Усі значення sin. Значення тригонометричних функцій

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Насамперед нагадаю простий, але дуже корисний висновок з уроку "Що таке синус та косинус? Що таке тангенс та котангенс?"

Ось цей висновок:

Синус, косинус, тангенс та котангенс міцно пов'язані зі своїми кутами. Знаємо одне – значить, знаємо й інше.

Іншими словами, кожен кут має свій незмінний синус і косинус. І майже у кожного – свій тангенс та котангенс. Чому майже?Про це нижче.

Це знання чудово допомагає в навчанні! Існує маса завдань, де потрібно перейти від синусів до кутів і навпаки. Для цього існує таблиці синусів.Аналогічно, для завдань із косинусом - таблиці косінусів.І, як ви вже здогадалися, існує таблиця тангенсіві таблиця котангенсів.)

Таблиці бувають різні. Довгі, де можна подивитися, до чого дорівнює, скажімо, sin37°6'. Розкриваємо таблиці Брадіса, шукаємо кут тридцять сім градусів шість хвилин і бачимо значення 0,6032. Зрозуміло, запам'ятовувати це число (і тисячі інших табличних значень) зовсім не потрібно.

По суті, в наш час довгі таблиці косінусів синусів тангенсів котангенсів не надто й потрібні. Один гарний калькулятор замінює їх повністю. Але знати існування таких таблиць не заважає. Для загальної ерудиції.)

І навіщо тоді цей урок? - Запитайте ви.

А ось навіщо. Серед нескінченної кількості кутів є особливі,про які ви повинні знати всі. На цих кутах побудовано всю шкільну геометрію і тригонометрію. Це, свого роду, "таблиця множення" тригонометрії. Якщо ви не знаєте, чому дорівнює, наприклад sin50°, ніхто вас не засудить.) Але якщо ви не знаєте, чому дорівнює sin30°, будьте готові отримати заслужену двійку...

Таких особливихкутів теж пристойно набирається. Шкільні підручники зазвичай люб'язно пропонують до запам'ятовування таблицю синусів та таблицю косинусівдля сімнадцяти кутів. Ну і, зрозуміло, таблицю тангенсів та таблицю котангенсівдля тих самих сімнадцяти кутів... Тобто. пропонується запам'ятати 68 значень. Які, між іншим, дуже схожі між собою, раз у раз повторюються і змінюють знаки. Для людини без ідеальної зорової пам'яті - та ще завдання ...)

Ми підемо іншим шляхом. Замінимо механічне запам'ятовування на логіку та кмітливість. Тоді нам доведеться зазубрити 3 (три!) значення для таблиці синусів та таблиці косінусів. І 3 (три!) Значення для таблиці тангенсів та таблиці котангенсів. І все. Шість значень запам'ятати легше, ніж 68, мені здається...)

Всі інші необхідні значеннями будемо отримувати з цих шести за допомогою потужної законної шпаргалки - Тригонометричного кола. Якщо ви не вивчали цю тему, сходіть за посиланням, не лінуйтеся. Це коло не тільки для цього уроку потрібне. Він незамінний для всієї тригонометрії відразу. Чи не користуватися таким інструментом просто гріх! Не хочете? Справа ваша. Завчайте таблиці синусів. Таблицю косінусів. Таблиця тангенсів. Таблиця котангенсів.Усі 68 значень для різноманітних кутів.)

Тож почнемо. Для початку розіб'ємо всі ці спеціальні кути на три групи.

Перша група кутів.

Розглянемо першу групу кутів із сімнадцяти особливих. Це 5 кутів: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °.

Ось так виглядає таблиця синусів косинусів тангенсів котангенсів для цих кутів:

Кут х (у градусах)	0	90	180	270	360
Кут х (У радіанах)	0
sin x	0	1	0	-1	0
cos x	1	0	-1	0	1
tg x	0	не сущ.	0	не сущ.	0
ctg x	не сущ.	0	не сущ.	0	не сущ.

Охочі запам'ятати - запам'ятовуйте. Але одразу скажу, що всі ці одиниці та нулики дуже плутаються в голові. Набагато сильніше, ніж хочеться.) Тому включаємо логіку та тригонометричне коло.

Малюємо коло і відзначаємо на ньому ці самі кути: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Я ці кути відзначив червоними крапками:

Відразу видно, у чому особливість цих кутів. Так! Це кути, які потрапляють точно на осі координат!Власне, тому і плутається народ... Але ми плутатися не будемо. Розберемося, як шукати тригонометричні функції цих кутів без особливого запам'ятовування.

До речі, положення кута 0 градусів повністю збігаєтьсяз положенням кута 360 градусів. Це означає, що синуси, косинуси, тангенси цих кутів абсолютно однакові. Кут 360 градусів я відзначив, щоб замкнути коло.

Припустимо, у складній стресовій обстановці ЄДІ ви якось засумнівалися. дорівнює синус 0 градусів? Наче нуль... А раптом одиниця?! Механічне запам'ятовування така штука. У суворих умовах сумніви є починають...)

Спокій, тільки спокій!) Я підкажу вам практичний прийом, який видасть повністю правильну відповідь і повністю прибере всі сумніви.

Як приклад розберемося, як чітко та надійно визначити, скажімо, синус 0 градусів. А заразом, і косинус 0. Саме в цих значеннях, як не дивно, часто люди плутаються.

Для цього на колі намалюємо довільнийкут х. У першій чверті щоб недалеко від 0 градусів було. Відзначимо на осях синус та косинус цього кута х,все чин-чинарем. Ось так:

А тепер – увага! Зменшимо кут х, наблизимо рухомий бік до осі ОХ. Наведіть курсор на зображення (або торкніться зображення на планшеті) і все побачите.

Тепер включаємо елементарну логіку!Дивимося та розмірковуємо: як поводиться sinx при зменшенні кута х? При наближенні кута до нуля?Він зменшується! А cosx – збільшується!Залишається збагнути, що станеться з синусом, коли кут зникне зовсім? Коли рухома сторона кута (точка А) уляжеться на вісь ОХ і кут стане рівним нулю? Очевидно, і синус кута піде в нуль. А косинус збільшиться до... до... Чому дорівнює довжина рухомого боку кута (радіус тригонометричного кола)? Одиниці!

Ось і відповідь. Синус 0 градусів дорівнює 0. Косинус 0 градусів дорівнює 1. Цілком залізно і без жодних сумнівів!) Просто тому, що інакше бути не може.

Абсолютно аналогічно можна дізнатися (або уточнити) синус 270 градусів, наприклад. Або косинус 180. Намалювати коло, довільнийкут в чверті поряд з віссю координат, що цікавить нас, подумки спонукати бік кута і вловити, чим стане синус і косинус, коли сторона кута вляжеться на вісь. От і все.

Як бачите, для цієї групи кутів нічого заучувати не треба. Не потрібна тут таблиця синусів...Та й таблиця косінусів- теж.) До речі, після кількох застосувань тригонометричного кола всі ці значення запам'ятаються самі собою. А якщо забудуться – намалював за 5 секунд коло та уточнив. Куди простіше, ніж дзвонити другові з туалету з ризиком для атестату, правда?)

Що стосується тангенсу і котангенсу - все те саме. Малюємо на колі лінію тангенсу (котангенсу) – і все відразу видно. Де вони дорівнюють нулю, а де - не існують. Що, не знаєте про лінії тангенсу та котангенсу? Це сумно, але можна виправити.) Відвідали Розділ 555 Тангенс і котангенс на тригонометричному колі - і немає проблем!

Якщо ви зрозуміли, як чітко визначити синус, косинус, тангенс та котангенс для цих п'яти кутів – я вас вітаю! Про всяк випадок повідомляю, що ви тепер можете визначати функції будь-яких кутів, що потрапляють на осі.А це і 450 °, і 540 °, і 1800 °, і ще нескінченна кількість ...) Відрахував (правильно!) Кут на колі - і немає проблем з функціями.

Але саме з відрахуванням кутів і трапляються проблеми та помилки... Як їх уникнути, написано в уроці: Як намалювати (відрахувати) будь-який кут на тригонометричному колі в градусах. Елементарно, але дуже допомагає у боротьбі з помилками.)

А ось урок: Як намалювати (відрахувати) будь-який кут на тригонометричному колі в радіанах – крутіше буде. У сенсі можливостей. Скажімо, визначити, на яку з чотирьох півосей потрапляє кут

ви зможете за кілька секунд. Я не шуткую! Саме за кілька секунд. Ну, звичайно, не тільки 345 "пі"...) І 121, і 16, і -1345. Будь-який цілий коефіцієнт підходить для миттєвої відповіді.

А якщо кут

Подумаєш! Вірна відповідь виходить секунд за 10. Для будь-кого дробового значеннярадіанів із двійкою у знаменнику.

Власне, цим і добрий тригонометричне коло. Тим, що вміння працювати з деякимикутами він автоматично розширює на нескінченна безліч кутів.

Отже, з п'ятьма кутами із сімнадцяти – розібралися.

Друга група кутів.

Наступна групакутів - це кути 30 °, 45 ° і 60 °. Чому саме ці, а не, наприклад, 20, 50 та 80? Так якось склалося так... Історично.) Далі буде видно, чим гарні ці кути.

Таблиця синусів косинусів тангенсів котангенсів для цих кутів виглядає так:

Кут х (у градусах)	0	30	45	60	90
Кут х (У радіанах)	0
sin x	0				1
cos x	1				0
tg x	0		1		не сущ.
ctg x	не сущ.		1		0

Я залишив значення для 0° та 90° з попередньої таблиці для завершеності картини.) Щоб було видно, що ці кути лежать у першій чверті та зростають. Від 0 до 90. Це стане нам у нагоді далі.

Значення таблиці для кутів 30°, 45° та 60° слід запам'ятати. Зазубрити, якщо хочете. Але і тут є можливість полегшити собі життя. Зверніть увагу на значення таблиці синусівцих кутів. І порівняйте зі значеннями таблиці косінусів...

Так! Вони одні й ті ж!Тільки розташовані в зворотному порядку. Кути зростають (0, 30, 45, 60, 90) - та значення синуса зростаютьвід 0 до 1. Ви можете переконатися з калькулятором. А значення косинуса - спадаютьвід 1 до нуля. Причому самі значення одні й ті ж.Для кутів 20, 50, 80 так би не вийшло...

Звідси корисний висновок. Достатньо вивчити тризначення для кутів 30, 45, 60 градусів. І пам'ятати, що у синуса вони зростають, а у косинуса – зменшуються. Назустріч синусу.) На половині шляху (45 °) вони зустрічаються, тобто синус 45 градусів дорівнює косінус 45 градусів. А далі знову розходяться... Три значення можна вивчити, правда?

З тангенсами - котангенсами картина виключно та сама. Один в один. Лише значення інші. Ці значення (ще три!) теж треба вивчити.

Ну ось, практично все запам'ятовування закінчилося. Ви зрозуміли (сподіваюся), як визначати значення для п'яти кутів на осі і вивчили значення для кутів 30, 45, 60 градусів. Усього 8.

Залишилося розібратися з останньою групою із 9 кутів.

Ось ці кути:
120 °; 135 °; 150 °; 210 °; 225 °; 240 °; 300 °; 315 °; 330 °. Для цих кутів треба залізно знати таблицю синусів, таблицю косінусів тощо.

Кошмар, правда?)

А якщо додати сюди кути, типу: 405 °, 600 °, або 3000 ° і багато-багато такого ж красивого?)

Чи кути у радіанах? Наприклад, про кути:

і багато інших, ви повинні знати всі.

Найцікавіше, що знати це всі - неможливо у принципі.Якщо використати механічну пам'ять.

І дуже легко, фактично елементарно – якщо використовувати тригонометричне коло. Якщо ви освоїте практичну роботу з тригонометричним колом, всі ці жахливі кути в градусах будуть легко і елегантно зводитися до старих добрих:

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Поняття синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () нерозривно пов'язані з поняттям кута. Щоб добре розібратися в цих, на перший погляд, складних поняттях (які викликають у багатьох школярів стан жаху), і переконатися, що «не такий страшний чорт, як його малюють», почнемо від початку і розберемося в понятті кута.

Поняття кута: радіан, градус

Давай подивимося малюнку. Вектор "повернувся" щодо точки на певну величину. Так ось мірою цього повороту щодо початкового положення і виступатиме кут.

Що ще необхідно знати про поняття кута? Ну, звичайно ж, одиниці виміру кута!

Кут, як і геометрії, і у тригонометрії, може вимірюватися у градусах і радіанах.

Кутом в (один градус) називають центральний кутв колі, що спирається на кругову дугу, що дорівнює частині кола. Таким чином, все коло складається з «шматочків» кругових дуг, або кут, що описується колом, дорівнює.

Тобто малюнку вище зображений кут, рівний, тобто цей кут спирається на кругову дугу розміром довжини кола.

Кутом у радіан називають центральний кут в колі, що спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. Ну що, розібрався? Якщо ні, то давай розумітися на малюнку.

Отже, на малюнку зображено кут, рівний радіану, тобто цей кут спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (довжина дорівнює довжині або радіус дорівнює довжинідуги). Таким чином, довжина дуги обчислюється за такою формулою:

Де – центральний кут у радіанах.

Ну що, можеш, знаючи це, відповісти, скільки радіан містить кут, який описує коло? Так, для цього треба згадати формулу довжини кола. Ось вона:

Ну ось, тепер співвіднесемо ці дві формули і отримаємо, що кут, що описується коло дорівнює. Тобто, співвіднісши величину у градусах та радіанах, отримуємо, що. Відповідно, . Як можна побачити, на відміну «градусів», слово «радіан» опускається, оскільки одиниця виміру зазвичай зрозуміла з контексту.

А скільки радіан складають? Все вірно!

Вловив? Тоді вперед закріплювати:

Виникли проблеми? Тоді дивись відповіді:

Прямокутний трикутник: синус, косинус, тангенс, котангенс кута

Отже, з поняттям кута розібралися. А що ж таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута? Давай розбиратись. Для цього нам допоможе прямокутний трикутник.

Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти прямого кута (у прикладі це сторона); катети - це дві сторони, що залишилися і (ті, що прилягають до прямому куту), причому, якщо розглядати катети щодо кута, то катет – це прилеглий катет, а катет – протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?

Синус кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Косинус кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

У нашому трикутнику.

Тангенс кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).

У нашому трикутнику.

Котангенс кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).

У нашому трикутнику.

Ці визначення необхідні запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенсеі котангенсісидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусіі косинус. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:

Косинус→торкатися→доторкнутися→прилежний;

Котангенс→торкатися→доторкнутися→прилежний.

Насамперед, необхідно запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:

Розглянемо, наприклад, косинус кута. За визначенням, з трикутника: , але ми можемо обчислити косинус кута і з трикутника: . Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.

Якщо розібрався у визначеннях, то вперед закріплюйте їх!

Для трикутника, зображеного нижче малюнку, знайдемо.

Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута.

Одиничне (тригонометричне) коло

Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з рівним радіусом. Таке коло називається одиничною. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.

Як можна помітити, дане коло побудовано в декартовій системікоординат. Радіус кола дорівнює одиниціПри цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (у нашому прикладі це радіус).

Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі та координата по осі. А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, оскільки є перпендикуляром до осі.

Чому дорівнює трикутнику? Все вірно. Крім того, нам відомо, що - це радіус одиничного кола, а значить, . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:

А чому дорівнює трикутнику? Ну звичайно, ! Підставимо значення радіуса в цю формулу та отримаємо:

Так, а можеш сказати, які координати має точка, що належить колу? Ну що, аж ніяк? А якщо збагнути, що й – це просто числа? Який координаті відповідає? Ну, звісно, ​​координати! А якій координаті відповідає? Все правильно, координаті! Таким чином, точка.

А чому тоді рівні? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу і отримаємо, що, а.

А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому рисунку:

Що ж змінилося в даному прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник: кут (як прилеглий до кута). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:

Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті; значення косинуса кута – координаті; а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення можна застосовувати до будь-яких поворотів радіус-вектора.

Вже згадувалося, що початкове становище радіус-вектора - вздовж позитивного спрямування осі. Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.

Отже, ми знаємо, що цілий оберт радіус-вектора по колу становить або. А чи можна повернути радіус-вектор на чи на? Ну звісно, ​​можна! У першому випадку, таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні.

У другому випадку, тобто радіус-вектор зробить три повні обороти і зупиниться в положенні або.

Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на або (де - будь-яке ціле число), відповідають одному положенню радіус-вектора.

Нижче на малюнку зображено кут. Це зображення відповідає куту тощо. Цей список можна продовжити до безкінечності. Всі ці кути можна записати загальною формулою або (де – будь-яке ціле число)

Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:

Ось тобі на допомогу одиничне коло:

Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:

Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку відповідає точка з координатами, отже:

Не існує;

Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам відповідають точки з координатами, відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.

Відповіді:

Не існує

Не існує

Не існує

Не існує

Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:

Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:

А ось значення тригонометричних функцій кутів і, наведених нижче в таблиці, необхідно запам'ятати:

Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовуваннявідповідних значень:

Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута (), а також значення тангенсу кута. Знаючи ці значення, досить просто відновити всю таблицю цілком - значення косинуса переносяться відповідно до стрілочок, тобто:

Знаючи це можна відновити значення. Чисельник « » буде відповідати, а знаменник « » відповідає. Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити і запам'ятати схему зі стрілочками, достатньо пам'ятати всього значення з таблиці.

Координати точки на колі

А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту?

Ну, звісно, ​​можна! Давай виведемо загальну формулудля знаходження координат точки.

Ось, наприклад, перед нами таке коло:

Нам дано, що точка – центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, одержаної поворотом точки на градусів.

Як очевидно з малюнка, координаті точки відповідає довжина відрізка. Довжина відрізка відповідає координаті центру кола, тобто дорівнює. Довжину відрізка можна виразити, використовуючи визначення косинуса:

Тоді маємо, що для точки координат.

За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки. Таким чином,

Отже, у загальному виглядікоординати точок визначаються за формулами:

Координати центру кола,

Радіус кола,

Кут повороту вектор радіуса.

Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, оскільки координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:

Ну що, спробуємо ці формули на смак, повправляючись у знаходженні крапок на колі?

1. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

2. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

3. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.

4. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

5. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.

Виникли проблеми у знаходженні координот точки на колі?

Розв'яжи ці п'ять прикладів (або добре розберись у рішенні) і ти навчишся їх знаходити!

1.

Можна зауважити, що. Адже ми знаємо, що відповідає повному обороту початкової точки. Таким чином, шукана точкабуде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:

2. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:

Можна зауважити, що. Ми знаємо, що відповідає двом повним оборотампочаткової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:

Синус та косинус - це табличні значення. Згадуємо їх значення та отримуємо:

Таким чином, потрібна точка має координати.

3. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:

Можна зауважити, що. Зобразимо приклад на малюнку:

Радіус утворює з віссю кути, рівні та. Знаючи, що табличні значення косинуса та синуса рівні, і визначивши, що косинус тут набуває негативного значення, а синус позитивне, маємо:

Детальніше подібні прикладирозбираються щодо формул приведення тригонометричних функцій у темі .

Таким чином, потрібна точка має координати.

4.

Кут повороту радіуса вектора (за умовою)

Для визначення відповідних знаків синуса та косинуса побудуємо одиничне коло та кут:

Як можна побачити, значення, тобто позитивно, а значення, тобто – негативно. Знаючи табличні значення відповідних тригонометричних функцій, отримуємо, що:

Підставимо отримані значення в нашу формулу і знайдемо координати:

Таким чином, потрібна точка має координати.

5. Для вирішення цього завдання скористаємося формулами у загальному вигляді, де

Координати центру кола (у нашому прикладі,

Радіус кола (за умовою,)

Кут повороту векторного радіуса (за умовою,).

Підставимо всі значення у формулу та отримаємо:

та - табличні значення. Згадуємо та підставляємо їх у формулу:

Таким чином, потрібна точка має координати.

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Синус кута - це відношення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.

Косинус кута - це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.

Тангенс кута - це відношення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).

Котангенс кута - це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (далекого).

ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Таблиця значень тригонометричних функцій складена для кутів 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 і 360 градусів і відповідних їм значень кутів врадіанах. З тригонометричних функцій у таблиці наведено синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс та косеканс. Для зручності розв'язання шкільних прикладівЗначення тригонометричних функцій у таблиці записані у вигляді дробу із збереженням знаків вилучення кореня квадратного із чисел, що дуже часто допомагає скорочувати складні математичні вирази. Для тангенсу та котангенсу значення деяких кутів не можуть бути визначені. Для значень тангенсу та котангенсу таких кутів у таблиці значень тригонометричних функцій стоїть прочерк. Вважають, що тангенс і котангенс таких кутів дорівнює нескінченності. На окремій сторінці є формули приведення тригонометричних функцій.

У таблиці значень для тригонометричної функції синус наведено значення для наступних кутів: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 градусною міроющо відповідає sin 0 пі, sin пі/6, sin пі/4, sin пі/3, sin пі/2, sin пі, sin 3 пі/2, sin 2 пі в радіанній мірі кутів. Шкільна таблицясинусів.

Для тригонометричної функції косинус у таблиці наведено значення для наступних кутів: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 у градусній мірі, що відповідає cos 0 пи, cos пи на 6, cos пі на 4, cos пі на 3, cos пі на 2, cos пі, cos 3 пі на 2, cos 2 пі в радіанній мірі кутів. Шкільна таблиця косінусів.

Тригонометрична таблиця для тригонометричної функції тангенс наводить значення для наступних кутів: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 у градусній мірі, що відповідає tg 0 пі, tg пі/6, tg пі/ пі/3, tg пі, tg 2 пі в радіанній мірі кутів. Наступні значеннятригонометричних функцій тангенсу не визначені tg 90, tg 270, tg пі/2, tg 3 пі/2 і вважаються рівними нескінченності.

Для тригонометричної функції котангенс у тригонометричній таблиці наведено значення наступних кутів: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 у градусній мірі, що відповідає ctg пі/6, ctg пі/4, ctg пі/3, tg пі 2, tg 3 пі/2 радіальною мірою кутів. Наступні значення тригонометричних функцій котангенсу не визначені ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пі, ctg пі, ctg 2 пі і вважаються рівними нескінченності.

Значення тригонометричних функцій секанс та косеканс наведені для таких самих кутів у градусах та радіанах, що й синус, косинус, тангенс, котангенс.

У таблиці значень тригонометричних функцій нестандартних кутів наводяться значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кутів у градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусів та в радіанах пі/12, пі/10, пі/ 8, пі/5, 3пі/8, 2пі/5 радіан. Значення тригонометричних функцій виражені через дроби і квадратні коріння для спрощення скорочення дробів у шкільних прикладах.

Ще три монстри тригонометрії. Перший - це тангенс 1,5 півтора градусів або розділене на 120. Другий - косинус розділене на 240, пі/240. Найдовший - косинус поділений на 17, пі/17.

Тригонометричне коло значень функцій синус і косинус наочно представляє знаки синуса та косинуса залежно від величини кута. Спеціально для блондинок значення косинуса підкреслені зелененькою рисочкою, щоб менше плутатися. Також дуже наочно представлений переведення градусів у радіани, коли радіани виражені через пі.

Ця тригонометрична таблиця представляє значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кутів від 0 нуля до 90 дев'яносто градусів з інтервалом через один градус. Для перших сорока п'яти градусів назви тригонометричних функцій потрібно дивитися у верхній частині таблиці. У першому стовпці вказані градуси, значення синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів записані в чотирьох стовпцях.

Для кутів від сорока п'яти до дев'яносто градусів назви тригонометричних функцій записані в нижній частині таблиці. В останньому стовпці вказані градуси, значення косінусів, синусів, котангенсів та тангенсів записані у попередніх чотирьох стовпцях. Слід бути уважними, оскільки у нижній частині тригонометричної таблиці назви тригонометричних функцій відрізняються від назв у верхній частині таблиці. Синуси і косинуси змінюються місцями, так само, як тангенс і котангенс. Це з симетричністю значень тригонометричних функцій.

Знаки тригонометричних функцій представлені малюнку вище. Синус має позитивні значення від 0 до 180 градусів або від 0 до пі. Від'ємні значеннясинус має від 180 до 360 градусів або від пі до 2 пі. Значення косинуса позитивні від 0 до 90 і від 270 до 360 градусів або від 0 до 1/2 пі та від 3/2 до 2 пі. Тангенс і котангенс мають позитивні значення від 0 до 90 градусів та від 180 до 270 градусів, що відповідає значенням від 0 до 1/2 пі та від пі до 3/2 пі. Негативні значення тангенс і котангенс мають від 90 до 180 градусів і від 270 до 360 градусів або від 1/2 до пі і від 3/2 до 2 пі. При визначенні знаків тригонометричних функцій для кутів більше 360 градусів або 2 пі слід використовувати властивості періодичності цих функцій.

Тригонометричні функції синус, тангенс та котангенс є непарними функціями. Значення цих функцій негативних кутів будуть негативними. Косинус є парною тригонометричною функцією - значення косинуса для негативного кутабуде позитивним. При множенні та розподілі тригонометричних функцій необхідно дотримуватися правил знаків.

1. У таблиці значень для тригонометричної функції синус наведено значення для наступних кутів

   Документ

   Окремою сторінкою є формули приведення тригонометричнихфункцій. У таблицізначеньдлятригонометричноїфункціїсинуснаведенозначеннядлянаступнихкутів: sin 0, sin 30, sin 45 ...

2. Пропонований математичний апарат є повним аналогом комплексного обчислення для n-вимірних гіперкомплексних чисел з будь-яким числом ступенів свободи n і призначений для математичного моделювання нелінійних

   Документ

   ... функціїодно функціїзображення. З цієї теореми слід, що длязнаходження координат U, V достатньо обчислити функцію... геометрії; полінарні функції(багатомірні аналоги двовимірних тригонометричнихфункцій), їх властивості, таблиціта застосування; ...

3. У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:

   Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.

   Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, прийти до спільної думки про сутність парадоксів науковій спільнотіпоки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.

   З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає, як уповільнення часу до його повної зупинкиу момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.

   Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахіллес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".

   Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницяхвимірювання часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:

   За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.

   Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне рішенняпроблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.

   Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.

   Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.

   У цій апорії логічний парадоксдолається дуже просто - достатньо уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точокпростору в один момент часу, але за ними не можна визначити факт руху (звісно, ​​ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагуТак це на те, що дві точки в часі і дві точки в просторі - це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.

   середа, 4 липня 2018 р.

   Дуже добре відмінності між безліччю та мультимножиною описані у Вікіпедії. Дивимося.

   Як бачите, "у множині не може бути двох ідентичних елементів", але якщо ідентичні елементи у множині є, така множина називається "мультимножина". Подібну логіку абсурду розумним істотам не зрозуміти ніколи. Це рівень папуг, що говорять, і дресованих мавп, у яких розум відсутній від слова "зовсім". Математики виступають у ролі звичайних дресирувальників, проповідуючи нам свої абсурдні ідеї.

   Колись інженери, які збудували міст, під час випробувань мосту перебували у човні під мостом. Якщо міст обрушувався, бездарний інженер гинув під уламками свого творіння. Якщо міст витримував навантаження, талановитий інженер будував інші мости.

   Як би математики не ховалися за фразою "чур, я в будиночку", точніше "математика вивчає абстрактні поняттяЄ одна пуповина, яка нерозривно пов'язує їх з реальністю. Цією пуповиною є гроші. математичну теоріюмножин до самих математиків.

   Ми дуже добре вчили математику і зараз сидимо у касі, видаємо зарплатню. Ось приходить до нас математик по свої гроші. Відраховуємо йому всю суму та розкладаємо у себе на столі на різні стопки, в які складаємо купюри однієї гідності. Потім беремо з кожної стопки по одній купюрі та вручаємо математику його "математичну безліч зарплати". Пояснюємо математику, що решта купюр він отримає тільки тоді, коли доведе, що безліч без однакових елементів не дорівнює безлічі з однаковими елементами. Ось тут почнеться найцікавіше.

   Насамперед спрацює логіка депутатів: "до інших це застосовувати можна, до мене - низьзя!". Далі почнуться запевнення нас у тому, що на купюрах однакової гідності є різні номери купюр, а отже, їх не можна вважати однаковими елементами. Добре, відраховуємо зарплату монетами – на монетах немає номерів. Тут математик почне судомно згадувати фізику: на різних монетах є різна кількістьбруду, кристалічна структурата розташування атомів у кожної монети унікально...

   А тепер у мене самий цікаве питання: де проходить та грань, за якою елементи мультимножини перетворюються на елементи множини і навпаки? Такої межі не існує – все вирішують шамани, наука тут і близько не валялася.

   Ось дивіться. Ми відбираємо футбольні стадіони з однаковою площеюполя. Площа полів однакова – значить у нас вийшло мультимножина. Але якщо розглядати назви цих стадіонів - у нас виходить безліч, адже назви різні. Як бачите, той самий набір елементів одночасно є і безліччю, і мультимножиною. Як правильно? А ось тут математик-шаман-шуллер дістає з рукава козирний туз і починає нам розповідати або про множину, або про мультимножину. У будь-якому разі він переконає нас у своїй правоті.

   Щоб зрозуміти, як сучасні шамани оперують теорією множин, прив'язуючи її до реальності, достатньо відповісти на одне питання: чим елементи однієї множини відрізняються від елементів іншої множини? Я вам покажу, без усяких "мислиме як єдине ціле" чи "не мислиме як єдине ціле".

   неділя, 18 березня 2018 р.

   Сума цифр числа - це танець шаманів з бубном, який до математики жодного стосунку не має. Так, на уроках математики нас вчать знаходити суму цифр числа та користуватися нею, але на те вони й шамани, щоб навчати нащадків своїм навичкам та премудростям, інакше шамани просто вимруть.

   Вам потрібні докази? Відкрийте Вікіпедію та спробуйте знайти сторінку "Сума цифр числа". Її немає. Немає в математиці формули, якою можна знайти суму цифр будь-якого числа. Адже цифри – це графічні символи, За допомогою яких ми записуємо числа і мовою математики завдання звучить так: "Знайти суму графічних символів, що зображують будь-яке число". Математики це завдання вирішити що неспроможні, тоді як шамани - елементарно.

   Давайте розберемося, що як ми робимо у тому, щоб знайти суму цифр заданого числа. Тож нехай у нас є число 12345. Що потрібно зробити для того, щоб знайти суму цифр цього числа? Розглянемо всі кроки по порядку.

   1. Записуємо число на папірці. Що ми зробили? Ми перетворили число на графічний символ числа. Це не математична дія.

   2. Розрізаємо одну отриману картинку на кілька картинок, що містять окремі цифри. Розрізання картинки - це математична дія.

   3. Перетворюємо окремі графічні символи на числа. Це не математична дія.

   4. Складаємо отримані числа. Це вже математика.

   Сума цифр числа 12345 дорівнює 15. Ось такі ось "курси крою та шиття" від шаманів застосовують математики. Але це ще не все.

   З погляду математики немає значення, у якій системі числення ми записуємо число. Так ось, у різних системахобчислення сума цифр однієї й тієї числа буде різною. У математиці система числення вказується як нижнього індексу праворуч від числа. З більшим числом 12345 я не хочу голову морочити, розглянемо число 26 зі статті про . Запишемо це число у двійковій, вісімковій, десятковій та шістнадцятковій системах числення. Ми не розглядатимемо кожен крок під мікроскопом, це ми вже зробили. Подивимося результат.

   Як бачите, у різних системах числення сума цифр одного й того ж числа виходить різною. Подібний результат до математики жодного стосунку не має. Це все одно, що при визначенні площі прямокутника в метрах і сантиметрах ви отримували б різні результати.

   Нуль у всіх системах числення виглядає однаково і суми цифр немає. Це ще один аргумент на користь того, що . Питання математикам: як у математиці позначається те, що є числом? Що для математиків нічого, крім чисел, не існує? Для шаманів я можу таке припустити, але для вчених – ні. Реальність складається не лише з чисел.

   Отриманий результат слід як доказ те, що системи числення є одиницями виміру чисел. Адже ми не можемо порівнювати числа з різними одиницями виміру. Якщо одні й самі дії з різними одиницями виміру однієї й тієї величини призводять до різних результатів після їх порівняння, це має нічого спільного з математикою.

   Що таке справжня математика? Це коли результат математичної дії не залежить від величини числа, що застосовується одиниці виміру і від того, хто цю дію виконує.
   

   Табличка на дверях Відчиняє двері і каже:

   Ой! А це хіба не жіночий туалет?
   - Дівчино! Це лабораторія з вивчення індефільної святості душ під час вознесіння на небеса! Німб зверху і стрілка вгору. Який ще туалет?

   Жіночий... Німб зверху та стрілочка вниз – це чоловічий.

   Якщо у вас перед очима кілька разів на день мелькає ось такий витвір дизайнерського мистецтва,

   Тоді не дивно, що у своєму автомобілі ви раптом виявляєте дивний значок:

   Особисто я роблю над собою зусилля, щоб в людині, яка кавала (одна картинка), побачити мінус чотири градуси (композиція з декількох картинок: знак мінус, цифра чотири, позначення градусів). І я не вважаю цю дівчину дурою, не знає фізику. Просто вона має дугою стереотип сприйняття графічних образів. І математики нас цього постійно навчають. Ось приклад.

   1А - це не "мінус чотири градуси" або "один а". Це "какая людина" або число "двадцять шість" у шістнадцятковій системі числення. Ті люди, які постійно працюють у цій системі числення, автоматично сприймають цифру та букву як один графічний символ.

   Тригонометрія, як наука, зародилася на Стародавньому Сході. Перші тригонометричні співвідношення були виведені астрономами для створення точного календаря та орієнтування за зірками. Дані обчислення належали до сферичної тригонометрії, у той час як у шкільному курсівивчають співвідношення сторін та кута плоского трикутника.

   Тригонометрія – це розділ математики, що займається властивостями тригонометричних функцій та залежністю між сторонами та кутами трикутників.

   У період розквіту культури та науки I тисячоліття нашої ери знання поширилися з Стародавнього Сходув Грецію. Але основні відкриття тригонометрії – заслуга чоловіків арабського халіфату. Зокрема, туркменський учений аль-Маразві ввів такі функції, як тангенс та котангенс, склав перші таблиці значень для синусів, тангенсів та котангенсів. Поняття синуса та косинуса введено індійськими вченими. Тригонометрії присвячено чимало уваги у працях таких великих діячів давнини, як Евкліда, Архімеда та Ератосфена.

   Основні величини тригонометрії

   Основні тригонометричні функції числового аргументу– це синус, косинус, тангенс та котангенс. Кожна з них має свій графік: синусоїда, косінусоїда, тангенсоїда та котангенсоїда.

   У основі формул до розрахунку значень зазначених величин лежить теорема Піфагора. Школярам вона більше відома у формулюванні: «Піфагорові штани, на всі боки рівні», оскільки доказ наводиться на прикладі рівнобедреного прямокутного трикутника.

   Синус, косинус та інші залежності встановлюють зв'язок між гострими кутамита сторонами будь-якого прямокутного трикутника. Наведемо формули для розрахунку цих величин для кута A і простежимо взаємозв'язки тригонометричних функцій:

   

   Як видно, tg і ctg є зворотними функціями. Якщо уявити катет a як твір sin A та гіпотенузи с, а катет b у вигляді cos A * c, то отримаємо наступні формули для тангенсу та котангенсу:

   

   Тригонометричне коло

   Графічно співвідношення згаданих величин можна так:

   

   Коло, в даному випадку, являє собою всі можливі значення кута - від 0° до 360°. Як видно з малюнка, кожна функція приймає негативне або позитивне значеннязалежно від величини кута. Наприклад, sin α буде зі знаком «+», якщо α належить І і ІІ чверті кола, тобто знаходиться у проміжку від 0° до 180°. При від 180° до 360° (III і IV чверті) sin α може бути тільки негативним значенням.

   Спробуємо побудувати тригонометричні таблиці для конкретних кутів та дізнатися значення величин.

   

   Значення α рівні 30°, 45°, 60°, 90°, 180° тощо – називають окремими випадками. Значення тригонометричних функцій їм прораховані і представлені у вигляді спеціальних таблиць.

   

   Ці кути обрані зовсім не випадково. Позначення π у таблицях стоїть для радіан. Радий - це кут, при якому довжина дуги кола відповідає її радіусу. Ця величинабула введена для того, щоб встановити універсальну залежність, при розрахунках у радіанах не має значення дійсна довжина радіусу див.

   

   Кути в таблицях для тригонометричних функцій відповідають значенням радіан:

   

   Отже, не важко здогадатися, що 2π - це повне коло або 360 °.

   Властивості тригонометричних функцій: синус та косинус

   Для того, щоб розглянути та порівняти основні властивості синуса та косинуса, тангенсу та котангенсу, необхідно накреслити їх функції. Зробити це можна у вигляді кривої, розташованої у двовимірній системі координат.

   Розглянь порівняльну таблицювластивостей для синусоїди та косинусоїди:

   

   Синусоїда	Косинусоїда
   y = sin x	y = cos x
   ОДЗ [-1; 1]	ОДЗ [-1; 1]
   sin x = 0, при x = πk, де k ϵ Z	cos x = 0 при x = π/2 + πk, де k ϵ Z
   sin x = 1, за x = π/2 + 2πk, де k ϵ Z	cos x = 1 при x = 2πk, де k ϵ Z
   sin x = - 1 при x = 3π/2 + 2πk, де k ϵ Z	cos x = - 1 при x = π + 2πk, де k ϵ Z
   sin (-x) = - sin x, тобто функція непарна	cos (-x) = cos x, тобто функція парна
   	функція періодична, найменший період - 2π
   sin x › 0, при x належить I і II чвертям або від 0° до 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, при x належить I і IV чвертям або від 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
   sin x ‹ 0, при x належить III і IV чвертям або від 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, при x належить II і III чвертям або від 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
   зростає на проміжку [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	зростає на проміжку [-π + 2πk, 2πk]
   зменшується на проміжках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	зменшується на проміжках
   похідна (sin x)’ = cos x	похідна (cos x)' = - sin x

   Визначити чи є функція парною чи ні дуже просто. Достатньо уявити тригонометричний круг зі знаками тригонометричних величин і подумки «скласти» графік щодо осі OX. Якщо знаки збігаються, функція парна, інакше непарна.

   

   Введення радіан та перерахування основних властивостейсинусоїди та косінусоїди дозволяють навести наступну закономірність:

   

   Переконатись у вірності формули дуже просто. Наприклад, для x = π/2 синус дорівнює 1, як і косинус x = 0. Перевірку можна здійснити до таблиць або простеживши криві функцій для заданих значень.

   Властивості тангенсоїди та котангенсоїди

   Графіки функцій тангенсу та котангенсу значно відрізняються від синусоїди та косинусоїди. Величини tg та ctg є зворотними один одному.

   

   

   1. Y = tg x.
   2. Тангенсоіда прагне значень y при x = π/2 + πk, але ніколи не досягає їх.
   3. Найменший позитивний періодтангенсоіди дорівнює π.
   4. Tg (-x) = - tg x, тобто функція непарна.
   5. Tg x = 0 при x = πk.
   6. Функція є зростаючою.
   7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
   8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
   9. Похідна (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

   Розглянемо графічне зображеннякотангенсоіди нижче за текстом.

   

   Основні властивості котангенсоіди:

   1. Y = ctg x.
   2. На відміну від функцій синуса і косинуса, в тангенсоіді Y може набувати значення безлічі всіх дійсних чисел.
   3. Котангенсоіда прагне значень y при x = πk, але ніколи не досягає їх.
   4. Найменший позитивний період котангенсоіди дорівнює π.
   5. Ctg (-x) = - ctg x, тобто функція непарна.
   6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
   7. Функція є спадною.
   8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
   9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
   10. Похідна (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Виправити