Indijski način množenja

Najvrjedniji doprinos riznici matematičkog znanja dat je u Indiji. Hindusi su predložili način na koji zapisujemo brojeve koristeći deset znakova: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Temelj ove metode je ideja da ista znamenka označava jedinice, desetke, stotine ili tisuće, ovisno o tome gdje se ta brojka nalazi. Zauzeto mjesto, u nedostatku znamenki, određuje se nulama dodijeljenim brojevima.

Indijanci su dobro mislili. Smislili su vrlo jednostavan način množenja. Izvodili su množenje, počevši s najvišim redom, i zapisivali nepotpune proizvode odmah iznad množitelja, malo po malo. Istodobno, viša znamenka cijelog proizvoda bila je odmah vidljiva, a osim toga isključeno je izostavljanje bilo koje znamenke. Znak množenja još nije bio poznat, pa su ostavili malu udaljenost između faktora. Na primjer, pomnožimo ih na način 537 sa 6:

Množenje metodom "MALI DVORAC".

Množenje brojeva sada se uči u prvom razredu škole. Ali u srednjem vijeku vrlo je malo njih svladalo umijeće množenja. Rijetki se aristokrat mogao pohvaliti poznavanjem tablice množenja, čak i ako je diplomirao na europskom sveučilištu.

Tijekom tisućljeća razvoja matematike izmišljeni su mnogi načini množenja brojeva. Talijanski matematičar Luca Pacioli u svojoj raspravi Zbroj znanja u aritmetici, odnosima i proporcionalnosti (1494.) navodi osam različitih metoda množenja. Prvi od njih zove se "Mali dvorac", a drugi nije ništa manje romantičan pod nazivom "Ljubomora ili množenje rešetke".

Prednost metode množenja “Mali dvorac” je što se znamenke najviših znamenki određuju od samog početka, a to može biti važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.

Znamenke gornjeg broja, počevši od najznačajnije znamenke, naizmjenično se množe s donjim brojem i zapisuju u stupac uz dodavanje potrebnog broja nula. Zatim se rezultati zbrajaju.

U staroj Indiji korištene su dvije metode množenja: rešetke i galije.
Na prvi pogled djeluju vrlo komplicirano, ali ako pratite vježbe korak po korak, vidjet ćete da je prilično jednostavno.
Množimo, na primjer, brojeve 6827 i 345:
1. Nacrtamo kvadratnu mrežu i upišemo jedan od brojeva iznad stupaca, a drugi po visini. U predloženom primjeru može se koristiti jedna od ovih mreža.

2. Nakon odabira mreže, množimo broj svakog retka uzastopno s brojevima svakog stupca. U ovom slučaju sekvencijalno množimo 3 sa 6, s 8, s 2 i sa 7. Pogledajte ovaj dijagram kako je proizvod napisan u odgovarajućoj ćeliji.

3. Pogledajte kako izgleda mreža sa svim popunjenim ćelijama.

4. Na kraju zbrojite brojeve, prateći dijagonalne pruge. Ako zbroj jedne dijagonale sadrži desetice, tada ih dodajemo sljedećoj dijagonali.

Pogledajte kako rezultati zbrajanja brojeva duž dijagonala (označeni su žutom bojom) čine broj 2355315 koji je umnožak brojeva 6827 i 345.

Svrha rada: Istražiti i pokazati neobične načine množenja Zadaci: Pronaći neobične načine množenja. Naučite ih primijeniti. Odaberite za sebe one najzanimljivije ili lakše od onih koje vam nudi škola i upotrijebite ih pri brojanju. Naučite kolege iz razreda koristiti novi način množenja

Metode: metoda pretraživanja pomoću znanstvene i nastavne literature, kao i traženje potrebnih informacija na internetu; praktična metoda za izvođenje izračuna korištenjem nestandardnih algoritama brojanja; analiza podataka dobivenih tijekom studija Relevantnost ove teme leži u činjenici da korištenje nestandardnih metoda u formiranju računalnih vještina pojačava interes učenika za matematiku i doprinosi razvoju matematičkih sposobnosti.

Na satu matematike naučili smo neobičan način množenja stupcem. Svidjelo nam se i odlučili smo naučiti druge načine množenja prirodnih brojeva. Pitali smo naše kolege iz razreda znaju li druge načine brojanja? Svi su govorili samo o onim metodama koje se proučavaju u školi. Pokazalo se da svi naši prijatelji ne znaju ništa o drugim metodama. U povijesti matematike poznato je oko 30 metoda množenja, koje se razlikuju po shemi snimanja ili samom tijeku računanja. Metoda množenja „u stupac“, koju učimo u školi, jedan je od načina. Ali je li to najučinkovitiji način? Idemo pogledati! Uvod

Ovo je jedna od najčešćih metoda koju su ruski trgovci uspješno koristili stoljećima. Princip ove metode: množenje na prstima jednoznamenkastih brojeva od 6 do 9. Prsti su ovdje služili kao pomoćni računalni uređaj. Da bi to učinili, s jedne su ruke pružili onoliko prstiju koliko je prvi faktor veći od broja 5, a s druge su isto učinili za drugi faktor. Ostali prsti su bili savijeni. Zatim je uzet broj (ukupno) ispruženih prstiju i pomnožen sa 10, zatim su brojevi pomnoženi koliko je prstiju savijeno na rukama i rezultati su se zbrajali. Na primjer, pomnožimo 7 s 8. U razmatranom primjeru, 2 i 3 prsta će biti savijena. Ako zbrojimo broj savijenih prstiju (2+3=5) i pomnožimo broj nesavijenih prstiju (23=6), onda ćemo dobiti brojeve desetica i jedinica željenog proizvoda 56. Dakle, možete izračunati umnožak bilo kojeg jednoznamenkastog broja većeg od 5.

Množenje za broj 9 vrlo je lako reproducirati "na prste". Raširite prste na obje ruke i okrenite dlanove od sebe. Mentalno dodijelite prstima brojeve od 1 do 10 redom, počevši od malog prsta lijeve ruke i završavajući malim prstom desne ruke. Recimo da želimo pomnožiti 9 sa 6. Savijamo prst s brojem jednakim broju s kojim ćemo pomnožiti devet. U našem primjeru trebate saviti prst s brojem 6. Broj prstiju lijevo od savijenog prsta pokazuje nam broj desetica u odgovoru, broj prstiju desno - broj jedinica. Na lijevoj strani imamo 5 nesavijenih prstiju, na desnoj strani - 4 prsta. Dakle, 9 6=54.

Metoda množenja "Mali dvorac" Prednost metode množenja "Mali dvorac" je u tome što se znamenke visokog reda određuju od samog početka, što je važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost. Znamenke gornjeg broja, počevši od najznačajnije znamenke, naizmjenično se množe s donjim brojem i upisuju u stupac uz dodavanje potrebnog broja nula. Zatim se rezultati zbrajaju.

“Ljubomora” ili “množenje rešetke” Prvo se nacrta pravokutnik, podijeljen na kvadrate, a dimenzije stranica pravokutnika odgovaraju broju decimalnih mjesta za množitelj i množitelj. Zatim se kvadratne ćelije dijele dijagonalno, a “... dobije se slika koja izgleda kao rešetkaste rolete-zastori, - piše Pacioli. - Takvi su kapci bili obješeni na prozore venecijanskih kuća ..."

Množenje rešetke = +1 +2

Seljačka metoda Ovo je metoda velikoruskih seljaka čija je suština u tome da se množenje bilo kojeg broja svodi na niz uzastopnih dijeljenja jednog broja na pola, dok se drugi broj udvostručuje ……….32 74…… ………….8 296……….4 592……… ………1 3732=1184

Seljački način (neparni brojevi) 47 x =1645

Korak 1. prvi broj 15: Nacrtajte prvi broj - u jednoj liniji. Crtamo drugu figuru - pet linija. Korak 2. drugi broj 23: Nacrtajte prvi broj - dvije linije. Crtamo drugu figuru - tri linije. Korak 3. Izbrojite broj bodova u skupinama. Korak 4. Rezultat je 345. Pomnožimo dva dvoznamenkasta broja: 15 * 23

Indijska metoda množenja (križ) 24 i X 3 2 1)4x2=8 - zadnja znamenka rezultata; 2)2x2=4; 4x3=12; 4+12=16; 6 - pretposljednja znamenka rezultata, zapamtite jedinicu; 3) 2x3=6 pa čak i broj koji imamo na umu, imamo 7 - ovo je prva znamenka rezultata. Dobivamo sve znamenke proizvoda: 7,6,8. Odgovor: 768.

Indijska metoda množenja = = = = 3822 Temelj ove metode je ideja da ista znamenka označava jedinice, desetke, stotine ili tisuće, ovisno o tome koje mjesto zauzima ova brojka. Zauzeto mjesto, u nedostatku znamenki, određuje se nulama dodijeljenim brojevima. počinjemo množenje od najvišeg reda, a nepotpune proizvode zapisujemo malo po malo iznad množenika. U ovom slučaju, najznačajnija znamenka cijelog proizvoda je odmah vidljiva, a osim toga, izostavljanje bilo koje znamenke je isključeno. Znak množenja još nije bio poznat, pa je ostavljena mala udaljenost između faktora

Osnovni broj Množi 18*19 20 (osnovni broj) * 2 1 (18-1)*20 = Odgovor: 342 Kratka napomena: 18*19 = 20*17+2 = 342

Nova metoda množenja X = , 5+2, 5+3, 0+2, 0+3, 5

Zaključak: Naučivši računati na sve prikazane načine, došli smo do zaključka da su najjednostavnije metode koje učimo u školi, ili smo se na njih samo navikli.Od svih smatranih neobičnih metoda brojanja, metoda grafičkog množenje se činilo zanimljivijim. Pokazali smo je kolegama iz razreda i i njima se jako svidjelo. Činilo se da je najjednostavnija metoda bila “udvostručavanje i udvostručavanje” koju su koristili ruski seljaci. Nakon rada s literaturom i materijalima na internetu, shvatili smo da smo uzeli u obzir vrlo mali broj metoda množenja, što znači da je mnogo zanimljivih stvari su pred nama

Zaključak Opisujući drevne metode računanja i suvremene metode brzog brojanja, pokušali smo pokazati da se, kako u prošlosti tako i u budućnosti, ne može bez matematike, znanosti koju je stvorio ljudski um. Proučavanje drevnih metoda množenja pokazalo je da je ova računska operacija bila teška i složena zbog raznolikosti metoda i njihove glomazne provedbe Suvremena metoda množenja jednostavna je i dostupna svima. No, smatramo da naša metoda množenja u stupcu nije savršena i da možete smisliti još brže i pouzdanije metode. Moguće je da prvi put mnogi neće moći brzo, u hodu, izvesti ove ili drugi izračuni.Nije važno. Potrebna je stalna obuka za računanje. Pomoći će vam da razvijete korisne mentalne vještine brojanja!

Korišteni materijali: html Enciklopedija za djecu. "Matematika". – M.: Avanta +, – 688 str. Enciklopedija “Poznajem svijet. Matematika". - M .: Astrel Ermak, Perelman Ya.I. Brzi račun. Trideset jednostavnih metoda mentalnog brojanja. L., s.

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

"Brojenje i izračuni su osnova reda u glavi."
Pestalozzi

Cilj:

• Upoznajte se sa starim metodama množenja.
• Proširite svoje znanje o raznim tehnikama množenja.
• Naučite izvoditi operacije s prirodnim brojevima koristeći stare metode množenja.

1. Stari način množenja s 9 na prstima
2. Množenje Ferrolovom metodom.
3. Japanski način množenja.
4. Talijanski način množenja ("Grid")
5. Ruski način množenja.
6. Indijski način množenja.

Napredak lekcije

Važnost korištenja tehnika brzog brojanja.

U modernom životu svaka osoba često mora izvršiti ogromnu količinu izračuna i izračuna. Stoga je svrha moga rada pokazati lake, brze i točne metode brojanja koje će vam ne samo pomoći pri bilo kakvom izračunu, već će izazvati poprilično iznenađenje među vašim prijateljima i suborcima, jer besplatno izvođenje operacija brojanja uvelike može ukazivati ​​na originalnost vašeg intelekta. Temeljni element računalne kulture su svjesne i snažne računalne vještine. Problem formiranja računalne kulture aktualan je za cjelokupni školski kolegij matematike, počevši od osnovne škole, i zahtijeva ne samo ovladavanje računalnim vještinama, već i njihovu upotrebu u različitim situacijama. Posjedovanje računalnih vještina i sposobnosti od velike je važnosti za asimilaciju gradiva koji se proučava, omogućuje kultiviranje vrijednih radnih kvaliteta: odgovoran odnos prema svom poslu, sposobnost otkrivanja i ispravljanja pogrešaka u radu, precizno izvođenje zadatka i kreativan odnos prema poslu. Međutim, u posljednje vrijeme razina računalnih vještina, transformacija izraza ima izražen trend pada, učenici puno griješe pri računanju, sve češće koriste kalkulator, ne razmišljaju racionalno, što negativno utječe na kvalitetu obrazovanja i razinu matematičkog znanja. studenata općenito. Jedna od komponenti računarske kulture je verbalno brojanješto je od velike važnosti. Sposobnost brzog i ispravnog izvođenja jednostavnih izračuna "u umu" neophodna je svakoj osobi.

Drevni načini množenja brojeva.

1. Stari način množenja s 9 na prstima

Jednostavno je. Da biste bilo koji broj između 1 i 9 pomnožili s 9, pogledajte kazaljke. Savijte prst koji odgovara broju koji se množi (npr. 9 x 3 - savijte treći prst), brojite prste do iskrivljenog prsta (u slučaju 9 x 3 - ovo je 2), zatim brojite iza krivog prsta (u našem slučaju - 7). Odgovor je 27.

2. Množenje Ferrolovom metodom.

Da biste pomnožili jedinice množenja, pomnožite jedinice faktora, da biste dobili desetice, pomnožite desetice jednog s jedinicama drugog i obrnuto i zbrojite rezultate, da biste dobili stotine, pomnožite desetice. Koristeći Ferrolovu metodu, lako je verbalno pomnožiti dvoznamenkaste brojeve od 10 do 20.

Na primjer: 12x14=168

a) 2x4=8, napiši 8

b) 1x4+2x1=6, napiši 6

c) 1x1=1, napiši 1.

3. Japanska metoda množenja

Ova tehnika nalikuje množenju stupcem, ali traje dosta vremena.

Korištenje recepcije. Recimo da trebamo 13 pomnožiti sa 24. Nacrtajmo sljedeću sliku:

Ovaj crtež se sastoji od 10 linija (broj može biti bilo koji)

• Ove linije predstavljaju broj 24 (2 retka, uvlaka, 4 retka)
• I ove linije predstavljaju broj 13 (1 red, uvlaka, 3 retka)

(raskrižja na slici su označena točkama)

Broj prijelaza:

• Gornji lijevi rub: 2
• Donji lijevi rub: 6
• Gore desno: 4
• Dolje desno: 12

1) Križanja u gornjem lijevom rubu (2) - prvi broj odgovora

2) Zbroj sjecišta donjeg lijevog i gornjeg desnog ruba (6 + 4) - drugi broj odgovora

3) Raskrižja u donjem desnom rubu (12) - treći broj odgovora.

Ispada: 2; 10; 12.

Jer zadnja dva broja su dvoznamenkasta i ne možemo ih zapisati, tada zapisujemo samo jedinice, a prethodnom zbrajamo desetice.

4. Talijanski način množenja (“Mreža”)

U Italiji, kao i u mnogim zemljama Istoka, ova metoda je postala vrlo poznata.

Upotreba prijema:

Na primjer, pomnožimo 6827 sa 345.

1. Nacrtamo kvadratnu mrežu i upišemo jedan od brojeva iznad stupaca, a drugi po visini.

2. Pomnožite broj svakog retka uzastopno s brojevima svakog stupca.

• 6*3 = 18. Zapiši 1 i 8
• 8*3 = 24. Zapiši 2 i 4

Ako se množenjem dobije jednoznamenkasti broj, na vrhu pišemo 0, a na dnu ovaj broj.

(Kao u našem primjeru, kada smo množili 2 sa 3, dobili smo 6. Na vrhu smo napisali 0, a na dnu 6)

3. Ispunite cijelu mrežu i zbrojite brojeve nakon dijagonalnih pruga. Počinjemo preklapati s desna na lijevo. Ako zbroj jedne dijagonale sadrži desetice, tada ih zbrajamo jedinicama sljedeće dijagonale.

Odgovor: 2355315.

5. Ruski način množenja.

Ovu tehniku ​​množenja koristili su ruski seljaci prije otprilike 2-4 stoljeća, a razvijena je u antičko doba. Suština ove metode je: “S koliko podijelimo prvi faktor, množimo drugi s toliko.” Evo primjera: 32 trebamo pomnožiti s 13. Ovako bi naši preci riješili ovaj primjer 3 -prije 4 stoljeća:

• 32 * 13 (32 podijeljeno s 2, a 13 pomnoženo s 2)
• 16 * 26 (16 podijeljeno s 2, a 26 pomnoženo s 2)
• 8 * 52 (itd.)
• 4 * 104
• 2 * 208
• 1 * 416 =416

Bisekcija se nastavlja sve dok kvocijent ne bude 1, dok se paralelno udvostručuje drugi broj. Posljednji udvostručeni broj daje željeni rezultat. Nije teško razumjeti na čemu se temelji ova metoda: proizvod se ne mijenja ako se jedan faktor prepolovi, a drugi udvostruči. Jasno je, dakle, da se kao rezultat višekratnog ponavljanja ove operacije dobiva željeni proizvod

Međutim, što učiniti ako neparni broj morate podijeliti na pola? Popularni način se lako izvlači iz ove poteškoće. Potrebno je, - kaže pravilo, - u slučaju neparnog broja jedinicu odbaciti, a ostatak podijeliti na pola; ali s druge strane, posljednjem broju desnog stupca bit će potrebno dodati sve one brojeve ovog stupca koji stoje nasuprot neparnim brojevima lijevog stupca: zbroj će biti željeni umnožak. U praksi se to radi na način da su svi redci s parnim lijevim brojevima precrtani; ostaju samo oni koji sadrže neparan broj lijevo. Evo primjera (zvjezdice označavaju da ovu liniju treba precrtati):

• 19*17
• 4 *68*
• 2 *136*
• 1 *272

Zbrajanjem nekrižanih brojeva dobivamo potpuno ispravan rezultat:

• 17 + 34 + 272 = 323.

Odgovor: 323.

6. Indijski način množenja.

Ova metoda množenja korištena je u staroj Indiji.

Za množenje, na primjer, 793 s 92, zapisujemo jedan broj kao množitelj, a ispod njega drugi kao faktor. Da biste olakšali navigaciju, možete koristiti mrežu (A) kao referencu.

Sada množimo lijevu znamenku množitelja sa svakom znamenkom množitelja, odnosno 9x7, 9x9 i 9x3. Dobivene proizvode upisujemo u mrežu (B), imajući na umu sljedeća pravila:

• Pravilo 1. Jedinice prvog umnoška treba napisati u istom stupcu kao i množitelj, odnosno u ovom slučaju pod 9.
• Pravilo 2. Naknadni rad mora biti napisan na način da se jedinice stavljaju u stupac odmah desno od prethodnog rada.

Ponovite cijeli postupak s drugim brojevima množitelja, slijedeći ista pravila (C).

Zatim dodamo brojeve u stupce i dobijemo odgovor: 72956.

Kao što vidite, dobivamo veliki popis radova. Indijanci, koji su imali veliku praksu, napisali su svaku cifru ne u odgovarajući stupac, već na vrh, što je više moguće. Zatim su zbrojili brojeve u stupcima i dobili rezultat.

Zaključak

Ušli smo u novi milenij! Grandiozna otkrića i dostignuća čovječanstva. Znamo puno, možemo puno. Čini se nečim nadnaravnim da se uz pomoć brojeva i formula može izračunati let svemirskog broda, “gospodarska situacija” u zemlji, vrijeme za “sutra”, opisati zvuk nota u melodiji. Poznata nam je izreka starogrčkog matematičara, filozofa, koji je živio u 4. stoljeću prije Krista – Pitagore – „Sve je broj!“.

Prema filozofskom gledištu ovog znanstvenika i njegovih sljedbenika, brojevi ne upravljaju samo mjerom i težinom, već i svim pojavama koje se događaju u prirodi, te su bit harmonije koja vlada u svijetu, duši kozmosa.

Opisujući drevne metode proračuna i moderne metode brzog brojanja, pokušao sam pokazati da se i u prošlosti i u budućnosti ne može bez matematike, znanosti koju je stvorio ljudski um.

“Tko se od djetinjstva bavi matematikom, razvija pažnju, trenira mozak, svoju volju, njeguje ustrajnost i ustrajnost u postizanju cilja.”(A.Markushevich)

Književnost.

1. Enciklopedija za djecu. "T.23". Univerzalni enciklopedijski rječnik \ ur. kolegij: M. Aksyonova, E. Zhuravleva, D. Lury i drugi - M .: Svijet enciklopedija Avanta +, Astrel, 2008. - 688 str.
2. Ozhegov S.I. Rječnik ruskog jezika: pribl. 57000 riječi / Ed. član - ispr. ANSIR N.Yu. Švedova. - 20. izd. - M .: Obrazovanje, 2000. - 1012 str.
3. Želim znati sve! Velika ilustrirana enciklopedija inteligencije / Per. s engleskog. A. Zykova, K. Malkov, O. Ozerova. – M.: Izdavačka kuća EKMO, 2006. – 440 str.
4. Sheinina O.S., Solovjeva G.M. Matematika. Razredi školskog kruga 5-6 ćelija / O.S. Sheinina, G.M. Solovieva - M .: Izdavačka kuća NTsENAS, 2007. - 208 str.
5. Kordemsky B. A., Akhadov A. A. Nevjerojatan svijet brojeva: knjiga učenika, - M. Obrazovanje, 1986.
6. Minskykh E. M. "Od igre do znanja", M., "Prosvjetljenje", 1982.
7. Svečnikov A. A. Brojevi, brojke, zadaci M., Prosvjeta, 1977.
8. http://matsievsky.ru nova pošta. ru/sys-schi/file15.htm
9. http://sch69.narod. en/mod/1/6506/povijest. html

Istraživački rad iz matematike u osnovnoj školi

Kratak sažetak istraživačkog rada
Svaki učenik zna množiti višeznamenkaste brojeve sa “stupcem”. U ovom radu autorica skreće pozornost na postojanje alternativnih metoda množenja dostupnih mlađim učenicima, a koje "zamorno" računanje mogu pretvoriti u zabavnu igru.
U radu se raspravlja o šest netradicionalnih načina množenja višeznamenkastih brojeva korištenih u različitim povijesnim razdobljima: ruski seljak, rešetka, mali dvorac, kineski, japanski, prema tablici V. Okonešnjikova.
Projekt je osmišljen za razvijanje kognitivnog interesa za predmet koji se proučava, za produbljivanje znanja iz područja matematike.
Sadržaj
Uvod 3
Poglavlje 1. Alternativni načini množenja 4
1.1. Malo povijesti 4
1.2. Ruski seljački način množenja 4
1.3. Množenje metodom "Mali dvorac" 5
1.4. Množenje brojeva metodom "ljubomore" ili "množenja rešetke" 5
1.5. Kineska metoda množenja 5
1.6. Japanska metoda množenja 6
1.7. Tablica Okonešnjikov 6
1.8 Množenje stupcem. 7
Poglavlje 2. Praktični dio 7
2.1. Seljački način 7
2.2. Mali dvorac 7
2.3. Množenje brojeva metodom "ljubomore" ili "množenja rešetke" 7
2.4. Kineski način 8
2.5. Japanski način 8
2.6. Tablica Okonešnjikov 8
2.7. Upitnik 8
Zaključak 9
Prilog 10

"Predmet matematike je toliko ozbiljan da je korisno iskoristiti prilike da ga učinite malo zabavnim."
B. Pascal
Uvod
Nemoguće je da osoba bez kalkulacija u svakodnevnom životu. Stoga nas na satovima matematike prije svega uče izvoditi operacije nad brojevima, odnosno brojati. Množimo, dijelimo, zbrajamo i oduzimamo na uobičajene načine za sve koji se uče u školi. Postavilo se pitanje: postoje li neki drugi alternativni načini računanja? Htio sam ih detaljnije proučiti. Kako bi se odgovorilo na ova pitanja, provedeno je ovo istraživanje.
Svrha istraživanja: identificirati netradicionalne metode množenja radi proučavanja mogućnosti njihove primjene.
U skladu s ciljem formulirali smo sljedeće zadatke:
- Pronađite što više neobičnih načina množenja.
- Naučite ih primijeniti.
- Odaberite za sebe one najzanimljivije ili lakše od onih koje nudi škola, te ih iskoristite pri brojanju.
- Provjerite u praksi množenje višeznamenkastih brojeva.
- Provesti anketu učenika 4. razreda
Predmet studija: razni nestandardni algoritmi višeznamenkastog množenja
Predmet istraživanja: matematička radnja "množenje"
Hipoteza: Ako postoje standardni načini množenja višeznamenkastih brojeva, možda postoje alternativni načini.
Relevantnost: širenje znanja o alternativnim metodama množenja.
Praktični značaj. Tijekom rada riješeni su brojni primjeri te je napravljen album koji uključuje primjere s različitim algoritmima za množenje viševrijednih brojeva na nekoliko alternativnih načina. To bi moglo zainteresirati kolege iz razreda da prošire svoje matematičke horizonte i poslužiti kao početak novih eksperimenata.

Poglavlje 1

1.1. Malo povijesti
Metode izračuna koje sada koristimo nisu uvijek bile tako jednostavne i prikladne. U stara vremena koristile su se glomaznije i sporije metode. A kad bi se moderni školarac mogao vratiti petsto godina unatrag, zadivio bi svakoga brzinom i točnošću svojih proračuna. Glas o njemu bi se proširio po okolnim školama i samostanima, pomračivši slavu najvještijih brojača toga doba, a ljudi bi dolazili odasvud da bi se učili kod novog velikog majstora.
Operacije množenja i dijeljenja bile su posebno teške u stara vremena.
U knjizi V. Bellyustina “Kako su ljudi postupno došli do prave aritmetike” ocrtano je 27 metoda množenja, a autor napominje: “sasvim je moguće da postoji više metoda skrivenih u udubljenjima knjižara, raštrkanih u brojnim, uglavnom rukom pisane zbirke.” I sve te metode množenja natjecale su se jedna s drugom i bile su asimilirane s velikim poteškoćama.
Razmotrite najzanimljivije i najjednostavnije načine množenja.
1.2. Ruski seljački način množenja
U Rusiji je prije 2-3 stoljeća među seljacima nekih provincija bila raširena metoda koja nije zahtijevala poznavanje cijele tablice množenja. Trebalo je samo znati množiti i dijeliti s 2. Ova metoda se zvala seljačka metoda.
Za množenje dva broja, oni su napisani jedan pored drugog, a zatim je lijevi broj podijeljen s 2, a desni je pomnožen s 2. Zabilježite rezultate u stupac dok s lijeve strane ne ostane 1. Ostatak se odbacuje. Precrtavamo one retke u kojima su slijeva parni brojevi. Zbrajaju se preostali brojevi u desnom stupcu.
1.3. Množenje metodom "Mali dvorac".
Talijanski matematičar Luca Pacioli u svojoj raspravi "Zbroj znanja u aritmetici, omjerima i proporcionalnosti" (1494.) daje osam različitih metoda množenja. Prvi od njih zove se "Mali dvorac".
Prednost metode množenja “Mali dvorac” je što se znamenke najviših znamenki određuju od samog početka, a to može biti važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.
Znamenke gornjeg broja, počevši od najznačajnije znamenke, naizmjenično se množe s donjim brojem i zapisuju u stupac uz dodavanje potrebnog broja nula. Zatim se rezultati zbrajaju.
1.4. Množenje brojeva metodom "ljubomore" ili "množenja rešetke".
Druga metoda Luce Paciolija naziva se "ljubomora" ili "množenje rešetke".
Prvo se nacrta pravokutnik, podijeljen na kvadrate. Zatim se kvadratne ćelije dijele dijagonalno i "... ispada slika koja izgleda kao rešetkaste kapke, rolete", piše Pacioli. “Takvi kapci su bili obješeni na prozorima venecijanskih kuća, sprečavajući prolaznike da vide dame i časne sestre kako sjede na prozorima.”
Množenjem svake znamenke prvog faktora sa svakom znamenkom drugog, proizvodi se zapisuju u odgovarajuće ćelije, stavljajući desetice iznad dijagonale, a jedinice ispod nje. Znamenke proizvoda dobivaju se zbrajanjem znamenki u kosim prugama. Rezultati zbrajanja bilježe se ispod tablice, kao i desno od nje.
1.5. Kineska metoda množenja
Sada zamislimo metodu množenja, o kojoj se žestoko raspravlja na Internetu, a koja se zove kineski. Prilikom množenja brojeva uzimaju se u obzir točke presjeka pravaca koje odgovaraju broju znamenki svake znamenke oba faktora.
1.6. Japanska metoda množenja
Japanska metoda množenja je grafička metoda koja koristi krugove i linije. Ništa manje smiješno i zanimljivo od kineskog. Čak i nešto poput njega.
1.7. Okonešnjikov stol
Doktor filozofije Vasilij Okonešnjikov, koji je i izumitelj novog sustava mentalnog brojanja, vjeruje da će školarci moći naučiti zbrajati i množiti milijune, milijarde, pa čak i sekstilione kvadrilijunima usmeno. Prema samom znanstveniku, deveto decimalni sustav je u tom pogledu najpovoljniji - svi podaci jednostavno su smješteni u devet ćelija raspoređenih poput gumba na kalkulatoru.
Prema riječima znanstvenika, prije nego što postane računalno "računalo", potrebno je zapamtiti tablicu koju je napravio.
Tablica je podijeljena na 9 dijelova. Raspoređeni su po principu mini kalkulatora: lijevo u donjem kutu "1", desno u gornjem kutu "9". Svaki dio je tablica množenja brojeva od 1 do 9 (prema istom sustavu "push-button"). Kako bismo pomnožili bilo koji broj, na primjer, s 8, nalazimo veliki kvadrat koji odgovara broju 8 i iz tog kvadrata ispisujemo brojeve koji odgovaraju znamenkama višeznačnog množitelja. Dobivene brojeve posebno zbrajamo: prva znamenka ostaje nepromijenjena, a svi ostali se zbrajaju u parovima. Rezultirajući broj bit će rezultat množenja.
Ako zbrajanjem dviju znamenki dobije se broj veći od devet, tada se njegova prva znamenka dodaje prethodnoj znamenki rezultata, a druga se upisuje na svoje “vlastito” mjesto.
Nova metodologija testirana je u nekoliko ruskih škola i sveučilišta. Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije dopustilo je objavljivanje nove tablice množenja u bilježnicama na kvadrat uz uobičajenu Pitagorinu tablicu - do sada samo za upoznavanje.
1.8. Množenje stupaca.
Malo ljudi zna da se autorom naše uobičajene metode množenja višeznamenkastog broja s višeznamenkastim brojem stupcem treba smatrati Adam Rize (Dodatak 7). Ovaj se algoritam smatra najprikladnijim.
Poglavlje 2. Praktični dio
Ovladavajući navedenim metodama množenja, riješeno je mnoštvo primjera, osmišljen je album s uzorcima različitih algoritama računanja. (Dodatak). Razmotrimo algoritam izračuna s primjerima.
2.1. seljački način
Pomnožite 47 sa 35 (Dodatak 1),
-napišite brojeve u jedan red, povucite okomitu crtu između njih;
-lijevi broj ćemo podijeliti s 2, desni broj pomnožiti s 2 (ako se tijekom dijeljenja pojavi ostatak, tada ostatak odbacujemo);
- podjela završava kada se jedinica pojavi s lijeve strane;
- precrtati one retke u kojima su slijeva parni brojevi;
Zbrajamo preostale brojeve s desne strane - ovo je rezultat.
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
Zaključak. Metoda je prikladna jer je dovoljno znati tablicu samo za 2. Međutim, kada radite s velikim brojevima, vrlo je glomazna. Pogodno za rad s dvoznamenkastim brojevima.
2.2. mali dvorac
(Prilog 2). Zaključak. Metoda je vrlo slična našoj modernoj "koloni". Štoviše, odmah se određuju brojevi najviših rangova. To je važno ako trebate brzo procijeniti vrijednost.
2.3. Množenje brojeva metodom "ljubomore" ili "množenja rešetke".
Pomnožimo, na primjer, brojeve 6827 i 345 (Prilog 3):
1. Nacrtamo kvadratnu mrežu i napišemo jedan od množitelja iznad stupaca, a drugi - po visini.
2. Pomnožite broj svakog retka uzastopno s brojevima svakog stupca. Uzastopno množimo 3 sa 6, sa 8, sa 2 i sa 7, itd.
4. Zbrojite brojeve nakon dijagonalnih pruga. Ako zbroj jedne dijagonale sadrži desetice, tada ih dodajemo sljedećoj dijagonali.
Iz rezultata zbrajanja brojeva duž dijagonala sastavlja se broj 2355315, koji je umnožak brojeva 6827 i 345, odnosno 6827 ∙ 345 = 2355315.
Zaključak. Metoda "množenja rešetke" nije ništa lošija od konvencionalne. Još je jednostavnije, jer se brojevi unose u ćelije tablice izravno iz tablice množenja bez istovremenog zbrajanja, što je prisutno u standardnoj metodi.
2.4. Kineski način
Pretpostavimo da trebate pomnožiti 12 s 321 (Dodatak 4). Na listu papira naizmjenično nacrtajte linije, čiji je broj određen iz ovog primjera.
Crtamo prvi broj - 12. Da bismo to učinili, odozgo prema dolje, slijeva nadesno, crtamo:
jedan zeleni štapić (1)
i dvije narančaste (2).
Crtamo drugi broj - 321, odozdo prema gore, s lijeva na desno:
tri plava štapića (3);
dvije crvene (2);
jedan lila (1).
Sada jednostavnom olovkom odvajamo točke sjecišta i nastavljamo ih brojati. Krećemo se s desna na lijevo (u smjeru kazaljke na satu): 2, 5, 8, 3.
Pročitajte rezultat s lijeva na desno - 3852
Zaključak. Zanimljiv način, ali nacrtati 9 ravnih linija kada se pomnože s 9 je nekako dugo i nezanimljivo, a zatim brojite više točaka sjecišta. Bez vještine, teško je razumjeti podjelu broja na znamenke. Općenito, ne možete bez tablice množenja!
2.5. japanski način
Pomnožite 12 sa 34 (Prilog 5). Budući da je drugi faktor dvoznamenkasti broj, a prva znamenka prvog faktora 1, gradimo dva pojedinačna kruga u gornjem redu i dva binarna kruga u donjem redu, budući da je druga znamenka prvog faktora 2 .
Budući da je prva znamenka drugog faktora 3, a druga 4, krugove prvog stupca podijelimo na tri dijela, drugog stupca na četiri dijela.
Broj dijelova na koje su krugovi podijeljeni je odgovor, odnosno 12 x 34 = 408.
Zaključak. Metoda je vrlo slična kineskoj grafici. Samo se ravne linije zamjenjuju krugovima. Lakše je odrediti znamenke broja, ali crtanje krugova je manje prikladno.
2.6. Okonešnjikov stol
Potrebno je pomnožiti 15647 x 5. Odmah se prisjećamo velikog "gumbira" 5 (u sredini je) i na njemu mentalno pronalazimo male gumbe 1, 5, 6, 4, 7 (također se nalaze, kao na kalkulator). Oni odgovaraju brojevima 05, 25, 30, 20, 35. Dobivene brojeve dodajemo: prva znamenka je 0 (ostaje nepromijenjena), 5 se mentalno dodaje na 2, dobivamo 7 - ovo je druga znamenka rezultata , 5 se dodaje na 3, dobivamo treću znamenku - 8 , 0+2=2, 0+3=3 i posljednja znamenka proizvoda ostaje - 5. Rezultat je 78.235.
Zaključak. Metoda je vrlo prikladna, ali morate učiti napamet ili uvijek imati stol pri ruci.
2.7. Anketa studenata
Provedeno je istraživanje među učenicima četvrtih razreda. Sudjelovalo je 26 osoba (Prilog 8). Na temelju ankete pokazalo se da svi ispitanici znaju množiti na tradicionalan način. Ali većina dečki ne zna za netradicionalne metode množenja. A ima i onih koji ih žele upoznati.
Nakon inicijalne ankete održana je izvannastavna aktivnost „Množenje sa strašću“ na kojoj su se djeca upoznala s alternativnim algoritmima množenja. Nakon toga je provedeno istraživanje kako bi se identificirale metode koje se najviše sviđaju. Neosporni vođa bio je najmodernija metoda Vasilija Okonešnjikova. (Prilog 9)
Zaključak
Pošto sam naučio računati na sve predstavljene načine, vjerujem da je najzgodnija metoda množenja metoda "Mali dvorac" - jer je toliko slična našoj sadašnjoj!
Od svih neobičnih metoda brojanja koje sam pronašao, „japanska“ metoda se činila zanimljivijom. Najjednostavnija metoda činila mi se metodom "udvostručavanja i cijepanja" koju su koristili ruski seljaci. Koristim ga pri množenju ne prevelikih brojeva. Vrlo ga je prikladno koristiti prilikom množenja dvoznamenkastih brojeva.
Time sam postigao cilj svog istraživanja – proučavao sam i naučio kako primijeniti netradicionalne načine množenja višeznamenkastih brojeva. Moja hipoteza se potvrdila – savladao sam šest alternativnih metoda i otkrio da to nisu svi mogući algoritmi.
Nekonvencionalne metode množenja koje sam proučavao vrlo su zanimljive i imaju pravo na postojanje. A u nekim su slučajevima čak i lakši za korištenje. Mislim da o postojanju ovih metoda možete pričati u školi, kod kuće i iznenaditi svoje prijatelje i poznanike.
Do sada smo samo proučavali i analizirali već poznate metode množenja. Ali tko zna, možda ćemo u budućnosti i sami moći otkriti nove načine množenja. Također, ne želim stati na tome i nastaviti proučavati netradicionalne metode množenja.
Popis izvora informacija
1. Popis literature
1.1. Harutyunyan E., Levitas G. Zabavna matematika. - M.: AST - PRESS, 1999. - 368 str.
1.2. Belyustina V. Kako su ljudi postupno došli do prave aritmetike. - LKI, 2012.-208 str.
1.3. Depman I. Priče o matematici. - Lenjingrad.: Obrazovanje, 1954. - 140 str.
1.4. Likum A. Sve o svemu. T. 2. - M .: Filološko društvo "Riječ", 1993. - 512 str.
1.5. Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. Antički zabavni problemi. – M.: Znanost. Glavno izdanje fizikalne i matematičke literature, 1985. - 160 str.
1.6. Perelman Ya.I. Zabavna aritmetika. - M.: Rusanova, 1994 - 205s.
1.7. Perelman Ya.I. Brzi račun. Trideset jednostavnih metoda mentalnog brojanja. L.: Lenizdat, 1941. - 12 str.
1.8. Savin A.P. Matematičke sličice. Zabavna matematika za djecu. - M.: Dječja književnost, 1998. - 175 str.
1.9. Enciklopedija za djecu. Matematika. - M.: Avanta +, 2003. - 688 str.
1.10. Poznajem svijet: Dječja enciklopedija: Matematika / komp. Savin A.P., Stanzo V.V., Kotova A.Yu. - M.: Izdavačka kuća AST LLC, 2000. - 480 str.
2. Drugi izvori informacija
Internetski resursi:
2.1. Korneev A.A. Fenomen ruskog umnožavanja. Priča. [Elektronski izvor]