Definicija. Točka u beskonačnosti u kompleksnoj ravnini naziva se izolirana singularna točka nedvosmislen analitička funkcijaf(z), ako vani krug nekog radijusa R,

oni. za , ne postoji konačna singularna točka funkcije f(z).

Za proučavanje funkcije u beskonačno udaljenoj točki, napravimo promjenu
Funkcija

imat će singularitet u točki ζ = 0, a ova točka će biti izolirana, jer

unutar kruga
nema drugih singularnih točaka prema pretpostavci. Biti analitičan u ovome

krug (s izuzetkom ζ = 0), funkcija
može se proširiti u Laurentov niz po potencijama ζ . Klasifikacija opisana u prethodnom paragrafu je u potpunosti sačuvana.

Međutim, ako se vratimo na izvornu varijablu z, zatim redovi u pozitivnim i negativnim potencijama z'zamijeniti' mjesta. Oni. klasifikacija točaka u beskonačnosti izgledala bi ovako:

Primjeri. 1.
. Točka z = ja − pol 3. reda.

2.
. Točka z = ∞ je bitna singularna točka.

§osamnaest. Ostatak analitičke funkcije u izoliranoj singularnoj točki.

Neka točka z 0 je izolirana singularna točka analitičke funkcije s jednom vrijednošću

f(z) . Prema prethodnom, u blizini ove točke f(z) može se jedinstveno predstaviti Laurentovim nizom:
gdje

Definicija.odbitak analitička funkcija f(z) u izoliranoj singularnoj točki z 0

nazvao složeni broj, jednaka vrijednosti integrala
uzeti u pozitivnom smjeru za bilo koji Zatvoreni krug, koji leži u domeni analitičnosti funkcije i unutar sebe sadrži jedinu singularnu točku z 0 .

Ostatak je označen simbolom Res [f(z),z 0 ].

Lako je vidjeti da je ostatak u pravilnoj ili uklonjivoj singularnoj točki jednak nuli.

Na polu ili bitnoj singularnoj točki, ostatak jednaka koeficijentu s-1 Laurent red:

.

Primjer. Pronađite ostatak funkcije
.

(Neka to bude lako vidjeti

koeficijent s-1 dobit ćemo množenjem članova sa n= 0:res[ f(z),ja ] =
}

Često je moguće izračunati ostatke funkcija preko na jednostavan način. Neka funkcija f(z) ima uklj. z 0 je pol prvog reda. U ovom slučaju, proširenje funkcije u Laurentov niz ima oblik (§16):. Ovu jednakost pomnožimo sa (z − z 0) i prijeđemo na limes pri
. Kao rezultat, dobivamo: Res[ f(z),z 0 ] =
Da, unutra

u zadnjem primjeru imamo Res[ f(z),ja ] =
.

Da biste izračunali ostatke na polovima višeg reda, pomnožite funkciju

na
(m− redoslijed pola) i diferencirati rezultirajući niz ( m − 1 put.

U ovom slučaju imamo: Res[ f(z),z 0 ]

Primjer. Pronađite ostatak funkcije
u točki z= −1.

{Res[ f(z), −1] }

Ako neki niz konvergira do konačnog broja a , tada pišemo
.
Ranije smo u razmatranje uveli beskonačno velike nizove. Prihvatili smo da su konvergentni i označili njihove limite simbolima i . Ovi simboli predstavljaju beskrajno udaljene točke . Ne pripadaju skupu realnih brojeva. Ali koncept limita omogućuje uvođenje takvih točaka i pruža alat za proučavanje njihovih svojstava uz pomoć realnih brojeva.

Definicija
točka beskonačnosti, ili beskonačnost bez predznaka, je granica prema kojoj teži beskonačno veliki niz.
točka u beskonačnosti plus beskonačnost, je granica prema kojoj teži beskonačno veliki niz s pozitivnim članovima.
točka u beskonačnosti minus beskonačnost, je granica prema kojoj teži beskonačno veliki niz s negativnim članovima.

Za bilo koga pravi broj a vrijede sljedeće nejednakosti:
;
.

Koristeći realne brojeve, uveli smo koncept okolina beskonačne točke.
Okolica točke je skup .
Konačno, okolina točke je skup .
Ovdje je M proizvoljan, proizvoljno veliki realni broj.

Tako smo skup realnih brojeva proširili uvođenjem novih elemenata. U tom smislu vrijedi sljedeća definicija:

Produženi brojevni pravac ili prošireni skup realnih brojeva naziva se skup realnih brojeva, dopunjenih elementima i :
.

Najprije zapišemo svojstva koja točke i imaju. Zatim, razmotrite pitanje stroge matematička definicija operacije za te točke i dokaze tih svojstava.

Svojstva točaka u beskonačnosti

Zbroj i razlika.
; ;
; ;

Posao i privatno.
; ; ;
;
;
; ; .

Veza s realnim brojevima.
Neka je a proizvoljan realan broj. Zatim
; ;
; ; ; .
Neka a > 0 . Zatim
; ; .
Neka a < 0 . Zatim
; .

Nedefinirane operacije.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Dokazi za svojstva točaka u beskonačnosti

Definicija matematičkih operacija

Već smo dali definicije za točke u beskonačnosti. Sada im moramo definirati matematičke operacije. Budući da smo te točke definirali u terminima nizova, operacije na tim točkama također moraju biti definirane u terminima nizova.

Tako, zbroj dva boda
c = a + b
pripada proširenom skupu realnih brojeva,
,
nazvat ćemo granicu
,
gdje su i proizvoljni nizovi s granicama
i .

Na sličan način definirane su operacije oduzimanja, množenja i dijeljenja. Samo, kod dijeljenja elementi u nazivniku razlomka ne smiju biti jednaki nuli.
Zatim razlika od dva boda:
je granica: .
Točkasti proizvod:
je granica: .
Privatni:
je granica: .
Ovdje i su proizvoljni nizovi čiji su limiti a i b , redom. NA posljednji slučaj, .

Dokaz o vlasništvu

Da bismo dokazali svojstva točaka u beskonačnosti, moramo koristiti svojstva beskonačno velikih nizova.

Razmotrimo nekretninu:
.
Da bismo to dokazali, moramo to pokazati
,

Drugim riječima, trebamo dokazati da zbroj dva niza koji konvergiraju u plus beskonačno konvergira u plus beskonačno.

1 vrijede sljedeće nejednakosti:
;
.
Tada za i imamo:
.
Neka . Zatim
u ,
gdje .
Ovo znači to .

Ostala svojstva dokazuju se na sličan način. Kao primjer donosimo još jedan dokaz.

Dokažimo da:
.
Da bismo to učinili, moramo to pokazati
,
gdje su i proizvoljni nizovi, s granicama i .

To jest, moramo dokazati da je produkt dvaju beskonačno velikih nizova beskonačno velik niz.

Dokažimo to. Kako je i , onda postoje neke funkcije i , tako da za svaki pozitivan broj M 1 vrijede sljedeće nejednakosti:
;
.
Tada za i imamo:
.
Neka . Zatim
u ,
gdje .
Ovo znači to .

Nedefinirane operacije

Dio matematičke operacije s točkama u beskonačnosti nisu definirane. Da bismo pokazali njihovu neodređenost, moramo dati nekoliko posebnih slučajeva kada rezultat operacije ovisi o izboru sekvenci koje su u njih uključene.

Razmotrite ovu operaciju:
.
Lako je pokazati da ako je i , onda granica zbroja nizova ovisi o izboru nizova i .

Doista, uzmimo. Granice ovih nizova su jednake. Ograničenje iznosa

jednak je beskonačnosti.

Sada uzmimo. Granice ovih nizova su također jednake. Ali granica njihova zbroja

jednaka nuli.

To jest, pod uvjetom da i , vrijednost granice zbroja može potrajati razna značenja. Stoga operacija nije definirana.

Na sličan način može se pokazati nesigurnost preostalih gore navedenih operacija.

točka beskonačnosti.

Neka je funkcija analitička u nekoj okolini beskonačno udaljene točke (osim same točke). Kažu da jestuklonjiva singularna točka, pol ili bitna singularna točkafunkcionira ovisno okonačan, beskonačan ili nepostojeći .

Neka i tada biti analitički u nekoj okolini točke. Potonji će biti singularna točka istog tipa kao za for. Laurentova ekspanzija u susjedstvu može se dobiti jednostavnom promjenom Laurentove ekspanzije u susjedstvu. Ali s takvom zamjenom, ispravan dio zamjenjuje se glavnim i obrnuto. Dakle, pošteno

Teorem 1. U slučaju singulariteta koji se može ukloniti u beskonačnoj točki, Laurentovo širenje funkcije u susjedstvu te točke uopće ne sadrži pozitivnih stupnjeva, u slučaju stupasadrži ih konačan broj, au slučajubitno obilježje – beskonačno.

Ako ima u točki uklonjivi značajka, obično se kaže da itanalitički u beskonačnosti, i prihvatiti. U ovom slučaju funkcija je očito ograničena iu nekoj okolini točke.

Neka je funkcija analitička u punom prostoru. Iz analitičnosti funkcije u beskonačnoj točki slijedi da je ona ograničena u okolini te točke; pustiti na. S druge strane, od analitičnosti do začarani krug slijedi svoje ograničenje u ovom krugu; pusti to unutra. Ali tada je funkcija ograničena u cijeloj ravni: za sve što imamo. Dakle, Liouvilleov teoremmože se dati sljedeći oblik.

Teorem 2. Ako je funkcija analitička u punoj ravnini, onda je konstantna.

Predstavimo sada konceptostatak u beskonačnosti. Neka je funkcija analitička u nekoj okolini točke (osim, možda, same ove točke); pod, ispoddedukcija funkcije u beskonačnosti razumjeti

gdje je dovoljno velika kružnica prijeđena u smjeru kazaljke na satu (tako da kružnica točke ostane lijevo).

Iz ove definicije izravno slijedi da je ostatak funkcije u beskonačnosti jednak koeficijentu at u njenom Laurentovom širenju u blizini točke, uzet sa suprotnim predznakom:

Teorem 3. Ako funkcija ima konačan broj singularnih točaka u punoj ravnini, tada je zbroj svih njezinih ostataka, uključujući i ostatak u beskonačnosti, jednak nuli.

Dokaz. Doista, neka a 1 ,…a n krajnje singularne točke funkcije i - kružnica koja ih sve sadrži. Po svojstvu integrala, teoremu o ostatku i definiciji ostatka u beskonačno udaljenoj točki, imamo:

Ch.t.d.

Primjene teorije rezidua na izračun integrala.

Neka je potrebno izračunati integral od stvarna funkcija duž nekog (konačnog ili beskonačnog) segmenta ( a, b) x-os. Komplement (a, b ) neka krivulja koja omeđuje zajedno s ( a , b ) domenu, a analitički nastaviti na.

Primjenjujemo teorem o ostatku na konstruirani analitički nastavak:

(1)

Ako se integral preko može izračunati ili izraziti u terminima željenog integrala, tada je problem izračuna riješen.

U slučaju beskonačnih segmenata ( a , b ) obično razmatraju obitelji beskonačno rastućih kontura integracije, koje su konstruirane na takav način da, kao rezultat prelaska na granicu, dobijemo integral nad ( a , b ). U tom slučaju ne može se izračunati integral over u relaciji (1), već se može pronaći samo njegova granica, koja se često pokaže jednakom nuli.

Sljedeće je vrlo korisno.

Lema (Jordan). Ako na nekom nizu lukova kružnica, (, a fiksna) funkcija teži nuli ravnomjerno u odnosu na

. (2)

Dokaz. Označiti

Prema uvjetima leme, as također teži nuli, i Neka a>0; na lukovima AB i CD imamo.

Prema tome, integral nad lukovima AB, CD teži nuli pri.

Budući da nejednakost vrijedi za , Zatim na luku BITI

Stoga, a time također teži nuli pri. Ako na luku CE Ako se polarni kut računa u smjeru kazaljke na satu, tada će se dobiti ista procjena za. U slučaju kada je dokaz pojednostavljen, budući da bit će suvišno procjenjivati ​​integral po lukovima AB i CD. Lema je dokazana.

Napomena 1. Niz lukova kružnica u lemi se može zamijeniti lučna obitelj

onda, ako funkcija at teži nuli jednoliko u odnosu na tada za

. (3)

Dokaz ostaje valjan.

Napomena 2. Promijenimo varijablu: iz=str , tada su lukovi kružnica leme zamijenjeni lukovima, i dobivamo da za bilo koju funkciju F(str ) koja teži nuli jednakomjerno s obzirom na i za bilo koji pozitivan t

. (4)

Zamjena p u (4) s (-p ) to dobivamo pod istim uvjetima za

, (5)

gdje je luk kružnice (vidi sl.).

Razmotrimo primjere izračunavanja integrala.

Primjer 1. .

Izaberimo pomoćnu funkciju. Jer funkcija na zadovoljava nejednakost, tada uniformno teži nuli kao, a prema Jordanovoj lemi, kao

Jer prema teoremu o ostatku imamo

U limitu na , dobivamo:

Odvajanjem realnih dijelova i korištenjem pariteta funkcije nalazimo

Primjer 2. Za izračunavanje integrala

Uzmimo pomoćnu funkciju. Integracijska kontura zaobilazi singularnu točku z =0. Po Cauchyjevom teoremu

Iz Jordanove leme se vidi da Za procjenu, razmotrite Laurentovo širenje u susjedstvu točke z=0

gdje je regularna u točki z =0 funkcija. Odavde je jasno da

Stoga se Cauchyjev teorem može prepisati kao

Zamjena u prvom integralu x na x , dobivamo da je jednak, pa imamo

U granici na i konačno:

. (7)

Primjer 3. Izračunajte integral

Uvodimo pomoćnu funkciju i biramo integracijsku konturu isto kao u prethodnom primjeru. Unutar ove konture, logaritam dopušta odabir grane s jednom vrijednošću. Označimo granu koja je određena nejednadžbom. Funkcija ima u točki z=i pol drugog reda s ostatkom

Prema teoremu o redukciji.

Na, počevši od nekih dovoljno velikih R , Posljedično, .

Slično, za početak od nekih dovoljno malih r , dakle

U prvom integralu nakon zamjene z=-x dobivamo:

i, prema tome, u limitu na imamo:

Usporedba stvarnog i imaginarnog dijela daje:

, .

Primjer 4. Za integral

odaberite pomoćnu funkciju i konturu prikazanu na slici. Unutarnja kontura je nedvosmislena, ako to pretpostavimo.

Na gornjim i donjim obalama reza, uključenog u ovu konturu, uzimaju se vrijednosti i, prema tome, integrali međusobnog poništavanja, što omogućuje izračunavanje potrebnog integrala. Unutar konture nalaze se dva pola prvog reda funkcije s ostacima, redom, jednakim:

gdje. Primjenom teorema o ostatku dobivamo:

Prema gore navedenom imamo:

Baš kao u prethodnom primjeru, to ćemo dokazati, a onda ćemo u limitu pri imati:

Odavde, uspoređujući zamišljene dijelove, dobivamo:

Primjer 5. Izračunajte glavnu vrijednost posebnog integrala

Izaberimo pomoćnu funkciju i krug prikazan na slici. Unutar konture funkcija je pravilna. Na donjoj obali presjeka duž pozitivne poluosi. Dakle, prema Cauchyjevom teoremu:

(8).

Očito je da sa i sa. Uz, imamo redom i, gdje varira od 0 do odnosno od do. Posljedično,

Prelaskom u (8) na granicu pri , dobivamo tako

odakle je željeni integral jednak

Primjer 6. Izračunajte integral

Razmotrimo funkciju. Napravimo rez*) .

Neka. Kada obilazite zatvorenu putanju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (vidi sliku, isprekidanu liniju) i dobijete povećanje,

dakle, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 također se povećava. Dakle, u vanjštini reza funkcija se dijeli na 3 pravilne grane, koje se međusobno razlikuju po izboru početnog elementa funkcije, t.j. vrijednost u nekom trenutku.

Razmotrit ćemo onu granu funkcije, koja na gornjoj obali reza (-1,1) zauzima pozitivne vrijednosti, i uzmite konturu,

___________________

*) Učinjena su zapravo dva reza: i, međutim, na osi x desno od točke x =1 funkcija je kontinuirana: iznad reza, ispod reza.

prikazan na crtežu. Na banci I imamo, t.j. , na obali II (nakon obilaska točke z =1 u smjeru kazaljke na satu) (tj.), tj. , dok integrali po kružnicama i očito teže nuli**) na. Prema tome, po Cauchyjevom teoremu za višestruko povezane domene

Za izračun koristimo proširenje grane 1/ u blizini beskonačne točke. Izvadimo korijen ispod znaka, pa dobijemo gdje su i grane ovih funkcija, pozitivne na segmentu (1,) realne osi.

na segmentu realne osi. Proširujući potonje prema binomnoj formuli:

nalazimo ostatak odabrane grane 1/ u beskonačno udaljenoj točki: (koeficijent pri 1/ z sa suprotnim predznakom). Ali integral je jednak ovom ostatku pomnoženom sa, tj. konačno imamo gdje

Primjer 7. Promotrimo integral.

__________________

**) Razmotrimo, na primjer, integral preko. Imamo, tj.

Pretpostavimo onda, dakle,

Unutar kruga integrand ima jedan pol II nalog minus

Prema teoremu o ostatku, imamo

Primjer 8. Slično izračunavamo integral

Nakon zamjene imamo:

Jedan od polova integranda leži unutra jedinični krug, a drugi je izvan njega, jer po svojstvu korijena kvadratna jednadžba, dok su na temelju uvjeta ti korijeni stvarni i različiti. Dakle, po teoremu o ostatku

(9)

gdje je pol unutar kruga. Jer desni dio(9) realan, onda daje traženi integral

Definicija
Okolina realne točke x 0 Svaki otvoreni interval koji sadrži ovu točku naziva se:
.
Ovdje ε 1 i ε 2 su proizvoljni pozitivni brojevi.

Epsilon - okolina točke x 0 naziva se skup točaka čija je udaljenost do točke x 0 manje od ε:
.

Probušena okolina točke x 0 naziva se okolina te točke, iz koje je isključena sama točka x 0 :
.

Krajnje točke susjedstva

Na samom početku dana je definicija okoline točke. Označava se kao . Ali možete eksplicitno odrediti da susjedstvo ovisi o dva broja koristeći odgovarajuće argumente:
(1) .
To jest, susjedstvo je skup točaka koje pripadaju otvorenom intervalu.

Izjednačavanje ε 1 do ε 2 , dobivamo epsilon - susjedstvo:
(2) .
Epsilon - susjedstvo - je skup točaka koje pripadaju otvorenom intervalu s ekvidistantnim krajevima.
Naravno, slovo epsilon se može zamijeniti bilo kojim drugim i možemo smatrati δ - susjedstvo, σ - susjedstvo, i tako dalje.

U teoriji granica može se koristiti definicija susjedstva koja se temelji i na skupu (1) i na skupu (2). Korištenje bilo kojeg od ovih susjedstava daje ekvivalentne rezultate (vidi ). No definicija (2) je jednostavnija, stoga se često koristi epsilon - okolina točke određena iz (2).

Koncepti lijevog, desnog i probušenog susjedstva krajnjih točaka također se široko koriste. Donosimo njihove definicije.

Lijeva okolina realne točke x 0 je poluotvoreni interval smješten na realnoj osi lijevo od x 0 , uključujući samu točku:
;
.

Desna okolina realne točke x 0 je poluotvoreni interval koji se nalazi desno od x 0 , uključujući samu točku:
;
.

Probušene krajnje točke susjedstva

Punktirane okoline točke x 0 su iste četvrti, iz kojih je sama točka isključena. Označeni su krugom iznad slova. Donosimo njihove definicije.

Punktirana okolina točke x 0 :
.

Probušeni epsilon - okolina točke x 0 :
;
.

Probušeno lijevo susjedstvo:
;
.

Probušeno desno susjedstvo:
;
.

Okolice točaka u beskonačnosti

Uz krajnje točke, uvedene su i okoline točaka u beskonačnosti. Svi su izbušeni jer u beskonačnosti ne postoji pravi broj (točka u beskonačnosti je definirana kao granica beskonačnosti veliki niz).

.
;
;
.

Bilo je moguće odrediti susjedstvo beskonačno udaljenih točaka i tako:
.
Ali umjesto M, koristimo , tako da je susjedstvo s manjim ε podskup susjedstva s većim ε, baš kao i za susjedstvo krajnjih točaka.

posjed susjedstva

Zatim koristimo očito svojstvo susjedstva točke (konačno ili u beskonačnosti). Ono leži u činjenici da su susjedstva točaka s manjim vrijednostima ε podskupovi susjedstava s većim vrijednostima ε. Predstavljamo strože formulacije.

Neka postoji konačna ili beskonačno udaljena točka. Pusti to .
Zatim
;
;
;
;
;
;
;
.

Obratne tvrdnje su također istinite.

Ekvivalencija definicija limita funkcije po Cauchyju

Sada ćemo pokazati da se u definiciji limita funkcije prema Cauchyju može koristiti i proizvoljna okolina i okolina s ekvidistantnim krajevima.

Teorema
Cauchyjeve definicije limita funkcije koje koriste proizvoljne susjedstva i susjedstva s jednako udaljenim krajevima su ekvivalentne.

Dokaz

Idemo formulirati prva definicija limita funkcije.
Broj a je granica funkcije u točki (konačnoj ili u beskonačnosti) ako postoji pozitivni brojevi postoje brojevi ovisni o i takvi da za sve , pripada odgovarajućoj okolini točke a :
.

Idemo formulirati druga definicija limita funkcije.
Broj a je granica funkcije u točki , ako za bilo koji pozitivan broj postoji broj koji ovisi o , tako da za sve :
.

Dokaz 1 ⇒ 2

Dokažimo da ako je broj a limes funkcije po 1. definiciji, onda je to i limes po 2. definiciji.

Neka vrijedi prva definicija. To znači da postoje takve funkcije i , pa za sve pozitivne brojeve vrijedi sljedeće:
gdje .

Budući da su brojevi i proizvoljni, izjednačavamo ih:
.
Zatim postoje funkcije i , tako da za bilo koju vrijedi:
gdje .

Primijeti da .
Dopustiti biti najmanji pozitivan broj i . Zatim, kao što je gore navedeno,
.
Ako tada .

To jest, pronašli smo takvu funkciju, tako da za bilo koju vrijedi sljedeće:
gdje .
To znači da je broj a limit funkcije i po drugoj definiciji.

Dokaz 2 ⇒ 1

Dokažimo da ako je broj a limes funkcije po 2. definiciji, onda je to i limes po 1. definiciji.

Neka vrijedi druga definicija. Uzmite dva pozitivna broja i . I neka bude najmanji od njih. Tada, prema drugoj definiciji, postoji takva funkcija , tako da za bilo koji pozitivan broj i za sve , slijedi da je
.

Ali prema . Stoga, iz onoga što slijedi,
.

Zatim za sve pozitivne brojeve i , pronašli smo dva broja , dakle za sve :
.

To znači da je broj a ujedno i limit po prvoj definiciji.

Teorem je dokazan.

Reference:
L.D. Kudrjavcev. Dobro matematička analiza. Svezak 1. Moskva, 2003.

Okolinu ove točke definirali smo kao vanjštinu krugova sa središtem u ishodištu: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Točka z = ∞ je izolirana singularna točka analitičke funkcije w = f (z ) ako ne postoje druge singularne točke ove funkcije u nekoj okolini te točke. Da bismo odredili vrstu ove singularne točke, napravimo promjenu varijable , dok točka z = ∞ ide do točke z 1 = 0, funkcija w = f (z ) poprima oblik . Tip singularne točke z = ∞ funkcije w = f (z ) nazvat ćemo tip singularne točke z 1 = 0 značajki w = φ (z jedan). Ako proširenje funkcije w = f (z ) po stupnjevima z u blizini točke z = ∞, tj. za dovoljno velike modulo vrijednosti z , ima oblik , zatim, zamjenjujući z na , dobivamo . Dakle, pod takvom promjenom varijable, glavni i pravilni dijelovi Laurentovog niza se međusobno zamjenjuju, a tip singularne točke z = ∞ određeno je brojem članova u ispravnom dijelu proširenja funkcije u Laurentov niz po potencijama z u blizini točke z = 0. Prema tome
1. Točka z = ∞ je uklonjiva singularna točka ako ne postoji regularni dio u ovoj ekspanziji (uz moguću iznimku člana A 0);
2. Točka z = ∞ - pol n -ti red, ako ispravan dio završava člankom A n · z n ;
3. Točka z = ∞ je bitna singularna točka ako regularni dio sadrži beskonačno mnogo članova.

Pritom ostaju važeći predznaci vrsta singularnih točaka po vrijednosti: ako z= ∞ je uklonjiva singularna točka, tada ta granica postoji i konačna je ako z= ∞ - pol, tada je ta granica beskonačna ako z= ∞ je u biti singularna točka, tada ta granica ne postoji (ni konačna ni beskonačna).

Primjeri: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Funkcija je već polinom u potencijama z , najviši stupanj je šesti, dakle z
Isti rezultat može se dobiti na drugačiji način. Zamijenimo z na, onda . Za funkciju φ (z 1) točka z 1 = 0 je pol šestog reda, pa je for f (z ) točka z = ∞ je pol šestog reda.
2. . Za ovu funkciju dobijte proširenje ovlasti z teško, pa nalazimo: ; granica postoji i konačna je, dakle točka z
3. . Ispravan dio proširenja snage z sadrži beskonačno mnogo članova, pa z = ∞ je bitna singularna točka. Inače, ova se činjenica može utvrditi na temelju činjenice da ona ne postoji.

Funkcijski ostatak u beskonačno udaljenoj singularnoj točki.

Za krajnju singularnu točku a , gdje γ - kontura koja ne sadrži ništa osim a , singularne točke, prijeđe se tako da područje koje njime omeđuje i koje sadrži singularnu točku ostaje s lijeve strane (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu).

Definirajmo to na sličan način: , gdje je Γ − kontura koja ograničava takvo susjedstvo U (∞, r ) bodova z = ∞, koja ne sadrži druge singularne točke, a može se obići tako da ta okolina ostaje lijevo (tj. u smjeru kazaljke na satu). Dakle, sve ostale (krajnje) singularne točke funkcije moraju biti unutar konture Γ − . Promijenimo smjer obilaženja konture Γ − : . Prema teoremu o glavnom ostatku , gdje je zbrajanje nad svim konačnim singularnim točkama. Stoga, konačno

,

oni. ostatak u beskonačno udaljenoj singularnoj točki jednak je zbroju ostaci nad svim konačnim singularnim točkama, uzeti sa suprotnim predznakom .

Kao posljedica toga, postoji teorema o puni iznos odbici: if funkcija w = f (z ) je analitička posvuda u ravnini S , uz iznimku konačan broj singularne točke z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , tada je zbroj ostataka u svim konačnim singularnim točkama i ostataka u beskonačnosti nula.

Imajte na umu da ako z = ∞ je uklonjiva singularna točka, tada ostatak na njoj može biti različit od nule. Dakle, za funkciju , očito, ; z = 0 je jedina krajnja singularna točka ove funkcije, dakle , usprkos tome što je , tj. z = ∞ je uklonjiva singularna točka.