Градусний захід кута. Радіанний захід кута

Градусний захід кута. Радіанний захід кута. Переведення градусів у радіани та назад.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

У попередньому уроці ми опанували відлік кутів на тригонометричному колі. Дізналися, як відраховувати позитивні та негативні кути. Усвідомили, як намалювати кут понад 360 градусів. Настав час розібратися з виміром кутів. Особливо з числом "Пі", яке так і норовить заплутати нас у хитрих завданнях, та...

Стандартні завдання тригонометрії з числом "Пі" вирішуються непогано. Зорова пам'ять рятує. А ось будь-яке відхилення від шаблону – валить наповал! Щоб не впасти - розумітитреба. Що ми з успіхом зараз і зробимо. У сенсі – все зрозуміємо!

Отже, у чому вважаються кути? У шкільному курсітригонометрії використовуються два заходи: градусний захід кутаі радіальний захід кута. Розберемо ці заходи. Без цього у тригонометрії – нікуди.

Градусний захід кута.

До градусів ми якось звикли. Геометрію сяк-так проходили... Та й у житті частенько зустрічаємося з фразою "повернув на 180 градусів", наприклад. Градус, коротше, штука проста...

Так? Дайте відповідь мені тоді, що таке градус? Що, не виходить із ходу? Отож...

Градуси придумали у Стародавньому Вавилоні. Давненько це було... Віків 40 тому... І придумали просто. Взяли та розбили коло на 360 рівних частин. 1 градус - це 1/360 частина кола. І все. Могли розбити на 100 частин. Або на 1000. Але розбили на 360. До речі, чому саме на 360? Чим 360 краще за 100? 100, начебто якось рівніше... Спробуйте відповісти на це питання. Або слабо проти Стародавнього Вавилону?

Десь у той же час, у Стародавньому Єгиптімучилися іншим питанням. У скільки разів довжина кола більша за довжину її діаметра? І так вимірювали, і так... Все виходило трохи більше трьох. Але якось кудлато виходило, нерівно... Але вони, єгиптяни не винні. Після них ще століть 35 мучилися. Поки що остаточно не довели, що як би дрібно не нарізати коло на рівні шматочки, з таких шматочків скласти рівнодовжину діаметра не можна... У принципі, не можна. Ну, скільки разів коло більше діаметра встановили, звичайно. Приблизно. У 3,1415926... разів.

Це і є число "Пі". Ось уже кудлате, так кудлате. Після коми - нескінченна кількість цифр без жодного порядку... Такі числа називаються ірраціональними. Це, до речі, і означає, що з рівних шматочків кола діаметр рівноне скласти. Ніколи.

Для практичного застосуванняприйнято запам'ятовувати лише дві цифри після коми. Запам'ятовуємо:

Раз ми зрозуміли, що довжина кола більше діаметра в "Пі" раз, має сенс запам'ятати формулу довжини кола:

Де L- Довжина кола, а d- Її діаметр.

У геометрії знадобиться.

Для загальної освітидодам, що число "Пі" сидить не тільки в геометрії ... У різних розділах математики, а особливо в теорії ймовірності, це число виникає постійно! Само собою. Поза нашими бажаннями. Ось так.

Але повернемося до градусів. Ви зрозуміли, чому у Стародавньому Вавилоні коло розбили на 360 рівних частин? А чи не на 100, наприклад? Ні? Ну добре. Висловлю версію. У стародавніх вавилонян не спитаєш... Для будівництва, чи, скажімо, астрономії, коло зручно ділити на рівні частини. А тепер прикиньте, на які цифри ділиться націло 100, і на які – 360? І в якому варіанті цих дільників націло- Більше? Людям такий поділ дуже зручний. Але...

Як з'ясувалося набагато пізніше Стародавнього Вавилону, не всім подобаються градуси. Вищій математиці вони не подобаються... Вища математика- Жінка серйозна, за законами природи влаштована. І ця жінка заявляє: "Ви сьогодні на 360 частин коло розбили, завтра на 100 розіб'єте, післязавтра на 245... І що мені робити? Ні вже..." Довелося послухатися. Природу не обдуриш...

Довелося запровадити міру кута, що не залежить від людських вигадок. Знайомтесь - радіан!

Радіанний захід кута.

Що таке радіан? В основі визначення радіана – все одно коло. Кут в 1 радіан, це кут, який вирізує з кола дугу, довжина якої ( L) дорівнює довжині радіусу ( R). Дивимося картинки.

Маленький такий кут, майже немає його... Наводимо курсор на картинку (або торкнемося картинки на планшеті) і бачимо приблизно один радіан. L = R

Відчуваєте різницю?

Один радіан набагато більший за один градус. А скільки разів?

Дивимося таку картинку. На якій я намалював півколо. Розгорнутий кут розміром, звичайно, 180°.

А тепер я наріжу це півколо радіанами! Наводимо курсор на картинку і бачимо, що 180° укладається 3 з хвостиком радіана.

Хто вгадає, чому дорівнює цей хвостик!

Так! Цей хвостик - 0,1415926.... Здрастуйте, число "Пі", ми тебе ще не забули!

Справді, в 180 градусах укладається 3,1415926... радіан. Як ви самі розумієте, постійно писати 3,1415926... незручно. Тому замість цього нескінченного числа завжди пишуть просто:

А ось в Інтернеті число

писати незручно... Тому я в тексті пишу його на ім'я - "Пі". Не заплутаєтеся, мабуть?

Ось тепер цілком осмислено можна записати наближену рівність:

Або точну рівність:

Визначимо, скільки градусів в одному радіані. Як? Легко! Якщо в 3,14 радіанах 180 градусів, то в 1 радіані в 3,14 разів менше! Тобто ми ділимо перше рівняння (формула - це теж рівняння!) на 3,14:

Це співвідношення корисно запам'ятати В одному радіані приблизно 60 °. У тригонометрії дуже часто доводиться прикидати, оцінювати ситуацію. Ось тут це знання дуже допомагає.

Але головне вміння цієї теми – переведення градусів у радіани і назад.

Якщо кут заданий у радіанах із числом "Пі", все дуже просто. Ми знаємо, що "Пі" радіан = 180 °. Ось і підставляємо замість "Пі" радіан – 180°. Отримуємо кут у градусах. Скорочуємо, що скорочується, і відповідь готова. Наприклад, нам потрібно з'ясувати, скільки градусіву куті "Пі"/2 радіан? Ось і пишемо:

Або, більш екзотичний вираз:

Чи легко, так?

Зворотний переклад трохи складніший. Але не дуже. Якщо кут дано в градусах, ми повинні зрозуміти, чому дорівнює один градус у радіанах, і помножити це число на кількість градусів. Чому дорівнює 1° у радіанах?

Дивимося на формулу і розуміємо, що якщо 180 ° = "Пі" радіан, то 1 ° в 180 разів менше. Або, іншими словами, ділимо рівняння (формула - це теж рівняння!) на 180. Уявляти "Пі" як 3,14 ніякої потреби немає, його все одно завжди буквою пишуть. Отримуємо, що один градус дорівнює:

От і все. Помножуємо число градусів на це значення та отримуємо кут у радіанах. Наприклад:

Або, аналогічно:

Як бачите, у неспішній бесіді з ліричними відступамиз'ясувалося, що радіани – це дуже просто. Та й переклад без проблем... І "Пі" - цілком толерантна штука... То звідки плутанина!?

Незабаром таємницю. Справа в тому, що в тригонометричних функціях значок градусів пишеться. Завжди. Наприклад, sin35 °. Це синус 35 градусів . А значок радіанів ( радий) – не пишеться! Він мається на увазі. Чи ліньки математиків охопила, чи ще що... Але вирішили не писати. Якщо всередині синуса – котангенса немає жодних значків, то кут – у радіанах ! Наприклад, cos3 - це косинус трьох радіанів .

Це і призводить до незрозумілих... Людина бачить "Пі" і вважає, що це 180°. Завжди і скрізь. Це, до речі, спрацьовує. До певного часу, поки приклади - стандартні. Але "Пі" – це число! Число 3,14, а ніякі не градуси! Це "Пі" радіан = 180 °!

Ще раз: "Пі" - це число! 3,14. Ірраціональне, але число. Таке саме, як 5 або 8. Можна, наприклад, зробити приблизно "Пі" кроків. Три кроки і ще трішки. Або купити "Пі" кілограмів цукерок. Якщо продавець освічений попадеться...

"Пі" – це число! Що, дістав я вас цією фразою? Ви вже давно зрозуміли? Ну добре. Перевіримо. Скажіть, яке число більше?

Або що менше?

Це із серії трохи нестандартних питань, які можуть і у ступор увігнати...

Якщо ви теж у ступор впали, згадуємо заклинання: "Пі" – це число! 3,14. У першому синусі чітко зазначено, що кут - у градусах! Отже, замінювати "Пі" на 180 ° - не можна! "Пі" градусів - це приблизно 3,14 °. Отже, можна записати:

У другому синусі позначень жодних немає. Значить, там - радіани! Ось тут заміна "Пі" на 180 ° цілком прокотить. Перекладаємо радіани в градуси, як написано вище, отримуємо:

Залишилося порівняти ці два синуси. Що. забули, як? За допомогою тригонометричного кола, звичайно! Малюємо коло, малюємо зразкові кути в 60 ° і 1,05 °. Дивимося, які синуси у цих кутів. Коротше, все, як наприкінці теми про тригонометричне коло розписано. На колі (навіть самому кривому!) буде чітко видно, що sin60°значно більше, ніж sin1,05°.

Абсолютно аналогічно зробимо і з косинусами. На колі намалюємо кути приблизно 4 градусита 4 радіана(Не забули, чому приблизно дорівнює 1 радіан?). Коло все й скаже! Звичайно, cos4 менше cos4 °.

Потренуємося у поводженні з заходами кута.

Переведіть ці кути із градусної міри в радіальну:

360 °; 30 °; 90 °; 270 °; 45 °; 0 °; 180 °; 60°

У вас мають вийти такі значення в радіанах (в іншому порядку!)

0

Я, між іншим, спеціально виділив відповіді у два рядки. Ану, зрозуміємо, що за кути в першому рядку? Хоч у градусах, хоч у радіанах?

Так! Це осі системи координат! Якщо дивитися по тригонометричному колу, то рухома сторона кута при цих значеннях точно потрапляє на осі. Ці значення слід знати залізно. І кут 0 градусів (0 радіан) я відзначив недаремно. А то деякі цей кут ніяк на колі знайти не можуть... І, відповідно, у тригонометричних функціях нуля плутаються... Інша річ, що положення рухомої сторони в нулі градусів збігається зі становищем у 360°, так збіги на колі - суцільно. поряд.

У другому рядку - теж кути спеціальні... Це 30 °, 45 ° і 60 °. І що у них такого спеціального? Особливо – нічого. Єдина відмінність цих кутів від решти - саме про ці кути ви повинні знати всі. І де вони розташовуються, і які у цих кутів тригонометричні функції. Скажімо, значення sin100°ви знати не повинні. А sin45°- Будьте люб'язні! Це обов'язкові знання, без яких у тригонометрії нема чого робити... Але про це докладніше - у наступному уроці.

А поки що продовжимо тренування. Переведіть ці кути з радіанної міри в градусну:

У вас повинні вийти такі результати (безладно):

210 °; 150 °; 135 °; 120 °; 330 °; 315 °; 300 °; 240 °; 225 °.

Вийшло? Тоді можна вважати, що переведення градусів у радіани і назад- вже не ваша проблема.) Але переклад кутів - це перший крок до осягнення тригонометрії. Там же ще із синусами-косинусами працювати треба. Та й із тангенсами, котангенсами теж...

Другий потужний крок – це вміння визначати положення будь-якого кута на тригонометричному колі. І у градусах, і в радіанах. Про це вміння я буду вам у всій тригонометрії занудно натякати, так...) Якщо ви все знаєте (або думаєте, що все знаєте) про тригонометричне коло, і відлік кутів на тригонометричному колі, можете перевіритися. Розв'яжіть ці нескладні завдання:

1. У яку чверть потрапляють кути:

45 °, 175 °, 355 °, 91 °, 355 °?

Чи легко? Продовжуємо:

2. У яку чверть потрапляють кути:

402 °, 535 °, 3000 °, -45 °, -325 °, -3000 °?

Теж без проблем? Ну, дивіться...)

3. Чи зможете розмістити по чвертях кути:

Чи змогли? Ну ви даєте..)

4. На які осі потрапить куточок:

та куточок:

Теж легко? Хм...)

5. У яку чверть потрапляють кути:

І це вийшло!? Ну, тоді я прямо не знаю...)

6. Визначити, в яку чверть попадають кути:

1, 2, 3 та 20 радіанів.

Відповідь дам тільки на останнє запитання (він трохи хитрий) останнього завдання. Кут у 20 радіанів потрапить у першу чверть.

Інші відповіді не дам не з жадібності.) Просто, якщо ви не вирішиличогось, сумніваєтесяв результаті, або на завдання №4 витратили більше 10 секунд,ви слабо орієнтуєтесь у колі. Це буде вашою проблемою у всій тригонометрії. Краще її (проблеми, а не тригонометрії!)) позбутися відразу. Це можна зробити в темі: Практична робота з тригонометричним колом у розділі 555.

Там розказано, як просто та правильно вирішувати такі завдання. Та й ці завдання вирішені, зрозуміло. І четверте завдання вирішено за 10 секунд. Так вирішено, що будь-хто зможе!

Якщо ж ви абсолютно впевнені у своїх відповідях і вас не цікавлять прості та безвідмовні способи роботи з радіанами – можете не відвідувати 555. Не наполягаю.)

Хороше розуміння- Досить вагома причина, щоб рухатися далі!)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Захоплені математикою люди по всьому світу щорічно з'їдають шматочком пирога чотирнадцятого березня - адже це день числа Пі, найвідомішого ірраціонального числа. Ця дата пов'язана з числом, перші цифри якого 3,14. Пі - це співвідношення довжини кола до діаметра. Так як воно ірраціональне, записати його у вигляді дробу неможливо. Це нескінченно довге число. Його виявили тисячі років тому і з того часу постійно вивчають, але чи залишилися у Пі якісь секрети? Від стародавнього походженнядо невизначеного майбутнього ось кілька найцікавіших фактів про кількість Пі.

Запам'ятовування Пі

Рекорд у запам'ятовуванні цифр після коми належить Раджвір Міне з Індії, якому вдалося запам'ятати 70 000 цифр - він поставив рекорд двадцять першого березня 2015 року. До цього рекордсменом був Чао Лу з Китаю, якому вдалося запам'ятати 67 890 цифр - цей рекорд було поставлено 2005-го. Неофіційним рекордсменом є Акіра Харагучі, який записав на відео своє повторення 100 000 цифр у 2005-му і нещодавно опублікував відео, де йому вдається згадати 117 000 цифр. Офіційним рекорд став би лише в тому випадку, якби це відео було записано у присутності представника книги рекордів Гіннеса, а без підтвердження він залишається лише вражаючим фактомале не вважається досягненням. Ентузіасти математики люблять заучувати цифру Пі. Багато людей використовують різні мнемонічні техніки, наприклад вірші, де кількість літер у кожному слові збігаються з цифрами Пі. У кожній мові є свої варіанти подібних фраз, які допомагають запам'ятати як перші кілька цифр, так і цілу сотню.

Існує мова Пі

Захоплені літературою математики винайшли діалект, у якому число букв у всіх словах відповідає цифрам Пі у точному порядку. Письменник Майк Кіт навіть написав книгу Not a Wake, яка повністю створена мовою Пі. Ентузіасти такої творчості пишуть свої твори у повній відповідності кількості букв до значення цифр. Це не має жодного прикладного застосування, але є досить поширеним та відомим явищем у колах захоплених учених.

Експонентне зростання

Пі - це нескінченне число, тому люди за визначенням ніколи не зможуть встановити точні цифри цього числа. Однак кількість цифр після коми сильно зросла з часів першого використання Пі. Ще вавилоняни ним користувалися, але їм було достатньо дробу в три цілих і одну восьму. Китайці та творці Старого Завітуі зовсім обмежувалися трійкою. До 1665 сер Ісаак Ньютон обчислив 16 цифр Пі. До 1719 року французький математикТом Фанте де Ланьї вирахував 127 цифр. Поява комп'ютерів радикальним чином покращила знання людини про Пі. З 1949 року по 1967 кількість відомих людиніцифр стрімко виросло з 2037 до 500 000. Нещодавно Петер Труеб, учений зі Швейцарії, зміг вирахувати 2,24 трильйона цифр Пі! На це знадобилося 105 днів. Зрозуміло, це межа. Цілком імовірно, що з розвитком технологій можна буде встановити ще більше точну цифру- оскільки Пі нескінченно, межі точності просто немає, і обмежити її можуть лише технічні особливості обчислювальної техніки.

Обчислення Пі вручну

Якщо ви хочете знайти число самостійно, ви можете використовувати старомодну техніку - вам знадобляться лінійка, банка та мотузка, можна також використовувати транспортир та олівець. Мінус використання банки в тому, що вона має бути круглою, і точність визначатиметься тим, наскільки добре людина може намотувати мотузку навколо неї. Можна намалювати коло транспортиром, але це вимагає навичок і точності, оскільки нерівне коло може серйозно спотворити ваші виміри. Більше точний методпередбачає використання геометрії. Розділіть коло на безліч сегментів, як піцу на шматочки, а потім обчисліть довжину прямої лінії, яка перетворила б кожен сегмент на рівнобедрений трикутник. Сума сторін надасть приблизне число Пі. Чим більше сегментів ви використовуєте, тим точнішим буде число. Зрозуміло, у своїх обчисленнях ви не зможете наблизитися до результатів комп'ютера, проте ці прості дослідидозволяють більш детально зрозуміти, що взагалі є числом Пі і яким чином воно використовується в математиці.

Відкриття Пі

Стародавні вавилоняни знали про існування числа Пі вже чотири тисячі років тому. Вавилонські таблички обчислюють Пі як 3,125, а єгипетському математичному папірусі зустрічається число 3,1605. У Біблії число Пі дається в застарілій довжині - в ліктях, а грецький математик Архімед використовував для опису Пітеорему Піфагора, геометричне співвідношення довжини сторін трикутника та площі фігур усередині та зовні кіл. Таким чином, можна з упевненістю сказати, що Пі є одним із найдавніших математичних понятьхоч точна назва даного числата з'явилося відносно недавно.

Новий погляд на Пі

Ще до того, як число Пі стали співвідносити з колами, математики вже мали безліч способів навіть для найменування цього числа. Наприклад, у старовинних підручниках з математики можна знайти фразу латиною, яку можна грубо перекласти як «кількість, яка показує довжину, коли на нього множиться діаметр». Ірраціональне число прославилося тоді, коли швейцарський учений Леонард Ейлер використав його у своїх працях з тригонометрії у 1737 році. Тим не менш, грецький символ для Пі все ще не використовували - це сталося тільки в книзі менш відомого математика Вільяма Джонса. Він використав його вже в 1706 році, але це довго залишалося поза увагою. Згодом вчені прийняли таке найменування, і тепер це найвідоміша версія назви, хоча раніше її називали також лудольфовим числом.

Чи нормальне число Пі?

Число Пі безперечно дивне, але наскільки воно підпорядковується нормальним математичним законам? Вчені вже вирішили багато питань, пов'язаних із цим ірраціональним числомале деякі загадки залишаються. Наприклад, невідомо, наскільки часто використовуються всі цифри – цифри від 0 до 9 мають використовуватись у рівній пропорції. Втім, за першими трильйонами цифр статистика простежується, але через те, що число нескінченне, довести нічого неможливо. Є й інші проблеми, які поки що вислизають від учених. Цілком можливо, що подальший розвитокНаука допоможе пролити на них світло, але на Наразіце залишається поза людським інтелектом.

Пі звучить божественно

Вчені не можуть відповісти на деякі питання про кількість Пі, проте з кожним роком вони все краще розуміють його суть. Вже у вісімнадцятому столітті було доведено ірраціональність цього числа. Крім того, було доведено, що число є трансцендентним. Це означає, що ні певної формули, яка б підрахувати Пі з допомогою раціональних чисел.

Невдоволення числом Пі

Багато математиків просто закохані в Пі, але є й ті, хто вважає, що ці цифри не мають особливої ​​значущості. Крім того, вони запевняють, що число Тау, яке вдвічі більше за Пі, зручніше у використанні як ірраціональне. Тау показує зв'язок довжини кола і радіусу, що, на думку деяких, є більш логічним методом обчислення. Втім, однозначно визначити щось у даному питаннінеможливо, і в одного й іншого числа завжди будуть прихильники, обидва методи мають право на життя, так що це просто цікавий факта не привід думати, що користуватися числом Пі не варто.

Таблиця значень тригонометричних функцій складена для кутів 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 і 360 градусівта відповідних їм значень кутів у радіанах. З тригонометричних функційу таблиці наведено синус, косинус, тангенс, котангенс, секансі косеканс. Для зручності розв'язання шкільних прикладівзначення тригонометричних функційу таблиці записані у вигляді дробу із збереженням знаків вилучення кореня квадратного із чисел, що часто допомагає скорочувати складні математичні висловлювання. Для тангенсуі котангенсуЗначення деяких кутів не можуть бути визначені. Для значень тангенсуі котангенсутаких кутів у таблиці значень тригонометричних функцій стоїть прочерк. Прийнято вважати, що тангенсі котангенстаких кутів дорівнює нескінченності. На окремій сторінці є формули приведення тригонометричних функцій.

У таблиці значень для тригонометричної функції синус наведено значення для наступних кутів: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 градусною міроющо відповідає sin 0 пі, sin пі/6, sin пі/4, sin пі/3, sin пі/2, sin пі, sin 3 пі/2, sin 2 пі в радіанній мірі кутів. Шкільна таблицясинусів.

Для тригонометричної функції косинус у таблиці наведено значення для наступних кутів: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 у градусній мірі, що відповідає cos 0 пи, cos пи на 6, cos пі на 4, cos пі на 3, cos пі на 2, cos пі, cos 3 пі на 2, cos 2 пі в радіанній мірі кутів. Шкільна таблиця косінусів.

Тригонометрична таблиця для тригонометричної функції тангенс наводить значення для наступних кутів: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 у градусній мірі, що відповідає tg 0 пі, tg пі/6, tg пі/ пі/3, tg пі, tg 2 пі в радіанній мірі кутів. Наступні значеннятригонометричних функцій тангенсу не визначені tg 90, tg 270, tg пі/2, tg 3 пі/2 і вважаються рівними нескінченності.

Для тригонометричної функції котангенс у тригонометричній таблиці наведено значення наступних кутів: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 у градусній мірі, що відповідає ctg пі/6, ctg пі/4, ctg пі/3, tg пі 2, tg 3 пі/2 радіальною мірою кутів. Наступні значення тригонометричних функцій котангенсу не визначені ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пі, ctg пі, ctg 2 пі і вважаються рівними нескінченності.

Значення тригонометричних функцій секанс та косеканс наведені для таких самих кутів у градусах та радіанах, що й синус, косинус, тангенс, котангенс.

У таблиці значень тригонометричних функцій нестандартних кутів наводяться значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кутів у градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусів та в радіанах пі/12, пі/10, пі/ 8, пі/5, 3пі/8, 2пі/5 радіан. Значення тригонометричних функцій виражені через дроби і квадратні коріння для спрощення скорочення дробів у шкільних прикладах.

Ще три монстри тригонометрії. Перший — це тангенс 1,5 півтора градусів або поділений на 120. Другий — косинус поділений на 240, пі/240. Найдовший — косинус поділений на 17, пі/17.

Тригонометричне коло значень функцій синус і косинус наочно представляє знаки синуса та косинуса залежно від величини кута. Спеціально для блондинок значення косинуса підкреслені зелененькою рисочкою, щоб менше плутатися. Також дуже наочно представлений переведення градусів у радіани, коли радіани виражені через пі.

Ця тригонометрична таблиця представляє значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кутів від 0 нуля до 90 дев'яносто градусів з інтервалом через один градус. Для перших сорока п'яти градусів назви тригонометричних функцій потрібно дивитися у верхній частині таблиці. У першому стовпці вказані градуси, значення синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів записані в чотирьох стовпцях.

Для кутів від сорока п'яти до дев'яносто градусів назви тригонометричних функцій записані в нижній частині таблиці. В останньому стовпці вказані градуси, значення косінусів, синусів, котангенсів та тангенсів записані у попередніх чотирьох стовпцях. Слід бути уважними, оскільки у нижній частині тригонометричної таблиціНазви тригонометричних функцій відрізняються від назв у верхній частині таблиці. Синуси і косинуси змінюються місцями, так само, як тангенс і котангенс. Це з симетричністю значень тригонометричних функцій.

Знаки тригонометричних функцій представлені малюнку вище. Сінус має позитивні значеннявід 0 до 180 градусів або від 0 до пі. Від'ємні значеннясинус має від 180 до 360 градусів або від пі до 2 пі. Значення косинуса позитивні від 0 до 90 і від 270 до 360 градусів або від 0 до 1/2 пі та від 3/2 до 2 пі. Тангенс і котангенс мають позитивні значення від 0 до 90 градусів та від 180 до 270 градусів, що відповідає значенням від 0 до 1/2 пі та від пі до 3/2 пі. Негативні значення тангенс і котангенс мають від 90 до 180 градусів і від 270 до 360 градусів або від 1/2 до пі і від 3/2 до 2 пі. При визначенні знаків тригонометричних функцій для кутів більше 360 градусів або 2 пі слід використовувати властивості періодичності цих функцій.

Тригонометричні функції синус, тангенс та котангенс є непарними функціями. Значення цих функцій негативних кутів будуть негативними. Косинус є парною тригонометричною функцією - значення косинуса для негативного кутабуде позитивним. При множенні та розподілі тригонометричних функцій необхідно дотримуватися правил знаків.

Корінь 2/2 це скільки пі?- Це по-різному буває (дивіться картинку). Потрібно знати, яка саме тригонометрична функція дорівнює кореню з двох, поділеному на два.

Якщо вам сподобалася публікація і ви хочете знати більше, то мені в роботі над іншими матеріалами.

cos pi поділений на 2

Головна > Довідник > Математичні формули.

Математичні формули.

Переклад радіан у градуси.
A d = A r * 180/пі

Переведення градусів у радіани.
A r = A d * пі / 180
Де A d – кут у градусах, A r – кут у радіанах.

Довжина окружності.
L = 2 * пі * R

Довжина дуги кола.
L = A * R

Площа трикутника.

p=(a+b+c)/2 - напівпериметр.

Площа кола.
S = пі * R 2

Площа сектора.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2

Площа поверхні кулі.
S = 4 * пі * R 2

S = 2 * пі * R * H

Де S – площа бічної поверхні циліндра, R – радіус основи циліндра, H – висота циліндра.

S = пі * R * L

S = пі * R * L + пі * R 2

Об'єм кулі.
V = 4/3 * пі * R 3

Об'єм циліндра.
V = пі * R 2 * H

Об'єм конуса.

Розміщено: 15.01.13
Оновлено: 15.11.14
Переглядів всього: 10754
сьогодні: 1

Головна > Довідник > Математичні формули.

Єгор

Доброго вечора! Ви поставили дуже цікаве питанняСподіваюся, ми зможемо Вам допомогти.

Як вирішувати С1. Урок 2. ЄДІ з математики 2014

Нам з вами необхідно вирішити таке завдання: визначити cos pi ділений на два.
Найчастіше для вирішення таких завдань потрібно визначити показники косинуса або синуса. Для кутів від 0 до 360 градусів практично будь-яке значення cos або sin можна з легкістю знайти у відповідних табличках, які існують і поширені, як такі:

Але у нас із Вами не синус (sin), а косинус. Спершу розберемося, що таке косинус. Cos (косинус) - це одна з тригонометричних функцій. Для того, щоб вирахувати косинус гострого прямокутного трикутникаВам потрібно буде знати ставлення катета кута до гіпотенузи. Косинус pi поділений на 2 можна легко вирахувати по тригонометричній формулі, яка відноситься до стандартним формуламтригонометрії. Але якщо ми з Вами говоримо про значення косинуса pi поділений на 2, то для цього ми скористаємося таблицею, про яку вже згадували і не раз:

Успіхів Вам у подальших рішеннях подібних завдань!
Відповідь:

Головна > Довідник > Математичні формули.

Математичні формули.

Переклад радіан у градуси.
A d = A r * 180/пі

Переведення градусів у радіани.
A r = A d * пі / 180
Де A d – кут у градусах, A r – кут у радіанах.

Довжина окружності.
L = 2 * пі * R
Де L – довжина кола, R – радіус кола.

Довжина дуги кола.
L = A * R
Де L – довжина дуги кола, R – радіус кола, A – центральний кут, виражений у радіанах
Для кола A = 2 * пі (360 градусів), отримаємо L = 2 * пі * R.

Площа трикутника.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
Де S - площа трикутника, a, b, c - довжини сторін,
p=(a+b+c)/2 - напівпериметр.

Площа кола.
S = пі * R 2
Де S – площа кола, R – радіус кола.

Площа сектора.
S = L d * R/2 = (A * R 2)/2
Де S – площа сектора, R – радіус кола, L d – довжина дуги.

Площа поверхні кулі.
S = 4 * пі * R 2
Де S – площа поверхні кулі, R – радіус кулі.

Площа бічній поверхні циліндра.
S = 2 * пі * R * H
Де S – площа бічної поверхні циліндра, R – радіус основи циліндра, H – висота циліндра.

Площа повної поверхніциліндра.
S = 2 * пі * R * H + 2 * пі * R 2
Де S – площа бічної поверхні циліндра, R – радіус основи циліндра, H – висота циліндра.

Площа бічній поверхні конуса.
S = пі * R * L
Де S – площа бічної поверхні конуса, R – радіус основи конуса, L – довжина утворює конуса.

Площа повної поверхні конуса.
S = пі * R * L + пі * R 2
Де S - площа повної поверхні конуса, R - радіус основи конуса, L - довжина утворює конуса.

Об'єм кулі.
V = 4/3 * пі * R 3
Де V – обсяг кулі, R – радіус кулі.

Об'єм циліндра.
V = пі * R 2 * H
Де V – об'єм циліндра, R – радіус основи циліндра, H – висота циліндра.

Об'єм конуса.
V = пі * R * L = пі * R * H/cos (A/2) = пі * R * R/sin (A/2)
Де V - обсяг конуса, R - радіус основи конуса, L - довжина утворює конуса, A - кут при вершині конуса.

Розміщено: 15.01.13
Оновлено: 15.11.14
Переглядів всього: 10742
сьогодні: 1

Головна > Довідник > Математичні формули.

Єгор
Закріпити провід на клемах батареї Крона можна трубочкою, відрізаною від ковпачка медичної голки.

Сьогодні день народження числа Пі, який, за ініціативою американських математиків, відзначається 14 березня о 1 годині та 59 хвилинах пополудні. Пов'язано це з точнішим значенням числа Пі: всі ми звикли вважати цю константу як 3,14, але число можна продовжити так: 3, 14159... Перекладаючи це на календарну дату, отримуємо 03.14, 1:59.

Фото: АіФ/ Надія Уварова

Професор кафедри математичного та функціонального аналізу Південно-Уральського державного університету Володимир Заляпін каже, що «днем числа Пі» все ж таки слід вважати 22 липня, тому що в європейському форматі дат цей день записується як 22/7, а значення цього дробу приблизно дорівнює значенню Пі .

«Історія числа, що дає відношення довжини кола до діаметра кола, сягає далекої давнини, — розповідає Заляпін. — Вже шумери та вавилоняни знали, що це це відношення не залежить від діаметра кола і є постійним. Одна з перших згадок про кількість Пі можна зустріти в текстах єгипетського переписувача Ахмеса(близько 1650 року до зв. е.). Стародавні греки, які багато запозичили у єгиптян, зробили свій внесок у розвиток цієї загадкової величини. За легендою, Архімедбув настільки захоплений розрахунками, що не помітив, як римські солдати взяли його рідне містоСиракузи. Коли римський солдат підійшов до нього, Архімед закричав грецькою мовою: «Не чіпай моїх кіл!». У відповідь солдат заколов його мечем.

Платонотримав досить точне значення числа Пі свого часу — 3,146. Лудольф ванн Цейленпровів велику частинусвого життя над розрахунками перших 36 цифр після коми числа Пі, і їх було вигравіровано на його надгробній плиті після смерті».

Ірраціональне та ненормальне

За словами професора, у всі часи гонитва за обчисленням нових десяткових знаків зумовлювалася бажанням отримати точне значення цього числа. Передбачалося, що число Пі раціональне і, отже, може бути виражене простим дробом. А це докорінно неправильно!

Число Пі популярне ще й тому, що воно містичне. З давніх часів існувала релігія шанувальників константи. Крім традиційного значенняПі — математичної константи (3,1415...), що виражає відношення довжини кола до її діаметра, є безліч інших значень цифри. Цікаві такі факти. У процесі вимірювань розмірів Великої пірамідив Гізі виявилося, що вона має таке ж співвідношення висоти до периметру своєї основи, як радіус кола до її довжини, тобто Пі.

Якщо розрахувати довжину екватора Землі з використанням числа Пі з точністю до дев'ятого знака, помилка в розрахунках становитиме близько 6 мм. Тридцяти дев'яти знаків після коми в числі Пі достатньо для обчислення довжини кола, що оперізує відомі космічні об'єктиу Всесвіті, з похибкою не більшою, ніж радіус атома водню!

Вивченням Пі займається в тому числі і математичний аналіз. Фото: АіФ/ Надія Уварова

Хаос у цифрах

За словами професора математики, у 1767 році Ламбертвстановив ірраціональність числа Пі, тобто неможливість уявити його ставленням двох цілих. Це означає, що послідовність десяткових знаків числа Пі — хаос, уречевлений у цифрах. Іншими словами, в «хвості» десяткових знаків міститься будь-яке число, будь-яка послідовність чисел, будь-які тексти, які були, є і будуть, та тільки витягти цю інформацію неможливо!

«Точне значення числа Пі дізнатися неможливо, – продовжує Володимир Ілліч. — Але спроби ці не лишаються. 1991 року Чуднівськідобилися нових 2260000000 десяткових знаків константи, а 1994 року — 4044000000. Після цього кількість вірних знаків числа Пі наростала лавиноподібно».

Світовий рекорд із запам'ятовування числа Пі у китайця Лю Чао, який зумів запам'ятати 67890 знаків після коми без помилки та відтворити їх протягом 24 годин та 4 хвилин.

Про «золотий перетин»

До речі, зв'язок між «пі» та іншою дивовижною величиною — золотим перетином — насправді так і не доведений. Люди давно помітили, що "золота" пропорція - вона ж число Фі - і число Пі, поділене на два, різняться між собою менше, ніж на 3% (1,61803398 ... і 1,57079632 ...). Проте для математики ці три відсотки — різниця надто суттєва, щоб вважати ці значення тотожними. Так само можна сказати, що число Пі і число Фі є родичами ще однієї відомої постійної - числа Ейлера, оскільки корінь з нього близький до половини числа Пі. Одна друга Пі - 1, 5708, Фі - 1,6180, корінь з Е - 1, 6487.

Це лише частина значення Пі. Фото: Скріншот

День народження Пі

У Южно-Уральському державному університетіДень народження константи відзначають усі викладачі та студенти-математики. Так було завжди — не можна сказати, що інтерес з'явився лише в Останніми роками. Число 3,14 вітають навіть спеціальним святковим концертом!

У цій статті зібрані таблиці синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів. Спочатку ми наведемо таблицю основних значень тригонометричних функцій, тобто таблицю синусів, косінусів, тангенсів і котангенсів кутів 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусів ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадіан). Після цього ми дамо таблицю синусів та косінусів, а також таблицю тангенсів та котангенсів В. М. Брадіса, і покажемо, як використовувати ці таблиці при знаходженні значень тригонометричних функцій.

Навігація на сторінці.

Таблиця синусів, косінусів, тангенсів та котангенсів для кутів 0, 30, 45, 60, 90, … градусів

Список літератури.

• Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: Іл.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
• Брадіс В. М.Чотиризначні математичні таблиці: Для загальноосвіт. навч. закладів. - 2-ге вид. - М: Дрофа, 1999. - 96 с.: іл. ISBN 5-7107-2667-2