Παρεμβολή. Εισαγωγή. Γενική δήλωση του προβλήματος

Κατά την επίλυση διαφόρων πρακτικών προβλημάτων, τα αποτελέσματα της έρευνας συντάσσονται με τη μορφή πινάκων που δείχνουν την εξάρτηση ενός ή περισσότερων μετρούμενων μεγεθών από μια καθοριστική παράμετρο (επιχείρημα). Τέτοιοι πίνακες παρουσιάζονται συνήθως με τη μορφή δύο ή περισσότερων σειρών (στήλων) και χρησιμοποιούνται για τη διαμόρφωση μαθηματικών μοντέλων.

Πίνακας σε μαθηματικά μοντέλαΟι συναρτήσεις συνήθως γράφονται σε πίνακες της μορφής:

Υ1(Χ)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)

Οι περιορισμένες πληροφορίες που παρέχονται από τέτοιους πίνακες, σε ορισμένες περιπτώσεις, απαιτούν τη λήψη των τιμών των συναρτήσεων Y j (X) (j=1,2,…,m) σε σημεία X που δεν συμπίπτουν με τα κομβικά σημεία του πίνακα X i (i=0,1,2,… ,n). Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί κάποια αναλυτική έκφραση φ j (X) για να υπολογιστούν οι κατά προσέγγιση τιμές της διερευνούμενης συνάρτησης Y j (X) σε αυθαίρετα καθορισμένα σημεία X . Η συνάρτηση φ j (X) που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των κατά προσέγγιση τιμών της συνάρτησης Y j (X) ονομάζεται συνάρτηση προσέγγισης (από το λατινικό approximo - προσέγγιση). Η εγγύτητα της προσεγγιστικής συνάρτησης φ j (X) στην προσεγγιστική συνάρτηση Y j (X) εξασφαλίζεται με την επιλογή του κατάλληλου αλγορίθμου προσέγγισης.

Ολα περαιτέρω εκτιμήσειςκαι θα βγάλουμε συμπεράσματα για πίνακες που περιέχουν τα αρχικά δεδομένα μιας διερευνηθείσας συνάρτησης (δηλ. για πίνακες με m=1 ).

1. Μέθοδοι παρεμβολής

1.1 Δήλωση του προβλήματος παρεμβολής

Τις περισσότερες φορές, για τον προσδιορισμό της συνάρτησης φ(X), χρησιμοποιείται μια πρόταση, η οποία ονομάζεται δήλωση του προβλήματος παρεμβολής.

Σε αυτήν την κλασική διατύπωση του προβλήματος παρεμβολής, απαιτείται να προσδιοριστεί μια κατά προσέγγιση αναλυτική συνάρτηση φ(X) της οποίας οι τιμές στα κομβικά σημεία X i ταιριάζουν με τις τιμές Y(X i ) του αρχικού πίνακα, δηλ. συνθήκες

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n )

Η προσεγγιστική συνάρτηση φ(X) που κατασκευάστηκε με αυτόν τον τρόπο καθιστά δυνατή την επίτευξη μιας αρκετά στενής προσέγγισης με την παρεμβαλλόμενη συνάρτηση Y(X) εντός του εύρους τιμών του ορίσματος [X 0 ; X n ], που ορίζεται από τον πίνακα. Όταν ορίζετε τις τιμές του ορίσματος X, δεν ανήκειαυτό το διάστημα, η εργασία παρεμβολής μετατρέπεται στην εργασία παρέκτασης . Σε αυτές τις περιπτώσεις, η ακρίβεια

οι τιμές που λαμβάνονται κατά τον υπολογισμό των τιμών της συνάρτησης φ(X) εξαρτώνται από την απόσταση της τιμής του ορίσματος X από το X 0 εάν X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

Στο μαθηματική μοντελοποίησηη συνάρτηση παρεμβολής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των κατά προσέγγιση τιμών της υπό μελέτη συνάρτησης σε ενδιάμεσα σημεία των υποδιαστημάτων [Х i ; Xi+1]. Μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται σφραγίδα τραπεζιού.

Ο αλγόριθμος παρεμβολής καθορίζεται με τη μέθοδο υπολογισμού των τιμών της συνάρτησης φ(X). Η απλούστερη και πιο προφανής υλοποίηση της συνάρτησης παρεμβολής είναι η αντικατάσταση της διερευνηθείσας συνάρτησης Y(X) στο διάστημα [X i ; Х i+1 ] από ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία Y i , Y i+1 . Αυτή η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος γραμμικής παρεμβολής.

1.2 Γραμμική παρεμβολή

Με γραμμική παρεμβολή, η τιμή της συνάρτησης στο σημείο X, που βρίσκεται μεταξύ των κόμβων X i και X i+1, προσδιορίζεται από τον τύπο μιας ευθείας γραμμής που συνδέει δύο γειτονικά σημεία του πίνακα

Υ(Χ) = Υ(Χί)+	Y(Xi + 1 ) − Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	Xi+ 1− Xi

Στο σχ. Το 1 δείχνει ένα παράδειγμα πίνακα που λήφθηκε ως αποτέλεσμα μετρήσεων συγκεκριμένης τιμής Y(X) . Οι σειρές του πίνακα προέλευσης επισημαίνονται. Στα δεξιά του πίνακα υπάρχει ένα διάγραμμα διασποράς που αντιστοιχεί σε αυτόν τον πίνακα. Η συμπίεση του πίνακα γίνεται λόγω του υπολογισμού με τον τύπο

(3) τιμές της συνάρτησης που προσεγγίζονται στα σημεία Χ που αντιστοιχούν στα μέσα των υποδιαστημάτων (i=0, 1, 2, … , n ).

Εικ.1. Συμπυκνωμένος πίνακας της συνάρτησης Υ(Χ) και το αντίστοιχο διάγραμμα

Όταν εξετάζουμε το γράφημα στο Σχ. 1 μπορεί να φανεί ότι τα σημεία που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της συμπίεσης του πίνακα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο γραμμικής παρεμβολής βρίσκονται στα ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τα σημεία του αρχικού πίνακα. Γραμμική ακρίβεια

παρεμβολή, ουσιαστικά εξαρτάται από τη φύση της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης και από την απόσταση μεταξύ των κόμβων του πίνακα X i, , X i+1 .

Είναι προφανές ότι εάν η συνάρτηση είναι ομαλή, τότε, ακόμη και με σχετικά μεγάλη απόσταση μεταξύ των κόμβων, το γράφημα που κατασκευάζεται συνδέοντας τα σημεία με ευθύγραμμα τμήματα καθιστά δυνατή την ακριβή εκτίμηση της φύσης της συνάρτησης Y(X). Εάν η συνάρτηση αλλάζει αρκετά γρήγορα και οι αποστάσεις μεταξύ των κόμβων είναι μεγάλες, τότε η γραμμική συνάρτηση παρεμβολής δεν επιτρέπει την επίτευξη επαρκώς ακριβούς προσέγγισης στην πραγματική συνάρτηση.

Η γραμμική συνάρτηση παρεμβολής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μια γενική προκαταρκτική ανάλυση και αξιολόγηση της ορθότητας των αποτελεσμάτων παρεμβολής, τα οποία στη συνέχεια λαμβάνονται από άλλα περισσότερα ακριβείς μεθόδους. Μια τέτοια αξιολόγηση είναι ιδιαίτερα σημαντική σε περιπτώσεις όπου οι υπολογισμοί εκτελούνται χειροκίνητα.

1.3 Παρεμβολή με κανονικό πολυώνυμο

Η μέθοδος παρεμβολής μιας συνάρτησης με ένα κανονικό πολυώνυμο βασίζεται στην κατασκευή μιας συνάρτησης παρεμβολής ως πολυωνύμου με τη μορφή [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

Οι συντελεστές με i του πολυωνύμου (4) είναι παράμετροι ελεύθερης παρεμβολής, οι οποίες καθορίζονται από τις συνθήκες Lagrange:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Χρησιμοποιώντας τα (4) και (5), γράφουμε το σύστημα των εξισώσεων

	Cx+ cx2				C xn = Υ
	Cx+ cx2				Cxn
			Cx2			C xn = Υ

Διάνυσμα λύσης με i (i = 0, 1, 2, …, n ) ενός συστήματος γραμμικής αλγεβρικές εξισώσεις(6) υπάρχει και μπορεί να βρεθεί εάν δεν υπάρχουν αντίστοιχοι κόμβοι μεταξύ των κόμβων i. Η ορίζουσα του συστήματος (6) ονομάζεται ορίζουσα Vandermonde1 και έχει αναλυτική έκφραση [2].

1 Ορίζουσα Vandermonde που ονομάζεται ορίζουσα

Είναι μηδέν αν και μόνο αν xi = xj για κάποιους. (Υλικό από τη Wikipedia - η ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια)

Για να προσδιορίσετε τις τιμές των συντελεστών με i (i = 0, 1, 2, … , n)

Οι εξισώσεις (5) μπορούν να γραφτούν με τη μορφή διανύσματος-μήτρας

A* C=Y,

όπου A είναι ο πίνακας των συντελεστών που καθορίζεται από τον πίνακα δυνάμεων του διανύσματος ορίσματος X= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

Το C είναι ένα διάνυσμα στήλης των συντελεστών i (i = 0, 1, 2, ..., n) και το Y είναι ένα διάνυσμα στήλης των τιμών Y i (i = 0, 1, 2, ..., n) του παρεμβαλλόμενου λειτουργία στους κόμβους παρεμβολής.

Η λύση σε αυτό το σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να ληφθεί με μία από τις μεθόδους που περιγράφονται στο [3]. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον τύπο

С = A− 1 Y,

όπου Α -1 είναι ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα Α. Για να πάρεις αντίστροφη μήτραΚαι -1, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση MOBR() που περιλαμβάνεται στο σετ τυποποιημένα χαρακτηριστικάπρογράμματα Microsoft Excel.

Αφού καθοριστούν οι τιμές των συντελεστών με i, χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση (4), οι τιμές της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης μπορούν να υπολογιστούν για οποιαδήποτε τιμή των ορισμάτων.

Ας γράψουμε τον πίνακα Α για τον πίνακα που φαίνεται στο Σχ. 1, χωρίς να λάβουμε υπόψη τις σειρές που συμπυκνώνουν τον πίνακα.

Εικ.2 Πίνακας του συστήματος εξισώσεων για τον υπολογισμό των συντελεστών του κανονικού πολυωνύμου

Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση MOBR(), λαμβάνουμε τον πίνακα A -1 αντίστροφο του πίνακα A (Εικ. 3). Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο (9), λαμβάνουμε το διάνυσμα των συντελεστών С=(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T που φαίνεται στο σχήμα. τέσσερα.

Για να υπολογίσουμε τις τιμές του κανονικού πολυωνύμου στο κελί της στήλης Υ κανονικό που αντιστοιχεί στις τιμές 0, εισάγουμε το μετατρεπόμενο σε επόμενο είδοςτύπος που αντιστοιχεί στη μηδενική γραμμή του συστήματος (6)

=((((γ 5	* x 0 + c 4 ) * x 0 + c 3 ) * x 0 + c 2 ) * x 0 + c 1 ) * x 0 + c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Αντί να γράψετε "c i" σε έναν τύπο που εισάγεται σε ένα κελί πίνακες Excel, πρέπει να υπάρχει απόλυτη αναφορά στο αντίστοιχο κελί που περιέχει αυτόν τον συντελεστή (βλ. Εικ. 4). Αντί για "x 0" - μια σχετική αναφορά στη στήλη X της στήλης (βλ. Εικ. 5).

Y κανονικό (0) της τιμής που ταιριάζει με την τιμή στο κελί Y lin (0) . Όταν σύρετε έναν τύπο γραμμένο σε ένα κελί Y κανονικό (0), οι τιμές του Y κανονικού (i) πρέπει επίσης να ταιριάζουν, που αντιστοιχούν στα σημεία κόμβου του αρχικού

πίνακες (βλ. Εικ. 5).

Ρύζι. 5. Διαγράμματα κατασκευασμένα σύμφωνα με τους πίνακες γραμμικής και κανονικής παρεμβολής

Σύγκριση γραφημάτων συναρτήσεων που έχουν κατασκευαστεί σύμφωνα με πίνακες που υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους γραμμικής και κανονικής παρεμβολής, βλέπουμε σε έναν αριθμό ενδιάμεσων κόμβων σημαντική απόκλιση των τιμών που λαμβάνονται από τους τύπους γραμμικής και κανονικής παρεμβολής. Είναι δυνατόν να κρίνουμε την ακρίβεια της παρεμβολής πιο λογικά με βάση την απόκτηση Επιπλέον πληροφορίεςσχετικά με τη φύση της διαδικασίας που διαμορφώνεται.

Η παρεμβολή είναι ένας τύπος προσέγγισης στον οποίο η καμπύλη της κατασκευασμένης συνάρτησης διέρχεται ακριβώς από τα διαθέσιμα σημεία δεδομένων.

Υπάρχει επίσης ένα πρόβλημα κοντά στην παρεμβολή, το οποίο συνίσταται στην προσέγγιση ορισμένων σύνθετη λειτουργίαμια άλλη, πιο απλή λειτουργία. Εάν μια συγκεκριμένη συνάρτηση είναι πολύ περίπλοκη για παραγωγικούς υπολογισμούς, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε την τιμή της σε πολλά σημεία και να δημιουργήσετε από αυτά, δηλαδή να παρεμβάλετε περισσότερα μια απλή λειτουργία. Φυσικά, η χρήση μιας απλοποιημένης συνάρτησης δεν σας επιτρέπει να έχετε τα ίδια ακριβή αποτελέσματα που θα έδινε η αρχική συνάρτηση. Αλλά σε ορισμένες κατηγορίες προβλημάτων, το κέρδος στην απλότητα και την ταχύτητα των υπολογισμών μπορεί να αντισταθμίσει το προκύπτον σφάλμα στα αποτελέσματα.

Θα πρέπει επίσης να αναφέρουμε ένα εντελώς διαφορετικό είδος μαθηματικής παρεμβολής, που είναι γνωστό ως «παρεμβολή τελεστών». Τα κλασικά έργα για την παρεμβολή τελεστών περιλαμβάνουν το θεώρημα Riesz-Thorin και το θεώρημα Marcinkiewicz, τα οποία αποτελούν τη βάση για πολλές άλλες εργασίες.

Ορισμοί

Σκεφτείτε ένα σύστημα μη συμπίπτων σημείων () από κάποια περιοχή. Αφήστε τις τιμές της συνάρτησης να είναι γνωστές μόνο σε αυτά τα σημεία:

Το πρόβλημα της παρεμβολής είναι να βρεθεί μια τέτοια συνάρτηση από μια δεδομένη κατηγορία συναρτήσεων που

Παράδειγμα

1. Ας έχουμε λειτουργία πίνακα, όπως το παρακάτω, το οποίο, για πολλαπλές τιμές, ορίζει τις αντίστοιχες τιμές:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Η παρεμβολή μας βοηθά να βρούμε ποια τιμή μπορεί να έχει μια τέτοια συνάρτηση σε ένα σημείο διαφορετικό από αυτά που καθορίζονται (για παράδειγμα, όταν Χ = 2,5).

Μέχρι σήμερα είναι πολλά διάφορους τρόπουςπαρεμβολή. Η επιλογή του καταλληλότερου αλγορίθμου εξαρτάται από τις απαντήσεις στις ερωτήσεις: πόσο ακριβής είναι η επιλεγμένη μέθοδος, ποιο είναι το κόστος χρήσης της, πόσο ομαλή είναι η συνάρτηση παρεμβολής, πόσα σημεία δεδομένων απαιτεί κ.λπ.

2. Βρείτε μια ενδιάμεση τιμή (με γραμμική παρεμβολή).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Μέθοδοι παρεμβολής

Παρεμβολή πλησιέστερου γείτονα

Η απλούστερη μέθοδος παρεμβολής είναι η παρεμβολή του πλησιέστερου γείτονα.

Παρεμβολή με πολυώνυμα

Στην πράξη, η παρεμβολή με πολυώνυμα χρησιμοποιείται συχνότερα. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι τα πολυώνυμα είναι εύκολο να υπολογιστούν, είναι εύκολο να βρεθούν αναλυτικά οι παράγωγοί τους και το σύνολο των πολυωνύμων είναι πυκνό στο χώρο συνεχείς λειτουργίες(θεώρημα Weierstrass).

• IMN-1 και IMN-2
• Πολυώνυμο Lagrange (πολυώνυμο παρεμβολής)
• Το σχήμα του Aitken

Αντίστροφη παρεμβολή (υπολογίζοντας το x δεδομένο y)

• Αντίστροφη παρεμβολή με τον τύπο του Νεύτωνα

Παρεμβολή πολλαπλών μεταβλητών συναρτήσεων

Άλλες μέθοδοι παρεμβολής

• Τριγωνομετρική παρεμβολή

Σχετικές έννοιες

• Παρέκταση - μέθοδοι εύρεσης σημείων έξω καθορισμένο διάστημα(επέκταση καμπύλης)
• Προσέγγιση - μέθοδοι κατασκευής κατά προσέγγιση καμπυλών

δείτε επίσης

• Εξομάλυνση δεδομένων πειράματος

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Συνώνυμα:

Δείτε τι είναι το "Interpolation" σε άλλα λεξικά:

1) ένας τρόπος προσδιορισμού, από μια σειρά δεδομένων τιμών οποιασδήποτε μαθηματικής έκφρασης, των ενδιάμεσων τιμών της. έτσι, για παράδειγμα, σύμφωνα με το εύρος της οβίδας σε γωνία ανύψωσης του άξονα του καναλιού του καναλιού 1 °, 2 °, 3 °, 4 °, κ.λπ., μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας ... ... Λεξικό ξένες λέξειςρωσική γλώσσα

Εισαγωγή, παρεμβολή, συμπερίληψη, αναζήτηση Λεξικό ρωσικών συνωνύμων. παρεμβολή βλέπε ένθετο Λεξικό συνωνύμων της ρωσικής γλώσσας. Πρακτικός οδηγός. Μ.: Ρωσική γλώσσα. Ζ. Ε. Αλεξάνδροβα. 2… Συνώνυμο λεξικό

παρεμβολή- Υπολογισμός ενδιάμεσων τιμών μεταξύ δύο γνωστών σημείων. Για παράδειγμα: γραμμική γραμμική παρεμβολή εκθετικόςπαρεμβολή Η διαδικασία εξόδου μιας έγχρωμης εικόνας όταν τα pixel που ανήκουν στην περιοχή μεταξύ δύο χρωμάτων ... ... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

- (παρεμβολή) Εκτίμηση της τιμής μιας άγνωστης τιμής μεταξύ δύο σημείων μιας σειράς γνωστών τιμών. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τους δείκτες του πληθυσμού της χώρας, που ελήφθησαν κατά την απογραφή, που διεξάγεται σε διαστήματα 10 ετών, μπορείτε ... ... Γλωσσάρι επιχειρησιακών όρων

Από τα λατινικά στην πραγματικότητα "ψεύτικο". Αυτό είναι το όνομα που δίνεται σε λανθασμένες διορθώσεις ή μεταγενέστερες παρεμβολές σε χειρόγραφα που έγιναν από γραφείς ή αναγνώστες. Ιδιαίτερα συχνά αυτός ο όρος χρησιμοποιείται στην κριτική των χειρογράφων των αρχαίων συγγραφέων. Σε αυτά τα χειρόγραφα... Λογοτεχνική Εγκυκλοπαίδεια

Εύρεση ενδιάμεσων τιμών κάποιας κανονικότητας (συνάρτησης) από έναν αριθμό γνωστών τιμών του. Στα Αγγλικά: Interpolation Δείτε επίσης: Μετασχηματισμοί δεδομένων Finam Financial Dictionary ... Οικονομικό λεξιλόγιο

παρεμβολή- και καλά. παρεμβολή f. λατ. αλλαγή παρεμβολής? αλλοίωση, παραμόρφωση. 1. Ένθετο μεταγενέστερης προέλευσης στο οποίο λ. κείμενο που δεν ανήκει στο πρωτότυπο. ALS 1. Υπάρχουν πολλές παρεμβολές που έγιναν από γραφείς σε αρχαία χειρόγραφα. Ush. 1934. 2 ... Ιστορικό λεξικόγαλλισμός της ρωσικής γλώσσας

ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ- (interpolatio), ολοκλήρωση empyrich. μια σειρά από τιμές οποιασδήποτε ποσότητας από τις ενδιάμεσες τιμές που λείπουν. Η παρεμβολή μπορεί να γίνει με τρεις τρόπους: μαθηματικούς, γραφικούς. και λογικό. Βασίζονται στη γενική υπόθεση ότι... Μεγάλο ιατρική εγκυκλοπαίδεια

- (από το λατινικό interpolatio αλλαγή, αλλοίωση), η αναζήτηση ενδιάμεσων τιμών μιας ποσότητας σύμφωνα με ορισμένες από τις γνωστές της τιμές. Για παράδειγμα, η εύρεση των τιμών της συνάρτησης y = f(x) στα σημεία x που βρίσκονται μεταξύ των σημείων x0 και xn, x0 ... Σύγχρονη Εγκυκλοπαίδεια

- (από το λατ. interpolatio αλλαγή αλλαγής), στα μαθηματικά και τη στατιστική, η αναζήτηση ενδιάμεσων τιμών μιας ποσότητας σύμφωνα με ορισμένες από τις γνωστές τιμές της. Για παράδειγμα, εύρεση των τιμών της συνάρτησης f (x) σε σημεία x που βρίσκονται μεταξύ των σημείων xo x1 ... xn, σύμφωνα με ... ... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Interpolation. Σχετικά με τη συνάρτηση, βλέπε: Interpolant.

Παρεμβολή, παρεμβολή (απόλατ. ιντερπολις - « εξομαλύνθηκε, ανανεώθηκε, ανανεώθηκε. έχει μετατραπεί"") - στα υπολογιστικά μαθηματικά, ένας τρόπος εύρεσης ενδιάμεσων τιμών μιας ποσότητας από ένα υπάρχον διακριτό σύνολο γνωστές αξίες. Ο όρος «interpolation» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον John Vallis στην πραγματεία του The Arithmetic of the Infinite (1656).

Στη συναρτησιακή ανάλυση, η παρεμβολή γραμμικών τελεστών είναι ένα τμήμα που θεωρεί τους χώρους Banach ως στοιχεία μιας συγκεκριμένης κατηγορίας.

Πολλοί από αυτούς που ασχολούνται με επιστημονικούς και μηχανικούς υπολογισμούς πρέπει συχνά να λειτουργούν με σύνολα τιμών που λαμβάνονται εμπειρικά ή με μέθοδο. τυχαίο δείγμα. Κατά κανόνα, με βάση αυτά τα σύνολα, απαιτείται η κατασκευή μιας συνάρτησης στην οποία θα μπορούσε κανείς υψηλή ακρίβειαγια να λάβετε άλλες λαμβανόμενες τιμές. Μια τέτοια εργασία ονομάζεται προσέγγιση. Η παρεμβολή είναι ένας τύπος προσέγγισης στον οποίο η καμπύλη της κατασκευασμένης συνάρτησης διέρχεται ακριβώς από τα διαθέσιμα σημεία δεδομένων.

Υπάρχει επίσης ένα πρόβλημα κοντά στην παρεμβολή, το οποίο συνίσταται στην προσέγγιση κάποιας σύνθετης συνάρτησης από μια άλλη, απλούστερη συνάρτηση. Εάν μια συγκεκριμένη συνάρτηση είναι πολύ περίπλοκη για παραγωγικούς υπολογισμούς, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε την τιμή της σε πολλά σημεία και να δημιουργήσετε, δηλαδή να παρεμβάλετε, μια απλούστερη συνάρτηση από αυτά. Φυσικά, η χρήση μιας απλοποιημένης συνάρτησης δεν επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει την ίδια ακριβή αποτελέσματα, που θα έδινε την αρχική λειτουργία. Αλλά σε ορισμένες κατηγορίες προβλημάτων, το κέρδος στην απλότητα και την ταχύτητα των υπολογισμών μπορεί να αντισταθμίσει το προκύπτον σφάλμα στα αποτελέσματα.

Θα πρέπει επίσης να αναφέρουμε ένα εντελώς διαφορετικό είδος μαθηματικής παρεμβολής, που είναι γνωστό ως «παρεμβολή τελεστών». Τα κλασικά έργα για την παρεμβολή τελεστών περιλαμβάνουν το θεώρημα Riesz-Thorin και το θεώρημα Marcinkiewicz, τα οποία αποτελούν τη βάση για πολλές άλλες εργασίες.

Ορισμοί

Θεωρήστε ένα σύστημα μη συμπίπτων σημείων x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) από κάποιο τομέα D ( \displaystyle Δ) . Αφήστε τις τιμές της συνάρτησης f (\displaystyle f) να είναι γνωστές μόνο σε αυτά τα σημεία:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Το πρόβλημα της παρεμβολής είναι να βρεθεί μια συνάρτηση F (\displaystyle F) από μια δεδομένη κατηγορία συναρτήσεων έτσι ώστε

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\lddots ,N.)

• Τα σημεία x i (\displaystyle x_(i)) καλούνται κόμβοι παρεμβολής, και η ολότητά τους είναι πλέγμα παρεμβολής.
• Τα ζεύγη (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) ονομάζονται σημεία δεδομένωνή σημεία βάσης.
• Διαφορά μεταξύ "γειτονικών" τιμών · Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - βήμα πλέγματος παρεμβολής. Μπορεί να είναι και μεταβλητό και σταθερό.
• Συνάρτηση F (x) (\displaystyle F(x)) - συνάρτηση παρεμβολήςή παρεμβολή.

Παράδειγμα

1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση πίνακα όπως η παρακάτω που, για πολλαπλές τιμές του x (\displaystyle x), καθορίζει τις αντίστοιχες τιμές του f (\displaystyle f) :

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Η παρεμβολή μας βοηθά να γνωρίζουμε ποια τιμή μπορεί να έχει μια τέτοια συνάρτηση σε ένα σημείο διαφορετικό από τα καθορισμένα σημεία (για παράδειγμα, όταν Χ = 2,5).

Μέχρι σήμερα, υπάρχουν πολλές διαφορετικές μέθοδοι παρεμβολής. Η επιλογή του καταλληλότερου αλγορίθμου εξαρτάται από τις απαντήσεις στις ερωτήσεις: πόσο ακριβής είναι η επιλεγμένη μέθοδος, ποιο είναι το κόστος χρήσης της, πόσο ομαλή είναι η συνάρτηση παρεμβολής, πόσα σημεία δεδομένων απαιτεί κ.λπ.

2. Βρείτε μια ενδιάμεση τιμή (με γραμμική παρεμβολή).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-15,5)(8000-1993)(8000-6000)(8000-10)*6 (8000-6000)(8. 15.5))(1))=16.1993)

Σε γλώσσες προγραμματισμού

Παράδειγμα γραμμικής παρεμβολής για τη συνάρτηση y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Ο χρήστης μπορεί να εισάγει έναν αριθμό μεταξύ 1 και 10.

Fortran

πρόγραμμα interpol ακέραιος i πραγματικός x, y, xv, yv, yv2 διάσταση x(10) διάσταση y(10) κλήση prisv(x, i) κλήση func(x, y, i) γράψε(*,*) "εισαγωγή αριθμού: " read(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) τότε yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) Υπορουτίνα / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2"); system("echo Enter αριθμός: "); cin >> ob; system("echo Για παράδειγμα 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2, p1 = y1 - x1, p2 = y2 - x2, pi = p2 / p1, skolko = ob - x1, κατάσταση = x2 + (pi * skolko), cout

Μέθοδοι παρεμβολής

Παρεμβολή πλησιέστερου γείτονα

Η απλούστερη μέθοδος παρεμβολής είναι η παρεμβολή του πλησιέστερου γείτονα.

Παρεμβολή με πολυώνυμα

Στην πράξη, η παρεμβολή με πολυώνυμα χρησιμοποιείται συχνότερα. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι τα πολυώνυμα είναι εύκολο να υπολογιστούν, είναι εύκολο να βρεθούν αναλυτικά οι παράγωγοί τους και το σύνολο των πολυωνύμων είναι πυκνό στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων (θεώρημα Weierstrass).

• Γραμμική παρεμβολή
• Ο τύπος παρεμβολής του Νεύτωνα
• Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών
• IMN-1 και IMN-2
• Πολυώνυμο Lagrange (πολυώνυμο παρεμβολής)
• Το σχήμα του Aitken
• λειτουργία spline
• κυβικός σφήνας

Αντίστροφη παρεμβολή (υπολογίζοντας το x δεδομένο y)

• Πολυώνυμο Lagrange
• Αντίστροφη παρεμβολή με τον τύπο του Νεύτωνα
• Αντίστροφη παρεμβολή Gauss

Παρεμβολή πολλαπλών μεταβλητών συναρτήσεων

• Διγραμμική παρεμβολή
• Δικυβική παρεμβολή

Άλλες μέθοδοι παρεμβολής

• Ορθολογική παρεμβολή
• Τριγωνομετρική παρεμβολή

Σχετικές έννοιες

• Παρέκταση - μέθοδοι εύρεσης σημείων εκτός ενός δεδομένου διαστήματος (επέκταση καμπύλης)
• Προσέγγιση - μέθοδοι κατασκευής κατά προσέγγιση καμπυλών

Αντίστροφη παρεμβολή

στην κλάση των συναρτήσεων από το χώρο C2 της οποίας οι γραφικές παραστάσεις διέρχονται από τα σημεία του πίνακα (xi, yi), i = 0, 1, . . . , Μ.

Λύση. Μεταξύ όλων των συναρτήσεων που διέρχονται από τα σημεία αναφοράς (xi, f(xi)) και ανήκουν στον αναφερόμενο χώρο, είναι η κυβική spline S(x) που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες S00(a) = S00(b) = 0 που παρέχει το ακραίο (ελάχιστο) λειτουργικό I(f).

Συχνά στην πράξη υπάρχει πρόβλημα αναζήτησης της δεδομένης τιμής της συνάρτησης της τιμής του ορίσματος. Αυτό το πρόβλημα επιλύεται με μεθόδους αντίστροφης παρεμβολής. Αν ένα δεδομένη λειτουργίαείναι μονότονη, τότε η αντίστροφη παρεμβολή γίνεται πιο εύκολα αντικαθιστώντας τη συνάρτηση με ένα όρισμα και αντίστροφα και στη συνέχεια παρεμβάλλοντας. Εάν η δεδομένη συνάρτηση δεν είναι μονότονη, τότε αυτή η τεχνική δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Στη συνέχεια, χωρίς να αλλάξουμε τους ρόλους της συνάρτησης και του ορίσματος, γράφουμε αυτόν ή τον τύπο παρεμβολής. χρησιμοποιώντας τις γνωστές τιμές του ορίσματος και, υποθέτοντας ότι η συνάρτηση είναι γνωστή, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς το όρισμα.

Η εκτίμηση του υπολοίπου όρου κατά τη χρήση του πρώτου τέχνασμα θα είναι η ίδια όπως και με την άμεση παρεμβολή, μόνο οι παράγωγοι της άμεσης συνάρτησης πρέπει να αντικατασταθούν από παράγωγους του αντίστροφη συνάρτηση. Ας εκτιμήσουμε το σφάλμα της δεύτερης μεθόδου. Αν μας δοθεί μια συνάρτηση f(x) και η Ln (x) είναι το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange που κατασκευάστηκε για αυτή τη συνάρτηση στους κόμβους x0, x1, x2, . . . , xn, τότε

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια τιμή x¯ τέτοια ώστε f (¯x) = y¯ (δίδεται y¯). Θα λύσουμε την εξίσωση Ln (x) = y¯ . Ας πάρουμε κάποια τιμή x¯. Αντικαθιστώντας την προηγούμενη εξίσωση, παίρνουμε:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Εφαρμόζοντας τον τύπο Langrange, παίρνουμε
(x¯ − x¯) f0 (η) =
όπου η είναι μεταξύ x¯ και x¯. Αν είναι ένα διάστημα που περιέχει x¯ και x¯ και min

από την τελευταία έκφραση προκύπτει:

|x¯ − x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

Στην περίπτωση αυτή, φυσικά, υποτίθεται ότι έχουμε λύσει την εξίσωση Ln (x) = y¯ ακριβώς.

Χρήση παρεμβολής για πίνακα

Η θεωρία της παρεμβολής έχει εφαρμογές στη σύνταξη πινάκων συναρτήσεων. Έχοντας λάβει ένα τέτοιο πρόβλημα, ο μαθηματικός πρέπει να λύσει μια σειρά από ερωτήσεις πριν ξεκινήσει τους υπολογισμούς. Πρέπει να επιλεγεί ο τύπος με τον οποίο θα πραγματοποιηθούν οι υπολογισμοί. Αυτός ο τύπος μπορεί να διαφέρει από ιστότοπο σε ιστότοπο. Συνήθως, οι τύποι για τον υπολογισμό των τιμών των συναρτήσεων είναι περίπλοκοι και ως εκ τούτου χρησιμοποιούνται για τη λήψη ορισμένων τιμών αναφοράς και στη συνέχεια, με υποπίνακα, πυκνώνουν τον πίνακα. Ο τύπος που δίνει τις τιμές αναφοράς της συνάρτησης πρέπει να παρέχει την απαιτούμενη ακρίβεια των πινάκων, λαμβάνοντας υπόψη τον ακόλουθο υποπίνακα. Εάν θέλετε να συντάξετε πίνακες με σταθερό βήμα, τότε πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε το βήμα του.

Πίσω Πρώτη Προηγούμενη Επόμενη Τελευταία Παράλειψη Ευρετήριο

Τις περισσότερες φορές, οι πίνακες συναρτήσεων συντάσσονται έτσι ώστε να είναι δυνατή η γραμμική παρεμβολή (δηλαδή η παρεμβολή χρησιμοποιώντας τους δύο πρώτους όρους του τύπου Taylor). Σε αυτήν την περίπτωση, ο υπόλοιπος όρος θα μοιάζει

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Εδώ το ξ ανήκει στο διάστημα μεταξύ δύο γειτονικών πινακοποιημένων τιμών του ορίσματος στο οποίο βρίσκεται το x και το t είναι μεταξύ 0 και 1. Το γινόμενο t(t − 1) παίρνει το μεγαλύτερο συντελεστή

τιμή στο t = 12. Αυτή η τιμή είναι ίση με 14. Ετσι,

Πρέπει να θυμόμαστε ότι δίπλα σε αυτό το σφάλμα - το σφάλμα της μεθόδου, στον πρακτικό υπολογισμό των ενδιάμεσων τιμών, θα εξακολουθεί να υπάρχει ένα μη αναστρέψιμο σφάλμα και σφάλμα στρογγυλοποίησης. Όπως είδαμε νωρίτερα, το μοιραίο σφάλμα στη γραμμική παρεμβολή θα είναι ίσο με το σφάλμα των πινακοποιημένων τιμών της συνάρτησης. Το σφάλμα στρογγυλοποίησης θα εξαρτηθεί από τα μέσα υπολογισμού και από το πρόγραμμα υπολογισμού.

Πίσω Πρώτη Προηγούμενη Επόμενη Τελευταία Παράλειψη Ευρετήριο

Ευρετήριο θεμάτων

διαιρούμενες διαφορές δεύτερης τάξης, 8 πρώτης τάξης, 8

σφήνα, 15

κόμβοι παρεμβολής, 4

Πίσω Πρώτη Προηγούμενη Επόμενη Τελευταία Παράλειψη Ευρετήριο

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Πώς να κάνετε παρεμβολή

Τύπος παρεμβολής δεδομένων σε πίνακα

Χρησιμοποιείται στο 2ο βήμα, όταν η ποσότητα NXR (Q, t) από την κατάσταση είναι ενδιάμεσο μεταξύ 100 t και 300 t.

(Εξαίρεση:εάν το Q είναι ίσο με 100 ή 300 κατά συνθήκη, τότε δεν χρειάζεται παρεμβολή).

y ο- Η αρχική σας ποσότητα NHR από την κατάσταση, σε τόνους

(αντιστοιχεί στο γράμμα Q)

y 1 – μικρότερος

(από τους πίνακες 11-16, συνήθως 100).

y 2 – περισσότερο πλησιέστερη στην αξία σας για την ποσότητα NCR, σε τόνους

(από τους πίνακες 11-16, συνήθως 300).

Χ 1 y 1 (Χ 1 που βρίσκεται απέναντι y 1 ), χλμ.

Χ 2 - πίνακας του βάθους διάδοσης ενός νέφους μολυσμένου αέρα (G t), αντίστοιχα y 2 (Χ 2 που βρίσκεται απέναντι y 2 ), χλμ.

Χ 0 - επιθυμητή τιμή σολ tαντίστοιχος y ο(σύμφωνα με τον τύπο).

Παράδειγμα.

NCR - χλώριο; Q = 120 t;

Τύπος SVSP (βαθμός κάθετης αντίστασης αέρα) - αναστροφή.

Εύρημα σολ t- πίνακας τιμής του βάθους εξάπλωσης του νέφους μολυσμένου αέρα.

Εξετάζουμε τους πίνακες 11-16 και βρίσκουμε δεδομένα που ταιριάζουν με την κατάστασή σας (χλώριο, αναστροφή).

Κατάλληλος πίνακας 11.

Επιλογή αξιών y 1 , y 2, Χ 1 , Χ 2 . Σπουδαίος - παίρνουμε την ταχύτητα του ανέμου 1 m / s., παίρνουμε τη θερμοκρασία - 20 ° C.

Αντικαταστήστε τις επιλεγμένες τιμές στον τύπο και βρείτε Χ 0 .

Σπουδαίος - ο υπολογισμός είναι σωστός αν Χ 0 θα έχει μια τιμή κάπου ανάμεσα Χ 1 , Χ 2 .

1.4. Τύπος παρεμβολής Lagrange

Ο αλγόριθμος που προτείνει ο Lagrange για την κατασκευή παρεμβολής

συναρτήσεις σύμφωνα με τους πίνακες (1) προβλέπει την κατασκευή του πολυωνύμου παρεμβολής Ln(x) στη μορφή

Προφανώς, η εκπλήρωση των προϋποθέσεων (11) για το (10) καθορίζει την εκπλήρωση των προϋποθέσεων (2) της δήλωσης του προβλήματος παρεμβολής.

Τα πολυώνυμα li(x) γράφονται ως εξής

Σημειώστε ότι κανένας παράγοντας στον παρονομαστή του τύπου (14) δεν είναι ίσος με μηδέν. Έχοντας υπολογίσει τις τιμές των σταθερών ci, μπορείτε να τις χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε τις τιμές της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης σε δεδομένα σημεία.

Ο πολυωνυμικός τύπος παρεμβολής Lagrange (11), λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους (13) και (14), μπορεί να γραφτεί ως

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Οργάνωση χειροκίνητων υπολογισμών σύμφωνα με τον τύπο Lagrange

Η άμεση εφαρμογή του τύπου Lagrange οδηγεί σε μεγάλο αριθμό υπολογισμών του ίδιου τύπου. Για πίνακες μικρών διαστάσεων, αυτοί οι υπολογισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν τόσο χειροκίνητα όσο και σε περιβάλλον λογισμικού.

Στο πρώτο στάδιο, εξετάζουμε τον αλγόριθμο των υπολογισμών που εκτελούνται χειροκίνητα. Στο μέλλον, οι ίδιοι υπολογισμοί θα πρέπει να επαναληφθούν στο περιβάλλον

Microsoft Excel ή OpenOffice.org Υπολογ.

Στο σχ. Το σχήμα 6 δείχνει ένα παράδειγμα του πίνακα πηγής μιας παρεμβαλλόμενης συνάρτησης που ορίζεται από τέσσερις κόμβους.

Εικ.6. Πίνακας που περιέχει τα αρχικά δεδομένα για τους τέσσερις κόμβους της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης

Στην τρίτη στήλη του πίνακα, γράφουμε τις τιμές των συντελεστών qi που υπολογίζονται με τους τύπους (14). Παρακάτω υπάρχει μια εγγραφή αυτών των τύπων για n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Το επόμενο βήμα στην υλοποίηση των μη αυτόματων υπολογισμών είναι ο υπολογισμός των τιμών li(x) (j=0,1,2,3), που εκτελούνται από τους τύπους (13).

Ας γράψουμε αυτούς τους τύπους για την έκδοση του πίνακα που εξετάζουμε με τέσσερις κόμβους:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Ας υπολογίσουμε τις τιμές των πολυωνύμων li(xj) (j=0,1,2,3) και ας τις γράψουμε στα κελιά του πίνακα. Οι τιμές της συνάρτησης Ycalc(x), σύμφωνα με τον τύπο (11), θα ληφθούν ως αποτέλεσμα της άθροισης των τιμών του li(xj) σε σειρές.

Η μορφή του πίνακα, ο οποίος περιλαμβάνει στήλες με υπολογισμένες τιμές li(xj) και μια στήλη τιμών Ycalc(x), φαίνεται στο Σχ.8.

Ρύζι. 8. Πίνακας με τα αποτελέσματα των μη αυτόματων υπολογισμών που εκτελούνται από τους τύπους (16), (17) και (11) για όλες τις τιμές του ορίσματος xi

Έχοντας ολοκληρώσει τη διαμόρφωση του πίνακα που φαίνεται στο Σχ. 8, με τους τύπους (17) και (11) είναι δυνατός ο υπολογισμός της τιμής της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος X. Για παράδειγμα, για X=1 υπολογίζουμε τις τιμές li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)=0,2966.

Συνοψίζοντας τις τιμές του li(1) παίρνουμε την τιμή Yinterp(1)=3,1463.

1.4.2. Υλοποίηση του αλγορίθμου παρεμβολής από τύπους Lagrange στο περιβάλλον του προγράμματος Microsoft Excel

Η εφαρμογή του αλγορίθμου παρεμβολής ξεκινά, όπως και στους χειροκίνητους υπολογισμούς, γράφοντας τύπους για τον υπολογισμό των συντελεστών qi. Το 9 δείχνει τις στήλες του πίνακα με δεδομένες αξίεςόρισμα, παρεμβαλλόμενη συνάρτηση και συντελεστές qi. Στα δεξιά αυτού του πίνακα βρίσκονται οι τύποι που είναι γραμμένοι στα κελιά της στήλης C για τον υπολογισμό των τιμών των συντελεστών qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Ρύζι. 9 Πίνακας συντελεστών qi και τύποι υπολογισμού

Αφού εισαγάγετε τον τύπο q0 στο κελί C2, τραβιέται μέσα από κελιά από το C3 στο C5. Μετά από αυτό, οι τύποι σε αυτά τα κελιά διορθώνονται σύμφωνα με το (16) στη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 9.

Ycalc(xi),

Υλοποιώντας τους τύπους (17), γράφουμε τύπους για τον υπολογισμό των τιμών li(x) (i=0,1,2,3) στα κελιά των στηλών D, E, F και G. Στο κελί D2 για τον υπολογισμό της τιμής l0(x0), γράφουμε τον τύπο:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

παίρνουμε τις τιμές l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Η μορφή συνδέσμου $A2 σάς επιτρέπει να τεντώσετε τον τύπο κατά μήκος των στηλών E, F, G για να σχηματίσετε υπολογιστικούς τύπους για τον υπολογισμό του li(x0) (i=1,2,3). Η μεταφορά ενός τύπου σε μια γραμμή δεν αλλάζει το ευρετήριο στήλης των ορισμάτων. Για τον υπολογισμό του li(x0) (i=1,2,3) μετά τη σχεδίαση του τύπου l0(x0) είναι απαραίτητο να διορθωθούν σύμφωνα με τους τύπους (17).

Στη στήλη Η βάλε Τύποι Excelγια άθροιση του li(x) με τον τύπο

(11) αλγόριθμος.

Στο σχ. Το 10 δείχνει έναν πίνακα που εφαρμόζεται στο περιβάλλον προγράμματα της MicrosoftΠροέχω. Ένα σημάδι της ορθότητας των τύπων που γράφτηκαν στα κελιά του πίνακα και των υπολογιστικών πράξεων που εκτελούνται είναι ο προκύπτων διαγώνιος πίνακας li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), επαναλαμβάνοντας τα αποτελέσματα που φαίνονται στο Σχ. 8, και μια στήλη τιμών που ταιριάζουν με τις τιμές της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης στους κόμβους του αρχικού πίνακα.

Ρύζι. 10. Πίνακας τιμών li(xj) (j=0,1,2,3) και Ycalc(xj)

Για να υπολογίσετε τις τιμές σε ορισμένα ενδιάμεσα σημεία, αρκεί

Στα κελιά της στήλης Α, ξεκινώντας από το κελί A6, εισαγάγετε τις τιμές του ορίσματος X για το οποίο θέλετε να προσδιορίσετε τις τιμές της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης. Αποκορύφωμα

στην τελευταία (5η) γραμμή του πίνακα κελιών από l0(xn) έως Ycalc(xn) και τεντώστε τους τύπους που είναι γραμμένοι στα επιλεγμένα κελιά στη γραμμή που περιέχει το τελευταίο

τη δεδομένη τιμή του ορίσματος x.

Στο σχ. Το 11 δείχνει έναν πίνακα στον οποίο γίνεται ο υπολογισμός της τιμής της συνάρτησης σε τρεις βαθμούς: x=1, x=2 και x=3. Μια πρόσθετη στήλη με αριθμούς σειρών του πίνακα δεδομένων προέλευσης έχει εισαχθεί στον πίνακα.

Ρύζι. 11. Υπολογισμός των τιμών των παρεμβαλλόμενων συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τύπους Lagrange

Για μεγαλύτερη σαφήνεια εμφάνισης των αποτελεσμάτων παρεμβολής, θα κατασκευάσουμε έναν πίνακα που περιλαμβάνει μια στήλη τιμών του ορίσματος Χ σε αύξουσα σειρά, μια στήλη αρχικών τιμών της συνάρτησης Y(X) και μια στήλη

Πείτε μου πώς να χρησιμοποιήσω τον τύπο παρεμβολής και ποιον στην επίλυση προβλημάτων στη θερμοδυναμική (θερμική μηχανική)

Ιβάν Σεστάκοβιτς

Η απλούστερη, αλλά συχνά όχι επαρκώς ακριβής παρεμβολή είναι γραμμική. Όταν έχετε ήδη δύο γνωστά σημεία (X1 Y1) και (X2 Y2) και πρέπει να βρείτε τις τιμές Y της ημέρας κάποιου X που είναι μεταξύ X1 και X2. Τότε ο τύπος είναι απλός.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Παρεμπιπτόντως, αυτός ο τύπος λειτουργεί επίσης για τιμές X εκτός του διαστήματος X1..X2, αλλά αυτό ονομάζεται ήδη εξώθηση και, σε σημαντική απόσταση από αυτό το διάστημα, δίνει ένα πολύ μεγάλο σφάλμα.
Υπάρχουν πολλά άλλα χαλάκια. μέθοδοι παρεμβολής - Σας συμβουλεύω να διαβάσετε το σχολικό βιβλίο ή να ψάξετε στο διαδίκτυο.
Η μέθοδος της γραφικής παρεμβολής δεν αποκλείεται επίσης - σχεδιάστε χειροκίνητα ένα γράφημα μέσω γνωστών σημείων και βρείτε το Y από το γράφημα για το απαιτούμενο X. ;)

Μυθιστόρημα

Έχεις δύο έννοιες. Και περίπου η εξάρτηση (γραμμική, τετραγωνική, ..)
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης διέρχεται από τα δύο σημεία σας. Χρειάζεστε μια τιμή κάπου στη μέση. Λοιπόν, εξέφρασε!
Για παράδειγμα. Στον πίνακα, σε θερμοκρασία 22 βαθμών, η πίεση κορεσμένων ατμών είναι 120.000 Pa και στους 26, 124.000 Pa. Στη συνέχεια σε θερμοκρασία 23 βαθμών 121000 Pa.

Παρεμβολή (συντεταγμένες)

Υπάρχει ένα πλέγμα συντεταγμένων στον χάρτη (εικόνα).
Έχει μερικά γνωστά σημεία αναφοράς (n>3) με δύο τιμές x,y- συντεταγμένες σε pixel και συντεταγμένες σε μέτρα.
Είναι απαραίτητο να βρούμε ενδιάμεσες τιμές συντεταγμένων σε μέτρα, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες σε pixel.
Η γραμμική παρεμβολή δεν είναι κατάλληλη - πάρα πολλά σφάλματα εκτός γραμμής.
Ως εξής: (Xc - συντεταγμένες σε μέτρα επί x, Xp - συντεταγμένες σε pixel κατά x, Xc3 - επιθυμητή τιμή κατά x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Πώς να βρείτε τον ίδιο τύπο για την εύρεση Xc και Yc, με δεδομένο όχι δύο (όπως εδώ), αλλά N γνωστά σημεία αναφοράς;

Η φτέρη της Τζόκα χαμήλωσε

Κρίνοντας από τους γραπτούς τύπους συμπίπτουν οι άξονες των συστημάτων συντεταγμένων σε pixel και μέτρα;
Δηλαδή, Xp -> Xc παρεμβάλλεται ανεξάρτητα και Yp -> Yc παρεμβάλλεται ανεξάρτητα. Εάν όχι, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε δισδιάστατη παρεμβολή Xp,Yp->Xc και Xp,Yp->Yc, η οποία περιπλέκει κάπως την εργασία.
Επιπλέον, υποτίθεται ότι οι συντεταγμένες Xp και Xc σχετίζονται με κάποια εξάρτηση.
Εάν η φύση της εξάρτησης είναι γνωστή (ή υποτίθεται, για παράδειγμα, υποθέτουμε ότι Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), τότε μπορείτε να λάβετε τις παραμέτρους αυτής της εξάρτησης (για τη δεδομένη εξάρτηση a , β, γ) χρησιμοποιώντας ανάλυση παλινδρόμησης(Μέθοδος ελάχιστα τετράγωνα) . Σε αυτή τη μέθοδο, εάν ζητηθεί μια ορισμένη εξάρτηση Xc(Xp) μπορείτε να λάβετε τον τύπο για τις παραμέτρους ανάλογα με τα δεδομένα αναφοράς. Αυτή η μέθοδος επιτρέπει, ειδικότερα, να βρείτε και γραμμική εξάρτηση, ο καλύτερος τρόποςικανοποιώντας αυτό το σύνολο δεδομένων.
Μειονέκτημα: Σε αυτή τη μέθοδο, οι συντεταγμένες Xc που λαμβάνονται από τα δεδομένα των σημείων ελέγχου Xp ενδέχεται να διαφέρουν από τις δεδομένες. Όπως για παράδειγμα, η ευθεία προσέγγισης που χαράσσεται μέσα από τα πειραματικά σημεία δεν διέρχεται ακριβώς από αυτά τα ίδια τα σημεία.
Εάν απαιτείται ακριβής αντιστοίχιση και η φύση της εξάρτησης είναι άγνωστη, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι παρεμβολής. Το απλούστερο μαθηματικά είναι το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange, που διέρχεται ακριβώς από τα σημεία αναφοράς. Ωστόσο, λόγω υψηλός βαθμόςαυτό το πολυώνυμο στο μεγάλοι αριθμοίσημεία αναφοράς και Κακη ποιοτηταπαρεμβολή, είναι καλύτερα να μην το χρησιμοποιήσετε. Το πλεονέκτημα είναι η σχετικά απλή φόρμουλα.
Είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείτε παρεμβολή spline. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι σε κάθε τμήμα μεταξύ δύο γειτονικών σημείων, η εξάρτηση υπό μελέτη παρεμβάλλεται από ένα πολυώνυμο και οι συνθήκες ομαλότητας γράφονται στα σημεία σύνδεσης δύο διαστημάτων. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η ποιότητα της παρεμβολής. Μειονεκτήματα - σχεδόν αδύνατο να αποσυρθεί γενικός τύπος, πρέπει να βρει κανείς αλγοριθμικά τους συντελεστές του πολυωνύμου σε κάθε τμήμα. Ένα άλλο μειονέκτημα είναι η δυσκολία γενίκευσης σε 2D παρεμβολή.

Υπάρχει μια κατάσταση όταν σε μια σειρά γνωστών τιμών πρέπει να βρείτε ενδιάμεσα αποτελέσματα. Στα μαθηματικά, αυτό ονομάζεται παρεμβολή. Στο Excel αυτή τη μέθοδομπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για δεδομένα σε πίνακα όσο και για γραφήματα. Ας ρίξουμε μια ματιά σε καθεμία από αυτές τις μεθόδους.

Η βασική προϋπόθεση υπό την οποία μπορεί να εφαρμοστεί η παρεμβολή είναι ότι η επιθυμητή τιμή πρέπει να βρίσκεται εντός του πίνακα δεδομένων και να μην υπερβαίνει το όριό της. Για παράδειγμα, εάν έχουμε ένα σύνολο ορισμάτων 15, 21 και 29, τότε όταν βρίσκουμε μια συνάρτηση για το όρισμα 25, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε παρεμβολή. Και για να βρείτε την αντίστοιχη τιμή για το όρισμα 30 - όχι πλέον. Αυτή είναι η κύρια διαφορά μεταξύ αυτής της διαδικασίας και της παρέκτασης.

Μέθοδος 1: Παρεμβολή για δεδομένα σε πίνακα

Πρώτα απ 'όλα, εξετάστε τη χρήση της παρεμβολής για δεδομένα που βρίσκονται σε έναν πίνακα. Για παράδειγμα, ας πάρουμε μια σειρά από ορίσματα και τις αντίστοιχες τιμές συνάρτησής τους, η αναλογία των οποίων μπορεί να περιγραφεί γραμμική εξίσωση. Αυτά τα δεδομένα τοποθετούνται στον παρακάτω πίνακα. Πρέπει να βρούμε την αντίστοιχη συνάρτηση για το όρισμα 28 . Ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι με τον χειριστή ΠΡΟΒΛΕΨΗ.

Μέθοδος 2: παρεμβολή ενός γραφήματος χρησιμοποιώντας τις ρυθμίσεις του

Η διαδικασία παρεμβολής μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί κατά τη σχεδίαση μιας συνάρτησης. Είναι σημαντικό εάν ο πίνακας στον οποίο βασίζεται το γράφημα δεν προσδιορίζει την αντίστοιχη τιμή συνάρτησης για ένα από τα ορίσματα, όπως στην παρακάτω εικόνα.

Όπως μπορείτε να δείτε, το γράφημα έχει διορθωθεί και το κενό έχει αφαιρεθεί χρησιμοποιώντας παρεμβολή.

Μέθοδος 3: Παρεμβολή γραφήματος με συνάρτηση

Μπορείτε επίσης να παρεμβάλετε το γράφημα χρησιμοποιώντας την ειδική συνάρτηση ND. Επιστρέφει μηδενικές τιμές στο καθορισμένο κελί.

Μπορείτε να το κάνετε ακόμα πιο εύκολο χωρίς να τρέχετε Οδηγός λειτουργιών, αλλά απλώς χρησιμοποιήστε το πληκτρολόγιο για να μεταφέρετε μια τιμή σε ένα κενό κελί "#Δ/Υ"χωρίς εισαγωγικά. Αλλά εξαρτάται ήδη από το πώς είναι πιο βολικό για ποιον χρήστη.

Όπως μπορείτε να δείτε, στο πρόγραμμα Excel, μπορείτε να παρεμβάλλετε δεδομένα σαν πίνακα χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση ΠΡΟΒΛΕΨΗ, καθώς και γραφικά. ΣΤΟ τελευταία περίπτωσηΑυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τις ρυθμίσεις γραφήματος ή χρησιμοποιώντας τη λειτουργία Η ΝΔ, προκαλώντας σφάλμα "#Δ/Υ". Η επιλογή της μεθόδου που θα χρησιμοποιηθεί εξαρτάται από τη δήλωση προβλήματος, καθώς και από τις προσωπικές προτιμήσεις του χρήστη.

Αυτό είναι ένα κεφάλαιο από το βιβλίο του Bill Jelen.

Πρόκληση: Ορισμένα προβλήματα σχεδιασμού μηχανικής απαιτούν τη χρήση πινάκων για τον υπολογισμό των τιμών των παραμέτρων. Επειδή οι πίνακες είναι διακριτοί, ο σχεδιαστής χρησιμοποιεί γραμμική παρεμβολή για να πάρει μια ενδιάμεση τιμή παραμέτρου. Ο πίνακας (Εικ. 1) περιλαμβάνει το ύψος πάνω από το έδαφος (παράμετρος ελέγχου) και την ταχύτητα ανέμου (υπολογιζόμενη παράμετρος). Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε την ταχύτητα του ανέμου που αντιστοιχεί σε ύψος 47 μέτρων, τότε θα πρέπει να εφαρμόσετε τον τύπο: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 m / s.

Λήψη σημείωσης σε ή μορφή, παραδείγματα σε μορφή

Τι γίνεται αν υπάρχουν δύο παράμετροι ελέγχου; Είναι δυνατόν να γίνουν υπολογισμοί με έναν μόνο τύπο; Ο πίνακας (Εικ. 2) δείχνει τις τιμές της πίεσης ανέμου για διάφορα ύψηκαι ανοίγματα δομών. Απαιτείται ο υπολογισμός της πίεσης του ανέμου σε ύψος 25 μέτρων και άνοιγμα 300 μέτρων.

Λύση: Επιλύουμε το πρόβλημα επεκτείνοντας τη μέθοδο που χρησιμοποιείται για την περίπτωση με μία παράμετρο ελέγχου. Κάντε το εξής.

Ξεκινήστε με τον πίνακα που φαίνεται στο σχ. 2. Προσθέστε κελιά πηγής για ύψος και άνοιγμα στα J1 και J2 αντίστοιχα (Εικόνα 3).

Ρύζι. 3. Οι τύποι στα κελιά J3:J17 εξηγούν πώς λειτουργεί ο μέγα τύπος

Για ευκολία στη χρήση τύπων, ορίστε ονόματα (Εικ. 4).

Ακολουθήστε την εργασία του τύπου μετακινώντας διαδοχικά από το κελί J3 στο κελί J17.

Με αντίστροφη διαδοχική αντικατάσταση, συναρμολογήστε τον μέγα τύπο. Αντιγράψτε το κείμενο του τύπου από το κελί J17 στο J19. Αντικαταστήστε την αναφορά στο J15 στον τύπο με την τιμή στο κελί J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. Και ούτω καθεξής. Το αποτέλεσμα θα είναι ένας τύπος που αποτελείται από 984 χαρακτήρες, οι οποίοι δεν μπορούν να γίνουν αντιληπτοί σε αυτήν τη μορφή. Μπορείτε να το δείτε στο συνημμένο αρχείο excel. Δεν είμαι σίγουρος εάν αυτού του είδους οι μέγα-φόρμουλες είναι χρήσιμοι στη χρήση.

Περίληψη: Η γραμμική παρεμβολή χρησιμοποιείται για να ληφθεί μια ενδιάμεση τιμή μιας παραμέτρου if τιμές πίνακαορίζεται μόνο για όρια εύρους. προτείνεται μια μέθοδος υπολογισμού που βασίζεται σε δύο παραμέτρους ελέγχου.