Prezentacija za sat iz algebre (9. razred) na temu: Prezentacija za sat: "Osnovni trigonometrijski identiteti. Rješavanje problema"

Trigonometrijske funkcije- Zahtjev "grijeh" je preusmjeren ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "sec" se preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja. "Sine" preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja ... Wikipedia

Tan

Riža. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično uključuju sinus (sin x), kosinus (cos x), tangent (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Kosinus- Riža. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično uključuju sinus (sin x), kosinus (cos x), tangent (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Kotangens- Riža. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično uključuju sinus (sin x), kosinus (cos x), tangent (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Sekanta- Riža. 1 Grafovi trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, sekans, kosekans, kotangens Trigonometrijske funkcije su vrsta elementarnih funkcija. Obično uključuju sinus (sin x), kosinus (cos x), tangent (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia

Povijest trigonometrije- Geodetska mjerenja (XVII stoljeće) ... Wikipedia

Formula tangente polukuta- U trigonometriji, formula za tangentu pola kuta povezuje tangentu pola kuta s trigonometrijskim funkcijama punog kuta: Različite varijacije ove formule su sljedeće ... Wikipedia

Trigonometrija- (od grčkog τρίγονο (trokut) i grčkog μετρειν (mjeriti), odnosno mjerenje trokuta) grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihove primjene na geometriju. Ovaj se izraz prvi put pojavio 1595. godine kao ... ... Wikipedia

Rješavanje trokuta- (latinski solutio triangulorum) povijesni pojam koji označava rješenje glavnog trigonometrijskog problema: koristeći poznate podatke o trokutu (stranice, kutovi, itd.), pronaći ostale njegove karakteristike. Trokut se može nalaziti na ... ... Wikipediji

knjige

Set stolova. Algebra i počeci analize. 10. razred. 17 tablica + metodologija, . Tablice su tiskane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Komplet uključuje brošuru s metodičkim preporukama za nastavnike. Studijski album od 17 listova... Kupite za 3944 rubalja
Tablice integrala i drugih matematičkih formula, Dwight G.B.. Deseto izdanje poznatog priručnika sadrži vrlo detaljne tablice neodređenih i određenih integrala, kao i veliki broj drugih matematičkih formula: proširenja nizova, ...

U ovom članku ćemo sveobuhvatno pogledati . Osnovni trigonometrijski identiteti su jednakosti koje uspostavljaju odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog kuta i omogućuju vam da pronađete bilo koju od ovih trigonometrijskih funkcija kroz poznati drugi.

Odmah navodimo glavne trigonometrijske identitete, koje ćemo analizirati u ovom članku. Zapisujemo ih u tablicu, a u nastavku dajemo derivaciju ovih formula i dajemo potrebna objašnjenja.

Navigacija po stranici.

Odnos sinusa i kosinusa jednog kuta

Ponekad ne govore o glavnim trigonometrijskim identitetima navedenim u gornjoj tablici, već o jednom jedinom osnovni trigonometrijski identitet ljubazan . Objašnjenje ove činjenice je prilično jednostavno: jednakosti se dobivaju iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nakon što se oba njegova dijela podijele s i, odnosno, i jednakosti i slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. O tome ćemo detaljnije raspravljati u sljedećim odlomcima.

Odnosno, upravo je jednakost od posebnog interesa, koja je dobila ime glavnog trigonometrijskog identiteta.

Prije nego dokažemo osnovni trigonometrijski identitet, dajemo njegovu formulaciju: zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta identično je jednak jedinici. Sada dokažimo.

Osnovni trigonometrijski identitet vrlo se često koristi u transformacija trigonometrijskih izraza. Dopušta da se zbroj kvadrata sinusa i kosinusa jednog kuta zamijeni jednim. Ništa manje često se osnovni trigonometrijski identitet koristi obrnutim redoslijedom: jedinica se zamjenjuje zbrojem kvadrata sinusa i kosinusa bilo kojeg kuta.

Tangenta i kotangens kroz sinus i kosinus

Identiteti koji povezuju tangentu i kotangens sa sinusom i kosinusom jednog kuta oblika i odmah slijede definicije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Doista, po definiciji, sinus je ordinata od y, kosinus je apscisa od x, tangenta je omjer ordinate i apscise, tj. , a kotangens je omjer apscise i ordinate, tj. .

Zbog te očitosti identiteta i često se definicije tangenta i kotangensa daju ne kroz omjer apscise i ordinate, već kroz omjer sinusa i kosinusa. Dakle, tangent kuta je omjer sinusa i kosinusa ovog kuta, a kotangens omjer kosinusa i sinusa.

Za kraj ovog odjeljka treba napomenuti da su identiteti i vrijedi za sve takve kutove za koje trigonometrijske funkcije u njima imaju smisla. Dakle, formula vrijedi za bilo koje drugo osim (inače će nazivnik biti nula, a nismo definirali dijeljenje nulom), a formula - za sve , različito od , gdje je z bilo koji .

Odnos tangente i kotangensa

Još očitiji trigonometrijski identitet od dva prethodna je identitet koji povezuje tangentu i kotangens jednog kuta oblika . Jasno je da se to odvija za sve kutove osim , inače ni tangenta ni kotangens nisu definirani.

Dokaz formule jako jednostavno. Po definiciji i odakle . Dokaz se mogao izvesti na malo drugačiji način. Budući da i , onda .

Dakle, tangenta i kotangens jednog kuta, pod kojim imaju smisla, jest.

Ovo je posljednja i najvažnija lekcija potrebna za rješavanje problema B11. Već znamo kako pretvoriti kutove iz radijana u stupnjeve (vidi lekciju " Radijan i mjera stupnja kuta”), a također znamo odrediti predznak trigonometrijske funkcije, fokusirajući se na koordinatne četvrti (vidi lekciju “ Znakovi trigonometrijskih funkcija »).

Stvar ostaje mala: izračunati vrijednost same funkcije - samog broja koji je napisan u odgovoru. Ovdje u pomoć dolazi osnovni trigonometrijski identitet.

Osnovni trigonometrijski identitet. Za bilo koji kut α vrijedi tvrdnja:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ova formula povezuje sinus i kosinus jednog kuta. Sada, poznavajući sinus, lako možemo pronaći kosinus - i obrnuto. Dovoljno je uzeti kvadratni korijen:

Obratite pažnju na znak "±" ispred korijena. Činjenica je da iz osnovnog trigonometrijskog identiteta nije jasno što su bili izvorni sinus i kosinus: pozitivan ili negativan. Uostalom, kvadriranje je parna funkcija koja "spaljuje" sve minuse (ako ih ima).

Zato u svim zadacima B11 koji se nalaze u USE u matematici nužno postoje dodatni uvjeti koji pomažu da se riješimo nesigurnosti znakovima. Obično je to oznaka koordinatne četvrti po kojoj se može odrediti znak.

Pažljiv čitatelj će sigurno pitati: "Što je s tangentom i kotangensom?" Nemoguće je izravno izračunati ove funkcije iz gornjih formula. Međutim, postoje važne posljedice iz osnovnog trigonometrijskog identiteta koje već sadrže tangente i kotangense. Naime:

Važan zaključak: za bilo koji kut α, osnovni se trigonometrijski identitet može prepisati na sljedeći način:

Ove se jednadžbe lako izvode iz osnovnog identiteta - dovoljno je obje strane podijeliti s cos 2 α (da se dobije tangenta) ili sa sin 2 α (za kotangens).

Pogledajmo sve to na konkretnim primjerima. Slijede stvarni B11 problemi, koji su preuzeti iz testnih verzija USE u matematici 2012.

Znamo kosinus, ali ne znamo sinus. Glavni trigonometrijski identitet (u svom "čistom" obliku) povezuje upravo te funkcije, pa ćemo s njim raditi. Imamo:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Da bismo riješili problem, ostaje pronaći znak sinusa. Budući da je kut α ∈ (π /2; π ), tada se u mjeri stupnja piše kako slijedi: α ∈ (90°; 180°).

Dakle, kut α leži u II koordinatnoj četvrtini – svi sinusi su pozitivni. Stoga je sin α = 0,1.

Dakle, znamo sinus, ali moramo pronaći kosinus. Obje ove funkcije su u osnovnom trigonometrijskom identitetu. Zamjenjujemo:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Ostaje se pozabaviti znakom ispred razlomka. Što odabrati: plus ili minus? Po uvjetu kut α pripada intervalu (π 3π /2). Pretvorimo kutove iz radijanske mjere u stupnjsku mjeru - dobivamo: α ∈ (180°; 270°).

Očito, ovo je III koordinatna četvrtina, gdje su svi kosinusi negativni. Stoga je cosα = −0,5.

Zadatak. Pronađite tg α ako znate sljedeće:

Tangent i kosinus povezani su jednadžbom koja slijedi iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:

Dobivamo: tg α = ±3. Predznak tangente određen je kutom α. Poznato je da je α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kutove iz radijanske mjere u mjeru stupnjeva - dobivamo α ∈ (270°; 360°).

Očito se radi o IV koordinatnoj četvrti, gdje su sve tangente negativne. Stoga je tgα = −3.

Zadatak. Pronađite cos α ako znate sljedeće:

Opet, sinus je poznat, a kosinus je nepoznat. Zapisujemo glavni trigonometrijski identitet:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Znak je određen kutom. Imamo: α ∈ (3π /2; 2π ). Pretvorimo kutove iz stupnjeva u radijane: α ∈ (270°; 360°) je IV koordinatna četvrtina, kosinusi su tamo pozitivni. Prema tome, cos α = 0,6.

Zadatak. Pronađite sin α ako znate sljedeće:

Zapišimo formulu koja slijedi iz osnovnog trigonometrijskog identiteta i izravno povezuje sinus i kotangens:

Odavde dobivamo da je sin 2 α = 1/25, t.j. sin α = ±1/5 = ±0,2. Poznato je da je kut α ∈ (0; π /2). U stupnjevima, to se piše na sljedeći način: α ∈ (0°; 90°) - I koordinatna četvrtina.

Dakle, kut je u I koordinatnoj četvrti - sve su trigonometrijske funkcije tamo pozitivne, dakle sin α \u003d 0,2.