Λύστε το σύστημα εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer Παραδείγματα λύσεων. Γραμμικές εξισώσεις

Στο πρώτο μέρος, εξετάσαμε κάποιο θεωρητικό υλικό, τη μέθοδο υποκατάστασης, καθώς και τη μέθοδο προσθήκης εξισώσεων συστήματος ανά όρο. Σε όλους όσους ήρθαν στον ιστότοπο μέσω αυτής της σελίδας, συνιστώ να διαβάσετε το πρώτο μέρος. Ίσως κάποιοι επισκέπτες θα βρουν το υλικό πολύ απλό, αλλά κατά την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, έκανα μια σειρά από πολύ σημαντικές παρατηρήσεις και συμπεράσματα σχετικά με την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων γενικά.

Και τώρα θα αναλύσουμε τον κανόνα του Cramer, καθώς και τη λύση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα (μέθοδος matrix). Όλα τα υλικά παρουσιάζονται απλά, λεπτομερώς και με σαφήνεια, σχεδόν όλοι οι αναγνώστες θα μπορούν να μάθουν πώς να λύνουν συστήματα χρησιμοποιώντας τις παραπάνω μεθόδους.

Αρχικά εξετάζουμε λεπτομερώς τον κανόνα του Cramer για ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων σε δύο άγνωστα. Για ποιο λόγο? «Τελικά, το απλούστερο σύστημα μπορεί να λυθεί με τη σχολική μέθοδο, με πρόσθεση κάθε όρου!

Το γεγονός είναι ότι ακόμη και αν μερικές φορές, αλλά υπάρχει μια τέτοια εργασία - να λύσετε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστους χρησιμοποιώντας τύπους Cramer. Δεύτερον, ένα απλούστερο παράδειγμα θα σας βοηθήσει να κατανοήσετε πώς να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα του Cramer για μια πιο περίπλοκη περίπτωση - ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Επιπλέον, υπάρχουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές, που καλό είναι να λυθούν ακριβώς σύμφωνα με τον κανόνα του Cramer!

Εξετάστε το σύστημα των εξισώσεων

Στο πρώτο βήμα, υπολογίζουμε την ορίζουσα , ονομάζεται ο κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος.

Μέθοδος Gauss.

Αν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, και για να βρούμε τις ρίζες, πρέπει να υπολογίσουμε δύο ακόμη ορίζοντες:
και

Στην πράξη, οι παραπάνω προσδιορισμοί μπορούν να υποδηλωθούν και με το λατινικό γράμμα.

Οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται με τους τύπους:
,

Παράδειγμα 7

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Λύση: Βλέπουμε ότι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι αρκετά μεγάλοι, στη δεξιά πλευρά υπάρχουν δεκαδικά κλάσματα με κόμμα. Το κόμμα είναι ένας μάλλον σπάνιος επισκέπτης σε πρακτικές εργασίες στα μαθηματικά· πήρα αυτό το σύστημα από ένα οικονομετρικό πρόβλημα.

Πώς να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα; Μπορείτε να προσπαθήσετε να εκφράσετε μια μεταβλητή σε σχέση με μια άλλη, αλλά σε αυτήν την περίπτωση θα λάβετε σίγουρα τρομερά φανταχτερά κλάσματα, με τα οποία είναι εξαιρετικά άβολο να εργαστείτε και ο σχεδιασμός της λύσης θα φαίνεται απλώς απαίσιος. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τη δεύτερη εξίσωση με 6 και να αφαιρέσετε όρο προς όρο, αλλά τα ίδια κλάσματα θα εμφανιστούν εδώ.

Τι να κάνω? Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι φόρμουλες του Cramer έρχονται στη διάσωση.

;

Απάντηση: ,

Και οι δύο ρίζες έχουν άπειρες ουρές και βρίσκονται κατά προσέγγιση, κάτι που είναι αρκετά αποδεκτό (και ακόμη και συνηθισμένο) για οικονομικά προβλήματα.

Δεν χρειάζονται σχόλια εδώ, καθώς η εργασία επιλύεται σύμφωνα με έτοιμους τύπους, ωστόσο, υπάρχει μια προειδοποίηση. Όταν χρησιμοποιείτε αυτή τη μέθοδο, υποχρεωτικόςΤο τμήμα της ανάθεσης είναι το ακόλουθο τμήμα: "έτσι το σύστημα έχει μια μοναδική λύση". Διαφορετικά, ο αναθεωρητής μπορεί να σας τιμωρήσει για την έλλειψη σεβασμού του θεωρήματος του Cramer.

Δεν θα είναι περιττό να ελέγξετε, κάτι που είναι βολικό να πραγματοποιηθεί σε μια αριθμομηχανή: αντικαθιστούμε τις κατά προσέγγιση τιμές στην αριστερή πλευρά κάθε εξίσωσης του συστήματος. Ως αποτέλεσμα, με ένα μικρό σφάλμα, θα πρέπει να ληφθούν οι αριθμοί που βρίσκονται στη δεξιά πλευρά.

Παράδειγμα 8

Εκφράστε την απάντησή σας με συνηθισμένα ακατάλληλα κλάσματα. Κάντε έναν έλεγχο.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση (παράδειγμα καλού σχεδιασμού και απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Στρέφουμε στην εξέταση του κανόνα του Cramer για ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

Βρίσκουμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα του συστήματος:

Αν , τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις ή είναι ασυνεπές (δεν έχει λύσεις). Σε αυτήν την περίπτωση, ο κανόνας του Cramer δεν θα βοηθήσει, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gauss.

Εάν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, και για να βρούμε τις ρίζες, πρέπει να υπολογίσουμε τρεις ακόμη ορίζοντες:
, ,

Και τέλος, η απάντηση υπολογίζεται από τους τύπους:

Όπως μπορείτε να δείτε, η περίπτωση "τρία με τρία" δεν διαφέρει ουσιαστικά από την περίπτωση "δύο προς δύο", η στήλη των ελεύθερων όρων "βαδίζει" διαδοχικά από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος των στηλών της κύριας ορίζουσας.

Παράδειγμα 9

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

Λύση: Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

, οπότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Απάντηση: .

Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο να σχολιάσουμε ξανά εδώ, δεδομένου ότι η απόφαση λαμβάνεται με έτοιμες φόρμουλες. Υπάρχουν όμως μερικές σημειώσεις.

Συμβαίνει ότι ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, λαμβάνονται "κακά" μη αναγώγιμα κλάσματα, για παράδειγμα: .
Προτείνω τον παρακάτω αλγόριθμο «θεραπείας». Εάν δεν υπάρχει υπολογιστής στο χέρι, κάνουμε το εξής:

1) Μπορεί να υπάρχει λάθος στους υπολογισμούς. Μόλις συναντήσετε μια «κακή» βολή, πρέπει αμέσως να ελέγξετε αν είναι η συνθήκη ξαναγραμμένη σωστά. Εάν η συνθήκη ξαναγραφτεί χωρίς σφάλματα, τότε πρέπει να υπολογίσετε εκ νέου τους ορίζοντες χρησιμοποιώντας την επέκταση σε μια άλλη σειρά (στήλη).

2) Εάν δεν βρέθηκαν σφάλματα ως αποτέλεσμα του ελέγχου, τότε πιθανότατα έγινε τυπογραφικό λάθος στην κατάσταση της ανάθεσης. Σε αυτή την περίπτωση, ήρεμα και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ λύστε την εργασία μέχρι το τέλος, και στη συνέχεια φροντίστε να ελέγξετεκαι συντάσσεται σε καθαρό αντίγραφο μετά την απόφαση. Φυσικά, ο έλεγχος μιας κλασματικής απάντησης είναι μια δυσάρεστη εργασία, αλλά θα είναι ένα αφοπλιστικό επιχείρημα για τον δάσκαλο, ο οποίος, λοιπόν, του αρέσει πολύ να βάζει ένα μείον για οποιοδήποτε κακό πράγμα όπως. Ο τρόπος αντιμετώπισης των κλασμάτων περιγράφεται λεπτομερώς στην απάντηση για το Παράδειγμα 8.

Εάν έχετε έναν υπολογιστή στο χέρι, χρησιμοποιήστε ένα αυτοματοποιημένο πρόγραμμα για να τον ελέγξετε, το οποίο μπορείτε να το κατεβάσετε δωρεάν στην αρχή του μαθήματος. Παρεμπιπτόντως, είναι πιο πλεονεκτικό να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα αμέσως (ακόμα και πριν ξεκινήσετε τη λύση), θα δείτε αμέσως το ενδιάμεσο βήμα στο οποίο κάνατε λάθος! Η ίδια αριθμομηχανή υπολογίζει αυτόματα τη λύση του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο matrix.

Δεύτερη παρατήρηση. Κατά καιρούς υπάρχουν συστήματα στις εξισώσεις των οποίων λείπουν κάποιες μεταβλητές, για παράδειγμα:

Εδώ στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει μεταβλητή, στη δεύτερη δεν υπάρχει μεταβλητή. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι πολύ σημαντικό να γράψετε σωστά και ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα:
– Τα μηδενικά τοποθετούνται στη θέση των μεταβλητών που λείπουν.
Παρεμπιπτόντως, είναι λογικό να ανοίγουμε ορίζουσες με μηδενικά στη σειρά (στήλη) στην οποία βρίσκεται το μηδέν, καθώς υπάρχουν αισθητά λιγότεροι υπολογισμοί.

Παράδειγμα 10

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (τελικό δείγμα και απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Για την περίπτωση ενός συστήματος 4 εξισώσεων με 4 αγνώστους, οι τύποι του Cramer γράφονται σύμφωνα με παρόμοιες αρχές. Μπορείτε να δείτε ένα ζωντανό παράδειγμα στο μάθημα Determinant Properties. Μείωση της σειράς της ορίζουσας - πέντε ορίζουσες 4ης τάξης είναι αρκετά επιλύσιμες. Αν και το έργο θυμίζει ήδη πολύ το παπούτσι καθηγητή στο στήθος ενός τυχερού μαθητή.

Λύση του συστήματος με χρήση του αντίστροφου πίνακα

Η μέθοδος του αντίστροφου πίνακα είναι ουσιαστικά μια ειδική περίπτωση εξίσωση μήτρας(Βλ. Παράδειγμα Νο. 3 του καθορισμένου μαθήματος).

Για να μελετήσετε αυτήν την ενότητα, πρέπει να είστε σε θέση να επεκτείνετε τις ορίζουσες, να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό πίνακα. Σχετικοί σύνδεσμοι θα δοθούν καθώς προχωρά η εξήγηση.

Παράδειγμα 11

Λύστε το σύστημα με τη μέθοδο matrix

Λύση: Γράφουμε το σύστημα σε μορφή μήτρας:
, όπου

Παρακαλούμε δείτε το σύστημα των εξισώσεων και τους πίνακες. Με ποια αρχή γράφουμε στοιχεία σε πίνακες, νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν. Το μόνο σχόλιο: αν έλειπαν κάποιες μεταβλητές στις εξισώσεις, τότε θα έπρεπε να μπουν μηδενικά στις αντίστοιχες θέσεις του πίνακα.

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα με τον τύπο:
, όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα .

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την ορίζουσα:

Εδώ η ορίζουσα επεκτείνεται κατά την πρώτη γραμμή.

Προσοχή! Αν , τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει και είναι αδύνατο να λυθεί το σύστημα με τη μέθοδο του πίνακα. Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα επιλύεται με την εξάλειψη αγνώστων (μέθοδος Gauss).

Τώρα πρέπει να υπολογίσετε 9 ανηλίκους και να τους γράψετε στον πίνακα των ανηλίκων

Αναφορά:Είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε την έννοια των διπλών δεικτών στη γραμμική άλγεβρα. Το πρώτο ψηφίο είναι ο αριθμός γραμμής στην οποία βρίσκεται το στοιχείο. Το δεύτερο ψηφίο είναι ο αριθμός της στήλης στην οποία βρίσκεται το στοιχείο:

Δηλαδή, ένας διπλός δείκτης υποδεικνύει ότι το στοιχείο βρίσκεται στην πρώτη γραμμή, τρίτη στήλη, ενώ, για παράδειγμα, το στοιχείο βρίσκεται στην 3η σειρά, 2η στήλη

Έστω ότι το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων περιέχει τόσες εξισώσεις όσες και ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών, δηλ. έχει τη μορφή

Τέτοια συστήματα γραμμικών εξισώσεων ονομάζονται τετραγωνικά. Η ορίζουσα που αποτελείται από τους συντελεστές των ανεξάρτητων μεταβλητών του συστήματος (1.5) ονομάζεται κύρια ορίζουσα του συστήματος. Θα το συμβολίσουμε με το ελληνικό γράμμα Δ. Έτσι,

. (1.6)

Εάν στην κύρια ορίζουσα ένα αυθαίρετο ( ιου) στήλη, αντικαταστήστε την με τη στήλη των ελεύθερων μελών του συστήματος (1.5), τότε μπορούμε να πάρουμε περισσότερα nβοηθητικοί προσδιοριστικοί παράγοντες:

(ι = 1, 2, …, n). (1.7)

Ο κανόνας του Cramerη επίλυση τετραγωνικών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων είναι η εξής. Εάν η κύρια ορίζουσα D του συστήματος (1.5) είναι μη μηδενική, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, η οποία μπορεί να βρεθεί με τους τύπους:

(1.8)

Παράδειγμα 1.5.Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer

Ας υπολογίσουμε τον κύριο προσδιοριστικό παράγοντα του συστήματος:

Από το D¹0, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση που μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους (1.8):

Με αυτόν τον τρόπο,

Δράσεις Matrix

1. Πολλαπλασιασμός πίνακα με έναν αριθμό.Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμό ορίζεται ως εξής.

2. Για να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία του με αυτόν τον αριθμό. Αυτό είναι

. (1.9)

Παράδειγμα 1.6. .

Προσθήκη μήτρας.

Αυτή η λειτουργία εισάγεται μόνο για πίνακες ίδιας τάξης.

Για να προσθέσετε δύο πίνακες, είναι απαραίτητο να προσθέσετε τα αντίστοιχα στοιχεία του άλλου πίνακα στα στοιχεία ενός πίνακα:

(1.10)
Η λειτουργία της πρόσθεσης πίνακα έχει τις ιδιότητες της συσχέτισης και της ανταλλαγής.

Παράδειγμα 1.7. .

Πολλαπλασιασμός μήτρας.

Αν ο αριθμός των στηλών του πίνακα ΑΛΛΑταιριάζει με τον αριθμό των σειρών μήτρας ΣΤΟ, τότε για τέτοιους πίνακες εισάγεται η λειτουργία του πολλαπλασιασμού:

Έτσι, κατά τον πολλαπλασιασμό του πίνακα ΑΛΛΑδιαστάσεις Μ´ nσε μήτρα ΣΤΟδιαστάσεις n´ κπαίρνουμε μια μήτρα ΑΠΟδιαστάσεις Μ´ κ. Σε αυτή την περίπτωση, τα στοιχεία του πίνακα ΑΠΟυπολογίζονται σύμφωνα με τους παρακάτω τύπους:

Πρόβλημα 1.8.Βρείτε, αν είναι δυνατόν, το γινόμενο των πινάκων ΑΒκαι ΒΑ:

Λύση. 1) Να βρεις δουλειά ΑΒ, χρειάζεστε σειρές μήτρας ΕΝΑπολλαπλασιάζονται με στήλες μήτρας σι:

2) Έργα τέχνης ΒΑδεν υπάρχει, γιατί ο αριθμός των στηλών του πίνακα σιδεν ταιριάζει με τον αριθμό των σειρών του πίνακα ΕΝΑ.

Αντίστροφος πίνακας. Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τρόπο μήτρας

Μήτρα ΕΝΑ-Το 1 ονομάζεται αντίστροφο ενός τετραγωνικού πίνακα ΑΛΛΑαν ισχύει η ισότητα:

όπου μέσω Εγώυποδηλώνει τον πίνακα ταυτότητας της ίδιας σειράς με τον πίνακα ΑΛΛΑ:

Για να έχει ένας τετραγωνικός πίνακας αντίστροφο, είναι απαραίτητο και αρκετό η ορίζοντή του να είναι μη μηδενική. Ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται με τον τύπο:

, (1.13)

όπου Ένα ij- αλγεβρικές προσθήκες σε στοιχεία aijμήτρες ΑΛΛΑ(σημειώστε ότι οι αλγεβρικές προσθήκες στις σειρές του πίνακα ΑΛΛΑδιατάσσονται στον αντίστροφο πίνακα με τη μορφή αντίστοιχων στηλών).

Παράδειγμα 1.9.Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα ΕΝΑ- 1 σε μήτρα

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα με τον τύπο (1.13), ο οποίος για την περίπτωση n= 3 μοιάζει με:

Ας βρούμε το det ΕΝΑ = | ΕΝΑ| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Εφόσον η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι διαφορετική από το μηδέν, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας.

1) Βρείτε αλγεβρικές προσθήκες Ένα ij:

Για τη διευκόλυνση της εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, τοποθετήσαμε τις αλγεβρικές προσθήκες στις σειρές του αρχικού πίνακα στις αντίστοιχες στήλες.

Από τις αλγεβρικές προσθήκες που προέκυψαν, συνθέτουμε έναν νέο πίνακα και τον διαιρούμε με την ορίζουσα det ΕΝΑ. Έτσι, θα πάρουμε τον αντίστροφο πίνακα:

Τετραγωνικά συστήματα γραμμικών εξισώσεων με μη μηδενική κύρια ορίζουσα μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν αντίστροφο πίνακα. Για αυτό, το σύστημα (1.5) είναι γραμμένο σε μορφή μήτρας:

όπου

Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της ισότητας (1,14) στα αριστερά με ΕΝΑ- 1, παίρνουμε τη λύση του συστήματος:

, όπου

Έτσι, για να βρείτε μια λύση σε ένα τετράγωνο σύστημα, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα στον κύριο πίνακα του συστήματος και να τον πολλαπλασιάσετε στα δεξιά με τον πίνακα στηλών των ελεύθερων όρων.

Πρόβλημα 1.10.Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

χρησιμοποιώντας έναν αντίστροφο πίνακα.

Λύση.Γράφουμε το σύστημα σε μορφή μήτρας:

όπου είναι ο κύριος πίνακας του συστήματος, είναι η στήλη των αγνώστων και είναι η στήλη των ελεύθερων όρων. Δεδομένου ότι ο κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος , τότε ο κύριος πίνακας του συστήματος ΑΛΛΑέχει αντίστροφο πίνακα ΑΛΛΑ-ένας . Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα ΑΛΛΑ-1 , υπολογίστε τα αλγεβρικά συμπληρώματα σε όλα τα στοιχεία του πίνακα ΑΛΛΑ:

Από τους ληφθέντες αριθμούς συνθέτουμε έναν πίνακα (εξάλλου, αλγεβρικές προσθήκες στις σειρές του πίνακα ΑΛΛΑγράψτε στις κατάλληλες στήλες) και διαιρέστε την με την ορίζουσα D. Έτσι, βρήκαμε τον αντίστροφο πίνακα:

Η λύση του συστήματος βρίσκεται με τον τύπο (1.15):

Με αυτόν τον τρόπο,

Επίλυση Συστημάτων Γραμμικών Εξισώσεων με Συνήθεις Εξαιρέσεις Ιορδανίας

Ας δοθεί ένα αυθαίρετο (όχι απαραίτητα τετράγωνο) σύστημα γραμμικών εξισώσεων:

(1.16)

Απαιτείται να βρεθεί λύση στο σύστημα, δηλ. ένα τέτοιο σύνολο μεταβλητών που ικανοποιεί όλες τις ισότητες του συστήματος (1.16). Στη γενική περίπτωση, το σύστημα (1.16) μπορεί να έχει όχι μόνο μία λύση, αλλά και άπειρο αριθμό λύσεων. Μπορεί επίσης να μην έχει καθόλου λύσεις.

Κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, χρησιμοποιείται η μέθοδος εξάλειψης αγνώστων, γνωστή από το σχολικό μάθημα, η οποία ονομάζεται επίσης μέθοδος των συνηθισμένων εξαλείψεων της Ιορδανίας. Η ουσία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος (1.16) μία από τις μεταβλητές εκφράζεται με όρους άλλων μεταβλητών. Στη συνέχεια αυτή η μεταβλητή αντικαθίσταται με άλλες εξισώσεις του συστήματος. Το αποτέλεσμα είναι ένα σύστημα που περιέχει μία εξίσωση και μία λιγότερη μεταβλητή από το αρχικό σύστημα. Απομνημονεύεται η εξίσωση από την οποία εκφράστηκε η μεταβλητή.

Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να παραμείνει μια τελευταία εξίσωση στο σύστημα. Κατά τη διαδικασία εξάλειψης αγνώστων, ορισμένες εξισώσεις μπορούν να μετατραπούν σε αληθινές ταυτότητες, για παράδειγμα. Τέτοιες εξισώσεις εξαιρούνται από το σύστημα, καθώς ισχύουν για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών και, επομένως, δεν επηρεάζουν τη λύση του συστήματος. Εάν, κατά τη διαδικασία εξάλειψης αγνώστων, τουλάχιστον μία εξίσωση γίνει ισότητα που δεν μπορεί να ικανοποιηθεί για καμία τιμή των μεταβλητών (για παράδειγμα, ), τότε συμπεραίνουμε ότι το σύστημα δεν έχει λύση.

Εάν κατά τη διάρκεια της επίλυσης δεν προέκυψαν ασυνεπείς εξισώσεις, τότε μία από τις υπόλοιπες μεταβλητές σε αυτήν βρίσκεται από την τελευταία εξίσωση. Εάν παραμένει μόνο μία μεταβλητή στην τελευταία εξίσωση, τότε αυτή εκφράζεται ως αριθμός. Εάν παραμείνουν άλλες μεταβλητές στην τελευταία εξίσωση, τότε θεωρούνται παράμετροι και η μεταβλητή που εκφράζεται μέσω αυτών θα είναι συνάρτηση αυτών των παραμέτρων. Τότε γίνεται η λεγόμενη «αντίστροφη κίνηση». Η μεταβλητή που βρέθηκε αντικαθίσταται στην τελευταία απομνημονευμένη εξίσωση και βρίσκεται η δεύτερη μεταβλητή. Στη συνέχεια, οι δύο μεταβλητές που βρέθηκαν αντικαθίστανται στην προτελευταία απομνημονευμένη εξίσωση και βρίσκεται η τρίτη μεταβλητή, και ούτω καθεξής, μέχρι την πρώτη απομνημονευμένη εξίσωση.

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τη λύση του συστήματος. Αυτή η λύση θα είναι η μόνη εάν οι μεταβλητές που βρέθηκαν είναι αριθμοί. Εάν η πρώτη μεταβλητή που βρέθηκε και μετά όλες οι άλλες εξαρτώνται από τις παραμέτρους, τότε το σύστημα θα έχει άπειρο αριθμό λύσεων (κάθε σύνολο παραμέτρων αντιστοιχεί σε μια νέα λύση). Οι τύποι που επιτρέπουν την εύρεση λύσης στο σύστημα ανάλογα με ένα συγκεκριμένο σύνολο παραμέτρων ονομάζονται γενική λύση του συστήματος.

Παράδειγμα 1.11.

Μετά την απομνημόνευση της πρώτης εξίσωσης και φέρνοντας παρόμοιους όρους στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση, φτάνουμε στο σύστημα:

Εξπρές yαπό τη δεύτερη εξίσωση και αντικαταστήστε την στην πρώτη εξίσωση:

Θυμηθείτε τη δεύτερη εξίσωση, και από την πρώτη βρίσκουμε z:

Κάνοντας την αντίστροφη κίνηση, διαδοχικά βρίσκουμε yκαι z. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε πρώτα την τελευταία απομνημονευμένη εξίσωση , από την οποία βρίσκουμε y:

Στη συνέχεια αντικαθιστούμε και στην πρώτη απομνημονευμένη εξίσωση από όπου βρίσκουμε Χ:

Πρόβλημα 1.12.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων εξαλείφοντας αγνώστους:

. (1.17)

Λύση.Ας εκφράσουμε τη μεταβλητή από την πρώτη εξίσωση Χκαι αντικαταστήστε το στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση:

Θυμηθείτε την πρώτη εξίσωση

Σε αυτό το σύστημα, η πρώτη και η δεύτερη εξίσωση έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους. Πράγματι, εκφράζοντας y , παίρνουμε ότι 14 = 17. Αυτή η ισότητα δεν ικανοποιείται, για καμία τιμή των μεταβλητών Χ, y, και z. Κατά συνέπεια, το σύστημα (1.17) είναι ασυνεπές, δηλ. δεν έχει λύση.

Οι αναγνώστες καλούνται να επαληθεύσουν ανεξάρτητα ότι ο κύριος προσδιοριστής του αρχικού συστήματος (1.17) είναι ίσος με μηδέν.

Θεωρήστε ένα σύστημα που διαφέρει από το σύστημα (1.17) μόνο κατά έναν ελεύθερο όρο.

Πρόβλημα 1.13.Λύστε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων εξαλείφοντας αγνώστους:

. (1.18)

Λύση.Όπως και πριν, εκφράζουμε τη μεταβλητή από την πρώτη εξίσωση Χκαι αντικαταστήστε το στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση:

Θυμηθείτε την πρώτη εξίσωση και παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση. Φτάνουμε στο σύστημα:

εκφράζοντας yαπό την πρώτη εξίσωση και αντικαθιστώντας την στη δεύτερη εξίσωση , παίρνουμε την ταυτότητα 14 = 14, η οποία δεν επηρεάζει τη λύση του συστήματος και, επομένως, μπορεί να αποκλειστεί από το σύστημα.

Στην τελευταία απομνημονευμένη ισότητα, η μεταβλητή zθα θεωρηθεί ως παράμετρος. Πιστεύουμε . Επειτα

Υποκατάστατο yκαι zστην πρώτη απομνημονευμένη ισότητα και βρείτε Χ:

Έτσι, το σύστημα (1.18) έχει ένα άπειρο σύνολο λύσεων και οποιαδήποτε λύση μπορεί να βρεθεί από τους τύπους (1.19) επιλέγοντας μια αυθαίρετη τιμή της παραμέτρου t:

(1.19)
Έτσι, οι λύσεις του συστήματος, για παράδειγμα, είναι τα ακόλουθα σύνολα μεταβλητών (1; 2; 0), (2; 26; 14) κ.λπ. Οι τύποι (1.19) εκφράζουν τη γενική (οποιαδήποτε) λύση του συστήματος (1.18 ).

Στην περίπτωση που το αρχικό σύστημα (1.16) έχει αρκετά μεγάλο αριθμό εξισώσεων και αγνώστων, η υποδεικνυόμενη μέθοδος των συνηθισμένων εξαλείψεων του Jordan φαίνεται δυσκίνητη. Ωστόσο, δεν είναι. Αρκεί να εξαχθεί ένας αλγόριθμος για τον επανυπολογισμό των συντελεστών του συστήματος σε ένα βήμα σε μια γενική μορφή και να επισημοποιηθεί η λύση του προβλήματος με τη μορφή ειδικών πινάκων Jordan.

Έστω ένα σύστημα γραμμικών μορφών (εξισώσεων):

, (1.20)
όπου x j- ανεξάρτητες (επιθυμητές) μεταβλητές, aij- σταθεροί συντελεστές
(i = 1, 2,…, Μ; ι = 1, 2,…, n). Σωστά μέρη του συστήματος y i (i = 1, 2,…, Μ) μπορεί να είναι και μεταβλητές (εξαρτώμενες) και σταθερές. Απαιτείται να βρεθούν λύσεις σε αυτό το σύστημα εξαλείφοντας τα άγνωστα.

Ας εξετάσουμε την ακόλουθη λειτουργία, που στο εξής θα αναφέρεται ως "ένα βήμα των συνηθισμένων εξαιρέσεων της Ιορδανίας". Από ένα αυθαίρετο ( rου) ισότητα, εκφράζουμε μια αυθαίρετη μεταβλητή ( x s) και αντικαθιστούν όλες τις άλλες ισότητες. Φυσικά, αυτό είναι δυνατό μόνο εάν ένα rs¹ 0. Συντελεστής ένα rsονομάζεται επίλυση (μερικές φορές καθοδηγητικό ή κύριο) στοιχείο.

Θα λάβουμε το ακόλουθο σύστημα:

. (1.21)

Από μικρόισότητα του συστήματος (1.21), θα βρούμε στη συνέχεια τη μεταβλητή x s(αφού βρεθούν άλλες μεταβλητές). μικρόΗ ου γραμμή απομνημονεύεται και στη συνέχεια αποκλείεται από το σύστημα. Το υπόλοιπο σύστημα θα περιέχει μία εξίσωση και μία λιγότερο ανεξάρτητη μεταβλητή από το αρχικό σύστημα.

Ας υπολογίσουμε τους συντελεστές του προκύπτοντος συστήματος (1,21) ως προς τους συντελεστές του αρχικού συστήματος (1,20). Ας ξεκινήσουμε με rη εξίσωση, η οποία, αφού εκφράσει τη μεταβλητή x sμέσα από τις υπόλοιπες μεταβλητές θα μοιάζει με αυτό:

Έτσι, οι νέοι συντελεστές rΗ εξίσωση υπολογίζεται με τους ακόλουθους τύπους:

(1.23)
Ας υπολογίσουμε τώρα τους νέους συντελεστές b ij(Εγώ¹ r) μιας αυθαίρετης εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τη μεταβλητή που εκφράζεται στο (1.22) x sσε Εγώη εξίσωση του συστήματος (1.20):

Αφού φέρουμε παρόμοιους όρους, παίρνουμε:

(1.24)
Από την ισότητα (1,24) λαμβάνουμε τύπους με τους οποίους υπολογίζονται οι υπόλοιποι συντελεστές του συστήματος (1,21) (με εξαίρεση το rη εξίσωση):

(1.25)
Ο μετασχηματισμός συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο των συνηθισμένων ιορδανικών εξαλείψεων παρουσιάζεται με τη μορφή πινάκων (πίνακες). Αυτοί οι πίνακες ονομάζονται "Τραπέζι της Ιορδανίας".

Έτσι, το πρόβλημα (1.20) σχετίζεται με τον ακόλουθο πίνακα Jordan:

Πίνακας 1.1

	Χ 1	Χ 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	ένα 11	ένα 12		ένα 1ι		ένα 1μικρό		ένα 1n
…………………………………………………………………..
y i=	ένα i 1	ένα i 2		aij		α είναι		ένα in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		ένα rj		ένα rs		ένα rn
………………………………………………………………….
y n=	είμαι 1	είμαι 2		ένα mj		μια κα		αμν

Ο πίνακας Jordan 1.1 περιέχει την αριστερή στήλη κεφαλής, στην οποία είναι γραμμένα τα δεξιά μέρη του συστήματος (1.20) και την επάνω γραμμή κεφαλίδας, στην οποία είναι γραμμένες οι ανεξάρτητες μεταβλητές.

Τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα αποτελούν τον κύριο πίνακα συντελεστών του συστήματος (1.20). Αν πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα ΑΛΛΑστον πίνακα που αποτελείται από τα στοιχεία της επάνω σειράς κεφαλίδας, τότε παίρνουμε τον πίνακα που αποτελείται από τα στοιχεία της αριστερής στήλης κεφαλίδας. Δηλαδή, στην ουσία, ο πίνακας Jordan είναι μια μορφή πίνακα γραφής ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων: . Σε αυτήν την περίπτωση, ο ακόλουθος πίνακας Jordan αντιστοιχεί στο σύστημα (1.21):

Πίνακας 1.2

	Χ 1	Χ 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	σι 11	σι 12		σι 1 ι		σι 1 μικρό		σι 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	β i 1	β i 2		b ij		β είναι		β σε
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		β ms		bmn

Επιτρεπτικό στοιχείο ένα rs θα τονίσουμε με έντονους χαρακτήρες. Θυμηθείτε ότι για να εφαρμοστεί ένα βήμα των εξαιρέσεων της Ιορδανίας, το στοιχείο επίλυσης πρέπει να είναι μη μηδενικό. Μια γραμμή πίνακα που περιέχει ένα επιτρεπτό στοιχείο ονομάζεται επιτρεπτή γραμμή. Η στήλη που περιέχει το στοιχείο ενεργοποίησης ονομάζεται στήλη ενεργοποίησης. Όταν μετακινείστε από έναν δεδομένο πίνακα στον επόμενο πίνακα, μια μεταβλητή ( x s) από την επάνω γραμμή κεφαλίδας του πίνακα μετακινείται στην αριστερή στήλη κεφαλίδας και, αντίστροφα, ένα από τα ελεύθερα μέλη του συστήματος ( y r) μετακινείται από την αριστερή στήλη κεφαλίδας του πίνακα στην επάνω σειρά κεφαλίδας.

Ας περιγράψουμε τον αλγόριθμο για τον επανυπολογισμό των συντελεστών μετάβασης από τον πίνακα Jordan (1.1) στον πίνακα (1.2), ο οποίος προκύπτει από τους τύπους (1.23) και (1.25).

1. Το στοιχείο ενεργοποίησης αντικαθίσταται από τον αντίστροφο αριθμό:

2. Τα υπόλοιπα στοιχεία της επιτρεπόμενης γραμμής διαιρούνται με το επιτρεπτικό στοιχείο και αλλάζουν πρόσημο στο αντίθετο:

3. Τα υπόλοιπα στοιχεία της στήλης ενεργοποίησης χωρίζονται στο στοιχείο ενεργοποίησης:

4. Τα στοιχεία που δεν περιλαμβάνονται στη γραμμή επίλυσης και στη στήλη επίλυσης υπολογίζονται εκ νέου σύμφωνα με τους τύπους:

Ο τελευταίος τύπος είναι εύκολο να θυμάστε αν παρατηρήσετε ότι τα στοιχεία που αποτελούν το κλάσμα , βρίσκονται στη διασταύρωση Εγώ-Α και r-η γραμμές και ιου και μικρό-οι στήλες (γραμμή επίλυσης, στήλη επίλυσης και η γραμμή και η στήλη στη διασταύρωση των οποίων βρίσκεται το προς επανυπολογισμό στοιχείο). Πιο συγκεκριμένα, κατά την απομνημόνευση του τύπου μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το παρακάτω διάγραμμα:

-21 -26 -13 -37

Εκτελώντας το πρώτο βήμα των εξαιρέσεων της Ιορδανίας, οποιοδήποτε στοιχείο του Πίνακα 1.3 βρίσκεται στις στήλες Χ 1 ,…, Χ 5 (όλα τα καθορισμένα στοιχεία δεν είναι ίσα με μηδέν). Δεν πρέπει να επιλέξετε μόνο το στοιχείο ενεργοποίησης στην τελευταία στήλη, γιατί πρέπει να βρεθούν ανεξάρτητες μεταβλητές Χ 1 ,…, Χ 5 . Επιλέγουμε, για παράδειγμα, τον συντελεστή 1 με μια μεταβλητή Χ 3 στην τρίτη σειρά του πίνακα 1.3 (το στοιχείο ενεργοποίησης εμφανίζεται με έντονους χαρακτήρες). Κατά τη μετάβαση στον πίνακα 1.4, η μεταβλητή ΧΤο 3 από την επάνω σειρά κεφαλίδας ανταλλάσσεται με τη σταθερά 0 της αριστερής στήλης κεφαλίδας (τρίτη σειρά). Ταυτόχρονα, η μεταβλητή ΧΤο 3 εκφράζεται ως προς τις υπόλοιπες μεταβλητές.

σειρά Χ 3 (Πίνακας 1.4) μπορεί, έχοντας θυμηθεί προηγουμένως, να εξαιρεθεί από τον Πίνακα 1.4. Ο πίνακας 1.4 εξαιρεί επίσης την τρίτη στήλη με μηδέν στην επάνω γραμμή κεφαλίδας. Το θέμα είναι ότι ανεξάρτητα από τους συντελεστές αυτής της στήλης β i 3 όλους τους όρους που αντιστοιχούν σε κάθε εξίσωση 0 β i 3 συστήματα θα είναι ίσα με μηδέν. Επομένως, αυτοί οι συντελεστές δεν μπορούν να υπολογιστούν. Εξάλειψη μιας μεταβλητής Χ 3 και θυμόμαστε μια από τις εξισώσεις, φτάνουμε σε ένα σύστημα που αντιστοιχεί στον Πίνακα 1.4 (με τη γραμμή διαγραμμένη Χ 3). Επιλογή στον πίνακα 1.4 ως στοιχείο επίλυσης σι 14 = -5, μεταβείτε στον πίνακα 1.5. Στον πίνακα 1.5, θυμόμαστε την πρώτη σειρά και την αποκλείουμε από τον πίνακα μαζί με την τέταρτη στήλη (με το μηδέν στην κορυφή).

Πίνακας 1.5 Πίνακας 1.6

Από τον τελευταίο πίνακα 1.7 βρίσκουμε: Χ 1 = - 3 + 2Χ 5 .

Αντικαθιστώντας διαδοχικά τις μεταβλητές που έχουν ήδη βρεθεί στις απομνημονευμένες γραμμές, βρίσκουμε τις υπόλοιπες μεταβλητές:

Έτσι, το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων. μεταβλητός Χ 5, μπορείτε να εκχωρήσετε αυθαίρετες τιμές. Αυτή η μεταβλητή λειτουργεί ως παράμετρος Χ 5 = t. Αποδείξαμε τη συμβατότητα του συστήματος και βρήκαμε τη γενική του λύση:

Χ 1 = - 3 + 2t

Χ 2 = - 1 - 3t

Χ 3 = - 2 + 4t . (1.27)
Χ 4 = 4 + 5t

Χ 5 = t

Δίνοντας παράμετρο tδιαφορετικές τιμές, παίρνουμε άπειρο αριθμό λύσεων στο αρχικό σύστημα. Έτσι, για παράδειγμα, η λύση του συστήματος είναι το ακόλουθο σύνολο μεταβλητών (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Για να κατακτήσετε αυτήν την παράγραφο, πρέπει να μπορείτε να ανοίξετε τα προκριματικά "δύο προς δύο" και "τρία επί τρία". Εάν τα προκριματικά είναι κακά, μελετήστε το μάθημα Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Εξετάστε το σύστημα των εξισώσεων

Στο πρώτο βήμα, υπολογίζουμε την ορίζουσα , ονομάζεται ο κύριος καθοριστικός παράγοντας του συστήματος.

Μέθοδος Gauss.

Στην πράξη, οι παραπάνω προσδιορισμοί μπορούν να υποδηλωθούν και με το λατινικό γράμμα.

Οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται με τους τύπους:
,

Παράδειγμα 7

Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Τι να κάνω? Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι φόρμουλες του Cramer έρχονται στη διάσωση.

;

Απάντηση: ,

Παράδειγμα 8

Εκφράστε την απάντησή σας με συνηθισμένα ακατάλληλα κλάσματα. Κάντε έναν έλεγχο.

Στρέφουμε στην εξέταση του κανόνα του Cramer για ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους:

Βρίσκουμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα του συστήματος:

Και τέλος, η απάντηση υπολογίζεται από τους τύπους:

Παράδειγμα 9

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

Λύση: Ας λύσουμε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

, οπότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 10

Λύστε το σύστημα χρησιμοποιώντας τους τύπους του Cramer.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτολύσεως (τελικό δείγμα και απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Λύση του συστήματος με χρήση του αντίστροφου πίνακα

Παράδειγμα 11

Λύστε το σύστημα με τη μέθοδο matrix

Λύση: Γράφουμε το σύστημα σε μορφή μήτρας:
, όπου

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την ορίζουσα:

Εδώ η ορίζουσα επεκτείνεται κατά την πρώτη γραμμή.

Τώρα πρέπει να υπολογίσετε 9 ανηλίκους και να τους γράψετε στον πίνακα των ανηλίκων

Κατά τη διάρκεια της επίλυσης, είναι καλύτερο να περιγράψουμε λεπτομερώς τον υπολογισμό των ανηλίκων, αν και, με μια συγκεκριμένη εμπειρία, μπορούν να προσαρμοστούν ώστε να μετρούν τα λάθη προφορικά.

Η μέθοδος του Cramer βασίζεται στη χρήση οριζόντων στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Αυτό επιταχύνει σημαντικά τη διαδικασία λύσης.

Η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ενός συστήματος τόσων γραμμικών εξισώσεων όσες υπάρχουν άγνωστοι σε κάθε εξίσωση. Εάν η ορίζουσα του συστήματος δεν είναι ίση με μηδέν, τότε η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λύση, εάν είναι ίση με μηδέν, τότε δεν μπορεί. Επιπλέον, η μέθοδος του Cramer μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων που έχουν μοναδική λύση.

Ορισμός. Η ορίζουσα, που αποτελείται από τους συντελεστές των αγνώστων, ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος και συμβολίζεται με (δέλτα).

Καθοριστικές

λαμβάνονται αντικαθιστώντας τους συντελεστές στους αντίστοιχους αγνώστους με ελεύθερους όρους:

;

Θεώρημα Cramer. Αν η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική, τότε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μία μόνο λύση και ο άγνωστος είναι ίσος με τον λόγο των οριζόντων. Ο παρονομαστής περιέχει την ορίζουσα του συστήματος και ο αριθμητής περιέχει την ορίζουσα που προκύπτει από την ορίζουσα του συστήματος αντικαθιστώντας τους συντελεστές με τον άγνωστο με ελεύθερους όρους. Αυτό το θεώρημα ισχύει για ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης.

Παράδειγμα 1Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων:

Σύμφωνα με Θεώρημα Cramerέχουμε:

Άρα, η λύση του συστήματος (2):

ηλεκτρονική αριθμομηχανή, μέθοδος λύσης Cramer.

Τρεις περιπτώσεις στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Όπως φαίνεται από Θεωρήματα Cramer, κατά την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, μπορεί να προκύψουν τρεις περιπτώσεις:

Πρώτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση

(το σύστημα είναι συνεπές και συγκεκριμένο)

Δεύτερη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων έχει άπειρο αριθμό λύσεων

(το σύστημα είναι συνεπές και απροσδιόριστο)

** ,

εκείνοι. οι συντελεστές των αγνώστων και των ελεύθερων όρων είναι ανάλογοι.

Τρίτη περίπτωση: το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν έχει λύσεις

(σύστημα ασυνεπές)

Το σύστημα λοιπόν Μγραμμικές εξισώσεις με nμεταβλητές καλείται ασύμβατεςαν δεν έχει λύσεις, και άρθρωσηαν έχει τουλάχιστον μία λύση. Ένα κοινό σύστημα εξισώσεων που έχει μόνο μία λύση ονομάζεται βέβαιος, και περισσότερα από ένα αβέβαιος.

Παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Cramer

Αφήστε το σύστημα

Με βάση το θεώρημα του Cramer

………….
,

όπου
-

αναγνωριστικό συστήματος. Οι υπόλοιπες ορίζουσες λαμβάνονται αντικαθιστώντας τη στήλη με τους συντελεστές της αντίστοιχης μεταβλητής (άγνωστη) με ελεύθερα μέλη:

Παράδειγμα 2

Επομένως, το σύστημα είναι καθορισμένο. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες

Με τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, (1; 0; -1) είναι η μόνη λύση στο σύστημα.

Για να ελέγξετε τις λύσεις συστημάτων των εξισώσεων 3 Χ 3 και 4 Χ 4, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ηλεκτρονική αριθμομηχανή, τη μέθοδο επίλυσης Cramer.

Αν στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δεν υπάρχουν μεταβλητές σε μία ή περισσότερες εξισώσεις, τότε στην ορίζουσα τα στοιχεία που τους αντιστοιχούν είναι ίσα με μηδέν! Αυτό είναι το επόμενο παράδειγμα.

Παράδειγμα 3Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Κοιτάξτε προσεκτικά το σύστημα των εξισώσεων και την ορίζουσα του συστήματος και επαναλάβετε την απάντηση στο ερώτημα σε ποιες περιπτώσεις ένα ή περισσότερα στοιχεία της ορίζουσας είναι ίσα με μηδέν. Άρα, η ορίζουσα δεν είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σύστημα είναι οριστικό. Για να βρούμε τη λύση του, υπολογίζουμε τις ορίζουσες για τους αγνώστους

Με τους τύπους του Cramer βρίσκουμε:

Άρα, η λύση του συστήματος είναι (2; -1; 1).

Αρχή σελίδας

Συνεχίζουμε να λύνουμε συστήματα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer μαζί

Όπως ήδη αναφέρθηκε, αν η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν και οι ορίζουσες για τους αγνώστους δεν είναι ίσες με μηδέν, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Ας το διευκρινίσουμε με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 6Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Η ορίζουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν, επομένως, το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων είναι είτε ασυνεπές και οριστικό, είτε ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις. Για να διευκρινίσουμε, υπολογίζουμε τις ορίζουσες για τους αγνώστους

Οι ορίζουσες για τους αγνώστους δεν είναι ίσες με το μηδέν, επομένως, το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλαδή δεν έχει λύσεις.

Σε προβλήματα σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων, υπάρχουν και εκείνα όπου, εκτός από τα γράμματα που δηλώνουν μεταβλητές, υπάρχουν και άλλα γράμματα. Αυτά τα γράμματα αντιπροσωπεύουν κάποιο αριθμό, τις περισσότερες φορές έναν πραγματικό αριθμό. Στην πράξη, τέτοιες εξισώσεις και συστήματα εξισώσεων οδηγούν σε προβλήματα εύρεσης των γενικών ιδιοτήτων οποιωνδήποτε φαινομένων και αντικειμένων. Δηλαδή εφηύρατε κάποιο νέο υλικό ή συσκευή και για να περιγράψετε τις ιδιότητές του, που είναι κοινές ανεξάρτητα από το μέγεθος ή τον αριθμό των αντιγράφων, πρέπει να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, όπου αντί για κάποιους συντελεστές για μεταβλητές υπάρχουν γράμματα. Δεν χρειάζεται να ψάξετε μακριά για παραδείγματα.

Το επόμενο παράδειγμα είναι για ένα παρόμοιο πρόβλημα, μόνο ο αριθμός των εξισώσεων, των μεταβλητών και των γραμμάτων που δηλώνουν κάποιο πραγματικό αριθμό αυξάνεται.

Παράδειγμα 8Να λύσετε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer:

Λύση. Βρίσκουμε τον ορίζοντα του συστήματος:

Εύρεση ορίζουσες για αγνώστους

2. Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα (χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα).
3. Μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων.

Η μέθοδος του Cramer.

Η μέθοδος του Cramer χρησιμοποιείται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ( SLAU).

Τύποι στο παράδειγμα ενός συστήματος δύο εξισώσεων με δύο μεταβλητές.
Δεδομένος:Λύστε το σύστημα με τη μέθοδο του Cramer

Σχετικά με τις μεταβλητές Χκαι στο.
Λύση:
Να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος Υπολογισμός οριζόντων. :

Ας εφαρμόσουμε τους τύπους του Cramer και ας βρούμε τις τιμές των μεταβλητών:
και .
Παράδειγμα 1:
Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

σχετικά με τις μεταβλητές Χκαι στο.
Λύση:

Ας αντικαταστήσουμε την πρώτη στήλη σε αυτήν την ορίζουσα με μια στήλη συντελεστών από τη δεξιά πλευρά του συστήματος και ας βρούμε την τιμή της:

Ας κάνουμε μια παρόμοια ενέργεια, αντικαθιστώντας τη δεύτερη στήλη στην πρώτη ορίζουσα:

Εφαρμόσιμος Οι τύποι του Cramerκαι βρείτε τις τιμές των μεταβλητών:
και .
Απάντηση:
Σχόλιο:Αυτή η μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση συστημάτων υψηλότερων διαστάσεων.

Σχόλιο:Εάν αποδειχθεί ότι , και είναι αδύνατο να διαιρεθεί με το μηδέν, τότε λένε ότι το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση. Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα έχει είτε άπειρες λύσεις είτε καθόλου λύσεις.

Παράδειγμα 2(άπειρος αριθμός λύσεων):

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

σχετικά με τις μεταβλητές Χκαι στο.
Λύση:
Να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος:

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο αντικατάστασης.

Η πρώτη από τις εξισώσεις του συστήματος είναι μια ισότητα που ισχύει για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών (γιατί το 4 είναι πάντα ίσο με 4). Άρα μένει μόνο μία εξίσωση. Αυτή είναι μια εξίσωση σχέσης μεταξύ μεταβλητών.
Καταλάβαμε ότι η λύση του συστήματος είναι οποιοδήποτε ζεύγος τιμών μεταβλητών που σχετίζονται με ισότητα.
Η γενική λύση γράφεται ως εξής:
Συγκεκριμένες λύσεις μπορούν να προσδιοριστούν επιλέγοντας μια αυθαίρετη τιμή του y και υπολογίζοντας το x από αυτή την εξίσωση σχέσης.

και τα λοιπά.
Υπάρχουν άπειρες τέτοιες λύσεις.
Απάντηση:κοινή απόφαση
Ιδιωτικές Λύσεις:

Παράδειγμα 3(δεν υπάρχουν λύσεις, το σύστημα είναι ασυνεπές):

Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

Λύση:
Να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τους συντελεστές του συστήματος:

Δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους τύπους του Cramer. Ας λύσουμε αυτό το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι μια ισότητα που είναι ψευδής για οποιεσδήποτε τιμές των μεταβλητών (φυσικά, αφού το -15 δεν είναι ίσο με 2). Εάν μια από τις εξισώσεις του συστήματος δεν ισχύει για καμία τιμή των μεταβλητών, τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχει λύσεις.
Απάντηση:χωρίς λύσεις