Wat is de mediaan in de driehoeksformule. Driehoek mediaan

De mediaan en hoogte van een driehoek is een van de meest fascinerende en interessante onderwerpen geometrie. De term "mediaan" betekent een lijn of segment dat het hoekpunt van een driehoek verbindt met zijn andere kant. Met andere woorden, de mediaan is een lijn die loopt van het midden van een zijde van een driehoek naar het tegenoverliggende hoekpunt van dezelfde driehoek. Aangezien een driehoek slechts drie hoekpunten en drie zijden heeft, kunnen er slechts drie medianen zijn.

Driehoek mediaan eigenschappen

Alle medianen van een driehoek snijden elkaar in één punt en worden door dit punt gescheiden in een verhouding van 2:1, geteld vanaf de bovenkant. Dus als je alle drie de medianen in een driehoek tekent, verdeelt het snijpunt ze in twee delen. Het deel dat zich het dichtst bij de bovenkant bevindt, is 2/3 van de hele lijn en het deel dat dichter bij de zijkant van de driehoek ligt, is 1/3 van de lijn. De medianen kruisen elkaar op één punt.
Drie medianen die in één driehoek zijn getekend, verdelen deze driehoek in 6 kleine driehoeken, waarvan de oppervlakte gelijk zal zijn.
Hoe groter de zijde van de driehoek waar de mediaan vandaan komt, hoe kleiner deze mediaan. Omgekeerd, de meeste korte zijde heeft de langste mediaan.
mediaan in rechthoekige driehoek heeft een aantal eigen kenmerken. Als er bijvoorbeeld een cirkel wordt beschreven rond zo'n driehoek, die door alle hoekpunten gaat, dan is de mediaan juiste hoek, getrokken naar de hypotenusa, wordt de straal van de omgeschreven cirkel (dat wil zeggen, de lengte is de afstand van elk punt op de cirkel tot het middelpunt).

Driehoek mediaan lengte vergelijking

De mediaanformule komt uit de stelling van Stewart en stelt dat de mediaan is Vierkantswortel van de verhouding van de kwadraten van de som van de zijden van de driehoek die het hoekpunt vormen, minus het kwadraat van de zijde waarnaar de mediaan wordt getrokken tot vier. Met andere woorden, om de lengte van de mediaan te bepalen, moet je de lengtes van elke zijde van de driehoek kwadrateren en deze vervolgens schrijven als een breuk, waarvan de teller de som is van de kwadraten van de zijden die vormen de hoek waaruit de mediaan komt, minus het kwadraat van de derde zijde. De noemer hier is het getal 4. Dan, uit deze breuk, moet je de vierkantswortel extraheren, en dan krijgen we de lengte van de mediaan.

Snijpunt van de medianen van een driehoek

Zoals we hierboven schreven, snijden alle medianen van één driehoek elkaar in één punt. Dit punt wordt het middelpunt van de driehoek genoemd. Het verdeelt elke mediaan in twee delen, waarvan de lengte is gerelateerd als 2:1. Het middelpunt van de driehoek is ook het middelpunt van de cirkel eromheen. En anderen geometrische figuren hebben hun eigen centra.

De coördinaten van het snijpunt van de medianen van de driehoek

Om de coördinaten van het snijpunt van de medianen van één driehoek te vinden, gebruiken we de eigenschap van het zwaartepunt, volgens welke het elke mediaan verdeelt in 2:1 segmenten. We duiden de hoekpunten aan als A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

en bereken de coördinaten van het middelpunt van de driehoek met de formule: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 \u003d (y 1 + y 2 + y 3) / 3.

Oppervlakte van een driehoek in termen van de mediaan

Alle medianen van één driehoek delen deze driehoek door 6 gelijke driehoeken, en het midden van de driehoek verdeelt elke mediaan door een verhouding van 2:1. Daarom, als de parameters van elke mediaan bekend zijn, is het mogelijk om het gebied van de driehoek door het gebied van een van de kleine driehoeken te berekenen en dit cijfer vervolgens met 6 keer te verhogen.

De mediaan is het segment dat wordt getrokken van het hoekpunt van de driehoek naar het midden van de tegenoverliggende zijde, dat wil zeggen, het deelt het in tweeën door het snijpunt. Het punt waar de mediaan de andere kant snijdt waar hij uitkomt, wordt de basis genoemd. Door één punt, het snijpunt genoemd, passeert elke mediaan van de driehoek. De formule voor de lengte kan op verschillende manieren worden uitgedrukt.

Formules voor het uitdrukken van de lengte van de mediaan

Vaak hebben leerlingen bij problemen in de meetkunde te maken met een segment als de mediaan van een driehoek. De formule voor de lengte wordt uitgedrukt in termen van de zijkanten:

waarbij a, b en c zijden zijn. Bovendien is c de zijde waarop de mediaan valt. Dit is hoe het meest eenvoudige formule. Driehoeksmedianen zijn soms vereist voor hulpberekeningen. Er zijn ook andere formules.

Als tijdens de berekening twee zijden van de driehoek en een bepaalde hoek α ertussen bekend zijn, wordt de lengte van de mediaan van de driehoek, verlaagd naar de derde zijde, als volgt uitgedrukt.

Basiseigenschappen

Alle medianen hebben er een gemeenschappelijk punt de snijpunten van O en het zijn verdeeld in een verhouding van twee tot één, als we vanaf de bovenkant tellen. Dit punt wordt het zwaartepunt van de driehoek genoemd.
De mediaan verdeelt de driehoek in twee andere, waarvan de oppervlakten gelijk zijn. Dergelijke driehoeken worden gelijke driehoeken genoemd.
Als u alle medianen tekent, wordt de driehoek verdeeld in 6 gelijke figuren, die ook driehoeken zullen zijn.
Als in een driehoek alle drie de zijden gelijk zijn, dan zal elk van de medianen daarin ook een hoogte en een bissectrice zijn, dat wil zeggen, loodrecht op de zijde waarnaar het wordt getrokken, en halveert de hoek van waaruit het vertrekt.
BIJ gelijkbenige driehoek de mediaan die valt vanaf een hoekpunt tegenover een zijde die niet gelijk is aan een andere, zal ook de hoogte en de bissectrice zijn. Medianen die van andere hoekpunten zijn gevallen, zijn gelijk. Het is ook nodig en voldoende voorwaarde gelijkbenig.
Als de driehoek de basis is juiste piramide, dan wordt de hoogte die tot de gegeven basis is verlaagd, geprojecteerd op het snijpunt van alle medianen.

In een rechthoekige driehoek is de mediaan die naar de langste zijde wordt getrokken de helft van zijn lengte.
Laat O het snijpunt zijn van de medianen van de driehoek. De onderstaande formule is waar voor elk punt M.

Een andere eigenschap is de mediaan van een driehoek. De formule voor het kwadraat van zijn lengte in termen van de kwadraten van de zijden wordt hieronder weergegeven.

Eigenschappen van de zijden waarnaar de mediaan wordt getrokken

Als we twee snijpunten van de medianen verbinden met de zijden waarop ze zijn neergelaten, dan zal het resulterende segment de middellijn van de driehoek zijn en de helft zijn van de zijde van de driehoek waarmee het geen gemeenschappelijke punten heeft.
De basis van de hoogten en medianen in de driehoek, evenals de middelpunten van de segmenten die de hoekpunten van de driehoek verbinden met het snijpunt van de hoogten, liggen op dezelfde cirkel.

Concluderend is het logisch om te zeggen dat een van de belangrijkste segmenten precies de mediaan van de driehoek is. De formule kan worden gebruikt om de lengtes van de andere zijden te vinden.

Instructie

Terugtrekken formule voor medianen willekeurig is het noodzakelijk om naar het uitvloeisel van de cosinusstelling te gaan voor een parallellogram verkregen door het invullen driehoek. De formule kan hierop worden bewezen, het is erg handig bij het oplossen als alle lengtes van de zijkanten bekend zijn of dat ze gemakkelijk kunnen worden gevonden uit andere initiële gegevens van het probleem.

In feite is de cosinusstelling een generalisatie van de stelling van Pythagoras. Het klinkt als volgt: voor een tweedimensionale driehoek met zijlengten a, b en c en hoek α tegenover a geldt de volgende gelijkheid: a² = b² + c² - 2 b c cos α.

De generaliserende uitvloeisel van de cosinusstelling definieert een van de belangrijkste eigenschappen vierhoek: de som van de kwadraten van de diagonalen is gelijk aan de som van de kwadraten van al zijn zijden: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Voltooi de driehoek tot parallellogram ABCD door lijnen parallel aan a en c toe te voegen. dus met zijden a en c en diagonaal b. De handigste manier om te bouwen is als volgt: op de rechte lijn waartoe de mediaan behoort, verbindt een segment MD van dezelfde lengte zijn top met de hoekpunten van de resterende A en C.

Volgens de eigenschap van een parallellogram worden de diagonalen door het snijpunt in gelijke delen verdeeld. Pas het uitvloeisel van de cosinusstelling toe, volgens welke de som van de kwadraten van de diagonalen van een parallellogram gelijk is aan de som van tweemaal de kwadraten van zijn zijden: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Aangezien BK = 2 BM en BM de mediaan van m is, geldt: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², dus: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

jij bracht naar buiten formule een van de driehoek voor zijde b: mb = m. Evenzo zijn er medianen de andere twee zijden: ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²); mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

bronnen:

mediaan formule
Formules voor de mediaan van een driehoek [video]

Mediaan driehoek heet een segment dat een willekeurig hoekpunt verbindt driehoek met het midden van de andere kant. Drie medianen snijden elkaar op één punt, altijd binnen driehoek. Dit punt verdeelt elk mediaan- in een verhouding van 2:1.

Instructie

Het probleem van het vinden van de mediaan kan worden opgelost door aanvullende constructies driehoek naar een parallellogram en door de stelling op de diagonalen van een parallellogram Laten we de zijden verlengen driehoek en mediaan-, bouw ze op tot een parallellogram. dus de mediaan driehoek zal de helft zijn van de diagonaal van het resulterende parallellogram, twee zijden driehoek- zijn zijde (a, b), en de derde zijde driehoek, waarnaar de mediaan is getrokken, is de tweede diagonaal van het resulterende parallellogram. Volgens de stelling is de som van de kwadraten van een parallellogram gelijk aan tweemaal de som van de kwadraten van zijn zijden.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
waar
d1, d2 - diagonalen van het resulterende parallellogram;
vanaf hier:
d1 = 0,5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

De mediaan is het lijnsegment dat het hoekpunt verbindt driehoek en het midden van de andere kant. De lengtes van alle drie de zijden kennen driehoek, kunt u de medianen vinden. In bepaalde gevallen van gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek, uiteraard is het voldoende om respectievelijk twee (niet gelijk aan elkaar) en één kant te kennen driehoek.

Je zal nodig hebben

Liniaal

Instructie

Overwegen algemeen geval driehoek ABC met ongelijke vriend feestjes. De lengte van de mediaan AE hiervan driehoek kan worden berekend met de formule: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. De rest van de medianen zijn precies hetzelfde. Dit wordt afgeleid door de stelling van Stewart, of door voltooiing driehoek naar een parallellogram.

Als ABC gelijkbenig is en AB = AC, dan is de mediaan AE beide dit driehoek. Daarom zal driehoek BEA een rechthoekige driehoek zijn. Volgens de stelling van Pythagoras, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Van de totale lengte van de mediaan driehoek, voor medianen BO en СP geldt: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

bronnen:

Medianen en niet-sectoren van een driehoek

De mediaan is het lijnsegment dat het hoekpunt van een driehoek en het middelpunt van de tegenoverliggende zijde verbindt. Als u de lengtes van alle drie de zijden van een driehoek kent, kunt u deze vinden medianen. In het bijzonder bij gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek, uiteraard is het voldoende om respectievelijk twee (niet gelijk aan elkaar) en één zijde van de driehoek te kennen. De mediaan kan ook uit andere gegevens worden gevonden.

Je zal nodig hebben

De lengtes van de zijden van de driehoek, de hoeken tussen de zijden van de driehoek

Instructie

Beschouw het meest algemene geval van een driehoek ABC met drie ongelijke zijden. Lengte medianen De AE van deze driehoek kan worden berekend met de formule: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Rest medianen zijn precies hetzelfde. Dit wordt afgeleid door de stelling van Stewart, of door de voltooiing van een driehoek tot een parallellogram.

Als ABC gelijkbenig is en AB = AC, dan is AE tegelijkertijd deze driehoek. Daarom zal driehoek BEA een rechthoekige driehoek zijn. Volgens de stelling van Pythagoras, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Van de totale lengte medianen driehoek, voor BO en CP geldt: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

De mediaan van een driehoek kan ook uit andere gegevens worden gevonden. Als bijvoorbeeld de lengtes van twee zijden worden gegeven, wordt een mediaan getrokken naar een van hen, bijvoorbeeld de lengtes van de zijden AB en BC, evenals de hoek x ertussen. dan de lengte medianen kan worden gevonden via de cosinusstelling: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

bronnen:

Medianen en bissectrices van een driehoek
hoe de lengte van de mediaan te vinden?

Driehoek mediaan is een lijnstuk dat het hoekpunt van een driehoek verbindt met het middelpunt van de overstaande zijde van deze driehoek.

Driehoek mediaan eigenschappen

1. De mediaan verdeelt de driehoek in twee driehoeken met dezelfde oppervlakte.

2. De medianen van een driehoek snijden elkaar in één punt, dat elk van hen verdeelt in een verhouding van 2:1, geteld vanaf de bovenkant. Dit punt wordt het zwaartepunt van de driehoek (zwaartepunt) genoemd.

3. De hele driehoek wordt door zijn medianen in zes gelijke driehoeken verdeeld.

De lengte van de mediaan die naar de zijkant wordt getrokken: ( doc door op te bouwen tot een parallellogram en de gelijkheid in het parallellogram te gebruiken van tweemaal de som van de kwadraten van de zijden en de som van de kwadraten van de diagonalen )

T1. De drie medianen van de driehoek snijden elkaar in één punt M, dat elk van hen verdeelt in een verhouding van 2:1, gerekend vanaf de hoekpunten van de driehoek. Gegeven: abc, SS 1, AA 1, BB 1 - mediaan
∆abc. Bewijs: en

D-in: Zij M het snijpunt van de medianen CC 1 , AA 1 van driehoek ABC. Let op A 2 - het midden van het segment AM en C 2 - het midden van het segment CM. Dan A 2 C 2 - midden lijn driehoek AMS. Middelen, A 2 C 2|| AC

en A 2 C 2 \u003d 0,5 * AC. Met 1 MAAR 1 is de middellijn van driehoek ABC. Dus A 1 Met 1 || AC en A 1 Met 1 \u003d 0,5 * wisselstroom.

vierhoek A 2 C 1 A 1 C 2- een parallellogram, aangezien de overstaande zijden A 1 Met 1 en A 2 C 2 gelijk en parallel. Vandaar, een 2M = MA 1 en C2M = MEVROUW 1 . Dit betekent dat de punten een 2 en M verdeel de mediaan AA 2 in drie gelijke delen, d.w.z. AM = 2MA 2. Evenzo CM = 2MC 1 . Dus het punt M van het snijpunt van twee medianen AA 2 en CC2 driehoek ABC verdeelt elk van hen in de verhouding 2:1, geteld vanaf de hoekpunten van de driehoek. Evenzo is bewezen dat het snijpunt van de medianen AA 1 en BB 1 elk van hen verdeelt in de verhouding 2:1, geteld vanaf de hoekpunten van de driehoek.

Op de mediaan AA 1 is zo'n punt het punt M, dus het punt M en er is een snijpunt van de medianen AA 1 en BB 1.

Dus, n

T2. Bewijs dat de segmenten die het zwaartepunt verbinden met de hoekpunten van de driehoek het in drie gelijke delen verdelen. Gegeven: ∆ABC , zijn de medianen.

Bewijzen: S AMB =S BMC =S-AMC.Bewijs. BIJ, ze gemeen hebben. omdat hun bases zijn gelijk en de hoogte getrokken vanaf de bovenkant M, ze gemeen hebben. Dan

Op een vergelijkbare manier is bewezen dat S-AMB = S-AMC. Dus, S AMB = S AMC = S CMB .n

Bisectrice van een driehoek Stellingen met betrekking tot de bissectrices van een driehoek. Formules voor het vinden van bissectrices

bissectrice hoek Een straal die begint bij het hoekpunt van een hoek en de hoek in twee gelijke hoeken verdeelt.

De bissectrice is geometrische plaats punten binnen een hoek die op gelijke afstand van de zijden van de hoek liggen.

Eigenschappen

1. Stelling van de bissectrice: De bissectrice van een binnenhoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in een verhouding gelijk aan de verhouding van de twee aangrenzende zijden

2. De bissectrices van de interne hoeken van een driehoek snijden elkaar in één punt - het incenter - het middelpunt van de cirkel die in deze driehoek is ingeschreven.

3. Als twee bissectrices in een driehoek gelijk zijn, dan is de driehoek gelijkbenig (de stelling van Steiner-Lemus).

De lengte van een bissectrice berekenen

l c - de lengte van de bissectrice naar de zijde c,

a,b,c - driehoekszijden tegen hoekpunten A, B, C respectievelijk,

p - halve omtrek van de driehoek,

a l ,b l - lengtes van de segmenten waarin de bissectrice l c de zijde c verdeelt,

α,β,γ - interne hoeken driehoek bij hoekpunten A,B,C respectievelijk,

h c - de hoogte van de driehoek, verlaagd naar kant c.

gebied methode.

Methode karakteristiek. Uit de naam volgt dat het hoofdobject deze methode is het gebied. Voor een aantal figuren, bijvoorbeeld voor een driehoek, wordt de oppervlakte heel eenvoudig uitgedrukt door verschillende combinaties van de elementen van de figuur (driehoek). Daarom is een techniek zeer effectief wanneer verschillende uitdrukkingen voor het gebied van een bepaald cijfer worden vergeleken. In dit geval ontstaat er een vergelijking die de bekende en gewenste elementen van de figuur bevat, waarmee we oplossen dat we het onbekende bepalen. Dit is waar het belangrijkste kenmerk van de gebiedsmethode zich manifesteert - van een geometrisch probleem "maakt" het een algebraïsch probleem, waarbij alles wordt teruggebracht tot het oplossen van een vergelijking (en soms een stelsel vergelijkingen).

1) Vergelijkingsmethode: gekoppeld aan een groot aantal formules S van dezelfde cijfers

2) S-ratio methode: gebaseerd op de volgende referentietaken:

Stelling van Ceva

Laat de punten A",B",C" op de lijnen BC,CA,AB van de driehoek liggen. De lijnen AA",BB",CC" snijden elkaar in één punt dan en slechts als

Bewijs.

Geef aan door het snijpunt van de segmenten en . Laten we de loodlijnen van de punten C en A naar de lijn BB 1 laten vallen totdat ze deze snijden in respectievelijk de punten K en L (zie figuur).

Aangezien driehoeken en hebben gemeenschappelijke kant, dan zijn hun gebieden gerelateerd als de hoogten die naar deze kant zijn getrokken, d.w.z. AL en CK:

De laatste gelijkheid is waar, aangezien rechthoekige driehoeken gelijk zijn in scherpe hoek.

Op dezelfde manier krijgen we en

Laten we deze drie gelijkheden vermenigvuldigen:

QED

Commentaar. Het segment (of voortzetting van het segment) dat het hoekpunt van de driehoek verbindt met een punt dat aan de andere kant ligt of de voortzetting ervan wordt ceviana genoemd.

Stelling ( omgekeerde stelling chevy). Laat de punten A",B",C" respectievelijk op de zijden BC,CA en AB van de driehoek ABC liggen. Laat de relatie gelden

Vervolgens snijden de segmenten AA", BB", CC" elkaar op één punt.

Stelling van Menelaus

Stelling van Menelaos. Laat de lijn elkaar kruisen driehoek ABC, waarbij C 1 het snijpunt is met de zijde AB, A 1 het snijpunt is met de zijde BC, en B 1 het snijpunt is met de verlenging van de zijde AC. Dan

Bewijs . Trek een lijn door punt C evenwijdig aan AB. Geef met K het snijpunt aan met de lijn B 1 C 1 .

Driehoeken AC 1 B 1 en CKB 1 zijn vergelijkbaar (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Vandaar,

Driehoeken BC 1 A 1 en CKA 1 zijn ook gelijkvormig (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Middelen,

Van elke gelijkheid drukken we CK uit:

Waar QED

Stelling (de inverse stelling van Menelaus). Laat driehoek ABC gegeven zijn. Laat punt C 1 op zijde AB liggen, punt A 1 op zijde BC en punt B 1 op het verlengde van zijde AC, en de relatie

Dan liggen de punten A 1 , B 1 en C 1 op dezelfde rechte lijn.

1. Wat is de mediaan?

Het is heel simpel!

Neem de driehoek

Markeer het midden op een van de zijkanten.

En maak verbinding met de tegenoverliggende top!

De resulterende regel en is de mediaan.

2. Eigenschappen van de mediaan.

Wat zijn de goede eigenschappen van de mediaan?

1) Laten we ons voorstellen dat de driehoek - rechthoekig. Die zijn er toch?

Waarom??? Wat is er met de juiste hoek?

Laten we goed kijken. Alleen niet op een driehoek, maar op ... een rechthoek. Waarom vraag je dat?

Maar je loopt op de aarde - zie je dat het rond is? Nee natuurlijk, daarvoor moet je vanuit de ruimte naar de aarde kijken. Dus we kijken naar onze rechthoekige driehoek "vanuit de ruimte".

Laten we een diagonaal tekenen:

Weet je nog dat de diagonalen van een rechthoek Gelijk en delen kruispunt in twee? (Als je het niet meer weet, kijk dan bij het onderwerp)

Dus de helft van de tweede diagonaal is van ons mediaan-. De diagonalen zijn gelijk, hun helften natuurlijk ook. Hier krijgen we

We zullen deze bewering niet bewijzen, maar om erin te geloven, denk voor jezelf: is er een ander parallellogram met gelijke diagonalen, behalve een rechthoek? Natuurlijk niet! Dat betekent dat de mediaan alleen in een rechthoekige driehoek gelijk kan zijn aan de helft van de zijde.

Laten we eens kijken hoe deze eigenschap helpt bij het oplossen van problemen.

Hier, taak:
Aan de zijkanten; . Van de top gehouden mediaan-. Zoek als.

Hoera! Je kunt de stelling van Pythagoras toepassen! Zie je hoe geweldig het is? Als we dat niet wisten mediaan- gelijk aan een halve zijde

We passen de stelling van Pythagoras toe:

2) En laten we er nu niet één hebben, maar heel drie medianen! Hoe gedragen ze zich?

Onthoud heel erg belangrijk feit:

Ingewikkeld? Kijk naar de foto:

De medianen en snijden elkaar in één punt.

En .... (we bewijzen het in , maar voor nu Onthouden!):

- twee keer zoveel als;
- twee keer zoveel als;
- verdubbel dat.

Nog niet moe? Genoeg kracht voor het volgende voorbeeld? Nu gaan we alles toepassen waar we het over hadden!

Taak: In een driehoek worden medianen en getekend, die elkaar in een punt snijden. Zoek of

Met de stelling van Pythagoras vinden we:

En nu passen we de kennis over het snijpunt van medianen toe.

Laten we het markeren. knippen, een. Als niet alles duidelijk is, kijk dan naar de afbeelding.

Dat hebben we al gevonden.

Middelen, ; .

In het probleem wordt ons gevraagd naar een segment.

in onze notatie.

Antwoord: .

Leuk gevonden? Probeer nu zelf kennis over de mediaan toe te passen!

MEDIAAN. MIDDEN NIVEAU

1. De mediaan halveert de zijkant.

En alles? Of misschien deelt ze zelfs iets in tweeën? Stel je voor dat het zo is!

2. Stelling: De mediaan snijdt het gebied doormidden.

Waarom? En laten we het meest onthouden makkelijke vorm oppervlakte van een driehoek.

En we passen deze formule twee keer toe!

Kijk, de mediaan verdeeld in twee driehoeken: en. Maar! Ze hebben dezelfde hoogte! Alleen op deze hoogte valt opzij, en op - voor de voortzetting van de kant. Verrassend genoeg gebeurt het ook zo: de driehoeken zijn anders, maar de hoogte is hetzelfde. En dus passen we de formule nu twee keer toe.

Wat zou dat betekenen? Kijk naar de foto. In feite zijn er twee uitspraken in deze stelling. Heb je het gemerkt?

Eerste verklaring: medianen kruisen elkaar op één punt.

Tweede verklaring: het snijpunt van de mediaan is in verhouding verdeeld, vanaf de bovenkant geteld.

Laten we proberen het geheim van deze stelling te ontrafelen:

Laten we de punten verbinden en. Wat er is gebeurd?

En laten we nu nog een middelste lijn tekenen: markeer het midden - plaats een punt, markeer het midden - plaats een punt.

Nu - de middelste lijn. D.w.z

parallel;

Heb je toevalligheden opgemerkt? Beide en zijn parallel. En en.

Wat volgt hieruit?

parallel;

Natuurlijk, alleen een parallellogram!

Dus - parallellogram. En dan? En laten we de eigenschappen van een parallellogram onthouden. Wat weet je bijvoorbeeld van de diagonalen van een parallellogram? Dat klopt, ze delen het snijpunt in tweeën.

Laten we nog eens naar de foto kijken.

Dat wil zeggen - de mediaan wordt gedeeld door punten en in drie gelijke delen. En net hetzelfde.

Dit betekent dat beide medianen gescheiden door een punt precies in relatie, dat wil zeggen, en.

Wat gebeurt er met de derde mediaan? Laten we teruggaan naar het begin. Oh God?! Nee, nu wordt alles veel korter. Laten we de mediaan laten vallen en de mediaan tekenen en.

Stel je nu voor dat we precies dezelfde redenering hebben uitgevoerd als voor de medianen en. Wat dan?

Het blijkt dat de mediaan de mediaan op precies dezelfde manier verdeelt: in relatie, geteld vanaf het punt.

Maar hoeveel punten kunnen er op een segment zijn dat het in relatie verdeelt, gerekend vanaf een punt?

Natuurlijk maar één! En we hebben het al gezien - dit is het punt.

Wat gebeurde er op het einde?

De mediaan ging er precies doorheen! Alle drie de medianen gingen er doorheen. En iedereen was verdeeld in relatie, vanaf de top geteld.

Dus hebben we de stelling opgelost (bewezen). Het antwoord bleek een parallellogram in een driehoek te zijn.

4. De formule voor de lengte van de mediaan

Hoe de lengte van de mediaan te vinden als de zijden bekend zijn? Weet je zeker dat je het nodig hebt? Laten we openen verschrikkelijk geheim: Deze formule is niet erg handig. Maar toch, we zullen het schrijven, maar we zullen het niet bewijzen (als je geïnteresseerd bent in het bewijs, zie het volgende niveau).

Hoe zou iemand begrijpen waarom dit gebeurt?

Laten we goed kijken. Alleen niet op een driehoek, maar op een rechthoek.

Laten we dus naar een rechthoek kijken.

Is het je opgevallen dat onze driehoek precies de helft van deze rechthoek is?

Laten we een diagonaal tekenen

Weet je nog dat de diagonalen van een rechthoek gelijk zijn en het snijpunt halveren? (Als je het niet meer weet, kijk dan bij het onderwerp)
Maar een van de diagonalen is onze hypotenusa! Het snijpunt van de diagonalen is dus het middelpunt van de hypotenusa. Ze is door ons gebeld.

Dus de helft van de tweede diagonaal is onze mediaan. De diagonalen zijn gelijk, hun helften natuurlijk ook. Hier krijgen we

Bovendien gebeurt dit alleen in een rechthoekige driehoek!

Hier is de taak:

Aan de zijkanten; . De mediaan wordt van bovenaf getrokken. Zoek als.

Hoera! Je kunt de stelling van Pythagoras toepassen! Zie je hoe geweldig het is? Als we niet wisten dat de mediaan de helft van de zijkant is alleen in een rechthoekige driehoek, konden we dit probleem op geen enkele manier oplossen. En nu kunnen we!

We passen de stelling van Pythagoras toe:

MEDIAAN. KORT OVER DE HOOFDSTUK

1. De mediaan halveert de zijkant.

2. Stelling: de mediaan halveert het gebied

4. De formule voor de lengte van de mediaan

Inverse stelling: als de mediaan gelijk is aan de helft van de zijde, dan is de driehoek rechthoekig en wordt deze mediaan naar de hypotenusa getrokken.

Nou, het onderwerp is voorbij. Als je deze regels leest, ben je erg cool.

Omdat slechts 5% van de mensen in staat is iets alleen onder de knie te krijgen. En als je tot het einde hebt gelezen, dan zit je in de 5%!

Nu het belangrijkste.

Je hebt de theorie over dit onderwerp ontdekt. En, ik herhaal, het is... het is gewoon super! Je bent al beter dan de overgrote meerderheid van je leeftijdsgenoten.

Het probleem is dat dit misschien niet genoeg is...

Waarvoor?

Voor succesvol slagen voor het examen, voor toelating tot het instituut op de begroting en, BELANGRIJK, voor het leven.

Ik zal je van niets overtuigen, ik zal maar één ding zeggen...

Mensen die hebben ontvangen een goede opleiding, verdienen veel meer dan degenen die het niet hebben ontvangen. Dit zijn statistieken.

Maar dit is niet het belangrijkste.

Het belangrijkste is dat ze MEER GELUKKIG zijn (er zijn dergelijke onderzoeken). Misschien omdat er veel voor hen opengaat. meer mogelijkheden en het leven wordt helderder? Weet niet...

Maar denk zelf na...

Wat is er nodig om er zeker van te zijn dat u op het examen beter bent dan anderen en uiteindelijk ... gelukkiger bent?

VUL JE HAND, PROBLEMEN OPLOSSEN OVER DIT ONDERWERP.

Op het examen wordt er geen theorie aan je gevraagd.

Je zal nodig hebben problemen op tijd oplossen.

En als je ze niet (VEEL!) hebt opgelost, maak je zeker ergens een domme fout of kom je gewoon niet op tijd.

Het is net als in sport - je moet het vaak herhalen om zeker te winnen.

Vind een collectie waar je maar wilt noodzakelijkerwijs met oplossingen gedetailleerde analyse en beslis, beslis, beslis!

Je kunt onze taken gebruiken (niet noodzakelijk) en we raden ze zeker aan.

Om een handje te helpen met onze taken, moet je helpen de levensduur van het YouClever-leerboek dat je momenteel aan het lezen bent te verlengen.

Hoe? Er zijn twee opties:

Ontgrendel de toegang tot alle verborgen taken in dit artikel - 299 roebel.
Ontgrendel de toegang tot alle verborgen taken in alle 99 artikelen van de tutorial - 499 roebel.

Ja, we hebben 99 van dergelijke artikelen in het leerboek en toegang tot alle taken en alle verborgen teksten erin kunnen onmiddellijk worden geopend.

Toegang tot alle verborgen taken wordt geboden gedurende de hele levensduur van de site.

Tot slot...

Als je onze taken niet leuk vindt, zoek dan anderen. Stop niet met theorie.

"Begrepen" en "Ik weet hoe ik het moet oplossen" zijn totaal verschillende vaardigheden. Je hebt beide nodig.

Zoek problemen en los ze op!