Empirische formules voor het berekenen van de oppervlakten van eenvoudige figuren. Hoe het gebied van geometrische vormen te vinden

Om geometrieproblemen op te lossen, moet u formules kennen - zoals de oppervlakte van een driehoek of de oppervlakte van een parallellogram - en eenvoudige trucs waar we het over zullen hebben.

Laten we eerst de formules voor de gebieden van figuren leren. We hebben ze speciaal verzameld in een handige tabel. Print, leer en solliciteer!

Natuurlijk staan niet alle geometrieformules in onze tabel. Bijvoorbeeld om problemen in geometrie en stereometrie in het tweede deel op te lossen profiel examen in de wiskunde worden ook andere formules voor het gebied van een driehoek gebruikt. We zullen je er zeker over vertellen.

Maar wat als u niet het gebied van een trapezium of driehoek moet vinden, maar het gebied van sommige? complexe figuur? Er is universele manieren! We laten ze zien aan de hand van voorbeelden uit de FIPI-takenbank.

1. Hoe het gebied van een niet-standaard figuur te vinden? Bijvoorbeeld een willekeurige vierhoek? Een eenvoudige techniek - laten we dit getal opsplitsen in de getallen die we allemaal kennen, en de oppervlakte bepalen - als de som van de oppervlakten van deze figuren.

Verdeel deze vierhoek door een horizontale lijn in twee driehoeken met gemeenschappelijke basis, gelijk aan . De hoogten van deze driehoeken zijn gelijk aan en . Dan is de oppervlakte van de vierhoek gelijk aan de som van de oppervlakten van de twee driehoeken: .

Antwoord: .

2. In sommige gevallen kan het gebied van de figuur worden weergegeven als het verschil van alle gebieden.

Het is niet zo eenvoudig om te berekenen waar de basis en hoogte in deze driehoek gelijk aan zijn! Maar we kunnen zeggen dat de oppervlakte gelijk is aan het verschil tussen de oppervlakten van een vierkant met een zijde en drie rechthoekige driehoeken. Zie je ze op de foto? We krijgen: .

Antwoord: .

3. Soms is het bij een taak nodig om het gebied niet van de hele figuur te vinden, maar van zijn deel. Meestal hebben we het over de oppervlakte van een sector - deel van een cirkel. Vind de oppervlakte van een sector van een cirkel met een straal waarvan de booglengte gelijk is aan .

Op deze foto zien we een deel van een cirkel. De oppervlakte van de hele cirkel is gelijk aan , aangezien . Het blijft om uit te zoeken welk deel van de cirkel is afgebeeld. Aangezien de lengte van de hele cirkel (sinds) is en de lengte van de boog van deze sector gelijk is, is de lengte van de boog dus meerdere keren kleiner dan de lengte van de hele cirkel. De hoek waarop deze boog rust is ook keer kleiner dan een volledige cirkel (dat wil zeggen graden). Dit betekent dat het gebied van de sector meerdere keren kleiner zal zijn dan het gebied van de hele cirkel.

Geometrisch gebied - numerieke eigenschap geometrische figuur die de grootte van deze figuur toont (deel van het begrensde oppervlak) gesloten kring dit figuur). De grootte van het gebied wordt uitgedrukt door het aantal vierkante eenheden dat het bevat.

Driehoeksgebied formules

Driehoeksgebiedsformule voor zijde en hoogte
Oppervlakte van een driehoek gelijk aan de helft van het product van de lengte van een zijde van een driehoek en de lengte van de hoogte die naar deze zijde wordt getrokken
De formule voor de oppervlakte van een driehoek gegeven drie zijden en de straal van de omgeschreven cirkel
De formule voor de oppervlakte van een driehoek gegeven drie zijden en de straal van een ingeschreven cirkel
Oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het product van de halve omtrek van de driehoek en de straal van de ingeschreven cirkel.

Vierkante oppervlakte formules

De formule voor de oppervlakte van een vierkant gegeven de lengte van een zijde
vierkante oppervlakte gelijk is aan het kwadraat van de lengte van zijn zijde.
De formule voor de oppervlakte van een vierkant gegeven de lengte van de diagonaal
vierkante oppervlakte gelijk aan de helft van het kwadraat van de lengte van zijn diagonaal.
S= 1 2
2

Formule voor rechthoekig gebied

Rechthoekig gebied

Formules voor de oppervlakte van een parallellogram

Formule voor parallellogramgebied voor lengte en hoogte van de zijkant
Parallellogramgebied
De formule voor het gebied van een parallellogram met twee zijden en de hoek ertussen
Parallellogramgebied is gelijk aan het product van de lengtes van de zijden vermenigvuldigd met de sinus van de hoek ertussen.
a b sin

Formules voor de oppervlakte van een ruit

Rhombus gebied formule gegeven zijde lengte en hoogte
ruit gebied is gelijk aan het product van de lengte van zijn zijde en de lengte van de naar deze zijde verlaagde hoogte.
De formule voor de oppervlakte van een ruit gegeven de lengte van de zijde en de hoek
ruit gebied is gelijk aan het product van het kwadraat van de lengte van zijn zijde en de sinus van de hoek tussen de zijden van de ruit.
De formule voor het gebied van een ruit uit de lengtes van zijn diagonalen
ruit gebied gelijk is aan de helft van het product van de lengtes van zijn diagonalen.

Formules voor trapeziumoppervlakken

Heron's formule voor een trapezium
Waar S het gebied van het trapezium is,
- de lengte van de basis van het trapezium,
- de lengte van de zijkanten van het trapezium,

Wat is een gebied?

Gebied - een kenmerk van een gesloten geometrische figuur (cirkel, vierkant, driehoek, enz.), Die zijn grootte laat zien. Oppervlakte wordt gemeten in vierkante centimeters, meters, enz. Aangeduid met een letter S(plein).

Hoe de oppervlakte van een driehoek te vinden?

S= a h

waar a- basis lengte h is de hoogte van de driehoek die naar de basis wordt getrokken.

Bovendien hoeft de basis niet aan de onderkant te zijn. Dat zal ook lukken.

Als driehoek stompzinnig, dan valt de hoogte naar de voortzetting van de basis:

Als driehoek rechthoekig, dan zijn de basis en hoogte de poten:

2. Een andere formule, die niet minder nuttig is, maar die om de een of andere reden altijd wordt vergeten:

S= a b sin

waar a en b twee zijden van een driehoek zonde is de sinus van de hoek tussen deze zijden.

De belangrijkste voorwaarde is dat de hoek tussen twee bekende zijden wordt genomen.

3. De formule voor de oppervlakte aan drie zijden (formule van Heron):

S=

waar a, b en met zijn de zijden van de driehoek, en R - halve omtrek. p = (a+b+c)/2.

4. De formule voor de oppervlakte van een driehoek in termen van de straal van de omgeschreven cirkel:

S=

waar a, b en met zijn de zijden van de driehoek, en R- straal van de omgeschreven cirkel.

5. De formule voor het gebied van een driehoek in termen van de straal van de ingeschreven cirkel:

S= p r

waar R - halve omtrek van een driehoek, en r- straal van de ingeschreven cirkel.

Hoe de oppervlakte van een rechthoek te vinden?

1. De oppervlakte van een rechthoek is vrij eenvoudig:

S=a b

Geen trucjes.

Hoe de oppervlakte van een vierkant te vinden?

1. Aangezien een vierkant een rechthoek is waarvan alle zijden gelijk zijn, geldt dezelfde formule:

S=a a = a2

2. Ook kan de oppervlakte van een vierkant worden gevonden door zijn diagonaal:

S= d 2

Hoe het gebied van een parallellogram te vinden?

1. Het gebied van een parallellogram wordt gevonden door de formule:

S=a h

Dit is te wijten aan het feit dat als je ervan afsnijdt rechthoekige driehoek aan de rechterkant en bevestig het aan de linkerkant, je krijgt een rechthoek:

2. Ook kan het gebied van een parallellogram worden gevonden door de hoek tussen de twee zijden:

S=a b zonde

Hoe het gebied van een ruit te vinden?

Een ruit is in wezen een parallellogram waarin alle zijden gelijk zijn. Daarom zijn daarvoor dezelfde oppervlakteformules van toepassing.

1. Ruitoppervlak in termen van hoogte:

S=a h

Alle formules voor het gebied van vlakke figuren

Gebied van een gelijkbenige trapezium

1. De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van zijden en hoek

a - lagere basis

b - bovenste basis

c - gelijke zijden

α - hoek aan de onderste basis

De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenig trapezium in termen van de zijkanten, (S):

De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenig trapezium in termen van zijden en hoek, (S):

2. De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenig trapezium in termen van de straal van de ingeschreven cirkel

R-straal van de ingeschreven cirkel

D-diameter van de ingeschreven cirkel

O - ingeschreven cirkel middelpunt

H- trapezium hoogte

α, β - trapeziumvormige hoeken

De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenig trapezium in termen van de straal van de ingeschreven cirkel, (S):

EERLIJK, voor een ingeschreven cirkel in een gelijkbenig trapezium:

3. De formule voor het gebied van een gelijkbenige trapezium in termen van de diagonalen en de hoek ertussen

d-diagonaal van een trapezium

α,β- hoeken tussen diagonalen

De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenig trapezium in termen van de diagonalen en de hoek daartussen, (S):

4. De formule voor het gebied van een gelijkbenige trapezium in termen van midden lijn, zijkant en hoek aan de basis

c-kant

m- middelste lijn van het trapezium

α, β - hoeken aan de basis

De formule voor het gebied van een gelijkbenig trapezium in termen van de middellijn, laterale zijde en hoek aan de basis,

(S):

5. De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van basen en hoogte

a - onderste basis

b - bovenste basis

h - de hoogte van de trapezium

De formule voor de oppervlakte van een gelijkbenige trapezium in termen van basen en hoogte, (S):

Oppervlakte van een driehoek met een zijde en twee hoeken, formule.

a, b, c - zijden van de driehoek

α, β, γ - tegenovergestelde hoeken

Oppervlakte van een driehoek door een zijde en twee hoeken (S):

De formule voor de oppervlakte van een regelmatige veelhoek

a - polygoonzijde

n - aantal zijden

Oppervlakte van een regelmatige veelhoek, (S):

De (Heroniaanse) formule voor de oppervlakte van een driehoek in termen van de halve omtrek (S):

De oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek is:

Formules voor het berekenen van de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek.

a - zijde van de driehoek

h - hoogte

Hoe de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek berekenen?

b - de basis van de driehoek

a - gelijke zijden

h - hoogte

3. De formule voor de oppervlakte van een trapezium in termen van vier zijden

a - onderste basis

b - bovenste basis

c, d - zijden

De straal van de omgeschreven cirkel van het trapezium aan de zijkanten en diagonalen

a - de zijkanten van de trapezium

c - onderste basis

b - bovenste basis

d - diagonaal

h - hoogte

De formule voor de straal van de omgeschreven cirkel van een trapezium, (R)

vind de straal van de omgeschreven cirkel van een gelijkbenige driehoek langs de zijden

Als u de zijden van een gelijkbenige driehoek kent, kunt u de formule gebruiken om de straal van de omgeschreven cirkel rond deze driehoek te vinden.

a, b - zijden van de driehoek

Straal van de omgeschreven cirkel van een gelijkbenige driehoek (R):

Straal van een ingeschreven cirkel in een zeshoek

a - zijde van de zeshoek

Straal van een ingeschreven cirkel in een zeshoek, (r):

Straal van een ingeschreven cirkel in een ruit

r - straal van de ingeschreven cirkel

a - kant van de ruit

D, d - diagonalen

h - diamant hoogte

Straal van een ingeschreven cirkel in een gelijkbenige trapezium

c - onderste basis

b - bovenste basis

a - zijkanten

h - hoogte

Straal van een ingeschreven cirkel in een rechthoekige driehoek

a, b - benen van de driehoek

c - hypotenusa

Straal van een ingeschreven cirkel in een gelijkbenige driehoek

a, b - zijden van de driehoek

Bewijs dat de oppervlakte van de ingeschreven vierhoek is

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

waarbij p de halve omtrek is en a, b, c en d de zijden van de vierhoek.

Bewijs dat de oppervlakte van een vierhoek ingeschreven in een cirkel is

1/2 (ab + cb) sin α, waarbij a, b, c en d de zijden van de vierhoek zijn en α de hoek tussen de zijden a en b.

S = √[ a c d] sin ½ (α + β). - Lees meer op FB.ru:

Het gebied van een willekeurige vierhoek (Fig. 1.13) kan worden uitgedrukt in termen van de zijden a, b, c en de som van een paar overstaande hoeken:

waarbij p de halve omtrek van de vierhoek is.

Het gebied van een vierhoek ingeschreven in een cirkel () (Fig. 1.14, a) wordt berekend met behulp van de Brahmagupta-formule

en beschreven (Fig. 1.14, b) () - volgens de formule

Als de vierhoek tegelijkertijd wordt ingeschreven en beschreven (Fig. 1.14, c), wordt de formule vrij eenvoudig:

Piekformule

Om de oppervlakte van een polygoon op geruit papier te schatten, volstaat het om te berekenen hoeveel cellen deze polygoon beslaat (we nemen de oppervlakte van de cel als eenheid). Om precies te zijn, als S het gebied van de veelhoek is, is dit het aantal cellen dat volledig binnen de veelhoek ligt, en is het het aantal cellen dat ten minste één gemeenschappelijk punt heeft met het binnenste van de veelhoek.

We zullen hieronder alleen dergelijke veelhoeken bekijken, waarvan alle hoekpunten op de knooppunten van het geruite papier liggen - in die waar de rasterlijnen elkaar kruisen. Het blijkt dat je voor dergelijke polygonen de volgende formule kunt specificeren:

waar is het gebied, r is het aantal knopen dat strikt binnen de veelhoek ligt.

Deze formule wordt de "piekformule" genoemd naar de wiskundige die hem in 1899 ontdekte.