3. Έτσι λύνουν εξισώσεις οι ξανθιές!

4. Μαθηματικά μέσα από τον καθρέφτη

Αυτή η επιγραφή, που έκανα πριν από μερικά χρόνια, είναι ίσως η πιο σύντομη απόδειξη ότι ... 2 = 3. Τοποθετήστε έναν καθρέφτη από πάνω του (ή κοιτάξτε τον μέσα από το φως), και θα δείτε πώς γυρίζουν "δύο" σε "τρία".

5. Αναδευτήρας επιστολών

Μια άλλη ασυνήθιστη φόρμουλα:

έντεκα + δύο = δώδεκα + ένα.

Αποδεικνύεται ότι στα αγγλικά η εξίσωση 11 + 2 = 12 + 1 είναι αληθινή, ακόμα κι αν είναι γραμμένη με λέξεις - το "άθροισμα" των γραμμάτων στα αριστερά και στα δεξιά είναι το ίδιο! Αυτό σημαίνει ότι η δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας είναι αναγραμματισμός της αριστερής, δηλαδή λαμβάνεται από αυτήν με αναδιάταξη των γραμμάτων.

Παρόμοιες, αν και λιγότερο ενδιαφέρουσες, ισότητες γραμμάτων μπορούν επίσης να ληφθούν στα ρωσικά:

δεκαπέντε + έξι = δεκαέξι + πέντε.

6. Pi...ή όχι Pi;..

Από το 1960 έως το 1970 το κύριο εθνικό ποτό, που ονομάζεται "Moscow Special Vodka" κόστος: μισό λίτρο 2,87, και ένα τέταρτο 1,49. Αυτά τα στοιχεία ήταν πιθανώς γνωστά σε ολόκληρο σχεδόν τον ενήλικο πληθυσμό της ΕΣΣΔ. Σοβιετικοί μαθηματικοίπαρατήρησε ότι αν η τιμή του μισού λίτρου αυξηθεί σε ισχύ ίση με την τιμή ενός τετάρτου, τότε θα ληφθεί ο αριθμός "Pi":

1,49 2,87 ??

(Αναφέρεται από τον B.S. Gorobets).

Ήδη μετά τη δημοσίευση της πρώτης έκδοσης του βιβλίου, ο αναπληρωτής καθηγητής της Χημικής Σχολής του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας Leenzon I. A. μου έστειλε ένα τόσο περίεργο σχόλιο σχετικά με αυτόν τον τύπο: «... πριν από πολλά χρόνια, όταν δεν υπήρχαν αριθμομηχανές, και Εμείς στη Φυσική περάσαμε ένα δύσκολο τεστ σε έναν κανόνα διαφάνειας (!) (πόσες φορές χρειάζεται να μετακινήσετε τον κινητό χάρακα δεξιά και αριστερά;), με τη βοήθεια των πιο ακριβών πινάκων του πατέρα μου (ήταν ένας τοπογράφος, ονειρευόταν εξετάσεις στην ανώτερη γεωδαισία σε όλη του τη ζωή) ότι οι σαράντα εννέα ρουπίες στη δύναμη των δύο ογδόντα επτά ισούνται με 3, 1408. Δεν με ικανοποίησε. Το Σοβιετικό μας Gosplan δεν θα μπορούσε να είχε ενεργήσει τόσο αγενώς. Οι διαβουλεύσεις στο Υπουργείο Εμπορίου για την Kirovskaya έδειξαν ότι όλοι οι υπολογισμοί των τιμών σε εθνική κλίμακα έγιναν στο πλησιέστερο εκατοστό του καπικίου. Αλλά όνομα ακριβείς αριθμοίΜε αρνήθηκαν, αναφερόμενος στη μυστικότητα (τότε εξεπλάγην - τι μυστικότητα μπορεί να είναι σε δέκατα και εκατοστά της δεκάρας). Στις αρχές της δεκαετίας του 1990, κατάφερα να πάρω ακριβή στοιχεία από τα αρχεία για το κόστος της βότκας, η οποία τότε είχε αποχαρακτηριστεί με ειδικό διάταγμα. Και αυτό αποδείχθηκε: ένα τέταρτο: 1 ρούβλι 49,09 καπίκια. Σε πώληση - 1,49 ρούβλια. Pollitrovka: 2 ρούβλια 86,63 καπίκια. Σε πώληση - 2,87 ρούβλια. Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή, ανακάλυψα εύκολα ότι σε αυτή την περίπτωση, το ένα τέταρτο της ισχύος του μισού λίτρου δίνει (μετά από στρογγυλοποίηση σε 5 σημαντικούς αριθμούς) μόλις 3,1416! Μένει μόνο να αναρωτιόμαστε μαθηματική ικανότηταυπάλληλοι της Σοβιετικής Κρατικής Επιτροπής Σχεδιασμού, οι οποίοι (δεν έχω καμία αμφιβολία για αυτό για ένα δευτερόλεπτο) προσάρμοσαν σκόπιμα το εκτιμώμενο κόστος του πιο δημοφιλούς ποτού σε ένα προκαθορισμένο γνωστό αποτέλεσμα».

Ποιος μαθηματικός γνωστός από το σχολείο είναι κρυπτογραφημένος σε αυτό το rebus;

8. Θεωρία και πράξη

Σε έναν μαθηματικό, έναν φυσικό και έναν μηχανικό δόθηκε η ακόλουθη εργασία: «Ένας νεαρός άνδρας και ένα κορίτσι στέκονται στους απέναντι τοίχους της αίθουσας. Κάποια στιγμή αρχίζουν να περπατούν προς έναν φίλο και κάθε δέκα δευτερόλεπτα διανύουν τη μισή απόσταση μεταξύ τους. Το ερώτημα είναι πόσο καιρό θα πάρει για να φτάσουν μεταξύ τους;».

Ο μαθηματικός απάντησε χωρίς δισταγμό:

Ποτέ.

Ο φυσικός, μετά από λίγη σκέψη, είπε:

Μέσα από ατελείωτο χρόνο.

Ο μηχανικός μετά από μεγάλους υπολογισμούς εξέδωσε:

Σε περίπου δύο λεπτά, θα είναι αρκετά κοντά για κάθε πρακτικό σκοπό.

9. Φόρμουλα ομορφιάς από τη Landau

Την ακόλουθη πικάντικη φόρμουλα, που αποδίδεται στον Λαντάου, έναν μεγάλο λάτρη του ωραίου φύλου, έφερε στην προσοχή μου ο γνωστός καθηγητής Λαντάουβεντ Γκορομπές.

Όπως πληροφορηθήκαμε από τον αναπληρωτή καθηγητή MSUIE A.I. Zyulkov, άκουσε ότι ο Landau εξήγαγε τον ακόλουθο τύπο για τον δείκτη γυναικεία ελκυστικότητα:

όπου κ- Περίμετρος μπούστου Μ- στους γοφούς? Ν- στη μέση Τ- ύψος, όλα σε cm. Π- βάρος σε κιλά.

Έτσι, εάν δεχθούμε τις παραμέτρους για το μοντέλο (δεκαετία του 1960) περίπου: 80-80-60-170-60 (στην παραπάνω ακολουθία τιμών), τότε σύμφωνα με τον τύπο παίρνουμε 5. Εάν δεχθούμε τις παραμέτρους του " αντι-μοντέλο", για παράδειγμα: 120 -120-120-170-60, τότε παίρνουμε 2. Εδώ σε αυτό το διάστημα σχολικούς βαθμούςκαι, χοντρικά, η «φόρμουλα Landau» λειτουργεί.

(Απόσπασμα από το βιβλίο: Γκορόμπετς Β. Κύκλος Landau. Η ζωή μιας ιδιοφυΐας. Μ.: Εκδοτικός οίκος LKI / URSS, 2008.)

10. Για να γνωρίζετε αυτή την απόσταση ...

Ένα άλλο επιστημονικό επιχείρημα για τη γυναικεία ελκυστικότητα αποδίδεται στον Dow.

Ορίζουμε την ελκυστικότητα μιας γυναίκας ως συνάρτηση της απόστασης από αυτήν. Με μια άπειρη τιμή του ορίσματος, αυτή η συνάρτηση εξαφανίζεται. Από την άλλη πλευρά, στο σημείο μηδέν είναι επίσης ίσο με μηδέν ( μιλαμεγια την εξωτερική ελκυστικότητα και όχι για την απτική). Σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrange, ένα μη αρνητικό συνεχής λειτουργία, που παίρνει στα άκρα του τμήματος μηδενικές τιμές, έχει ένα μέγιστο σε αυτό το διάστημα. Συνεπώς:

1. Υπάρχει μια απόσταση από την οποία μια γυναίκα είναι πιο ελκυστική.

2. Για κάθε γυναίκα αυτή η απόσταση είναι διαφορετική.

3. Κρατήστε αποστάσεις από τις γυναίκες.

11 Horse Proof

Θεώρημα: Όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα.

Απόδειξη. Ας αποδείξουμε τον ισχυρισμό του θεωρήματος με επαγωγή.

Στο n= 1, δηλαδή για το σύνολο που αποτελείται από ένα άλογο, ο ισχυρισμός είναι προφανώς αληθής.

Ας είναι αληθής η δήλωση του θεωρήματος για n = κ. Ας αποδείξουμε ότι ισχύει για n = κ+ 1. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε ένα αυθαίρετο σύνολο από κ+ 1 άλογο. Εάν αφαιρέσετε ένα άλογο από αυτό, τότε θα παραμείνουν κ. Σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής, έχουν όλα το ίδιο χρώμα. Τώρα ας επιστρέψουμε το άλογο που αφαιρέθηκε στη θέση του και ας πάρουμε κάποιο άλλο. Και πάλι, με την υπόθεση της επαγωγής, αυτά κτα υπόλοιπα άλογα του ίδιου χρώματος. Αλλά μετά τα πάντα κ+ 1 άλογο θα έχει το ίδιο χρώμα.

Επομένως, σύμφωνα με την αρχή μαθηματική επαγωγή, όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

12. Λίγα λόγια για τους κροκόδειλους

Μια άλλη εξαιρετική απεικόνιση της εφαρμογής μαθηματικές μεθόδουςστη ζωολογία.

Θεώρημα: Ο κροκόδειλος είναι μακρύτερος παρά φαρδύς.

Απόδειξη. Παίρνουμε έναν αυθαίρετο κροκόδειλο και αποδεικνύουμε δύο βοηθητικά λήμματα.

Λήμμα 1: Ο κροκόδειλος είναι μακρύτερος από το πράσινο.

Απόδειξη. Ας δούμε τον κροκόδειλο από ψηλά - είναι μακρύς και πράσινος. Ας δούμε τον κροκόδειλο από κάτω - είναι μακρύς, αλλά όχι τόσο πράσινος (στην πραγματικότητα, είναι σκούρο γκρι).

Επομένως, το Λήμμα 1 αποδεικνύεται.

Λήμμα 2: Ο κροκόδειλος είναι πιο πράσινος παρά φαρδύς.

Απόδειξη.Ας δούμε ξανά τον κροκόδειλο από ψηλά. Είναι πράσινο και φαρδύ. Ας δούμε τον κροκόδειλο από το πλάι: είναι πράσινος, αλλά όχι φαρδύς. Αυτό αποδεικνύει το Λήμμα 2.

Ο ισχυρισμός του θεωρήματος προκύπτει προφανώς από τα αποδεδειγμένα λήμματα.

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και το θεώρημα της αντίστροφης («Ο κροκόδειλος είναι πιο φαρδύς παρά είναι μακρύς»).

Με την πρώτη ματιά, και από τα δύο θεωρήματα προκύπτει ότι ο κροκόδειλος είναι τετράγωνος. Ωστόσο, αφού οι ανισότητες στις διατυπώσεις τους είναι αυστηρές, ένας πραγματικός μαθηματικός θα βγάλει το μόνο σωστό συμπέρασμα: ΟΙ ΚΡΟΚΟΔΕΛΟΙ ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ!

13. Και πάλι επαγωγή

Θεώρημα: Όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι ίσοι.

Απόδειξη. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι για οποιουσδήποτε δύο φυσικούς αριθμούς ΕΝΑκαι σιισότητα ΕΝΑ = σι. Ας το επαναδιατυπώσουμε με τον εξής τρόπο: για οποιαδήποτε Ν> 0 και οποιαδήποτε ΕΝΑκαι σιικανοποιώντας τη μέγιστη ισότητα ( ΕΝΑ, σι) = Ν, την ισότητα ΕΝΑ = σι.

Ας το αποδείξουμε επαγωγικά. Αν ένα Ν= 1, λοιπόν ΕΝΑκαι σι, όντας φυσικά, και τα δύο είναι ίσα με 1. Επομένως ΕΝΑ = σι.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ο ισχυρισμός αποδεικνύεται για κάποια αξία κ. Ας πάρουμε ΕΝΑκαι σιέτσι ώστε max( ΕΝΑ, σι) = κ+ 1. Στη συνέχεια max( ΕΝΑ–1, σι–1) = κ. Με την επαγωγική υπόθεση, αυτό συνεπάγεται ότι ( ΕΝΑ–1) = (σι-ένας). Που σημαίνει, ΕΝΑ = σι.

14. Όλες οι γενικεύσεις είναι λάθος!

Λάτρεις της γλωσσικής και μαθηματικά παζλπιθανώς να γνωρίζετε για αντανακλαστικές ή αυτο-περιγραφόμενες (μην νομίζετε τίποτα κακό), αυτοαναφορικές λέξεις, φράσεις και αριθμούς. Τα τελευταία, για παράδειγμα, περιλαμβάνουν τον αριθμό 2100010006, στον οποίο το πρώτο ψηφίο είναι ίσο με τον αριθμό των μονάδων στην εγγραφή αυτού του αριθμού, το δεύτερο - με τον αριθμό των δύο, το τρίτο - με τον αριθμό των τριπλών, .. ., το δέκατο - στον αριθμό των μηδενικών.

Οι αυτοπεριγραφικές λέξεις περιλαμβάνουν, ας πούμε, τη λέξη είκοσι ένα γράμμαΤο σκέφτηκα πριν από μερικά χρόνια. Στην πραγματικότητα έχει 21 γράμματα!

Υπάρχουν πολλές αυτοπεριγραφικές φράσεις. Ένα από τα πρώτα παραδείγματα στα ρωσικά επινοήθηκε πριν από πολλά χρόνια από τον διάσημο καρικατουρίστα και λεκτικό πνεύμα Vagrich Bakhchanyan: Αυτή η πρόταση έχει τριάντα δύο γράμματα.. Εδώ είναι μερικά άλλα που προέκυψαν πολύ αργότερα: 1. Δεκαεπτά γράμματα. 2. Υπάρχει ένα σφάλμα σε αυτήν την πρόταση στο τέλος του. 3. Αυτή η πρόταση θα ήταν επτά λέξεις αν ήταν επτά λέξεις μικρότερη. 4. Είσαι υπό τον έλεγχό μου καθώς θα με διαβάζεις μέχρι να φτάσεις στο τέλος.. 5. ...Αυτή η πρόταση αρχίζει και τελειώνει με τρεις τελείες..

Υπάρχουν επίσης πιο σύνθετα σχέδια. Θαυμάστε, για παράδειγμα, αυτό το τέρας εδώ (δείτε το σημείωμα του S. Tabachnikov «Ο ιερέας είχε ένα σκύλο» στο περιοδικό Kvant, Νο. 6, 1989): Σε αυτή τη φράση, η λέξη "in" εμφανίζεται δύο φορές, η λέξη "αυτό" εμφανίζεται δύο φορές, η λέξη "φράση" εμφανίζεται δύο φορές, η λέξη "συναντά" εμφανίζεται δεκατέσσερις φορές, η λέξη "λέξη" εμφανίζεται δεκατέσσερις, η λέξη "χρόνος". εμφανίζεται έξι φορές, η λέξη "raza" εμφανίζεται εννέα φορές, η λέξη "δύο" εμφανίζεται επτά φορές, η λέξη "δεκατέσσερα" εμφανίζεται τρεις φορές, η λέξη "τρεις" εμφανίζεται τρεις φορές, η λέξη "εννέα" εμφανίζεται δύο φορές, Η λέξη "επτά" εμφανίζεται δύο φορές, δύο φορές η λέξη "έξι"..

Ένα χρόνο μετά τη δημοσίευση στο Kvant, ο I. Akulich κατέληξε σε μια αυτοπεριγραφική φράση που περιγράφει όχι μόνο τις λέξεις που περιλαμβάνονται σε αυτήν, αλλά και τα σημεία στίξης: Η φράση που διαβάζετε περιέχει: δύο λέξεις «Φράση», δύο λέξεις «που», δύο λέξεις «εσύ», δύο λέξεις «διαβάζω», δύο λέξεις «περιέχει», είκοσι πέντε λέξεις «λέξεις», δύο λέξεις «λέξεις» , δύο λέξεις «τελική τελεία», δύο λέξεις «κόμματα», δύο λέξεις «από», δύο λέξεις «αριστερά», δύο λέξεις «και», δύο λέξεις «δεξιά», δύο λέξεις «εισαγωγικά», δύο λέξεις «α», δύο λέξεις «επίσης», δύο λέξεις «κουκκίδα», δύο λέξεις «μία», δύο λέξεις «μία», είκοσι δύο λέξεις «δύο», τρεις λέξεις «τρεις», δύο λέξεις «τέσσερις», τρεις λέξεις «πέντε», τέσσερις λέξεις "είκοσι", δύο λέξεις "τριάντα", μία άνω τελεία, τριάντα κόμματα, είκοσι πέντε αριστερά και δεξιά εισαγωγικά και μία τελεία.

Τελικά, λίγα χρόνια αργότερα, όλα στο ίδιο «Quantum», εμφανίστηκε το σημείωμα του A. Khanyan, στο οποίο δόθηκε μια φράση που περιγράφει σχολαστικά όλα τα γράμματα: Υπάρχουν δώδεκα B, δύο E, δεκαεπτά T, τρία O, δύο Y, δύο F, επτά R, δεκατέσσερα A, δύο 3, δώδεκα E, δεκαέξι D, επτά H, επτά C, δεκατρείς L, οκτώ C, έξι M , πέντε I, δύο H, δύο S, τρία I, τρία W, δύο P.

«Είναι ξεκάθαρα αισθητό ότι λείπει μια ακόμη φράση - η οποία θα έλεγε για όλα τα γράμματα και τα σημεία στίξης της», έγραψε ο I. Akulich σε μια ιδιωτική επιστολή προς εμένα, ο οποίος γέννησε ένα από τα τέρατα που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Ίσως κάποιος από τους αναγνώστες μας θα λύσει αυτό το πολύ δύσκολο έργο.

15. «Και η ιδιοφυΐα είναι φίλος των παραδόξων...»

Σε συνέχεια του προηγούμενου θέματος, αξίζει να αναφέρουμε αντανακλαστικά παράδοξα.

Στο ήδη αναφερθέν βιβλίο του J. Littlewood «Mathematical Mixture» δικαίως λέγεται ότι «όλα τα αντανακλαστικά παράδοξα είναι, φυσικά, εξαιρετικά ανέκδοτα». Υπάρχουν επίσης δύο από αυτά, τα οποία παίρνω την ελευθερία να παραθέσω:

1. Πρέπει να υπάρχουν (θετικοί) ακέραιοι αριθμοί που δεν μπορούν να δοθούν με φράσεις μικρότερες από δεκαέξι λέξεις. Οποιοδήποτε σύνολο θετικών ακεραίων περιέχει μικρότερος αριθμός, και επομένως υπάρχει ένας αριθμός Ν, "ο μικρότερος ακέραιος που δεν μπορεί να δοθεί με μια φράση μικρότερη από δεκαέξι λέξεις." Όμως αυτή η φράση περιέχει 15 λέξεις και ορίζει Ν.

2. Σε ένα περιοδικό θεατήςπροκηρύχθηκε διαγωνισμός με θέμα «Τι θα θέλατε να διαβάσετε με τη μεγαλύτερη ευχαρίστηση, ανοίγοντας την πρωινή εφημερίδα;» Το πρώτο βραβείο έλαβε την απάντηση:

Ο δεύτερος μας διαγωνισμός

Το πρώτο βραβείο στον δεύτερο διαγωνισμό της φετινής χρονιάς πήρε ο κ. Άρθουρ Ρόμπινσον, του οποίου η πνευματώδης χωρίς υπερβολές απάντηση πρέπει να θεωρηθεί η καλύτερη. Η απάντησή του στην ερώτηση: «Τι θα σας άρεσε περισσότερο να διαβάσετε αν ανοίξατε την πρωινή σας εφημερίδα;» είχε τίτλο «Ο δεύτερος μας διαγωνισμός», αλλά λόγω περιορισμών χαρτιού, δεν μπορούμε να τον εκτυπώσουμε ολόκληρο.

16. Παλινδροματικό

Υπάρχουν τέτοια καταπληκτικές φράσεις, τα οποία διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο από αριστερά προς τα δεξιά και από δεξιά προς τα αριστερά. Ένα πράγμα που όλοι γνωρίζουν σίγουρα: Και το τριαντάφυλλο έπεσε στο πόδι του Αζόρ. Ήταν αυτή που κλήθηκε να γράψει στην υπαγόρευση του αδαή Πινόκιο από την ιδιότροπη Μαλβίνα. Τέτοιες αμοιβαία αντίστροφες φράσεις ονομάζονται palindromes, που στα ελληνικά σημαίνει «τρέχω πίσω, επιστρέφω». Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα: 1. Λιλιπούτειος πριόνισε γατόψαρο στη γέφυρα. 2. πάω στο μπάνιο. 3. Ξάπλωσε στον ναό και ο αρχάγγελος είναι θαυμαστός και αόρατος. 4. Έσπρωξε τον κάπρο στη μελιτζάνα. 5. Μούσα, πληγωμένη από ένα σουβλί εμπειρίας, θα προσευχηθείς για το μυαλό. (Δ. Αβαλιάνη). 6. Σπάνια κρατάω αποτσίγαρο στο χέρι μου... (B. Goldstein) 7. Μυρίζοντας γάλα, πρόκειται να νιαουρίσω. (Γ. Λουκομνίκοφ). οκτώ. Αυτός είναι ιτιά, αλλά αυτή είναι κούτσουρο. (S.F.)

Αναρωτιέμαι αν υπάρχουν παλίνδρομοι στα μαθηματικά; Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, ας προσπαθήσουμε να μεταφέρουμε την ιδέα μιας αμοιβαίας, συμμετρικής ανάγνωσης σε αριθμούς και τύπους. Αποδεικνύεται ότι δεν είναι τόσο δύσκολο. Ας εξοικειωθούμε με μερικά μόνο χαρακτηριστικά παραδείγματα από αυτά τα παλινδρομικά μαθηματικά, παλινδρομική. Αφήνοντας κατά μέρος τους παλινδρομικούς αριθμούς - για παράδειγμα, 1991 , 666 και τα λοιπά. Ας στραφούμε στους συμμετρικούς τύπους.

Ας προσπαθήσουμε πρώτα να λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα: βρείτε όλα τα ζεύγη τέτοιων διψήφιων αριθμών

(Χ 1 - πρώτο ψηφίο y 1 - δεύτερο ψηφίο) και

ώστε το αποτέλεσμα της πρόσθεσής τους να μην μεταβάλλεται ως αποτέλεσμα της ανάγνωσης του αθροίσματος από δεξιά προς τα αριστερά, δηλ.

Για παράδειγμα, 42 + 35 = 53 + 24.

Το πρόβλημα λύνεται επιπόλαια: το άθροισμα των πρώτων ψηφίων όλων αυτών των ζευγών αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα των δεύτερων ψηφίων τους. Τώρα μπορείτε εύκολα να κατασκευάσετε παρόμοια παραδείγματα: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 και ούτω καθεξής.

Μαλώνοντας κανείς με παρόμοιο τρόπο, μπορεί εύκολα να λύσει το ίδιο πρόβλημα για τους υπόλοιπους αριθμητικές πράξεις.

Σε περίπτωση διαφοράς, δηλ.

λαμβάνονται τα ακόλουθα παραδείγματα: 41 - 32 \u003d 23 -14, 46 - 28 \u003d 82 - 64, ... - τα αθροίσματα των ψηφίων τέτοιων αριθμών είναι ίσα ( Χ 1 +y 1 = x 2 +y 2 ).

Στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού, έχουμε: 63 48 \u003d 84 36, 82 14 \u003d 41 28, ... - ενώ το γινόμενο των πρώτων ψηφίων των αριθμών Ν 1 και Ν 2 είναι ίσο με το γινόμενο των δεύτερων ψηφίων τους ( Χ 1 Χ 2 =y 1 y 2 ).

Τέλος, για τη διαίρεση, έχουμε τα ακόλουθα παραδείγματα:

Στην περίπτωση αυτή, το γινόμενο του πρώτου ψηφίου του αριθμού Ν 1 στο δεύτερο ψηφίο Ν 2 είναι ίσο με το γινόμενο των άλλων δύο ψηφίων τους, δηλ. Χ 1 y 2 = x 2 y 1 .

17. Αντισοβιετικό θεώρημα

Η απόδειξη του ακόλουθου «θεωρήματος», που εμφανίστηκε στην εποχή του «υπανάπτυκτη σοσιαλισμού», βασίζεται στις δημοφιλείς θέσεις εκείνων των χρόνων σχετικά με τον ρόλο του Κομμουνιστικού Κόμματος.

Θεώρημα. Ο ρόλος του κόμματος είναι αρνητικός.

Απόδειξη. Είναι γνωστό ότι:

1. Ο ρόλος του κόμματος αυξάνεται συνεχώς.

2. Στον κομμουνισμό, σε μια αταξική κοινωνία, ο ρόλος του κόμματος θα είναι μηδενικός.

Έτσι, έχουμε μια συνεχώς αυξανόμενη συνάρτηση που τείνει στο 0. Επομένως, είναι αρνητική. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

18. Παιδιά κάτω των δεκαέξι ετών απαγορεύεται να αποφασίσουν

Παρά το φαινομενικό παράλογο του παρακάτω προβλήματος, έχει ωστόσο μια εντελώς αυστηρή λύση.

Μια εργασία.Μητέρα μεγαλύτερος από τον γιογια 21 χρόνια. Σε έξι χρόνια θα είναι πενταπλάσια της ηλικίας του. Το ερώτημα είναι: ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ Ο ΠΑΠΑ;!

Λύση. Αφήνω Χ- η ηλικία του γιου, και Υ- την ηλικία της μητέρας. Τότε η συνθήκη του προβλήματος γράφεται ως σύστημα δύο απλών εξισώσεων:

Αντικατάσταση Υ = Χ+ 21 στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε 5 Χ + 30 = Χ+ 21 + 6, από όπου Χ= -3/4. Έτσι, τώρα ο γιος είναι μείον τα 3/4 του έτους, δηλ. μείον 9 μήνες. Αυτό σημαίνει ότι ο μπαμπάς αυτή τη στιγμήείναι στη μαμά!

19. Ένα απροσδόκητο συμπέρασμα

Η ειρωνική έκφραση «Αν είσαι τόσο έξυπνος, τότε γιατί είσαι τόσο φτωχός;» είναι γνωστή, η οποία, δυστυχώς, ισχύει για πάρα πολλούς ανθρώπους. Αποδεικνύεται ότι αυτό το θλιβερό φαινόμενο έχει μια αυστηρή μαθηματική αιτιολόγηση που βασίζεται σε εξίσου αδιαμφισβήτητες αλήθειες.

Δηλαδή, ας ξεκινήσουμε με δύο γνωστά αξιώματα:

Υπόθεση 1: Γνώση = Δύναμη.

Υπόθεση 2: Χρόνος = Χρήμα.

Επιπλέον, κάθε μαθητής το γνωρίζει αυτό

Απόσταση s = Ταχύτητα x Χρόνος = Εργασία: Δύναμη,

Εργασία: Χρόνος = Δύναμη x Ταχύτητα (*)

Αντικαθιστώντας τις τιμές για "χρόνος" και "δύναμη" και από τα δύο αξιώματα σε (*), παίρνουμε:

Εργασία: (Γνώσεις x Ταχύτητα) = Χρήματα (**)

Από την προκύπτουσα ισότητα (**) φαίνεται ότι στοχεύοντας τη «γνώση» ή την «ταχύτητα» στο μηδέν, μπορούμε να πάρουμε αυθαίρετα μεγάλα χρήματα για οποιαδήποτε «δουλειά».

Εξ ου και το συμπέρασμα: όσο πιο ηλίθιο και πιο τεμπέλης άνθρωπος, Θέματα περισσότερα λεφτάμπορεί να κερδίσει.

20. Μαθηματικό παιχνίδι Landau

Πριν από λίγα χρόνια στο περιοδικό "Science and Life" (No. 1, 2000), δημοσιεύτηκε ένα σημείωμα του καθηγητή B. Gorobets, το οποίο προκάλεσε μεγάλο ενδιαφέρον στους αναγνώστες, αφιερωμένο σε ένα υπέροχο παιχνίδι παζλ που επινόησε ο ακαδημαϊκός Landau να μην βαριόμαστε ταξιδεύοντας με αυτοκίνητο. Παίξτε αυτό το παιχνίδι στο οποίο ο αισθητήρας τυχαίους αριθμούςχρησίμευαν ως οι αριθμοί των αυτοκινήτων που περνούσαν (τότε αυτοί οι αριθμοί αποτελούνταν από δύο γράμματα και δύο ζεύγη αριθμών), πρόσφερε συχνά στους συντρόφους του. Η ουσία του παιχνιδιού ήταν να χρησιμοποιήσει τα σημάδια των αριθμητικών πράξεων και τα σύμβολα των στοιχειωδών συναρτήσεων (δηλαδή +, -, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, κ.λπ.) για να οδηγήσει σε ένα και το αυτό εννοώντας αυτά τα δύο διψήφιους αριθμούςαπό τον αριθμό ενός διερχόμενου αυτοκινήτου. Σε αυτή την περίπτωση, επιτρέπεται η χρήση του παραγοντικού ( n! = 1 x 2 x ... x n), αλλά δεν επιτρέπεται η χρήση secant, cosecant και διαφοροποίησης.

Για παράδειγμα, για το ζεύγος 75–33, η επιθυμητή ισότητα επιτυγχάνεται ως εξής:

και για το ζευγάρι 00–38, ως εξής:

Ωστόσο, δεν λύνονται όλοι οι αριθμοί τόσο απλά. Μερικοί από αυτούς (για παράδειγμα, 75–65) δεν υπέκυψαν στον συγγραφέα του παιχνιδιού, τον Landau. Επομένως, τίθεται το ερώτημα για οποιαδήποτε καθολική προσέγγιση, κάποια ενιαία φόρμουλα που σας επιτρέπει να "λύσετε" οποιοδήποτε ζεύγος αριθμών. Την ίδια ερώτηση έκαναν ο Landau και ο μαθητής του Prof. Καγκάνοφ. Ιδού τι γράφει συγκεκριμένα: «Είναι πάντα εφικτό να γίνει ισότητα από μια πινακίδα;» ρώτησα τον Λαντάου. «Όχι», απάντησε σίγουρα. - "Έχεις αποδείξει το θεώρημα της ανυπαρξίας;" - Εμεινα έκπληκτος. - «Όχι», είπε με πεποίθηση ο Λεβ Νταβίντοβιτς, «αλλά δεν μου βγήκαν όλοι οι αριθμοί».

Ωστόσο, τέτοιες λύσεις βρέθηκαν, και μία από αυτές ήταν ακόμη κατά τη διάρκεια της ζωής του Landau.

Ο μαθηματικός του Kharkov Y. Palant πρότεινε τον τύπο για την εξίσωση ζευγών αριθμών

Επιτρέποντας, ως αποτέλεσμα επαναλαμβανόμενης εφαρμογής, να εκφραστεί οποιοδήποτε σχήμα μέσω οποιουδήποτε μικρότερου. «Έδωσα την απόδειξη του Landau», γράφει ο Kaganov για αυτήν την απόφαση. «Του άρεσε πολύ… και μισοαστεία, μισοσοβαρά συζητήσαμε αν θα το δημοσιεύσουμε σε κάποιο επιστημονικό περιοδικό».

Ωστόσο, ο τύπος Palant χρησιμοποιεί το πλέον «απαγορευμένο» τμήμα (για περισσότερα από 20 χρόνια δεν περιλαμβάνεται σχολικό πρόγραμμα σπουδών), και ως εκ τούτου δεν μπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητικό. Ωστόσο, κατάφερα να το διορθώσω εύκολα με μια τροποποιημένη φόρμουλα

Ο προκύπτων τύπος (και πάλι, εάν είναι απαραίτητο, πρέπει να εφαρμοστεί πολλές φορές) μας επιτρέπει να εκφράσουμε οποιοδήποτε ψηφίο ως οποιοδήποτε μεγάλο ψηφίο χωρίς να χρησιμοποιήσουμε άλλα ψηφία, κάτι που προφανώς εξαντλεί το πρόβλημα του Landau.

1. Ας μην υπάρχουν μηδενικά μεταξύ των αριθμών. Ας φτιάξουμε δύο αριθμούς αβκαι CD, (αυτό, φυσικά, δεν είναι προϊόν). Ας δείξουμε ότι όταν n ? 6:

αμαρτία[( αβ)!]° = αμαρτία[( CD)!]° = 0.

Πράγματι, αμαρτία ( n!)° = 0 αν n? 6, αφού sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Επιπλέον, οποιοδήποτε παραγοντικό προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το 6! στους επόμενους ακέραιους αριθμούς: 7! = 6! x7,8! = 6! x 7 x 8, κ.λπ., δίνοντας ένα πολλαπλάσιο των 360° στο ημιτονικό όρισμα, καθιστώντας το (και την εφαπτομένη επίσης) ίση με μηδέν.

2. Έστω μηδέν σε κάποιο ζεύγος ψηφίων. Τον πολλαπλασιάζουμε με τον επόμενο αριθμό και τον εξισώνουμε με το ημίτονο του παραγοντικού σε μοίρες που λαμβάνονται από τον αριθμό στο άλλο μέρος του αριθμού.

3. Έστω μηδενικά και στα δύο μέρη του αριθμού. Όταν πολλαπλασιάζονται με γειτονικά ψηφία, δίνουν την ασήμαντη ισότητα 0 = 0.

Η διαίρεση της γενικής λύσης σε τρία σημεία με πολλαπλασιασμό με το μηδέν στα σημεία 2 και 3 οφείλεται στο γεγονός ότι η αμαρτία ( n!)° ? 0 αν n < 6».

Φυσικά, τέτοια γενικές λύσειςστερούν από το παιχνίδι του Landau την αρχική του γοητεία, αντιπροσωπεύοντας μόνο ένα αφηρημένο ενδιαφέρον. Επομένως, προσπαθήστε να παίξετε με μεμονωμένους δύσκολους αριθμούς χωρίς να χρησιμοποιήσετε καθολικούς τύπους. Εδώ είναι μερικά από αυτά: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

21. Μαντεία με ορίζουσες

22. 9 ζώδια

Περισσότερα για καθοριστικούς παράγοντες.

Μου είπαν ότι κάποτε μεταξύ των πρωτοετών μαθητών του Mekhmat, το παιχνίδι του «καθοριστικού» για τα χρήματα ήταν δημοφιλές. Δύο παίκτες σχεδιάζουν μια ορίζουσα 3 x 3 σε χαρτί με άδεια κελιά. Στη συνέχεια, με τη σειρά τους, οι αριθμοί από το 1 έως το 9 εισάγονται στα κενά κελιά. Όταν γεμίσουν όλα τα κελιά, λαμβάνεται υπόψη η ορίζουσα - η απάντηση, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο, είναι το κέρδος (ή η απώλεια) του πρώτου παίκτη , εκφρασμένο σε ρούβλια. Δηλαδή, εάν, για παράδειγμα, ο αριθμός είναι -23, τότε ο πρώτος παίκτης πληρώνει το δεύτερο 23 ρούβλια και εάν, ας πούμε, 34, τότε, αντίθετα, ο δεύτερος παίκτης πληρώνει τα πρώτα 34 ρούβλια.

Αν και οι κανόνες του παιχνιδιού είναι τόσο απλοί όσο ένα γογγύλι, είναι πολύ δύσκολο να βρεις τη σωστή στρατηγική νίκης.

23. Πώς έλυσαν το πρόβλημα οι ακαδημαϊκοί

Αυτό το σημείωμα μου το έστειλε ο μαθηματικός και συγγραφέας A. Zhukov, ο συγγραφέας του υπέροχου βιβλίου The Omnipresent Pi.

Ο καθηγητής Boris Solomonovich Gorobets, ο οποίος διδάσκει μαθηματικά σε δύο πανεπιστήμια της Μόσχας, έγραψε ένα βιβλίο για τον μεγάλο φυσικό Lev Davidovich Landau (1908–1968) - Ο κύκλος του Landau. Να τι περίεργη ιστορία, που συνδέεται με ένα εισαγωγικό πρόβλημα στο Ινστιτούτο Φυσικής και Τεχνολογίας, μας είπε.

Έτυχε ότι το 1959 ο συμπολεμιστής του Landau και ο συν-συγγραφέας ενός μαθήματος δέκα τόμων στη θεωρητική φυσική, ακαδημαϊκός Evgeni Mikhailovich Lifshits (1915–1985), βοήθησαν έναν απόφοιτο της σχολής, τον Borya Gorobets, να προετοιμαστεί για εισαγωγή σε έναν από τους κορυφαίους φυσικά πανεπιστήμιαΜόσχα.

Στη γραπτή εξέταση στα μαθηματικά στο Ινστιτούτο Φυσικής και Μαθηματικών της Μόσχας, προτάθηκε η ακόλουθη εργασία: «Στη βάση της πυραμίδας SABC βρίσκεται ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο ABC, με γωνία C = 90°, πλευρά AB = l. Πλαϊνά πρόσωπασχηματίζουν με το επίπεδο βάσης διεδρικές γωνίες?, ?, ?. Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που είναι εγγεγραμμένη στην πυραμίδα.

Ο μελλοντικός καθηγητής δεν αντιμετώπισε το έργο εκείνη την εποχή, αλλά θυμήθηκε την κατάστασή του και αργότερα ενημέρωσε τον Evgeny Mikhailovich. Αυτός, έχοντας ασχοληθεί με το πρόβλημα παρουσία του μαθητή, δεν μπόρεσε να το λύσει αμέσως και το πήρε μαζί του στο σπίτι και το βράδυ τηλεφώνησε και είπε ότι, αφού δεν το ξεπέρασε για μια ώρα, πρόσφερε αυτό το πρόβλημα σε Λεβ Νταβίντοβιτς.

Ο Landau αγαπούσε να λύνει προβλήματα που προκαλούσαν δυσκολίες στους άλλους. Σύντομα κάλεσε πίσω τον Lifshitz και, ευχαριστημένος, είπε: «Έλυσα το πρόβλημα. Αποφάσισε ακριβώς μια ώρα. Τηλεφώνησα στον Ζέλντοβιτς, τώρα αποφασίζει. Για να διευκρινίσουμε: Ο Yakov Borisovich Zel'dovich (1914–1987), ένας γνωστός επιστήμονας που θεωρούσε τον εαυτό του μαθητή του Landau, ήταν εκείνα τα χρόνια ο επικεφαλής θεωρητικός φυσικός στο άκρως απόρρητο Σοβιετικό Ατομικό Έργο (το οποίο, φυσικά, λίγοι οι άνθρωποι ήξεραν τότε). Περίπου μια ώρα αργότερα, ο E. M. Lifshits τηλεφώνησε ξανά και είπε: Ο Ζέλντοβιτς μόλις του είχε τηλεφωνήσει και είπε, όχι χωρίς περηφάνια: «Έλυσα το πρόβλημά σου. Το αποφάσισα σε σαράντα λεπτά!».

Πόσο καιρό θα σας πάρει για να ολοκληρώσετε αυτήν την εργασία;

24. Πρόβλημα

Υπάρχουν πολλά μαθηματικά αστεία στην πνευματώδη συλλογή χιούμορ φυσικής και τεχνολογίας "Zasauchny Humor" (M., 2000). Εδώ είναι μόνο ένα από αυτά.

Κατά τη δοκιμή ενός προϊόντος, παρουσιάστηκε μία αποτυχία. Ποια είναι η πιθανότητα λειτουργίας του προϊόντος χωρίς βλάβες;

Θεώρημα. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι ενδιαφέροντες.

Απόδειξη. Ας υποθέσουμε το αντίθετο. Τότε πρέπει να υπάρχει το λιγότερο αδιάφορο φυσικός αριθμός. Χα, αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον!

26. Ανώτερη αριθμητική

1 + 1 = 3 όταν η τιμή του 1 είναι αρκετά μεγάλη.

27. Αϊνστάιν-Πυθαγόρειο τύπος

E \u003d m c 2 \u003d m (a 2 + b 2).

28. Περί των ωφελειών του theorver

Αυτή η αστεία ιστορία από τη δική μου φοιτητική ζωήείναι πολύ πιθανό να προσφέρουμε σε σεμινάρια για τη θεωρία των πιθανοτήτων ως πρόβλημα.

Το καλοκαίρι, με τους φίλους μου πήγαμε για πεζοπορία στα βουνά. Ήμασταν τέσσερις: ο Volodya, δύο Olegs και εγώ. Είχαμε μια σκηνή και τρεις υπνόσακους, ο ένας από τους οποίους ήταν διπλό κρεβάτι για εμένα και τη Volodya. Με αυτούς ακριβώς τους υπνόσακους, ή μάλλον με τη θέση τους στη σκηνή, βγήκε το κοτσαδόρο. Γεγονός είναι ότι έβρεχε, η σκηνή ήταν στριμωγμένη, έτρεχε από τα πλάγια και όσοι ήταν ξαπλωμένοι στην άκρη δεν ήταν πολύ άνετα. Ως εκ τούτου, πρότεινα να λύσω αυτό το πρόβλημα "δίκαια", με τη βοήθεια παρτίδων.

Κοίτα, - είπα στον Όλεγκς, - το διπλό μας με τον Volodya μπορεί να είναι είτε στην άκρη είτε στο κέντρο. Επομένως, θα ρίξουμε ένα κέρμα: αν πέσει ο «αετός», το διπλό μας θα είναι στην άκρη, αν οι «ουρές» θα είναι στο κέντρο.

Οι Oleg συμφώνησαν, αλλά μετά από μερικές νύχτες στα άκρα (είναι εύκολο να υπολογιστεί με τον τύπο πλήρη πιθανότηταότι για καθέναν από εμάς με τον Volodya, η πιθανότητα να κοιμηθεί όχι στην άκρη της σκηνής είναι 0,75) Ο Olegs υποψιάστηκε ότι κάτι δεν πήγαινε καλά και πρότεινε να αναθεωρηθεί η σύμβαση.

Πράγματι, - είπα, - οι πιθανότητες ήταν άνισες. Τρεις είναι μάλιστα οι δυνατότητες για το διπλό μας: από την αριστερή άκρη, από τη δεξιά και στο κέντρο. Επομένως, κάθε απόγευμα θα τραβάμε ένα από τα τρία μπαστούνια - αν βγάλουμε ένα κοντό, τότε το διπλό μας θα είναι στο κέντρο.

Ο Olegs συμφώνησε και πάλι, αν και αυτή τη φορά οι πιθανότητές μας να περάσουμε τη νύχτα όχι στην άκρη (τώρα η πιθανότητα είναι 0,66, πιο συγκεκριμένα, τα δύο τρίτα) ήταν προτιμότερες από καθένα από αυτά. Μετά από δύο διανυκτερεύσεις στα άκρα (είχαμε τις καλύτερες ευκαιρίες συν την τύχη με το μέρος μας), ο Oleg συνειδητοποίησε ξανά ότι είχαν εξαπατηθεί. Μετά όμως, ευτυχώς, οι βροχές τελείωσαν και το πρόβλημα εξαφανίστηκε από μόνο του.

Αλλά στην πραγματικότητα, στην πραγματικότητα, το διπλό μας θα έπρεπε να είναι πάντα στην άκρη, και ο Volodya και εγώ θα προσδιορίζαμε με τη βοήθεια ενός νομίσματος κάθε φορά ποιος ήταν τυχερός. Ο Όλεγκς θα έκανε το ίδιο. Σε αυτή την περίπτωση, οι πιθανότητες να κοιμηθούν στην άκρη θα ήταν ίδιες για όλους και ίσες με 0,5.

Σημειώσεις:

Μερικές φορές μια παρόμοια ιστορία διηγείται για τον Jean Charles Francois Sturm.

Αυτή η σελίδα περιέχει όλους τους τύπους που είναι απαραίτητοι για τη μετάβαση του ελέγχου και ανεξάρτητη εργασία, εξετάσεις στην άλγεβρα, τη γεωμετρία, την τριγωνομετρία, τη στερεά γεωμετρία και άλλους κλάδους των μαθηματικών.

Εδώ μπορείτε να κατεβάσετε ή να παρακολουθήσετε online όλα τα κύρια τριγωνομετρικούς τύπους, τύπος εμβαδού κύκλου, συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, τύπος περιφέρειας, τύποι αναγωγής και πολλοί άλλοι.

Μπορείτε επίσης να εκτυπώσετε τις απαραίτητες συλλογές μαθηματικών τύπων.

Καλή επιτυχία στις σπουδές σας!

Αριθμητικοί τύποι:

Τύποι Άλγεβρας:

Γεωμετρικοί τύποι:

Αριθμητικοί τύποι:

Νόμοι πράξεων στους αριθμούς

Μεταθετικός νόμος της πρόσθεσης: α + β = β + α.

Συνειρμικός νόμος προσθήκης: (α + β) + γ = α + (β + γ).

Ανταλλαγή νόμου πολλαπλασιασμού: αβ=μπα.

Συνειρμικός νόμος πολλαπλασιασμού: (αβ)γ = α(βγ).

Ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: (a + b)c = ac + bc.

Ο κατανεμητικός νόμος του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: (α - β) γ \u003d AC - π.γ.

Μερικές μαθηματικές σημειώσεις και συντομογραφίες:

Σημάδια διαιρετότητας

Σημάδια διαιρετότητας με "2"

Καλείται ένας αριθμός που διαιρείται με το 2 χωρίς υπόλοιπο ακόμη και, μη διαιρετέο - Περιττός. Ένας αριθμός διαιρείται με το "2" χωρίς υπόλοιπο αν το τελευταίο του ψηφίο είναι άρτιο (2, 4, 6, 8) ή μηδέν

Σημάδια διαιρετότητας με "4"

Ένας αριθμός διαιρείται με το "4" χωρίς υπόλοιπο αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι μηδενικά ή στο άθροισμα ενός αριθμού που διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το "4"

Σημάδια διαιρετότητας με "8"

Ένας αριθμός διαιρείται με το "8" χωρίς υπόλοιπο αν τα τρία τελευταία ψηφία του είναι μηδέν ή στο άθροισμα σχηματίζουν έναν αριθμό που διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το "8" (παράδειγμα: 1000 - τα τρία τελευταία ψηφία είναι "00" και η διαίρεση του 1000 με το 8 δίνει 125. 104 - τα δύο τελευταία ψηφία του "12" διαιρούνται με το 4 και όταν διαιρούμε το 112 με το 4, προκύπτει το 28. και τα λοιπά.)

Σημάδια διαιρετότητας με "3" και "9"

Χωρίς υπόλοιπο, μόνο εκείνοι οι αριθμοί διαιρούνται με το "3" στους οποίους το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το "3". με "9" - μόνο εκείνα στα οποία το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το "9"

Σημάδια διαιρετότητας με "5"

Χωρίς υπόλοιπο, οι αριθμοί διαιρούνται με το "5", το τελευταίο ψηφίο του οποίου είναι "0" ή "5"

Σημάδια διαιρετότητας με "25"

Χωρίς υπόλοιπο, οι αριθμοί διαιρούνται με το "25", τα δύο τελευταία ψηφία του οποίου είναι μηδενικά ή στο άθροισμα σχηματίζουν έναν αριθμό που διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με το "25" (δηλαδή αριθμοί που τελειώνουν σε "00", "25", "50 ", "75"

Σημάδια διαιρετότητας με "10", "100" και "1.000"

Χωρίς υπόλοιπο, μόνο εκείνοι οι αριθμοί των οποίων το τελευταίο ψηφίο είναι μηδέν διαιρούνται με το "10", μόνο εκείνοι των οποίων τα δύο τελευταία ψηφία είναι μηδενικά διαιρούνται με το "100", μόνο εκείνοι οι αριθμοί των οποίων τα τρία τελευταία ψηφία είναι μηδέν διαιρούνται με "1000"

Σημάδια διαιρετότητας με "11"

Χωρίς υπόλοιπο, μόνο εκείνοι οι αριθμοί διαιρούνται με το "11" στους οποίους το άθροισμα των ψηφίων που καταλαμβάνουν περιττές θέσεις είναι είτε ίσο με το άθροισμα των ψηφίων που καταλαμβάνουν ζυγές θέσεις είτε διαφέρει από αυτό με έναν αριθμό που διαιρείται με το "11".

Απόλυτη τιμή - τύποι (μέτρο)

|α| ? 0, και |α| = 0 μόνο αν a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |αβ|=|α|*|β| |a/b|=|a|/|b|, τι γίνεται με το β; 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|

Τύποι Δράσεις με κλάσματα

Ο τύπος για τη μετατροπή ενός πεπερασμένου δεκαδικού κλάσματος σε ορθολογικό κλάσμα:

Αναλογίες

Σχηματίζονται δύο ίσες αναλογίες ποσοστό:

Βασική ιδιότητα της αναλογίας

Εύρεση των όρων της αναλογίας

Αναλογίες, ισοδύναμο αναλογίες : Παράγωγο ποσοστό- συνέπεια αυτού αναλογίεςόπως και

Μέσες τιμές

Μέση τιμή

Δύο μεγέθη: nαξίες:

Γεωμετρικός μέσος όρος (αναλογικός μέσος όρος)

Δύο μεγέθη: nαξίες:

RMS

Δύο μεγέθη: nαξίες:

αρμονική μέση

Δύο μεγέθη: nαξίες:

Μερικές σειρές πεπερασμένων αριθμών

Ιδιότητες αριθμητικών ανισώσεων

1) Αν ένα< b , τότε για οποιοδήποτε ντο: α + γ< b + с .

2) Αν ένα< b και c > 0, έπειτα όπως και< bс .

3) Αν ένα< b και ντο< 0 , έπειτα ac > bc.

4) Αν ένα< b , ένακαι σιένα σημάδι λοιπόν 1/a > 1/b.

5) Αν ένα< b και ντο< d , έπειτα α + γ< b + d , Ενα δ< b — c .

6) Αν ένα< b , ντο< d , α > 0, β > 0, c > 0, d > 0, έπειτα μετα Χριστον< bd .

7) Αν ένα< b , α > 0, β > 0, έπειτα

8) Αν , τότε

• Φόρμουλες προόδου:

• 

• Παράγωγο

• Λογάριθμοι:
• Συντεταγμένες και διανύσματα

  1. Η απόσταση μεταξύ των σημείων A1(x1;y1) και A2(x2;y2) βρίσκεται με τον τύπο:

  2. Οι συντεταγμένες (x;y) του μέσου του τμήματος με άκρα A1(x1;y1) και A2(x2;y2) βρίσκονται με τους τύπους:

  

  3. Εξίσωση ευθείας με συντελεστής κλίσηςκαι η αρχική τεταγμένη είναι:

  Η κλίση k είναι η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox και η αρχική τεταγμένη q είναι η τιμή της τεταγμένης του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Oy.

  4. Γενική Εξίσωσηη ευθεία έχει τη μορφή: ax + by + c = 0.

  5. Οι εξισώσεις ευθειών παράλληλων προς τους άξονες Oy και Ox αντίστοιχα έχουν τη μορφή:

  Ax + by + c = 0.

  6. Συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας ευθειών y1=kx1+q1 και y2=kx2+q2, αντίστοιχα, έχουν τη μορφή:

  

  7. Οι εξισώσεις κύκλων με ακτίνα R και με κέντρο αντίστοιχα στα σημεία O(0;0) και C(xo;yo) έχουν τη μορφή:

  8. Εξίσωση:

  είναι η εξίσωση παραβολής με κορυφή σε σημείο της οποίας η τετμημένη

• Ορθογώνιος καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες στο χώρο

  1. Η απόσταση μεταξύ των σημείων A1(x1;y1;z1) και A2(x2;y2;z2) βρίσκεται με τον τύπο:

  2. Οι συντεταγμένες (x;y;z) του μέσου του τμήματος με άκρα A1(x1;y1;z1) και A2(x2;y2;z2) βρίσκονται με τους τύπους:

  3. Το μέτρο συντελεστή ενός διανύσματος που δίνεται από τις συντεταγμένες του βρίσκεται με τον τύπο:

  

  4. Όταν προστίθενται διανύσματα, προστίθενται οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους και όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, όλες οι συντεταγμένες του πολλαπλασιάζονται με αυτόν τον αριθμό, δηλ. ισχύουν οι τύποι:

  5. Το μοναδιαίο διάνυσμα συνκατευθυντικό με το διάνυσμα βρίσκεται με τον τύπο:

  6. Το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ένας αριθμός:

  

  πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων.

  7. Scalar προϊόνφορείς

  

  8. Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων και βρίσκεται με τον τύπο:

  9. Απαραίτητο και επαρκής κατάστασηκαθετότητα διανυσμάτων και έχει τη μορφή:

  10. Γενική εξίσωση του επιπέδου, κάθετο στο διάνυσμαμοιάζει με:

  Ax + by + cz + d = 0.

  11. Η εξίσωση του επιπέδου που είναι κάθετο στο διάνυσμα και διέρχεται από το σημείο (xo; yo; zo) έχει τη μορφή:

  A(x - xo) + b(y - yo) + c(z - zo) = 0.

  12. Η εξίσωση μιας σφαίρας με κέντρο Ο(0;0;0) γράφεται ως

Η εκπαίδευση είναι αυτό που μένει αφού ξεχαστούν όλα όσα διδάσκονταν στο σχολείο.

Ο Igor Khmelinsky, ένας επιστήμονας του Νοβοσιμπίρσκ, που τώρα εργάζεται στην Πορτογαλία, αποδεικνύει ότι χωρίς την άμεση απομνημόνευση κειμένων και τύπων, η ανάπτυξη αφηρημένης μνήμης στα παιδιά είναι δύσκολη. Ακολουθούν αποσπάσματα από το άρθρο τουΜαθήματα εκπαιδευτικές μεταρρυθμίσειςστην Ευρώπη και στις χώρες της πρώην ΕΣΣΔ»

Μάθηση από καρδιά και μακροπρόθεσμη μνήμη

Η άγνοια του πίνακα πολλαπλασιασμού έχει πιο σοβαρές συνέπειες από την αδυναμία εντοπισμού σφαλμάτων στους υπολογισμούς σε μια αριθμομηχανή. Η μακροπρόθεσμη μνήμη μας λειτουργεί με βάση την αρχή μιας συσχετιστικής βάσης δεδομένων, δηλαδή ορισμένα στοιχεία πληροφοριών, όταν απομνημονεύονται, συνδέονται με άλλα με βάση τους συσχετισμούς που δημιουργήθηκαν τη στιγμή της γνωριμίας μαζί τους. Επομένως, προκειμένου να διαμορφωθεί μια βάση γνώσεων σε οποιαδήποτε θεματική ενότητα, για παράδειγμα, στην αριθμητική, πρέπει πρώτα να μάθετε τουλάχιστον κάτι από την καρδιά. Περαιτέρω, οι νέες εισερχόμενες πληροφορίες θα προέρχονται από βραχυπρόθεσμη μνήμησε μακροπρόθεσμο, εάν μέσα σε σύντομο χρονικό διάστημα (πολλές ημέρες) το συναντήσουμε πολλές φορές, και, κατά προτίμηση, σε διαφορετικές συνθήκες (που συμβάλλει στη δημιουργία χρήσιμων συσχετισμών). Ωστόσο, ελλείψει γνώσης από την αριθμητική στη μόνιμη μνήμη, τα στοιχεία πληροφοριών που έρχονται πρόσφατα συνδέονται με στοιχεία που δεν έχουν καμία σχέση με την αριθμητική - για παράδειγμα, η προσωπικότητα του δασκάλου, ο καιρός στο δρόμο κ.λπ. Προφανώς, μια τέτοια απομνημόνευση δεν θα φέρει κανένα πραγματικό όφελος στον μαθητή - δεδομένου ότι οι συσχετισμοί απομακρύνονται από αυτό το γνωστικό αντικείμενο, ο μαθητής δεν θα μπορεί να θυμηθεί καμία γνώση που σχετίζεται με την αριθμητική, εκτός από αόριστες ιδέες ότι φαίνεται να έχει κάτι σχετικά με αυτό. έχω ακούσει. Για τέτοιους μαθητές, ο ρόλος των συλλόγων που λείπουν συνήθως παίζεται από διαφορετικό είδοςσυμβουλές - αντιγραφή από έναν συνάδελφο, χρήση βασικών ερωτήσεων στο ίδιο το στοιχείο ελέγχου, τύπους από τη λίστα των τύπων που επιτρέπεται να χρησιμοποιηθούν κ.λπ. ΣΤΟ πραγματική ζωή, χωρίς προτροπή, ένα τέτοιο άτομο αποδεικνύεται εντελώς αβοήθητο και ανίκανο να εφαρμόσει τη γνώση που έχει στο κεφάλι του.

Σχηματισμός μαθηματική συσκευή, στο οποίο οι τύποι δεν απομνημονεύονται, είναι πιο αργό από ό,τι διαφορετικά. Γιατί; Πρώτον, οι νέες ιδιότητες, τα θεωρήματα, οι σχέσεις μεταξύ μαθηματικών αντικειμένων χρησιμοποιούν σχεδόν πάντα ορισμένα χαρακτηριστικά τύπων και εννοιών που μελετήθηκαν προηγουμένως. Θα είναι πιο δύσκολο να επικεντρωθεί η προσοχή του μαθητή σε νέο υλικό εάν αυτά τα χαρακτηριστικά δεν μπορούν να ανακτηθούν από τη μνήμη σε σύντομο χρονικό διάστημα. Δεύτερον, η άγνοια των τύπων από καρδιάς εμποδίζει την αναζήτηση λύσεων σε ουσιαστικά προβλήματα με μεγάλη ποσότηταμικρές λειτουργίες, στις οποίες απαιτείται όχι μόνο να πραγματοποιηθούν ορισμένοι μετασχηματισμοί, αλλά και να προσδιοριστεί η αλληλουχία αυτών των κινήσεων, αναλύοντας την εφαρμογή πολλών τύπων δύο ή τρία βήματα μπροστά.

Η πράξη δείχνει ότι η διανοητική και μαθηματική ανάπτυξηπαιδί, ο σχηματισμός της βάσης γνώσεων και των δεξιοτήτων του, συμβαίνει πολύ πιο γρήγορα αν τα περισσότερα απόπληροφορίες που χρησιμοποιούνται (ιδιότητες και τύποι) βρίσκονται στο κεφάλι. Και όσο πιο δυνατό και περισσότερο κρατιέται εκεί, τόσο το καλύτερο.

Ενα από τα πολλά σύνθετους τύπουςΤο σύνολο είναι ένα σύνολο μαθηματικών τύπων. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποιείναι κείμενα που περιλαμβάνουν γραμματοσειρές σε ρωσικές, λατινικές και ελληνικές βάσεις, άμεσες και πλάγιες, ανοιχτές, έντονες, με ένας μεγάλος αριθμόςμαθηματικά και άλλα σημάδια, ευρετήρια στην επάνω και κάτω γραμμή της γραμματοσειράς και διάφοροι χαρακτήρες μεγάλου μεγέθους. Το εύρος των γραμματοσειρών για την πληκτρολόγηση τύπων είναι τουλάχιστον 2.000 χαρακτήρες. Ο πίνακας χαρακτήρων στο WORD-98 περιλαμβάνει 1148 χαρακτήρες.

Η κύρια διαφορά μεταξύ του συνόλου τύπων και όλων των άλλων τύπων σετ είναι ότι το σύνολο της φόρμουλας στην κλασική του μορφή δεν γίνεται σε παράλληλες γραμμές, αλλά καταλαμβάνει ένα ορισμένο μέρος της περιοχής της ταινίας.

Τύπος- μια μαθηματική ή χημική έκφραση στην οποία, με τη βοήθεια αριθμών, συμβόλων και ειδικών χαρακτήρων, η σχέση μεταξύ ορισμένων ποσοτήτων εκφράζεται υπό όρους.

Αριθμοί- σημάδια που δηλώνουν ή εκφράζουν αριθμούς (ποσότητες). Οι αριθμοί είναι αραβικοί και ρωμαϊκοί.

Αραβικοί αριθμοί: 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Οι αραβικοί αριθμοί αλλάζουν τη σημασία τους ανάλογα με τη θέση που καταλαμβάνουν σε μια σειρά ψηφιακών χαρακτήρων. Οι αραβικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο κατηγορίες - 1η - μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες. 2ο - χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες κ.λπ.

λατινικούς αριθμούς. Υπάρχουν επτά βασικοί ψηφιακοί χαρακτήρες: I - ένα, V - πέντε, X - δέκα, L - πενήντα, C - εκατό, D - πεντακόσιοι, M - χίλια. Οι λατινικοί αριθμοί έχουν σταθερή τιμή, επομένως οι αριθμοί λαμβάνονται με την προσθήκη ή την αφαίρεση ψηφιακών χαρακτήρων. Για παράδειγμα: 28 = XXVIII (10 + 10 + 5 + 1 + 1+ 1); 29 \u003d XXIX (10 + 10 -1 + 10); 150=CL(100+50); 200 = SS (100 + 100); 1980 = MDCCCCLXXX (1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10); 2002 = MMII (1000 + 1000 + 1 + 1).

Οι ρωμαϊκοί αριθμοί υποδηλώνουν συνήθως αιώνες (XV1 αιώνας), αριθμούς τόμων (τόμος IX), κεφάλαια (κεφάλαιο VII), μέρη (μέρος II) κ.λπ.

Σύμβολα - κυριολεκτικές εκφράσεις, που αποτελούν μέρος του τύπου (για παράδειγμα, μαθηματικά σύμβολα: l - μήκος, λ - ποσοστό αστοχίας (συρρίκνωση), π - λόγος περιφέρειας προς διάμετρο κ.λπ. χημικά σύμβολα: Al - αλουμίνιο, Pb - μόλυβδος, H - υδρογόνο κ.λπ.).

Πιθανότητα- αριθμοί πριν από σύμβολα, για παράδειγμα 2H 2 O; 4sinx. Τα σύμβολα και οι αριθμοί έχουν συχνά δείκτες εκθέτη (στην επάνω γραμμή) και δείκτη (στην κάτω γραμμή), οι οποίοι είτε εξηγούν τη σημασία των δεικτών, (για παράδειγμα, λ c - γραμμική συρρίκνωση, G T - θεωρητική μάζαχυτά, C f - η πραγματική μάζα της χύτευσης). ή υποδεικνύουν μαθηματικές πράξεις (για παράδειγμα, x 2, y 3, z -2, κ.λπ.). ή αναφέρετε τον αριθμό των ατόμων στο μόριο και τον αριθμό των φορτίων ιόντων μέσα χημικούς τύπους(για παράδειγμα, CH 4). Στους τύπους, υπάρχουν και δείκτες σε δείκτες: εκθέτης σε εκθέτη - εκθέτης υπερδείκτης, δείκτης σε εκθέτη - εκθέτης υποδείκτης, εκθέτης σε δείκτη - χαμηλότερος υπερευρετήριο και δείκτης δείκτης - χαμηλότερος υποδείκτης.

Σημάδια μαθηματικών πράξεων και αναλογιών - πρόσθεση "+", αφαίρεση "-", ισότητα "=", πολλαπλασιασμός "x"; η δράση διαίρεσης υποδεικνύεται από έναν οριζόντιο χάρακα, ο οποίος θα ονομάζεται κλασματικός ή διαχωριστικός χάρακας.

(9.12)

Κύρια γραμμή- μια γραμμή στην οποία τοποθετούνται τα κύρια σημάδια των μαθηματικών πράξεων και αναλογιών.

Ταξινόμηση τύπου.

Μαθηματικοί τύποιχωρίζονται ανάλογα με την πολυπλοκότητα του συνόλου, ανάλογα με τη σύνθεση του τύπου (μονής γραμμής, δύο γραμμών, πολλών γραμμών) και τον κορεσμό του με διάφορα μαθηματικά σημάδια και σύμβολα, δείκτες, υποδείκτες, υπερδείκτες και επιθέματα. Σύμφωνα με την πολυπλοκότητα του συνόλου, όλοι οι μαθηματικοί τύποι μπορούν να χωριστούν υπό όρους σε τέσσερις κύριες ομάδες και μία πρόσθετη:

1 ομάδα. Τύποι μονής γραμμής (9.13-9.16);

2 ομάδα. Τύποι δύο γραμμών (9.17-9.19). Στην πραγματικότητα, αυτά τα f-ly αποτελούνται από 3 γραμμές.

3η ομάδα. Τύποι τριών γραμμών (9,20-9,23). Στην πραγματικότητα, αυτά τα f-ly αποτελούνται από 5 γραμμές.

4 ομάδα. Τύποι πολλαπλών γραμμών (9.24-9.26);

Επιπλέον γκρουπ (9.27-9.29).

Κατά την κατανομή τύπων σε ομάδες πολυπλοκότητας, ελήφθησαν υπόψη η πολυπλοκότητα της πληκτρολόγησης και ο χρόνος που αφιερώθηκε στην πληκτρολόγηση.

II ομάδα. Τύποι δύο γραμμών:

(9.29)

Κανόνες πληκτρολόγησης μαθηματικών τύπων.

Κατά την πληκτρολόγηση μαθηματικού κειμένου, πρέπει να τηρούνται οι ακόλουθοι βασικοί κανόνες.

Καντράν αριθμοίσε τύπους ρωμαϊκού τύπου, για παράδειγμα 2ax; ΖΩΟΛΟΓΙΚΟΣ ΚΗΠΟΣ.

Συντετμημένοι τριγωνομετρικοί και μαθηματικοί όροι, για παράδειγμα sin, cos, tg, ctg, arcsin. Ig, limκ.λπ., πληκτρολογήστε γραμματοσειρά Λατινικό αλφάβητοευθύ φως περίγραμμα.

Συντομευμένες λέξεις στο ευρετήριοπληκτρολογήστε σε ρωσικό ρωμαϊκό τύπο στην κάτω γραμμή.

Συντομογραφίες για φυσικές, μετρικές και μηχανικές μονάδες, που υποδεικνύεται με τα γράμματα του ρωσικού αλφαβήτου, πληκτρολογήστε το κείμενο σε απλό τύπο χωρίς τελείες, για παράδειγμα 127 V, 20 kW. Τα ίδια ονόματα, που υποδεικνύονται με τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, θα πρέπει επίσης να πληκτρολογούνται με ρωμαϊκό τύπο χωρίς τελείες, για παράδειγμα 120 V, 20 kWεκτός αν αναφέρεται διαφορετικά στο πρωτότυπο.

Σύμβολα (ή αριθμοί και σύμβολα), ακολουθώντας το ένα μετά το άλλο και χωρίς χαρακτήρες, καλέστε χωρίς διάλειμμα, για παράδειγμα 2xy; 4 ετών.

Σημεία στίξηςσε τύπους, πληκτρολογήστε γραμματοσειρά άμεσου φωτός. Τα κόμματα μέσα στον τύπο πρέπει να διαχωρίζονται από το επόμενο στοιχείο του τύπου με 3 σελ.; το κόμμα δεν διαχωρίζεται από το προηγούμενο στοιχείο του τύπου. από τον προηγούμενο δείκτη, το κόμμα σβήνει με 1 σελ.

έλλειψηστην κάτω γραμμή, καλέστε με κουκκίδες, χωρισμένες σε μισές καρφίτσες. Από τα προηγούμενα και τα επόμενα στοιχεία του τύπου, τα σημεία θα πρέπει επίσης να κοπούν με μια μισή καρφίτσα, για παράδειγμα:

(9.30)

Σύμβολα(ή αριθμοί και σύμβολα) που ακολουθούν το ένα μετά το άλλο, μην διαχωρίζονται, αλλά πληκτρολογούν χωρίς διάλειμμα.

Σημάδια μαθηματικών πράξεων και αναλογιών, καθώς και σημάδια γεωμετρικών εικόνων, όπως, = ,< ,> , + , - , ξεπεράστε τα προηγούμενα και τα επόμενα στοιχεία του τύπου κατά 2 p

Συντομευμένοι μαθηματικοί όροινικήστε από τα προηγούμενα και τα επόμενα στοιχεία του τύπου κατά 2 p.

Εκθέτης, ακολουθώντας αμέσως μετά τον μαθηματικό όρο, πληκτρολογήστε κοντά του και κάντε διάλειμμα μετά τον εκθέτη.

Γράμματα "d" (που σημαίνει "διαφορικό"), δ (με την έννοια της «μερικής παραγώγου») και Δ (με την έννοια της «αύξησης») αποκλίνουν από το προηγούμενο στοιχείο του τύπου κατά 2 σελ., από το επόμενο σύμβολο υποδεικνυόμενα σημάδιαμην αντεπιτεθείτε.

Συντομευμένες ονομασίες φυσικών και τεχνικών μονάδων μέτρησηςκαι μετρικά μέτρα σε τύπους, νικήστε κατά 3 πόντους από τους αριθμούς και τα σύμβολα στα οποία αναφέρονται.

Σημάδια ° , " , " νικούν από τον επόμενο χαρακτήρα (ή αριθμό) κατά 2 πόντους, οι χαρακτήρες που υποδεικνύονται δεν σβήνουν από τον προηγούμενο χαρακτήρα.

Σημεία στίξης σύμφωνα με έναν τύπο, μην το ξεφορτωθείτε.

Σειρά εκροώνσε τύπους, πληκτρολογούνται σε τελείες, χρησιμοποιώντας μια μισή καρφίτσα μεταξύ τους.

Οι τύποι που πληκτρολογήθηκαν στην επιλογή με το κείμενο, ξεπερνούν τα προηγούμενα και τα επόμενα κείμενα ημι-καρφίτσας. αυτή η επένδυση δεν μειώνεται, αλλά αυξάνεται όταν η γραμμή είναι απενεργοποιημένη. Απενεργοποιήστε επίσης τους τύπους που ακολουθούν ο ένας μετά τον άλλο στην επιλογή με το κείμενο.

Πολλές φόρμουλες τοποθετημένες σε μία γραμμή, απενεργοποιημένες στο κέντρο, χτυπούν η μία την άλλη με ένα διάστημα όχι μικρότερο από μια καρφίτσα και όχι περισσότερο από 1/2 τετράγωνο.

Οι μικροί επεξηγηματικοί τύποι, που πληκτρολογούνται στην ίδια γραμμή με τον κύριο τύπο, θα πρέπει να απενεργοποιούνται στη δεξιά άκρη της γραμμής ή να τοποθετούνται με δύο καρφίτσες από την κύρια έκφραση (εκτός εάν αναφέρεται διαφορετικά στο πρωτότυπο).

Τακτικοί αριθμοίτύπους, πληκτρολογήστε αριθμούς του ίδιου μεγέθους με τους τύπους μιας γραμμής και απενεργοποιήστε το προς τα δεξιά, για παράδειγμα:

Χ+Υ=2 (9.31)

Εάν ο τύπος δεν ταιριάζει στη μορφή γραμμής και δεν μπορεί να μεταφερθεί, επιτρέπεται η πληκτρολόγηση σε μικρότερο μέγεθος.

Ο συλλαβισμός στους τύπους είναι ανεπιθύμητος. Για να αποφευχθεί ο συλλαβισμός, επιτρέπεται η μείωση των διαστημάτων μεταξύ των στοιχείων του τύπου. Εάν με τη μείωση των διαστημάτων δεν είναι δυνατό να φέρετε τον τύπο στην επιθυμητή μορφή γραμμής, τότε επιτρέπονται οι παύλες:

1) σχετικά με τα σημάδια της σχέσης μεταξύ του αριστερού και σωστά μέρηΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι ( = ,>,< );

2) σε σημεία πρόσθεσης ή αφαίρεσης (+, - );

3) στα ζώδια του πολλαπλασιασμού (x). Σε αυτήν την περίπτωση, η επόμενη γραμμή αρχίζει με το πρόσημο στο οποίο τελείωσε ο τύπος στην προηγούμενη γραμμή. Κατά τη μεταφορά τύπων, είναι απαραίτητο να διασφαλιστεί ότι το μεταφερόμενο μέρος δεν είναι πολύ μικρό, οι εκφράσεις που περικλείονται σε αγκύλες, οι εκφράσεις που σχετίζονται με τα σημάδια της ρίζας, του ολοκληρώματος, του αθροίσματος δεν είναι σπασμένα. δεν επιτρέπεται η διαίρεση δεικτών, εκθετών, κλασμάτων.

Σε αριθμημένους τύπους, ο αριθμός του τύπου, σε περίπτωση μεταφοράς του, τοποθετείται στο επίπεδο της κεντρικής γραμμής του μεταφερόμενου τμήματος του τύπου. Εάν η σειριακή αρίθμηση δεν ταιριάζει στη γραμμή, τοποθετείται στην επόμενη και απενεργοποιείται στη δεξιά άκρη. Οι τύποι, ο αριθμητής ή ο παρονομαστής των οποίων δεν ταιριάζει στην καθορισμένη μορφή συνόλου, πληκτρολογούνται με γραμματοσειρά μικρότερου μεγέθους ή με γραμματοσειρά ίδιου μεγέθους, αλλά σε δύο γραμμές με παύλα.

Εάν κατά τη μεταφορά του τύπου σπάσει ο διαχωριστικός χάρακας ή ο χάρακας της ρίζας, τότε ο τόπος σπασίματος κάθε χάρακα υποδεικνύεται με βέλη.

Τα βέλη δεν μπορούν να τοποθετηθούν κοντά σε μαθηματικά σύμβολα.

Χωρίς περαιτέρω καθυστέρηση, ορίστε:

Συνήθως ονομάζεται ταυτότητα Euler από τον μεγάλο Ελβετό μαθηματικό Leonhard Euler (1707-1783). Μπορεί να το δει κανείς σε μπλουζάκια και κούπες καφέ και αρκετές δημοσκοπήσεις μεταξύ μαθηματικών και φυσικών το έχουν τιμήσει με τον τίτλο της «μεγαλύτερης εξίσωσης» (Crease, Robert P., «The best equations ever»).

Η αίσθηση της ομορφιάς και της κομψότητας της ταυτότητας προέρχεται από το γεγονός ότι συνδυάζει σε μια απλή μορφή τα πέντε περισσότερα σημαντικούς αριθμούςμαθηματικές σταθερές: - βάση φυσικός λογάριθμος, — Τετραγωνική ρίζααπό και . Κοιτώντας το προσεκτικά, οι περισσότεροι άνθρωποι σκέφτονται τον εκθέτη: τι σημαίνει να ανεβάζεις έναν αριθμό σε μια φανταστική δύναμη; Υπομονή, υπομονή, θα φτάσουμε εκεί.

Για να εξηγήσουμε από πού προέρχεται αυτός ο τύπος, πρέπει πρώτα να λάβουμε τον γενικότερο τύπο που βρήκε ο Euler και στη συνέχεια να δείξουμε ότι η ισότητά μας είναι απλώς μια ειδική περίπτωση αυτού του τύπου. Γενικός τύποςκαταπληκτικό από μόνο του και έχει πολλές υπέροχες εφαρμογές στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική.

Το πρώτο βήμα στο ταξίδι μας είναι να κατανοήσουμε ότι οι περισσότερες συναρτήσεις στα μαθηματικά μπορούν να αναπαρασταθούν ως άπειρο άθροισμααπό τις δυνάμεις του επιχειρήματος. Αυτό είναι ένα παράδειγμα:

Μετριέται σε ακτίνια, όχι σε μοίρες. Μπορούμε να πάρουμε μια καλή προσέγγιση για μια συγκεκριμένη τιμή του , χρησιμοποιώντας μόνο τους πρώτους όρους της σειράς. Αυτό είναι ένα παράδειγμα μιας σειράς Taylor και είναι αρκετά εύκολο να εξαχθεί αυτός ο τύπος χρησιμοποιώντας λογισμό. Εδώ δεν υποθέτω γνώση μαθηματική ανάλυσηγι' αυτό ζητώ από τον αναγνώστη να το πάρει με πίστη.

Ο αντίστοιχος τύπος για το συνημίτονο είναι:

Ο αριθμός είναι μια σταθερά ίση με , και ο Euler ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε τη θεμελιώδη σημασία του στα μαθηματικά και συνήγαγε τον τελευταίο τύπο (οι δύο προηγούμενοι βρέθηκαν από τον Isaac Newton). Έχουν γραφτεί βιβλία για τον αριθμό (για παράδειγμα, Maor, E. (1994). ε, η ιστορία ενός αριθμού. πανεπιστήμιο Πρίνσετον Press), μπορείτε επίσης να διαβάσετε για αυτόν.

Γύρω στο 1740, ο Euler εξέτασε αυτούς τους τρεις τύπους, διατεταγμένους κατά προσέγγιση όπως τους βλέπουμε εδώ. Είναι αμέσως σαφές ότι κάθε όρος στον τρίτο τύπο εμφανίζεται και σε οποιονδήποτε προηγούμενο. Ωστόσο, οι μισοί όροι στις πρώτες ισότητες είναι αρνητικοί, ενώ κάθε όρος στην τελευταία είναι θετικός. Οι περισσότεροι άνθρωποι θα το είχαν αφήσει έτσι, αλλά ο Euler είδε ένα μοτίβο σε όλα αυτά. Ήταν ο πρώτος που πρόσθεσε τους δύο πρώτους τύπους:

Δώστε προσοχή στην ακολουθία των χαρακτήρων αυτής της σειράς: , επαναλαμβάνεται σε ομάδες των 4. Ο Euler παρατήρησε ότι η ίδια ακολουθία χαρακτήρων προκύπτει όταν ανεβάζουμε τη φανταστική μονάδα σε ακέραιες δυνάμεις:

Αυτό σήμαινε ότι μπορείτε να αντικαταστήσετε στον τελευταίο τύπο και να λάβετε:

Τώρα τα πρόσημα αντιστοιχούν στα πρόσημα στον προηγούμενο τύπο και η νέα σειρά είναι ίδια με την προηγούμενη, με τη διαφορά ότι οι όροι επέκτασης πολλαπλασιάζονται με . Δηλαδή παίρνουμε ακριβώς

Αυτό είναι ένα εκπληκτικό και μυστηριώδες αποτέλεσμα, υποδηλώνει την ύπαρξη στενής σχέσης μεταξύ του αριθμού και των ημιτόνων και των συνημιτόνων στην τριγωνομετρία, αν και ήταν γνωστό μόνο από προβλήματα που δεν σχετίζονται με τη γεωμετρία ή τα τρίγωνα. Εκτός όμως από την κομψότητα και την παραξενιά του, θα ήταν δύσκολο να υπερεκτιμηθεί η σημασία αυτού του τύπου στα μαθηματικά, που έχει αυξηθεί από την ανακάλυψή του. Εμφανίζεται παντού και πρόσφατα δημοσιεύτηκε ένα βιβλίο περίπου 400 σελίδων (Nahin P. Dr. Euler's Fabulous Formula, 2006) που περιγράφει μερικές από τις εφαρμογές αυτής της φόρμουλας.

Σημειώστε ότι η παλιά ερώτηση σχετικά με τους φανταστικούς εκθέτες έχει πλέον επιλυθεί: για να αυξήσετε σε μια φανταστική δύναμη, απλώς βάλτε τον φανταστικό αριθμό στον τύπο του Euler. Εάν η βάση είναι αριθμός διαφορετικός από το , απαιτείται μόνο μια μικρή τροποποίηση.