Sirge võrrandite uurimisel tasapinnal ja sisse kolmemõõtmeline ruum tugineme vektorite algebrale. Kus eriline tähendus neil on sirge suunavektor ja sirge normaalvektor. Käesolevas artiklis vaatleme lähemalt sirge normaalvektorit. Alustame määratlusega normaalvektor otse, anname näiteid ja graafilisi illustratsioone. Järgmisena liigume teadaolevate sirge võrrandite abil sirge normaalvektori koordinaatide leidmise juurde, näidates samal ajal üksikasjalikud lahendusedülesandeid.

Leheküljel navigeerimine.

Tavaline joonvektor – määratlus, näited, illustratsioonid.

Materjali mõistmiseks peate selgelt mõistma sirget, tasapinda ja teadma ka vektoritega seotud põhimääratlusi. Seetõttu soovitame esmalt värskendada artiklite materjali otse tasapinnal, otse ruumis, tasapinna ideed ja.

Defineerime sirge normaalvektori.

Definitsioon.

normaalne vektorjoon on mis tahes nullist erinev vektor, mis asub antud vektoriga risti oleval sirgel.

Sirge normaalvektori definitsioonist on selge, et see on olemas lõpmatu hulk antud sirge normaalvektorid.

Sirge normaalvektori definitsioon ja sirge suunavektori definitsioon võimaldavad järeldada, et antud sirge suvaline normaalvektor on risti selle sirge mis tahes suunavektoriga.

Toome näite sirgjoone normaalvektorist.

Las Oxy antakse lennukis. Koordinaadi sirge Ox normaalvektorite hulka kuulub koordinaatvektor . Tõepoolest, vektor on nullist erinev ja asub koordinaatjoonel Oy , mis on risti teljega Ox . Koordinaadi sirge Ox kõigi normaalvektorite hulga ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy saab esitada järgmiselt .

Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxyz kolmemõõtmelises ruumis on sirge Oz normaalvektor vektor . Koordinaadivektor on ka sirge Oz normaalvektor. Ilmselgelt on iga nullist erinev vektor, mis asub mis tahes tasapinnal, mis on risti teljega Oz, sirge Oz normaalvektor.

Sirge normaalvektori koordinaadid - sirge normaalvektori koordinaatide leidmine selle sirge teadaolevate võrrandite abil.

Kui arvestada sirget ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy, siis vastab sellele mingisugusel tasapinnal sirgjoone võrrand ja sirge normaalvektorid määratakse nende koordinaatide järgi (vt artiklit) . See tõstatab küsimuse: "kuidas leida sirge normaalvektori koordinaate, kui me teame selle sirge võrrandit"?

Leiame vastuse küsimusele, mis püstitatakse tasapinnal erinevat tüüpi võrranditega.

Kui tasapinnal olev sirge defineerib vormi sirgjoone üldvõrrandi , siis on koefitsiendid A ja B selle sirge normaalvektori vastavad koordinaadid.

Näide.

Leia mõne normaaljoonvektori koordinaadid .

Lahendus.

Kuna sirge on antud üldvõrrandiga, siis saame kohe kirja panna ka selle normaalvektori koordinaadid - need on vastavad koefitsiendid muutujate x ja y ees. See tähendab, et sirge normaalvektoril on koordinaadid .

Vastus:

Üks sirge üldvõrrandi arvudest A või B võib olla võrdne nulliga. See ei tohiks teid häirida. Vaatame näidet.

Näide.

Määrake mis tahes normaaljoonvektor.

Lahendus.

Meile on antud sirge mittetäielik üldvõrrand. Seda saab vormis ümber kirjutada , kust on kohe näha selle sirge normaalvektori koordinaadid: .

Vastus:

Vormi lõikudes sirgjoone võrrandit või kaldega sirge võrrandit saab hõlpsasti taandada üldvõrrand sirge, millest leitakse selle sirge normaalvektori koordinaadid.

Näide.

Leidke sirge normaalvektori koordinaadid.

Lahendus.

Segmentide sirgjoone võrrandilt on väga lihtne üle minna sirge üldvõrrandile: . Seetõttu on selle sirge normaalvektoril koordinaadid .

Vastus:

Kui sirge defineerib vormi tasapinnal oleva sirge kanoonilise võrrandi või sirge parameetrilised võrrandid vormi tasapinnal , siis on normaalvektori koordinaate veidi keerulisem saada. Nendest võrranditest on kohe näha sirge suunava vektori koordinaadid -. Selle sirge normaalvektori koordinaatide leidmine võimaldab ja .

Samuti on võimalik saada sirge normaalvektori koordinaadid, taandades sirge kanoonilise võrrandi või sirge parameetrilised võrrandid üldvõrrandiks. Selleks tehke järgmised teisendused:

Millist viisi eelistate, on teie otsustada.

Näitame näiteid.

Näide.

Leia mõni normaalne joonvektor .

Lahendus.

Suunavektor sirge on vektor. normaalne vektorjoon on risti vektoriga , siis ja on võrdne nulliga: . Sellest võrdsusest, andes n x-le suvalise nullist erineva reaalväärtuse, leiame n y . Olgu siis n x =1 , seetõttu on algse sirge normaalvektoril koordinaadid .

Teine lahendus.

Liigume sirge kanoonilise võrrandi juurest üldvõrrandi juurde: . Nüüd on selle sirge normaalvektori koordinaadid nähtavaks saanud.

Vastus:

Tasapinnaline võrrand. Kuidas kirjutada tasapinna võrrandit?
Vastastikune korraldus lennukid. Ülesanded

Ruumigeomeetria pole palju keerulisem kui "tasane" geomeetria ja meie lennud kosmoses algavad sellest artiklist. Et teemast aru saada, peab olema sellest hea arusaam vektorid, lisaks on soovitav olla kursis tasapinna geomeetriaga - seal on palju sarnasusi, palju analoogiaid, nii et teave on palju paremini seeditav. Minu õppetundide sarjas avaneb 2D-maailm artikliga Tasapinna sirgjoone võrrand. Kuid nüüd on Batman lameekraanteleviisorilt maha astunud ja stardib Baikonuri kosmodroomilt.

Alustame jooniste ja sümbolitega. Skemaatiliselt saab tasapinna joonistada rööpkülikuna, mis jätab ruumi mulje:

Tasapind on lõpmatu, kuid meil on võimalus kujutada sellest vaid tükki. Praktikas joonistatakse lisaks rööpkülikule ka ovaal või isegi pilv. Tehnilistel põhjustel on minu jaoks mugavam kujutada lennukit nii ja sellises asendis. Päris lennukid, mida me käsitleme praktilisi näiteid, saab paigutada nii, nagu soovite - võtke joonistus vaimselt oma kätesse ja keerake seda ruumis, andes tasapinnale igasuguse kalde, mis tahes nurga.

Märge: lennukid on tavaks tähistada väikeste kreeka tähtedega, ilmselt selleks, et neid mitte segamini ajada otse lennukis või koos otse ruumis. Olen harjunud kirja kasutama . Joonisel on see täht "sigma", mitte auk. Kuigi, auklik lennuk, on see kindlasti väga naljakas.

Mõnel juhul on tasapindade tähistamiseks mugav kasutada samu kreeka tähti koos alaindeksitega, näiteks .

Ilmselgelt määrab lennuki üheselt kolm erinevad punktid ei asu samal sirgel. Seetõttu on lennukite kolmetähelised tähistused üsna populaarsed - nende juurde kuuluvate punktide järgi näiteks jne. Sageli on tähed sulgudes: , et mitte ajada tasapinda segamini mõne teise geomeetrilise kujundiga.

Kogenud lugejatele annan kiirmenüü:

• Kuidas kirjutada punkti ja kahe vektori abil tasapinna võrrandit?
• Kuidas kirjutada võrrandit tasapinnale kasutades punkti ja normaalvektorit?

ja me ei virele pikki ootamisi:

Tasapinna üldvõrrand

Tasapinna üldvõrrand on kujul , kus koefitsiendid on samaaegselt nullist erinevad.

Mitmed teoreetilised arvutused ja praktilised ülesanded kehtivad nii tavalise ortonormaalse aluse kui ka jaoks afiinne alus tühik (kui õli on õli, minge tagasi õppetundi Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus). Lihtsuse huvides eeldame, et kõik sündmused toimuvad ortonormaalses aluses ja Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Ja nüüd harjutame natuke ruumiline kujutlusvõime. Pole hullu, kui teil on see halb, nüüd arendame seda veidi. Isegi närvidel mängimine nõuab harjutamist.

Väga üldine juhtum, kui arvud on nullist erinevad, lõikub tasapind kõigi kolme koordinaatteljega. Näiteks nii:

Kordan veel kord, et lennuk jätkub lõputult igas suunas ja meil on võimalus kujutada ainult osa sellest.

Mõelge tasandite lihtsaimatele võrranditele:

Kuidas mõista antud võrrand? Mõelge sellele: "Z" on ALATI, kui "X" ja "Y" väärtused on võrdne nulliga. See võrrand on "native" koordinaattasand. Tõepoolest, formaalselt saab võrrandi ümber kirjutada järgmiselt: , kust on selgelt näha, et meid ei huvita, millised väärtused “x” ja “y” võtavad, on oluline, et “z” oleks võrdne nulliga.

Sarnaselt:
on koordinaattasandi võrrand ;
on koordinaattasandi võrrand.

Teeme probleemi veidi keerulisemaks, vaatleme tasapinda (siin ja edasises lõigus eeldame, et arvulised koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga). Kirjutame võrrandi ümber kujul: . Kuidas sellest aru saada? "X" on ALATI, sest "y" ja "z" mis tahes väärtus on võrdne teatud arvuga. See tasand on paralleelne koordinaattasandiga. Näiteks tasapind on tasapinnaga paralleelne ja läbib punkti.

Sarnaselt:
- koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand;
- koordinaattasandiga paralleelse tasandi võrrand.

Lisa liikmeid: . Võrrandi saab ümber kirjutada järgmiselt: st "Z" võib olla ükskõik milline. Mida see tähendab? "X" ja "Y" on ühendatud suhtega, mis tõmbab tasapinnale teatud sirge (te tunnete ära tasapinna sirgjoone võrrand?). Kuna Z võib olla ükskõik milline, on see rida "kordatud" igal kõrgusel. Seega määrab võrrand tasandi, mis on paralleelne koordinaatide telg

Sarnaselt:
- koordinaatteljega paralleelse tasandi võrrand;
- koordinaatteljega paralleelse tasandi võrrand.

Kui vabad liikmed on nullid, siis tasandid läbivad otse vastavaid telgi. Näiteks klassikaline "otsene proportsionaalsus":. Joonistage tasapinnal sirgjoon ja korrutage see vaimselt üles ja alla (kuna "z" on suvaline). Järeldus: lennuk, võrrandiga antud, läbib koordinaattelge .

Lõpetame ülevaate: tasapinna võrrand läbib päritolu. No siin on üsna ilmne, et punkt rahuldab antud võrrandit.

Ja lõpuks joonisel näidatud juhtum: - tasapind sõbruneb kõigi koordinaattelgedega, samal ajal kui see alati "lõikab" kolmnurga, mis võib asuda ükskõik millises kaheksast oktandist.

Lineaarsed ebavõrdsused ruumis

Infost arusaamiseks on vaja hästi õppida tasapinna lineaarsed ebavõrdsused sest paljud asjad on sarnased. Lõik on lühike ülevaade koos mõne näitega, kuna materjal on praktikas üsna haruldane.

Kui võrrand määratleb tasandi, siis võrratused
küsi pooltühikud. Kui võrratus ei ole range (nimekirjas kaks viimast), siis sisaldab võrratuse lahend lisaks poolruumile ka tasandit ennast.

Näide 5

Leidke tasapinna ühiknormaalvektor .

Lahendus: Ühikvektor on vektor, mille pikkus on üks. Tähistage antud vektor läbi . On üsna selge, et vektorid on kollineaarsed:

Esiteks eemaldame tasapinna võrrandist normaalvektori: .

Kuidas leida ühikvektorit? Ühikvektori leidmiseks on vaja iga vektori koordinaat jagatud vektori pikkusega.

Kirjutame normaalvektori vormi ümber ja leiame selle pikkuse:

Vastavalt ülaltoodule:

Vastus:

Kontrollige: , mille kontrollimiseks oli vaja.

Lugejad, kes on õppetunni viimast lõiku hoolikalt uurinud, märkasid seda ilmselt ühikvektori koordinaadid on täpselt vektori suunakoosinused:

Läheme kõrvale lahti võetud probleemist: kui teile antakse suvaline nullist erinev vektor, ja tingimuse järgi on vaja leida selle suunakoosinused (vt tunni viimaseid ülesandeid Vektorite punktkorrutis), siis tegelikult leiad ka antud vektoriga kollineaarse ühikvektori. Tegelikult kaks ülesannet ühes pudelis.

Ühikulise normaalvektori leidmise vajadus kerkib esile mõne matemaatilise analüüsi probleemi puhul.

Arvasime välja tavalise vektori püügi, nüüd vastame vastupidisele küsimusele:

Kuidas kirjutada võrrandit tasapinnale kasutades punkti ja normaalvektorit?

Seda normaalvektori ja punkti jäika konstruktsiooni tunneb hästi nooleviske sihtmärk. Palun sirutage käsi ette ja valige vaimselt suvaline punkt ruumi, näiteks väike kass puhvetkapis. Ilmselgelt saate selle punkti kaudu joonistada ühe tasapinna, mis on oma käega risti.

Vektoriga risti läbiva tasandi võrrandit väljendatakse järgmise valemiga:

Sirge võrrandite uurimiseks on vaja hästi mõista vektorite algebrat. Oluline on leida sirge suunavektor ja normaalvektor. Selles artiklis käsitletakse sirgjoone normaalvektorit näidete ja joonistega, leides selle koordinaadid, kui sirge võrrandid on teada. Kaalutakse üksikasjalikku lahendust.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materjali lihtsamaks seedimiseks peate mõistma vektoritega seotud joone, tasandi ja definitsioonide mõisteid. Kõigepealt tutvume sirge vektori mõistega.

Definitsioon 1

Tavaline joonvektor kutsutakse suvalist nullist erinevat vektorit, mis asub antud vektoriga risti asetseval sirgel.

On selge, et antud sirgel paikneb lõpmatu hulk normaalvektoreid. Mõelge allolevale joonisele.

Saame, et sirge on risti ühega kahest antud paralleelsest sirgest, siis tema risti ulatub teise paralleelse sirgeni. Siit saame, et nende paralleelsete sirgete normaalvektorite hulgad langevad kokku. Kui sirged a ja a 1 on paralleelsed ning n → loetakse sirge a normaalvektoriks, loetakse seda ka sirge a 1 normaalvektoriks. Kui sirgel a on otsevektor, siis vektor t · n → on parameetri t mis tahes väärtuse korral nullist erinev ja on ka sirge a puhul normaalne.

Kasutades normaal- ja suunavektori definitsiooni, võib järeldada, et normaalvektor on suunaga risti. Kaaluge näidet.

Kui tasand O x y on antud, siis O x vektorite hulk on koordinaatvektor j → . Seda peetakse nullist erinevaks ja see kuulub koordinaatteljele O y, mis on risti O x-ga. Kogu normaalvektorite hulga O x suhtes saab kirjutada kujul t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Ristkülikukujulises süsteemis O x y z on sirgega O z seotud normaalvektor i →. Samuti peetakse normaalseks vektorit j →. See näitab, et iga nullist erinevat vektorit, mis asub mis tahes tasapinnal ja on O z-ga risti, loetakse O z puhul normaalseks.

Sirge normaalvektori koordinaadid - sirge normaalvektori koordinaatide leidmine sirge teadaolevatest võrranditest

Arvestades ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi O x y, leiame, et sellele vastab tasapinna sirge võrrand ja normaalvektorite määramine toimub koordinaatide järgi. Kui sirge võrrand on teada, kuid on vaja leida normaalvektori koordinaadid, siis on võrrandist A x + B y + C = 0 vaja tuvastada koefitsiendid, mis vastavad vektori koordinaatidele. antud sirge normaalvektor.

Näide 1

Antud on sirge kujul 2 x + 7 y - 4 = 0 _, leidke normaalvektori koordinaadid.

Lahendus

Tingimusena on meil see, et sirge on antud üldvõrrandiga, mis tähendab, et on vaja välja kirjutada koefitsiendid, mis on normaalvektori koordinaadid. Seega on vektori koordinaatide väärtus 2 , 7 .

Vastus: 2 , 7 .

Mõnikord on võrrandi A või B null. Vaatleme sellise ülesande lahendust näitega.

Näide 2

Määrake antud sirge normaalvektor y - 3 = 0 .

Lahendus

Tingimuse järgi antakse meile sirge üldvõrrand, mis tähendab, et kirjutame selle sel viisil 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Nüüd näeme selgelt koefitsiente, mis on normaalvektori koordinaadid. Seega saame, et normaalvektori koordinaadid on 0 , 1 .

Vastus: 0, 1.

Kui võrrand on esitatud segmentides kujul x a + y b = 1 või võrrand kaldetegur y = k · x + b , siis on vaja taandada sirge üldvõrrandiks, kus on võimalik leida selle sirge normaalvektori koordinaadid.

Näide 3

Leidke normaalvektori koordinaadid, kui on antud sirge võrrand x 1 3 - y = 1.

Lahendus

Kõigepealt peate liikuma võrrandilt intervallides x 1 3 - y = 1 üldvõrrandile. Siis saame, et x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

See näitab, et normaalvektori koordinaatide väärtus on 3, -1.

Vastus: 3 , - 1 .

Kui sirge on defineeritud tasapinna x - x 1 a x = y - y 1 a y sirge kanoonilise võrrandiga või parameetrilise x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , siis koordinaatide saamine muutub keerulisem. Nende võrrandite järgi on näha, et suunavektori koordinaadid on a → = (a x , a y) . Normaalvektori n → koordinaatide leidmise võimalus on võimalik tänu tingimusele, et vektorid n → ja a → on risti.

Normaalvektori koordinaadid on võimalik saada kasutades kanoonilist või parameetrilised võrrandid otse üldisele. Siis saame:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

Lahenduse jaoks saate valida mis tahes mugava viisi.

Näide 4

Leidke antud sirge normaalvektor x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Lahendus

Sirgelt x - 2 7 = y + 3 - 2 on selge, et suunavektoril on koordinaadid a → = (7 , - 2) . Antud sirge normaalvektor n → = (n x , n y) on risti a → = (7 , - 2) .

Uurime välja, millega skalaarkorrutis on võrdne. Leidmise eest dot toode vektorid a → = (7 , - 2) ja n → = (n x , n y) kirjutame a → , n → = 7 n x - 2 n y = 0 .

N x väärtus on suvaline, peaksite leidma n y . Kui n x = 1, siis saame, et 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Seega on normaalvektoril koordinaadid 1 , 7 2 .

Teine lahendus on jõuda üldine vaade kanoonilised võrrandid. Selleks me teisendame

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Normaalvektori koordinaatide tulemus on 2 , 7 .

Vastus: 2, 7 või 1 , 7 2 .

Näide 5

Määrake sirge x = 1 y = 2 - 3 · λ normaalvektori koordinaadid.

Lahendus

Kõigepealt peate tegema teisenduse, et minna sirgjoone üldkujule. Teeme:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

See näitab, et normaalvektori koordinaadid on -3, 0.

Vastus: - 3 , 0 .

Vaatleme meetodeid normaalvektori koordinaatide leidmiseks ruumi sirgjoone võrrandis ristkülikukujuline süsteem koordinaadid O x y z .

Kui sirge on antud lõikuvate tasandite võrranditega A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , siis normaalvektor tasapind viitab A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ja A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, siis saame vektorid kujul n 1 → = (A1, B1, C1) ja n2 → = (A2, B2, C2).

Kui joon on defineeritud kanoonilise ruumivõrrandiga, mille vorm on x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z või parameetriline, mille vorm on x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z · λ , seega a x , a y ja a z loetakse antud sirge suunavektori koordinaatideks. Iga nullist erinev vektor võib antud joone jaoks olla normaalne ja olla vektoriga risti a → = (a x , a y , a z) . Sellest järeldub, et normaalse koordinaatide leidmine parameetrilise ja kanoonilised võrrandid tehakse risti asetseva vektori koordinaatide abil antud vektor a → = (a x , a y , a z) .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Kõige üldisemal juhul tähistab pinna normaal selle lokaalset kõverust ja seega ka peegeldumissuunda (joonis 3.5). Seoses meie teadmistega võime öelda, et normaal on vektor, mis määrab näo orientatsiooni (joonis 3.6).

Riis. 3.5 Joon. 3.6

Paljud peidetud joonte ja pindade eemaldamise algoritmid kasutavad ainult servi ja tippe, nii et nende kombineerimiseks valgustusmudeliga on vaja teada servade ja tippude normaalväärtuse ligikaudset väärtust. Olgu hulknurksete tahkude tasandite võrrandid antud, siis nende ühise tipu normaal on võrdne kõigi selle tipuga koonduvate hulknurkade normaalväärtuste keskmise väärtusega. Näiteks joonisel fig. 3.7 ligikaudse normaalväärtuse suund punktis V 1 seal on:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 +b 1 +b 4 )j + (c 0 +c 1 +c 4 )k, (3.15)

kus a 0 , a 1 , a 4 ,b 0 ,b 1 ,b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - kolme hulknurga tasandite võrrandite koefitsiendid P 0 , P 1 , P 4 , ümbritsev V 1 . Pange tähele, et kui soovite leida ainult normaalsuuna suunda, pole tulemuse jagamine nägude arvuga vajalik.

Kui tasandite võrrandeid ei ole antud, siis saab tipu normaalväärtuse määrata kõigi tipus lõikuvate servade vektorkorrutise keskmistamisega. Veel kord, võttes arvesse ülemist V 1 joonisel fig. 3.7, leidke ligikaudse normaalväärtuse suund:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 +V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Riis. 3.7 – Normaali lähendamine hulknurksele pinnale

Pange tähele, et vaja on ainult väliseid normaalväärtusi. Lisaks, kui saadud vektorit ei normaliseerita, sõltub selle väärtus konkreetsete hulknurkade arvust ja pindalast, samuti konkreetsete servade arvust ja pikkusest. Hulknurkade mõju koos suurem ala ja pikemad ribid.

Kui intensiivsuse määramiseks kasutatakse pinnanormaali ja objekti või stseeni kujutisele tehakse perspektiivi teisendus, siis tuleks normaal arvutada enne perspektiivjaotust. Vastasel juhul moondub normaalsuuna suund ja see põhjustab valgustusmudeli poolt määratud intensiivsuse valesti määramise.

Kui tasandi (pinna) analüütiline kirjeldus on teada, siis arvutatakse normaal otse. Teades hulktahuka iga tahu tasandi võrrandit, saate leida väljapoole suunatud normaalse suuna.

Kui tasapinna võrrand on:

siis selle tasapinna normaalvektor kirjutatakse järgmiselt:

, (3.18)

kus
- ühikvektorid teljed x,y,z vastavalt.

Väärtus d arvutatakse tasapinnale kuuluva suvalise punkti abil, näiteks punkti jaoks (
)

Näide. Vaatleme 4-tahulist lamedat hulknurka, mida kirjeldavad 4 tippu V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) ja V4(1,1,1) (vt joonis 1). 3.7).

Tasapinna võrrandil on järgmine kuju:

x + y + z - 1 = 0.

Saame selle tasandi normaalväärtuse, kasutades vektorite paari vektorkorrutist, mis on ühe tipuga külgnevad servad, näiteks V1:

Paljud peidetud joonte ja pindade eemaldamise algoritmid kasutavad ainult servi või tippe, nii et nende kombineerimiseks valgustusmudeliga peate teadma servade ja tippude normaalväärtuse ligikaudset väärtust.

Olgu hulktahuka tahkude tasandite võrrandid antud, siis nende ühistipu normaal on võrdne kõigi selles tipus koonduvate tahkude normaalväärtuste keskmisega.