Професійний беттер повинен добре орієнтуватися в коефіцієнтах, швидко та правильно оцінювати ймовірність події за коефіцієнтомі за необхідності вміти перевести коефіцієнти з одного формату до іншого. У даному мануалі ми розповімо про те, які бувають види коефіцієнтів, а також на прикладах розберемо, як можна вираховувати ймовірність за відомим коефіцієнтомі навпаки.

Які типи коефіцієнтів?

Існує три основні види коефіцієнтів, які пропонують гравцям букмекери: десяткові коефіцієнти, дробові коефіцієнти(англійські) та американські коефіцієнти. Найбільш поширені коефіцієнти у Європі – десяткові. У Північної Америкипопулярні американські коефіцієнти Дробові коефіцієнти - найбільш традиційний вид, вони відразу ж відображають інформацію про те, скільки потрібно поставити, щоб отримати певну суму.

Десятні коефіцієнти

Десятковіабо ще їх називають європейські коефіцієнти- це звичний формат числа, представлений десятковим дробомз точністю до сотих, інколи ж навіть до тисячних. Приклад десяткового коефіцієнта – 1.91. Розрахувати прибуток у випадку з десятковими коефіцієнтами дуже просто, достатньо лише помножити суму вашої ставки на цей коефіцієнт. Наприклад, у матчі "Манчестер Юнайтед" – "Арсенал" перемога "МЮ" виставлена ​​з коефіцієнтом – 2.05, нічия оцінена коефіцієнтом – 3.9, а перемога "Арсеналу" дорівнює – 2.95. Припустимо, що ми впевнені у перемозі "Юнайтед" та ставимо на них 1000 доларів. Тоді наш можливий дохід розраховується так:

2.05 * $1000 = $2050;

Адже правда нічого складного?! Так само розраховується можливий дохід при ставці на нічию та перемогу "Арсеналу".

Нічия: 3.9 * $1000 = $3900;
Перемога "Арсеналу": 2.95 * $1000 = $2950;

Як розрахувати ймовірність події за десятковими коефіцієнтами?

Уявимо тепер, що нам потрібно визначити ймовірність події за десятковими коефіцієнтами, які виставив букмекер. Робиться це дуже просто. І тому ми одиницю ділимо цей коефіцієнт.

Візьмемо вже наявні дані та порахуємо ймовірність кожної події:

Перемога "Манчестер Юнайтед": 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Нічия: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Перемога "Арсеналу": 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Дробові коефіцієнти (Англійські)

Як відомо з назви дробовий коефіцієнт представлений звичайним дробом. Приклад англійського коефіцієнта – 5/2. У чисельнику дробу знаходиться число, що є потенційною сумою чистого виграшу, а в знаменнику розташоване число, яке означає суму, яку потрібно поставити, щоб цей виграш отримати. Простіше кажучи, ми повинні поставити $2 долари, щоб виграти $5. Коефіцієнт 3/2 означає, що для того, щоб отримати $3 чистого виграшу, нам доведеться зробити ставку в розмірі $2.

Як розрахувати ймовірність події за дробовими коефіцієнтами?

Імовірність події за дробовими коефіцієнтами розрахувати так само не складно, потрібно всього лише розділити знаменник на суму чисельника та знаменника.

Для дробу 5/2 розрахуємо ймовірність: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Для дробу 3/2 розрахуємо ймовірність:

Американські коефіцієнти

Американські коефіцієнтив Європі непопулярні, зате в Північній Америці дуже. Мабуть, даний видкоефіцієнтів найскладніший, але це лише здавалося б. Насправді, і в цьому типі коефіцієнтів нічого складного немає. Зараз у всьому розберемося по черзі.

Головною особливістю американських коефіцієнтів є те, що вони можуть бути як позитивними, так і негативними. Приклад американських коефіцієнтів – (+150), (-120). Американський коефіцієнт (+150) означає, що для того, щоб заробити $150, нам потрібно поставити $100. Іншими словами, позитивний американський коефіцієнт відображає потенційний чистий заробіток при ставці в $100. Негативний американський коефіцієнт відображає суму ставки, яку необхідно зробити для того, щоб отримати чистий виграш у $100. Наприклад, коефіцієнт (- 120) нам говорить про те, що поставивши $120 ми виграємо $100.

Як розрахувати ймовірність події за американськими коефіцієнтами?

Імовірність події за американським коефіцієнтом вважається за такими формулами:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), де M – негативний американський коефіцієнт;
100/(P+100), де P – позитивний американський коефіцієнт;

Наприклад, ми маємо коефіцієнт (-120), тоді ймовірність розраховується так:

(-(M)) / ((-(M)) + 100); підставляємо замість "M" значення (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Таким чином, ймовірність події з американським коефіцієнтом (-120) дорівнює 54,5%.

Наприклад, ми маємо коефіцієнт (+150), тоді ймовірність розраховується так:

100/(P+100); підставляємо замість "P" значення (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Таким чином, ймовірність події з американським коефіцієнтом (+150) дорівнює 40%.

Як знаючи відсоток ймовірності перевести його на десятковий коефіцієнт?

Для того щоб розрахувати десятковий коефіцієнт за відомим відсотком ймовірності потрібно 100 розділити на ймовірність події у відсотках. Наприклад, ймовірність події становить 55%, тоді десятковий коефіцієнт цієї ймовірності дорівнюватиме 1,81.

100 / 55% = 1,81

Як знаючи відсоток ймовірності перевести його на дробовий коефіцієнт?

Для того щоб розрахувати дробовий коефіцієнт за відомим відсотком ймовірності потрібно від поділу 100 на ймовірність події у відсотках відібрати одиницю. Наприклад, маємо відсоток ймовірності 40%, тоді дробовий коефіцієнт цієї ймовірності дорівнюватиме 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Дробний коефіцієнт дорівнює 1,5/1 чи 3/2.

Як знаючи відсоток можливості перевести його в американський коефіцієнт?

Якщо ймовірність події більше 50%, то розрахунок здійснюється за такою формулою:

- ((V) / (100 - V)) * 100, де V – ймовірність;

Наприклад, маємо ймовірність події 80%, тоді американський коефіцієнт цієї ймовірності дорівнюватиме (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Якщо ймовірність події менше 50%, то розрахунок проводиться за формулою:

((100 - V) / V) * 100, де V – ймовірність;

Наприклад, маємо відсоток ймовірності події 20%, тоді американський коефіцієнт цієї ймовірності дорівнюватиме (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Як перевести коефіцієнт до іншого формату?

Трапляються випадки, коли необхідно перевести коефіцієнти з одного формату до іншого. Наприклад, у нас є дробовий коефіцієнт 3/2, і нам потрібно перевести його в десятковий. Для переведення дробового коефіцієнта до десяткового ми спочатку визначаємо ймовірність події з дробовим коефіцієнтом, а потім цю ймовірність переводимо до десяткового коефіцієнта.

Імовірність події з дробовим коефіцієнтом 3/2 дорівнює 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Тепер переведемо ймовірність події у десятковий коефіцієнт, для цього 100 ділимо на ймовірність події у відсотках:

100 / 40% = 2.5;

Таким чином, дробовий коефіцієнт 3/2 дорівнює десятковому коефіцієнту 2.5. Аналогічно переводяться, наприклад, американські коефіцієнти в дробові, десяткові в американські і т.д. Найскладніше у всьому цьому лише розрахунки.

В економіці, як і в інших областях людської діяльностіабо у природі, постійно доводиться мати справу з подіями, які неможливо точно передбачити. Так, обсяг продажів товару залежить від попиту, який може суттєво змінюватися, та від низки інших факторів, які врахувати практично нереально. Тому при організації виробництва та здійсненні продажів доводиться прогнозувати результат такої діяльності на основі або власного попереднього досвіду, або аналогічного досвіду інших людей, або інтуїції, яка значною мірою також спирається на досвідчені дані.

Щоб якимось чином оцінити подію, що розглядається, необхідно враховувати або спеціально організовувати умови, в яких фіксується ця подія.

Здійснення певних умов або дій для виявлення події, що розглядається, носить назву досвідуабо експерименту.

Подія називається випадковимякщо в результаті досвіду воно може відбутися або не відбутися.

Подія називається достовірнимякщо воно обов'язково з'являється в результаті даного досвіду, і неможливимякщо воно не може з'явитися в цьому досвіді.

Наприклад, випадання снігу у Москві 30 листопада є випадковою подією. Щоденний схід Сонця можна вважати достовірною подією. Випадання снігу на екваторі можна розглядати як неможливу подію.

Однією з головних завдань теорії ймовірностей є завдання визначення кількісної міриМожливості появи події.

Алгебра подій

Події називаються несумісними, якщо вони разом не можуть спостерігатися в тому самому досвіді. Так, наявність двох і трьох автомашин в одному магазині для продажу в той самий час — це дві несумісні події.

Сумоюподій називається подія, що полягає в появі хоча б однієї з цих подій

Як приклад суми подій можна назвати наявність у магазині хоча б одного із двох товарів.

Творомподій називається подія, що полягає в одночасному появі всіх цих подій

Подія, що полягає у появі одночасно в магазині двох товарів є твором подій: - Поява одного товару, - Поява іншого товару.

Події утворюють повну групу подій, якщо хоча б одна з них обов'язково станеться у досвіді.

приклад.У порту є два причали прийому суден. Можна розглянути три події: - відсутність судів біля причалів, - присутність одного судна біля одного з причалів, - присутність двох суден біля двох причалів. Ці три події утворюють повну групу подій.

Протилежниминазиваються дві єдино можливі події, що утворюють повну групу.

Якщо одне з подій, є протилежними, позначити через , то протилежне подія зазвичай позначають через .

Класичне та статистичне визначення ймовірності події

Кожен із рівноможливих результатів випробувань (дослідів) називається елементарним результатом. Їх зазвичай позначають літерами. Наприклад, кидається гральна кістка. Елементарних результатів всього може бути шість за кількістю очок на гранях.

З елементарних результатівможна скласти складнішу подію. Так, подія випадання парного числа очок визначається трьома наслідками: 2, 4, 6.

Кількісним заходом можливості появи події, що розглядається, є ймовірність.

Найбільш широке розповсюдженняотримали два визначення ймовірності події: класичнеі статистичне.

Класичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям сприятливого результату.

Вихід називається сприятливимцій події, якщо її поява тягне за собою настання цієї події.

У наведеному прикладі подія, що розглядається парне числоочок на межі, що випала, має три сприятливі результати. У даному випадкувідоме та загальне
кількість можливих наслідків. Отже, тут можна використати класичне визначення ймовірності події.

Класичне визначеннядорівнює відношенню числа сприятливих наслідків до загального числа можливих наслідків

де - ймовірність події, - число сприятливих подій результатів, - загальне числоможливих наслідків.

У розглянутому прикладі

Статистичне визначення ймовірності пов'язані з поняттям відносної частоти появи події досвідах.

Відносна частота появи події обчислюється за формулою

де - Число появи події в серії з дослідів (випробувань).

Статистичне визначення. Імовірністю події називається число, щодо якого стабілізується (встановлюється) відносна частота при необмеженому збільшенні дослідів.

У практичних завданнях за ймовірність події приймається відносна частота при достатньо великому числівипробувань.

З даних визначень ймовірності події видно, що завжди виконується нерівність

Для визначення ймовірності події на основі формули (1.1) часто використовуються формули комбінаторики, за якими знаходиться кількість сприятливих наслідків та загальна кількість можливих наслідків.

Знати, як оцінити ймовірність тієї чи іншої події на основі коефіцієнтів, дуже важливо для вибору правильної ставки. Якщо ви не розумієте, як перевести букмекерський коефіцієнт на ймовірність, то ніколи не зможете визначити, як співвідноситься букмекерський коефіцієнт з реальними шансами того, що подія відбудеться. Слід розуміти, якщо ймовірність події за версією букмекерів нижче, ніж ймовірність цієї події за вашою власною версією, ставка на цю подію буде цінною. Порівняти коефіцієнти на різні події можна на сайті Odds.ru.

1.1. Типи коефіцієнтів

Букмекерські контори, як правило, пропонують три типи коефіцієнтів – десятковий, дробовий та американський. Розберемо кожен із різновидів.

1.2. Десятні коефіцієнти

Десяткові коефіцієнти при множенні на розмір ставки дають змогу розрахувати всю суму, яку ви отримаєте на руки у разі виграшу. Наприклад, якщо ви поставили 1 долар на коефіцієнт 1,80, у разі виграшу ви отримаєте 1 долар 80 центів (1 долар – повернена сума ставки, 0,80 – виграш за ставкою, він же ваш чистий прибуток).

Тобто ймовірність результату за версією букмекерів становить 55%.

1.3. Дробові коефіцієнти

Дробові коефіцієнти – найтрадиційніший вид коефіцієнтів. У чисельнику показано потенційну суму чистого виграшу. У знаменнику – сума ставки, яку потрібно зробити, щоб цей виграш отримати. Наприклад, коефіцієнт 7/2 означає, що для того щоб отримати чистий виграш у розмірі 7 доларів, вам необхідно поставити 2 долари.

Щоб розрахувати ймовірність події з урахуванням десяткового коефіцієнта, слід провести прості обчислення– знаменник розділити у сумі чисельника і знаменника. Для вищезазначеного коефіцієнта 7/2 розрахунок буде таким:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

Тобто ймовірність результату за версією букмекерів становить 22%.

1.4. Американські коефіцієнти

Цей вид коефіцієнтів популярний у Північній Америці. На перший погляд, вони здаються досить складними та незрозумілими, але не варто лякатися. Розуміння американських коефіцієнтів може стати в нагоді, наприклад, при грі в американських казино, для розуміння котирувань, що демонструються в північноамериканських спортивних трансляціях. Розберемо, як оцінити ймовірність результату з урахуванням американських коефіцієнтів.

Насамперед треба розуміти, що американські коефіцієнти бувають позитивними та негативними. Негативний американський коефіцієнт завжди йде у форматі, наприклад, «-150». Це означає, що для того щоб отримати 100 доларів чистого прибутку (виграш), необхідно поставити 150 доларів.

Позитивний американський коефіцієнт розраховується навпаки. Наприклад, ми маємо коефіцієнт «+120». Це означає, що для того щоб отримати 120 доларів чистого прибутку (виграш), вам необхідно поставити 100 доларів.

Розрахунок ймовірності на основі негативних американських коефіцієнтів робиться за такою формулою:

(-(негативний американський коефіцієнт)) / ((-(негативний американський коефіцієнт)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

Тобто ймовірність події, на яку дається негативний американський коефіцієнт -150, становить 60%.

Тепер розглянемо аналогічні обчислення для позитивного коефіцієнта. Імовірність у цьому випадку розраховується за такою формулою:

100/(позитивний американський коефіцієнт + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

Тобто ймовірність події, на яку дається позитивний американський коефіцієнт +120, становить 45%.

1.5. Як переводити коефіцієнти з одного формату до іншого?

Вміння переводити коефіцієнти з одного формату в інший може згодом послужити вам хорошу службу. Як не дивно, досі є контори, в яких коефіцієнти не конвертуються і показані лише в одному, незвичному для нас форматі. Розглянемо приклади, як це робити. Але для початку нам треба навчитися обчислювати ймовірність результату на основі цього коефіцієнта.

1.6. Як на основі ймовірності розрахувати десятковий коефіцієнт?

Тут усе дуже просто. Необхідно 100 розділити на ймовірність події процентному відношенні. Тобто, якщо імовірність події становить 60%, вам треба:

При передбачуваній ймовірності події 60% десятковий коефіцієнт становитиме 1,66.

1.7. Як на основі ймовірності розрахувати дрібний коефіцієнт?

В даному випадку необхідно 100 розділити на ймовірність події і від отриманого результату відібрати одиницю. Наприклад, ймовірність події становить 40%:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

Тобто ми отримуємо дробовий коефіцієнт 1,5/1 або для зручності рахунку – 3/2.

1.8. Як на основі можливого результату розрахувати американський коефіцієнт?

Тут багато залежатиме від ймовірності події – чи буде вона понад 50% або менше. Якщо ймовірність події більше 50%, то розрахунок буде здійснюватися за такою формулою:

- ((ймовірність) / (100 - ймовірність)) * 100

Наприклад, якщо ймовірність події становить 80%, то:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

При ймовірній ймовірності події 80% ми отримали негативний американський коефіцієнт «-400».

Якщо ймовірність події менше 50 відсотків, то формула буде такою:

((100 - ймовірність) / ймовірність) * 100

Наприклад, якщо ймовірність події становить 40%, то:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

При ймовірній ймовірності події в 40% ми отримали позитивний американський коефіцієнт +150.

Ці обчислення допоможуть вам краще зрозуміти концепцію ставок та коефіцієнтів, навчитися оцінювати справжню вартість тієї чи іншої ставки.

Ймовірність протилежної події

Розглянемо деяку випадкову подію Aі нехай його ймовірність p(A)відома. Тоді ймовірність протилежної події визначається за формулою

. (1.8)

Доведення.Згадаймо, що за аксіомою 3 для несумісних подій

p(A+B) = p(A) + p(B).

Через несумісність Aі

Слідство.тобто ймовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

За допомогою формули (1.8) визначається, наприклад, ймовірність промаху, якщо відома ймовірність попадання (або, навпаки, ймовірність попадання, якщо відома ймовірність промаху; наприклад, якщо ймовірність попадання для зброї 0,9, ймовірність промаху для нього (1 - 0, 9 = 0,1).

1. Імовірність суми двох подій

Тут доречно нагадати, що для несумісних подій ця формула має вигляд:

приклад.Завод виробляє 85% продукції першого сорту та 10% - другого. Інші вироби вважаються шлюбом. Яка ймовірність, що взявши навмання виріб, ми отримаємо шлюб?

Рішення. P = 1 - (0,85 + 0,1) = 0,05.

Імовірність суми двох будь-яких випадкових подійдорівнює

Доведення.Уявимо подію A + Bу вигляді суми несумісних подій

Враховуючи несумісність Aі , отримаємо згідно з аксіомою 3

Аналогічно знаходимо

Підставляючи останнє у попередню формулу, отримаємо шукану (1.10) (рис 2).

приклад.З 20 студентів 5 осіб склали на двійку іспит з історії, 4 – з англійській мові, причому, 3 студенти отримали двійки з обох предметів Який відсоток студентів у групі, які не мають двійок з цих предметів?

Рішення. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%).

1. Умовна ймовірність

У деяких випадках необхідно визначити ймовірність випадкової події Bза умови, що сталася випадкова подія Aщо має ненульову ймовірність. Те, що подія Aсталося, звужує простір елементарних подійдо множини A, що відповідає цій події. Подальші міркування проведемо з прикладу класичної схеми. Нехай W складається з n рівноможливих елементарних подій (виходів) та події Aсприяє m(A), а події AB - m(AB)результатів. Позначимо умовну ймовірністьподії Bза умови, що Aсталося, - p(B|A).За визначенням,

= .

Якщо Aсталося, то реалізований один з m(A)наслідків та подія Bможе статися, тільки якщо відбудеться один із результатів, що сприяють AB; таких результатів m(AB). Тому природно покласти умовну ймовірність події Bза умови, що Aсталося, що дорівнює відношенню

Узагальнюючи, дамо загальне визначення: умовною ймовірністю події B за умови, що подія A з ненульовою ймовірністю відбулася , називається

. (1.11)

Легко можна перевірити, що введене таким чином визначення задовольняє всім аксіомам і, отже, справедливі раніше доведені теореми.

Часто умовну ймовірність p(B|A)можна легко знайти з умови завдання, більш складних випадкахдоводиться скористатися визначенням (1.11).

приклад.У урні лежить N куль, їх n білих і N-n чорних. З неї дістають кулю і, не кладучи її назад ( вибірка без повернення ), дістають ще один. Чому дорівнює ймовірність того, що обидві кулі білі?

Рішення.При вирішенні цього завдання застосуємо і класичне визначення ймовірності, і правило твору: позначимо через A подію, яка полягає в тому, що першим вийняли біла куля(тоді - першим вийняли чорну кулю), а через B - подія, що полягає в тому, що другим вийняли білу кулю; тоді

.

Легко бачити, що ймовірність того, що три вийняті підряд (без повернення) кулі білі:

і т.д.

приклад.З 30 екзаменаційних квитківстудент підготував лише 25. Якщо він відмовляється відповідати за першим взятим білетом (якого він не знає), то йому дозволяється взяти другий. Визначити ймовірність того, що другий квиток виявиться щасливим.

Рішення.Нехай подія Aполягає в тому, що перший витягнутий квиток виявився для студента "поганим", а B- другий - "хорошим". Бо після настання події Aодин із «поганих» вже витягнуто, то залишається всього 29 квитків, з яких 25 студент знає. Звідси шукана ймовірність, припускаючи, що поява будь-якого квитка рівноможлива і вони не повертаються назад, дорівнює .

1. Вірогідність твору

Співвідношення (1.11), припускаючи, що p(A)або p(B)не дорівнюють нулю, можна записати у вигляді

Це співвідношення називають теорема про ймовірність твору двох подій , яка може бути узагальнена на будь-яке число множників, наприклад, для трьох вона має вигляд

приклад.За умовами попереднього прикладу знайти можливість успішної складання іспиту, якщо для цього студент повинен відповісти на перший квиток або, не відповівши на перший, обов'язково відповісти на другий.

Рішення.Нехай події Aі Bполягають у тому, що, відповідно, перший і другий квитки «хороші». Тоді – поява „поганого” квитка вперше. Іспит буде складено, якщо відбудеться подія Aабо одночасно і B. Тобто шукана подія С - успішне здаванняіспиту – виражається так: C = A+ .Звідси

Тут ми скористалися несумісністю Aі , а отже, несумісністю Aта , теоремами про ймовірність суми та твору та класичним визначенням ймовірності при підрахунку p(A)та .

Це завдання можна вирішити і простіше, якщо скористатися теоремою про ймовірність протилежної події:

1. Незалежність подій

Випадкові події A та Bназвемонезалежними, якщо

Для незалежних подійз (1.11) випливає, що ; справедливе та зворотне твердження.

Незалежність подійозначає, що настання події A не змінює ймовірності появи події B, тобто умовна ймовірність дорівнює безумовній .

приклад.Розглянемо попередній приклад з урною, що містить N куль, з яких n білих, але змінимо досвід: вийнявши кулю, ми кладемо її назад і тільки потім виймаємо наступний ( вибірка із поверненням ).

A - подія, що полягає в тому, що першим вийняли білу кулю, - подія, що полягає в тому, що першим вийняли чорну кулю, а B - подія, що полягає в тому, що другим вийняли білу кулю; тоді

тобто в цьому випадку події A та В незалежні.

Таким чином, при вибірці з поверненням події при другому вийманні кулі не залежить від подій першого виймання, а при вибірці без повернення це не так. Однак за великих N і n ці ймовірності дуже близькі один до одного. Цим користуються, тому що іноді виробляють вибірку без повернення (наприклад, при контролі якості, коли тестування об'єкта призводить до його руйнування), а розрахунки проводять за формулами для вибірки з поверненням, які простіше.

На практиці при розрахунку ймовірностей часто користуються правилом, згідно з яким з фізичної незалежності подій випливає їхня незалежність у теоретико-імовірнісному сенсі .

приклад.Імовірність того, що людина у віці 60 років не помре у найближчий рік, дорівнює 0,91. Страхова компанія страхує на рік життя двох людей 60 років.

Імовірність того, що жоден з них не помре: 0,91×0,91 = 0,8281.

Імовірність того, що вони обоє помруть:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Імовірність того, що помре хоча б один:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Імовірність того, що помре один:

0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.

Систему подій A 1 , A 2 ,..., A nназвемо незалежною в сукупності, якщо ймовірність твору дорівнює твору ймовірностей для будь-якої комбінації співмножників із цієї системи. У цьому випадку, зокрема,

приклад.Шифр сейфа складається із семи десяткових цифр. Чому дорівнює ймовірність, що злодій з першого разу набере його правильно?

У кожній з 7 позицій можна набрати будь-яку з 10 цифр 0,1,2,...,9, всього 10 7 чисел, починаючи з 0000000 і закінчуючи 9999999.

приклад.Шифр сейфа складається з російської літери (їх 33) та трьох цифр. Чому дорівнює ймовірність, що злодій з першого разу набере його правильно?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

приклад.У більш загальному виглядіЗавдання про страховку: ймовірність того, що людина у віці … років не помре у найближчий рік, дорівнює p. Страхова компанія страхує на рік життя людей цього віку.

Імовірність того, що жоден їх не помре: pn (не доведеться платити страхову премію нікому).

Імовірність того, що помре хоча б один: 1 – p n (передбачаються виплати).

Імовірність того, що вони всі помруть: (1 – p) n (найбільші виплати).

Імовірність того, що помре один: n × (1 – p) × p n-1 (якщо людей пронумерувати, то той, хто помре, може мати номер 1, 2, …, n – це n різних подій, кожне з яких має ймовірність (1 - p) × p n-1).

1. Формула повної ймовірності

Нехай події H 1 , H 2 , ... , H nзадовольняють умовам

Якщо і .

Таку сукупність називають повною групою подій.

Припустимо, що відомі ймовірності p(H i), p(A/H i). В цьому випадку застосовна формула повної ймовірності

. (1.14)

Доведення.Скористаємося тим, що H i(їх зазвичай називають гіпотезами ) попарно несумісні (отже несумісні та H i× A), та їх сума є достовірною подією

Ця схема має місце завжди, коли можна говорити про розбиття всього простору подій на кілька різнорідних областей. В економіці це – розбиття країни чи району на регіони різного розміру та різних умов, коли відома частка кожного регіону p(H i)і ймовірність (частка) якогось параметра у кожному регіоні (наприклад, відсоток безробітних – у кожному регіоні він свій) – p(A/H i). На складі може лежати продукція із трьох різних заводів, що постачають різна кількістьпродукції з різною часткою шлюбу тощо.

приклад.Лиття в болванках надходить із двох цехів до третього: 70% з першого та 30% з другого. У цьому продукція першого цеху має 10% шлюбу, а другого – 20%. Знайти ймовірність того, що одна взята навмання болванка має дефект.

Рішення: p(H 1) = 0,7; p(H 2) = 0,3; p(A/H 1) = 0,1; p(A/H 2) = 0,2;

P = 0,7 × 0.1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (у середньому 13% болванок у третьому цеху дефектні).

Математична модельможливо, наприклад, такий: є кілька урн різного складу; у першій урні n 1 куль, з яких m 1 білих, і т.д. За формулою повної ймовірності шукається ймовірність, вибравши навмання урну, дістати з неї білу кулю.

За цією ж схемою вирішуються задачі й у загальному випадку.

приклад.Повернемося наприклад з урною, що містить N куль, у тому числі n білих. Дістаємо з неї (без повернення) дві кулі. Яка ймовірність, що друга куля біла?

Рішення. H 1 – перша куля біла; p(H 1)=n/N;

H 2 - перший шар чорний; p(H 2)=(N-n)/N;

В - друга куля біла; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H 2)=n/(N-1);

Ця модель може бути застосована при вирішенні такої задачі: з N квитків студент вивчив тільки n. Що йому вигідніше – тягнути квиток найпершим чи другим? Виявляється, у будь-якому випадку він із ймовірністю n/Nвитягне гарний квиток і з ймовірністю ( N-n)/N -поганий.

приклад.Визначити ймовірність того, що мандрівник, що вийшов з пункту А, потрапить до пункту В, якщо на роздоріжжі доріг він навмання вибирає будь-яку дорогу (крім зворотної). Схема доріг вказано на рис. 1.3.

Рішення.Нехай прихід мандрівника до пунктів H 1 , H 2 , H 3 та H 4 буде відповідними гіпотезами. Очевидно, вони утворюють повну групу подій та за умовою завдання

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Всі напрямки з А для мандрівника рівноможливі). Згідно зі схемою доріг умовні ймовірності попадання в B за умови, що мандрівник пройшов через H i рівні:

Застосовуючи формулу повної ймовірності, отримаємо

1. Формула Байєса

Припустимо, що виконуються умови попереднього пункту та додатково відомо, що подія Aсталося. Знайдемо ймовірність того, що при цьому було реалізовано гіпотезу H k. За визначенням умовної ймовірності

. (1.15)

Отримане співвідношення називають формулою Байєса. Вона дозволяє за відомими
(до проведення досвіду) апріорним ймовірностям гіпотез p(H i)та умовним ймовірностям p(A|H i)визначити умовну ймовірність p(H k |A), яку називають апостеріорної (тобто отримана за умови, що в результаті досвіду подія Aвже сталося).

приклад. 30% пацієнтів, які надійшли до лікарні, належать першій соціальній групі, 20% – другій та 50% – третій. Ймовірність захворювання на туберкульоз для представника кожної соціальної групивідповідно дорівнює 0,02, 0,03 і 0,01. Проведені аналізи для випадково вибраного пацієнта показали наявність туберкульозу. Знайти ймовірність, що це представник третьої групи.

Це відношення кількості тих спостережень, при яких подія, що розглядається, настала, до загальної кількостіспостережень. Таке трактування допустиме у разі достатньо великої кількостіспостережень чи дослідів. Наприклад, якщо серед людей, що зустріли на вулиці, приблизно половина - жінки, то можна говорити, що ймовірність того, що зустрінута на вулиці людина виявиться жінкою, дорівнює 1/2. Інакше кажучи, оцінкою ймовірності події може бути частота його наступу тривалої серії незалежних повторень випадкового експерименту .

Ймовірність у математиці

У сучасному математичний підхідкласична (тобто не квантова) ймовірність задається аксіоматикою Колмогорова. Імовірністю називається міра P, яка задається на безлічі X, Називається імовірнісним простором . Цей захід повинен мати такі властивості:

Із зазначених умов випливає, що імовірнісний захід Pтакож має властивість адитивності: якщо множини A 1 та A 2 не перетинаються, то . Для підтвердження потрібно покласти все A 3 , A 4 , … рівними порожньому множині і застосувати властивість лічильної адитивності.

Імовірнісний захід може бути визначений не для всіх підмножин множини X. Достатньо визначити її на сигма-алгебри, що складається з деяких підмножин множини X. При цьому випадкові події визначаються як вимірні підмножини простору Xтобто як елементи сигма-алгебри .

Імовірність сенсі

Коли ми знаходимо, що підстави для того, щоб якийсь можливий факт стався насправді, переважують протилежні підстави, ми вважаємо цей факт ймовірним, в іншому випадку - неймовірним. Ця перевага позитивних підстав над негативними, і навпаки, може становити невизначену кількість ступенів, внаслідок чого ймовірність(і неймовірність) буває більшоюабо меншою .

Складні поодинокі фактине допускають точного обчисленняступенів своєї ймовірності, але й тут важливо встановити деякі великі підрозділи. Приміром, у сфері юридичної , коли підлягає суду особистий факт встановлюється виходячи з показань свідків, він завжди залишається, строго кажучи, лише ймовірним, і потрібно знати, наскільки ця ймовірність значна; у римському праві тут приймалося четверне поділ: probatio plena(де ймовірність практично переходить у достовірність), далі - probatio minus plena, Потім - probatio semiplena majorі наостанок, probatio semiplena minor .

Окрім питання про ймовірність справи, може виникати, як у галузі права, так і в галузі моральної (за відомої етичної точки зору) питання про те, наскільки ймовірно, що цей приватний факт є порушенням загального закону. Це питання, що є основним мотивом у релігійній юриспруденції Талмуду, викликало і в римсько-католицькому моральному богослов'ї (особливо з кінця XVIстоліття) дуже складні систематичні побудови та величезну літературу, догматичну та полемічну (див. Пробабілізм).

Поняття ймовірності допускає певний чисельний вираз у застосуванні лише до таких фактів, що входять до складу певних однорідних рядів. Так (у найпростішому прикладі), коли хтось кидає сто разів поспіль монету, ми знаходимо тут один загальний або великий ряд (сума всіх падінь монети), що складається з двох приватних або менших, у даному випадку чисельно рівних, рядів (падіння « орлом» та падіння «решкою»); Імовірність, що в цей раз монета впаде рішкою, тобто цей новий член загального ряду належатиме до цього з двох менших рядів, дорівнює дробу, що виражає чисельне відношення між цим малим рядом і великим, саме 1/2, тобто однакова ймовірність належить до того чи іншого із двох приватних рядів. менш простих прикладахвисновок може бути виведено безпосередньо з даних самої завдання, а вимагає попередньої індукції . Так, наприклад, питається: яка ймовірність існує для новонародженого дожити до 80 років? Тут має скласти загальний, або великий, ряд відомого числалюдей, народжених у подібних умовах і вмирають у різному віці(Це число має бути досить велике, щоб усунути випадкові відхилення, і досить мало, щоб зберігалася однорідність ряду, бо для людини, народженої, наприклад, у Санкт-Петербурзі в забезпеченому культурному сімействі, все мільйонне населення міста, значна частина якого складається з осіб різноманітних груп, які можуть померти раніше - солдатів, журналістів, робочих небезпечних професій, - представляє групу занадто різнорідну для визначення ймовірності); нехай цей загальний ряд складається з десяти тисяч людських життів; до нього входять менші ряди, що становлять число тих, хто доживає до того чи іншого віку; один із цих менших рядів представляє число тих, що доживають до 80 років. Але визначити чисельність цього меншого ряду (як і всіх інших) неможливо a priori; це робиться суто індуктивним шляхом, за допомогою статистики. Припустимо, статистичні дослідженнявстановили, що з 10 000 петербуржців середнього класу до 80 років доживають лише 45; таким чином, цей менший ряд відноситься до великого, як 45 до 10000, і ймовірність для даної особиналежати до цього меншого ряду, тобто дожити до 80 років, виражається дробом 0,0045. Дослідження ймовірності з математичної точкизору становить особливу дисципліну- Теорію ймовірностей.

Див. також

Примітки

Література

• Альфред Реньї. Листи про ймовірність / пров. з угор. Д.Сааса та А.Крамлі за ред. Б. В. Гнєденко. М: Світ. 1970
• Гнєденко Б. В.Курс теорії ймовірностей. М., 2007. 42 с.
• Купцов В. І.Детермінізм та ймовірність. М., 1976. 256 с.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Синоніми:

Антоніми:

Дивитись що таке "Вірогідність" в інших словниках:

Загальнонаукова та філос. категорія, що позначає кількісний рівень можливості появи масових випадкових подій за фіксованих умов спостереження, що характеризує стійкість їх відносних частот. У логіці семантичний ступінь. Філософська енциклопедія

Імовірність, число в інтервалі від нуля до одиниці включно, що представляє можливість здійснення даної події. Імовірність події визначається як відношення кількості шансів того, що подія може статися, до загальної кількості можливих… Науково-технічний енциклопедичний словник

Словник російських синонімів і подібних за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М.: Російські словники, 1999. Можливість можливість, можливість, шанс, об'єктивна можливість, маза, допустимість, ризик. Ant. неможливість… … Словник синонімів

ймовірність- Міра того, що подія може статися. Примітка Математичне визначенняймовірності: « дійсне числов інтервалі від 0 до 1, що відноситься до випадкової події». Число може відображати відносну частоту в серії спостережень. Довідник технічного перекладача

Ймовірність- «математична, числова характеристикаступеня можливості появи якоїсь події в тих чи інших певних, які можуть повторюватися необмежену кількість разів умов». Якщо виходити з цього класичного… Економіко-математичний словник

- (probability) Можливість настання якоїсь події або певного результату. Може бути представлена ​​у вигляді шкали з поділками від 0 до 1. При нульовій ймовірності події його настання неможливе. При ймовірності, що дорівнює 1, наступ … Словник бізнес-термінів