Kako riješiti eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe. Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi: osnovne metode

Pri čemu uloga $b$ može biti običan broj, ili možda nešto teže. Primjeri? Da molim:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ četvorka ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\end(align)\]

Mislim da je značenje jasno: postoji eksponencijalna funkcija$((a)^(x))$, uspoređuje se s nečim, a zatim se traži da pronađe $x$. U posebno kliničkim slučajevima umjesto varijable $x$ mogu staviti neku funkciju $f\left(x \right)$ i time malo zakomplicirati nejednakost. :)

Naravno, u nekim slučajevima nejednakost može izgledati ozbiljnija. Na primjer:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Ili čak ovo:

Općenito, složenost takvih nejednakosti može biti vrlo različita, ali se na kraju ipak svode na jednostavnu konstrukciju $((a)^(x)) \gt b$. I nekako ćemo se nositi s takvim dizajnom (u posebno kliničkim slučajevima, kada nam ništa ne pada na pamet, pomoći će nam logaritmi). Stoga ćemo sada naučiti kako riješiti takve jednostavne konstrukcije.

Rješenje najjednostavnijih eksponencijalnih nejednadžbi

Pogledajmo nešto vrlo jednostavno. Na primjer, ovdje je:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Očito, broj s desne strane može se prepisati kao potencija dvojke: $4=((2)^(2))$. Dakle, izvorna nejednakost je prepisana u vrlo prikladnom obliku:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

I sada vas svrbe ruke da "prekrižite" dvojke, koje stoje u bazama stupnjeva, kako biste dobili odgovor $x \gt 2$. Ali prije nego išta prekrižimo, sjetimo se moći dvojke:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Kako vidimo što više stoji u eksponentu, veći je izlazni broj. "Hvala, Cap!" uzviknut će jedan od učenika. Događa li se drugačije? Nažalost, događa se. Na primjer:

\[((\lijevo(\frac(1)(2) \desno))^(1))=\frac(1)(2);\kvad ((\lijevo(\frac(1)(2) \ desno))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\lijevo(\frac(1)(2) \desno))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

I ovdje je sve logično: što više diploma, koliko se puta broj 0,5 pomnoži sam sa sobom (tj. podijeli na pola). Dakle, dobiveni niz brojeva je opadajući, a razlika između prvog i drugog niza je samo u bazi:

• Ako je baza stupnja $a \gt 1$, onda kako eksponent $n$ raste, broj $((a)^(n))$ će također rasti;
• Obrnuto, ako je $0 \lt a \lt 1$, kako eksponent $n$ raste, broj $((a)^(n))$ će se smanjivati.

Sumirajući ove činjenice, dobivamo najvažniju tvrdnju na kojoj se temelji cijela odluka. eksponencijalne nejednakosti:

Ako je $a \gt 1$, tada je nejednadžba $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednadžbi $x \gt n$. Ako je $0 \lt a \lt 1$, tada je nejednakost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna nejednadžbi $x \lt n$.

Drugim riječima, ako je baza veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti - znak nejednakosti se neće promijeniti. A ako je baza manja od jedan, tada se također može ukloniti, ali će se također morati promijeniti znak nejednakosti.

Imajte na umu da nismo razmotrili opcije $a=1$ i $a\le 0$. Jer u tim slučajevima postoji neizvjesnost. Pretpostavimo kako riješiti nejednadžbu oblika $((1)^(x)) \gt 3$? Jedinica na bilo koju moć opet će dati jedinicu - nikada nećemo dobiti tri ili više. Oni. nema rješenja.

IZ negativne osnove još zanimljivije. Razmotrimo, na primjer, sljedeću nejednakost:

\[((\lijevo(-2 \desno))^(x)) \gt 4\]

Na prvi pogled sve je jednostavno:

Ispravno? Ali ne! Dovoljno je umjesto $x$ zamijeniti par parnih i par neparnih brojeva da bismo bili sigurni da je rješenje pogrešno. Pogledaj:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Desna strelica ((\lijevo(-2 \desno))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\desna strelica ((\lijevo(-2 \desno))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Desna strelica ((\lijevo(-2 \desno))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Kao što vidite, znakovi se izmjenjuju. Ali postoji još nešto frakcijske potencije i drugi kositar. Kako biste, na primjer, naredili da se broji $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dva podignuto na korijen iz sedam)? Nema šanse!

Stoga, za određenost, pretpostavljamo da je u svim eksponencijalnim nejednadžbama (i jednadžbama, usput, također) $1\ne a \gt 0$. A onda se sve rješava vrlo jednostavno:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \lijevo(0 \lt a \lt 1 \desno). \\\end(align) \desno.\]

Općenito, još jednom zapamtite glavno pravilo: ako je baza u eksponencijalnoj jednadžbi veća od jedan, možete je jednostavno ukloniti; a ako je baza manja od jedan, također se može ukloniti, ali to će promijeniti znak nejednakosti.

Primjeri rješenja

Dakle, razmotrite nekoliko jednostavnih eksponencijalnih nejednakosti:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Primarni zadatak je isti u svim slučajevima: svesti nejednadžbe na najjednostavniji oblik $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. To ćemo sada učiniti sa svakom nejednadžbom, a ujedno ćemo ponoviti svojstva potencija i eksponencijalne funkcije. Pa, idemo!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Što se tu može? Pa, s lijeve strane već imamo demonstrativni izraz - ne treba ništa mijenjati. Ali s desne strane postoji nekakvo sranje: razlomak, pa čak i korijen u nazivniku!

Međutim, zapamtite pravila za rad s razlomcima i potencijama:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Što to znači? Prvo, lako se možemo riješiti razlomka pretvarajući ga u potenciju s negativan pokazatelj. I drugo, budući da je nazivnik korijen, bilo bi lijepo pretvoriti ga u stupanj - ovaj put s razlomačkim eksponentom.

Primijenimo ove radnje redom na desnu stranu nejednakosti i vidimo što će se dogoditi:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\lijevo(\sqrt(2) \desno))^(-1))=((\lijevo(((2)^(\frac( 1)(3))) \desno))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \lijevo(-1 \desno)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne zaboravite da se pri podizanju stupnja na potenciju zbrajaju eksponenti tih stupnjeva. I općenito, kada radite s eksponencijalnim jednadžbama i nejednadžbama, apsolutno je potrebno znati barem najjednostavnija pravila za rad s ovlastima:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\lijevo(((a)^(x)) \desno))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Zapravo, posljednje pravilo upravo smo se prijavili. Stoga će naša izvorna nejednakost biti prepisana na sljedeći način:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Sada se rješavamo dvojke u bazi. Budući da je 2 > 1, znak nejednakosti ostaje isti:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \lijevo(-\infty ;\frac(2)(3) \desno]. \\\end(align)\]

To je cijelo rješenje! Glavna poteškoća uopće nije u eksponencijalnoj funkciji, već u kompetentnoj transformaciji izvornog izraza: morate ga pažljivo i što je brže moguće dovesti u najjednostavniji oblik.

Razmotrimo drugu nejednakost:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Dobro Dobro. Ovdje čekamo decimalne razlomke. Kao što sam mnogo puta rekao, u svim izrazima s potencijama trebali biste se riješiti decimalnih razlomaka - često je to jedini način da vidite brzo i jednostavno rješenje. Evo čega ćemo se riješiti:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ desno))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\desna strelica ((\lijevo(\frac(1)(10) \desno))^(1-x)) \lt ( (\lijevo(\frac(1)(10) \desno))^(2)). \\\end(align)\]

Pred nama je opet najjednostavnija nejednadžba, pa čak i s bazom 1/10, tj. manje od jednog. Pa, uklanjamo baze, istovremeno mijenjajući znak iz "manje" u "veće", i dobivamo:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Dobili smo konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Imajte na umu da je odgovor upravo skup, a ni u kojem slučaju nije konstrukcija oblika $x \lt -1$. Jer formalno takva konstrukcija uopće nije skup, već nejednakost u odnosu na varijablu $x$. Da, vrlo je jednostavno, ali to nije rješenje!

Važna nota. Ova nejednakost mogla bi se riješiti na drugi način - svođenjem oba dijela na potenciju s bazom većom od jedan. Pogledaj:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\desna strelica ((\lijevo(((10)^(-1)) \desno))^(1-x)) \ lt ((\lijevo(((10)^(-1)) \desno))^(2))\Desna strelica ((10)^(-1\cdot \lijevo(1-x \desno))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Nakon takve transformacije ponovno dobivamo eksponencijalnu nejednadžbu, ali s bazom 10 > 1. A to znači da možete jednostavno precrtati deset - znak nejednakosti se neće promijeniti. Dobivamo:

\[\begin(align) & -1\cdot \lijevo(1-x \desno) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Kao što vidite, odgovor je potpuno isti. Istovremeno, spasili smo se od potrebe da mijenjamo znak i općenito zapamtimo neka pravila. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Ipak, neka vas to ne plaši. Što god da je u indikatorima, sama tehnologija rješavanja nejednakosti ostaje ista. Stoga prvo napominjemo da je 16 = 2 4 . Napišimo ponovno izvornu nejednakost uzimajući u obzir ovu činjenicu:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

hura! Imamo uobičajeno kvadrat nejednakosti! Znak se nigdje nije promijenio, jer je osnova dvojka - broj veći od jedan.

Funkcijske nule na brojevnom pravcu

Rasporedimo predznake funkcije $f\lijevo(x \desno)=((x)^(2))-7x+10$ - očito će njezin graf biti parabola s granama prema gore, tako da će biti "pluseva ” sa strane. Zanima nas područje gdje je funkcija manja od nule, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ je odgovor na izvorni problem.

Konačno, razmotrimo još jednu nejednakost:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Opet vidimo eksponencijalnu funkciju s decimalnim razlomkom u bazi. Pretvorimo ovaj razlomak u obični razlomak:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\lijevo(((5)^(-1)) \desno))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \lijevo(1+((x)^(2)) \desno)))\end(align)\]

NA ovaj slučaj upotrijebili smo napomenu danu ranije - smanjili smo bazu na broj 5\u003e 1 kako bismo pojednostavili našu daljnju odluku. Učinimo isto s desnom stranom:

\[\frac(1)(25)=((\lijevo(\frac(1)(5) \desno))^(2))=((\lijevo(((5)^(-1)) \ desno))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Prepišimo izvornu nejednakost, uzimajući u obzir obje transformacije:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \desno)))\ge ((5)^(-2))\]

Osnovice na obje strane su jednake i veće od jedan. S desne i lijeve strane nema drugih pojmova, pa samo “prekrižimo” petice i dobivamo vrlo jednostavan izraz:

\[\begin(align) & -1\cdot \lijevo(1+((x)^(2)) \desno)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Ovdje morate biti oprezni. Mnogi studenti vole jednostavno izvlačiti Korijen oba dijela nejednakosti i napišite nešto poput $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Ovo nikada ne biste trebali učiniti, budući da je korijen točnog kvadrata modul, a ni u kom slučaju originalna varijabla:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\lijevo| x\desno|\]

Ipak, rad s modulima nije najugodnije iskustvo, zar ne? Dakle, nećemo raditi. Umjesto toga, jednostavno pomaknemo sve članove ulijevo i riješimo uobičajenu nejednadžbu metodom intervala:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \lijevo(x-1 \desno)\lijevo(x+1 \desno)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\kvad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Opet označavamo dobivene točke na brojevnom pravcu i gledamo znakove:

Budući da smo rješavali nestrogu nejednadžbu, sve točke na grafu su osjenčane. Stoga će odgovor biti: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nije interval, već segment.

Općenito, želio bih napomenuti da u eksponencijalnim nejednakostima nema ništa komplicirano. Značenje svih transformacija koje smo danas izvršili svodi se na jednostavan algoritam:

• Pronađite bazu na koju ćemo svesti sve stupnjeve;
• Pažljivo izvršite transformacije da dobijete nejednadžbu oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Naravno, umjesto varijabli $x$ i $n$ može biti mnogo više složene funkcije, ali se značenje ovoga neće promijeniti;
• Precrtaj osnovice stupnjeva. U ovom slučaju, znak nejednakosti se može promijeniti ako je baza $a \lt 1$.

Zapravo, ovo je univerzalni algoritam za rješavanje svih takvih nejednakosti. A sve ostalo što će vam se na ovu temu ispričati samo su specifični trikovi i trikovi za pojednostavljenje i ubrzanje transformacije. Evo jednog od onih trikova o kojima ćemo sada. :)

metoda racionalizacije

Razmotrimo drugu skupinu nejednakosti:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\tekst( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\lijevo(\frac(1)(3) \desno))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\lijevo(\frac(1)(9) \desno))^(16-x)); \\ & ((\lijevo(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Pa, što je tako posebno na njima? Oni su također lagani. Iako, stani! Je li pi podignut na potenciju? Kakve gluposti?

I kako podići broj $2\sqrt(3)-3$ na potenciju? Ili $3-2\sqrt(2)$? Sastavljači zadataka očito su popili previše "Gloga" prije nego što su sjeli na posao. :)

Zapravo, nema ništa loše u ovim zadacima. Da vas podsjetim: eksponencijalna funkcija je izraz oblika $((a)^(x))$, gdje je baza $a$ bilo koja pozitivan broj, osim jedinice. Broj π je pozitivan - to već znamo. Brojevi $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ također su pozitivni - to je lako vidjeti ako ih usporedimo s nulom.

Ispada da se sve te "zastrašujuće" nejednakosti ne razlikuju od onih jednostavnih o kojima smo raspravljali gore? I oni to rade na isti način? Da, potpuno točno. Međutim, na njihovom primjeru želio bih razmotriti jedan trik koji štedi puno vremena samostalan rad i ispiti. Govorit ćemo o metodi racionalizacije. Pa pozor:

Svaka eksponencijalna nejednadžba oblika $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekvivalentna je nejednadžbi $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ desno) \gt 0 $.

To je cijela metoda :) Jeste li mislili da će biti neka sljedeća igra? Ništa slično ovome! Ali ova jednostavna činjenica, napisana doslovno u jednom retku, uvelike će pojednostaviti naš rad. Pogledaj:

\[\begin(matrica) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \lijevo(x+7-\lijevo(((x)^(2)) -3x+2 \desno) \desno)\cdot \lijevo(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )-1 \desno) \gt 0 \\\end(matrica)\]

Nema više eksponencijalnih funkcija! I ne morate pamtiti mijenja li se znak ili ne. Ali postoji novi problem: što učiniti s jebenim množiteljem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Ne znamo koja je točna vrijednost broja pi. Međutim, čini se da kapetan nagovještava očito:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\približno 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Općenito, točna vrijednost π nas ne muči puno - važno nam je samo shvatiti da u svakom slučaju $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. je pozitivna konstanta i s njom možemo podijeliti obje strane nejednakosti:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \desno) \gt 0 \\ & x+7-\lijevo(((x)^(2))-3x+2 \desno) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \lijevo(x-5 \desno)\lijevo(x+1 \desno) \lt 0. \\\end(align)\]

Kao što vidite, u određenom trenutku morali smo podijeliti s minus jedan i znak nejednakosti se promijenio. Na kraju sam kvadratni trinom proširio prema Vieta teoremu - očito je da su korijeni jednaki $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=- 1 $. Tada se sve rješava klasičnom metodom intervala:

Sve točke su izbušene jer je izvorna nejednakost stroga. Zanima nas područje s negativnim vrijednostima, pa je odgovor $x\in \left(-1;5 \right)$. To je resenje. :)

Prijeđimo na sljedeći zadatak:

\[((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Ovdje je sve jednostavno, jer je s desne strane jedinica. I sjećamo se da je jedinica bilo koji broj podignut na potenciju nule. Čak i ako je ovaj broj iracionalno izražavanje stoji u bazi s lijeve strane:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\desno))^(0)); \\ & ((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\lijevo(2\sqrt(3)-3 \desno))^(0)); \\\end(align)\]

Dakle, racionalizirajmo:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \lijevo(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot \lijevo(2\sqrt(3)-4 \desno) \lt 0; \\ & \lijevo(((x)^(2))-2x-0 \desno)\cdot 2\lijevo(\sqrt(3)-2 \desno) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Ostaje samo pozabaviti se znakovima. Množitelj $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ ne sadrži varijablu $x$ - to je samo konstanta i moramo otkriti njen predznak. Da biste to učinili, imajte na umu sljedeće:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\lijevo(\sqrt(3)-2 \desno) \lt 2\cdot \lijevo(2 -2 \desno)=0 \\\kraj(matrica)\]

Ispada da drugi faktor nije samo konstanta, već negativna konstanta! A kada se njime dijeli, predznak izvorne nejednakosti promijenit će se u suprotan:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\lijevo(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\lijevo(x-2 \desno) \gt 0. \\\end(align)\]

Sada sve postaje sasvim očito. Korijenje kvadratni trinom s desne strane: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Označimo ih na brojevnom pravcu i pogledamo predznake funkcije $f\lijevo(x \desno)=x\lijevo(x-2 \desno)$:

Zanimaju nas intervali označeni znakom plus. Ostaje još samo napisati odgovor:

Prijeđimo na sljedeći primjer:

\[((\lijevo(\frac(1)(3) \desno))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\lijevo(\frac(1)(9) \ desno))^(16-x))\]

Pa, ovdje je sve sasvim očito: baze su potencije istog broja. Stoga ću sve ukratko napisati:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Dolje \\ ((\lijevo(((3)^(-1)) \desno))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\lijevo(((3)^(-2)) \desno))^(16-x)) \\\end(matrica)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \lijevo(((x)^(2))+2x \desno))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lijevo(16-x\desno))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \lijevo(-((x)^(2))-2x-\lijevo(-32+2x \desno) \desno)\cdot \lijevo(3-1 \desno) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \lijevo(x+8 \desno)\lijevo(x-4 \desno) \lt 0. \\\end(align)\]

Kao što vidite, u procesu transformacija, morali smo množiti s negativan broj, pa se znak nejednakosti promijenio. Na samom kraju ponovno sam primijenio Vietin teorem za faktorizaciju kvadratnog trinoma. Kao rezultat toga, odgovor će biti sljedeći: $x\in \left(-8;4 \right)$ - oni koji žele to mogu provjeriti crtanjem brojevne crte, označavanjem točaka i brojanjem znakova. U međuvremenu ćemo prijeći na posljednju nejednakost iz našeg “skupa”:

\[((\lijevo(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Kao što vidite, u bazi je opet iracionalan broj, a jedinica je opet desno. Stoga našu eksponencijalnu nejednakost prepisujemo na sljedeći način:

\[((\lijevo(3-2\sqrt(2) \desno))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\lijevo(3-2\sqrt(2) \ desno))^(0))\]

Racionalizirajmo:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \lijevo(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot \lijevo(2-2\sqrt(2) \desno) \lt 0; \\ & \lijevo(3x-((x)^(2))-0 \desno)\cdot 2\lijevo(1-\sqrt(2) \desno) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Međutim, sasvim je očito da je $1-\sqrt(2) \lt 0$, budući da je $\sqrt(2)\približno 1,4... \gt 1$. Dakle, drugi faktor je opet negativna konstanta, kojom se mogu podijeliti oba dijela nejednakosti:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\kraj(matrica)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\lijevo(x-3 \desno) \lt 0. \\\end(align)\]

Promjena na drugu bazu

Poseban problem u rješavanju eksponencijalnih nejednakosti je potraga za "točnom" bazom. Nažalost, na prvi pogled na zadatak nije uvijek jasno što uzeti kao osnovu i što učiniti kao stupanj ove osnove.

Ali ne brinite: ovdje nema magije i "tajnih" tehnologija. U matematici se svaka vještina koja se ne može algoritmizirati može lako razviti kroz praksu. Ali za ovo morate riješiti probleme različite razine poteškoće. Na primjer, ovo su:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\lijevo(\frac(1)(3) \desno))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\lijevo(0,16 \desno))^(1+2x))\cdot ((\lijevo(6,25 \desno))^(x))\ge 1; \\ & ((\lijevo(\frac(27)(\sqrt(3)) \desno))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ kraj (poravnaj)\]

teško? Zastrašujuće? Da, lakše je nego kokoš na asfaltu! Pokušajmo. Prva nejednakost:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Pa, mislim da je ovdje sve jasno:

Prepisujemo izvornu nejednakost, svodeći sve na bazu "dva":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \desno)\cdot \lijevo(2-1 \desno) \lt 0\]

Da, da, dobro ste razumjeli: upravo sam primijenio gore opisanu metodu racionalizacije. Sada treba pažljivo raditi: uspjeli smo razlomačka racionalna nejednakost(ovo je onaj koji ima varijablu u nazivniku), pa prije nego nešto izjednačite s nulom, morate sve dovesti na zajednički nazivnik i riješite se stalnog množitelja.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \lijevo(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \desno)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Sada koristimo standardnu ​​intervalnu metodu. Nule brojnika: $x=\pm 4$. Nazivnik ide na nulu samo kada je $x=0$. Ukupno su tri točke koje treba označiti na brojevnoj crti (sve točke su izbušene jer je znak nejednakosti strog). Dobivamo:

Kao što možete pogoditi, šrafiranje označava intervale u kojima se pojavljuje izraz s lijeve strane negativne vrijednosti. Stoga će u konačni odgovor odjednom ući dva intervala:

Krajevi intervala nisu uključeni u odgovor jer je izvorna nejednakost bila stroga. Nije potrebna daljnja potvrda ovog odgovora. U tom smislu, eksponencijalne nejednakosti su puno jednostavnije od logaritamskih: nema DPV, nema ograničenja itd.

Prijeđimo na sljedeći zadatak:

\[((\lijevo(\frac(1)(3) \desno))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Ni tu nema problema jer već znamo da je $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ pa se cijela nejednakost može prepisati ovako:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \lijevo(-\frac(3)(x)-\lijevo(2+x \desno) \desno)\cdot \lijevo(3-1 \desno)\ge 0; \\ & \lijevo(-\frac(3)(x)-2-x \desno)\cdot 2\ge 0;\quad \lijevo| :\lijevo(-2\desno)\desno. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Imajte na umu: u trećem redu odlučio sam ne gubiti vrijeme na sitnice i odmah sve podijeliti s (−2). Minul je otišao u prvu zagradu (sada su plusevi posvuda), a dvojka je smanjena s konstantnim množiteljem. To je upravo ono što biste trebali učiniti kada pravite prave izračune na neovisnim i kontrolni rad- nema potrebe izravno slikati svaku radnju i transformaciju.

Zatim, poznata metoda intervala stupa na scenu. Nule brojnika: ali ih nema. Zato što će diskriminant biti negativan. S druge strane, nazivnik je postavljen na nulu samo kada je $x=0$ — kao u posljednji put. Pa, jasno je da će razlomak imati pozitivne vrijednosti desno od $x=0$, a negativne lijevo. Budući da nas zanimaju samo negativne vrijednosti, konačni odgovor je $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\lijevo(0,16 \desno))^(1+2x))\cdot ((\lijevo(6,25 \desno))^(x))\ge 1\]

A što treba učiniti s decimalnim razlomcima u eksponencijalnim nejednadžbama? Tako je: riješite ih se pretvaranjem u obične. Ovdje prevodimo:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\desna strelica ((\lijevo(6,25 \desno))^(x))=((\lijevo(\ frac(25)(4) \desno))^(x)). \\\end(align)\]

Pa, što smo dobili u bazama eksponencijalnih funkcija? I dobili smo dva međusobno recipročna broja:

\[\frac(25)(4)=((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(-1))\desna strelica ((\lijevo(\frac(25)(4) \ desno))^(x))=((\lijevo(((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(-1)) \desno))^(x))=((\ lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(-x))\]

Stoga se izvorna nejednakost može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(1+2x+\lijevo(-x \desno)))\ge ((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(0)); \\ & ((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(x+1))\ge ((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(0) ). \\\end(align)\]

Naravno, pri množenju potencija s istom bazom njihovi se pokazatelji zbrajaju, što se dogodilo u drugom retku. Osim toga, prikazali smo jedinicu s desne strane, također kao potenciju u bazi 4/25. Ostaje samo racionalizirati:

\[((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(x+1))\ge ((\lijevo(\frac(4)(25) \desno))^(0)) \Desna strelica \lijevo(x+1-0 \desno)\cdot \lijevo(\frac(4)(25)-1 \desno)\ge 0\]

Imajte na umu da je $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi faktor je negativna konstanta i kad se s njim podijeli, znak nejednakosti će se promijeniti:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \lijevo(-\infty ;-1 \desno]. \\\end(align)\]

Na kraju, zadnja nejednakost iz trenutnog "seta":

\[((\lijevo(\frac(27)(\sqrt(3)) \desno))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

U principu, ideja rješenja ovdje je također jasna: sve eksponencijalne funkcije koje čine nejednadžbu moraju se svesti na bazu "3". Ali za ovo morate malo petljati s korijenima i stupnjevima:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\kvad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

S obzirom na ove činjenice, izvorna nejednakost može se prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \desno))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Obratite pozornost na 2. i 3. redak izračuna: prije nego što radite nešto s nejednakošću, svakako je dovedite u oblik o kojem smo govorili na samom početku lekcije: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Sve dok imate lijeve ili desne lijeve množitelje, dodatne konstante itd., ne može se vršiti nikakva racionalizacija i "precrtavanje" osnova! Bezbroj zadaci su netočno izvršeni zbog nerazumijevanja toga jednostavna činjenica. I sam stalno promatram ovaj problem sa svojim studentima kada tek počinjemo analizirati eksponencijalne i logaritamske nejednakosti.

Ali vratimo se našem zadatku. Pokušajmo ovaj put bez racionalizacije. Podsjećamo: baza stupnja veća je od jedan, pa se trojke mogu jednostavno prekrižiti - znak nejednakosti se neće promijeniti. Dobivamo:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

To je sve. Konačni odgovor: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Označavanje stabilnog izraza i zamjena varijable

Zaključno, predlažem rješavanje još četiri eksponencijalne nejednakosti, koje su već prilično teške za nepripremljene učenike. Da biste se nosili s njima, morate se sjetiti pravila za rad s diplomama. Konkretno, izbacivanje zajedničkih faktora iz zagrada.

Ali najvažnije je naučiti razumjeti: što se točno može staviti u zagrade. Takav se izraz naziva stabilnim - može se označiti novom varijablom i tako se riješiti eksponencijalne funkcije. Dakle, pogledajmo zadatke:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\lijevo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Počnimo s prvim retkom. Zapišimo ovu nejednakost zasebno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Imajte na umu da $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, dakle desna strana može se prepisati:

Imajte na umu da u nejednadžbi nema drugih eksponencijalnih funkcija osim $((5)^(x+1))$. I općenito, varijabla $x$ se ne pojavljuje nigdje drugdje, pa uvedimo novu varijablu: $((5)^(x+1))=t$. Dobijamo sljedeću konstrukciju:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Vraćamo se na izvornu varijablu ($t=((5)^(x+1))$), a istovremeno zapamtimo da je 1=5 0 . Imamo:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

To je cijelo rješenje! Odgovor: $x\u \lijevo[ -1;+\infty \desno)$. Prijeđimo na drugu nejednakost:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Ovdje je sve isto. Imajte na umu da $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Tada se lijeva strana može prepisati:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \desno. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Desna strelica ((3)^(x))\ge 9\Desna strelica ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\desna strelica x\in \lijevo[ 2;+\infty \desno). \\\end(align)\]

Otprilike tako treba sastaviti rješenje o stvarnoj kontroli i samostalnom radu.

Pa, pokušajmo nešto teže. Na primjer, ovdje je nejednakost:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Što je tu problem? Prije svega, baze eksponencijalnih funkcija s lijeve strane su različite: 5 i 25. Međutim, 25 \u003d 5 2, tako da se prvi član može transformirati:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\lijevo(((5)^(2)) \desno))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Kao što vidite, u početku smo sve doveli do ista osnova, a zatim primijetio da se prvi član lako svodi na drugi - dovoljno je proširiti eksponent. Sada možemo sigurno uvesti novu varijablu: $((5)^(2x+2))=t$, a cijela nejednakost će biti prepisana ovako:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Opet, nema problema! Konačni odgovor: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Prelazimo na posljednju nejednakost u današnjoj lekciji:

\[((\lijevo(0,5 \desno))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Prvo što treba napomenuti je, naravno, decimal u osnovi prvog stupnja. Potrebno ga se riješiti, au isto vrijeme dovesti sve eksponencijalne funkcije na istu bazu - broj "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\lijevo(((2)^(-1)) \desno))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\desna strelica ((16)^(x+1,5))=((\lijevo(((2)^(4)) \desno))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Super, napravili smo prvi korak - sve je dovelo do istog temelja. Sada moramo istaknuti postavljeni izraz. Imajte na umu da $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ako uvedemo novu varijablu $((2)^(4x+6))=t$, tada se izvorna nejednadžba može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naravno, može se postaviti pitanje kako smo saznali da je 256 = 2 8 ? Nažalost, ovdje samo trebate znati potencije dvojke (a ujedno i potencije tri i pet). Pa, ili podijelite 256 s 2 (možete podijeliti, jer je 256 paran broj) dok ne dobijemo rezultat. Izgledat će otprilike ovako:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Isto je i s trojkom (brojevi 9, 27, 81 i 243 su njegove moći), te sa sedmicom (brojeve 49 i 343 također bi bilo lijepo zapamtiti). Pa, pet također ima "prekrasne" diplome koje trebate znati:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Naravno, svi ti brojevi, po želji, mogu se obnoviti u umu, jednostavnim uzastopnim množenjem jedan s drugim. Međutim, kada morate riješiti nekoliko eksponencijalnih nejednadžbi, a svaka sljedeća je teža od prethodne, onda zadnje o čemu želite razmišljati su potencije tamo nekih brojeva. I u tom smislu ti su problemi složeniji od "klasičnih" nejednakosti koje se rješavaju intervalnom metodom.

Eksponencijalne jednadžbe i nejednadžbe su one jednadžbe i nejednadžbe u kojima je nepoznanica sadržana u eksponentu.

Rješenje eksponencijalnih jednadžbi često se svodi na rješavanje jednadžbe a x \u003d a b, gdje je a > 0, a ≠ 1, x nepoznanica. Ova jednadžba ima jedan korijen x \u003d b, budući da je sljedeći teorem točan:

Teorema. Ako je a > 0, a ≠ 1 i a x 1 = a x 2, tada je x 1 = x 2.

Opravdajmo razmatranu tvrdnju.

Pretpostavimo da jednakost x 1 = x 2 nije zadovoljena, tj. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada eksponencijalna funkcija y \u003d a x raste i stoga nejednakost a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. U oba slučaja dobili smo kontradikciju s uvjetom a x 1 = a x 2 .

Razmotrimo nekoliko zadataka.

Riješite jednadžbu 4 ∙ 2 x = 1.

Riješenje.

Jednadžbu zapisujemo u obliku 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.

Odgovor. x = -2.

Riješite jednadžbu 2 3x ∙ 3 x = 576.

Riješenje.

Budući da je 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, jednadžba se može napisati u obliku 8 x ∙ 3 x = 24 2 ili u obliku 24 x = 24 2.

Odavde dobivamo x = 2.

Odgovor. x = 2.

Riješite jednadžbu 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.

Riješenje.

Stavljajući zajednički faktor 3 x - 2 u zagrade s lijeve strane, dobivamo 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,

odakle je 3 x - 2 = 1, tj. x - 2 = 0, x = 2.

Odgovor. x = 2.

Riješite jednadžbu 3 x = 7 x.

Riješenje.

Budući da je 7 x ≠ 0, jednadžba se može napisati kao 3 x / 7 x = 1, dakle (3/7) x = 1, x = 0.

Odgovor. x = 0.

Riješite jednadžbu 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.

Riješenje.

Zamjenom 3 x = a dana jednadžba svodi se na kvadratna jednadžba i 2 - 4a - 45 = 0.

Rješavajući ovu jednadžbu, nalazimo njene korijene: a 1 \u003d 9 i 2 \u003d -5, odakle 3 x \u003d 9, 3 x = -5.

Jednadžba 3 x \u003d 9 ima korijen 2, a jednadžba 3 x \u003d -5 nema korijene, jer eksponencijalna funkcija ne može imati negativne vrijednosti.

Odgovor. x = 2.

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi često se svodi na rješavanje nejednadžbi a x > a b ili a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Razmotrimo neke zadatke.

Riješite nejednadžbu 3 x< 81.

Riješenje.

Nejednadžbu zapisujemo u obliku 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tada funkcija y \u003d 3 x raste.

Prema tome, za x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Dakle, za x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Odgovor. x< 4.

Riješite nejednadžbu 16 x +4 x - 2 > 0.

Riješenje.

Označimo 4 x = t, tada dobivamo kvadratnu nejednadžbu t2 + t - 2 > 0.

Ova nejednakost vrijedi za t< -2 и при t > 1.

Kako je t = 4 x, dobivamo dvije nejednakosti 4 x< -2, 4 х > 1.

Prva nejednadžba nema rješenja jer je 4 x > 0 za sve x ∈ R.

Drugu nejednadžbu zapisujemo u obliku 4 x > 4 0 , odakle je x > 0.

Odgovor. x > 0.

Grafički riješite jednadžbu (1/3) x = x - 2/3.

Riješenje.

1) Nacrtajmo grafove funkcija y \u003d (1/3) x i y \u003d x - 2/3.

2) Na temelju naše slike možemo zaključiti da se grafovi razmatranih funkcija sijeku u točki s apscisom x ≈ 1. Provjera dokazuje da

x \u003d 1 - korijen ove jednadžbe:

(1/3) 1 = 1/3 i 1 - 2/3 = 1/3.

Drugim riječima, pronašli smo jedan od korijena jednadžbe.

3) Pronađite druge korijene ili dokažite da ih nema. Funkcija (1/3) x pada, a funkcija y \u003d x - 2/3 raste. Stoga, za x> 1, vrijednosti prve funkcije su manje od 1/3, a druge su veće od 1/3; na x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 i x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Odgovor. x = 1.

Napominjemo da iz rješenja ovog problema, posebice, slijedi da je nejednakost (1/3) x > x – 2/3 zadovoljena za x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.