Скалярна величина у фізиці приклади. Між молотом і ковадлом

Векторний розмір (вектор)– це фізична величина, яка має дві характеристики – модуль та напрямок у просторі.

Приклади векторних величин: швидкість (), сила (), прискорення () тощо.

Геометрично вектор зображується як спрямований відрізок прямої лінії, довжина якого в масштабі модуль вектора.

Радіус-вектор(зазвичай позначається або просто ) - Вектор, що задає положення точки в просторі відносно деякої заздалегідь фіксованої точки, званої початком координат.

Для довільної точкиу просторі, радіус-вектор - це вектор, що йде з початку координат у цю точку.

Довжина радіус-вектора або його модуль визначає відстань, на якій точка знаходиться від початку координат, а стрілка вказує напрямок на цю точку простору.

На площині кутом радіус-вектора називається кут, на який радіус-вектор повернути відносно осі абсцис у напрямку проти годинникової стрілки.

лінія, вздовж якої рухається тіло, називається траєкторією руху.Залежно від форми траєкторії всі рухи можна поділити на прямолінійні та криволінійні.

Опис руху починається з відповіді питання: як змінилося становище тіла у просторі за деякий проміжок часу? Як же визначають зміну положення тіла у просторі?

Переміщення- спрямований відрізок (вектор), що з'єднує початкове та кінцеве положення тіла.

Швидкість(часто позначається, від англ. velocityчи фр. vitesse) - векторна фізична величина, що характеризує швидкість переміщення та напрямок руху матеріальної точкиу просторі щодо вибраної системи відліку (наприклад, кутова швидкість). Цим самим словом може називатися скалярна величина, Точніше модуль похідної радіус-вектора.

У науці використовується також швидкість широкому значенні, як швидкість зміни будь-якої величини (не обов'язково радіус-вектора) в залежності від іншої (частіше зміни в часі, але також у просторі чи будь-якій іншій). Так, наприклад, говорять про швидкість зміни температури, швидкість хімічної реакції, групової швидкості, швидкості з'єднання, кутової швидкості і т. д. Математично характеризується похідною функцією.

Прискорення(зазвичай позначається , теоретичної механіки), похідна швидкості за часом - векторна величина, що показує, наскільки змінюється вектор швидкості точки (тіла) за її руху за одиницю часу (тобто. прискорення враховує як зміна величини швидкості, а й її напрями).

Наприклад, поблизу Землі тіло, що падає на Землю, у випадку, коли можна знехтувати опором повітря, збільшує свою швидкість приблизно на 9,8 м/с кожну секунду, тобто, його прискорення дорівнює 9,8 м/с².

Розділ механіки, що вивчає рух у тривимірному евклідовому просторі, його запис, а також запис швидкостей та прискорень у різних системахвідліку називається кінематикою.

Одиницею прискорення служить метр за секунду ( m/s 2, м/с 2), існує також позасистемна одиниця Гал (Gal), що застосовується в гравіметрії та дорівнює 1 см/с 2 .

Похідна прискорення у часі тобто. величина, що характеризує швидкість зміни прискорення за часом, називається ривок.

Найбільш простий рух тіла - такий, коли всі точки тіла рухаються однаково, описуючи однакові траєкторії. Такий рух називається поступальним. Ми отримаємо цей тип руху, рухаючи лучинку так, щоб вона весь час залишалася паралельною самій собі. При поступальному русі траєкторії може бути як прямими (рис. 7, а), і кривими (рис. 7, б) лініями.
Можна довести, що при поступальному русі будь-яка пряма, проведена в тілі, залишається паралельною собі. Цим характерною ознакоюзручно користуватися, щоб відповісти на запитання, чи цей рух тіла є поступальним. Наприклад, при коченні циліндра по площині прямі, що перетинають вісь, не залишаються паралельними собі: кочення - це поступальний рух. При русі рейсшини та косинця по креслярській дошці будь-яка пряма, проведена в них, залишається паралельною самій собі, отже, вони рухаються поступально (рис. 8). Поступово рухається голка швейної машини, поршень у циліндрі парової машини або двигуна. внутрішнього згоряння, кузов автомашини (але не колеса!) при їзді прямою дорогою і т.д.

Інший простий тип руху – це обертальний рухтіла, або обертання. При обертальному русі всі точки тіла рухаються колами, центри яких лежать на прямій. Цю пряму називають віссю обертання (пряма 00" на рис.9). Кола лежать у паралельних площинах, перпендикулярних до осі обертання. Точки тіла, що лежать на осі обертання, залишаються нерухомими. поступальним рухом: при обертанні осі OO". Показані траєкторії залишаються паралельними тільки прямі, паралельні осі обертання.

Абсолютно тверде тіло- Другий опорний об'єкт механіки поряд з матеріальною точкою.

Існує кілька визначень:

1. Абсолютно тверде тіло - модельне поняття класичної механіки, що позначає сукупність матеріальних точок, відстані між якими зберігаються у процесі будь-яких рухів, скоєних цим тілом. Інакше висловлюючись, абсолютно тверде тіло як змінює свою форму, а й зберігає незмінним розподіл маси всередині.

2. Абсолютно тверде тіло - механічна система, що володіє лише поступальними та обертальними ступенями свободи. «Твердість» означає, що тіло не може бути деформовано, тобто тілу не можна передати жодної іншої енергії, крім кінетичної енергії поступального або обертального руху.

3. Абсолютно тверде тіло- Тіло (система), взаємне становище будь-яких точок якого не змінюється, в яких би процесах воно не брало участь.

У тривимірному просторіі у разі відсутності зв'язків абсолютно тверде тіло має 6 ступенів свободи: три поступальні та три обертальні. Виняток становить двоатомна молекула або, мовою класичної механіки, твердий стрижень нульової товщини. Така система має лише два обертальні ступені свободи.

Кінець роботи -

Ця тема належить розділу:

Недоведена та незаперечна гіпотеза називається відкритою проблемою

Фізика тісно пов'язана з математикою математика надає апарат за допомогою якого фізичні закониможуть бути точно сформульовані.. тео рія грец розгляд.. стандартний метод перевірки теорій пряма експериментальна перевірка експеримент критерій істини однак часто.

Якщо вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:

Що робитимемо з отриманим матеріалом:

Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:

Твітнути

Всі теми цього розділу:

Принцип відносності у механіці
Інерційні системи відліку та принцип відносності. Перетворення Галілея. Інваріанти перетворення. Абсолютні та відносні швидкості та прискорення. Постулати спеціальної т

Обертальний рух матеріальної точки.
Обертальний рух матеріальної точки - рух матеріальної точки по колу. Обертове рух - вид механічного руху. При

Зв'язок між векторами лінійної та кутової швидкостей, лінійного та кутового прискорень.
Міра обертального руху: кут φ, на який повернеться радіус-вектор точки в площині нормальної до осі обертання. Рівномірний обертальний рух

Швидкість та прискорення при криволінійному русі.
Криволінійний рух більше складний виглядруху, ніж прямолінійне, оскільки навіть рух відбувається на площині, то змінюються дві координати, що характеризують положення тіла. Швидкість та

Прискорення при криволінійному русі.
Розглядаючи криволінійний рухтіла, бачимо, що його швидкість у різні моменти різна. Навіть у тому випадку, коли величина швидкості не змінюється, все ж таки має місце зміна напрямку

Рівняння руху Ньютона
(1) де сила F у загальному випадку

Центр мас
центр інерції, геометрична точка, положення якої характеризує розподіл мас у тілі чи механічній системі. Координати Ц. м. визначаються формулами

Закон руху центру мас.
Скориставшись законом зміни імпульсу, отримаємо закон руху центру мас: dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi Центр мас системи рухається так само, як дв

Галілея принцип відносності
· Інерційна система відліку Інерційна система відліку Галілея

Пластична деформація
Зігнемо трохи сталеву пластинку (наприклад, ножівку), а потім через деякий час відпустимо її. Ми побачимо, що ножівка повністю (принаймні з погляду) відновить свою форму. Якщо візьмемо

ЗОВНІШНІ І ВНУТРІШНІ СИЛИ
. У механіці зовнішніми силамипо відношенню до даної системи матеріальних точок (т. е. такої сукупності матеріальних точок, в якій рух кожної точки залежить від положень або рухів всіх ос

Кінетична енергія
енергія механічної системи, що залежить від швидкостей руху її точок. е.. Т матеріальної точки вимірюється половиною добутку маси m цієї точки на квадрат її швидкості

Кінетична енергія.
Кінетична енергія - енергія тіла, що рухається. (Від грецького слова kinema – рух). За визначенням кінетична енергія відліку, що знаходиться в даній системі

Розмір, що дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат його швидкості.
=Дж. Кінетична енергія - величина відносна, залежить від вибору ЗІ, т.к. швидкість тіла залежить від вибору ЗІ. Т.о.

Момент сили
· Момент сили. Рис. Момент сили. Рис. Момент сили, величин

Кінетична енергія тіла, що обертається
Кінетична енергія – величина адитивна. Тому кінетична енергія тіла, що рухається довільним чином, дорівнює сумі кінетичних енергійвсіх n матеріаль

Робота та потужність при обертанні твердого тіла.
Робота та потужність при обертанні твердого тіла. Знайдемо вираз для роботи при брехні

Основне рівняння динаміки обертального руху
Відповідно до рівняння (5.8) другий закон Ньютона для обертального руху П

Величини називаються скалярними, якщо вони після вибору одиниці виміру повністю характеризуються одним числом. Прикладами скалярних величин є кут, поверхня, об'єм, маса, щільність, електричний заряд, опір, температура.

Слід розрізняти два типи скалярних величин: чисті скаляри та псевдоскаляри.

3.1.1. Чисті скаляри.

Чисті скаляри повністю визначаються одним числом, яке не залежить від вибору осей відліку. Прикладом чистих скалярів можуть бути температура і маса.

3.1.2. Псевдоскаляри.

Як і чисті скаляри, псевдоскаляри визначаються за допомогою одного числа, абсолютна величинаякого залежить від вибору осей отсчета. Однак знак цього числа залежить від вибору позитивних напрямків на осях координат.

Розглянемо, наприклад, прямокутний паралелепіпед, проекції ребер якого прямокутні осі координат відповідно дорівнюють Об'єм цього паралелепіпеда визначається за допомогою визначника

абсолютна величина якого залежить від вибору прямокутних осей координат. Однак, якщо змінити позитивний напрямок на одній із осей координат, то визначник змінить знак. Об'єм – це псевдоскаляр. Псевдоскалярами є також кут, площа, поверхня. Нижче (п. 5.1.8) ми побачимо, що псевдоскаляр є насправді тензор особливого роду.

Векторні величини

3.1.3. Ось.

Ось - це нескінченна пряма, де обрано позитивний напрямок. Нехай така пряма, а напрямок від

вважається позитивним. Розглянемо відрізок на цій прямій і припустимо, що число, що вимірює довжину дорівнює а (рис. 3.1). Тоді довжина алгебри відрізка дорівнює а, довжина алгебри відрізка дорівнює - а.

Якщо взяти кілька паралельних прямих, то, визначивши позитивний напрямок на одній з них, ми цим визначаємо його на інших. Інакше справа, якщо прямі не паралельні; тоді потрібно спеціально прославлятися щодо вибору позитивного напряму для кожної прямої.

3.1.4. Напрямок обертання.

Нехай вісь. Обертання щодо осі назвемо позитивним або прямим, якщо воно здійснюється для спостерігача, що стоїть уздовж позитивного напрямку осі, праворуч і ліворуч (рис. 3.2). В іншому випадку воно називається негативним або зворотним.

3.1.5. Прямі та зворотні тригранники.

Нехай певний тригранник (прямокутний чи непрямокутний). Позитивні напрямки обрані на осях відповідно від О до х, від О к у і від О до z.

У курсі фізики часто зустрічаються такі величини, для опису яких достатньо знати лише числові значення. Наприклад, маса, час, довжина.

Величини, які характеризуються тільки числовим значенням, називаються скалярнимиабо скалярами.

Крім скалярних величин, використовуються величини, які мають і числове значення та напрямок. Наприклад, швидкість, прискорення, сила.

Величини, які характеризуються числовим значенням та напрямком, називаються векторнимиабо векторами.

Позначаються векторні величини відповідними літерами зі стрілкою нагорі або виділяються жирним шрифтом. Наприклад, вектор сили позначається \(\vec F\) або F . Числове значення векторної величини називається модулем чи довжиною вектора. Значення вектора сили позначають Fабо \(\left|\vec F \right|\).

Зображення вектора

Вектори зображують спрямованими відрізками. Початком вектора називають ту точку, звідки починається спрямований відрізок (точка Ана рис. 1), кінцем вектора – точку, у якій закінчується стрілка (точка Bна рис. 1).

Рис. 1.

Два вектори називаються рівнимиякщо вони мають однакову довжину і направлені в одну сторону. Такі вектори зображують спрямованими відрізками, що мають однакові довжинита напрямки. Наприклад, на рис. 2 зображені вектори \(\vec F_1 = \vec F_2\).

Рис. 2.

При зображенні одному малюнку двох і більше векторів, відрізки будують в заздалегідь обраному масштабі. Наприклад, на рис. 3 зображено вектори, довжини яких \(\upsilon_1\) = 2 м/c, \(\upsilon_2\) = 3 м/c.

Рис. 3.

Спосіб завдання вектора

На площині вектор можна задавати кількома способами:

1. Вказати координати початку та кінця вектора. Наприклад, вектор \(\Delta\vec r\) на рис. 4 задані координатами початку вектора – (2, 4) (м), кінця – (6, 8) (м).

Рис. 4.

2. Вказати модуль вектора (його значення) та кут між напрямком вектора та деяким заздалегідь обраним напрямком на площині. Часто за такий напрямок позитивний бікосі 0 Х. Кути, виміряні від цього напрямку проти годинникової стрілки, вважаються позитивними. На рис. 5 вектор \(\Delta\vec r\) заданий двома числами bі \(\alpha\) , що вказують довжину та напрямок вектора.

Рис. 5.

Фізика та математика не обходяться без поняття «векторна величина». Її необхідно знати та впізнавати, а також вміти з нею оперувати. Цьому обов'язково варто навчитися, щоб не плутатися і не допускати дурних помилок.

Як відрізнити скалярну величину від векторної?

Перша завжди має лише одну характеристику. Це її числове значення. Більшість скалярних величин можуть приймати як позитивні, і негативні значення. Їх прикладами може бути електричний заряд, робота чи температура. Але є такі скаляри, які можуть бути негативними, наприклад, довжина і маса.

Векторна величина, крім числової величини, яка завжди береться за модулем, характеризується ще й напрямком. Тому вона може бути зображена графічно, тобто у вигляді стрілки, довжина якої дорівнює модулю величини, спрямованої у певну сторону.

Під час листа кожна векторна величина позначається знаком стрілки на літерою. Якщо йде мовапро числове значення, то стрілка не пишеться або її беруть за модулем.

Які дії найчастіше виконуються із векторами?

Спочатку – порівняння. Вони можуть бути рівними чи ні. У першому випадку їх модулі однакові. Але це не єдина умова. У них мають бути ще однакові чи протилежні напрямки. У першому випадку їх слід називати рівними векторами. У другому вони виявляються протилежними. Якщо не виконується хоча б одна із зазначених умов, то вектори не рівні.

Потім іде додавання. Його можна зробити за двома правилами: трикутника чи паралелограма. Перше наказує відкладати спочатку один вектор, потім від кінця другого. Результатом додавання буде той, який потрібно провести від початку першого до кінця другого.

Правило паралелограма можна використати, коли потрібно скласти векторні величини у фізиці. На відміну від першого правила, їх слід відкладати від однієї точки. Потім добудувати їх до паралелограма. Результатом дії слід вважати діагональ паралелограма, проведену з тієї ж точки.

Якщо векторна величина віднімається з іншого, вони знову відкладаються з однієї точки. Тільки результатом буде вектор, який збігається з тим, що відкладено від кінця другого до кінця першого.

Які вектори вивчають у фізиці?

Їх так само багато, як скалярів. Можна просто запам'ятати те, які векторні величини у фізиці існують. Або знати ознаки, якими їх можна обчислити. Тим, хто надає перевагу першому варіанту, стане в нагоді така таблиця. У ній наведено основні векторні

Тепер трохи докладніше про деякі з цих величин.

Перша величина – швидкість

З неї варто почати наводити приклади векторних величин. Це зумовлено тим, що її вивчають у числі перших.

Швидкість визначається як характеристика руху тіла у просторі. Нею задається числове значення та напрямок. Тому швидкість є векторною величиною. До того ж, її прийнято розділяти на види. Перший є лінійною швидкістю. Її вводять під час розгляду прямолінійного рівномірного руху. При цьому вона виявляється рівною відношенню шляху, пройденого тілом, на час руху.

Цю ж формулу допустимо використовувати при нерівномірному русі. Тільки тоді вона буде середньою. Причому інтервал часу, який необхідно обирати, обов'язково має бути якнайменше. При прагненні проміжку часу до нуля значення швидкості є миттєвим.

Якщо розглядається довільний рух, то завжди швидкість — векторна величина. Адже її доводиться розкладати на складові, спрямовані вздовж кожного вектора, що спрямовує координатні прямі. До того ж визначається як похідна радіус-вектора, взята за часом.

Друга величина - сила

Вона визначає міру інтенсивності впливу, що виявляється на тіло з боку інших тіл чи полів. Оскільки сила — векторна величина, вона обов'язково має значення по модулю і напрям. Оскільки вона діє тіло, то важливим є ще й точка, до якої докладена сила. Щоб отримати наочне уявленняпро вектори сил можна звернутися до наступної таблиці.

Також векторною величиною є рівнодіюча сила. Вона визначається як сума всіх, хто діє на тіло механічних сил. Для її визначення необхідно виконати додавання за принципом правила трикутника. Тільки відкладати вектори потрібно по черзі від кінця попереднього. Результатом виявиться той, який поєднує початок першого з кінцем останнього.

Третя величина – переміщення

Під час руху тіло описує певну лінію. Вона називається траєкторією. Ця лінія може бути зовсім різною. Найважливіше виявляється не її зовнішній вигляд, А точки початку та кінця руху. Вони поєднуються відрізком, який називається переміщенням. Це також векторна величина. Причому воно завжди спрямоване від початку переміщення до точки, де рух було припинено. Позначати його прийнято латинською літерою r.

Тут може постати таке запитання: «Шлях — векторна величина?». У загальному випадкуце твердження не є вірним. Шлях дорівнює довжинітраєкторії та не має певного напрямку. Винятком вважається ситуація, коли у одному напрямі. Тоді модуль вектора переміщення збігається за значенням шляхом, і напрямок у них виявляється однаковим. Тому при розгляді руху вздовж прямої без зміни напряму переміщення шлях можна включити до прикладів векторних величин.

Четверта величина – прискорення

Воно є характеристикою швидкості зміни швидкості. Причому прискорення може мати як позитивне, так і негативне значення. При прямолінійному русівоно спрямоване у бік більшої швидкості. Якщо переміщення відбувається по криволінійної траєкторіївектор його прискорення розкладається на дві складові, одна з яких спрямована до центру кривизни по радіусу.

Виділяють середнє та миттєве значення прискорення. Перше слід розраховувати як відношення зміни швидкості протягом певного проміжку часу до цього часу. При прагненні розглянутого інтервалу часу до нуля говорять про миттєве прискорення.

П'ята величина – імпульс

Інакше його ще називають кількістю руху. Імпульс векторною величиною є тому, що безпосередньо пов'язаний зі швидкістю і силою, прикладеною до тіла. Обидві мають напрям і задають його імпульсу.

За визначенням останній дорівнює творумаси тіла на швидкість. Використовуючи поняття імпульсу тіла, можна інакше записати відомий закон Ньютона. Виходить, що зміна імпульсу дорівнює добутку сили на проміжок часу.

У фізиці важливу рольмає закон збереження імпульсу, який стверджує, що у замкнутій системі тіл її сумарний імпульс є постійним.

Ми дуже стисло перерахували, які величини (векторні) вивчаються в курсі фізики.

Завдання про непружний удар

Умови.На рейках стоїть нерухома платформа. До неї наближається вагон із швидкістю 4 м/с. та вагона - 10 та 40 тонн відповідно. Вагон ударяється об платформу, відбувається автозчеплення. Необхідно обчислити швидкість системи "вагон-платформа" після удару.

Рішення.Спочатку потрібно ввести позначення: швидкість вагона до удару - v1, вагона з платформою після зчіпки - v, маса вагона m1, платформи - m2. За умовою завдання необхідно дізнатись значення швидкості v.

Правила вирішення подібних завдань вимагають схематичного зображення системи до та після взаємодії. Ось OX розумно направити вздовж рейок у той бік, куди рухається вагон.

У цих умовах систему вагонів вважатимуться замкненою. Це визначається тим, що зовнішніми силами можна знехтувати. Сила тяжкості та врівноважені, а тертя про рейки не враховується.

Відповідно до закону збереження імпульсу, їх векторна сума до взаємодії вагона та платформи дорівнює загальному для зчеплення після удару. Спочатку платформа не рухалася, тому її імпульс дорівнював нулю. Переміщався тільки вагон, його імпульс — добуток m1 і v1.

Так як удар був непружний, тобто вагон зчепився з платформою, і далі він почали котитися разом у той самий бік, то імпульс системи не змінив напряму. Але його значення стало іншим. А саме добутком суми маси вагона з платформою та шуканою швидкістю.

Можна записати таку рівність: m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v. Воно буде вірним для проекції векторів імпульсів на вибрану вісь. З нього легко вивести рівність, яка буде потрібна для обчислення шуканої швидкості: v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).

За правилами слід перевести значення маси з тонн на кілограми. Тому за підстановці в формулу слід спочатку помножити відомі величини на тисячу. Прості розрахунки дають кількість 0,75 м/с.

Відповідь.Швидкість вагона із платформою дорівнює 0,75 м/с.

Завдання з поділом тіла на частини

Умова. Швидкість гранати, що летить, 20 м/с. Вона розривається на два уламки. Маса першого – 1,8 кг. Він продовжує рухатися у напрямку, у якому летіла граната, зі швидкістю 50 м/с. Другий уламок має масу 1,2 кг. Яка його швидкість?

Рішення.Нехай маси осколків позначені літерами m1 та m2. Їх швидкості відповідно будуть v1 і v2. Початкова швидкістьгранати - v. У завданні слід обчислити значення v 2 .

Щоб більший уламок продовжував рухатися у тому напрямі, як і вся граната, другий повинен полетіти в зворотний бік. Якщо вибрати за напрямок осі той, який був у початкового імпульсу, то після розриву великий уламок летить по осі, а маленький - проти осі.

У цьому вся задачі дозволено скористатися законом збереження імпульсу через те, що розрив гранати відбувається миттєво. Тому, незважаючи на те, що на гранату та її частини діє сила тяжіння, вона не встигає подіяти і змінити напрям вектора імпульсу з його значенням по модулю.

Сума векторних величин імпульсу після розриву гранати дорівнює тому, що був до нього. Якщо записати закон збереження в проекції на вісь OX, він виглядатиме так: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 — m 2 * v 2 . З нього просто висловити потрібну швидкість. Вона визначиться за формулою: v 2 = ((m 1 + m 2) * v - m 1 * v 1) / m 2 . Після підстановки числових значень та розрахунків виходить 25 м/с.

Відповідь.Швидкість маленького уламка дорівнює 25 м/с.

Завдання про постріл під кутом

Умови.На платформі масою M встановлено зброю. З нього робиться постріл снарядом масою m. Він вилітає під кутом α до горизонту зі швидкістю v (даної щодо землі). Потрібно дізнатися значення швидкості платформи після пострілу.

Рішення. У цьому вся задачі можна використовувати закон збереження імпульсу в проекції на вісь OX. Але тільки в тому випадку, коли проекція зовнішніх рівнодіючих сил дорівнює нулю.

За напрямок осі OX потрібно вибрати той бік, куди полетить снаряд, і паралельно горизонтальній лінії. У цьому випадку проекції сил тяжкості та реакції опори на OX дорівнюватимуть нулю.

Завдання буде вирішено у загальному виглядітому що немає конкретних даних для відомих величин. Відповіддю у ній є формула.

Імпульс системи до пострілу дорівнював нулю, оскільки платформа і снаряд були нерухомі. Нехай швидкість платформи, що шукається, буде позначена латинською літерою u. Тоді її імпульс після пострілу визначиться як добуток маси на проекцію швидкості. Оскільки платформа відкотиться назад (проти напрямку осі OX), то значення імпульсу буде зі знаком мінус.

Імпульс снаряда - добуток його маси на проекцію швидкості на вісь OX. Через те, що швидкість спрямована під кутом до горизонту, її проекція дорівнює швидкості, помноженої на косинус кута. У буквеній рівності це буде виглядати так: 0 = - Mu + mv * cos α. З неї шляхом нескладних перетворень виходить формула-відповідь: u = (mv * cos α)/M.

Відповідь.Швидкість платформи визначається за формулою u=(mv*cosα)/M.

Завдання про переправу через річку

Умови.Ширина річки по всій її довжині однакова і дорівнює l, її береги є паралельними. Відома швидкість течії води у річці v 1 і власна швидкість катера v 2 . 1). При переправі ніс катера спрямований до протилежного берега. На яку відстань його знесе вниз за течією? 2). Під яким кутом α потрібно направити ніс катера, щоб він досягнув протилежного берега строго перпендикулярно до точки відправлення? Скільки часу t потрібно таку переправу?

Рішення. 1). Повна швидкість катера є векторною сумою двох величин. Перша з них течія річки, яка спрямована вздовж берегів. Друга – власна швидкість катера, перпендикулярна берегам. На кресленні виходить два подібних трикутника. Перший утворений шириною річки та відстанню, на яку зносить катер. Другий – векторами швидкостей.

З них випливає такий запис: s/l = v1/v2. Після перетворення виходить формула для шуканої величини: s = l*(v1/v2).

2). У цьому варіанті завдання вектор повної швидкості перпендикулярний берегам. Він дорівнює векторній сумі v1 і v2. Синус кута, який повинен відхилятися вектор власної швидкості, дорівнює відношенню модулів v 1 і v 2 . Для розрахунку часу руху потрібно розділити ширину річки на повну швидкість. Значення останньої обчислюється за теоремою Піфагора.

v = √(v 2 2 - v 1 2), тоді t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).

Відповідь. 1). s = l * (v 1 / v 2), 2). sin α = v 1 / v 2 , t = l / (√ (v 2 2 - v 1 2)).

 Вектор− чисто математичне поняття, яке лише застосовується у фізиці чи інших прикладних наукахта яке дозволяє спростити вирішення деяких складних завдань.
 Вектор− спрямований відрізок прямий.
В курсі елементарної фізикидоводиться оперувати двома категоріями величин - скалярними та векторними.
 Скалярнимивеличинами (скалярами) називають величини, що характеризуються числовим значенням та знаком. Скалярами є довжина - l, маса − m, шлях − s, час - t, температура - T, електричний заряд - q, енергія - W, Координати і т.д.
До скалярних величин застосовуються всі алгебраїчні дії (додавання, віднімання, множення і т.д.).

 Приклад 1.
Визначити повний заряд системи, що складається із зарядів, що входять до неї, якщо q 1 = 2 нКл, q 2 = −7 нКл, q 3 = 3 нКл.
Повний заряд системи
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) нКл = −2 нКл = −2 × 10 −9 Кл.

 Приклад 2.
Для квадратного рівняннявиду
ax 2 + bx + с = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

 векторнівеличинами (векторами) називають величини, визначення яких необхідно вказати крім чисельного значення як і напрям. Вектори – швидкість v, сила F, імпульс p, напруженість електричного поля E, магнітна індукція Bта ін.
Чисельне значення вектора (модуль) позначають буквою без символу вектора або укладають вектор між вертикальними рисками r = | r |.
Графічно вектор зображують стрілкою (рис. 1),

Довжина якої в заданому масштабі дорівнює його модулю, а напрямок збігається з вектором.
Два вектори рівні, якщо збігаються їхні модулі та напрямки.
Векторні величини складаються геометрично (за правилом векторної алгебри).
Знаходження векторної суми за даними складових векторів називається додаванням векторів.
Додавання двох векторів виробляють за правилом паралелограма або трикутника. Сумарний вектор
с = a + b
дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на векторах aі b. Модуль його
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (рис. 2).


При α = 90°, з = √(a 2 + b 2 ) – теорема Піфагора.

Той самий вектор c можна отримати за правилом трикутника, якщо з кінця вектора aвідкласти вектор b. Замикаючий вектор c (з'єднує початок вектора aта кінець вектора b) є векторною сумою доданків (складових векторів aі b).
Результуючий вектор знаходять як замикає тієї ламаної лінії, ланками якої є вектори (рис. 3).


 Приклад 3.
Скласти дві сили F 1 = 3 Н та F 2 = 4 Н, вектори F 1і F 2складають з горизонтом кути α 1 = 10° та α 2 = 40°, відповідно
 F = F 1 + F 2(Рис. 4).

Результатом складання цих двох сил є сила, яка називається рівнодією. Вектор Fспрямований по діагоналі паралелограма, побудованого на векторах F 1і F 2, як сторони, так і за модулем дорівнює її довжині.
Модуль вектор Fзнаходимо за теоремою косінусів
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Якщо
(α 2 − α 1) = 90°, то F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Кут, який вектор Fскладає з віссю Ox, знаходимо за формулою
α = arctg((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctg((3.0,17 + 4.0,64)/(3.0,98 + 4.0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.

Проекція вектора a на вісь Ox (Oy) − скалярна величина, яка залежить від кута між напрямком вектора aта осі Ox (Oy). (рис. 5)


Вектор проекції aна осі Ox та Oy прямокутної системикоординат. (Рис. 6)


Щоб не допустити помилок щодо знака проекції вектора на вісь, корисно запам'ятати таке правило: якщо напрямок складової збігається з напрямком осі, то проекція вектора на цю вісь позитивна, якщо ж напрямок складової протилежно напрямку осі, то проекція вектора негативна. (Мал. 7)


Віднімання векторів - це додавання, при якому до першого вектора додається вектор, чисельно рівний другому, протилежно спрямований
a − b = a + (−b) = d(Рис. 8).

Нехай треба із вектора aвідняти вектор b, їхня різниця − d. Щоб знайти різницю двох векторів, треба до вектора aдодати вектор ( −b), тобто вектором d = a − bбуде вектор, спрямований від початку вектора aдо кінця вектора ( −b) (рис. 9).

У паралелограмі, побудованому на векторах aі bяк сторонах, одна діагональ cмає сенс суми, а інша d− різниці векторів aі b(Рис. 9).
Твір вектора aна скаляр k дорівнює вектору b= k aмодуль якого в k разів більше модуля вектора a, а напрямок збігається з напрямком aпри позитивному k та протилежно йому при негативному k.

 Приклад 4.
Визначити імпульс тіла масою 2 кг, що рухається зі швидкістю 5 м/с. (рис. 10)

Імпульс тіла p= m v; p = 2 кг.м/с = 10 кг.м/с і спрямований у бік швидкості v.

 Приклад 5.
Заряд q = -7,5 нКл поміщений в електричне поле з напруженістю E = 400 В/м. Знайти модуль та напрямок сили, що діє на заряд.

Сила дорівнює F= q E. Так як заряд негативний, то вектор сили спрямований у бік, протилежний вектору E. (рис. 11)


 Поділвектора aна скаляр k рівнозначно множенню aна 1/к.
 Скалярним творомвекторів aі bназивають скаляр "c", рівний добуткумодулів цих векторів на косинус кута між ними
(a.b) = (b.a) = c,
з = ab.cosα (рис. 12)


 Приклад 6.
Знайти роботу постійної сили F = 20 Н, якщо переміщення S = 7,5 м, а кут між силою і переміщенням α = 120°.

Робота сили дорівнює визначенню скалярному творусили та переміщення
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120 ° = -150 × 1/2 = -75 Дж.

 Векторним творомвекторів aі bназивають вектор c, чисельно рівний добутку модулів векторів a і b, помножених на синус кута між ними:
с = a × b = ,
с = ab × sinα.
Вектор cперпендикулярний площині, в якій лежать вектори aі b, причому його напрямок пов'язаний із напрямком векторів aі bправилом правого гвинта (рис. 13).


 Приклад 7.
Визначити силу, що діє на провідник довжиною 0,2 м, поміщений у магнітному полі, індукція якого 5 Тл, якщо сила струму у провіднику 10 А і він утворює кут α = 30 ° з напрямком поля.

Сила Ампера
dF = I = Idl × B або F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 Тл × 10 А × 0,2 м × 1/2 = 5 Н.

 Розгляньте розв'язання задач.
1. Як спрямовані два вектори, модулі яких однакові та рівні a, якщо модуль їх суми дорівнює: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√(2); д) a√(3)?

 Рішення.
а) Два вектори спрямовані вздовж однієї прямої протилежні сторони. Сума цих векторів дорівнює нулю.

б) Два вектори спрямовані вздовж однієї прямої в одному напрямку. Сума цих векторів дорівнює 2a.

в) Два вектори спрямовані під кутом 120 ° один до одного. Сума векторів дорівнює a. Результуючий вектор знаходимо за теоремою косінусів:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2
cosα = −1/2 та α = 120°.
г) Два вектори спрямовані під кутом 90° один до одного. Модуль суми дорівнює
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 та α = 90°.

д) Два вектори направлені під кутом 60° один до одного. Модуль суми дорівнює
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 та α = 60°.
 Відповідь: Кут між векторами дорівнює: а) 180°; б) 0; в) 120 °; г) 90 °; д) 60 °.

2. Якщо a = a 1 + a 2орієнтації векторів, те, що можна сказати про взаємну орієнтацію векторів a 1і a 2, якщо: а) a = a 1 + a 2; б) a 2 = a 1 2 + a 2 2; в) a 1 + a 2 = a 1 − a 2 ?

 Рішення.
а) Якщо сума векторів перебуває як сума модулів цих векторів, то вектори спрямовані вздовж однієї прямої, паралельно один до одного a 1 ||a 2.
б) Якщо вектори спрямовані під кутом один до одного, то їх сума знаходиться за теоремою косінусів для паралелограма
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 та α = 90°.
вектор перпендикулярний один одному a 1 ⊥ a 2.
в) Умова a 1 + a 2 = a 1 − a 2може виконатися, якщо a 2− нульовий вектор, тоді a 1 + a 2 = a 1 .
 Відповіді. а) a 1 ||a 2; б) a 1 ⊥ a 2; в) a 2− нульовий вектор.

3. Дві сили по 1,42 H кожна прикладена до однієї точки тіла під кутом 60° одна до одної. Під яким кутом треба прикласти до тієї ж точки тіла дві сили по 1,75 H кожна, щоб їхня дія врівноважувала дію перших двох сил?

Рішення.
За умовою задачі дві сили по 1,75 Н врівноважують дві сили по 1,42 Н. Це можливо, якщо дорівнюють модулі результуючих векторів пар сил. Результуючий вектор визначимо теорему косінусів для паралелограма. Для першої пари сил:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
для другої пари сил, відповідно
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Прирівнявши ліві частини рівнянь
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Знайдемо шуканий кут між векторами
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Після обчислень,
cosβ = (2.1,422 + 2.1,422.cos60° − 2.1,752)/(2.1,752) = −0,0124,
β ≈ 90,7°.

 Другий спосіб вирішення.
Розглянемо проекцію векторів на вісь координат ОХ (рис.).

Скориставшись співвідношенням між сторонами прямокутному трикутнику, отримаємо
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
звідки
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) та β ≈ 90,7°.

4. Вектор a = 3i − 4j. Яка має бути скалярна величина c, щоб |c a| = 7,5?
 Рішення.
c a= c ( 3i − 4j) = 7,5
Модуль вектор aдорівнюватиме
a 2 = 3 2 + 4 2 і a = ±5,
тоді з
c.(±5) = 7,5,
знайдемо, що
c = ±1,5.

5. Вектори a 1і a 2виходять із початку координат і мають декартові координатикінців (6, 0) та (1, 4), відповідно. Знайдіть вектор a 3такий, що: а) a 1 + a 2 + a 3= 0; б) a 1 − a 2 + a 3 = 0.

 Рішення.
Зобразимо вектори декартовій системікоординат (рис.)

а) Результуючий вектор уздовж осі Ox дорівнює
a x = 6 + 1 = 7.
Результуючий вектор уздовж осі Oy дорівнює
a y = 4 + 0 = 4.
Щоб сума векторів дорівнювала нулю, необхідно, щоб виконувалася умова
a 1 + a 2 = −a 3.
Вектор a 3по модулю дорівнюватиме сумарному вектору a 1 + a 2, Але спрямований у протилежний йому бік. Координата кінця вектора a 3дорівнює (−7, −4), а модуль
a 3 = √ (7 2 + 4 2) = 8,1.

Б) Результуючий вектор уздовж осі Ox дорівнює
a x = 6 − 1 = 5,
а результуючий вектор уздовж осі Oy
a y = 4 − 0 = 4.
При виконанні умови
a 1 − a 2 = −a 3,
вектор a 3матиме координати кінця вектора a x = –5 та a y = −4, а модуль його дорівнює
a 3 = √ (5 2 + 4 2) = 6,4.

6. Посильний проходить 30 м на північ, 25 м на схід, 12 м на південь, а потім у будівлі піднімається на ліфті на висоту 36 м. Чому рівні пройдений ним шлях L і переміщення S?

 Рішення.
Зобразимо ситуацію, описану задачі на площині у довільному масштабі (рис.).

Кінець вектора OAмає координати 25 м на схід, 18 м на північ і 36 нагору (25; 18; 36). Шлях, пройдений людиною дорівнює
L=30 м+25 м+12 м+36 м=103 м.
Модуль вектора переміщення знайдемо за формулою
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
де x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √ (25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (м).
 Відповідь: L = 103 м, S = 47,4 м.

7. Кут α між двома векторами aі bдорівнює 60 °. Визначте довжину вектора с = a + bта кут β між векторами aі c. Величини векторів дорівнюють a = 3,0 та b = 2,0.

 Рішення.
Довжина вектора, рівного сумівекторів aі bвизначимо скориставшись теоремою косінусів для паралелограма (рис.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Після підстановки
с = √ (3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60 °) = 4,4.
Для визначення кута β скористаємося теоремою синусів для трикутника ABC:
b/sinβ = a/sin(α−β).
При цьому слід знати, що
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ.
Вирішуючи просте тригонометричне рівняння, приходимо до виразу
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
отже,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Зробимо перевірку, скориставшись теоремою косінусів для трикутника:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
звідки
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
і
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4,4)) = 23°.
 Відповідь: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Розв'яжіть завдання.
8. Для векторів aі b, визначених у прикладі 7, знайдіть довжину вектора d = a − bкут γ між aі d.

9. Знайдіть векторну проекцію a = 4,0i + 7,0jна пряму, напрямок якої становить кут = 30° з віссю Ox. Вектор aі пряма лежить у площині xOy.

10. Вектор aстановить кут α = 30° із прямою АВ, a = 3,0. Під яким кутом β до прямої АВ потрібно направити вектор b(b = √(3)), щоб вектор с = a + bбув паралельний АВ? Знайдіть довжину вектора c.

11. Задано три вектори: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; з = i + 3j. Знайдіть а) a + b; б) a + c; в) (a, b); г) (a, c)b − (a, b)c.

12. Кут між векторами aі bдорівнює α = 60 °, a = 2,0, b = 1,0. Знайдіть довжини векторів з = (a, b)a + bі d = 2b − a/2.

13. Доведіть, що вектори aі bперпендикулярні, якщо a = (2, 1, −5) та b = (5, −5, 1).

14. Знайдіть кут α між векторами aі bякщо a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Вектор aстановить із віссю Ox кут α = 30°, проекція цього вектора на вісь Oy дорівнює a y = 2,0. Вектор bперпендикулярний вектор aта b = 3,0 (див. рис.).

Вектор с = a + b. Знайдіть: a) проекції вектора bна осі Ox та Oy; б) величину c та кут β між вектором cта віссю Ox; в) (a, b); г) (a, c).

 Відповіді:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300 °; c = 3,5.
11. а) 5i + j; б) i + 3j - 2k; в) 15i – 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4 °.
15. а) b x = −1,5; b y = 2,6; б) з = 5; β ≈ 67°; в) 0; г) 16,0.
Вивчаючи фізику, Ви маєте великі можливостіпродовжити свою освіту в технічному ВНЗ. Для цього знадобиться паралельне поглиблення знань з математики, хімії, мови, рідше за інші предмети. Переможець республіканської олімпіади, Савич Єгор, закінчує один із факультетів МФТІ, на якому великі вимоги пред'являються до знань з хімії. Якщо потрібна допомога в ГІА з хімії, то звертайтеся до професіоналів, які Вам точно нададуть кваліфіковану та своєчасну допомогу.

 Дивіться ще: