Як знайти відстань між точкою та прямою. Як визначити взаємне розташування двох прямих? Рівняння площини, що проходить через три задані точки

В аналітичній геометрії розташування множини точок, що належать прямій лінії в просторі, описується рівнянням. Для кожної точки простору щодо цієї лінії можна визначити параметр, який називається відхиленням. Якщо він дорівнює нулю, то крапка лежить на лінії, а всяке інше значення відхилення, взяте по модулю, визначає найкоротша відстаньміж прямою та точкою. Розрахувати його можна, якщо відомо рівняння лінії та координати точки.

Інструкція

1. Для розв'язання задачі у загальному вигляді позначте координати точки як A?(X?; Y?; Z?), координати найближчої до неї точки на прямій, що розглядається – як A? у такому вигляді: a*X + b*Y + c*Z – d = 0. Вам потрібно визначити довжину відрізка A?A?, який лежить на лінії, перпендикулярній по відношенню до описуваної рівнянням. Перпендикулярний («типовий») напрямний вектор? = (a;b;c) допоможе скласти канонічні рівняння через точки A? та A? прямий: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c.

2. Запишіть канонічні рівняння у параметричній формі (X = a*t+X?, Y = b*t+Y? та Z = c*t+Z?) та виявіть значення параметра t?, при якому початкова та перпендикулярна до неї прямі перетинаються . Для цього підставте параметричні вирази рівняння початкової прямої: a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z?) – d = 0. Після цього висловіть із рівності параметр t?: t? = (d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?).

3. Підставте отримане на попередньому кроці значення t? визначальні координати точки A? параметричні рівняння: X? = a * t? + X? = a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?, Y? = b * t? + Y? = b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y? та Z? = c * t? + Z? = c * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)) + Z?. Зараз у вас є координати 2-х точок, залишилося розрахувати відстань (L), що визначається ними.

4. Для придбання чисельного значення відстані між точкою з вестимими координатами і прямою, що задається знаменитим рівнянням, розрахуйте чисельні значення координат точки A?(X?; Y?; Z?) за формулами з попереднього кроку і підставте значення цієї формули: * (X? - X?) + b * (Y? - Y?) + c * (Z? - Z?)) / (a? + b? + c?) Якщо ж і результат потрібно отримати в загальному вигляді, він описуватиметься досить масивним рівнянням. Замініть величини проекцій точки A? на три координатні осі рівностями з попереднього кроку і спростіть наскільки допустимо отриману рівність: L = (a*(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / ( a? + b? + c?) = (a * (X? - a * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)) + X?) + b * (Y? - b * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)) + Y?) + c * (Z? - c * ((d - a * X? - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(2*X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + b *(2*Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + c*(2*Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c?) = (2* a*X? – a?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*b*Y? – b?* ((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*c*Z? – c?*((d – a*X?) - b * Y? - c * Z?) / (a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)

5. Якщо значення має лише чисельний підсумок, а хід розв'язання задачі не значимий, скористайтеся онлайн-калькулятором, який призначений саме для розрахунку відстані між точкою та прямою в ортогональній системі координат тривимірного простору – http://ua.onlinemschool.com/math/ assistance/cartesian_coordinate/p_line. Тут ви можете розмістити у відповідні поля координати точки, ввести рівняння прямої в параметричному чи канонічному вигляді, а потім отримати результат, клацнувши на кнопці «Виявити відстань від точки до прямої».

Відео на тему

О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знакПеретин, він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , а з другого рівняння: , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

Приклад 1

З'ясувати взаємне розташуванняпрямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:

Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо із співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню(Йому задовольняє взагалі будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішення, краще закладемо ще одну важливу цеглу в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цієї найпростішого завданнясуворо карає Соловей-Розбійник.

Приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Існує раціональний і дуже раціональний спосіб рішення. Найкоротший шлях – наприкінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам з шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний змістсистеми двох лінійних рівняньз двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний

Графічний спосібполягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівняньіз двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?

Відповідь:

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Приклад 5

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішенняі відповідь наприкінці уроку:

Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типової та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?

Приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.

Аналітична перевіркарішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори та за допомогою скалярного твору векторівприходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Наше захоплююча подорожпродовжується:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатому папері в масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення з проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:


У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кутаслід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннями у загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Саме пильну увагузвернемо на знаменник – це точно скалярний твірнапрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний добуток напрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функціїлегко знайти й сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .

Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. У нарисної геометріївона визначається графічним шляхомза наведеним нижче алгоритмом.

Алгоритм

1. Пряму переводять у положення, в якому вона буде паралельна будь-якій площині проекції. Для цього застосовують методи перетворення ортогональних проекцій.
2. З точки проводять перпендикуляр до прямої. В основі даної побудовилежить теорема про проектування прямого кута.
3. Довжина перпендикуляра визначається шляхом перетворення його проекцій або за допомогою способу прямокутного трикутника.

На наступному малюнку представлений комплексний креслення точки M і прямий b, заданою відрізком CD. Потрібно знайти відстань між ними.

Згідно з нашим алгоритмом, перше, що необхідно зробити, це перевести пряму в положення, паралельне площиніпроекції. При цьому важливо розуміти, що після проведених перетворень фактична відстань між точкою та прямою не повинна змінитися. Саме тому тут зручно використовувати метод заміни площин, який передбачає переміщення фігур у просторі.

Результати першого етапу побудов показані нижче. На малюнку видно, як паралельно введена додаткова фронтальна площина П 4 . У новій системі(П 1 , П 4) точки C"" 1 , D" " 1 , M"" 1 знаходяться на тому ж віддаленні від осі X 1 , що і C"", D"", M"" від осі X.

Виконуючи другу частину алгоритму, з M"" 1 опускаємо перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на пряму b"" 1 оскільки прямий кут MND між b і MN проектується на площину П 4 в натуральну величину. По лінії зв'язку визначаємо положення точки N" та проводимо проекцію M"N" відрізка MN.

на заключному етапіпотрібно визначити величину відрізка MN за його проекціями M"N" і M"" 1 N"" 1 . Для цього будуємо прямокутний трикутник M"" 1 N"" 1 N 0 , у якого катет N"" 1 N 0 дорівнює різниці (Y M 1 - Y N 1) видалення точок M" і N" від осі X 1 . Довжина гіпотенузи M"" 1 N 0 трикутника M"" 1 N"" 1 N 0 відповідає шуканій відстані від M до b.

Другий спосіб вирішення

• Паралельно CD вводимо нову передню площину П 4 . Вона перетинає П 1 по осі X 1 , причому X 1 C "D". Відповідно до методу заміни площин визначаємо проекції точок C""1, D""1 і M""1, як це зображено на малюнку.
• Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 будуємо додаткову горизонтальну площинуП 5 на яку пряма b проектується в точку C" 2 = b" 2 .
• Розмір відстані між точкою M і прямою b визначається довжиною відрізка M" 2 C" 2 , позначеного червоним кольором.

Схожі завдання:

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Ця стаття розповідає про тему « відстані від точки до прямої », розглядаються визначення відстані від точки до прямої з ілюстрованими прикладами методом координат. Кожен блок теорії наприкінці має показані приклади розв'язання таких завдань.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Відстань від точки до прямої знаходиться через визначення відстані від точки до точки. Розглянемо докладніше.

Нехай є пряма a і точка М 1 не належить заданої прямої. Через неї проведемо пряму b, розташовану перпендикулярно щодо прямої a. Точка перетину прямих візьмемо за Н1. Отримаємо, що М 1 Н 1 перпендикуляром, який опустили з точки М 1 до прямої a .

Визначення 1

Відстанню від точки М 1 до прямої aназивається відстань між точками М1 і Н1.

Бувають записи визначення із фігуруванням довжини перпендикуляра.

Визначення 2

Відстань від точки до прямоїназивають довжину перпендикуляра, проведеного з цієї точки до цієї прямої.

Визначення еквівалентні. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Відомо, що відстань від точки до прямої є найменшою з усіх можливих. Розглянемо це з прикладу.

Якщо взяти точку Q , що лежить на прямій a не збігається з точкою М 1 тоді отримаємо, що відрізок М 1 Q називається похилою, опущеної з М 1 до прямої a . Необхідно позначити, що перпендикуляр з точки М 1 є меншим, ніж будь-яка інша похила, проведена з точки до прямої.

Щоб довести це, розглянемо трикутник М 1 Q 1 Н 1 де М 1 Q 1 є гіпотенузою. Відомо, що її довжина завжди більша за довжину будь-якого з катетів. Отже, маємо, що M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Вихідні дані для знаходження від точки до прямої дозволяють використовувати кілька методів розв'язання: через теорему Піфагора, визначення синуса, косинуса, тангенсу кута та інші. Більшість завдань такого типу вирішують у школі під час уроків геометрії.

Коли при знаходженні відстані від точки до прямої можна ввести прямокутну систему координат, то застосовують метод координат. У даному пунктіРозглянемо основні два методи знаходження шуканої відстані від заданої точки.

Перший спосіб має на увазі пошук відстані як перпендикуляра, проведеного з М 1 до прямої a . У другому способі використовується нормальне рівнянняпрямий а знаходження шуканої відстані.

Якщо на площині є точка з координатами M 1 (x 1 , y 1) розташована в прямокутної системикоординат, пряма a , а необхідно знайти відстань M 1 H 1 можна обчислити двома способами. Розглянемо їх.

Перший спосіб

Якщо є координати точки H 1 рівні x 2 y 2 тоді відстань від точки до прямої обчислюється по координатах з формули M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Тепер перейдемо до знаходження координат точки Н1.

Відомо, що пряма лінія О х у відповідає рівнянню прямої на площині. Візьмемо спосіб завдання прямої через написання загального рівняння прямої або рівняння з кутовим коефіцієнтом. Складаємо рівняння прямої, яка проходить через точку М1 перпендикулярно заданої прямої a. Пряму позначимо буковою b. Н 1 є точкою перетину прямих a і b означає для визначення координат необхідно скористатися статтею, в якій йде мовапро координати точок перетину двох прямих.

Видно, що алгоритм знаходження відстані від заданої точки M 1 (x 1 , y 1) до прямої a проводиться згідно з пунктами:

Визначення 3

• знаходження загального рівняння прямої a має вигляд A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 або рівняння з кутовим коефіцієнтом, що має вигляд y = k 1 x + b 1 ;
• отримання загального рівняння прямої b , що має вигляд A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 або рівняння з кутовим коефіцієнтом y = k 2 x + b 2 якщо пряма b перетинає точку М 1 і є перпендикулярною до заданої прямої a ;
• визначення координат x 2 , y 2 точки Н 1 , що є точкою перетину a і b , для цього здійснюється рішення системи лінійних рівнянь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 або y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• обчислення шуканої відстані від точки до прямої, використовуючи формулу M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 .

Другий спосіб

Теорема здатна допомогти відповісти на питання про знаходження відстані від заданої точки дот заданої прямої на площині.

Теорема

Прямокутна система координат має О х у має точку M 1 (x 1 , y 1) , з якої проведена пряма а до площини, що задається нормальним рівнянням площини, що має вигляд cos α · x + cos β · y - p = 0 , рівно по модулю значенням, одержуваному в лівій частині нормального рівняння прямої, що обчислюється при x = x 1 , y = y 1 означає, що M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p .

Доведення

Прямий а відповідає нормальне рівняння площини, що має вигляд cos α · x + cos β · y - p = 0 тоді n → = (cos α , cos β) вважається нормальним векторомпрямий a за відстані від початку координат до прямий a з p одиницями. Необхідно зобразити всі дані на малюнку, додати точку з координатами M 1 (x 1 y 1) , де радіус-вектор точки М 1 - O M 1 → = (x 1 y 1) . Необхідно провести пряму від точки до прямої, яку позначимо M1H1. Необхідно показати проекції М 2 і Н 2 точок М 1 і Н 2 на пряму, що проходить через точку O з напрямним вектором виду n → = (cos α , cos β) , а числову проекцію вектора позначимо як O M 1 → = (x 1 y 1) до напрямку n → = (cos α , cos β) як n p n → O M 1 → .

Варіації залежать від розташування точки М 1 . Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Результати фіксуємо за допомогою формули M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Після чого наводимо рівність до такого виду M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p для того, щоб отримати n p n → OM → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Скалярний твірвекторів у результаті дає перетворену формулу виду n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , яка є твором у координатній формі виду n → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Отже, отримуємо, що n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Звідси випливає, що M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p . Теорему доведено.

Отримуємо, що знаходження відстані від точки M 1 (x 1 , y 1) до прямої a на площині необхідно виконати кілька дій:

Визначення 4

• отримання нормального рівняння прямої a cos α · x + cos β · y - p = 0 за умови, що його немає в завданні;
• обчислення виразу cos α · x 1 + cos β · y 1 - p , де отримане значення приймає M 1 H 1 .

Застосуємо ці методи на розв'язанні задач зі знаходженням відстані від точки до площини.

Приклад 1

Знайти відстань від точки з координатами M 1 (-1,2) до прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 .

Рішення

Застосуємо перший спосіб вирішення.

Для цього необхідно знайти загальне рівняння прямої b, яка проходить через задану точку M 1 (- 1, 2), перпендикулярно до прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 . З умови видно, що пряма b є перпендикулярною прямою a тоді її напрямний вектор має координати, рівні (4 , - 3) . Таким чином маємо можливість записати канонічне рівняння прямої b на площині, оскільки є координати точки М 1 належить прямий b . Визначимо координати напрямного вектора прямої b. Отримаємо, що x - (-1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3 . Отримане канонічне рівняння необхідно перетворити на загальне. Тоді отримуємо, що

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Зробимо знаходження координат точок перетину прямих, яке приймемо за позначення Н1. Перетворення виглядають таким чином:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 · 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

З вище написаного маємо, що координати точки Н 1 дорівнюють (- 5 ; 5) .

Необхідно обчислити відстань від точки М1 до прямої a. Маємо, що координати точок M 1 (- 1 , 2) і H 1 (- 5 , 5) тоді підставляємо у формулу для знаходження відстані і отримуємо, що

M 1 H 1 = (-5 - (-1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Другий спосіб розв'язання.

Для того щоб вирішити іншим способом, необхідно отримати нормальне рівняння прямої. Обчислюємо значення множника, що нормує, і множимо обидві частини рівняння 4 x - 3 y + 35 = 0 . Звідси отримаємо, що множник, що нормує, дорівнює - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 , а нормальне рівняння буде виду - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

За алгоритмом обчислення необхідно отримати нормальне рівняння прямої та обчислити його зі значеннями x = -1, y = 2. Тоді отримуємо, що

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Звідси отримуємо, що відстань від точки M 1 (- 1 , 2) до заданої прямої 4 x - 3 y + 35 = 0 має значення - 5 = 5 .

Відповідь: 5 .

Видно, що в даному методіважливо використання нормального рівняння прямої, оскільки такий спосіб є найкоротшим. Але перший спосіб зручний тим, що послідовний і логічний, хоча має більше пунктів обчислення.

Приклад 2

На площині є прямокутна система координат О х у з точкою M 1 (8 , 0) і прямою y = 1 2 x + 1 . Знайти відстань від заданої точки до прямої.

Рішення

Рішення першим способом передбачає приведення заданого рівнянняз кутовим коефіцієнтом до рівняння загального вигляду. Для спрощення можна зробити по-іншому.

Якщо добуток кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих мають значення - 1 кутовий коефіцієнтпрямою перпендикулярною заданою y = 1 2 x + 1 має значення 2 . Тепер отримаємо рівняння прямої, що проходить через точку з координатами M 1 (8, 0). Маємо, що y – 0 = – 2 · (x – 8) ⇔ y = – 2 x + 16 .

Переходимо до знаходження координат точки Н 1 , тобто точок перетину y = - 2 x + 16 і y = 1 2 x + 1 . Складаємо систему рівнянь та отримуємо:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6 , 4)

Звідси випливає, що відстань від точки з координатами M 1 (8 , 0) до прямої y = 1 2 x + 1 дорівнює відстані від точки початку та точки кінця з координатами M 1 (8 , 0) та H 1 (6 , 4) . Обчислимо та отримаємо, що M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5 .

Рішення другим способом полягає у переході від рівняння з коефіцієнтом до його нормального виду. Тобто отримаємо y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 тоді значення нормуючого множника буде - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 . Звідси випливає, що нормальне рівняння прямої набуває вигляду - 2 5 · 1 2 x - y + 1 = - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Зробимо обчислення від точки M 1 8 0 до прямої виду - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 . Отримуємо:

M 1 H 1 = - 1 5 · 8 + 2 5 · 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Відповідь: 2 5 .

Приклад 3

Необхідно обчислити відстань від точки з координатами M 1 (- 2 , 4) до прямих 2 x - 3 = 0 та y + 1 = 0 .

Рішення

Отримуємо рівняння нормального виду прямої 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 = 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Після чого переходимо до обчислення відстані від точки M 1 - 2 4 до прямої x - 3 2 = 0 . Отримуємо:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Рівняння прямої y + 1 = 0 має множник, що нормує, зі значенням рівним -1. Це означає, що рівняння набуде вигляду - y - 1 = 0 . Переходимо до обчислення відстані від точки M 1 (- 2 , 4) до прямої - y - 1 = 0 . Отримаємо, що вона дорівнює - 4 - 1 = 5 .

Відповідь: 3 1 2 та 5 .

Докладно розглянемо знаходження відстані від заданої точки площини до координатним осямПро х та Про у.

У прямокутній системі координат у осі О у є рівняння прямої, яке є неповним має види х = 0, а О х - y = 0. Рівняння нормальні для осей координат, тоді необхідно знайти відстань від точки з координатами M 1 x 1 , y 1 до прямих. Це робиться, виходячи з формул M 1 H 1 = x 1 і M 1 H 1 = y 1 . Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Приклад 4

Знайти відстань від точки M 1 (6 - 7) до координатних прямих, розташованих у площині О х у.

Рішення

Так як рівняння у = 0 відноситься до прямої Ох, можна знайти відстань від M 1 с заданими координатами, до цієї прямої, використовуючи формулу. Отримуємо, що 6 = 6 .

Так як рівняння х = 0 відноситься до прямої О у, то можна знайти відстань від М 1 до цієї прямої за формулою. Тоді отримаємо, що – 7 = 7 .

Відповідь:відстань від М 1 до О х має значення 6 а від М 1 до О у має значення 7 .

Коли в тривимірному просторімаємо точку з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) необхідно знайти відстань від точки A до прямої a .

Розглянемо два способи, які дозволяють проводити обчислення відстань від точки до прямої a розташованої в просторі. Перший випадок розглядає відстань від точки М 1 до прямої, де точка на прямій називається Н 1 є підставою перпендикуляра, проведеного з точки М 1 на пряму a . Другий випадок говорить про те, що точки цієї площини необхідно шукати як висоту паралелограма.

Перший спосіб

З визначення маємо, що відстань від точки М 1 розташованої на прямій а є довжиною перпендикуляра М 1 Н 1 тоді отримаємо, що при знайдених координатах точки Н 1 тоді знайдемо відстань між M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) і H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , виходячи з формули M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Отримуємо, що рішення йде до того, щоб знайти координати підстави перпендикуляра, проведеного з М 1 на пряму a . Це робиться наступним чином: Н 1 є точкою, де перетинаються пряма a з площиною, яка проходить через задану точку.

Отже, алгоритм визначення відстані від точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямої a простору має на увазі кілька пунктів:

Визначення 5

• складання рівняння площини в якості рівняння площини, що проходить через задану точку, що знаходиться перпендикулярно прямий;
• визначення координат (x 2 , y 2 , z 2) , що належали точці Н 1 , яка є точкою перетину прямої і площини χ ;
• обчислення відстані від точки до прямої за допомогою формули M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 .

Другий спосіб

З умови маємо пряму a тоді можемо визначити напрямний вектор a → = a x , a y , a z з координатами x 3 , y 3 , z 3 і певної точкиМ 3 належить прямий a . За наявності координат точок M 1 (x 1 , y 1) і M 3 x 3 , y 3 , z 3 можна провести обчислення M 3 M 1 → :

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3)

Слід відкласти вектори a → = a x , a y , a z і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 з точки М 3 з'єднаємо і отримаємо фігуру паралелограма. М1Н1 є висотою паралелограма.

Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Маємо, що висота М1Н1 є шуканою відстанню, тоді необхідно знайти її за формулою. Тобто шукаємо M1H1.

Позначимо площу паралелограма за букву S знаходиться за формулою, використовуючи вектор a → = (a x , a y , a z) і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 . y 1 - y 3 , z 1 - z 3 . Формула площі має вигляд S = a → × M 3 M 1 → . Також площа фігури дорівнює добутку довжин його сторін на висоту, отримаємо, що S = a → · M 1 H 1 з a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 є довжиною вектора a → = (a x , a y , a z) , що є рівному боціпаралелограма. Отже, M 1 H 1 є відстанню від точки до прямої. Її знаходження здійснюється за формулою M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Для знаходження відстані від точки з координатами M 1 (x 1 , y 1 , z 1) до прямої в просторі, необхідно виконати кілька пунктів алгоритму:

Визначення 6

• визначення напрямного вектора прямий a - a → = (a x, a, z);
• обчислення довжини напрямного вектора a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• отримання координат x 3 , y 3 , z 3 , що належали точці М 3 знаходиться на прямій а;
• обчислення координат вектора M 3 M 1 → ;
• знаходження векторного твору векторів a → (a x , a y , a z) і M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 як a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 для отримання довжини за формулою a → × M 3 M 1 → ;
• обчислення відстані від точки до прямої M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Розв'язання задач на знаходження відстані від заданої точки до заданої прямої у просторі

Приклад 5

Знайти відстань від точки з координатами M 1 2 , - 4 , - 1 до прямої x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 .

Рішення

Перший спосіб починається із запису рівняння площини χ, що проходить через М 1 і перпендикулярно заданій точці. Отримуємо вираз виду:

2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Потрібно знайти координати точки H 1 , яка є точкою перетину з площиною до заданої за умовою прямої. Слід переходити від канонічного вигляду до того, що перетинається. Тогла отримуємо систему рівнянь виду:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Необхідно обчислити систему x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 за методом Крамера, тоді отримуємо, що:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Звідси маємо, що H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Другий спосіб необхідно почати з пошуку координат у канонічному рівнянні. Для цього необхідно звернути увагу на знаменники дробу. Тоді a → = 2 , - 1 , 5 є напрямним вектором прямої x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 . Необхідно обчислити довжину за формулою a → = 2 2 + (-1) 2 + 5 2 = 30 .

Зрозуміло, що пряма x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 перетинає точку M 3 (- 1 , 0 , - 5) , звідси маємо, що вектор з початком координат M 3 (- 1 , 0 , - 5) та її кінцем у точці M 1 2 , - 4 , - 1 є M 3 M 1 → = 3 , - 4 , 4 . Знаходимо векторний твір a → = (2 , - 1 , 5) та M 3 M 1 → = (3 , - 4 , 4) .

Ми отримуємо вираз виду a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

отримуємо, що довжина векторного твору дорівнює a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 .

Є всі дані для використання формули обчислення відстані від точки для прямої, тому застосуємо її та отримаємо:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Відповідь: 11 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter