De som van irrationele getallen is een irrationeel getal. Essentie en aanduiding

gehele getallen

Definitie van natuurlijke getallen zijn gehele getallen positieve getallen. Natuurlijke getallen worden gebruikt om objecten te tellen en voor vele andere doeleinden. Hier zijn de cijfers:

Dit is een natuurlijke reeks getallen.
Nul is een natuurlijk getal? Nee, nul is geen natuurlijk getal.
Hoeveel natuurlijke getallen bestaan? Bestaan oneindige reeks natuurlijke getallen.
Wat is het kleinste natuurlijke getal? Een is het kleinste natuurlijke getal.
Wat is het grootste natuurlijke getal? Het kan niet worden gespecificeerd, omdat er een oneindige reeks natuurlijke getallen is.

De som van natuurlijke getallen is een natuurlijk getal. Dus de optelling van natuurlijke getallen a en b:

Het product van natuurlijke getallen is een natuurlijk getal. Dus het product van de natuurlijke getallen a en b:

c is altijd een natuurlijk getal.

Verschil van natuurlijke getallen Er is niet altijd een natuurlijk getal. Als de minuend groter is dan de aftrekking, dan is het verschil van natuurlijke getallen een natuurlijk getal, anders niet.

Het quotiënt van natuurlijke getallen Er is niet altijd een natuurlijk getal. Als voor natuurlijke getallen a en b

waarbij c een natuurlijk getal is, betekent dit dat a deelbaar is door b. In dit voorbeeld is a het deeltal, b de deler, c het quotiënt.

De deler van een natuurlijk getal is het natuurlijke getal waardoor het eerste getal deelbaar is.

Elk natuurlijk getal is deelbaar door 1 en door zichzelf.

Eenvoudige natuurlijke getallen zijn alleen deelbaar door 1 en zichzelf. Hier bedoelen we volledig verdeeld. Voorbeeld, nummers 2; 3; 5; 7 is alleen deelbaar door 1 en zichzelf. Dit zijn eenvoudige natuurlijke getallen.

Een wordt niet als een priemgetal beschouwd.

Getallen die groter zijn dan één en die geen priemgetallen zijn, worden samengestelde getallen genoemd. Voorbeelden van samengestelde getallen:

Een wordt niet als een samengesteld getal beschouwd.

De verzameling natuurlijke getallen is één, priemgetallen en samengestelde getallen.

De verzameling natuurlijke getallen wordt aangegeven Latijnse letter N.

Eigenschappen van optellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen:

commutatieve eigenschap van optellen

associatieve eigenschap van optellen

(a + b) + c = een + (b + c);

commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging

associatieve eigenschap van vermenigvuldiging

(ab)c = een(bc);

distributieve eigenschap van vermenigvuldiging

A (b + c) = ab + ac;

Hele getallen

Gehele getallen zijn natuurlijke getallen, nul en het tegenovergestelde van natuurlijke getallen.

Getallen tegengesteld aan natuurlijke getallen zijn negatieve gehele getallen, bijvoorbeeld:

1; -2; -3; -4;...

De verzameling gehele getallen wordt aangegeven met de Latijnse letter Z.

Rationele nummers

Rationele getallen zijn gehele getallen en breuken.

Elk rationaal getal kan worden weergegeven als een periodieke breuk. Voorbeelden:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Uit de voorbeelden is het duidelijk dat elk geheel getal is periodieke breuk met periode nul.

Elk rationaal getal kan worden weergegeven als een breuk m/n, waarbij m een ​​geheel getal is getal, n natuurlijk nummer. Laten we het getal 3, (6) uit het vorige voorbeeld als zo'n breuk voorstellen.

De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt aangegeven met de letter N. Natuurlijke getallen zijn de getallen die we gebruiken om objecten te tellen: 1,2,3,4, ... In sommige bronnen wordt het getal 0 ook wel natuurlijke getallen genoemd.

De verzameling van alle gehele getallen wordt aangegeven met de letter Z. Gehele getallen zijn allemaal natuurlijke getallen, nul en negatieve getallen:

1,-2,-3, -4, …

Nu voegen we aan de verzameling van alle gehele getallen de verzameling van alle toe gewone breuken: 2/3, 18/17, -4/5 enzovoort. Dan krijgen we de set van alles rationele nummers.

Reeks rationale getallen

De verzameling van alle rationale getallen wordt aangegeven met de letter Q. De verzameling van alle rationale getallen (Q) is de verzameling bestaande uit getallen van de vorm m/n, -m/n en het getal 0. In als n,m kan elk natuurlijk getal zijn. Opgemerkt moet worden dat alle rationale getallen kunnen worden weergegeven als een eindige of oneindige PERIODIEKE decimale breuk. Het omgekeerde is ook waar, dat elke eindige of oneindige periodieke decimale breuk kan worden geschreven als een rationaal getal.

Maar hoe zit het bijvoorbeeld met het nummer 2.0100100010…? Het is oneindig NIET-PERIODIEK decimale. En het is niet van toepassing op rationale getallen.

BIJ schoolcursus Algebra's worden alleen bestudeerd met echte (of echte) getallen. veel van allemaal echte getallen aangeduid met de letter R. De verzameling R bestaat uit alle rationale en alle irrationele getallen.

Het concept van irrationele getallen

Irrationele nummers zijn allemaal oneindige decimalen niet-periodieke breuken. Irrationele getallen hebben geen speciale notatie.

Alle getallen die bijvoorbeeld worden verkregen door de vierkantswortel te extraheren van natuurlijke getallen die geen kwadraten van natuurlijke getallen zijn, zijn irrationeel. (√2, √3, √5, √6, enz.).

Maar denk niet dat irrationele getallen alleen worden verkregen door vierkantswortels te extraheren. Het getal "pi" is bijvoorbeeld ook irrationeel en wordt verkregen door deling. En hoe hard je ook probeert, je krijgt het niet door te extraheren Vierkantswortel van elk natuurlijk getal.

Met een segment van eenheidslengte wisten oude wiskundigen al: ze kenden bijvoorbeeld de onvergelijkbaarheid van de diagonaal en de zijde van het vierkant, wat gelijk is aan de irrationaliteit van het getal.

Irrationeel zijn:

Irrationaliteitsbestendige voorbeelden

Wortel van 2

Neem het tegendeel aan: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven als een onherleidbare breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Laten we de veronderstelde gelijkheid kwadrateren:

.

Hieruit volgt dat even, dus even en . Laat waar het geheel. Dan

Daarom, even, daarom even en . We hebben dat verkregen en zijn even, wat in tegenspraak is met de onherleidbaarheid van de breuk . Vandaar dat de oorspronkelijke aanname verkeerd was en een irrationeel getal is.

Binaire logaritme van het getal 3

Neem het tegendeel aan: het is rationeel, dat wil zeggen, het wordt weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn. Sinds , en kan positief worden opgevat. Dan

Maar het is duidelijk, het is vreemd. We krijgen een contradictie.

e

Verhaal

Het concept van irrationele getallen werd impliciet overgenomen door Indiase wiskundigen in de 7e eeuw voor Christus, toen Manawa (ca. 750 voor Christus - ca. 690 voor Christus) ontdekte dat de vierkantswortels van sommige natuurlijke getallen, zoals 2 en 61, niet expliciet kunnen worden uitgedrukt.

Het eerste bewijs van het bestaan ​​van irrationele getallen wordt gewoonlijk toegeschreven aan Hippasus van Metapontus (ca. 500 v.Chr.), een Pythagoreeër die dit bewijs vond door de lengtes van de zijden van een pentagram te bestuderen. In de tijd van de Pythagoreeërs geloofde men dat er een enkele lengte-eenheid is, voldoende klein en ondeelbaar, wat een geheel aantal keren is dat in elk segment is opgenomen. Hippasus voerde echter aan dat er geen enkele lengte-eenheid is, omdat de aanname van het bestaan ​​ervan tot een tegenstrijdigheid leidt. Hij toonde aan dat als de hypotenusa van een gelijkbenige rechthoekige driehoek bevat een geheel aantal eenheidssegmenten, dan moet dit aantal tegelijkertijd even en oneven zijn. Het bewijs zag er als volgt uit:

• De verhouding van de lengte van de hypotenusa tot de lengte van het been van een gelijkbenige rechthoekige driehoek kan worden uitgedrukt als a:b, waar a en b zo klein mogelijk gekozen.
• Volgens de stelling van Pythagoras: a² = 2 b².
• Als a² zelfs, a moet even zijn (aangezien het kwadraat van een oneven getal oneven zou zijn).
• Voor zover a:b onherleidbaar b moet vreemd zijn.
• Als a zelfs, duiden a = 2ja.
• Dan a² = 4 ja² = 2 b².
• b² = 2 ja², daarom b is gelijk, dan b ook al.
• Het is echter bewezen dat b vreemd. Tegenspraak.

Griekse wiskundigen noemden deze verhouding van incommensurabele hoeveelheden alogos(onuitsprekelijk), maar volgens de legendes kreeg Hippasus niet het nodige respect. Er is een legende dat Hippasus de ontdekking deed terwijl hij in zeereis, en werd overboord gegooid door andere Pythagoreeërs "voor het creëren van een element van het universum dat de doctrine ontkent dat alle entiteiten in het universum kunnen worden teruggebracht tot gehele getallen en hun verhoudingen." De ontdekking van Hippas vóór de wiskunde van Pythagoras serieus probleem, het vernietigen van de veronderstelling die ten grondslag ligt aan de hele theorie dat getallen en geometrische objecten één en onafscheidelijk zijn.

zie ook

Opmerkingen:

Numerieke systemen
Tellen sets	Natuurlijke getallen () Gehele getallen ()

Het begrijpen van getallen, vooral natuurlijke getallen, is een van de oudste wiskundige "vaardigheden". Veel beschavingen, zelfs moderne, schreven mystieke eigenschappen toe aan getallen vanwege hun grote belang bij het beschrijven van de natuur. Hoewel moderne wetenschap en de wiskunde bevestigt deze "magische" eigenschappen niet, het belang van de getaltheorie staat buiten kijf.

Historisch gezien verschenen voor het eerst veel natuurlijke getallen, daarna werden er vrij snel breuken en positieve irrationele getallen aan toegevoegd. Nul- en negatieve getallen werden geïntroduceerd na deze subsets van de verzameling reële getallen. Laatste set, set complexe getallen verscheen pas met de ontwikkeling van de moderne wetenschap.

In de moderne wiskunde worden getallen niet ingevoerd historische volgorde, hoewel redelijk dichtbij.

Natuurlijke getallen $\mathbb(N)$

De verzameling natuurlijke getallen wordt vaak aangeduid als $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, en wordt vaak opgevuld met nul om $\mathbb(N)_0$ aan te duiden.

$\mathbb(N)$ definieert de bewerkingen van optellen (+) en vermenigvuldigen ($\cdot$) met de volgende eigenschappen: voor elke $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ de verzameling $\mathbb(N)$ wordt gesloten onder optellen en vermenigvuldigen
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ commutativiteit
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ associativiteit
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributiviteit
5. $a\cdot 1=a$ is het neutrale element voor vermenigvuldiging

Aangezien de verzameling $\mathbb(N)$ een neutraal element bevat voor vermenigvuldigen maar niet voor optellen, zorgt het optellen van nul bij deze verzameling ervoor dat het een neutraal element voor optellen bevat.

Naast deze twee bewerkingen, op de verzameling $\mathbb(N)$ de relaties "minder dan" ($

1. $a b$ trichotomie
2. als $a\leq b$ en $b\leq a$, dan is $a=b$ een antisymmetrie
3. als $a\leq b$ en $b\leq c$, dan is $a\leq c$ transitief
4. als $a\leq b$, dan $a+c\leq b+c$
5. als $a\leq b$, dan $a\cdot c\leq b\cdot c$

Gehele getallen $\mathbb(Z)$

Voorbeelden van gehele getallen:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

De oplossing van de vergelijking $a+x=b$, waarbij $a$ en $b$ bekende natuurlijke getallen zijn, en $x$ een onbekend natuurlijk getal is, vereist de introductie van een nieuwe bewerking - aftrekken(-). Als er een natuurlijk getal $x$ is dat aan deze vergelijking voldoet, dan is $x=b-a$. Deze specifieke vergelijking heeft echter niet noodzakelijkerwijs een oplossing op de verzameling $\mathbb(N)$, dus praktische overwegingen vereisen dat de verzameling natuurlijke getallen zodanig wordt uitgebreid dat er ook oplossingen voor een dergelijke vergelijking zijn. Dit leidt tot de introductie van een reeks gehele getallen: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Aangezien $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, is het logisch om aan te nemen dat de eerder geïntroduceerde operaties $+$ en $\cdot$ en de relatie $ 1. $0+a=a+0=a$ er is een neutraal element voor toevoegingen
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ bestaat tegenovergestelde cijfer$-a$ voor $a$

5. Eigendom:
5. als $0\leq a$ en $0\leq b$, dan $0\leq a\cdot b$

De verzameling $\mathbb(Z) $ is ook gesloten onder aftrekken, dat wil zeggen $(\voor alle a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Rationele getallen $\mathbb(Q)$

Voorbeelden van rationale getallen:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Beschouw nu vergelijkingen van de vorm $a\cdot x=b$, waarbij $a$ en $b$ bekende gehele getallen zijn en $x$ onbekend is. Om de oplossing mogelijk te maken, is het nodig om de delingsoperatie ($:$) in te voeren, en de oplossing wordt $x=b:a$, dat wil zeggen $x=\frac(b)(a)$. Nogmaals, het probleem doet zich voor dat $x$ niet altijd bij $\mathbb(Z)$ hoort, dus de verzameling gehele getallen moet worden uitgebreid. We introduceren dus de verzameling rationale getallen $\mathbb(Q)$ met elementen $\frac(p)(q)$, waarbij $p\in \mathbb(Z)$ en $q\in \mathbb(N) $. De verzameling $\mathbb(Z)$ is een deelverzameling waarin elk element $q=1$, dus $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ en de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen ook op deze verzameling van toepassing zijn aan de volgende regels, die alle bovenstaande eigenschappen ook op de set $\mathbb(Q)$ behouden:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

De verdeling wordt als volgt ingevoerd:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Op de verzameling $\mathbb(Q)$ heeft de vergelijking $a\cdot x=b$ een unieke oplossing voor elke $a\neq 0$ (er is geen deling door nul gedefinieerd). Dit betekent dat er een invers element $\frac(1)(a)$ of $a^(-1)$ is:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

De volgorde van de verzameling $\mathbb(Q)$ kan op deze manier worden verlengd:
$\frac(p_1)(q_1)

De verzameling $\mathbb(Q)$ heeft één belangrijk bezit: tussen twee willekeurige rationale getallen zijn er oneindig veel andere rationale getallen, daarom zijn er geen twee aangrenzende rationale getallen, in tegenstelling tot de verzamelingen natuurlijke en gehele getallen.

Irrationele getallen $\mathbb(I)$

Voorbeelden van irrationele getallen:
$\sqrt(2) \ongeveer 1.41422135...$
$\pi \ongeveer 3.1415926535...$

Aangezien er oneindig veel andere rationale getallen zijn tussen twee willekeurige getallen, is het gemakkelijk om ten onrechte te concluderen dat de verzameling rationale getallen zo compact is dat het niet nodig is om deze verder uit te breiden. Zelfs Pythagoras maakte ooit zo'n fout. Zijn tijdgenoten hebben deze conclusie echter al weerlegd bij het bestuderen van oplossingen van de vergelijking $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) op de verzameling rationale getallen. Om zo'n vergelijking op te lossen, is het nodig om het concept van een vierkantswortel te introduceren, en dan heeft de oplossing van deze vergelijking de vorm $x=\sqrt(2)$. Een vergelijking van het type $x^2=a$, waarbij $a$ een bekend rationaal getal is en $x$ een onbekende, heeft niet altijd een oplossing voor de verzameling rationale getallen, en opnieuw is er een behoefte om de set uit te breiden. Er ontstaat een verzameling irrationele getallen, en getallen als $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... behoren tot deze verzameling.

Reële getallen $\mathbb(R)$

De vereniging van de verzamelingen van rationale en irrationele getallen is de verzameling van reële getallen. Aangezien $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ weer logisch is aan te nemen dat de geïntroduceerde rekenkundige bewerkingen en relaties hun eigenschappen behouden op de nieuwe verzameling. Het formele bewijs hiervan is erg moeilijk, dus de bovengenoemde eigenschappen van rekenkundige bewerkingen en relaties op de verzameling reële getallen worden geïntroduceerd als axioma's. In de algebra wordt zo'n object een veld genoemd, dus de verzameling reële getallen wordt een geordend veld genoemd.

Om de definitie van de verzameling reële getallen compleet te maken, is het nodig om een ​​extra axioma in te voeren dat de verzamelingen $\mathbb(Q)$ en $\mathbb(R)$ onderscheidt. Neem aan dat $S$ een niet-lege deelverzameling is van de verzameling reële getallen. Een element $b\in \mathbb(R)$ wordt de bovengrens van $S$ genoemd als $\forall x\in S$ voldoet aan $x\leq b$. Dan wordt gezegd dat de verzameling $S$ van bovenaf begrensd is. De kleinste bovengrens van een set $S$ wordt supremum genoemd en wordt aangegeven met $\sup S$. De noties van een ondergrens, een hieronder begrensde verzameling en een infinum $\inf S$ worden op dezelfde manier geïntroduceerd. Nu is het ontbrekende axioma als volgt geformuleerd:

Elke niet-lege en begrensde deelverzameling van de reeks reële getallen heeft een supremum.
Het kan ook worden bewezen dat het hierboven gedefinieerde veld van reële getallen uniek is.

Complexe getallen$\mathbb(C)$

Voorbeelden van complexe getallen:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ waarbij $i = \sqrt(-1)$ of $i^2 = -1$

De verzameling complexe getallen is alle geordende paren van reële getallen, d.w.z. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, waarop de bewerkingen van optellen en vermenigvuldiging worden als volgt gedefinieerd:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Er zijn verschillende manieren om complexe getallen te schrijven, de meest voorkomende is $z=a+ib$, waarbij $(a,b)$ een paar reële getallen is, en het getal $i=(0,1)$ heet de denkbeeldige eenheid.

Het is gemakkelijk om aan te tonen dat $i^2=-1$. De uitbreiding van de verzameling $\mathbb(R)$ tot de verzameling $\mathbb(C)$ stelt ons in staat om de vierkantswortel te bepalen van negatieve getallen, wat de reden was voor de introductie van de verzameling complexe getallen. Het is ook gemakkelijk aan te tonen dat een deelverzameling van de verzameling $\mathbb(C)$ gegeven als $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ aan alle de axioma's voor reële getallen, vandaar $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, of $R\subset\mathbb(C)$.

De algebraïsche structuur van de verzameling $\mathbb(C)$ met betrekking tot de bewerkingen van optellen en vermenigvuldigen heeft de volgende eigenschappen:
1. commutativiteit van optellen en vermenigvuldigen
2. associativiteit van optellen en vermenigvuldigen
3. $0+i0$ - neutraal element voor toevoeging
4. $1+i0$ - neutraal element voor vermenigvuldiging
5. vermenigvuldigen is distributief met betrekking tot optellen
6. Er is een enkel invers element voor zowel optellen als vermenigvuldigen.