Kako pronaći nepoznati djelitelj s pravilom ostatka. Pravilo dijeljenja s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem, primjeri
Lako je naučiti dijete dijeliti u stupac. Potrebno je objasniti algoritam ove akcije i konsolidirati obrađeni materijal.
- Prema školski plan i program, dijeljenje stupcem počinje se objašnjavati djeci već u trećem razredu. Učenici koji sve shvaćaju “u hodu” brzo shvate ovu temu
- Ali, ako se dijete razboljelo i propustilo satove matematike ili nije razumjelo temu, roditelji moraju sami djetetu objasniti gradivo. Potrebno mu je što jasnije prenijeti informacije.
- mame i tate tijekom obrazovni proces djeca trebaju biti strpljiva, pokazujući takt prema svom djetetu. Ni u kojem slučaju ne smijete vikati na dijete ako mu nešto ne ide jer ga na taj način možete obeshrabriti u svakoj želji za učenjem
Važno: Da bi dijete razumjelo dijeljenje brojeva, mora dobro poznavati tablicu množenja. Ako dijete ne zna dobro množenje, neće razumjeti ni dijeljenje.
Tijekom dodatne nastave kod kuće mogu se koristiti varalice, ali dijete mora naučiti tablicu množenja prije nego što prijeđe na temu "Dijeljenje".
Pa kako objasniti djetetu kolonska podjela:
- Pokušajte prvo objasniti malim brojevima. Uzmite štapiće za brojanje, na primjer, 8 komada
- Pitajte dijete koliko je pari u ovom redu štapića? Točno - 4. Dakle, ako podijelite 8 sa 2, dobit ćete 4, a ako podijelite 8 sa 4, dobit ćete 2
- Neka dijete samo podijeli neki drugi broj, na primjer, složeniji: 24:4
- Kad beba savlada podjelu primarni brojevi, tada možete nastaviti s dijeljenjem troznamenkastih brojeva u jednoznamenkaste
Dijeljenje je djeci uvijek malo teže od množenja. Ali marljiv dodatna nastava kod kuće će pomoći djetetu da razumije algoritam ove akcije i drži korak sa svojim vršnjacima u školi.
Počnite jednostavno - dijeljenje s jednom znamenkom:
Važno: Računajte u mislima tako da dijeljenje ispadne bez ostatka, inače bi se dijete moglo zbuniti.
Na primjer, 256 podijeljeno s 4:
- Nacrtajte okomitu crtu na list papira i podijelite ga na pola s desne strane. Prvi broj napišite lijevo, a drugi desno iznad crte.
- Pitajte bebu koliko četvorki stane u dvojku - nikako
- Zatim uzmemo 25. Radi jasnoće, odvojite ovaj broj odozgo kutom. Ponovo pitajte dijete koliko četvorki stane u dvadeset pet? Tako je, šest. U donjem desnom kutu ispod crte pišemo broj "6". Dijete mora koristiti tablicu množenja za točan odgovor.
- Ispod 25 upiši broj 24, a podcrtavanjem zapiši odgovor - 1
- Pitajte opet: koliko četvorki stane u jedinicu – nikako. Zatim rušimo broj "6" na jedan
- Ispalo je 16 - koliko četvorki stane u ovaj broj? Točno - 4. U odgovoru uz "6" upisujemo "4".
- Pod 16 napišemo 16, podvučemo i ispadne "0", što znači da smo pravilno podijelili i odgovor je ispao "64"
Pismeno dijeljenje s dvije znamenke
Kada dijete savlada dijeljenje jednim brojem, možete krenuti dalje. Pisana podjela na dvoznamenkasti broj malo teže, ali ako beba razumije kako se ova radnja izvodi, tada mu neće biti teško riješiti takve primjere.
Važno: Počnite ponovno objašnjavati s jednostavne akcije. Dijete će naučiti pravilno odabrati brojeve i bit će mu lako dijeliti složene brojeve.
Izvedite zajedno ovu jednostavnu radnju: 184:23 - kako objasniti:
- Prvo podijelimo 184 s 20, ispada otprilike 8. Ali ne pišemo broj 8 u odgovoru, jer je ovo probni broj
- Provjerite odgovara li 8 ili ne. Pomnožimo 8 sa 23, ispada 184 - to je upravo broj koji imamo u djelitelju. Odgovor će biti 8
Važno: Da bi dijete razumjelo, pokušajte uzeti 9 umjesto osam, neka pomnoži 9 s 23, ispada 207 - to je više nego što imamo u djelitelju. Broj 9 nam ne pristaje.
Tako će postupno beba razumjeti dijeljenje i bit će mu lako dijeliti složenije brojeve:
- Podijelite 768 s 24. Odredite prvu znamenku privatnog - 76 ne dijelimo s 24, već s 20, ispada 3. Pišemo 3 kao odgovor ispod crte s desne strane
- Pod 76 upišemo 72 i povučemo crtu, upišemo razliku - ispalo je 4. Je li ovaj broj djeljiv s 24? Ne - rušimo 8, ispada 48
- Je li 48 djeljivo s 24? Tako je – da. Ispada 2, pišemo ovu brojku kao odgovor
- Ispalo je 32. Sada možete provjeriti jesmo li ispravno izveli akciju dijeljenja. Pomnožite u stupcu: 24x32, ispada 768, onda je sve točno
Ako je dijete naučilo dijeliti s dvoznamenkastim brojem, tada trebate ići na sljedeća tema. Algoritam za dijeljenje po troznamenkasti broj isti kao i algoritam za dijeljenje dvoznamenkastim brojem.
Na primjer:
- Podijelite 146064 sa 716. Prvo uzmemo 146 - pitajte dijete je li ovaj broj djeljiv sa 716 ili ne. Tako je - ne, onda uzimamo 1460
- Koliko će puta broj 716 stati u broj 1460? Točno - 2, pa ovu brojku upisujemo u odgovor
- Pomnožimo 2 sa 716, ispada 1432. Zapisujemo ovu brojku pod 1460. Ispada da je razlika 28, pišemo ispod crte
- Rušenje 6. Pitajte dijete - 286 je djeljivo sa 716? Tako je - ne, pa u odgovoru pored 2 pišemo 0. Rušimo još jedan broj 4.
- Podijelimo 2864 sa 716. Uzmemo 3 - malo, 5 - puno, što znači da dobijemo 4. Pomnožimo 4 sa 716, dobijemo 2864
- Upišite 2864 ispod 2864 za razliku od 0. Odgovor 204
Važno: Da biste provjerili ispravnost dijeljenja, pomnožite zajedno s djetetom u stupcu - 204x716 = 146064. Podjela je točna.
Vrijeme je da djetetu objasnite da dijeljenje može biti ne samo cijelo, već i s ostatkom. Ostatak je uvijek manji djelitelj ili njemu jednaka.
Dijeljenje s ostatkom treba objasniti terminima jednostavan primjer: 35:8=4 (ostatak 3):
- Koliko osmica stane u 35? Točno - 4. Ostaje 3
- Je li ovaj broj djeljiv s 8? Tako je – ne. Dakle, ostatak je 3.
Nakon toga dijete treba naučiti da dijeljenje možete nastaviti tako da broju 3 dodate 0:
- Odgovor je broj 4. Nakon njega pišemo zarez, jer dodavanje nule znači da će broj biti s razlomkom
- Ispalo je 30. Podijelite 30 s 8, ispada 3. Pišemo kao odgovor, a ispod 30 pišemo 24, podcrtavamo i pišemo 6
- Nosimo broj 0 do broja 6. Podijelimo 60 sa 8. Uzmimo svaki po 7, ispada 56. Napiši ispod 60 i zapiši razliku 4
- Dodamo 0 broju 4 i podijelimo s 8, ispada 5 - zapisujemo ga kao odgovor
- Oduzmemo 40 od 40, dobijemo 0. Dakle, odgovor je: 35:8=4,375
Savjet: Ako dijete nešto ne razumije, nemojte se ljutiti. Pustite da prođe nekoliko dana i pokušajte ponovno objasniti gradivo.
Satovi matematike u školi također će učvrstiti znanje. Proći će vrijeme a dijete će brzo i lako riješiti sve primjere dijeljenja.
Algoritam za dijeljenje brojeva je sljedeći:
- Procijenite broj koji će biti u odgovoru
- Pronađite prvu nepotpunu dividendu
- Odredite broj znamenki u kvocijentu
- Pronađite znamenke u svakoj znamenki kvocijenta
- Pronađite ostatak (ako postoji)
Prema ovom algoritmu, dijeljenje se izvodi i jednoznamenkastim brojevima i bilo kojim višeznamenkasti broj(dvoznamenkasti, troznamenkasti, četveroznamenkasti i tako dalje).
Kada učite s djetetom, često ga pitajte primjere za izradu procjene. Mora brzo izračunati odgovor u svom umu. Na primjer:
- 1428:42
- 2924:68
- 30296:56
- 136576:64
- 16514:718
Za konsolidaciju rezultata možete koristiti sljedeće igre podjele:
- "Puzzle". Napišite pet primjera na komad papira. Samo jedan od njih treba biti s točnim odgovorom.
Uvjet za dijete: Među više primjera samo je jedan točno riješen. Pronađite ga za minutu.
Video: Aritmetička igra za djecu zbrajanje oduzimanje dijeljenje množenje
Video: Edukativni crtić Matematika Učenje napamet tablice množenja i dijeljenja sa 2
U ovom ćemo članku analizirati cjelobrojno dijeljenje s ostatkom. Počnimo s opći princip dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom, formuliramo i dokazujemo teorem o djeljivosti cijelih brojeva s ostatkom, pratimo veze između djelitelja, djelitelja, nepotpunog kvocijenta i ostatka. Zatim ćemo najaviti pravila po kojima se provodi dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom te razmotriti primjenu tih pravila pri rješavanju primjera. Nakon toga ćemo naučiti kako provjeriti rezultat dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.
Navigacija po stranici.
Opća ideja dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom
Dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom smatrat ćemo generalizacijom dijeljenja s ostatkom prirodnih brojeva. To je zato što su prirodni brojevi sastavni dio cijeli brojevi.
Počnimo s pojmovima i oznakama koje se koriste u opisu.
Po analogiji s podjelom prirodni brojevi s ostatkom, pretpostavljamo da su rezultat dijeljenja s ostatkom dva cijela broja a i b (b nije jednako nuli) dva cijela broja c i d . Nazivaju se brojevi a i b djeljiv i šestar odnosno broj d je ostatak od dijeljenja a s b, a zove se cijeli broj c nepotpuno privatno(ili jednostavno privatni ako je ostatak nula).
Složimo se da je ostatak nenegativan cijeli broj, a njegova vrijednost ne prelazi b, odnosno (slične lance nejednakosti sreli smo kada smo govorili o usporedbi tri ili više cijelih brojeva).
Ako je broj c parcijalni kvocijent, a broj d ostatak dijeljenja cijelog broja a s cijelim brojem b, tada ćemo tu činjenicu ukratko napisati kao jednakost oblika a:b=c (ostatak d) .
Imajte na umu da kada se cijeli broj a podijeli s cijelim brojem b, ostatak može biti nula. U ovom slučaju kažemo da je a djeljivo s b bez traga(ili potpuno). Dakle, dijeljenje cijelih brojeva bez ostatka je poseban slučaj dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.
Također je vrijedno reći da se kod dijeljenja nule s nekim cijelim brojem uvijek radi o dijeljenju bez ostatka, jer će u tom slučaju kvocijent biti jednak nuli (vidi odjeljak o teoriji dijeljenja nule s cijelim brojem), a ostatak će također biti jednak nuli.
Odlučili smo se o terminologiji i zapisu, a sada shvatimo značenje dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom.
Dijeljenje negativnog cijelog broja a cijelim brojem pozitivan broj b se također može dati značenje. Da biste to učinili, smatrajte negativan cijeli broj dugom. Zamislimo takvu situaciju. Dug koji čini stavke moraju otplatiti b ljudi, dajući isti doprinos. Apsolutna vrijednost nepotpuni kvocijent c će u ovom slučaju odrediti iznos duga svake od tih osoba, a ostatak d će pokazati koliko će stavki ostati nakon otplate duga. Uzmimo primjer. Recimo da 2 osobe duguju 7 jabuka. Ako pretpostavimo da svaki od njih duguje 4 jabuke, tada će im nakon plaćanja duga ostati 1 jabuka. Ova situacija odgovara jednakosti (−7):2=−4 (preostalo 1) .
Dijeljenje s ostatkom proizvoljnog cijelog broja a s cijelim brojem negativan broj nećemo pridavati nikakva značenja, ali ćemo za sobom ostaviti pravo na postojanje.
Teorem o djeljivosti za cijele brojeve s ostatkom
Kada smo govorili o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom, saznali smo da su dividenda a, djelitelj b, parcijalni kvocijent c i ostatak d povezani jednakošću a=b c+d. Cijeli brojevi a , b , c i d dijele isti odnos. Tu vezu potvrđuje i sljedeće teorem o djeljivosti s ostatkom.
Teorema.
Bilo koji cijeli broj a može se predstaviti na jedinstven način preko cijelog broja i broja b različitog od nule u obliku a=b q+r , gdje su q i r neki cijeli brojevi, a .
Dokaz.
Dokažimo najprije mogućnost prikazivanja a=b·q+r .
Ako su cijeli brojevi a i b takvi da je a ravnomjerno djeljiv s b, tada po definiciji postoji cijeli broj q takav da je a=b q . U ovom slučaju za r=0 vrijedi jednakost a=b q+r.
Sada ćemo pretpostaviti da je b pozitivan cijeli broj. Biramo cijeli broj q na način da umnožak b·q ne prelazi broj a , a umnožak b·(q+1) je već veći od a . To jest, uzimamo q tako da su nejednakosti b q Preostaje dokazati mogućnost predstavljanja a=b q+r za negativno b . Budući da je modul broja b u ovom slučaju pozitivan broj, tada postoji prikaz za , gdje je q 1 neki cijeli broj, a r je cijeli broj koji zadovoljava uvjete . Tada, uz pretpostavku q=−q 1 , dobivamo traženu reprezentaciju a=b q+r za negativno b. Okrećemo se dokazu jedinstvenosti. Pretpostavimo da osim reprezentacije a=b q+r, q i r cijeli brojevi i , postoji još jedna reprezentacija a=b q 1 +r 1 , gdje su q 1 i r 1 neki cijeli brojevi, a q 1 ≠ q i . Nakon što od lijevog i desnog dijela prve jednakosti oduzmemo lijevi i desni dio druge jednakosti, dobivamo 0=b (q−q 1)+r−r 1 , što je ekvivalentno jednakosti r− r 1 =b (q 1 − q) . Zatim jednakost oblika Iz uvjeta i možemo zaključiti da . Budući da su q i q 1 cijeli brojevi i q≠q 1 , onda , odakle zaključujemo da Jednakost a=b c+d omogućuje vam da pronađete nepoznatu dividendu a ako su poznati djelitelj b, djelomični kvocijent c i ostatak d. Razmotrite primjer. Primjer. Čemu je jednaka dividenda ako njezino dijeljenje s cijelim brojem −21 rezultira nepotpunim kvocijentom 5 i ostatkom 12? Riješenje. Trebamo izračunati dividendu a kada znamo djelitelj b=−21 , parcijalni kvocijent c=5 i ostatak d=12 . Prelazeći na jednakost a=b c+d , dobivamo a=(−21) 5+12 . Promatrajući , prvo izvodimo množenje cijelih brojeva −21 i 5 prema pravilu množenja cijelih brojeva s različitim predznacima , nakon čega izvodimo zbrajanje cijelih brojeva s različitim predznacima : (−21) 5+12=−105+12 =−93 . Odgovor: −93
.
Odnosi između dividende, djelitelja, djelomičnog kvocijenta i ostatka također se izražavaju jednakostima oblika b=(a−d):c , c=(a−d):b i d=a−b·c . Ove jednakosti nam omogućuju izračunavanje djelitelja, parcijalnog kvocijenta i ostatka. Često trebamo pronaći ostatak dijeljenja cijelog broja a s cijelim brojem b kada su poznati dividenda, djelitelj i djelomični kvocijent, koristeći formulu d=a−b·c. Kako bismo izbjegli dodatna pitanja, analizirat ćemo primjer izračuna ostatka. Primjer. Nađite ostatak dijeljenja cijelog broja −19 s cijelim brojem 3 ako je poznato da je parcijalni kvocijent −7. Riješenje. Za izračunavanje ostatka dijeljenja koristimo formulu oblika d=a−b·c . Iz uvjeta imamo sve potrebne podatke a=−19 , b=3 , c=−7 . Dobivamo d=a−b c=−19−3 (−7)= −19−(−21)=−19+21=2 (razlika −19−(−21) koju smo izračunali pravilom oduzimanja negativnog cijeli broj). Odgovor: Kao što smo već više puta primijetili, pozitivni cijeli brojevi su prirodni brojevi. Dakle, dijeljenje s ostatkom prirodnih brojeva provodi se prema svim pravilima za dijeljenje s ostatkom prirodnih brojeva. Vrlo je važno moći lako izvesti dijeljenje s ostatkom prirodnih brojeva, budući da je ono ono što je temelj dijeljenja ne samo pozitivnih cijelih brojeva, već i osnova svih pravila dijeljenja s ostatkom proizvoljnih cijelih brojeva. S naše točke gledišta, najprikladnije je izvršiti dijeljenje stupcem, ova metoda vam omogućuje da dobijete i nepotpuni kvocijent (ili samo kvocijent) i ostatak. Razmotrimo primjer dijeljenja s ostatkom pozitivnih cijelih brojeva. Primjer. Izvršite dijeljenje s ostatkom 14671 s 54 . Riješenje. Izvršimo dijeljenje ovih pozitivnih cijelih brojeva sa stupcem: Ispostavilo se da je nepotpuni kvocijent 271, a ostatak 37. Odgovor: 14 671:54=271 (ostatak 37) . Formulirajmo pravilo koje vam omogućuje da izvršite dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja s negativnim cijelim brojem. Parcijalni kvocijent dijeljenja pozitivnog cijelog broja a s negativnim cijelim brojem b je suprotan djelomičnom kvocijentu dijeljenja a s modulom b, a ostatak dijeljenja a s b je ostatak dijeljenja s . Iz ovog pravila slijedi da je nepotpuni kvocijent dijeljenja pozitivnog cijelog broja s negativnim cijelim brojem nepozitivan cijeli broj. Prepravimo izraženo pravilo u algoritam za dijeljenje s ostatkom pozitivnog cijelog broja s negativnim cijelim brojem: Navedimo primjer korištenja algoritma za dijeljenje pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem. Primjer. Podijelimo s ostatkom pozitivnog cijelog broja 17 negativnim cijelim brojem −5 . Riješenje. Upotrijebimo algoritam dijeljenja s ostatkom pozitivnog cijelog broja s negativnim cijelim brojem. Dijeljenje Suprotan broj od 3 je −3. Dakle, traženi parcijalni kvocijent dijeljenja 17 s −5 je −3, a ostatak je 2. Odgovor: 17 :(−5)=−3 (ostatak 2). Primjer. Podijeliti 45 sa -15. Riješenje. Moduli dividende i djelitelja su 45, odnosno 15. Broj 45 je djeljiv sa 15 bez ostatka, a količnik je 3. Dakle, prirodni broj 45 djeljiv je cijelim negativnim brojem −15 bez ostatka, a kvocijent je jednak broju suprotnom od 3, odnosno −3. Doista, prema pravilu dijeljenja cijelih brojeva s različitim predznacima, imamo . Odgovor: 45:(−15)=−3
.
Formulirajmo pravilo dijeljenja s ostatkom negativnog cijelog broja s pozitivnim cijelim brojem. Da biste dobili nepotpuni kvocijent c dijeljenjem negativnog cijelog broja a s pozitivnim cijelim brojem b, trebate uzeti broj nasuprot nepotpunom kvocijentu dijeljenjem modula izvornih brojeva i od njega oduzeti jedan, nakon čega se izračunava ostatak d pomoću formule d=a−b c . Iz ovog pravila dijeljenja s ostatkom slijedi da je nepotpuni kvocijent dijeljenja negativnog cijelog broja s pozitivnim cijelim brojem negativan cijeli broj. Iz izraženog pravila slijedi algoritam dijeljenja s ostatkom negativnog cijelog broja a s pozitivnim cijelim brojem b: Analizirajmo rješenje primjera u kojem koristimo napisani algoritam dijeljenja s ostatkom. Primjer. Nađite djelomični kvocijent i ostatak negativnog cijelog broja −17 podijeljenog s pozitivnim cijelim brojem 5 . Riješenje. Modul djelitelja −17 je 17, a modul djelitelja 5 je 5. Dijeljenje 17 sa 5, dobivamo nepotpuni kvocijent 3 i ostatak 2. Suprotno od 3 je −3 . Oduzmite jedan od −3: −3−1=−4 . Dakle, željeni nepotpuni kvocijent je −4. Ostaje izračunati ostatak. U našem primjeru a=−17 , b=5 , c=−4 , tada d=a−b c=−17−5 (−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Dakle, djelomični kvocijent negativnog cijelog broja −17 podijeljen s pozitivnim cijelim brojem 5 je −4, a ostatak je 3. Odgovor: (−17):5=−4 (ostatak. 3) . Primjer. Podijelimo cijeli negativni broj −1 404 s prirodnim brojem 26 . Riješenje. Modul dividende je 1404, modul djelitelja je 26. Podijelite 1404 sa 26 u stupcu: Kako je modul djelitelja podijeljen s modulom djelitelja bez ostatka, izvorni cijeli brojevi se dijele bez ostatka, a željeni kvocijent jednak je broju suprotnom od 54, odnosno −54. Odgovor: (−1 404):26=−54
.
Formulirajmo pravilo dijeljenja s ostatkom cijelih negativnih brojeva. Da biste dobili nepotpuni kvocijent c dijeljenjem negativnog cijelog broja a s negativnim cijelim brojem b, morate izračunati nepotpuni kvocijent dijeljenjem modula izvornih brojeva i dodati mu jedan, nakon toga izračunati ostatak d pomoću formule d =a−b c . Iz ovog pravila slijedi da je nepotpuni kvocijent dijeljenja cijelih negativnih brojeva prirodan broj. Prepišimo glasovno pravilo u obliku algoritma za dijeljenje negativnih cijelih brojeva: Razmotrite primjenu algoritma za dijeljenje cijelih negativnih brojeva pri rješavanju primjera. Primjer. Nađite djelomični kvocijent i ostatak negativnog cijelog broja −17 podijeljenog s negativnim cijelim brojem −5. Riješenje. Koristimo odgovarajući algoritam dijeljenja s ostatkom. Modul dividende je 17, modul djelitelja je 5. Podjela 17 puta 5 daje nepotpuni kvocijent 3 i ostatak 2. Nepunom kvocijentu 3 dodajemo jedan: 3+1=4. Stoga je željeni nepotpuni kvocijent dijeljenja −17 s −5 4. Ostaje izračunati ostatak. U ovom primjeru a=−17 , b=−5 , c=4 , tada d=a−b c=−17−(−5) 4= −17−(−20)=−17+20=3 . Dakle, djelomični kvocijent negativnog cijelog broja −17 podijeljen s negativnim cijelim brojem −5 je 4, a ostatak je 3. Odgovor: (−17):(−5)=4 (ostatak 3) . Nakon što je obavljeno dijeljenje cijelih brojeva s ostatkom, korisno je provjeriti rezultat. Provjera se provodi u dvije faze. U prvoj fazi se provjerava da li je ostatak d nenegativan broj, te se provjerava uvjet. Ako su ispunjeni svi uvjeti prve faze provjere, tada možete prijeći na drugu fazu provjere, inače se može tvrditi da je negdje napravljena pogreška prilikom dijeljenja s ostatkom. U drugoj fazi provjerava se valjanost jednakosti a=b·c+d. Ako je ova jednakost istinita, tada je dijeljenje s ostatkom ispravno izvršeno, u suprotnom, negdje je napravljena pogreška. Razmotrimo rješenja primjera u kojima se provjerava rezultat dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom. Primjer. Kod dijeljenja broja -521 s -12 djelomični kvocijent je bio 44, a ostatak 7, provjerite rezultat. Riješenje. −2 za b=−3 , c=7 , d=1 . Imamo b c+d=−3 7+1=−21+1=−20. Dakle, jednakost a=b c+d nije točna (u našem primjeru a=−19 ). Zbog toga je dijeljenje s ostatkom izvršeno netočno. Razmotrimo jednostavan primjer: Ponekad se prirodni broj ne može u potpunosti podijeliti. Na primjer, razmotrite problem: Riješenje: Znamo da 16 puta 5 nije djeljivo. Najbliži manji broj koji je djeljiv s 5 je 15 s ostatkom 1. Broj 15 možemo napisati kao 5⋅3. Kao rezultat (16 - dividenda, 5 - djelitelj, 3 - djelomični kvocijent, 1 - ostatak). dobio formula dijeljenje s ostatkomšto se može učiniti provjera rješenja. a=
b⋅
c+
d Odgovor: Svako dijete će uzeti 3 igračke i jedna igračka će ostati. Ostatak uvijek mora biti manji od djelitelja. Ako je ostatak pri dijeljenju nula, tada je dividenda djeljiva. potpuno ili bez ostatka po djelitelju. Ako je pri dijeljenju ostatak veći od djelitelja, to znači da pronađeni broj nije najveći. Postoji veći broj koji će podijeliti dividendu, a ostatak će biti manji od djelitelja. Pitanja na temu "Dijeljenje s ostatkom":
Može li ostatak biti jednak djelitelju? Kako pronaći dividendu pomoću nepotpunog količnika, djelitelja i ostatka? Primjer #1:
Riješenje: 258 - djeljiv, b) Podijelite u stupac: 1873 - djeljiv, Zamijenimo u formulu i provjerimo jesmo li ispravno riješili primjer: Primjer #2:
Odgovor: Primjer #3:
Odgovor: Primjer #4:
Riješenje: b) Riješite pomoću formule: Zadatak:
Žica 4m. mora se izrezati na komade od 13 cm. Koliko će biti ovih komada? Riješenje: Odgovor: ispast će 30 komada i ostat će 10 cm žice. Na primjer 40:6=6 (4) U ovom primjeru dividenda -40, broj ispred znaka dijeljenja, 6-djelitelj, broj iza znaka dijeljenja ili kojim dijelimo dividendu. 6-kvocijent, ono što se dobije kao rezultat dijeljenja 4-ostatak, broj koji ostaje nakon dijeljenja U primjeru: 20 je djeljivo (ono što je djeljivo), 10 je djelitelj (ono što dijeli), 2 je kvocijent (ono što, kada se pomnoži djeliteljem, čini dividendu). Uzmimo još jedan primjer: 17: 3 = 5 (2), gdje je 17 - djeljivo, 3 - razdjelnik, 5 - nepotpuni količnik, 2 - ostatak. Zanimljivo je da je ostatak uvijek manji od nepotpunog kvocijenta. Kako se ne bi zabunili u određivanju količina s kojima se ima posla u procesu dijeljenja, ljudi su davno smislili prikladna imena za njih. Prije svega, sam broj. koji je podijeljen počeo se zvati Djeljiv, jer je ovaj broj podijeljen na dijelove, doslovno je djeljiv. Na primjer, berba voća. Broj koji pokazuje na koliko ćemo dijelova podijeliti Dividendu su počeli nazivati djelitelj. Njegov zadatak je podijeliti broj u nekoliko skupina kako bi svi imali dovoljno. Rezultat podjele nazvan je Private - ovaj broj pokazuje koliko je jedinica u svakoj grupi, hrpi voća, nakon što je cijeli urod podijeljen. Konačno, ostatak je onaj cijeli broj plodova koji se ne mogu jednako podijeliti među svima. Sakupljena 51 jabuka. Djeljivo je. Odlučili smo podijeliti tatu, mamu, kćer i sina na jednake dijelove, odnosno četvero. Ovo je razdjelnik. Podijelili su i dobili da svatko ima pravo na 12 jabuka - ovo je privatno. A tri jabuke se ne mogu podijeliti s četiri i ovo je ostatak. 51:4=12 (ostatak 3). Dividenda je broj koji se dijeli. Djelitelj je broj na koje ćemo podijeliti Kvocijent je broj koji nastaje dijeljenjem. Ostatak je broj koji ostaje pri dijeljenju (u ovom slučaju kvocijent će biti nepotpun) Na primjer Ovdje je 30 dividenda, 4 je djelitelj, 7 je količnik, 2 je ostatak Doista je lakše na raznim primjerima objasniti što su dividenda, djelitelj, kvocijent i ostatak. Ovdje je najjednostavnija opcija, sve je podijeljeno bez traga. Ili evo još jednog primjera. Kao što vidite, nema ništa komplicirano, djeca sve to uče u osnovnim razredima na satovima matematike. Dajemo odmah primjer (možete čak imati nekoliko primjera): 2). 21: 5 \u003d 4,2, ili 4 i 1 u ostatku. Dividenda je broj koji dijelimo (u našim primjerima dividende su 18 i 21). Djelitelj je broj kojim dijelimo dividendu (djelitelji u našim primjerima su 9 i 5). Kvocijent je rezultat dijeljenja (kvocijent u prvom primjeru je 2, au drugom primjeru 4,2). U prvom slučaju dividenda se dijeli bez ostatka, au drugom imamo ostatak - 1. S pojmovima dividende, djelitelja, kvocijenta i ostatka počinju učiti dijeljenje u srednjoj školi. Dakle, jednostavno je potrebno kada učite matematiku. I tako je dividenda broj koji se podvrgava dijeljenju. Djelitelj je broj kojim se dijeli, a prema tome količnik je rezultat dijeljenja. Ali to se događa kada djeljivi broj nije ravnomjerno djeljiv. Ovdje se radi o broju nastalom u procesu dijeljenja, koji je manji od djelitelja i koji se ne može cijeli podijeliti i naziva se ostatak. Primjer se može dati na sljedeći način. na primjer. 34: 5 = 6 (ostatak 4) U ovom slučaju, 34 je djeljiv 5 - razdjelnik. 6 - privatna grana 4 - ostatak. dividenda divisor kvocijent ostatak Sve su to dijelovi matematičke operacije - podjela. Pokušat ću s jednostavnim jezicima, kako su mi objasnili .. prije trideset godina ..) Dividenda- ovo je broj lijevo od znaka dijeljenja, koji dijelimo (dijelimo) Šestar- ovo je broj desno od znaka dijeljenja, broj kojim dijelimo Djeljivo (koje dijelove dijelimo, dijelimo) Privatni- ovo je broj iza znaka jednakosti, rezultat dijeljenja (brojčani izraz broja cijelih dijelova - djelitelja u djelitelju) Nepotpuni kvocijent- ovo je broj iza znaka jednakosti, rezultat dijeljenja kod kojeg je ostao dodatni broj koji je manji od djelitelja. Nepotpuni kvocijent je samo broj cijelih dijelova. Uvijek se piše s brojem ostatka. Ostatak- ovo je broj koji ostaje nedjeljiv, a koji je manji od djelitelja. A sada za primjere - 10: 5 = 2
U ovom primjeru, 10 je dividenda, 5 je djelitelj, 2 je kvocijent. 13: 5 = 2 (3)
U ovom primjeru, 13 je djeljiv, 5 je djelitelj, 2 je djelomični kvocijent, 3 je ostatak (obično se piše u zagradama pored djelomičnog kvocijenta). Ove koncepte aritmetike najlakše je razmotriti na primjeru. Primjer: 17: 8 = 2 (ostatak - 1). U ovom primjeru 17 je dividenda (broj koji se dijeli), 8 je djelitelj (ono čime dijelimo), 2 je ostatak (ono što dobijemo dijeljenjem), 1 je ostatak. Svi pojmovi navedeni u pitanju izravno su povezani s podjelom u matematici. Dakle, počnimo s dividendom – to znači broj koji će se podijeliti; Pod djeliteljem se već podrazumijeva broj kojim će se podijeliti postojeća dividenda. Kvocijent je rezultat dijeljenja. Ostatak je broj koji ostaje pri dijeljenju, pa ćemo imati nepotpun kvocijent. Evo primjera: Cilj: Formiranje vještina i umijeća dijeljenja s ostatkom, pronalaženje djeljivika nepotpunim količnikom i ostatkom dijeljenja, primjena znanja u rješavanju zadataka. Zadaci: Tip lekcije: Lekcija za učvršćivanje stečenog znanja korištenjem IKT-a. Nastavne metode: Metoda svladavanja znanja koja se temelji na kognitivnoj aktivnosti reproduktivnog karaktera. Struktura lekcije: Tijekom nastave 1. Skupljati bilježnice sa zadaćom. Prikupite gotove projekte “Stari načini množenja i dijeljenja”. 2. Prikaži prezentaciju. Poruka o temi, svrha lekcije, ciljevi lekcije, moto lekcije. Moto sata: „Podjela nam služi u praksi; 3. Usmeni rad. Usmeno brojanje – formiranje računalnih vještina kod učenika (Prilog 1). Prezentacija preuzeta sa stranice “Džep za matematičara” Sastavljena slika je ključ uspjeha u računalstvu. Usmeni rad na ponavljanju teorijskih aspekata teme “Dijeljenje s ostatkom” Koji su mogući ostaci pri dijeljenju s ostatkom s 8? Što znači ako je ostatak veći od djelitelja? Što znači ako je ostatak dijeljenja nula? 4. Motivacija i obnavljanje novog gradiva. Zadatak. U posjet baki došlo je 4 unučadi. Baka je odlučila svoje unuke počastiti slatkišima. U vazi su 23 bombona. Koliko će slatkiša dobiti svako unuče ako baka ponudi da podijeli bombone na jednake dijelove? Rješenje: 23:4=5 (3 stanice) Pitanja za studente: dividenda -> djelomični kvocijent -> djelitelj -> ostatak 5. Primarna konsolidacija i rješavanje problema. Izvršite dijeljenje s ostatkom provjerite: 882:40 Rad s udžbenikom: br. 536 usmeno; broj 537 usmeno; broj 538 usmeno; broj 518 6. Provjera usvojenosti gradiva – bušena kartica. Provjerite izvršenje zadataka bušene kartice. Postavite oznake: Manje od 4 točno riješena zadatka - “2” Skrenuti pozornost djece na analizu učinjenih pogrešaka. 7. Domaća zadaća: br. 540, 541, rad na projektu, pravilo. 8. Sažimanje lekcije izgraditi odgovarajući na sljedeća pitanja:
, a zbog svojstava modula broja - i jednakosti 
.
. Iz dobivenih nejednakosti i slijedi da jednakost oblika nemoguće pod našom pretpostavkom. Dakle, ne postoji drugi prikaz broja a , osim a=b·q+r .Odnosi između dividende, djelitelja, djelomičnog količnika i ostatka
Dijeljenje s ostatkom prirodnih brojeva, primjeri
Pravilo dijeljenja s ostatkom pozitivnog cijelog broja negativnim cijelim brojem, primjeri
Dijeljenje s ostatkom negativnog cijelog broja s pozitivnim cijelim brojem, primjeri
Pravilo dijeljenja s ostatkom cijelih negativnih brojeva, primjeri
Provjera rezultata dijeljenja cijelih brojeva s ostatkom
15:5=3
U ovom primjeru podijelili smo prirodni broj 15 potpuno 3, bez ostatka.
U ormaru je bilo 16 igračaka. U grupi je bilo petero djece. Svako dijete je uzelo isti broj igračaka. Koliko igračaka ima svako dijete?
Broj 16 podijelimo s 5 stupcem i dobijemo:
a - djeljiv
b - razdjelnik,
c - nepotpuni kvocijent,
d - ostatak.Ostatak podjele
Može li ostatak biti veći od djelitelja?
Odgovor: ne.
Odgovor: ne.
Odgovor: zamijenimo vrijednosti nepotpunog količnika, djelitelja i ostatka u formulu i nađemo dividendu. Formula:
a=b⋅c+d
Izvršite dijeljenje s ostatkom i provjerite: a) 258:7 b) 1873:8
a) Podijeli u stupac: 
7 - razdjelnik,
36 - nepotpuni količnik,
6 - ostatak. Ostatak manji od djelitelja 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
8 - razdjelnik,
234 - nepotpuni količnik,
1 je ostatak. Ostatak manji od djelitelja 1<8.
8⋅234+1=1872+1=1873
Koji se ostaci dobiju pri dijeljenju prirodnih brojeva: a) 3 b) 8?
a) Ostatak je manji od djelitelja, dakle manji od 3. U našem slučaju ostatak može biti 0, 1 ili 2.
b) Ostatak je manji od djelitelja, dakle, manji od 8. U našem slučaju ostatak može biti 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ili 7.
Koji se najveći ostatak može dobiti dijeljenjem prirodnih brojeva: a) 9 b) 15?
a) Ostatak je manji od djelitelja, dakle, manji od 9. Ali moramo označiti najveći ostatak. To jest, najbliži broj djelitelju. Ovaj broj je 8.
b) Ostatak je manji od djelitelja, dakle, manji od 15. Ali moramo označiti najveći ostatak. To jest, najbliži broj djelitelju. Ovaj broj je 14.
Nađite dividendu: a) a: 6 \u003d 3 (rem. 4) b) c: 24 \u003d 4 (rem. 11)
a) Riješite pomoću formule:
a=b⋅c+d
(a je dividenda, b je djelitelj, c je djelomični kvocijent, d je ostatak.)
a:6=3(ostatak.4)
(a je dividenda, 6 je djelitelj, 3 je nepotpuni kvocijent, 4 je ostatak.) Zamijenite brojeve u formuli:
a=6⋅3+4=22
Odgovor: a=22
a=b⋅c+d
(a je dividenda, b je djelitelj, c je djelomični kvocijent, d je ostatak.)
s:24=4(ostatak.11)
(c je dividenda, 24 je djelitelj, 4 je nepotpuni količnik, 11 je ostatak.) Zamijenite brojeve u formuli:
c=24⋅4+11=107
Odgovor: s=107
Prvo morate pretvoriti metre u centimetre.
4m.=400cm.
Možete dijeliti po stupcu ili u vašem umu dobivamo:
400:13=30 (ostatak 10)
Provjerimo:
13⋅30+10=390+10=400
2*17+33
5+5*12
3500:100+400
48-12:3
200-20*5
13*8-34:2
6*15-15*5
6*4-4:2
68:17+17*2
Vježbajte
Odgovor na pitanje
Koliki je ostatak od 57:8?
10
1
3
Koliki je ostatak od 90:8?
2
11
1
Odredite ostatak 1213:12
101
12
1
Navedite nepotpuni kvocijent 1213:12
101
11
1
Odaberite mogući ostatak nakon dijeljenja sa 6
5
7
10
Odaberite mogući ostatak nakon dijeljenja s 3
3
2
5
Djelitelj 8, djelomični količnik 11, ostatak 3. Što je dividenda?
35
41
91
Djelitelj 7, djelomični količnik 9, ostatak 6. Što je dividenda?
69
61
51
Govorništvo kao prototip novinarstva
Citati o Napoleonu - dslinkov — LiveJournal
Moja osveta Čovjek na buldožeru uništio je grad