Nehomogeni sustav metodom varijacije proizvoljnih konstanti. ODA

Promatrajmo linearnu nehomogenu diferencijalna jednadžba S konstantni koeficijenti proizvoljni n-ti red:
(1) .
Metoda konstantne varijacije, koju smo razmatrali za jednadžbu prvog reda, također je primjenjiva na jednadžbe viših redova.

Rješenje se provodi u dvije faze. U prvoj fazi odbacujemo desnu stranu i rješavamo homogenu jednadžbu. Kao rezultat, dobivamo rješenje koje sadrži n proizvoljnih konstanti. U drugom koraku mijenjamo konstante. Odnosno, smatramo da su ove konstante funkcije nezavisne varijable x i nalazimo oblik tih funkcija.

Iako ovdje razmatramo jednadžbe s konstantnim koeficijentima, ali Lagrangeova metoda također je primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednadžbe. Za to, međutim, mora biti poznat temeljni sustav rješenja homogena jednadžba.

Korak 1. Rješenje homogene jednadžbe

Kao i u slučaju jednadžbi prvog reda, prvo tražimo zajednička odluka homogena jednadžba, koja izjednačava desni nehomogeni dio s nulom:
(2) .
Opće rješenje takve jednadžbe ima oblik:
(3) .
Ovdje su proizvoljne konstante; - n linearno neovisnih rješenja homogene jednadžbe (2), koja čine temeljni sustav rješenja te jednadžbe.

Korak 2. Varijacije konstanti - zamjena konstanti funkcijama

U drugom koraku bavit ćemo se varijacijom konstanti. Drugim riječima, zamijenit ćemo konstante funkcijama nezavisne varijable x:
.
Odnosno, tražimo rješenje izvorne jednadžbe (1) u sljedećem obliku:
(4) .

Zamijenimo li (4) u (1), dobit ćemo jednu diferencijalnu jednadžbu za n funkcija. U ovom slučaju te funkcije možemo povezati dodatnim jednadžbama. Zatim dobijete n jednadžbi iz kojih možete odrediti n funkcija. Mogu se napraviti dodatne jednadžbe različiti putevi. Ali ćemo to učiniti na način da rješenje ima najjednostavniji oblik. Da biste to učinili, prilikom diferenciranja morate izjednačiti s nulom članove koji sadrže izvode funkcija. Pokažimo ovo.

Za supstituciju predloženog rješenja (4) u izvornu jednadžbu (1) potrebno je pronaći derivacije prvih n redova funkcije zapisane u obliku (4). Razlikovati (4) primjenom pravila diferenciranja zbroja i radi:
.
Grupirajmo članove. Prvo ispisujemo članove s izvedenicama od , a zatim članove s izvedenicama od :

.
Postavljamo prvi uvjet funkcijama:
(5.1) .
Tada će izraz za prvu derivaciju u odnosu na imati jednostavniji oblik:
(6.1) .

Na isti način nalazimo drugu derivaciju:

.
Funkcijama postavljamo drugi uvjet:
(5.2) .
Zatim
(6.2) .
I tako dalje. Pod dodatnim uvjetima, članove koji sadrže derivacije funkcija izjednačavamo s nulom.

Dakle, ako izaberemo sljedeće dodatne jednadžbe za funkcije:
(5.k) ,
tada će prve derivacije u odnosu na imati najjednostavniji oblik:
(6.k) .
ovdje .

Nalazimo n-tu derivaciju:
(6.n)
.

Zamjenjujemo u izvornu jednadžbu (1):
(1) ;

.
Uzimamo u obzir da sve funkcije zadovoljavaju jednadžbu (2):
.
Tada zbroj pojmova koji sadrže daje nulu. Kao rezultat toga dobivamo:
(7) .

Kao rezultat, dobili smo sustav linearnih jednadžbi za derivacije:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo izraze za derivacije kao funkcije od x. Integracijom dobivamo:
.
Ovdje su konstante koje više ne ovise o x. Zamjenom u (4) dobivamo opće rješenje izvorne jednadžbe.

Imajte na umu da nikada nismo koristili činjenicu da su koeficijenti a i konstantni za određivanje vrijednosti derivacija. Zato Lagrangeova metoda primjenjiva je za rješavanje svih linearnih nehomogenih jednadžbi, ako je poznat temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe (2).

Primjeri

Rješavati jednadžbe metodom varijacije konstanti (Lagrange).

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti koristi se za rješavanje nehomogenih diferencijalnih jednadžbi. Ova lekcija namijenjen onim studentima koji su već više ili manje upućeni u temu. Ako se tek počinjete upoznavati s daljinskim upravljačem, tj. Ako ste čajnik, preporučujem da počnete s prvom lekcijom: Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. A ako već završavate, odbacite moguću predrasudu da je metoda teška. Jer on je jednostavan.

U kojim slučajevima se koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti?

1) Za rješavanje se može koristiti metoda varijacije proizvoljne konstante linearna nehomogena DE 1. reda. Kako je jednadžba prvog reda, onda je i konstanta (konstanta) jedan.

2) Za rješavanje nekih koristi se metoda varijacije proizvoljnih konstanti linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Ovdje variraju dvije konstante (konstante).

Logično je pretpostaviti da će se lekcija sastojati od dva odlomka .... Pa sam napisao ovaj prijedlog i otprilike 10 minuta sam bolno razmišljao o tome koje još pametne gluposti dodati za nesmetan prijelaz na praktični primjeri. Ali iz nekog razloga nema razmišljanja nakon praznika, iako se čini da nisam ništa zloupotrijebio. Pa skočimo odmah na prvi paragraf.

Metoda proizvoljne konstantne varijacije
za linearnu nehomogenu jednadžbu prvog reda

Prije razmatranja metode varijacije proizvoljne konstante, poželjno je upoznati se s člankom Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Na tom satu smo vježbali prvi način rješavanja nehomogena DE 1. reda. Ovo prvo rješenje, podsjećam, zove se način zamjene ili Bernoullijeva metoda(ne smije se brkati s Bernoullijeva jednadžba!!!)

Sada ćemo razmotriti drugi način rješavanja– metoda varijacije proizvoljne konstante. Navest ću samo tri primjera, a uzet ću ih iz gornje lekcije. Zašto tako malo? Jer će zapravo rješenje na drugi način biti vrlo slično rješenju na prvi način. Osim toga, prema mojim zapažanjima, metoda varijacije proizvoljnih konstanti koristi se rjeđe od metode zamjene.

Primjer 1

(Razlika od primjera br. 2 lekcije Linearni nehomogeni DE 1. reda)

Riješenje: Ova jednadžba je linearno nehomogena i ima poznati oblik:

Prvi korak je riješiti jednostavniju jednadžbu:
Odnosno, glupo smo resetirali desnu stranu - umjesto toga pišemo nulu.
Jednadžba nazvat ću pomoćna jednadžba.

NA ovaj primjer riješiti sljedeću pomoćnu jednadžbu:

Prije nas odvojiva jednadžba, čije vam rješenje (nadam se) više nije teško:

Na ovaj način:
je opće rješenje pomoćne jednadžbe .

Na drugom koraku zamijeniti konstanta nekih još nepoznata funkcija koja ovisi o "x":

Otuda i naziv metode - mijenjamo konstantu. Alternativno, konstanta može biti neka funkcija koju sada moramo pronaći.

NA početni nehomogena jednadžba Zamijenimo:

Zamjena i u jednadžbu :

kontrolni trenutak - poništavaju se dva člana s lijeve strane. Ako se to ne dogodi, trebali biste potražiti gornju pogrešku.

Kao rezultat zamjene dobiva se jednadžba s odvojivim varijablama. Odvojite varijable i integrirajte.

Kakva sreća, i eksponenti se smanjuju:

Dodajemo "normalnu" konstantu pronađenoj funkciji:

Na završna faza zapamti našu zamjenu:

Upravo pronađena funkcija!

Dakle, opće rješenje je:

Odgovor: zajednička odluka:

Ako ispišete dva rješenja, lako ćete uočiti da smo u oba slučaja našli iste integrale. Jedina razlika je u algoritmu rješenja.

Sada nešto kompliciranije, komentirat ću i drugi primjer:

Primjer 2

Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
(Razlika od primjera br. 8 lekcije Linearni nehomogeni DE 1. reda)

Riješenje: Jednadžbu dovodimo u oblik :

Postavite desnu stranu na nulu i riješite pomoćnu jednadžbu:

Opće rješenje pomoćne jednadžbe:

U nehomogenoj jednadžbi izvršit ćemo zamjenu:

Prema pravilu razlikovanja proizvoda:

Zamjena i u izvornu nehomogenu jednadžbu:

Dva izraza na lijevoj strani se poništavaju, što znači da smo na pravi put:

Integriramo po dijelovima. Ukusno slovo iz formule za integraciju po dijelovima već je uključeno u rješenje, pa koristimo npr. slova "a" i "be":

Sada pogledajmo zamjenu:

Odgovor: zajednička odluka:

I jedan primjer za neovisno rješenje:

Primjer 3

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara zadanom početnom uvjetu.

,
(Razlika od primjera lekcije 4 Linearni nehomogeni DE 1. reda)
Riješenje:
Ovaj DE je linearno nehomogen. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti. Riješimo pomoćnu jednadžbu:

Odvajamo varijable i integriramo:

Uobičajena odluka:
U nehomogenoj jednadžbi izvršit ćemo zamjenu:

Izvršimo zamjenu:

Dakle, opće rješenje je:

Pronađite određeno rješenje koje odgovara zadanom početnom uvjetu:

Odgovor: privatno rješenje:

Rješenje na kraju sata može poslužiti kao okvirni model za izradu zadaće.

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti
za linearnu nehomogenu jednadžbu drugog reda
s konstantnim koeficijentima

Često se može čuti mišljenje da metoda varijacije proizvoljnih konstanti za jednadžbu drugog reda nije laka stvar. Ali pretpostavljam sljedeće: najvjerojatnije se mnogima metoda čini teškom, jer nije tako uobičajena. No, u stvarnosti nema posebnih poteškoća - tijek odluke je jasan, transparentan i razumljiv. I lijep.

Za ovladavanje metodom poželjno je znati rješavati nehomogene jednadžbe metoda drugog reda izbora pojedinog rješenja prema obliku desne strane. Ova metoda detaljno razmotreno u članku. Nehomogena DE 2. reda. Podsjećamo da linearna nehomogena jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima ima oblik:

Metoda odabira, koja je razmatrana u gornjoj lekciji, radi samo u ograničenom broju slučajeva, kada su polinomi, eksponenti, sinusi, kosinusi na desnoj strani. Ali što učiniti kada je s desne strane, na primjer, razlomak, logaritam, tangenta? U takvoj situaciji u pomoć dolazi metoda varijacije konstanti.

Primjer 4

Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda

Riješenje: Na desnoj strani dana jednadžba postoji razlomak, pa odmah možemo reći da metoda odabira pojedinog rješenja ne funkcionira. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.

Ništa ne najavljuje grmljavinsko nevrijeme, početak rješenja je sasvim običan:

Nađimo zajednička odluka relevantan homogena jednadžbe:

Sastavljamo i rješavamo karakterističnu jednadžbu:

– dobivaju se konjugirani kompleksni korijeni, pa je opće rješenje:

Obratite pozornost na zapis općeg rješenja - ako postoje zagrade, otvorite ih.

Sada radimo gotovo isti trik kao za jednadžbu prvog reda: mijenjamo konstante, zamjenjujući ih nepoznatim funkcijama. To je, opće rješenje nehomogenog Jednadžbe ćemo tražiti u obliku:

Gdje - još nepoznate funkcije.

Izgleda kao smetlište, ali sad ćemo sve srediti.

Derivacije funkcija djeluju kao nepoznanice. Naš cilj je pronaći derivacije, a pronađene derivacije moraju zadovoljiti i prvu i drugu jednadžbu sustava.

Odakle dolaze "igre"? Donosi ih roda. Pogledamo prethodno dobiveno opće rješenje i zapišemo:

Pronađimo izvedenice:

Bavio se lijevom stranom. Što je desno?

- ovo je desni dio izvorna jednadžba, in ovaj slučaj:

Koeficijent je koeficijent pri drugoj derivaciji:

U praksi gotovo uvijek, a ni naš primjer nije iznimka.

Sve je raščišćeno, sada možete kreirati sustav:

Sustav je obično riješen prema Cramerovim formulama pomoću standardnog algoritma. Jedina je razlika što umjesto brojeva imamo funkcije.

Pronađite glavnu determinantu sustava:

Ako ste zaboravili kako se otkriva odrednica "dva po dva", pogledajte lekciju Kako izračunati determinantu? Link vodi na ploču srama =)

Dakle: , dakle sustav ima jedinstveno rješenje.

Nalazimo izvod:

Ali to nije sve, zasad smo pronašli samo izvedenicu.
Sama funkcija se vraća integracijom:

Pogledajmo drugu funkciju:

Ovdje dodajemo "normalnu" konstantu

U završnoj fazi rješavanja, prisjetimo se u kojem obliku smo tražili opće rješenje nehomogene jednadžbe? U takvim:

Potrebne funkcije upravo pronađeno!

Ostaje izvršiti zamjenu i zapisati odgovor:

Odgovor: zajednička odluka:

Načelno, odgovor bi mogao otvoriti zagradu.

Potpuna provjera odgovora provodi se prema standardnoj shemi koja je razmatrana u lekciji. Nehomogena DE 2. reda. Ali provjera neće biti laka, budući da moramo pronaći prilično teške derivate i provesti glomaznu zamjenu. Ovo je gadna značajka kada ovako rješavate razlike.

Primjer 5

Riješite diferencijalnu jednadžbu metodom varijacije proizvoljnih konstanti

Ovo je primjer "uradi sam". Zapravo, desna strana je također razlomak. Sječamo se trigonometrijska formula, usput, morat će se primijeniti tijekom rješenja.

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti je najviše generička metoda. Oni mogu riješiti bilo koju jednadžbu koja se može riješiti način odabira pojedinog rješenja prema obliku desne strane. Postavlja se pitanje zašto i tu ne koristiti metodu varijacije proizvoljnih konstanti? Odgovor je očit: odabir određenog rješenja, koje je razmatrano u lekciji Nehomogene jednadžbe drugog reda, značajno ubrzava rješavanje i smanjuje notaciju - nema petljanja s determinantama i integralima.

Razmotrimo dva primjera s Cauchyjev problem.

Primjer 6

Naći partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara zadanoj početni uvjeti

Riješenje: Opet razlomak i eksponent u zanimljivo mjesto.
Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.

Nađimo zajednička odluka relevantan homogena jednadžbe:

– dobivaju se različiti realni korijeni, pa je opće rješenje:

Opće rješenje nehomogenog tražimo jednadžbe u obliku: , gdje je - još nepoznate funkcije.

Kreirajmo sustav:

U ovom slučaju:
,
Pronalaženje derivata:
,

Na ovaj način:

Sustav rješavamo pomoću Cramerovih formula:
, tako da sustav ima jedinstveno rješenje.

Vraćamo funkciju integracijom:

Ovdje se koristi metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

Integracijom vraćamo drugu funkciju:

Takav integral je riješen metoda zamjene varijable:

Iz same zamjene izražavamo:

Na ovaj način:

Ovaj integral se može pronaći metoda ekstrakcije puni kvadrat , ali u primjerima s diffursima radije proširujem razlomak metoda nesigurnih koeficijenata:

Pronađene obje funkcije:

Kao rezultat, opće rješenje nehomogene jednadžbe je:

Naći određeno rješenje koje zadovoljava početne uvjete .

Tehnički se provodi potraga za rješenjem na standardan način, o čemu je bilo riječi u članku Nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Čekaj, sad ćemo naći izvod pronađenog općeg rješenja:

Evo takve sramote. Nije potrebno pojednostaviti, lakše je odmah sastaviti sustav jednadžbi. Prema početnim uvjetima :

Zamijenite pronađene vrijednosti konstanti u opće rješenje:

U odgovoru se logaritmi mogu malo zgurati.

Odgovor: privatno rješenje:

Kao što vidite, poteškoće mogu nastati u integralima i izvedenicama, ali ne iu algoritmu metode varijacije proizvoljnih konstanti. Nisam vas ja zastrašio, ovo je sve zbirka Kuznjecova!

Za opuštanje, posljednji, jednostavniji primjer koji se sam rješava:

Primjer 7

Riješite Cauchyjev problem

Primjer je jednostavan, ali kreativan, kada radite sustav, dobro ga pogledajte prije nego što odlučite ;-),

Kao rezultat, opće rješenje je:

Pronađite određeno rješenje koje odgovara početnim uvjetima .

Pronađene vrijednosti konstanti zamjenjujemo u opće rješenje:

Odgovor: privatno rješenje:

Razmotrimo sada linearnu nehomogenu jednadžbu
. (2)
Neka je y 1 ,y 2 ,.., y n temeljni sustav rješenja i neka je opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe L(y)=0 . Slično kao u slučaju jednadžbi prvog reda, tražit ćemo rješenje jednadžbe (2) u obliku
. (3)
Provjerimo da rješenje u ovom obliku postoji. Da bismo to učinili, zamijenimo funkciju u jednadžbu. Da bismo ovu funkciju zamijenili u jednadžbi, nalazimo njezine derivacije. Prva derivacija je
. (4)
Pri izračunavanju druge derivacije, četiri člana se pojavljuju na desnoj strani (4), pri izračunavanju treće derivacije pojavljuje se osam članova, i tako dalje. Stoga se radi lakšeg daljnjeg izračuna prvi član u (4) pretpostavlja da je jednak nuli. Imajući ovo na umu, drugi izvod je jednak
. (5)
Iz istih razloga kao i prije, u (5) također smo postavili prvi član jednak nuli. Konačno, n-ti izvod jednako je
. (6)
Zamjenom dobivenih vrijednosti izvedenica u izvornu jednadžbu, imamo
. (7)
Drugi član u (7) jednak je nuli, budući da su funkcije y j , j=1,2,..,n, rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe L(y)=0. Kombinirajući s prethodnim, dobivamo sustav algebarske jednadžbe pronaći funkcije C" j (x)
(8)
Determinanta ovog sustava je Wronskyjeva determinanta temeljnog sustava rješenja y 1 ,y 2 ,..,y n odgovarajuće homogene jednadžbe L(y)=0 i stoga nije jednaka nuli. Stoga postoji jedinstveno rješenje sustava (8). Nakon što smo ga pronašli, dobivamo funkcije C "j (x), j=1,2,…,n, i, prema tome, C j (x), j=1,2,…,n Zamjenjujući ove vrijednosti u (3) dobivamo rješenje linearne nehomogene jednadžbe.
Opisana metoda naziva se metoda varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeova metoda.

Primjer #1. Nađite opće rješenje jednadžbe y "" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Razmotrite odgovarajuću homogenu jednadžbu y "" + 4y" + 3y = 0. Njezini korijeni karakteristična jednadžba r 2 + 4r + 3 = 0 su -1 i -3. Prema tome, temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe čine funkcije y 1 = e - x i y 2 = e -3 x. Tražimo rješenje nehomogene jednadžbe u obliku y \u003d C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Da bismo pronašli derivacije C " 1 , C" 2 sastavljamo sustav jednadžbi (8)

rješavajući koje, nalazimo , Integrirajući dobivene funkcije, imamo

Napokon dobivamo

Primjer #2. Riješite linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima metodom varijacije proizvoljnih konstanti:

y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Riješenje:
Ova diferencijalna jednadžba spada u linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima.
Rješenje jednadžbe ćemo tražiti u obliku y = e rx . Da bismo to učinili, sastavljamo karakterističnu jednadžbu linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Korijeni karakteristične jednadžbe: r 1 = 4, r 2 = 2
Stoga su temeljni sustav rješenja funkcije:
y 1 \u003d e 4x, y 2 \u003d e 2x
Opće rješenje homogene jednadžbe ima oblik:

Traženje određenog rješenja metodom varijacije proizvoljne konstante.
Da bismo pronašli derivacije od C "i, sastavljamo sustav jednadžbi:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izrazite C" 1 iz prve jednadžbe:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
a zamjena u drugom. Kao rezultat toga dobivamo:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Dobivene funkcije C" i integriramo:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Jer , tada dobivene izraze zapisujemo u obliku:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Dakle, opće rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ili
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Pojedinačno rješenje nalazimo pod uvjetom:
y(0) =1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3

Zamjenom x = 0 u pronađenu jednadžbu dobivamo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Nalazimo prvu derivaciju dobivenog općeg rješenja:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Zamjenom x = 0 dobivamo:
y'(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Dobivamo sustav od dvije jednadžbe:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
ili
C * 1 + C * 2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
ili
C * 1 + C * 2 = 2
2C1 + C2 = 2
Gdje:
C1=0, C*2=2
Konkretno rješenje bit će napisano kao:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Teorijski minimum
U teoriji diferencijalnih jednadžbi postoji metoda koja tvrdi da ima dovoljno visok stupanj univerzalnosti za ovu teoriju.
Riječ je o metodi varijacije proizvoljne konstante, primjenjivoj na rješavanje različitih klasa diferencijalnih jednadžbi i njihovih
sustava. To je upravo slučaj kada je teorija - ako dokaz tvrdnji izvadite iz zagrada - minimalna, ali vam omogućuje postizanje
značajne rezultate, stoga će glavni fokus biti na primjerima.
Opću ideju metode vrlo je jednostavno formulirati. Neka dana jednadžba(sustav jednadžbi) teško je riješiti ili uopće nije jasan,
kako to riješiti. Međutim, može se vidjeti da kada se neki članovi isključe iz jednadžbe, ona je riješena. Onda rješavaju baš tako pojednostavljeno
jednadžbe (sustava), dobiti rješenje koje sadrži određeni broj proizvoljnih konstanti - ovisno o redu jednadžbe (broj
jednadžbe u sustavu). Tada se pretpostavlja da konstante u pronađenom rješenju zapravo nisu konstante, pronađeno rješenje
supstituira u izvornu jednadžbu (sustav), dobiva se diferencijalna jednadžba (ili sustav jednadžbi) za određivanje "konstanti".
Postoji određena specifičnost u primjeni metode varijacije proizvoljne konstante na različite zadatke, ali to su već detalji koji će biti
prikazano primjerima.
Razmotrimo posebno rješavanje linearnih nehomogenih jednadžbi viših redova, tj. jednadžbe oblika
.
Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe je zbroj općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe i partikularnog rješenja
dana jednadžba. Pretpostavimo da je opće rješenje homogene jednadžbe već pronađeno, odnosno da je konstruiran temeljni sustav rješenja (FSR).
. Tada je opće rješenje homogene jednadžbe .
Potrebno je pronaći bilo koje posebno rješenje nehomogene jednadžbe. Zbog toga se smatra da konstante ovise o varijabli.
Zatim trebate riješiti sustav jednadžbi
.
Teorija jamči da ovaj sustav algebarskih jednadžbi s obzirom na derivacije funkcija ima jedinstveno rješenje.
Kod pronalaženja samih funkcija ne pojavljuju se integracijske konstante: uostalom, traži se bilo koje jedno rješenje.
U slučaju rješavanja sustava linearnih nehomogenih jednadžbi prvog reda oblika

algoritam ostaje gotovo nepromijenjen. Prvo morate pronaći odgovarajući FSR homogeni sustav jednadžbe, sastaviti temeljnu matricu
sustav , čiji su stupci elementi FSR-a. Zatim, jednadžba
.
Rješavajući sustav, određujemo funkcije , pronalazeći tako određeno rješenje izvornog sustava
(fundamentalna matrica se množi s pronađenim stupcem značajki).
Dodajemo ga općem rješenju odgovarajućeg sustava homogenih jednadžbi, koji je izgrađen na temelju već pronađenog FSR-a.
Dobiva se opće rješenje izvornog sustava.
Primjeri.
Primjer 1 Linearne nehomogene jednadžbe prvog reda.
Promotrimo odgovarajuću homogenu jednadžbu (traženu funkciju označavamo s ):
.
Ova se jednadžba lako rješava odvajanjem varijabli:

.
Sada predstavljamo rješenje izvorne jednadžbe u obliku , gdje se funkcija tek treba pronaći.
Zamjenjujemo ovu vrstu rješenja u izvornu jednadžbu:
.
Kao što vidite, drugi i treći član na lijevoj strani se poništavaju - to je značajka metoda varijacije proizvoljne konstante.

Ovdje već - doista, proizvoljna konstanta. Na ovaj način,
.
Primjer 2 Bernoullijeva jednadžba.
Ponašamo se slično kao u prvom primjeru – rješavamo jednadžbu

metoda razdvajanja varijabli. Pokazat će se , pa tražimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku
.
Zamijenite ovu funkciju u izvornu jednadžbu:
.
I opet ima rezova:
.
Ovdje morate zapamtiti da se prilikom dijeljenja rješenje ne izgubi. I kućište odgovara rješenju originala
jednadžbe. Sjetimo se njega. Tako,
.
Idemo pisati .
Ovo je rješenje. Prilikom pisanja odgovora treba navesti i ranije pronađeno rješenje, jer ono ne odgovara niti jednoj konačnoj vrijednosti
konstante .
Primjer 3 Linearne nehomogene jednadžbe viših redova.
Odmah napominjemo da se ova jednadžba može riješiti jednostavnije, ali je zgodno prikazati metodu na njoj. Iako neke prednosti
metoda varijacije proizvoljne konstante ima i u ovom primjeru.
Dakle, morate početi s FSR-om odgovarajuće homogene jednadžbe. Podsjetimo se da je za pronalaženje FSR, karakteristika
jednadžba
.
Dakle, opće rješenje homogene jednadžbe
.
Ovdje uključene konstante moraju se mijenjati. Sastavljanje sustava

Prijeđimo na razmatranje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi oblika

gdje - željena funkcija argumenta , i funkcije

su zadani i kontinuirani na nekom intervalu
.

Uvedimo u razmatranje linearnu homogenu jednadžbu, čija se lijeva strana podudara s lijevom stranom nehomogene jednadžbe (2.31),

Poziva se jednadžba oblika (2.32). homogena jednadžba koja odgovara nehomogenoj jednadžbi (2.31).

Vrijedi sljedeći teorem o strukturi općeg rješenja nehomogene linearne jednadžbe (2.31).

Teorem 2.6. Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe (2.31) u domeni

je zbroj bilo kojeg od njegovih posebnih rješenja i općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe (2.32) u području (2.33), tj.

gdje - određeno rješenje jednadžbe (2.31),
je temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe (2.32), i
su proizvoljne konstante.

Dokaz ovog teorema može se naći u.

Na primjeru diferencijalne jednadžbe drugog reda prikazujemo metodu kojom se može pronaći određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe. Ova metoda se zove Lagrangeova metoda varijacije proizvoljnih konstanti.

Dakle, neka je dana nehomogena linearna jednadžba

(2.35)

gdje su koeficijenti
i desna strana
kontinuirano u nekom intervalu
.

Označimo sa
i
temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe

(2.36)

Tada njegovo opće rješenje ima oblik

(2.37)

gdje i su proizvoljne konstante.

Rješenje jednadžbe (2.35) tražit ćemo u istom obliku , kao i opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, zamjenjujući proizvoljne konstante nekim diferencijabilnim funkcijama (variramo proizvoljne konstante), oni.

gdje
i
neke su funkcije koje se mogu razlikovati od , koje su još uvijek nepoznate i koje ćemo pokušati odrediti kako bi funkcija (2.38) bila rješenje nehomogene jednadžbe (2.35). Diferenciranjem obje strane jednakosti (2.38) dobivamo

Tako da pri računanju nema derivata drugog reda
i
, to zahtijevamo posvuda u
stanje

Zatim za imat će

Izračunajte drugu derivaciju

Zamjena izraza za ,,iz (2.38), (2.40), (2.41) u jednadžbu (2.35), dobivamo

Izrazi u uglate zagrade, jednaki su nuli posvuda u
, jer i - partikularna rješenja jednadžbe (2.36). U tom slučaju (2.42) ima oblik Kombinacijom ovog uvjeta s uvjetom (2.39) dobivamo sustav jednadžbi za određivanje
i

(2.43)

Potonji sustav je sustav dviju algebarskih linearnih nehomogenih jednadžbi s obzirom na
i
. Odrednica ovog sustava je Wronskyjeva determinanta za temeljni sustav rješenja ,i stoga je različit od nule posvuda u
. To znači da sustav (2.43) ima jedinstveno rješenje. Nakon što je to riješio na bilo koji način u vezi
,
pronaći

gdje
i
su dobro poznate funkcije.

Izvođenje integracije i uzimajući u obzir da as
,
treba uzeti bilo koji par funkcija, postavljamo konstante integracije jednake nuli. Dobiti

Zamjenom izraza (2.44) u relacije (2.38) možemo željeno rješenje nehomogene jednadžbe (2.35) napisati u obliku

Ova se metoda može generalizirati kako bi se pronašlo određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe -ti red.

Primjer 2.6. riješiti jednadžbu
na
ako funkcije

tvore temeljni sustav rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe.

Nađimo posebno rješenje ove jednadžbe. Da bismo to učinili, u skladu s Lagrangeovom metodom, prvo treba riješiti sustav (2.43), koji u našem slučaju ima oblik
Smanjenje obje strane svake od jednadžbi za dobivamo

Oduzimajući član po član prve jednadžbe od druge jednadžbe, nalazimo
a zatim iz prve jednadžbe slijedi
Izvođenjem integracije i postavljanjem integracijskih konstanti na nulu imamo

Posebno rješenje ove jednadžbe može se prikazati kao

Opće rješenje ove jednadžbe tada ima oblik

gdje i su proizvoljne konstante.

Na kraju, bilježimo jedno izvanredno svojstvo, koje se često naziva principom nametanja rješenja i opisuje ga sljedeći teorem.

Teorem 2.7. Ako između
funkcija
- posebno rješenje jednadžbe funkcije
određeno rješenje jednadžbe na istom intervalu, funkcija
je posebno rješenje jednadžbe