Predavanje 9

Linearne transformacije koordinata. Vlastiti vektori i svojstvene vrijednosti matrice, njihova svojstva. Karakteristični polinom matrice, njegova svojstva.

Reći ćemo da na skupu vektoraRdano transformacija ALI , ako je svaki vektor x R prema nekom pravilu, vektor ALI x R.

Definicija 9.1.transformacija ALI nazvao linearni, ako za bilo koji vektor x i na i za svaki realni broj λ ispunjene su jednakosti:

ALI( x + na )=ALI x+ A na ,A(λ x ) = λ A x. (9.1)

Definicija 9.2.Linearna transformacija se zove identičan, ako transformira bilo koji vektor x u sebe.

Transformacija identiteta je označena NJU x= x .

Razmotrimo trodimenzionalni prostor s osnovom e 1 , e 2, e 3 , u kojem je navedena linearna transformacija ALI. Primjenom na bazne vektore dobivamo vektore ALI e 1, ALI e 2, ALI e 3 koji pripadaju ovom trodimenzionalnom prostoru. Stoga se svaki od njih može proširiti na jedinstven način u smislu baznih vektora:

ALI e 1 = 11 e 1+ a 21 e 2+a 31 e 3,

ALI e 2 = 12 e 1+ a 22 e 2+ a 32 e 3 ,(9.2)

ALI e 3= 13 e 1+ a 23 e 2+ a 33 e 3 .

Matrica nazvao matrica linearna transformacija ALI u osnovi e 1 , e 2, e 3 . Stupci ove matrice sastavljeni su od koeficijenata u formulama (9.2) bazne transformacije.

Komentar. Očito je matrica transformacije identiteta Matrica identiteta E.

Za proizvoljni vektor x = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 rezultat primjene linearne transformacije na njega ALIće vektor ALI x, koji se može proširiti na vektore iste baze: ALI x =x` 1 e 1+ x` 2 e 2+ x` 3 e 3 , gdje su koordinatex` jamože se pronaći pomoću formula:

x` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 .

Koeficijenti u formulama ove linearne transformacije su elementi redaka matrice ALI.

Linearna transformacija matrična transformacija

prilikom prelaska na novu osnovu.

Razmotrimo linearnu transformaciju A i dvije baze u trodimenzionalni prostor: e 1, e 2, e 3 i e 1 , e 2 , e 3 . Neka matrica C definira formule prijelaza iz baze (e k) na osnovu ( e k). Ako je u prvoj od ovih baza odabrana linearna transformacija dana matricom A , au drugoj - matricom ALI, tada možemo pronaći odnos između ovih matrica, naime:

A \u003d C -1 ALI C(9.4)

Doista, dakle ALI . S druge strane, rezultati primjene iste linearne transformacije ALI u osnovi (e k), tj. , a u osnovi (e k ): odnosno - povezani su matricom IZ: , odakle slijedi da SA= ALI IZ. Množenje obje strane ove jednakosti s lijeve strane s IZ-1 , dobivamo IZ -1 CA = = C -1 ALI IZ, što dokazuje valjanost formule (9.4).

svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori matrice.

Definicija 9.3.Vektor x nazvao vlastiti vektor matrice ALI ako postoji takav broj λ, da vrijedi jednakost: ALI x= λ x, odnosno rezultat primjene na x linearna transformacija dana matricom ALI, je množenje ovog vektora s brojem λ . Sam broj λ nazvao vlastiti broj matrice ALI.

Zamjena u formule (9.3)x` j = λ x j, dobivamo sustav jednadžbi za određivanje koordinata svojstvenog vektora:

.

Odavde

.(9.5)

Ovaj linearno homogen sustav će imati trivijalno rješenje samo ako mu je glavna determinanta 0 (Cramerovo pravilo). Zapisivanjem ovog uvjeta u obliku:

dobivamo jednadžbu za određivanje svojstvenih vrijednosti λ nazvao karakteristična jednadžba. Ukratko, može se predstaviti na sljedeći način:

| A -λ E | = 0,(9.6)

budući da je njegova lijeva strana determinanta matrice ALI- λE. Polinom s obzirom na λ| A -λ E| nazvao karakteristični polinom matrice a.

Svojstva karakterističnog polinoma:

1) Karakteristični polinom linearne transformacije ne ovisi o izboru baze.Dokaz. (vidi (9.4)), ali Posljedično,. Dakle, ne ovisi o izboru osnove. Dakle, i |A-λ E| ne mijenja se pri prijelazu na novu osnovu.

2) Ako matrica ALI linearna transformacija je simetričan(oni. a i J= a ji), zatim svi korijeni karakteristična jednadžba(9.6) su realni brojevi.

Svojstva svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora:

1) Odaberemo li bazu od svojstvenih vektora x 1, x 2, x 3 koji odgovaraju svojstvenim vrijednostima λ 1 , λ 2 , λ 3 matrice ALI, tada u ovoj bazi linearna transformacija A ima dijagonalnu matricu:

(9.7) Dokaz ovog svojstva slijedi iz definicije svojstvenih vektora.

2) Ako transformacija svojstvenih vrijednosti ALI su različiti, tada su svojstveni vektori koji im odgovaraju linearno neovisni.

3) Ako karakteristični polinom matrice ALI ima tri drugačiji korijen, zatim u nekoj bazi matrica ALI ima dijagonalni oblik.

Primjer.

Nađimo svoje brojeva i svojstvenih vektora matrice C, ostavljamo karakterističnu jednadžbu: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Pronađite koordinate svojstvenih vektora koji odgovaraju svakoj pronađenoj vrijednosti λ. Iz (9.5) slijedi da ako x (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) je svojstveni vektor koji odgovara λ 1 = -2, dakle

je kolaborativan, ali neodređen sustav. Njegovo rješenje se može napisati kao x (1) ={ a,0,- a), gdje je a bilo koji broj. Konkretno, ako to zahtijevate |x (1) |=1, x (1) =

Zamjena u sustav (9.5) λ 2 =3, dobivamo sustav za određivanje koordinata drugog svojstvenog vektora-x (2) ={ g 1 , g 2 , g 3

Pronalaženje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora matrica jedan je od najvažnijih izazovne zadatke linearna algebra koja nastaje u procesu modeliranja i analize procesa funkcioniranja dinamički sustavi, statističko modeliranje. Na primjer, svojstveni vektori matrice kovarijance slučajnog vektora određuju smjerove glavnih osi disperzijskog hiperelipsoida vrijednosti ovog vektora, a svojstvene vrijednosti određuju širenje ili skupljanje hiperelipsoida duž njegovih glavnih osi. . U mehanici, svojstveni vektori i brojevi tenzora tromosti karakteriziraju smjer glavnih osi i glavne momente tromosti krutog tijela.

razlikovati potpuna (algebarski ili drugačije, matrica) problem svojstvene vrijednosti, što pretpostavlja pronalaženje svih vlastite parove neka matrica, i problemi parcijalnih svojstvenih vrijednosti, koji se u pravilu sastoji u pronalaženju jednog ili više svojstvene vrijednosti a eventualno i odgovarajući svojstveni vektori. Najčešće, u posljednji slučaj pričamo o pronalaženju najveće i najmanje modulo svojstvene vrijednosti; poznavanje takvih karakteristika matrice omogućuje npr. izvođenje zaključaka o konvergenciji određenih iterativne metode, optimizirati njihove parametre itd.

Problem svojstvenih vrijednosti može se formulirati na sljedeći način: za koje vektore i brojeve različite od nule linearna transformacija vektora uz pomoć matrice ne mijenja smjer tog vektora u prostoru, već se svodi samo na "istezanje" ovog vektora faktorom? Odgovor na ovo pitanje leži u netrivijalnim rješenjima jednadžbe

, (1.2)

gdje je matrica identiteta. Teoretski, ovaj problem je lako rješiv: potrebno je pronaći korijene tzv karakteristika jednadžbe

(1.3)

i, zamjenjujući ih redom u (1.2), dobiti svojstvene vektore iz odgovarajućih nadodređenih sustava.

Praktična provedba ovog pristupa povezana je s nizom poteškoća, koje se povećavaju s povećanjem dimenzije problema koji se rješava. Ove poteškoće nastaju zbog proširenja odrednice i izračunavanje korijena dobivenog polinoma n stupnja, kao i traženjem linearno neovisnih rješenja degeneriranih sustava linearnih algebarske jednadžbe. U tom smislu, takav izravan pristup rješavanju problema algebarskih svojstvenih vrijednosti obično se koristi samo za vrlo male veličine matrice ( n= 2, 3). Već u n> 4 specijala dolaze do izražaja numeričke metode rješavanje takvih problema, od kojih je jedan na temelju matrice transformacija sličnosti, raspravljat će se dalje. Prisjetite se toga sličan nazivaju se matrice i , gdje IZ- proizvoljno nesingularna matrica.

Navodimo ukratko osnovna svojstva svojstvene vrijednosti i vektori:

1. Ako – vlastiti matrični par ALI, a je onda neki broj također je prikladan par za ALI. To znači da svaka svojstvena vrijednost odgovara nebrojeno mnogo svojstvene vektore koji se razlikuju samo po skalarnom faktoru.

2. Neka – vlastiti matrični par , gdje je neki pravi broj. Zatim – vlastiti matrični par ALI. Dakle, dodavanje ovoj matrici ALI dijagonalna matrica ne mijenja svoje vlastite vektore i pomake spektar izvorne matrice brojem (lijevo kada ). Spektar matrice je skup svih svojih svojstvenih vrijednosti.

3. Ako je svojstveni par invertibilne matrice, dakle je svojstveni par matrice.

4. Svojstvene vrijednosti dijagonale i trokutaste matrice su njihovi dijagonalni elementi, jer karakteristična jednadžba (1.3), uzimajući u obzir (1.1), za takve matrice može se napisati kao:

.

Posljednja jednakost to pokazuje dijagonalne i trokutaste realne matrice imaju samo realne svojstvene vrijednosti(glatko, nesmetano n uzimajući u obzir njihovu moguću višestrukost). Realnost svojstvenih vrijednosti također je svojstvena klasi simetričnih matrica, što je vrlo važno u primjenama, koje uključuju matrice kovarijancije i tenzore inercije.

5. Ako – vlastiti matrični par , onda – vlastiti matrični par ALI Dakle, transformacija sličnosti održava spektar bilo koje matrice nepromijenjenim.

6. Neka ALI je matrica jednostavne dimenzijske strukture , i matrice i se formiraju od njegovih svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora, redom. Zatim jednakost . Budući da za dijagonalnu matricu formiranu od svojstvenih vrijednosti, svojstveni vektori mogu biti jedinični vektori izvorna osnova ( , ), zatim koristeći svojstvo 5 i uzimajući i (oni. ), svojstvo 6 može se drugačije formulirati: ako je svojstveni par matrice, dakle ima svoj par matrica ALI.

Svojstvene vrijednosti(brojevi) i svojstveni vektori.
Primjeri rješenja

Budi svoj

Iz obje jednadžbe slijedi da je .

Stavimo onda: .

Kao rezultat: je drugi svojstveni vektor.

Da ponovimo važne točke rješenja:

– dobiveni sustav svakako ima zajednička odluka(jednadžbe su linearno ovisne);

- "Y" je odabran na način da je cijeli broj, a prva "x" koordinata je cijeli broj, pozitivna i što manja.

– provjeravamo da pojedino rješenje zadovoljava svaku jednadžbu sustava.

Odgovor .

Među "kontrolnih točaka" bilo je sasvim dovoljno, pa je provjera jednakosti, u principu, suvišna.

U raznim izvorima informacija, koordinate vlastitih vektora često se ne pišu u stupcima, već u redovima, na primjer: (i, da budem iskren, i sam sam ih pisao u redovima). Ova opcija je prihvatljiva, ali u svjetlu teme linearne transformacije tehnički praktičniji za korištenje vektori stupaca.

Možda vam se rješenje učinilo jako dugim, ali to je samo zato što sam prvi primjer komentirao vrlo detaljno.

Primjer 2

matrice

Treniramo sami! Približan uzorak konačnog dizajna zadatka na kraju lekcije.

Ponekad morate učiniti dodatni zadatak, naime:

napišite kanonsku dekompoziciju matrice

Što je?

Ako svojstveni vektori matrice tvore osnova, onda se može predstaviti kao:

Gdje je matrica sastavljena od koordinata vlastitih vektora, – dijagonala matrica s pripadajućim svojstvenim vrijednostima.

Ova dekompozicija matrice se zove kanonski ili dijagonala.

Razmotrimo matricu iz prvog primjera. Njezini vlastiti vektori linearno neovisni(nekolinearni) i čine osnovu. Napravimo matricu od njihovih koordinata:

Na glavna dijagonala matrice u propisanom redu svojstvene vrijednosti su locirane, a preostali elementi su jednaki nuli:
- još jednom naglašavam važnost redoslijeda: "dva" odgovara 1. vektoru i stoga se nalazi u 1. stupcu, "tri" - 2. vektoru.

Prema uobičajenom algoritmu za pronalaženje inverzna matrica ili Gauss-Jordanova metoda pronaći . Ne, to nije tipfeler! - ispred vas je rijedak, kao pomrčina Sunca događaj kada se inverz podudara s izvornom matricom.

Ostaje napisati kanonsku dekompoziciju matrice:

Sustav se može riješiti s elementarne transformacije a u sljedećim primjerima ćemo pribjeći ovu metodu. Ali ovdje "školska" metoda radi mnogo brže. Iz 3. jednadžbe izražavamo: - zamijenimo u drugu jednadžbu:

Budući da je prva koordinata nula, dobivamo sustav , iz čije svake jednadžbe slijedi da je .

I opet obratite pozornost na obveznu prisutnost linearnog odnosa. Ako se dobije samo trivijalno rješenje , tada je ili svojstvena vrijednost netočno pronađena ili je sustav kompajliran/riješen s pogreškom.

Kompaktne koordinate daju vrijednost

Vlastiti vektor:

I još jednom provjeravamo je li pronađeno rješenje zadovoljava svaku jednadžbu sustava. U sljedećim paragrafima iu narednim zadacima preporučujem da se ova želja prihvati kao obvezno pravilo.

2) Za svojstvenu vrijednost, slijedeći isti princip, dobivamo sljedeći sustav:

Iz 2. jednadžbe sustava izražavamo: - zamijenimo u treću jednadžbu:

Budući da je "zeta" koordinata jednaka nuli, dobivamo sustav iz čije svake jednadžbe slijedi linearna ovisnost.

Neka

Provjeravamo da je rješenje zadovoljava svaku jednadžbu sustava.

Dakle, svojstveni vektor: .

3) I, konačno, sustav odgovara vlastitoj vrijednosti:

Druga jednadžba izgleda najjednostavnija, pa je iz nje izražavamo i zamjenjujemo u 1. i 3. jednadžbu:

Sve je u redu - otkrivena je linearna ovisnost koju zamjenjujemo u izraz:

Kao rezultat toga, "X" i "Y" su izraženi kroz "Z": . U praksi nije potrebno ostvariti upravo takve odnose, u nekim je slučajevima prikladnije izraziti i kroz ili i kroz . Ili čak "vlak" - na primjer, "X" do "Y" i "Y" do "Z"

Stavimo onda:

Provjeravamo je li pronađeno rješenje zadovoljava svaku jednadžbu sustava i napišite treći svojstveni vektor

Odgovor: vlastiti vektori:

Geometrijski, ti vektori definiraju tri različita prostorna pravca ("Tamo i natrag"), prema kojem linearna transformacija transformira vektore različite od nule (svojstvene vektore) u njima kolinearne vektore.

Ako je prema uvjetu bilo potrebno pronaći kanonsko širenje , onda je to moguće ovdje, jer različite svojstvene vrijednosti odgovaraju različitim linearno neovisnim svojstvenim vektorima. Izrađujemo matricu iz njihovih koordinata, dijagonalna matrica iz relevantan svojstvene vrijednosti i pronaći inverzna matrica .

Ako je prema uvjetu potrebno napisati matrica linearne transformacije u bazi vlastitih vektora, zatim dajemo odgovor u obliku . Razlika postoji, i to značajna! Za ovu matricu je matrica "de".

Izazovite s više jednostavni proračuni za neovisna odluka:

Primjer 5

Nađite svojstvene vektore linearne transformacije, zadan matricom

Kada pronalazite vlastite brojeve, pokušajte ne dovesti slučaj do polinoma 3. stupnja. Osim toga, vaša sustavna rješenja mogu se razlikovati od mojih rješenja - ovdje nema jednoznačnosti; a vektori koje pronađete mogu se razlikovati od vektora uzorka sve do proporcionalnosti njihovim odgovarajućim koordinatama. Na primjer, i . Estetski je ugodnije prikazati odgovor u obliku , ali u redu je ako se zaustavite na drugoj mogućnosti. Međutim, sve ima razumne granice, verzija ne izgleda baš dobro.

Približan konačni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Kako riješiti problem u slučaju više svojstvenih vrijednosti?

Opći algoritam ostaje isti, ali ima svoje posebnosti, te je preporučljivo neke dijelove rješenja zadržati u strožem akademskom stilu:

Primjer 6

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Riješenje

Naravno, napismo velikim slovima fantastični prvi stupac:

I nakon razgradnje kvadratni trinom za množitelje:

Kao rezultat, dobivaju se svojstvene vrijednosti, od kojih su dvije višestruke.

Nađimo vlastite vektore:

1) S usamljenim vojnikom postupat ćemo prema "pojednostavljenoj" shemi:

Iz posljednje dvije jednadžbe jasno je vidljiva jednakost koju, očito, treba zamijeniti u 1. jednadžbu sustava:

Nema bolje kombinacije:
Vlastiti vektor:

2-3) Sada uklanjamo nekoliko stražara. NA ovaj slučaj moglo bi se pokazati ili dva ili jedan svojstveni vektor. Bez obzira na višestrukost korijena, zamijenimo vrijednost u determinanti , što nam donosi sljedeće homogeni sustav linearnih jednadžbi:

Svojstveni vektori su upravo vektori
temeljni sustav odlučivanja

Zapravo, tijekom cijele lekcije bavili smo se samo pronalaženjem vektora temeljnog sustava. Samo za sada ovaj pojam nije bilo posebno potrebno. Inače, oni spretni studenti koji, u kamuflaži homogene jednadžbe, bit će prisiljen da ga sada popuši.

Jedina radnja bila je uklanjanje dodatnih linija. Rezultat je matrica "jedan po tri" s formalnim "korakom" u sredini.
– osnovna varijabla, – slobodne varijable. Postoje dvije slobodne varijable, dakle postoje i dva vektora temeljnog sustava.

Izrazimo osnovnu varijablu preko slobodnih varijabli: . Nulti faktor ispred "x" omogućuje da preuzme apsolutno sve vrijednosti (što je također jasno vidljivo iz sustava jednadžbi).

U kontekstu ovog problema, prikladnije je pisati opće rješenje ne u retku, već u stupcu:

Par odgovara vlastitom vektoru:
Par odgovara vlastitom vektoru:

Bilješka : sofisticirani čitatelji mogu pokupiti ove vektore usmeno - samo analizom sustava , ali ovdje je potrebno malo znanja: postoje tri varijable, rang matrice sustava- jedinica znači temeljni sustav odlučivanja sastoji se od 3 – 1 = 2 vektora. Međutim, pronađeni vektori savršeno su vidljivi i bez tog znanja, čisto na intuitivnoj razini. U tom slučaju će treći vektor biti još “ljepše” napisan: . Međutim, riječ opreza, u drugom primjeru jednostavan odabir možda i nije, zbog čega je rezervacija namijenjena iskusnim osobama. Osim toga, zašto ne uzeti kao treći vektor, recimo, ? Uostalom, njegove koordinate također zadovoljavaju svaku jednadžbu sustava i vektore su linearno neovisni. Ova je opcija u načelu prikladna, ali "kriva", jer je "drugi" vektor linearna kombinacija vektora osnovnog sustava.

Odgovor: svojstvene vrijednosti: , svojstveni vektori:

Sličan primjer za rješenje "uradi sam":

Primjer 7

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Približan uzorak završetka na kraju lekcije.

Treba primijetiti da je i u 6. i u 7. primjeru dobivena trojka linearno neovisnih svojstvenih vektora, pa se stoga izvorna matrica može prikazati u kanonska dekompozicija. Ali takve maline se ne događaju u svim slučajevima:

Primjer 8

Riješenje: sastaviti i riješiti karakterističnu jednadžbu:

Determinantu proširujemo prvim stupcem:

Provodimo daljnja pojednostavljenja prema razmatranoj metodi, izbjegavajući polinom 3. stupnja:

su svojstvene vrijednosti.

Nađimo vlastite vektore:

1) Nema poteškoća s korijenom:

Nemojte se iznenaditi, osim kita, u upotrebi su i varijable - tu nema razlike.

Iz 3. jednadžbe izražavamo - zamjenjujemo u 1. i 2. jednadžbu:

Iz obje jednadžbe slijedi:

Neka tada:

2-3) Za više vrijednosti dobivamo sustav .

Zapišimo matricu sustava i pomoću elementarnih transformacija dovedimo je u stepenasti oblik:

Najjednostavnije su raspoređene matrice dijagonalnog tipa. Postavlja se pitanje da li je moguće pronaći bazu u kojoj bi matrica linearnog operatora imala dijagonalni oblik. Takva osnova postoji.
Neka je dan linearni prostor R n i linearni operator A koji djeluje u njemu; u ovom slučaju operator A preuzima R n u sebe, odnosno A:R n → R n .

Definicija. Vektor x različit od nule naziva se svojstvenim vektorom operatora A ako operator A transformira x u vektor kolinearan njemu, tj. Broj λ se naziva svojstvena vrijednost ili svojstvena vrijednost operatora A koji odgovara svojstvenom vektoru x .
Napominjemo neka svojstva svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora.
1. Bilo koja linearna kombinacija svojstvenih vektora operatora A koji odgovara istoj svojstvenoj vrijednosti λ je svojstveni vektor s istom svojstvenom vrijednošću.
2. Vlastiti vektori operator A s parovima različitih svojstvenih vrijednosti λ 1 , λ 2 , …, λ m su linearno neovisni.
3. Ako su svojstvene vrijednosti λ 1 =λ 2 = λ m = λ, tada svojstvena vrijednost λ odgovara ne više od m linearno neovisnih svojstvenih vektora.

Dakle, ako postoji n linearno neovisnih svojstvenih vektora odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima λ 1 , λ 2 , …, λ n , tada su linearno neovisni, stoga se mogu uzeti kao osnova prostora R n . Nađimo oblik matrice linearnog operatora A u bazi njegovih svojstvenih vektora, za koju djelujemo s operatorom A na baznim vektorima: zatim .
Dakle, matrica linearnog operatora A u osnovi svojih svojstvenih vektora ima dijagonalni oblik, a vlastite vrijednosti operatora A su na dijagonali.
Postoji li još jedna baza u kojoj matrica ima dijagonalni oblik? Odgovor na ovo pitanje daje sljedeći teorem.

Teorema. Matrica linearnog operatora A u bazi (i = 1..n) ima dijagonalni oblik ako i samo ako su svi vektori baze svojstveni vektori operatora A.

Pravilo za pronalaženje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora

Neka vektor , gdje x 1 , x 2 , …, x n - koordinate vektora x u odnosu na bazu a x je svojstveni vektor linearnog operatora A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ, tj. Ova se relacija može napisati u matričnom obliku

. (*)

Jednadžba (*) se može smatrati jednadžbom za pronalaženje x , i , odnosno zanimaju nas netrivijalna rješenja, budući da svojstveni vektor ne može biti nula. Poznato je da netrivijalna rješenja homogeni sustav linearne jednadžbe postoje ako i samo ako je det(A - λE) = 0. Dakle, da bi λ bio svojstvena vrijednost operatora A potrebno je i dovoljno da je det(A - λE) = 0.
Ako se jednadžba (*) detaljno napiše u koordinatnom obliku, tada se dobiva linearni sustav homogene jednadžbe:

(1)
gdje je matrica linearnog operatora.

Sustav (1) ima rješenje različito od nule ako mu je determinanta D jednaka nuli

Dobili smo jednadžbu za pronalaženje svojstvenih vrijednosti.
Ova se jednadžba naziva karakteristična jednadžba, a njezina lijeva strana karakteristični polinom matrice (operatora) A. Ako karakteristični polinom nema realne korijene, tada matrica A nema svojstvene vektore i ne može se svesti na dijagonalni oblik.
Neka su λ 1 , λ 2 , …, λ n pravi korijeni karakteristične jednadžbe, a među njima mogu biti višekratnici. Zamjenom ovih vrijednosti u sustav (1), nalazimo vlastite vektore.

Primjer 12. Linearni operator A djeluje u R 3 prema zakonu , gdje su x 1 , x 2 , .., x n koordinate vektora u bazi , , . Nađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore ovog operatora.
Riješenje. Gradimo matricu ovog operatora:
.
Sastavljamo sustav za određivanje koordinata vlastitih vektora:

Sastavljamo karakterističnu jednadžbu i rješavamo je:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Zamjenom λ = -1 u sustav imamo:
ili
Jer , tada postoje dvije ovisne varijable i jedna slobodna varijabla.
Neka je onda x 1 slobodna nepoznanica Riješimo ovaj sustav na bilo koji način i nađemo opće rješenje ovog sustava: Osnovni sustav rješenja sastoji se od jednog rješenja, jer je n - r = 3 - 2 = 1.
Skup svojstvenih vektora koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = -1 ima oblik: , gdje je x 1 bilo koji broj različit od nule. Odaberimo jedan vektor iz ovog skupa, na primjer, postavljanjem x 1 = 1: .
Raspravljajući na sličan način, nalazimo svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 3: .
U prostoru R 3 bazu čine tri linearno neovisna vektora, ali smo dobili samo dva linearno neovisna svojstvena vektora, od kojih se ne može formirati baza u R 3 . Prema tome, matrica A linearnog operatora ne može se svesti na dijagonalni oblik.

Primjer 13 S obzirom na matricu .
1. Dokažite da vektor je svojstveni vektor matrice A. Nađite svojstvenu vrijednost koja odgovara tom svojstvenom vektoru.
2. Odredite bazu u kojoj matrica A ima dijagonalni oblik.
Riješenje.
1. Ako je , tada je x svojstveni vektor

.
Vektor (1, 8, -1) je svojstveni vektor. Svojstvena vrijednost λ = -1.
Matrica ima dijagonalni oblik u bazi koja se sastoji od vlastitih vektora. Jedan od njih je poznat. Pronađimo ostatak.
Tražimo vlastite vektore iz sustava:

Karakteristična jednadžba: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Nađite svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = -3:

Rang matrice ovog sustava jednak je dva i jednak je broju nepoznanice, tako da ovaj sustav ima samo nulto rješenje x 1 = x 3 = 0. x 2 ovdje može biti bilo što osim nule, na primjer, x 2 = 1. Dakle, vektor (0,1,0) je svojstveni vektor , što odgovara λ = -3. Provjerimo:
.
Ako je λ = 1, tada dobivamo sustav
Rang matrice je dva. Prekriži posljednju jednadžbu.
Neka je x 3 slobodna nepoznanica. Zatim x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Uz pretpostavku da je x 3 = 1, imamo (-3,-9,1) - svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 1. Provjerite:

.
Budući da su svojstvene vrijednosti stvarne i različite, vektori koji im odgovaraju su linearno neovisni, pa se mogu uzeti kao osnova u R 3 . Dakle, u osnovi , , matrica A ima oblik:
.
Ne može se svaka matrica linearnog operatora A:R n → R n svesti na dijagonalni oblik, jer za neke linearne operatore može postojati manje od n linearno neovisnih svojstvenih vektora. Međutim, ako je matrica simetrična, tada točno m linearno neovisnih vektora odgovara korijenu karakteristične jednadžbe višestrukosti m.

Definicija. Simetrična matrica se zove kvadratna matrica, u kojoj su elementi simetrični oko glavne dijagonale jednaki, odnosno u kojoj .
Opaske. 1. Sve svojstvene vrijednosti simetrične matrice su realne.
2. Vlastiti vektori simetrične matrice koji odgovaraju parovima različitih svojstvenih vrijednosti su ortogonalni.
Kao jednu od brojnih primjena proučavane aparature razmatramo problem određivanja oblika krivulje drugog reda.