on null, seega pole vahet, millise esimese kaardi tõmbate, kui see sobib teise kaardiga. Pole tähtis, millise kaardi me esimesena tõmbame, meil on siiski võimalus paar tõmmata. Seetõttu on paari tõmbamise tõenäosus pärast esimese kaardi loosimist 100%.

Kui suur on tõenäosus, et teine kaart kattub esimesega? Pakki on jäänud 51 kaarti ja neist 3 vastavad esimesele kaardile (tegelikult oleks 52-st 4, aga ühe sobiva kaardi eemaldasite juba esimese kaardi tõmbamisel), seega on tõenäosus 1/ 17. Nii et järgmine kord, kui mängid Texas Hold'emi, ütleb sinu vastas laua taga olev mees: „Lahe, veel üks paar? Mul on täna õnne,” teate, et on suur tõenäosus, et ta blufib.

Mis siis, kui lisame kaks jokkerit, nii et pakis on 54 kaarti ja tahame teada, milline on paari tõmbamise tõenäosus? Esimene kaart võib olla jokker ja siis on pakis ainult üks sobiv kaart, mitte kolm. Kuidas sel juhul tõenäosust leida? Jagame tõenäosused ja korrutame iga võimaluse.

Meie esimene kaart võib olla jokker või mõni muu kaart. Jokkeri tõmbamise tõenäosus on 2/54, mõne muu kaardi tõmbamise tõenäosus on 52/54. Kui esimene kaart on jokker (2/54), on tõenäosus, et teine kaart sobib esimesega, 1/53. Korrutame väärtused (saame neid korrutada, kuna need on eraldi sündmused ja me tahame, et mõlemad sündmused juhtuksid) ja saame 1/1431 - vähem kui kümnendik protsenti.

Kui tõmbate esimesena mõne teise kaardi (52/54), on teise kaardi sobitamise tõenäosus 3/53. Korrutame väärtused ja saame 78/1431 (veidi rohkem kui 5,5%). Mida me nende kahe tulemusega peale hakkame? Need ei ristu ja me tahame teada nende igaühe tõenäosust, seega lisame väärtused. Saame lõpptulemus 79/1431 (ikka umbes 5,5%).

Kui tahtsime vastuse õigsuses kindlad olla, võiksime arvutada kõigi muude võimalike tulemuste tõenäosuse: jokkeri joonistamine ja teise kaardi mittesobimine või mõne muu kaardi tõmbamine ja teise kaardi mittesobimine. Nende tõenäosuste ja võidutõenäosuse liitmisel saaksime täpselt 100%. Ma ei anna siin matemaatikat, kuid võite proovida matemaatikat, et kontrollida.

Monty Halli paradoks

See toob meid üsna kuulsa paradoksini, mis sageli segab paljusid inimesi – Monty Halli paradoksini. Paradoks on oma nime saanud telesaate Let's Make a Deal saatejuhi järgi, kes pole seda telesaadet kunagi näinud, oli see The Price Is Right vastand.

Saates The Price Is Right saatejuht (varem oli saatejuht Bob Barker; kes on praegu, Drew Carey? Pole tähtis) on teie sõber. Ta tahab, et sa võidaksid raha või lahedaid auhindu. See püüab anda teile kõikvõimalikud võiduvõimalused, kui suudate arvata, kui palju sponsorite ostetud esemed tegelikult väärt on.

Monty Hall käitus teisiti. Ta oli nagu Bob Barkeri kuri kaksik. Tema eesmärk oli muuta sind rahvustelevisioonis idioodiks. Kui sa olid saates, oli ta sinu vastane, sa mängisid tema vastu ja koefitsiendid olid tema kasuks. Võib-olla olen ma liiga karm, aga vaadates seda etendust, millesse satute tõenäolisemalt, kui kannate naeruväärset kostüümi, siis ma just selleni jõuan.

Üks etenduse kuulsamaid meeme oli selline: teie ees on kolm ust, uks number 1, uks number 2 ja uks number 3. Ühe ukse saad valida tasuta. Neist ühe taga on uhke auhind – näiteks uus auto. Ülejäänud kahe ukse taga pole auhindu, millel mõlemal pole väärtust. Need peaksid sind alandama, nii et nende taga pole mitte midagi, vaid midagi rumalat, näiteks kits või tohutu hambapastatuub – kõike muud kui uus auto.

Valite ühe ustest, Monty hakkab selle kohe avama, et anda teile teada, kas võitsite või mitte... aga oodake. Enne kui saame teada, vaatame üht neist ustest, mida te ei valinud. Monty teab, millise ukse taga auhind on, ja ta saab alati avada ukse, mille taga pole auhinda. “Kas valite ukse number 3? Seejärel avame ukse number 1, et näidata, et selle taga pole auhinda." Ja nüüd pakub ta suuremeelsusest teile võimalust vahetada valitud uks number 3 selle vastu, mis on ukse number 2 taga.

Siinkohal tekib tõenäosuse küsimus: kas see võimalus suurendab või vähendab või jääb muutumatuks? Kuidas sa arvad?

Õige vastus: võimalus valida teine uks suurendab võidu tõenäosust 1/3-lt 2/3-le. See on ebaloogiline. Kui te pole selle paradoksiga varem kokku puutunud, siis suure tõenäosusega mõtlete: oot, kuidas on juhtunud, et ühe ukse avamisega muutsime võluväel tõenäosust? Nagu oleme kaartide puhul juba näinud, juhtub see täpselt nii, kui saame rohkem teavet. Ilmselgelt, kui valite esimest korda, on võidu tõenäosus 1/3. Kui üks uks avaneb, ei muuda see esimese valiku võidu tõenäosust sugugi: tõenäosus on ikkagi 1/3. Aga tõenäosus, et teine uks on õige, on nüüd 2/3.

Vaatame seda näidet teisest vaatenurgast. Sina valid ukse. Võidutõenäosus on 1/3. Soovitan teil vahetada kaks ülejäänud ust, mida Monty Hall teebki. Muidugi, ta avab ühe ukse, et paljastada, et selle taga pole auhinda, kuid ta saab seda alati teha, nii et see ei muuda tegelikult midagi. Loomulikult soovite valida teistsuguse ukse.

Kui te ei saa küsimusest päris hästi aru ja vajate veenvamat selgitust, klõpsake sellel lingil, et jõuda suurepärase väikese Flashi rakenduse juurde, mis võimaldab teil seda paradoksi üksikasjalikumalt uurida. Saate mängida alustades umbes 10 uksega ja seejärel järk-järgult liikuda kuni kolme uksega mänguni. Samuti on olemas simulaator, kus saate mängida suvalise arvu ustega (3 kuni 50) või käivitada mitu tuhat simulatsiooni ja vaadata, mitu korda te mängides võidaksite.

Vali üks kolmest uksest – võidu tõenäosus on 1/3. Nüüd on teil kaks strateegiat: muutke oma valikut pärast vale ukse avamist või mitte. Kui te oma valikut ei muuda, jääb tõenäosuseks 1/3, kuna valik toimub alles esimeses etapis ja peate kohe ära arvama. Kui muudate, siis võite võita, kui valite esmalt vale ukse (siis avavad nad teise vale, jääb õige - otsust muutes võtate selle). Tõenäosus, et valite alguses vale ukse, on 2/3 – seega selgub, et oma otsust muutes kahekordistate võidu tõenäosust.
Märkus õpetajalt kõrgem matemaatika ja mängutasakaalu spetsialist Maxim Soldatov - Schreiberil teda muidugi polnud, kuid ilma temata on seda maagilist transformatsiooni üsna raske mõista

Ja veelkord Monty Halli paradoksist

Mis puudutab etendust ennast: isegi kui Monty Halli vastased ei olnud matemaatikas head, oli ta selles hea. Siin on see, mida ta tegi, et mängu veidi muuta. Kui valite ukse, mille taga oli auhind ja mille toimumise tõenäosus oli 1/3, pakuks see teile alati võimalust valida mõni muu uks. Valite auto ja vahetate selle kitse vastu ja näete üsna rumal välja – see on täpselt see, mida soovite, kuna Hall on omamoodi kuri mees.

Aga kui valite ukse, mille taga pole auhinda, siis ta palub teil valida ainult poole ajast mõni muu või ta lihtsalt näitab teile teie uut kitse ja te lahkute lavalt. Analüüsime seda uus mäng, kus Monty Hall saab otsustada, kas pakkuda teile võimalust valida mõni muu uks või mitte.

Oletame, et ta järgib see algoritm: Kui valite auhinnaga ukse, pakub ta teile alati võimalust valida mõni muu uks, vastasel juhul pakub ta teile võrdselt võimalust valida mõni muu uks või kinkida teile kitse. Kui suur on teie võidu tõenäosus?

Ühes kolmest valikust valite kohe ukse, mille taga auhind asub, ning saatejuht kutsub teist valima.

Ülejäänud kahest võimalusest kolmest (valite algselt ukse ilma auhinnata) pakub saatejuht teile pooltel juhtudel oma otsust muuta ja teisel poolel mitte.

Pool 2/3 on 1/3 ehk ühel juhul kolmest saad kitse, ühel juhul kolmest valid vale ukse ja peremees palub sul valida teise ja ühel juhul kolmest valite sina õige ukse, aga tema pakub jälle teist.

Kui saatejuht teeb ettepaneku valida mõni muu uks, siis me juba teame, et seda ühte juhtumit kolmest, kui ta annab meile kitse ja me lahkume, ei juhtunud. See on kasulik teave: see tähendab, et meie võiduvõimalused on muutunud. Kaks juhtumit kolmest, kui meil on võimalus valida: ühel juhul tähendab see, et arvasime õigesti ja teisel juhul, et arvasime valesti, nii et kui meile üldse pakuti võimalust valida, siis meie võidu tõenäosus on 1/2 ja matemaatilisest vaatenurgast pole vahet, kas jääte oma valiku juurde või valite mõne muu ukse.

Nagu pokker, on see psühholoogiline, mitte matemaatiline mäng. Miks Monty sulle valiku andis? Ta arvab, et sa oled lihtlabane, kes ei tea, et teise ukse valimine on “õige” otsus ja hoiab oma valikust kangekaelselt kinni (psüühiliselt ju olukord on keerulisem, kui valisite auto ja kaotasite selle)?

Või pakub ta sulle seda võimalust, otsustades, et oled tark ja valib teise ukse, kuna ta teab, et sa arvasid alguses õigesti ja jääb konksu külge? Või äkki on ta ebaloomulikult lahke ja sunnib sind tegema midagi, mis sulle kasuks tuleb, sest ta pole tükk aega autosid ära andnud ja produtsendid räägivad, et publikul hakkab igav ja parem oleks varsti suur auhind välja anda. kas reitingud langesid?

Nii õnnestub Montyl aeg-ajalt valikut pakkuda ja hoida üldvõidu tõenäosus siiski 1/3 juures. Pidage meeles, et tõenäosus, et te kaotate, on 1/3. Võimalus, et arvate kohe õigesti, on 1/3 ja 50% nendest kordadest võidate (1/3 x 1/2 = 1/6).

Tõenäosus, et sa alguses arvasid valesti, kuid siis saad võimaluse valida mõni muu uks, on 1/3 ja pooled neist kordadest võidad (samuti 1/6). Lisage kaks sõltumatut võiduvõimalust ja saate tõenäosuseks 1/3, seega pole vahet, kas jääte oma valiku juurde või valite mõne muu ukse – teie üldine võidutõenäosus kogu mängu jooksul on 1/3.

Tõenäosus ei muutu suuremaks kui olukorras, kus arvasite ära ust ja saatejuht lihtsalt näitas, mis selle taga on, pakkumata välja teist. Ettepaneku mõte ei ole tõenäosuse muutmine, vaid otsustamisprotsessi televisioonist vaatamise lõbusamaks muutmine.

Muide, see on üks põhjusi, miks pokker võib nii huvitav olla: enamikes formaatides paljastatakse voorude vahel panuste tegemisel (näiteks Texas Hold'emis flop, turn ja river) kaardid järk-järgult. kui mängu alguses on sul üks võiduvõimalus , siis pärast iga ennustusvooru, kui see on avatud rohkem kaarte, see tõenäosus muutub.

Poisi ja tüdruku paradoks

See toob meid teise tuntud paradoksini, mis reeglina paneb kõik pead murdma - poisi ja tüdruku paradoksini. Ainuke asi, millest ma täna kirjutan, mis pole otseselt mängudega seotud (kuigi pean vist lihtsalt julgustama sobivat mängumehaanikat looma). See on rohkem mõistatus, kuid huvitav ja selle lahendamiseks peate mõistma tingimuslikku tõenäosust, millest me eespool rääkisime.

Probleem: mul on sõber kahe lapsega, vähemalt üks neist on tüdruk. Kui suur on tõenäosus, et ka teine laps on tüdruk? Oletame, et igas peres on tüdruku ja poisi sünni tõenäosus 50/50 ja see kehtib iga lapse kohta.

Tegelikult on mõnel mehel rohkem spermatosoide, mille spermas on X- või Y-kromosoom, nii et koefitsiendid muutuvad veidi. Kui teate, et üks laps on tüdruk, on teise tüdruku saamise tõenäosus veidi suurem ja on ka muid haigusi, näiteks hermafroditism. Kuid selle probleemi lahendamiseks me seda ei arvesta ja eeldame, et lapse sünd on iseseisev üritus ning poisi ja tüdruku sünd on võrdselt tõenäoline.

Kuna me räägime võimalusest 1/2, siis intuitiivselt eeldame, et vastus on suure tõenäosusega 1/2 või 1/4 või mõni muu arv, mis on nimetaja kahekordne. Aga vastus on 1/3. Miks?

Siin on raskusi selles, et meie käsutuses olev teave vähendab võimaluste arvu. Oletame, et vanemad on Sesame Streeti fännid ja olenemata laste soost panid neile nimeks A ja B. Tavatingimustes on neli võrdselt tõenäolist võimalust: A ja B on kaks poissi, A ja B on kaks tüdrukut, A on poiss ja B on tüdruk, A on tüdruk ja B on poiss. Kuna me teame, et vähemalt üks laps on tüdruk, võime välistada, et A ja B on kaks poissi. See jätab meile kolm võimalust – endiselt võrdselt tõenäolised. Kui kõik võimalused on võrdselt tõenäolised ja neid on kolm, siis on igaühe tõenäosus 1/3. Ainult ühes neist kolmest valikust on mõlemad lapsed tüdrukud, seega on vastus 1/3.

Ja jälle poisi ja tüdruku paradoksist

Probleemi lahendus muutub veelgi ebaloogilisemaks. Kujutage ette, et mu sõbral on kaks last ja üks neist on teisipäeval sündinud tüdruk. Oletame, et tavatingimustes võib laps sündida igal seitsmel päeval nädalas võrdse tõenäosusega. Kui suur on tõenäosus, et ka teine laps on tüdruk?

Võib arvata, et vastus on ikkagi 1/3: mis tähtsust teisipäeval on? Kuid isegi sel juhul veab meie intuitsioon meid alt. Vastus on 13/27, mis pole mitte ainult ebaintuitiivne, vaid ka väga kummaline. Milles on sel juhul asi?

Tegelikult muudab teisipäev tõenäosust, sest me ei tea, milline laps sündis teisipäeval või võib-olla sündisid mõlemad teisipäeval. Sel juhul kasutame sama loogikat: loeme kõike võimalikud kombinatsioonid, kui vähemalt üks laps on teisipäeval sündinud tüdruk. Nagu eelmises näites, oletame, et lastele antakse nimed A ja B. Kombinatsioonid näevad välja järgmised:

A on teisipäeval sündinud tüdruk, B on poiss (selles olukorras on 7 võimalust, üks iga nädalapäeva kohta, mil oleks võinud sündida poiss).
B on teisipäeval sündinud tüdruk, A on poiss (samuti 7 võimalust).
A - tüdruk, kes sündis teisipäeval, B - tüdruk, kes sündis mõnel teisel nädalapäeval (6 võimalust).
B on tüdruk, kes sündis teisipäeval, A on tüdruk, kes ei sündinud teisipäeval (ka 6 tõenäosust).
A ja B on kaks tüdrukut, kes sündisid teisipäeval (1 võimalus, peate sellele tähelepanu pöörama, et mitte kaks korda lugeda).

Liidame kokku ja saame 27 erinevat võrdselt võimalikku laste sündide ja päevade kombinatsiooni, kus on vähemalt üks võimalus, et tüdruk sünnib teisipäeval. Nendest on 13 võimalust, kui sünnib kaks tüdrukut. See tundub ka täiesti ebaloogiline – tundub, et see ülesanne on lihtsalt peavalu tekitamiseks välja mõeldud. Kui olete endiselt hämmingus, on mänguteoreetik Jesper Juhli veebisaidil selle probleemi kohta hea selgitus.

Kui töötate praegu mõne mängu kallal

Kui teie kujundatavas mängus on juhuslikkus, on see suurepärane aeg selle analüüsimiseks. Valige mõni element, mida soovite analüüsida. Kõigepealt küsige endalt, milline on teie arvates antud elemendi tõenäosus, milline see peaks olema mängu kontekstis.

Näiteks kui teete RPG-d ja mõtlete, milline peaks olema tõenäosus, et mängija võidab lahingus koletise, küsige endalt, mida protsentides võit tundub sulle õige. Konsooli RPG-de puhul on mängijad kaotuse korral väga ärritunud, seega on kõige parem, kui nad kaotavad harva – 10% juhtudest või vähem. Kui olete RPG disainer, teate tõenäoliselt paremini kui mina, kuid teil peab olema põhiline ettekujutus selle tõenäosuse kohta.

Seejärel küsige endalt, kas teie tõenäosused on sõltuvad (nagu kaartide puhul) või sõltumatud (nagu täringutega). Analüüsige kõiki võimalikke tulemusi ja nende tõenäosusi. Veenduge, et kõigi tõenäosuste summa on 100%. Ja loomulikult võrrelge saadud tulemusi oma ootustega. Kas suudad täringut veeretada või kaarte joonistada nii, nagu soovid, või on selge, et väärtusi tuleb korrigeerida. Ja loomulikult, kui leiate puudusi, saate samade arvutuste abil määrata, kui palju väärtusi muuta.

Kodutöö ülesanne

Sinu oma kodutöö” see nädal aitab sul lihvida oma tõenäosusoskusi. Siin on kaks täringumängu ja kaardimäng, mida analüüsite tõenäosuse abil, samuti üks kummaline mängumehaanik, mille ma kunagi välja töötasin ja mis testib Monte Carlo meetodit.

Mäng nr 1 – Dragon Bones

See on täringumäng, mille me kolleegidega kunagi välja mõtlesime (tänu Jeb Heavensile ja Jesse Kingile) – see ajab oma tõenäosustega konkreetselt inimestele pähe. See on lihtne kasiinomäng nimega Dragon Dice ja see on hasartmängu täringuvõistlus mängija ja maja vahel.

Sulle antakse tavaline 1d6 stants. Mängu eesmärk on veeretada maja omast suurem number. Tomile antakse ebastandardne 1d6 – sama mis sinu oma, kuid selle ühel näol on üksuse asemel draakoni kujutis (seetõttu on kasiinos draakoni kuubik - 2-3-4-5-6 ). Kui maja saab draakoni, võidab see automaatselt ja teie kaotate. Kui mõlemad saavad sama number- see on viik ja sa viskad täringut uuesti. Võidab see, kes veeretab suurima numbri.

Muidugi ei lähe kõik päris mängija kasuks, sest kasiinol on eelis draakoni serva näol. Kuid kas see on tõesti tõsi? See on see, mida peate arvutama. Kuid kõigepealt kontrollige oma intuitsiooni.

Oletame, et koefitsient on 2:1. Nii et kui võidad, hoiad oma panust ja saad kahekordse panuse. Näiteks kui panustate 1 dollari ja võidate, jätate selle dollari alles ja saate veel 2, kokku 3 dollarit. Kui kaotate, kaotate ainult oma panuse. Kas sa mängiksid? Kas tunnete intuitiivselt, et tõenäosus on suurem kui 2:1 või arvate siiski, et see on väiksem? Teisisõnu, kas loodate keskmiselt üle 3 mängu võita rohkem kui ühe, vähem või ühe korra?

Kui olete oma intuitsiooni selgeks saanud, kasutage matemaatikat. Mõlema täringu jaoks on ainult 36 võimalikku positsiooni, nii et saate need kõik probleemideta üles lugeda. Kui te pole selles 2-1 pakkumises kindel, kaaluge järgmist: Oletame, et mängisite mängu 36 korda (panustasite iga kord 1 dollari). Iga võidu eest saate 2 dollarit, iga kaotuse eest 1 ja viik ei muuda midagi. Arvutage välja kõik oma tõenäolised võidud ja kaotused ning otsustage, kas kaotate või teenite mõned dollarid. Seejärel küsige endalt, kui õige oli teie intuitsioon. Ja siis saan aru, milline kaabakas ma olen.

Ja jah, kui olete sellele küsimusele juba mõelnud – ajasin teid meelega segadusse, esitades täringumängude tegelikku mehhanismi valesti, kuid olen kindel, et saate sellest takistusest üle vähese mõtlemisega. Proovige see probleem ise lahendada.

Mäng nr 2 – viska õnne peale

See hasartmängud täringus, mida nimetatakse "Õnneheiteks" (ka "Linnupuur", sest mõnikord täringuid ei veeretata, vaid asetatakse suurde traatpuuri, mis meenutab Bingost pärit puuri). Mäng on lihtne ja taandub põhimõtteliselt järgmisele: panusta näiteks 1 dollar numbrile 1 kuni 6. Seejärel viskad 3d6. Iga täringu eest, mis annab teie numbri, saate 1 dollari (ja säilitate oma esialgse panuse). Kui teie number ei ilmu ühelgi täringul, saab kasiino teie dollari ja teie ei saa midagi. Nii et kui panustate 1-le ja saate kolm korda külgedele 1, saate 3 dollarit.

Intuitiivselt tundub, et sellel mängul on võrdsed võimalused. Iga täring on individuaalne võiduvõimalus 1:6, nii et kolme viske summas on teie võiduvõimalus 3:6. Kuid muidugi pidage meeles, et lisate kolm erinevat täringut ja teil on lubatud ainult lisage, kui me räägime sama täringu erinevatest võidukombinatsioonidest. Midagi, mida peate korrutama.

Kui olete kõik võimalikud tulemused välja arvutanud (tõenäoliselt on seda lihtsam teha Excelis kui käsitsi, kuna neid on 216), tundub mäng siiski esmapilgul veider. Tegelikult on kasiinol ikkagi suurem võimalus võita – kui palju rohkem? Täpsemalt, kui palju raha te keskmiselt igas mänguvoorus kaotate?

Kõik, mida pead tegema, on liita kõigi 216 tulemuse võidud ja kaotused ning seejärel jagada 216-ga, mis peaks olema üsna lihtne. Kuid nagu näete, on siin mitmeid lõkse, mistõttu ma ütlen: kui arvate, et sellel mängul on ühtlane võiduvõimalus, on teil kõik valesti.

Mäng nr 3 – 5 Card Stud pokker

Kui olete eelmiste mängudega juba soojenduse teinud, siis vaatame, mida me teame tingimuslik tõenäosus, kasutades seda kaardimängu näitena. Kujutagem ette 52-kaardilise pakiga pokkerimängu. Kujutagem ette ka 5 card stud'i, kus iga mängija saab ainult 5 kaarti. Kaarti ei saa ära visata, uut ei saa tõmmata, jagatud pakki ei ole – saad ainult 5 kaarti.

Royal Flush on ühes käes 10-J-Q-K-A, neid on kokku neli, seega on neli võimalikud viisid saada kuninglik masti. Arvutage tõenäosus, et saate ühe sellise kombinatsiooni.

Pean teid hoiatama ühe asja eest: pidage meeles, et saate need viis kaarti tõmmata mis tahes järjekorras. See tähendab, et kõigepealt võite tõmmata ässa või kümne, see pole oluline. Nii et matemaatikat tehes pidage meeles, et tegelikult on kuningliku masti saamiseks rohkem kui neli võimalust, eeldades, et kaardid jagati järjekorras.

Mäng nr 4 – IMF-i loterii

Neljandat probleemi ei saa täna kõneldud meetoditega nii lihtsalt lahendada, kuid saate olukorda lihtsalt simuleerida programmeerimise või Exceli abil. Selle probleemi näitel saate välja töötada Monte Carlo meetodi.

Mainisin varem mängu Chron X, millega ma kunagi töötasin, ja seal oli üks väga huvitav kaart- IMFi loterii. See toimis järgmiselt: kasutasite seda mängus. Pärast vooru lõppu jagati kaardid ümber ja oli 10% tõenäosus, et kaart läheb mängust välja ja juhuslik mängija saab 5 ühikut igat tüüpi ressursse, mille žetoon sellel kaardil oli. Kaart lasti mängu ilma ühegi kiibita, kuid iga kord, kui see järgmise ringi alguses mängu jäi, sai ta ühe kiibi.

Seega oli 10% tõenäosus, et kui paned selle mängu, siis voor lõppeb, kaart lahkub mängust ja keegi ei saa midagi. Kui seda ei juhtu (90% tõenäosus), on 10% tõenäosus (tegelikult 9%, kuna see on 10% 90%), et järgmises voorus ta lahkub mängust ja keegi saab 5 ühikut ressurssi. Kui kaart lahkub mängust pärast ühte vooru (10% saadaolevast 81% -st, seega on tõenäosus 8,1%), saab keegi 10 ühikut, teine voor - 15, teine - 20 jne. Küsimus: milline on selle kaardi ressursside arvu üldine eeldatav väärtus, kui see lõpuks mängust lahkub?

Tavaliselt püüame seda probleemi lahendada, arvutades iga tulemuse võimaluse ja korrutades kõigi tulemuste arvuga. On 10% tõenäosus, et saate 0 (0,1 * 0 = 0). 9%, et saate 5 ühikut ressursse (9% * 5 = 0,45 ressurssi). 8,1% sellest, mida saate, on 10 (8,1%*10 = 0,81 ressurssi – üldine eeldatav väärtus). Ja nii edasi. Ja siis võtame kõik kokku.

Ja nüüd on probleem teie jaoks ilmselge: alati on võimalus, et kaart ei lahku mängust, see võib jääda mängu igaveseks, lõpmatu arvu voorude jaoks, nii et iga tõenäosust pole võimalik arvutada. Täna õpitud meetodid ei võimalda meil arvutada lõpmatut rekursiooni, seega peame selle kunstlikult looma.

Kui olete programmeerimises piisavalt hea, kirjutage programm, mis simuleerib seda kaarti. Teil peaks olema ajasilmus, mis viib muutuja nulli lähtepositsiooni, näitab juhuslikku arvu ja 10% tõenäosusega muutuja väljub tsüklist. Vastasel juhul lisab see muutujale 5 ja tsükkel kordub. Kui see lõpuks tsüklist väljub, suurendage proovikäibete koguarvu 1 võrra ja ressursside koguarvu (kui palju see sõltub sellest, kuhu muutuja jõuab). Seejärel lähtestage muutuja ja alustage uuesti.

Käivitage programm mitu tuhat korda. Lõpuks jagage ressursside koguarv jooksude koguarvuga – see on teie eeldatav Monte Carlo väärtus. Käivitage programm mitu korda, veendumaks, et saadud numbrid on ligikaudu samad. Kui hajuvus on endiselt suur, suurenda korduste arvu välimises silmuses, kuni hakkad tikke saama. Võite olla kindel, et kõik numbrid, milleni jõuate, on ligikaudu õiged.

Kui olete programmeerimises uus (isegi kui olete), on siin kiire harjutus oma Exceli oskuste testimiseks. Kui olete mängudisainer, ei lähe need oskused kunagi üleliigseks.

Nüüd on funktsioonid if ja rand teile väga kasulikud. Rand ei nõua väärtusi, see loob lihtsalt juhusliku kümnendnumber 0-st 1-ni. Tavaliselt kombineerime selle põranda ning plusside ja miinustega, et simuleerida täringu viskamist, mida ma varem mainisin. Kuid sel juhul jätame 10% võimaluse, et kaart mängust lahkub, nii et saame lihtsalt kontrollida, kas randi väärtus on väiksem kui 0,1, ja mitte enam selle pärast muretseda.

Kui sellel on kolm tähendust. Järjekorras: tingimus, mis on tõene või väär, siis väärtus, mis tagastatakse, kui tingimus on tõene, ja väärtus, mis tagastatakse, kui tingimus on väär. Niisiis järgmine funktsioon tagastab 5% ajast ja 0 ülejäänud 90% ajast: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Selle käsu määramiseks on palju võimalusi, kuid ma kasutaksin seda valemit lahtri jaoks, mis esindab esimest ringi, oletame, et see on lahter A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Siin kasutan negatiivset muutujat, mis tähendab, et "see kaart pole mängust lahkunud ega ole veel ressurssidest loobunud." Nii et kui esimene voor on läbi ja kaart lahkub mängust, on A1 0; muidu on –1.

Järgmise lahtri jaoks, mis esindab teist vooru: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Nii et kui esimene voor lõppes ja kaart kohe mängust lahkus, on A1 0 (ressursside arv) ja see lahter lihtsalt kopeerib selle väärtuse. Vastasel juhul on A1 -1 (kaart pole veel mängust lahkunud) ja see lahter jätkab juhuslikku liikumist: 10% ajast tagastab see 5 ühikut ressursse, ülejäänud aja on selle väärtus endiselt võrdne -1. Kui rakendame seda valemit täiendavatele lahtritele, saame täiendavad voorud ja mis iganes lahtrisse jõuate, annab teile lõpptulemuse (või -1, kui kaart ei lahkunud mängust pärast kõiki teie mängitud ringe).

Võtke see lahtririda, mis tähistab selle kaardi ainsat vooru, ning kopeerige ja kleepige mitusada (või tuhat) rida. Võib-olla ei saa me Exceli jaoks lõputut testi teha (tabelis on piiratud arv lahtreid), kuid vähemalt saame enamiku juhtudest katta. Seejärel valige üks lahter, kuhu paigutate kõigi voorude tulemuste keskmise – Excel pakub selleks abiks keskmise() funktsiooni.

Windowsis saate kõigi juhuslike arvude ümberarvutamiseks vajutada vähemalt klahvi F9. Nagu varemgi, tehke seda mitu korda ja vaadake, kas saate samad väärtused. Kui vahe on liiga suur, kahekordistage jooksude arvu ja proovige uuesti.

Lahendamata probleemid

Kui sul juhtub olema tõenäosusteooria kõrgharidus ja eeltoodud ülesanded tunduvad sulle liiga lihtsad, siis siin on kaks ülesannet, mille pärast olen juba aastaid kukalt kratsinud, kuid kahjuks pole ma matemaatikas piisavalt hea, et neid lahendada.

Lahendamata probleem nr 1: IMFi loterii

Esimene lahendamata probleem on eelmine kodutöö. Saan hõlpsasti rakendada Monte Carlo meetodit (kasutades C++ või Excelit) ja olla kindel vastuses küsimusele “kui palju ressursse mängija saab”, kuid ma ei tea täpselt, kuidas anda matemaatiliselt täpset tõestatavat vastust (see on lõpmatu seeria).

Lahendamata probleem nr 2: Figuuride jadad

Selle probleemi (see läheb ka palju kaugemale siin blogis lahendatavatest ülesannetest) andis mulle rohkem kui kümme aastat tagasi mängumees sõber. Vegases blackjacki mängides märkas ta üht huvitavat: kui ta 8-tekiga kingalt kaarte eemaldas, nägi ta järjest kümmet kuju (figuuri- või näokaart on 10, Jokker, Kuningas või Kuninganna, seega on neid 16). kokku tavalises 52 kaardipakises kaardis või 128 416 kaardipakis).

Kui suur on tõenäosus, et see king sisaldab vähemalt ühte kümnest või enamast kujundist koosnevat jada? Oletame, et need segati õiglaselt, juhuslikus järjekorras. Või kui eelistate, siis kui suur on tõenäosus, et kümnest või enamast numbrist koosnevat jada ei esine kuskil?

Saame ülesannet lihtsustada. Siin on 416 osast koosnev jada. Iga osa on 0 või 1. Kogu jadas on juhuslikult hajutatud 128 ühte ja 288 nulli. Mitu võimalust on 128 ühe ja 288 nulli juhuslikuks vahele segamiseks ja mitu korda tekib sel viisil vähemalt üks kümnest või enamast ühest koosnev rühm?

Iga kord, kui ma seda probleemi lahendama asusin, tundus see mulle lihtne ja enesestmõistetav, kuid niipea, kui ma detailidesse süvenesin, lagunes see ootamatult ja tundus lihtsalt võimatu.

Nii et ärge kiirustage vastust välja ütlema: istuge maha, mõelge hoolikalt, uurige tingimusi, proovige sisestada reaalarvud, sest kõik inimesed, kellega ma sellest probleemist rääkisin (sealhulgas mitmed sellel alal töötavad magistrandid), reageerisid sellele. sama: "See on täiesti ilmne... oh, ei, oota, see pole üldse ilmne." Seda juhul, kui mul pole kõigi valikute arvutamise meetodit. Muidugi saaksin probleemi toorelt läbi arvutialgoritmi läbi suruda, kuid palju huvitavam oleks teada matemaatilist lahendust.

Saan aru, et kõik tahavad ette teada, kuidas spordiüritus lõppeb, kes võidab ja kes kaotab. Selle teabe abil saate kartmatult panustada spordisündmustele. Kuid kas see on üldse võimalik ja kui jah, siis kuidas arvutada sündmuse tõenäosust?

Tõenäosus on suhteline väärtus, mistõttu ei saa see ühegi sündmuse kohta kindlalt rääkida. See väärtus võimaldab analüüsida ja hinnata konkreetsele võistlusele panuse tegemise vajadust. Tõenäosuste määramine on terve teadus, mis nõuab hoolikat uurimist ja mõistmist.

Tõenäosusteooria tõenäosuskordaja

Spordiennustuses on võistluse tulemuseks mitu võimalust:

esimene võistkondlik võit;
teise meeskonna võit;
joonistada;
kokku

Igal võistluse tulemusel on selle sündmuse toimumise tõenäosus ja sagedus oma, eeldusel, et esialgsed omadused säilivad. Nagu me varem ütlesime, on võimatu täpselt arvutada ühegi sündmuse tõenäosust - see võib kokku langeda või mitte. Seega võib teie panus kas võita või kaotada.

Võistluste tulemusi ei saa 100% täpselt ennustada, kuna matši tulemust mõjutavad paljud tegurid. Loomulikult ei tea kihlveokontorid mängu tulemust ette ja eeldavad ainult tulemust, tehes otsuseid oma analüüsisüsteemi abil ja pakkudes teatud koefitsiente.

Kuidas arvutada sündmuse tõenäosust?

Oletame, et kihlveokontori koefitsient on 2,1/2 – saame 50%. Selgub, et koefitsient 2 on võrdne tõenäosusega 50%. Sama põhimõtet kasutades saate tasuvuskoefitsiendi - 1/tõenäosus.

Paljud mängijad arvavad, et pärast mitut korduvat kaotust tuleb kindlasti võit – see on ekslik arvamus. Panuse võitmise tõenäosus ei sõltu kaotuste arvust. Isegi kui lööte mündimängus mitu pead järjest, jääb sabade ümberpööramise tõenäosus samaks - 50%.