Khi các vectơ vuông góc với nhau. Tìm một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho, ví dụ và cách giải

Hướng dẫn

Nếu vectơ ban đầu được thể hiện trong hình vẽ trong một hệ tọa độ hai chiều hình chữ nhật và một vuông góc cần được dựng ở cùng một vị trí, hãy tiến hành định nghĩa tính vuông góc của vectơ trên một mặt phẳng. Nó nói rằng góc giữa một cặp đoạn thẳng như vậy phải bằng 90 °. Có thể xây dựng vô số vectơ như vậy. Vì vậy, hãy thu hút bất kỳ vị trí thuận tiện mặt phẳng vuông góc với vectơ ban đầu, dành một đoạn trên đó, bằng chiều dàiđã cho một cặp điểm có thứ tự và chỉ định một trong các điểm kết thúc của nó là đầu vectơ vuông góc. Làm điều này với thước đo góc và thước kẻ.

Nếu vectơ ban đầu được cho bởi tọa độ hai chiều ā = (X₁; Y₁), tiếp tục từ thực tế rằng tích vô hướng của một cặp vectơ vuông góc phải bằng không. Điều này có nghĩa là bạn cần chọn cho vectơ mong muốn ō = (X₂, Y₂) tọa độ mà tại đó đẳng thức (ā, ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ = 0 sẽ được thỏa mãn. Điều này có thể được thực hiện như sau: chọn bất kỳ giá trị khác 0 nào cho tọa độ X₂ và tính tọa độ Y₂ bằng công thức Y₂ = - (X₁ * X₂) / Y₁. Ví dụ, đối với một vectơ ā = (15; 5) sẽ có một vectơ ō, với một abscissa, bằng một và hoành độ bằng - (15 * 1) / 5 = -3, tức là ō = (1; -3).

Đối với hệ tọa độ ba chiều và bất kỳ hệ tọa độ trực giao nào khác, cùng một điều kiện cần và đủ cho tính vuông góc của vectơ là đúng - tích vô hướng của chúng phải bằng không. Do đó, nếu đoạn có hướng ban đầu được cho bởi tọa độ ā = (X₁, Y₁, Z₁), đối với cặp điểm thứ tự ō = (X₂, Y₂, Z₂) vuông góc với nó, hãy chọn tọa độ thỏa mãn điều kiện (ā , ō) = X₁ * X₂ + Y₁ * Y₂ + Z₁ * Z₂ = 0. Cách dễ nhất là gán các giá trị đơn lẻ cho X₂ và Y₂, và tính Z₂ từ phương trình đơn giản Z₂ = -1 * (X₁ * 1 + Y₁ * 1) / Z₁ = - (X₁ + Y₁) / Z₁. Ví dụ, đối với vectơ ā = (3,5,4), nó sẽ có dạng sau: (ā, ō) = 3 * X₂ + 5 * Y₂ + 4 * Z₂ = 0. Sau đó lấy abscissa và ước lượng của vectơ vuông góc là hợp nhất, và trong trường hợp này sẽ bằng - (3 + 5) / 4 = -2.

Nguồn:

• tìm vectơ nếu nó vuông góc

Vuông góc được gọi là vectơ, góc giữa đó là 90º. Các vectơ vuông góc được xây dựng bằng các công cụ vẽ. Nếu tọa độ của chúng được biết, thì bạn có thể kiểm tra hoặc tìm độ vuông góc của các vectơ Phương pháp phân tích.

Bạn sẽ cần

• - thước đo góc;
• - compa;
• - người cai trị.

Hướng dẫn

Dựng một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho. Để làm điều này, tại điểm là đầu của vectơ, khôi phục lại sự vuông góc với nó. Điều này có thể được thực hiện bằng thước đo góc, đặt một góc 90º. Nếu không có thước đo góc, hãy làm bằng la bàn.

Đặt nó thành điểm bắt đầu của vectơ. Vẽ một đường tròn với bán kính tùy ý. Sau đó, dựng hai tâm tại các điểm mà đường tròn đầu tiên giao với đường thẳng mà vectơ nằm trên đó. Bán kính của các đường tròn này phải bằng nhau và lớn hơn đường tròn đã xây dựng đầu tiên. Tại các giao điểm của các đường tròn, dựng một đường thẳng vuông góc với vectơ ban đầu tại điểm bắt đầu của nó, và tạo một vectơ vuông góc với vectơ đã cho trên đó.

Bài báo này cho biết ý nghĩa của sự vuông góc của hai vectơ trên một mặt phẳng trong không gian ba chiều và tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với một hoặc cả một cặp vectơ. Chuyên đề có thể áp dụng cho các bài toán liên quan đến phương trình đường thẳng và mặt phẳng.

Ta sẽ xét điều kiện cần và đủ để tính vuông góc của hai vectơ, chúng ta sẽ giải bằng phương pháp tìm vectơ vuông góc với cho trước, chúng ta sẽ liên hệ đến tình huống tìm vectơ vuông góc với hai vectơ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc với nhau

Hãy áp dụng quy tắc về vectơ vuông góc trên mặt phẳng và trong không gian ba chiều.

Định nghĩa 1

Với giá trị của góc giữa hai vectơ khác 0 bằng 90 ° (π 2 radian) được gọi là vuông góc.

Điều này có nghĩa là gì, và trong những tình huống nào thì cần biết về độ vuông góc của chúng?

Việc thiết lập tính vuông góc có thể được thực hiện thông qua hình vẽ. Khi vẽ một vectơ trên một mặt phẳng từ các điểm đã cho, bạn có thể đo góc giữa chúng về mặt hình học. Tính vuông góc của các vectơ, nếu nó được thiết lập, không hoàn toàn chính xác. Thông thường, những tác vụ này không cho phép bạn thực hiện điều này với thước đo góc, do đó phương pháp này chỉ áp dụng khi không biết gì khác về vectơ.

Hầu hết các trường hợp chứng minh tính vuông góc của hai vectơ khác 0 trong mặt phẳng hoặc trong không gian được thực hiện bằng cách sử dụng điều kiện cần và đủ để tính vuông góc của hai vectơ.

Định lý 1

Sản phẩm vô hướng hai vectơ khác không a → và b → bằng không để thực hiện đẳng thức a →, b → = 0 là đủ để vuông góc của chúng.

Bằng chứng 1

Để các vectơ a → và b → vuông góc với nhau, ta sẽ chứng minh đẳng thức a ⇀, b → = 0.

Từ định nghĩa của sản phẩm chấm của các vectơ chúng tôi biết rằng nó bằng tích độ dài của các vectơ đã cho và côsin của góc giữa chúng. Theo điều kiện, a → và b → vuông góc, và do đó, dựa trên định nghĩa, góc giữa chúng là 90 °. Khi đó ta có a →, b → = a → b → cos (a →, b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0.

Phần thứ hai của bằng chứng

Với điều kiện khi a ⇀, b → = 0 chứng minh tính vuông góc của a → và b →.

Trên thực tế, bằng chứng là mặt trái của cái trước. Biết rằng a → và b → khác 0 nên từ đẳng thức a ⇀, b → = a → b → cos (a →, b →) ^ ta tìm được cosin. Khi đó ta được cos (a →, b →) ^ = (a →, b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0. Vì cosin bằng 0 nên chúng ta có thể kết luận rằng góc a →, b → ^ của các vectơ a → và b → là 90 °. Theo định nghĩa, đây là tính chất cần và đủ.

Điều kiện vuông góc trên mặt phẳng tọa độ

Chương chấm sản phẩm theo tọa độ chứng minh bất đẳng thức (a →, b →) = a x b x + a y b y, hợp lệ với vectơ có tọa độ a → = (a x, a y) và b → = (b x, b y), trên mặt phẳng và (a →, b →) = a x b x + a y b y đối với vectơ a → = (a x, a y, a z) và b → = (b x, b y, b z) trong không gian. Điều kiện cần và đủ để hai vectơ vuông góc với nhau trong mặt phẳng tọa độ có dạng a x b x + a y b y = 0, cho không gian ba chiều a x b x + a y b y + a z b z = 0.

Hãy đưa nó vào thực tế và xem xét các ví dụ.

ví dụ 1

Kiểm tra tính chất vuông góc của hai vectơ a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

Dung dịch

Để giải quyết vấn đề này, bạn cần tìm tích vô hướng. Nếu theo điều kiện nó sẽ bằng 0, thì chúng vuông góc.

(a →, b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0. Điều kiện được thỏa mãn, nghĩa là các vectơ đã cho vuông góc trên mặt phẳng.

Câu trả lời:đúng, các vectơ đã cho a → và b → vuông góc với nhau.

Ví dụ 2

Cho vectơ tọa độ i →, j →, k →. Kiểm tra xem các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → có thể vuông góc với nhau hay không.

Dung dịch

Để nhớ cách xác định tọa độ của vectơ, bạn cần đọc một bài báo về tọa độ vectơ trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ. Do đó, chúng ta thu được rằng các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → đã cho có tọa độ tương ứng là (1, - 1, 0) và (1, 2, 2). Thay thế Giá trị kiểu số và ta nhận được: i → + 2 j → + 2 k →, i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1.

Biểu thức không phải là 0, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, có nghĩa là các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → không vuông góc vì không thỏa mãn điều kiện.

Câu trả lời: không, các vectơ i → - j → và i → + 2 j → + 2 k → không vuông góc.

Ví dụ 3

Cho các vectơ a → = (1, 0, - 2) và b → = (λ, 5, 1). Tìm giá trị λ để các vectơ đã cho vuông góc với nhau.

Dung dịch

Chúng ta sử dụng điều kiện vuông góc của hai vectơ trong không gian trong hình vuông, sau đó chúng tôi nhận được

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Câu trả lời: các vectơ vuông góc với giá trị λ = 2.

Có những trường hợp câu hỏi về tính vuông góc là không thể ngay cả trong điều kiện cần và đủ. Với dữ liệu đã biết về ba cạnh của tam giác trên hai vectơ, có thể tìm góc giữa các vectơ và kiểm tra nó ra.

Ví dụ 4

Cho tam giác A B C có các cạnh A B \ u003d 8, A C \ u003d 6, B C \ u003d 10 cm. Kiểm tra tính vuông góc của các vectơ A B → và A C →.

Dung dịch

Khi các vectơ A B → và A C → vuông góc với nhau thì tam giác A B C được coi là hình chữ nhật. Sau đó, chúng ta áp dụng định lý Pitago, trong đó BC là cạnh huyền của tam giác. Đẳng thức B C 2 = A B 2 + A C 2 phải được thỏa mãn. Theo đó 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Do đó, A B và A C là chân của tam giác A B C, do đó, A B → và A C → vuông góc với nhau.

Điều quan trọng là học cách tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho. Điều này có thể thực hiện được cả trên mặt phẳng và trong không gian, với điều kiện là các vectơ phải vuông góc.

Tìm một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho trong mặt phẳng.

Một vectơ khác không a → có thể có vô số vectơ vuông góc trong mặt phẳng. Hãy biểu diễn nó trên đường tọa độ.

Cho trước một vectơ khác không a →, nằm trên đường thẳng a. Khi đó b → đã cho, nằm trên bất kỳ đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng a, trở nên vuông góc và a →. Nếu vectơ j → hoặc bất kỳ vectơ nào λ j → vuông góc với vectơ i → với λ bằng bất kỳ số thực trừ điểm 0 thì tìm tọa độ của vectơ b → vuông góc với a → = (a x, a y) thu gọn thành vô số nghiệm. Nhưng cần tìm tọa độ của vectơ vuông góc với a → = (a x, a y). Để làm được điều này, cần viết điều kiện vuông góc của vectơ dưới dạng a x · b x + a y · b y = 0. Ta có b x và b y, là tọa độ mong muốn của vectơ vuông góc. Khi a x ≠ 0, giá trị của b y khác không và b x được tính từ bất đẳng thức a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Khi a x = 0 và a y ≠ 0, ta gán b x bất kỳ giá trị nào khác 0, và b y được tìm thấy từ biểu thức b y = - a x · b x a y.

Ví dụ 5

Cho vectơ có tọa độ a → = (- 2, 2). Tìm một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho.

Dung dịch

Ký hiệu vectơ mong muốn là b → (b x, b y). Bạn có thể tìm tọa độ của nó từ điều kiện các vectơ a → và b → vuông góc với nhau. Khi đó ta được: (a →, b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0. Gán b y = 1 và thay vào: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0. Do đó từ công thức ta được b x = - 2 - 2 = 1 2. Do đó, vectơ b → = (1 2, 1) là vectơ vuông góc với a →.

Câu trả lời: b → = (1 2, 1) .

Nếu đặt câu hỏi về không gian ba chiều, vấn đề được giải quyết theo nguyên tắc tương tự. Tại vector cho trước tồn tại a → = (a x, a y, a z) tập hợp vô hạn vectơ vuông góc. Sẽ sửa chữa nó trên tọa độ mặt phẳng ba chiều. Cho trước a → nằm trên đường thẳng a. Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng a kí hiệu là α. Trong trường hợp này, bất kỳ vectơ khác không b → từ mặt phẳng α đều vuông góc với a →.

Cần tìm tọa độ b → vuông góc với vectơ khác không a → = (a x, a y, a z).

Cho b → được cho với các tọa độ b x, b y và b z. Để tìm chúng, cần áp dụng định nghĩa về điều kiện vuông góc của hai vectơ. Đẳng thức a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 phải giữ nguyên. Từ điều kiện a → - khác 0, nghĩa là một trong các tọa độ có giá trị không bằng 0. Giả sử rằng a x ≠ 0, (a y ≠ 0 hoặc a z ≠ 0). Do đó, ta có quyền chia toàn bộ bất phương trình a x b x + a y b y + a z b z = 0 cho tọa độ này, ta được biểu thức b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x. Ta gán giá trị bất kỳ cho tọa độ b y và b x, tính giá trị b x, dựa vào công thức, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Vectơ vuông góc mong muốn sẽ có giá trị a → = (a x, a y, a z).

Hãy xem bằng chứng với một ví dụ.

Ví dụ 6

Cho vectơ có tọa độ a → = (1, 2, 3). Tìm một vectơ vuông góc với một vectơ đã cho.

Dung dịch

Ký hiệu vectơ mong muốn là b → = (b x, b y, b z). Dựa vào điều kiện các vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng phải bằng không.

a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Nếu giá trị b y = 1, b z = 1 thì b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5. Theo đó tọa độ của vectơ b → (- 5, 1, 1). Vectơ b → là một trong các vectơ vuông góc với vectơ đã cho.

Câu trả lời: b → = (- 5, 1, 1).

Tìm tọa độ của một vectơ vuông góc với hai vectơ đã cho

Bạn cần tìm tọa độ của vectơ trong không gian ba chiều. Nó vuông góc với các vectơ không thẳng hàng a → (a x, a y, a z) và b → = (b x, b y, b z). Với điều kiện các vectơ a → và b → thẳng hàng, trong bài toán chỉ cần tìm một vectơ vuông góc với a → hoặc b → là đủ.

Khi giải, khái niệm tích vectơ của vectơ được sử dụng.

Tích chéo của vectơ a → và b → là vectơ đồng thời vuông góc với cả a → và b →. Để giải quyết vấn đề này, tích vectơ a → × b → được sử dụng. Đối với không gian ba chiều, nó có dạng a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Hãy để chúng tôi phân tích tích véc tơ chi tiết hơn bằng cách sử dụng ví dụ của bài toán.

Ví dụ 7

Các vectơ b → = (0, 2, 3) và a → = (2, 1, 0) đã cho. Tìm tọa độ của một vectơ vuông góc bất kỳ với dữ liệu tại cùng một thời điểm.

Dung dịch

Để giải, bạn cần tìm tích chéo của các vectơ. (Phải tham khảo đoạn tính toán xác định ma trậnđể tìm véc tơ). Chúng tôi nhận được:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Câu trả lời: (3 , - 6 , 4) - tọa độ của một vectơ đồng thời vuông góc với a → và b → cho trước.

Nếu bạn nhận thấy một sai sót trong văn bản, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl + Enter

Điều kiện vuông góc của vectơ

Các vectơ vuông góc nếu và chỉ khi tích chấm của chúng bằng không.

Hai vectơ a (xa; ya) và b (xb; yb) đã cho. Các vectơ này sẽ vuông góc nếu biểu thức xaxb + yayb = 0.

Các vectơ song song nếu tích chéo của chúng bằng 0

Phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng. Các công việc cơ bản về đường thẳng trên mặt phẳng.

Bất kỳ đường thẳng nào trên mặt phẳng có thể được cho bởi phương trình bậc nhất Ax + By + C = 0, và các hằng số A, B không đồng thời bằng 0, tức là A2 + B2  0. Phương trình bậc nhất này được gọi là phương trình tổng quát dài. Tùy thuộc vào các giá trị hằng số A, B và C có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt sau: - C = 0, A  0, B  0 - đường thẳng đi qua gốc tọa độ - A = 0, B  0, C  0 (Bởi

C \ u003d 0) - đường thẳng song song với trục Ox - B \ u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \ u003d 0) - đường thẳng song song với trục Oy - B \ u003d C \ u003d 0, A  0 - đường thẳng trùng với trục Oy - A \ u003d C \ u003d 0, B  0 - đường thẳng trùng với trục Ox Phương trình của đường thẳng có thể được biểu diễn bằng nhiều mẫu khác nhau tùy thuộc vào bất kỳ điều kiện ban đầu nhất định.

Nếu có ít nhất một trong các hệ số A, B, C ur-i Ax + By + C = 0 là 0, ur-e
gọi là chưa hoàn thiện. Bằng dạng phương trình của một đường thẳng, người ta có thể đánh giá vị trí của nó trên
chết tiệt ohh. Các trường hợp có thể xảy ra:
1 C = 0 L: Ax + By = 0 t. O (0,0) thỏa mãn phương trình này, có nghĩa là đường
đi qua nguồn gốc
2 A = 0 L: Wu + C = 0 - v-r bình thường n = (0, B) vuông góc với trục OX từ đây
nó theo sau rằng đường thẳng song song với trục x
3 V \ u003d 0 L: Ay + C \ u003d 0 0 - v-r n \ u003d (A, 0) vuông góc với trục OY từ đây
nó theo sau rằng đường thẳng song song với trục y
4 A = 0, C = 0 L: By = 0 (y = 0 (L = OX
5 B = 0, C = 0 L: Ax = 0 (x = 0 (L = OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - không đi qua gốc tọa độ và cắt nhau
cả hai trục.

Phương trình thẳng trên máy bayđi qua hai điểm đã cho và :

Góc giữa các mặt phẳng.

Tính toán các yếu tố quyết định

Việc tính toán các yếu tố quyết định dựa trên các thuộc tính đã biết của chúng, áp dụng cho các yếu tố quyết định của tất cả các đơn hàng. Các thuộc tính này là:

1. Nếu bạn sắp xếp lại hai hàng (hoặc hai cột) của định thức, thì định thức sẽ đổi dấu.

2. Nếu các phần tử tương ứng của hai cột (hoặc hai hàng) của định thức bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau thì định thức đó bằng không.

3. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu các hàng và cột được hoán đổi, giữ nguyên thứ tự của chúng.

4. Nếu tất cả các phần tử của bất kỳ hàng (hoặc cột) nào đều có nhân tử chung thì có thể lấy thừa số đó ra ngoài dấu định thức.

5. Giá trị của định thức sẽ không thay đổi nếu các phần tử tương ứng của hàng (hoặc cột) khác được cộng với các phần tử của một hàng (hoặc cột), nhân với cùng một số.

Ma trận và hành động trên chúng

Ma trận- một đối tượng toán học được viết dưới dạng một bảng chữ nhật gồm các số (hoặc các phần tử vòng) và cho phép các phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, v.v.) giữa nó và các đối tượng tương tự khác. Thông thường các ma trận được biểu diễn bằng bảng hai chiều (hình chữ nhật). Đôi khi ma trận nhiều chiều hoặc ma trận không phải là hình chữ nhật được xem xét.

Ma trận thường được ký hiệu là chữ viết hoa Bảng chữ cái Latinh và phân bổ bằng dấu ngoặc đơn "(...)" (cũng có một lựa chọn dấu ngoặc vuông"[…]" Hoặc đường thẳng kép "||… ||").

Các số tạo nên ma trận (các phần tử của ma trận) thường được ký hiệu bằng chữ cái giống như chính ma trận, nhưng là chữ thường (ví dụ, a11 là một phần tử của ma trận A).

Mỗi phần tử của ma trận có 2 chỉ số con (aij) - chữ "i" đầu tiên cho biết số hàng mà phần tử nằm trong đó và chữ "j" thứ hai là số của cột. Họ nói "ma trận thứ nguyên", có nghĩa là ma trận có m hàng và n cột. Luôn ở trong cùng một ma trận

Hoạt động ma trận

Gọi aij là các phần tử của ma trận A và bij là các phần tử của ma trận B.

Các phép toán tuyến tính:

Phép nhân ma trận A với một số λ (ký hiệu: λA) bao gồm việc xây dựng ma trận B, các phần tử của ma trận này nhận được bằng cách nhân mỗi phần tử của ma trận A với số này, tức là mỗi phần tử của ma trận B đều bằng nhau đến

Phép cộng ma trận A + B là phép toán tìm một ma trận C, tất cả các phần tử của nó đều bằng tổng từng cặp của tất cả các phần tử tương ứng của ma trận A và B, tức là mỗi phần tử của ma trận C bằng

Phép trừ ma trận A - B được định nghĩa tương tự như phép cộng, nó là phép toán tìm ma trận C có các phần tử

Phép cộng và phép trừ chỉ được phép đối với các ma trận có cùng kích thước.

Có một ma trận không Θ sao cho phép cộng của nó vào một ma trận khác A không làm thay đổi A, tức là

Tất cả các phần tử của ma trận 0 đều bằng không.

Hoạt động phi tuyến:

Phép nhân ma trận (ký hiệu: AB, ít thường xuyên hơn với dấu nhân) là một phép tính để tính ma trận C, các phần tử của ma trận bằng tổng các tích của các phần tử trong hàng tương ứng của thừa số đầu tiên và cột của thứ hai.cij = ∑ aikbkj k

Số nhân đầu tiên phải có nhiều cột như số hàng trong số thứ hai. Nếu ma trận A có kích thước B -, thì số chiều của tích AB = C của chúng là. Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.

Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp. Chỉ ma trận vuông có thể được nâng lên thành lũy thừa.

Chuyển vị ma trận (ký hiệu: AT) là một phép toán trong đó ma trận được phản ánh dọc theo đường chéo chính, tức là

Nếu A là ma trận kích thước thì AT là ma trận kích thước

Phát sinh chức năng phức tạp

Hàm phức có dạng: F (x) = f (g (x)), tức là là một hàm của một hàm. Ví dụ: y = sin2x, y = ln (x2 + 2x), v.v.

Nếu tại điểm x thì hàm g (x) là đạo hàm g "(x) và tại điểm u \ u003d g (x) hàm f (u) có đạo hàm f" (u) thì đạo hàm của Hàm số phức f (g (x)) tại điểm x tồn tại và bằng f "(u) g" (x).

Phát sinh chức năng tiềm ẩn

Trong nhiều bài toán, hàm y (x) được xác định một cách gián tiếp. Ví dụ, đối với các chức năng bên dưới

không thể có được sự phụ thuộc y (x) một cách rõ ràng.

Thuật toán tính đạo hàm y "(x) của một hàm ẩn như sau:

Đầu tiên, bạn cần phân biệt cả hai vế của phương trình đối với x, giả sử rằng y là một hàm phân biệt của x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm của một hàm phức;

Giải phương trình kết quả theo đạo hàm y "(x).

Hãy xem một vài ví dụ để minh họa.

Phân biệt hàm số y (x) đã cho bởi phương trình.

Phân biệt cả hai vế của phương trình đối với biến x:

dẫn đến kết quả

Quy tắc Lapital

Quy tắc của L'Hopital. Cho f-tion f (x) và g (x) có trong env. t-ki x0 pr-nye f ‘và g‘ loại trừ khả năng xảy ra chính t-ku x0 này. Đặt lim (x®Dx) = lim (x®Dx) g (x) = 0 sao cho f (x) / g (x) với x®x0 cho 0/0. lim (x®x0) f '(x) / g' (x) $ (4) khi nó trùng với giới hạn tỉ số của hàm lim (x®x0) f (x) / g (x) = lim (x ®x0) f '(x) / g' (x) (5)

44 .1. (Tiêu chuẩn về tính đơn điệu của hàm số có đạo hàm trên một khoảng) Cho hàm số liên tục

(a, b) và có đạo hàm f "(x) tại mọi điểm. Khi đó

1) f tăng lên (a, b) nếu và chỉ khi

2) giảm trên (a, b) nếu và chỉ khi

2. (Đủ điều kiện tính đơn điệu nghiêm ngặt của một hàm số có đạo hàm trên một khoảng) Cho hàm số liên tục trên (a, b) và có đạo hàm f "(x) tại mọi điểm. Khi đó

1) nếu thì f đang tăng dần trên (a, b);

2) nếu thì f đang giảm dần trên (a, b).

Nói chung là không đúng. Đạo hàm của một hàm đơn điệu nghiêm ngặt có thể biến mất. Tuy nhiên, tập hợp các điểm mà đạo hàm không bằng 0 phải dày đặc trên khoảng (a, b). Chính xác hơn, nó diễn ra.

3. (Một tiêu chí cho tính đơn điệu nghiêm ngặt của một hàm số có đạo hàm trên một khoảng) Cho và đạo hàm f "(x) được xác định ở mọi nơi trên khoảng. Khi đó f tăng đúng trên khoảng (a, b) nếu và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

Tích vô hướng của vectơ. Góc giữa các vectơ. Điều kiện song song hay vuông góc của vectơ.

Tích vô hướng của vectơ là tích của độ dài của chúng và côsin của góc giữa chúng:

Theo cách giống hệt như trong phép đo phẳng, các khẳng định sau được chứng minh:

Tích vô hướng của hai vectơ khác 0 bằng 0 nếu và chỉ khi các vectơ này vuông góc.

Hình vuông chấm của một vectơ, tức là tích chấm của chính nó và của chính nó, bằng bình phương chiều dài của nó.

Tích vô hướng của hai vectơ và được cho bởi tọa độ của chúng có thể được tính bằng công thức

Các vectơ vuông góc nếu và chỉ khi tích chấm của chúng bằng không. Thí dụ. Cho hai vectơ và. Các vectơ này sẽ vuông góc với nhau nếu biểu thức x1x2 + y1y2 = 0. Góc giữa các vectơ khác 0 là góc giữa các đường thẳng mà các vectơ này là hướng dẫn. Theo định nghĩa, góc giữa một vectơ bất kỳ và một vectơ 0 được coi là bằng không. Nếu góc giữa các vectơ là 90 ° thì các vectơ đó được gọi là vuông góc. Góc giữa các vectơ sẽ được ký hiệu như sau: