tõenäosus p = 0,7 . Leia kõige tõenäolisem inimeste arv m 0, kes koosolekule tulevad ja sellele vastav tõenäosus P n (m 0 ) .

Otsus. Kuna P 50 (m 0 )= C 50 m 0 (0,7) m 0 (0,3)50 − m 0, on ülesandeks leida mittenegatiivne täisarv m 0 ≤ 50, mis maksimeerib funktsiooni P 50 (m 0 ) . Eespool nägime, et selline arv on antud valemiga (6.4). AT

P 50 (35) = C 50 35 (0,7) 35 (0,3) 15 ≈ 0,123.

6.4. Poissoni valem

Valemid (6.1) ja (6.3) annavad täpsed tõenäosused, mis on seotud sõltumatute Bernoulli katsete skeemiga. Arvutused nende valemite abil, eriti suurte n ja m väärtuste puhul, on aga väga keerulised. Suurt praktilist huvi pakub üsna lihtsate ligikaudsete valemite saamine vastavate tõenäosuste arvutamiseks. Esimest korda tuletas sellise valemi 1837. aastal prantsuse matemaatik ja füüsik Simon Poisson (1781–1840). Allpool on Poissoni tulemuse sõnastus.

Vaatleme sõltumatute katsete Bernoulli skeemi, milles katsete arv n on "suhteliselt suur", "edukuse" tõenäosus p on "suhteliselt väike" ja korrutis λ= np on "ei väike ega suur"41. Nendel tingimustel valem

See on kuulus Poissoni lähendus binoomjaotuse jaoks . Valemi (6.6) tõestus on esitatud käesoleva jaotise lisas.

41 Tsiteeritud mõistete täpset tähendust selgitatakse allpool, eelkõige §-s 6e.

Valemi (6.6) paremal küljel olevat funktsiooni kutsutakse

Poissoni jaotus:

Selle tähise korral on p(k, λ) tõenäosuse b(k;n, λn) ligikaudne avaldis, kui n on "piisavalt suur".

Enne valemi (6.6) käsitlemist toome selle kasutamise kohta väga illustreerivaid näiteid.

Binoomjaotuse väärtused ja Poissoni jaotuse väärtused n = 100, p = 0,01, λ = 1 korral on toodud tabelis. 6.2. Nagu näeme, on ligikaudse valemi täpsus üsna kõrge.

Mida suurem n, seda suurem on Poissoni valemi täpsus. Seda illustreerib järgmine näide. Arvutagem välja tõenäosus p k, et 500-liikmelises ühiskonnas sündis täpselt k inimest samal konkreetsel päeval aastas. Kui need 500 inimest valitakse juhuslikult, siis saab Bernoulli skeemi rakendada n = 500 katsest "edu" tõenäosusega p = 1365. Täpse valemi (6.1) ja ligikaudse valemi (6.6) arvutused λ= 500365≈ 1,3699 korral on esitatud tabelis. 6.3. Nagu näeme, on viga ainult neljandas kümnendkohas, mis on praktika jaoks üsna vastuvõetav.

			Tabel 6.2
	b(k; 100, 1,100)		p(k; 1)

Tabel 6.3.

		b(k; 500,1/365)	p(k, λ)
Vaatleme järgmist tüüpilist valemi rakendamise näidet
Poisson.

Olgu teada, et telefonikeskjaama töös "tõrke" tõenäosus iga kõne puhul on 0,002. Vastu võetud 1000 kõnet. Määrake tõenäosus, et sel juhul ilmneb 7 "tõrget".

Otsus. Loomulik on eeldada, et tavatingimustes on telefonikeskjaama saabuvad kõned üksteisest sõltumatud. Arvestame testi "edu" - kõne - telefonijaama ebaõnnestumisega. Ebaõnnestumise tõenäosust (p = 0,002) võib pidada "piisavalt väikeseks" väärtuseks ja kõnede arv (n = 1000) on "piisavalt suur". Seega oleme Poissoni teoreemi tingimustes. Parameetri λ jaoks saame väärtuse

Arutleme nüüd Poissoni valemi kohaldatavuse piiride üle. Kell

Mis tahes ligikaudse valemi kasutamisel tekib loomulikult küsimus selle rakendatavuse piiridest. Seda tehes puutume kokku probleemi kahe aspektiga. Esiteks on loomulik küsida, millistel tegelikel tingimustel Poissoni seadust kohaldatakse? Kogemused näitavad, et lihtne Poissoni jaotus on suhteliselt universaalne. Üldjuhul on rakenduste seisukohalt matemaatilised teoreemid head ja halvad järgmises mõttes: head teoreemid toimivad edasi ka siis, kui nende tingimusi rikutakse, halvad aga lakkavad kohe olemast, kui nende tuletamise tingimusi rikutakse. . Poissoni teoreem (6.6) on selles mõttes hea ja isegi suurepärane. Nimelt kehtib Poissoni seadus edasi ka siis, kui Bernoulli skeemi tingimusi rikutakse (s.t. võib eeldada muutuvat õnnestumise tõenäosust ja isegi mitte liiga tugevat sõltuvust üksikute katsete tulemustest)42. Võib isegi väita, et Poissoni jaotus on suhteliselt universaalne. Seda tuleks mõista selles mõttes, et kui katseandmed näitavad, et Poissoni seadus ei kehti, samas kui terve mõistuse järgi peaks see toimima, siis on loomulikum seada kahtluse alla meie andmete statistiline stabiilsus kui otsida mõnda muud. seadus. jaotused. Teisisõnu Poissoni jaotus on ühe universaalse (tõenäosusteooria kohaldatavuse piires) loodusseaduse väga edukas matemaatiline sõnastus.

Teiseks tekib küsimus nende parameetrite suurusjärkude kohta, mis sisalduvad Poissoni valemis ja mille kohta eespool kasutasime ebamääraseid mõisteid “suhteliselt suur”, “suhteliselt väike”, “mitte väike ega suur”. Valemi (6.6) rakendamise praktika annab täpsustavaid vastuseid. Selgub, et Poissoni valem on praktiliseks kasutamiseks piisavalt täpne, kui katsete arv n on suurusjärgus

42 Loomulikult ei tohiks neid Poissoni jaotuse omadusi kuritarvitada. Näiteks Poissoni seadust rikutakse ilmselgelt olukordades, kus üksikute testide tulemused on väga sõltuvad.

mitukümmend (eelistatavalt sadu) ja parameetri λ = np väärtus jääb vahemikku 0 kuni 10.

Poissoni valemi rakendamise illustreerimiseks vaatleme teist näidet.

Andke teada, et 10 000 rosinat toetuvad 1000 magusa rosinakukli küpsetamisele. On vaja leida rosinate arvu jaotus mõnes juhuslikult valitud kuklis.

Otsus. Sõltumatute testide järjestuse moodustame järgmiselt. Kokku tehakse n = 10 000 katset (vastavalt rosinate arvule), nimelt: katse number k on see, et teeme kindlaks, kas meie juhuslikult valitud kuklisse saime rosinaid number k43. Siis, kuna kukleid on kokku 1000, siis tõenäosus, et meie kuklisse sattus k-s rosin, on p = 1/1000 (eeldusel, et tainas on kuklite valmistamisel hästi segunenud). Nüüd rakendame Poissoni jaotust parameetriga λ= np = 10000 11000= 10. Saame:

P 10000 (k )≈ p (k,10)= 10 k e − 10 .

Eelkõige on tõenäosus, et saame üldse ilma rosinateta kukli (k = 0), e − 10 ≈ 0,5 10 − 4 . Kõige tõenäolisem rosinate arv on valemi (6.4) kohaselt 10. Vastav tõenäosus

P 10000(10) ≈ 10 10 e − 10 ≈ 0,125 . kümme!

Kuklite ja rosinate näide on vaatamata oma igapäevasele sõnastusele väga üldine. Seega võib kuklite rosinate asemel rääkida näiteks bakterite arvust hästi segatud ämbrist võetud veetilgas. Veel üks näide. Oletame, et radioaktiivse aine aatomid lagunevad üksteisest sõltumatult ja teatud ajaintervalli jooksul toimub antud aatomi lagunemine

43 Pange tähele, et kukli ostmist poest võib vaadelda juhusliku valikuna.

Laske katses läbi viia kordustestid Bernoulli skeemi järgi ja testide arv on suur, vaadeldava sündmuse toimumise tõenäosus ühes testis on väike ja parameetriks on konstantne väärtus. Siis tõenäosuse - tõenäosuse, et sündmus testides ilmneb üks kord, on seos tõene

. (3.1)

Sellise juhusliku katse tõenäosuse arvutamisel võite kasutada ligikaudset valemit

, (3.2)

mida nimetatakse Poissoni valem, ja number on Poissoni parameeter.

Ülesanne 3.1. Abiellumise tõenäosus teatud toote valmistamisel on 0,008. Leidke tõenäosus, et ülevaatuse käigus ei ole 500 kauba hulgas rohkem kui kaks defektset eset.

Lahendus: kuna tõenäosus on väike ja katsete arv suur, saame rakendada Poissoni valemit parameetriga . Soovitav tõenäosus on kolme sündmuse summa tõenäosus: defektseid tooteid oli kaks, üks või mitte ühtegi. Niisiis

Definitsioon 3.1

Sündmuste voog on sündmuste jada, mis toimuvad juhuslikel aegadel.

näiteks, sündmuste voogu moodustavad PBX-i saabuvad kõned, raadioseansi ajal signaalid, serverisse saabuvad sõnumid jne.

Definitsioon 3.2

Sündmuste voogu nimetatakse Poisson(lihtsaim), kui sellel on järgmised omadused:

1. Statsionaarne omadus, st. voolukiirus- pidev.

2. tavaline omadus, need. kahe või enama sündmuse toimumine väikese intervalliga on praktiliselt võimatu.

3. Järelmõjuta omadus, need. sündmuste toimumise tõenäosus teatud ajavahemikus ei sõltu sellest, kui palju sündmusi on mõnes teises segmendis ilmnenud.

Kui tähistame - Poissoni voolu sündmuste esinemise tõenäosust intensiivsusega aja jooksul, siis kehtib valem:

. (3.3)

Ülesanne 3.2. Kindlustusselts teenindab 10 000 klienti. Tõenäosus, et klient võtab ettevõttega ühendust ühe päeva jooksul, on 0,0003. Kui suur on tõenäosus, et 4 klienti võtavad temaga kahe päeva jooksul ühendust?

Otsus: Klientide voo intensiivsus ühe päeva jooksul on võrdne

Seega .

Ülesannete 3.1 ja 3.2 lahendamine keskkonnas Mathcad näidatud joonisel fig. 3.

Ülesanne 3.3. Metroo pöördvärava lugeja rikke tõenäosus tunni jooksul on väike. Leia see tõenäosus, kui tõenäosus, et 8 tunni jooksul esineb vähemalt üks rike, on 0,98 ja kui on teada, et pöördväravast läbib keskmiselt 1000 inimest tunnis?

Otsus: Valemite (1.3) ja (3.3) kohaselt on tõenäosus, et 8 tunni jooksul tekib vähemalt üks rike, võrdne:

Kasutades sümboolseid käske ja seejärel määratakse soovitud tõenäosus.

Mõelge võrrandile

Kui funktsioon on määratletud .

See võrrand määratleb liikuva laine levimise n-mõõtmelises homogeenses keskkonnas kiirusega a ajahetkedel t > 0 .

Selleks, et lahendus oleks üheselt mõistetav, on vaja kindlaks määrata algtingimused. Algtingimused määravad ruumi oleku (või, nagu öeldakse, "esialgse häire") teatud ajahetkel t = 0 :

Siis annab üldistatud Kirchhoffi valem sellele probleemile lahenduse.

Kirchhoff ise käsitles ainult kolmemõõtmelist juhtumit.

Mõte lahenduse leidmisest

Põhiprobleemi lahenduse lihtne tuletamine kasutab Fourier' teisendust. Kirchhoffi üldistatud valemil on järgmine vorm:

.

Kui lainevõrrandil on parem pool f, kuvatakse termin valemi paremal küljel:

Füüsilised tagajärjed

Ruumis lokaliseeritud häiringu ees- ja järellainefrondid mõjutavad vaatlejat piiratud aja jooksul

Laske esialgsel ajal t= 0 mõnel kompaktil M esineb kohalik häire ( ja/või ). Kui oleme mingil hetkel , siis, nagu valemist (integratsioonipiirkond) näha, tunneme aja möödudes häireid .

Väljaspool ajavahemikku kus , funktsioon u(x 0 , t) on võrdne nulliga.

Seega põhjustab ruumis lokaliseeritud esialgne häiring igas ruumipunktis ajas lokaliseeritud tegevuse, st häiring levib laine kujul, millel on ees- ja järelfrondid, mis väljendab Huygensi põhimõtet). Lennukis seda põhimõtet rikutakse. Selle põhjenduseks on asjaolu, et häirekandja, mis on kompaktne, ei ole enam kompaktne, vaid moodustab lõpmatu silindri ja järelikult on häiring ajaliselt piiramatu (silindrilistel lainetel pole tagaserva) .

Poisson-Parsevali valem

Membraani võnkevõrrandi lahendus

(funktsioon f(x,t)

algtingimustega

antud valemiga:

tex" alt="(!LANG: +\frac(\partial)(\partial t)\frac(1)(2\pi a)\iint\limits_(r .

Vormel D "Alamber

Ühemõõtmelise lainevõrrandi lahendus

(funktsioon f(x,t) vastab edasiviivale jõule)

algtingimustega

on vorm

Piirkonda II omadused pärinevad ainult ühest perekonnast

d "Alemberti valemi kasutamisel tuleb arvestada, et mõnikord ei pruugi lahendus olla unikaalne kogu vaadeldaval alal. Lainevõrrandi lahend on kujutatud kahe funktsiooni summana: u(x,t) = f(x + at) + g(x − at) , see tähendab, et selle määravad kaks tunnuste perekonda: . Parempoolsel joonisel kujutatud näide illustreerib poollõpmatu stringi lainevõrrandit ja selle algtingimused on antud ainult rohelisel joonel x≥0. On näha, et piirkonnas ma tulevad nii ξ-tunnused kui ka η-omadused, samas kui piirkonnas II on ainult ξ-karakteristikud. Ehk siis piirkonnas II D'Alemberti valem ei tööta.

Valemite rakendamine

Üldiselt on Kirchhoffi valem üsna tülikas ja seetõttu on matemaatilise füüsika ülesannete lahendamine selle abil tavaliselt keeruline. Siiski võib kasutada lainevõrrandi lineaarsust algtingimustega ja otsige lahendust kolme funktsiooni summana: u(x,t) = A(x,t) + B(x,t) + C(x,t) , mis vastavad järgmistele tingimustele:

Iseenesest selline tehe Kirchhoffi valemi kasutamist ei lihtsusta, kuid mõnele ülesandele on võimalik valida lahendus ehk muutujate muutmise teel mitmemõõtmeline probleem ühemõõtmeliseks taandada. Näiteks lase . Seejärel tehke asendus ξ = x + 3y − 2z , on ülesande "C" võrrand järgmisel kujul:

Nii jõudsime ühemõõtmelise võrrandini, mis tähendab, et saame kasutada d "Alemberti valemit:

Algtingimuse pariteedi tõttu säilitab lahendus oma vormi kogu piirkonnas t > 0 .

Kirjandus

Mihhailov V.P., Mihhailova T.V., Šabunin M.I. Kursuse Matemaatilise füüsika võrrandid tüüpiliste ülesannete kogu. - M.: MIPT, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Lingid

Wikimedia sihtasutus. 2010 .

Vaadake, mis on "Poissoni valem" teistes sõnaraamatutes:

Kirchhoffi valem on analüütiline avaldis hüperboolse osadiferentsiaalvõrrandi (nn "lainevõrrandi") lahendamiseks kogu kolmemõõtmelises ruumis. Laskumise meetodil (st mõõtme vähendamisel) saate sellest ... ... Wikipediast

Kirchhoffi valem on analüütiline avaldis hüperboolse osadiferentsiaalvõrrandi (nn "lainevõrrandi") lahendamiseks kogu ruumis. Laskumismeetodil (ehk dimensiooni vähendamisel) saab sellest kahemõõtmelisi lahendusi ... ... Wikipedia

Ühtsust esindav valem. klassikaline Koshi ülesande lahendus u(x, t) lainevõrrandile kolmemõõtmelises aegruumis (kus c on signaali levimiskiirus), kui lähteandmed f(x), p(x) on vastavalt kolm korda ja kaks korda...... Füüsiline entsüklopeedia

Kujulise jada summa arvutamise valem Kui funktsiooni F (x) Fourier' teisendus (tavalisest mõnevõrra erinev, normaliseeritud), siis (m ja n on täisarvud). See on P. f. koos.; ta võib olla…… Suur Nõukogude entsüklopeedia

Vormel P. f. koos. kehtib, kui näiteks funktsioon g(x) on intervalliga absoluutselt integreeritav, sellel on piiratud variatsioon ja P.f. koos. on kirjutatud ka kujul, kus ai ja b on mis tahes kaks positiivset arvu, mis vastavad tingimusele ab=2p ja c(u). Matemaatiline entsüklopeedia

1) Sama mis Poissoni integraal 2) Valem, mis annab ruumilise lainevõrrandi Cauchy ülesande lahenduse integraalesituse: ja millel on vorm (1) kus on funktsiooni j keskmine väärtus sfäär istub ruumis (x, y, z), mille raadius on … … Matemaatiline entsüklopeedia

Tõenäosusteoorias on lõpmatult jagatav jaotus juhusliku suuruse jaotus nii, et seda saab esitada suvalise arvu sõltumatute võrdselt jaotatud liikmetena. Sisu 1 Definitsioon 2 ... ... Vikipeedia

Kus λ võrdub sündmuste keskmise esinemiste arvuga samades sõltumatutes katsetes, st. λ = n × p, kus p on sündmuse tõenäosus ühes katses, e = 2,71828 .

Poissoni seaduse jaotusseeria on järgmine:

Teenindusülesanne. Veebikalkulaatorit kasutatakse Poissoni jaotuse koostamiseks ja seeria kõigi tunnuste arvutamiseks: matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve. Akt koos otsusega vormistatakse Wordi formaadis.

Katsete arv: n= , Tõenäosus p =
Arvutage tõenäosus: m =
tuleb üks kord
vähem üks kord
vähemalt üks kord
rohkem üks kord
mitte rohkem üks kord
vähemalt ja mitte rohkem üks kord
tule vähemalt korra

Juhul, kui n on suur ja λ = p n > 10, annab Poissoni valem väga umbkaudse lähenduse ja P n (m) arvutamiseks kasutatakse lokaalset ja integraalset Moivre-Laplace'i teoreeme.

Juhusliku suuruse X arvkarakteristikud

Poissoni jaotuse matemaatiline ootus
M[X] = λ

Poissoni jaotuse dispersioon
D[X] = λ

Näide nr 1. Seemned sisaldavad 0,1% umbrohtu. Kui suur on tõenäosus leida 2000 seemnest koosnevast juhuslikust valikust 5 umbrohuseemet?
Otsus.
Tõenäosus p on väike ja arv n on suur. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0,03609
Oodatud väärtus: M[X] = λ = 2
Dispersioon: D[X] = λ = 2

Näide nr 2. Rukkiseemnete hulgas on 0,4% umbrohuseemneid. Koostage 5000 seemne juhusliku valikuga umbrohtude arvu jaotusseadus. Leidke selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon.
Otsus. Oodatus: M[X] = λ = 0,004*5000 = 20. Dispersioon: D[X] = λ = 20
Levitamise seadus:

X	0	1	2	…	m	…
P	e-20	20e-20	200e-20	…	20 meetrit -20 / meetrit!	…

Näide nr 3. Telefonijaamas tekib vale ühendus tõenäosusega 1/200. Leidke tõenäosus, et 200 ühenduse hulgas on:
a) täpselt üks vale ühendus;
b) vähem kui kolm vale ühendust;
c) rohkem kui kaks vale ühendust.
Otsus. Vastavalt ülesande tingimusele on sündmuse toimumise tõenäosus väike, seega kasutame Poissoni valemit (15).
a) Antud on: n = 200, p = 1/200, k = 1. Leidke P 200 (1).
Saame: . Siis P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
b) Antud: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Meil on: a = 1.

c) Antud: n = 200, p = 1/200, k > 2. Leidke P 200 (k > 2).
Selle probleemi saab lahendada lihtsamalt: leida vastupidise sündmuse tõenäosus, kuna sel juhul peate arvutama vähem termineid. Võttes arvesse eelmist juhtumit, on meil

Vaatleme juhtumit, kus n on piisavalt suur ja p piisavalt väike; paneme np = a, kus a on mingi arv. Sel juhul määratakse soovitud tõenäosus Poissoni valemiga:

K sündmuse toimumise tõenäosust aja jooksul, mille kestus on t, saab leida ka Poissoni valemi abil:
kus λ on sündmuste voo intensiivsus, st sündmuste keskmine arv, mis ilmuvad ajaühikus.

Näide nr 4. Tõenäosus, et osa on defektne, on 0,005. 400 osa on kontrollitud. Määrake valem, mille abil arvutatakse tõenäosus, et rohkem kui 3 osa on defektsed.

Näide number 5. Defektsete osade ilmnemise tõenäosus nende masstootmises on võrdne p. määrata tõenäosus, et N osast koosnev partii sisaldab a) täpselt kolme osa; b) mitte rohkem kui kolm defektset osa.
p = 0,001; N = 4500
Otsus.
Tõenäosus p on väike ja arv n on suur. np = 4,5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Juhusliku muutuja X vahemik on (0,1,2,...,m). Nende väärtuste tõenäosuse saab leida järgmise valemi abil:

Leiame jaotusseeria X.
Siin λ = np = 4500*0,001 = 4,5
P(0) = e - λ = e -4,5 = 0,01111
P(1) = λe -λ = 4,5e -4,5 = 0,04999

Siis on tõenäosus, et N osast koosnev partii sisaldab täpselt kolme osa, võrdub:

Siis on tõenäosus, et N osast koosnev partii ei sisalda rohkem kui kolme defektset osa:
P(x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Näide number 6. Automaatne telefonikeskjaam võtab keskmiselt N kõnet tunnis. Määrake tõenäosus, et antud minuti jooksul saab ta: a) täpselt kaks kõnet; b) rohkem kui kaks kõnet.
N = 18
Otsus.
Ühe minuti jooksul võtab ATS vastu keskmiselt λ = 18/60 min. = 0,3
Eeldusel, et ühe minuti jooksul võeti PBX-is vastu juhuslik arv X kõnesid,
järgib Poissoni seadust, valemiga leiame vajaliku tõenäosuse

Leiame jaotusseeria X.
Siin λ = 0,3
P(0) = e - λ = e -0,3 = 0,7408
P(1) = λe -λ = 0,3e -0,3 = 0,2222

Tõenäosus, et ta saab antud minuti jooksul täpselt kaks kõnet, on:
P(2) = 0,03334
Tõenäosus, et ta saab antud minuti jooksul rohkem kui kaks kõnet, on:
P(x>2) = 1 - 0,7408 - 0,2222 - 0,03334 = 0,00366

Näide number 7. Vaatleme kahte elementi, mis töötavad üksteisest sõltumatult. Tööaja kestus on eksponentsiaalse jaotusega parameetriga λ1 = 0,02 esimese elemendi ja λ2 = 0,05 teise elemendi puhul. Leia tõenäosus, et 10 tunni pärast: a) töötavad mõlemad elemendid laitmatult; b) ainult tõenäosus, et element #1 ei ebaõnnestu 10 tunni jooksul:
Lahendus.
P 1 (0) \u003d e -λ1 * t \u003d e -0,02 * 10 \u003d 0,8187

Tõenäosus, et element nr 2 ei ebaõnnestu 10 tunni jooksul, on:
P 2 (0) \u003d e -λ2 * t \u003d e -0,05 * 10 \u003d 0,6065

a) mõlemad elemendid töötavad laitmatult;
P(2) = P 1 (0) * P 2 (0) = 0,8187 * 0,6065 = 0,4966
b) ainult üks element ebaõnnestub.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0,8187*(1-0,6065) + (1-0,8187) *0,6065 = 0,4321

Näide number 7. Tootmine annab 1% abielust. Kui suur on tõenäosus, et 1100 uuringusse võetud tootest lükatakse tagasi mitte rohkem kui 17?
Märge: kuna siin n*p =1100*0.01=11 > 10, siis tuleb kasutada

Paljudes praktilistes ülesannetes tuleb tegeleda juhuslike suurustega, mis on jaotatud omapärase seaduse järgi, mida nimetatakse Poissoni seaduseks.

Mõelge katkendlikule juhuslikule muutujale , mis võib võtta ainult täisarvulisi mittenegatiivseid väärtusi:

ja nende väärtuste jada on teoreetiliselt piiramatu.

Juhuslikku suurust nimetatakse Poissoni seaduse järgi jaotuvaks, kui tõenäosus, et see omandab teatud väärtuse, on väljendatud valemiga

kus a on mingi positiivne väärtus, mida nimetatakse Poissoni seaduse parameetriks.

Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse jaotusrida on järgmisel kujul:

Teeme esmalt kindlaks, et valemiga (5.9.1) antud tõenäosuste jada võib olla jaotusrida, s.t. et kõigi tõenäosuste summa on võrdne ühega. Meil on:

.

Joonisel fig. 5.9.1 näitab Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse jaotuspolügoone, mis vastavad parameetri erinevatele väärtustele. Lisa tabelis 8 on loetletud erinevate väärtuste väärtused.

Määratleme Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse peamised karakteristikud - matemaatiline ootus ja dispersioon. Matemaatilise ootuse definitsiooni järgi

.

Summa esimene liige (vastab ) võrdub nulliga, seetõttu saab liitmist alustada kohast:

Tähistame ; siis

. (5.9.2)

Seega pole parameeter midagi muud kui juhusliku suuruse matemaatiline ootus.

Dispersiooni määramiseks leiame esmalt suuruse teise algmomendi:

Vastavalt varem tõestatud

Pealegi,

Seega on Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku suuruse dispersioon võrdne selle matemaatilise ootusega.

Seda Poissoni jaotuse omadust kasutatakse praktikas sageli selleks, et otsustada, kas hüpotees, et juhuslik suurus jaotub Poissoni seaduse järgi, on usutav. Selleks määrake kogemuse põhjal juhusliku suuruse statistilised omadused – matemaatiline ootus ja dispersioon. Kui nende väärtused on lähedased, võib see olla argumendiks Poissoni jaotuse hüpoteesi kasuks; terav erinevus nendes omadustes, vastupidi, annab tunnistust hüpoteesi vastu.

Poissoni seaduse järgi jaotatud juhusliku muutuja puhul määrame tõenäosuse, et see saab väärtuse, mis ei ole väiksem kui antud väärtus. Tähistame seda tõenäosust:

Ilmselt saab tõenäosuse arvutada summana

Seda on aga palju lihtsam määrata vastupidise sündmuse tõenäosuse järgi:

(5.9.4)

Eelkõige väljendatakse valemiga tõenäosust, et väärtus saab positiivse väärtuse

(5.9.5)

Oleme juba maininud, et paljud praktilised probleemid viivad Poissoni jaotuseni. Mõelge ühele seda tüüpi tüüpilisele probleemile.

Olgu punktid juhuslikult jaotunud x-teljel Ox (joonis 5.9.2). Oletame, et punktide juhuslik jaotus vastab järgmistele tingimustele:

1. Tõenäosus tabada lõigul teatud arvu punkte sõltub ainult selle lõigu pikkusest, kuid ei sõltu selle asukohast x-teljel. Teisisõnu, punktid jaotuvad x-teljel sama keskmise tihedusega. Tähistame seda tihedust (ehk punktide arvu matemaatilist ootust pikkuseühiku kohta) kui .

2. Punktid jaotuvad x-teljel üksteisest sõltumatult, s.t. tõenäosus tabada antud lõigul ühte või teist arvu punkte ei sõltu sellest, kui palju neist langes mõnele teisele lõigule, mis sellega ei kattu.

3. Kahe või enama punktiga väikese ala tabamise tõenäosus on tühine, võrreldes ühe punkti tabamise tõenäosusega (see tingimus tähendab kahe või enama punkti kokkulangemise praktilist võimatust).

Eraldame abstsissteljel teatud pikkusega lõigu ja vaatleme diskreetset juhuslikku suurust – sellele lõigule langevate punktide arvu. Koguse võimalikud väärtused on

Kuna punktid langevad lõigule üksteisest sõltumatult, siis on teoreetiliselt võimalik, et neid tekib meelevaldselt palju, s.t. seeria (5.9.6) jätkub lõputult.

Tõestame, et juhuslikul suurusel on Poissoni jaotuse seadus. Selleks arvutame välja tõenäosuse, et lõigule langevad täpselt punktid.

Lahendame esmalt lihtsama probleemi. Mõelge väikesele lõigule Ox-teljel ja arvutage tõenäosus, et sellele lõigule langeb vähemalt üks punkt. Vaidleme järgmiselt. Sellele lõigule langevate punktide arvu matemaatiline ootus on ilmselgelt võrdne (sest punkte on keskmiselt pikkuseühiku kohta). Tingimuse 3 kohaselt võib väikese lõigu puhul kahe või enama punkti kukkumise võimaluse tähelepanuta jätta. Seetõttu on saidile langevate punktide arvu matemaatiline ootus ligikaudu võrdne tõenäosusega, et üks punkt langeb sellele (või, mis on meie tingimustes samaväärne, vähemalt üks).

Seega kuni kõrgemat järku infinitesimaalideni võime eeldada, et tõenäosus, et üks (vähemalt üks) punkt langeb saidile, on võrdne , ja tõenäosus, et ükski ei lange, on võrdne .

Kasutame seda lõigu punktide täpse tabamise tõenäosuse arvutamiseks. Jagage segment võrdseteks pikkusteks. Leppigem kokku, et nimetame elementaarlõigu "tühjaks", kui see ei sisalda ühtegi punkti, ja "hõivatuks", kui vähemalt üks on sellesse langenud. Ülaltoodu kohaselt on tõenäosus, et segment on "hõivatud", ligikaudu võrdne; tõenäosus, et see on "tühi", on . Kuna tingimuse 2 kohaselt on punktide tabamused mittekattuvates segmentides sõltumatud, siis võib meie n segmenti pidada sõltumatuteks "katseteks", millest igaühes saab lõigu "hõivata" tõenäosusega . Leidke tõenäosus, et segmentide hulgas on täpselt "hõivatud". Kordusteoreemi järgi on see tõenäosus võrdne

või, tähistades

(5.9.7)

Piisavalt suure väärtuse korral on see tõenäosus ligikaudu võrdne tõenäosusega tabada lõigul täpselt punkte, kuna kahe või enama lõigu punkti tabamise tõenäosus on tühine. Täpse väärtuse leidmiseks tuleb avaldises (5.9.7) minna limiidini:

(5.9.8)

Teisendame piirmärgi all oleva avaldise:

(5.9.9)

Esimene murd ja viimase murru nimetaja avaldises (5.9.9) kalduvad ilmselgelt ühtsusele. Väljend ei sõltu. Viimase murru lugeja saab teisendada järgmiselt:

(5.9.10)

Millal ja avaldis (5.9.10) kipub . Seega on tõestatud, et tõenäosus, et punktid täpselt segmenti langevad, on väljendatud valemiga

kus , st. suurus X jaotatakse Poissoni seaduse järgi parameetriga .

Pange tähele, et väärtuse tähendus on keskmine punktide arv segmendi kohta.

Väärtus (tõenäosus, et X väärtus saab positiivse väärtuse) väljendab sel juhul tõenäosust, et lõigule langeb vähemalt üks punkt:

Seega oleme näinud, et Poissoni jaotus esineb siis, kui mõned punktid (või muud elemendid) hõivavad üksteisest sõltumatult juhusliku asukoha ja loendatakse nende punktide arv, mis langevad mõnda piirkonda. Meie puhul oli selline "ala" segment x-teljel. Meie järeldust saab aga hõlpsasti laiendada punktide jaotumisele tasapinnal (juhuslik tasane punktide väli) ja ruumis (punktide juhuslik ruumiväli). Seda on lihtne tõestada, kui on täidetud järgmised tingimused:

1) punktid jaotuvad keskmise tihedusega väljal statistiliselt ühtlaselt ;

2) punktid langevad iseseisvalt mittekattuvatesse piirkondadesse;

3) punktid ilmuvad üksikult, mitte paarikaupa, kolmikutena jne, siis mis tahes alale (tasapinnaline või ruumiline) langevate punktide arv jaotatakse vastavalt Poissoni seadusele:

kus on alale langevate punktide keskmine arv .

Lameda korpuse jaoks

kus on piirkonna pindala; ruumilise jaoks

kus on piirkonna maht.

Pange tähele, et segmenti või piirkonda langevate punktide arvu Poissoni jaotuse jaoks ei ole konstantse tiheduse tingimus () oluline. Kui ülejäänud kaks tingimust on täidetud, siis Poissoni seadus ikkagi kehtib, ainult selles olev parameeter a omandab erineva avaldise: see saadakse mitte lihtsalt tiheduse korrutamisel piirkonna pikkuse, pindala või ruumalaga, vaid integreerides. muutuv tihedus segmendi, ala või ruumala ulatuses. (Lisateavet selle kohta vt nr 19.4)

Sirgele, tasapinnale või ruumalale hajutatud juhuslike punktide olemasolu pole ainus tingimus, mille korral Poissoni jaotus esineb. Näiteks saab tõestada, et Poissoni seadus piirab binoomjaotust:

, (5.9.12)

kui suuname samaaegselt katsete arvu lõpmatusse ja tõenäosuse nulli ning nende korrutis jääb konstantseks:

Tõepoolest, selle binoomjaotuse piirava omaduse saab kirjutada järgmiselt:

. (5.9.14)

Kuid tingimusest (5.9.13) järeldub, et

Asendades (5.9.15) väärtusega (5.9.14), saame võrdsuse

, (5.9.16)

mida me just ühel teisel korral tõestasime.

Seda binoomseaduse piiravat omadust kasutatakse sageli praktikas. Oletame, et tehakse suur hulk sõltumatuid katseid, millest igaühes on sündmusel väga väike tõenäosus . Seejärel saate sündmuse täpselt ühekordse toimumise tõenäosuse arvutamiseks kasutada ligikaudset valemit:

, (5.9.17)

kus on selle Poissoni seaduse parameeter, mis ligikaudu asendab binoomjaotust.

Sellest Poissoni seaduse omadusest – väljendada binoomjaotust suure arvu katsete ja sündmuse väikese tõenäosusega – tuleneb selle statistikaõpikutes sageli kasutatav nimi: haruldaste nähtuste seadus.

Vaatame mõnda Poissoni jaotusega seotud näidet erinevatest praktikavaldkondadest.

Näide 1: Automaatne telefonikeskjaam võtab kõnesid vastu keskmise kõnetihedusega tunnis. Eeldades, et mis tahes ajaperioodi kõnede arv jaotub Poissoni seaduse järgi, leidke tõenäosus, et kahe minuti jooksul saabub jaama täpselt kolm kõnet.

Otsus. Keskmine kõnede arv kahe minuti kohta on:

ruutmeetrit Sihtmärgi tabamiseks piisab selle tabamiseks vähemalt ühest killust. Leia sihtmärgi tabamise tõenäosus katkestuspunkti antud asukohas.

Otsus. . Kasutades valemit (5.9.4), leiame vähemalt ühe fragmendi tabamise tõenäosuse:

(Eksponentfunktsiooni väärtuse arvutamiseks kasutame lisa tabelit 2).

Näide 7. Patogeensete mikroobide keskmine tihedus ühes kuupmeetris õhus on 100. Proovi jaoks võetakse 2 kuupmeetrit. dm õhku. Leidke tõenäosus, et sellest leitakse vähemalt üks mikroob.

Otsus. Aktsepteerides hüpoteesi mikroobide arvu Poissoni jaotuse kohta mahus, leiame:

Näide 8. Mõnda sihtmärki tehakse 50 iseseisvat lasku. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,04. Kasutades binoomjaotuse piiravat omadust (valem (5.9.17)), leidke ligikaudne tõenäosus, et sihtmärk tabab: mürsku pole, üks mürsk, kaks mürsku.

Otsus. Meil on . Taotluse tabeli 8 järgi leiame tõenäosused.