Cộng logarit cùng cơ số. Logarit là gì? Giải logarit

Logarit của số b (b > 0) cơ số a (a > 0, a ≠ 1)– số mũ mà số a phải được nâng lên để có được b.

Logarit cơ số 10 của b có thể được viết là nhật ký (b), và logarit cơ số e (logarit tự nhiên) là ln(b).

Thường được sử dụng khi giải các bài toán bằng logarit:

Tính chất của logarit

Có bốn chính tính chất của logarit.

Cho a > 0, a ≠ 1, x > 0 và y > 0.

Tính chất 1. Logarit của tích

Logarit của sản phẩm bằng tổng logarit:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Tính chất 2. Logarit của thương

Logarit của thương bằng hiệu của logarit:

log a (x/y) = log a x – log a y

Tính chất 3. Logarit lũy thừa

Logarit của bậc tương đương với sản phẩm lũy thừa trên logarit:

Nếu cơ số của logarit tính bằng độ thì áp dụng công thức khác:

Tính chất 4. Logarit của nghiệm

Tính chất này có thể thu được từ tính chất logarit của một lũy thừa, vì căn bậc n bằng sức mạnh 1/n:

Công thức đổi logarit cơ số này sang logarit cơ số khác

Công thức này cũng thường được sử dụng khi giải các bài toán khác nhau về logarit:

Trương hợp đặc biệt:

So sánh logarit (bất đẳng thức)

Cho 2 hàm số f(x) và g(x) theo logarit cùng cơ số và giữa chúng có dấu bất đẳng thức:

Để so sánh chúng, trước tiên bạn cần nhìn vào cơ số của logarit a:

Nếu a > 0 thì f(x) > g(x) > 0
Nếu 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cách giải bài toán bằng logarit: ví dụ

Các vấn đề với logarit Nằm trong Kỳ thi thống nhất môn toán lớp 11 nhiệm vụ 5 và nhiệm vụ 7, các bạn có thể tìm các bài tập có lời giải trên trang web của chúng tôi ở các phần thích hợp. Ngoài ra, các nhiệm vụ có logarit cũng được tìm thấy trong ngân hàng nhiệm vụ toán học. Bạn có thể tìm thấy tất cả các ví dụ bằng cách tìm kiếm trên trang web.

logarit là gì

Logarit luôn được xem xét chủ đề phức tạp V. khóa học toán học. Có nhiều định nghĩa khác nhau logarit, nhưng vì lý do nào đó mà hầu hết sách giáo khoa đều sử dụng logarit phức tạp nhất và không thành công.

Chúng ta sẽ định nghĩa logarit một cách đơn giản và rõ ràng. Để làm điều này, hãy tạo một bảng:

Vì vậy, chúng ta có sức mạnh của hai.

Logarit - tính chất, công thức, cách giải

Nếu bạn lấy số từ dòng dưới cùng, bạn có thể dễ dàng tìm ra lũy thừa mà bạn sẽ phải nâng hai để có được con số này. Ví dụ, để có được 16, bạn cần nâng hai lên lũy thừa bốn. Và để có được 64, bạn cần nâng hai lên lũy thừa sáu. Điều này có thể được nhìn thấy từ bảng.

Và bây giờ - thực ra, định nghĩa của logarit:

cơ số a của đối số x là lũy thừa mà số a phải được nâng lên để thu được số x.

Ký hiệu: log a x = b, trong đó a là cơ số, x là đối số, b là giá trị thực của logarit.

Ví dụ: 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logarit cơ số 2 của 8 là 3 vì 2 3 = 8). Với thành công tương tự, log 2 64 = 6, vì 2 6 = 64.

Phép toán tìm logarit của một số với một cơ số cho trước được gọi là. Vì vậy, hãy thêm một dòng mới vào bảng của chúng tôi:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Thật không may, không phải tất cả logarit đều được tính dễ dàng như vậy. Ví dụ, hãy thử tìm log 2 5. Số 5 không có trong bảng, nhưng logic cho thấy logarit sẽ nằm ở đâu đó trên khoảng. Bởi vì 2 2< 5 < 2 3 , а чем nhiều bằng cấp hơn hai, số càng lớn.

Những số như vậy được gọi là số vô tỷ: các số sau dấu thập phân có thể được viết vô tận và chúng không bao giờ lặp lại. Nếu logarit là số vô tỷ thì tốt hơn nên để nguyên như vậy: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng logarit là một biểu thức có hai biến (cơ số và đối số). Lúc đầu, nhiều người nhầm lẫn đâu là cơ sở và đâu là lý lẽ. Để tránh những hiểu lầm khó chịu, chỉ cần nhìn vào bức tranh:

Trước mắt chúng ta không gì khác hơn là định nghĩa về logarit. Nhớ: logarit là một lũy thừa, trong đó cơ sở phải được xây dựng để có được một đối số. Đó là phần đế được nâng lên lũy thừa - nó được đánh dấu màu đỏ trong hình. Hóa ra căn cứ luôn ở phía dưới! Tôi nói với học sinh của mình quy tắc tuyệt vời này ngay từ bài học đầu tiên - và không có sự nhầm lẫn nào xảy ra.

Cách đếm logarit

Chúng tôi đã tìm ra định nghĩa - tất cả những gì còn lại là học cách đếm logarit, tức là loại bỏ dấu hiệu "log". Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng có hai sự thật quan trọng rút ra từ định nghĩa:

Lập luận và lý do luôn phải Hơn không. Điều này xuất phát từ định nghĩa về mức độ chỉ số hợp lý, theo đó định nghĩa của logarit được đưa ra.
Căn cứ phải khác với một, vì một ở mức độ nào đó vẫn là một. Bởi vì điều này, câu hỏi “một người phải tăng sức mạnh bao nhiêu để có được hai” là vô nghĩa. Không có mức độ như vậy!

Những hạn chế như vậy được gọi là vùng đất giá trị chấp nhận được (ODZ). Hóa ra ODZ của logarit trông như thế này: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Lưu ý rằng không có hạn chế nào về số b (giá trị của logarit). Ví dụ, logarit có thể âm: log 2 0,5 = −1, bởi vì 0,5 = 2 −1.

Tuy nhiên, bây giờ chúng ta chỉ xem xét các biểu thức số, trong đó không cần thiết phải biết VA của logarit. Tất cả các hạn chế đã được các tác giả của nhiệm vụ tính đến. Nhưng khi các phương trình logarit và bất đẳng thức xuất hiện, các yêu cầu về DL sẽ trở thành bắt buộc. Rốt cuộc, cơ sở và lập luận có thể chứa đựng những cấu trúc rất chắc chắn không nhất thiết phải tương ứng với những hạn chế trên.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét sơ đồ chung tính logarit. Nó bao gồm ba bước:

Biểu thị cơ số a và đối số x dưới dạng lũy thừa với cơ số nhỏ nhất có thể lớn hơn một. Đồng thời, tốt hơn hết bạn nên loại bỏ số thập phân;
Giải phương trình biến b: x = a b ;
Kết quả số b sẽ là đáp án.

Đó là tất cả! Nếu logarit hóa ra là số vô tỷ, điều này sẽ hiển thị ở bước đầu tiên. Yêu cầu cơ số lớn hơn một là rất quan trọng: điều này làm giảm khả năng sai sót và đơn giản hóa đáng kể việc tính toán. Giống với số thập phân: nếu bạn chuyển ngay chúng sang dạng thông thường thì sẽ ít xảy ra lỗi hơn rất nhiều.

Hãy xem cách chương trình này hoạt động bằng các ví dụ cụ thể:

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 5 25

Hãy tưởng tượng cơ sở và lập luận là lũy thừa của năm: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Hãy tạo và giải phương trình:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Chúng tôi nhận được câu trả lời: 2.

Nhiệm vụ. Tính logarit:

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 4 64

Hãy tưởng tượng cơ sở và lập luận là lũy thừa của hai: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Hãy tạo và giải phương trình:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Chúng tôi nhận được câu trả lời: 3.

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 16 1

Hãy tưởng tượng cơ số và lập luận là lũy thừa của hai: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Hãy tạo và giải phương trình:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Chúng tôi nhận được câu trả lời: 0.

Nhiệm vụ. Tính logarit: log 7 14

Hãy tưởng tượng cơ sở và lập luận là lũy thừa của bảy: 7 = 7 1 ; 14 không thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa của bảy, vì 7 1< 14 < 7 2 ;
Từ đoạn trước, logarit không được tính;
Câu trả lời là không thay đổi: log 7 14.

Một lưu ý nhỏ tới ví dụ cuối cùng. Làm thế nào bạn có thể chắc chắn rằng một số không phải là lũy thừa chính xác của một số khác? Rất đơn giản - chỉ cần chia nó thành thừa số nguyên tố. Nếu khai triển có ít nhất hai thừa số khác nhau thì con số đó không phải là lũy thừa chính xác.

Nhiệm vụ. Tìm hiểu xem các số có phải là lũy thừa chính xác hay không: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - mức độ chính xác, bởi vì chỉ có một số nhân;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - không phải là lũy thừa chính xác, vì có hai thừa số: 3 và 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - mức độ chính xác;
35 = 7 · 5 - một lần nữa không phải là lũy thừa chính xác;
14 = 7 · 2 - một lần nữa không phải là một mức độ chính xác;

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng bản thân chúng ta số nguyên tố luôn có độ chính xác của bản thân chúng.

logarit thập phân

Một số logarit phổ biến đến mức chúng có tên và ký hiệu đặc biệt.

của đối số x là logarit cơ số 10, tức là Số mũ mà số 10 phải tăng lên để có được số x. Ký hiệu: lg x.

Ví dụ: log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - v.v.

Từ giờ trở đi, khi một cụm từ như “Tìm lg 0,01” xuất hiện trong sách giáo khoa, hãy biết rằng đây không phải là lỗi đánh máy. Đây là logarit thập phân. Tuy nhiên, nếu bạn không quen với ký hiệu này, bạn luôn có thể viết lại:
log x = log 10 x

Mọi điều đúng với logarit thông thường cũng đúng với logarit thập phân.

logarit tự nhiên

Có một logarit khác có ký hiệu riêng. Ở một khía cạnh nào đó, nó thậm chí còn quan trọng hơn cả số thập phân. Đó là về về logarit tự nhiên.

của đối số x là logarit cơ số e, tức là lũy thừa mà số e phải tăng lên để thu được số x. Ký hiệu: ln x.

Nhiều người sẽ hỏi: số e là gì? Cái này số vô tỉ, giá trị chính xác của nó là không thể tìm và viết ra được. Tôi sẽ chỉ đưa ra những số liệu đầu tiên:
e = 2,718281828459…

Chúng tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết con số này là gì và tại sao nó lại cần thiết. Chỉ cần nhớ rằng e là cơ số của logarit tự nhiên:
ln x = log e x

Do đó ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - v.v. Mặt khác, ln 2 là số vô tỷ. Nói chung, logarit tự nhiên của bất kỳ Số hữu tỉ không hợp lý. Tất nhiên, ngoại trừ một trường hợp: ln 1 = 0.

Vì logarit tự nhiên tất cả các quy tắc đúng cho logarit thông thường đều hợp lệ.

Xem thêm:

Logarit. Tính chất của logarit (sức mạnh của logarit).

Làm thế nào để biểu diễn một số dưới dạng logarit?

Chúng tôi sử dụng định nghĩa logarit.

Logarit là số mũ mà cơ số phải được nâng lên để thu được số dưới dấu logarit.

Vì vậy, để biểu diễn một số c nhất định dưới dạng logarit cơ số a, bạn cần đặt lũy thừa có cùng cơ số với cơ số của logarit dưới dấu của logarit và viết số c này làm số mũ:

Tuyệt đối bất kỳ số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng logarit - dương, âm, số nguyên, phân số, số hữu tỉ, số vô tỷ:

Để không nhầm lẫn giữa a và c trong điều kiện căng thẳng của bài kiểm tra hoặc kỳ thi, bạn có thể sử dụng quy tắc ghi nhớ sau:

cái ở dưới đi xuống, cái ở trên đi lên.

Ví dụ: bạn cần biểu diễn số 2 dưới dạng logarit cơ số 3.

Chúng ta có hai số - 2 và 3. Những số này là cơ số và số mũ, chúng ta sẽ viết dưới dấu logarit. Vẫn còn phải xác định số nào trong số này nên được viết ra theo cơ số của bậc và số nào lên theo số mũ.

Cơ số 3 trong ký hiệu logarit nằm ở dưới cùng, nghĩa là khi biểu diễn hai dưới dạng logarit cơ số 3 thì chúng ta cũng sẽ viết 3 xuống cơ số.

2 cao hơn ba. Và trong ký hiệu bậc hai, chúng ta viết trên bậc ba, nghĩa là dưới dạng số mũ:

Logarit. Cấp độ đầu tiên.

Logarit

logarit số dương b dựa trên Một, Ở đâu a > 0, a ≠ 1, được gọi là số mũ mà số đó phải được nâng lên Một, Để có được b.

Định nghĩa logarit có thể viết ngắn gọn như thế này:

đẳng thức này có giá trị đối với b > 0, a > 0, a ≠ 1. Nó thường được gọi nhận dạng logarit.
Hoạt động tìm logarit của một số được gọi là bằng logarit.

Tính chất của logarit:

Logarit của sản phẩm:

Logarit của thương số:

Thay thế logarit cơ số:

Logarit của bậc:

Logarit của nghiệm thức:

Logarit với cơ số lũy thừa:

Logarit thập phân và tự nhiên.

logarit thập phân các số gọi logarit của số này đến cơ số 10 và viết lg b
logarit tự nhiên các số gọi là logarit cơ số của số đó e, Ở đâu e- một số vô tỷ xấp xỉ bằng 2,7. Đồng thời họ viết ln b.

Những ghi chú khác về đại số và hình học

Các tính chất cơ bản của logarit

Logarit, giống như bất kỳ số nào, có thể được cộng, trừ và biến đổi theo mọi cách. Nhưng vì logarit không hẳn là số bình thường nên ở đây có những quy tắc được gọi là thuộc tính chính.

Bạn chắc chắn cần phải biết những quy tắc này - không có chúng thì không một vấn đề nghiêm trọng nào có thể được giải quyết. bài toán logarit. Ngoài ra, có rất ít trong số đó - bạn có thể học mọi thứ trong một ngày. Vậy hãy bắt đầu.

Cộng và trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: log a x và log a y. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Vì vậy, tổng logarit bằng logarit của tích và hiệu bằng logarit của thương. Xin lưu ý: điểm mấu chốt ở đây là căn cứ giống hệt nhau. Nếu các lý do khác nhau, các quy tắc này không có tác dụng!

Những công thức này sẽ giúp bạn tính toán biểu thức logarit ngay cả khi các phần riêng lẻ của nó không được tính (xem bài “Logarit là gì”). Hãy xem các ví dụ và thấy:

Nhật ký 6 4 + log 6 9.

Vì logarit có cùng cơ số nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 2 48 − log 2 3.

Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 3 135 − log 3 5.

Một lần nữa các cơ sở đều giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ logarit “xấu”, không được tính riêng. Nhưng sau khi biến đổi, thu được những con số hoàn toàn bình thường. Nhiều người được xây dựng trên thực tế này giấy kiểm tra. Có, các biểu thức giống như bài kiểm tra được đưa ra một cách nghiêm túc (đôi khi hầu như không có thay đổi) trong Kỳ thi Thống nhất Bang.

Trích xuất số mũ từ logarit

Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút. Điều gì sẽ xảy ra nếu cơ số hoặc đối số của logarit là lũy thừa? Khi đó số mũ của bậc này có thể được lấy ra khỏi dấu logarit theo các quy tắc sau:

Thật dễ dàng để nhận thấy rằng quy tắc cuối cùng theo sau hai cái đầu tiên. Nhưng dù sao thì tốt hơn hết bạn nên nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ làm giảm đáng kể số lượng phép tính.

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu tuân thủ ODZ của logarit: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Và một điều nữa: học cách áp dụng tất cả các công thức không chỉ từ trái sang phải mà còn ngược lại , I E. Bạn có thể nhập các số trước dấu logarit vào chính logarit.

Cách giải logarit

Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 7 49 6 .

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số bằng công thức đầu tiên:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số chứa logarit, cơ số và đối số của nó là lũy thừa chính xác: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Chúng ta có:

Tôi nghĩ ví dụ cuối cùng cần làm rõ một chút. Logarit đã đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số. Chúng tôi đã trình bày cơ sở và lập luận của logarit đứng ở dạng lũy thừa và loại bỏ số mũ - chúng tôi nhận được phân số “ba tầng”.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phần chính. Tử số và mẫu số chứa cùng một số: log 2 7. Vì log 2 7 ≠ 0, chúng ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ vẫn ở mẫu số. Theo các quy tắc số học, bốn số có thể được chuyển sang tử số, đó là điều đã được thực hiện. Kết quả là câu trả lời: 2.

Chuyển sang nền tảng mới

Nói về các quy tắc cộng và trừ logarit, tôi đặc biệt nhấn mạnh rằng chúng chỉ hoạt động với cùng một cơ số. Nếu lý do khác nhau thì sao? Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng không phải là lũy thừa chính xác của cùng một số?

Các công thức để chuyển đổi sang một nền tảng mới sẽ được giải cứu. Chúng ta hãy phát biểu chúng dưới dạng một định lý:

Cho logarit log a x. Khi đó với mọi số c sao cho c > 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Cụ thể, nếu đặt c = x, chúng ta sẽ có:

Từ công thức thứ hai, cơ số và đối số của logarit có thể được hoán đổi cho nhau, nhưng trong trường hợp này toàn bộ biểu thức bị "lật", tức là logarit xuất hiện ở mẫu số.

Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong thông thường biểu thức số. Có thể đánh giá mức độ thuận tiện của chúng chỉ bằng cách quyết định phương trình logarit và sự bất bình đẳng.

Tuy nhiên, có những vấn đề không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển sang nền tảng mới. Chúng ta hãy xem xét một vài trong số này:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 5 16 log 2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả hai logarit đều chứa lũy thừa chính xác. Hãy lấy ra các chỉ tiêu: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Bây giờ hãy “đảo ngược” logarit thứ hai:

Vì tích không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số nên chúng ta bình tĩnh nhân 4 và 2 rồi xử lý logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log 9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của logarit thứ nhất là lũy thừa chính xác. Hãy viết điều này ra và loại bỏ các chỉ số:

Bây giờ chúng ta hãy thoát khỏi logarit thập phân, chuyển đến căn cứ mới:

Nhận dạng logarit cơ bản

Thông thường trong quá trình giải cần biểu diễn một số dưới dạng logarit của một cơ số cho trước.

Trong trường hợp này, các công thức sau sẽ giúp chúng ta:

Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n có thể hoàn toàn là bất kỳ số nào vì nó chỉ là giá trị logarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Đó là những gì nó được gọi là: .

Trên thực tế, điều gì sẽ xảy ra nếu số b được nâng lên lũy thừa sao cho số b lũy thừa này bằng số a? Đúng vậy: kết quả là cùng số a. Hãy đọc kỹ đoạn này một lần nữa - nhiều người mắc kẹt ở đó.

Giống như các công thức chuyển đổi sang một cơ sở mới, công thức chính nhận dạng logaritđôi khi nó là giải pháp khả thi duy nhất.

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Lưu ý rằng log 25 64 = log 5 8 - chỉ cần lấy bình phương từ cơ số và đối số của logarit. Áp dụng các quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, ta có:

Nếu ai chưa biết thì đây là một nhiệm vụ có thật trong Kỳ thi Thống nhất :)

Đơn vị logarit và logarit số 0

Để kết luận, tôi sẽ đưa ra hai danh tính khó có thể được gọi là thuộc tính - đúng hơn, chúng là hệ quả của định nghĩa logarit. Họ liên tục xuất hiện trong các vấn đề và đáng ngạc nhiên là họ còn tạo ra vấn đề ngay cả đối với những học sinh “nâng cao”.

log a a = 1 là. Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit của bất kỳ cơ số a nào của chính cơ số đó đều bằng một.
log a 1 = 0 là Cơ số a có thể là bất kỳ giá trị nào, nhưng nếu đối số chứa một thì logarit sẽ bằng 0! Bởi vì 0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả tài sản. Hãy chắc chắn thực hành áp dụng chúng vào thực tế! Tải cheat sheet ở đầu bài, in ra và giải các bài toán.

Logarit là gì?

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Logarit là gì? Làm thế nào để giải logarit? Những câu hỏi này làm nhiều sinh viên tốt nghiệp bối rối. Theo truyền thống, chủ đề logarit được coi là phức tạp, khó hiểu và đáng sợ. Đặc biệt là các phương trình có logarit.

Điều này hoàn toàn không đúng sự thật. Tuyệt đối! Không tin tôi? Khỏe. Bây giờ, chỉ trong 10 - 20 phút bạn:

1. Bạn sẽ hiểu logarit là gì.

2. Học giải cả lớp phương trình hàm mũ. Ngay cả khi bạn chưa nghe thấy gì về họ.

3. Học cách tính logarit đơn giản.

Hơn nữa, để làm được điều này, bạn chỉ cần biết bảng cửu chương và cách nâng một số lên lũy thừa...

Tôi cảm thấy như bạn đang nghi ngờ... Được rồi, hãy đánh dấu thời gian! Đi!

Đầu tiên, hãy giải phương trình này trong đầu bạn:

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Logarit của một số N dựa trên MỘT gọi là số mũ X , mà bạn cần xây dựng MỘT để có được số N

Với điều kiện là
,
,

Từ định nghĩa logarit suy ra rằng
, I E.
- đẳng thức này là đẳng thức logarit cơ bản.

Logarit cơ số 10 được gọi là logarit thập phân. Thay vì
viết
.

Logarit cơ số e được gọi là tự nhiên và được chỉ định
.

Các tính chất cơ bản logarit.

Logarit của một bằng 0 đối với mọi cơ số.

Logarit của tích bằng tổng logarit của các thừa số.

3) Logarit của thương bằng hiệu của logarit

Nhân tố
được gọi là mô đun chuyển đổi từ logarit sang cơ số Một logarit ở cơ số b .

Sử dụng các thuộc tính 2-5, thường có thể quy đổi logarit của một biểu thức phức tạp thành kết quả của các phép tính số học đơn giản trên logarit.

Ví dụ,

Những phép biến đổi logarit như vậy được gọi là logarit. Các phép biến đổi nghịch đảo với logarit được gọi là điện thế.

Chương 2. Các yếu tố của toán cao cấp.

1. Giới hạn

Giới hạn của hàm
là số hữu hạn A nếu, như xx 0 cho mỗi lần xác định trước
, có một số như vậy
điều đó ngay khi
, Cái đó
.

Một hàm số có giới hạn khác với nó một lượng vô cùng nhỏ:
, trong đó- b.m.v., tức là
.

Ví dụ. Hãy xem xét chức năng
.

Khi phấn đấu
, chức năng y có xu hướng bằng không:

1.1. Các định lý cơ bản về giới hạn.

Giới hạn giá trị hiện có bằng giá trị không đổi này

Giới hạn số tiền (chênh lệch) số giới hạn các hàm số bằng tổng (chênh lệch) các giới hạn của các hàm số này.

Giới hạn của tích của một số hữu hạn các hàm bằng tích các giới hạn của các hàm này.

Giới hạn thương của hai hàm số bằng thương số giới hạn của các hàm số này nếu giới hạn của mẫu số khác 0.

Giới hạn tuyệt vời

,
, Ở đâu

1.2. Ví dụ tính toán giới hạn

Tuy nhiên, không phải mọi giới hạn đều được tính toán dễ dàng như vậy. Thông thường, việc tính toán giới hạn sẽ dẫn đến việc phát hiện ra sự không chắc chắn về loại: hoặc .

2. Đạo hàm của hàm số

Hãy để chúng tôi có một chức năng
, liên tục trên đoạn
.

Lý lẽ có một số tăng
. Sau đó, chức năng sẽ nhận được một sự gia tăng
.

Giá trị đối số tương ứng với giá trị hàm
.

Giá trị đối số
tương ứng với giá trị của hàm.

Kể từ đây, .

Hãy tìm giới hạn của tỉ số này tại
. Nếu giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm của hàm đã cho.

Định nghĩa 3 Đạo hàm của một hàm số đã cho
bằng lập luận được gọi là giới hạn của tỷ lệ giữa mức tăng của hàm và mức tăng của đối số, khi mức tăng của đối số có xu hướng tùy ý về 0.

Đạo hàm của hàm
có thể được chỉ định như sau:

; ; ; .

Định nghĩa 4 Phép toán tìm đạo hàm của hàm số được gọi là sự khác biệt hóa.

2.1. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

Chúng ta hãy xem xét chuyển động thẳng của một vật rắn hoặc một điểm vật chất nào đó.

Hãy để một lúc nào đó điểm chuyển động
đã ở một khoảng cách từ vị trí bắt đầu
.

Sau một thời gian
cô ấy đã di chuyển một khoảng cách
. Thái độ =- tốc độ trung bìnhđiểm vật chất
. Chúng ta hãy tìm giới hạn của tỷ lệ này, có tính đến việc
.

Vì vậy, định nghĩa tốc độ tức thời chuyển động của một điểm vật chất phụ thuộc vào việc tìm đạo hàm của đường đi theo thời gian.

2.2. Ý nghĩa hình học phát sinh

Chúng ta hãy có một hàm được xác định bằng đồ họa
.

Cơm. 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu như
, sau đó chỉ
, sẽ di chuyển dọc theo đường cong, tiến đến điểm
.

Kể từ đây
, I E. giá trị của đạo hàm cho một giá trị nhất định của đối số về số lượng bằng tiếp tuyến của góc tạo bởi tiếp tuyến tại một điểm cho trước với chiều dương của trục
.

2.3. Bảng công thức vi phân cơ bản.

Chức năng nguồn

hàm số mũ

hàm logarit

hàm lượng giác

Hàm lượng giác nghịch đảo

2.4. Quy luật phân biệt.

Dẫn xuất của

Đạo hàm của tổng (chênh lệch) của hàm số

Đạo hàm của tích của hai hàm số

Đạo hàm của thương của hai hàm số

2.5. Dẫn xuất của hàm phức tạp.

Hãy để chức năng được đưa ra
sao cho nó có thể được biểu diễn dưới dạng

Và
, trong đó biến là một đối số trung gian, sau đó

Đạo hàm của một hàm phức bằng tích của đạo hàm của hàm đã cho theo đối số trung gian và đạo hàm của đối số trung gian đối với x.

Ví dụ 1.

Ví dụ 2.

3. Hàm vi phân.

Để đó đi
, khả vi trên một khoảng nào đó
để nó đi Tại hàm số này có đạo hàm

sau đó chúng ta có thể viết

(1),

Ở đâu - một số lượng vô cùng nhỏ,

Kể từ khi

Nhân tất cả các số hạng của đẳng thức (1) với
chúng ta có:

Ở đâu
- b.m.v. trật tự cao hơn.

Kích cỡ
gọi là vi phân của hàm
và được chỉ định

3.1. Giá trị hình học của vi phân.

Hãy để chức năng được đưa ra
.

Hình 2. Ý nghĩa hình học của vi phân.

Rõ ràng, vi phân của hàm
bằng với gia số của tọa độ tiếp tuyến tại một điểm cho trước.

3.2. Đạo hàm và vi phân của các mệnh lệnh khác nhau.

Nếu có
, Sau đó
được gọi là đạo hàm bậc nhất.

Đạo hàm của đạo hàm cấp một được gọi là đạo hàm bậc hai và được viết
.

Đạo hàm cấp n của hàm
được gọi là đạo hàm bậc (n-1) và được viết:

Vi phân của vi phân của một hàm số được gọi là vi phân bậc hai hoặc vi phân bậc hai.

.

.

3.3 Giải các bài toán sinh học bằng vi phân.

Nhiệm vụ 1. Các nghiên cứu đã chỉ ra rằng sự phát triển của một quần thể vi sinh vật tuân theo quy luật
, Ở đâu N - số lượng vi sinh vật (nghìn), t – thời gian (ngày).

b) Dân số của đàn sẽ tăng hay giảm trong thời gian này?

Trả lời. Kích thước của thuộc địa sẽ tăng lên.

Nhiệm vụ 2. Nước trong hồ được kiểm tra định kỳ để theo dõi hàm lượng vi khuẩn gây bệnh. Bởi vì t ngày sau khi thử nghiệm, nồng độ vi khuẩn được xác định bằng tỷ lệ

Khi nào hồ sẽ có mật độ vi khuẩn tối thiểu và có thể bơi trong đó được không?

Lời giải: Một hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu khi đạo hàm của nó bằng 0.

Hãy xác định mức tối đa hoặc tối thiểu sẽ có trong 6 ngày. Để làm điều này, hãy lấy đạo hàm thứ hai.

Trả lời: Sau 6 ngày sẽ có nồng độ vi khuẩn ở mức tối thiểu.

thuộc tính chính.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y).

căn cứ giống hệt nhau

Log6 4 + log6 9.

Bây giờ hãy phức tạp hóa nhiệm vụ một chút.

Ví dụ về giải logarit

Điều gì sẽ xảy ra nếu cơ số hoặc đối số của logarit là lũy thừa? Khi đó số mũ của bậc này có thể được lấy ra khỏi dấu logarit theo các quy tắc sau:

Tất nhiên, tất cả các quy tắc này đều có ý nghĩa nếu ODZ của logarit được tuân thủ: a > 0, a ≠ 1, x >

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Chuyển sang nền tảng mới

Cho logarit logax. Khi đó với mọi số c sao cho c > 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Xem thêm:

Các tính chất cơ bản của logarit

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Số mũ là 2,718281828…. Để nhớ số mũ, bạn có thể nghiên cứu quy tắc: số mũ bằng 2,7 và gấp đôi năm sinh của Leo Nikolaevich Tolstoy.

Các tính chất cơ bản của logarit

Biết quy tắc này, bạn sẽ biết cả giá trị chính xác của số mũ và ngày sinh của Leo Tolstoy.

Ví dụ về logarit

biểu thức logarit

Ví dụ 1.
MỘT). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Sử dụng tính chất 3.5 ta tính toán

4. Ở đâu .

Ví dụ 2. Tìm x nếu

Ví dụ 3. Cho giá trị logarit

Tính log(x) nếu

Các tính chất cơ bản của logarit

Bạn chắc chắn cần phải biết những quy tắc này - nếu không có chúng, không một vấn đề logarit nghiêm trọng nào có thể được giải quyết. Ngoài ra, có rất ít trong số đó - bạn có thể học mọi thứ trong một ngày. Vậy hãy bắt đầu.

Cộng và trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: logax và logay. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y).

Những công thức này sẽ giúp bạn tính biểu thức logarit ngay cả khi các phần riêng lẻ của nó không được xem xét (xem bài học “Logarit là gì”). Hãy xem các ví dụ và thấy:

Vì logarit có cùng cơ số nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log2 48 − log2 3.

Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log3 135 − log3 5.

Một lần nữa các cơ sở đều giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Như bạn có thể thấy, các biểu thức ban đầu được tạo thành từ logarit “xấu”, không được tính riêng. Nhưng sau khi biến đổi, thu được những con số hoàn toàn bình thường. Nhiều bài kiểm tra dựa trên thực tế này. Có, các biểu thức giống như bài kiểm tra được đưa ra một cách nghiêm túc (đôi khi hầu như không có thay đổi) trong Kỳ thi Thống nhất Bang.

Trích xuất số mũ từ logarit

Dễ dàng thấy rằng quy tắc cuối cùng tuân theo hai quy tắc đầu tiên. Nhưng dù sao thì tốt hơn hết bạn nên nhớ nó - trong một số trường hợp, nó sẽ làm giảm đáng kể số lượng phép tính.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log7 496.

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số bằng công thức đầu tiên:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số chứa logarit, cơ số và đối số của nó là lũy thừa chính xác: 16 = 24; 49 = 72. Ta có:

Tôi nghĩ ví dụ cuối cùng cần làm rõ một chút. Logarit đã đi đâu? Cho đến giây phút cuối cùng, chúng tôi chỉ làm việc với mẫu số.

Công thức logarit. Các ví dụ giải logarit

Chúng tôi đã trình bày cơ sở và lập luận của logarit đứng ở dạng lũy thừa và loại bỏ số mũ - chúng tôi nhận được phân số “ba tầng”.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phần chính. Tử số và mẫu số chứa cùng một số: log2 7. Vì log2 7 ≠ 0, chúng ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ vẫn ở mẫu số. Theo các quy tắc số học, bốn số có thể được chuyển sang tử số, đó là điều đã được thực hiện. Kết quả là câu trả lời: 2.

Chuyển sang nền tảng mới

Các công thức để chuyển đổi sang một nền tảng mới sẽ được giải cứu. Chúng ta hãy phát biểu chúng dưới dạng một định lý:

Cho logarit logax. Khi đó với mọi số c sao cho c > 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Cụ thể, nếu đặt c = x, chúng ta sẽ có:

Những công thức này hiếm khi được tìm thấy trong các biểu thức số thông thường. Có thể đánh giá mức độ thuận tiện của chúng chỉ khi giải các phương trình logarit và bất đẳng thức.

Tuy nhiên, có những vấn đề không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển sang nền tảng mới. Chúng ta hãy xem xét một vài trong số này:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log5 16 log2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả hai logarit đều chứa lũy thừa chính xác. Hãy lấy ra các chỉ số: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Bây giờ hãy “đảo ngược” logarit thứ hai:

Vì tích không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số nên chúng ta bình tĩnh nhân 4 và 2 rồi xử lý logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của logarit thứ nhất là lũy thừa chính xác. Hãy viết điều này ra và loại bỏ các chỉ số:

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

Nhận dạng logarit cơ bản

Thông thường trong quá trình giải cần biểu diễn một số dưới dạng logarit của một cơ số cho trước. Trong trường hợp này, các công thức sau sẽ giúp chúng ta:

Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n có thể hoàn toàn là bất kỳ số nào vì nó chỉ là giá trị logarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Đó là những gì nó được gọi là: .

Giống như các công thức chuyển sang cơ số mới, đẳng thức logarit cơ bản đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Lưu ý rằng log25 64 = log5 8 - chỉ cần lấy bình phương từ cơ số và đối số của logarit. Áp dụng các quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, ta có:

Nếu ai chưa biết thì đây là một nhiệm vụ có thật trong Kỳ thi Thống nhất :)

Đơn vị logarit và logarit số 0

logaa = 1 là Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit của bất kỳ cơ số a nào của chính cơ số đó đều bằng một.
loga 1 = 0 là Cơ số a có thể là bất kỳ giá trị nào, nhưng nếu đối số chứa một thì logarit sẽ bằng 0! Bởi vì a0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả tài sản. Hãy chắc chắn thực hành áp dụng chúng vào thực tế! Tải cheat sheet ở đầu bài, in ra và giải các bài toán.

Xem thêm:

Logarit của b theo cơ số a biểu thị biểu thức. Tính logarit nghĩa là tìm lũy thừa x() sao cho đẳng thức được thỏa mãn

Các tính chất cơ bản của logarit

Cần phải biết các tính chất trên, vì hầu hết tất cả các bài toán và ví dụ liên quan đến logarit đều được giải trên cơ sở chúng. Phần còn lại của các tính chất kỳ lạ có thể được rút ra thông qua các thao tác toán học với các công thức này

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Khi tính công thức tính tổng và hiệu logarit (3.4) bạn gặp khá thường xuyên. Phần còn lại hơi phức tạp, nhưng trong một số nhiệm vụ, chúng không thể thiếu để đơn giản hóa các biểu thức phức tạp và tính giá trị của chúng.

Các trường hợp logarit phổ biến

Một số logarit phổ biến là những logarit trong đó cơ số chẵn là 10, hàm mũ hoặc hai.
Logarit cơ số 10 thường được gọi là logarit thập phân và được ký hiệu đơn giản là lg(x).

Rõ ràng từ bản ghi âm rằng những điều cơ bản không được ghi trong bản ghi âm. Ví dụ

Logarit tự nhiên là logarit có cơ số là số mũ (ký hiệu là ln(x)).

Số mũ là 2,718281828…. Để nhớ số mũ, bạn có thể nghiên cứu quy luật: số mũ bằng 2,7 và gấp đôi năm sinh của Leo Nikolaevich Tolstoy. Biết quy tắc này, bạn sẽ biết cả giá trị chính xác của số mũ và ngày sinh của Leo Tolstoy.

Và một logarit quan trọng khác của cơ số hai được ký hiệu là

Đạo hàm logarit của hàm số bằng một chia cho biến

Logarit tích phân hoặc nguyên hàm được xác định bởi mối quan hệ

Tài liệu đã cho đủ để bạn giải được nhiều loại bài toán liên quan đến logarit và logarit. Để giúp bạn hiểu tài liệu, tôi sẽ chỉ đưa ra một vài ví dụ phổ biến từ chương trình giáo dục và các trường đại học.

Ví dụ về logarit

biểu thức logarit

Ví dụ 1.
MỘT). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Sử dụng tính chất 3.5 ta tính toán

2.
Theo tính chất hiệu logarit ta có

3.
Sử dụng tính chất 3.5 chúng ta tìm được

4. Ở đâu .

Bằng cái nhìn biểu hiện phức tạp việc sử dụng một số quy tắc được đơn giản hóa để tạo thành

Tìm giá trị logarit

Ví dụ 2. Tìm x nếu

Giải pháp. Để tính toán, ta áp dụng cho tính chất số hạng 5 và 13 cuối cùng

Chúng tôi ghi lại nó và thương tiếc

Vì các cơ số bằng nhau nên chúng ta đánh đồng các biểu thức

Logarit. Cấp độ đầu tiên.

Cho giá trị logarit

Tính log(x) nếu

Lời giải: Lấy logarit của biến để viết logarit thông qua tổng các số hạng của nó

Đây chỉ là bước khởi đầu cho quá trình làm quen của chúng ta với logarit và các tính chất của chúng. Thực hành tính toán, làm phong phú thêm các kỹ năng thực tế của bạn - bạn sẽ sớm cần kiến thức thu được để giải các phương trình logarit. Sau khi nghiên cứu các phương pháp cơ bản để giải các phương trình như vậy, chúng tôi sẽ mở rộng kiến thức của bạn cho một phương trình khác không kém chủ đề quan trọng- bất đẳng thức logarit...

Các tính chất cơ bản của logarit

Cộng và trừ logarit

Xét hai logarit có cùng cơ số: logax và logay. Sau đó, chúng có thể được cộng và trừ, và:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x:y).

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log6 4 + log6 9.

Vì logarit có cùng cơ số nên chúng ta sử dụng công thức tính tổng:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log2 48 − log2 3.

Các cơ sở giống nhau, chúng tôi sử dụng công thức khác biệt:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log3 135 − log3 5.

Một lần nữa các cơ sở đều giống nhau, vì vậy chúng ta có:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Trích xuất số mũ từ logarit

Cách giải logarit

Đây là những gì thường được yêu cầu nhất.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log7 496.

Hãy loại bỏ mức độ trong đối số bằng công thức đầu tiên:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Lưu ý rằng mẫu số chứa logarit, cơ số và đối số của nó là lũy thừa chính xác: 16 = 24; 49 = 72. Ta có:

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phần chính. Tử số và mẫu số chứa cùng một số: log2 7. Vì log2 7 ≠ 0, chúng ta có thể rút gọn phân số - 2/4 sẽ vẫn ở mẫu số. Theo các quy tắc số học, bốn số có thể được chuyển sang tử số, đó là điều đã được thực hiện. Kết quả là câu trả lời: 2.

Chuyển sang nền tảng mới

Các công thức để chuyển đổi sang một nền tảng mới sẽ được giải cứu. Chúng ta hãy phát biểu chúng dưới dạng một định lý:

Cho logarit logax. Khi đó với mọi số c sao cho c > 0 và c ≠ 1, đẳng thức đúng:

Cụ thể, nếu đặt c = x, chúng ta sẽ có:

Tuy nhiên, có những vấn đề không thể giải quyết được ngoại trừ việc chuyển sang nền tảng mới. Chúng ta hãy xem xét một vài trong số này:

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log5 16 log2 25.

Lưu ý rằng các đối số của cả hai logarit đều chứa lũy thừa chính xác. Hãy lấy ra các chỉ số: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Bây giờ hãy “đảo ngược” logarit thứ hai:

Vì tích không thay đổi khi sắp xếp lại các thừa số nên chúng ta bình tĩnh nhân 4 và 2 rồi xử lý logarit.

Nhiệm vụ. Tìm giá trị của biểu thức: log9 100 lg 3.

Cơ số và đối số của logarit thứ nhất là lũy thừa chính xác. Hãy viết điều này ra và loại bỏ các chỉ số:

Bây giờ chúng ta hãy loại bỏ logarit thập phân bằng cách chuyển sang cơ số mới:

Nhận dạng logarit cơ bản

Trong trường hợp đầu tiên, số n trở thành số mũ trong đối số. Số n có thể hoàn toàn là bất kỳ số nào vì nó chỉ là giá trị logarit.

Công thức thứ hai thực sự là một định nghĩa được diễn giải. Đó là những gì nó được gọi là: .

Giống như các công thức chuyển sang cơ số mới, đẳng thức logarit cơ bản đôi khi là giải pháp khả thi duy nhất.

Nhiệm vụ. Tìm ý nghĩa của biểu thức:

Lưu ý rằng log25 64 = log5 8 - chỉ cần lấy bình phương từ cơ số và đối số của logarit. Áp dụng các quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, ta có:

Nếu ai chưa biết thì đây là một nhiệm vụ có thật trong Kỳ thi Thống nhất :)

Đơn vị logarit và logarit số 0

logaa = 1 là Hãy nhớ một lần và mãi mãi: logarit của bất kỳ cơ số a nào của chính cơ số đó đều bằng một.
loga 1 = 0 là Cơ số a có thể là bất kỳ giá trị nào, nhưng nếu đối số chứa một thì logarit sẽ bằng 0! Bởi vì a0 = 1 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa.

Đó là tất cả tài sản. Hãy chắc chắn thực hành áp dụng chúng vào thực tế! Tải cheat sheet ở đầu bài, in ra và giải các bài toán.