Знаходження син cos. Основні формули тригонометрії

Одним із розділів математики, з якими школярі справляються з найбільшими труднощами, є тригонометрія. Не дивно: щоб вільно оволодіти цією областю знань, потрібна наявність просторового мислення, вміння знаходити синуси, косинуси, тангенси, котангенси за формулами, спрощувати висловлювання, вміти застосовувати у обчисленнях число пі. Крім цього, потрібно вміти застосовувати тригонометрію за доказом теорем, а це вимагає або розвиненої математичної пам'яті, або вміння виводити непрості логічні ланцюжки.

Витоки тригонометрії

Знайомство з цією наукою слід розпочати з визначення синуса, косинуса і тангенса кута, проте спочатку необхідно розібратися, чим займається тригонометрія.

Історично головним об'єктом дослідження цього розділу математичної наукибули прямокутні трикутники. Наявність кута в 90 градусів дає можливість здійснювати різні операції, що дозволяють по двох сторонах і одному куті або по двох кутах і одній стороні визначати значення всіх параметрів фігури, що розглядається. У минулому люди помітили цю закономірність і стали активно нею користуватися при будівництві будівель, навігації, астрономії і навіть у мистецтві.

Початковий етап

Спочатку люди міркували про взаємини кутів і сторін винятково з прикладу прямокутних трикутників. Потім були відкриті особливі формули, що дозволили розширити межі вживання в повсякденному життіцього розділу математики.

Вивчення тригонометрії у школі сьогодні починається з прямокутних трикутників, після чого отримані знання використовуються учнями у фізиці та вирішенні абстрактних тригонометричних рівнянь, робота з якими починається у старших класах

Сферична тригонометрія

Пізніше, коли наука вийшла на наступний рівеньрозвитку, формули з синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали використовуватися у сферичній геометрії, де діють інші правила, а сума кутів у трикутнику завжди більша за 180 градусів. Цей розділне вивчається у школі, проте знати про його існування необхідно як мінімум тому, що земна поверхня, Та й поверхня будь-якої іншої планети, є опуклою, а значить, будь-яка розмітка поверхні буде в тривимірному просторі"дугоподібної".

Візьміть глобус та нитку. Прикладіть нитку до двох будь-яких точок на глобусі, щоб вона виявилася натягнутою. Зверніть увагу - вона набула форми дуги. З такими формами і має справу сферична геометрія, що застосовується в геодезії, астрономії та інших теоретичних та прикладних сферах.

Прямокутний трикутник

Дещо дізнавшись про способи застосування тригонометрії, повернемося до базової тригонометрії, щоб надалі розібратися, що таке синус, косинус, тангенс, які розрахунки можна з їх допомогою виконувати і які формули при цьому використовувати.

Насамперед необхідно усвідомити поняття, які стосуються прямокутного трикутника. По-перше, гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти кута 90 градусів. Вона є найдовшою. Ми пам'ятаємо, що за теоремою Піфагора її чисельне значення дорівнює кореню із суми квадратів двох інших сторін.

Наприклад, якщо дві сторони дорівнюють 3 і 4 сантиметрам відповідно, довжина гіпотенузи становитиме 5 сантиметрів. До речі, про це знали ще давні єгиптяни близько чотирьох із половиною тисяч років тому.

Дві сторони, що залишилися, які утворюють прямий кут, звуться катетами. Крім того, треба пам'ятати, що сума кутів у трикутнику в прямокутної системикоординат дорівнює 180 градусів.

Визначення

Нарешті, твердо розуміючи геометричну основу, можна звернутися до визначення синуса, косинуса та тангенсу кута.

Синусом кута називається відношення протилежного катета (тобто сторони, що розташовується навпроти потрібного кута) до гіпотенузи. Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Запам'ятайте, що ні синус, ні косинус не може бути більше одиниці! Чому? Тому що гіпотенуза - це за умовчанням найдовша Яким би довгим не був катет, він буде коротшим за гіпотенузу, а значить, їх відношення завжди буде менше одиниці. Таким чином, якщо у вас у відповіді до завдання вийшов синус або косинус зі значенням більшим, ніж 1, шукайте помилку в розрахунках або міркуваннях. Ця відповідь однозначно невірна.

Нарешті, тангенсом кута називається відношення протилежної сторони до прилеглої. Той самий результат дасть поділ синуса на косинус. Подивіться: відповідно до формули ми ділимо довжину сторони на гіпотенузу, після чого ділимо на довжину другої сторони та множимо на гіпотенузу. Таким чином, ми отримуємо те саме співвідношення, що і у визначенні тангенса.

Котангенс, відповідно, є відношенням прилеглої до кута сторони до протилежної. Той самий результат ми отримаємо, розділивши одиницю на тангенс.

Отже, ми розглянули визначення, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, і можемо зайнятися формулами.

Найпростіші формули

У тригонометрії не обійтися без формул – як знайти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? Адже саме це потрібно при вирішенні завдань.

Перша формула, яку необхідно знати, починаючи вивчати тригонометрію, свідчить, що сума квадратів синуса і косинуса кута дорівнює одиниці. Ця формулає прямим наслідком теореми Піфагора, проте дозволяє заощадити час, якщо потрібно дізнатися про величину кута, а не сторони.

Багато учнів що неспроможні запам'ятати другу формулу, також дуже популярну під час вирішення шкільних завдань: сума одиниці і квадрата тангенса кута дорівнює одиниці, поділеної на квадрат косинуса кута. Придивіться: адже це те саме твердження, що й у першій формулі, тільки обидві сторони тотожності були поділені на квадрат косинуса. Виходить, проста математична операція робить тригонометричну формулу абсолютно невпізнанною. Пам'ятайте: знаючи, що таке синус, косинус, тангенс та котангенс, правила перетворення та кілька базових формулви будь-якої миті зможете самі вивести необхідні більше складні формулина папері.

Формули подвійного кута та складання аргументів

Ще дві формули, які потрібно вивчити, пов'язані зі значеннями синуса та косинуса при сумі та різниці кутів. Вони представлені нижче. Зверніть увагу, що в першому випадку обидва рази перемножується синус та косинус, а в другому складається попарний добуток синуса та косинуса.

Також є формули, пов'язані з аргументами у вигляді подвійного кута. Вони повністю виводяться з попередніх - як тренування спробуйте отримати їх самостійно, прийнявши кут альфа рівним кутубета.

Нарешті, зверніть увагу, що формули подвійного кута можна перетворити так, щоб знизити рівень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теореми

Двома основними теоремами в базовій тригонометрії є теорема синусів та теорема косінусів. За допомогою цих теорем ви легко зможете зрозуміти, як знайти синус, косинус і тангенс, а отже, і площу фігури, і величину кожної сторони тощо.

Теорема синусів стверджує, що в результаті розподілу довжини кожної зі сторін трикутника на величину протилежного кута ми отримаємо однакове число. Більше того, це число дорівнюватиме двом радіусам описаного кола, тобто кола, що містить всі точки даного трикутника.

Теорема косінусів узагальнює теорему Піфагора, проеціруя її будь-які трикутники. Виявляється, із суми квадратів двох сторін відняти їх добуток, помножений на подвійний косинус суміжного їм кута - отримане значення виявиться рівним квадрату третьої сторони. Таким чином, теорема Піфагора виявляється окремим випадком теореми косінусів.

Помилки з неуважності

Навіть знаючи, що таке синус, косинус і тангенс, легко зробити помилку через неуважність або помилки в найпростіших розрахунках. Щоб уникнути таких помилок, ознайомимося з найпопулярнішими з них.

По-перше, не слід перетворювати звичайні дроби на десяткові до отримання остаточного результату- можна і відповідь залишити у вигляді звичайного дробу, якщо умові не обумовлено зворотне. Таке перетворення не можна назвати помилкою, проте слід пам'ятати, що на кожному етапі завдання можуть з'явитися нові корені, які за задумом автора повинні скоротитися. У цьому випадку ви дарма витратите час на зайві математичні операції. Особливо це актуально для таких значень, як корінь із трьох або з двох, адже вони зустрічаються в завданнях на кожному кроці. Те саме стосується заокруглень «некрасивих» чисел.

Далі, зверніть увагу, що до будь-якого трикутника застосовна теорема косінусів, але не теорема Піфагора! Якщо ви помилково забудете відняти подвоєний твірсторін, помножений на косинус кута між ними, ви не тільки отримаєте абсолютно невірний результат, але й продемонструєте повне нерозуміння предмета. Це гірше, ніж помилка через неуважність.

По-третє, не плутайте значення для кутів 30 і 60 градусів для синусів, косінусів, тангенсів, котангенсів. Запам'ятайте ці значення, адже синус 30 градусів дорівнює косінусу 60, і навпаки. Їх легко переплутати, внаслідок чого ви неминуче отримаєте хибний результат.

Застосування

Багато учнів не поспішають братися до вивчення тригонометрії, оскільки розуміють її прикладного сенсу. Що таке синус, косинус, тангенс для інженера чи астронома? Це поняття, завдяки яким можна вирахувати відстань до далеких зірок, передбачити падіння метеорита, відправити дослідницький зонд на іншу планету. Без них не можна збудувати будинок, спроектувати автомобіль, розрахувати навантаження на поверхню або траєкторію руху предмета. І це лише очевидні приклади! Адже тригонометрія у тому чи іншому вигляді використовується всюди, починаючи від музики та закінчуючи медициною.

На закінчення

Отже, ви синус, косинус, тангенс. Ви можете використовувати їх у розрахунках та успішно вирішувати шкільні завдання.

Вся суть тригонометрії зводиться до того, що за відомими параметрами трикутника потрібно вирахувати невідомі. Усього цих параметрів шість: довжини трьохсторін та величини трьох кутів. Вся різниця в завданнях полягає в тому, що даються різні вхідні дані.

Як знайти синус, косинус, тангенс виходячи з відомих довжинкатетів чи гіпотенузи, ви тепер знаєте. Оскільки ці терміни позначають не що інше, як відношення, а відношення - це дріб, головною метою тригонометричного завданнястає знаходження коренів нормального рівняння або системи рівнянь. І тут вам допоможе звична шкільна математика.

Тригонометричні тотожності— це рівності, які встановлюють зв'язок між синусом, косінусом, тангенсом і котангенсом одного кута, що дозволяє знаходити будь-яку з даних функцій за умови, що буде відома будь-яка інша.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ця тотожність говорить про те, що сума квадрата синуса одного кута і квадрата косинуса одного кута дорівнює одиниці, що на практиці дає можливість обчислити синус одного кута, коли відомий його косинус і навпаки.

При перетворенні тригонометричних виразівдуже часто використовують дану тотожність, яка дозволяє замінювати одиницею суму квадратів косинуса та синуса одного кута і також проводити операцію заміни у зворотному порядку.

Знаходження тангенсу та котангенсу через синус та косинус

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Дані тотожності утворюються з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Адже якщо розібратися, то визначення ординатою y є синус, а абсцисою x — косинус. Тоді тангенс дорівнюватиме \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), а відношення \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)— буде котангенсом.

Додамо, що тільки для таких кутів \alpha , при яких тригонометричні функції, що входять до них, мають сенс, матимуть місце тотожності , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Наприклад: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)є справедливою для кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2)+\pi z, а ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Для кута \alpha, відмінного від \pi z, z - є цілим числом.

Залежність між тангенсом та котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ця тотожність справедлива тільки для таких кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2) z. Інакше чи котангенс чи тангенс не будуть визначені.

Маючи вищевикладені пункти, отримуємо, що tg \alpha = \frac(y)(x), а ctg \alpha=\frac(x)(y). Звідси слідує що tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Таким чином, тангенс та котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є взаємно зворотними числами.

Залежності між тангенсом та косинусом, котангенсом та синусом

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— сума квадрата тангенса кута \alpha і 1 дорівнює зворотному квадрату косинуса цього кута. Ця тотожність справедлива для всіх \alpha , відмінних від \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)— сума 1 і квадрат котангенсу кута \alpha дорівнює зворотному квадрату синуса даного кута. Ця тотожність справедлива для будь-якого \alpha , відмінного від \pi z .

Приклади з розв'язуванням задач на використання тригонометричних тотожностей

Приклад 1

Знайдіть \sin \alpha і tg \alpha якщо \cos \alpha=-\frac12і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Показати рішення

Рішення

Функції \sin \alpha та \cos \alpha пов'язує формула \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Підставивши до цієї формули \cos \alpha = -\frac12, Отримаємо:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Це рівняння має 2 розв'язки:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті синус позитивний, тому \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Для того щоб знайти tg \alpha , скористаємося формулою tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Приклад 2

Знайдіть \cos \alpha і ctg \alpha , якщо і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Показати рішення

Рішення

Підставивши у формулу \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1це за умовою число \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), отримуємо \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Це рівняння має два рішення \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті косинус негативний, тому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Щоб знайти ctg \alpha , скористаємося формулою ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Відповідні величини нам відомі.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Розбираємось з простими поняттями: синус та косинуста обчислення косинуса у квадраті та синуса у квадраті.

Синус та косинус вивчаються в тригонометрії (науці про трикутники з прямим кутом).

Тому для початку згадаємо основні поняття прямокутного трикутника:

Гіпотенуза- Сторона, яка завжди лежить навпроти прямого кута (кута в 90 градусів). Гіпотенуза – це найдовша сторона трикутника із прямим кутом.

Дві сторони, що залишилися в прямокутному трикутнику, називаються катетами.

Також слід пам'ятати, що три кути в трикутнику завжди мають суму 180°.

Тепер переходимо до косінус і синус кута альфа (∠α)(Так можна назвати будь-який непрямий кут у трикутнику або використовувати як позначення ікс – «x», Що не змінює суті).

Синус кута альфа (sin ∠α)- це відношення протилежногокатета (сторона, що лежить навпроти відповідного кута) до гіпотенузи. Якщо дивитися на малюнку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус кута альфа (cos ∠α)- Відношення прилеглогодо кута катета до гіпотенузи. Якщо знову дивитися на малюнку вище, то cos ∠ABC = AB / BC

І просто для нагадування: косинус і синус ніколи не будуть більше одиниці, тому що будь-який котить коротше за гіпотенузу (а гіпотенуза - це найдовша сторона будь-якого трикутника, адже найдовша сторона розташована навпроти самого великого кутау трикутнику).

Косинус у квадраті, синус у квадраті

Тепер переходимо до основних тригонометричним формулам: обчислення косинуса у квадраті та синуса у квадраті.

Для їх обчислення слід запам'ятати основне тригонометричне тотожність:

sin 2 α + cos 2 α = 1(Синус квадрат плюс косинус квадрат одного кута завжди дорівнюють одиниці).

З тригонометричної тотожності робимо висновки про синус:

sin 2 α = 1 - cos 2 α

синус квадрат альфа дорівнює одиницімінус косинус подвійного кута альфа і все це ділити на два.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​З тригонометричного тотожності робимо висновки про косинус:

cos 2 α = 1 - sin 2 α

або більше складний варіантформули: косинус квадрат альфадорівнює одиниці плюс косинус подвійного кута альфа і ділимо все на два.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Ці дві складніші формули синуса в квадраті і косинуса в квадраті називають ще «зниження ступеня для квадратів тригонометричних функцій». Тобто. був другий ступінь, знизили до першого і обчислення стали зручнішими.

Поняття синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () нерозривно пов'язані з поняттям кута. Щоб добре розібратися в цих, на перший погляд, складних поняттях (які викликають у багатьох школярів стан жаху), і переконатися, що «не такий страшний чорт, як його малюють», почнемо від початку і розберемося в понятті кута.

Поняття кута: радіан, градус

Давай подивимося малюнку. Вектор "повернувся" щодо точки на певну величину. Так ось мірою цього повороту щодо початкового положення і виступатиме кут.

Що ще необхідно знати про поняття кута? Ну, звичайно ж, одиниці виміру кута!

Кут, як і геометрії, і у тригонометрії, може вимірюватися у градусах і радіанах.

Кутом в (один градус) називають центральний кутв колі, що спирається на кругову дугу, що дорівнює частині кола. Таким чином, все коло складається з «шматочків» кругових дуг, або кут, що описується колом, дорівнює.

Тобто малюнку вище зображений кут, рівний, тобто цей кут спирається на кругову дугу розміром довжини кола.

Кутом у радіан називають центральний кут в колі, що спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. Ну що, розібрався? Якщо ні, то давай розумітися на малюнку.

Отже, на малюнку зображено кут, рівний радіану, тобто цей кут спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (довжина дорівнює довжині або радіус дорівнює довжинідуги). Таким чином, довжина дуги обчислюється за такою формулою:

Де – центральний кут у радіанах.

Ну що, можеш, знаючи це, відповісти, скільки радіан містить кут, який описує коло? Так, для цього треба згадати формулу довжини кола. Ось вона:

Ну ось, тепер співвіднесемо ці дві формули і отримаємо, що кут, що описується коло дорівнює. Тобто, співвіднісши величину у градусах та радіанах, отримуємо, що. Відповідно, . Як можна побачити, на відміну «градусів», слово «радіан» опускається, оскільки одиниця виміру зазвичай зрозуміла з контексту.

А скільки радіан складають? Все вірно!

Вловив? Тоді вперед закріплювати:

Виникли проблеми? Тоді дивись відповіді:

Прямокутний трикутник: синус, косинус, тангенс, котангенс кута

Отже, з поняттям кута розібралися. А що ж таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута? Давай розбиратись. Для цього нам допоможе прямокутний трикутник.

Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти прямого кута (у прикладі це сторона); катети - це дві сторони, що залишилися і (ті, що прилягають до прямому куту), причому, якщо розглядати катети щодо кута, то катет – це прилеглий катет, а катет – протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?

Синус кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Косинус кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Тангенс кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).

У нашому трикутнику.

Котангенс кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).

У нашому трикутнику.

Ці визначення необхідні запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенсеі котангенсісидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусіі косинус. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:

Косинус→торкатися→доторкнутися→прилежний;

Котангенс→торкатися→доторкнутися→прилежний.

Насамперед, необхідно запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:

Розглянемо, наприклад, косинус кута. За визначенням, з трикутника: , але ми можемо обчислити косинус кута і з трикутника: . Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.

Якщо розібрався у визначеннях, то вперед закріплюйте їх!

Для трикутника, зображеного нижче малюнку, знайдемо.

Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута.

Одиничне (тригонометричне) коло

Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з рівним радіусом. Таке коло називається одиничною. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.

Як можна помітити, дане коло побудовано в декартовій системікоординат. Радіус кола дорівнює одиниці, при цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (у нашому прикладі, це радіус).

Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі та координата по осі. А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, оскільки є перпендикуляром до осі.

Чому дорівнює трикутнику? Все вірно. Крім того, нам відомо, що - це радіус одиничного кола, а значить, . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:

А чому дорівнює трикутнику? Ну звичайно, ! Підставимо значення радіуса в цю формулу та отримаємо:

Так, а можеш сказати, які координати має точка, що належить колу? Ну що, аж ніяк? А якщо збагнути, що й – це просто числа? Який координаті відповідає? Ну, звісно, ​​координати! А якій координаті відповідає? Все правильно, координаті! Таким чином, точка.

А чому тоді рівні? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу і отримаємо, що, а.

А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому рисунку:

Що ж змінилося в даному прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник: кут (як прилеглий до кута). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:

Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті; значення косинуса кута – координаті; а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення можна застосовувати до будь-яких поворотів радіус-вектора.

Вже згадувалося, що початкове становище радіус-вектора - вздовж позитивного спрямування осі. Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути , а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.

Отже, ми знаємо, що цілий оберт радіус-вектора по колу становить або. А чи можна повернути радіус-вектор на чи на? Ну звісно, ​​можна! У першому випадку, таким чином, радіус-вектор зробить один повний обороті зупиниться у положенні або.

У другому випадку, тобто радіус-вектор зробить три повні обороти і зупиниться в положенні або.

Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на або (де - будь-яке ціле число), відповідають одному положенню радіус-вектора.

Нижче на малюнку зображено кут. Це зображення відповідає куту тощо. Цей список можна продовжити до безкінечності. Всі ці кути можна записати загальною формулою або (де – будь-яке ціле число)

Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:

Ось тобі на допомогу одиничне коло:

Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:

Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку відповідає точка з координатами, отже:

Не існує;

Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам відповідають точки з координатами, відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.

Відповіді:

Не існує

Не існує

Не існує

Не існує

Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:

Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:

А ось значення тригонометричних функцій кутів і, наведених нижче в таблиці, необхідно запам'ятати:

Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовуваннявідповідних значень:

Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута (), а також значення тангенсу кута. Знаючи ці значення, досить просто відновити всю таблицю цілком - значення косинуса переносяться відповідно до стрілочок, тобто:

Знаючи це можна відновити значення. Чисельник « » буде відповідати, а знаменник « » відповідає. Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити і запам'ятати схему зі стрілочками, достатньо пам'ятати всього значення з таблиці.

Координати точки на колі

А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту?

Ну, звісно, ​​можна! Давай виведемо загальну формулудля знаходження координат точки.

Ось, наприклад, перед нами таке коло:

Нам дано, що точка – центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, одержаної поворотом точки на градусів.

Як очевидно з малюнка, координаті точки відповідає довжина відрізка. Довжина відрізка відповідає координаті центру кола, тобто дорівнює. Довжину відрізка можна виразити, використовуючи визначення косинуса:

Тоді маємо, що для точки координат.

За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки. Таким чином,

Отже, у загальному виглядікоординати точок визначаються за формулами:

Координати центру кола,

Радіус кола,

Кут повороту вектор радіуса.

Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, оскільки координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:

Ну що, спробуємо ці формули на смак, повправляючись у знаходженні крапок на колі?

1. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

2. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

3. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

4. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

5. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

Виникли проблеми у знаходженні координот точки на колі?

Розв'яжи ці п'ять прикладів (або добре розберись у рішенні) і ти навчишся їх знаходити!

1.

Можна зауважити, що. Адже ми знаємо, що відповідає повному обороту початкової точки. Таким чином, шукана точкабуде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:

2. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:

Можна зауважити, що. Ми знаємо, що відповідає двом повним оборотам початкової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:

Синус та косинус - це табличні значення. Згадуємо їх значення та отримуємо:

Таким чином, потрібна точка має координати.

3. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:

Можна зауважити, що. Зобразимо приклад на малюнку:

Радіус утворює з віссю кути, рівні та. Знаючи, що табличні значення косинуса та синуса рівні, і визначивши, що косинус тут набуває негативне значення, А синус позитивне, маємо:

Детальніше подібні прикладирозбираються щодо формул приведення тригонометричних функцій у темі .

Таким чином, потрібна точка має координати.

4.

Кут повороту радіуса вектора (за умовою)

Для визначення відповідних знаків синуса та косинуса побудуємо одиничне коло та кут:

Як можна побачити, значення, тобто позитивно, а значення, тобто – негативно. Знаючи табличні значення відповідних тригонометричних функцій, отримуємо, що:

Підставимо отримані значення в нашу формулу і знайдемо координати:

Таким чином, потрібна точка має координати.

5. Для вирішення цього завдання скористаємося формулами у загальному вигляді, де

Координати центру кола (у нашому прикладі,

Радіус кола (за умовою,)

Кут повороту векторного радіуса (за умовою,).

Підставимо всі значення у формулу та отримаємо:

та - табличні значення. Згадуємо та підставляємо їх у формулу:

Таким чином, потрібна точка має координати.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Синус кута - це відношення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

Косинус кута - це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

Тангенс кута - це відношення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).

Котангенс кута - це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (далекого).

Приклади:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Аргумент та значення

Косинус гострого кута

Косинус гострого кутаможна визначити за допомогою прямокутного трикутника – він дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.

приклад :

1) Нехай дано кут і потрібно визначити косинус цього кута.

2) Добудуємо на цьому куті будь-який прямокутний трикутник.

3) Вимірявши, необхідні сторони, можемо обчислити косинус.

Косинус числа

Числове коло дозволяє визначити косинус будь-якого числа, але зазвичай знаходять косинус чисел якось пов'язаних з : \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Наприклад, для числа \(\frac(π)(6)\) - косинус дорівнюватиме \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . А для числа \(-\)\(\frac(3π)(4)\) він дорівнюватиме \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (приблизно \(-0 ,71 \)).

Косинус для інших часто зустрічаються у практиці чисел дивись у .

Значення косинуса завжди лежить у межах від (-1) до (1). При цьому обчислений косинус може бути абсолютно будь-якого кута і числа.

Косинус будь-якого кута

Завдяки числового коламожна визначати косинус не тільки гострого кута, а й тупого, негативного, і навіть більшого, ніж (360 °) (повний оборот). Як це робити - простіше один раз побачити, ніж (100) раз почути, тому дивіться картинку.

Тепер пояснення: нехай потрібно визначити косинус кута КОАз градусною міроюв (150 °). Поєднуємо точку Проз центром кола, а бік ОК- З віссю \ (x \). Після цього відкладаємо (150 °) проти годинникової стрілки. Тоді ордината точки Апокаже нам косинус цього кута.

Якщо ж нас цікавить кут із градусним заходом, наприклад, в \(-60°\) (кут КОВ), робимо також, але (60 ° \) відкладаємо за годинниковою стрілкою.

І, нарешті, кут більший (360°) (кут КІС) - все аналогічно тупому, тільки пройшовши за годинниковою стрілкою повний оборот, вирушаємо на друге коло і «добираємо нестачу градусів». Саме в нашому випадку кут (405 °) відкладений як (360 ° + 45 °).

Нескладно здогадатися, що для відкладання кута, наприклад, в \(960°\), треба зробити вже два обороти (\(360°+360°+240°\)), а для кута в \(2640°\) - цілих сім.

Як можна замінити, і косинус числа, і косинус довільного кута визначається практично однаково. Змінюються лише спосіб знаходження точки на колі.

Знаки косинуса по чвертях

За допомогою осі косінусів (тобто осі абсцис, виділеної на малюнку червоним кольором) легко визначити знаки косінусів по числовому (тригонометричному) колу:

Там, де значення на осі від (0) до (1), косинус матиме знак плюс (I і IV чверті - зелена область),
- там, де значення на осі від (0) до (-1), косинус матиме знак мінус (II і III чверті - фіолетова область).

Зв'язок з іншими тригонометричними функціями:

- того ж кута (або числа): основним тригонометричним тотожністю\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- того ж кута (або числа): формулою \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- і синусом того ж кута (або числа): формулою \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Інші найчастіше застосовувані формули дивись.

Розв'язання рівняння \(\cos⁡x=a\)

Рішення рівняння \(\cos⁡x=a\), де \(a\) - число не більше \(1\) і не менше \(-1\) тобто. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Якщо \(a>1\) або \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

приклад . Розв'яжіть тригонометричне рівняння \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Рішення:

Розв'яжемо рівняння за допомогою числового кола. Для цього:
1) Побудуємо осі.
2) Побудуємо коло.
3) На осі косінусів (осі \(y\)) відзначимо точку \(\frac(1)(2)\) .
4) Проведемо перпендикуляр до осі косінусів через цю точку.
5) Зазначимо точки перетину перпендикуляра та кола.
6)Підпишемо значення цих точок: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Запишемо всі значення, що відповідають цим точкам за допомогою формули \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Відповідь: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Функція \(y=\cos(x)\)

Якщо відкласти по осі (x) кути в радіанах, а по осі (y) - відповідні цим кутам значення косинуса, ми отримаємо наступний графік:

Графік даної називається і має наступні властивості:

Область визначення – будь-яке значення ікса: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- область значень – від \(-1\) до \(1\) включно: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- парна: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- періодична з періодом \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- Точки перетину з осями координат:
вісь абсцис: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), де \(n ϵ Z\)
вісь ординат: \((0;1)\)
- Проміжки знакостійності:
функція позитивна на інтервалах: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn)\), де \(n Z Z)
функція негативна на інтервалах: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\), де \(n Z Z)
- Проміжки зростання та спадання:
функція зростає на інтервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), де \(n ϵ Z\)
функція зменшується на інтервалах: \((2πn;π+2πn)\), де \(n ϵ Z\)
- максимуми та мінімуми функції:
функція має максимальне значення \(y=1\) у точках \(x=2πn\), де \(n ϵ Z\)
функція має мінімальне значення \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), де \(n Z Z).