Чому дорівнює гіпотенуза? Як знайти гіпотенузу, знаючи катет та кут

Як відомо, геометрія – непроста наука, яка потребує особливої акуратності та точності у вирішенні завдань. Багато виразів і формул, які ми згодом використовуємо у складніших обчисленнях, викладено у підручниках з математики 6-7 класу. Щоб зробити процес вивчення тригонометричних функцій простішим і приємнішим, у цій статті ми розглянемо кілька коротких способів обчислення гіпотенузи. прямокутного трикутника.

Як знайти гіпотенузу щодо катетів?

Згадаймо трохи теорії: прямокутним трикутником називають плоску фігуру, яка має три кута. Один із них має величину 90º, а сторони називають катетами та гіпотенузою. Той бік, який протилежить прямому куту, і є гіпотенуза, інші два – це прилеглі катети. Головна гра сторін проявляється у теоремі Піфагора, за якою гіпотенуза дорівнює сумі квадратів катетів. Однак це лише здається заплутаним, адже насправді все набагато простіше.

Властивості геометричної фігури

Перед тим, як визначити гіпотенузу трикутника, потрібно розібратися, які особливості має ця фігура. Розглянемо основні з них:

У прямокутному трикутнику обидва гострі кути в сумі дорівнюватимуть 90º.
Катет, що лежить проти кута в 30º, дорівнюватиме ½ від величини гіпотенузи.
Якщо катет дорівнює від значення гіпотенузи, тоді другий кут матиме таку ж величину - 30º.

Знайти гіпотенузу у прямокутному трикутнику можна кількома способами. Самим простим рішеннямє обчислення через катети. Допустимо, вам відомі значення катетів сторін А і В. Тоді на виручку приходить теорема Піфагора, що розповідає нам, що якщо поставити кожну величину катета в квадрат і підсумувати отримані дані, ми дізнаємося, чому дорівнює гіпотенуза. Таким чином, нам необхідно просто отримати значення квадратного кореня:

Наприклад, якщо катет А = 3 см, а катет В = 4 см, тоді обчислення матиме наступний вигляд:

Як знайти гіпотенузу через кут?

Ще одним способом, який допоможе дізнатися, чому дорівнює гіпотенуза прямокутному трикутнику, є обчислення через заданий кут. Для цього нам потрібно буде вивести величину через формулу синуса. Припустимо, нам відома величина катета (А) та значення протилежного кута (α). Тоді все рішення полягає в одній формулі С=А/sin(α).

Наприклад, якщо довжина катета 40 см, а кут становить 45°, тоді довжину гіпотенузи можна вивести так:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Визначити потрібну величину можна також через косинус заданого кута. Припустимо, нам відомо значення одного катета (В) та гострого прилеглого кута (α). Тоді для розв'язання задачі знадобиться одна формула: С=В/cos(α).

Наприклад, якщо довжина катета має значення 50 см, а кут становить 45°, тоді гіпотенузу можна обчислити так:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Таким чином, ми розглянули основні способи, як дізнатися гіпотенузу в трикутнику. У ході рішення завдання важливо сконцентрувати увагу на наявних даних, тоді знайти невідому величину буде досить просто. Необхідно знати всього пару формул і процес розв'язання задач стане простим та приємним.

Є три варіанти вирішення цього завдання. Перший - якщо в умовах завдання дано, що катети рівні (по суті ми маємо прямокутний рівнобедрений трикутник). Другий - якщо ще дано якийсь кут (крім кута в 45%, тоді ми маємо той самий рівнобедрений трикутник і повертаємось до першого варіанту). І третій – коли відомий один із катетів. Розглянемо ці варіанти докладніше.

Як знайти рівні катети, при відомій гіпотенузі

перший катет (позначимо його літерою "a") дорівнює другому катету ((позначимо його літерою "b"): a = b;

розмір катетів;

У цьому варіанті розв'язання задачі ґрунтується на використанні теореми Піфагора. Її застосовують до прямокутних трикутників і основний її варіант звучить як: "Квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів". Так, як катети у нас рівні, ми можемо позначати обидва катета одним і тим же сиволом: a = b, значить - a = a.

Підставляємо наші умовні позначенняу теорему (з урахуванням вищевикладеного):
c^2=a^2+a^2,
Далі максимально спрощуємо формулу:
с^2=2*(a^2) - групуємо,
с=√2*а - підносимо обидві частини рівняння до квадратного кореня,
a=c/√2 - виносимо шукане.
Підставимо дане значеннягіпотенузи та отримуємо рішення:
a=x/√2

Як знайти катети, при відомій гіпотенузі та вугіллі

гіпотенуза (позначимо її літерою "c") дорівнює x см: c = x;
кут β дорівнює q: β=q;

розмір катетів;

Для вирішення цього завдання необхідно використовувати тригонометричні функції. Найбільш популярні дві з них:

функція синуса - синус шуканого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи;
функція косинуса - косинус шуканого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи;

Ви можете використати будь-яку. Я наведу приклад із використанням першої. Нехай катети у нас позначаються символами "a" (прилеглий до кута) та "b" (протилежний до кута). Відповідно наш кут лежить між катетом "a" та гіпотенузою.

Підставляємо вибрані умовні позначення у формулу:
sinβ = b/c
Виводимо катет:
b=c*sinβ
Підставляємо наш даний і маємо один катет.
b=c*sinq

Другий катет можна знайти скориставшись другою тригонометричною функцією, або ж перейти до третього варіанту.

Як знайти один катет, якщо відома гіпотенуза та інший катет

гіпотенуза (позначимо її літерою "c") дорівнює x см: c = x;
катет (позначимо його літерою "b") дорівнює y см: b = y;

розмір іншого катета (позначимо його літерою "a");

У цьому варіанті розв'язанням задачі, як і в першому є використання теореми Піфагора.

Підставляємо наші умовні позначення у теорему:
c^2=a^2+b^2,
Виносимо необхідний катет:
a^2=c^2-b^2
Підносимо обидві частини рівняння до квадратного кореня:
a=√(c^2-b^2)
Підставляємо дані значення та маємо рішення:
a=√(x^2-y^2)

Геометрія – не проста наука. Вона вимагає себе особливої увагита знання точних формул. Цей різновид математики прийшов до нас з Стародавню Греціюі навіть через кілька тисяч років вона не втрачає своєї актуальності. Не варто даремно думати, що це марна річ, яка забиває голову студентів і школярів. Насправді геометрія застосовна у багатьох сферах життя. Без неї знань з геометрії не будується жодне архітектурна споруда, не створюються автомобілі, космічні корабліта літаки. Складні і не дуже розв'язки доріг та колій – це все потребує геометричних розрахунків. Та навіть часом ремонт у своїй кімнаті ви не зможете зробити без знання елементарних формул. Тож не варто недооцінювати всю важливість цього предмета. Найчастіші формули, які доводиться використовувати у багатьох рішеннях, ми вивчаємо ще у школі. Одна з них - це знаходження гіпотенузи в прямокутному трикутнику. Щоб зрозуміти це, читайте нижче.

Перш ніж приступити до практики, почнемо з основ і визначимо, що таке гіпотенуза в прямокутному трикутнику.

Гіпотенуза - одна із сторін у прямокутному трикутнику, яка знаходиться навпроти кута 90 градусів (прямий кут) і завжди є найдовшою.

Існує кілька способів, як знайти довжину шуканої гіпотенузи в заданому прямокутному трикутнику.

У випадку, коли катети нам уже відомі, ми використовуємо теорему Піфагора, де ми складаємо суму з квадратів двох катетів, що і дорівнюватиме квадрату гіпотенузи.

а і b-катети, c-гіпотенуза.

У нашому випадку для прямокутного трикутника, відповідно, формула буде наступною:

Якщо підставити відомі числакатетів а і b, нехай це буде а = 3 а b = 4, то = 32 + 42, то отримаємо с = 25, с = 5

Коли у нас відома довжина лише одного катета, формулу можна перетворити, щоб знайти довжину другого. Виглядає це так:

У тому випадку, коли за умовами завдання у нас відомий катет А та гіпотенуза С, то можна розрахувати прямий кут трикутника, назвемо його α.

Для цього скористаємося формулою:

Нехай другий кут, який нам необхідно вирахувати, буде β. Враховуючи, що ми знаємо сума кутів трикутника, яка становить 180°, то: β= 180°-90°-α

У тому випадку, коли нам відомі значення катетів, можна знайти за формулою значення гострого кута трикутника:

Залежно від відомих загальноприйнятих значень, сторони прямокутника можна знайти за безліччю різних формул. Наведемо деякі з них:

При вирішенні завдань із знаходженням невідомих у прямокутному трикутнику, дуже важливо акцентувати увагу на вже відомі вам значення і, виходячи з цього, підставляти їх у потрібну формулу. Відразу запам'ятати їх буде важко, тому радимо зробити невелику рукописну підказку і вклеїти в зошит.

Як бачите, якщо вникнути у всі тонкощі цієї формули, то можна легко розібратися в цьому. Рекомендуємо спробувати вирішити кілька завдань, заснованих на цій формулі. Після того, як побачите свій результат, вам стане ясно, зрозуміли ви цю тему чи ні. Постарайтеся не заучувати, а вникнути в матеріал, це буде набагато корисніше. Зазубрений матеріал забувається вже після першої контрольної, а ця формула вам зустрічатиметься досить часто, тому спочатку зрозумійте її, а потім заучуйте на згадку. Якщо ці рекомендації не дали позитивного ефекту, то є сенс у додаткових заняттяхцієї теми. І пам'ятайте: вчення світло, а не вчення темрява!

У житті нам часто доведеться стикатися з математичними завданнями: у школі, в університеті, а потім допомагаючи своїй дитині з виконанням домашнього завдання. Люди певних професій стикатимуться з математикою щодня. Тому корисно запам'ятовувати чи згадувати математичні правила. У статті ми розберемо одне з них: знаходження катета прямокутного трикутника.

Що таке прямокутний трикутник

Спочатку згадаємо, що таке прямокутний трикутник. Прямокутний трикутник – це геометрична фігураіз трьох відрізків, які з'єднують точки, що не лежать на одній прямій, і один із кутів цієї фігури дорівнює 90 градусам. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить навпроти прямого кута – гіпотенузою.

Знаходимо катет прямокутного трикутника

Існує кілька способів, що дозволяють дізнатися про довжину катета. Хотілося б розглянути їх детальніше.

Теорема Піфагора, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Якщо нам відомі гіпотенуза та катет, то ми можемо знайти довжину невідомого катета за теоремою Піфагора. Звучить вона так: "Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Формула: c²=a²+b², де c – гіпотенуза, a та b – катети. Перетворюємо формулу та отримуємо: a²=c²-b².

приклад. Гіпотенуза дорівнює 5 см, а катет – 3 см. Перетворюємо формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далі вирішуємо: a? = 5? -3?; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (см).

Тригонометричні співвідношення, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Також можна знайти невідомий катет, якщо відомі будь-яка інша сторона та будь-яка гострий кутпрямокутний трикутник. Є чотири варіанти знаходження катета за допомогою тригонометричних функцій: по синусу, косінусу, тангенсу, котангенсу. Для розв'язання задач нам допоможе таблиця, що знаходиться трохи нижче. Розглянемо ці варіанти.

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою синусу

Синус кута (sin) – це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Формула: sin = a / c, де а - катет, що лежить проти даного кута, а з - гіпотенуза. Далі перетворимо формулу та отримуємо: a = sin * c.

приклад. Гіпотенуза дорівнює 10 см, кут А дорівнює 30 градусів. По таблиці обчислюємо синус кута А, він дорівнює 1/2. Потім за перетвореною формулою розв'язуємо: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою косинуса

Косинус кута (cos) – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Формула: cos = b / c, де b - катет, що прилягає до цього кута, а з - гіпотенуза. Перетворимо формулу та отримаємо: b=cos*c.

приклад. Кут А дорівнює 60 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. По таблиці обчислюємо косинус кута А, він дорівнює 1/2. Далі вирішуємо: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою тангенсу

Тангенс кута (tg) - це відношення протилежного катета до прилеглого. Формула: tg=a/b, де а – катет, що протилежить до кута, а b – прилеглий. Перетворимо формулу та отримуємо: a=tg*b.

приклад. Кут А дорівнює 45 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. За таблицею обчислюємо тангенс кута А, він дорівнює Вирішуємо: a = tg∠A * b; a=1*10; a = 10 (см).

Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою котангенсу

Котангенс кута (ctg) – це відношення прилеглого катета до протилежного. Формула: ctg=b/a, де b – катет, що прилягає до кута, а – протилежний. Інакше висловлюючись, котангенс – це “перевернутий тангенс”. Отримуємо: b=ctg*a.

приклад. Кут А дорівнює 30 градусів, протилежний катет дорівнює 5 см. За таблицею тангенс кута А дорівнює √3. Обчислюємо: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Отже, тепер ви знаєте, як знаходити катет у прямокутному трикутнику. Як бачите, це не так уже й складно, головне – запам'ятати формули.

Катетами називають дві сторони прямокутного трикутника, що утворюють прямий кут. Протилежна прямому куту найдовша сторона трикутника називається гіпотенузою. Щоб виявити гіпотенузу, потрібно знати довжину катетів.

Інструкція

1. Довжини катетів та гіпотенузи пов'язані співвідношенням, яке описується теоремою Піфагора. Алгебраїчна формулювання: "У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів."

2. Знаючи довжини катетів, за теоремою Піфагора можна виявити гіпотенузу прямокутного трикутника: c =? (a2 + b2).

3. приклад. Довжина одного з катетів дорівнює 3 см, довжина іншого - 4 см. Сума їх квадратів дорівнює 25 см?: 9 см? + 16 см? = 25 см?. Довжина гіпотенузи в нашому випадку дорівнює квадратному кореню з 25 см? - 5 см. Отже, довжина гіпотенузи дорівнює 5 см.

Гіпотенузою називається сторона у прямокутному трикутнику, яка знаходиться навпаки кута 90 градусів. Для того, щоб розрахувати його довжину, достатньо знати довжину одного з катетів і величину одного з гострих кутів трикутника.

Інструкція

1. При знаменитому катеті і гострому куті прямокутного трикутника, то розмір гіпотенузи може дорівнювати відношенню катета до косінус/синус цього кута, якщо даний кут є йому протилежним/прилеглим:h = C1(або C2)/sin?;h = С1(або С2 )/cos?.Приклад: Нехай дано прямокутний трикутник ABCз гіпотенузою AB та прямим кутом C. Нехай кут B дорівнює 60 градусам, а кут A 30 градусам Довжина катета BC 8 см. Потрібно виявити довжину гіпотенузи AB. Для цього можна скористатися будь-яким із запропонованих вище способів: AB = BC/cos60 = 8 см. AB = BC/sin30 = 8 см.

Гіпотенуза – найдовша сторона прямокутного трикутника. Вона розташована протилежно до прямого кута. Метод знаходження гіпотенузи прямокутного трикутниказалежить від того, якими вихідними даними ви володієте.

Інструкція

1. Якщо вестими катети прямокутного трикутника, то довжина гіпотенузи прямокутного трикутникаможе бути виявлена за допомогою теореми Піфагора - квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів: с2 = а2 + b2, де а і b - довжини катетів прямокутного трикутника .

2. Якщо вестим один з катетів і гострий кут, то формула для знаходження гіпотенузи залежатиме від того, який даний кут по відношенню до вестимого катета – прилеглий (розташований поблизу катета) або протилежний (розташований навпаки нього. У разі прилеглого кута, гіпотенуза дорівнює відношенню на косинус цього кута: з = a/cos?; E кут протилежний, гіпотенуза дорівнює відношенню катета на синус кута: з = a/sin?.

Відео на тему

Гіпотенузою називають сторону прямокутного трикутника, що лежить навпаки прямого кута. Вона є найбільшою стороною прямокутного трикутника. Розрахувати її можна з теоремі Піфагора чи з допомогою формул тригонометричних функцій.

Інструкція

1. Катетами називають сторони прямокутного трикутника, що належать до прямого кута. На малюнку катети позначені як AB та BC. Нехай задані довжини обох катетів. Позначимо їх як | AB | та |BC|. Для того, щоб виявити довжину гіпотенузи | AC |, скористаємося теоремою Піфагора. Відповідно до цієї теоремі сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто. у позначеннях нашого малюнка |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. З формули отримуємо, що довжина гіпотенузи AC перебуває як |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Розглянемо приклад. Нехай задані довжини катетів | AB | = 13, | BC | = 21. По теоремі Піфагора отримуємо, що |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Для того, щоб отримати довжину гіпотенузи, потрібно витягти квадратний коріньіз суми квадратів катетів, тобто. у складі 610: |AC| =? 610. Скориставшись таблицею квадратів цілих чисел, з'ясовуємо, що число 610 перестав бути повним квадратом якогось цілого числа. Для того, щоб отримати остаточне значення довжини гіпотенузи, спробуємо перенести повний квадратз під знак кореня. Для цього розкладемо число 610 на множники. 610 = 2 * 5 * 61. По таблиці примітивних чисел дивимося, що 61 – число примітивне. Отже наступне приведення числа?610 неможливо. Отримуємо остаточний результат|AC| = ?610.Якби квадрат гіпотенузи дорівнював, наприклад, 675, тоді?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Якщо подібне приведення допустиме, виконуйте зворотну перевірку - зведіть результат у квадрат і порівняйте з початковим значенням.

3. Нехай нам відомий один з катетів і кут, що прилягає до нього. Для певності нехай це будуть катет | AB | і кут? Тоді ми можемо скористатися формулою для тригонометричної функціїкосинус – косинус кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи. Тобто. у наших позначеннях cos? = | AB | / | AC |. Звідси отримуємо довжину гіпотенузи | AC | = | AB | / cos?. Якщо нам знамениті катет |BC| і кут?, то скористаємося формулою для обчислення синуса кута – синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи: sin? = | BC | / | AC |. Отримуємо, що довжина гіпотенузи як |AC| = | BC | / cos?.

4. Для наочності розглянемо приклад. Нехай дана довжина катета | AB | = 15. І кут? = 60 °. Отримуємо |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30. Розглянемо, як можна перевірити свій результат за допомогою теореми Піфагора. І тому потрібно порахувати довжину другого катета |BC|. Скориставшись формулою для тангенсу кута tg? = | BC | / | AC |, отримуємо | BC | = | AB | * tg? = 15 * tg 60 ° = 15 * ?3. Далі застосовуємо теорему Піфагора, отримуємо 15 2 + (15 * 3) 2 = 30 2 => 225 + 675 = 900. Перевірка виконана.

Корисна порада
Розрахувавши гіпотенузу, виконуйте перевірку – чи задовольняє отримане значення теоремі Піфагора.