Teoreetiline materjal moodulitest "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika".

Klassikaline tõenäosuse definitsioon taandab tõenäosuse mõiste sündmuste võrdtõenäosuse (võrdse võimalikkuse) mõistele, mida peetakse peamiseks ja mis ei allu formaalsele definitsioonile. See määratlus on rakendatav juhtudel, kui on võimalik välja tuua terve rühm kokkusobimatuid ja võrdselt tõenäolisi sündmusi - elementaarsed tulemused. Mõelge näiteks pallidega urnile.

Olgu urnis 7 ühesugust, hoolikalt segatud palli, neist 2 punast, 1 sinist ja 4 valget. Test seisneb selles, et urnist võetakse juhuslikult üks pall. Iga sündmus, mis käimasolevas katses võib aset leida, on elementaarne tulemus. AT see näide seitse elementaarset tulemust, mida me tähistame E 1 , E 2 ,..., E 7. tulemusi E 1 , E 2 - punase palli välimus, E 3 - sinise palli välimus, E 4 , E 5 , E 6 , E 7 - välimus valge pall. Meie näites sündmused E 1 , E 2 ,... E 7 - paaride kaupa ei ühildu. Lisaks on need selles testis võrdselt tõenäolised. Las sündmus AGA on see, et urnist juhuslikult võetud pall osutus värviliseks (punaseks või siniseks).

Need elementaarsed tulemused, mille puhul sündmus meid huvitab AGA tuleb, kutsutakse soodsaid tulemusi sündmus AGA. Meie näites sündmust soodustavad tulemused AGA, on tulemused E 1 , E 2 ja E 3 . Mõistlik sündmuse toimumise võimalikkuse mõõdupuuna AGA, see tähendab tõenäosusi R(AGA), aktsepteerige arvu, mis on võrdne sündmuse toimumist soodustavate tulemuste suhtega AGA, kõikidele võimalikele tulemustele. Meie näites

RÜlaltoodud näide viis meid tõenäosuse määratluseni, mida tavaliselt nimetatakse klassikaline .

Sündmuse tõenäosus AGA nimetatakse arvu suhteks m selle sündmuse jaoks soodsad tulemused koguarv n kõik elementaarsed tulemused:

R(AGA) = . (1.4.4)

Klassikaline tõenäosuse määratlus on hea matemaatiline mudel need juhuslikud katsed, mille tulemuste arv on piiratud ja tulemused ise on võrdselt tõenäolised.

NÄIDE 2. tormab täringut. Leidke tõenäosus, et saate mitte rohkem kui neli punkti.

Otsus. Elementaarsete tulemuste koguarv n= 6 (saab veeretada 1, 2, 3, 4, 5, 6). Nende tulemuste hulgas soosib üritust AGA(kukkub mitte rohkem kui neli punkti) ainult neli tulemust m= 4. Seega soovitud tõenäosus

NÄIDE 3. Kui suur on tõenäosus arvata 4 numbrit, täites spordiloto kaardi "6" numbrist "49"?

Otsus. Kogemuse elementaarsete tulemuste koguarv on võrdne viiside arvuga, kuidas saab 6 numbrit 49-st läbi kriipsutada, see tähendab n = C. Leiame numbri meid huvitava sündmuse jaoks soodsad tulemused
AGA= (arvatud 4 numbrit), 6 võitjast saab läbi kriipsutada 4 numbrit C viisil, samas kui ülejäänud kaks numbrit ei tohi võita. 43 mittevõitvast numbrist võite maha kriipsutada 2 valet numbrit C viise. Seetõttu on soodsate tulemuste arv m = C× C. Arvestades, et kõik katse tulemused on kokkusobimatud ja võrdselt võimalikud, leiame klassikalise tõenäosuse valemi abil soovitud tõenäosuse:

P(A) =

NÄIDE 4. võetud juhuslikult Telefoninumber koosneb 5 numbrist. Kui suur on tõenäosus, et selles: 1) kõik arvud on erinevad; 2) kas kõik numbrid on paaritud?

Otsus. 1. Kuna kõik viis kohta viiekohalises numbris võivad sisaldada mis tahes arvu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, siis on kõik erinevad viiekohalised numbrid 10 5 (00000 - 1., 00001 - 2., 00002 -3, ..., 99998 - 99999 ja lõpuks 99999 - 100000). Numbrid, milles kõik numbrid on erinevad, on 10 elemendi paigutused 5-st.

Valem numbri jaoks paigutused alates n elemendid poolt k:

K! == n (n - 1) ... (n - k + 1).

Seetõttu on soodsate juhtumite arv m= = 10× 9× 8× 7× 6 ja soovitud tõenäosus

P(A) = = 0,3024.

2. 5 paaritust arvust (1, 3, 5, 7, 9) saab moodustada 5 5 erinevat viiekohalist arvu. 5 5 on soodsate tulemuste arv m . Kuna kõik võrdselt võimalikud juhtumid n= 10 5 , siis soovitud tõenäosus

P(A) ====0,03125.

NÄIDE 5. Täielik kaardipakk (52 lehte) jagatakse juhuslikult kaheks võrdseks 26-leheliseks pakiks. Leidke järgmiste sündmuste tõenäosus:

AGA- igas pakis on kaks ässa;

AT- ühes pakis pole ässasid ja teises - kõik neli;

Koos- ühes pakis on üks äss ja teises - kolm.

Otsus. Testi võimalike elementaarsete tulemuste koguarv on võrdne viisidega, kuidas saab tõmmata 26 kaarti 52-st, see tähendab kombinatsioonide arvuga 52 kuni 26, n= . Number soodne sündmus AGA juhtudel
m= (kombinatoorika põhireegli järgi), kus esimene tegur näitab, et kaks ässa neljast võib võtta viisidel, teine ​​tegur näitab, et ülejäänud 24 kaarti võetakse 48 kaardist, mis ei sisalda viisidel ässasid. Soovitud tõenäosus võrdub sündmust soodustavate tulemuste arvu suhtega AGA, kõigi tulemuste koguarvule:

Sündmus AT saab realiseerida kahel võrdselt võimalikul viisil: kas esimeses pakis on kõik neli ässa ja teises - mitte ühtegi või vastupidi:

Sarnaselt:

Märka seda klassikaline määratlus tõenäosus võeti kasutusele juhul, kui ruum elementaarsed sündmused loomulikult ning kõik tulemused ja katsed on võrdselt võimalikud ja kokkusobimatud.

Ülesanne 174tv

a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.

Ülesanne 176tv

Urnis on 6 musta ja 5 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.

Ülesanne 178tv

Urnis on 4 musta ja 5 valget palli. Juhuslikult loositakse 4 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 2 valget palli;
b) vähem kui 2 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.

Ülesanne 180tv

Urnis on 6 musta ja 7 valget palli. Juhuslikult loositakse 4 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 4 valget palli;
b) vähem kui 4 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.

Ülesanne 184tv

Urnis on 8 musta ja 6 valget palli. Juhuslikult loositakse 4 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.

Ülesanne 186tv

Urnis on 4 musta ja 6 valget palli. Juhuslikult loositakse 4 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 3 valget palli;
b) vähem kui 3 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.

Ülesanne 188tv

Urnis on 5 musta ja 6 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:
a) 4 valget palli;
b) vähem kui 4 valget palli;
c) vähemalt üks valge pall.

Urnist, kus nad on pallid, sealhulgas must valge, kogemata välja tõmmatud pallid. Kui suur on tõenäosus, et nende hulgas on mustad valged pallid?

Näide 1. Esimeses urnis: kolm punast, üks valge palli. Teises urnis: üks punane, kolm valget palli. Münt visatakse juhuslikult: kui vapp on valitud esimesest urnist, vastasel juhul teisest.
Otsus:
a) punase palli tõmbamise tõenäosus
A - sain punase palli
P 1 - vapp kukkus välja, P 2 - muidu

b) Valitakse punane pall. Leidke tõenäosus, et see on võetud esimesest urnist, teisest urnist.
B 1 - esimesest urnist, B 2 - teisest urnist
,

Näide 2. Kastis on 4 palli. Võib olla: ainult valge, ainult must või valge ja must. (Koostis teadmata).
Otsus:
A on valge palli ilmumise tõenäosus
a) Kõik valged:
(tõenäosus, et üks kolmest valikust, kus valge on, tabatakse)
(tõenäosus, et ilmub valge pall, kus kõik on valged)

b) Välja tõmmatud, kus kõik on mustad



c) tõmbas välja variandi, kus kõik on valged või/või mustad

- vähemalt üks neist on valge

P a + P b + P c =

Näide 3. Urnis on 5 valget ja 4 musta palli. Sellest võetakse järjest välja 2 palli. Leidke tõenäosus, et mõlemad pallid on valged.
Otsus:
5 valget, 4 musta palli
P(A 1) - joonistatud valge pall

P(A 2) on tõenäosus, et ka teine ​​kuul on valge

P(A) – järjestikku valitud valged pallid

Näide 3a. Pakis on 2 võltsitud ja 8 päris pangatähte. Pakist tõmmati järjest välja 2 rahatähte. Leidke tõenäosus, et mõlemad on valed.
Otsus:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Näide 4. Seal on 10 urni. 9 urni sisaldavad 2 musta ja 2 valget palli. 1 urnis on 5 valget ja 1 must. Juhuslikult võetud urnist tõmmatakse pall.
Otsus:
P(A)-? urnist, milles on 5 valget, võetakse valge pall
B - urnist väljavõtmise tõenäosus, kus 5 on valged
, - teistelt välja võetud
C 1 - valge palli ilmumise tõenäosus lvl 9-s.

C 2 - valge palli ilmumise tõenäosus, kui neid on 5

P(A 0) = P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Näide 5. 20 silindrilist rullikut ja 15 koonust. Korjaja võtab 1 rulli ja siis teise.
Otsus:
a) mõlemad rullid on silindrilised
P(C1)=; P(C2)=
C 1 - esimene silinder, C 2 - teine ​​silinder
P(A)=P(C1)P(C2)=
b) Vähemalt üks silinder
K 1 - esimene koonus.
K 2 - teine ​​koonus.
P(B)=P(C1)P(K2)+P(C2)P(K1)+P(C1)P(C2)
;

c) esimene silinder ja teine ​​mitte
P(C)=P(C 1)P(K 2)

e) Mitte ühtegi silindrit.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

e) Täpselt 1 silinder
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)

Näide 6. Karbis on 10 standardosa ja 5 defektset osa.
Kolm tükki loositakse juhuslikult.
a) Üks neist on defektne
P n (K) = C n k p k q n-k ,
P on defektsete toodete tõenäosus

q on standardosade tõenäosus

n=3, kolm osa


b) kaks kolmest osast on defektsed P(2)
c) vähemalt üks standard
P(0) - defekte pole

P=P(0)+ P(1)+ P(2) – tõenäosus, et vähemalt üks osa on standardne

Näide 7. 1. urnis on 3 valget ja 3 musta palli ning 2. urnis 3 valget ja 4 musta. 2 palli kantakse 1. urnist 2. urni ilma vaatamata ja seejärel tõmmatakse 2 palli 2. urnist. Kui suur on tõenäosus, et nad erinevad värvid?
Otsus:
Pallide ülekandmisel esimesest urnist on võimalikud järgmised võimalused:
a) tõmmatakse järjest 2 valget palli
P WB 1 =
Teises etapis on alati üks pall vähem, kuna esimeses etapis on juba üks pall välja võetud.
b) loositakse üks valge ja üks must pall
Olukord, kus esmalt tõmmati valge pall ja seejärel must
P eKr =
Olukord, kus enne tõmmati must pall ja siis valge
P BW =
Kokku: P CU 1 =
c) 2 musta palli tõmmatakse järjest
P HH 1 =
Kuna esimesest urnist viidi teise urni 2 palli, siis koguhulk pallid teises urnis on 9 (7 + 2). Sellest lähtuvalt otsime kõiki võimalikke valikuid:
a) Teisest urnist tõmmatakse kõigepealt valge ja seejärel must pall

P BC 2 P BB 1 - tähendab tõenäosust, et kõigepealt tõmmati valge, seejärel must pall, eeldusel, et esimesest urnist tõmmati järjest 2 valget palli. Seetõttu on valgete pallide arv antud juhul 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - tähendab tõenäosust, et kõigepealt tõmmati valge pall, seejärel must pall, eeldusel, et esimesest urnist tõmmati valged ja mustad pallid. Seetõttu on valgete pallide arv antud juhul 4 (3+1), mustade pallide arv aga viis (4+1).
P BC 2 P BC 1 - tähendab tõenäosust, et esmalt võeti välja valge pall, seejärel must pall eeldusel, et mõlemad mustad pallid võeti järjest esimesest urnist välja. Seetõttu on mustade pallide arv antud juhul 6 (4+2).

Tõenäosus, et tõmmatud 2 palli on erinevat värvi, on võrdne:

Vastus: P = 0,54

Näide 7a. 1. urnist, mis sisaldab 5 valget ja 3 musta palli, kantakse juhuslikult 2 palli 2. urni, milles on 2 valget ja 6 musta palli. Seejärel loositakse 2. urnist juhuslikult 1 pall.
1) Kui suur on tõenäosus, et urnist 2 välja tõmmatud pall on valge?
2) 2. urnist tõmmatud pall osutus valgeks. Arvutage tõenäosus, et pallid viidi urnist 1 urni 2. erinevat värvi.
Otsus.
1) Sündmus A - 2. urnist tõmmatud pall osutus valgeks. Mõelge selle sündmuse esinemise järgmistele võimalustele.
a) Esimesest urnist teise asetatakse kaks valget palli: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Teises urnis on 4 valget palli. Siis on teisest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Valged ja mustad pallid asetatakse esimesest urnist teise: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Teises urnis on 3 valget palli. Siis on teisest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) Esimesest urnist teise asetatakse kaks musta palli: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Teises urnis on 2 valget palli. Siis on teisest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Siis on tõenäosus, et 2. urnist tõmmatud pall osutus valgeks, võrdne:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) 2. urnist tõmmatud pall osutus valgeks, st. täieliku tõenäosusega võrdub P(A)=13/32.
Tõenäosus, et erinevat värvi (must ja valge) kuulid kanti teise urni ja valiti valgeks: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Näide 7b. Esimeses urnis on 8 valget ja 3 musta palli, teises urnis on 5 valget ja 3 musta. Esimesest valitakse juhuslikult üks pall ja teisest kaks palli. Pärast seda võetakse valitud kolmest pallist juhuslikult üks pall. See viimane pall osutus mustaks. Leia tõenäosus, et esimesest urnist valiti valge pall.
Otsus.
Vaatleme kõiki sündmuse A variante - kolmest pallist osutus väljatõmmatud pall mustaks. Kuidas sai juhtuda, et kolme palli seas oli must?
a) Esimesest urnist tõmmatakse must pall ja teisest urnist kaks valget palli.
P1 = (3/11) (5/8*4/7) = 15/154
b) Esimesest urnist tõmmatakse must pall ja teisest urnist kaks musta palli.
P2 = (3/11) (3/8*2/7) = 9/308
c) Esimesest urnist tõmmatakse must pall ning teisest urnist üks valge ja üks must pall.
P3 = (3/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) Esimesest urnist tõmmatakse valge pall ja teisest urnist võetakse kaks musta palli.
P4 = (8/11) (3/8*2/7) = 6/77
e) Esimesest urnist võeti välja valge pall ning teisest urnist üks valge ja üks must.
P5 = (8/11) (3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Kogutõenäosus on: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Tõenäosus, et valge urni hulgast valiti valge pall, on:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77 + 30/77 = 36/77
Siis on tõenäosus, et esimesest urnist valiti valge pall, eeldusel, et kolme palli seast valiti must, võrdub:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57

Näide 7c. Esimeses urnis on 12 valget ja 16 musta palli, teises urnis 8 valget ja 10 musta. Samal ajal tõmmatakse 1. ja 2. urnist pall, segatakse ja tagastatakse ükshaaval igasse urni. Seejärel tõmmatakse igast urnist pall. Need osutusid ühte värvi. Määrake tõenäosus, et 1. urni on jäänud sama palju valgeid palle, kui oli alguses.

Otsus.
Sündmus A - samal ajal loositakse pall 1. ja 2. urnist.
Esimesest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Esimesest urnist musta palli tõmbamise tõenäosus: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Teisest urnist valge palli tõmbamise tõenäosus: P2(B) = 8/18 = 4/9
Teisest urnist musta palli tõmbamise tõenäosus: P2(H) = 10/18 = 5/9

Sündmus A juhtus. Sündmus B – igast urnist loositakse pall. Pärast segamist on palli tagasipööramise tõenäosus valge või musta palli urni ½.
Mõelge sündmuse B variantidele - need osutusid sama värvi.

Esimeseks urniks
1) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati valge pall, eeldusel et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) esimesse urni pandi valge pall ja loositi valge pall eeldusel, et must pall tõmmati varem, P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati must, eeldusel, et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) esimesse urni pandi valge pall ja loositi must, eeldusel, et must pall tõmmati varem, P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) esimesse urni pandi must pall ja loositi valge pall eeldusel, et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) esimesse urni pandi must pall ja tõmmati valge, eeldusel, et eelnevalt oli tõmmatud must pall, P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) esimesse urni pandi must pall ja tõmmati must, eeldusel, et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) esimesse urni pandi must pall ja must pall tõmmati, eeldusel et must pall tõmmati varem, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Teiseks urniks
1) esimesse urni pandi valge pall ja tõmmati valge pall, eeldusel et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) esimesse urni pandi valge pall ja loositi valge pall eeldusel, et must pall tõmmati varem, P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) esimesse urni pandi valge pall ja loositi must, eeldusel, et valge pall oli tõmmatud varem, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) esimesse urni pandi valge pall ja loositi must, eeldusel, et must pall tõmmati varem, P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) esimesse urni pandi must pall ja loositi valge pall eeldusel, et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) esimesse urni pandi must pall ja tõmmati valge, eeldusel, et eelnevalt oli tõmmatud must pall, P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) esimesse urni pandi must pall ja must pall tõmmati, eeldusel et eelnevalt oli tõmmatud valge pall, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) esimesse urni pandi must pall ja must pall tõmmati, eeldusel, et must pall tõmmati varem, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Pallid osutusid sama värvi:
a) valge
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1 (BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1 (BW/A=B) = 21/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) must
P1 (H) = P1 (BH/A = B) + P1 (BH/A = B) + P1 (BH/A = B) + P1 (BH/A = B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1 (WB/A = B) + P1 (BH/A = B) + P1 (BH/A = B) + P1 (BH/A = B) = 5/42 + 1/7 + 11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Näide 7g. Esimeses kastis on 5 valget ja 4 sinist palli, teises vastavalt 3 ja 1 ning kolmandas vastavalt 4 ja 5. Juhuslikult valitakse kast ja sellest välja tõmmatud pall osutub siniseks. Kui suur on tõenäosus, et see pall on teisest kastist?

Otsus.
A – sinise õhupalli väljatõmbamise sündmus. Kaaluge kõiki sellise sündmuse tulemuse võimalusi.
H1 - tõmmatud pall esimesest kastist,
H2 - teisest kastist tõmmatud pall,
H3 – tõmmatud pall kolmandast kastist.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Vastavalt probleemi seisukorrale tingimuslikud tõenäosused sündmused A on:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Tõenäosus, et see pall on teisest kastist, on:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Näide 8. Viis 30 palliga karpi sisaldavad 5 punast palli (see on H1 kompositsioonikast), kuues teises 20 palliga karbis on 4 punast palli (see on H2 kompositsioonikast). Leidke tõenäosus, et juhuslikult tõmmatud punane pall sisaldub ühes esimesest viiest kastist.
Lahendus: Kogutõenäosuse valemi rakendamise ülesanne.

Tõenäosus, et ükskõik milline võetud pall on ühes esimesest viiest kastist:
P(H1) = 5/11
Tõenäosus, et ükskõik milline Võetud pall on ühes kuuest kastist:
P(H2) = 6/11
Sündmus juhtus – loositi punane pall. Seetõttu võib see juhtuda kahel juhul:
a) esimesest viiest kastist välja tõmmatud.
P 5 = 5 punast palli * 5 kasti / (30 palli * 5 kasti) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
b) välja tõmmatud kuuest teisest kastist.
P 6 = 4 punast palli * 6 kasti / (20 palli * 6 kasti) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
Kokku: P (P 5 / H 1) + P (P 6 / H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Seetõttu on tõenäosus, et juhuslikult tõmmatud punane pall sisaldub ühes esimesest viiest kastist:
P k.sh. (H1) = P(P5/H1) / (P(P5/H1) + P(P6/H2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Näide 9. Urnis on 2 valget, 3 musta ja 4 punast palli. Juhuslikult loositakse kolm palli. Kui suur on tõenäosus, et vähemalt kaks palli on sama värvi?
Otsus. Sündmustel on kolm võimalikku tulemust:
a) kolme loositud palli hulgast on vähemalt kaks valget.
P b (2) = P 2b
Nende katsete võimalike elementaarsete tulemuste koguarv on võrdne viiside arvuga, kuidas saab 9-st välja tõmmata 3 palli:

Leidke tõenäosus, et kolmest kuulist 2 on valged.

Valikute arv 2 valge palli hulgast:

Valikute arv 7 teise palli kolmanda palli hulgast valimiseks:

b) kolme loositud palli hulgast on vähemalt kaks musta (st kas 2 musta või 3 musta).
Leidke tõenäosus, et kolmest kuulist 2 on mustad.

Valikute arv 3 musta palli hulgast:

Valikute arv ühe palli 6 muu palli hulgast:


P 2h = 0,214
Leidke tõenäosus, et kõik valitud pallid on mustad.

P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

c) kolme loositud palli hulgast on vähemalt kaks punast (st kas 2 punast või 3 punast).
Leiame tõenäosuse, et valitud 3 palli hulgast on 2 punast.

Valikute arv 4 musta palli hulgast:

Valikute arv, mille hulgast valida 5 valge palli hulgast, ülejäänud 1 valge:


Leidke tõenäosus, et kõik valitud pallid on punased.

P kuni (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Siis on tõenäosus, et vähemalt kaks palli on sama värvi: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Näide 10. Esimene urn sisaldab 10 palli, millest 7 on valged; Teises urnis on 20 palli, millest 5 on valged. Igast urnist tõmmatakse juhuslikult üks pall ja seejärel nende kahe palli seast üks pall. Leidke tõenäosus, et tõmmatakse valge pall.
Otsus. Tõenäosus, et esimesest urnist tõmmati valge pall, on P(b)1 = 7/10. Vastavalt sellele on musta palli tõmbamise tõenäosus P(h)1 = 3/10.
Tõenäosus, et teisest urnist tõmmati valge pall, on P(b)2 = 5/20 = 1/4. Vastavalt sellele on musta palli tõmbamise tõenäosus P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Sündmus A – kahest pallist võetakse valge pall
Mõelge sündmuse A tulemusele.

1. Esimesest urnist tõmmatakse valge pall ja teisest urnist valge pall. Seejärel tõmmati nendest kahest pallist valge pall. P1=7/10*1/4=7/40
2. Esimesest urnist tõmmatakse valge pall ja teisest urnist must pall. Seejärel tõmmati nendest kahest pallist valge pall. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. Esimesest urnist tõmmatakse must pall ja teisest urnist valge pall. Seejärel tõmmati nendest kahest pallist valge pall. P3=3/10*1/4=3/40

Seega võib tõenäosuse leida ülaltoodud tõenäosuste summana.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Näide 11 . Kastis on n tennisepalli. Neist mängis m . Esimeses mängus võtsid nad kaks palli juhuslikult ja panid need pärast mängu tagasi. Teiseks geimiks võtsid nad samuti juhuslikult kaks palli. Kui suur on tõenäosus, et teine ​​mäng mängitakse uute pallidega?
Otsus. Mõelge sündmusele A – mängu mängiti teist korda uute pallidega. Vaatame, millised sündmused võivad selleni viia.
Tähistage g = n-m, uute kuulide arv enne väljatõmbamist.
a) Esimeseks mänguks loositakse kaks uut palli.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) esimeseks mänguks tõmbasid nad välja ühe uue ja ühe juba mängitud palli.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) esimeseks mänguks tõmmati välja kaks mängitud palli.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Mõelge teise mängu sündmustele.
a) Loositi kaks uut palli eeldusel P1: kuna esimeseks mänguks loositi juba uued pallid, siis teiseks geimiks vähenes nende arv 2 võrra, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Loositi kaks uut palli, alludes P2-le: kuna esimeseks mänguks loositi juba üks uus pall, siis teiseks geimiks vähenes nende arv 1 võrra, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 mg /(n(n-1))
c) Nad tõmbasid välja kaks uut palli tingimusel, et P3: kuna esimeses geimis uusi palli ei kasutatud, ei muutunud nende arv ka teises geimis g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Kogutõenäosus P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2 mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Vastus: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Näide 12 . Esimeses, teises ja kolmandas kastis on kummaski 2 valget ja 3 musta palli, neljandas ja viiendas kastis on kummaski 1 valge ja 1 must pall. Juhuslikult valitakse kast ja sellest tõmmatakse pall. Kui suur on tinglik tõenäosus, et neljas või viies kast valitakse, kui tõmmatud pall on valge?
Otsus.
Iga kasti valimise tõenäosus on P(H) = 1/5.
Mõelge sündmuse A tingimuslikele tõenäosustele - valge palli joonistamine.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Valge palli tõmbamise kogutõenäosus:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Tingimuslik tõenäosus, et neljas kast on valitud
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Tingimuslik tõenäosus, et viies kast on valitud
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Seega on tingimuslik tõenäosus, et valitakse neljas või viies kast
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Näide 13. Urnis on 7 valget ja 4 punast palli. Seejärel pandi urni veel üks valget või punast või musta värvi pall ja pärast segamist võeti üks pall välja. Ta osutus punaseks. Kui suur on tõenäosus, et a) asetati punane pall? b) must pall?
Otsus.
a) punane pall
Sündmus A – loositakse punane pall. Sündmus H – pane punane pall. Tõenäosus, et urni asetati punane pall P(H=K) = 1/3
Siis P(A|H=K)= 1/3 * 5/12 = 5/36 = 0,139
b) must pall
Sündmus A – loositakse punane pall. Sündmus H – pane must pall.
Tõenäosus, et urni asetati must pall, on P(H=H) = 1/3
Siis P(A|H=H)= 1/3*4/12 = 1/9 = 0,111

Näide 14. Seal on kaks urni pallidega. Ühel on 10 punast ja 5 sinist palli, teisel 5 punast ja 7 sinist palli. Kui suur on tõenäosus, et esimesest urnist tõmmatakse juhuslikult punane ja teisest sinine pall?
Otsus. Olgu sündmus A1 - esimesest urnist tõmmatakse punane pall; A2 - teisest urnist tõmmatakse sinine pall:
,
Sündmused A1 ja A2 on sõltumatud. Sündmuste A1 ja A2 ühise toimumise tõenäosus on võrdne

Näide 15. Seal on kaardipakk (36 tk). Juhuslikult loositakse kaks kaarti. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad väljatõmmatud kaardid on punased?
Otsus. Olgu sündmus A 1 esimene punase masti tõmmatud kaart. Sündmus A 2 – punase masti teine ​​väljatõmmatud kaart. B - mõlemad joonistatud punase masti kaardid. Kuna toimuma peavad nii sündmus A 1 kui ka sündmus A 2, siis B = A 1 · A 2 . Sündmused A 1 ja A 2 on sõltuvad, seega P(B):
,
Siit

Näide 16. Kahes urnis on palle, mis erinevad ainult värvi poolest ja esimeses urnis on 5 valget palli, 11 musta ja 8 punast ning teises vastavalt 10, 8, 6 palli. Mõlemast urnist tõmmatakse juhuslikult üks pall. Kui suur on tõenäosus, et mõlemad pallid on sama värvi?
Otsus. Olgu indeks 1 tähendab valge värv, indeks 2 - must värv; 3 - punane värv. Olgu sündmus A i - esimesest urnist tõmmatakse i-ndat värvi pall; sündmus B j - teisest urnist võeti j -ndat värvi pall; sündmus A – mõlemad pallid on sama värvi.
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. Sündmused A i ja B j on sõltumatud, samas kui A i · B i ja A j · B j ei ühildu i ≠ j korral. Seega
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Näide 17. Urnist tõmmatakse ükshaaval 3 valget ja 2 musta palli, kuni ilmub must. Kui suur on tõenäosus, et urnist tõmmatakse 3 palli? 5 palli?
Otsus.
1) tõenäosus, et urnist tõmmatakse 3 palli (st kolmas pall on must ja kaks esimest valged).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) tõenäosus, et urnist tõmmatakse 5 palli
selline olukord pole võimalik, sest ainult 3 valget palli.
P=0

Töö nr 1

juhuslikud sündmused

6 variant.

Ülesanne 1.1. Viska kolm münti. Leidke tõenäosus, et "vapp" on ainult kahel mündil.

Uuritud sündmus A – ainult kahel mündil kolmest on vapp. Mündil on kaks külge, mis tähendab, et kolme mündi viskamisel toimub 8. Kolmel juhul on vapp ainult kahel mündil. Sündmuse A tõenäosus arvutatakse järgmise valemi abil:

P(A) = m/n = 3/8.

Vastus: tõenäosus 3/8.

Ülesanne 1.2. Sõna EVENT koosneb kaartidest, millest igaühele on kirjutatud üks täht. Seejärel kaardid segatakse ja võetakse ükshaaval tagastamata välja. Leia tõenäosus, et tähed võetakse välja antud sõna järjekorras.

Test seisneb juhuslikus järjekorras tähtedega kaartide väljavõtmises ilma tagastamata. Elementaarsündmus on vastuvõetud tähtede jada. Sündmus A on kättesaamine õige sõna SÜNDMUS . Elementaarsündmused on 7 tähe permutatsioonid, mis tähendab, et valemi järgi on meil n= 7!

Sõna EVENT tähed ei kordu, seega pole võimalikud permutatsioonid, milles sõna ei muutu. Nende arv on 1.

Seega

P(A) = 1/7! = 1/5040.

Vastus: P(A) = 1/5040.

Ülesanne 1.3. Nagu eelmises ülesandes, leidke vastav tõenäosus juhuks, kui antud sõna on sõna ANTONOV ILYA.

See probleem lahendatakse sarnaselt eelmisega.

n = 11!; M = 2!*2! = 4.

P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Vastus: P(A) = 1/9979200.

Ülesanne 1.4. Urnis on 8 musta ja 6 valget palli. Juhuslikult loositakse 5 palli. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on:

a) 3 valget palli;

b) vähem kui 3 valget palli;

c) vähemalt üks valge pall.

8 tundi Testiks on 5 palli juhuslik loosimine. Elementaarne

6 b sündmust on kõik võimalikud kombinatsioonid 5 pallist 14-st. Nende arv on

a) A 1 - väljatõmmatud pallide hulgas on 3 valget. Niisiis, väljatõmmatud pallide hulgas on 3 valget ja 2 musta. Korrutamisreeglit kasutades saame

P (A 1) \u003d 560/2002 \u003d 280/1001.

b) A 2 - väljatõmmatud pallide hulgas on vähem kui 3 valget. See sündmus koosneb kolmest kokkusobimatust sündmusest:

1-s - väljatõmmatud pallide hulgas on ainult 2 valget ja 3 musta palli,

B 2 - väljatõmmatud pallide hulgas on ainult üks valge ja 4 musta palli

3-s - loositud pallide hulgas pole ühtegi valget palli, kõik 5 palli on mustad:

2-s 3-s.

Kuna sündmused B 1 , B 2 ja B 3 ei ühildu, võite kasutada valemit:

P (A 2) \u003d P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);

P (A 2) \u003d 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 \u003d 483/1001.

- väljatõmmatud pallide hulgas pole valgeid palle. Sel juhul:

P(A 3) = 1 - P(

) = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Vastus: P (A 1) \u003d 280/1001, P (A 2) \u003d 483/1001, P (A 3) = 973/1001.

Probleem 1.6. Esimeses urnis on 5 valget ja 7 musta palli ning teises urnis on 6 valget ja 4 musta palli. Esimesest urnist loositakse juhuslikult 2 ja teisest 2 palli. Leidke tõenäosus, et tõmmatud kuulide hulgast:

a) kõik sama värvi pallid;

b) ainult kolm valget palli;

c) vähemalt üks valge pall.

Urn 1 Urn 2 Pallid loositi mõlemast urnist iseseisvalt. Katsumused

5 b 6 b tõmbavad esimesest urnist kaks palli ja kaks palli

7h 4h teisest urnist. Algüritused on kombinatsioonid

2 või 2 vastavalt 12 või 10 pallist.

2 2 a) A 1 - kõik tõmmatud sama värvi pallid, st. nad on kõik valged

või üleni must.

Iga urni jaoks määratleme kõik võimalikud sündmused:

1-ga võetakse esimesest urnist välja 2 valget palli;

B 2 - esimesest urnist tõmmatakse 1 valge ja 1 must pall;

3 - 2 musta palli tõmmatakse esimesest urnist;

C 1 - teisest urnist tõmmatakse 2 valget palli;

C 2 - teisest urnist tõmmatakse 1 valge ja 1 must pall;

C 3 - teisest urnist tõmmatakse 2 musta palli.

Seega A 1 =

, kust sündmuste sõltumatust ja kokkusobimatust arvesse võttes saame

P (A 1) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3).

Leiame elementaarsündmuste arvu n 1 ja n 2 vastavalt esimese ja teise urni jaoks. Meil on:

Leidke sündmuste iga elemendi arv, mis määravad järgmised sündmused:

C 1: m 21 = C 2: m 22 = C 3: m 23 =

Seega

P (A 1) \u003d 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 \u003d 5/99 + 7/165 = 46/495.

b) A 2 - väljatõmmatud pallidest on ainult 3 valget. Sel juhul

C2 (B2C1);

P (A 2) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 2) * P (C 2)

P (A 2) \u003d 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 \u003d 33/99 \u003d 1/3.

c) A 3 - väljatõmmatud pallide hulgas on vähemalt üks valge.

- väljatõmmatud pallide hulgas pole ühtegi valget palli. Siis ) \u003d P (B 3) * P (C 3) \u003d 21/66 * 6/45 \u003d 7/165;

P(A 3) = 1 - P(

) = 1 - 7/165 = 158/165.

Vastus: P (A 1) \u003d 46/495, P (A 2) \u003d 1/3, P (A 3) \u003d 158/165.

Probleem 1.7. Urnis on 5 mustvalget palli, neile on lisatud 4 valget palli. Pärast seda tõmmatakse urnist juhuslikult välja 3 palli. Leidke tõenäosus, et kõik joonistatud pallid on valged, eeldades, et kõik võimalikud ettepanekud urni algsisu kohta on võrdselt tõenäolised.

Siin on kahte tüüpi teste: kõigepealt antakse urni esialgne sisu ja seejärel loositakse juhuslikult 3. pall ning teise testi tulemus sõltub esimese tulemusest. Seetõttu kasutatakse kogu tõenäosuse valemit.

sündmus A – juhuslikult loositakse välja 3 valget palli. Selle sündmuse tõenäosus sõltub sellest, kuidas originaalkompositsioon pallid urnis.

Mõelge sündmustele:

Aastal 1 - urnis oli 5 valget palli;

2-s - urnis oli 4 valget ja 1 must kuul;

Aastal 3 - urnis oli 3 valget ja 2 musta palli;

Aastal 4 - urnis oli 2 valget ja 3 musta palli;

Kell 5 - urnis oli 1 valge ja 4 musta palli.

Kell 6 - urnis oli 5 musta palli;

Elementaarsete tulemuste koguarv

Leiame sündmuse A tingimuslikud tõenäosused erinevatel tingimustel.

P (A / B 1) \u003d 1. P (A / B 2) \u003d 56/84 \u003d 2/3. P (A / B 3) \u003d 35/84 \u003d 5/12. P (A / B 4) \u003d 5/21. P (A / B 5) \u003d 5/42. P (A / B 6) \u003d 1/21.

P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Ülesanne 1.10. Montaažitsehhis on seadmega ühendatud elektrimootor. Elektrimootoreid tarnivad kolm tootjat. Laos on nende tehaste elektrimootoreid vastavalt koguses M 1 =13, M 2 =12 ja M 3 = 17 tk, mis võivad tõrgeteta töötada kuni garantiiaja lõpuni tõenäosusega 0,91 , vastavalt 0,82 ja 0,77. Töötaja võtab juhuslikult ühe elektrimootori ja kinnitab selle seadme külge. Leidke tõenäosus, et paigaldatud ja kuni garantiiaja lõpuni tõrgeteta töötava elektrimootori tarnis vastavalt esimene, teine ​​või kolmas tootja.