Рівняння з параметрами по праву вважаються одними з найбільш складних завданьу курсі шкільної математики. Саме такі завдання і потрапляють рік у рік до списку завдань типу B і C на єдиному державний іспитЄДІ. Однак серед великої кількостірівнянь з параметрами є ті, які легко можуть бути вирішені графічним способом. Розглянемо цей метод з прикладу розв'язання кількох завдань.

Знайти суму цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 2x – 3| = a має чотири корені.

Рішення.

Щоб відповісти на питання задачі, збудуємо на одній координатній площині графіки функцій

y = | x 2 - 2x - 3 | та y = a.

Графік першої функції y = | x 2 - 2x - 3 | буде отримано з графіка параболи y = x 2 – 2x – 3 шляхом симетричного відображення щодо осі абсцис тієї частини графіка, яка знаходиться нижче за осю Ox. Частина графіка, що знаходиться вище за осі абсцис, залишиться без змін.

Зробимо це поетапно. Графіком функції y = x 2 – 2x – 3 є парабола, гілки якої спрямовані нагору. Щоб збудувати її графік, знайдемо координати вершини. Це можна зробити за формулою x0 = -b/2a. Таким чином, x 0 = 2/2 = 1. Щоб знайти координату вершини параболи по осі ординат, підставимо отримане значення для x 0 до рівняння функції, що розглядається. Отримаємо, що y 0 = 1 - 2 - 3 = -4. Отже, вершина параболи має координати (1; -4).

Далі потрібно знайти точки перетину гілок параболи з осями координат. У точках перетину гілок параболи з віссю абсцис значення функції дорівнює нулю. Тому вирішимо квадратне рівняння x 2 - 2x - 3 = 0. Його коріння і будуть шуканими точками. За теоремою Вієта маємо x 1 = -1, x 2 = 3.

У точках перетину гілок параболи з віссю ординат значення аргументу дорівнює нулю. Таким чином, точка y = -3 є точка перетину гілок параболи з віссю y. Отриманий графік зображено малюнку 1.

Щоб отримати графік функції y = | x 2 – 2x – 3 |, відобразимо симетрично щодо осі x частина графіка, що знаходиться нижче за осі абсцис. Отриманий графік зображено малюнку 2.

Графік функції y = a – це пряма, паралельна осі абсцис. Він зображений на малюнку 3. За допомогою малюнка і знаходимо, що графіки мають чотири загальні точки (а рівняння – чотири корені), якщо a належить інтервалу (0; 4).

Цілі значення числа a отриманого інтервалу: 1; 2; 3. Щоб відповісти на запитання задачі, знайдемо суму цих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Відповідь: 6.

Знайти середнє арифметичне цілих значень числа a, у яких рівняння |x 2 – 4|x| - 1 | = a має шість коренів.

Почнемо з побудови графіка функції y = | x 2 - 4 | x | - 1 |. І тому скористаємося рівністю a 2 = |a| 2 і виділимо повний квадрат у підмодульному виразі, написаному у правій частині функції:

x 2 – 4|x| - 1 = | x | 2 - 4 | x | - 1 = ( | x | 2 - 4 | x | + 4) - 1 - 4 = ( | x | - 2) 2 - 5.

Тоді вихідна функція матиме вигляд y = | ( | x | - 2) 2 - 5 |.

Для побудови графіка цієї функції будуємо послідовно графіки функцій:

1) y = (x - 2) 2 - 5 - парабола з вершиною в точці з координатами (2; -5); (Мал. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – частина побудованої в пункті 1 параболи, яка знаходиться праворуч від осі ординат, симетрично відображається зліва від осі Oy; (Мал. 2).

3) y = | ( | x | - 2) 2 - 5 | – частина збудованого в пункті 2 графіка, яка знаходиться нижче осі x, відображається симетрично щодо осі абсцис нагору. (Мал. 3).

Розглянемо малюнки, що вийшли:

Графіком функції y = a є пряма, паралельна осі абсцис.

За допомогою малюнка робимо висновок, що графіки функцій мають шість загальних точок(Рівняння має шість коренів), якщо a належить інтервалу (1; 5).

Це можна побачити на наступному малюнку:

Знайдемо середнє арифметичне цілих значень параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Відповідь: 3.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

ДАГЕСТАНСЬКИЙ ІНСТИТУТ ПІДВИЩЕННЯ КВАЛІФІКАЦІЇ

ПЕДАГОГІЧНИХ КАДРІВ

КАФЕДРА ФІЗИКО- МАТЕМАТИЧНОЇ ОСВІТИ І ІКТ

Проект

на тему:

« Побудова та п перетворення

графіків функцій

в шкільному курсіматематики »

Рабаданова П.А.

учитель математики

МБОУ «Кочубейська ЗОШ»

Тарумівський район

2015 р.

1. Вступ……………………………………………………………….….3

2. Розділ I. Огляд літератури на тему проекту………………………….….5

3. Розділ II. Емпірична частина:

3.1. Основні методи перетворення графіків функції……….….7

3.2. Побудова графіків парноїінепарної функцій…………….. 10

3.3. Побудова графіка зворотної функції………………………... 11

3.4. Деформація (стиснення та розтягування) графіків………………….12

3.5.Комбінація перенесення, відображення та деформації………………......13

4.Завдання для самостійного решения………………………..…...14

5.Висновок………………………………………………………………15

6. Висновки…………………………………………………………..………17

ВСТУП

Перетворення графіків функції є одним із фундаментальних математичних понять, безпосередньо пов'язаних з практичною діяльністю. У графіках відображено мінливість та динамічність реального світу, взаємні відносиниреальних об'єктів та явищ.

Функціональна лінія є базовою тематикою, що розглядається в Основному та Єдиному державних іспитах.Так само багато математичні поняттярозглядаються графічними способами. Наприклад, довадратичнафункція вводиться та вивчається в тісного зв'язкуз квадратними рівняннями та нерівностями.Звідси слідує щоНавчання учнів побудови та перетворення графіків функції є одним із головних завдань навчання математики в школі.

Дослідження функції дає можливість знайти проласть визначення та область значення функції, области спадання або зростання, асимптоти, інтервализнакопостійності та ін. Однак для побудови графиков багатьох функцій можнавикористовувати низку методів,полегшеють побудова. Тому учні повинні мати компетенцію побудови графіків за методичними схемами.

Вище сказане визначаєактуальність Теми дослідження.

Об'єктом дослідження є вивчення перетворення графіків функціональної лінії в шкільної математики.

Предмет дослідження - процес побудови та перетворення графіків функції в загальноосвітній школі.

Мета дослідження: освітня - полягає у виявленні методичної схеми побудови та перетворення графіків функції;розвиваюча - розвиток абстрактного, алгоритмічного, логічного мислення, просторової уяви;виховна - Виховання графічної культури школярів, формування навичок розумової праці.

Цілі зумовили рішення наступнихзавдань:

1. Проаналізувати навчально-методичну з досліджуваної проблеми.

2. Виявити методичні схемиперетворення графіків функції у шкільному курсі математики.

3. Відібрати найбільше ефективні методита коштипобудова та перетворення графіків функції у загальноосвітній школі, що сприяють: осмисленому засвоєнню навчального матеріалу; підвищення пізнавальної активностіучнів; розвитку їх творчих здібностей.

ГІПОТЕЗАдослідження: формування графічних навичок у процесі вивчення функцій та виховання графічної культури учнів буде ефективним, якщо учні мають методичної схемою побудови та перетворення графіків функції у шкільному курсі математики.

РОЗДІЛ I . ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ ЗА ТЕМОЮ ПРОЕКТУ.

Під час підготовки до проекту ми вивчили таку літературу:

Сивашинський, І. Х. Теореми та завдання з алгебри, елементарним функціям– М., 2002. – 115 с.

Гельфанд, І. М., Глаголєва, Є. Г., Шноль, Е. Е. Функції та графіки (основні прийоми) - М., 1985. - 120 с

В.З.Зайцев, В.В. Рижков, М.І. Сканаві. Елементарна математика-М., 2010 (перевидання). – 590 с.

Кузьмін, М. К. Побудова графіка функції – Ж. Математика в школі. – 2003. – №5. – С. 61-62.

Шилов Г.Є. Як будувати графіки? - М., 1982.

Ісаак Танатар. Геометричні перетворенняграфіків функцій - МЦНМО, 2012

Увідзначено, що вміння за допомогою графіка «прочитати» поведінку функції на деякій множині знаходить застосування не тільки в курсі математики, а й у будь-якій практичної діяльностілюдини, в якій йому доводиться мати справу з тими чи іншими графічними зображеннямизалежностей. Тому учні повинні вміти за графіком функції визначити її властивості.

У суворо викладено теоретичний матеріал перетворення графіків. Супроводжується методика ілюстрацією малюнками, різної складності прикладами та їх рішеннями, що дає змогу поглиблено розширити знання та побудову графіків складних функцій.

Представляє електронний навчальний курс, обсяг та зміст якого відповідають вимогам до курсу математики старших класів середньої школи. Теоретичний матеріал підкріплений графічними анімаційними ілюстраціями, що дають наочні уявленняпро тему, що вивчається. Курс включає три модулі: модуль вивчення теоретичного матеріалу, модуль самоперевірки та модуль контролю знань.

З , використані для емпіричної частини проекту методичні схеми побудови графіків, приклади для самостійної роботи.

Висновки до 1 глави

Вивчення навчально-методичної літератури дозволило:

1. Виявити методичну схемувивчення, побудови та перетворення графіків функції у шкільному курсі математики.

2. Відібрати найбільш ефективні методи та засобипобудова та перетворення графіків функції у шкільній математиці,сприятливі:

осмисленому засвоєнню навчального матеріалу;

підвищенню пізнавальної активності учнів;

розвитку їх творчих здібностей.

3. показати, що функціональна лінія істотно впливає при вивченні різних понятьу математиці.

Глава 2. ЕМПІРИЧНА ЧАСТИНА

У цьому розділі ми розглянемо основні методи перетворення графіків функцій, дамо методичні схеми побудови різних комбінацій графіків для різних функцій.

2.1. ОСНОВНІ МЕТОДИ ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЇ

Перенесення вздовж осі ординат

f ( x ) f ( x )+ b .

Дляпобудови графіка функціїy = f( x) + bслідомет:

1. побудувати графік функціїy= f( x)

2. перенести вісьабсцис на| b| одиниць вгору приb>0 або на| b| їдиниць вниз приb < 0. Отриманий у новій системікоординат графік є графіком функціїy = f( x) + b.

2. Перенесення вздовж осі абсцис

f ( x ) f ( x + a ) .

y = f( x+ a) слідомет:

3. Побудова графіка функції виду y = f (- x )

f (x ) f (- x ).

Для побудови графіка функціїy = f( - х) слідує:

побудувати графік функціїy = f( x)

відобразити його однеосі ординат

отриманий графік єграфіком функціїy = f( - х).

4. Побудова графіка функції виду у = - f ( x )

f ( x ) - f ( x )

- f( x) слідує:

побудувати графік функціїy= f( x)

відобразити його щодо осі абсцис

2.2. Побудова графіків парної і непарної функцій

При побудові графіківпарної та не парної функціїзручно користуватися наступними властивостями:

1.Графік парної функції симметрічний щодо осі ординат.

2. Графік непарної функціїсиметричний щодо початку координат.

Для побудови графіків парної та непарної функції достатньо побудувати тільки праву гілка графіка позитивних значеньаргументу. Ліва гілка добудовується симетрично щодо початку координат для непарної функції та щодо осі ординат для парної функції.

Для побудови графіка парної функції y = f ( x ) слід дме:

побудувати гілку графіка цієї функції тільки в области позитивних значень аргументу х≥О.

Протразити цю гілку щодо осі ординат

Для побудови графіка непарної функції y = f ( x ) слід:

будувати гілка графіка цієї функції тільки вобласті позитивних значень аргументу (х≥0).

Протразити цю гілку щодо початку координатв область негативних значеньх.

2.3. Побудова графіка зворотної функції

Як уже зазначалося, пряма та зворотна функції виражають ту саму залежність між зміннимих і у, з тією лише відмінністю, що у зворотній функції цізмінні змінилися ролями, що рівносильнонянню позначень осей координат. Тому графікзворотної функції симетричний графіку прямої функціїщодо бісектрисиIіIIIкоординатних кутів,тобто щодо прямоїу = х. Таким чином, отримуємонаступне правило.

Для побудови графіка функції у = (х), зворотної по відношенню до функціїy = f( x), слід побудуватиграфікy = f( x) і відобразити його щодо прямої у = х.

2.4. Деформація (стиснення та розтягування) графіків

1. Стиснення (розтяг) графіка вздовж осі ординат

f ( x ) A ∙ f ( x ).

Для побудови графіка функціїy= A∙ f( x) слідує:

8. Стиснення (розтяг) графіка вздовж осі абсцис

f( x)

Для побудови графіка функції у= f( x) слід:

2.5. Комбінація перенесення, відображення та деформації

Дуже часто при побудові графіків функцій призмінюють комбінацію прийомів.

Послідовне застосування низки таких прийомів поздозволяє спростити побудову графікахідної функції і нерідко звести його врешті-решт допобудові однієї з найпростіших елементарних функційцій. Розглянемо, як з урахуванням викладеного слідуєбудувати графіки функцій.

Зазначимо, що часдок спрощення доцільно проводити в наступній послідовникності.

Використання парності абонепарності функції.

Перенесення осей.

Відображення та деформація.

Побудова графіка виконується у зворотній послідовності.

приклад. Побудувати графік функції

Побудову проведемо за такими кроками:

1. побудуємо графік натурального логарифму :

2. стиснемодо осіOYв 2 рази:;
3. відобразимо симетричнощодо осіOY: ;
4. зрушимо вздовж осіOXна(!!!) Праворуч::

5. відобразимо симетрично щодо осіOX: ;
6. ссунемовздовж осіOYна 3 одиниці вгору::

ПРИКЛАДИ ПОБУДУВАННЯ ТА ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЇ

приклад 1. Побудувати графік функції.

Спочатку зобразимо графік синуса, його період дорівнює:

графік функціївиходить шляхом стиснення графікадо осі ординат вдвічі. log .

Побудувати графік функціїу = 2 cosх.

Побудувати графік функціїy = sinx .

ВИСНОВОК

Під час роботи над проектною роботоюбули проаналізовані різні навчально-методична літератураз цієї проблеми. Результати дослідження дозволили виявити найхарактерніші позитивні сторонививчення, побудови та перетворення графіків функції у шкільному курсі математики

Основною метою проекту є формування у учнів умінь та навичок у читанні та виконанні креслень, у формуванні у них раціональних прийомів самостійної діяльності.

Необхідність удосконалення графічної освіти загалом диктується не лише сучасними вимогамивиробництва, а й роллю графіки у розвитку технічного мисленняі пізнавальних здібностейучнів. Здатність людини до переробки графічної інформації є одним із показників її розумового розвитку. Тому графічна підготовка має стати невід'ємним елементом загальноосвітньої підготовки.

Висновки

Таким чином, розроблений проект «Побудова та перетворення графіків функції», присвячений одному з центральних понятьматематики - функціональна залежність, орієнтована на систематизацію та розширення знань учнів. Вивчення конкретних способів перетворення графіків функцій проводиться аналітично- графічним шляхомза суворими методичними схемами. Зібраний матеріал можна використовувати на уроках та для самопідготовки учнів. Для проведення занять можуть використовуватися різноманітні форми та методи організації та навчання.

На цьому відеоуроці до вивчення пропонується тема Функція y = x 2 . Графічне рішеннярівнянь». У ході цього заняття учні зможуть познайомитися з новим способом розв'язання рівнянь - графічним, який ґрунтується на знанні властивостей графіків функцій. Вчитель покаже, як вирішити графічним способом функцію y=x 2 .

Тема:Функція

Урок:Функція. Графічне вирішення рівнянь

Графічне розв'язання рівнянь ґрунтується на знанні графіків функцій та їх властивостей. Перерахуємо функції, графіки яких ми знаємо:

1) графіком є ​​пряма лінія, паралельна осі абсцис, що проходить через точку на осі ординат. Розглянемо приклад: у = 1:

За різних значень ми отримуємо сімейство прямих паралельних осі абсцис.

2) Функція прямої пропорційності графік цієї функції - це пряма, яка проходить через початок координат. Розглянемо приклад:

Дані графіки ми вже будували в попередніх уроках, нагадаємо, що для побудови кожної прямої потрібно вибрати точку, яка задовольняє їй, а другою точкою взяти початок координат.

Нагадаємо роль коефіцієнта k: при функція зростає, кут між прямим і позитивним напрямком осі х гострий; при функція зменшується, кут між прямим і позитивним напрямком осі х тупою. Крім того, між двома параметрами k одного знака існує таке співвідношення: при позитивних k чим він більший, тим швидше функціязростає, а при негативних - функція швидше зменшується при великих значеннях k за модулем.

3) Лінійна функція. При - отримуємо точку перетину з віссю ординат і всі прямі такого виду проходять через точку (0; m). Крім того, при функція зростає, кут між прямим і позитивним напрямом осі х гострий; при функція зменшується, кут між прямим і позитивним напрямком осі х тупою. І звичайно величина k впливає швидкість зміни значення функції.

4). Графіком цієї функції є парабола.

Розглянемо приклади.

Приклад 1 - графічно розв'язати рівняння:

Функції такого виду ми не знаємо, тому потрібно перетворити задане рівняння, щоб працювати з відомими функціями:

Ми отримали в обох частинах рівняння знайомі функції:

Побудуємо графіки функцій:

Графіки мають дві точки перетину: (-1; 1); (2; 4)

Перевіримо, чи правильно знайдено рішення, підставимо координати рівняння:

Першу точку знайдено правильно.

, , , , , ,

Другу точку також знайдено правильно.

Отже, рішеннями рівняння є і

Поступаємо аналогічно до попереднього прикладу: перетворимо задане рівняння до відомих нам функцій, побудуємо їх графіки, знайдемо струми перетину і звідси вкажемо рішення.

Отримуємо дві функції:

Побудуємо графіки:

Дані графіки немає точок перетину, отже задане рівняння немає рішень

Висновок: даному уроціми провели огляд відомих нам функцій та їх графіків, згадали їхні властивості та розглянули графічний спосіб розв'язання рівнянь.

1. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 7. 6 видання. М: Просвітництво. 2010 р.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. Алгебра 7. М: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягін Ю.М., Ткачова М.В., Федорова Н.Є. та ін Алгебра 7. М.: Просвітництво. 2006 р.

Завдання 1: Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І. та ін Алгебра 7, № 494, ст.110;

Завдання 2: Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І. та ін Алгебра 7, № 495, ст.110;

Завдання 3: Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І. та ін Алгебра 7, № 496, ст.110;

Початковий рівень

Вирішення рівнянь, нерівностей, систем за допомогою графіків функцій. Візуальний гід (2019)

Багато завдань, які ми звикли обчислювати суто алгебраїчно, можна набагато легше і швидше вирішити, у цьому нам допоможе використання графіків функцій. Ти скажеш "як так?" креслити щось, та й що креслити? Повір мені, іноді це зручніше та простіше. Почнемо? Почнемо з рівнянь!

Графічне вирішення рівнянь

Графічне вирішення лінійних рівнянь

Як ти вже знаєш, графіком лінійного рівняння є пряма лінія, звідси назва цього виду. Лінійні рівняння досить легко вирішувати шляхом алгебри - всі невідомі переносимо в один бік рівняння, все, що нам відомо - в іншу і вуаля! Ми знайшли корінь. Зараз я покажу тобі, як це зробити графічним способом.

Отже, у тебе є рівняння:

Як його вирішити?
Варіант 1, і найпоширеніший - перенести невідомі в один бік, а відомі в інший, отримуємо:

А тепер будуємо. Що в тебе вийшло?

Як ти вважаєш, що є коренем нашого рівняння? Правильно, координата точки перетину графіків:

Наша відповідь -

Ось і вся премудрість графічного рішення. Як ти з легкістю можеш перевірити, що коренем нашого рівняння є число!

Як я говорила вище, це найпоширеніший варіант, наближений до алгебраїчному рішеннюАле можна вирішувати і по-іншому. Для розгляду альтернативного рішення повернемося до нашого рівняння:

На цей раз не будемо нічого переносити з боку в бік, а побудуємо графіки безпосередньо, тому що вони зараз є:

Збудував? Дивимося!

Що рішення цього разу? Все вірно. Те саме - координата точки перетину графіків:

І знову наша відповідь - .

Як ти бачиш, з лінійними рівняннями все дуже просто. Настав час розглянути щось складніше... Наприклад, графічне розв'язання квадратних рівнянь.

Графічне розв'язання квадратних рівнянь

Отже, тепер приступимо до розв'язання квадратного рівняння. Допустимо, тобі потрібно знайти коріння цього рівняння:

Звичайно, ти можеш зараз почати рахувати через дискримінант, або за теоремою Вієта, але багато хто на нервах помиляється при перемноженні або у зведенні в квадрат, особливо, якщо приклад з великими числами, А калькулятора, як ти знаєш, у тебе на іспиті не буде ... Тому, давай спробуємо трохи розслабитися і помалювати, вирішуючи це рівняння.

Графічно знайти рішення даного рівнянняможна, можливо у різний спосіб. Розглянемо різні варіанти, А вже ти сам вибереш, який найбільше тобі сподобається.

Спосіб 1. Безпосередньо

Просто будуємо параболу за цим рівнянням:

Щоб зробити це швидко, дам тобі одну маленьку підказку: зручно розпочати побудову з визначення вершини параболи.Визначити координати вершини параболи допоможуть такі формули:

Ти скажеш «Стоп! Формула дуже схожа на формулу знаходження дискримінанта» так, так воно і є, і це є величезним мінусом «прямої» побудови параболи, щоб знайти її коріння. Тим не менш, давай дорахуємо до кінця, а потім я покажу, як це зробити набагато (набагато!) Простіше!

Порахував? Які координати вершини параболи в тебе вийшли? Давай розбиратися разом:

Така сама відповідь? Молодець! І ось ми знаємо вже координати вершини, а для побудови параболи нам потрібно ще… крапок. Як ти вважаєш, скільки мінімум точок нам необхідно? Правильно, .

Ти знаєш, що парабола симетрична щодо своєї вершини, наприклад:

Відповідно, нам необхідно ще дві точки по лівій або правій гілки параболи, а надалі ми ці точки симетрично відобразимо на протилежний бік:

Повертаємося до нашої параболи. Для нашого випадку крапка. Нам потрібно ще дві точки, відповідно, можна взяти позитивні, а можна взяти негативні? Які точки тобі зручніші? Мені зручніше працювати з позитивними, тому я розрахую за в.

Тепер у нас є три точки, і ми спокійно можемо побудувати нашу параболу, відобразивши дві останні точки щодо її вершини:

Як ти вважаєш, що є рішенням рівняння? Правильно точки, в яких, тобто і. Тому що.

І якщо ми говоримо, що, то значить, що теж має бути рівним, або.

Просто? Це ми закінчили з тобою рішення рівняння складним графічним способом, чи ще буде!

Звичайно, ти можеш перевірити нашу відповідь алгебраїчним шляхом - порахуєш коріння через теорему Вієта чи Дискримінант. Що в тебе вийшло? Теж саме? От бачиш! Тепер подивимося просте графічне рішення, впевнена, воно тобі дуже сподобається!

Спосіб 2. З розбивкою на кілька функцій

Візьмемо все теж наше рівняння: але запишемо його дещо по-іншому, а саме:

Чи можемо ми так записати? Можемо, оскільки перетворення рівносильне. Дивимося далі.

Побудуємо окремо дві функції:

1. - Графіком є ​​проста парабола, яку ти з легкістю побудуєш навіть без визначення вершини за допомогою формул та складання таблиці для визначення інших точок.
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти так само легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Збудував? Порівняємо з тим, що вийшло у мене:

Як ти вважаєш, що в даному випадкує корінням рівняння? Правильно! Координати, які вийшли при перетині двох графіків і, тобто:

Відповідно, рішенням цього рівняння є:

Що скажеш? Погодься, цей спосіб вирішення набагато легший, ніж попередній і навіть легший, ніж шукати коріння через дискримінант! А якщо так, спробуй цим способом вирішити наступне рівняння:

Що в тебе вийшло? Порівняємо наші графіки:

За графіками видно, що відповідями є:

Впорався? Молодець! Тепер подивимося рівняння трохи складніше, а саме, рішення змішаних рівняньтобто рівнянь, що містять функції різного виду.

Графічне вирішення змішаних рівнянь

Тепер спробуємо вирішити таке:

Звичайно, можна привести все до спільному знаменнику, знайти коріння рівняння, що вийшло, не забувши при цьому врахувати ОДЗ, але ми знову ж таки, спробуємо вирішити графічно, як робили у всіх попередніх випадках.

На цей раз давай побудуємо 2 наступні графіки:

1. - графіком є ​​гіпербола
2. - Графіком є ​​пряма, яку ти легко побудуєш, прикинувши значення і в голові навіть не вдаючись до калькулятора.

Зрозумів? Тепер займися шикуванням.

Ось що вийшло у мене:

Дивлячись на цей малюнок, скажи, що є корінням нашого рівняння?

Правильно, в. Ось і підтвердження:

Спробуй підставити наше коріння у рівняння. Вийшло?

Все вірно! Погодься, графічно вирішувати подібні рівняння одне задоволення!

Спробуй самостійно графічним способом вирішити рівняння:

Даю підказку: перенеси частину рівняння у правий бік, щоб з обох боків виявились найпростіші для побудови функції. Натяк зрозумів? Дій!

Тепер подивимося, що в тебе вийшло:

Відповідно:

1. - кубічна парабола.
2. - Звичайна пряма.

Ну і будуємо:

Як ти вже давно у себе записав, коренем даного рівняння є .

Вирішивши таку велику кількість прикладів, впевнена, ти усвідомив якомога легко і швидко вирішувати рівняння графічним шляхом. Настав час розібратися, як вирішувати подібним способомсистеми.

Графічне вирішення систем

Графічне рішення систем насправді нічим не відрізняється від графічного рішення рівнянь. Ми також будуватимемо два графіки, і їх точки перетину і будуть корінням даної системи. Один графік – одне рівняння, другий графік – інше рівняння. Все дуже просто!

Почнемо з найпростішого – вирішення систем лінійних рівнянь.

Вирішення систем лінійних рівнянь

Припустимо, у нас є така система:

Для початку перетворимо її таким чином, щоб зліва було все, що пов'язано з, а праворуч - що пов'язано з. Іншими словами, запишемо дані рівняння як функцію у звичному для нас вигляді:

А тепер просто будуємо дві прямі. Що у нашому випадку є рішенням? Правильно! Крапка їхнього перетину! І тут необхідно бути дуже уважним! Подумай чому? Натякну: ми маємо справу із системою: у системі є і, і… Натяк зрозумів?

Все вірно! Вирішуючи систему, ми повинні дивитися обидві координати, а не тільки як при розв'язанні рівнянь! Ще один важливий момент- Правильно їх записати і не переплутати, де в нас значення, а де значення! Записав? Тепер давай усе порівняємо по порядку:

І відповіді: і. Зроби перевірку - підставь знайдене коріння в систему і переконайся, чи правильно ми її вирішили графічним способом?

Вирішення систем нелінійних рівнянь

А якщо замість однієї прямої, у нас буде квадратне рівняння? Та нічого страшного! Просто ти замість прямої збудуєш параболу! Не віриш? Спробуй вирішити таку систему:

Який наступний наш крок? Правильно, записати так, щоб нам було зручно будувати графіки:

А тепер так взагалі справа за малим – збудував швиденько і ось тобі рішення! Будуємо:

Графіки вийшли такими самими? Тепер відзнач на малюнку рішення системи та грамотно запиши виявлені відповіді!

Все зробив? Порівняй із моїми записами:

Все вірно? Молодець! Ти вже клацаєш подібні завдання, як горішки! А якщо так, дамо тобі систему складніше:

Що ми робимо? Правильно! Записуємо систему так, щоб було зручно будувати:

Трохи тобі підкажу, тому що система виглядає дуже не простою! Будуючи графіки, будуй їх «більше», а головне, не дивуйся кількості точок перетину.

Тож поїхали! Видихнув? Тепер починай будувати!

Ну як? Красиво? Скільки точок перетину в тебе вийшло? У мене три! Давай порівнювати наші графіки:

Так само? Тепер акуратно запиши всі рішення нашої системи:

А тепер ще раз подивися на систему:

Уявляєш, що ти вирішив це за якихось 15 хвилин? Погодься, математика - це все-таки просто, особливо коли дивлячись на вираз, не боїшся помилитися, а береш і вирішуєш! Ти великий молодець!

Графічне розв'язання нерівностей

Графічне вирішення лінійних нерівностей

Після останнього прикладутобі все під силу! Зараз видихни - в порівнянні з попередніми розділами цей буде дуже легким!

Почнемо ми, як завжди з графічного рішення лінійної нерівності. Наприклад, ось цього:

Для початку проведемо найпростіші перетворення – розкриємо дужки повних квадратіві наведемо подібні доданки:

Нерівність несувора, тому - не включається в проміжок, і рішенням будуть всі точки, які знаходяться правіше, тому що більше, більше і так далі:

Відповідь:

От і все! Чи легко? Давай вирішимо просту нерівність із двома змінними:

Намалюємо у системі координат функцію.

Такий графік у тебе вийшов? А тепер уважно дивимося, що там у нас у нерівності? Менше? Значить, зафарбовуємо все, що знаходиться ліворуч від нашої прямої. А якби було більше? Правильно, тоді зафарбовували б усе, що знаходиться правіше за нашу пряму. Все просто.

Усі рішення цієї нерівності «затушовані» помаранчевим кольором. Ось і все, нерівність із двома змінними вирішена. Це означає, що координати будь-якої точки із зафарбованої області - і є рішення.

Графічне розв'язання квадратних нерівностей

Тепер розбиратимемося з тим, як графічно вирішувати квадратні нерівності.

Але перш, ніж перейти безпосередньо до справи, давай повторимо деякий матеріал, що стосується квадратної функції.

А за що у нас відповідає дискримінант? Правильно, за положення графіка щодо осі (якщо не пам'ятаєш цього, то тоді точно прочитай теорію про квадратичні функції).

У будь-якому випадку, ось тобі невелика табличка-нагадувачка:

Тепер, коли ми освіжили у пам'яті весь матеріал, перейдемо до справи – вирішимо графічно нерівність.

Відразу тобі скажу, що є два варіанти його вирішення.

Варіант 1

Записуємо нашу параболу як функцію:

За формулами визначаємо координати вершини параболи (так само, як і при розв'язанні квадратних рівнянь):

Порахував? Що в тебе вийшло?

Тепер візьмемо ще дві різних точкиі порахуємо для них:

Починаємо будувати одну гілку параболи:

Симетрично відбиваємо наші точки на іншу галузь параболи:

А тепер повертаємось до нашої нерівності.

Нам необхідно, щоб було менше нуля, відповідно:

Так як у нашій нерівності стоїть знак строго менший, то кінцеві точки ми виключаємо - «виколюємо».

Відповідь:

Довгий спосіб, правда? Зараз я покажу тобі простіший варіант графічного рішення на прикладі тієї самої нерівності:

Варіант 2

Повертаємося до нашої нерівності та відзначаємо потрібні нам проміжки:

Погодься, це набагато швидше.

Запишемо тепер відповідь:

Розглянемо ще один спосіб рішення, який спрощує і алгебраїчну частину, але головне не заплутатися.

Помножимо ліву та праву частини на:

Спробуй самостійно вирішити наступне квадратна нерівністьбудь-яким уподобаним тобі способом: .

Впорався?

Дивись, як графік вийшов у мене:

Відповідь: .

Графічне вирішення змішаних нерівностей

Тепер перейдемо до складніших нерівностей!

Як тобі таке:

Жах, правда? Чесно кажучи, я гадки не маю, як вирішити таке алгебраїчно… Але, воно і не треба. Графічно нічого складного у цьому немає! Очі бояться, а руки роблять!

Перше, з чого ми почнемо, це з побудови двох графіків:

Я не розписуватиму для кожного таблицю - впевнена, ти чудово впораєшся з цим самостійно (ще б пак, стільки прорішати прикладів!).

Розписав? Тепер будуй два графіки.

Порівняємо наші малюнки?

У тебе так само? Чудово! Тепер розставимо точки перетину і кольором визначимо, який графік у нас за ідеєю має бути більшим, тобто. Дивись, що вийшло в результаті:

А тепер просто дивимося, де у нас виділений графік знаходиться вище, ніж графік? Сміливо бери олівець і зафарбовуй цю область! Вона і буде розв'язанням нашої складної нерівності!

На яких проміжках по осі у нас вище, ніж? Правильно, . Це і є відповідь!

Ну ось, тепер тобі під силу і будь-яке рівняння, і будь-яка система, і тим більше будь-яка нерівність!

КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Алгоритм розв'язання рівнянь із використанням графіків функцій:

1. Виразимо через
2. Визначимо тип функції
3. Побудуємо графіки функцій, що вийшли
4. Знайдемо точки перетину графіків
5. Коректно запишемо відповідь (з урахуванням ОДЗ та знаків нерівностей)
6. Перевіримо відповідь (підставимо коріння у рівняння чи систему)

Докладніше про побудову графіків функцій дивись у темі « ».

Науково-дослідна робота учнів на тему:

«Застосування лінійної функціїу вирішенні завдань»

"Застосування графіка лінійної функції до вирішення завдань"

МКОУ «Богучарська середня загальноосвітня школа№1»

Науково-дослідницька робота з математики.

Тема: «Застосування графіка лінійної функції до розв'язання задач»

7 «В» клас
Керівник: Фоменко Ольга Михайлівна

місто Богучар

1.Введение………………………………………………………………… 2

2.Основна частина……………………………………………………………3-11

2.1 Методика розв'язання текстових завдань за допомогою графіків лінійної функції

2.2Рішення текстових завдань на рух за допомогою графіків

3.Висновок…………………………………………………………………11

4.Литература………………………………………………………………….12

ВСТУП.

«Алгебра.7 клас» розглядаються завдання, в яких по заданому графікунеобхідно відповісти на низку питань.

Наприклад:

№332 Дачник вирушив з дому автомобілем до селища. Спочатку він їхав по шосе, а потім по дорозі, зменшивши при цьому швидкість. Графік руху дачника зображено малюнку. Дайте відповідь на питання:

а) скільки часу їхав дачник шосе і скільки кілометрів він проїхав; яка швидкість автомобіля була на цій ділянці колії;

б) скільки часу їхав дачник по дорозі і скільки кілометрів він проїхав; яка була швидкість автомобіля на цій ділянці;

в) за який час дачник проїхав весь шлях від будинку до селища?

У ході пошуку матеріалу з цієї теми в літературі та Інтернеті я для себе відкрила, що у світі лінійної залежностізнаходяться багато фізичних, і навіть громадських і економічні явищаі процеси, але я зупинилася на русі, як найбільш нам знайомому та популярному серед усіх. У проекті я описала текстові завдання та способи їх вирішення за допомогою графіків лінійної функції.

Гіпотеза:за допомогою графіків можна отримати наочні уявлення про властивості функції, познайомитися з властивостями лінійної функції та її приватного вигляду, прямої пропорційності, а й вирішувати текстові завдання.

Метою мого дослідженнястало вивчення застосування графіків лінійної функції у вирішенні текстових завдань на рух. У зв'язку із здійсненням цих цілей були висунуті наступні завдання:

Вивчити методику вирішення текстових завдань на рух за допомогою графіків лінійної функції;

Навчитися вирішувати завдання рух цим методом;

Зробити порівняльні висновки про переваги та недоліки розв'язання задач за допомогою графіків лінійної функції.

Об'єкт дослідження:графік лінійної функції.

Метод дослідження:

Теоретичний (вивчення та аналіз), системно-пошуковий, практичний.

Основна частина.

У своєму дослідженні я вирішила спробувати дати графічне тлумачення завдань на рух, поданих у нашому підручнику, потім за графіком відповісти на поставлене питання задачі. Для такого прийому рішення взяла завдання із прямолінійним рівномірним рухомна одній ділянці колії. Виявилося, що багато завдань у такий спосіб вирішуються простіше, ніж звичайним способом за допомогою рівняння. Єдиний недолік цього прийому: для точного отримання відповіді питання завдання, треба зуміти правильно вибрати масштаб одиниць виміру на осях координат. Велику роль у правильному виборітакого масштабу відіграє досвід нарішування. Тому, щоб опанувати мистецтво вирішення завдань за допомогою графіків, мені довелося розглянути їх у велику кількість.

встановити систему координат sOt з віссю абсцис Ot і віссю ординат Os . Для цього за умовою завдання треба вибрати початок відліку: початок руху об'єкта або з кількох об'єктів обирається той, який почав рухатися раніше або пройшов більшу відстань. По осі абсцис відзначити інтервали часу в його одиницях виміру, а по осі ординат відзначити відстань у вибраному масштабі його одиниць виміру.

Точки на координатній площині мають бути позначені відповідно до масштабу за умовою завдання, і лінії мають бути побудовані акуратно. Від цього залежить точність розв'язання задачі. Тому дуже важливо вдало вибрати масштаб поділів на осях координат: його треба підібрати таким чином, щоб координати точок визначалися точніше і, наскільки можна, розташовувалися в вузлових точках, тобто. у перетинах поділів осей координат. Іноді корисно за одиничний відрізок на осі абсцис брати кількість клітин, кратне умов задачі щодо часу, а на осі ординат – кількість клітин, кратне умов задачі щодо відстані. Наприклад, 12хв за часом вимагають вибору числа клітин кратне 5 т.к. 12 хв становить п'яту частину години.

Розв'язання текстових завдань на рух за допомогою графіків

Відповідь: 9 км.

Рішення за допомогою рівняння:

х/12ч. - Час від А до В

х/18ч. - Час назад

Відповідь:9 км

Задача 2. (№ 156 у підручнику Ю.Н. Макаричева «Алгебра 7».)

По шосе йдуть дві машини з тією самою швидкістю. Якщо перша збільшить швидкість на 10 км/год, а друга зменшить на 10 км/год, то перша за 2 години пройде стільки ж, скільки друга за 3 години. З якою швидкістю йдуть автомобілі?

Рішення за допомогою рівняння:

Нехай x км/год швидкість машин;

(х+10) та (х-10) відповідно швидкості після збільшення та зменшення;

2(х+10)=3(х-10)

Відповідь: 50км/ч

Рішення за допомогою графіка лінійної функції:

1. Задамо координатну площину sOt c віссю абсцис Оt , де відзначимо інтервали часу руху, і віссю ординат Os , де відзначимо відстань, пройдене автомашинами

2. Нанесемо розподілу в масштабі по осі абсцис - одну годину в 5 клітинах (в 1 клітині - 12 хв); по осі ординат наносимо поділу, але не вказуємо масштаб.

3. Побудуємо лінію руху першої машини: початок руху в точці з

4. Побудуємо лінію руху другої машини II: початок руху в точці з координатою (0; 0). Далі відзначимо довільну точку(3;s 1) на площині, т.к. машина з новою швидкістю була у дорозі 3 години.

4. Визначимо швидкість машин v до її зміни. Позначимо різницю ординат точок, що лежать на прямих з абсцисою 1, позначкою ∆s. За цим відрізку відповідає довжина (10+10) км, т.к. в однієї їх швидкість зменшилася, а в інший швидкість збільшилася на 10км/ч. Значить, лінія руху машин до зміни швидкості повинна бути рівновіддалена від ліній I і II і розташована на координатній площині між ними. За графіком Δs = 2кл. відповідає 20км, v = 5 кл., отже, вирішимо пропорцію v = 50км/ч.

Відповідь: 50км/год.

Завдання 3

Рішення за допомогою графіка лінійної функції:

відліку є пристань М

відзначимо точку N (0; 162).

Відповідь: 2ч 20хв.

Рішення за допомогою рівняння:

162-45(x +0,75)-36x =0

162-45x - 33,75 -36x = 0

81x = 128,25

2)

Відповідь: 2ч 20хв.

Завдання 4.

З пункту A виїхав велосипедист. Одночасно за ним із пункту B , що віддаляється від A з відривом 20км, виїхав мотоцикліст 16км/ч. Велосипедист їхав зі швидкістю 12 км/год. На якій відстані від пункту A мотоцикліст наздожене велосипедиста?

Рішення за допомогою графіка лінійної функції:

1.Задамо координатну площину sOt з віссю абсцис Ot , на якій відзначимо інтервали часу руху, і вісь ординат Os , на якій відзначатимемо відстань, пройдену мотоциклістом та велосипедистом

2. Нанесемо розподілу в масштабі: по осі ординат - у 2 клітинах 8 км; по осі абсцис-у 2клітинах -1ч.

3. Побудуємо лінію руху мотоцикліста II: початок його руху відзначимо на початку координат (0; 0). Мотоцикліст їхав зі швидкістю 16 км/год, отже, пряма II має пройти через точку з координатами (1; 16).

4.Побудуємо лінію руху велосипедистаI : її початок буде у точці А(0;20), т.к. пункт B розташований від пункту A з відривом 20км, і він виїхав одночасно з мотоциклістом. Велосипедист їхав зі швидкістю 12км/год, отже, пряма I має пройти через точку з координатами (1; 32).

5. Знайдемо Р (5; 80) – точку перетину прямих I і II , що відбивають рух мотоцикліста та велосипедиста: її ордината покаже відстань від пункту В, на якому мотоцикліст наздожене велосипедиста.

Р(5; 80) |=s = 80, |=80 – 20 = 60(км) – відстань від пункту А, у якому мотоцикліст наздожене велосипедиста.

Відповідь: 60км.

Рішення за допомогою рівняння:

Нехай x км відстань від пункту А до місця зустрічі

x /12 час велосипедиста

(x +20)/16 час мотоцикліста

x / 12 = (x +20) / 16

16x = 12x +240

4x = 240

x = 60

Відповідь: 60 км

Завдання 5.

Відстань між містами мотоцикліст проїхав за 2 год, а велосипедист за 5 год. Швидкість велосипедиста на 18 км/год менша за швидкість мотоцикліста. Знайдіть швидкості велосипедиста та мотоцикліста та відстань між містами.

Рішення за допомогою графіка лінійної функції:

1. Задамо координатну площину sOt з віссю абсцис Ot , де відзначимо інтервали часу руху, і вісь ординат Os , де відзначимо відстань.

2. Нанесемо поділ по осі абсцис у 2х клітинах 1 год. По осі ординат відстань залишимо без поділів.

3. Проведемо лінію руху I велосипедиста за 5 годин та лінію руху мотоцикліста II за 2 години. Кінець обох ліній повинен мати одну ординату.

4. Проведемо відрізок з абсцисою 1 між лініями I та II. Довжина цього відрізка відбиває відстань 18км. З креслення отримуємо, що 3 клітини дорівнюють 18 км, отже, в 1 клітці 6 км.

5. Тоді, за графіком визначаємо швидкість велосипедиста рівна 12 км/год, швидкість мотоцикліста дорівнює 30 км/год, відстань між містами-60 км.

Рішення за допомогою рівняння:

Нехай x км/год швидкість велосипедиста, тоді(x +18) км/год швидкість мотоцикліста

2 (x +18) = 5x

2x +36 = 5x

x = 12

2) 12+18=30(км/год) швидкість мотоцикліста

3) (км) відстань між містами

Відповідь: 12 км/год; 30 км/год; 60 км

Відповідь: 60км.

Завдання 6.

За течією річки човен за 3ч 20хв проходить відстань 30км, а проти течії за 4ч - відстань 28км. Яка відстань по озеру пройде човен за 1,5 год?

Рішення за допомогою графіка лінійної функції:

1.Задамо координатну площину sOt з віссю абсцис Ot , на якій відзначимо інтервали часу руху, і вісь ординат Os , на якій відзначимо відстань, пройдену човном

2. Нанесемо розподілу в масштабі: по осі ординат – у двох клітинах 4 км; по осі абсцис-в 6 клітинах - 1ч (в 1 клітині - 10 хв.), Т.к. за умовою завдання дано час із хвилинами.

3. Побудуємо лінію руху човна за течією річки I : початок лінії буде у точці з координатою (0; 0). Човен пливе 30км за 3ч 20хв, отже, лінія має пройти через точку з координатою (;30),т.к. 3ч 20хв. = год.

4. Побудуємо лінію руху човна проти течії річки II: початок руху візьмемо у точці з координатою (0; 0). Човен пливе 28км за 4ч, отже, прямий рух має пройти через точку з координатою (4;28).

5. Побудуємо лінію руху човна по озеру: початок руху візьмемо у точці з координатою (0; 0). Лінія власного руху човна повинна розташовуватися рівновіддалено і між лініями руху човна по річці. Отже, ми повинні відрізок, що складається з усіх точок з абсцисою 1 між лініями руху по річці, розділити навпіл і відзначити його середину. Від (0; 0) через цю зазначену точку проведемо промінь, який і буде лінією руху озером.

6. За умовою завдання треба знайти відстань, пройдену човном по озеру за 1,5 год, отже, ми повинні визначити на цій лінії ординату точки з абсцисою t = 1,5, | = s = 12, | = 12 км пройде човен по озеру за 1,5 години.

Відповідь: 12км.

Рішення за допомогою системи рівнянь:

Нехай x км/год швидкість по озеру, а у км/год швидкість річки

Відповідь: 12км.

Завдання 7.

Катер проходить за течією річки 34 км за той самий час, як і 26 км проти течії. Власна швидкість катера дорівнює 15 км/год. Знайдіть швидкість течії річки.

Рішення за допомогою графіка лінійної функції:

1.Зададим координатну площину sOt з віссю абсцис Ot , де відзначимо інтервали часу руху, і вісь ординат Os , де відзначимо відстань, пройдене човном.

2. Нанесемо розподілу в масштабі: по осі ординат - в 1 клітці 1км; по осі абсцис час залишимо без поділів.

3. Побудуємо лінію I руху човна по течії річки з 0 км до точки в 34 км: початок лінії буде в точці з координатою (0; 0). Друга координата буде (x; 34).

4. Побудуємо лінію II руху човна проти течії річки з 0 км до точки в 26 км: початок лінії буде в точці з координатою (0; 0). Друга координата буде (x; 26).

5. Проведемо промінь III з початку координат (0; 0) через середину довільного відрізка, що складається з усіх точок з однаковою абсцисою між двома лініями руху I та II. Цей промінь відображатиме власний рухчовни, т.к. власна швидкість катера є середнє арифметичне 2х швидкостей за течією та проти течії річки. На отриманому промені знайдемо точку з ординатою 15 т.к. власна швидкість човна 15 км/год. Абсцис знайденої точки буде відповідати поділу в 1 годину.

6. Щоб знайти швидкість течії річки, достатньо знайти довжину відрізка з абсцисою 1 лінії III до лінії II . Швидкість течії річки - 2 км/год.

Відповідь: 2км/год.

Рішення за допомогою рівняння:

Швидкість течії річки x км/год

34/(15+х)=26/(15-х) Вирішуючи пропорцію, отримаємо:

Відповідь: 2км/год.

Висновок.

Переваги:

Можна коротко записати завдання;

Недоліки:

ЛІТЕРАТУРА.

1. Макарічев Ю. Н., Міндюк Н. Г., Нешков К. І., Суворова С. Б., Алгебра: Підручник для 7 класу загальноосвітніх установ, «Освіта», М., 2000.

2.Булинін В., Застосування графічних методівпід час вирішення текстових завдань, навчально-методична газета «Математика», № 14, 2005.

3. Звавіч Л.І. Дидактичні матеріали з алгебри для 7 класу.

Перегляд вмісту документа
«слова»

На уроках алгебри в 7 класі я познайомилася з темою Лінійна функція. Взаємне розташування графіків лінійних функцій». Я навчилася будувати графіки лінійної функції, дізналася її властивості, навчилася заданим формуламвизначати взаємне розташуванняграфіків. Я звернула увагу, що у підручнику Ю.М.Макаричова

«Алгебра.7 клас» розглядаються завдання, у яких за заданим графіком необхідно відповісти на низку питань. Приклад такого завдання подано на слайді.

За заданим графіком можна визначити, що

І в мене постало питання, чи можна вирішувати завдання на рух не за діями або за допомогою рівнянь, а застосувати для цього графіки лінійної функції?

Гіпотеза, цілі та завдання представлені на слайді

У своєму дослідженні я вирішила спробувати дати графічне тлумачення завдань на рух, поданих у нашому підручнику, потім за графіком відповісти на поставлене питання задачі. Для такого прийому рішення взяла завдання з рівномірним прямолінійним рухом на одній ділянці шляху.

Виявилося, що багато завдань вирішуються у такий спосіб. Єдиний недолік цього прийому: для точного отримання відповіді питання завдання, треба зуміти правильно вибрати масштаб одиниць виміру на осях координат. Велику роль правильному виборі такого масштабу грає досвід нарішування. Тому, щоб опанувати мистецтво вирішення завдань за допомогою графіків, мені довелося розглянути їх у великій кількості.

Методика розв'язання текстових завдань за допомогою графіків лінійної функції.

Для того, щоб вирішити текстове завданняза допомогою графіків лінійної функції треба:

задати систему координат Для цього за умовою завдання треба вибрати початок відліку: початок руху об'єкта або з кількох об'єктів обирається той, який почав рухатися раніше або пройшов більшу відстань. По осі абсцис відзначити інтервали часу в його одиницях виміру, а по осі ординат відзначити відстань у вибраному масштабі його одиниць виміру.

Провести лінії руху кожного з об'єктів, зазначених в умові задачі, через координати хоча б двох точок прямих. Зазвичай швидкість об'єкта дає інформацію про проходження відстані одну одиницю часу від початку руху. Якщо об'єкт починає рухатися пізніше, то точка початку руху зміщена на задане число одиниць вправо від початку відліку вздовж осі абсцис. Якщо об'єкт починає рухатися з місця, віддаленого від початку відліку на певна відстаньто точка початку його руху зміщена вгору вздовж осі ординат.

Місце зустрічі кількох об'єктів на координатній площині позначено точкою перетину прямих, що зображують їхній рух, отже, координати цієї точки дають інформацію про час зустрічі та віддаленість місця зустрічі від початку відліку.

Різниця швидкостей руху двох об'єктів визначається довжиною відрізка, що складається зі всіх точок з абсцисою 1, розташованих між лініями руху цих об'єктів.

Точки на координатній площині мають бути позначені відповідно до масштабу за умовою завдання, і лінії мають бути побудовані акуратно. Від цього залежить точність розв'язання задачі.

Завдання 1. (№ 673 у підручнику Ю. Н. Макаричева «Алгебра 7».)

Велосипедист проїхав шлях АВ зі швидкістю 12 км/год. Повертаючись, він розвинув швидкість 18 км/год і витратив на Зворотній шляхна 15 хв менше, ніж на шлях з А в Ст. Скільки кілометрів з А в Ст.

Рішення за допомогою рівняння:

Нехай х км - відстань від А до Ст.

х/12ч. - Час від А до В

х/18ч. - Час назад

Так як на зворотний шлях він витратив на 15 хвилин менше, то складемо рівняння

Відповідь:9 км

Рішення за допомогою графіка лінійної функції:

1. Задамо координатну площину sOtc віссю абсцис Оt , де відзначимо інтервали часу руху, і віссю ординат Os , де відзначимо відстань.

2. Нанесемо розподілу в масштабі: по осі ординат – в одній клітці 3 км; по осі абсцис - одна година в 4 клітинах (в 1 клітині - 15 хв).

3. Побудуємо лінію руху туди: початок руху відзначимо точкою (0; 0). Велосипедист їхав зі швидкістю 12км/год, отже, пряма має пройти через точку (1; 12).

4. Побудуємо лінію руху назад: кінець лінії відзначимо точкою (; 0), т.к. велосипедист витратив на дорогу назад на 15 хвилин менше. Він їхав зі швидкістю 18км/год, отже, наступна точка прямої має координату (;18).

5. Зазначимо (; 9) - точку перетину прямих: її ордината покаже відстань: s = 9

Відповідь: 9 км.

Завдання 2 (№ 757 у підручнику Ю.М.Макаричова «Алгебра 7»)

Відстань між пристанями M та N дорівнює 162км. Від пристані M відійшов теплохід зі швидкістю 45 км/год. Через 45 хв від пристані N назустріч йому відійшов інший теплохід, швидкість якого 36 км/год. За скільки годин після відправлення першого теплохода вони зустрінуться?

Рішення за допомогою рівняння:

Нехай через х годин відбудеться зустріч

162-45(x +0,75)-36x =0

162-45x - 33,75 -36x = 0

81x = 128,25

2)

Відповідь: 2ч 20хв.

Рішення за допомогою графіка лінійної функції:

1. Задамо координатну площину sOt з віссю абсцис Ot , де відзначимо інтервали часу руху, і вісь ординат Os , де

відзначимо відстань від пристані M до пристані N, що дорівнює 162км. Початком

відліку є пристань М

2. Нанесемо розподілу в масштабі: по осі ординат – у двох клітинах 18 км; по осі абсцис-одна година в 6 клітинах (в 1 клітині-10хв.), Т.к. за умови завдання вказано час у хвилинах.

відзначимо точку N (0; 162).

3. Побудуємо лінію руху першого теплохода I: початок його руху буде у точці з координатами (0; 0). Перший теплохід плив зі швидкістю 45км/год, отже, пряма має пройти через точку з координатами (1; 45).

4. Побудуємо лінію руху другого теплохода II: початок руху буде в точці з

координатами (; 162), так як він вийшов з пункту N віддаленого від М на 162км, на 45хв. пізніше першого, а 45хв. = ч. Другий теплохід плив зі швидкістю 36км/год, отже, пряма має пройти через точку (; 126), оскільки другий теплохід вийшов у бік пункту М: 162 – 36 = 126(км).

5. Точкою перетину прямих I і II є точка А (; 108). Абсцис точки показує час, через який після відправлення першого теплохода вони зустрілися: t =, | = ч = 2ч20хв. – час зустрічі двох теплоходів після виходу першого теплохода.

Відповідь: 2ч 20хв.

Висновок.

Наприкінці дослідження я змогла виявити переваги та недоліки вирішення завдань графічним способом.

Переваги:

Можна коротко записати завдання;

Цілком легко працювати з маленькими числами.

Недоліки:

Важко працювати з великими числами.

Перегляд вмісту презентації
проект