Kako riješiti jednadžbe Cramerovom metodom. Cramerova metoda: rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (Slau)

2. Rješavanje sustava jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
3. Gaussova metoda za rješavanje sustava jednadžbi.

Cramerova metoda.

Cramerova metoda koristi se za rješavanje sustava linearnih algebarske jednadžbe (SLAU).

Formule na primjeru sustava dviju jednadžbi s dvije varijable.
dano: Riješite sustav Cramerovom metodom

Što se tiče varijabli x i na.
Riješenje:
Naći determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sustava Izračunavanje determinanti. :

Primijenimo Cramerove formule i pronađimo vrijednosti varijabli:
i .
Primjer 1:
Riješite sustav jednadžbi:

u vezi s varijablama x i na.
Riješenje:


Zamijenimo prvi stupac u ovoj determinanti stupcem koeficijenata s desne strane sustava i pronađimo njegovu vrijednost:

Učinimo sličnu radnju, zamjenjujući drugi stupac u prvoj determinanti:

Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
Odgovor:
Komentar: Ova metoda se može koristiti za rješavanje sustava viših dimenzija.

Komentar: Ako se pokaže da je , a nemoguće je podijeliti s nulom, onda kažu da sustav nema jedinstveno rješenje. U tom slučaju sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.

Primjer 2(beskonačan broj rješenja):

Riješite sustav jednadžbi:

u vezi s varijablama x i na.
Riješenje:
Odredite determinantu matrice sastavljene od koeficijenata sustava:

Rješavanje sustava metodom supstitucije.

Prva od jednadžbi sustava je jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). Dakle, preostaje samo jedna jednadžba. Ovo je jednadžba odnosa između varijabli.
Dobili smo da je rješenje sustava bilo koji par vrijednosti varijabli povezanih jednakošću.
Općenito rješenje je napisano ovako:
Određena rješenja mogu se odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove jednadžbe odnosa.

itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
Odgovor: zajednička odluka
Privatna rješenja:

Primjer 3(nema rješenja, sustav je nedosljedan):

Riješite sustav jednadžbi:

Riješenje:
Odredite determinantu matrice sastavljene od koeficijenata sustava:

Ne možete koristiti Cramerove formule. Riješimo ovaj sustav metodom supstitucije

Druga jednadžba sustava je jednakost koja ne vrijedi ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, budući da -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednadžbi sustava nije istinita ni za jednu vrijednost varijable, tada cijeli sustav nema rješenja.
Odgovor: nema rješenja

U prvom dijelu pogledali smo neke teorijsko gradivo, metoda supstitucije i metoda zbrajanja jednadžbi sustava po članu. Svima koji su došli na stranicu preko ove stranice preporučam da pročitaju prvi dio. Možda će se nekim posjetiteljima materijal činiti prejednostavnim, ali u tijeku rješavanja sustava linearne jednadžbe napravio sam puno važne bilješke te zaključke u vezi s odlukom matematički problemi općenito.

A sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješenje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzna matrica(matrična metoda). Svi materijali predstavljeni su jednostavno, detaljno i jasno, gotovo svi čitatelji moći će naučiti kako riješiti sustave koristeći gore navedene metode.

Prvo ćemo detaljno razmotriti Cramerovo pravilo za sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Za što? - Nakon svega najjednostavniji sustav može se riješiti školska metoda, pojam po pojam zbrajanje!

Činjenica je da čak i ako ponekad, ali postoji takav zadatak - riješiti sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice pomoću Cramerovih formula. Drugo, jednostavniji primjer pomoći će vam da shvatite kako više koristiti Cramerovo pravilo težak slučaj– sustavi triju jednadžbi s tri nepoznanice.

Osim toga, postoje sustavi linearnih jednadžbi s dvije varijable, koje je preporučljivo rješavati točno prema Cramerovom pravilu!

Razmotrimo sustav jednadžbi

U prvom koraku izračunavamo determinantu tzv glavna odrednica sustava.

Gaussova metoda.

Ako , tada sustav ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene, moramo izračunati još dvije determinante:
i

U praksi se gore navedene determinante mogu i označiti latinično pismo.

Korijeni jednadžbe nalaze se formulama:
,

Primjer 7

Riješite sustav linearnih jednadžbi

Riješenje: Vidimo da su koeficijenti jednadžbe prilično veliki, na desnoj strani ih ima decimale sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost u praktičnih zadataka u matematici, preuzeo sam ovaj sustav iz ekonometrijskog problema.

Kako riješiti takav sustav? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju sigurno ćete dobiti strašne otmjene frakcije, s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno užasno. Drugu jednadžbu možete pomnožiti sa 6 i oduzeti član po član, ali ovdje će se pojaviti isti razlomci.

Što učiniti? U takvim slučajevima u pomoć dolaze Cramerove formule.

;

;

Odgovor: ,

Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.

Komentari ovdje nisu potrebni, budući da se zadatak rješava prema gotovim formulama, ali postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obvezno Fragment zadatka je sljedeći fragment: "tako da sustav ima jedinstveno rješenje". U protivnom vas recenzent može kazniti za nepoštivanje Cramerovog teorema.

Neće biti suvišno provjeriti, što je prikladno izvesti na kalkulatoru: zamijenimo približne vrijednosti na lijevoj strani svake jednadžbe sustava. Kao rezultat, uz malu pogrešku, trebali bi se dobiti brojevi koji su na desnoj strani.

Primjer 8

Izrazi svoj odgovor uobičajenim nepravi razlomci. Provjerite.

Ovo je primjer za neovisna odluka(primjer dovršavanja i odgovora na kraju lekcije).

Okrećemo se razmatranju Cramerovog pravila za sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Nalazimo glavnu odrednicu sustava:

Ako je , tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju Cramerovo pravilo neće pomoći, morate koristiti Gaussovu metodu.

Ako , tada sustav ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene, moramo izračunati još tri determinante:
, ,

I na kraju, odgovor se izračunava po formulama:

Kao što vidite, slučaj "tri po tri" u osnovi se ne razlikuje od slučaja "dva po dva", stupac slobodnih pojmova uzastopno "šeta" slijeva nadesno duž stupaca glavne determinante.

Primjer 9

Riješite sustav pomoću Cramerovih formula.

Riješenje: Riješimo sustav pomoću Cramerovih formula.

, tako da sustav ima jedinstveno rješenje.

Odgovor: .

Zapravo, tu se opet nema što posebno komentirati, s obzirom na to da se odlučuje po gotovim formulama. Ali ima par napomena.

Događa se da se kao rezultat izračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemamo računalo pri ruci, radimo sljedeće:

1) Možda postoji greška u izračunima. Čim naiđete na "loš" udarac, morate odmah provjeriti je li je li uvjet ispravno prepisan. Ako je uvjet prepisan bez grešaka, tada trebate ponovno izračunati determinante pomoću proširenja u drugom retku (stupcu).

2) Ako kao rezultat provjere nisu pronađene greške, najvjerojatnije je došlo do tipfelera u uvjetu dodjele. U tom slučaju smireno i OPREZNO riješite zadatak do kraja, a zatim svakako provjerite te ga nakon rješenja sastaviti na čistopisu. Naravno, provjera razlomaka je neugodan zadatak, ali bit će razoružavajući argument za učitelja koji, eto, jako voli stavljati minus za svaku lošu stvar poput. Kako postupati s razlomcima detaljno je objašnjeno u odgovoru za primjer 8.

Ako imate računalo pri ruci, upotrijebite automatizirani program za njegovu provjeru, koji se može besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Usput, najbolje je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja), odmah ćete vidjeti međukorak na kojem ste pogriješili! Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sustava matrična metoda.

Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sustavi u kojima neke varijable nedostaju, na primjer:

Ovdje u prvoj jednadžbi nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima vrlo je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu:
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvoriti determinante s nulama u retku (stupcu) u kojem se nalazi nula, jer je primjetno manje izračuna.

Primjer 10

Riješite sustav pomoću Cramerovih formula.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (završni uzorak i odgovor na kraju lekcije).

Za slučaj sustava od 4 jednadžbe s 4 nepoznanice, Cramerove formule se pišu prema sličnim principima. Možete vidjeti živi primjer u lekciji Svojstva determinante. Smanjenje reda determinante – pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na prsima sretnog studenta.

Rješenje sustava pomoću inverzne matrice

Metoda inverzne matrice je u biti poseban slučaj matrična jednadžba(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).

Da biste proučavali ovaj odjeljak, morate biti u stanju proširiti determinante, pronaći inverznu matricu i izvesti množenje matrice. Relevantne poveznice bit će dane kako objašnjenje napreduje.

Primjer 11

Riješite sustav matričnom metodom

Riješenje: Sustav pišemo u matričnom obliku:
, gdje

Molimo pogledajte sustav jednadžbi i matrice. Po kojem principu zapisujemo elemente u matrice, mislim da svi razumiju. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbama, onda bi se nule morale staviti na odgovarajuća mjesta u matrici.

Inverznu matricu nalazimo po formuli:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice .

Prvo, pozabavimo se determinantom:

Ovdje je determinanta proširena prvim redom.

Pažnja! Ako je , onda inverzna matrica ne postoji, te je nemoguće riješiti sustav matričnom metodom. U ovom slučaju sustav se rješava eliminacijom nepoznanica (Gaussova metoda).

Sada treba izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

Referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva znamenka je broj retka u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

Odnosno, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, treći stupac, dok je npr. element u 3. redu, 2. stupac

S tim da je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica s glavnom determinantom matrice, koja nije jednaka nuli, koeficijentima sustava (za takve jednadžbe postoji rješenje i ono je samo jedno).

Cramerov teorem.

Kada je determinanta matrice kvadratnog sustava različita od nule, tada je sustav kompatibilan i ima jedno rješenje te se može pronaći prema Cramerove formule:

gdje je Δ - determinanta matrice sustava,

Δ ja- determinanta matrice sustava, u kojoj umjesto ja stupac je stupac desnih dijelova.

Kada je determinanta sustava nula, tada sustav može postati konzistentan ili nekonzistentan.

Ova se metoda obično koristi za male sustave s proračunima volumena i ako je potrebno odrediti 1 od nepoznanica. Složenost metode je u tome što je potrebno izračunati mnoge determinante.

Opis Cramerove metode.

Postoji sustav jednadžbi:

Sustav od 3 jednadžbe može se riješiti Cramerovom metodom, o kojoj je gore bilo riječi za sustav od 2 jednadžbe.

Od koeficijenata nepoznanica sastavljamo determinantu:

Ovo će kvalifikator sustava. Kada D≠0, tako da je sustav kompatibilan. Sada ćemo sastaviti 3 dodatne determinante:

,,

Sustav rješavamo pomoću Cramerove formule:

Primjeri rješavanja sustava jednadžbi Cramerovom metodom.

Primjer 1.

Zadani sustav:

Riješimo to Cramerovom metodom.

Prvo morate izračunati determinantu matrice sustava:

Jer Δ≠0, dakle, prema Cramerovom teoremu, sustav je kompatibilan i ima jedno rješenje. Izračunavamo dodatne determinante. Determinanta Δ 1 dobiva se iz determinante Δ zamjenom njenog prvog stupca stupcem slobodnih koeficijenata. Dobivamo:

Na isti način dobivamo determinantu Δ 2 iz determinante matrice sustava, zamjenjujući drugi stupac stupcem slobodnih koeficijenata:

Metode Kramer i Gaussov jedno od najpopularnijih rješenja SLAU. Štoviše, u nekim slučajevima je korisno koristiti specifične metode. Sesija je blizu, a sada je vrijeme da ih ponovite ili savladate od nule. Danas se bavimo rješavanjem po Cramer metodi. Uostalom, rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom vrlo je korisna vještina.

Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi je sustav jednadžbi oblika:

Skup vrijednosti x , kod koje se jednadžbe sustava pretvaraju u identitete, nazivamo rješenjem sustava, a i b su realni koeficijenti. Jednostavan sustav koji se sastoji od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice može se riješiti mentalno ili izražavanjem jedne varijable kroz drugu. Ali u SLAE može postojati mnogo više od dvije varijable (x) i tu su jednostavne školske manipulacije neizostavne. Što učiniti? Na primjer, riješite SLAE Cramerovom metodom!

Pa neka bude sustav n jednadžbe sa n nepoznato.

Takav sustav može se prepisati kao matrični oblik

Ovdje A je glavna matrica sustava, x i B , redom, matrice stupaca nepoznatih varijabli i slobodnih članova.

Rješenje SLAE po Cramerovoj metodi

Ako determinanta glavne matrice nije jednaka nuli (matrica je nesingularna), sustav se može riješiti pomoću Cramerove metode.

Prema Cramerovoj metodi rješenje se nalazi po formulama:

Ovdje delta je determinanta glavne matrice, i delta x n-th - determinanta dobivena iz determinante glavne matrice zamjenom n-tog stupca stupcem slobodnih članova.

To je cijela poanta Cramerove metode. Zamjena vrijednosti dobivenih gornjim formulama x u željeni sustav, uvjereni smo u ispravnost (ili obrnuto) našeg rješenja. Da biste lakše shvatili poantu, evo primjera. detaljno rješenje SLAE po Cramerovoj metodi:

Čak i ako ne uspijete prvi put, nemojte se obeshrabriti! Uz malo vježbe, počet ćete pucati SPORE poput oraha. Štoviše, sada apsolutno nije potrebno brbljati po bilježnici, rješavati glomazne izračune i pisati po šipki. Lako je riješiti SLAE Cramerovom metodom online, samo zamjenom koeficijenata u gotov obrazac. probati online kalkulator rješenja po Cramer metodi mogu biti, na primjer, na ovom mjestu.

A ako se sustav pokazao tvrdoglavim i ne odustaje, uvijek se za pomoć možete obratiti našim autorima, npr. Ako postoji barem 100 nepoznanica u sustavu, sigurno ćemo to riješiti točno i na vrijeme!

Neka sustav linearnih jednadžbi sadrži onoliko jednadžbi koliko je nezavisnih varijabli, tj. ima oblik

Takvi sustavi linearnih jednadžbi nazivaju se kvadratni. Determinanta sastavljena od koeficijenata pri nezavisnim varijable sustava(1.5) nazivamo glavnom determinantom sustava. Označit ćemo ga grčkim slovom D. Dakle,

. (1.6)

Ako je u glavnoj determinanti proizvoljan ( j th) stupac, zamijenimo ga stupcem slobodnih članova sustava (1.5), tada možemo dobiti više n pomoćne odrednice:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnih sustava linearnih jednadžbi je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sustava (1.5) različita od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći formulama:

(1.8)

Primjer 1.5. Riješite sustav jednadžbi Cramerovom metodom

.

Izračunajmo glavnu determinantu sustava:

Od D¹0, sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula (1.8):

Na ovaj način,

Matrix radnje

1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.

2. Da biste pomnožili matricu s brojem, morate pomnožiti sve njezine elemente s tim brojem. To je

. (1.9)

Primjer 1.6. .

Zbrajanje matrice.

Ova operacija se uvodi samo za matrice istog reda.

Da bi se zbrojile dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:

(1.10)
Operacija zbrajanja matrica ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.

Primjer 1.7. .

Množenje matrice.

Ako je broj stupaca matrice ALI odgovara broju redaka matrice NA, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:

2

Dakle, pri množenju matrice ALI dimenzije m´ n matrica NA dimenzije n´ k dobijemo matricu IZ dimenzije m´ k. U ovom slučaju elementi matrice IZ izračunavaju se prema sljedećim formulama:

Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, umnožak matrica AB i BA:

Riješenje. 1) Pronaći posao AB, trebate redove matrice A množenje stupcima matrice B:

2) Umjetničko djelo BA ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redaka matrice A.

Inverzna matrica. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi na matrični način

Matrica A- 1 naziva se inverzom kvadratne matrice ALI ako vrijedi jednakost:

gdje kroz ja označeno Matrica identiteta istim redoslijedom kao i matrica ALI:

.

Do kvadratna matrica ima inverz ako i samo ako je njegova determinanta različita od nule. Inverzna matrica se nalazi po formuli:

, (1.13)

gdje A ij - algebarski dodaci na elemente aij matrice ALI(primijetite da algebarski dodaci redovima matrice ALI raspoređeni su u inverznoj matrici u obliku odgovarajućih stupaca).

Primjer 1.9. Nađi inverznu matricu A- 1 u matricu

.

Inverznu matricu nalazimo formulom (1.13), koja za slučaj n= 3 izgleda ovako:

.

Pronađimo det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Budući da je determinanta izvorne matrice različita od nule, tada inverzna matrica postoji.

1) Pronađite algebarske sabiranja A ij:

Radi lakšeg pronalaženja inverzne matrice, postavili smo algebarske dodatke recima izvorne matrice u odgovarajuće stupce.

Od dobivenih algebarskih zbrajanja sastavljamo novu matricu i dijelimo je determinantom det A. Tako ćemo dobiti inverznu matricu:

Kvadratni sustavi linearnih jednadžbi s glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti pomoću inverzne matrice. Za to je sustav (1.5) napisan u matričnom obliku:

gdje

Množenje obje strane jednakosti (1.14) s lijeve strane s A- 1, dobivamo rješenje sustava:

, gdje

Dakle, da biste pronašli rješenje kvadratnog sustava, trebate pronaći inverznu matricu glavnoj matrici sustava i pomnožiti je s desne strane s matricom stupca slobodnih članova.

Problem 1.10. Riješite sustav linearnih jednadžbi

pomoću inverzne matrice.

Riješenje. Sustav pišemo u matričnom obliku: ,

gdje je glavna matrica sustava, je stupac nepoznanica i je stupac slobodnih članova. Budući da je glavna odrednica sustava , zatim glavna matrica sustava ALI ima inverznu matricu ALI-jedan . Za pronalaženje inverzne matrice ALI-1 , izračunajte algebarske komplemente svim elementima matrice ALI:

Od dobivenih brojeva sastavljamo matricu (štoviše, algebarski dodaci redovima matrice ALI upišite u odgovarajuće stupce) i podijelite je s determinantom D. Dakle, dobili smo inverznu matricu:

Rješenje sustava nalazi se formulom (1.15):

Na ovaj način,

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi običnim Jordanovim iznimkama

Neka je dan proizvoljan (ne nužno kvadratni) sustav linearnih jednadžbi:

(1.16)

Potrebno je pronaći rješenje sustava, tj. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sustava (1.16). NA opći slučaj sustav (1.16) može imati ne samo jedno rješenje, već također nebrojeno mnogo rješenja. Također možda uopće nema rješenja.

U rješavanju ovakvih problema, dobro poznati školski tečaj metoda eliminacije nepoznanica, koja se još naziva i metoda običnih Jordanovih eliminacija. suština ovu metodu leži u činjenici da je u jednoj od jednadžbi sustava (1.16) jedna od varijabli izražena kroz druge varijable. Tada se ta varijabla supstituira u druge jednadžbe sustava. Rezultat je sustav koji sadrži jednu jednadžbu i jednu varijablu manje od izvornog sustava. Pamti se jednadžba iz koje je varijabla izražena.

Ovaj se proces ponavlja sve dok u sustavu ne ostane posljednja jednadžba. U procesu eliminiranja nepoznanica, neke se jednadžbe mogu pretvoriti u prave identitete, na primjer. Takve jednadžbe su isključene iz sustava, budući da vrijede za bilo koje vrijednosti varijabli i stoga ne utječu na rješenje sustava. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednadžba postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijable (na primjer, ), tada zaključujemo da sustav nema rješenja.

Ako se tijekom rješavanja nisu pojavile nedosljedne jednadžbe, tada se jedna od preostalih varijabli u njoj nalazi iz posljednje jednadžbe. Ako u posljednjoj jednadžbi ostane samo jedna varijabla, ona se izražava brojem. Ako ostale varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, tada se one smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija tih parametara. Zatim tzv obrnuti hod". Pronađena varijabla zamjenjuje se u posljednju memoriranu jednadžbu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memoriranu jednadžbu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve memorirane jednadžbe.

Kao rezultat dobivamo rješenje sustava. Ova odluka bit će jedinstven ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a potom i sve ostale ovise o parametrima, tada će sustav imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje omogućuju pronalaženje rješenja sustava ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sustava.

Primjer 1.11.

x

Nakon što je zapamtio prvu jednadžbu i dovodeći slične članove u drugu i treću jednadžbu, dolazimo do sustava:

Izraziti g iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednadžbu:

Zapamtite drugu jednadžbu, a iz prve nalazimo z:

Obrnutim potezom uzastopno nalazimo g i z. Da bismo to učinili, prvo zamijenimo u posljednju memoriranu jednadžbu , iz koje nalazimo g:

.

Zatim zamijenimo i u prvu zapamćenu jednadžbu odakle nalazimo x:

Problem 1.12. Riješite sustav linearnih jednadžbi eliminirajući nepoznanice:

. (1.17)

Riješenje. Izrazimo varijablu iz prve jednadžbe x i zamijenite ga u drugu i treću jednadžbu:

.

Zapamtite prvu jednadžbu

U ovom sustavu prva i druga jednadžba proturječe jedna drugoj. Doista, izražavanje g , dobivamo da je 14 = 17. Ova jednakost nije zadovoljena za bilo koju vrijednost varijabli x, g, i z. Prema tome, sustav (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenja.

Čitatelji su pozvani da samostalno provjere je li glavna determinanta izvornog sustava (1.17) jednaka nuli.

Promotrimo sustav koji se od sustava (1.17) razlikuje samo jednim slobodnim članom.

Problem 1.13. Riješite sustav linearnih jednadžbi eliminirajući nepoznanice:

. (1.18)

Riješenje. Kao i prije, izražavamo varijablu iz prve jednadžbe x i zamijenite ga u drugu i treću jednadžbu:

.

Zapamtite prvu jednadžbu a slične članove prikazujemo u drugoj i trećoj jednadžbi. Dolazimo do sustava:

izražavajući g iz prve jednadžbe i zamjenom u drugu jednadžbu , dobivamo identitet 14 = 14, koji ne utječe na rješenje sustava, pa se stoga može isključiti iz sustava.

U posljednjoj memoriranoj jednakosti, varijabla zće se smatrati parametrom. Vjerujemo . Zatim

Zamjena g i z u prvu zapamćenu jednakost i pronađite x:

.

Dakle, sustav (1.18) ima beskonačan skup rješenja, a bilo koje rješenje može se pronaći iz formula (1.19) odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:

(1.19)
Tako su rješenja sustava, na primjer, sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju opće (bilo koje) rješenje sustava (1.18). ).

U slučaju kada izvorni sustav (1.16) ima dovoljno veliki broj jednadžbi i nepoznanica, navedena metoda običnih Jordanovih eliminacija čini se glomaznom. Međutim, nije. Dovoljno je izvesti algoritam za preračunavanje koeficijenata sustava u jednom koraku u opći pogled a rješenje problema formalizirati u obliku posebnih Jordanovih tablica.

Neka je zadan sustav linearnih formi (jednadžbi):

, (1.20)
gdje xj- nezavisne (željene) varijable, aij- konstantni koeficijenti
(ja = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni dijelovi sustava y i (ja = 1, 2,…, m) mogu biti i varijable (ovisne) i konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sustav eliminacijom nepoznanica.

Razmotrimo sljedeću operaciju, koja će se u nastavku zvati "jedan korak običnih Jordanovih iznimaka". Iz proizvoljnog ( r th) jednakost, izražavamo proizvoljnu varijablu ( x s) i zamijeniti u sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs naziva se rješavajući (ponekad vodeći ili glavni) element.

Dobit ćemo sljedeći sustav:

. (1.21)

Iz s jednakosti sustava (1.21), naknadno ćemo pronaći varijablu x s(nakon što se pronađu druge varijable). S Redak se pamti i naknadno isključuje iz sustava. Preostali sustav će sadržavati jednu jednadžbu i jednu manje nezavisne varijable od originalnog sustava.

Izračunajmo koeficijente dobivenog sustava (1.21) u odnosu na koeficijente izvornog sustava (1.20). Počnimo s r th jednadžbe, koja, nakon izražavanja varijable x s kroz ostatak varijabli će izgledati ovako:

Dakle, novi koeficijenti r jednadžbe se izračunavaju prema sljedećim formulama:

(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(ja¹ r) proizvoljna jednadžba. Da bismo to učinili, zamijenimo varijablu izraženu u (1.22) x s u ja jednadžba sustava (1.20):

Nakon donošenja sličnih uvjeta dobivamo:

(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobivamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sustava (1.21) (osim r jednadžba):

(1.25)
Transformacija sustava linearnih jednadžbi metodom običnih Jordanovih eliminacija prikazana je u obliku tablica (matrica). Ove tablice nazivaju se "jordanske tablice".

Stoga je problem (1.20) povezan sa sljedećom Jordanovom tablicom:

Tablica 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
g 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a ja 1	a ja 2		aij		a je		in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		amn

Jordanova tablica 1.1 sadrži lijevi zaglavni stupac u kojem su ispisani desni dijelovi sustava (1.20) i gornji zaglavni redak u kojem su ispisane nezavisne varijable.

Ostali elementi tablice čine glavnu matricu koeficijenata sustava (1.20). Ako pomnožimo matricu ALI na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg reda zaglavlja, tada dobivamo matricu koja se sastoji od elemenata lijevog stupca zaglavlja. To jest, u biti, Jordanova tablica je matrični oblik pisanja sustava linearnih jednadžbi: . U ovom slučaju sustavu (1.21) odgovara sljedeća Jordanova tablica:

Tablica 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
g 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b in
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Permisivni element a rs istaknut ćemo masnim slovima. Podsjetimo se da kako bi se implementirao jedan korak Jordanovih iznimaka, razlučujući element mora biti različit od nule. Redak tablice koji sadrži permisivni element naziva se permisivni red. Stupac koji sadrži element enable naziva se stupac enable. Prilikom prelaska iz dane tablice u sljedeću tablicu, jedna varijabla ( x s) iz retka gornjeg zaglavlja tablice premješta se u lijevi stupac zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sustava ( y r) premješta se iz lijevog stupca zaglavlja tablice u gornji red zaglavlja.

Opišimo algoritam za preračunavanje koeficijenata pri prijelazu s Jordanove tablice (1.1) na tablicu (1.2), koji proizlazi iz formula (1.23) i (1.25).

1. Omogućujući element zamjenjuje se inverznim brojem:

2. Preostali elementi permisivne linije dijele se permisivnim elementom i mijenjaju predznak na suprotan:

3. Preostali elementi stupca za omogućavanje dijele se na element za omogućavanje:

4. Elementi koji nisu uključeni u razlučujući redak i razlučujući stupac ponovno se izračunavaju prema formulama:

Posljednju formulu lako je zapamtiti ako primijetite da elementi koji čine razlomak , nalaze se na raskrižju ja-oh i r-th linije i j th i s-ti stupci (razrješujući red, razrješujući stupac te red i stupac u čijem se sjecištu nalazi element koji se ponovno izračunava). Točnije, kod pamćenja formule možete koristiti sljedeću tablicu:

-21 -26 -13 -37

Izvođenje prvog koraka jordanskih iznimaka, bilo koji element tablice 1.3 koji se nalazi u stupcima x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu jednaki nuli). Ne biste trebali samo odabrati element za omogućavanje u zadnjem stupcu, jer treba pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5 . Biramo npr. koeficijent 1 s varijablom x 3 u trećem retku tablice 1.3 (element omogućavanja prikazan je podebljano). Kada prijeđete na tablicu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg reda zaglavlja zamjenjuje se s konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). Istovremeno, varijabla x 3 izražava se u smislu preostalih varijabli.

niz x 3 (Tablica 1.4) može se, uz prethodno sjećanje, isključiti iz Tablice 1.4. Tablica 1.4 također isključuje treći stupac s nulom u gornjem retku zaglavlja. Stvar je u tome da bez obzira na koeficijente ovog stupca b i 3 svi članovi koji mu odgovaraju svake jednadžbe 0 b i 3 sustava bit će jednaka nuli. Stoga se ti koeficijenti ne mogu izračunati. Eliminacija jedne varijable x 3 i sjećajući se jedne od jednadžbi, dolazimo do sustava koji odgovara tablici 1.4 (s prekriženom crtom x 3). Odabir u tablici 1.4 kao element razrješenja b 14 = -5, idite na tablicu 1.5. U tablici 1.5 pamtimo prvi redak i isključujemo ga iz tablice zajedno s četvrtim stupcem (s nulom na vrhu).

Tablica 1.5 Tablica 1.6

Iz posljednje tablice 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Uzastopno zamjenjujući već pronađene varijable u memorirane retke, nalazimo preostale varijable:

Dakle, sustav ima beskonačan broj rješenja. varijabla x 5 možete dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sustava i pronašli njegovo opće rješenje:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Davanje parametra t razna značenja, dobivamo beskonačan broj rješenja izvornog sustava. Tako, na primjer, rješenje sustava je sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).