Μέση τιμή του χαρακτηριστικού. Αριθμητικός μέσος όρος: μέθοδοι υπολογισμού και οι ιδιότητές του

Πληροφορική και Μαθηματικά - Θεωρητικό υλικό για το πρώτο συνέδριο

1. Είδος μαθηματικές στατιστικές, τα κύρια τμήματα του. Η έννοια της στατιστικής κατανομής. Κανονική κατανομή. Κάτω από ποιες προϋποθέσεις τυχαία τιμήΔιανέμεται κανονικά;

Η στατιστική είναι μια επιστήμη που μελετά το σύνολο. wt. φαινόμενα για τον εντοπισμό προτύπων. και να τα μελετήσουν χρησιμοποιώντας γενικευμένους δείκτες.

Όλες οι μέθοδοι μαθηματικής στατιστικής μπορούν να ταξινομηθούν σε δύο κύριες ενότητες: θεωρία εκτίμησης στατιστικών παραμέτρωνΚαι θεωρίες ελέγχου στατιστικών υποθέσεων.

Ενότητες:

1. περιγραφική στατιστική

2. μέθοδος δειγματοληψίας, διαστήματα εμπιστοσύνης

3. ανάλυση συσχέτισης

4. ανάλυση παλινδρόμησης

5. ανάλυση ποιοτικά σημάδια

6. Πολυμεταβλητή στατιστική ανάλυση:

α) συστάδα

β) παραγοντική

7. ανάλυση χρονοσειρών

8. διαφορικές εξισώσεις

9. μαθηματική μοντελοποίηση ιστορικών διεργασιών

Διανομή:

Θεωρητικά (υπάρχουν άπειρα αντικείμενα και συμπεριφέρονται ιδανικά)

Εμπειρικά (πραγματικά δεδομένα που μπορούν να απεικονιστούν σε ιστόγραμμα)

Κανονική κατανομή – όταν η φύση της κατανομής επηρεάζεται από πολλούς παράγοντες και κανένας από αυτούς δεν είναι καθοριστικός. Χρησιμοποιείται ιδιαίτερα συχνά στην πράξη.

2. Η κανονική κατανομή μπορεί να απεικονιστεί γραφικά ως μια συμμετρική καμπύλη μονής κορυφής, που μοιάζει με κουδούνι σε σχήμα. Το ύψος (τεταγμένη) κάθε σημείου αυτής της καμπύλης δείχνει πόσο συχνά εμφανίζεται η αντίστοιχη τιμή. Περιγραφικά στατιστικά. Μέσες τιμές - αριθμητικός μέσος όρος, διάμεσος, τρόπος λειτουργίας. Σε ποιες περιπτώσεις αυτά τα τρία μέτρα δίνουν παρόμοιες τιμές και σε ποιες περιπτώσεις διαφέρουν πολύ;

Περιγραφικά στατιστικά - Αυτά είναι περιγραφικά στατιστικά στοιχεία.

αριθμητικός μέσος όρος, διάμεσος, τρόπος - μέτρα μέσου όρου - συντελεστές που μπορούν να χαρακτηρίσουν ένα σύνολο αντικειμένων

· μέση (αριθμητική) τιμή - το άθροισμα όλων των τιμών διαιρούμενο με τον συνολικό αριθμό των παρατηρήσεων (αποδεκτή σημείωση:Σημαίνω ή ), δηλ. αριθμητικός μέσος όροςένα χαρακτηριστικό ονομάζεται ποσότητα

πού είναι η τιμή του χαρακτηριστικού Εγώ-ο αντικείμενο n- τον αριθμό των αντικειμένων στο σύνολο.

· mode – η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή μιας μεταβλητής (M)

· διάμεσος – μέση τιμή κατά σειρά (αποδεκτός συμβολισμός: Διάμεσος, m). Η διάμεσος είναι η «μεσαία» τιμή του χαρακτηριστικού με την έννοια ότι τα μισά από τα αντικείμενα στον πληθυσμό έχουν τιμές αυτού του χαρακτηριστικού λιγότερες και τα άλλα μισά έχουν περισσότερες από τη διάμεσο. Μπορείτε να υπολογίσετε περίπου τη διάμεσο ταξινομώντας όλες τις τιμές του χαρακτηριστικού σε αύξουσα (φθίνουσα) σειρά και βρίσκοντας έναν αριθμό σε αυτήν τη σειρά παραλλαγής που είτε έχει τον αριθμό ( n+1)/2 - σε περίπτωση περιττών n, ή βρίσκεται στη μέση μεταξύ αριθμών με αριθμούς n/2 και ( n+1)/2 - σε περίπτωση ζυγού n.

Δεν μπορούν να υπολογιστούν όλα τα αναφερόμενα χαρακτηριστικά για ποιοτικά χαρακτηριστικά. Εάν το χαρακτηριστικό είναι ποιοτικό και ονομαστικό, τότε μόνο η λειτουργία μπορεί να βρεθεί για αυτό (η τιμή του θα είναι το όνομα της πιο συχνά εμφανιζόμενης κατηγορίας του ονομαστικού χαρακτηριστικού). Εάν το χαρακτηριστικό είναι κατάταξη, τότε εκτός από τη λειτουργία, μπορείτε επίσης να βρείτε τη διάμεσο για αυτό. Ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να υπολογιστεί μόνο για ποσοτικά χαρακτηριστικά.

Στην περίπτωση ποσοτικών δεδομένων, όλα τα χαρακτηριστικά του μέσου επιπέδου μετρώνται στις ίδιες μονάδες με το ίδιο το αρχικό χαρακτηριστικό.

Οι τιμές των συντελεστών συμπίπτουν εάν το γράφημα κατανομής είναι συμμετρικό.

3. Δείκτες ετερογένειας - διασπορά, μέση τετραγωνική (τυπική) απόκλιση, συντελεστής διακύμανσης. ΣΕ Σε ποιες μονάδες μετρώνται; Γιατί εισάγεται η έννοια του συντελεστή διακύμανσης;

· μέσο τετράγωνο ή τυπική απόκλιση- ένα μέτρο της εξάπλωσης των χαρακτηριστικών τιμών γύρω από την αριθμητική μέση τιμή (αποδεκτή σημείωση: Std.Dev. ( τυπική απόκλιση), μικρό ή s). Το μέγεθος αυτής της απόκλισης υπολογίζεται από τον τύπο

.

· διακύμανση χαρακτηριστικών ( s 2 ή s 2 )

· συντελεστής διακύμανσης - ο λόγος της τυπικής απόκλισης προς τον αριθμητικό μέσο όρο, εκφρασμένος ως ποσοστό (που σημειώνεται στα στατιστικά με το γράμμα V). Ο συντελεστής υπολογίζεται με τον τύπο: .

ΟλαΑυτά τα μέτρα μπορούν να υπολογιστούν μόνο για ποσοτικά χαρακτηριστικά. Όλα δείχνουν πόσο ποικίλλουν οι τιμές ενός χαρακτηριστικού (ή μάλλον, οι αποκλίσεις τους από τον μέσο όρο) σε έναν δεδομένο πληθυσμό. Πως μικρότερη αξίαμέτρα διασποράς, τόσο πιο κοντά είναι οι τιμές των χαρακτηριστικών όλων των αντικειμένων στη μέση τιμή τους και επομένως μεταξύ τους. Εάν η τιμή του μέτρου διασποράς είναι μηδέν, οι τιμές των χαρακτηριστικών είναι ίδιες για όλα τα αντικείμενα.

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη είναι η μέση τετραγωνική (ή τυπική) απόκλιση s. Μετριέται, όπως και ο αριθμητικός μέσος όρος, στις ίδιες μονάδες με το ίδιο το αρχικό χαρακτηριστικό. Εάν όλες οι τιμές ενός χαρακτηριστικού αλλάξουν πολλές φορές, η τυπική απόκλιση θα αλλάξει με τον ίδιο τρόπο, αλλά εάν όλες οι τιμές του χαρακτηριστικού αυξηθούν (μειωθούν) κατά ένα ορισμένο ποσό, η τυπική του απόκλιση Δεν θα αλλάξει. Μαζί με την τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται συχνά η διασπορά (= το τετράγωνό της), αλλά στην πράξη είναι λιγότερο βολικό μέτρο, γιατί Οι μονάδες διακύμανσης δεν ταιριάζουν με τις μονάδες.

Η έννοια του συντελεστή διακύμανσης είναι ότι, σε αντίθεση με το s, μετρά όχι ένα απόλυτο, αλλά ένα σχετικό μέτρο της εξάπλωσης των τιμών των χαρακτηριστικών σε έναν στατιστικό πληθυσμό.

Το μεγαλύτερο V , τόσο λιγότερο ομοιογενής είναι ο πληθυσμός.

Ομογενής Μεταβατική Ανομοιογενής

V =0 – 30% V =30 – 50% V =50 – 100%

Ίσως »100% (υπερβολικά ετερογενής πληθυσμός).

4. Εννοια τουεπιλεκτική μέθοδος. Αντιπροσωπευτική δειγματοληψία, μέθοδοι αυτής σχηματισμός Δύο είδη δειγματοληπτικών σφαλμάτων. Πιθανότητα εμπιστοσύνης.

Δείγμα:

Εκπρόσωπος

Τυχαίος

Μηχανική δειγματοληψία – παρόμοια με τυχαίο δείγμα(κάθε 10η, 20η κ.λπ.).

Φυσική (τι απομένει από το HS με την πάροδο του χρόνου) δειγματοληψία.

Αντιπροσωπευτικό δείγμα - αντικατοπτρίζει με ακρίβεια τις ιδιότητες του πληθυσμού.

Προκειμένου ένα δείγμα να αντικατοπτρίζει σωστά τις βασικές ιδιότητες που είναι εγγενείς στον πληθυσμό, αυτό πρέπει να είναι τυχαία, δηλ. όλα τα αντικείμενα του πληθυσμού πρέπει να έχουν ίσες πιθανότητες να συμπεριληφθούν στο δείγμα

Τα δείγματα σχηματίζονται με χρήση ειδικών τεχνικές. Η απλούστερη είναι η τυχαία επιλογή, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μια κανονική κλήρωση (για μικρούς πληθυσμούς) ή χρησιμοποιώντας πίνακες τυχαίων αριθμών. Για πιο εκτεταμένους, αλλά αρκετά ομοιογενείς πληθυσμούς, χρησιμοποιείται μηχανική επιλογή (χρησιμοποιείται στις στατιστικές zemstvo). Για ετερογενείς πληθυσμούς με συγκεκριμένη δομή, η τυπική επιλογή χρησιμοποιείται συχνότερα. Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι, συμπεριλαμβανομένων των συνδυασμών διαφορετικοί τρόποιεπιλογή σε διάφορα στάδια κατασκευής ενός πληθυσμού δείγματος.

ΣΕ δείγματα αποτελεσμάτωνΠάντα υπάρχουν λάθη. Αυτά τα σφάλματα μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες: τυχαία και συστηματικά. Το πρώτο περιλαμβάνει τυχαίες αποκλίσειςχαρακτηριστικά δείγματος από τα γενικά, λόγω της ίδιας της φύσης της μεθόδου δειγματοληψίας. Μέγεθος τυχαίο σφάλμαμπορεί να υπολογιστεί (εκτιμηθεί). Τα συστηματικά λάθη, αντίθετα, δεν είναι τυχαίος; συνδέονται με την απόκλιση της δομής του δείγματος από την πραγματική δομή του πληθυσμού. Συστηματικά σφάλματα εμφανίζονται όταν παραβιάζεται ο βασικός κανόνας της τυχαίας επιλογής - παρέχοντας σε όλα τα αντικείμενα ίσες πιθανότητες να συμπεριληφθούν στο δείγμα. Οι στατιστικές δεν μπορούν να αξιολογήσουν σφάλματα αυτού του είδους.

Οι κύριες πηγές συστηματικών σφαλμάτων είναι: α) η ανεπάρκεια του δείγματος που σχηματίστηκε στους στόχους της μελέτης. β) άγνοια της φύσης της κατανομής στο γενικό πληθυσμό και, κατά συνέπεια, παραβίαση της δομής του γενικού πληθυσμού στο δείγμα· γ) συνειδητή επιλογή των πιο βολικών και συμφερόντων στοιχείων του γενικού πληθυσμού.

Πιθανότητα εμπιστοσύνης -

5. Πιθανότητα εμπιστοσύνης. Μεσαίο (στάνταρ) και οριακό δειγματοληπτικό σφάλμα. Διάστημα εμπιστοσύνηςγια να υπολογίσετε τη μέση τιμή σε γενικός πληθυσμός. Έλεγχος της υπόθεσης για στατιστική σημασία της διαφοράς μεταξύ δύο μέσων δειγμάτων.

Διάστημα εμπιστοσύνης - αυτή η τιμή του υπολογιζόμενου συντελεστή, στην οποία, πιστεύουμε, θα πρέπει να πέσει αυτή η τιμή για το γονίδιο. Σύνολο

Πιθανότητα εμπιστοσύνης - την πιθανότητα ότι η τιμή του υπολογισμένου συντελεστή για το γονίδιο. Ο πληθυσμός θα εμπίπτει στο διάστημα εμπιστοσύνης. Όσο μεγαλύτερο είναι το DV, τόσο μεγαλύτερο το DI.

Η αναπόφευκτη εξάπλωση των μέσων δειγμάτων γύρω από τον μεγάλο μέσο όρο (δηλαδή, η τυπική απόκλιση των μέσων δειγμάτων) ονομάζεται τυπικό σφάλμα δειγματοληψίας Μ, που εκφράζεται με τον τύπο (μικρό- τυπική απόκλιση, n- το μέγεθος του δείγματος). το τυπικό σφάλμα του δείγματος είναι μικρότερο, τόσο μικρότερη είναι η τιμήμικρό(που χαρακτηρίζει την εξάπλωση των τιμών των χαρακτηριστικών) και όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος n.

Εάν η μέθοδος δειγματοληψίας χρησιμοποιείται για εργασία με μη ποσοτικά δεδομένα, τότε ο ρόλος του αριθμητικού μέσου όρου στο σύνολο παίζεται από την αναλογία ή τη συχνότητα qσημάδι. Το μερίδιο υπολογίζεται ως ο λόγος του αριθμού των αντικειμένων που διαθέτουν ένα δεδομένο χαρακτηριστικό () προς τον αριθμό των αντικειμένων σε ολόκληρο τον πληθυσμό: . Το ρόλο του μέτρου της διασποράς παίζει η ποσότητα .

Σε αυτήν την περίπτωση το τυπικό σφάλμα δειγματοληψίας είναιΜυπολογίζεται με τον τύπο:

Η ακρίβεια και η αξιοπιστία της εκτίμησης των παραμέτρων ενός πληθυσμού με βάση ένα δείγμα σχετίζονται αντιστρόφως: όσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια (δηλαδή, όσο μικρότερο είναι το οριακό σφάλμα και τόσο μικρότερο το διάστημα εμπιστοσύνης), τόσο μικρότερη είναι η αξιοπιστία μιας τέτοιας εκτίμησης (βαθμός αυτοπεποίθηση). Και αντίστροφα - όσο χαμηλότερη είναι η ακρίβεια της αξιολόγησης, τόσο μεγαλύτερη είναι η αξιοπιστία της. Συχνά, κατασκευάζεται ένα διάστημα εμπιστοσύνης για αξιοπιστία 95%, κατά συνέπεια, το μέγιστο σφάλμα δειγματοληψίας είναι συνήθως ίσο με το διπλάσιο του μέσου σφάλματοςΜ..

Διάστημα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση του μέσου πληθυσμού:

Χ(ζ.σ.) =Χ(επιλεγμένο) +-Δ =Χ(επιλεγμένο) +-tμ = Χ(επιλεγμένο) +- σ(γ.σ.)/√n

Κριτήριο για τη διαφορά στις μέσες τιμές

Συχνά προκύπτει το έργο της σύγκρισης δύο μέσων δειγμάτων προκειμένου να ελεγχθεί η υπόθεση ότι αυτά τα δείγματα λαμβάνονται από τον ίδιο γενικό πληθυσμό και οι πραγματικές διαφορές στις τιμές των μέσων δειγμάτων εξηγούνται με την τυχαιότητα δειγματοληψίας.

Η υπόθεση που ελέγχεται μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: η διαφορά μεταξύ των μέσων δειγμάτων είναι τυχαία, δηλ. τα γενικά μέσα είναι ίσα και στις δύο περιπτώσεις. Οπως και στατιστικά χαρακτηριστικάκαι πάλι χρησιμοποιείται η τιμή t, η οποία είναι η διαφορά μεταξύ των μέσων του δείγματος διαιρούμενη με τον μέσο όρο τυπικό σφάλμαμέσο όρο και για τα δύο δείγματα.

Η πραγματική τιμή του στατιστικού χαρακτηριστικού συγκρίνεται με την κρίσιμη τιμή που αντιστοιχεί στο επιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας. Εάν η πραγματική τιμή είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη τιμή, η υπόθεση που ελέγχεται απορρίπτεται, δηλ. η διαφορά μεταξύ των μέσων θεωρείται σημαντική (σημαντική).

7. Συσχέτιση. Γραμμικός συντελεστήςτους συσχετισμούς, τον τύπο του, τα όρια των τιμών του. Συντελεστής προσδιορισμού, η ουσιαστική του σημασία. Εννοια του στατιστική σημασία του συντελεστή συσχέτισης.

Συντελεστής συσχέτισης δείχνει πόσο στενά συνδέονται δύο μεταβλητές μεταξύ τους .

Συντελεστής συσχέτισης r παίρνει τιμές στην περιοχή από -1 έως +1. Αν r= 1, τότε μεταξύ των δύο μεταβλητών υπάρχει ένα θετικό συνάρτησης γραμμική σύνδεση, δηλ. στο διάγραμμα διασποράς, τα αντίστοιχα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία με θετική κλίση. Αν r = -1, τότε υπάρχει μια λειτουργική αρνητική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Αν r = 0, τότε οι εν λόγω μεταβλητές γραμμικά ανεξάρτητη, δηλ. σε μια διασπορά, το σύννεφο των σημείων "τεντώνεται οριζόντια".

Συνιστάται ο υπολογισμός της εξίσωσης παλινδρόμησης και του συντελεστή συσχέτισης μόνο εάν η σχέση μεταξύ των μεταβλητών μπορεί να θεωρηθεί τουλάχιστον κατά προσέγγιση γραμμική. Διαφορετικά, τα αποτελέσματα μπορεί να είναι εντελώς λανθασμένα· συγκεκριμένα, ο συντελεστής συσχέτισης μπορεί να είναι κοντά στο μηδέν παρουσία ισχυρής σχέσης. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για περιπτώσεις όπου η σχέση είναι σαφώς μη γραμμική (για παράδειγμα, η σχέση μεταξύ των μεταβλητών περιγράφεται κατά προσέγγιση από ένα ημιτονοειδές κύμα ή παραβολή). Σε πολλές περιπτώσεις, αυτό το πρόβλημα μπορεί να παρακαμφθεί μετατρέποντας τις αρχικές μεταβλητές. Ωστόσο, για να μαντέψουμε την ανάγκη για έναν τέτοιο μετασχηματισμό, δηλ. Για να γνωρίζετε ότι τα δεδομένα μπορεί να περιέχουν περίπλοκες μορφές εξάρτησης, καλό είναι να τις «δείτε». Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η εξέταση των σχέσεων μεταξύ ποσοτικών μεταβλητών θα πρέπει συνήθως να περιλαμβάνει την εξέταση των διαγραμμάτων διασποράς.

Οι συντελεστές συσχέτισης μπορούν να υπολογιστούν χωρίς πρώτα να κατασκευαστεί μια γραμμή παλινδρόμησης. Στην περίπτωση αυτή, το ζήτημα της ερμηνείας των σημείων ως αποτελεσματικών και παραγοντικών, δηλ. Το εξαρτημένο και το ανεξάρτητο δεν δηλώνονται και οι συσχετισμοί νοούνται ως συνέπεια ή συγχρονισμός των ταυτόχρονων αλλαγών στις τιμές των χαρακτηριστικών κατά τη μετακίνηση από αντικείμενο σε αντικείμενο.

Εάν τα αντικείμενα χαρακτηρίζονται από ένα ολόκληρο σύνολο ποσοτικών χαρακτηριστικών, μπορείτε να κατασκευάσετε αμέσως το λεγόμενο. πίνακας συσχέτισης, δηλ. ένας τετράγωνος πίνακας, ο αριθμός των σειρών και των στηλών του οποίου είναι ίσος με τον αριθμό των χαρακτηριστικών, και στη διασταύρωση κάθε γραμμής και στήλης υπάρχει ένας συντελεστής συσχέτισης του αντίστοιχου ζεύγους χαρακτηριστικών.

Ο συντελεστής συσχέτισης δεν έχει ουσιαστική ερμηνεία. Ωστόσο, η πλατεία του, που ονομάζεται συντελεστή προσδιορισμού(R 2), Εχει.

συντελεστής προσδιορισμού (R 2) είναι ένας δείκτης του πόσες αλλαγές σε ένα εξαρτημένο χαρακτηριστικό εξηγούνται από αλλαγές σε ένα ανεξάρτητο. Πιο συγκεκριμένα, αυτή είναι η αναλογία της διακύμανσης του ανεξάρτητου χαρακτηριστικού που εξηγείται από την επιρροή του εξαρτημένου .

Εάν δύο μεταβλητές είναι λειτουργικά γραμμικά εξαρτώμενες (τα σημεία στο διάγραμμα διασποράς βρίσκονται στην ίδια ευθεία γραμμή), τότε μπορούμε να πούμε ότι μια αλλαγή στη μεταβλητή yεξηγείται πλήρως από την αλλαγή της μεταβλητής Χ,και αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν ο συντελεστής προσδιορισμού ίσο με ένα(σε αυτή την περίπτωση, ο συντελεστής συσχέτισης μπορεί να είναι ίσος με 1 ή -1). Εάν δύο μεταβλητές είναι γραμμικά ανεξάρτητες (μέθοδος ελάχιστα τετράγωναδίνει μια οριζόντια γραμμή), μετά τη μεταβλητή yΟι παραλλαγές του σε καμία περίπτωση δεν «οφείλονται» στη μεταβλητή Χ– στην περίπτωση αυτή ο συντελεστής προσδιορισμού είναι μηδέν. Σε ενδιάμεσες περιπτώσεις, ο συντελεστής προσδιορισμού δείχνει ποιο μέρος των μεταβολών της μεταβλητής yεξηγείται από μια αλλαγή στη μεταβλητή Χ(μερικές φορές είναι βολικό να αντιπροσωπεύεται αυτή η τιμή ως ποσοστό).

8. Ατμόλουτρο καιπολλαπλούς γραμμικής παλινδρόμησης. Συντελεστής πολλαπλής συσχέτισης. Η ουσιαστική σημασία του συντελεστή παλινδρόμησης, η σημασία του, η έννοια του t-στατιστική. Περιεχόμενη έννοια του συντελεστή προσδιορισμού R2.

Ανάλυση παλινδρόμησης - Μια στατιστική μέθοδος που σας επιτρέπει να δημιουργήσετε επεξηγηματικά μοντέλα με βάση την αλληλεπίδραση χαρακτηριστικών.

Η πιο απλή περίπτωση σχέσης είναι σχέση ζευγαριού, δηλ. σύνδεση μεταξύ δύο χαρακτηριστικών. Υποτίθεται ότι η σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών είναι, κατά κανόνα, αιτιώδης φύση, δηλ. το ένα εξαρτάται από το άλλο. Το πρώτο (εξαρτώμενο) ονομάζεται στην ανάλυση παλινδρόμησης με αποτέλεσμαδεύτερο (ανεξάρτητο) - παραγοντικό. Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί με σαφήνεια ποια από τις δύο μεταβλητές είναι ανεξάρτητη και ποια εξαρτημένη. Συχνά η επικοινωνία μπορεί να θεωρηθεί αμφίδρομη.

Εξίσωση ζευγοποιημένης παλινδρόμησης : y = kx + σι.

Τις περισσότερες φορές, η εξαρτημένη μεταβλητή επηρεάζεται από πολλούς παράγοντες ταυτόχρονα, μεταξύ των οποίων είναι δύσκολο να ξεχωρίσουμε τον μοναδικό ή τον κύριο. Έτσι, για παράδειγμα, το εισόδημα μιας επιχείρησης εξαρτάται ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑαπό δύο συντελεστές παραγωγής - τον αριθμό των εργαζομένων και την παροχή ρεύματος. Επιπλέον, και οι δύο αυτοί παράγοντες δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους.

Εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης : y = κ 1 · Χ 1 + κ 2 · Χ 2 + … + β,

Οπου x 1, x 2, . . . – ανεξάρτητες μεταβλητές από τις οποίες η μελετημένη (προκύπτουσα) μεταβλητή y εξαρτάται σε έναν ή τον άλλο βαθμό.

k 1 , k 2. . . – συντελεστές για τις αντίστοιχες μεταβλητές ( συντελεστές παλινδρόμησης), που δείχνει πόσο αλλάζει η τιμή της μεταβλητής που προκύπτει όταν μια μεμονωμένη ανεξάρτητη μεταβλητή αλλάζει κατά μία.

Η εξίσωση πολλαπλής παλινδρόμησης δίνει μοντέλο παλινδρόμησης, εξηγώντας τη συμπεριφορά της εξαρτημένης μεταβλητής. Κανένας μοντέλο παλινδρόμησηςδεν μπορεί να υποδείξει ποια μεταβλητή είναι εξαρτημένη (αποτέλεσμα) και ποια είναι ανεξάρτητη (αιτίες).

R – πολλαπλός συντελεστής συσχέτιση, μετρά το σύνολο της επιρροής των ανεξάρτητων χαρακτηριστικών, την εγγύτητα της σύνδεσης του προκύπτοντος χαρακτηριστικού με ολόκληρο το σύνολο των ανεξάρτητων χαρακτηριστικών, εκφρασμένο σε %.

Δείχνει ποια είναι η αναλογία των χαρακτηριστικών που λαμβάνονται υπόψη στο τμήμα αποτελεσμάτων, π.χ. Πόσο % της διακύμανσης στο χαρακτηριστικό y εξηγείται από τις παραλλαγές στα εξεταζόμενα χαρακτηριστικά X1, X2, X3.

Τ-στατιστικήδείχνει το επίπεδο κατάστασης. τη σημασία του καθενός συντελεστής παλινδρόμησης, δηλ. τη σταθερότητά του σε σχέση με το δείγμα.

Τ = σι/ Δb

Στατιστικά σημαντικό t >2. Όσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής, τόσο το καλύτερο.

μέσω R - καταλήγουμε σε ένα συμπέρασμα σχετικά με το ποσοστό των λαμβανόμενων υπόψη χαρακτηριστικών που εξηγούν το αποτέλεσμα.

9.Μέθοδοι πολυμεταβλητής στατιστικής ανάλυσης. Ανάλυση συστάδων. Η εννοια του ιεραρχική μέθοδος και ΟΜέθοδος K-means. Πολυδιάστατη ταξινόμηση με χρησιμοποιώντας ασαφή σύνολα.

ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ:

Ανάλυση συστάδων

Παραγοντική ανάλυση

Πολυδιάστατη κλιμάκωση

Ανάλυση συστάδων – συνδυασμός αντικειμένων σε μια ομάδα με κοινό στόχο (υπάρχουν πολλά σημάδια).

Μέθοδοι ανάλυσης συστάδων:

1. ιεραρχικός(δέντρο ιεραρχικής ανάλυσης):

κύρια ιδέα ιεραρχική μέθοδος συνίσταται στον διαδοχικό συνδυασμό ομαδοποιημένων αντικειμένων - πρώτα τα πλησιέστερα και μετά όλο και πιο απομακρυσμένα το ένα από το άλλο. Η διαδικασία για την κατασκευή μιας ταξινόμησης αποτελείται από διαδοχικά βήματα, σε καθένα από τα οποία συνδυάζονται οι δύο πλησιέστερες ομάδες αντικειμένων (συστάδες).

2. Μέθοδος K-means.

Απαιτεί προκαθορισμένες κλάσεις (clusters). Δίνει έμφαση στην ενδοταξική διακύμανση. με βάση μια υπόθεση για τον πιο πιθανό αριθμό τάξεων. Ο στόχος της μεθόδου είναι η κατασκευή ενός δεδομένου αριθμού συστάδων, οι οποίες θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν διαφορετικές μεταξύ τους.

Η διαδικασία ταξινόμησης ξεκινά με την κατασκευή ενός δεδομένου αριθμού συστάδων που λαμβάνονται με τυχαία ομαδοποίηση αντικειμένων. Κάθε σύμπλεγμα πρέπει να αποτελείται από αντικείμενα που είναι όσο το δυνατόν πιο «όμοια» και τα ίδια τα συμπλέγματα θα πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο «ανόμοια» μεταξύ τους.

Τα αποτελέσματα αυτής της μεθόδου καθιστούν δυνατή την απόκτηση των κέντρων όλων των κατηγοριών (καθώς και άλλων παραμέτρων της περιγραφικής στατιστικής) για καθένα από τα αρχικά χαρακτηριστικά, και επίσης βλ. ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗγια το πόσο και με ποιες παραμέτρους διαφέρουν οι κλάσεις που προκύπτουν.

Εάν τα αποτελέσματα της ταξινόμησης που λαμβάνονται με διαφορετικές μεθόδους συμπίπτουν, τότε αυτό επιβεβαιώνεται από την πραγματικότητα. Η ουσία των ομάδων (αξιοπιστία, εγκυρότητα).

10. Μέθοδοι πολυμεταβλητής στατιστικής ανάλυσης. Παραγοντική ανάλυση, σκοποί χρήσης της. Εννοια του κλίμακες παραγόντων, τα όριά τους αξίες; το ποσοστό της συνολικής διακύμανσης που εξηγείται από παράγοντες.

Πολυμεταβλητή στατιστική ανάλυση. Στόχος του: κατασκευή μιας απλοποιημένης διευρυμένης σειράς αντικειμένων.

ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ:

Ανάλυση συστάδων

Παραγοντική ανάλυση

Πολυδιάστατη κλιμάκωση

Στον πυρήνα παραγοντική ανάλυσηκρύβεται η ιδέα ότι πίσω από τις πολύπλοκες σχέσεις των σαφώς καθορισμένων χαρακτηριστικών υπάρχει μια σχετικά απλούστερη δομή που αντανακλά τα πιο ουσιαστικά χαρακτηριστικά του φαινομένου που μελετάται και τα «εξωτερικά» χαρακτηριστικά είναι συναρτήσεις κρυφών. κοινούς παράγοντες, ορίζοντας αυτή τη δομή.

Στόχος: μετάβαση από περισσότεροσημάδια σε έναν μικρό αριθμό παραγόντων.

V παραγοντική ανάλυσηόλες οι τιμές που περιλαμβάνονται στο μοντέλο συντελεστών είναι τυποποιημένες, δηλ. είναι αδιάστατα μεγέθη με αριθμητικό μέσο όρο 0 και τυπική απόκλιση 1.

Ο συντελεστής σχέσης μεταξύ ενός συγκεκριμένου χαρακτηριστικού και ενός γενικού παράγοντα, που εκφράζει το μέτρο της επιρροής του παράγοντα στο χαρακτηριστικό, ονομάζεται συντελεστής φόρτισηςαυτού του χαρακτηριστικού σύμφωνα με αυτόν τον γενικό παράγοντα . Αυτός είναι ένας αριθμός μεταξύ -1 και 1. Όσο πιο μακριά από το 0, τόσο ισχυρότερη είναι η σύνδεση. Η τιμή του συντελεστή φόρτισης για έναν συγκεκριμένο παράγοντα, κοντά στο μηδέν, δείχνει ότι αυτός ο παράγοντας πρακτικά δεν έχει καμία επίδραση σε αυτό το χαρακτηριστικό.

Η τιμή (μέτρο εκδήλωσης) ενός παράγοντα σε ένα μεμονωμένο αντικείμενο ονομάζεται βάρος παράγοντααντικείμενο σύμφωνα με αυτόν τον παράγοντα. Τα βάρη παραγόντων σάς επιτρέπουν να ταξινομείτε και να ταξινομείτε αντικείμενα σύμφωνα με κάθε παράγοντα. Όσο μεγαλύτερο είναι το βάρος του παράγοντα ενός συγκεκριμένου αντικειμένου, τόσο περισσότερο εκδηλώνεται σε αυτό εκείνη η πλευρά του φαινομένου ή εκείνο το μοτίβο που αντανακλάται από αυτόν τον παράγοντα. Οι συντελεστές είναι τυποποιημένες ποσότητες και δεν μπορούν να είναι = μηδέν. Τα βάρη παραγόντων κοντά στο μηδέν δείχνουν μεσαίου βαθμούεκδηλώσεις του παράγοντα, θετικό - ότι αυτός ο βαθμός είναι πάνω από το μέσο όρο, αρνητικός - ότι. ότι είναι κάτω από το μέσο όρο.

Ο πίνακας συντελεστών βαρών έχει nσειρές ανά αριθμό αντικειμένων και κστήλες ανάλογα με τον αριθμό των κοινών παραγόντων. Η θέση των αντικειμένων στον άξονα κάθε παράγοντα δείχνει, αφενός, τη σειρά με την οποία κατατάσσονται από αυτόν τον παράγοντα και, αφετέρου, την ομοιομορφία ή την ανομοιομορφία στη θέση τους, την παρουσία συστάδων σημείων που απεικονίζουν αντικείμενα , που καθιστά δυνατή την οπτική ανάδειξη περισσότερο ή λιγότερο ομοιογενών ομάδων.

11. Τύποι ποιοτικών χαρακτηριστικών. Ονομαστικά χαρακτηριστικά, παραδείγματα από ιστορικές πηγές. Πίνακας έκτακτης ανάγκης. Ο συντελεστής σύνδεσης των ονομαστικών χαρακτηριστικών, τα όρια των τιμών του.

Ονομαστικά στοιχεία παρουσιάζονται ανά κατηγορίες για τις οποίες η παραγγελία είναι απολύτως ασήμαντη. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος σύγκρισης που να τους ορίζεται εκτός από κυριολεκτική αντιστοίχιση/μη αντιστοίχιση.

Παραδείγματα ονομαστικών μεταβλητών:

· Εθνικότητα: Αγγλικά, Λευκορωσικά, Γερμανικά, Ρωσικά, Ιαπωνικά κ.λπ.

· Επάγγελμα: υπάλληλος, γιατρός, στρατιωτικός, δάσκαλος κ.λπ.

· Εκπαιδευτικό προφίλ: ανθρωπιστικό, τεχνικό, ιατρικό, νομικό κ.λπ.

Αν στην περίπτωση του επιπέδου εκπαίδευσης μπορούσαμε ακόμα να συγκρίνουμε τους ανθρώπους με όρους «καλύτερου-χειρότερου» ή «ανώτερου-χαμηλότερου», τώρα στερούμαστε ακόμη και αυτή την ευκαιρία. Ο μόνος σωστός τρόπος σύγκρισης είναι να πούμε ότι αυτές οι προσωπικότητες «όλες είναι ιστορικές» ή «όλες δεν είναι νομικοί».

Πίνακες έκτακτης ανάγκης

Ένας πίνακας έκτακτης ανάγκης είναι ένας ορθογώνιος πίνακας, οι σειρές του οποίου υποδεικνύουν τις κατηγορίες ενός χαρακτηριστικού (για παράδειγμα, διαφορετικές κοινωνικές ομάδες) και οι στήλες υποδεικνύουν τις κατηγορίες ενός άλλου (για παράδειγμα, κομματική ένταξη). Κάθε αντικείμενο στον πληθυσμό εμπίπτει σε ένα από τα κελιά αυτού του πίνακα σύμφωνα με την κατηγορία στην οποία ανήκει για καθένα από τα δύο χαρακτηριστικά. Έτσι, τα κελιά του πίνακα περιέχουν αριθμούς που αντιπροσωπεύουν τις συχνότητες συνύπαρξης κατηγοριών δύο χαρακτηριστικών (ο αριθμός των ατόμων που ανήκουν σε μια συγκεκριμένη κοινωνική ομάδα και των μελών ενός συγκεκριμένου κόμματος). Ανάλογα με τη φύση της κατανομής αυτών των συχνοτήτων μέσα στον πίνακα, μπορεί κανείς να κρίνει αν υπάρχει σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών. Τι κάνει η σύνδεση μεταξύ κοινωνική θέσηκαι την κομματική ένταξη; ΣΕ σε αυτήν την περίπτωσηΗ ύπαρξη μιας σύνδεσης θα αποδεικνυόταν από την παρουσία ορισμένων πολιτικών προτιμήσεων μεταξύ των μελών διαφορετικών κοινωνικών ομάδων. Επίσημα μιλώντας, αυτή η σύνδεση γίνεται κατανοητή ως μια πιο συχνή (ή, αντίθετα, πιο σπάνια) συνύπαρξη μεμονωμένων συνδυασμών κατηγοριών σε σύγκριση με την αναμενόμενη εμφάνιση - την κατάσταση μιας καθαρά τυχαίας εμφάνισης αντικειμένων εκεί (για παράδειγμα, υψηλότερο ποσοστό αγρότες στο Κόμμα Τρούντοβικ και ευγενείς στο Κόμμα των Κανετών, από τα μερίδια αυτών των κοινωνικών ομάδων σε ολόκληρο τον πληθυσμό των βουλευτών της Δούμας).

12. Τύποι ποιοτικών χαρακτηριστικών. Χαρακτηριστικά κατάταξης, παραδείγματα από ιστορικές πηγές. ΣΕ ποια είναι τα όρια των τιμών των συντελεστών; συσχέτιση κατάταξης? Ποιοι συντελεστές θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν για την αξιολόγηση της σχέσης μεταξύ κατάταξης και ονομαστικά χαρακτηριστικά;

Τα ποιοτικά (ή κατηγορικά) δεδομένα χωρίζονται σε δύο τύπους: κατάταξη και ονομαστικά.

Δεδομένα κατάταξηςαντιπροσωπεύονται από κατηγορίες για τις οποίες μπορείτε να καθορίσετε τη σειρά, π.χ. Οι κατηγορίες συγκρίνονται σύμφωνα με την αρχή «περισσότερο-λιγότερο» ή «καλύτερο-χειρότερο».

Παραδείγματα μεταβλητών κατάταξης:

· Οι βαθμοί των εξετάσεων έχουν σαφώς καθορισμένο χαρακτήρα κατάταξης και εκφράζονται σε κατηγορίες όπως «άριστα», «καλά», «ικανοποιητικά» κ.λπ.

· Το επίπεδο εκπαίδευσης μπορεί να παρουσιαστεί ως σύνολο κατηγοριών: «ανώτερη», «δευτεροβάθμια» κ.λπ.

Σίγουρα μπορούμε να εισαγάγουμε μια κλίμακα κατάταξης και να τη χρησιμοποιήσουμε για να κατατάξουμε όλα τα άτομα για τα οποία γνωρίζουμε το μορφωτικό τους επίπεδο ή τη βαθμολογία των εξετάσεων. Ωστόσο, είναι αλήθεια ότι η βαθμολογία «καλή» είναι τόσο χειρότερη από την «άριστη» όσο η βαθμολογία «ικανοποιητική» είναι χειρότερη από την «καλή»; Παρά το γεγονός ότι τυπικά, στην περίπτωση των βαθμών, είναι δυνατό να ληφθεί διαφορά στους βαθμούς, δεν είναι καθόλου σωστό να μετρηθεί η απόσταση από έναν «άριστο μαθητή» σε έναν «καλό μαθητή» χρησιμοποιώντας τους ίδιους κανόνες όπως για την απόσταση από τη Μόσχα στην Αγία Πετρούπολη. Στην περίπτωση του επιπέδου εκπαίδευσης, είναι ιδιαίτερα σαφές ότι οι απλοί υπολογισμοί είναι αδύνατον, αφού δεν υπάρχει ενιαίος κανόνας για την αφαίρεση του «μέσου» επιπέδου εκπαίδευσης από το «υψηλότερο», ακόμη κι αν αναθέσουμε ανώτερη εκπαίδευσηκωδικός "3", και ο μεσαίος - κωδικός "2".

Η μοναδικότητα των ποιοτικών δεδομένων δεν σημαίνει ότι δεν μπορούν να αναλυθούν χρησιμοποιώντας μαθηματικές και στατιστικές μεθόδους.

Μια σειρά αντικειμένων που ταξινομούνται σύμφωνα με τον βαθμό εκδήλωσης μιας συγκεκριμένης ιδιότητας ονομάζεται κατάταξη· κάθε αριθμός μιας τέτοιας σειράς εκχωρείται τάξη.

Τα μέτρα της σχέσης μεταξύ ενός ζεύγους χαρακτηριστικών, καθένα από τα οποία κατατάσσει το υπό μελέτη σύνολο αντικειμένων, καλούνται στη στατιστική συντελεστές συσχέτισης κατάταξης .

Αυτοί οι συντελεστές κατασκευάζονται με βάση τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες:

· εάν η κατάταξη σειρά και για τα δύο χαρακτηριστικά συμπίπτει πλήρως (δηλαδή, κάθε αντικείμενο καταλαμβάνει την ίδια θέση και στις δύο σειρές), τότε ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης πρέπει να είναι ίσος με +1, που σημαίνει πλήρη θετική συσχέτιση:

· εάν τα αντικείμενα της ίδιας σειράς βρίσκονται στο αντίστροφη σειράΣε σύγκριση με το δεύτερο, ο συντελεστής είναι -1, που σημαίνει πλήρη αρνητική συσχέτιση.

· σε άλλες περιπτώσεις, οι τιμές των συντελεστών βρίσκονται στο διάστημα [-1, +1]. Μια αύξηση στη μονάδα συντελεστή από 0 σε 1 χαρακτηρίζει μια αύξηση της αντιστοιχίας μεταξύ δύο σειρών κατάταξης.

Οι καθορισμένες ιδιότητεςέχουν συντελεστές συσχέτισης κατάταξης Ακοντιστής r Και Κεδάλλα t .

Ο συντελεστής Caedall παρέχει μια πιο συντηρητική εκτίμηση της συσχέτισης από τον συντελεστή Spearman (αριθμητική τιμήtπάντα λιγότερο απόr).

Συντελεστές συσχέτισης ποιοτικών χαρακτηριστικών

Για την αξιολόγηση της σχέσης μεταξύ των ποιοτικών χαρακτηριστικών, απαιτείται ένας συντελεστής, ο οποίος θα έχει ένα ορισμένο μέγιστο στην περίπτωση της μέγιστης σύνδεσης και θα επιτρέπει τη σύγκριση μεταξύ τους διαφορετικά τραπέζιααπό τη δύναμη της σύνδεσης μεταξύ των χαρακτηριστικών. Σε αυτή την περίπτωση μας ταιριάζει Συντελεστής Cramer V .

Με βάση την τιμή της δοκιμής chi-square, ο συντελεστής Cramer σάς επιτρέπει να μετρήσετε την ισχύ της σχέσης μεταξύ δύο κατηγοριοποιημένων μεταβλητών - μετρήστε τη με έναν αριθμό που παίρνει τιμές από 0 έως 1, δηλ. από την παντελή έλλειψη επικοινωνίας στο μέγιστο ισχυρή σύνδεση. Ο συντελεστής σάς επιτρέπει να συγκρίνετε τις εξαρτήσεις διαφορετικών χαρακτηριστικών για να εντοπίσετε όλο και λιγότερο ισχυρές συνδέσεις.

13. Μαθηματική μοντελοποίησηιστορικές διαδικασίες καιπρωτοφανής. Ορισμός της έννοιας «μοντέλο». Τρεις τύποι μοντέλων, παραδείγματα αυτώνχρήση σε ιστορική έρευνα.

14. Διαφορικές εξισώσειςως κύριο εργαλείο κατασκευής μαθηματικά μοντέλαθεωρητικού τύπου. Τα χαρακτηριστικά τους σε σύγκριση με μοντέλα προσομοίωσης και στατιστικών τύπων. Ένα παράδειγμα τέτοιου μοντέλου.

1. Μέσες τιμές: ουσία, νόημα, τύποι

Σημαντικός επιστήμονας του 19ου αιώνα συνέβαλε σημαντικά στην τεκμηρίωση και ανάπτυξη της θεωρίας των μέσων τιμών Adolph Quetelet (1796-1874), μέλος της Βελγικής Ακαδημίας Επιστημών, αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης.

μέση αξία- ένα γενικευτικό χαρακτηριστικό του χαρακτηριστικού που μελετάται στον υπό μελέτη πληθυσμό. Τον ορίζει τυπικό επίπεδοανά μονάδα πληθυσμού υπό συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου.

μέση αξίαπάντα ονομαζόμενο, έχει την ίδια διάσταση (μονάδα μέτρησης) με το χαρακτηριστικό των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού.

Κύριος προϋπόθεση για την επιστημονική χρήση του μέσου όρουείναι η ποιοτική ομοιογένεια του πληθυσμού από την οποία υπολογίζεται ο μέσος όρος.

ισχύς (αριθμητικός μέσος όρος, αρμονικός μέσος όρος, γεωμετρικός μέσος όρος, τετραγωνικός μέσος όρος, κυβικός μέσος όρος).

δομική (τρόπος, διάμεσος).

Μέση ισχύς – ρίζα του βαθμού καπό τον μέσο όρο όλων των επιλογών που λαμβάνονται κ-ο πτυχίο, έχει την εξής μορφή:

πού είναι το χαρακτηριστικό με το οποίο βρίσκεται ο μέσος όρος, που ονομάζεται χαρακτηριστικό μέσο όρο,

Χ Εγώ ή ( Χ 1 , Χ 2 …Χ n) – η τιμή του μέσου όρου χαρακτηριστικού για κάθε μονάδα πληθυσμού,

φά Εγώ– επαναληψιμότητα της μεμονωμένης τιμής του χαρακτηριστικού.

Ανάλογα με το πτυχίο κΛαμβάνονται διάφοροι τύποι μέσου όρου ισχύος, οι τύποι υπολογισμού των οποίων φαίνονται παρακάτω στον Πίνακα 1.

Πίνακας 1 - Τύποι μέσου όρου ισχύος

Εννοια κ	Όνομα του μέσου όρου	Μέσες φόρμουλες
			σταθμισμένη
	Αρμονική μέση		, w Εγώ = x Εγώ φά Εγώ
	Γεωμετρικό μέσο
	Αριθμητικός μέσος όρος	=	=
	Μέσο τετράγωνο	=	=

φά Εγώ – συχνότητα επανάληψης της μεμονωμένης τιμής ενός χαρακτηριστικού (το βάρος του)

Η συχνότητα μπορεί επίσης να είναι ένα βάρος, δηλ. ο λόγος της συχνότητας επανάληψης μιας μεμονωμένης τιμής ενός χαρακτηριστικού προς το άθροισμα των συχνοτήτων:

Επιλογή του τύπου μέσου όρου:

Απλός αριθμητικός μέσος όροςχρησιμοποιείται εάν η μεμονωμένη τιμή ενός χαρακτηριστικού σε μονάδες πληθυσμού δεν επαναλαμβάνεται ή εμφανίζεται μόνο μία φορά ή τον ίδιο αριθμόφορές, δηλ. όταν ο μέσος όρος υπολογίζεται από μη ομαδοποιημένα δεδομένα.

Όταν μια μεμονωμένη τιμή του χαρακτηριστικού που μελετάται εμφανίζεται πολλές φορές μεταξύ των μονάδων του υπό μελέτη πληθυσμού, τότε η συχνότητα της επανάληψης ατομικές αξίεςΤο χαρακτηριστικό (βάρος) υπάρχει στους τύπους υπολογισμού για τους μέσους όρους ισχύος. Στην περίπτωση αυτή ονομάζονται τύποι σταθμισμένους μέσους όρους.

Εάν, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι απαραίτητο το άθροισμα των τιμών που είναι αντίστροφα προς τις επιμέρους τιμές ενός χαρακτηριστικού να παραμείνει αμετάβλητο κατά τον μέσο όρο, τότε η μέση τιμή είναι αρμονική μέση.

Εάν, κατά την αντικατάσταση μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού με μέση αξίαείναι απαραίτητο να διατηρηθεί το προϊόν των μεμονωμένων ποσοτήτων αμετάβλητο, τότε θα πρέπει να εφαρμοστεί γεωμετρικό μέσο. Ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των μέσων ρυθμών ανάπτυξης στην ανάλυση χρονοσειρών.

Εάν, κατά την αντικατάσταση μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού με μια μέση τιμή, είναι απαραίτητο να διατηρηθεί το άθροισμα των τετραγώνων των αρχικών τιμών αμετάβλητο, τότε ο μέσος όρος θα είναι τετραγωνικός μέσος όρος. Το μέσο τετράγωνο χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης κατά την ανάλυση της διακύμανσης ενός χαρακτηριστικού στη σειρά κατανομής.

Μέσος όρος ισχύος ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ, που υπολογίζονται από τον ίδιο πληθυσμό, έχουν διαφορετικές ποσοτικές τιμές και όσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης κ, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του αντίστοιχου μέσου όρου· εάν όλες οι αρχικές τιμές του χαρακτηριστικού είναι ίσες, τότε όλοι οι μέσοι όροι είναι ίσοι με αυτήν τη σταθερά:

Garm. ≤ γεωμ. ≤ αριθμ. ≤ τετρ. ≤ κυβικά

Αυτό ιδιότητα των μέσων όρων ισχύοςαυξάνεται με την αύξηση του εκθέτη της καθοριστικής συνάρτησης ονομάζεται μείζονα μέσο όρο.

Οι δομικοί μέσοι όροι χρησιμοποιούνται όταν ο υπολογισμός των μέσων τιμών ισχύος είναι αδύνατος ή μη πρακτικός.

Οι διαρθρωτικοί μέσοι όροι περιλαμβάνουν: μόδαΚαι διάμεσος.

Μόδα – αυτή είναι η πιο κοινή τιμή ενός χαρακτηριστικού μεταξύ των μονάδων ενός δεδομένου πληθυσμού. Εάν υπάρχουν επιλογές και συχνότητες στη σειρά διανομής, το μέγεθος του τρόπου λειτουργίας αντιστοιχεί στην τιμή του χαρακτηριστικού για τον μεγαλύτερο αριθμό μονάδων (η υψηλότερη συχνότητα), δηλ. για μια διακριτή σειρά παραλλαγών, η λειτουργία βρίσκεται εξ ορισμού.

Διάμεσος – την τιμή ενός χαρακτηριστικού για μια μονάδα πληθυσμού στη μέση της ταξινομημένης σειράς κατανομής, όταν όλες οι επιμέρους τιμές των χαρακτηριστικών των υπό μελέτη μονάδων ταξινομούνται σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.

Στην περίπτωση μονού αριθμού παρατηρήσεων, η διάμεσος βρίσκεται εξ ορισμού, δηλ. επιλογή (Οπου n– αριθμός παρατηρήσεων). Με ζυγό αριθμό παρατηρήσεων, η διάμεσος καθορίζεται από τον τύπο:

Για μια σειρά κατανομής διαστήματος, το μέγεθος του τρόπου λειτουργίας και η διάμεσος υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:
;
,

Οπου: - κατώτερο όριο του τροπικού ή του μέσου διαστήματος.

- μέγεθος διαστήματος

Και
- συχνότητες που προηγούνται και μετά από το τροπικό διάστημα.

- συχνότητα του τροπικού ή του μέσου διαστήματος.

- το άθροισμα των συσσωρευμένων συχνοτήτων σε διαστήματα που προηγούνται της διάμεσης.

Ο υπολογισμός της διάμεσης τιμής για μη ομαδοποιημένα δεδομένα έχει ως εξής:

1. Οι επιμέρους χαρακτηριστικές τιμές ταξινομούνται με αύξουσα σειρά. 2. Καθορίζεται ο αύξων αριθμός της διάμεσης τιμής Όχι. Εγώ = (n+1) / 2

Δείκτες παραλλαγής, ουσίας, σημασίας, τύπων. Νόμοι της παραλλαγής

Διάφορα απόλυτη και σχετικούς δείκτες.

Οι απόλυτοι δείκτες (μέτρα) διακύμανσης περιλαμβάνουν: εύρος διακυμάνσεων, μέση απόλυτη απόκλιση, διασπορά, τυπική απόκλιση.

Εύρος παραλλαγών είναι η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής του χαρακτηριστικού:
.

Το εύρος διακύμανσης δείχνει τα όρια εντός των οποίων κυμαίνεται το μέγεθος του χαρακτηριστικού που σχηματίζει το εύρος κατανομής

Μέση απόλυτη απόκλιση (MAD) - ο μέσος όρος των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων των μεμονωμένων επιλογών από τον μέσο όρο.

(απλός),
(σταθμισμένο)

Διασπορά- ο μέσος όρος των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών τιμής χαρακτηριστικού από τη μέση τιμή τους:

(απλός),
(σταθμισμένο)

Η διακύμανση μπορεί να αποσυντεθεί στα συστατικά στοιχεία της, επιτρέποντας σε κάποιον να αξιολογήσει την επίδραση διαφόρων παραγόντων που προκαλούν την παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού

εκείνοι. η διακύμανση είναι ίση με τη διαφορά μεταξύ του μέσου τετραγώνου των τιμών των χαρακτηριστικών και του τετραγώνου του μέσου όρου.

Ιδιότητες διασποράς,που σας επιτρέπει να απλοποιήσετε τη μέθοδο υπολογισμού του:

Η διακύμανση μιας σταθερής τιμής είναι 0.

Εάν όλες οι παραλλαγές των τιμών των χαρακτηριστικών μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμό φορές, τότε η απόκλιση δεν θα μειωθεί.

Εάν όλες οι παραλλαγές των τιμών χαρακτηριστικών μειωθούν κατά τον ίδιο αριθμό φορών ( κφορές), τότε η διασπορά θα μειωθεί κατά κ 2 μια φορά.

Τυπική απόκλιση (RMS) είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης και δείχνει πόσο η τιμή ενός χαρακτηριστικού ποικίλλει κατά μέσο όρο μεταξύ των μονάδων του πληθυσμού που μελετάται:  =

Το RMS είναι ένα μέτρο αξιοπιστίας. Όσο μικρότερη είναι η τυπική απόκλιση, τόσο καλύτερα ο αριθμητικός μέσος όρος αντικατοπτρίζει ολόκληρο τον αντιπροσωπευόμενο πληθυσμό.

Το εύρος παραλλαγής, CAO και MSD ονομάζονται ποσότητες, δηλ. έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης με τις επιμέρους χαρακτηριστικές τιμές.

Υπάρχουν 4 τύποι διακύμανσης: συνολική, διαομαδική, ενδοομαδική, ομαδική.

Η διακύμανση που υπολογίζεται για ολόκληρο τον πληθυσμό ως σύνολο ονομάζεται συνολική διακύμανση.Μετρά τη διακύμανση του εξαρτημένου χαρακτηριστικού (προκύπτοντος), που προκαλείται από την επίδραση όλων των παραγόντων χωρίς εξαίρεση.

Η συνολική διακύμανση είναι ίση με το άθροισμα του μέσου όρου της διακύμανσης εντός και μεταξύ της ομάδας:

Εάν ο πληθυσμός χωριστεί σε ομάδες, τότε για κάθε ομάδα μπορεί να προσδιοριστεί η δική της διακύμανση, χαρακτηρίζοντας τη διακύμανση εντός της ομάδας. Ομαδική διακύμανση– τυπικές αποκλίσεις από τον ομαδικό μέσο όρο, δηλ. από τη μέση τιμή του χαρακτηριστικού σε μια δεδομένη ομάδα.

Οπουι- σειριακός αριθμός ΧΚαι φά εντός της ομάδας.

Η διασπορά ομάδας χαρακτηρίζει τη διακύμανση ενός χαρακτηριστικού μέσα σε μια ομάδα λόγω όλων των άλλων παραγόντων εκτός από αυτούς που αποτελούν τη βάση της ομαδοποίησης.

ΚΑΙ η μέτρηση της διακύμανσης στο σύνολο του πληθυσμού υπολογίζεται ως μέσος όρος των διακυμάνσεων εντός της ομάδας:

πού είναι οι ομαδικές διακυμάνσεις,

n ι– αριθμός μονάδων σε ομάδες.

Οι μέσοι όροι των ομάδων διαφέρουν μεταξύ τους και από τον συνολικό μέσο όρο, δηλ. ποικίλλω. Η παραλλαγή τους ονομάζεται διαομαδική παραλλαγή. Για να το χαρακτηρίσετε, υπολογίστε το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μέσων όρων της ομάδας από το συνολικό μέσο όρο:

Οπου ι – μέσοι όροι ομάδων, - γενικός μέσος όρος, n ι– αριθμός μονάδων στην ομάδα.

Διαομαδική διακύμανση(διασπορά των μέσων ομάδας) μετρά τη διακύμανση του προκύπτοντος χαρακτηριστικού λόγω του χαρακτηριστικού παράγοντα που βρίσκεται κάτω από την ομαδοποίηση.

Κατά τη σύγκριση της μεταβλητότητας διαφορετικών χαρακτηριστικών στον ίδιο πληθυσμό ή κατά τη σύγκριση της μεταβλητότητας του ίδιου χαρακτηριστικού σε πολλούς πληθυσμούς με διαφορετικές τιμές του αριθμητικού μέσου όρου, χρησιμοποιούνται σχετικοί δείκτες διακύμανσης.

Αυτοί οι δείκτες υπολογίζονται ως ο λόγος των απόλυτων δεικτών διακύμανσης προς τον αριθμητικό μέσο όρο (ή διάμεσο)

Ο συντελεστής διακύμανσης

Σχετική γραμμική απόκλιση

Συντελεστής ταλάντωσης

Ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος δείκτης σχετικής μεταβλητότητας είναι ο συντελεστής διακύμανσης, το οποίο δείχνει τη μέση απόκλιση από τη μέση τιμή του χαρακτηριστικού ως ποσοστό.

Χρησιμοποιείται για: συγκριτική αξιολόγηση διακύμανσης. χαρακτηριστικά της ομοιογένειας του πληθυσμού. Ο πληθυσμός θεωρείται ομοιογενής εάν ο συντελεστής διακύμανσης δεν υπερβαίνει το 33%, δηλ. λιγότερο από 33%.

Ζ νόμους της παραλλαγής.

Ο νόμος της μεταβολής των επιμέρους τιμών ενός χαρακτηριστικού ή ο «κανόνας των τριών σίγμα».Ο Βέλγος στατιστικολόγος A. Quetelet ανακάλυψε ότι οι παραλλαγές ορισμένων φαινομένων μάζας υπακούουν στο νόμο της κατανομής σφαλμάτων, που ανακαλύφθηκε από τους K. Gauss και P. Laplace σχεδόν ταυτόχρονα. Η καμπύλη που αντιπροσωπεύει αυτή την κατανομή έχει σχήμα καμπάνας (Εικ. 2).

Με κανονικός νόμος (ο όρος προτάθηκε από τον Άγγλο στατιστικολόγο K. Pearson) διανομή η μεταβλητότητα των επιμέρους τιμών ενός χαρακτηριστικού είναι εντός των ορίων
(κανόνας τριών σίγμα).

Οι φυσικές ιδιότητες ενός ατόμου (ύψος, βάρος, σωματική δύναμη), χαρακτηριστικά των βιομηχανικών προϊόντων (μέγεθος, βάρος, ηλεκτρική αντίσταση, ελαστικότητα κ.λπ.). Στη σφαίρα των ταχέως μεταβαλλόμενων κοινωνικών φαινομένων, η επίδραση αυτού του νόμου είναι σχετικά σπάνια. Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, η χρήση κανόνες τριών σίγμαπρακτικά δυνατό.

Νόμος της μεταβολής των μέσων όρων. Η διακύμανση των μέσων τιμών είναι μικρότερη από τη διακύμανση των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού. Οι μέσες τιμές του χαρακτηριστικού ποικίλλουν εντός των εξής ορίων:
, Οπου n- αριθμός μονάδων.

Κατά τη διαδικασία επεξεργασίας και σύνοψης στατιστικών δεδομένων, υπάρχει ανάγκη προσδιορισμού των μέσων τιμών. Κάθε ομοιογενής στατιστικός πληθυσμός αποτελείται από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό μονάδων που διαφέρουν ως προς το μέγεθος των ποσοτικών χαρακτηριστικών. Ταυτόχρονα, κάθε μονάδα του συνόλου, εξ ορισμού, φέρει χαρακτηριστικά γνωρίσματα ολόκληρου του συνόλου. Ο υπολογισμός των μέσων τιμών μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε το τυπικό επίπεδο χαρακτηριστικών και χαρακτηριστικών του πληθυσμού που μελετάται.

Μέσες τιμέςονομάζονται γενικευτικοί δείκτες που χαρακτηρίζουν το τυπικό επίπεδο ενός μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού ανά μονάδα πληθυσμού υπό συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου.

Η σωστή κατανόηση της ουσίας του μέσου όρου τον καθορίζει ειδικόςσημασία σε μια οικονομία της αγοράς, όταν ο μέσος όρος μέσω του ατόμου και του τυχαίου μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε το γενικό και απαραίτητο, να εντοπίσουμε την τάση των προτύπων οικονομική ανάπτυξη. Σε συνθήκες πραγματικής οικονομικής, συμπεριλαμβανομένης της εμπορικής, δραστηριότητας μόνιμους λόγους(παράγοντες) δρουν εξίσου σε κάθε φαινόμενο που μελετάται και είναι αυτοί που κάνουν αυτά τα φαινόμενα παρόμοιος φίλοςτο ένα πάνω στο άλλο και να δημιουργήσουν μοτίβα κοινά για όλους. Το αποτέλεσμα του δόγματος των γενικών και μεμονωμένων αιτιών των φαινομένων ήταν ο προσδιορισμός των μέσων τιμών ως κύρια τεχνική στατιστικής ανάλυσης, με βάση τον ισχυρισμό ότι οι στατιστικές μέσες τιμές δεν είναι απλώς ένα μέτρο μαθηματικής μέτρησης, αλλά μια κατηγορία. της αντικειμενικής πραγματικότητας. Στη στατιστική θεωρία, μια τυπική μέση τιμή της πραγματικής ζωής προσδιορίζεται με μια πραγματική τιμή για έναν δεδομένο πληθυσμό, οι αποκλίσεις από την οποία μπορούν να είναι μόνο τυχαίες.

Για παράδειγμα, η απόδοση ενός πωλητή εξαρτάται από πολλούς λόγους: προσόντα, εμπειρία, ηλικία, μορφή υπηρεσίας, ανατροφή, υγεία κ.λπ. Και η μέση παραγωγή (πώληση) ανά πωλητή αντικατοπτρίζει τη γενική τυπική ιδιότητα ολόκληρου του πληθυσμού των πωλητών. Η ικανότητα των μέσων τιμών να διατηρούν τις ιδιότητες των στατιστικών πληθυσμών ονομάζεται τον καθορισμό της ιδιοκτησίας.

Έτσι, οι μέσες τιμές είναι γενικοί δείκτες στους οποίους εκφράζεται η δράση γενικές συνθήκες, το πρότυπο του φαινομένου που μελετάται.

Στην πράξη στατιστική επεξεργασίαΔεδομένων των δεδομένων, προκύπτουν διάφορα προβλήματα, υπάρχουν χαρακτηριστικά των φαινομένων που μελετώνται και ως εκ τούτου απαιτούνται διαφορετικοί μέσοι όροι για την επίλυσή τους.

Σύμφωνα με το επίπεδο γενίκευσης των δεδομένων από τον πληθυσμό που μελετάται, ο μέσος όρος μπορεί να είναι γενική και ομαδική.Ο μέσος όρος που υπολογίζεται για τον πληθυσμό συνολικά ονομάζεται γενικός μέσος όρος,και οι μέσοι όροι που υπολογίζονται για κάθε ομάδα είναι ομαδικούς μέσους όρους.

Διακρίνω δύναμη και δομικήμέση τιμή.

ΕξουσίαΟι μέσοι όροι προέρχονται από έναν γενικό τύπο της μορφής:

Με μια αλλαγή στον εκθέτη φτάνουμε ένα συγκεκριμένο είδοςΜεσαίο:

στο - αρμονική μέση;

στο - γεωμετρικό μέσο;

στο - αριθμητικός μέσος όρος;

στο - ρίζα μέσο τετράγωνο.

Το ερώτημα για το τι τύπος μέσου όρου πρέπει να χρησιμοποιείται σε μια συγκεκριμένη περίπτωση επιλύεται από συγκεκριμένη ανάλυσητον πληθυσμό που μελετάται, το υλικό περιεχόμενο του φαινομένου που μελετάται και την κατανόηση των αποτελεσμάτων του μέσου όρου. Μόνο τότε η μέση τιμή εφαρμόζεται σωστά όταν, ως αποτέλεσμα του μέσου όρου, λαμβάνονται τιμές που έχουν πραγματικό νόημα.

Εισάγονται οι ακόλουθες σημειώσεις:

– ονομάζεται το ποσοτικό χαρακτηριστικό με το οποίο βρίσκεται ο μέσος όρος μέσο χαρακτηριστικό?

– μέση αξίαχαρακτηριστικό (με μια γραμμή πάνω), που αντιπροσωπεύει το αποτέλεσμα του μέσου όρου.

Οι επιμέρους τιμές ενός χαρακτηριστικού για μονάδες πληθυσμού που ονομάζονται επιλογές?

– ο συνολικός αριθμός μονάδων στον πληθυσμό·

- συχνότηταή επαναληψιμότητα της μεμονωμένης τιμής ενός χαρακτηριστικού (το βάρος του)·

Λειτουργία μέσου όρου (ευρετήριο).

Ανάλογα με τη διαθεσιμότητα των δεδομένων πηγής, οι μέσοι όροι μπορούν να υπολογιστούν με διαφορετικούς τρόπους. Εάν οι επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού μέσου όρου (παραλλαγές) δεν επαναλαμβάνονται για συγκεκριμένες τιμές του χαρακτηριστικού μέσου όρου, τύποι για απλούς μέσους όρους ισχύος.Ωστόσο, όταν σε πρακτική έρευναΟι μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού που μελετάται εμφανίζονται πολλές φορές σε μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού, τότε η συχνότητα επανάληψης των μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού (είναι το βάρος του χαρακτηριστικού) υπάρχει στους τύπους των μέσων τιμών ισχύος. Στην περίπτωση αυτή καλούνται τύποι σταθμισμένων μέσων όρων ισχύος.Οι τύποι για τους σταθμισμένους μέσους όρους μπορεί να περιέχουν αντί για συχνότητες συχνότητα

ορίζεται ως ο λόγος της συχνότητας ενός χαρακτηριστικού προς το άθροισμα των συχνοτήτων.

Ο Πίνακας 9 δείχνει τους τύπους υπολογισμού διάφοροι τύποιπρώτες τιμές ισχύος και σταθμισμένοι μέσοι όροι.

Πίνακας 9. Τύποι για τον υπολογισμό των μέσων όρων ισχύος

Εννοια	Όνομα της μέσης	Μέση φόρμουλα
απλός	σταθμισμένη
- 1	Αρμονική μέση
	Γεωμετρικό μέσο
	Αριθμητικός μέσος όρος
	Μέσο τετράγωνο

Αριθμητικός μέσος όρος -ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου. Υπολογίζεται σε περιπτώσεις όπου ο όγκος του μέσου όρου χαρακτηριστικού σχηματίζεται ως το άθροισμα των τιμών του για μεμονωμένες μονάδες του πληθυσμού. Για παράδειγμα, πρέπει να υπολογίσετε τη μέση προϋπηρεσία δέκα υπαλλήλων μιας επιχείρησης και να λάβετε μια σειρά από μεμονωμένες τιμές του χαρακτηριστικού 6, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 4 Στη συνέχεια, ο όγκος του μέσου όρου χαρακτηριστικού

και η μέση τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον απλό μέσο όρο

Εάν τα ίδια δεδομένα ομαδοποιηθούν με την τιμή του χαρακτηριστικού, τότε η μέση τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο μέσο όρο

Αρμονική μέσηη τιμή υπολογίζεται συχνότερα όταν στατιστικές πληροφορίεςδεν περιέχει συχνότητες για μεμονωμένες παραλλαγές του πληθυσμού, αλλά υπάρχουν δεδομένα για τους όγκους του μέσου όρου χαρακτηριστικού που σχετίζεται με μεμονωμένες παραλλαγές του πληθυσμού. Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η μέση τιμή μιας μονάδας αγαθών και οι όγκοι πωλήσεων για κάθε τύπο προϊόντος δίνονται με τη μορφή της σειράς 600, 1000, 850 (χιλιάδες ρούβλια) και οι αντίστοιχες τιμές για κάθε τύπο προϊόντος με τη μορφή της σειράς 20, 40, 50 (χιλιάδες ρούβλια ./PC.). Στη συνέχεια, η μέση τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αρμονικό μέσο όρο

Μπορεί να φανεί ότι ο αρμονικός μέσος όρος είναι μια μετατρεπόμενη (αντίστροφη) μορφή του αριθμητικού μέσου όρου. Αντί για τον αρμονικό μέσο όρο, μπορείτε πάντα να υπολογίσετε τον αριθμητικό μέσο όρο, αλλά για να το κάνετε αυτό πρέπει πρώτα να καθορίσετε τα βάρη ατομικές αξίεςσημάδι.

Όταν χρησιμοποιείτε τον τύπο γεωμετρικό μέσομεμονωμένες αξίες ενός χαρακτηριστικού, κατά κανόνα, αντιπροσωπεύουν σχετικές τιμέςδυναμική που κατασκευάζεται με τη μορφή τιμών αλυσίδας (όπως ο λόγος των επόμενων επιπέδων ενός δείκτη προς τα προηγούμενα επίπεδα σε μια σειρά δυναμικής) και τα χρονικά διαστήματα της σειράς δυναμικής είναι τα ίδια (ημέρα, μήνας, έτος). Ο γεωμετρικός μέσος όρος χαρακτηρίζει έτσι τον μέσο συντελεστή ανάπτυξης. Για παράδειγμα, για τα δεδομένα της σειράς δυναμικής που παρουσιάζονται στον Πίνακα 10,

Πίνακας 10. Δυναμική αύξησης του πληθυσμιακού εισοδήματος

Ο μέσος ρυθμός αύξησης του εισοδήματος πληθυσμού υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον απλό γεωμετρικό μέσο τύπο

Τύπος ρίζα μέσο τετράγωνοΟι ποσότητες χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση του μέσου βαθμού διακύμανσης των τιμών των χαρακτηριστικών γύρω από την αριθμητική μέση τιμή στη σειρά διανομής. Έτσι, για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό ενός τέτοιου δείκτη διακύμανσης όπως η διασπορά, ο μέσος όρος υπολογίζεται από τις τετραγωνικές αποκλίσεις των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από το μέσο όρο αριθμητική τιμή(βλ. Κεφάλαιο 6).

Οι μέσοι όροι ισχύος διαφορετικών τύπων, που υπολογίζονται από τον ίδιο πληθυσμό, έχουν διαφορετικούς ποσοτικές αξίες, και όσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του αντίστοιχου μέσου όρου

Αυτή η ιδιότητα των μέσων τιμών ισχύος ονομάζεται μείζονα των μέσων.

Για τον χαρακτηρισμό της δομής του πληθυσμού, χρησιμοποιούνται ειδικοί δείκτες, οι οποίοι ονομάζονται κατασκευαστικόςμέση τιμή. Αυτοί οι δείκτες περιλαμβάνουν τη λειτουργία και τη διάμεσο.

ΜόδαΗ πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή ενός χαρακτηριστικού σε μονάδες ενός δεδομένου πληθυσμού ονομάζεται. Αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη τιμή χαρακτηριστικού.

Για παράδειγμα, μια δειγματοληπτική έρευνα σε 8 σημεία ανταλλαγής νομισμάτων κατέστησε δυνατή την καταγραφή διαφορετικών τιμών ανά δολάριο (Πίνακας 11). Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή τρόπων μεταφοράς ανά δολάριο είναι αφού στο ερωτηθέν σύνολο ανταλλακτηρίων συναλλάγματος εμφανίζεται πιο συχνά (3 φορές).

Αρ.
Τιμή για 1$

Διάμεσος– αυτή είναι η τιμή ενός χαρακτηριστικού που διαιρεί τον αριθμό μιας σειράς διατεταγμένων παραλλαγών σε δύο ίσα μέρη.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τα δεδομένα από τον Πίνακα 10 και ας τακτοποιήσουμε τις επιμέρους τιμές του χαρακτηριστικού σε αύξουσα σειρά.

2150 2155 2155 2155 2160 21652165 2175

Ο τακτικός αριθμός της διάμεσης τιμής καθορίζεται από τον τύπο

α) Στην περίπτωση ζυγού αριθμού, ο διάμεσος αριθμός δεν έχει ακέραια τιμή (στην περίπτωσή μας, 4,5). Η διάμεσος θα είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των γειτονικών τιμών και

β) Στην περίπτωση περιττού αριθμού μεμονωμένων χαρακτηριστικών (για παράδειγμα, )

Επομένως, στην προκειμένη περίπτωση

Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, ενδείκνυται η εύρεση τέτοιων μέσων όρων όπως ο τρόπος λειτουργίας και ο διάμεσος, καθώς ο ερευνητής δεν είχε τον όγκο πωλήσεων για κάθε είδος και επομένως δεν μπορούσε να υπολογίσει τον μέσο όρο με καλή ακρίβεια. αριθμητική τιμήγια ένα δολάριο. Επίσης, το εξεταζόμενο παράδειγμα δείχνει το σημείο ότι η επιλογή του τύπου του αντίστοιχου μέσου όρου εξαρτάται πάντα από τα διαθέσιμα δεδομένα.

4.3. Ιδιότητες και μέθοδοι υπολογισμού μέσων τιμών

Ο αριθμητικός μέσος όρος, που χρησιμοποιείται συχνότερα στην οικονομική και στατιστική πρακτική, έχει μια σειρά από μαθηματικές ιδιότητες που μερικές φορές απλοποιούν τον υπολογισμό του. Αυτές οι ιδιότητες είναι οι εξής:

1. Εάν οι επιλογές μειωθούν ή αυξηθούν κατά κάποιους σταθερός αριθμός, Οτι

ο αριθμητικός μέσος όρος θα μειωθεί ή θα αυξηθεί ανάλογα

2. Εάν οι επιλογές αλλάξουν σταθερό αριθμό φορών, τότε ο μέσος όρος θα αλλάξει επίσης κατά

ίδιες φορές

3. Αν οι συχνότητες διαιρεθούν ή πολλαπλασιαστούν με κάποιο σταθερό αριθμό, τότε ο μέσος όρος δεν θα αλλάξει

4. Το γινόμενο του αριθμητικού μέσου όρου με το άθροισμα των συχνοτήτων ισούται με το άθροισμα των γινομένων των επιλογών κατά συχνότητες

5. Αλγεβρικό άθροισμαη απόκλιση των επιλογών από τη μέση τιμή είναι μηδέν

Όλες οι ιδιότητες που παρατίθενται προκύπτουν από τον ορισμό του σταθμισμένου αριθμητικού μέσου όρου (βλ. Ενότητα 4.2).

Μερικές φορές είναι βολικό να απλοποιήσετε τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου χρησιμοποιώντας τον μαθηματικές ιδιότητες. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αφαιρέσετε μια αυθαίρετη σταθερή τιμή από όλες τις επιλογές, να διαιρέσετε τη διαφορά που προκύπτει με έναν κοινό παράγοντα και, στη συνέχεια, να πολλαπλασιάσετε την υπολογισμένη μέση τιμή με τον κοινό παράγοντα και να προσθέσετε μια αυθαίρετη σταθερά. Ως αποτέλεσμα, ο τύπος για τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο θα έχει την ακόλουθη μορφή.

Η έννοια μιας σειράς παραλλαγής.Το πρώτο βήμα στη συστηματοποίηση του υλικού στατιστικής παρατήρησης είναι η μέτρηση του αριθμού των μονάδων που έχουν ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό. Τακτοποίηση των μονάδων σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά ποσοτικό χαρακτηριστικόκαι μετρώντας τον αριθμό των μονάδων με μια συγκεκριμένη τιμή του χαρακτηριστικού, λαμβάνουμε μια σειρά παραλλαγών. Μια σειρά παραλλαγών χαρακτηρίζει την κατανομή των μονάδων ενός συγκεκριμένου στατιστικού πληθυσμού σύμφωνα με κάποιο ποσοτικό χαρακτηριστικό.

Η σειρά παραλλαγών αποτελείται από δύο στήλες· η αριστερή στήλη περιέχει τις τιμές του ποικίλου χαρακτηριστικού, που ονομάζεται παραλλαγές και συμβολίζεται (x), και η δεξιά στήλη περιέχει απόλυτους αριθμούς, που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται κάθε επιλογή. Οι δείκτες αυτής της στήλης ονομάζονται συχνότητες και ονομάζονται (f).

Η σειρά παραλλαγών μπορεί να παρουσιαστεί σχηματικά με τη μορφή του Πίνακα 5.1:

Πίνακας 5.1

Τύπος σειράς παραλλαγής

Επιλογές (x)	Συχνότητες (στ)

Στη δεξιά στήλη, μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν σχετικοί δείκτες, που χαρακτηρίζουν το μερίδιο της συχνότητας των επιμέρους επιλογών στο συνολικό άθροισμα των συχνοτήτων. Αυτοί οι σχετικοί δείκτες ονομάζονται συχνότητες και συμβολίζονται συμβατικά με , δηλ. . Το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με ένα. Οι συχνότητες μπορούν επίσης να εκφραστούν ως ποσοστά και τότε το άθροισμά τους θα είναι ίσο με 100%.

Μπορεί να υπάρχουν διαφορετικά σημάδια διαφορετικό χαρακτήρα. Οι παραλλαγές ορισμένων χαρακτηριστικών εκφράζονται σε ακέραιους αριθμούς, για παράδειγμα, ο αριθμός των δωματίων σε ένα διαμέρισμα, ο αριθμός των βιβλίων που εκδόθηκαν κ.λπ. Αυτά τα σημάδια ονομάζονται ασυνεχή ή διακριτά. Οι παραλλαγές άλλων χαρακτηριστικών μπορούν να λάβουν οποιεσδήποτε τιμές εντός ορισμένων ορίων, όπως η εκπλήρωση προγραμματισμένων εργασιών, μισθοί κ.λπ. Αυτά τα χαρακτηριστικά ονομάζονται συνεχή.

Σειρά διακριτών παραλλαγών.Εάν οι παραλλαγές μιας σειράς παραλλαγών εκφράζονται με τη μορφή διακριτών μεγεθών, τότε μια τέτοια σειρά παραλλαγής ονομάζεται διακριτή, εμφάνισηπαρουσιάζεται στον πίνακα. 5.2:

Πίνακας 5.2

Κατανομή των μαθητών ανάλογα με τους βαθμούς των εξετάσεων

Βαθμολογίες (x)	Αριθμός μαθητών (στ)	Σε % του συνόλου ()

Η φύση της κατανομής σε διακριτές σειρές απεικονίζεται γραφικά με τη μορφή ενός πολυγώνου κατανομής, Εικ. 5.1.

Ρύζι. 5.1. Κατανομή των μαθητών σύμφωνα με τους βαθμούς που αποκτήθηκαν στις εξετάσεις.

Σειρά παραλλαγής διαστήματος.Για συνεχή χαρακτηριστικά, οι σειρές παραλλαγών κατασκευάζονται ως ενδιάμεσες, δηλ. οι τιμές του χαρακτηριστικού σε αυτά εκφράζονται με τη μορφή διαστημάτων "από και προς". Σε αυτήν την περίπτωση, η ελάχιστη τιμή του χαρακτηριστικού σε ένα τέτοιο διάστημα ονομάζεται κατώτερο όριο του διαστήματος και η μέγιστη ονομάζεται ανώτατο όριο του διαστήματος.

Οι σειρές μεταβολών διαστήματος κατασκευάζονται τόσο για ασυνεχή χαρακτηριστικά (διακριτά) όσο και για εκείνα που ποικίλλουν σε μεγάλο εύρος. Οι σειρές διαστήματος μπορεί να είναι ίσες ή όχι σε ίσα διαστήματα. Στην οικονομική πρακτική, χρησιμοποιούνται τα περισσότερα άνισα διαστήματα, προοδευτικά αυξανόμενα ή μειώνοντας. Αυτή η ανάγκη προκύπτει ιδιαίτερα σε περιπτώσεις που η διακύμανση ενός χαρακτηριστικού εμφανίζεται άνισα και εντός μεγάλων ορίων.

Ας εξετάσουμε τον τύπο της σειράς διαστημάτων με ίσα διαστήματα, πίνακας. 5.3:

Πίνακας 5.3

Κατανομή εργαζομένων ανά παραγωγή

Έξοδος, t.r. (Χ)	Αριθμός εργαζομένων (στ)	Αθροιστική συχνότητα (f´)

Η σειρά κατανομής διαστήματος απεικονίζεται γραφικά με τη μορφή ιστογράμματος, Εικ. 5.2.

Εικ.5.2. Κατανομή εργαζομένων ανά παραγωγή

Συσσωρευμένη (αθροιστική) συχνότητα.Στην πράξη, υπάρχει ανάγκη μετατροπής των σειρών διανομής σε αθροιστική σειρά,κατασκευασμένο σύμφωνα με τις συσσωρευμένες συχνότητες. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να προσδιορίσετε δομικούς μέσους όρους που διευκολύνουν την ανάλυση των δεδομένων σειρών διανομής.

Οι αθροιστικές συχνότητες προσδιορίζονται προσθέτοντας διαδοχικά στις συχνότητες (ή τις συχνότητες) της πρώτης ομάδας αυτούς τους δείκτες των επόμενων ομάδων της σειράς διανομής. Οι συσσωρεύσεις και οι ωθήσεις χρησιμοποιούνται για την απεικόνιση σειρών διανομής. Για την κατασκευή τους, οι τιμές του διακριτού χαρακτηριστικού (ή τα άκρα των διαστημάτων) σημειώνονται στον άξονα της τετμημένης και τα αθροιστικά σύνολα συχνοτήτων (συσσωρεύσεις) σημειώνονται στον άξονα τεταγμένων, Εικ. 5.3.

Ρύζι. 5.3. Σωρευτική κατανομή εργαζομένων ανά παραγωγή

Εάν οι κλίμακες των συχνοτήτων και των επιλογών αντιστραφούν, π.χ. ο άξονας της τετμημένης αντικατοπτρίζει τις συσσωρευμένες συχνότητες και ο άξονας τεταγμένων δείχνει τις τιμές των παραλλαγών, τότε η καμπύλη που χαρακτηρίζει την αλλαγή στις συχνότητες από ομάδα σε ομάδα θα ονομάζεται ένδειξη κατανομής, Εικ. 5.4.

Ρύζι. 5.4. Ogiva διανομής εργατών ανά παραγωγή

Οι σειρές παραλλαγών με ίσα διαστήματα παρέχουν ένα από τα τις πιο σημαντικές απαιτήσειςαπαιτείται για στατιστικές σειρέςκατανομές, διασφαλίζοντας τη συγκρισιμότητα τους σε χρόνο και χώρο.

Πυκνότητα κατανομής.Ωστόσο, οι συχνότητες των μεμονωμένων άνισων διαστημάτων στις ονομαζόμενες σειρές δεν είναι άμεσα συγκρίσιμες. Σε τέτοιες περιπτώσεις, για να εξασφαλιστεί η απαραίτητη συγκρισιμότητα, υπολογίζεται η πυκνότητα κατανομής, δηλ. προσδιορίστε πόσες μονάδες σε κάθε ομάδα είναι ανά μονάδα τιμής διαστήματος.

Κατά την κατασκευή ενός γραφήματος της κατανομής μιας σειράς παραλλαγών με άνισα διαστήματα, το ύψος των ορθογωνίων καθορίζεται σε αναλογία όχι με τις συχνότητες, αλλά με τους δείκτες πυκνότητας της κατανομής των τιμών του χαρακτηριστικού που μελετάται στις αντίστοιχες διαστήματα.

Σχεδιάζοντας μια σειρά παραλλαγών και αυτό γραφική εικόναείναι το πρώτο βήμα για την επεξεργασία των αρχικών δεδομένων και το πρώτο στάδιο στην ανάλυση του πληθυσμού που μελετάται. Το επόμενο βήμα στην ανάλυση σειρά παραλλαγήςείναι να προσδιοριστούν οι κύριοι γενικοί δείκτες, που ονομάζονται χαρακτηριστικά της σειράς. Αυτά τα χαρακτηριστικά θα πρέπει να δίνουν μια ιδέα για τη μέση τιμή του χαρακτηριστικού μεταξύ των πληθυσμιακών μονάδων.

μέση αξία. Η μέση τιμή είναι ένα γενικευμένο χαρακτηριστικό του χαρακτηριστικού που μελετάται στον υπό μελέτη πληθυσμό, αντικατοπτρίζοντας το τυπικό του επίπεδο ανά μονάδα πληθυσμού υπό συγκεκριμένες συνθήκες τόπου και χρόνου.

Η μέση τιμή ονομάζεται πάντα και έχει την ίδια διάσταση με το χαρακτηριστικό των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού.

Πριν από τον υπολογισμό των μέσων τιμών, είναι απαραίτητο να ομαδοποιηθούν οι μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού, προσδιορίζοντας ποιοτικά ομοιογενείς ομάδες.

Ο μέσος όρος που υπολογίζεται για τον πληθυσμό ως σύνολο ονομάζεται συνολικός μέσος όρος και για κάθε ομάδα - μέσοι όροι ομάδας.

Υπάρχουν δύο τύποι μέσων όρων: ισχύς (αριθμητικός μέσος όρος, αρμονικός μέσος όρος, γεωμετρικός μέσος όρος, τετραγωνικός μέσος όρος). δομικό (τρόπος, διάμεσος, τεταρτημόριο, δεκαδικά).

Η επιλογή του μέσου όρου για τον υπολογισμό εξαρτάται από τον σκοπό.

Είδη μέσου όρου ισχύος και μέθοδοι υπολογισμού τους.Στην πρακτική της στατιστικής επεξεργασίας του συλλεγόμενου υλικού προκύπτουν διάφορα προβλήματα, η επίλυση των οποίων απαιτεί διαφορετικούς μέσους όρους.

Οι μαθηματικές στατιστικές αντλούν διάφορους μέσους όρους από τύπους μέσου όρου ισχύος:

πού είναι η μέση τιμή? x – μεμονωμένες επιλογές (τιμές χαρακτηριστικών). z – εκθέτης (με z = 1 – αριθμητικός μέσος όρος, z = 0 γεωμετρικός μέσος όρος, z = - 1 – αρμονικός μέσος, z = 2 – τετραγωνικός μέσος όρος).

Ωστόσο, το ερώτημα για το τι τύπος μέσου όρου πρέπει να εφαρμόζεται σε κάθε μεμονωμένη περίπτωση επιλύεται μέσω μιας συγκεκριμένης ανάλυσης του πληθυσμού που μελετάται.

Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου στις στατιστικές είναι αριθμητικός μέσος όρος. Υπολογίζεται σε περιπτώσεις όπου ο όγκος του μέσου όρου χαρακτηριστικού σχηματίζεται ως το άθροισμα των τιμών του για μεμονωμένες μονάδες του στατιστικού πληθυσμού που μελετάται.

Ανάλογα με τη φύση των δεδομένων πηγής, ο αριθμητικός μέσος όρος προσδιορίζεται με διάφορους τρόπους:

Εάν τα δεδομένα δεν είναι ομαδοποιημένα, τότε ο υπολογισμός πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τον απλό τύπο μέσου όρου

Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου σε διακριτές σειρές εμφανίζεται σύμφωνα με τον τύπο 3.4.

Υπολογισμός του αριθμητικού μέσου όρου σε μια σειρά διαστημάτων.Σε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος, όπου η τιμή ενός χαρακτηριστικού σε κάθε ομάδα λαμβάνεται συμβατικά ως το μέσο του διαστήματος, ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να διαφέρει από τον μέσο όρο που υπολογίζεται από μη ομαδοποιημένα δεδομένα. Επιπλέον, όσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα στις ομάδες, τόσο μεγαλύτερες είναι οι πιθανές αποκλίσεις του μέσου όρου που υπολογίζεται από ομαδοποιημένα δεδομένα από τον μέσο όρο που υπολογίζεται από μη ομαδοποιημένα δεδομένα.

Κατά τον υπολογισμό του μέσου όρου σε μια σειρά διακύμανσης διαστήματος, για να πραγματοποιηθούν οι απαραίτητοι υπολογισμοί, κάποιος μετακινείται από τα διαστήματα στα μεσαία σημεία τους. Και στη συνέχεια ο μέσος όρος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο σταθμισμένου αριθμητικού μέσου όρου.

Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου όρου.Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει κάποιες ιδιότητες που καθιστούν δυνατή την απλοποίηση των υπολογισμών· ας τις εξετάσουμε.

1. Ο αριθμητικός μέσος όρος των σταθερών αριθμών είναι ίσος με αυτόν τον σταθερό αριθμό.

Αν x = a. Επειτα .

2. Αν αλλάξουν αναλογικά τα βάρη όλων των επιλογών, π.χ. αύξηση ή μείωση κατά τον ίδιο αριθμό φορών, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος της νέας σειράς δεν θα αλλάξει.

Αν όλα τα βάρη f μειωθούν κατά k φορές, τότε .

3. Το άθροισμα των θετικών και αρνητικές αποκλίσειςμεμονωμένες επιλογές από τον μέσο όρο, πολλαπλασιαζόμενο με τα βάρη, ισούται με μηδέν, δηλ.

Αν τότε. Από εδώ.

Εάν όλες οι επιλογές μειωθούν ή αυξηθούν κατά οποιονδήποτε αριθμό, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος της νέας σειράς θα μειωθεί ή θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό.

Ας μειώσουμε όλες τις επιλογές Χεπί ένα, δηλ. Χ´ = Χ– ένα.

Επειτα

Ο αριθμητικός μέσος όρος της αρχικής σειράς μπορεί να ληφθεί προσθέτοντας στον μειωμένο μέσο όρο τον αριθμό που αφαιρέθηκε προηγουμένως από τις επιλογές ένα, δηλ. .

5. Εάν όλες οι επιλογές μειωθούν ή αυξηθούν κφορές, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος της νέας σειράς θα μειωθεί ή θα αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό, δηλ. V κμια φορά.

Ας είναι τότε .

Ως εκ τούτου, δηλ. για να ληφθεί ο μέσος όρος της αρχικής σειράς, ο αριθμητικός μέσος όρος της νέας σειράς (με μειωμένες επιλογές) πρέπει να αυξηθεί κατά κμια φορά.

Αρμονική μέση.Ο αρμονικός μέσος όρος είναι ο αντίστροφος του αριθμητικού μέσου όρου. Χρησιμοποιείται όταν οι στατιστικές πληροφορίες δεν περιέχουν συχνότητες για μεμονωμένες παραλλαγές του πληθυσμού, αλλά παρουσιάζονται ως το προϊόν τους (M = xf). Ο αρμονικός μέσος όρος θα υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο 3.5

Η πρακτική εφαρμογή του αρμονικού μέσου όρου είναι ο υπολογισμός ορισμένων δεικτών, ιδίως του δείκτη τιμών.

Γεωμετρικό μέσο.Όταν χρησιμοποιείται γεωμετρικός μέσος όρος, οι μεμονωμένες τιμές ενός χαρακτηριστικού είναι, κατά κανόνα, σχετικές τιμές δυναμικής, που κατασκευάζονται με τη μορφή τιμών αλυσίδας, ως αναλογία προς το προηγούμενο επίπεδο κάθε επιπέδου σε μια σειρά δυναμικών. Ο μέσος όρος χαρακτηρίζει έτσι τον μέσο ρυθμό ανάπτυξης.

Η γεωμετρική μέση τιμή χρησιμοποιείται επίσης για τον προσδιορισμό της ισαπέχουσας τιμής από το μέγιστο και ελάχιστες τιμέςσημάδι. Για παράδειγμα, μια ασφαλιστική εταιρεία συνάπτει συμβάσεις για την παροχή υπηρεσιών ασφάλισης αυτοκινήτων. Ανάλογα με το συγκεκριμένο ασφαλισμένο γεγονός, η πληρωμή της ασφάλισης μπορεί να κυμαίνεται από 10.000 έως 100.000 δολάρια ετησίως. Το μέσο ποσό των ασφαλιστικών πληρωμών θα είναι USD.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος είναι μια ποσότητα που χρησιμοποιείται ως μέσος όρος αναλογιών ή σε σειρές κατανομής, που αντιπροσωπεύεται ως γεωμετρική πρόοδος, όταν z = 0. Αυτός ο μέσος όρος είναι βολικός στη χρήση όταν δεν δίνεται προσοχή στις απόλυτες διαφορές, αλλά στις αναλογίες δύο αριθμών.

Οι τύποι για τον υπολογισμό είναι οι εξής

πού υπολογίζονται οι παραλλαγές του χαρακτηριστικού; – προϊόν επιλογών· φά– συχνότητα επιλογών.

Ο γεωμετρικός μέσος όρος χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς των μέσων ετήσιων ρυθμών ανάπτυξης.

Μέσο τετράγωνο.Ο τύπος μέσου τετραγώνου χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του βαθμού διακύμανσης μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο στη σειρά κατανομής. Έτσι, κατά τον υπολογισμό των δεικτών διακύμανσης, ο μέσος όρος υπολογίζεται από τις τετραγωνικές αποκλίσεις των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Μέση τιμή τετραγωνική ποσότηταυπολογίζεται με τον τύπο

ΣΕ οικονομική έρευνατο μέσο τετράγωνο σε τροποποιημένη μορφή χρησιμοποιείται ευρέως για τον υπολογισμό δεικτών διακύμανσης ενός χαρακτηριστικού, όπως η διασπορά, η τυπική απόκλιση.

Κανόνας της πλειοψηφίας.Υπάρχει η ακόλουθη σχέση μεταξύ των μέσων τιμών ισχύος: όσο μεγαλύτερος είναι ο εκθέτης, τόσο μεγαλύτερη αξίαμέσος όρος, πίνακας 5.4:

Πίνακας 5.4

Σχέση μεταξύ των μέσων όρων

τιμή z
Σχέση μεταξύ των μέσων όρων

Αυτή η σχέση ονομάζεται κανόνας της μειοψηφίας.

Διαρθρωτικοί μέσοι όροι.Για τον χαρακτηρισμό της δομής του πληθυσμού, χρησιμοποιούνται ειδικοί δείκτες, οι οποίοι μπορούν να ονομαστούν δομικοί μέσοι όροι. Αυτοί οι δείκτες περιλαμβάνουν τον τρόπο λειτουργίας, τη διάμεσο, τα τεταρτημόρια και τις δεκαδικές.

Μόδα.Ο τρόπος λειτουργίας (Mo) είναι η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή ενός χαρακτηριστικού μεταξύ των πληθυσμιακών μονάδων. Ο τρόπος είναι η τιμή του χαρακτηριστικού που αντιστοιχεί στο μέγιστο σημείο της θεωρητικής καμπύλης κατανομής.

Η μόδα χρησιμοποιείται ευρέως στην εμπορική πρακτική κατά τη μελέτη της ζήτησης των καταναλωτών (κατά τον προσδιορισμό των μεγεθών των ρούχων και των παπουτσιών που έχουν μεγάλη ζήτηση) και την καταγραφή των τιμών. Μπορεί να υπάρχουν πολλά mods συνολικά.

Υπολογισμός λειτουργίας σε διακριτή σειρά.Σε μια διακριτή σειρά, η λειτουργία είναι η παραλλαγή με την υψηλότερη συχνότητα. Ας εξετάσουμε την εύρεση μιας λειτουργίας σε μια διακριτή σειρά.

Υπολογισμός λειτουργίας σε μια σειρά διαστημάτων.Σε μια σειρά παραλλαγής διαστήματος, ο τρόπος λειτουργίας θεωρείται κατά προσέγγιση ότι είναι η κεντρική παραλλαγή του διαστήματος τρόπων, δηλ. το διάστημα που έχει υψηλότερη συχνότητα(συχνότητα). Μέσα στο διάστημα, πρέπει να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού που είναι η λειτουργία. Για μια σειρά διαστήματος, η λειτουργία θα καθοριστεί από τον τύπο

πού είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων; – την τιμή του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς· – συχνότητα που αντιστοιχεί στο τροπικό διάστημα· – συχνότητα που προηγείται του διαστήματος τρόπων μεταφοράς· – συχνότητα του διαστήματος που ακολουθεί το τροπικό.

Διάμεσος.Διάμεσος () είναι η τιμή του χαρακτηριστικού της μεσαίας μονάδας της σειράς κατάταξης. Μια σειρά κατάταξης είναι μια σειρά στην οποία οι τιμές των χαρακτηριστικών γράφονται με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Ή η διάμεσος είναι μια τιμή που διαιρεί τον αριθμό μιας σειράς διατεταγμένων παραλλαγών σε δύο ίσα μέρη: το ένα μέρος έχει μια τιμή του μεταβαλλόμενου χαρακτηριστικού που είναι μικρότερη από τη μέση επιλογή και το άλλο έχει μια τιμή που είναι μεγαλύτερη.

Για να βρείτε τη διάμεσο, προσδιορίστε πρώτα τον τακτικό της αριθμό. Για να γίνει αυτό, εάν ο αριθμός των μονάδων είναι περιττός, προστίθεται μία στο άθροισμα όλων των συχνοτήτων και όλα διαιρούνται με δύο. Με ζυγό αριθμό μονάδων, η διάμεσος βρίσκεται ως η τιμή του χαρακτηριστικού μιας μονάδας, ο σειριακός αριθμός της οποίας καθορίζεται από το συνολικό άθροισμα των συχνοτήτων διαιρούμενο με δύο. Γνωρίζοντας τον σειριακό αριθμό της διάμεσης, είναι εύκολο να βρείτε την τιμή του χρησιμοποιώντας τις συσσωρευμένες συχνότητες.

Υπολογισμός της διάμεσης τιμής σε μια διακριτή σειρά.Σύμφωνα με τη δειγματοληπτική έρευνα, προέκυψαν στοιχεία για την κατανομή των οικογενειών ανά αριθμό παιδιών, πίνακας. 5.5. Για να προσδιορίσουμε τη διάμεσο, προσδιορίζουμε πρώτα τον τακτικό της αριθμό

Σε αυτές τις οικογένειες ο αριθμός των παιδιών είναι ίσος με 2, άρα = 2. Έτσι, στο 50% των οικογενειών ο αριθμός των παιδιών δεν ξεπερνά τα 2.

– συσσωρευμένη συχνότητα πριν από το διάμεσο διάστημα.

Από τη μια πλευρά, αυτό είναι μια πολύ θετική ιδιότητα γιατί Στην περίπτωση αυτή, λαμβάνεται υπόψη η επίδραση όλων των αιτιών που επηρεάζουν όλες τις μονάδες του υπό μελέτη πληθυσμού. Από την άλλη πλευρά, ακόμη και μια παρατήρηση που περιλαμβάνεται στα δεδομένα πηγής τυχαία μπορεί να παραμορφώσει σημαντικά την ιδέα του επιπέδου ανάπτυξης του χαρακτηριστικού που μελετάται στον υπό εξέταση πληθυσμό (ειδικά σε σύντομες σειρές).

τεταρτημόρια και δεκαδικά.Κατ' αναλογία με την εύρεση της διάμεσης τιμής σε σειρά παραλλαγής, μπορείτε να βρείτε την τιμή ενός χαρακτηριστικού για οποιαδήποτε μονάδα της σειράς κατάταξης. Έτσι, συγκεκριμένα, μπορείτε να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού για μονάδες που διαιρούν μια σειρά σε 4 ίσα μέρη, σε 10 κ.λπ.

τεταρτημόρια.Οι επιλογές που χωρίζουν τη σειρά κατάταξης σε τέσσερα ίσα μέρη ονομάζονται τεταρτημόρια.

Σε αυτήν την περίπτωση, διακρίνουν: το κατώτερο (ή πρώτο) τεταρτημόριο (Q1) - την τιμή του χαρακτηριστικού για μια μονάδα της σειράς κατάταξης, διαιρώντας τον πληθυσμό σε αναλογία ¼ προς ¾ και το ανώτερο (ή τρίτο) τεταρτημόριο ( Q3) - η τιμή του χαρακτηριστικού για τη μονάδα της σειράς κατάταξης, διαιρώντας τον πληθυσμό σε αναλογία ¾ προς ¼.

– συχνότητες διαστημάτων τεταρτημορίου (κάτω και άνω)

Τα διαστήματα που περιέχουν Q1 και Q3 καθορίζονται από τις συσσωρευμένες συχνότητες (ή συχνότητες).

Δεκατιανοί.Εκτός από τα τεταρτημόρια, υπολογίζονται και τα δεκατιανά - επιλογές που χωρίζουν τις σειρές κατάταξης σε 10 ίσα μέρη.

Υποδεικνύονται από το D, το πρώτο δεκαδικό D1 διαιρεί τη σειρά σε αναλογία 1/10 και 9/10, το δεύτερο D2 - 2/10 και 8/10, κ.λπ. Υπολογίζονται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα με τη διάμεσο και τα τεταρτημόρια.

Τόσο η διάμεσος, όσο και τα τεταρτημόρια και τα δεκαδικά ανήκουν στη λεγόμενη τακτική στατιστική, η οποία νοείται ως επιλογή που καταλαμβάνει μια ορισμένη τακτική θέση στη σειρά κατάταξης.

Η περιγραφική φύση της διάμεσης τιμής εκδηλώνεται στο γεγονός ότι χαρακτηρίζει το ποσοτικό όριο των τιμών ενός ποικίλου χαρακτηριστικού που κατέχουν οι μισές μονάδες του πληθυσμού.

Όταν προσδιορίζετε τη διάμεσο σε σειρές διακύμανσης διαστήματος, προσδιορίστε πρώτα το διάστημα στο οποίο βρίσκεται (διάμεσο διάστημα). Αυτό το διάστημα χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το συσσωρευμένο άθροισμα των συχνοτήτων του είναι ίσο ή υπερβαίνει το μισό του αθροίσματος όλων των συχνοτήτων της σειράς. Η διάμεσος μιας σειράς μεταβολής διαστήματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

όπου x 0 είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος.

h – τιμή διαστήματος.

φά Μ– συχνότητα διαστήματος.

f – αριθμός μελών της σειράς.

?Μ- 1 – το άθροισμα των συσσωρευμένων όρων της σειράς που προηγείται της δεδομένης.

Η έννοια της παραλλαγής και η σημασία της. Βασικοί δείκτες διακύμανσης, τα πλεονεκτήματα και η σημασία τους.

Παραλλαγή- διακύμανση, μεταβλητότητα της τιμής ενός χαρακτηριστικού μεταξύ των μονάδων του πληθυσμού. Οι μεμονωμένες αριθμητικές τιμές ενός χαρακτηριστικού που βρίσκονται στον πληθυσμό που μελετάται ονομάζονται τιμές παραλλαγής. Η ανεπάρκεια της μέσης τιμής για τον πλήρη χαρακτηρισμό του πληθυσμού μας αναγκάζει να συμπληρώσουμε τις μέσες τιμές με δείκτες που μας επιτρέπουν να εκτιμήσουμε την τυπικότητα αυτών των μέσων μετρήσεων μετρώντας τη μεταβλητότητα (παραλλαγή) του χαρακτηριστικού που μελετάται. Η παρουσία παραλλαγής οφείλεται στην επίδραση ενός μεγάλου αριθμού παραγόντων στο σχηματισμό του επιπέδου του χαρακτηριστικού. Αυτοί οι παράγοντες δρουν με άνιση δύναμη και σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Οι δείκτες διακύμανσης χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν το μέτρο της μεταβλητότητας των χαρακτηριστικών. Οι στόχοι της στατιστικής μελέτης της παραλλαγής: 1) μελέτη της φύσης και του βαθμού διακύμανσης των χαρακτηριστικών σε μεμονωμένες μονάδες του πληθυσμού. 2) τον καθορισμό του ρόλου μεμονωμένων παραγόντων ή των ομάδων τους στη διακύμανση ορισμένων χαρακτηριστικών του πληθυσμού. Στη στατιστική, χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι για τη μελέτη της διακύμανσης, που βασίζονται στη χρήση ενός συστήματος δεικτών με το οποίο μετράται η διακύμανση. Η έρευνα για την παραλλαγή είναι σημαντική. Η μέτρηση των διακυμάνσεων είναι απαραίτητη κατά τη διεξαγωγή παρατήρησης δειγμάτων, ανάλυση συσχέτισης και διακύμανσης κ.λπ. Από το βαθμό διακύμανσης, μπορεί κανείς να κρίνει την ομοιογένεια του πληθυσμού, τη σταθερότητα των επιμέρους τιμών των χαρακτηριστικών και την τυπικότητα του μέσου όρου. Στη βάση τους, αναπτύσσονται δείκτες εγγύτητας της σχέσης μεταξύ χαρακτηριστικών και δεικτών για την αξιολόγηση της ακρίβειας της παρατήρησης του δείγματος. Διακρίνω διακύμανση στο χώρο και διακύμανση στο χρόνο. Η παραλλαγή στο χώρο νοείται ως η διακύμανση των τιμών των χαρακτηριστικών μεταξύ των πληθυσμιακών μονάδων που αντιπροσωπεύουν μεμονωμένες περιοχές. Η χρονική διακύμανση αναφέρεται σε αλλαγές στις τιμές ενός χαρακτηριστικού σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Για τη μελέτη της διακύμανσης στις σειρές διανομής, όλες οι παραλλαγές των τιμών των χαρακτηριστικών ταξινομούνται σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται κατάταξη σειρών. Τα πιο απλά σημάδια παραλλαγής είναι ελάχιστο και μέγιστο- τη μικρότερη και μεγαλύτερη τιμή του χαρακτηριστικού στο σύνολο. Ο αριθμός των επαναλήψεων μεμονωμένων παραλλαγών των τιμών χαρακτηριστικών ονομάζεται συχνότητα επανάληψης (fi). Είναι βολικό να αντικαταστήσετε τις συχνότητες με συχνότητες – wi. Συχνότητα- ένας δείκτης σχετικής συχνότητας, ο οποίος μπορεί να εκφραστεί σε κλάσματα μονάδας ή ποσοστού και σας επιτρέπει να συγκρίνετε σειρές παραλλαγών με διαφορετικούς αριθμούς παρατηρήσεων. Εκφράζεται με τον τύπο: Για τη μέτρηση της διακύμανσης ενός χαρακτηριστικού, χρησιμοποιούνται διάφοροι απόλυτοι και σχετικοί δείκτες. Οι απόλυτοι δείκτες διακύμανσης περιλαμβάνουν το εύρος διακύμανσης, τη μέση γραμμική απόκλιση, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση. Οι σχετικοί δείκτες ταλάντωσης περιλαμβάνουν τον συντελεστή ταλάντωσης, τη σχετική γραμμική απόκλιση και τον συντελεστή διακύμανσης.

Τύποι διακυμάνσεων και κανόνας πρόσθεσής τους. Συντελεστής προσδιορισμού και σχέση εμπειρικής συσχέτισης: οικονομική σημασία και υπολογισμός τους.

Δείκτες διακύμανσης

Οι μέσοι όροι από μόνοι τους δεν αρκούν για την αξιολόγηση ορισμένων φαινομένων, καθώς οι μέσοι όροι εξισορροπούν, εξομαλύνουν τα μεμονωμένα χαρακτηριστικά των επιμέρους μονάδων του πληθυσμού, δείχνουν το επίπεδο διαφορετικών χαρακτηριστικών τυπικών για δεδομένες συνθήκες και ως εκ τούτου μπορούν να κρύψουν διάφορες τάσεις στην ανάπτυξη. Σε αυτή την περίπτωση, υπολογίστε δείκτες διακύμανσης,που χαρακτηρίζει τις μέσες αποκλίσεις κάθε μονάδας πληθυσμού από τη μέση τιμή του χαρακτηριστικού στο σύνολό του.

Η παραλλαγή έχει αντικειμενικό χαρακτήρα και βοηθά στην κατανόηση της ουσίας του φαινομένου που μελετάται.

Για τη μέτρηση της διακύμανσης στα στατιστικά στοιχεία, χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι, τα περιγραφικά χαρακτηριστικά των οποίων παρουσιάζονται στον πίνακα. 5.6.

Η διασπορά έχει μια σειρά από μαθηματικές ιδιότητες που απλοποιούν την τεχνική του υπολογισμού της.

1. Αν από όλες τις επιλογές αφαιρέσουμε κάποιο σταθερό αριθμό ΕΝΑ, τότε η διασπορά δεν θα αλλάξει.

2. Αν όλες οι τιμές διαιρεθούν με κάποιο σταθερό αριθμό η, τότε η διασπορά θα μειωθεί από αυτό σε η 2 φορές και η τυπική απόκλιση – in ημια φορά.

Πίνακας 5.6.

Δείκτες διακύμανσης

Όνομα δείκτη	Ονομασία και μέθοδος υπολογισμού	Βασικά χαρακτηριστικά
με βάση μη ομαδοποιημένα δεδομένα	με ομαδοποιημένα δεδομένα
Εύρος παραλλαγών		Καταγράφει μόνο ακραίες αποκλίσεις των τιμών των χαρακτηριστικών, αλλά δεν αντικατοπτρίζει αποκλίσεις από τον μέσο όρο όλων των παραλλαγών της σειράς. Όσο μεγαλύτερο είναι το εύρος διακύμανσης, τόσο λιγότερο ομοιογενής είναι ο υπό μελέτη πληθυσμός
Μέση γραμμική απόκλιση			Αντιπροσωπεύει τον αριθμητικό μέσο όρο των απόλυτων αποκλίσεων ενός χαρακτηριστικού από το μέσο επίπεδο του. Όσο μικρότερη είναι η μέση γραμμική απόκλιση, τόσο πιο ομοιογενείς είναι οι τιμές των χαρακτηριστικών του φαινομένου που μελετάται.
Διασπορά			αντιπροσωπεύει μεσαίο τετράγωνοαποκλίσεις των τιμών των χαρακτηριστικών από το μέσο επίπεδό του
Τυπική απόκλιση		Είναι απόλυτο μέτροδιακύμανση και εξαρτάται όχι μόνο από τον βαθμό διακύμανσης του χαρακτηριστικού, αλλά και από τα απόλυτα επίπεδα διακύμανσης και μέσου όρου, γεγονός που δεν επιτρέπει την άμεση σύγκριση των τυπικών αποκλίσεων της σειράς διακύμανσης με σε διαφορετικά επίπεδα. Εκφράζεται σε αυτούς τους αριθμούς στους οποίους εκφράζονται οι επιλογές και ο μέσος όρος
Ο συντελεστής διακύμανσης		Είναι ένα σχετικό μέτρο διακύμανσης. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του, τόσο μεγαλύτερη είναι η εξάπλωση των τιμών των χαρακτηριστικών γύρω από τον μέσο όρο, τόσο λιγότερο ομοιογενής είναι ο πληθυσμός στη σύνθεση και τόσο λιγότερο αντιπροσωπευτικός (τυπικός) ο μέσος όρος

Η μέθοδος για τον υπολογισμό του δείκτη διασποράς χρησιμοποιώντας απλοποιημένες μεθόδους φαίνεται στο Σχ. 5.4. Σημειώστε ότι εφαρμόζεται η μέθοδος των ροπώνσε αυτή την περίπτωση, αν δίνεται διαστημική σειρά με ίσα διαστήματα, ΕΝΑ Η μέθοδος διαφοράς χρησιμοποιείται σε οποιαδήποτε σειρά διανομής: διακριτό και διάστημα με ίσα και άνισα διαστήματα.

Η παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού καθορίζεται από διάφορους παράγοντες, με αποτέλεσμα να διακρίνουμε μεταξύ ολικής διακύμανσης, διασποράς μεταξύ ομάδων και διασποράς εντός ομάδας.

Συνολική διακύμανση (σ 2 ) μετρά την παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού στο σύνολό του υπό την επίδραση όλων των παραγόντων που προκάλεσαν αυτήν την παραλλαγή. Ταυτόχρονα, χάρη στη μέθοδο ομαδοποίησης, είναι δυνατός ο εντοπισμός και η μέτρηση της διακύμανσης λόγω του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης και της διακύμανσης που προκύπτει υπό την επίδραση μη καταγεγραμμένων παραγόντων.

Διαομαδική διακύμανση (σ 2 m.gr) χαρακτηρίζει τη συστηματική παραλλαγή, δηλ. διαφορές στην τιμή του μελετημένου χαρακτηριστικού που προκύπτουν υπό την επίδραση του χαρακτηριστικού - του παράγοντα που αποτελεί τη βάση της ομάδας.

Εικ.5.4. Απλοποιημένες μέθοδοι για τον υπολογισμό της διακύμανσης

,

Οπου κ– τον ​​αριθμό των ομάδων στις οποίες χωρίζεται ολόκληρος ο πληθυσμός·

Μ ι– αριθμός αντικειμένων, παρατηρήσεις που περιλαμβάνονται στην ομάδα ι;

– μέση τιμή του χαρακτηριστικού για την ομάδα ι;

– τη συνολική μέση τιμή του χαρακτηριστικού.

Διακύμανση εντός της ομάδας (σ 2 j,ext.gr) αντικατοπτρίζει τυχαία παραλλαγή, π.χ. μέρος της διακύμανσης που προκύπτει υπό την επίδραση μη λογιστικών παραγόντων και είναι ανεξάρτητο από το χαρακτηριστικό παράγοντα που αποτελεί τη βάση της ομάδας.

, ή, με βάση τη μέθοδο διαφοράς ,

Οπου Χ ij- νόημα Εγώ-η επιλογές στην ομάδα ι.

Εάν τα μεμονωμένα δεδομένα εμφανίζονται περισσότερες από μία φορές στις ομάδες που σχηματίστηκαν, τότε ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος τύπος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της διακύμανσης εντός της ομάδας.

Ο μέσος όρος των διακυμάνσεων εντός της ομάδαςυπολογίζεται με τον τύπο:

.

Υπάρχει ένας νόμος σύμφωνα με τον οποίο η συνολική διακύμανση που προκύπτει υπό την επίδραση όλων των παραγόντων είναι ίση με το άθροισμα της διακύμανσης που προκύπτει λόγω του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης και της διακύμανσης που προκύπτει υπό την επίδραση όλων των άλλων παραγόντων. Αυτός ο νόμος συνδέει τρεις τύπους διασποράς.

Κανόνας προσθήκης διακύμανσης: .

Κανόνας προσθήκης διακύμανσηςπλατύς χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της εγγύτητας των συνδέσεων μεταξύ των χαρακτηριστικών(παραγοντικό και αποτελεσματικό). Για να γίνει αυτό, προσδιορίστε τον εμπειρικό συντελεστή προσδιορισμού και την αναλογία εμπειρικής συσχέτισης.

Εμπειρικός συντελεστής προσδιορισμού (η 2) δείχνει ποιο ποσοστό της συνολικής παραλλαγής ενός χαρακτηριστικού οφείλεται στο χαρακτηριστικό που αποτελεί τη βάση της ομάδας. (η – Ελληνικό γράμμα «αυτό»).

Εμπειρική σχέση συσχέτισης (η ) δείχνει τη στενή σχέση μεταξύ των χαρακτηριστικών- ομαδοποίηση και αποτελεσματική.

Μεταβάλλεται από 0 έως 1. Αν η = 0, τότε το χαρακτηριστικό ομαδοποίησης δεν επηρεάζει το προκύπτον, εάν η =1, τότε το χαρακτηριστικό που προκύπτει αλλάζει μόνο ανάλογα με το χαρακτηριστικό που αποτελεί τη βάση της ομαδοποίησης και η επίδραση άλλων παραγόντων είναι μηδενική. Τα χαρακτηριστικά της σχέσης μεταξύ των χαρακτηριστικών στις αντίστοιχες τιμές του λόγου εμπειρικής συσχέτισης δίνονται στον Πίνακα. 5.7.

Πίνακας 5.7

Ποιοτική αξιολόγηση της σχέσης μεταξύ χαρακτηριστικών

1. Έννοια και ταξινόμηση των σειρών δυναμικής. Συγκρισιμότητα επιπέδων και κλείσιμο δυναμικών σειρών.

Δυναμική - η διαδικασία ανάπτυξης του κινήματος της κοινωνικής οικολογίας. φαινόμενα στο χρόνο. Για να το εμφανίσετε, κατασκευάζονται σειρές δυναμικής. Παρουσιάζεται μια σειρά δυναμικών. Μια σειρά από τιμές ταξινομημένες με χρονολογική σειρά. Στατ. δείκτες, χαρακτήρας. ανάπτυξη του φαινομένου Η ανάλυση χρονοσειρών μας επιτρέπει να εντοπίσουμε τάσεις και πρότυπα κοινωνικής και οικονομικής ανάπτυξης. Η σειρά δυναμικής αποτελείται από δύο στοιχεία: 1) δείκτες χρόνου (t) - είτε συγκεκριμένες ημερομηνίες είτε μεμονωμένες περιόδους (έτη, τρίμηνα κ.λπ.) 2) Επίπεδα σειρών (y) - αντικατοπτρίζουν μια ποσοτική αξιολόγηση της εξέλιξης του φαινόμενο που μελετάται. Τύποι δυναμικών σειρών: 1. Σύμφωνα με το χρόνο που αντικατοπτρίζεται στη δυναμική. Σε τάξεις χωρίζονται σε: - στιγμήαντικατοπτρίζουν την κατάσταση των φαινομένων που μελετώνται σε μια συγκεκριμένη ημερομηνία (χρονικά σημεία) Χρησιμοποιώντας σειρές ροπών, μελετούν: μέγεθος πληθυσμού, κόστος πάγιων περιουσιακών στοιχείων, αποθέματα αγαθών. επίπεδα μαμάς Δεν έχει νόημα να συνοψίσουμε τη σειρά δυναμικής, γιατί μπορεί Γίνεται επαναλαμβανόμενη καταμέτρηση - διάστημα – εμφάνιση των αποτελεσμάτων της εξέλιξης του υπό μελέτη φαινομένου για μεμονωμένες περιόδους (χρονικά διαστήματα): σειρά δυναμικών παραγωγής προϊόντων, επενδύσεων και δαπανημένων κεφαλαίων. Επίπεδα της διαλειμματικής σειράς δυναμικής, απόλυτα. Οι τιμές μπορούν να συνοψιστούν, γιατί μπορούν να θεωρηθούν ως περίληψη για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα. 2. Ανάλογα με τη μέθοδο έκφρασης των επιπέδων μιας σειράς δυναμικών, διακρίνονται σειρές: - απόλυτες τιμές, - σχετικές, - μέσες τιμές. 3. Ανάλογα με την απόσταση, τα επίπεδα ποικίλλουν. δυναμικές σειρές με ίσα και άνισα επίπεδα στο χρόνο. Η κύρια προϋπόθεση για τη λήψη σωστών συμπερασμάτων κατά την ανάλυση μιας σειράς δυναμικών είναι η συγκρισιμότητα των επιπέδων της. Προϋποθέσεις συγκρισιμότητας των επιπέδων. Μια σειρά από δυναμικές. 1) Οφείλονται. Εξασφαλίστε ίση κάλυψη διάφορα μέρηπρωτοφανής. Τα επίπεδα μιας δυναμικής σειράς για ξεχωριστές χρονικές περιόδους θα πρέπει να χαρακτηρίζουν το μέγεθος του φαινομένου σε έναν και τον ίδιο κύκλο, που περιλαμβάνεται στη σύνθεση των μερών του. 2) Κατά τον προσδιορισμό των συγκριτικών επιπέδων μιας σειράς δυναμικών, είναι απαραίτητο. Χρησιμοποιήστε μια ενοποιημένη μεθοδολογία για τον υπολογισμό τους. 3) Ισότητα περιόδων για τις οποίες δίνονται στοιχεία. 4) Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιείτε τις ίδιες μονάδες μέτρησης. Δεδομένων των χαρακτηριστικών των δεικτών κόστους με την πάροδο του χρόνου, πρέπει. σι. εξαλείφεται η επίδραση των μεταβολών των τιμών. αξιολόγηση του υπό μελέτη δείκτη σε τιμές μιας περιόδου (σε συγκρίσιμες τιμές) 5) Με βάση τον σκοπό της μελέτης, τα δεδομένα για τις περιοχές των οποίων τα όρια έχουν αλλάξει πρέπει. σι. επανυπολογίστηκε εντός των παλαιών ορίων. Να φέρει τα επίπεδα ενός αριθμού δυναμικών σε συγκρίσιμο τύπο χρήσης. Μια τεχνική που ονομάζεται Closing Dynamics Rows. Κλείσιμο είναι ο συνδυασμός σε μια σειρά δύο ή περισσότερων δυναμικών σειρών, τα επίπεδα των οποίων υπολογίζονται χρησιμοποιώντας διαφορετικές μεθόδους ή διαφορετικά εδαφικά όρια. Για να κλείσει η σειρά, είναι απαραίτητο για μία από τις περιόδους (μετάβαση) να υπάρχουν δεδομένα που υπολογίζονται με διαφορετικές μεθόδους ή εντός διαφορετικών ορίων.

Δείκτες της έντασης των αλλαγών στο επίπεδο μιας σειράς δυναμικών. Αλυσίδες και βασικές μέθοδοι υπολογισμού.

Για μια ποιοτική αξιολόγηση της δυναμικής των φαινομένων που μελετώνται, χρησιμοποιείται μια σειρά από στατιστικές. δείκτες που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της σύγκρισης των επιπέδων m/s. Ταυτόχρονα, το συγκριτικό επίπεδο. Ονομάζεται επίπεδο αναφοράς και το επίπεδο στο οποίο συνέβη το περιστατικό. Σύγκριση με τη γραμμή βάσης. Στα βασικά Οι δείκτες δυναμικής περιλαμβάνουν απόλυτη. Ανάπτυξη, ρυθμός ανάπτυξης, ρυθμός ανάπτυξης, απόλυτη. Η τιμή του ενός % αύξηση. Ανάλογα με τη μέθοδο σύγκρισης που χρησιμοποιείται, οι δείκτες δυναμικής θα μπορούσαν. να υπολογιστεί με σταθερή και μεταβλητή βάση σύγκρισης y 1← y 2← y 3← y 4← y 5 Απόλυτη αύξηση των χαρακτηριστικών. το μέγεθος της αύξησης ή της μείωσης του επιπέδου της σειράς δυναμικής σε μια ορισμένη χρονική περίοδο και ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ των δύο επιπέδων της σειράς. ∆y c = y i – y i - 1 ∆ y b = y i – y 0 υπάρχει σχέση µεταξύ αλυσίδας και βασικών απόλυτων αυξήσεων: το άθροισµα των πολύτιµων απόλυτων αυξήσεων είναι ίσο µε τη βασική απόλυτη αύξηση τελευταία περίοδοσειρά δυναμικών. ∑∆y c = ∆ y bp Ο ρυθµός ανάπτυξης χαρακτηρίζει την ένταση της αλλαγής στην εξίσωση της σειράς και δείχνει πόσες φορές το επίπεδο. της τρέχουσας περιόδου είναι περισσότερο ή μικρότερο από το επίπεδο της προηγούμενης (βασικής) περιόδου ή πόσο % είναι σε σχέση με την προηγούμενη περίοδο Trc = y i /y i-1 * 100% Trb = y i /y 0 * 100% m Οι ρυθμοί ανάπτυξης /y της αλυσίδας και της βάσης είναι διαθέσιμη σχέση: το γινόμενο των διαδοχικών συντελεστών ανάπτυξης αλυσίδας είναι ίσο με τον βασικό συντελεστή ανάπτυξης της τελευταίας περιόδου της σειράς δυναμικής. P Krts = Krb Ο ρυθμός ανάπτυξης δείχνει πόσο% του επιπέδου. μιας δεδομένης περιόδου είναι περισσότερο ή μικρότερο από το επίπεδο που λαμβάνεται ως βάση σύγκρισης: Μπορεί να υπολογιστεί με 2 τρόπους: α) ως ο λόγος της απόλυτης ανάπτυξης προς το επίπεδο που λαμβάνεται ως βάση σύγκρισης Tprt = ∆ y i / y i -1 * 100% Tprb = ∆ y i / y 0 * 100% β) ως η διαφορά μεταξύ του ρυθμού ανάπτυξης m/y και 100% Tpr = Tr – 100% Η απόλυτη τιμή της 1% ανάπτυξης δείχνει ποια απόλυτη τιμή περιέχεται στο ο σχετικός δείκτης – ανάπτυξη 1%. Αυτός είναι ο λόγος της απόλυτης ανάπτυξης προς τον ρυθμό ανάπτυξης, εκφρασμένος σε %. Ο δείκτης αυτός υπολογίζεται χρησιμοποιώντας δεδομένα αλυσίδας A % =∆ y i / Tpr % = ∆ y i / (∆ y i / y i-1)*100 = y i-1 / 100 Για να ληφθούν γενικοί δείκτες της δυναμικής της κοινωνικής οικονομίας. Τα φαινόμενα καθορίζονται από μέσες τιμές: μέσο επίπεδο σειράς, μέση απόλυτη ανάπτυξη, ρυθμός ανάπτυξης ίχνους, μέσος ρυθμός ανάπτυξης. Το μέσο επίπεδο μιας σειράς δυναμικών δίνει τον γενικό χαρακτήρα του επιπέδου των φαινομένων. Για όλη την περίοδο. Οι μέθοδοι για τον υπολογισμό του εξαρτώνται από τον τύπο της δυναμικής σειράς. α) για σειρές ροπών για ομοιόμορφα όρθιες, υπολογίστε τον μέσο όρο. επίπεδο πραγματοποιείται μια σειρά από έντυπα. μέση χρονολογική y` = (½ y 1 + y 2 + y 3 + ….½y n)/n-1 n – αριθμός επιπέδων της σειράς. β) για σειρές ροπών με άνισα επίπεδα, οι τιμές των επιπέδων στο μέσο των διαστημάτων βρίσκονται πρώτα y` 1 = y 1 + y 2 /2 ; y 2 = y 2 + y 3 /2,……..,y` n = y n-1 + y n /2 Στη συνέχεια προσδιορίζεται γενικό περιβάλλονεπίπεδο σειρές σύμφωνα με τον τύπο μέσου όρου του σταθμισμένου αριθμού: y` = ∑y` i * t i / ∑t i y` I – μέσα επίπεδα σε διαστήματα κατά ημερομηνίες, ti – διάρκεια του χρονικού διαστήματος κατά επίπεδα. γ) Για σειρές διαστήματος με ίσα χρονικά επίπεδα, τα μέσα επίπεδα κατανέμονται σύμφωνα με τον απλό αριθμητικό μέσο τύπο y` = ∑ y i /n Η μέση απόλυτη αύξηση δείχνει πόσο αυξάνεται (μειώνεται) το επίπεδο της σειράς κατά μέσο όρο ανά μονάδα χρονικός. ∆ y i = ∑ y ic / n-1 ή ∆ y i = y n – y 1 / n-1

y1 - Πρώτο επίπεδοσειρά δυναμικών yn – τελικό επίπεδο της σειράς δυναμικών. Ο μέσος ρυθμός ανάπτυξης δείχνει πόσες φορές το επίπεδο ενός αριθμού δυναμικών έχει αλλάξει κατά μέσο όρο ανά μονάδα χρόνου. Καθορίζεται από τις μορφές του. ο γεωμετρικός μέσος όρος των συντελεστών ανάπτυξης της αλυσίδας. T`r = n – 1 √K ts r 1 * K ts r 2 *……*K ts r n – 1 = n – 1 √ PKr ts = n -1 √Krb = n – 1 √ y n /y 1 * x 100%

Ο μέσος ρυθμός ανάπτυξης δείχνει κατά πόσο τοις εκατό κατά μέσο όρο ανά μονάδα χρόνου το επίπεδο της σειράς T`pr = T` - 100% αυξήθηκε (μειώθηκε).

Μέσοι δείκτες μιας σειράς δυναμικών, ο υπολογισμός τους.

Κάθε σειρά δυναμικών μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ορισμένο σύνολο nχρονικά μεταβαλλόμενους δείκτες που μπορούν να συνοψιστούν ως μέσοι όροι. Τέτοιοι γενικευμένοι (μέσοι) δείκτες είναι ιδιαίτερα απαραίτητοι όταν συγκρίνονται αλλαγές σε έναν συγκεκριμένο δείκτη σε διαφορετικές περιόδους, σε διαφορετικές χώρεςκαι τα λοιπά.

Ένα γενικευμένο χαρακτηριστικό της σειράς δυναμικής μπορεί να εξυπηρετήσει, πρώτα απ 'όλα, επίπεδο μεσαίας σειράς. Η μέθοδος υπολογισμού του μέσου επιπέδου εξαρτάται από το αν η σειρά είναι στιγμιαία ή διαλειμματική (περιοδική).

Οταν διάστημασειρά, το μέσο επίπεδό του καθορίζεται από τον τύπο απλός αριθμητικός μέσος όροςαπό τα επίπεδα της σειράς, δηλ.

Εάν είναι διαθέσιμο στιγμήσειρά που περιέχει nεπίπεδα ( y1, y2, …, yn) Με ίσοςδιαστήματα μεταξύ ημερομηνιών (χρόνων), τότε μια τέτοια σειρά μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μια σειρά από μέσες τιμές. Στην περίπτωση αυτή, ο δείκτης (επίπεδο) στην αρχή κάθε περιόδου είναι ταυτόχρονα και ο δείκτης στο τέλος της προηγούμενης περιόδου. Στη συνέχεια, η μέση τιμή του δείκτη για κάθε περίοδο (το διάστημα μεταξύ των ημερομηνιών) μπορεί να υπολογιστεί ως το ήμισυ του αθροίσματος των τιμών στοστην αρχή και στο τέλος της περιόδου, δηλ. Πως . Θα υπάρξει ένας αριθμός από τέτοιους μέσους όρους. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, για σειρές μέσων τιμών, το μέσο επίπεδο υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο. Επομένως, μπορεί να γραφτεί. Αφού μεταμορφώσουμε τον αριθμητή παίρνουμε ,

Οπου Υ1Και Yn- πρώτα και τελευταία επίπεδασειρά; Yi- ενδιάμεσα επίπεδα.

Αυτός ο μέσος όρος είναι γνωστός στις στατιστικές ως μέση χρονολογικήγια τη σειρά στιγμής. Πήρε το όνομά του από τη λέξη «cronos» (χρόνος, λατινικά), αφού υπολογίζεται από δείκτες που αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου.

Οταν άνισοςδιαστήματα μεταξύ ημερομηνιών, ο χρονολογικός μέσος όρος για μια σειρά στιγμών μπορεί να υπολογιστεί ως ο αριθμητικός μέσος όρος των μέσων τιμών των επιπέδων για κάθε ζεύγος στιγμών, σταθμισμένος με τις αποστάσεις (χρονικά διαστήματα) μεταξύ ημερομηνιών, π.χ. . Σε αυτή την περίπτωση, υποτίθεται ότι στα μεσοδιαστήματα μεταξύ των ημερομηνιών τα επίπεδα πήραν διαφορετικές τιμές και είμαστε από δύο γνωστές ( yiΚαι yi+1) προσδιορίζουμε τους μέσους όρους, από τους οποίους στη συνέχεια υπολογίζουμε τον συνολικό μέσο όρο για ολόκληρη την περίοδο που αναλύθηκε. Αν υποτεθεί ότι κάθε τιμή yiπαραμένει αμετάβλητη μέχρι την επόμενη (i+ 1)- η στιγμή, δηλ. η ακριβής ημερομηνία αλλαγής των επιπέδων είναι γνωστή, τότε ο υπολογισμός μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο όρο: ,

όπου είναι ο χρόνος κατά τον οποίο το επίπεδο παρέμεινε αμετάβλητο.

Εκτός από το μέσο επίπεδο στη σειρά δυναμικής, υπολογίζονται και άλλοι μέσοι δείκτες - μέση μεταβολή στα επίπεδα σειρών(βασικές και αλυσιδωτές μέθοδοι), μέσο ρυθμό μεταβολής.

Γραμμή βάσης σημαίνει απόλυτη αλλαγήείναι το πηλίκο της τελευταίας υποκείμενης απόλυτης αλλαγής διαιρεμένο με τον αριθμό των αλλαγών. Αυτό είναι

Αλυσίδα σημαίνει απόλυτη αλλαγήεπίπεδα της σειράς είναι το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος όλων των απόλυτων αλλαγών της αλυσίδας με τον αριθμό των αλλαγών, δηλαδή

Το πρόσημο των μέσων απόλυτων αλλαγών χρησιμοποιείται επίσης για να κρίνει τη φύση της αλλαγής σε ένα φαινόμενο κατά μέσο όρο: ανάπτυξη, παρακμή ή σταθερότητα.

Από κανόνες για την παρακολούθηση βασικών και αλυσιδωτών απόλυτων αλλαγώνέπεται ότι η μέση μεταβολή της βάσης και της αλυσίδας πρέπει να είναι ίση.

Μαζί με τη μέση απόλυτη μεταβολή, το σχετικός μέσος όροςεπίσης με τους βασικούς και αλυσιδωτούς τρόπους.

Βασική μέση σχετική μεταβολήκαθορίζεται από τον τύπο

Αλυσίδα μέση σχετική μεταβολήκαθορίζεται από τον τύπο

Φυσικά, οι σχετικές αλλαγές βασικού και αλυσιδωτού μέσου όρου πρέπει να είναι οι ίδιες, και συγκρίνοντάς τες με την τιμή κριτηρίου 1, συνάγεται ένα συμπέρασμα σχετικά με τη φύση της αλλαγής στο φαινόμενο κατά μέσο όρο: ανάπτυξη, παρακμή ή σταθερότητα. Αφαιρώντας 1 από τη μέση σχετική μεταβολή βάσης ή αλυσίδας, το αντίστοιχο μέσο ρυθμό μεταβολής, από το πρόσημο του οποίου μπορεί κανείς να κρίνει και τη φύση της αλλαγής στο υπό μελέτη φαινόμενο, που αντικατοπτρίζεται από αυτή τη σειρά δυναμικών.

Μέθοδοι για την ανάλυση της κύριας τάσης στις χρονοσειρές.

Οι αλλαγές στα επίπεδα μιας σειράς δυναμικών καθορίζονται από την καθοριστική επίδραση στο υπό μελέτη φαινόμενο και αποτελούν την κύρια αναπτυξιακή τάση (τάση) στη σειρά των δυναμικών Η επίδραση των λειτουργικών παραγόντων προκαλεί περιοδικές διακυμάνσεις στα επίπεδα της σειράς δυναμικές που επαναλαμβάνονται με την πάροδο του χρόνου. Η επίδραση των εφάπαξ παραγόντων αντανακλάται από τυχαίες (βραχυπρόθεσμες) αλλαγές στα επίπεδα ενός αριθμού δυναμικών. T.t. σειρά από din-ki συμπεριλαμβανομένου του ίχνους των βασικών. συνιστώσες: 1) βασική τάση (τάση) 2) κυκλική (περιοδικές διακυμάνσεις) 3) Τυχαίες διακυμάνσεις Η κύρια αναπτυξιακή τάση (τάση) είναι μια ομαλή και σταθερή αλλαγή στο επίπεδο των φαινομένων με την πάροδο του χρόνου, χωρίς τυχαίες καταστάσεις. Kolebny. Ο προσδιορισμός της βάσης της τάσης των αλλαγών στα επίπεδα μιας σειράς προϋποθέτει την ποσοτική της έκφραση σε κάποιο βαθμό απαλλαγμένη από τυχαίες επιρροές. Για τον προσδιορισμό μιας τάσης, χρησιμοποιούνται διάφορες μέθοδοι εξομάλυνσης (οριζόντια σειράς): 1) Η μέθοδος διαστημάτων ενίσχυσης - συνίσταται στο γεγονός ότι η αρχική σειρά δυναμικής μετατρέπεται σε μια σειρά μεγαλύτερων περιόδων (για παράδειγμα, μια σειρά που περιέχει δεδομένα σε η μηνιαία παραγωγή μετατρέπεται σε σειρά τριμηνιαίων στοιχείων) 2) Μέθοδος κινητού μέσου όρου. Αποτελείται από εκατό αρχικά επίπεδα της σειράς που αντικαθίστανται από μέσες τιμές, οι οποίες λαμβάνονται από αυτό το επίπεδοκαι αρκετοί τον περιβάλλουν συμμετρικά. Ο αριθμός των επιπέδων στα οποία υπολογίζεται ο μέσος όρος. η τιμή ονομάζεται διάστημα εξομάλυνσης, μπορεί να είναι ζυγός και περιττός. Οι μέσοι όροι υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ολίσθησης, δηλ. εξαλείφοντας σταδιακά την αποδεκτή περίοδο ολίσθησής τους. 1ο επίπεδο και ένταξη του επόμενου. Η εύρεση ενός κινούμενου μέσου όρου σε ζυγό αριθμό επιπέδων περιπλέκεται από το γεγονός ότι ο μέσος όρος μπορεί να αποδοθεί μόνο. μέχρι το μέσο της διευρυμένης ιντερ-λα. Ποιητής. Για τον προσδιορισμό των εξομαλυνόμενων επιπέδων, πραγματοποιείται κεντράρισμα, δηλ. εύρεση του μέσου όρου δύο παρακείμενων κινητών μέσων για την αντιστοίχιση του προκύπτοντος επιπέδου σε μια συγκεκριμένη ημερομηνία. 3) Αναλυτική ευθυγράμμιση. Η ουσία της μεθόδου είναι η επιλογή των μαθηματικών. Λειτουργίες που χαρακτηρίζουν καλύτερα τα αρχικά επίπεδα μιας σειράς δυναμικών. Τα εμπειρικά (πραγματικά) επίπεδα μιας σειράς δυναμικών αντικαθίστανται από ομαλά μεταβαλλόμενα θεωρητικά επίπεδα, τα οποία υπολογίζονται σύμφωνα με κάποια συνάρτηση. Ανάλογα με την εξάρτηση, η απόκλιση των αρχικών επιπέδων της σειράς από τα επίπεδα που αντιστοιχούν στη γενική τάση εξηγείται από τη δράση τυχαίων ή περιοδικών παραγόντων. Ένα ίχνος χρησιμοποιείται για ευθυγράμμιση. μαθηματικά. Συναρτήσεις: α) γραμμική y t =a 0 +a 1 t