Liithuvi eksamiprobleemide vastu.

Ülesannete lahendamine matemaatikas huvipakkuvate põhimõistete rakendamisel.

Ülesandeid protsentidega õpetatakse lahendama alates 5. klassist.

Seda tüüpi probleemide lahendamine on tihedalt seotud kolme algoritmiga:

1. protsendi leidmine arvust
2. arvu leidmine selle protsendi järgi,
3. protsendi leidmine.

Õpilastega tundides saavad nad aru, et meetrisajandik on sentimeeter, sajandik rubla on sent, sajandik sentner on kilogramm. Inimesed on juba ammu märganud, et sajandikväärtused on mugavad praktiline tegevus. Seetõttu mõeldi neile välja spetsiaalne nimi – protsent.

Nii et üks sent on üks protsent ühest rublast ja üks sentimeeter on protsent ühest meetrist.

Üks protsent on üks sajandik arvust. Matemaatilised märgidÜks protsent on kirjutatud nii: 1%.

Ühe protsendi määratluse saab kirjutada järgmiselt: 1% \u003d 0,01. a

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 jne.

Kuidas leida 1% arvust?

Kuna 1% on üks sajandik, peate arvu jagama 100-ga. 100-ga jagamise võib asendada korrutamisega 0,01-ga. Seetõttu peate antud arvust 1% leidmiseks korrutama selle 0,01-ga. Ja kui teil on vaja leida 5% arvust, siis korrutage antud number 0,05 võrra jne.

Näide. Leia: 25% 120-st.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Reegel 1. Arvu teatud arvu protsentide leidmiseks peate protsendid üles kirjutama kümnend ja seejärel korrutage arv selle kümnendkohaga.

Näide. Treiöör keeras tunniga 40 osa. Kasutades tugevamast terasest lõikurit, hakkas ta keerama veel 10 detaili tunnis. Mitme protsendi võrra tõusis tööviljakus?

Selle ülesande lahendamiseks peame välja selgitama, mitu protsenti on 10 osa 40-st. Selleks leiame esmalt, milline osa on arv 10 arvust 40. Teame, et peame 10 jagama 40-ga. välja 0,25. Nüüd paneme selle kirja protsendina - 25%.

Vastus: Treirite tootlikkus kasvas 25%.

Reegel 2. Et teada saada, mitu protsenti on üks arv teisest, tuleb esimene arv jagada teisega ja kirjutada saadud murdosa protsentides.

Näide. Planeeritud eesmärgiga 60 sõidukit päevas tootis tehas 66 sõidukit. Mitu protsenti täitis tehas plaani?

66: 60 \u003d 1,1 - see osa koosneb valmistatud autodest vastavalt plaanile autode arvust. Kirjutame protsentides = 110%.

Vastus: 110%.

Näide. Pronks on tina ja vase sulam. Mitu protsenti sulamist on vaske pronksitükis, mis koosneb 6 kg tinast ja 34 kg vasest?

1. 6+ 34 \u003d 40 (kg) - kogu sulami mass.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - sulam on vask.

Vastus: 85%.

Näide. Elevandipoeg kaotas kevadel 20%, siis tõusis suvel 30%, sügisel jälle 20% ja talvel tõusis 10%. Kas tema kaal on sel aastal jäänud samaks? Kui muuta, siis mitme protsendi võrra ja mis suunas?

1. 100 - 20 = 80 (%) - pärast kevadet.
2. 80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - pärast suve.
3. 104-104. 0,2 = 83,2 (%) - pärast sügist.
4. 83,2 + 83,2. 0,1 = 91,52 (%) - pärast talve.

Vastus: kaotas kaalu 8,48%.

Näide. Ladustamiseks jätsime 20 kg karusmarju, mille marjad sisaldavad 99% vett. Veesisaldus marjades on vähenenud 98%-ni. Kui palju karusmarju on tulemuseks?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0,01 - kõigepealt karusmarjade kuivaine osakaal.
2. kakskümmend . 0,01 \u003d 0,2 (kg) - kuivaine.
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0,02 - kuivaine osakaal karusmarjades pärast ladustamist.
4. 0,2: 0,02 \u003d 10 (kg) - karusmarjad said.

Vastus: 10 kg.

Näide. Mis juhtub toote hinnaga, kui seda esmalt 25% tõsta ja seejärel 25% alandada?

Olgu toote hind x rubla, siis peale tõstmist maksab toode 125% eelmisest hinnast, s.o. 1,25x ning pärast 25% langust on selle väärtus 75% ehk 0,75 tõusnud hinnast, s.o.

0,75 x 1,25 x 0,9375 x,

siis kauba hind langes 6,25%.

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Vastus: Toote esialgne hind on langenud 6,25%.

Reegel 3. Leida protsentides kaks numbrit A ja B, peate nende arvude suhte korrutama 100% -ga, see tähendab arvutama (A: B). 100%.

Näide. Leidke arv, kui 15% sellest on 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x on etteantud arv;
0,15 . x = 300;
x = 200.

Vastus: 200.

Näide. Toores puuvill annab 24% kiudaineid. Kui palju toorpuuvilla tuleks võtta, et saada 480 kg kiudaineid?

Kirjutame 24% kümnendmurruna 0,24 ja saame selle teadaoleva osa (murru) põhjal arvu leidmise ülesande.
480: 0,24= 2000 kg = 2 t

Vastus: 2 t.

Näide. Mitu kg puravikku tuleb koristada, et saada 1 kg kuivatatud seeni, kui värskete seente töötlemisel jääb järele 50% nende massist ja kuivatamisel 10% töödeldud seente massist?

1 kg kuivatatud seeni on 10% ehk 0,01 osa töödeldud, s.o.
1 kg: 0,1=10 kg töödeldud seeni, mis on 50% ehk 0,5 korjatud seentest, s.o.
10 kg: 0,05=20 kg.

Vastus: 20 kg.

Näide. Värsked seened sisaldasid 90% vett massist ja kuivad 12%. Mitu kuiva seeni saab 22 kg värsketest?

1. 22. 0,1 = 2,2 (kg) - seened massi järgi värsketes seentes; (0,1 on 10% kuivainet);
2. 2,2: 0,88 \u003d 2,5 (kg) - kuivad seened, mis on saadud värskest (kuivaine kogus ei ole muutunud, kuid see on muutunud protsentides seentes ja praegu on 2,2 kg 88% ehk 0,88 kuivseent).

Vastus: 2,5 kg.

Reegel 4. Protsentide alusel arvu leidmiseks peate väljendama protsendid murdarvuna ja jagama protsendiväärtuse selle murdosaga.

Pangaarvestuse ülesannetes leitakse tavaliselt liht- ja liitintresse. Mis vahe on liht- ja liitintressi kasvul? Lihtsa kasvu korral arvutatakse protsent iga kord selle põhjal Algne väärtus, ja keerulise kasvu korral arvutatakse see eelmise väärtuse järgi. Lihtsa kasvu korral on 100% esialgne summa ja keerulise kasvu korral on 100% iga kord uus ja võrdne eelmise väärtusega.

Näide. Pank maksab tagatisraha summalt tulu 4% kuus. Kontole kanti 300 tuhat rubla, tulu koguneb iga kuu. Arvutage sissemakse väärtus 3 kuu pärast.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - hoiuse kasvu osakaal võrreldes eelmise kuuga.
2. 300 . 1,04 \u003d 312 (tuhat rubla) - sissemakse summa 1 kuu pärast.
3. 312 . 1,04 \u003d 324,48 (tuhat rubla) - sissemakse summa 2 kuu pärast.
4. 324,48. 1,04 = 337,4592 (tuhat r) = 337 459,2 (r) - sissemakse väärtus 3 kuu pärast.

Või võite asendada lõiked 2–4 ühega, korrates lastega kraadi mõistet: 300.1.043 \u003d 337.4592 (tuhat rubla) \u003d 337.459.2 (r) - sissemakse suurus 3 kuu pärast.

Vastus: 337 459,2 rubla

Näide. Vasja luges ajalehest, et viimase 3 kuu jooksul on toiduainete hinnad tõusnud keskmiselt 10% kuus. Mitme protsendi võrra tõusid hinnad 3 kuuga?

Näide. Tuntud ettevõtte aktsiatesse investeeritud raha toob aastas sisse 20% tuludest. Mitme aasta pärast investeering kahekordistub?

Vaatleme sarnast ülesandeplaani konkreetsete näidete abil.

Näide. (Valik 1 nr 16. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpilised testiülesanded_ed. Jaštšenko_2016 -80ndad)

Spordipoes on käimas kampaania. Igasugune hüppaja maksab 400 rubla. Ostes kaks džemprit - 75% allahindlust teiselt džemprit. Mitu rubla pean kampaaniaperioodil kahe džempri ostmise eest maksma?

Vastavalt probleemi seisukorrale selgub, et esimene hüppaja ostetakse 100% algsest maksumusest ja teine ​​100 - 75 = 25 (%), s.o. kokku peab ostja tasuma 100 + 25 = 125 (%) algsest maksumusest. Lahendust saab siis käsitleda kolmel viisil.

1 viis.

100% aktsepteerime 400 rubla. Siis sisaldab 1% 400: 100 = 4 (rubla) ja 125%
neli . 125 = 500 (rubla)

2 viis.

Protsent arvust leitakse, korrutades arvu protsendile vastava murdosaga või korrutades arvu antud protsendiga ja jagades 100-ga.
400 . 1,25 = 500 või 400. 125/100 = 500.

3 viis.

Proportsiooniomaduse rakendamine:
400 hõõruda. - 100%
x hõõruda. - 125%, saame x \u003d 125. 400 / 100 = 500 (rubla)

Vastus: 500 rubla.

Näide. (Valik 4 nr 16. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpilised testiülesanded_ed. Jaštšenko_2016 -80ndad)

Goshaga samavanuste poiste keskmine kaal on 57 kg. Gosha kaal on 150% keskmisest kaalust. Mitu kilogrammi Gosha kaalub?

Sarnaselt ülalkirjeldatud näitega saate teha proportsiooni:

57 kg – 100%
x kg - 150%, saame x \u003d 57. 150/100 = 85,5 (kg)

Vastus: 85,5 kg.

Näide. (Valik 7 nr 16. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpilised testiülesanded_ed. Jaštšenko_2016 – 80ndad)

Pärast teleri allahindlust oli selle uus hind 0,52 vanast. Mitu protsenti hind allahindluse tulemusena langes?

1 viis.

Leiame esmalt hinnaalanduse osa. Kui alghinnaks võtta 1, siis 1 - 0,52 = 0,48 on hinnaalanduse osa. Siis saame 0,48. 100% = 48%. Need. hind langes allahindluse tulemusena 48%.

2 viis.

Kui algkuluks võtta A, siis peale allahindlust on teleri uueks hinnaks 0,52A, s.o. see väheneb A võrra - 0,52A = 0,48A.

Teeme proportsiooni:
A – 100%
0,48A - x%, saame x = 0,48A. 100/A = 48 (%).

Vastus: hind langes allahindluse tulemusena 48%.

Näide. (Valik 9 nr 16. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpilised testiülesanded_ed. Jaštšenko_2016 – 80ndad)

Müügil olevat toodet vähendati 15%, samal ajal kui see hakkas maksma 680 rubla. Kui palju kaup maksis enne müüki?

Enne hinnalangust oli toode 100% väärt. Toote hind pärast müüki langes 15%, i.е. sai 100 - 15 = 85 (%), rublades on see väärtus 680 rubla.

1 viis.

680: 85 = 8 (rubla) - 1%
kaheksa . 100 \u003d 800 (rubla) - kauba maksumus enne müüki.

2 viis.

See on arvu protsendi järgi leidmise probleem, see lahendatakse, jagades arvu sellele vastava protsendiga ja teisendades saadud murdosa protsendiks, korrutades 100-ga või jagades protsentidest teisendamisel saadud murdarvuga .
680:85. 100 \u003d 800 (rubla) või 680: 0,85 \u003d 800 (rubla)

3 viis.

Koos proportsiooniga:
680 hõõruda. - 85%
x hõõruda. - 100%, saame x = 680. 100/85 = 800 (rubla)

Vastus: 800 rubla maksis kaup enne müüki.

Segude ja sulamite ülesannete lahendamine, kasutades mõisteid "protsent", "kontsentratsioon", "% lahus".

Enamik lihtsaid ülesandeid seda tüüpi on näidatud allpool.

Näide. Mitu kg soola 10 kg soolases vees, kui soola protsent on 15%.

kümme . 0,15 = 1,5 (kg) soola.

Vastus: 1,5 kg.

Aine protsent lahuses (nt 15%), mida mõnikord nimetatakse ka %lahuseks (nt 15% soolalahus).

Näide. Sulam sisaldab 10 kg tina ja 15 kg tsinki. Kui suur on tina ja tsingi protsent sulamis?

Aine protsent sulamis on osa, mis on kaal antud aine kogu sulami massist.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - sulam;
2. 10:25 100% = 40% - tina protsent sulamis;
3. 15:25. 100% = 60% - tsingi protsent sulamis.

Vastus: 40%, 60%.

Seda tüüpi ülesannete puhul on peamine mõiste "koondumine". Mis see on?

Vaatleme näiteks happe lahust vees.

Laske anumas olla 10 liitrit lahust, mis koosneb 3 liitrist happest ja 7 liitrist veest. Siis on suhteline (kogu mahu suhtes) happesisaldus lahuses võrdne. See arv määrab happe kontsentratsiooni lahuses. Mõnikord räägitakse happe protsendist lahuses. Antud näites on protsent järgmine: . Nagu näete, on üleminek kontsentratsioonilt protsendile ja vastupidi väga lihtne.

Niisiis, sisaldagu segu massiga M mõnda ainet massiga m.

• antud aine kontsentratsioon segus (sulamis) on kogus;
• antud aine protsenti nimetatakse c × 100%;

Viimasest valemist järeldub, et aine teadaolevate kontsentratsioonide ja kogumass segu (sulam) antud aine mass määratakse valemiga m=c×M.

Segude (sulamite) probleemid võib jagada kahte tüüpi:

1. Näiteks on antud kaks segu (sulamit), mille massid on m1 ja m2 ning mõne aine kontsentratsioon neis on vastavalt c1 ja c2. Segud (sulamid) kurnatakse (sulatatakse). On vaja kindlaks määrata selle aine mass uues segus (sulamis) ja selle uus kontsentratsioon. On selge, et uues segus (sulamis) on antud aine mass võrdne c1m1+c2m2 ja kontsentratsioon.
2. Antakse teatud kogus segu (sulamit) ja sellest mahust hakatakse valama (eemaldama) teatud kogust segu (sulamit) ja seejärel lisama (lisama) sama või teist kogust segu (sulamit). selle aine sama kontsentratsiooniga või erineva kontsentratsiooniga. Seda toimingut tehakse mitu korda.

Selliste probleemide lahendamisel on vaja kehtestada kontroll antud aine koguse ja selle kontsentratsiooni üle igal mõõnal, samuti igal segu lisamisel. Sellise juhtimise tulemusena saame lahendusvõrrandi. Vaatleme konkreetseid ülesandeid.

Kui aine kontsentratsioon ühendis massi järgi on P%, siis tähendab see, et selle aine mass on P% kogu ühendi massist.

Näide. Hõbeda kontsentratsioon 300 g sulamis on 87%. See tähendab, et puhast hõbedat sulamis on 261 g.

300 . 0,87 = 261 (g).

Selles näites väljendatakse aine kontsentratsiooni protsentides.

Lahuses oleva puhta komponendi mahu suhet segu kogumahusse nimetatakse selle komponendi mahuliseks kontsentratsiooniks.

Kõikide segu moodustavate komponentide kontsentratsioonide summa on 1.

Kui aine protsent on teada, leitakse selle kontsentratsioon järgmise valemi abil:
K \u003d P / 100%,
kus K on aine kontsentratsioon;
P on aine protsent (protsentides).

Näide. (Valik 8 nr 22. OGE-2016. Matemaatika. Tüüpilised testiülesanded_ed. Jaštšenko_2016 – 80ndad)

Värsked puuviljad sisaldavad 75% vett, kuivatatud puuviljad aga 25%. Kui palju värskeid puuvilju on vaja 45 kg kuivatatud puuvilja valmistamiseks?

Kui värsked puuviljad sisaldavad 75% vett, on kuivaine 100–75 = 25 (%) ja kuivatatud - 25%, siis on nende kuivaine 100–25 = 75 (%).

Probleemi lahendamisel saate kasutada tabelit:

Värsked puuviljad x 25% = 0,25 0,25. X

Kuivatatud puuviljad 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Sest värskete ja kuivatatud puuviljade kuivaine mass ei muutu, saame võrrandi:

0,25 . x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - vaja on värskeid puuvilju.

Vastus: 135 kg.

Näide. (Valik 8 nr 11. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. Tüüpiline. Kontrolltöö. Ülesanded. Toim. Jaštšenko 2016 -56s)

70% ja 60% happelahuste segamine ja 2 kg lisamine puhas vesi, sai 50% happelahust. Kui 2 kg vee asemel lisada 2 kg sama happe 90% lahust, siis saadakse 70% happe lahus. Mitu kilogrammi 70% lahust kasutati segu valmistamiseks?

Kogukaal, kg | Kuivaine kontsentratsioon | Kuivaine mass
I x 70% \u003d 0,7 0,7. X
II 60% = 0,6 0,6. juures
vesi 2 - -
I + II + vesi x + y + 2 50% \u003d 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0,7 0,7. (x + y + 2)

Kasutades tabeli viimast veergu, koostame 2 võrrandit:

0.7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) ja 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Ühendades need süsteemiks ja lahendades selle, saame, et x = 3 kg.

Vastus: Segu saamiseks kasutati 3 kilogrammi 70% lahust.

Näide. (Valik 2 nr 11. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. Tüüpiline. Kontrolltöö. Ülesanded. Toim. Jaštšenko 2016 -56s)

Kolm kilogrammi kirsse maksab sama palju kui viis kilogrammi kirsse ja kolm kilogrammi kirsse sama palju kui kaks kilogrammi maasikaid. Mitme protsendi võrra on kilogramm maasikaid odavam kui kilogramm kirsse?

Ülesande esimesest lausest saame järgmised võrdsused:

3h = 5v,
3v = 2k.
Millest saame väljendada: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2.

Seega saate teha proportsiooni:
5v/3 – 100%
3v / 2 - x%, saame x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x \u003d 90% on maasikate kilogrammi maksumus ühe kilogrammi maksumusest. kirsid.

Niisiis, 100–90 = 10 (%) - kilogramm maasikaid on odavam kui kilogramm kirsse.

Vastus: kilogramm maasikaid on 10 protsenti odavam kui kilogramm kirsse.

"Liitintressi" ülesannete lahendamine, kasutades kasvu (vähenemise) koefitsiendi mõistet.

Suurendamiseks positiivne arv Ja p protsendiga peaksite arvu A korrutama kasvuteguriga K \u003d (1 + 0,01r).

Positiivse arvu A vähendamiseks p protsenti, korrutage arv A vähendusteguriga K = (1 - 0,01p).

Näide. (Valik 29 nr 22. OGE-2015. Matemaatika. Tüüp. eksami valikud: 36 valikut / toim. Jaštšenko, 2015 – 224c)

Kauba hinda alandati kaks korda sama protsendi võrra. Mitme protsendi võrra langes kauba hind iga kord, kui selle esialgne maksumus oli 5000 rubla ja lõppmaksumus 4050 rubla?

1 viis.

Sest kauba hind langes sama palju %, tähistame % arvu x-ga. Lastakse esimesel ja teisel korral toote hinda x% võrra langetada, siis peale esimest langetamist on toote hinnaks kujunenud (100 - x)%.

Teeme proportsiooni
5000 hõõruda. - 100%
juures hõõruda. - (100 - x)%, saame y \u003d 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) rubla - kauba maksumus pärast esimest vähendamist.

Koostame uus proportsioon juba uue hinnaga:
viiskümmend . (100 - x) hõõruda. - 100%
z hõõruda. - (100 - x)%, saame z \u003d 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rubla - kauba maksumus pärast teist vähendamist.

Saame võrrandi 0,5. (100 - x) 2 \u003d 4050. Olles selle lahendanud, saame, et x \u003d 10%.

2 viis.

Sest kauba hind langes sama arvu% võrra, tähistame % arvu kui x, x% = 0,01 x.

Vähendusteguri kontseptsiooni kasutades saame kohe võrrandi:
5000 . (1–0,01x) 2 = 4050.

Vastus: kauba hind langes iga kord 10%.

Näide. (Valik 30 nr 22. OGE-2015. Matemaatika. Tüüpilised eksamivalikud: 36 valikut / toimetanud Jaštšenko, 2015 - 224c)

Kauba hinda tõsteti kaks korda sama protsendi võrra. Mitme protsendi võrra tõusis kauba hind iga kord, kui selle esialgne maksumus oli 3000 rubla ja lõppmaksumus 3630 rubla?

Sest kauba hind tõusis sama arvu % võrra, tähistame % arvu x-ga, x % = 0,01 x.

Kasutades suurendusteguri kontseptsiooni, saame kohe võrrandi:
3000 . (1 + 0,01x) 2 = 3630.

Selle lahendades saame, et x = 10%.

Vastus: 10% kauba hinna tõus iga kord.

Näide. (Valik 4 nr 11. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. Tüüpiline. Kontrolltöö. Abitoim. Jaštšenko 2016 -56s)

Neljapäeval kallinesid ettevõtte aktsiad teatud protsendi võrra ja reedel langesid sama palju protsenti. Selle tulemusena hakkasid need maksma 9% odavamalt kui neljapäeval kauplemise avamisel. Mitu protsenti ettevõtte aktsia neljapäeval kallines?

Laske ettevõtte aktsiatel tõusta ja langeda hind x%, x% = 0,01 x ja aktsiate algväärtus oli A. Kasutades kõiki ülesande tingimusi, saame võrrandi:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) A = (1 - 0,09) A,
1 – (0,01 x) 2 \u003d 0,91,
(0,01 x)2 = (0,3)2,
0,01 x \u003d 0,3,
x = 30%.

Vastus: Firma aktsia tõusis neljapäeval 30 protsenti.

"Pangandusprobleemide" lahendamine uus versioon USE-2016 matemaatikas.

Näide. (Valik 2 nr 17. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. 50 tüüpi. rev. toim. Jaštšenko 2016)

15. jaanuaril on plaanis võtta pangast laen 15 kuuks. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

On teada, et kaheksas makse oli 108 tuhat rubla. Kui palju tuleb kogu laenuperioodi jooksul pangale tagasi maksta?

2.-14.-ni on tasuline A/15 +0,01A.

Pärast seda on võlasumma 1,01A - A / 15 - 0,01A \u003d 14A / 15.

2 kuu pärast saame: 1.01. 14A/15.

Teine makse A/15 + 0,01. 14A/15.

Siis on võlg peale teist makset 13A/15.

Samamoodi saame, et kaheksas makse näeb välja selline:

A/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08 A / 15.

Ja vastavalt tingimusele võrdub see 108 tuhande rublaga. Niisiis, saame kirjutada ja lahendada võrrandi:

1,08 A / 15 \u003d 108,

A=1500 (tuhat rubla) - võla esialgne summa.

2) Kogu laenuperioodi jooksul pangale tagastatava summa leidmiseks peame leidma kõigi laenumaksete summa.

Kõikide laenumaksete summa näeb välja järgmine:

(A / 15 + 0,01 A) + (A / 15 + 0,01, 14A / 15) + (A / 15 + 0,01, 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0,01 A /15) \u003d A + 0,01 A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0,01, 120 A)/15 = 1,08 A.

Seega 1.08. Kogu laenuperioodi jooksul tuleb pangale tagastada 1500 \u003d 1620 (tuhat rubla) \u003d 1620 000 rubla.

Vastus: 1620000 rubla.

Näide. (Valik 6 nr 17. Ühtne riigieksam-2016. Matemaatika. 50 tüüpi. rev. toim. Jaštšenko 2016)

15. jaanuaril on plaanis võtta pangast laen 24 kuuks. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

• Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlg 1% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
• iga kuu 2.-14. kuupäevast tuleb tasuda osa võlgnevusest;
• Iga kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeval.

Teadaolevalt tuleb esimese 12 kuu eest pangale tasuda 177,75 tuhat rubla. Kui palju plaanite laenata?

1) Olgu A laenusumma, 1% = 0,01.

Siis 1.01A võlg peale esimest kuud.

2.-14.-ni on tasuline A/24 +0,01A.

Pärast seda on võlasumma 1,01A - A / 24 - 0,01A \u003d A - A / 24 \u003d 23A / 24.

Selle skeemi kohaselt muutub võlg sama palju väiksemaks kui võlg eelmise kuu 15. kuupäeval.

2 kuu pärast saame: 1.01. 23A/24.

Teine makse A/24 + 0,01. 23A/24.

Siis on võlg peale teist makset 1,01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1,01 - 0,01) - A / 24 = 23A / 24 - A / 24 = 22A / 24.

Seega saame, et esimese 12 kuu eest peate pangale maksma järgmise summa:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + ... + A/24 + 0,01. 13A/24 = 12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

Ja vastavalt tingimusele võrdub see 177 375 tuhande rublaga. Niisiis, saame kirjutada ja lahendada võrrandi:
711A / 1200 \u003d 177,75,
A = 300 (tuhat rubla) = 300 000 rubla - plaanitakse laenu võtta.

Vastus: 300 000 rubla.

Räägime eksami ülesannetest nr 19

Juba kaks aastat on teisele osale lisatud ülesanne c majanduslik sisu, st ülesanded liitpanga intresside jaoks.

Nad ütlevad, et meil on tegemist "liitintressiga" juhul, kui teatud väärtus muutub järk-järgult. Pealegi on selle muutus iga kord teatud arv protsenti väärtusest, mis sellel väärtusel oli eelmises etapis.

Iga etapi lõpus muutub väärtus samaks püsiv summa protsenti -R%. Siis lõpusn -th etapp mingi koguse väärtusAGA , mille algväärtus oli võrdneAGA 0 , määratakse järgmise valemiga:

Suurenemisega ja

Kui väheneb

Teades, et hoiuse aastane intressimäär on 12%, leia

samaväärne igakuine intressimäär.

Lahendus:

Kui paneme rublad panka A, siis aasta pärast saame:A 1 = A 0 (1 +0,12)

Kui intressi kogunes igal kuul intressimääragaX , siis liitintressi valemi järgi aastas (12 kuud)AGA n = A 0 (1 + 0,01x) 12

Neid väärtusi võrdsutades saame võrrandi, mille lahendus võimaldab määrata igakuise intressimääraA(1+0,12) = A(1+0,01x) 12

1,12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1) 100% ≈ 0,9488792934583046%

Vastus: Kuu intressimäär on0.9488792934583046%.

Selle ülesande lahendusest on näha, et igakuine intressimäär ei võrdu aastamäära jagatud 12-ga.

31. detsembril 2013 võttis Sergei pangast laenu 9 930 000 rubla 10% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga 31. detsember järgmine aasta pank võtab ülejäänud võlasummalt intressi (st suurendab võlga 10%), seejärel kannab Sergei pangale teatud summa iga-aastasest maksest. Kui suur peaks olema aastamakse suurus, et Sergei saaks võla tasuda kolme võrdse aastamaksega?

Lahendus:

Laenusumma olgua , aastane makse on võrdneX rublad ja aastasummad k % . Seejärel korrutatakse iga aasta 31. detsembril ülejäänud võlasumma koefitsiendiga m =1+ 0,01 k . Pärast esimest makset on võlgnetav summa: a 1 = olen - X. Pärast teist makset võlgnetav summa

saab:

a 2 = a 1 m - x \u003d (at-x) m-x \u003d a 2 -tx-x=at 2 -(1+t)x

Tingimuse kohaselt peab Sergei laenu kolmes makses täies ulatuses tagasi maksma, seega

kus

Kella = 9930000 jak =10 , saamet =1,1 ja

Vastus : 3993 000 rubla.

Nüüd, kui oleme seda kõigis õpetustes soovitatud lahendust käsitlenud, vaatame teist lahendust.

LaseF = 9 930 000 - laenusumma,x - iga-aastase makse soovitud summa.

Esimene aasta:

Töökohustused:1.1F ;

Makse:X ;

Ülejäänud:1.1F-x .

Teine aasta:

Töökohustused:1.1 (1.1F-x) ;

Makse:X ;

Ülejäänud:1.1(1.1F-x)-x .

Kolmas aasta:

Töökohustused:1.1(1.1F-x)-x );

Makse:X ;

Ülejäänud: 0, kuna vastavalt seisukorrale oli ainult kolm makset.

Ainus võrrand

1,1(1,1(1,1F-x)-x)-x=0 . 1,331 F \u003d 3,31x, x \u003d 3993000

Vastus: 3 993 000 rubla.

Siiski-1 ! Eeldusel, et intressimäär pole ilus 10%, vaid kohutav 13,66613%. Võimalus iga aasta võlasumma üksikasjaliku kordaja graafikuga korrutamise käigus kuskil surra või hulluks minna kasvas hüppeliselt. Lisagem siia mitte väiksed 3 aastat, vaid 25. Selline lahendus ei tööta.

31. detsembril 2014 laenas Andrey pangast teatud summa 10% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (st suurendab võlga 10%) ja seejärel kannab Andrey panka 3 460 600 rubla. Millise summa Andrey pangast võttis, kui maksis võla ära kolme võrdse maksega (st 3 aasta eest)?

Lahendus.

Lasea - soovitud väärtus,k% - laenu intressimäär,X - iga-aastane makse. Seejärel korrutatakse iga aasta 31. detsembril ülejäänud võlasumma koefitsiendigam = 1 + 0,01 k . Pärast esimest makset on võlasumma:a 1 = am - x . Pärast teist makset on võla summa:

a 2 = a 1 m - x \u003d (at-x) m-x \u003d a 2 -tx-x=at 2 -(1+t)x

Pärast kolmandat makset ülejäänud võla summa:

Tingimuse kohaselt tasus Andrei võla kolm aastat,

see ona 3 = 0 , kus.

Kellx = 3 460 600, k% = 10% , saame:m = 1,1 ja=8 606 000 (rubla).

Vastus: 8 606 000 rubla.

31. detsembril 2013 võttis Igor pangast laenu 100 000 rubla. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (ehk suurendab võlga teatud intressimäära võrra), seejärel kannab Igor järgmise osa. Igor maksis laenu kahes osas tagasi, kandes esimesel korral 51 000 rubla ja teisel korral 66 600 rubla. Kui suure protsendiga pank Igorile laenu väljastas?

Lahendus

Lasek % - laenu soovitud intressimäär;m = (1 + 0,01 k ) on järelejäänud võla kordaja;a = 100 000 - pangast võetud summa;x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 - esimese ja viimase kaeviku mõõtmed.

Pärast esimest makset on võlasumma:a 1 = ma - x 1 .

Pärast teist makset on võla summa:a 2 = ma 1 – x 2 = a m 2 – m x 1 – x 2 . Tingimuste järgi,a 2 = 0 . Kõigepealt tuleb võrrand lahendadam , muidugi ainult võttes positiivne juur:

100 000 m 2 – 51 000 m – 66 600 = 0; 500 m 2 – 255 m – 333 = 0.

Siit saavad alguse raskused.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Siis.

Vastus: 11%.

31. detsembril 2013 laenas Maša pangast teatud summa kindla protsendiga aastas. Laenu tagasimaksmise skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (st suurendab võlga teatud intressimäära võrra), seejärel kannab Masha järgmise osa. Kui ta maksab igal aastal 2 788 425 rubla, maksab ta võla ära 4 aastaga. Kui 4 991 625 eest, siis 2 aastaks. Millise protsendi ulatuses laenas Maša pangast raha?

Lahendus

Pärast kaheaastast tagasimaksmist arvutatakse võetud laenusumma järgmise valemi järgi:

Pärast nelja aastat tagasimaksmist arvutatakse võetud laenusumma järgmise valemi järgi:

Kus

siis.

Vastus: 12,5%.

31. detsembril 2013 laenas Vanya pangast 9 009 000 rubla 20% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (see tähendab, et see suurendab võlga 20%), seejärel kannab Vanya makse panka. Vanya tasus kogu võla 3 võrdse osamaksega. Mitu rubla annaks ta pangale vähem, kui saaks 2 võrdse maksega võla ära maksta?

Lahendus

Kasutame ülesande 2 tulemust.

Soovitud erinevusX 3 -X 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 rubla.

Vastus: 1 036 00 rubla.

1. juunil 2013 võttis Vsevolod Jaroslavovitš pangast laenuks 900 000 rubla. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise kuu 1. kuupäeval võtab pank ülejäänud võlasummalt 1 protsendi (see tähendab, et see suurendab võlga 1% võrra), seejärel kannab Vsevolod Jaroslavovitš makse üle pangale. pank. Mida minimaalne kogus kuud Vsevolod Jaroslavovitš saab laenu võtta nii, et igakuised maksed ei ületa 300 000 rubla?

Peab aru saama lihtne tõde Mida suurem on laenumakse, seda väiksem on võlg. Mida vähem võlga teil on, seda kiiremini maksate selle ära. Maksimaalne kuumakse, mida laenuandja saab endale lubada, on vastavalt tingimusele 300 000 rubla. Kui Vsevolod Jaroslavovitš maksab maksimaalse makse, maksab ta võla kiiresti ära. Teisisõnu, ta saab laenu võtta kõige lühemaks perioodiks, mida tingimus nõuab.

Proovime lahendada otsmikuprobleemi.

Kuu on möödas. 1. juuli 2013: võlg (1 + 0,01) 900 000 - 300 000 = 609 000.

Kuu on möödas. 1. august 2013: võlg (1+ 0,01) 609 000 - 300 000 = 315 090.

Kuu on möödas. 1. september 2013: võlg (1 +0,01) 315 090 - 300 000 = 18 240,9. Kuu on möödas. 1. oktoober 2013: võlg (1 0,01) 1240,9 = 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Vastus: 4 kuud.

Lahendame probleemi standardmeetodil.

Kasutan ülesande 3 tulemusi, võttes arvesse järgmist arutluskäiku: võla ülejäänud osa ebavõrdsusel on vorma x ≤ 0 .

Lasex - soovitud väärtus,a = 900 000 - Pangast laenatud summak% = 1% - laenuintressy = 300 000 - kuumakse,m = (1 + 0,01 k) – järelejäänud võla igakuine kordaja. Seejärel saame juba teadaoleva valemi järgi ebavõrdsuse: ≤0 ;

Saime ebameeldiva ebavõrdsuse, kuid tõsi.

Võtame arvust täisarvulise osa, sest maksete arv ei saa olla mittetäisarv. Võtame lähima suurema täisarvu, väiksemat ei saa võtta (sest siis tekib võlg) ja on selge, et saadud logaritm ei ole täisarv. Selgub, 4 makset, 4 kuud.

Talunik sai pangast laenu teatud protsendiga aastas. Aasta hiljem maksis talunik pangale laenu kogu summalt, mis ta selleks ajaks pangale võlgnes, ja aasta hiljem deponeeris laenu täieliku tagasimaksena panka 21% suurema summa. kui saadud laenusumma. Kui suur on selle panga laenu aastaprotsent?

Lahendus:

Laenu suurus olukorda ei mõjuta. Võtke pangast 4 rubla (jagub 4-ga).

Aasta pärast kasvab võlg panga ees täpseltX korda ja muutub võrdseks4x rubla.

Jagage see 4 osaks, tagastage3x rubla ja me jäämeX rubla.

On teada, et järgmise aasta lõpuks tuleb maksta4 1.21 rubla.

Teatavasti on aasta võlasumma numbrist pöördunudX arvuliseltX 2 .

Kuna talunik maksis võla täielikult tagasi kaks aastat hiljem,

X 2 \u003d 4 1,21 x \u003d 2 1,1 x \u003d 2,2

KoefitsientX tähendab, et 100% muutub aastaga 220%-ks.

Ja see tähendab, et panga protsent aastas on: 220% - 100%

Vastus: 120%

Pank määras summale 3900 tuhat rubla 50% aastas. Iga esimese nelja hoiuaasta lõpus, pärast intressi arvestamist, kandis hoiustaja kontole täiendavalt sama fikseeritud summa. Viienda aasta lõpuks pärast intresside arvestamist selgus, et hoiuse summa oli esialgsega võrreldes kasvanud 725%. Kui palju panustaja igal aastal hoiusele lisas?

Lahendus:

Laske fikseeritud hoiuse summaX rubla.

Siis pärast kõigi toimingute tegemist, peale esimest aastat, sai tagatisraha summa

+x

2 aasta pärast

Pärast3 aasta

Pärast4 aasta

Pärast5 aasta

Kuna viienda aasta lõpuks pärast intresside arvestamist selgus, et hoiuse suurus kasvas esialgsega võrreldes 725%, siis teeme võrrandi:

3900 8,25=3900 1,5 5 + x (1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900 5,5=3900 1,5 4 +x(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Vastus: 210 rubla.

Pank võttis teatud summa teatud protsendiga vastu. Aasta hiljem võeti kontolt välja veerand kogunenud summast. Kuid pank suurendas protsenti aastas 40%. Järgmise aasta lõpuks ületas kogunenud summa esialgset sissemakset 1,44 korda. Kui suur protsent on uutele aastas?

Lahendus:

Sissemakse summast olukord ei muutu. Paneme panka 4 rubla (jagatuna 4-ga).

Aastaga suureneb kontol olev summa täpseltlk korda ja muutub võrdseks4p rubla.

Jaga see 4 osaks, vii kojulk rubla, jäta panka3p rubla.

Teatavasti oli järgmise aasta lõpuks pangal 4 1,44 = 5,76 rubla.

Nii et number3p muutus numbriks 5.76. Mitu korda on see suurenenud?

Seega leitakse teine ​​korrutustegurx purk.

Huvitaval kombel on mõlema koefitsiendi korrutis 1,92:

Tingimusest järeldub, et teine ​​koefitsient on 0,4 võrra suurem kui esimene.

lk · x = lk ·( lk +0,4)=1,92

Juba praegu saab valida koefitsiente: 1,2 ja 1,6.

Kuid me jätkame võrrandi lahendamist:

10p (10p+4) = 192 lase 10p=k

k (k+4) = 192

k =12, st. p = 1,2; a x = 1,6

Vastus: 60%

Täna kaldume veidi kõrvale standardlogaritmidest, integraalidest, trigonomeetriast jne ning koos kaalume üht elulisemat ülesannet matemaatika ühtsest riigieksamist, mis on otseselt seotud meie mahajäänud Venemaa ressursipõhise majandusega. Ja kui täpne olla, siis käsitleme hoiuste, intresside ja laenude probleemi. Sest just protsentidega ülesanded on hiljuti lisatud matemaatika ühtse riigieksami teise osasse. Teen kohe reservatsiooni, et selle probleemi lahendamiseks pakutakse ühtse riigieksami spetsifikatsioonide kohaselt korraga kolm põhipunkti, st eksamineerijad peavad seda ülesannet üheks kõige keerulisemaks.

Samal ajal peate matemaatika ühtse riigieksami ülesannete lahendamiseks teadma ainult kahte valemit, millest igaüks on igale koolilõpetajale üsna kättesaadav, kuid mulle arusaamatutel põhjustel on need valemid täielikult ignoreeritud nii kooliõpetajate kui ka erinevate eksamiks valmistumise ülesannete koostajate poolt. Seetõttu ei räägi ma täna teile mitte ainult, mis need valemid on ja kuidas neid rakendada, vaid tuletan kõik need valemid sõna otseses mõttes teie silme all, võttes aluseks matemaatika avatud USE panga ülesanded.

Seetõttu osutus tund üsna mahukaks, üsna sisukaks, nii et tehke end mugavalt ja alustame.

Raha panka panemine

Kõigepealt tahaks teha väikese lüürilise kõrvalepõike, mis on seotud rahanduse, pankade, laenude ja hoiustega, mille põhjal saame valemid, millega seda probleemi lahendame. Niisiis, kaldume veidi kõrvale eksamitest, eelseisvatest kooliprobleemidest ja vaatame tulevikku.

Oletame, et olete suureks saanud ja kavatsete korterit osta. Oletame, et ostate 20 miljoni rubla eest mitte mõne halva korteri äärelinnas, vaid hea kvaliteediga korteri. Samas oletame ka, et saite enam-vähem normaalse töö ja teenite 300 tuhat rubla kuus. Sel juhul saate aasta jooksul säästa umbes kolm miljonit rubla. Muidugi, teenides 300 tuhat rubla kuus, saate aasta eest veidi suurema summa - 3 600 000 -, kuid kulutagu need 600 000 toidule, riietele ja muudele igapäevastele majapidamisrõõmudele. Sisendandmed on kokku järgmised: teenida on vaja kakskümmend miljonit rubla, samas kui meie käsutuses on vaid kolm miljonit rubla aastas. Tekib loomulik küsimus: mitu aastat peame kolm miljonit kõrvale panema, et need samad kakskümmend miljonit kätte saada. Seda peetakse elementaarseks:

\[\frac(20)(3)=6,...\kuni 7\]

Kuid nagu me juba märkisime, teenite 300 tuhat rubla kuus, mis tähendab, et olete targad inimesed ega hoia raha kokku "padja all", vaid viite selle panka. Ja seetõttu võetakse igal aastal nende hoiuste pealt, mille panka tood, intressi. Oletame, et valite usaldusväärse, kuid samal ajal enam-vähem kasumliku panga ja seetõttu kasvavad teie hoiused aastas 15% võrra. Teisisõnu võime öelda, et teie kontodel olev summa suureneb igal aastal 1,15 korda. Tuletan teile meelde valemit:

Arvutame välja, kui palju raha teie kontodel iga aasta järel on:

Esimesel aastal, kui alles hakkate raha säästma, ei kogune intressi, see tähendab, et aasta lõpus säästate kolm miljonit rubla:

Teise aasta lõpus kogunevad juba intressid nendele kolmele miljonile rublale, mis on jäänud esimesest aastast, s.o. peame korrutama 1,15-ga. Teise aasta jooksul teatasite aga veel kolmest miljonist rublast. Muidugi polnud neil kolmel miljonil veel intressi kogunenud, sest teise aasta lõpuks olid need kolm miljonit alles kontole ilmunud:

Niisiis, kolmas aasta. Kolmanda aasta lõpus koguneb sellelt summalt intress, see tähendab, et kogu summa on vaja korrutada 1,15-ga. Ja jälle, terve aasta tegite kõvasti tööd ja panite kõrvale kolm miljonit rubla:

\[\left(3m\cpunkt 1,15+3m \parem)\cpunkt 1,15+3m\]

Arvutame veel neljandat aastat. Jällegi, kogu summa, mis meil oli kolmanda aasta lõpus, korrutatakse 1,15-ga, s.o. Kogu summalt arvestatakse intressi. See hõlmab intressi intressidelt. Ja sellele summale lisandub veel kolm miljonit, sest neljandal aastal töötasite ja ka säästsite raha:

\[\left(\left(3m\cpunkt 1,15+3m \parem)\cpunkt 1,15+3m \parem)\cpunkt 1,15+3m\]

Ja nüüd teeme sulgud lahti ja vaatame, mis summa meil neljanda säästmisaasta lõpuks käes on:

\[\begin(joona)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cpunkt ((1,15)^(2))+3m\cpunkt 1,15+3m \paremal)\cpunkt 1,15+3m= \\& =3m\cpunkt ((1,15)^(3 ))+3m\cpunkt ((1,15)^(2))+3m\cpunkt 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \parem)= \\& =3m\vasak(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \parem) \\\end(joonda)\]

Nagu näete, on sulgudes geomeetrilise progressiooni elemendid, st meil on geomeetrilise progressiooni elementide summa.

Tuletan meelde, et kui geomeetrilise progressiooni annab element $((b)_(1))$ ja ka nimetaja $q$, siis arvutatakse elementide summa järgmise valemi järgi:

See valem peab olema teada ja selgelt rakendatud.

Pange tähele: valem n element kõlab järgmiselt:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Selle kraadi tõttu on paljud õpilased segaduses. Kokku on meil just n summa eest n- elemendid ja n-ndal elemendil on aste $n-1$. Teisisõnu, kui proovime nüüd arvutada geomeetrilise progressiooni summat, siis peame arvestama järgmisega:

\[\begin(joona)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(joonda)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Arvutame lugeja eraldi:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1,74900625\ligikaudu 1,75\]

Kokkuvõttes, naastes geomeetrilise progressiooni summa juurde, saame:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15)=5\]

Selle tulemusena saame, et nelja säästuaastaga ei kasva meie esialgne summa mitte neli korda, nagu me poleks raha panka paigutanud, vaid viis korda ehk viisteist miljonit. Kirjutame selle eraldi:

4 aastat → 5 korda

Tulevikku vaadates ütlen, et kui oleksime säästnud mitte neli, vaid viis aastat, siis selle tulemusena oleks meie säästude summa kasvanud 6,7 korda:

5 aastat → 6,7 korda

Ehk siis viienda aasta lõpuks oleks meil kontol järgmine summa:

See tähendab, et viienda säästuaasta lõpuks oleks hoiuintresse arvesse võttes saanud juba üle kahekümne miljoni rubla. Seega väheneks pangaintressidelt kogumiskonto kogusumma ligi seitsmelt aastalt viiele ehk ligi kahe aasta võrra.

Seega, isegi vaatamata sellele, et pank küsib meie hoiustelt üsna madalat intressi (15%), annavad need samad 15% viie aasta pärast tõusu, mis ületab oluliselt meie aastakasumit. Samas ilmneb põhiline kordaja mõju viimastel aastatel ja isegi pigem viimasel säästuaastal.

Miks ma seda kõike kirjutasin? Muidugi mitte selleks, et agiteerida teid raha panka tassima. Sest kui sa tõesti tahad oma sääste suurendada, siis pead need investeerima mitte panka, vaid päris ärisse, kus need samad protsendid, s.t kasumlikkus Venemaa majanduse tingimustes langevad harva alla 30%, s.t. kaks korda rohkem pangahoiuseid.

Kuid kogu selle mõttekäigu juures on tõesti kasulik valem, mis võimaldab meil leida hoiuse lõppsumma iga-aastaste maksete summa ja ka panga poolt võetavate intresside kaudu. Nii et kirjutame:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\tekst(%))^(n))-1)(\tekst(%)-1)\]

Iseenesest arvutatakse % järgmise valemi abil:

Samuti tuleb teada seda valemit, samuti sissemakse suuruse põhivalemit. Ja omakorda võib põhivalem oluliselt vähendada arvutusi nendes protsentuaalsete probleemide puhul, kus on vaja sissemakse arvutada.

Miks kasutada tabelite asemel valemeid?

Tõenäoliselt tekib paljudel küsimus, milleks kõik need raskused üldse, kas on võimalik iga aasta lihtsalt taldrikule kirjutada, nagu seda tehakse paljudes õpikutes, arvutada igal aastal eraldi ja siis arvutada välja panuse kogusumma? Muidugi võite üldiselt unustada geomeetrilise progressiooni summa ja lugeda kõike klassikaliste tahvelarvutite abil – seda tehakse enamikus kogudes eksamiks valmistumiseks. Kuid esiteks suureneb järsult arvutuste maht ja teiseks selle tulemusel suureneb ka vea tegemise tõenäosus.

Üldiselt on laudade kasutamine selle imelise valemi asemel sama, mis ehitusplatsil oma kätega kraavide kaevamine selle asemel, et kasutada läheduses seisvat ja täielikult töötavat ekskavaatorit.

Noh, või sama asi, kui korrutada viis kümnega mitte korrutustabelit kasutades, vaid kümme korda järjest viis endale liita. Kuid olen juba kõrvale kaldunud, seega kordan veel kord kõige olulisemat mõtet: kui on võimalik arvutusi kuidagi lihtsustada ja lühendada, siis seda tuleb kasutada.

Laenu intressid

Arvutasime välja hoiused, seega liigume edasi järgmise teema juurde, nimelt laenuintresside juurde.

Nii et raha säästmise, eelarve hoolikalt planeerimise, tulevase korteri peale mõeldes otsustas klassivend ja nüüd lihtne töötu elada tänase päeva eest ja võtsid lihtsalt laenu. Samas ta ikka kiusab ja naerab su üle, öeldakse, et tal on krediittelefon ja kasutatud auto, mis on võetud laenuga, ja sina sõidad ikka metroos ja kasutad vana nupuvajutusega telefoni. Muidugi peab teie endine klassivend kõigi nende odavate "eputamise" eest kallilt maksma. Kui kallis - seda me praegu arvutame.

Esiteks lühike tutvustus. Oletame, et teie endine klassivend võttis laenuks kaks miljonit rubla. Samas peab ta lepingu järgi maksma x rubla kuus. Ütleme nii, et ta võttis laenu intressimääraga 20% aastas, mis praegustes tingimustes näeb päris korralik välja. Samuti eelda, et laenu tähtaeg on vaid kolm kuud. Proovime kõik need suurused ühte valemisse ühendada.

Nii et kohe alguses, niipea kui teie endine klassivend pangast lahkus, on tal taskus kaks miljonit ja see on tema võlg. Samal ajal pole möödunud aastat ega kuu, kuid see on alles algus:

Seejärel koguneb võlgnetavalt summalt ühe kuu pärast intress. Nagu me juba teame, piisab intressi arvutamiseks algse võla korrutamisest koefitsiendiga, mis arvutatakse järgmise valemi abil:

Meie puhul räägime intressimäärast 20% aastas, st võime kirjutada:

See on aastas tasumisele kuuluva summa suhe. Meie klassivend pole aga kuigi tark ja ta ei lugenud lepingut ning tegelikult anti talle laenu mitte 20% aastas, vaid 20% kuus. Ja esimese kuu lõpuks koguneb sellelt summalt intress ja see suureneb 1,2 korda. Kohe pärast seda peab isik tasuma kokkulepitud summa, st x rubla kuus:

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Ja jälle teeb meie poiss makse summas $x$ rubla.

Seejärel, kolmanda kuu lõpuks, suureneb tema võlasumma taas 20% võrra:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2- x\]

Ja kolme kuu tingimuse järgi peab ta tasuma täies mahus, ehk pärast viimase kolmandiku makse tegemist peaks tema võlasumma olema võrdne nulliga. Saame kirjutada selle võrrandi:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Otsustame:

\[\begin(joona)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cpunkt 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cpunkt ((1,2)^(2))+\cpunkt 1,2+ \\& 2m\cpunkt ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \paremale) \\\end(joonda)\]

Meie ees on taas geomeetriline progressioon või õigemini geomeetrilise progressiooni kolme elemendi summa. Kirjutame selle ümber elementide kasvavas järjekorras:

Nüüd peame leidma geomeetrilise progressiooni kolme elemendi summa. Kirjutame:

\[\begin(joonda)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(joonda)\]

Nüüd leiame geomeetrilise progressiooni summa:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Tuleb meeles pidada, et selliste parameetritega geomeetrilise progressiooni summa $\left(((b)_(1));q \right)$ arvutatakse järgmise valemiga:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

See on valem, mida me just kasutasime. Asendage see valem meie väljendiga:

Edasiste arvutuste jaoks peame välja selgitama, millega $((1,2)^(3))$ võrdub. Kahjuks ei saa me sel juhul enam kahekordse ruudu kujul värvida nagu eelmisel korral, vaid saame arvutada nii:

\[\begin(joona)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cpunkt 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(joonda)\]

Kirjutame oma väljendi ümber:

See on klassikaline lineaarne väljend. Läheme tagasi järgmise valemi juurde:

Tegelikult, kui seda üldistada, saame valemi, mis ühendab intressid, laenud, maksed ja tingimused. Valem näeb välja selline:

Siin see on, tänase videotunni kõige olulisem valem, mille abil võetakse arvesse vähemalt 80% kõigist teise osa matemaatika ühtse riigieksami majandusülesannetest.

Kõige sagedamini küsitakse reaalsete ülesannete puhul makset või veidi harvemini laenu, see tähendab võla kogusummat, mis meie klassikaaslasel oli maksete alguses. Keerulisemate ülesannete puhul palutakse leida protsent, kuid väga keeruliste puhul, mida analüüsime eraldi videotunnis, palutakse leida ajaraam, mille jooksul antud laenu- ja makseparameetritega meie töötu klassivend suudab pangale täies mahus ära maksta.

Võib-olla arvab keegi nüüd, et ma olen laenude, rahanduse ja üldse pangandussüsteemi äge vastane. Nii et ei midagi sellist! Vastupidi, ma usun, et krediidiinstrumendid on meie majandusele väga kasulikud ja hädavajalikud, kuid ainult tingimusel, et laenu võetakse ettevõtluse arendamiseks. Äärmisel juhul võib laenu võtta kodu ostmiseks ehk siis hüpoteeklaenuks või erakorraliseks arstiabiks – see selleks, muid põhjusi laenu võtmiseks lihtsalt pole. Ja kõikvõimalikud töötud, kes võtavad laenu "eputamise" ostmiseks ja samas ei mõtle üldse tagajärgedele lõpuks ning muutuvad meie majanduse kriiside ja probleemide põhjustajaks.

Tulles tagasi tänase tunni teema juurde, märgin, et on vaja teada ka seda laenu, maksete ja intresside ning geomeetrilise progressiooni summa ühendavat valemit. Just nende valemite abil lahendatakse matemaatika ühtse riigieksami tegelikud majandusprobleemid. Noh, nüüd, kui teate seda kõike väga hästi, kui saate aru, mis on laen ja miks te ei peaks seda võtma, jätkame matemaatika ühtse riigieksami tegelike majandusprobleemide lahendamisega.

Matemaatika eksamilt lahendame reaalseid ülesandeid

Näide nr 1

Nii et esimene ülesanne on:

31. detsembril 2014 võttis Aleksei pangast laenu 9 282 000 rubla 10% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (st suurendab võlga 10%), seejärel kannab Aleksei panka X rubla. Kui suur peaks olema summa X, et Aleksei saaks võla nelja võrdse maksega (st nelja aasta jooksul) ära maksta?

Niisiis, see on laenuprobleem, nii et kirjutame kohe üles oma valemi:

Laen on meile teada - 9 282 000 rubla.

Nüüd tegeleme protsentidega. Me räägime 10% probleemist. Seetõttu saame need tõlkida:

Saame teha võrrandi:

Oleme saanud tavalise lineaarvõrrandi $x$ suhtes, kuigi üsna suurte koefitsientidega. Proovime seda lahendada. Esiteks leiame avaldise $((1,1)^(4))$:

$\begin(joona)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(joonda)$

Nüüd kirjutame võrrandi ümber:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(1 =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(joonda)\]\[\]

See on kõik, meie probleem protsentidega on lahendatud.

Muidugi oli see kõige lihtsam ülesanne matemaatika ühtse riigieksami protsentidega. Päris eksamil sellist ülesannet suure tõenäosusega ei ole. Ja kui see nii läheb, pidage end väga õnnelikuks. Noh, neile, kellele meeldib lugeda ja kellele ei meeldi riskida, liigume edasi järgmiste raskemate ülesannete juurde.

Näide nr 2

31. detsembril 2014 laenas Stepan pangast 4 004 000 rubla 20% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (s.t. suurendab võlga 20%), seejärel teeb Stepan pangale makse. Stepan tasus kogu võla 3 võrdse maksega. Mitu rubla annaks ta pangale vähem, kui saaks 2 võrdse maksega võla ära maksta.

Meie ees on probleem laenudega, seega kirjutame üles oma valemi:

\[\]\

Mida me teame? Esiteks teame krediidi kogusummat. Teame ka protsente. Leiame suhte:

Mis puudutab $n$, siis peate hoolikalt läbi lugema probleemi olukorra. See tähendab, et kõigepealt peame arvutama, kui palju ta maksis kolme aasta eest, st $ n = 3 $, ja seejärel tegema uuesti samad toimingud, kuid arvutama maksed kahe aasta eest. Kirjutame võrrandi juhuks, kui makset makstakse kolme aasta eest:

Lahendame selle võrrandi. Kuid kõigepealt leiame avaldise $((1,2)^(3))$:

\[\begin(joona)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(joonda)\]

Kirjutame oma väljendi ümber:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1) (0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(joonda)\]

Kokku on meie makse 1900800 rubla. Kuid pöörake tähelepanu: ülesandes pidime leidma mitte kuumakse, vaid selle, kui palju Stepan maksab kokku kolme võrdse makse eest, see tähendab kogu laenu kasutamise perioodi eest. Seetõttu tuleb saadud väärtus uuesti korrutada kolmega. Loeme:

Kokku maksab Stepan kolme võrdse makse eest 5 702 400 rubla. Nii palju läheb tal kolmeks aastaks laenu kasutamine maksma.

Mõelge nüüd teisele olukorrale, kus Stepan võttis end kokku, valmistus ja maksis kogu laenu mitte kolme, vaid kahe võrdse maksega. Kirjutame üles sama valemi:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(joonda)\]

Kuid see pole veel kõik, sest nüüd oleme kahest maksest välja arvutanud ainult ühe, nii et kokku maksab Stepan täpselt kaks korda rohkem:

Suurepärane, nüüd oleme lõplikule vastusele lähedal. Kuid pöörake tähelepanu: me pole mingil juhul veel lõplikku vastust saanud, sest kolme aasta maksete eest maksab Stepan 5 702 400 rubla ja kahe aasta maksete eest 5 241 600 rubla, see tähendab veidi vähem. Kui palju vähem? Selle väljaselgitamiseks peate esimese makse summast lahutama teise makse summa:

Lõplik vastus kokku on 460 800 rubla. Kui palju Stepan täpselt säästab, kui ta ei maksa kolm, vaid kaks aastat.

Nagu näha, lihtsustab intresse, tähtaegu ja makseid siduv valem võrreldes klassikaliste tabelitega oluliselt arvutusi ning kahjuks on teadmata põhjustel enamikes probleemkogudes endiselt kasutusel tabelid.

Eraldi juhin tähelepanu tähtajale, milleks laenu võeti, ja kuumaksete suurusele. Fakt on see, et see seos ei ole meie üleskirjutatud valemitest otseselt nähtav, kuid selle mõistmine on vajalik eksami tegelike probleemide kiireks ja tõhusaks lahendamiseks. Tegelikult on see suhe väga lihtne: mida kauem laenu võtta, seda väiksem on igakuiste maksete summa, kuid seda suurem summa koguneb kogu laenu kasutamise perioodi peale. Ja vastupidi: mida lühem on tähtaeg, seda suurem on kuumakse, kuid väiksem on lõplik enammakse ja laenu kogumaksumus.

Loomulikult on kõik need väited võrdsed ainult tingimusel, et laenusumma ja intressimäär on mõlemal juhul samad. Üldiselt pidage praegu meeles seda fakti - seda kasutatakse selle teema kõige keerulisemate probleemide lahendamiseks, kuid praegu analüüsime lihtsamat probleemi, kus peate lihtsalt leidma algse laenu kogusumma.

Näide nr 3

Niisiis, üks laenuülesanne veel ja üheskoos viimane ülesanne tänases videoõpetuses.

31. detsembril 2014 võttis Vassili pangast krediidina välja teatud summa 13% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (see tähendab, et see suurendab võlga 13%), seejärel kannab Vassili panka 5 107 600 rubla. Millise summa Vassili pangast laenas, kui maksis võla tagasi kahes võrdses osas (kahe aasta jooksul)?

Nii et esiteks on see probleem jällegi laenudega seotud, seega paneme kirja oma imelise valemi:

Vaatame, mida me probleemi olukorrast teame. Esiteks, makse - see on 5 107 600 rubla aastas. Teiseks protsendid, et leiame suhte:

Lisaks võttis Vassili vastavalt probleemi seisukorrale pangast kaheks aastaks laenu, s.o. makstakse kahes võrdses osas, seega $n=2$. Asendame kõik ja paneme ka tähele, et laen on meile tundmatu, s.t. summa, mille ta võttis, ja tähistame seda kui $x$. Saame:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Kirjutame oma võrrandi seda fakti silmas pidades ümber:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(joonda)\]

See on kõik, see on lõplik vastus. Just selle summa võttis Vassili kohe alguses laenu.

Nüüd on selge, miks antud probleemi puhul palutakse meil laenu võtta vaid kaheks aastaks, sest siin ilmnevad kahekohalised protsendid, nimelt 13%, mis ruudus annab juba üsna “julma” numbri. Kuid see pole piir - järgmises eraldi õppetunnis käsitleme keerukamaid ülesandeid, kus on vaja leida laenutähtaeg ja intressimäär on üks, kaks või kolm protsenti.

Üldiselt õppige lahendama hoiuste ja laenudega seotud probleeme, valmistuge eksamiteks ja sooritage need "suurepäraselt". Ja kui midagi pole tänase videotunni materjalides selge, siis ärge kõhelge - kirjutage, helistage ja ma proovin teid aidata.

Vaata ka videot "Matemaatika eksami tekstülesanded".
Tekstülesanne ei ole ainult liikumis- ja tööülesanne. Samuti on ülesanded protsentide, lahuste, sulamite ja segude jaoks, ringis liikumiseks ja keskmise kiiruse leidmiseks. Me räägime neist.

Alustame protsendiülesannetega. Oleme selle teemaga juba 1. ülesandes kokku puutunud. Eelkõige sõnastasime olulise reegli: võtame väärtuseks, millega võrdleme.

Oleme tuletanud ka kasulikud valemid:

kui väärtust suurendatakse protsendi võrra, saame .
kui väärtust vähendatakse protsendi võrra, saame .
kui väärtust suurendatakse protsendi võrra ja seejärel vähendatakse , saame .

kui väärtus kahekordistatakse protsendi võrra, saame
kui väärtus kahekordistatakse protsendi võrra, saame

Kasutagem neid probleemide lahendamiseks.

Aastal elas linnakvartalis inimene. Aastal suurenes elanike arv uute majade ehituse tulemusena ja aastal - aastaga võrreldes. Kui palju inimesi hakkas kvartalis aastaga elama?

Tingimuse järgi aastal suurenes elanike arv aasta võrra ehk võrdsus inimestega.

Ja aastal kasvas elanike arv , nüüd võrreldes aastaga. Saame, et aastal hakkasid elanikud kvartalis elama.

Järgmine ülesanne pakuti matemaatika proovieksamil aasta detsembris. See on lihtne, kuid vähesed on sellega hakkama saanud.

Esmaspäeval kallinesid ettevõtte aktsiad teatud protsendi võrra ja teisipäeval langesid sama protsendi võrra. Selle tulemusena hakkasid need maksma vähem kui esmaspäeval kauplemise avamisel. Mitu protsenti ettevõtte aktsia esmaspäeval kallines?

Esmapilgul tundub, et seisukorras on viga ja aktsiate hind ei tohiks üldse muutuda. Need on ju sama protsendi võrra kallinenud ja langenud! Kuid ärgem kiirustagem. Las aktsiad maksavad esmaspäeval kauplemise avamisel rublasid. Esmaspäeva õhtuks on need kallinenud ja hakanud maksma. Nüüd on see väärtus juba võetud ja teisipäeva õhtuks langesid aktsiad võrreldes selle väärtusega. Paneme andmed tabelisse:

	Esmaspäeva hommikul	esmaspäeva õhtul	teisipäeva õhtul
Aktsia hind

Tingimuse kohaselt langesid aktsiad lõpuks aasta võrra.

Me saame sellest aru

Jagame võrrandi mõlemad pooled (kuna see ei võrdu nulliga) ja rakendame vasakul küljel lühendatud korrutamisvalemit.

Vastavalt probleemi tähendusele on väärtus positiivne.
Me saame sellest aru.

Külmiku hind poes langeb igal aastal sama palju protsenti varasemast hinnast. Tehke kindlaks, mitu protsenti külmiku hind igal aastal langes, kui rubla eest müüki pandud, kaks aastat hiljem müüdi see rubla eest.

Selle probleemi lahendab ka üks artikli alguses toodud valemitest. Külmkapp maksis Rs. Selle hind on kaks korda langenud ja nüüd on see võrdne

Neli särki on odavamad kui jakid. Mitu protsenti on viis särki pintsakust kallimad?

Olgu särgi maksumus , jope maksumus . Nagu ikka, võtame sada protsenti väärtust, millega võrdleme, ehk jope hinda. Siis on nelja särgi maksumus võrdne jope hinnaga, st.
.

Ühe särgi hind on poole väiksem:
,
ja viie särgi maksumus:

Saime, et viis särki on kallimad kui jope.

Vastus:.

Perekonda kuuluvad mees, naine ja nende õppurist tütar. Kui abikaasa palk kahekordistada, suureneks kogu pere sissetulek aasta võrra. Kui tütre stipendium väheneks poole võrra, väheneks kogu pere sissetulek aasta võrra. Mitu protsenti kogu pere sissetulekust moodustab naise palk?

Joonistame tabeli. Ülesandes viidatud olukordi (“kui mehe palk tõusis, kui tütre stipendium vähenes...”) nimetame “olukorda” ja “olukorda”.

	abikaasa	naine	tütar	Kogutulu
Päriselt
Olukord
Olukord

Jääb üle kirjutada võrrandisüsteem.

Aga mida me näeme? Kaks võrrandit ja kolm tundmatut! Me ei suuda leida ja eraldi. Tõsi, me ei vaja seda. Võtame esimese võrrandi ja lahutame mõlema poole summa. Saame:

See tähendab, et mehe palk on osa pere kogusissetulekust.

Teises võrrandis lahutame ka avaldise mõlemalt küljelt, lihtsustame ja saame selle

See tähendab, et tütre stipendium põhineb pere kogusissetulekul. Siis on naise palk kogutulu.

Vastus:.

Järgmist tüüpi probleemid on lahendused, segud ja sulamid. Neid ei leidu mitte ainult matemaatikas, vaid ka keemias. Me räägime teile nende lahendamise lihtsaimast viisist.

Anumasse, mis sisaldab liitreid mõne aine -protsendilist vesilahust, lisatakse liitrid vett. Mitu protsenti on saadud lahuse kontsentratsioon?

Pilt aitab selliseid probleeme lahendada. Kujutagem lahusega anumat skemaatiliselt – justkui poleks selles olev aine ja vesi omavahel segunenud, vaid on üksteisest eraldatud, nagu kokteilis. Ja kirjutame alla, mitu liitrit anumad sisaldavad ja mitu protsenti ainet sisaldavad. Tähistame saadud lahuse kontsentratsiooni.

Esimeses anumas oli liiter ainet. Teine anum sisaldas ainult vett. See tähendab, et kolmandas anumas on sama palju liitreid ainet kui esimeses:

.

Teatud kogus teatud aine -protsendilist lahust segati sama koguse selle aine -protsendilise lahusega. Mitu protsenti on saadud lahuse kontsentratsioon?

Olgu esimese lahuse mass . Teise mass - ka. Tulemuseks on lahus massiga . Joonistame pildi.

Saame:

Vastus:.

Viinamarjad sisaldavad niiskust ja rosinad -. Mitu kilogrammi viinamarju on vaja kilogrammi rosinate tootmiseks?

Tähelepanu! Kui puutute kokku probleemiga "toodetega", st sellisega, kus rosinaid saadakse viinamarjadest, aprikoose valmistatakse aprikoosidest, kreekereid tehakse leivast või kodujuustu piimast - teadke, et see on tegelikult lahenduste probleem . Lahendusena võime tinglikult kujutada ka viinamarju. See sisaldab vett ja "kuivainet". "Kuivainel" on keeruline keemiline koostis ning selle maitse, värvi ja lõhna järgi saime aru, et tegemist on viinamarjadega, mitte kartuliga. Rosinad saadakse siis, kui vesi aurustub viinamarjadest. Samal ajal jääb "kuivaine" hulk muutumatuks. Viinamarjad sisaldasid vett, mis tähendab, et seal oli kuivainet. Rosinate vees ja "kuivaines". Laske kg viinamarjadest välja tulla kg rosinaid. Siis

Alates

Teeme võrrandi:

ja leida.

Vastus:.

Seal on kaks sulamit. Esimene sulam sisaldab niklit, teine ​​- niklit. Nendest kahest sulamist saadi kolmas niklit sisaldav sulam massiga kg. Mitme kilogrammi võrra on esimese sulami mass väiksem kui teise sulami mass?

Olgu esimese sulami mass x ja teise sulami mass y. Tulemuseks oli sulam massiga .

Kirjutame lihtsa võrrandisüsteemi:

Esimene võrrand on saadud sulami mass, teine ​​on nikli mass.

Lahendades saame selle.

Vastus:.

Segades -protsentuaalsed ja -protsendilised happelahused ning lisades kg puhast vett, saime -protsendilise happelahuse. Kui kg vee asemel lisada sama happe kg -% lahust, siis saadakse -% happe lahus. Mitu kilogrammi -protsendilist lahust kasutati segu saamiseks?

Olgu esimese lahuse mass , teise lahuse mass on võrdne . Saadud lahuse mass on . Kirjutame happe koguse kohta kaks võrrandit.

Lahendame saadud süsteemi. Korrutame kohe mõlemad võrrandite osad arvuga , kuna täisarvukoefitsientidega on mugavam töötada kui murdosaga. Laiendame sulgusid.

Vastus:.

Samuti osutusid paljudele õpilastele raskeks ümbermõõtmisega seotud ülesanded. Neid lahendatakse peaaegu samamoodi nagu tavalisi liikumisprobleeme. Nad kasutavad ka valemit. Kuid on üks nipp, millest me teile räägime.

Ringraja punktist lahkus jalgrattur ja minuti pärast läks mootorrattur talle järele. Minutid pärast väljasõitu jõudis ta jalgratturile esimest korda järele ja minutid pärast seda teist korda. Leia mootorratturi kiirus, kui raja pikkus on km. Esitage oma vastus km/h.

Esiteks teisendame minutid tundideks, kuna kiirus tuleb leida km / h. Osalejate kiirusi tähistame ja . Esimest korda möödus mootorrattur jalgratturist minutitega ehk tundide jooksul pärast starti. Kuni selle hetkeni oli jalgrattur teel minuteid ehk tund aega.

Kirjutame need andmed tabelisse:

jalgrattur
mootorrattur

Mõlemad on läbinud sama vahemaa, see tähendab.

Seejärel sõitis mootorrattur jalgratturist teist korda mööda. See juhtus minutitega ehk tunniga pärast esimest möödasõitu.

Joonistame teise tabeli.

jalgrattur
mootorrattur

Milliseid vahemaid nad läbisid? Mootorrattur sõitis jalgratturist mööda. Seega sõitis ta ühe ringi rohkem. See on selle ülesande saladus. Üks ring on raja pikkus, see võrdub km-ga. Saame teise võrrandi:

Lahendame saadud süsteemi.

Me saame sellest aru. Vastuseks kirjutage üles mootorratturi kiirus.

Vastus:.

Osutitega kellad näitavad tundide ja minuteid. Mitme minuti pärast joondub minutiosuti neljandat korda tunniosutiga?

See on võib-olla eksamivalikute kõige raskem ülesanne. Muidugi on olemas lihtne lahendus – võtke kell koos osutitega ja veenduge, et neljandal korral on osutid tundides reas, täpselt kell ..
Aga mis siis, kui teil on elektrooniline kell ja te ei saa probleemi eksperimentaalselt lahendada?

Ühe tunni jooksul teeb minutiosuti ühe ringi ja tunniosa ringist. Olgu nende kiirused võrdsed (ringi tunnis) ja (ringi tunnis). Start - kell .. Leiame aja, mille jooksul minutiosuti esimest korda tunniosutile järele jõuab.

Minutiosuti teeb veel ühe ringi, nii et võrrand on järgmine:

Selle lahendades saame need tunnid. Nii et esimest korda lähevad käed tundidega ritta. Las teine ​​kord jõuavad õigeks ajaks järele. Minutiosuti katab distantsi ja tunniosuti, kusjuures minutiosuti liigub veel ühe ringi. Kirjutame võrrandi:

Selle lahendades saame need tunnid. Nii et tunni aja pärast joonduvad käed teist korda, teise tunni pärast kolmandat korda ja veel ühe tunni pärast neljandat korda.

Seega, kui start oli ., siis neljandal korral rivistuvad nooled läbi
tundi.

Vastus on täielikult kooskõlas "eksperimentaalse" lahendusega! :-)

Matemaatika eksamil võite ka keskmise kiiruse leidmise probleemiga kokku puutuda. Pidage meeles, et keskmine kiirus ei ole võrdne kiiruste aritmeetilise keskmisega. See põhineb spetsiaalsel valemil:

,
kus on keskmine kiirus, kogu vahemaa ja koguaeg.

Kui teelõiku oleks kaks, siis

Reisija ületas merd jahil, mille keskmine kiirus oli km/h. Ta lendas tagasi sportlennukiga kiirusega km/h. Leidke reisija keskmine kiirus kogu reisi jooksul. Esitage oma vastus km/h.

Me ei tea, milline oli reisija läbitud vahemaa. Teame vaid seda, et see distants oli sama ka sinna- ja tagasiteel. Lihtsuse huvides võtame selle vahemaa (ühe merena). Siis võrdub aeg, mille reisija jahil seilas, ja lennule kulunud aeg võrdub . Koguaeg on.
Keskmine kiirus on km/h.

Vastus:.

Näitame veel üht suurejoonelist nippi, mis aitab ülesande 13 võrrandisüsteemi kiiresti lahendada.

Andrey ja Pasha värvivad tara tundidega. Pasha ja Volodya värvivad sama tara tundidega ning Volodja ja Andrei tundidega. Mitu tundi kulub poistel aia värvimiseks, kui kolm neist töötavad?

Oleme juba lahendanud töö ja produktiivsuse ülesandeid. Reeglid on samad. Ainus erinevus on see, et siin töötab kolm inimest ja muutujaid on samuti kolm. Olgu - Andrei etendus, - Paša esitus ja - Volodya esitus. Me võtame tara, see tähendab töömahu, kuna - lõppude lõpuks ei saa me selle suuruse kohta midagi öelda.

	esitus	Töö
Andrew
Pasha
Volodja
Koos

Andrey ja Pasha värvisid tara tundidega. Mäletame, et tulemuslikkus kasvab koos töötades. Kirjutame võrrandi:

Samamoodi

Siis


.

Võite otsida , ja eraldi, kuid parem on lihtsalt kõik kolm võrrandit lisada. Me saame sellest aru

Nii värvivad Andrei, Paša ja Volodja koos töötades tunni ajaga ühe kaheksandiku tarast. Nad värvivad kogu aia tundidega.

Esitluste eelvaate kasutamiseks looge Google'i konto (konto) ja logige sisse: https://accounts.google.com

Slaidide pealdised:

Teooria teemal: "Probleemide lahendamine huvi pärast."

Tüüp 1: teisenda protsent kümnendkohaks. protsent  murdosa A%  A jagatud 100-ga Ülesanded: 20%; 75%; 125%; 50%; 40%; 1%; 70%; 35%; 80%... Täida tabel 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Tüüp 2: murdosa teisendamine protsendiks. arv  protsendid A  A korda 100% Murdude teisendamine protsentideks: 3/4; 0,07; 2.4. (GIA, temaatilised ülesanded) Sobitage mingi väärtusega osakaalu väljendavad murded ja neile vastavad protsendid. A.1/4; B) 3/5; C) 0,5; D) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% vastus: A B C D

3. tüüp: arvu protsendi leidmine. X% A-st 1) X% on esitatud kümnendmurruna. 2) Arv A korrutatakse kümnendmurruga. Ülesanne on näide. Kuu ajaga tootis ettevõte 500 seadet. 20% toodetud seadmetest ei läbinud kvaliteedikontrolli. Kui paljudel seadmetel ebaõnnestus kvaliteedikontroll? Lahendus. Peate leidma 20% toodetud seadmete koguarvust (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. Valmistatud seadmete koguarvust 100 ei läbinud kvaliteedikontrolli.

Tüüp 4: leidke arv selle protsendi järgi. Ja see on X%: 1) X% on esitatud kümnendmurruna 2) A jagatakse kümnendmurruga. Ülesanne on näide. Eksamiks valmistudes lahendas õpilane iseõppimiseks juhendist 38 ülesannet. Mis on 25% kõigist juhendis olevate ülesannete arvust. Kui palju ülesandeid on sellesse iseõppimisjuhendisse kogutud? Lahendus. Me ei tea, kui palju ülesandeid juhendis on. Kuid teisest küljest teame, et 38 ülesannet on 25% nende koguarvust. 25%=0,25 38/0,25 = 152. Selles kogumikus on 152 ülesannet.

Tüüp 5: leidke kahe arvu protsent. A ja B numbrid. Mitu % on A-st B? 1) B / A 2) Korrutage saadud jagatis 100% -ga Ülesanne on valim. Klassis on 30 õpilast. 15 neist on tüdrukud. Kui suur protsent tüdrukuid on klassis? Lahendus. Et teada saada, mitu protsenti on üks arv teisest, vajate arvu, mida soovite leida, jagage koguarvuga ja korrutage 100%. Niisiis, 1) 15 / 30 = 0,5 2) 0,5 * 100% = 50% Ülesanne on näidis. 1 tunni jooksul tootis automaat 240 detaili. Pärast selle masina rekonstrueerimist hakkas ta tootma 288 sama osa tunnis. Mitme protsendi võrra tõusis masina tootlikkus? Lahendus. Masina tootlikkus on tõusnud 288-240=48 detaili tunnis. Peate välja selgitama, mitu protsenti 240 osast on 48 osa. Selleks, et teada saada, mitu protsenti arvust 48 on arvust 240, tuleb arv 48 jagada 240-ga ja tulemus korrutada 100%. 48/240 *100% =20% Vastus: masina tootlikkus tõusis 20%

Tüüp 6: suurendage arvu protsendi võrra. Vähendage arvu protsendi võrra. A on arv; suureneb X%, siis on see suurenenud (1 + x / 100) korda. : 1) arv A korrutatakse 2-ga (1 + x / 100). Ülesanne on näide. . Eelmise aasta matemaatikaeksamil sai A-d 140 gümnasisti. Sel aastal on tublide õpilaste arv kasvanud 15%. Kui palju inimesi sai sel aastal matemaatikaeksamil A-d? Lahendus. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - arv; me vähendame X%, siis vähenes see (1 - x / 100) korda. : 1) arv A korrutatakse 2-ga) (1 - x / 100). Ülesanne on näide. Aasta tagasi lõpetas kooli 100 last. Ja sel aastal on lõpetajaid 25% vähem. Kui palju on sel aastal lõpetajaid? Lahendus. 100 * (1–25/100) = 75.

Tüüp7: Lahuse kontsentratsioon. Ülesanne on näide. Kilogramm soola lahustati 9 liitris vees. Mis on saadud lahuse kontsentratsioon? (1 liitri vee mass on 1 kg) (Peterson 6 rakku) Lahendus 1) Lahustunud aine mass on 1 kg 2) Kogu lahuse mass 1 + 9 = 10 (kg) 9 kg on mass vesi lahuses (mitte segi ajada lahuse kogumassiga) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - lahuse kontsentratsioon

Tüüp 8: metalli protsent sulamis. Ülesanne - näidis 1. Vase ja tina sulamist on tükk kogumassiga 12 kg, mis sisaldab 45% vaske. Kui palju puhast tina tuleb sellele sulamitükile lisada, et tekkiv sulam sisaldaks 40% vaske? Lahendus.1)12 . 0,45= 5,4 (kg) - puhas vask esimeses sulamis; 2) 5,4: 0,4= 13,5 (kg) - uue sulami kaal; 3) 13,5-12 = 1,5 (kg) tina. Vastus: vaja on 1,5 kg tina.

Ülesanne – näidis 2. On kaks sulamit, mis koosnevad vasest, tsingist ja tinast. On teada, et esimene sulam sisaldab 40% tina ja teine ​​- 26% vaske. Tsingi protsent esimeses ja teises sulamis on sama. Olles sulatanud 150 kg esimest sulamit ja 250 kg teist, saadi uus sulam, milles osutus 30% tsinki. Määrake, mitu kilogrammi tina sisaldab saadud uus sulam. Kuna tsingi osakaal esimeses ja teises sulamis on sama ja kolmandas sulamis osutus 30%, siis esimeses ja teises sulamis on tsingi osakaal 30%. 250 * 0,3 \u003d 75 (kg) - tsink teises sulamis; 250 * 0,26 \u003d 65 (kg) - vask teises sulamis; 250-(75+65)= 110 (kg) tina teises sulamis; 150 . 0,4= 60 (kg) - tina esimeses sulamis; 110 + 60 = 170 (kg) - tina kolmandas sulamis. Vastus: 170 kg. 1 sulam 2 sulam Uus sulam (3) Vask 26% Tsink 30% 30% 30% Tina 40% ?kg kaal 150kg 250kg 150+250=400

Tüüp 9: "Kuivaine". Peaaegu iga toode - õunad, arbuusid, seened, kartul, teravili, leib jne. koosneb veest ja kuivainest. Lisaks sisaldavad nii värsked kui ka kuivatatud toidud vett. Kuivatamise käigus aurustub ainult vesi ja kuivaine mass ei muutu. A.G. Mordkovich “Matemaatika 6” Ülesanne nr 362 Ülesanne on näidis. Värsked seened sisaldavad 90% vett ja kuivatatud - 15%. Kui palju kuivatatud seeni saab 17 kg värsketest? Kui palju värskeid seeni on vaja võtta, et saada 3,4 kg kuivatatud seeni? Lahendus. Teeme tabeli: Ülesande 1. osa: aine Aine mass (kg) Vee protsent kuivaine mass kuivaine mass (kg) Värske seen 17kg 90% 10% 17*0,1=1,7 Kuivatatud seen X kg 15% 85% X * o,85 \u003d 0,85x Kuna kuivaine mass kuivades ja värsketes seentes jääb muutumatuks, saame võrrandi: 0,85x \u003d 1,7, x \u003d 1,7: 0,85, x \u003d 2.

Ülesande 2. osa: Aine Aine mass (kg) Vee osakaal Vee osakaal kuivaine mass (kg) Värske seen х 90% 10% 0,1х Kuivatatud seen 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2 ,89 0,1x = 2,89, x = 2,89: 0,1, x = 28,9. Vastus: 17 kg värsketest seentest saad 2 kg kuivatatud; 3,4 kg kuivatatud seente saamiseks peate võtma 28,9 kg värskeid seeni.