Trong một số bài toán vật lý, không thể thiết lập được mối liên hệ trực tiếp giữa các đại lượng mô tả quá trình. Nhưng có khả năng thu được đẳng thức chứa đạo hàm của các hàm đang nghiên cứu. Đây là cách các phương trình vi phân phát sinh và nhu cầu giải chúng để tìm một hàm chưa biết.

Bài viết này dành cho những ai đang gặp phải vấn đề giải phương trình vi phân trong đó hàm chưa biết là hàm một biến. Lý thuyết được xây dựng theo cách mà bạn không cần hiểu gì về phương trình vi phân, bạn vẫn có thể thực hiện công việc của mình.

Mỗi dạng phương trình vi phân gắn liền với một phương pháp giải với lời giải chi tiết và cách giải của các ví dụ, bài toán điển hình. Bạn chỉ cần xác định loại phương trình vi phân của vấn đề của mình, tìm một ví dụ được phân tích tương tự và thực hiện các hành động tương tự.

Vì giải pháp thành công phương trình vi phân, bạn cũng sẽ cần khả năng tìm các tập hợp nguyên hàm (tích phân bất định) của các hàm khác nhau. Nếu cần thiết, chúng tôi khuyên bạn nên tham khảo phần này.

Đầu tiên, hãy xem xét các loại phương trình vi phân thường cấp một có thể giải được đối với đạo hàm, sau đó chúng ta sẽ chuyển sang ODE cấp hai, sau đó chúng ta sẽ đi sâu vào phương trình bậc cao và kết thúc với hệ phương trình vi phân.

Nhớ lại rằng nếu y là một hàm của đối số x .

Phương trình vi phân cấp một.

Các phương trình vi phân đơn giản nhất của thứ tự đầu tiên của hình thức.

Hãy để chúng tôi viết ra một số ví dụ về DE như vậy .

phương trình vi phân có thể được giải đối với đạo hàm bằng cách chia cả hai vế của đẳng thức cho f(x) . Trong trường hợp này, chúng ta đi đến phương trình , phương trình này sẽ tương đương với phương trình ban đầu cho f(x) ≠ 0 . Ví dụ về các ODE như vậy là .

Nếu có các giá trị của đối số x mà các hàm f(x) và g(x) đồng thời biến mất, thì các giải pháp bổ sung sẽ xuất hiện. Các giải pháp bổ sung cho phương trình x đã cho là bất kỳ hàm nào được xác định cho các giá trị đối số đó. Ví dụ về các phương trình vi phân như vậy là .

Phương trình vi phân cấp hai.

Phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính cấp hai với hệ số không đổi.

LODE với hệ số không đổi là một loại phương trình vi phân rất phổ biến. Giải pháp của họ không phải là đặc biệt khó khăn. Rễ được tìm thấy đầu tiên phương trình đặc trưng . Đối với p và q khác nhau, có thể xảy ra ba trường hợp: nghiệm của phương trình đặc trưng có thể là số thực và khác nhau, số thực và trùng nhau hoặc liên hợp phức tạp. Tùy thuộc vào giá trị của các gốc của phương trình đặc trưng, ​​​​nó được viết quyết định chung phương trình vi phân như , hoặc , hoặc tương ứng.

Ví dụ, xét một phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính cấp hai với các hệ số không đổi. Nghiệm của phương trình đặc trưng của ông là k 1 = -3 và k 2 = 0. Các gốc là thực và khác nhau, do đó, giải pháp chung cho LDE với các hệ số không đổi là


Phương trình vi phân bậc hai tuyến tính không thuần nhất với hệ số không đổi.

Giải pháp chung của LIDE bậc hai với các hệ số y không đổi được tìm là tổng của giải pháp chung của LODE tương ứng và một giải pháp cụ thể của bản gốc phương trình thuần nhất, đó là, . Đoạn trước dành cho việc tìm nghiệm tổng quát cho một phương trình vi phân thuần nhất với các hệ số không đổi. Và một giải pháp cụ thể được xác định bằng phương pháp hệ số không xác định tại hình thức nhất định hàm số f(x) , đứng vế phải phương trình ban đầu, hoặc bằng phương pháp biến thiên hằng số tùy ý.

Như ví dụ về LIDE bậc hai với hệ số không đổi, chúng tôi trình bày


Hiểu lý thuyết và làm quen với quyết định chi tiết các ví dụ chúng tôi cung cấp cho bạn trên trang về phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc hai với hệ số không đổi.

Phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính (LODE) và phương trình vi phân không thuần nhất tuyến tính cấp hai (LNDEs).

Một trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân loại này là LODE và LODE với hệ số không đổi.

Nghiệm tổng quát của LODE trên một khoảng nhất định được biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính y 1 và y 2 của phương trình này, nghĩa là: .

Khó khăn chính nằm ở chỗ tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính của loại phương trình vi phân này. Thông thường, các giải pháp cụ thể được chọn từ các hệ thống sau hàm độc lập tuyến tính:


Tuy nhiên, các giải pháp cụ thể không phải lúc nào cũng được trình bày dưới dạng này.

Một ví dụ về LODU là .

Nghiệm chung của LIDE được tìm ở dạng , trong đó là nghiệm chung của LODE tương ứng và là nghiệm riêng của phương trình vi phân ban đầu. Chúng ta vừa nói về việc tìm kiếm, nhưng nó có thể được xác định bằng phương pháp biến thiên của các hằng số tùy ý.

Một ví dụ về LNDE là .

Phương trình vi phân bậc cao.

Phương trình vi phân thừa nhận giảm thứ tự.

Bậc của phương trình vi phân , không chứa hàm mong muốn và các đạo hàm của nó lên đến bậc k-1, có thể được rút gọn thành n-k bằng cách thay thế .

Trong trường hợp này , và phương trình vi phân ban đầu rút gọn thành . Sau khi tìm ra nghiệm p(x), việc còn lại là quay lại phương án thay thế và xác định hàm chưa biết y .

Ví dụ, phương trình vi phân sau khi thay thế trở thành một phương trình có thể tách rời và thứ tự của nó được giảm từ thứ ba xuống thứ nhất.

Phương trình vi phân cấp một. Ví dụ giải pháp.
Phương trình vi phân với các biến tách được

Phương trình vi phân (DE). Hai từ này thường khiến những người bình thường khiếp sợ. Phương trình vi phân dường như là một thứ gì đó kỳ quặc và khó nắm vững đối với nhiều học sinh. Uuuuuu… phương trình vi phân, làm sao tôi có thể sống sót qua tất cả những chuyện này?!

Quan điểm và thái độ như vậy là sai về cơ bản, bởi vì trên thực tế PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐƠN GIẢN VÀ THẬT THÚ VỊ. Những gì bạn cần biết và có thể học để giải phương trình vi phân? Để nghiên cứu thành công sự khác biệt, bạn phải giỏi tích hợp và phân biệt. Các chủ đề được nghiên cứu càng tốt Đạo hàm của hàm một biến và Không xác định, không thể thiếu, thì càng dễ hiểu các phương trình vi phân. Tôi sẽ nói thêm, nếu bạn có ít nhiều kỹ năng tích hợp khá, thì chủ đề này thực tế đã thành thạo! Càng nhiều tích phân nhiều loại khác nhau bạn biết cách quyết định - càng tốt. Tại sao? Bạn phải tích hợp rất nhiều. Và phân biệt. Cũng thế rất khuyến khích học cách tìm.

Trong 95% các trường hợp trong Công việc kiểm soát có 3 loại phương trình vi phân cấp một: phương trình tách được, mà chúng tôi sẽ trình bày trong bài học này; phương trình thuần nhất và phương trình tuyến tính không thuần nhất. Đối với những người mới bắt đầu học máy khuếch tán, tôi khuyên bạn nên đọc các bài học theo trình tự này và sau khi nghiên cứu hai bài đầu tiên, sẽ không hại gì khi củng cố các kỹ năng của bạn trong một hội thảo bổ sung - phương trình rút gọn thành đồng nhất.

Thậm chí còn có những loại phương trình vi phân hiếm hơn: phương trình trong tổng vi phân, phương trình Bernoulli và một số loại khác. Điều quan trọng nhất trong hai loài mới nhất là các phương trình trong tổng chênh lệch, vì ngoài DE này, tôi xem xét vật liệu mới – tích hợp một phần.

Nếu bạn chỉ còn một hoặc hai ngày, sau đó để chuẩn bị cực nhanh có khóa học chớp nhoángở định dạng pdf.

Vì vậy, các mốc đã được đặt - hãy bắt đầu:

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ lại các phương trình đại số thông thường. Chúng chứa các biến và số. ví dụ đơn giản nhất: . Nó có nghĩa là gì để giải một phương trình thông thường? Điều này có nghĩa là để tìm bộ số thỏa mãn phương trình này. Dễ dàng thấy rằng phương trình của trẻ em có một nghiệm duy nhất: . Để giải trí, hãy kiểm tra, thay nghiệm tìm được vào phương trình của chúng ta:

- nhận được đẳng thức đúng nghĩa là tìm được nghiệm đúng.

Khuếch tán được sắp xếp theo nhiều cách giống nhau!

phương trình vi phân đơn đặt hàng đầu tiên Trong trường hợp chung chứa:
1) biến độc lập;
2) biến phụ thuộc (hàm);
3) đạo hàm bậc nhất của hàm: .

Trong một số phương trình bậc 1, có thể không có "x" hoặc (và) "y", nhưng điều này không cần thiết - quan trọngđể trong DU làđạo hàm bậc nhất, và đã không có các công cụ phái sinh của các đơn đặt hàng cao hơn - , v.v.

nghĩa là gì?Để giải một phương trình vi phân có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các chức năng thỏa mãn phương trình này. Một tập hợp các hàm như vậy thường có dạng ( là một hằng số tùy ý), được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

ví dụ 1

Giải phương trình vi phân

Đạn dược đầy đủ. Nơi để bắt đầu dung dịch?

Trước hết, bạn cần viết lại đạo hàm ở dạng khác một chút. Chúng tôi nhớ lại ký hiệu rườm rà mà nhiều bạn có thể nghĩ là vô lý và không cần thiết. Đó là quy tắc trong bộ khuếch tán!

Trong bước thứ hai, hãy xem liệu nó có thể chia biến? Việc tách các biến có nghĩa là gì? Nói đại khái, ở bên trái chúng ta cần phải rời đi chỉ có "trò chơi", một phía bên phải tổ chức chỉ x. Việc tách các biến được thực hiện với sự trợ giúp của các thao tác “trường học”: dấu ngoặc đơn, chuyển các số hạng từ phần này sang phần khác với sự thay đổi dấu, chuyển các thừa số từ phần này sang phần khác theo quy tắc tỷ lệ, v.v.

Sự khác biệt và là số nhân đầy đủ và những người tham gia tích cực vào chiến sự. Trong ví dụ này, các biến được phân tách dễ dàng bằng cách lật các thừa số theo quy tắc tỷ lệ:

Các biến được tách ra. Ở bên trái - chỉ "Trò chơi", ở bên phải - chỉ "X".

Giai đoạn tiếp theo - tích phân phương trình vi phân. Thật đơn giản, chúng tôi treo tích phân trên cả hai phần:

Tất nhiên là phải lấy tích phân. TẠI trường hợp này chúng ở dạng bảng:

Như chúng ta nhớ, một hằng số được gán cho bất kỳ nguyên hàm nào. Có hai tích phân ở đây, nhưng chỉ cần viết hằng số một lần là đủ (vì một hằng số + một hằng số vẫn bằng một hằng số khác). Trong hầu hết các trường hợp, nó được đặt ở phía bên phải.

Nói một cách chính xác, sau khi lấy tích phân, phương trình vi phân coi như đã giải xong. Điều duy nhất là "y" của chúng tôi không được thể hiện thông qua "x", tức là giải pháp được trình bày trong tiềm ẩn hình thức. Nghiệm ẩn của phương trình vi phân được gọi là tích phân tổng quát của phương trình vi phân. Tức là tích phân tổng quát.

Một câu trả lời ở dạng này khá chấp nhận được, nhưng có lựa chọn nào tốt hơn không? Hãy cố gắng để có được quyết định chung.

Xin vui lòng, nhớ kỹ thuật đầu tiên, nó rất phổ biến và thường được sử dụng trong nhiệm vụ thực tế: nếu logarit xuất hiện ở vế phải sau khi tích phân, thì trong nhiều trường hợp (nhưng không phải lúc nào cũng vậy!) cũng nên viết hằng số theo logarit.

Đó là, THAY VÌ hồ sơ thường được viết .

tại sao nó cần thiết? Và để làm cho nó dễ dàng hơn để thể hiện "y". Chúng tôi sử dụng tài sản của logarit . Trong trường hợp này:

Bây giờ logarit và mô-đun có thể được gỡ bỏ:

Các chức năng được trình bày rõ ràng. Đây là giải pháp chung.

Câu trả lời: quyết định chung: .

Các câu trả lời cho nhiều phương trình vi phân khá dễ dàng để kiểm tra. Trong trường hợp của chúng tôi, điều này được thực hiện khá đơn giản, chúng tôi lấy giải pháp tìm được và phân biệt nó:

Sau đó, chúng tôi thay thế đạo hàm vào phương trình ban đầu:

- đạt được đẳng thức đúng, nghĩa là nghiệm tổng quát thỏa mãn phương trình cần kiểm tra.

Bằng cách cho một hằng số các giá trị khác nhau, bạn có thể nhận được vô số quyết định riêng tư phương trình vi phân. Rõ ràng là bất kỳ hàm nào , , v.v. thỏa mãn phương trình vi phân .

Đôi khi giải pháp chung được gọi là họ hàm. TẠI ví dụ này quyết định chung - đây là một gia đình hàm tuyến tính, hay đúng hơn, một họ tỷ lệ thuận trực tiếp.

Sau khi thảo luận chi tiết về ví dụ đầu tiên, thật thích hợp để trả lời một vài câu hỏi ngây thơ về phương trình vi phân:

1)Trong ví dụ này, chúng tôi quản lý để tách các biến. Có phải luôn luôn có thể làm điều này? Không phải luôn luôn. Và thậm chí thường xuyên hơn, các biến không thể tách rời. Ví dụ, trong phương trình bậc nhất thuần nhất phải được thay thế đầu tiên. Trong các loại phương trình khác, chẳng hạn như trong phương trình tuyến tính không thuần nhất bậc nhất, bạn cần sử dụng nhiều thủ thuật và phương pháp khác nhau để tìm ra nghiệm chung. Các phương trình biến phân tách được mà chúng ta đang xem xét trong bài học đầu tiên là - loại đơn giản nhất phương trình vi phân.

2) Có phải luôn luôn có thể tích hợp một phương trình vi phân? Không phải luôn luôn. Rất dễ dẫn đến một phương trình “sang chảnh” mà không lấy được tích phân, ngoài ra còn có những tích phân không lấy được. Nhưng DE như vậy có thể được giải quyết xấp xỉ bằng cách sử dụng phương pháp đặc biệt. D'Alembert và Cauchy đảm bảo... ...ugh, lurkmore. Tôi vừa đọc rất nhiều, suýt chút nữa đã thêm "từ thế giới bên kia."

3) Trong ví dụ này, chúng ta đã thu được nghiệm dưới dạng tích phân tổng quát . Có phải luôn luôn có thể tìm thấy một giải pháp chung từ tích phân chung, nghĩa là biểu thị "y" ở dạng rõ ràng? Không phải luôn luôn. Ví dụ: . Chà, làm thế nào tôi có thể thể hiện "y" ở đây?! Trong những trường hợp như vậy, câu trả lời nên được viết dưới dạng tích phân tổng quát. Ngoài ra, đôi khi có thể tìm được nghiệm tổng quát nhưng viết rườm rà, vụng về nên để đáp án ở dạng tích phân tổng quát sẽ tốt hơn.

4) ...có lẽ bây giờ là đủ. Trong ví dụ đầu tiên, chúng tôi đã gặp nữa tâm điểm , nhưng để không bao phủ "hình nộm" bằng một trận tuyết lở thông tin mới Tôi sẽ để nó cho đến bài học tiếp theo.

Chúng ta đừng vội vàng. Một điều khiển từ xa đơn giản khác và một giải pháp điển hình khác:

ví dụ 2

Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu

Dung dịch: theo điều kiện cần tìm quyết định riêng tư DE thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước. Loại câu hỏi này còn được gọi là bài toán Cauchy.

Đầu tiên, chúng tôi tìm một giải pháp chung. Không có biến "x" trong phương trình, nhưng điều này không có gì đáng xấu hổ, cái chính là nó có đạo hàm bậc nhất.

Chúng tôi viết lại đạo hàm trong hình thức mong muốn:

Rõ ràng, các biến có thể được chia, con trai bên trái, con gái bên phải:

Chúng tôi tích hợp phương trình:

Tích phân tổng quát thu được. Ở đây tôi đã vẽ một hằng số có dấu sao, thực tế là nó sẽ sớm biến thành một hằng số khác.

Bây giờ chúng tôi đang cố gắng chuyển đổi tích phân tổng quát thành một giải pháp tổng quát (biểu thị "y" một cách rõ ràng). Chúng tôi nhớ trường cũ, tốt,: . Trong trường hợp này:

Hằng số trong chỉ báo có vẻ không hợp lý hơn, vì vậy nó thường được hạ thấp từ trên trời xuống đất. Cụ thể, nó xảy ra như thế này. Sử dụng thuộc tính của độ, chúng ta viết lại hàm như sau:

Nếu là một hằng số, thì cũng là một số hằng số, hãy ký hiệu lại nó bằng chữ cái:

Hãy nhớ "phá hủy" một hằng số là kỹ thuật thứ hai thường được sử dụng trong quá trình giải phương trình vi phân.

Vì vậy, giải pháp chung là: Thật là một họ hàm mũ đẹp.

Ở giai đoạn cuối cùng, bạn cần tìm một giải pháp cụ thể thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho. Nó cũng đơn giản.

Nhiệm vụ là gì? Cần nhặt như là giá trị của hằng số thỏa mãn điều kiện.

Bạn có thể sắp xếp nó theo nhiều cách khác nhau, nhưng cách dễ hiểu nhất có lẽ sẽ là như thế này. Trong giải pháp chung, thay vì “x”, chúng tôi thay thế số 0 và thay vì “y”, hai:



Đó là,

Phiên bản thiết kế tiêu chuẩn:

Bây giờ chúng tôi thay thế giá trị tìm thấy của hằng số vào giải pháp chung:
– đây là giải pháp cụ thể chúng ta cần.

Câu trả lời: giải pháp riêng:

Hãy làm một kiểm tra. Việc xác minh một giải pháp cụ thể bao gồm hai giai đoạn:

Đầu tiên cần kiểm tra xem nghiệm cụ thể tìm được có thực sự thỏa mãn điều kiện ban đầu hay không? Thay vì "x", chúng tôi thay thế số 0 và xem điều gì sẽ xảy ra:
- vâng, thực sự, một deuce đã thu được, điều đó có nghĩa là điều kiện ban đầu được thỏa mãn.

Giai đoạn thứ hai đã quen thuộc. Chúng tôi lấy giải pháp cụ thể thu được và tìm đạo hàm:

Thay vào phương trình ban đầu:

- đẳng thức chính xác thu được.

Kết luận: giải pháp cụ thể được tìm thấy chính xác.

Hãy chuyển sang các ví dụ có ý nghĩa hơn.

ví dụ 3

Giải phương trình vi phân

Dung dịch: Chúng tôi viết lại đạo hàm ở dạng chúng tôi cần:

Đánh giá xem có tách được các biến không? Có thể. Chúng tôi chuyển thuật ngữ thứ hai sang phía bên phải với sự thay đổi dấu hiệu:

Và chúng tôi lật các yếu tố theo quy tắc tỷ lệ:

Các biến được tách ra, hãy tích hợp cả hai phần:

Tôi phải cảnh báo bạn, ngày phán xét đang đến. Nếu bạn chưa học tốt tích phân không xác định, giải quyết một vài ví dụ, sau đó không còn nơi nào để đi - bạn phải thành thạo chúng ngay bây giờ.

Tích phân của vế trái rất dễ tìm, với tích phân của cotang chúng ta xử lý theo kỹ thuật chuẩn mà chúng ta đã xem xét trong bài học Tích hợp các hàm lượng giác Trong năm qua:

Ở vế bên phải, chúng ta có một logarit, và theo khuyến nghị kỹ thuật đầu tiên của tôi, hằng số cũng nên được viết dưới logarit.

Bây giờ chúng ta cố gắng đơn giản hóa tích phân tổng quát. Vì chúng ta chỉ có logarit nên hoàn toàn có thể (và cần thiết) loại bỏ chúng. Bằng cách sử dụng thuộc tính đã biết tối đa "đóng gói" logarit. Tôi sẽ viết rất chi tiết:

Bao bì đã hoàn thành để được rách dã man:

Có thể diễn đạt "y" không? Có thể. Cả hai phần phải được bình phương.

Nhưng bạn không cần phải làm vậy.

Mẹo công nghệ thứ ba: nếu để có được một giải pháp chung, bạn cần nâng cao sức mạnh hoặc bén rễ, thì Trong hầu hết các trường hợp bạn nên kiềm chế những hành động này và để lại câu trả lời ở dạng tích phân chung. Thực tế là giải pháp chung sẽ trông thật tồi tệ - với những chiếc rễ to, biển hiệu và những thứ rác rưởi khác.

Do đó, chúng tôi viết câu trả lời dưới dạng tích phân chung. Nó được coi là hình thức tốt để trình bày nó ở dạng, nghĩa là ở bên phải, nếu có thể, chỉ để lại một hằng số. Không cần thiết phải làm điều này, nhưng nó luôn có lợi để làm hài lòng giáo sư ;-)

Câu trả lời: tích phân tổng quát:

! Ghi chú: tích phân tổng quát của bất kỳ phương trình nào có thể được viết không cách duy nhất. Do đó, nếu kết quả của bạn không trùng với đáp án đã biết trước đó, thì điều này không có nghĩa là bạn đã giải sai phương trình.

Tích phân tổng quát cũng được kiểm tra khá dễ dàng, cái chính là tìm được đạo hàm của một hàm được xác định ngầm. Hãy phân biệt câu trả lời:

Chúng tôi nhân cả hai điều khoản bằng:

Và chúng tôi chia cho:

Phương trình vi phân ban đầu thu được chính xác, nghĩa là tích phân tổng quát được tìm đúng.

Ví dụ 4

Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu. Kiểm tra.

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập.

Tôi nhắc bạn rằng thuật toán bao gồm hai giai đoạn:
1) tìm giải pháp chung;
2) tìm giải pháp cụ thể được yêu cầu.

Việc kiểm tra cũng được thực hiện theo hai bước (xem ví dụ trong Ví dụ số 2), bạn cần:
1) đảm bảo rằng giải pháp cụ thể được tìm thấy thỏa mãn điều kiện ban đầu;
2) kiểm tra xem một giải pháp cụ thể có thỏa mãn phương trình vi phân hay không.

Giải pháp hoàn chỉnh và đáp án ở cuối bài.

Ví dụ 5

Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân , thỏa mãn điều kiện ban đầu . Kiểm tra.

Dung dịch:Đầu tiên, chúng ta hãy tìm nghiệm tổng quát Phương trình này đã chứa sẵn vi phân và , nghĩa là nghiệm đã được đơn giản hóa. Tách các biến:

Chúng tôi tích hợp phương trình:

Tích phân bên trái là dạng bảng, tích phân bên phải được lấy phương pháp tính tổng hàm dưới dấu vi phân:

Đã có tích phân tổng quát, liệu có thể biểu diễn thành công nghiệm tổng quát không? Có thể. Chúng tôi treo logarit ở cả hai bên. Vì chúng dương, nên các dấu hiệu modulo là dư thừa:

(Mong mọi người hiểu rõ sự biến hóa, những chuyện như vậy hẳn đã biết rồi)

Vì vậy, giải pháp chung là:

Hãy tìm một giải pháp cụ thể tương ứng với điều kiện ban đầu đã cho.
Trong giải pháp chung, thay vì “x”, chúng tôi thay thế số 0 và thay vì “y”, logarit của hai:

Thiết kế quen thuộc hơn:

Chúng tôi thay thế giá trị tìm thấy của hằng số vào giải pháp chung.

Câu trả lời: giải pháp riêng:

Kiểm tra: Đầu tiên, kiểm tra xem điều kiện ban đầu có được đáp ứng hay không:
- Mọi thứ đều tốt.

Bây giờ hãy kiểm tra xem nghiệm cụ thể tìm được có thỏa mãn phương trình vi phân hay không. Ta tìm đạo hàm:

Hãy nhìn vào phương trình ban đầu: – nó được trình bày trong sự khác biệt. Có hai cách để kiểm tra. Có thể biểu thị vi phân từ đạo hàm tìm được:

Chúng tôi thay thế giải pháp cụ thể đã tìm thấy và sự khác biệt kết quả vào phương trình ban đầu :

Chúng tôi sử dụng danh tính logarit cơ bản:

Bình đẳng chính xác thu được, có nghĩa là giải pháp cụ thể được tìm thấy chính xác.

Cách kiểm tra thứ hai được nhân đôi và quen thuộc hơn: từ phương trình biểu thị đạo hàm, vì điều này, chúng tôi chia tất cả các phần cho:

Và trong DE đã biến đổi, chúng tôi thay thế giải pháp cụ thể thu được và đạo hàm tìm được. Kết quả của việc đơn giản hóa, cũng nên đạt được đẳng thức chính xác.

Ví dụ 6

Giải phương trình vi phân. Biểu diễn đáp án dưới dạng tích phân tổng quát.

Đây là ví dụ để các em tự giải, có đầy đủ lời giải và đáp án ở cuối bài.

Những khó khăn nào đang chờ đợi trong việc giải phương trình vi phân với các biến tách rời?

1) Không phải lúc nào cũng rõ ràng (đặc biệt là đối với ấm trà) mà các biến có thể được tách biệt. Xem xét ví dụ có điều kiện: . Ở đây bạn cần lấy các thừa số ra khỏi ngoặc: và tách các gốc:. Làm thế nào để tiếp tục là rõ ràng.

2) Khó khăn trong quá trình hội nhập. Các tích phân thường phát sinh không phải là đơn giản nhất và nếu có sai sót trong kỹ năng tìm kiếm không xác định, không thể thiếu, thì sẽ gặp khó khăn với nhiều bộ khuếch tán. Ngoài ra, các trình biên dịch của các bộ sưu tập và sách hướng dẫn phổ biến với logic “vì phương trình vi phân đơn giản, nên ít nhất tích phân sẽ phức tạp hơn”.

3) Phép biến đổi với một hằng số. Như mọi người đã nhận thấy, một hằng số trong các phương trình vi phân có thể được xử lý khá tự do và một số phép biến đổi không phải lúc nào cũng rõ ràng đối với người mới bắt đầu. Hãy xem xét một ví dụ giả thuyết khác: . Trong đó, nên nhân tất cả các số hạng với 2: . Hằng số kết quả cũng là một loại hằng số, có thể được ký hiệu là: . Có, và vì có logarit ở vế phải, nên viết lại hằng số này thành một hằng số khác: .

Vấn đề là họ thường không quan tâm đến các chỉ số và sử dụng cùng một chữ cái. Kết quả là, hồ sơ quyết định mất xem tiếp theo:

Dị giáo gì? Đây là các lỗi! Nói đúng ra là có. Tuy nhiên, từ quan điểm thực chất, không có sai sót nào, bởi vì kết quả của phép biến đổi một hằng biến, vẫn thu được một hằng biến.

Hoặc một ví dụ khác, giả sử trong quá trình giải phương trình thu được tích phân tổng quát. Câu trả lời này có vẻ xấu, vì vậy nên thay đổi dấu của từng thuật ngữ: . Về hình thức, lại có một lỗi - ở bên phải, nó phải được viết . Nhưng nó được ngụ ý một cách không chính thức rằng “trừ ce” vẫn là một hằng số ( mà cũng nhận bất kỳ giá trị nào!), vì vậy đặt "trừ" không có ý nghĩa gì và bạn có thể sử dụng cùng một chữ cái.

Tôi sẽ cố gắng tránh cách tiếp cận bất cẩn và vẫn đặt các chỉ mục khác nhau cho các hằng số khi chuyển đổi chúng.

Ví dụ 7

Giải phương trình vi phân. Kiểm tra.

Dung dịch: Phương trình này thừa nhận tách các biến. Tách các biến:

Chúng tôi tích hợp:

Hằng số ở đây không cần phải được xác định theo logarit, vì nó sẽ không mang lại điều gì tốt đẹp.

Câu trả lời: tích phân tổng quát:

Kiểm tra: Phân biệt câu trả lời ( hàm ẩn):

Chúng tôi loại bỏ các phân số, vì điều này, chúng tôi nhân cả hai số hạng với:

Đã thu được phương trình vi phân ban đầu, nghĩa là tích phân tổng quát đã được tìm đúng.

Ví dụ 8

Tìm nghiệm riêng của DE.
,

Đây là một ví dụ tự làm. Gợi ý duy nhất là ở đây bạn có được một tích phân tổng quát, và chính xác hơn, bạn cần tìm ra một nghiệm không phải là một nghiệm cụ thể, mà là tích phân riêng . Lời giải đầy đủ và đáp án ở cuối bài.

Phương trình bậc nhất dạng a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính. Nếu b (x) ≡ 0 thì phương trình được gọi là thuần nhất, ngược lại - không đồng nhất. Đối với một phương trình vi phân tuyến tính, định lý về sự tồn tại và duy nhất có dạng cụ thể hơn.

phân công dịch vụ. Máy tính trực tuyến có thể được sử dụng để kiểm tra các giải pháp phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất như y"+y=b(x) .

=

Sử dụng thay thế biến y=u*v
Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số tùy ý
Tìm một nghiệm cụ thể cho y( ) = .

Để có được một giải pháp, biểu thức ban đầu phải được rút gọn thành dạng: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . Ví dụ: cho y"-exp(x)=2*y nó sẽ là y"-2 *y=exp(x) .

định lý. Cho a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) liên tục trên khoảng [α,β], a 1 ≠0 với ∀x∈[α,β]. Khi đó với mọi điểm (x 0 , y 0 ), x 0 ∈[α,β] phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện y(x 0) = y 0 và xác định trên khoảng [α ,β].
Xét một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
Tách các biến, chúng tôi nhận được , hoặc, tích hợp cả hai phần, Mối quan hệ cuối cùng, có tính đến ký hiệu exp(x) = e x , được viết dưới dạng

Bây giờ chúng ta thử tìm nghiệm của phương trình trong hình thức quy định, trong đó hàm C(x) được thay thế cho hằng số C, nghĩa là ở dạng

Thay dung dịch này vào dung dịch ban đầu, sau các biến đổi cần thiết, ta thu được Tích hợp cái sau, chúng ta có

trong đó C 1 là một số hằng số mới. Thay biểu thức kết quả cho C(x), cuối cùng chúng ta thu được nghiệm của phương trình tuyến tính ban đầu
.

Thí dụ. Giải phương trình y" + 2y = 4x. Xét phương trình thuần nhất tương ứng y" + 2y = 0. Giải ra ta được y = Ce -2 x. Bây giờ chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp cho phương trình ban đầu ở dạng y = C(x)e -2 x . Thay y và y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x vào phương trình ban đầu, ta có C"(x) = 4xe 2 x, từ đó C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 và y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x là nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu. nghiệm này, y 1 ( x) \u003d 2x-1 - chuyển động của vật dưới tác dụng của lực b (x) \u003d 4x, y 2 (x) \u003d C 1 e -2 x - chuyển động riêng sự vật.

Ví dụ #2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
nó phương trình không thuần nhất. Hãy thay đổi các biến: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x hoặc u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Giải pháp bao gồm hai bước:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. Phương trình u=0, tìm nghiệm cho 3v tg(3x)+v" = 0
Biểu diễn dưới dạng: v" = -3v tg(3x)

Tích hợp, chúng tôi nhận được:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Biết v, Tìm u từ điều kiện: u "v \u003d 2cos(3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Tích hợp, chúng tôi nhận được:
Từ điều kiện y=u v, ta có:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) hoặc y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

Phương trình vi phân bậc nhất được giải theo đạo hàm

Cách giải phương trình vi phân cấp một

Giả sử chúng ta có một phương trình vi phân cấp một được giải theo đạo hàm:
.
Chia phương trình này cho , tại , chúng ta nhận được phương trình dạng:
,
ở đâu .

Tiếp theo, chúng tôi xem liệu các phương trình này có thuộc một trong các loại được liệt kê bên dưới hay không. Nếu không, thì chúng ta viết lại phương trình dưới dạng vi phân. Để làm điều này, chúng ta viết và nhân phương trình với . Ta thu được phương trình dưới dạng vi phân:
.

Nếu phương trình này không phải là phương trình trong tổng vi phân thì ta coi phương trình này là một biến độc lập và là một hàm của . Hãy chia phương trình cho:
.
Tiếp theo, chúng tôi xem liệu phương trình này có thuộc một trong các loại được liệt kê bên dưới hay không, xem xét điều đó và đã được hoán đổi.

Nếu không tìm thấy một loại cho phương trình này, thì chúng tôi sẽ xem liệu có thể đơn giản hóa phương trình bằng một thay thế đơn giản hay không. Ví dụ: nếu phương trình là:
,
sau đó chúng tôi nhận thấy rằng . Sau đó, chúng tôi thực hiện một sự thay thế. Sau đó, phương trình sẽ có dạng đơn giản hơn:
.

Nếu điều này không giúp được gì, thì chúng tôi sẽ cố gắng tìm một yếu tố tích hợp.

Phương trình biến tách rời

;
.
Chia cho và tích hợp. Khi chúng tôi nhận được:
.

Các phương trình rút gọn thành phương trình với các biến tách rời

phương trình thuần nhất

Chúng tôi giải quyết bằng cách thay thế:
,
đâu là một chức năng của . sau đó
;
.
Tách các biến và tích hợp.

Phương Trình Rút Gọn Về Đồng Nhất

Chúng tôi giới thiệu các biến và:
;
.
Các hằng số và được chọn sao cho các số hạng tự do biến mất:
;
.
Kết quả là, chúng ta thu được một phương trình thuần nhất trong các biến và .

Phương trình thuần nhất tổng quát

Chúng tôi thực hiện một sự thay thế. Chúng tôi có được một phương trình thuần nhất trong các biến và .

phương trình vi phân tuyến tính

Có ba phương pháp giải phương trình tuyến tính.

2) Phương pháp Bernoulli.
Chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp ở dạng tích của hai hàm và từ một biến:
.
;
.
Chúng ta có thể chọn tùy ý một trong các chức năng này. Do đó, khi chúng ta chọn bất kỳ nghiệm khác 0 nào của phương trình:
.

3) Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange).
Ở đây trước tiên chúng ta giải phương trình thuần nhất:

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
,
đâu là một hằng số. Tiếp theo, chúng ta thay thế hằng số bằng một hàm phụ thuộc vào biến:
.
Thay vào phương trình ban đầu. Kết quả là, chúng tôi có được một phương trình mà từ đó chúng tôi xác định .

phương trình Bernoulli

Bằng cách thay thế, phương trình Bernoulli được rút gọn thành phương trình tuyến tính.

Phương trình này cũng có thể được giải bằng phương pháp Bernoulli. Đó là, chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp ở dạng tích của hai hàm tùy thuộc vào biến :
.
Chúng tôi thay thế vào phương trình ban đầu:
;
.
Khi chúng ta chọn bất kỳ nghiệm khác 0 nào của phương trình:
.
Đã xác định , chúng tôi thu được một phương trình với các biến có thể tách rời cho .

phương trình Riccati

Nó không được giải quyết trong nhìn chung. Thay thế

phương trình Riccati được rút gọn về dạng:
,
đâu là hằng số; ; .
Tiếp theo, thay thế:

nó có vẻ như:
,
ở đâu .

Các tính chất của phương trình Riccati và một số trường hợp đặc biệt về nghiệm của nó được trình bày trên trang
Phương trình vi phân Riccati >>>

phương trình Jacobi

Giải quyết bằng cách thay thế:
.

Phương Trình Trong Tổng Vi Phân

với điều kiện
.
Khi điều kiện này được đáp ứng, biểu thức ở vế trái của đẳng thức là vi phân của hàm nào đó:
.
sau đó
.
Từ đây ta thu được tích phân của phương trình vi phân:
.

Để tìm hàm, cách thuận tiện nhất là phương pháp lựa chọn tuần tự vi phân. Đối với điều này, các công thức được sử dụng:
;
;
;
.

yếu tố tích hợp

Nếu phương trình vi phân cấp một không được rút gọn thành bất kỳ loại nào được liệt kê, thì bạn có thể thử tìm một thừa số tích phân. Một hệ số tích phân là một hàm sao cho khi nhân với nó, phương trình vi phân trở thành một phương trình trong tổng vi phân. Một phương trình vi phân cấp một có vô số thừa số tích phân. Tuy nhiên, phương pháp phổ biếnđể tìm các yếu tố tích hợp là không.

Các phương trình không giải được cho đạo hàm y"

Các phương trình thừa nhận một nghiệm đối với đạo hàm y"

Trước tiên, bạn cần cố gắng giải phương trình liên quan đến đạo hàm. Nếu có thể, thì phương trình có thể được rút gọn thành một trong các loại được liệt kê ở trên.

Phương trình cho phép phân tích thành thừa số

Nếu bạn có thể nhân tử hóa phương trình:
,
thì nhiệm vụ là giải pháp nhất quán phương trình đơn giản hơn:
;
;

;
. Chúng tôi tin tưởng . sau đó
hoặc .
Tiếp theo, chúng tôi tích hợp phương trình:
;
.
Kết quả là ta thu được biểu thức của biến thứ hai thông qua tham số.

Hơn phương trình tổng quát:
hoặc
cũng được giải ở dạng tham số. Để làm được điều này, bạn cần chọn một hàm sao cho từ phương trình ban đầu có thể biểu diễn hoặc thông qua tham số .
Để biểu thị biến thứ hai theo tham số , chúng ta tích phân phương trình:
;
.

Các phương trình được giải theo y

phương trình Claireut

Phương trình này có nghiệm tổng quát

phương trình lagrange

Chúng tôi đang tìm kiếm một giải pháp ở dạng tham số. Chúng tôi giả sử, đâu là một tham số.

Các phương trình dẫn đến phương trình Bernoulli

Các phương trình này được rút gọn thành phương trình Bernoulli nếu chúng ta tìm nghiệm của chúng ở dạng tham số bằng cách đưa vào một tham số và thực hiện phép thế .

Người giới thiệu:
V.V. Stepanov, Khóa học phương trình vi phân, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Bộ sưu tập các nhiệm vụ trên toán học cao hơn, "Lan", 2003.

1. Phương trình vi phân bậc nhất có dạng

Nếu phương trình này có thể được giải đối với ta, nó có thể được viết là

Trong trường hợp này, ta nói rằng phương trình vi phân được giải theo đạo hàm. Đối với một phương trình như vậy, định lý sau đây là hợp lệ, được gọi là định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm của phương trình vi phân. định lý. Nếu trong phương trình

hàm số và đạo hàm riêng của nó theo y liên tục trong miền D nào đó trên mặt phẳng chứa điểm nào đó , thì phương trình này có nghiệm duy nhất

thỏa mãn điều kiện tại

Định lý này sẽ được chứng minh trong § 27 Ch. XVI.

Ý nghĩa hình học của định lý là tồn tại và hơn nữa là một hàm duy nhất có đồ thị đi qua điểm

Từ định lý vừa phát biểu suy ra phương trình có vô số giải pháp khác nhau(ví dụ, một giải pháp có đồ thị đi qua một điểm, một giải pháp khác có đồ thị đi qua một điểm, v.v., nếu chỉ những điểm này nằm trong khu vực

Điều kiện khi hàm số y phải bằng một số cho trước được gọi là điều kiện ban đầu. Nó thường được viết là

Định nghĩa 1. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một là một hàm số

phụ thuộc vào một hằng số C tùy ý và thỏa mãn các điều kiện sau:

a) nó thỏa mãn phương trình vi phân đối với bất kỳ giá trị cụ thể nào của hằng số C;

b) bất kể điều kiện ban đầu là gì, bạn có thể tìm thấy một giá trị sao cho hàm thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho. Giả sử các giá trị thuộc miền biến thiên của các biến x và y, trong đó thỏa mãn các điều kiện của định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm.

2. Trong quá trình tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân, ta thường gặp liên hệ dạng

không được phép đối với Giải hệ thức này theo y, ta thu được nghiệm tổng quát. Tuy nhiên, để biểu diễn y từ quan hệ (2) trong chức năng cơ bản không phải lúc nào cũng có thể; trong những trường hợp như vậy, giải pháp chung được để mặc định. Một đẳng thức có dạng ngầm định một nghiệm tổng quát được gọi là tích phân tổng quát của một phương trình vi phân.

Định nghĩa 2. Một giải pháp cụ thể là bất kỳ hàm nào nhận được từ giải pháp chung, nếu trong hằng số C tùy ý cuối cùng, chúng ta thêm giá trị nhất định Mối quan hệ được gọi trong trường hợp này là tích phân từng phần của phương trình.

Ví dụ 1. Cho phương trình bậc nhất

giải pháp chung sẽ là một họ các chức năng; điều này có thể được kiểm tra bằng một sự thay thế đơn giản trong phương trình.

Hãy để chúng tôi tìm một giải pháp cụ thể thỏa mãn điều kiện ban đầu sau: để thay thế các giá trị này vào công thức, chúng tôi nhận được hoặc Do đó, giải pháp cụ thể được yêu cầu sẽ là hàm

Từ quan điểm hình học, tích phân tổng quát là một họ các đường cong trên mặt phẳng tọa độ, tùy thuộc vào một hằng số C tùy ý (hoặc, như người ta nói, vào một tham số C).

Các đường cong này được gọi là các đường cong tích phân của phương trình vi phân đã cho. Tích phân từng phần tương ứng với một đường cong của họ này đi qua một số điểm đã cho máy bay.

Vâng, trong ví dụ cuối cùng tích phân chung được biểu diễn về mặt hình học bởi một họ các hypebol và tích phân cụ thể được xác định bởi điều kiện ban đầu đã chỉ định được biểu diễn bằng một trong các hypebol này đi qua điểm. 251 hiển thị các đường cong họ tương ứng với một số giá trị tham số: v.v.

Để làm cho lập luận rõ ràng hơn, từ đây chúng ta sẽ gọi nghiệm của một phương trình không chỉ là một hàm thỏa mãn phương trình, mà còn là đường cong tích phân tương ứng. Trong mối liên hệ này, chẳng hạn, chúng ta sẽ nói về nghiệm đi qua điểm .

Bình luận. Phương trình không có nghiệm đi qua một điểm nằm trên trục của Hình. 251), bởi vì phần bên phải phương trình của không xác định và do đó không liên tục.

Giải hoặc, như người ta thường nói, tích phân một phương trình vi phân có nghĩa là:

a) tìm nghiệm tổng quát hoặc tích phân tổng quát của nó (nếu không cho điều kiện ban đầu), hoặc

b) tìm nghiệm cụ thể của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho điều kiện ban đầu(Nếu có cái nào).

3. Hãy giải thích hình học của phương trình vi phân cấp một.

Cho một phương trình vi phân đã cho được giải theo đạo hàm:

và để có một giải pháp chung phương trình đã cho. Nghiệm tổng quát này định nghĩa một họ các đường cong tích phân trong mặt phẳng

Phương trình (D) với mỗi điểm M có tọa độ x, y xác định giá trị của đạo hàm i.e. dốc tiếp tuyến với đường cong tích phân đi qua điểm này. Do đó, phương trình vi phân (D) đưa ra một tập hợp các hướng, hay như người ta nói, xác định trường hướng trên mặt phẳng

Do đó, với điểm hình học Từ quan điểm này, nhiệm vụ tích phân của một phương trình vi phân bao gồm tìm các đường cong có hướng tiếp tuyến trùng với hướng của trường tại các điểm tương ứng.

Đối với phương trình vi phân (1), quỹ tích các điểm mà tại đó mối liên hệ tồn tại được gọi là đường đẳng tích của phương trình vi phân đã cho.

Tại các giá trị khác nhau k ta được các đường đẳng cự khác nhau. Phương trình của đường đẳng giác tương ứng với giá trị của k rõ ràng sẽ là: Bằng cách xây dựng một họ các đường đẳng giác, người ta có thể xây dựng gần đúng một họ các đường cong tích phân. Người ta nói rằng, khi biết các đường đẳng giác, người ta có thể xác định một cách định tính vị trí của các đường cong tích phân trên mặt phẳng.