Dekorativni koordinatni sustav. Kartezijeve koordinate

Pravokutni sustav koordinate na ravninu tvore dvije međusobno okomite koordinatne osi X’X i Y’Y. Koordinatne osi sijeku se u točki O, koja se naziva ishodištem koordinata, na svakoj osi je odabran pozitivan smjer. Pozitivan smjer osi (u desnom koordinatnom sustavu) odabran je tako da kada je X'X os zakrenut u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90 °, njegov pozitivni smjer podudara se s pozitivnim smjerom osi Y'Y. Četiri kuta (I, II, III, IV) koje tvore koordinatne osi X'X i Y'Y nazivaju se koordinatnim kutovima (vidi sliku 1).

Položaj točke A na ravnini određen je dvjema koordinatama x i y. X-koordinata je jednaka duljini segmenta OB, y-koordinata je duljina segmenta OC u odabranim jedinicama. Segmenti OB i OC definirani su linijama povučenim iz točke A paralelno s osi Y’Y odnosno X’X. Koordinatu x nazivamo apscisom točke A, koordinatu y nazivamo ordinatom točke A. Zapisuju je ovako: A (x, y).

Ako se točka A nalazi u koordinatni kut I, tada točka A ima pozitivnu apscisu i ordinatu. Ako točka A leži u koordinatnom kutu II, tada točka A ima negativnu apscisu i pozitivnu ordinatu. Ako točka A leži u koordinatnom kutu III, tada točka A ima negativnu apscisu i ordinatu. Ako točka A leži u koordinatnom kutu IV, tada točka A ima pozitivnu apscisu i negativnu ordinatu.

Pravokutni koordinatni sustav u prostoru tvore tri međusobno okomite koordinatne osi OX, OY i OZ. Koordinatne osi sijeku se u točki O koja se naziva ishodištem, na svakoj osi odabire se pozitivan smjer označen strelicama i mjerna jedinica odsječaka na osi. Mjerne jedinice su iste za sve osi. OX - apscisna os, OY - ordinatna os, OZ - aplikatna os. Pozitivan smjer osi je odabran tako da kada se os OX zakrene u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za 90°, njen pozitivni smjer se podudara s pozitivnim smjerom osi OY, ako se ta rotacija promatra sa strane pozitivnog smjera osi OZ . Takav koordinatni sustav nazivamo desnim. Ako a palac desna ruka uzeti za smjer X, indeks za smjer Y, a srednji za smjer Z, tada se formira desni koordinatni sustav. Slični prsti lijeve ruke tvore lijevi koordinatni sustav. Desni i lijevi koordinatni sustav ne mogu se kombinirati tako da se odgovarajuće osi podudaraju (vidi sliku 2).

Položaj točke A u prostoru određen je s tri koordinate x, y i z. Koordinata x jednaka je duljini segmenta OB, koordinata y jednaka je duljini segmenta OC, koordinata z je duljina segmenta OD u odabranim jedinicama. Odsječci OB, OC i OD određeni su ravninama povučenim iz točke A paralelno s ravninama YOZ, XOZ i XOY. Koordinata x naziva se apscisa točke A, koordinata y naziva se ordinata točke A, koordinata z naziva se aplikata točke A. Zapisuju je ovako: A (a, b, c).

Horts

Pravokutni koordinatni sustav (bilo koje dimenzije) također je opisan skupom ortova, suusmjerenih s koordinatnim osima. Broj ortova jednak je dimenziji koordinatnog sustava, a sve su okomite jedna na drugu.

NA trodimenzionalni slučaj obično se označavaju takve orte ja j k ili e x e g e z . U ovom slučaju, u slučaju desnog koordinatnog sustava, vrijede sljedeće formule s vektorskim umnoškom vektora:

[ja j]=k ;
[j k]=ja ;
[k ja]=j .

Priča

René Descartes prvi je uveo pravokutni koordinatni sustav u svojoj Raspravi o metodi 1637. godine. Stoga se pravokutni koordinatni sustav naziva i - Kartezijev koordinatni sustav. Metoda koordinata za opisivanje geometrijskih objekata postavila je temelj analitičkoj geometriji. Pierre Fermat također je pridonio razvoju koordinatne metode, ali je njegov rad prvi put objavljen nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo u ravnini.

Metodu koordinata za trodimenzionalni prostor prvi je primijenio Leonhard Euler već u 18. stoljeću.

vidi također

Linkovi

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "kartezijanski koordinatni sustav" u drugim rječnicima:

Kartezijev koordinatni sustav, pravocrtni koordinatni sustav na ravnini ili u prostoru (obično s međusobno okomitim osima i istim mjerilom duž osi). Nazvan po R. Descartesu (vidi Rene's DECARTS). Descartes je prvi predstavio... enciklopedijski rječnik

KARTEZIJSKI KOORDINATNI SUSTAV- pravokutni koordinatni sustav u ravnini ili prostoru, u kojem su mjerila po osi ista, a koordinatne osi međusobno okomite. D. s. k. označava se slovima x:, y za točku na ravnini ili x, y, z za točku u prostoru. (Cm.……

KARTEAN KOORDINATNI SUSTAV, sustav koji je uveo René DECARTES, a u kojem je položaj točke određen udaljenošću od nje do linija (osi) koje se međusobno sijeku. U najjednostavnijoj verziji sustava, osi (koje su označene kao x i y) su okomite. ... ... Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

Kartezijev koordinatni sustav

Pravocrtni koordinatni sustav (vidi Koordinate) u ravnini ili prostoru (obično u istom mjerilu duž osi). Sam R. Descartes u "Geometriji" (1637) koristio je samo koordinatni sustav na ravnini (općenito koso). Često…… Velika sovjetska enciklopedija

Skup definicija koji implementira metodu koordinata, odnosno način određivanja položaja točke ili tijela pomoću brojeva ili drugih simbola. Skup brojeva koji određuju položaj određene točke nazivamo koordinatama te točke. U ... ... Wikipediji

kartezijanski sustav- Dekarto koordinačių sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. kartezijanski sustav; Kartezijev sustav koordinata vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Kartezijanski sustav, f; Kartezijanski sustav ... ... Fizikos terminų žodynas

KOORDINATNI SUSTAV- skup uvjeta koji određuju položaj točke na ravnoj liniji, na ravnini, u prostoru. Postoje razni S. to.: kartezijanski, kosi, cilindrični, sferni, krivolinijski itd. Linearne i kutne veličine koje određuju položaj ... ... Velika politehnička enciklopedija

Ortonormirani pravocrtni koordinatni sustav u euklidskom prostoru. D. p. s. k. na ravnini zadaju dvije međusobno okomite izravne koordinatne osi, na svakoj od kojih je odabran pozitivan smjer i segment jedinice ... Matematička enciklopedija

Pravokutni koordinatni sustav je pravocrtni koordinatni sustav s međusobno okomitim osima na ravninu ili u prostoru. Najjednostavniji i stoga najčešće korišteni koordinatni sustav. Vrlo se lako i izravno generalizira za ... ... Wikipediju

knjige

Računalna dinamika fluida. Teorijska osnova. Udžbenik, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Knjiga je posvećena sustavnom prikazu teorijske osnove za postavljanje ciljeva matematičko modeliranje strujanje tekućina i plinova. Posebna pažnja fokusiran na izgradnju...

Uređeni sustav od dvije ili tri osi koje se sijeku okomite jedna na drugu sa zajednički početak referenca (podrijetlo) i zajednička jedinica dužina se zove pravokutni kartezijev koordinatni sustav .

Opći kartezijev koordinatni sustav (afini koordinatni sustav) također može uključivati ne nužno okomite osi. U čast francuskog matematičara Renea Descartesa (1596.-1662.) nazvan je takav koordinatni sustav u kojem se na svim osima računa zajednička jedinica duljine, a osi su ravne.

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav na ravnini ima dvije osi pravokutni Kartezijev koordinatni sustav u prostoru - tri sjekire. Svaka točka na ravnini ili u prostoru određena je uređenim skupom koordinata – brojeva u skladu s jediničnom duljinom koordinatnog sustava.

Imajte na umu da, kao što slijedi iz definicije, postoji Kartezijev koordinatni sustav na ravnoj liniji, odnosno u jednoj dimenziji. Uvođenje kartezijevih koordinata na pravoj liniji jedan je od načina na koji se bilo kojoj točki na pravoj liniji pridružuje točno definiran realni broj, odnosno koordinata.

Metoda koordinata, koja je nastala u djelima Renéa Descartesa, označila je revolucionarno restrukturiranje cjelokupne matematike. mogućnost tumačenja algebarske jednadžbe(ili nejednadžbe) u obliku geometrijskih slika (grafova) i, obrnuto, tražiti rješenje geometrijski problemi korištenje analitičkih formula, sustava jednadžbi. Da, nejednakost z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy i nalazi se iznad ove ravnine za 3 jedinice.

Uz pomoć Kartezijevog koordinatnog sustava, pripadnost točke danoj krivulji odgovara činjenici da su brojevi x i g zadovoljiti neku jednadžbu. Dakle, koordinate točke na kružnici sa središtem u dana točka (a; b) zadovoljavaju jednadžbu (x - a)² + ( g - b)² = R² .

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav na ravnini

Formiraju dvije okomite osi na ravnini sa zajedničkim ishodištem i istom jedinicom mjerila Kartezijev koordinatni sustav na ravnini . Jedna od tih osi naziva se os Vol, ili x-os , drugi - os Joj, ili y-os . Te se osi nazivaju i koordinatnim osima. Označimo sa Mx i Mg odnosno projekcija proizvoljne točke M na osovini Vol i Joj. Kako doći do projekcija? Prođite kroz točku M Vol. Ova linija siječe os Vol u točki Mx. Prođite kroz točku M ravna linija okomita na os Joj. Ova linija siječe os Joj u točki Mg. To je prikazano na donjoj slici.

x i g bodova M zvat ćemo redom veličine usmjerenih segmenata OMx i OMg. Vrijednosti ovih usmjerenih segmenata izračunavaju se redom kao x = x0 - 0 i g = g0 - 0 . Kartezijeve koordinate x i g bodova M apscisa i ordinata . Činjenica da je točka M ima koordinate x i g, označava se na sljedeći način: M(x, g) .

Koordinatne osi dijele ravninu na četiri kvadrant , čija je numeracija prikazana na donjoj slici. Također označava raspored znakova za koordinate točaka, ovisno o njihovom položaju u jednom ili drugom kvadrantu.

Uz kartezijeve pravokutne koordinate u ravnini često se razmatra i polarni koordinatni sustav. O načinu prijelaza iz jednog koordinatnog sustava u drugi - u lekciji polarni koordinatni sustav .

Pravokutni Kartezijev koordinatni sustav u prostoru

Kartezijeve koordinate u prostoru uvode se u potpunoj analogiji s Kartezijevim koordinatama na ravnini.

Tri međusobno okomite osi u prostoru (koordinatne osi) sa zajedničkim ishodištem O i isti oblik jedinice mjerila Kartezijev pravokutni koordinatni sustav u prostoru .

Jedna od tih osi naziva se os Vol, ili x-os , drugi - os Joj, ili y-os , treća - os Oz, ili primijeniti os . Neka Mx, Mg Mz- projekcije proizvoljne točke M mjesta na osi Vol , Joj i Oz odnosno.

Prođite kroz točku M VolVol u točki Mx. Prođite kroz točku M ravnina okomita na os Joj. Ova ravnina siječe os Joj u točki Mg. Prođite kroz točku M ravnina okomita na os Oz. Ova ravnina siječe os Oz u točki Mz.

kartezijanski pravokutne koordinate x , g i z bodova M zvat ćemo redom veličine usmjerenih segmenata OMx, OMg i OMz. Vrijednosti ovih usmjerenih segmenata izračunavaju se redom kao x = x0 - 0 , g = g0 - 0 i z = z0 - 0 .

Kartezijeve koordinate x , g i z bodova M nazivaju se prema tome apscisa , ordinata i aplikacija .

Uzete u paru, koordinatne osi nalaze se u koordinatnim ravninama xOy , yOz i zOx .

Zadaci o točkama u Kartezijevom koordinatnom sustavu

Primjer 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Odredite koordinate projekcija tih točaka na x-os.

Riješenje. Kao što proizlazi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na x-os nalazi se na samoj x-osi, odnosno osi Vol, pa stoga ima apscisu jednaku apscisi same točke i ordinatu (koordinatu na osi Joj, koju x-os siječe u točki 0), jednaka nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate ovih točaka na x-osi:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Primjer 2 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Odredite koordinate projekcija tih točaka na y-os.

Riješenje. Kao što proizlazi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na y-os nalazi se na samoj y-osi, odnosno osi Joj, pa stoga ima ordinatu jednaku ordinati same točke i apscisu (koordinatu na osi Vol, koju y-os siječe u točki 0), jednaka nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate ovih točaka na y-osi:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Primjer 3 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Vol .

Vol Vol Vol, imat će istu apscisu kao dana točka, a ordinata jednaka apsolutna vrijednost ordinata zadane točke, a predznakom joj nasuprot. Tako dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na os Vol :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Riješite sami zadatke o Kartezijevom koordinatnom sustavu, a zatim pogledajte rješenja

Primjer 4 Odredite u kojim se kvadrantima (četvrtinama, figuri s kvadrantima - na kraju odlomka "Pravokutni kartezijev koordinatni sustav na ravnini") može nalaziti točka. M(x; g) , ako

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − g = 0 ;

4) x + g = 0 ;

5) x + g > 0 ;

6) x + g < 0 ;

7) x − g > 0 ;

8) x − g < 0 .

Primjer 5 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Odredite koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na os Joj .

Nastavljamo zajedno rješavati probleme

Primjer 6 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Odredite koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na os Joj .

Riješenje. Rotirajte 180 stupnjeva oko osi Joj usmjeren odsječak od osi Joj do ove točke. Na slici, gdje su označeni kvadranti ravnine, vidimo da je točka simetrična zadanoj u odnosu na os Joj, imat će istu ordinatu kao dana točka, i apscisu jednaku u apsolutnoj vrijednosti apscisi dane točke, a suprotnog predznaka od nje. Tako dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na os Joj :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Primjer 7 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu na ravnini

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Odredite koordinate točaka koje su simetrične tim točkama u odnosu na ishodište.

Riješenje. Rotiramo za 180 stupnjeva oko ishodišta usmjerenog segmenta koji ide od ishodišta do zadane točke. Na slici, gdje su označeni kvadranti ravnine, vidimo da će točka simetrična danoj s obzirom na ishodište koordinata imati apscisu i ordinatu jednaku apsolutnoj vrijednosti apscisi i ordinati dane točke , ali suprotnog predznaka od njih. Tako dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih tim točkama u odnosu na ishodište:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Primjer 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Pronađite koordinate projekcija ovih točaka:

1) u avionu Oxy ;

2) do aviona Oxz ;

3) do aviona Oyz ;

4) na apscisnoj osi;

5) na y-osi;

6) na osi aplikacije.

1) Projekcija točke na ravninu Oxy nalazi se na samoj ovoj ravnini, te stoga ima apscisu i ordinatu jednaku apscisi i ordinati dane točke, a aplikatu jednaku nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate projekcija tih točaka na Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projekcija točke na ravninu Oxz nalazi se na samoj ovoj ravnini, te stoga ima apscisu i aplikat jednak apscisi i aplikat dane točke, a ordinatu jednaku nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate projekcija tih točaka na Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Projekcija točke na ravninu Oyz nalazi se na samoj ovoj ravnini, te stoga ima ordinatu i aplikat jednak ordinati i aplikat dane točke, a apscisu jednaku nuli. Tako dobivamo sljedeće koordinate projekcija tih točaka na Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Kao što proizlazi iz teorijskog dijela ove lekcije, projekcija točke na x-osu nalazi se na samoj x-osi, odnosno osi Vol, te stoga ima apscisu jednaku apscisi same točke, a ordinata i aplikata projekcije jednake su nuli (budući da osi ordinata i aplikata sijeku apscisu u točki 0). Dobivamo sljedeće koordinate projekcija ovih točaka na x-osu:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Projekcija točke na y-osu nalazi se na samoj y-osi, odnosno osi Joj, te stoga ima ordinatu jednaku ordinati same točke, a apscisa i aplikata projekcije jednake su nuli (budući da apscisa i aplikata osi sijeku ordinatnu os u točki 0). Dobivamo sljedeće koordinate projekcija ovih točaka na y-osu:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Projekcija točke na aplikacionu os nalazi se na samoj aplikatnoj osi, odnosno osi Oz, te stoga ima aplikat jednak aplikatu same točke, a apscisa i ordinata projekcije jednake su nuli (budući da apscisa i ordinatna os sijeku aplikatnu os u točki 0). Dobivamo sljedeće koordinate projekcija tih točaka na apliciranu os:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Primjer 9 Točke su dane u Kartezijevom koordinatnom sustavu u prostoru

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Odredite koordinate točaka koje su simetrične tim točkama u odnosu na:

1) ravnina Oxy ;

2) ravnina Oxz ;

3) ravnina Oyz ;

4) apscisna os;

5) y-os;

6) osovina aplikacije;

7) ishodište koordinata.

1) "Pomaknite" točku s druge strane osi Oxy Oxy, imat će apscisu i ordinatu jednaku apscisi i ordinati dane točke, i aplikat koji je po veličini jednak aplikatu dane točke, ali suprotnog predznaka od nje. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima u odnosu na ravninu Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Pomaknite" točku s druge strane osi Oxz za istu udaljenost. Prema slici koja prikazuje koordinatni prostor vidimo da je točka simetrična zadanoj u odnosu na os Oxz, imat će apscisu i aplikat jednak apscisi i aplikat dane točke, a ordinatu jednaku veličini ordinati dane točke, ali suprotnog predznaka od nje. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima u odnosu na ravninu Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Pomaknite" točku s druge strane osi Oyz za istu udaljenost. Prema slici koja prikazuje koordinatni prostor vidimo da je točka simetrična zadanoj u odnosu na os Oyz, imat će ordinatu i aplikat jednak ordinati i aplikati dane točke, a apscisu jednaku veličini apscisi dane točke, ali suprotnog predznaka od nje. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima u odnosu na ravninu Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Po analogiji sa simetričnim točkama na ravnini i točkama u prostoru simetričnim podacima u odnosu na ravnine, napominjemo da u slučaju simetrije oko neke osi Kartezijevog koordinatnog sustava u prostoru, koordinata na osi oko koje je postavljena simetrija će zadržati svoj predznak, a koordinate na druge dvije osi bit će iste u apsolutnoj vrijednosti kao koordinate zadane točke, ali suprotnog predznaka.

4) Apscisa će zadržati svoj predznak, dok će ordinata i aplikata promijeniti predznak. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima o x-osi:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinata će zadržati predznak, dok će apscisa i aplikata promijeniti predznak. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima o y-osi:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplikata će zadržati svoj predznak, a apscisa i ordinata će promijeniti predznak. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka simetričnih podacima o apliciranoj osi:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Po analogiji sa simetrijom u slučaju točaka na ravnini, u slučaju simetrije oko ishodišta, sve koordinate točke simetrične danoj bit će jednake u apsolutnoj vrijednosti koordinatama dane točke, ali suprotne u znak im. Dakle, dobivamo sljedeće koordinate točaka koje su simetrične podacima u odnosu na ishodište.

U II stoljeću prije Krista. grčki znanstvenik Hiparh predložio je zaokružiti na karti Zemlja paralele i meridijani, pokrivajući ga kao uvjetnom mrežom i unesite zemljopisne koordinate- zemljopisna širina i dužina.

Istina, i prije toga, astronomi su koristili ovu tehniku, proučavajući nebeski svod.

U II stoljeću nove ere. poznati starogrčki astronom i matematičar Klaudije Ptolomej aktivno je koristio zemljopisnu dužinu i širinu kao geografske koordinate.
Ali sistematizirao je te koncepte u 17. stoljeću Rene Descartes.

Rene Descartes (1596. - 1650.) - francuski matematičar, filozof, fizičar i fiziolog.
Upravo je on 1637. izumio koordinatni sustav koji se koristi u cijelom svijetu i poznat je svakom školarcu. Naziva se još i "Kartezijski koordinatni sustav".

Kakva je osoba bio Descartes?

Descartes je potekao iz plemićka obitelj i bio je najmlađi (treći) sin u obitelji. Rođen je 1596. godine u Francuskoj. Majka mu je umrla kada je imao 1 godinu. Rene je dobio super osnovno obrazovanje na prestižnom koledžu La Fleche. Ovdje je studirao kod isusovačkih svećenika.

Tijekom svojih deset godina na koledžu, Descartes je stekao vještine pisanja, proučavao glazbene i dramske umjetnosti, pa čak i savladao tako plemenite potrage kao što su jahanje i mačevanje.
Nakon što je proveo još dvije godine na Sveučilištu u Poitiersu, dobio je stupanj na području pravosuđa, ali je napustio odvjetničku karijeru.
Rene se upisao Vojna služba i počeo intenzivno putovati Europom.

Descartes je potom dvadesetak godina živio u Nizozemskoj. Tolerantni Nizozemci u sedamnaestom stoljeću dobro su prošli bez stvari poput inkvizicije, krivovjerja, lomače i spaljivanja na lomačama, koje su prijetile svim europskim izvornim misliocima. Ovdje, za razliku od drugih zemalja, nije bilo potrebno platiti za svoje ideje.
Descartes vodi opsežnu prepisku s najboljim znanstvenicima u Europi, najviše proučava razne znanosti, piše knjige. Studirao je astronomiju i medicinu.

Veliki fiziolog Ivan Petrovič Pavlov smatrao je Descartesa pretečom

njihova istraživanja. Rene Descartes prvi je predložio koncept refleksa.

(Spomenik R. Descartesu. Kipar: I.F. Bezpalov. Adresa: Aleja poprsja velikih znanstvenika u Koltushiju.)

On posjeduje poznata fraza: "Cogito, ergo sum",
što na latinskom znači:
"Mislim dakle jesam."

Kartezijev koordinatni sustav

Za postavljanje kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava na ravninu biraju se međusobno okomite linije koje se nazivaju osi.
Točka sjecišta osi - "O" naziva se ishodištem.
Na svakoj osi (OX i OY) postavljen je pozitivan smjer i odabrana je jedinica mjerila (jedan segment).

Položaj točke A na ravnini određen je dvjema koordinatama x i y.
X-koordinata je jednaka duljini segmenta OB, y-koordinata je duljina segmenta OC u odabranim jedinicama.
Koordinata x naziva se apscisa točke A, koordinata y naziva se ordinata točke A.
Svaka točka na koordinatnoj ravnini odgovara paru brojeva: svojoj apscisi i ordinati: (x; y). I obrnuto: svaki par brojeva odgovara jednoj točki na koordinatnoj ravnini.

U prostoru u kojem se položaj točke može definirati kao njezina projekcija na fiksne linije koje se sijeku u jednoj točki, nazivamo ishodištem. Te se projekcije nazivaju koordinatama točaka, a pravci koordinatnim osima.

NA opći slučaj na ravnini Kartezijev koordinatni sustav ( afini sustav koordinate) dan je točkom O (ishodište koordinata) i njoj pridruženim uređenim parom vektora e 1 i e 2 (bazisnih vektora) koji ne leže na istoj ravnoj liniji. Pravci koji prolaze kroz ishodište u smjeru baznih vektora nazivaju se koordinatnim osima zadanog Kartezijevog koordinatnog sustava. Prva, određena vektorom e 1, naziva se os apscisa (ili os Ox), druga je os ordinata (ili os Oy). Sam Kartezijev koordinatni sustav označava se Oe 1 e 2 ili Oxy. Kartezijeve koordinate točke M (Slika 1) u Kartezijevom koordinatnom sustavu Oe 1 e 2 je uređeni par brojeva (x, y), koji su koeficijenti širenja vektora OM u odnosu na bazu (e 1, e 2 ), odnosno x i y su takvi da je OM \u003d xe 1 + ye 2. Broj x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Ako se na ravninu uvedu dva kartezijanska koordinatna sustava Oe 1 e 2 i 0'e' 1 e' 2 tako da se bazni vektori (e' 1 , e' 2 ) izraze preko baznih vektora (e 1 , e 2 ) po formulama

e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e’ 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

a točka O' ima koordinate (x 0, y 0) u Kartezijevom koordinatnom sustavu Oe 1 e 2 , zatim koordinate (x, y) točke M u Kartezijevom koordinatnom sustavu Oe 1 e2 i koordinate (x' , y') iste točke u kartezijevom koordinatnom sustavu O'e 1 e' 2 povezani su relacijama

x = a 11 x’ + a 21 y’ + x 0, y = a 12 x’+ a 22 y’+ y 0.

Kartezijev koordinatni sustav nazivamo pravokutnim ako je baza (e 1 , e 2 ) ortonormirana, odnosno vektori e 1 i e 2 su međusobno okomiti i imaju duljine, jednako jedan(vektori e 1 i e 2 se u ovom slučaju nazivaju orti). U pravokutnom kartezijevom koordinatnom sustavu, x i y koordinate točke M su veličine ortogonalne projekcije točke M na osi Ox odnosno Oy. U pravokutnom Kartezijevom koordinatnom sustavu Oxy, udaljenost između točaka M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) je √ (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2

Formule za prijelaz iz jednog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava Oxy u drugi pravokutni Kartezijev koordinatni sustav O’x’y’, čije je ishodište O’ Kartezijevog koordinatnog sustava Oxy O’(x0, y0), imaju oblik

x \u003d x’cosα - y’sinα + x 0, y \u003d x’sin α + y’cosα + y 0

x \u003d x’cosα + y’sinα + x 0, y \u003d x’sinα - y’cosα + y 0.

U prvom slučaju O'x'y' sustav nastaje rotiranjem baznih vektora e 1 ; e 2 pod kutom α i naknadnim prijenosom ishodišta koordinata O u točku O’ (slika 2),

a u drugom slučaju - zakretanjem baznih vektora e 1, e 2 za kut α, zatim reflektiranjem osi koja sadrži vektor e 2 u odnosu na ravnu crtu koja nosi vektor e 1, te pomicanjem ishodišta O u točku O ' (Slika 3).

Ponekad se koriste kosi kartezijanski koordinatni sustavi, koji se razlikuju od pravokutnih po tome što kut između vektora jedinične baze nije pravi.

Slično se definira opći Kartezijev koordinatni sustav (afini koordinatni sustav) u prostoru: postavlja se točka O - ishodište koordinata i njoj pridružena uređena trojka vektora e 1, e 2, e 3 (bazisnih vektora) koji ne leže u istoj ravnini. Kao i kod ravnine, određuju se koordinatne osi - os apscisa (os Ox), os ordinata (os Oy) i aplicirana os (os Oz) (slika 4.).

Kartezijev koordinatni sustav u prostoru označava se Oe 1 e 2 e 3 (ili Oxyz). Ravnine koje prolaze kroz parove koordinatnih osi nazivaju se koordinatnim ravninama. Kartezijev koordinatni sustav u prostoru nazivamo desnim ako je rotacija od osi Ox do osi Oy u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, ako ravninu Oxy gledate iz neke točke na pozitivnoj poluosi Oz, inače Kartezijeva koordinata sustav se naziva lijevi. Ako bazni vektori e 1 , e 2 , e 3 imaju duljine jednake jedan i u paru su okomiti, tada se Kartezijev koordinatni sustav naziva pravokutnim. Položaj jednog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava u prostoru u odnosu na drugi pravokutni Kartezijev koordinatni sustav iste orijentacije određen je s tri Eulerova kuta.

Kartezijev koordinatni sustav nazvan je po R. Descartesu, iako je u njegovom djelu "Geometrija" (1637.) razmatran kosi koordinatni sustav, u kojem su koordinate točaka mogle biti samo pozitivne. U izdanju 1659.-61., Geometrija je dopunjena radom nizozemskog matematičara I. Guddea, u kojem su po prvi put i pozitivni i negativne vrijednosti koordinate. Prostorni Kartezijev koordinatni sustav uveo je francuski matematičar F. Lair (1679). Početkom 18. stoljeća ustalio se zapis x, y, z za Kartezijeve koordinate.

KARTEZIJSKI KOORDINATNI SUSTAV KARTEZIJSKI KOORDINATNI SUSTAV

KARTOVSKI KOORDINATNI SUSTAV, pravocrtni koordinatni sustav u ravnini ili prostoru (obično s međusobno okomitim osima i istim mjerilom duž osi). Nazvan po R. Descartesu (cm. DECARTS Rene).
Descartes je prvi uveo koordinatni sustav koji se bitno razlikovao od danas općeprihvaćenog. Koristio je kosi koordinatni sustav u ravnini, razmatrajući krivulju u odnosu na neku ravnu liniju s fiksni sustav referenca. Položaj točaka krivulje postavljen je pomoću sustava paralelnih segmenata nagnutih ili okomitih na izvornu liniju. Descartes nije uveo drugu koordinatnu os, nije fiksirao referentni smjer od ishodišta. Tek u 18.st formirana moderno shvaćanje koordinatni sustav, nazvan po Descartesu.
***
Za postavljanje kartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava biraju se međusobno okomite linije koje se nazivaju osi. Točka raskrižja O naziva ishodištem koordinata. Svakoj osi je dan pozitivan smjer i odabrana je jedinica mjerila. Koordinate točke P smatraju se pozitivnima ili negativnima ovisno o tome na koju poluos pada projekcija točke P.
2D koordinatni sustav
P na ravnini u dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu nazivaju se uzeti s određenim predznakom udaljenosti (izražene u jedinicama mjerila) ove točke do dviju međusobno okomitih linija - koordinatnih osi ili projekcije radijus vektora r bodova P na dvije međusobno okomite koordinatne osi.
U dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu vodoravna os se naziva apscisna os (os Ox), okomita os- os ordinata (os OY). Na osi su odabrani pozitivni smjerovi Ox- desno, na osi OY- gore. Koordinate x i g nazivaju se apscisa odnosno ordinata točke. Oznaka P(a,b) znači da točka P na ravnini ima apscisu a i ordinatu b.
3D koordinatni sustav
Kartezijeve pravokutne koordinate točke P u trodimenzionalni prostor nazivaju se uzeti s određenim predznakom udaljenosti (izražene u jedinicama mjerila) ove točke do tri međusobno okomite koordinatne ravnine ili projekcije radijus vektora (cm. RADIJUS-VEKTOR) r bodova P tri međusobno okomite koordinatne osi.
Kroz proizvoljnu točku u prostoru O- ishodište koordinata – povlače se tri u paru okomite linije: os Ox(apscisna os), os OY(y-os), os OZ(aplikacijska os).
Na koordinatnim osima možete postaviti jedinični vektori ja, j, k duž osi VOL,OY, oz odnosno.
Ovisno o relativni položaj pozitivni smjerovi koordinatnih osi mogući su desni i lijevi koordinatni sustav. U pravilu se koristi desni koordinatni sustav. U desnom koordinatnom sustavu biraju se pozitivni pravci na sljedeći način: duž osi Ox- na promatraču; duž osi OY - desno; duž osi OZ - gore. U desnom koordinatnom sustavu najkraća rotacija od X-osi do Y-osi je u smjeru suprotnom od kazaljke na satu; ako se istodobno s takvom rotacijom gibamo po pozitivnom smjeru osi Z, tada dobivamo kretanje prema pravilu desnog vijka.
Oznaka P(a,b,c) znači da točka P ima apscisu a, ordinatu b i aplikat c.
Svaka trojka brojeva (a, b, c) specificira jednu točku P. Stoga, pravokutni Kartezijev koordinatni sustav uspostavlja korespondenciju jedan na jedan između skupa točaka u prostoru i skupa uređenih trojki realnih brojeva.
Osim koordinatnih osi postoje i koordinatne ravnine. Koordinatne plohe za koje jedna od koordinata ostaje konstantna ovdje su ravnine paralelne s koordinatnim ravninama, a koordinatne crte duž kojih se mijenja samo jedna koordinata su ravne crte, paralelne koordinatne osi. Koordinatne plohe sijeku se duž koordinatnih pravaca.
Koordinatna ravnina xOY sadrži sjekire Ox i OY, koordinatna ravnina YOZ sadrži sjekire OY i OZ, koordinatna ravnina xOZ sadrži sjekire Ox i OZ.

enciklopedijski rječnik. 2009 .

Pogledajte što je "CARTES KOORDINATNI SUSTAV" u drugim rječnicima:

Pravokutni ili Kartezijev koordinatni sustav je najčešći koordinatni sustav u ravnini i prostoru. Sadržaj 1 Pravokutni koordinatni sustav na ravnini ... Wikipedia

Kartezijev koordinatni sustav

knjige

Računalna dinamika fluida. Teorijska osnova. Udžbenik, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Knjiga je posvećena sustavnom prikazu teorijskih osnova za postavljanje problema matematičkog modeliranja strujanja fluida i plina. Posebna pažnja posvećena je pitanjima izgradnje ...