Làm thế nào để xác định một phương trình tuyến tính. Dạng tổng quát của bất phương trình kép

Hệ phương trình được sử dụng rộng rãi trong ngành kinh tế Tại mô hình toán học quy trình khác nhau. Ví dụ, khi giải bài toán về quản lý và lập kế hoạch sản xuất, các tuyến đường hậu cần ( nhiệm vụ vận chuyển) hoặc bố trí thiết bị.

Các hệ phương trình không chỉ được sử dụng trong lĩnh vực toán học mà còn trong vật lý, hóa học và sinh học khi giải các bài toán tìm quy mô dân số.

hệ thống Các phương trình tuyến tínhđặt tên cho hai hoặc nhiều phương trình có nhiều biến cần tìm nghiệm chung. Một dãy số như vậy mà mọi đẳng thức trở thành đẳng thức đúng hoặc chứng minh rằng dãy số đó không tồn tại.

Phương trình đường thẳng

Các phương trình dạng ax+by=c được gọi là phương trình tuyến tính. Các ký hiệu x, y là các ẩn số, giá trị của chúng phải được tìm thấy, b, a là hệ số của các biến, c là số hạng tự do của phương trình.
Giải phương trình bằng cách vẽ đồ thị của nó sẽ giống như một đường thẳng, tất cả các điểm của nó là nghiệm của đa thức.

Các loại hệ phương trình tuyến tính

Đơn giản nhất là các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính với hai biến X và Y.

F1(x, y) = 0 và F2(x, y) = 0, trong đó F1,2 là hàm và (x, y) là biến hàm.

Giải một hệ phương trình - nó có nghĩa là tìm các giá trị như vậy (x, y) để hệ thống trở thành một đẳng thức thực sự hoặc để xác định rằng không có giá trị phù hợp của x và y.

Một cặp giá trị (x, y), được viết dưới dạng tọa độ điểm, được gọi là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.

Nếu các hệ thống có một giải pháp chung hoặc không có giải pháp, chúng được gọi là tương đương.

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là hệ có vế phải bằng 0. Nếu phần bên phải sau dấu "bằng" có một giá trị hoặc được biểu thị bằng một hàm, thì một hệ thống như vậy không thuần nhất.

Số lượng biến có thể nhiều hơn hai, sau đó chúng ta nên nói về một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính có ba biến trở lên.

Đối mặt với các hệ thống, học sinh cho rằng số phương trình nhất thiết phải trùng với số ẩn số, nhưng thực tế không phải vậy. Số lượng phương trình trong hệ thống không phụ thuộc vào các biến, có thể có một số lượng lớn tùy ý.

Các phương pháp giải hệ phương trình đơn giản và phức tạp

Không có cách phân tích chung để giải quyết hệ thống tương tự, tất cả các phương pháp đều dựa trên giải pháp số. TRONG khóa học toán học, chẳng hạn như phương pháp hoán vị, cộng đại số, thay thế, cũng như đồ họa và phương pháp ma trận, giải bằng phương pháp Gauss.

Nhiệm vụ chính trong dạy học phương pháp giải là dạy cách phân tích đúng hệ thức và tìm thuật toán tối ưu giải pháp cho từng ví dụ. Điều chính không phải là ghi nhớ một hệ thống các quy tắc và hành động cho từng phương pháp, mà là hiểu các nguyên tắc áp dụng một phương pháp cụ thể.

Giải các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính lớp 7 chương trình Trường cấp hai khá đơn giản và được giải thích rất chi tiết. Trong bất kỳ sách giáo khoa nào về toán học, phần này được chú ý đầy đủ. Giải pháp cho các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss và Cramer được nghiên cứu chi tiết hơn trong các khóa học đầu tiên của các tổ chức giáo dục đại học.

Giải hệ bằng phương pháp thế

Các hành động của phương pháp thay thế nhằm mục đích thể hiện giá trị của một biến thông qua biến thứ hai. Biểu thức được thế vào phương trình còn lại, sau đó nó được rút gọn về dạng một biến. Hành động được lặp lại tùy thuộc vào số ẩn số trong hệ thống

Hãy nêu ví dụ về hệ phương trình tuyến tính lớp 7 bằng phương pháp thế:

Như có thể thấy từ ví dụ, biến x được biểu thị thông qua F(X) = 7 + Y. Biểu thức thu được, được thế vào phương trình thứ 2 của hệ thay cho X, giúp thu được một biến Y trong phương trình thứ 2 . Giải pháp ví dụ này không gây khó khăn và cho phép bạn lấy giá trị Y. Bước cuối cùng là kiểm tra các giá trị nhận được.

Không phải lúc nào cũng có thể giải một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phép thế. Các phương trình có thể phức tạp và biểu thức của biến theo ẩn số thứ hai sẽ quá cồng kềnh để tính toán thêm. Khi có nhiều hơn 3 ẩn số trong hệ thống, giải pháp thay thế cũng không thực tế.

Giải một ví dụ về hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất:

Giải pháp sử dụng phép cộng đại số

Khi tìm nghiệm của các hệ bằng phương pháp cộng, hãy cộng từng hạng và nhân các phương trình với số khác nhau. Mục tiêu cuối cùng của các hoạt động toán học là một phương trình với một biến.

Đối với các ứng dụng phương pháp này nó cần thực hành và quan sát. Không dễ để giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp cộng với số biến từ 3 trở lên. Phép cộng đại số rất hữu ích khi các phương trình chứa phân số và số thập phân.

Thuật toán hành động giải pháp:

1. Nhân cả hai vế của phương trình với một số nào đó. Kết quả là phép toán số học một trong các hệ số của biến phải bằng 1.
2. Thêm thuật ngữ biểu thức kết quả theo thuật ngữ và tìm một trong những ẩn số.
3. Thay thế giá trị kết quả vào phương trình thứ 2 của hệ thống để tìm biến còn lại.

Phương pháp giải quyết bằng cách giới thiệu một biến mới

Một biến mới có thể được đưa vào nếu hệ cần tìm nghiệm cho không quá hai phương trình, số ẩn số cũng không được nhiều hơn hai.

Phương pháp này được sử dụng để đơn giản hóa một trong các phương trình bằng cách đưa vào một biến mới. Phương trình mới được giải đối với ẩn số đã nhập và giá trị kết quả được sử dụng để xác định biến ban đầu.

Ví dụ cho thấy rằng bằng cách đưa vào một biến mới t, có thể rút gọn phương trình thứ nhất của hệ về chuẩn tam thức vuông. Bạn có thể giải một đa thức bằng cách tìm biệt thức.

Cần phải tìm giá trị của biệt thức bằng công thức nổi tiếng: D = b2 - 4*a*c, trong đó D là biệt thức mong muốn, b, a, c là các bội của đa thức. TRONG ví dụ đã cho a=1, b=16, c=39, do đó D=100. Nếu phân biệt đối xử Hơn không, thì có hai nghiệm: t = -b±√D / 2*a, nếu biệt số nhỏ hơn 0 thì chỉ có một nghiệm: x= -b / 2*a.

Giải pháp cho các hệ thống kết quả được tìm thấy bằng phương pháp bổ sung.

Một phương pháp trực quan để giải quyết các hệ thống

Phù hợp với hệ có 3 phương trình. Phương pháp là xây dựng trên trục tọa độđồ thị của mỗi phương trình có trong hệ thống. Tọa độ giao điểm của các đường cong và sẽ là giải pháp chung các hệ thống.

Phương pháp đồ họa có một số sắc thái. Xem xét một số ví dụ về việc giải các hệ phương trình tuyến tính theo cách trực quan.

Như có thể thấy từ ví dụ, hai điểm được tạo cho mỗi dòng, các giá trị của biến x được chọn tùy ý: 0 và 3. Dựa trên các giá trị của x, các giá trị cho y đã được tìm thấy: 3 và 0. Các điểm có tọa độ (0, 3) và (3, 0) được đánh dấu trên biểu đồ và được nối với nhau bằng một đường thẳng.

Các bước phải được lặp lại cho phương trình thứ hai. Giao điểm của các đường thẳng là nghiệm của hệ.

Ví dụ sau cần tìm giải pháp đồ họa hệ phương trình tuyến tính: 0,5x-y+2=0 và 0,5x-y-1=0.

Như có thể thấy từ ví dụ, hệ thống không có giải pháp, bởi vì các đồ thị song song và không cắt nhau dọc theo toàn bộ chiều dài của chúng.

Các hệ thống từ Ví dụ 2 và 3 tương tự nhau, nhưng khi được xây dựng, rõ ràng là các giải pháp của chúng là khác nhau. Cần nhớ rằng không phải lúc nào cũng có thể nói hệ có nghiệm hay không mà phải dựng đồ thị.

Ma trận và các giống của nó

Ma trận được sử dụng cho viết tắt hệ phương trình tuyến tính. Một bảng được gọi là ma trận. Loại đặc biệtđầy những con số. n*m có n - hàng và m - cột.

Một ma trận vuông khi số cột và số hàng bằng nhau. Ma trận - vectơ là ma trận một cột có vô hạn số có thể dòng. Một ma trận có các đơn vị dọc theo một trong các đường chéo và các phần tử bằng 0 khác được gọi là đơn vị.

Ma trận nghịch đảo là một ma trận như vậy, khi được nhân với ma trận ban đầu biến thành một đơn vị, một ma trận như vậy chỉ tồn tại cho ma trận vuông ban đầu.

Quy tắc biến hệ phương trình thành ma trận

Đối với hệ phương trình, các hệ số và thành phần tự do của phương trình được viết dưới dạng các số của ma trận, mỗi phương trình là một hàng của ma trận.

Một hàng của ma trận được gọi là khác 0 nếu ít nhất một phần tử của hàng không bằng 0. Do đó, nếu trong bất kỳ phương trình nào có số lượng biến khác nhau, thì cần phải nhập số 0 vào vị trí của ẩn số bị thiếu.

Các cột của ma trận phải tương ứng chặt chẽ với các biến. Điều này có nghĩa là các hệ số của biến x chỉ có thể được viết trong một cột, chẳng hạn như cột đầu tiên, hệ số của biến y chưa biết - chỉ trong cột thứ hai.

Khi nhân một ma trận, tất cả các phần tử của ma trận được nhân liên tiếp với một số.

Các phương án tìm ma trận nghịch đảo

Công thức tìm ma trận nghịch đảo khá đơn giản: K -1 = 1/|K|, trong đó K -1 - ma trận nghịch đảo và |K| - định thức ma trận. |K| không được bằng 0 thì hệ có nghiệm.

Định thức được tính dễ dàng cho ma trận hai nhân hai, chỉ cần nhân các phần tử theo đường chéo với nhau. Đối với tùy chọn "ba nhân ba", có công thức |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Bạn có thể sử dụng công thức hoặc bạn có thể nhớ rằng bạn cần lấy một phần tử từ mỗi hàng và mỗi cột để số cột và số hàng của các phần tử không lặp lại trong sản phẩm.

Giải các ví dụ về hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận

Phương pháp ma trận tìm nghiệm giúp giảm bớt các ký hiệu rườm rà khi giải các hệ bằng một lượng lớn biến và phương trình.

Trong ví dụ, a nm là các hệ số của các phương trình, ma trận là một vectơ x n là các biến và b n là các số hạng tự do.

Giải hệ bằng phương pháp Gauss

TRONG toán học cao hơn phương pháp Gauss được nghiên cứu cùng với phương pháp Cramer và quá trình tìm nghiệm cho các hệ thống được gọi là phương pháp nghiệm Gauss-Cramer. Các phương pháp này được sử dụng để tìm các biến của các hệ thống có số lượng lớn các phương trình tuyến tính.

Phương pháp Gauss rất giống với các giải pháp sử dụng thay thế và phép cộng đại số nhưng hệ thống hơn. Trong khóa học ở trường, giải pháp Gaussian được sử dụng cho các hệ phương trình 3 và 4. Mục đích của phương pháp là đưa hệ về dạng hình thang ngược. đường phép biến đổi đại số và sự thay thế là giá trị của một biến trong một trong các phương trình của hệ thống. Phương trình thứ hai là một biểu thức có 2 ẩn số, và 3 và 4 - với 3 và 4 biến tương ứng.

Sau khi đưa hệ thống về dạng được mô tả, giải pháp tiếp theo được rút gọn thành sự thay thế tuần tự các biến đã biết vào các phương trình của hệ thống.

Trong sách giáo khoa lớp 7, một ví dụ về giải pháp Gaussian được mô tả như sau:

Như có thể thấy từ ví dụ, ở bước (3) thu được hai phương trình 3x 3 -2x 4 =11 và 3x 3 +2x 4 =7. Giải pháp của bất kỳ phương trình nào sẽ cho phép bạn tìm ra một trong các biến x n.

Định lý 5, được đề cập trong văn bản, nói rằng nếu một trong các phương trình của hệ thống được thay thế bằng một phương trình tương đương, thì hệ thống thu được cũng sẽ tương đương với hệ thống ban đầu.

Học sinh khó hiểu phương pháp Gauss Trung học phổ thông, nhưng là một trong những cách thú vị nhất để phát triển sự khéo léo của trẻ em tham gia chương trình nghiên cứu sâu trong các lớp toán và vật lý.

Để dễ dàng ghi lại các tính toán, thông thường làm như sau:

Các hệ số của phương trình và các số hạng tự do được viết dưới dạng ma trận, trong đó mỗi hàng của ma trận tương ứng với một trong các phương trình của hệ thống. tách vế trái của phương trình từ vế phải. Chữ số La Mã biểu thị số lượng phương trình trong hệ thống.

Đầu tiên, họ viết ra ma trận để làm việc, sau đó tất cả các hành động được thực hiện với một trong các hàng. Ma trận kết quả được viết sau dấu "mũi tên" và tiếp tục thực hiện các phép toán đại số cần thiết cho đến khi đạt được kết quả.

Kết quả là, một ma trận sẽ thu được trong đó một trong các đường chéo là 1 và tất cả các hệ số khác bằng 0, nghĩa là ma trận được rút gọn thành một dạng duy nhất. Chúng ta không được quên thực hiện các phép tính với các số ở cả hai vế của phương trình.

Ký hiệu này ít rườm rà hơn và cho phép bạn không bị phân tâm khi liệt kê vô số ẩn số.

Việc áp dụng miễn phí bất kỳ phương pháp giải nào cũng sẽ cần sự cẩn thận và một lượng kinh nghiệm nhất định. Không phải tất cả các phương pháp đều được áp dụng. Một số cách tìm giải pháp được ưu tiên hơn trong một lĩnh vực hoạt động cụ thể của con người, trong khi những cách khác tồn tại vì mục đích học tập.

Lưu ý quan trọng!
1. Nếu thay vì công thức, bạn thấy abracadabra, hãy xóa bộ nhớ cache. Làm thế nào để làm điều đó trong trình duyệt của bạn được viết ở đây:
2. Trước khi bạn bắt đầu đọc bài viết, hãy chú ý đến điều hướng của chúng tôi nhiều nhất tài nguyên hữu ích Vì

"phương trình tuyến tính" là gì

hoặc trong miệng- ba người bạn được tặng mỗi người một quả táo, dựa trên thực tế là Vasya có tổng số táo.

Và bây giờ bạn đã quyết định phương trình đường thẳng
Bây giờ hãy đưa ra định nghĩa toán học cho thuật ngữ này.

Phương trình đường thẳng - Cái này phương trình đại số, có tổng bậc của các đa thức thành phần của nó bằng. Nó trông như thế này:

Ở đâu và là bất kỳ số nào và

Đối với trường hợp của chúng tôi với Vasya và táo, chúng tôi sẽ viết:

- “Nếu Vasya cho cả ba người bạn số táo như nhau thì anh ấy sẽ không còn táo”

Các phương trình tuyến tính "ẩn" hoặc tầm quan trọng của các phép biến đổi giống hệt nhau

Mặc dù thoạt nhìn mọi thứ đều cực kỳ đơn giản, nhưng khi giải phương trình, bạn cần phải cẩn thận, bởi vì phương trình tuyến tính không chỉ được gọi là phương trình có dạng, mà còn bất kỳ phương trình nào được rút gọn về dạng này bằng cách biến đổi và đơn giản hóa. Ví dụ:

Chúng tôi thấy rằng nó ở bên phải, theo lý thuyết, điều này đã chỉ ra rằng phương trình không phải là tuyến tính. Hơn nữa, nếu chúng ta mở ngoặc, chúng ta sẽ có thêm hai thuật ngữ nữa, trong đó nó sẽ là, nhưng đừng vội kết luận! Trước khi đánh giá xem phương trình có phải là tuyến tính hay không, cần phải thực hiện tất cả các phép biến đổi và do đó đơn giản hóa ví dụ ban đầu. Trong trường hợp này, phép biến hình có thể thay đổi vẻ bề ngoài, nhưng không phải là bản chất của phương trình.

Nói cách khác, những chuyển đổi này phải được giống hệt nhau hoặc tương đương. Chỉ có hai biến đổi như vậy, nhưng chúng chơi rất, RẤT vai trò quan trọng khi giải bài toán. Hãy xem xét cả hai biến đổi trên các ví dụ cụ thể.

Di chuyển trái - phải.

Giả sử chúng ta cần giải phương trình sau:

Cũng trong trường tiểu học chúng tôi đã nói: "với X - ở bên trái, không có X - ở bên phải." Biểu thức nào với x ở bên phải? Đúng, không phải như thế nào. Và điều này rất quan trọng, bởi vì nếu điều này bị hiểu lầm, có vẻ như câu hỏi đơn giản, đưa ra một câu trả lời sai. Và biểu thức với x ở bên trái là gì? Phải, .

Bây giờ chúng tôi đã giải quyết vấn đề này, chúng tôi chuyển tất cả các thuật ngữ chưa biết sang bên trái, và mọi thứ đã biết - ở bên phải, hãy nhớ rằng nếu không có dấu hiệu nào ở phía trước số, chẳng hạn, thì số đó là số dương, tức là nó đứng trước dấu "".

Di chuyển? Bạn đã nhận được gì?

Tất cả những gì còn lại phải làm là lãnh đạo như các điều khoản. Chúng tôi xin giới thiệu:

Vì vậy, chúng tôi đã phân tích thành công phép biến đổi giống hệt nhau đầu tiên, mặc dù tôi chắc chắn rằng bạn đã biết và tích cực sử dụng nó mà không có tôi. Điều chính - đừng quên các dấu hiệu cho các số và thay đổi chúng thành ngược lại khi chuyển qua dấu bằng!

phép nhân-chia.

Hãy bắt đầu ngay với một ví dụ

Chúng tôi nhìn và suy nghĩ: chúng tôi không thích điều gì trong ví dụ này? Cái chưa biết là tất cả ở một phần, cái đã biết - ở phần kia, nhưng có thứ gì đó đang ngăn cản chúng ta ... Và đây là thứ - một phần bốn, bởi vì nếu nó không có ở đó, mọi thứ sẽ trở nên hoàn hảo - x bằng với số- theo cách chúng ta muốn!

Làm thế nào bạn có thể thoát khỏi nó? Chúng tôi không thể chuyển sang bên phải, bởi vì sau đó chúng tôi cần chuyển toàn bộ hệ số nhân (chúng tôi không thể lấy nó và xé nó ra khỏi nó), và việc chuyển toàn bộ hệ số nhân cũng không có ý nghĩa gì ...

Đã đến lúc nhớ về phép chia, liên quan đến việc chúng ta sẽ chia mọi thứ thành! Tất cả - điều này có nghĩa là cả trái và bên phải. Vì vậy và chỉ như vậy! Chúng ta nhận được gì?

Đây là câu trả lời.

Bây giờ chúng ta hãy xem một ví dụ khác:

Đoán xem phải làm gì trong trường hợp này? Đúng vậy, hãy nhân hai bên trái và phải với nhau! Bạn đã nhận được câu trả lời nào? Phải. .

Chắc chắn bạn đã biết mọi thứ về các phép biến đổi giống hệt nhau. Hãy xem xét rằng chúng tôi vừa làm mới kiến ​​thức này trong bộ nhớ của bạn và đã đến lúc phải làm gì đó khác - Ví dụ: để giải quyết ví dụ lớn của chúng tôi:

Như chúng tôi đã nói trước đó, nhìn vào nó, bạn không thể nói rằng phương trình này là tuyến tính, nhưng chúng ta cần mở ngoặc và thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau. Vậy hãy bắt đầu!

Để bắt đầu, chúng tôi nhớ lại các công thức cho phép nhân viết tắt, đặc biệt là bình phương của tổng và bình phương của hiệu. Nếu bạn không nhớ nó là gì và cách mở ngoặc, tôi thực sự khuyên bạn nên đọc chủ đề này, vì những kỹ năng này sẽ hữu ích cho bạn khi giải hầu hết các ví dụ có trong bài kiểm tra.
Tiết lộ? So sánh:

Bây giờ là lúc để đưa ra các điều khoản tương tự. Bạn có nhớ làm thế nào chúng ta ở trong cùng một trường tiểu học họ có nói "chúng tôi không đặt ruồi bằng cốt lết"? Ở đây tôi đang nhắc nhở bạn về điều này. Chúng tôi thêm mọi thứ một cách riêng biệt - các yếu tố có, các yếu tố có và các yếu tố khác không có ẩn số. Khi bạn đưa các thuật ngữ giống nhau, hãy di chuyển tất cả các ẩn số sang bên trái và mọi thứ đã biết sang bên phải. Bạn đã nhận được gì?

Như bạn có thể thấy, hình vuông x đã biến mất và chúng ta thấy một hình vuông hoàn toàn bình thường phương trình đường thẳng. Nó vẫn chỉ để tìm!

Và cuối cùng, tôi sẽ nói một điều nữa rất thứ quan trọng về các phép biến đổi đồng nhất - các phép biến đổi đồng nhất không chỉ áp dụng cho các phương trình tuyến tính mà còn cho phương trình bình phương, phân số hữu tỉ và các phương trình khác. Bạn chỉ cần nhớ rằng khi chuyển thừa số qua dấu bằng thì ta đổi dấu thành dấu ngược lại, còn khi chia hoặc nhân với một số nào đó thì ta nhân/chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số.

Bạn đã rút ra được điều gì khác từ ví dụ này? Việc nhìn vào một phương trình không phải lúc nào cũng có thể xác định trực tiếp và chính xác xem nó có tuyến tính hay không. Trước tiên, bạn phải đơn giản hóa hoàn toàn biểu thức, sau đó mới đánh giá nó là gì.

Các phương trình tuyến tính. Ví dụ.

Dưới đây là một vài ví dụ khác để bạn tự thực hành - xác định xem phương trình có tuyến tính hay không và nếu có, hãy tìm nghiệm của nó:

câu trả lời:

1. Là.

2. Không phải.

Hãy mở ngoặc và đưa ra các thuật ngữ tương tự:

Hãy thực hiện một phép biến đổi giống hệt nhau - chúng tôi chia các phần bên trái và bên phải thành:

Ta thấy phương trình không tuyến tính nên không cần tìm nghiệm của nó.

3. Là.

Hãy thực hiện một phép biến đổi giống hệt - nhân các phần bên trái và bên phải để loại bỏ mẫu số.

Hãy suy nghĩ tại sao nó rất quan trọng để? Nếu bạn biết câu trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi tiến hành giải pháp tiếp theo của phương trình, nếu không, hãy chắc chắn xem xét chủ đề để không phạm sai lầm trong nhiều hơn ví dụ khó khăn. Nhân tiện, như bạn có thể thấy, một tình huống không thể. Tại sao?
Vì vậy, hãy tiếp tục và sắp xếp lại phương trình:

Nếu bạn đối phó với mọi thứ mà không gặp khó khăn gì, hãy nói về phương trình tuyến tính với hai biến.

Phương Trình Tuyến Tính Với Hai Biến

Bây giờ, hãy chuyển sang một phương trình phức tạp hơn một chút - phương trình tuyến tính hai biến.

Các phương trình tuyến tính với hai biến giống như:

Ở đâu, và là bất kỳ số nào và.

Như bạn có thể thấy, sự khác biệt duy nhất là một biến nữa được thêm vào phương trình. Và vì vậy mọi thứ đều giống nhau - không có x bình phương, không có phép chia cho một biến, v.v. và như thế.

Cái nào sẽ mang lại cho bạn ví dụ cuộc sống... Hãy cùng Vasya. Giả sử anh ta quyết định rằng anh ta sẽ đưa cho mỗi người trong số 3 người bạn của mình số táo như nhau và giữ số táo đó cho riêng mình. Vasya cần mua bao nhiêu quả táo nếu anh ấy cho mỗi người bạn một quả táo? Thế còn? Nếu bằng thì sao?

Sự phụ thuộc của số táo mà mỗi người sẽ nhận được bởi tổng cộng số táo cần mua sẽ được thể hiện bằng phương trình:

• - số quả táo mà một người sẽ nhận được (, hoặc, hoặc);
• - số táo mà Vasya sẽ lấy cho mình;
• - Vasya cần mua bao nhiêu quả táo, tính đến số quả táo mỗi người.

Giải quyết vấn đề này, chúng tôi nhận được rằng nếu Vasya đưa cho một người bạn một quả táo, thì anh ta cần mua miếng, nếu anh ta cho táo - v.v.

Và nói chung. Chúng tôi có hai biến. Tại sao không vẽ biểu đồ phụ thuộc này trên biểu đồ? Chúng tôi xây dựng và đánh dấu giá trị của chúng tôi, đó là điểm, với tọa độ và!

Như bạn có thể thấy, và phụ thuộc lẫn nhau tuyến tính, do đó tên của các phương trình - “ tuyến tính».

Chúng tôi trừu tượng từ những quả táo và xem xét đồ họa phương trình khác nhau. Hãy xem kỹ hai đồ thị đã dựng - một đường thẳng và một parabol, được cho bởi các hàm tùy ý:

Tìm và đánh dấu các điểm tương ứng trên cả hai hình.
Bạn đã nhận được gì?

Bạn có thể thấy điều đó trên đồ thị của hàm đầu tiên một mình tương ứng một, nghĩa là và phụ thuộc tuyến tính vào nhau, điều này không thể nói về hàm thứ hai. Tất nhiên, bạn có thể phản đối rằng trên biểu đồ thứ hai, x cũng tương ứng với - , nhưng đây chỉ là một điểm, đó là trương hợp đặc biệt, vì bạn vẫn có thể tìm thấy một cái phù hợp với nhiều hơn một cái. Và biểu đồ được xây dựng không giống với một đường thẳng, mà là một hình parabol.

Tôi nhắc lại, một lần nữa: đồ thị của một phương trình tuyến tính phải là một đường THẲNG.

Với thực tế là phương trình sẽ không tuyến tính nếu chúng ta đi đến bất kỳ mức độ nào - điều này có thể hiểu được khi sử dụng ví dụ về parabola, mặc dù bạn có thể tự xây dựng thêm một số đồ thị đơn giản, ví dụ hoặc. Nhưng tôi đảm bảo với bạn - không ai trong số họ sẽ là ĐƯỜNG THẲNG.

Đừng tin? Xây dựng và sau đó so sánh với những gì tôi nhận được:

Và điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chia một thứ gì đó cho một số chẳng hạn? nó sẽ phụ thuộc tuyến tính Và? Chúng tôi sẽ không tranh luận, nhưng chúng tôi sẽ xây dựng! Ví dụ, hãy vẽ đồ thị hàm số.

Bằng cách nào đó, nó không giống như một đường thẳng được xây dựng ... theo đó, phương trình không phải là tuyến tính.
Hãy tóm tắt:

1. Phương trình đường thẳng - là một phương trình đại số trong đó tổng bậc của các đa thức hợp thành của nó bằng nhau.
2. Phương trình đường thẳng với một biến trông giống như:
   , ở đâu và là bất kỳ số nào;
   Phương trình đường thẳng với hai biến:
   , ở đâu và là bất kỳ số nào.
3. Không phải lúc nào cũng có thể xác định ngay một phương trình là tuyến tính hay không. Đôi khi, để hiểu điều này, cần phải thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau, di chuyển các số hạng tương tự sang trái / phải, không quên đổi dấu hoặc nhân / chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số.

CÁC PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. SƠ LƯỢC VỀ CHÍNH

1. Phương trình tuyến tính

Đây là một phương trình đại số trong đó tổng bậc của các đa thức hợp thành của nó bằng nhau.

2. Phương trình tuyến tính một biến giống như:

Ở đâu và là bất kỳ số nào;

3. Phương trình tuyến tính hai biến giống như:

Ở đâu, và là bất kỳ số nào.

4. Biến đổi bản sắc

Để xác định xem phương trình có tuyến tính hay không, cần thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau:

• di chuyển sang trái/phải như các điều khoản, không quên đổi dấu;
• nhân/chia cả hai vế của phương trình cho cùng một số.

Thôi, hết chủ đề rồi. Nếu bạn đang đọc những dòng này, thì bạn rất tuyệt.

Bởi vì chỉ có 5% số người có thể tự mình thành thạo một thứ gì đó. Và nếu bạn đã đọc đến cuối, thì bạn nằm trong số 5%!

Bây giờ điều quan trọng nhất.

Bạn đã tìm ra lý thuyết về chủ đề này. Và, tôi nhắc lại, nó ... nó thật tuyệt vời! Bạn đã tốt hơn so với đại đa số các đồng nghiệp của bạn.

Vấn đề là điều này có thể không đủ ...

Để làm gì?

Vì giao hàng thành công Kỳ thi Thống nhất của Nhà nước, để được nhận vào học viện bằng ngân sách và QUAN TRỌNG NHẤT là trọn đời.

Tôi sẽ không thuyết phục bạn về bất cứ điều gì, tôi sẽ chỉ nói một điều ...

Những người đã nhận được một nền giáo dục tốt, kiếm được nhiều hơn những người không nhận được nó. Đây là số liệu thống kê.

Nhưng đây không phải là điều chính.

Cái chính là họ HẠNH PHÚC HƠN (có những nghiên cứu như vậy). Có lẽ bởi vì nhiều điều mở ra trước mắt họ. nhiều khả năng hơn và cuộc sống trở nên tươi sáng hơn? Không biết...

Nhưng hãy tự suy nghĩ...

Làm gì để chắc chắn mình giỏi hơn người khác trong kỳ thi và cuối cùng là... hạnh phúc hơn?

HÃY ĐIỀN TAY, GIẢI CÁC VẤN ĐỀ VỀ CHỦ ĐỀ NÀY.

Trong kỳ thi, bạn sẽ không được hỏi lý thuyết.

Bạn sẽ cần giải quyết vấn đề đúng hạn.

Và, nếu bạn chưa giải quyết được chúng (RẤT NHIỀU!), chắc chắn bạn sẽ mắc sai lầm ngu ngốc ở đâu đó hoặc đơn giản là không đến kịp.

Nó giống như trong thể thao - bạn cần lặp lại nhiều lần để chắc chắn giành chiến thắng.

Tìm một bộ sưu tập bất cứ nơi nào bạn muốn nhất thiết phải có giải pháp phân tích chi tiết và quyết định, quyết định, quyết định!

Bạn có thể sử dụng các nhiệm vụ của chúng tôi (không cần thiết) và chúng tôi chắc chắn khuyên bạn nên sử dụng chúng.

Để được giúp đỡ trong các nhiệm vụ của chúng tôi, bạn cần giúp kéo dài tuổi thọ của sách giáo khoa YouClever mà bạn hiện đang đọc.

Làm sao? Có hai lựa chọn:

1. Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn trong bài viết này -
2. Mở khóa quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn trong tất cả 99 bài viết của hướng dẫn - Mua sách giáo khoa - 499 rúp

Có, chúng tôi có 99 bài viết như vậy trong sách giáo khoa và có thể mở ngay lập tức quyền truy cập vào tất cả các nhiệm vụ và tất cả các văn bản ẩn trong đó.

Quyền truy cập vào tất cả các tác vụ ẩn được cung cấp trong toàn bộ thời gian tồn tại của trang web.

Tóm lại là...

Nếu bạn không thích nhiệm vụ của chúng tôi, hãy tìm người khác. Chỉ cần không dừng lại với lý thuyết.

“Hiểu” và “Tôi biết cách giải” là những kỹ năng hoàn toàn khác nhau. Bạn cần cả hai.

Tìm vấn đề và giải quyết!

Một phương trình tuyến tính là một phương trình đại số có bậc đầy đủ của đa thức bằng một. Giải phương trình tuyến tính - phần chương trình giáo dục, và không phải là khó khăn nhất. Tuy nhiên, một số vẫn gặp khó khăn trong việc thông qua chủ đề này. Chúng tôi hy vọng sẽ đọc tài liệu nhất định, tất cả những khó khăn đối với bạn sẽ chỉ còn trong quá khứ. Vì vậy, chúng ta hãy tìm ra nó. cách giải hệ phương trình tuyến tính.

Hình thức chung

Phương trình tuyến tính được biểu diễn dưới dạng:

• ax + b = 0, trong đó a và b là các số bất kỳ.

Mặc dù a và b có thể là bất kỳ số nào nhưng giá trị của chúng ảnh hưởng đến số nghiệm của phương trình. Có một số trường hợp đặc biệt của giải pháp:

• Nếu a=b=0 thì phương trình có bộ vô hạn quyết định;
• Nếu a=0, b≠0 thì phương trình vô nghiệm;
• Nếu a≠0, b=0 thì phương trình có nghiệm: x = 0.

Trong trường hợp cả hai số đều không có giá trị null, phương trình phải được giải để rút ra biểu thức cuối cùng cho biến.

Làm thế nào để quyết định?

Giải một phương trình tuyến tính có nghĩa là tìm giá trị của một biến. Làm thế nào để làm nó? Vâng, nó rất đơn giản - sử dụng các phép toán đại số đơn giản và tuân theo các quy tắc chuyển giao. Nếu phương trình xuất hiện trước mặt bạn ở dạng tổng quát, thì bạn thật may mắn, tất cả những gì bạn cần làm là:

1. Di chuyển b sang vế phải của phương trình, không quên đổi dấu (quy tắc chuyển vế!), Như vậy từ biểu thức có dạng ax + b = 0 ta được biểu thức có dạng ax = -b.
2. Áp dụng quy tắc: để tìm một trong các thừa số (x - trong trường hợp của chúng ta), bạn cần chia tích (-b trong trường hợp của chúng ta) cho một thừa số khác (a - trong trường hợp của chúng ta). Do đó, cần thu được một biểu thức có dạng: x \u003d -b / a.

Đó là tất cả - giải pháp được tìm thấy!

Bây giờ hãy xem xét một ví dụ cụ thể:

1. 2x + 4 = 0 - chuyển b bằng trường hợp này 4, bên phải
2. 2x = -4 - chia b cho a (đừng quên dấu trừ)
3. x=-4/2=-2

Đó là tất cả! Giải pháp của chúng tôi: x = -2.

Như bạn có thể thấy, việc tìm nghiệm của phương trình tuyến tính một biến khá đơn giản, nhưng mọi thứ chỉ đơn giản như vậy nếu chúng ta may mắn gặp phương trình ở dạng tổng quát. Trong hầu hết các trường hợp, trước khi giải phương trình theo hai bước nêu trên, cũng cần đưa biểu thức đã có về dạng tổng quát. Tuy nhiên, đây cũng không phải là một nhiệm vụ khó khăn. Hãy xem xét một số trường hợp đặc biệt với các ví dụ.

Giải quyết các trường hợp đặc biệt

Trước tiên, chúng ta hãy xem các trường hợp mà chúng tôi đã mô tả ở đầu bài viết và giải thích ý nghĩa của việc có vô số nghiệm và không có nghiệm.

• Nếu a=b=0, phương trình sẽ như sau: 0x + 0 = 0. Thực hiện bước đầu tiên, chúng ta có: 0x = 0. Điều này vô nghĩa nghĩa là gì, bạn kêu lên! Rốt cuộc, bất kể bạn nhân số nào với số 0, bạn sẽ luôn nhận được số 0! Phải! Do đó, họ nói rằng phương trình có vô số nghiệm - bạn lấy số nào thì đẳng thức sẽ đúng, 0x \u003d 0 hoặc 0 \u003d 0.
• Nếu a=0, b≠0, phương trình sẽ như sau: 0x + 3 = 0. Ta thực hiện bước đầu tiên, ta được 0x = -3. Lại vớ vẩn! Rõ ràng là sự bình đẳng này sẽ không bao giờ đúng! Đó là lý do tại sao họ nói rằng phương trình không có nghiệm.
• Nếu a≠0, b=0, phương trình sẽ như sau: 3x + 0 = 0. Thực hiện bước đầu tiên, chúng ta có: 3x = 0. Giải pháp là gì? Thật dễ dàng, x = 0.

Khó khăn trong dịch thuật

Các trường hợp cụ thể được mô tả không phải là tất cả các phương trình tuyến tính có thể làm chúng ta ngạc nhiên. Đôi khi phương trình nói chung khó xác định ngay từ cái nhìn đầu tiên. Hãy lấy một ví dụ:

• 12x - 14 = 2x + 6

Đây có phải là một phương trình tuyến tính? Nhưng còn số 0 ở phía bên phải thì sao? Chúng tôi sẽ không vội vàng kết luận, chúng tôi sẽ hành động - chúng tôi sẽ chuyển tất cả các thành phần của phương trình sang vế trái. Chúng tôi nhận được:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Bây giờ trừ đi như thế từ như thế, chúng tôi nhận được:

• 10x - 20 = 0

Đã học? Phương trình tuyến tính nhất bao giờ hết! Lời giải của ai: x = 20/10 = 2.

Nếu chúng ta có ví dụ này thì sao:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Vâng, đây cũng là một phương trình tuyến tính, chỉ cần thực hiện nhiều phép biến đổi hơn. Trước tiên hãy mở rộng các dấu ngoặc:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - bây giờ thực hiện phép chuyển:
4. 25x - 4 = 0 - vẫn còn phải tìm nghiệm theo sơ đồ đã biết:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Như bạn có thể thấy, mọi thứ đều được giải quyết, điều chính yếu không phải là lo lắng mà là hành động. Hãy nhớ rằng, nếu phương trình của bạn chỉ chứa các biến bậc nhất và các số, thì đây là một phương trình tuyến tính, bất kể ban đầu nó trông như thế nào, có thể được rút gọn về dạng tổng quát và được giải. Chúng tôi hy vọng mọi thứ phù hợp với bạn! Chúc may mắn!

Trong video này, chúng tôi sẽ phân tích toàn bộ tập hợp các phương trình tuyến tính được giải bằng cùng một thuật toán - đó là lý do tại sao chúng được gọi là đơn giản nhất.

Để bắt đầu, hãy xác định: phương trình tuyến tính là gì và phương trình nào nên được gọi là đơn giản nhất?

Một phương trình tuyến tính là một phương trình trong đó chỉ có một biến và chỉ ở mức độ đầu tiên.

Phương trình đơn giản nhất có nghĩa là việc xây dựng:

Tất cả các phương trình tuyến tính khác được rút gọn thành phương trình đơn giản nhất bằng thuật toán:

1. Mở ngoặc nếu có;
2. Di chuyển các thuật ngữ chứa một biến sang một bên của dấu bằng và các thuật ngữ không có biến sang bên kia;
3. Đưa các số hạng giống nhau sang bên trái và bên phải của dấu bằng;
4. Chia phương trình thu được cho hệ số của biến $x$ .

Tất nhiên, thuật toán này không phải lúc nào cũng hữu ích. Thực tế là đôi khi, sau tất cả những âm mưu này, hệ số của biến $x$ hóa ra lại bằng 0. Trong trường hợp này, có thể có hai lựa chọn:

1. Phương trình không có nghiệm nào cả. Ví dụ: khi bạn nhận được thứ gì đó như $0\cdot x=8$, tức là bên trái là số 0 và bên phải là số khác không. Trong video dưới đây, chúng tôi sẽ xem xét một số lý do tại sao tình trạng này có thể xảy ra.
2. Giải pháp là tất cả các số. Trường hợp duy nhất khi điều này có thể xảy ra là khi phương trình đã được rút gọn về dạng $0\cdot x=0$. Một điều hoàn toàn hợp lý là cho dù chúng ta thay thế $x$ bằng giá trị nào đi chăng nữa, thì vẫn có kết quả là “không bằng 0”, tức là đẳng thức số đúng.

Và bây giờ hãy xem nó hoạt động như thế nào trên ví dụ về các vấn đề thực tế.

Ví dụ về giải phương trình

Hôm nay chúng ta giải quyết các phương trình tuyến tính, và chỉ những phương trình đơn giản nhất. Nói chung, một phương trình tuyến tính có nghĩa là bất kỳ đẳng thức nào chứa chính xác một biến và nó chỉ đi đến mức độ đầu tiên.

Các công trình như vậy được giải quyết theo cùng một cách:

1. Trước hết, bạn cần mở ngoặc, nếu có (như trong ví dụ cuối cùng);
2. Sau đó mang tương tự
3. Cuối cùng, cô lập biến, tức là mọi thứ được kết nối với biến - các thuật ngữ chứa nó - được chuyển sang một bên và mọi thứ còn lại không có nó sẽ được chuyển sang bên kia.

Sau đó, theo quy định, bạn cần phải thực hiện tương tự ở mỗi bên của đẳng thức kết quả và sau đó chỉ còn lại chia cho hệ số tại "x", và chúng ta sẽ nhận được câu trả lời cuối cùng.

Về lý thuyết, điều này có vẻ hay và đơn giản, nhưng trong thực tế, ngay cả những học sinh trung học có kinh nghiệm cũng có thể mắc những lỗi khó chịu trong các phương trình tuyến tính khá đơn giản. Thông thường, các lỗi được thực hiện khi mở ngoặc hoặc khi đếm "điểm cộng" và "điểm trừ".

Ngoài ra, điều xảy ra là một phương trình tuyến tính không có nghiệm nào cả, hoặc nghiệm là toàn bộ trục số, tức là bất kỳ số nào. Chúng ta sẽ phân tích những điều tế nhị này trong bài hôm nay. Nhưng chúng tôi sẽ bắt đầu, như bạn đã hiểu, với hầu hết nhiệm vụ đơn giản.

Sơ đồ giải phương trình tuyến tính đơn giản

Để bắt đầu, hãy để tôi một lần nữa viết toàn bộ sơ đồ giải các phương trình tuyến tính đơn giản nhất:

1. Mở rộng dấu ngoặc đơn, nếu có.
2. Tách các biến, tức là mọi thứ có chứa "x" được chuyển sang một bên và không có "x" - sang bên kia.
3. Chúng tôi trình bày các điều khoản tương tự.
4. Chúng tôi chia mọi thứ cho hệ số tại "x".

Tất nhiên, kế hoạch này không phải lúc nào cũng hoạt động, nó có những điểm tinh tế và thủ thuật nhất định, và bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu về chúng.

Giải các ví dụ thực tế của phương trình tuyến tính đơn giản

Nhiệm vụ 1

Ở bước đầu tiên, chúng ta bắt buộc phải mở ngoặc. Nhưng chúng không có trong ví dụ này, vì vậy chúng tôi bỏ qua sân khấu này. Trong bước thứ hai, chúng ta cần cô lập các biến. Ghi chú: chúng tôi đang nói chuyện chỉ về các điều khoản cá nhân. Cùng viết nào:

Chúng tôi đưa ra các thuật ngữ tương tự ở bên trái và bên phải, nhưng điều này đã được thực hiện ở đây. Do đó, chúng tôi tiến hành bước thứ tư: chia cho một thừa số:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ở đây chúng tôi đã có câu trả lời.

Nhiệm vụ 2

Trong nhiệm vụ này, chúng ta có thể quan sát các dấu ngoặc, vì vậy hãy mở rộng chúng:

Cả bên trái và bên phải, chúng ta thấy cấu trúc gần như giống nhau, nhưng hãy hành động theo thuật toán, tức là. biến cô lập:

Dưới đây là một số như:

Điều này hoạt động ở gốc rễ nào? Trả lời: cho bất kỳ. Do đó, chúng ta có thể viết rằng $x$ là một số bất kỳ.

Nhiệm vụ số 3

Phương trình tuyến tính thứ ba đã thú vị hơn:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Ở đây có mấy cái ngoặc nhưng chả nhân với cái gì cả, chỉ đứng trước thôi dấu hiệu khác nhau. Hãy phá vỡ chúng:

Chúng tôi thực hiện bước thứ hai đã được biết đến với chúng tôi:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hãy tính:

Chúng tôi thực hiện bước cuối cùng - chúng tôi chia mọi thứ cho hệ số tại "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Những điều cần nhớ khi giải phương trình tuyến tính

Nếu chúng ta bỏ qua những nhiệm vụ quá đơn giản thì tôi xin nói như sau:

• Như tôi đã nói ở trên, không phải phương trình tuyến tính nào cũng có nghiệm - đôi khi đơn giản là không có nghiệm;
• Ngay cả khi có gốc rễ, số không có thể xen vào giữa chúng - không có gì sai với điều đó.

Số 0 cũng giống như số còn lại, bạn không nên phân biệt nó bằng cách nào đó hoặc cho rằng nếu bạn nhận được số 0 thì bạn đã làm sai điều gì đó.

Một tính năng khác có liên quan đến việc mở rộng dấu ngoặc đơn. Xin lưu ý: khi có dấu "trừ" trước mặt chúng, chúng tôi sẽ xóa nó, nhưng trong ngoặc đơn, chúng tôi thay đổi các dấu hiệu thành đối diện. Và sau đó chúng ta có thể mở nó theo các thuật toán tiêu chuẩn: chúng ta sẽ nhận được những gì chúng ta đã thấy trong các phép tính ở trên.

Hiểu điều này sự thật đơn giản sẽ giúp bạn không mắc phải những sai lầm ngớ ngẩn và gây tổn thương ở trường trung học khi những việc như vậy được coi là hiển nhiên.

Giải phương trình tuyến tính phức tạp

Hãy chuyển sang các phương trình phức tạp hơn. Bây giờ các cấu trúc sẽ trở nên phức tạp hơn và một hàm bậc hai sẽ xuất hiện khi thực hiện các phép biến đổi khác nhau. Tuy nhiên, bạn không nên sợ điều này, vì nếu theo ý định của tác giả, chúng ta giải một phương trình tuyến tính, thì trong quá trình biến đổi, tất cả các đơn thức chứa hàm bậc hai nhất thiết sẽ bị khử.

Ví dụ 1

Rõ ràng, bước đầu tiên là mở ngoặc. Hãy làm điều này thật cẩn thận:

Bây giờ hãy bảo mật:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Dưới đây là một số như:

Rõ ràng là phương trình đã cho Không có giải pháp, vì vậy trong câu trả lời chúng tôi viết:

\[\đa dạng \]

hoặc không có rễ.

Ví dụ #2

Chúng tôi thực hiện các bước tương tự. Bước đầu tiên:

Hãy di chuyển mọi thứ có biến sang trái và không có biến - sang phải:

Dưới đây là một số như:

Rõ ràng, phương trình tuyến tính này không có nghiệm, vì vậy chúng ta viết nó như sau:

\[\không có gì\],

hoặc không có rễ.

Các sắc thái của giải pháp

Cả hai phương trình đều được giải hoàn toàn. Lấy ví dụ về hai biểu thức này, một lần nữa chúng tôi đảm bảo rằng ngay cả trong các phương trình tuyến tính đơn giản nhất, mọi thứ không thể đơn giản như vậy: có thể có một hoặc không có hoặc vô số. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi đã xem xét hai phương trình, đơn giản là không có nghiệm trong cả hai.

Nhưng tôi muốn thu hút sự chú ý của bạn đến một thực tế khác: cách làm việc với dấu ngoặc và cách mở rộng chúng nếu có dấu trừ phía trước chúng. Hãy xem xét biểu thức này:

Trước khi mở, bạn cần nhân mọi thứ với "x". Xin lưu ý: nhân mỗi thuật ngữ riêng lẻ. Bên trong có hai số hạng - tương ứng là hai số hạng và là nhân.

Và chỉ sau khi những biến đổi có vẻ cơ bản nhưng rất quan trọng và nguy hiểm này được hoàn thành, dấu ngoặc mới có thể được mở theo quan điểm rằng có một dấu trừ sau nó. Vâng, vâng: chỉ bây giờ, khi các phép biến đổi được thực hiện, chúng tôi nhớ rằng có một dấu trừ trước dấu ngoặc, có nghĩa là mọi thứ bên dưới chỉ thay đổi các dấu. Đồng thời, các dấu ngoặc tự biến mất và quan trọng nhất là dấu "trừ" phía trước cũng biến mất.

Chúng tôi làm tương tự với phương trình thứ hai:

Không phải ngẫu nhiên mà tôi chú ý đến những sự thật nhỏ tưởng chừng như không đáng kể này. Vì giải phương trình luôn là một dãy phép biến hình sơ cấp nơi không có khả năng thực hiện rõ ràng và thành thạo bước đơn giản dẫn đến việc học sinh trung học đến gặp tôi và học cách giải các phương trình đơn giản như vậy một lần nữa.

Tất nhiên, sẽ đến một ngày bạn trau dồi những kỹ năng này thành chủ nghĩa tự động. Bạn không còn phải thực hiện quá nhiều phép biến đổi mỗi lần, bạn sẽ viết mọi thứ trong một dòng. Nhưng trong khi bạn mới học, bạn cần viết từng hành động riêng biệt.

Giải các phương trình tuyến tính phức tạp hơn

Những gì chúng ta sẽ giải quyết bây giờ khó có thể được gọi là nhiệm vụ đơn giản nhất, nhưng ý nghĩa vẫn như cũ.

Nhiệm vụ 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Hãy nhân tất cả các yếu tố trong phần đầu tiên:

Hãy rút lui:

Dưới đây là một số như:

Hãy làm bước cuối cùng:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Đây là câu trả lời cuối cùng của chúng tôi. Và, mặc dù thực tế là trong quá trình giải, chúng ta đã có các hệ số với hàm bậc hai, tuy nhiên, chúng đã triệt tiêu lẫn nhau, điều này làm cho phương trình chính xác là tuyến tính, không bình phương.

Nhiệm vụ 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Hãy thực hiện bước đầu tiên một cách cẩn thận: nhân mọi phần tử trong dấu ngoặc đầu tiên với mọi phần tử trong dấu ngoặc thứ hai. Tổng cộng, bốn thuật ngữ mới sẽ thu được sau khi biến đổi:

Và bây giờ cẩn thận thực hiện phép nhân trong mỗi số hạng:

Hãy di chuyển các thuật ngữ có "x" sang trái và không có - sang phải:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Dưới đây là các điều khoản tương tự:

Chúng tôi đã nhận được câu trả lời dứt khoát.

Các sắc thái của giải pháp

Nhận xét quan trọng nhất về hai phương trình này là: ngay khi chúng ta bắt đầu nhân các dấu ngoặc trong đó có nhiều hơn một số hạng, thì điều này được thực hiện theo quy tắc sau: chúng ta lấy số hạng đầu tiên từ số hạng đầu tiên và nhân với mỗi phần tử từ thứ hai; sau đó chúng ta lấy phần tử thứ hai từ phần tử thứ nhất và nhân tương tự với từng phần tử từ phần tử thứ hai. Kết quả là, chúng tôi nhận được bốn điều khoản.

về tổng đại số

Trong ví dụ trước, tôi muốn nhắc nhở học sinh thế nào là tổng đại số. Trong toán học cổ điển, $1-7$ có nghĩa là một cách xây dựng đơn giản: chúng ta lấy một trừ bảy. Trong đại số, chúng tôi muốn nói điều này như sau: với số "một", chúng tôi thêm một số khác, cụ thể là "trừ bảy". Tổng đại số này khác với tổng số học thông thường.

Ngay sau khi thực hiện tất cả các phép biến đổi, mỗi phép cộng và phép nhân, bạn bắt đầu thấy các cấu trúc tương tự như mô tả ở trên, bạn sẽ không gặp vấn đề gì về đại số khi làm việc với đa thức và phương trình.

Tóm lại, chúng ta hãy xem xét một vài ví dụ thậm chí còn phức tạp hơn những ví dụ chúng ta vừa xem và để giải quyết chúng, chúng ta sẽ phải mở rộng một chút thuật toán tiêu chuẩn của mình.

Giải phương trình với một phân số

Để giải quyết các nhiệm vụ như vậy, sẽ phải thêm một bước nữa vào thuật toán của chúng tôi. Nhưng trước tiên, tôi sẽ nhắc thuật toán của chúng ta:

1. Mở ngoặc.
2. Các biến riêng biệt.
3. Mang theo tương tự.
4. Chia cho một yếu tố.

Than ôi, thuật toán tuyệt vời này, với tất cả hiệu quả của nó, không hoàn toàn phù hợp khi chúng ta có các phân số trước mặt. Và trong những gì chúng ta sẽ thấy bên dưới, chúng ta có một phân số ở bên trái và bên phải trong cả hai phương trình.

Làm thế nào để làm việc trong trường hợp này? Vâng, nó rất đơn giản! Để làm điều này, bạn cần thêm một bước nữa vào thuật toán, bước này có thể được thực hiện cả trước và sau hành động đầu tiên, cụ thể là loại bỏ các phân số. Như vậy, thuật toán sẽ như sau:

1. Loại bỏ các phân số.
2. Mở ngoặc.
3. Các biến riêng biệt.
4. Mang theo tương tự.
5. Chia cho một yếu tố.

"Loại bỏ phân số" có nghĩa là gì? Và tại sao có thể làm điều này cả sau và trước bước tiêu chuẩn đầu tiên? Trên thực tế, trong trường hợp của chúng tôi, tất cả các phân số đều là số theo mẫu số, tức là ở mọi nơi mẫu số chỉ là một con số. Do đó, nếu chúng ta nhân cả hai phần của phương trình với số này, thì chúng ta sẽ thoát khỏi phân số.

Ví dụ 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Hãy loại bỏ các phân số trong phương trình này:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Xin lưu ý: mọi thứ được nhân với “bốn” một lần, tức là chỉ vì bạn có hai dấu ngoặc không có nghĩa là bạn phải nhân mỗi dấu ngoặc với "bốn". Cùng viết nào:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Bây giờ hãy mở nó:

Chúng tôi thực hiện tách một biến:

Chúng tôi thực hiện việc giảm các điều khoản tương tự:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Chúng tôi có quyết định cuối cùng, chúng ta chuyển sang phương trình thứ hai.

Ví dụ #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ở đây chúng tôi thực hiện tất cả các hành động tương tự:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Vấn đề được giải quyết.

Trên thực tế, đó là tất cả những gì tôi muốn nói hôm nay.

Những điểm chính

Những phát hiện chính như sau:

• Biết thuật toán giải hệ phương trình tuyến tính.
• Khả năng mở ngoặc.
• Đừng lo lắng nếu một nơi nào đó bạn có hàm bậc hai, rất có thể, trong quá trình biến đổi tiếp theo, chúng sẽ bị giảm đi.
• Các nghiệm trong các phương trình tuyến tính, ngay cả những phương trình đơn giản nhất, có ba loại: một nghiệm duy nhất, toàn bộ trục số là một nghiệm, không có nghiệm nào cả.

Tôi hy vọng bài học này sẽ giúp bạn nắm vững một chủ đề đơn giản nhưng rất quan trọng để hiểu sâu hơn về toàn bộ toán học. Nếu có điều gì đó không rõ ràng, hãy truy cập trang web, giải các ví dụ được trình bày ở đó. Hãy theo dõi, còn nhiều điều thú vị nữa đang chờ đón bạn!

Một hệ phương trình tuyến tính là hợp của n phương trình tuyến tính, mỗi phương trình chứa k biến. Nó được viết như thế này:

Nhiều người, khi lần đầu tiên đối mặt với đại số cao hơn, đã lầm tưởng rằng số lượng phương trình nhất thiết phải trùng với số lượng biến. Trong đại số trường học, điều này thường xảy ra, nhưng đối với đại số cao hơn, nói chung, điều này không đúng.

Nghiệm của một hệ phương trình là một dãy số (k 1 , k 2 , ..., k n ), là nghiệm của từng phương trình của hệ, tức là khi thế vào phương trình này thay các biến x 1 , x 2 , ..., x n ta được đẳng thức đúng.

Theo đó, để giải một hệ phương trình có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó hoặc chứng minh rằng tập hợp này là rỗng. Vì số phương trình và số ẩn số có thể không giống nhau nên có thể xảy ra ba trường hợp:

1. Hệ thống không nhất quán, tức là tập hợp tất cả các giải pháp là trống rỗng. Một trường hợp khá hiếm gặp dễ dàng phát hiện bất kể phương pháp nào để giải quyết hệ thống.
2. Hệ thống nhất quán và được xác định, tức là có đúng một giải pháp. Phiên bản cổ điển, nổi tiếng từ thời đi học.
3. Hệ thống nhất quán và không xác định, tức là có vô số nghiệm. Đây là nhiều nhất phiên bản cứng. Nói rằng "hệ thống có vô số nghiệm" là chưa đủ - cần phải mô tả cách thức sắp xếp của tập hợp này.

Biến x i được gọi là cho phép nếu nó chỉ được đưa vào một phương trình của hệ thống và có hệ số bằng 1. Nói cách khác, trong các phương trình còn lại, hệ số của biến x i phải bằng 0.

Nếu chúng ta chọn một biến được phép trong mỗi phương trình, chúng ta sẽ nhận được một tập hợp các biến được phép cho toàn bộ hệ phương trình. Bản thân hệ thống, được viết ở dạng này, cũng sẽ được gọi là được phép. Nói chung, một và cùng một hệ thống ban đầu có thể được rút gọn thành các hệ thống được phép khác nhau, nhưng điều này hiện không liên quan đến chúng tôi. Dưới đây là ví dụ về các hệ thống được phép:

Cả hai hệ thống đều được phép đối với các biến x 1 , x 3 và x 4 . Tuy nhiên, với thành công tương tự, có thể lập luận rằng hệ thống thứ hai được phép đối với x 1 , x 3 và x 5 . Chỉ cần viết lại phương trình mới nhất ở dạng x 5 = x 4 là đủ.

Bây giờ xem xét thêm trường hợp chung. Giả sử chúng ta có tổng cộng k biến, trong đó r được phép. Sau đó, hai trường hợp có thể xảy ra:

1. Số biến được phép r bằng tổng số biến k : r = k . Ta được hệ k phương trình trong đó r = k biến được phép. Một hệ thống như vậy là hợp tác và xác định, bởi vì x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. Số lượng biến được phép r nhỏ hơn Tổng số biến k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Vì vậy, trong các hệ thống trên, các biến x 2 , x 5 , x 6 (đối với hệ thống thứ nhất) và x 2 , x 5 (đối với hệ thống thứ hai) là miễn phí. Trường hợp khi có các biến tự do được phát biểu tốt hơn dưới dạng một định lý:

Xin lưu ý: điều này rất tâm điểm! Tùy thuộc vào cách bạn viết hệ thống cuối cùng, cùng một biến có thể được phép và miễn phí. Hầu hết các gia sư toán cao cấp khuyên bạn nên viết ra các biến theo thứ tự từ điển, tức là chỉ số tăng dần Tuy nhiên, bạn không nhất thiết phải làm theo lời khuyên này.

định lý. Nếu trong hệ n phương trình cho phép các biến x 1 , x 2 , ..., x r và x r + 1 , x r + 2 , ..., x k tự do thì:

1. Nếu ta đặt giá trị của các biến tự do (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), rồi tìm các giá trị x 1 , x 2 , . .., x r , ta có một nghiệm.
2. Nếu giá trị của các biến tự do trong hai giải pháp là như nhau, thì giá trị của các biến được phép cũng giống nhau, tức là các giải pháp là bằng nhau.

Ý nghĩa của định lý này là gì? Để có được tất cả các nghiệm của hệ phương trình cho phép, chỉ cần chọn ra các biến tự do. Sau đó, gán cho các biến miễn phí những nghĩa khác nhau, Chúng tôi sẽ nhận các giải pháp chìa khóa trao tay. Đó là tất cả - theo cách này, bạn có thể nhận được tất cả các giải pháp của hệ thống. Không có giải pháp nào khác.

Kết luận: hệ phương trình được phép luôn hằng. Nếu số phương trình trong hệ cho phép bằng số biến thì hệ là xác định, nếu ít hơn thì hệ không xác định.

Và mọi thứ sẽ ổn thôi, nhưng câu hỏi đặt ra: làm thế nào để giải quyết vấn đề từ hệ phương trình ban đầu? Đối với điều này có