So sánh phân số thường và phân số thập phân. So sánh số thập phân hữu hạn và vô hạn: quy tắc, ví dụ, giải pháp

MỤC 7 CÁC HÀNH VI VÀ HÀNH ĐỘNG QUYẾT ĐỊNH VỚI CHÚNG

Trong phần này, bạn sẽ tìm hiểu:

phân số thập phân là gì và cấu trúc của nó là gì;

cách so sánh các số thập phân;

quy tắc cộng, trừ phân số thập phân là gì;

cách tìm tích và thương của hai phân số thập phân;

làm tròn số là gì và cách làm tròn số;

làm thế nào để áp dụng các tài liệu đã học vào thực tế

§ 29. PHÂN TÍCH DECIMAL LÀ GÌ. SO SÁNH CÁC KHOẢNG CÁCH QUYẾT ĐỊNH

Nhìn vào hình 220. Bạn có thể thấy rằng độ dài của đoạn thẳng AB là 7 mm và độ dài của đoạn thẳng DC là 18 mm. Để cung cấp độ dài của các đoạn này theo đơn vị cm, bạn cần sử dụng các phân số:

Bạn biết nhiều ví dụ khác trong đó các phân số có mẫu số 10,100, 1000, và các loại tương tự được sử dụng. Cho nên,

Các phân số như vậy được gọi là số thập phân. Để ghi lại, họ sử dụng một hình thức tiện lợi hơn, do thước đo từ phụ kiện của bạn gợi ý. Hãy xem ví dụ được đề cập.

Bạn biết rằng chiều dài của đoạn DC (Hình. 220) có thể được biểu thị dưới dạng hỗn số

Nếu ta đặt dấu phẩy sau phần nguyên của số này và sau nó là tử số của phần phân số, thì ta được kí hiệu gọn hơn: 1,8 cm. Đối với đoạn thẳng AB, ta nhận được: 0,7 cm. Thật vậy, phân số là đúng, nó nhỏ hơn một, do đó Toàn bộ phần là 0. Các số 1,8 và 0,7 là ví dụ về phân số thập phân.

Phân số thập phân 1,8 được đọc như thế này: "một phẩy tám", và phân số 0,7 - "không phẩy bảy".

Cách viết phân số ở dạng thập phân? Để làm điều này, bạn cần biết cấu trúc của ký hiệu thập phân.

Trong ký hiệu thập phân, luôn có một số nguyên và một phần thập phân. chúng được phân tách bằng dấu phẩy. Trong toàn bộ phần, các lớp và cấp bậc giống như đối với số tự nhiên. Bạn biết rằng đây là các lớp đơn vị, hàng nghìn, hàng triệu, v.v. và mỗi lớp có 3 chữ số - hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm. Trong phần thập phân của phân số thập phân, các lớp không được phân biệt và có thể có bao nhiêu chữ số tùy thích, tên của chúng tương ứng với tên của mẫu số của phân số - phần mười, phần trăm, phần nghìn, phần mười nghìn, phần trăm nghìn, phần triệu , mười phần triệu, v.v. Vị trí thứ mười là vị trí cũ nhất trong phần phân số của một số thập phân.

Trong bảng 40, bạn thấy tên của các chữ số thập phân và số "một trăm hai mươi ba số nguyên và bốn nghìn năm trăm sáu trăm phần nghìn" hoặc

Tên của phần phân số "trăm nghìn" trong một phân số thông thường xác định mẫu số của nó và ở dạng thập phân - chữ số cuối cùng của phần phân số của nó. Bạn thấy rằng trong tử số của phần phân số của số ít hơn một chữ số so với số không ở mẫu số. Nếu điều này không được tính đến, thì chúng tôi sẽ gặp lỗi khi viết phần phân số - thay vì 4506 phần trăm nghìn, chúng tôi sẽ viết 4506 phần mười nghìn, nhưng

Do đó, trong mục số đã cho phân số thập phân phải đặt 0 sau dấu thập phân (ở vị trí thứ mười): 123.04506.

Ghi chú:

trong một phân số thập phân, phải có bao nhiêu chữ số sau dấu thập phân vì có các số không ở mẫu số của phân số thông thường tương ứng.

Bây giờ chúng ta có thể viết phân số

ở dạng số thập phân.

Số thập phân có thể được so sánh giống như số tự nhiên. Nếu có nhiều chữ số trong bản ghi thập phân, thì chúng sử dụng quy tắc đặc biệt. Hãy xem xét các ví dụ.

Nhiệm vụ. So sánh các phân số: 1) 96.234 và 830.123; 2) 3,574 và 3,547.

Các giải pháp. 1, Phần nguyên của phân số thứ nhất là số có hai chữ số 96 và phần nguyên của phân số thứ hai là số có ba chữ số 830, do đó:

96,234 < 830,123.

2. Trong các tích của phân số 3,574 và 3,547 và các phần nguyên bằng nhau. Do đó, chúng tôi so sánh các phần phân số của chúng từng chút một. Để làm điều này, chúng tôi viết các phân số này bên dưới phần còn lại:

Mỗi phân số có 5 phần mười. Nhưng trong phần đầu tiên có 7 phần trăm, và trong phần thứ hai - chỉ có 4 phần trăm. Do đó, phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai: 3,574> 3,547.

Quy tắc so sánh phân số thập phân.

1. Trong hai phân số thập phân, phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

2. Nếu phần nguyên của phân số thập phân bằng nhau, thì phần phân số của chúng được so sánh từng chút một, bắt đầu từ chữ số có nghĩa nhất.

Giống như các phân số thông thường, các phân số thập phân có thể được đặt trên chùm tọa độ. Trong hình 221, bạn thấy rằng các điểm A, B và C có tọa độ: A (0,2), B (0,9), C (1,6).

Tìm hiểu thêm

Số thập phân có liên quan đến hệ thống số vị trí thập phân. Tuy nhiên, sự xuất hiện của chúng có lịch sử lâu đời hơn và gắn liền với tên tuổi của nhà toán học và thiên văn học kiệt xuất al-Kashi ( Họ và tên- Jamshid ibn-Masudal-Kashi). Trong tác phẩm "Chìa khóa số học" (thế kỷ XV), lần đầu tiên ông xây dựng các quy tắc cho các hành động với phân số thập phân, đưa ra các ví dụ về việc thực hiện các hành động với chúng. Không biết gì về việc phát hiện ra al-Kashi, nhà toán học và kỹ sư người Flemish Simon Stevin đã “phát hiện” ra phân số thập phân lần thứ hai khoảng 150 năm sau đó. Trong tác phẩm "Số thập phân" (1585 tr.), S. Stevin đã nêu ra lý thuyết về phân số thập phân. Ông đã quảng bá chúng theo mọi cách có thể, nhấn mạnh sự tiện lợi của phân số thập phân đối với các phép tính thực tế.

Tách phần nguyên khỏi phân số thập phân được đề xuất theo nhiều cách khác nhau. Vì vậy, al-Kashi đã viết các phần nguyên và phân số bằng mực khác nhau hoặc đặt một đường thẳng đứng giữa chúng. S. Stevin đặt một số 0 trong một vòng tròn để tách phần nguyên ra khỏi phần phân số. Dấu phẩy được chấp nhận trong thời đại chúng ta do nhà thiên văn học nổi tiếng người Đức Johannes Kepler (1571 - 1630) đề xuất.

GIẢI QUYẾT CÁC THÁCH THỨC

1173. Viết độ dài đoạn thẳng AB theo đơn vị cm nếu:

1) AB = 5mm; 2) AB = 8mm; 3) AB = 9mm; 4) AB = 2mm.

1174. Đọc phân số:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Gọi tên: a) phần nguyên của phân số; b) phần nhỏ của phân số; c) các chữ số của một phân số.

1175. Cho một ví dụ về phân số thập phân trong đó dấu thập phân là:

1) một chữ số; 2) hai chữ số; 3) ba chữ số.

1176. Một phân số thập phân có bao nhiêu chữ số thập phân nếu mẫu số của phân số thông thường tương ứng bằng:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. Phân số nào có phần nguyên lớn hơn:

1) 12,5 hoặc 115,2; 4) 789.154 hoặc 78.4569;

2) 5,25 hoặc 35,26; 5) 1258.00265 hoặc 125.0333;

3) 185,25 hoặc 56,325; 6) 1269.569 hoặc 16.12?

1178. Trong dãy số 1256897, hãy tách chữ số tận cùng bằng dấu phẩy rồi đọc số ta được. Sau đó, sắp xếp lại tuần tự dấu phẩy sang bên trái một chữ số và đặt tên cho các phân số mà bạn nhận được.

1179. Đọc các phân số và viết chúng dưới dạng phân số thập phân:

1180 Đọc các phân số và viết chúng dưới dạng số thập phân:

1181. Viết dưới dạng phân số thông thường:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Viết dưới dạng phân số thông thường:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Viết lại dưới dạng phân số thập phân:

1) 8 nguyên 3 phần mười; 5) 145 điểm 14;

2) 12 nguyên 5 phần mười; 6) 125 điểm 19;

3) 0 nguyên 5 phần mười; 7) 0 nguyên 12 phần trăm;

4) 12 nguyên 34 phần trăm; 8) 0 nguyên 3 phần trăm.

1184. Viết dưới dạng phân số thập phân:

1) không đến tám phần nghìn;

2) hai mươi phẩy bốn phần trăm;

3) mười ba phẩy năm phần trăm;

4) một trăm bốn mươi lăm phẩy hai phần trăm.

1185. Viết phần chia sẻ dưới dạng phân số và sau đó dưới dạng số thập phân:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Viết theo mẫu hỗn số, và sau đó dưới dạng số thập phân:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Viết dưới dạng hỗn số và sau đó dưới dạng số thập phân:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Thể hiện bằng hryvnias:

1) 35 k; 2) 6 k; 3) 12 UAH 35 kopecks; 4) 123k.

1189. Thể hiện bằng hryvnias:

1) 58 k; 2) 2 đến; 3) 56 UAH 55 kopecks; 4) 175k.

1190. Viết ra bằng hryvnias và kopecks:

1) 10,34 UAH; 2) UAH 12.03; 3) 0,52 UAH; 4) UAH 126,05

1191. Biểu thị đơn vị mét và viết câu trả lời dưới dạng phân số thập phân: 1) 5 m 7 dm; 2) 15 m 58 cm; 3) 5 m 2 mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.

1192. Biểu thị bằng ki-lô-mét và viết câu trả lời dưới dạng phân số thập phân: 1) 3 km 175 m; 2) 45 km 47 m; 3) 15 km 2 m.

1193. Viết ra đơn vị mét và cm:

1) 12,55 m; 2) 2,06 m; 3) 0,25 m; 4) 0,08 m.

1194. Độ sâu lớn nhất của Biển Đen là 2,211 km. Biểu thị độ sâu của biển theo đơn vị mét.

1195. So sánh các phân số:

1) 15,5 và 16,5; 5) 4,2 và 4,3; 9) 1,4 và 1,52;

2) 12,4 và 12,5; 6) 14,5 và 15,5; 10) 4,568 và 4,569;

3) 45,8 và 45,59; 7) 43,04 và 43,1; 11) 78.45178.458;

4) 0,4 và 0,6; 8) 1,23 và 1,364; 12) 2,25 và 2,243.

1196. So sánh các phân số:

1) 78,5 và 79,5; 3) 78,3 và 78,89; 5) 25,03 và 25,3;

2) 22,3 và 22,7; 4) 0,3 và 0,8; 6) 23,569 và 23,568.

1197. Viết các phân số thập phân theo thứ tự tăng dần:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Viết các phân số thập phân theo thứ tự giảm dần:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Thể hiện trong mét vuông và viết dưới dạng số thập phân:

1) 5 dm2; 2) 15 cm2; 3) 5dm212cm2.

1200. Căn phòng có dạng hình chữ nhật. Chiều dài của nó là 90 dm và chiều rộng là 40 dm. Tìm diện tích của căn phòng. Viết câu trả lời của bạn theo đơn vị mét vuông.

1201. So sánh các phân số:

1) 0,04 và 0,06; 5) 1,003 và 1,03; 9) 120.058 và 120.051;

2) 402,0022 và 40,003; 6) 1,05 và 1,005; 10) 78,05 và 78,58;

3) 104,05 và 105,05; 7) 4.0502 và 4.0503; 11) 2,205 và 2,253;

4) 40,04 và 40,01; 8) 60.4007і60.04007; 12) 20.12 và 25.012.

1202. So sánh các phân số:

1) 0,03 và 0,3; 4) 6,4012 và 6,404;

2) 5,03 và 5,003; 5) 450.025 và 450.2054;

1203. Viết ra năm phân số thập phân nằm giữa các phân số trên tia tọa độ:

1) 6,2 và 6,3; 2) 9,2 và 9,3; 3) 5,8 và 5,9; 4) 0,4 và 0,5.

1204. Viết ra năm phân số thập phân nằm giữa các phân số trên tia tọa độ: 1) 3.1 và 3.2; 2) 7,4 và 7,5.

1205. Giữa hai số tự nhiên liền kề nào là một phân số thập phân được đặt:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Viết ra năm phân số thập phân mà bất đẳng thức là đúng:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Viết ra năm phân số thập phân mà bất đẳng thức là đúng:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Viết ra điều vĩ đại nhất số thập phân:

1) có hai chữ số sau dấu thập phân, nhỏ hơn 2;

2) với một chữ số sau dấu thập phân nhỏ hơn 3;

3) với ba chữ số sau dấu thập phân, nhỏ hơn 4;

4) với bốn chữ số sau dấu thập phân, nhỏ hơn 1.

1209. Viết ra phân số thập phân nhỏ nhất:

1) có hai chữ số sau dấu thập phân, lớn hơn 2;

2) có ba chữ số sau dấu thập phân, lớn hơn 4.

1210. Viết ra tất cả các số có thể đặt thay cho dấu hoa thị để có bất đẳng thức đúng:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Có thể đặt số nào thay cho dấu hoa thị để có bất đẳng thức đúng:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Viết tất cả các phân số thập phân, có phần nguyên là 6, phần thập phân có ba chữ số thập phân được viết là 7 và 8. Viết các phân số này theo thứ tự giảm dần.

1213. Viết lại sáu phân số thập phân, tổng của chúng là 45 và phần của phân số gồm bốn những con số khác nhau: 1, 2, 3, 4. Viết các phân số này theo thứ tự tăng dần.

1214. Có thể lập được bao nhiêu phân số thập phân mà phần nguyên bằng 86 và phần phân số gồm ba chữ số khác nhau: 1,2,3?

1215. Có thể lập được bao nhiêu phân số thập phân mà phần nguyên bằng 5 và phần phân số có ba chữ số, viết là 6 và 7? Viết các phân số này theo thứ tự giảm dần.

1216. Gạch bỏ ba số không trong số 50.004007 để nó tạo thành:

1) số lượng lớn nhất; 2) số nhỏ nhất.

ÁP DỤNG TRONG THỰC TẾ

1217. Đo chiều dài và chiều rộng của cuốn sổ của bạn bằng milimét và viết ra câu trả lời của bạn theo đơn vị milimet.

1218. Viết ra chiều cao của bạn theo đơn vị mét bằng phân số thập phân.

1219. Đo kích thước của căn phòng của bạn và tính chu vi và diện tích của nó. Viết câu trả lời của bạn theo đơn vị mét và mét vuông.

NHIỆM VỤ CÀI ĐẶT

1220. Với những giá trị nào của x thì một phân số không đúng?

1221. Giải phương trình:

1222. Cửa hàng phải bán 714 kg táo. Trong ngày đầu tiên, tất cả số táo đã được bán, và ngày thứ hai - từ những gì đã bán vào ngày đầu tiên. Hỏi trong 2 ngày bán được bao nhiêu quả táo?

1223. Giảm 10 cm cạnh của một hình lập phương thì thu được một hình lập phương có thể tích là 8 dm3. Tìm thể tích của hình lập phương thứ nhất.

Mục đích của bài học:

tạo điều kiện để rút ra quy tắc so sánh các phân số thập phân và khả năng vận dụng quy tắc đó;
ghi lại phân số bình thường dưới dạng số thập phân, làm tròn số thập phân;
phát triển, xây dựng suy nghĩ logic, khả năng khái quát hóa, kỹ năng nghiên cứu, diễn thuyết.

Trong các lớp học

Các bạn ơi, hãy nhớ lại những gì chúng ta đã làm với các bạn trong các bài học trước nhé?

Trả lời:đã học phân số thập phân, viết phân số thông thường dưới dạng số thập phân và ngược lại, làm tròn số thập phân.

Bạn muốn làm gì hôm nay?

(Học sinh trả lời.)

Tuy nhiên, chúng ta sẽ làm gì trong bài học, bạn sẽ tìm hiểu sau vài phút. Mở sổ tay, ghi ngày tháng. Một học sinh sẽ lên bảng, ai sẽ làm việc với mặt trái bảng. Tôi sẽ cung cấp cho bạn các nhiệm vụ mà bạn hoàn thành bằng miệng. Viết câu trả lời vào vở thành dòng cách nhau bằng dấu chấm phẩy. Học sinh trên bảng đen viết vào một cột.

Tôi đọc các nhiệm vụ được viết sẵn trên bảng:

Hãy kiểm tra. Ai có câu trả lời khác? Hãy nhớ các quy tắc.

Lấy: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Đặt mẫu và tiếp tục chuỗi kết quả cho 2 số khác. Hãy kiểm tra.

Lấy bảng điểm và dưới mỗi số (người trả lời trên bảng đặt một chữ cái bên cạnh số đó) đặt chữ cái tương ứng. Đọc từ.

Giải mã:

Vậy chúng ta sẽ làm gì trong lớp?

Trả lời: sự so sánh.

Bằng cách so sánh! Ví dụ, bây giờ tôi sẽ bắt đầu so sánh hai bàn tay của tôi, 2 cuốn sách giáo khoa, 3 chiếc thước kẻ. Bạn muốn so sánh điều gì?

Trả lời: Phân số thập phân.

Chủ đề của bài là gì?

Tôi ghi đề bài lên bảng, học sinh làm vào vở: “So sánh các phân số thập phân”.

Bài tập: so sánh các số (viết trên bảng)

18,625 và 5,784		15.200 và 15.200
3.0251 và 21.02		7,65 và 7,8
23,0521 và 0,0521		0,089 và 0,0081

Đầu tiên, mở phía bên trái. Toàn bộ các bộ phận là khác nhau. Ta rút ra kết luận về việc so sánh phân số thập phân có phần nguyên khác nhau. Chúng tôi mở bên phải. toàn bộ bộ phận - những con số giống nhau. Làm thế nào để so sánh?

Phục vụ: viết phân số thập phân dưới dạng phân số thường gặp và so sánh.

Viết phép so sánh các phân số thông thường. Nếu quy đổi mỗi số thập phân thành phân số chung rồi so sánh 2 phân số thì sẽ mất nhiều thời gian. Chúng ta có thể rút ra một quy tắc so sánh không? (Học sinh gợi ý.) Tôi đã viết ra quy tắc so sánh các phân số thập phân mà tác giả gợi ý. Hãy so sánh.

Có 2 quy tắc được in trên một tờ giấy:

Nếu phần nguyên của phân số thập phân khác nhau thì phân số đó lớn hơn, phân số đó có phần nguyên lớn hơn.
Nếu phần nguyên của các phân số thập phân giống nhau, thì phân số lớn hơn là phân số có chữ số đầu tiên lớn hơn không khớp sau dấu thập phân.

Chúng tôi đã thực hiện một khám phá. Và khám phá này là quy tắc để so sánh các phân số thập phân. Nó trùng hợp với quy tắc mà tác giả của sách giáo khoa đề xuất.

Tôi nhận thấy rằng các quy tắc nói rằng phân số nào trong 2 phân số lớn hơn. Bạn có thể cho tôi biết cái nào trong 2 số thập phân nhỏ hơn.

Hoàn thành vở số 785 (1, 2) trang 172. Bài làm trên bảng. Học sinh nhận xét và giáo viên đặt dấu hiệu.

Bài tập: so sánh

3,4208 và 3,4028

Vậy hôm nay chúng ta đã học để làm gì? Hãy tự kiểm tra. Làm việc trên các tờ giấy bằng giấy than.

Học sinh so sánh các số thập phân bằng cách sử dụng dấu>.<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Làm việc độc lập.

(Đánh dấu vào câu trả lời ở mặt sau của bảng.)

So sánh

148,05 và 14,805

6.44806 và 6.44863

35,601 và 35,6010

Người đầu tiên làm được nhiệm vụ (thực hiện từ mặt sau của bảng) số 786 (1, 2):

Tìm một mẫu và viết ra số tiếp theo trong dãy. Các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, thứ tự giảm dần theo thứ tự nào?

Trả lời:

0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) - đang giảm
0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) - tăng.

Sau khi học sinh cuối cùng nộp bài - kiểm tra.

Học sinh so sánh câu trả lời của mình.

Những người làm đúng mọi thứ sẽ tự đánh dấu mình là “5”, những người mắc 1-2 sai lầm - “4”, 3 sai lầm - “3”. Tìm hiểu lỗi so sánh nào đã được thực hiện, cho quy tắc nào.

Ghi vở bài tập: Số 813, Số 814 (tiết 4, tr. 171). Nhận xét. Nếu còn thời gian, thực hiện số 786 (1, 3), số 793 (a).

Tóm tắt nội dung bài học.

Các bạn đã học để làm gì trong lớp?
Bạn thích hay không thích?
Những khó khăn là gì?

Lấy tờ rơi và điền vào, cho biết mức độ đồng hóa của bạn với tài liệu:

hoàn toàn làm chủ, tôi có thể thực hiện;
đã học hoàn toàn, nhưng cảm thấy khó áp dụng;
mua lại một phần;
không có được.

Cảm ơn bạn về bài học.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ đề cập đến chủ đề so sánh thập phân". Trước tiên, chúng ta hãy thảo luận về nguyên tắc chung của việc so sánh các phân số thập phân. Sau đó, chúng ta sẽ tìm ra phân số thập phân nào bằng nhau và phân số nào không bằng nhau. Tiếp theo, chúng ta sẽ học cách xác định phân số thập phân nào lớn hơn và nhỏ hơn. Để làm được điều này, chúng ta sẽ nghiên cứu quy tắc so sánh các phân số hữu hạn, vô hạn tuần hoàn và vô hạn tuần hoàn. Chúng tôi sẽ cung cấp toàn bộ lý thuyết với các ví dụ với lời giải chi tiết. Tóm lại, chúng ta hãy đi sâu vào so sánh phân số thập phân với số tự nhiên, phân số thường và hỗn số.

Hãy nói ngay rằng ở đây chúng ta sẽ chỉ nói về việc so sánh các phân số thập phân dương (xem số dương và số âm). Các trường hợp còn lại được phân tích trong các bài so sánh số hữu tỉ và so sánh các số thực.

Điều hướng trang.

Nguyên tắc chung để so sánh các phân số thập phân

Dựa trên nguyên tắc so sánh này, các quy tắc để so sánh các phân số thập phân được rút ra, giúp bạn có thể thực hiện mà không cần chuyển các phân số thập phân đã so sánh thành phân số thông thường. Các quy tắc này, cũng như các ví dụ về ứng dụng của chúng, chúng tôi sẽ phân tích trong các đoạn sau.

Theo nguyên tắc tương tự, phân số thập phân hữu hạn hoặc phân số thập phân vô hạn tuần hoàn được so sánh với số tự nhiên, phân số thông thường và hỗn số: các số được so sánh được thay thế bằng phân số thông thường tương ứng của chúng, sau đó các phân số thông thường được so sánh.

Liên quan so sánh các số thập phân vô hạn không lặp lại, sau đó nó thường chuyển sang so sánh các phân số thập phân cuối cùng. Để làm điều này, hãy xem xét một số dấu hiệu của các phân số thập phân vô hạn được so sánh không tuần hoàn, cho phép bạn nhận được kết quả của phép so sánh.

Số thập phân bằng nhau và không bằng nhau

Đầu tiên chúng tôi giới thiệu định nghĩa về số thập phân cuối cùng bằng nhau và không bằng nhau.

Sự định nghĩa.

Hai số thập phân ở cuối được gọi là bình đẳng nếu các phân số chung tương ứng của chúng bằng nhau, nếu không thì các phân số thập phân này được gọi là ngang nhau.

Dựa trên định nghĩa này, ta có thể dễ dàng chứng minh cho phát biểu sau: nếu ở cuối một phân số thập phân cho trước, chúng ta quy hoặc loại bỏ một số chữ số 0, thì chúng ta nhận được một phân số thập phân bằng nó. Ví dụ: 0,3 = 0,30 = 0,300 =… và 140,000 = 140,00 = 140,0 = 140.

Thật vậy, thêm hoặc bớt số 0 ở cuối một phân số thập phân ở bên phải tương ứng với việc nhân hoặc chia cho 10 tử số và mẫu số của phân số thông thường tương ứng. Và chúng ta biết tính chất cơ bản của một phân số, nói rằng nhân hoặc chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên sẽ cho một phân số bằng phân số ban đầu. Điều này chứng tỏ rằng việc thêm hoặc loại bỏ các số không ở bên phải trong phần thập phân của một phân số thập phân sẽ cho một phân số bằng với phân số ban đầu.

Ví dụ, một phân số thập phân 0,5 tương ứng với một phân số thông thường 5/10, sau khi thêm số 0 vào bên phải, một phân số thập phân 0,50 thu được, tương ứng với một phân số thông thường 50/100, và. Vậy 0,5 = 0,50. Ngược lại, nếu trong phân số thập phân 0,50 loại bỏ 0 ở bên phải, thì chúng ta nhận được một phân số 0,5, vì vậy từ một phân số thông thường 50/100, chúng ta sẽ đến một phân số 5/10, nhưng . Do đó, 0,50 = 0,5.

Hãy chuyển sang định nghĩa các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn bằng nhau và không bằng nhau.

Sự định nghĩa.

Hai phân số tuần hoàn vô hạn bình đẳng, nếu các phân số thông thường tương ứng với chúng bằng nhau; nếu các phân số thông thường tương ứng với chúng không bằng nhau, thì các phân số tuần hoàn được so sánh cũng là không công bằng.

Ba kết luận theo sau từ định nghĩa này:

Nếu các bản ghi về các phân số thập phân tuần hoàn hoàn toàn giống nhau, thì các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn đó cũng bằng nhau. Ví dụ, các số thập phân tuần hoàn 0,34 (2987) và 0,34 (2987) là bằng nhau.
Nếu chu kỳ của các phân số tuần hoàn trong số thập phân được so sánh bắt đầu từ cùng một vị trí thì phân số thứ nhất có chu kỳ là 0, phân số thứ hai có chu kỳ là 9 và giá trị của chữ số đứng trước chu kỳ 0 hơn giá trị của chữ số đó một lần. trước chu kỳ 9, thì các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn như vậy bằng nhau. Ví dụ, các phân số tuần hoàn 8.3 (0) và 8.2 (9) bằng nhau, và các phân số 141, (0) và 140, (9) cũng bằng nhau.
Hai phân số tuần hoàn khác bất kỳ không bằng nhau. Dưới đây là các ví dụ về phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không bằng nhau: 9,0 (4) và 7, (21), 0, (12) và 0, (121), 10, (0) và 9,8 (9).

Nó vẫn còn để giải quyết phân số thập phân vô hạn tuần hoàn bằng nhau và không bằng nhau. Như bạn đã biết, các phân số thập phân như vậy không thể chuyển thành phân số thông thường (các phân số thập phân như vậy biểu thị số vô tỉ), vì vậy việc so sánh các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không thể được rút gọn thành so sánh với các phân số thông thường.

Sự định nghĩa.

Hai số thập phân vô hạn không lặp lại bình đẳng nếu mục nhập của họ khớp chính xác.

Nhưng có một lưu ý: không thể xem bản ghi "hoàn thành" của các phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn, do đó, không thể chắc chắn về sự trùng hợp hoàn toàn của các bản ghi của chúng. Làm sao để?

Khi so sánh các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn, chỉ xét một số hữu hạn dấu của các phân số được so sánh, điều này cho phép ta rút ra các kết luận cần thiết. Như vậy, phép so sánh các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn được rút gọn thành phép so sánh các phân số thập phân hữu hạn.

Với cách tiếp cận này, chúng ta có thể nói về sự bằng nhau của các phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn chỉ tính đến chữ số được xét. Hãy đưa ra các ví dụ. Các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn 5,45839 ... và 5,45839 ... bằng nhau trong phần trăm nghìn, vì các phân số thập phân cuối cùng là 5,45839 và 5,45839 bằng nhau; các phân số thập phân không lặp lại 19,54 ... và 19,54810375 ... bằng hàng trăm gần nhất, vì các phân số 19,54 và 19,54 bằng nhau.

Bất đẳng thức của phân số thập phân vô hạn không tuần hoàn với cách tiếp cận này được thiết lập khá chắc chắn. Ví dụ, các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn 5.6789… và 5.67732… không bằng nhau, vì sự khác biệt trong bản ghi của chúng là rõ ràng (các phân số thập phân cuối cùng là 5.6789 và 5.6773 không bằng nhau). Các số thập phân vô hạn 6,49354 ... và 7,53789 ... cũng không bằng nhau.

Quy tắc so sánh phân số thập phân, ví dụ, cách giải

Sau khi thiết lập thực tế là hai phân số thập phân không bằng nhau, thường phải tìm xem phân số nào lớn hơn và phân số nào nhỏ hơn. Bây giờ chúng ta sẽ phân tích các quy tắc so sánh các phân số thập phân, cho phép chúng ta trả lời câu hỏi được đặt ra.

Trong nhiều trường hợp, chỉ cần so sánh các phần nguyên của các số thập phân được so sánh là đủ. Sau đây là sự thật quy tắc so sánh thập phân: lớn hơn phân số thập phân, phần nguyên của nó lớn hơn và nhỏ hơn phân số thập phân, phần nguyên của nó nhỏ hơn.

Quy tắc này áp dụng cho cả số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn. Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ.

So sánh số thập phân 9,43 và 7,983023….

Quyết định.

Rõ ràng, các phân số thập phân này không bằng nhau. Phần nguyên của số thập phân 9,43 cuối cùng là 9 và phần nguyên của vô hạn không phải là phân số tuần hoàn 7,983023… bằng 7. Vì 9> 7 (xem phần so sánh các số tự nhiên) nên 9,43> 7,983023.

Trả lời:

9,43>7,983023 .

Ví dụ.

Số thập phân 49,43 (14) và 1,045,45029 ... nào nhỏ hơn?

Quyết định.

Phần nguyên của phân số tuần hoàn 49,43 (14) nhỏ hơn phần nguyên của phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn 1 045.45029…, do đó, 49,43 (14)<1 045,45029… .

Trả lời:

49,43(14) .

Nếu phần nguyên của các phân số thập phân được so sánh bằng nhau, thì để tìm ra cái nào lớn hơn và cái nào nhỏ hơn, người ta phải so sánh các phần của phân số. So sánh các phần của phân số thập phân được thực hiện từng chút một- từ loại phần mười đến loại trẻ hơn.

Đầu tiên, chúng ta hãy xem một ví dụ về việc so sánh hai phân số thập phân cuối cùng.

Ví dụ.

So sánh các số thập phân tận cùng 0,87 và 0,8521.

Quyết định.

Phần nguyên của các phân số thập phân này bằng nhau (0 = 0), vì vậy chúng ta hãy chuyển sang so sánh các phần của phân số. Giá trị của vị trí phần mười bằng nhau (8 = 8) và giá trị của vị trí hàng trăm của phân số 0,87 lớn hơn giá trị của vị trí hàng trăm của phân số 0,8521 (7> 5). Do đó, 0,87> 0,8521.

Trả lời:

0,87>0,8521 .

Đôi khi, để so sánh các số thập phân theo sau với số tiền khác nhau vị trí thập phân, một phân số có ít chữ số thập phân hơn phải được thêm vào với một số số không nhất định ở bên phải. Khá thuận tiện để cân bằng số vị trí thập phân trước khi bắt đầu so sánh các phân số thập phân cuối cùng bằng cách thêm một số số không nhất định vào bên phải một trong số chúng.

Ví dụ.

So sánh các số thập phân ở sau 18,00405 và 18,0040532.

Quyết định.

Rõ ràng, các phân số này không bằng nhau, vì bản ghi của chúng khác nhau, nhưng đồng thời chúng có phần nguyên bằng nhau (18 = 18).

Trước khi so sánh từng bit các phần của các phân số này, chúng ta cân bằng số chữ số thập phân. Để làm điều này, chúng tôi gán hai chữ số 0 ở cuối phân số 18.00405, trong khi chúng tôi nhận được phân số thập phân bằng 18.0040500.

Giá trị vị trí thập phân các phân số 18,0040500 và 18,0040532 bằng nhau đến hàng trăm nghìn và giá trị của vị trí thứ một triệu là 18,0040500 ít giá trị hơn chữ số tương ứng của phân số 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

Trả lời:

18,00405<18,0040532 .

Khi so sánh một phân số thập phân hữu hạn với một vô hạn, phân số cuối cùng được thay bằng một phân số vô hạn tuần hoàn bằng nó với chu kỳ bằng 0, sau đó phép so sánh được thực hiện bằng các chữ số.

Ví dụ.

So sánh số thập phân có tận cùng là 5.27 với số thập phân vô hạn tuần hoàn 5.270013….

Quyết định.

Phần nguyên của các số thập phân này bằng nhau. Giá trị của các chữ số phần mười và phần trăm của các phân số này bằng nhau và để thực hiện so sánh thêm, chúng ta thay phân số thập phân cuối cùng bằng một phân số vô hạn tuần hoàn bằng nó với chu kỳ 0 có dạng 5.270000. ... Trước chữ số thập phân thứ năm, giá trị của các chữ số thập phân 5.270000 ... và 5.270013 ... bằng nhau và ở chữ số thập phân thứ năm, chúng ta có 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

Trả lời:

5,27<5,270013… .

So sánh các phân số thập phân vô hạn tuần hoàn cũng được thực hiện từng chút một và kết thúc ngay khi giá trị của một số bit khác nhau.

Ví dụ.

So sánh các số thập phân vô hạn tuần hoàn 6,23 (18) và 6,25181815….

Quyết định.

Phần nguyên của các phân số này bằng nhau, giá trị của hàng thứ mười cũng bằng nhau. Và giá trị ở vị trí hàng trăm của phân số tuần hoàn 6.23 (18) nhỏ hơn giá trị hàng trăm của phân số thập phân vô hạn tuần hoàn không tuần hoàn 6.25181815…, do đó, 6.23 (18)<6,25181815… .

Trả lời:

6,23(18)<6,25181815… .

Ví dụ.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn 3, (73) và 3, (737) nào lớn hơn?

Quyết định.

Rõ ràng là 3, (73) = 3,73737373… và 3, (737) = 3,737737737…. Ở vị trí thập phân thứ tư, phép so sánh theo chiều bit kết thúc, vì ở đó chúng ta có 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

Trả lời:

3,(737) .

So sánh số thập phân với số tự nhiên, phân số thường gặp và hỗn số.

Để có kết quả so sánh phân số thập phân với số tự nhiên, bạn có thể so sánh phần nguyên của phân số này với một số tự nhiên cho trước. Trong trường hợp này, các phân số tuần hoàn có chu kỳ 0 hoặc 9 trước tiên phải được thay thế bằng các phân số thập phân cuối cùng bằng nhau của chúng.

Sau đây là sự thật quy tắc so sánh phân số thập phân và số tự nhiên: nếu phần nguyên của phân số thập phân nhỏ hơn số tự nhiên đã cho thì phần nguyên của phân số nhỏ hơn số tự nhiên này; nếu phần nguyên của phân số lớn hơn hoặc bằng số tự nhiên đã cho thì phân số đó lớn hơn số tự nhiên đã cho.

Hãy xem xét các ví dụ về việc áp dụng quy tắc so sánh này.

Ví dụ.

So sánh số tự nhiên 7 với phân số thập phân 8,8329….

Quyết định.

Vì số tự nhiên đã cho nhỏ hơn phần nguyên của phân số thập phân đã cho nên số này nhỏ hơn phần thập phân đã cho.

Trả lời:

7<8,8329… .

Ví dụ.

So sánh số tự nhiên 7 và số thập phân 7.1.

Đoạn thẳng AB là 6 cm, tức là 60 mm. Vì 1 cm = dm nên 6 cm = dm. Vậy AB là 0,6 dm. Vì 1 mm = dm nên 60 mm = dm. Do đó, AB = 0,60 dm.
Do đó, AB \ u003d 0,6 dm \ u003d 0,60 dm. Điều này có nghĩa là các phân số thập phân 0,6 và 0,60 biểu thị độ dài của cùng một đoạn bằng đơn vị thập phân. Các phân số này bằng nhau: 0,6 = 0,60.

Nếu số 0 được thêm vào cuối phân số thập phân hoặc số 0 bị loại bỏ, thì chúng ta nhận được phần nhỏ, bằng một trong những cho trước.
Ví dụ,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Hãy so sánh hai số thập phân 5,345 và 5,36. Hãy cân bằng số chữ số thập phân bằng cách thêm số 0 vào số 5,36 ở bên phải. Ta nhận được các phân số 5.345 và 5.360.

Chúng tôi viết chúng dưới dạng phân số không đúng:

Các phân số này có cùng mẫu số. Điều này có nghĩa là cái nào có tử số lớn hơn thì càng lớn.
Kể từ năm 5345< 5360, то có nghĩa là 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Để so sánh hai phân số thập phân, trước tiên bạn phải cân bằng số vị trí thập phân của chúng bằng cách gán số không cho một trong số chúng ở bên phải, sau đó, bỏ dấu phẩy, so sánh kết quả số nguyên.

Phân số thập phân có thể được biểu diễn trên tia tọa độ giống như phân số thông thường.
Ví dụ, để mô tả phân số thập phân 0,4 trên tia tọa độ, trước tiên chúng ta biểu diễn nó dưới dạng phân số thông thường: 0,4 = Sau đó, chúng ta dành bốn phần mười của một đoạn đơn vị từ đầu của tia. Chúng tôi nhận được điểm A (0,4) (Hình 141).

Các phân số thập phân bằng nhau được vẽ trên tia tọa độ bởi cùng một điểm.

Ví dụ, phân số 0,6 và 0,60 được biểu diễn bởi một điểm B (xem Hình 141).

Số thập phân nhỏ nhất nằm trên chùm tọa độở bên trái của cái lớn hơn và cái lớn hơn ở bên phải của cái nhỏ hơn.

Ví dụ: 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Một số thập phân sẽ thay đổi nếu một số 0 được thêm vào cuối nó?
A6 số không?
Xây dựng quy tắc so sánh số thập phân phân số.

1172. Viết phân số thập phân:

a) với bốn chữ số thập phân, bằng 0,87;
b) với năm chữ số thập phân, bằng 0,541;
c) Với ba chữ số sau bận, bằng 35;
d) với hai chữ số thập phân, bằng 8.40000.

1173. Đã gán các số không vào bên phải, hãy lấy số chữ số thập phân trong phân số thập phân bằng: 1,8; 13,54 và 0,789.

1174. Viết các phân số ngắn hơn: 2,5000; 3.02000; 20.010.

85,09 và 67,99; 55,7 và 55,7000; 0,5 và 0,724; 0,908 và 0,918; 7,6431 và 7,6429; 0,0025 và 0,00247.

1176. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các số:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

sắp xếp theo thứ tự giảm dần.

a) 1,41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0,1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2,7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. So sánh các giá trị:

a) 98,52 m và 65,39 m; e) 0,605 t và 691,3 kg;
b) 149,63 kg và 150,08 kg; f) 4,572 km và 4671,3 m;
c) 3,55 ° C và 3,61 ° C; g) 3,835 ha và 383,7 a;
d) 6,781 giờ và 6,718 giờ; h) 7,521 l và 7538 cm3.

Có thể so sánh 3,5 kg và 8,12 m? Cho một số ví dụ về các đại lượng không thể so sánh được.

1185. Tính toán bằng miệng:

1186. Khôi phục chuỗi tính toán

1187. Có thể biết có bao nhiêu chữ số sau dấu thập phân trong một phân số thập phân nếu tên của nó kết thúc bằng từ:

a) phần trăm; b) phần vạn; c) phần mười; d) hàng triệu?

Nội dung bài học Tom tăt bai học hỗ trợ khung trình bày bài học phương pháp tăng tốc công nghệ tương tác Luyện tập nhiệm vụ và bài tập tự kiểm tra hội thảo, đào tạo, trường hợp, nhiệm vụ bài tập về nhà thảo luận câu hỏi câu hỏi tu từ học sinh Hình minh họa âm thanh, video clip và đa phương tiệnảnh, đồ họa hình ảnh, bảng, kế hoạch hài hước, giai thoại, truyện cười, ngụ ngôn truyện tranh, câu nói, câu đố ô chữ, trích dẫn Tiện ích bổ sung tóm tắt các chip bài báo dành cho các sách giáo khoa cơ bản và bổ sung bảng thuật ngữ cơ bản và bổ sung các thuật ngữ khác Cải tiến sách giáo khoa và bài họcsửa lỗi trong sách giáo khoa cập nhật một đoạn trong sách giáo khoa các yếu tố đổi mới trong bài học thay thế kiến thức cũ bằng kiến thức mới Chỉ dành cho giáo viên những bài học hoàn hảo kế hoạch lịch cho các khuyến nghị phương pháp luận trong năm của chương trình thảo luận Bài học tích hợp