Το θεώρημα του Bayes είναι η θεωρία της πιθανότητας ενός γεγονότος. Μια απλή εξήγηση του θεωρήματος του Bayes

Κατά την εξαγωγή του τύπου πλήρη πιθανότηταη εκδήλωση έπρεπε να ΑΛΛΑ, η πιθανότητα του οποίου επρόκειτο να προσδιοριστεί, θα μπορούσε να συμβεί σε ένα από τα γεγονότα H 1 , Ν 2 , ... , H n, σχηματίζοντας μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων συμβάντων κατά ζεύγη. Ταυτόχρονα, οι πιθανότητες καθορισμένα γεγονότα(υποθέσεις) ήταν γνωστές εκ των προτέρων. Ας υποθέσουμε ότι έχει γίνει ένα πείραμα, ως αποτέλεσμα του οποίου το συμβάν ΑΛΛΑέχει έρθει. Αυτό Επιπλέον πληροφορίεςσας επιτρέπει να επαναξιολογήσετε τις πιθανότητες των υποθέσεων Γεια ,έχοντας υπολογίσει Ρ(Η i/Α).

ή, χρησιμοποιώντας τον τύπο συνολικής πιθανότητας, παίρνουμε

Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος Bayes ή θεώρημα υπόθεσης. Ο τύπος του Bayes σάς επιτρέπει να "αναθεωρήσετε" τις πιθανότητες των υποθέσεων αφού γίνει γνωστό αποτέλεσμαεμπειρία που προέκυψε στην εκδήλωση ΑΛΛΑ.

Πιθανότητες Р(Н i)είναι οι a priori πιθανότητες των υποθέσεων (υπολογίστηκαν πριν από το πείραμα). Οι πιθανότητες P(H i /A)είναι οι εκ των υστέρων πιθανότητες των υποθέσεων (υπολογίζονται μετά το πείραμα). Ο τύπος Bayes σάς επιτρέπει να υπολογίσετε τις μεταγενέστερες πιθανότητες από τις προηγούμενες πιθανότητες και από τις υπό όρους πιθανότητες του γεγονότος ΑΛΛΑ.

Παράδειγμα. Είναι γνωστό ότι το 5% όλων των ανδρών και το 0,25% όλων των γυναικών έχουν αχρωματοψία. Ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία με τον αριθμό της ιατρικής κάρτας πάσχει από αχρωματοψία. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι άντρας;

Λύση. Εκδήλωση ΑΛΛΑΤο άτομο είναι αχρωματοψία. Ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων για το πείραμα - ένα άτομο επιλέγεται από τον αριθμό της ιατρικής κάρτας - Ω = ( H 1 , Ν 2 ) αποτελείται από 2 συμβάντα:

H 1 - επιλέγεται ένας άνδρας,

H 2 - επιλέγεται μια γυναίκα.

Αυτά τα γεγονότα μπορούν να επιλεγούν ως υποθέσεις.

Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος (τυχαία επιλογή), οι πιθανότητες αυτών των γεγονότων είναι ίδιες και ίσες με P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

Σε αυτή την περίπτωση, οι υπό όρους πιθανότητες να πάσχει ένα άτομο από αχρωματοψία είναι ίσες, αντίστοιχα:

ΤΗΓΑΝΙ 1 ) = 0.05 = 1/20; ΤΗΓΑΝΙ 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Εφόσον είναι γνωστό ότι το επιλεγμένο άτομο είναι αχρωματοψία, δηλ. έχει συμβεί το συμβάν, χρησιμοποιούμε τον τύπο Bayes για να επαναξιολογήσουμε την πρώτη υπόθεση:

Παράδειγμα.Υπάρχουν τρία πανομοιότυπα κουτιά. Το πρώτο κουτί περιέχει 20 άσπρες μπάλες, το δεύτερο κουτί περιέχει 10 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες και το τρίτο κουτί περιέχει 20 μαύρες μπάλες. Μια λευκή μπάλα τραβιέται από ένα κουτί που επιλέγεται τυχαία. Υπολογίστε την πιθανότητα να τραβηχτεί η μπάλα από το πρώτο κουτί.

Λύση. Σημειώστε με ΑΛΛΑεκδήλωση – εμφάνιση λευκή μπάλα. Τρεις υποθέσεις (υποθέσεις) μπορούν να γίνουν σχετικά με την επιλογή του πλαισίου: H 1 ,H 2 , H 3 - επιλογή του πρώτου, του δεύτερου και του τρίτου κουτιού, αντίστοιχα.

Εφόσον η επιλογή οποιουδήποτε από τα πλαίσια είναι εξίσου δυνατή, οι πιθανότητες των υποθέσεων είναι οι ίδιες:

P(H 1 )=Ρ(Η 2 )=Ρ(Η 3 )= 1/3.

Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, η πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από το πρώτο κουτί

Πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από το δεύτερο κουτί

Πιθανότητα να τραβήξετε μια λευκή μπάλα από το τρίτο κουτί

Βρίσκουμε την επιθυμητή πιθανότητα χρησιμοποιώντας τον τύπο Bayes:

Επανάληψη δοκιμών. Φόρμουλα Bernoulli.

Υπάρχουν n δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες το συμβάν Α μπορεί να συμβεί ή όχι, και η πιθανότητα του συμβάντος Α σε κάθε μεμονωμένη δοκιμή είναι σταθερή, δηλ. δεν αλλάζει από εμπειρία σε εμπειρία. Γνωρίζουμε ήδη πώς να βρούμε την πιθανότητα ενός συμβάντος Α σε ένα πείραμα.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η πιθανότητα εμφάνισης ορισμένου αριθμού φορές (m φορές) του γεγονότος Α σε n πειράματα. τέτοια προβλήματα επιλύονται εύκολα εάν τα τεστ είναι ανεξάρτητα.

Def.Καλούνται αρκετές δοκιμές ανεξάρτητη σε σχέση με την εκδήλωση Α αν η πιθανότητα του συμβάντος Α σε καθένα από αυτά δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα άλλων πειραμάτων.

Η πιθανότητα P n (m) της εμφάνισης του γεγονότος A ακριβώς m φορές (μη εμφάνιση n-m φορές, συμβάν ) σε αυτές τις n δοκιμές. Το συμβάν Α εμφανίζεται σε μια ποικιλία ακολουθιών m φορές).

- Η φόρμουλα του Μπερνούλι.

Οι παρακάτω τύποι είναι προφανείς:

P n (m πιο λιγο k φορές σε n δοκιμές.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α περισσότερο k φορές σε n δοκιμές.

Φόρμουλα Bayes

Θεώρημα Bayes- ένα από τα κύρια θεωρήματα της στοιχειώδους θεωρίας πιθανοτήτων, το οποίο καθορίζει την πιθανότητα ενός γεγονότος να συμβεί υπό συνθήκες όπου είναι γνωστές μόνο μερικές μερικές πληροφορίες σχετικά με γεγονότα με βάση παρατηρήσεις. Σύμφωνα με τον τύπο Bayes, είναι δυνατός ο ακριβέστερος επανυπολογισμός της πιθανότητας, λαμβάνοντας υπόψη τόσο τις προηγουμένως γνωστές πληροφορίες όσο και τα δεδομένα από νέες παρατηρήσεις.

«Φυσική έννοια» και ορολογία

Ο τύπος του Bayes σάς επιτρέπει να "αναδιατάξετε την αιτία και το αποτέλεσμα": σύμφωνα με γνωστό γεγονόςγεγονός για τον υπολογισμό της πιθανότητας ότι προκλήθηκε από μια δεδομένη αιτία.

Γεγονότα που αντικατοπτρίζουν τη δράση των «αιτιών» σε αυτή η υπόθεσηκοινώς αποκαλούμενος υποθέσεις, επειδή είναι υποτιθεμένοςτα γεγονότα που οδήγησαν σε αυτήν. Η άνευ όρων πιθανότητα εγκυρότητας μιας υπόθεσης ονομάζεται εκ των προτέρων(Πόσο πιθανή είναι η αιτία; γενικά), και υπό όρους - λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός του γεγονότος - εκ των υστέρων(Πόσο πιθανή είναι η αιτία; αποδείχθηκε ότι έλαβε υπόψη τα δεδομένα του συμβάντος).

Συνέπεια

Μια σημαντική συνέπεια του τύπου Bayes είναι ο τύπος για τη συνολική πιθανότητα ενός γεγονότος ανάλογα με αρκετάασυνεπείς υποθέσεις ( και μόνο από αυτούς!).

- την πιθανότητα να συμβεί το συμβάν σι, ανάλογα με μια σειρά υποθέσεων ΕΝΑ Εγώεάν οι βαθμοί αξιοπιστίας αυτών των υποθέσεων είναι γνωστοί (για παράδειγμα, μετρήθηκαν πειραματικά).

Παραγωγή τύπου

Εάν ένα συμβάν εξαρτάται μόνο από αιτίες ΕΝΑ Εγώ, τότε αν συνέβη, σημαίνει ότι συνέβησαν αναγκαστικά κάποιοι από τους λόγους, δηλ.

Με τη φόρμουλα Bayes

ΜΕΤΑΦΟΡΑ Π(σι) στα δεξιά, λαμβάνουμε την επιθυμητή έκφραση.

Μέθοδος φιλτραρίσματος ανεπιθύμητων μηνυμάτων

Μια μέθοδος που βασίζεται στο θεώρημα του Bayes έχει εφαρμοστεί με επιτυχία στο φιλτράρισμα ανεπιθύμητων μηνυμάτων.

Περιγραφή

Κατά την εκπαίδευση του φίλτρου, για κάθε λέξη που συναντάται με γράμματα, υπολογίζεται και αποθηκεύεται το "βάρος" του - η πιθανότητα ένα γράμμα με αυτήν τη λέξη να είναι ανεπιθύμητο (στην απλούστερη περίπτωση, από κλασικός ορισμόςπιθανότητες: "εμφανίσεις σε spam / εμφανίσεις των πάντων").

Κατά τον έλεγχο μιας επιστολής που έφτασε πρόσφατα, η πιθανότητα να είναι ανεπιθύμητη υπολογίζεται σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο για ένα σύνολο υποθέσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, οι "υποθέσεις" είναι λέξεις και για κάθε λέξη "αξιοπιστία της υπόθεσης" -% αυτής της λέξης στο γράμμα και "εξάρτηση του γεγονότος από την υπόθεση" Π(σι | ΕΝΑ Εγώ) - προηγουμένως υπολογισμένο «βάρος» της λέξης. Δηλαδή, το «βάρος» του γράμματος σε αυτή την περίπτωση δεν είναι παρά το μέσο «βάρος» όλων των λέξεων του.

Ένα γράμμα ταξινομείται ως "spam" ή "non-spam" ανάλογα με το εάν το "βάρος" του υπερβαίνει μια συγκεκριμένη γραμμή που έχει ορίσει ο χρήστης (συνήθως παίρνουν 60-80%). Μετά τη λήψη απόφασης για ένα γράμμα, τα «βαρίδια» για τις λέξεις που περιλαμβάνονται σε αυτό ενημερώνονται στη βάση δεδομένων.

Χαρακτηριστικό γνώρισμα

Αυτή η μέθοδος είναι απλή (οι αλγόριθμοι είναι στοιχειώδεις), βολική (σας επιτρέπει να κάνετε χωρίς "μαύρες λίστες" και παρόμοια τεχνητά κόλπα), αποτελεσματική (μετά την προπόνηση αρκετά μεγάλο δείγμακόβει έως και 95-97% των ανεπιθύμητων μηνυμάτων και σε περίπτωση σφαλμάτων μπορεί να επανεκπαιδευτεί). Γενικά, υπάρχουν όλες οι ενδείξεις για την ευρεία χρήση του, κάτι που συμβαίνει στην πράξη - σχεδόν όλα τα σύγχρονα φίλτρα ανεπιθύμητης αλληλογραφίας είναι κατασκευασμένα στη βάση του.

Ωστόσο, η μέθοδος έχει επίσης ένα βασικό μειονέκτημα: αυτό με βάση την υπόθεση, τι Ορισμένες λέξεις είναι πιο κοινές στα ανεπιθύμητα μηνύματα, ενώ άλλες είναι πιο κοινές στα κανονικά μηνύματα ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, και είναι αναποτελεσματικό εάν αυτή η υπόθεση είναι εσφαλμένη. Ωστόσο, όπως δείχνει η πρακτική, ακόμη και ένα άτομο δεν είναι σε θέση να προσδιορίσει τέτοιο spam "με το μάτι" - μόνο αφού διαβάσει την επιστολή και κατανοήσει το νόημά της.

Ένα άλλο, όχι θεμελιώδες, μειονέκτημα που σχετίζεται με την υλοποίηση - η μέθοδος λειτουργεί μόνο με κείμενο. Γνωρίζοντας για αυτόν τον περιορισμό, οι spammers άρχισαν να βάζουν διαφημιστικές πληροφορίες στην εικόνα, ενώ το κείμενο στην επιστολή είτε απουσιάζει είτε δεν έχει νόημα. Ενάντια σε αυτό, πρέπει κανείς να χρησιμοποιήσει είτε τα εργαλεία αναγνώρισης κειμένου (μια «δαπανηρή» διαδικασία, χρησιμοποιείται μόνο όταν επείγον), ή παλιές μεθόδους φιλτραρίσματος - "μαύρες λίστες" και κανονικές εκφράσεις (καθώς τέτοια γράμματα έχουν συχνά στερεότυπη μορφή).

δείτε επίσης

Σημειώσεις

Συνδέσεις

Βιβλιογραφία

Byrd Kiwi. Θεώρημα του Rev. Bayes. // Περιοδικό Computerra, 24 Αυγούστου 2001
Πολ Γκράχαμ. Ένα σχέδιο για ανεπιθύμητα μηνύματα. // Προσωπική ιστοσελίδα του Paul Graham.

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι η "φόρμουλα Bayes" σε άλλα λεξικά:

Ένας τύπος που μοιάζει με: όπου τα a1, A2, ..., An είναι ασύμβατα γεγονότα, Το γενικό σχήμα για την εφαρμογή του F. in. ζ.: αν το συμβάν Β μπορεί να συμβεί σε αποσυμπ. συνθήκες υπό τις οποίες γίνονται n υποθέσεις A1, A2, ..., An με πιθανότητες P (A1), ... γνωστές πριν από το πείραμα, ... ... Γεωλογική Εγκυκλοπαίδεια

Σας επιτρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός γεγονότος που σας ενδιαφέρει μέσω των υπό όρους πιθανοτήτων αυτού του γεγονότος, υποθέτοντας ορισμένες υποθέσεις, καθώς και τις πιθανότητες αυτών των υποθέσεων. Σκεύασμα Αφήστε το να είναι χώρο πιθανοτήτων, και η πλήρης ομάδα σε ζευγάρια ... ... Wikipedia

Σας επιτρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ενός γεγονότος που σας ενδιαφέρει μέσω των υπό όρους πιθανοτήτων αυτού του γεγονότος, υποθέτοντας ορισμένες υποθέσεις, καθώς και τις πιθανότητες αυτών των υποθέσεων. Διατύπωση Ας δοθεί ένας χώρος πιθανότητας και μια πλήρης ομάδα γεγονότων, όπως ... ... Wikipedia

- (ή τύπος του Bayes) ένα από τα κύρια θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την πιθανότητα να έχει συμβεί ένα γεγονός (υπόθεση) παρουσία μόνο έμμεσων στοιχείων (δεδομένων) που μπορεί να είναι ανακριβή ... Wikipedia

Το θεώρημα του Bayes είναι ένα από τα κύρια θεωρήματα στοιχειώδης θεωρίαπιθανότητα, η οποία καθορίζει την πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν υπό συνθήκες όπου είναι γνωστές μόνο μερικές μερικές πληροφορίες σχετικά με τα γεγονότα με βάση τις παρατηρήσεις. Σύμφωνα με τον τύπο Bayes, μπορείτε να ... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Ημερομηνία γέννησης: 1702 (1702) Τόπος γέννησης ... Wikipedia

Thomas Bayes Reverend Thomas Bayes Ημερομηνία γέννησης: 1702 (1702) Τόπος γέννησης: Λονδίνο ... Wikipedia

Το συμπέρασμα Bayes είναι μία από τις μεθόδους στατιστικής εξαγωγής συμπερασμάτων, στην οποία ο τύπος Bayes χρησιμοποιείται για να βελτιώσει τις πιθανολογικές εκτιμήσεις της αλήθειας των υποθέσεων όταν φθάνουν στοιχεία. Η χρήση της Bayesian ενημέρωσης είναι ιδιαίτερα σημαντική στη ... ... Wikipedia

Θα θέλατε να βελτιώσετε αυτό το άρθρο;: Βρείτε και παρέχετε υποσημειώσεις για παραπομπές σε έγκυρες πηγές που επιβεβαιώνουν όσα έχουν γραφτεί. Κάνοντας υποσημειώσεις, κάντε πιο ακριβείς ενδείξεις των πηγών. Pere ... Wikipedia

Οι κρατούμενοι θα προδώσουν ο ένας τον άλλον ακολουθώντας τα δικά τους εγωιστικά συμφέροντα ή θα παραμείνουν σιωπηλοί, ελαχιστοποιώντας έτσι γενικός όρος? Prisoner's dilemma (Eng. Prisoner's dilemma, το όνομα "δίλημμα" χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά ... Wikipedia

Βιβλία

Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική σε Προβλήματα: Περισσότερα από 360 Προβλήματα και Ασκήσεις, Borzykh D. Το προτεινόμενο εγχειρίδιο περιέχει προβλήματα διαφόρων επιπέδων πολυπλοκότητας. Ωστόσο, η εστίαση είναι στα καθήκοντα μέτριας δυσκολίας. Αυτό γίνεται σκόπιμα για να ενθαρρύνει τους μαθητές να…

Το θεώρημα του Bayes περιγράφεται λεπτομερώς σε ξεχωριστό άρθρο. Αυτό είναι ένα υπέροχο έργο, αλλά έχει 15.000 λέξεις. Η ίδια η ουσία του θεωρήματος εξηγείται εν συντομία στην ίδια μετάφραση του άρθρου από τον Kalid Azad.

Τα αποτελέσματα της έρευνας και των δοκιμών δεν είναι γεγονότα.Υπάρχει μια μέθοδος για τη διάγνωση του καρκίνου, αλλά υπάρχει το ίδιο το γεγονός - η παρουσία της νόσου. Ο αλγόριθμος ελέγχει εάν το μήνυμα περιέχει ανεπιθύμητο περιεχόμενο, αλλά το συμβάν (το ανεπιθύμητο περιεχόμενο ήρθε πραγματικά στο ταχυδρομείο) πρέπει να ληφθεί υπόψη ξεχωριστά από το αποτέλεσμα της εργασίας του.
Υπάρχουν σφάλματα στα αποτελέσματα των δοκιμών.Συχνά οι ερευνητικές μας μέθοδοι αποκαλύπτουν τι δεν είναι (ψευδώς θετικό) και δεν αποκαλύπτουν τι είναι (ψευδώς αρνητικό).
Με τη βοήθεια δοκιμών, παίρνουμε τις πιθανότητες ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος.Πολύ συχνά εξετάζουμε τα αποτελέσματα των δοκιμών από μόνα τους και δεν λαμβάνουμε υπόψη τα σφάλματα μεθόδου.
Τα ψευδώς θετικά αποτελέσματα παραμορφώνουν την εικόνα.Ας υποθέσουμε ότι προσπαθείτε να εντοπίσετε κάποιο πολύ σπάνιο φαινόμενο (1 στα 1.000.000). Ακόμα κι αν η μέθοδός σας είναι ακριβής, είναι πιθανό το θετικό της αποτέλεσμα να είναι στην πραγματικότητα ψευδώς θετικό.
Είναι πιο βολικό να εργάζεστε με φυσικούς αριθμούς.Καλύτερα να πούμε: 100 στα 10.000, όχι 1%. Με αυτήν την προσέγγιση, θα υπάρχουν λιγότερα σφάλματα, ειδικά κατά τον πολλαπλασιασμό. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να δουλέψουμε περαιτέρω σε αυτό το 1%. Η συλλογιστική σε ποσοστά είναι αδέξια: «στο 80% των περιπτώσεων από το 1% είχε θετική έκβαση». Η πολύ πιο εύκολη πληροφόρηση γίνεται αντιληπτή ως εξής: «σε 80 περιπτώσεις από τις 100 παρατηρήθηκε θετική έκβαση».
Ακόμη και στην επιστήμη, κάθε γεγονός είναι απλώς το αποτέλεσμα της εφαρμογής κάποιας μεθόδου.Από φιλοσοφική άποψη επιστημονικό πείραμαείναι απλώς μια δοκιμή με πιθανό σφάλμα. Υπάρχει μια μέθοδος που Χημική ουσίαή κάποιο φαινόμενο, και υπάρχει το ίδιο το γεγονός - η παρουσία αυτού του φαινομένου. Οι μέθοδοι δοκιμών μας μπορούν να δώσουν ένα ψευδές αποτέλεσμα και οποιοσδήποτε εξοπλισμός έχει εγγενές σφάλμα.

Το θεώρημα του Bayes μετατρέπει τα αποτελέσματα των δοκιμών σε πιθανότητες γεγονότων.

Εάν γνωρίζουμε την πιθανότητα ενός γεγονότος και την πιθανότητα ψευδώς θετικών και ψευδώς αρνητικών, μπορούμε να διορθώσουμε τα σφάλματα μέτρησης.
Το θεώρημα συσχετίζει την πιθανότητα ενός γεγονότος με την πιθανότητα ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος. Μπορούμε να συσχετίσουμε Pr(A|X): την πιθανότητα ενός γεγονότος A δεδομένου του αποτελέσματος X, και Pr(X|A): την πιθανότητα ενός αποτελέσματος X δεδομένου ενός γεγονότος Α.

Κατανόηση της μεθόδου

Το άρθρο που αναφέρεται στην αρχή αυτού του δοκιμίου εξετάζει τη διαγνωστική μέθοδο (μαστογραφία) που ανιχνεύει τον καρκίνο του μαστού. Ας εξετάσουμε λεπτομερώς αυτή τη μέθοδο.

Το 1% όλων των γυναικών έχει καρκίνο του μαστού (και, κατά συνέπεια, το 99% δεν αρρωσταίνει)
Το 80% των μαστογραφιών ανιχνεύει την ασθένεια όταν είναι πραγματικά (και, κατά συνέπεια, το 20% δεν ανιχνεύει)
Το 9,6% των μελετών ανιχνεύει καρκίνο όταν δεν υπάρχει (και επομένως το 90,4% αναφέρει σωστά ένα αρνητικό αποτέλεσμα)

Τώρα ας δημιουργήσουμε έναν πίνακα όπως αυτός:

Πώς να εργαστείτε με αυτά τα δεδομένα;

Το 1% των γυναικών παθαίνει καρκίνο του μαστού
εάν ο ασθενής έχει ασθένεια, κοιτάξτε στην πρώτη στήλη: υπάρχει 80% πιθανότητα η μέθοδος να έδωσε το σωστό αποτέλεσμα και 20% πιθανότητα το αποτέλεσμα της μελέτης να είναι λανθασμένο (ψευδώς αρνητικό)
εάν ο ασθενής δεν έχει διαγνωστεί με τη νόσο, κοιτάξτε τη δεύτερη στήλη. Με πιθανότητα 9,6% μπορούμε να πούμε ότι το θετικό αποτέλεσμα της μελέτης είναι λανθασμένο, και με πιθανότητα 90,4% μπορούμε να πούμε ότι ο ασθενής είναι πραγματικά υγιής.

Πόσο ακριβής είναι η μέθοδος;

Τώρα ας δούμε το θετικό αποτέλεσμα του τεστ. Ποια είναι η πιθανότητα ένα άτομο να είναι πραγματικά άρρωστο: 80%, 90%, 1%;

Ας σκεφτούμε:

Υπάρχει θετικό αποτέλεσμα. Θα αναλύσουμε όλα τα πιθανά αποτελέσματα: το αποτέλεσμα που προκύπτει μπορεί να είναι και αληθινό θετικό και ψευδώς θετικό.
Η πιθανότητα ενός αληθινού θετικού αποτελέσματος είναι ίση με: την πιθανότητα να αρρωστήσετε πολλαπλασιαζόμενη με την πιθανότητα ότι το τεστ ανίχνευσε πραγματικά την ασθένεια. 1% * 80% = ,008
Η πιθανότητα ενός ψευδώς θετικού αποτελέσματος είναι ίση με: την πιθανότητα να μην υπάρχει η ασθένεια, πολλαπλασιαζόμενη με την πιθανότητα ότι η μέθοδος εντόπισε εσφαλμένα την ασθένεια. 99% * 9,6% = ,09504

Τώρα ο πίνακας μοιάζει με αυτό:

Ποια είναι η πιθανότητα ένα άτομο να είναι πραγματικά άρρωστο εάν ληφθεί θετικό αποτέλεσμα μαστογραφίας; Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ο λόγος του αριθμού των πιθανών αποτελεσμάτων ενός γεγονότος προς σύνολοόλα τα πιθανά αποτελέσματα.

Πιθανότητα συμβάντος = Αποτελέσματα συμβάντος / Όλα τα πιθανά αποτελέσματα

Η πιθανότητα ενός αληθινού θετικού αποτελέσματος είναι 0,008. Η πιθανότητα ενός θετικού αποτελέσματος είναι η πιθανότητα ενός αληθινού θετικού αποτελέσματος + η πιθανότητα ενός ψευδώς θετικού.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Άρα, η πιθανότητα μιας ασθένειας με θετικό αποτέλεσμα της μελέτης υπολογίζεται ως εξής: 0,008 / 0,10304 = 0,0776. Αυτή η τιμή είναι περίπου 7,8%.

Δηλαδή, ένα θετικό αποτέλεσμα μαστογραφίας σημαίνει μόνο ότι η πιθανότητα εμφάνισης ασθένειας είναι 7,8% και όχι 80% (η τελευταία τιμή είναι μόνο η εκτιμώμενη ακρίβεια της μεθόδου). Ένα τέτοιο αποτέλεσμα φαίνεται ακατανόητο και περίεργο στην αρχή, αλλά πρέπει να λάβετε υπόψη: η μέθοδος δίνει ένα ψευδώς θετικό αποτέλεσμα στο 9,6% των περιπτώσεων (το οποίο είναι αρκετά), επομένως θα υπάρχουν πολλά ψευδώς θετικά αποτελέσματα στο δείγμα. Για μια σπάνια ασθένεια, τα περισσότερα θετικά αποτελέσματα θα είναι ψευδώς θετικά.

Ας περάσουμε τα μάτια μας πάνω από το τραπέζι και ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε διαισθητικά το νόημα του θεωρήματος. Αν έχουμε 100 άτομα, μόνο ένας από αυτούς έχει τη νόσο (1%). Σε αυτό το άτομο, με 80% πιθανότητα, η μέθοδος θα δώσει θετικό αποτέλεσμα. Από το υπόλοιπο 99%, το 10% θα έχει θετικά αποτελέσματα, που μας δίνει, χονδρικά, 10 στα 100 ψευδώς θετικά.Αν λάβουμε υπόψη όλα τα θετικά αποτελέσματα, τότε μόνο 1 στα 11 θα είναι αληθινά. Έτσι, εάν προκύψει θετικό αποτέλεσμα, η πιθανότητα της νόσου είναι 1/11.

Παραπάνω, υπολογίσαμε ότι αυτή η πιθανότητα είναι ίση με 7,8%, δηλ. ο αριθμός είναι στην πραγματικότητα πιο κοντά στο 1/13, αλλά εδώ, με απλό σκεπτικό, μπορέσαμε να βρούμε μια πρόχειρη εκτίμηση χωρίς αριθμομηχανή.

Θεώρημα Bayes

Τώρα ας περιγράψουμε την πορεία των σκέψεών μας με έναν τύπο, ο οποίος ονομάζεται θεώρημα Bayes. Αυτό το θεώρημα σάς επιτρέπει να διορθώσετε τα αποτελέσματα της μελέτης σύμφωνα με τη στρέβλωση που εισάγουν τα ψευδώς θετικά αποτελέσματα:

Pr(A|X) = πιθανότητα ασθένειας (Α) με θετικό αποτέλεσμα (Χ). Αυτό ακριβώς θέλουμε να μάθουμε: ποια είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος σε περίπτωση θετικής έκβασης. Στο παράδειγμά μας, είναι ίσο με 7,8%.
Pr(X|A) = πιθανότητα θετικού αποτελέσματος (Χ) στην περίπτωση που ο ασθενής είναι πραγματικά άρρωστος (Α). Στην περίπτωσή μας, αυτή είναι η τιμή του αληθινού θετικού - 80%
Pr(A) = πιθανότητα να αρρωστήσετε (1%)
Pr(not A) = πιθανότητα να μην αρρωστήσετε (99%)
Pr(X|not A) = πιθανότητα θετικής έκβασης της μελέτης εάν δεν υπάρχει ασθένεια. Αυτή είναι η τιμή των ψευδώς θετικών - 9,6%.

Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για να λάβετε την πιθανότητα ενός γεγονότος, πρέπει να διαιρέσετε την πιθανότητα ενός αληθινού θετικού αποτελέσματος με την πιθανότητα όλων των θετικών αποτελεσμάτων. Τώρα μπορούμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση:
Το Pr(X) είναι η σταθερά κανονικοποίησης. Μας εξυπηρέτησε καλά: χωρίς αυτήν, ένα θετικό αποτέλεσμα του τεστ θα μας έδινε 80% πιθανότητες για ένα συμβάν.
Το Pr(X) είναι η πιθανότητα οποιουδήποτε θετικού αποτελέσματος, είτε είναι αληθινό θετικό σε μια μελέτη ασθενών (1%) είτε ψευδώς θετικό σε μια μελέτη υγιείς ανθρώπους (99%).

Στο παράδειγμά μας, το Pr(X) είναι αρκετά μεγάλος αριθμόςγιατί υπάρχει μεγάλη πιθανότητα ψευδώς θετικών αποτελεσμάτων.

Το Pr(X) παράγει ένα αποτέλεσμα 7,8%, το οποίο με την πρώτη ματιά φαίνεται αντίθετο.

Το νόημα του θεωρήματος

Δοκιμάζουμε για να μάθουμε την πραγματική κατάσταση των πραγμάτων. Εάν τα τεστ μας είναι τέλεια και ακριβή, τότε οι πιθανότητες δοκιμών και οι πιθανότητες γεγονότων θα συμπέσουν. Όλα τα θετικά αποτελέσματα θα είναι πραγματικά θετικά και τα αρνητικά αποτελέσματα θα είναι αρνητικά. Αλλά ζούμε μέσα πραγματικό κόσμο. Και στον κόσμο μας, τα τεστ δίνουν λάθος αποτελέσματα. Το θεώρημα του Bayes λαμβάνει υπόψη λοξά αποτελέσματα, διορθώνει λάθη, αναδημιουργεί γενικός πληθυσμόςκαι βρίσκει την πιθανότητα ενός αληθινού θετικού αποτελέσματος.

Φίλτρο ανεπιθύμητων

Το θεώρημα του Bayes εφαρμόζεται με επιτυχία στα φίλτρα ανεπιθύμητης αλληλογραφίας.

Εχουμε:

συμβάν Α - σε ένα ανεπιθύμητο email
το αποτέλεσμα της δοκιμής είναι το περιεχόμενο ορισμένων λέξεων στο γράμμα:

Το φίλτρο λαμβάνει υπόψη τα αποτελέσματα των δοκιμών (περιεχόμενο συγκεκριμένων λέξεων στο email) και προβλέπει εάν το email περιέχει ανεπιθύμητο περιεχόμενο. Όλοι καταλαβαίνουν ότι, για παράδειγμα, η λέξη «Viagra» είναι πιο κοινή στα ανεπιθύμητα μηνύματα παρά στα κανονικά email.

Το φίλτρο ανεπιθύμητης αλληλογραφίας που βασίζεται στη μαύρη λίστα έχει το μειονέκτημα ότι συχνά παράγει ψευδή θετικά στοιχεία.

Το Bayesian φίλτρο ανεπιθύμητης αλληλογραφίας ακολουθεί μια μετρημένη και λογική προσέγγιση: λειτουργεί με πιθανότητες. Όταν αναλύουμε τις λέξεις σε ένα email, μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα το email να είναι ανεπιθύμητο αντί να πάρουμε αποφάσεις ναι/όχι. Εάν υπάρχει 99% πιθανότητα το email να περιέχει ανεπιθύμητο περιεχόμενο, τότε το email είναι όντως ανεπιθύμητο.

Με την πάροδο του χρόνου, το φίλτρο εκπαιδεύεται σε ένα όλο και μεγαλύτερο δείγμα και ενημερώνει τις πιθανότητες. Για παράδειγμα, τα προηγμένα φίλτρα που βασίζονται στο θεώρημα του Bayes ελέγχουν πολλές λέξεις στη σειρά και τις χρησιμοποιούν ως δεδομένα.

Πρόσθετες πηγές:

Ετικέτες: Προσθήκη ετικετών

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ, ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ

Σχετικά με την εφαρμογή του τύπου Bayes

DOI 10.12737/16076

A. I. Dolgov**

1 Joint-Stock Company "Design Bureau for Radio Monitoring of Control, Navigation and Communication Systems", Rostov-on-Don, Ρωσική Ομοσπονδία

Σχετικά με την εφαρμογή του Bayes" τύπος*** A. I. Dolgov1**

1 "Γραφείο σχεδιασμού για την παρακολούθηση συστημάτων ελέγχου, πλοήγησης και επικοινωνίας" JSC, Rostov-on-Don, Ρωσική Ομοσπονδία

Θέμα αυτή η μελέτηείναι ο τύπος Bayes. Ο σκοπός αυτής της εργασίας είναι να αναλύσει και να επεκτείνει το πεδίο εφαρμογής του τύπου. Το πρωταρχικό καθήκον είναι να μελετηθούν οι δημοσιεύσεις που είναι αφιερωμένες σε αυτό το πρόβλημα, οι οποίες κατέστησαν δυνατό τον εντοπισμό των αδυναμιών της εφαρμογής του τύπου Bayes, οδηγώντας σε εσφαλμένα αποτελέσματα. Η επόμενη εργασία είναι η κατασκευή τροποποιήσεων του τύπου Bayes που λαμβάνουν υπόψη διάφορα μεμονωμένα στοιχεία και αποκτούν σωστά αποτελέσματα. Και, τέλος, στο παράδειγμα συγκεκριμένων αρχικών δεδομένων, συγκρίνονται τα λανθασμένα αποτελέσματα που ελήφθησαν χρησιμοποιώντας τον τύπο Bayes και τα σωστά αποτελέσματα που υπολογίστηκαν χρησιμοποιώντας τις προτεινόμενες τροποποιήσεις. Στη μελέτη χρησιμοποιήθηκαν δύο μέθοδοι. Πρώτον, μια ανάλυση των αρχών κατασκευής διάσημες εκφράσειςχρησιμοποιείται για τη σύνταξη του τύπου Bayes και των τροποποιήσεών του. Δεύτερον, πραγματοποιήθηκε συγκριτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων (συμπεριλαμβανομένης μιας ποσοτικής). Οι προτεινόμενες τροποποιήσεις παρέχουν μια ευρύτερη εφαρμογή του τύπου Bayes στη θεωρία και την πράξη, συμπεριλαμβανομένης της επίλυσης εφαρμοζόμενων εργασιών.

Λέξεις-κλειδιάΛέξεις κλειδιά: πιθανότητες υπό όρους, ασύμβατες υποθέσεις, συμβατά και ασυμβίβαστα στοιχεία, κανονικοποίηση.

Ο τύπος Bayes" είναι το αντικείμενο της έρευνας. Ο στόχος της εργασίας είναι να αναλύσει την εφαρμογή του τύπου και να διευρύνει το πεδίο εφαρμογής της. Το πρόβλημα πρώτης προτεραιότητας περιλαμβάνει τον εντοπισμό των μειονεκτημάτων του τύπου Bayes" με βάση τη μελέτη των σχετικών δημοσιεύσεων που οδηγούν σε λανθασμένα Αποτελέσματα. Η επόμενη εργασία είναι να κατασκευάσουμε τις τροποποιήσεις του τύπου Bayes για να παράσχουμε μια καταγραφή διαφόρων μεμονωμένων ενδείξεων για να ληφθούν σωστά αποτελέσματα. Και τέλος, τα λανθασμένα αποτελέσματα που λαμβάνονται με την εφαρμογή του τύπου Bayes συγκρίνονται με τα σωστά αποτελέσματα που υπολογίζονται με τη χρήση του προτεινόμενες τροποποιήσεις τύπου με το παράδειγμα των συγκεκριμένων αρχικών δεδομένων. Δύο μέθοδοι χρησιμοποιούνται σε μελέτες. Αρχικά, γίνεται η ανάλυση των αρχών κατασκευής των γνωστών εκφράσεων που χρησιμοποιούνται για την καταγραφή του τύπου Bayes και των τροποποιήσεών του. Δεύτερον, γίνεται συγκριτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων (συμπεριλαμβανομένης της ποσοτικής). Οι προτεινόμενες τροποποιήσεις παρέχουν μια ευρύτερη εφαρμογή του τύπου Bayes τόσο στη θεωρία όσο και στην πράξη, συμπεριλαμβανομένης της επίλυσης των εφαρμοζόμενων προβλημάτων.

Λέξεις-κλειδιά: πιθανότητες υπό όρους, ασυνεπείς υποθέσεις, συμβατές και ασυμβίβαστες ενδείξεις, κανονικοποίηση.

Εισαγωγή. Ο τύπος Bayes χρησιμοποιείται ολοένα και περισσότερο στη θεωρία και την πράξη, συμπεριλαμβανομένης της επίλυσης εφαρμοσμένων προβλημάτων με τη βοήθεια της τεχνολογίας υπολογιστών. Η χρήση αμοιβαία ανεξάρτητων υπολογιστικών διαδικασιών καθιστά δυνατή την εφαρμογή αυτή τη φόρμουλακατά την επίλυση προβλημάτων σε υπολογιστικά συστήματα πολλαπλών επεξεργαστών, καθώς στην περίπτωση αυτή η παράλληλη υλοποίηση εκτελείται σε επίπεδο γενικό σχέδιο, και κατά την προσθήκη του επόμενου αλγόριθμου ή κατηγορίας εργασιών, δεν χρειάζεται να εκτελέσετε ξανά την εργασία για την παραλληλοποίηση.

Αντικείμενο αυτής της μελέτης είναι η δυνατότητα εφαρμογής του τύπου Bayes για τη συγκριτική αξιολόγηση εκ των υστέρων υπό όρους πιθανότητεςασυνεπείς υποθέσεις με διαφορετικά μεμονωμένα στοιχεία. Όπως δείχνει η ανάλυση, σε τέτοιες περιπτώσεις, οι κανονικοποιημένες πιθανότητες ασυμβίβαστων συνδυασμένων γεγονότων ανήκουν σε

S X<и ч и

ΕΙΝΑΙ eö ΚΑΙ ΕΙΝΑΙ Χ Χ<и H

«Η εργασία πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο ενός ερευνητικού προγράμματος πρωτοβουλίας.

** ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ: [email προστατευμένο]

""Η έρευνα γίνεται στο πλαίσιο της ανεξάρτητης Ε&Α.

για διαφορετικές πλήρεις ομάδες εκδηλώσεων. Ταυτόχρονα, τα συγκριτικά αποτελέσματα αποδεικνύονται ανεπαρκή ως προς τα πραγματικά στατιστικά δεδομένα. Αυτό οφείλεται στους ακόλουθους παράγοντες:

Χρησιμοποιείται λανθασμένη κανονικοποίηση.

Η παρουσία ή η απουσία διασταυρώσεων των θεωρούμενων αποδεικτικών στοιχείων δεν λαμβάνεται υπόψη.

Προκειμένου να εξαλειφθούν οι διαπιστωθείσες ελλείψεις, εντοπίζονται περιπτώσεις εφαρμογής του τύπου Bayes. Εάν ο καθορισμένος τύπος δεν είναι εφαρμόσιμος, επιλύεται το πρόβλημα της κατασκευής της τροποποίησής του, το οποίο διασφαλίζει ότι λαμβάνονται υπόψη διάφορα μεμονωμένα στοιχεία για τη λήψη σωστών αποτελεσμάτων. Με το παράδειγμα συγκεκριμένων αρχικών δεδομένων, πραγματοποιήθηκε συγκριτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων:

Λάθος - λήφθηκε χρησιμοποιώντας τον τύπο Bayes.

Σωστό - υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη τροποποίηση.

Αρχικές θέσεις. Οι ακόλουθες δηλώσεις βασίζονται στην αρχή της διατήρησης των λόγων πιθανότητας: «Η σωστή επεξεργασία των πιθανοτήτων των γεγονότων είναι εφικτή μόνο κατά την κανονικοποίηση χρησιμοποιώντας έναν κοινό διαιρέτη κανονικοποίησης που διασφαλίζει την ισότητα των λόγων των κανονικοποιημένων πιθανοτήτων προς τους λόγους των αντίστοιχων κανονικοποιημένων πιθανότητες». Αυτή η αρχή αντιπροσωπεύει την υποκειμενική βάση της θεωρίας πιθανοτήτων, αλλά δεν αντικατοπτρίζεται σωστά στη σύγχρονη εκπαιδευτική και επιστημονική και τεχνική βιβλιογραφία.

Εάν παραβιαστεί αυτή η αρχή, οι πληροφορίες σχετικά με τον βαθμό πιθανότητας των υπό εξέταση γεγονότων παραποιούνται. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν με βάση παραμορφωμένες πληροφορίες και οι αποφάσεις που ελήφθησαν αποδεικνύονται ανεπαρκή σε σχέση με τα πραγματικά στατιστικά δεδομένα.

Οι ακόλουθες έννοιες θα χρησιμοποιηθούν σε αυτό το άρθρο:

Ένα στοιχειώδες γεγονός είναι ένα γεγονός που δεν διαιρείται σε στοιχεία.

Συνδυασμένο γεγονός - ένα γεγονός που αντιπροσωπεύει έναν ή τον άλλο συνδυασμό στοιχειωδών γεγονότων.

Συμβατά γεγονότα - γεγονότα που σε ορισμένες περιπτώσεις συγκριτικής εκτίμησης των πιθανοτήτων τους μπορεί να είναι ασύμβατα και σε άλλες περιπτώσεις κοινά.

Ασυμβίβαστα συμβάντα είναι συμβάντα που είναι ασύμβατα σε όλες τις περιπτώσεις.

Σύμφωνα με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων, η πιθανότητα P (U ^ E) του γινομένου των στοιχειωδών γεγονότων U ^ και

Το Ε υπολογίζεται ως γινόμενο των πιθανοτήτων P(Uk E) = P(E)P(U^E) . Από αυτή την άποψη, η φόρμουλα Bayes είναι συχνά

γράφεται με τη μορφή Р(Ик\Е) = - - - , περιγράφοντας τον ορισμό των εκ των υστέρων υπό όρους πιθανοτήτων

P(U^E) υποθέσεις Uk (k = 1,...n) με βάση την κανονικοποίηση των a priori πιθανοτήτων P(U^E) του εξεταζόμενου συνδυασμού ασυμβίβαστα γεγονόταΚαι στον Ε. Κάθε ένα από αυτά τα γεγονότα αντιπροσωπεύει ένα προϊόν, οι παράγοντες του οποίου είναι μία από τις θεωρούμενες υποθέσεις και μία θεωρούμενη απόδειξη. Ταυτόχρονα, όλα εξετάζονται

uIKE συμβάντα (k = 1,...n) σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων συνδυασμένων συμβάντων uIKE, λόγω

με τον οποίο οι πιθανότητες τους P(Ik E) θα πρέπει να κανονικοποιηθούν λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο συνολικής πιθανότητας, σύμφωνα με τον οποίο

σμήνος P(E) = 2 P(Uk)P(E\Uk). Επομένως, ο τύπος Bayes γράφεται συχνότερα με την πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μορφή:

P(Uik) P(EIK)

P(Uk \ E) \u003d -. (ένας)

^ κατιόν του τύπου Bayes.

th Ανάλυση των χαρακτηριστικών της κατασκευής του τύπου Bayes, με στόχο την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων, καθώς και παραδείγματα

«και η πρακτική εφαρμογή του μας επιτρέπει να βγάλουμε ένα σημαντικό συμπέρασμα σχετικά με την επιλογή μιας πλήρους ομάδας συνδυασμένων γεγονότων σε σύγκριση ως προς τον βαθμό πιθανότητας (καθένα από τα οποία είναι προϊόν δύο στοιχειωδών γεγονότων - μία από τις υποθέσεις και τα στοιχεία που λαμβάνονται υπόψη). Μια τέτοια επιλογή γίνεται υποκειμενικά από τον λήπτη της απόφασης, με βάση αντικειμενικά αρχικά δεδομένα που είναι εγγενή στις τυπικές συνθήκες της κατάστασης: τους τύπους και τον αριθμό των υποθέσεων που αξιολογούνται και τα στοιχεία που λαμβάνονται ειδικά υπόψη.

Ασύγκριτες πιθανότητες υποθέσεων με μεμονωμένα ασυνεπή στοιχεία. Ο τύπος Bayes χρησιμοποιείται παραδοσιακά στην περίπτωση του προσδιορισμού των μεταγενέστερων πιθανοτήτων υπό όρους που δεν είναι συγκρίσιμες ως προς το βαθμό πιθανότητας.

η πιθανότητα των υποθέσεων H^ με μεμονωμένα ασύμβατα στοιχεία, καθένα από τα οποία μπορεί να «εμφανιστεί

μόνο σε συνδυασμό με οποιαδήποτε από αυτές τις υποθέσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, επιλέγονται πλήρεις ομάδες και HkE, συνδυάζονται

εκδηλώσεις μπάνιου με τη μορφή προϊόντων, οι παράγοντες των οποίων είναι ένα από τα στοιχεία του γ. (1=1,...,m) και ένα

από τις υπό εξέταση ν υποθέσεις.

Ο τύπος Bayes χρησιμοποιείται για τη σύγκριση των πιθανοτήτων των συνδυασμένων γεγονότων κάθε τέτοιας πλήρους ομάδας, η οποία διαφέρει από άλλες πλήρεις ομάδες όχι μόνο στα στοιχεία που λαμβάνονται υπόψη e, αλλά και σε γενική περίπτωσητύποι υποθέσεων H ^ και (ή) ο αριθμός τους n (βλ., για παράδειγμα,)

RNky = P(Hk) P(eH)

% P(Hk) P(Er\Hk) k = 1

Σε ειδική περίπτωση για n = 2

RNk\E,~ P(Hk) P(EN)

% P(Hk) P(E,\H k) k = 1

και τα αποτελέσματα που προέκυψαν είναι σωστά, λόγω της τήρησης της αρχής της διατήρησης των λόγων πιθανότητας:

P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)

P(H 2 = % PW1!)

Η υποκειμενικότητα της επιλογής μιας ολοκληρωμένης ομάδας συνδυασμένων γεγονότων σε σύγκριση ως προς το βαθμό δυνατότητας (με

ορισμένα μεταβλητά στοιχειώδη συμβάντα) σας επιτρέπει να επιλέξετε μια πλήρη ομάδα γεγονότων και Hk E ■ s

αναιρώντας το στοιχειώδες γεγονός E ■ () και γράψτε τον τύπο Bayes (1 = 1,.. ., m) ως εξής:

P(Hk \ E) -= - RNSh ±.

% P(Hk)P(E, Hk)

Ένας τέτοιος τύπος είναι επίσης εφαρμόσιμος και καθιστά δυνατή την απόκτηση των σωστών αποτελεσμάτων εάν υπολογίζεται να

οι κανονικοποιημένες πιθανότητες συγκρίνονται με βάση τις διάφορες υποθέσεις που εξετάζονται, αλλά όχι με διάφορες

αρχές. ¡^

Συγκρίσιμες πιθανότητες υποθέσεων κάτω από μεμονωμένα ασυνεπή στοιχεία. Αν κρίνουμε από το γνωστό publica-^

χρησιμοποιείται για μια συγκριτική αξιολόγηση των εκ των υστέρων υπό όρους πιθανοτήτων υποθέσεων για διάφορα μεμονωμένα στοιχεία.

αρχές. Ταυτόχρονα, δεν δίνεται προσοχή στο εξής γεγονός. Σε αυτές τις περιπτώσεις, συγκρίνονται οι κανονικοποιημένες ^ πιθανότητες ασυμβίβαστων (μη συμβατών) συνδυασμένων γεγονότων που ανήκουν σε διαφορετικές πλήρεις ομάδες n γεγονότων. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος Bayes δεν ισχύει, αφού συγκρίνονται συνδυασμένα γεγονότα που δεν περιλαμβάνονται σε μια πλήρη ομάδα, η κανονικοποίηση των πιθανοτήτων των οποίων πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας διαφορετικούς n κανονικοποιητικούς διαιρέτες. Οι κανονικοποιημένες πιθανότητες ασυμβίβαστων (μη συμβατών) συνδυασμένων γεγονότων μπορούν να συγκριθούν μόνο εάν ανήκουν στην ίδια πλήρη ομάδα γεγονότων και κανονικοποιούνται κατά ¡3 χρησιμοποιώντας κοινός διαιρέτης, ίσο με το άθροισμαπιθανότητες όλων των κανονικοποιημένων γεγονότων που περιλαμβάνονται στην πλήρη §

Γενικά, τα ακόλουθα μπορούν να θεωρηθούν ασύμβατα στοιχεία:

Δύο στοιχεία (για παράδειγμα, στοιχεία και η άρνησή τους). ^

Τρία στοιχεία (για παράδειγμα, σε μια κατάσταση παιχνιδιού, νίκη, ήττα και ισοπαλία). ^

Τέσσερις μαρτυρίες (ιδιαίτερα σε αθλήματα, νίκη, ήττα, ισοπαλία και επανάληψη) κ.λπ. ^

Εξετάστε ένα αρκετά απλό παράδειγμα (που αντιστοιχεί στο παράδειγμα που δίνεται στο ) εφαρμογής του τύπου Bayes ^ για τον προσδιορισμό των μεταγενέστερων πιθανοτήτων υπό όρους της υπόθεσης H ^ για δύο ασύμβατα συμβάντα στο

με τη μορφή αποδείξεων L]- και η άρνησή τους L]

P(H, k) - ^ . ^ P(A^k" , (2)

] E P(Hk> P(A]\vk> k - 1

■ _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nk>

Ρ(Η,\Α,) ----k-]-. (3)

V k\A]> P(A > n

] E P(Hk) P(A]\Hk) k -1

Στις περιπτώσεις (2) και (3), υποκειμενικά επιλεγμένες πλήρεις ομάδες συγκρίθηκαν ως προς το βαθμό πιθανότητας

binned συμβάντα είναι, αντίστοιχα, τα σύνολα και H σε A και και H σε A. Αυτό συμβαίνει όταν ο τύπος

k-1 k ] k-1 k ]

Το Bayes δεν εφαρμόζεται, καθώς παραβιάζεται η αρχή της διατήρησης των λόγων πιθανοτήτων - δεν τηρείται η ισότητα των λόγων των κανονικοποιημένων πιθανοτήτων προς τους λόγους των αντίστοιχων κανονικοποιημένων πιθανοτήτων:

P(H έως A]] P(Hk) P(A]\Hk) / P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

P(Hk E P(Hk) P(A]\Hk)/ E P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

k - 1 /k - 1 Σύμφωνα με την αρχή της διατήρησης των λόγων πιθανότητας, η σωστή επεξεργασία των πιθανοτήτων γεγονότων είναι εφικτή μόνο όταν κανονικοποιείται χρησιμοποιώντας έναν κοινό διαιρέτη κανονικοποίησης ίσο με το άθροισμα όλων των συγκριμένων κανονικοποιημένων παραστάσεων. Να γιατί

E P(Hk)P(A]\Hk) + E P(Hk)P(A]\Hk) - E P(Hk)[P(A]\Hk) + P(Hk) P(A]\Hk )] - ΕΡ (Hk) - 1. έως -1 έως -1 έως -1 έως -1

Έτσι, αποκαλύπτεται το γεγονός ότι υπάρχουν ποικιλίες της φόρμουλας Bayes που διαφέρουν από

γνωστό για την έλλειψη κανονικοποιητικού διαιρέτη:

Α,) - Ρ(Η) Ρ(Α]\Ηκ), Ρ(Ηκ Α,) - Ρ(Η) Ρ(Α, Ηκ). (τέσσερα)

J προς Ι ■> να

Στην περίπτωση αυτή, παρατηρείται η ισότητα των λόγων των κανονικοποιημένων πιθανοτήτων προς τους λόγους των αντίστοιχων κανονικοποιημένων πιθανοτήτων:

m^A^ P(Hk) P(A]\Hk)

A,) P(H k) P(A, Hk)

Με βάση την υποκειμενική επιλογή μη παραδοσιακά καταγεγραμμένων πλήρων ομάδων ασυμβίβαστων συνδυασμένων γεγονότων, είναι δυνατό να αυξηθεί ο αριθμός των τροποποιήσεων του τύπου Bayes που περιλαμβάνουν στοιχεία, καθώς και τον έναν ή τον άλλο αριθμό αρνήσεων τους. Για παράδειγμα, η πιο ολοκληρωμένη ομάδα συνδυασμένων εκδηλώσεων

u και Hk /"./ ^ u και Hk E\ αντιστοιχεί (λαμβάνοντας υπόψη την απουσία κανονικοποιητικού διαιρέτη) τον τύπο τροποποίησης =1 A"=1; \u003d 1 Bayesian

P(Hk\~) - P(Hk) ПЁ^^^

όπου ένα στοιχειώδες γεγονός με τη μορφή αποδείξεων E \ e II II / "/ είναι ένα από τα στοιχεία του υποδεικνυόμενου συνόλου

o Ελλείψει αρνήσεων αποδείξεων, δηλαδή όταν E\ \u003d // e και /"./,

^ P(H\E) P(Hk) P(E,\Hk)

E P(Hk) P(E \ Hk) k - 1

Έτσι, η τροποποίηση του τύπου Bayes, που αποσκοπεί στον προσδιορισμό των υπό όρους πιθανοτήτων των υποθέσεων που συγκρίνονται ως προς τον βαθμό πιθανότητας για μεμονωμένα ασύμβατα στοιχεία, έχει ως εξής. Ο αριθμητής περιέχει την κανονικοποιημένη πιθανότητα ενός από τα συνδυασμένα ασύμβατα συμβάντα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα, εκφραζόμενη ως γινόμενο εκ των προτέρων πιθανοτήτων και ο παρονομαστής περιέχει το άθροισμα όλων

κανονικοποιημένες πιθανότητες. Ταυτόχρονα, τηρείται η αρχή της διατήρησης των αναλογιών των πιθανοτήτων - και το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι σωστό.

Πιθανότητες υποθέσεων κάτω από μεμονωμένα συμβατά στοιχεία. Οι Μπεϋζιανοί τύποι χρησιμοποιούνται παραδοσιακά για τον προσδιορισμό των μεταγενέστερων εξαρτημένων πιθανοτήτων των υποθέσεων Hk (k = 1,...,n) σε σύγκριση ως προς τον βαθμό πιθανότητας για ένα από τα πολλά θεωρούμενα συμβατά στοιχεία EL (1 = 1,... ,Μ). Ειδικότερα (βλ

για παράδειγμα, και ), κατά τον προσδιορισμό των εκ των υστέρων πιθανοτήτων υπό όρους Р(Н 1Е^) και Р(Н 1 Е2) για καθεμία από τις δύο συμβατές αποδείξεις Ε1 και Ε2, χρησιμοποιούνται τύποι της μορφής:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1-και P(H J E 2) =--1-. (5)

I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)

k = 1 k = 1 Σημειώστε ότι αυτή είναι μια άλλη περίπτωση όπου ο τύπος Bayes δεν ισχύει. Επιπλέον, σε αυτή την περίπτωση, δύο ελλείψεις πρέπει να εξαλειφθούν:

Η εικονογραφημένη κανονικοποίηση των πιθανοτήτων συνδυασμένων γεγονότων είναι λανθασμένη, λόγω του ότι ανήκουν σε διαφορετικές πλήρεις ομάδες των υπό εξέταση γεγονότων.

Οι συμβολικές εγγραφές των συνδυασμένων γεγονότων HkEx και HkE2 δεν αντικατοπτρίζουν το γεγονός ότι τα θεωρούμενα στοιχεία E x και E 2 είναι συμβατά.

Για να εξαλειφθεί το τελευταίο μειονέκτημα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια πιο λεπτομερής καταγραφή των συνδυασμένων γεγονότων, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι τα συμβατά στοιχεία E1 και E2 σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να είναι ασύμβατα και σε άλλες από κοινού:

HkE1 = HkE1 E2 και HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, όπου τα E1 και E 2 είναι στοιχεία αντίθετα από τα E1 και E 2.

Είναι προφανές ότι σε τέτοιες περιπτώσεις το γινόμενο των γεγονότων Hk E1E2 λαμβάνεται δύο φορές υπόψη. Επιπλέον, μπορεί να ληφθεί και πάλι υπόψη ξεχωριστά, αλλά αυτό δεν συμβαίνει. Το γεγονός είναι ότι στην υπό εξέταση κατάσταση, η αξιολογούμενη κατάσταση επηρεάζεται από τρία πιθανά ασύμβατα συνδυασμένα συμβάντα: HkE1E2, HkE 1E2 και

Hk E1E2. Ταυτόχρονα, για τον λήπτη της απόφασης, ενδιαφέρει να εκτιμήσει μόνο τον βαθμό δυνατότητας

δύο ασύμβατα συνδυασμένα συμβάντα: HkE1 E2 και HkE 1E2, που αντιστοιχεί στη λήψη μόνο g

μεμονωμένα στοιχεία. ΝΤΟ

Έτσι, κατά την κατασκευή μιας τροποποίησης του τύπου Bayes για τον προσδιορισμό των εκ των υστέρων συνθηκών τιμών,

Η πιθανότητα υποθέσεων με μεμονωμένα συμβατά στοιχεία πρέπει να βασίζεται στα ακόλουθα. Άτομο που δέχεται ^

απόφαση, μας ενδιαφέρει ακριβώς ποιο στοιχειώδες γεγονός, που αντιπροσωπεύεται από ένα ή άλλο αποδεικτικό στοιχείο

ο αριθμός που θεωρείται ότι όντως συνέβη σε συγκεκριμένες συνθήκες. Εάν συμβεί άλλο στοιχειώδες γεγονός στο Κ

με τη μορφή ενιαίου πιστοποιητικού απαιτείται επανεξέταση της απόφασης, λόγω των αποτελεσμάτων συγκριτικής αξιολόγησης του ν.

εκ των υστέρων υπό όρους πιθανότητες υποθέσεων με την απαραίτητη εξέταση άλλων συνθηκών που επηρεάζουν την πραγματική γενική

σύνθεση. 3

Ας εισαγάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: HkE- για ένα (και μόνο ένα) ασύμβατο συνδυασμένο συν- ^

είναι, το οποίο συνίσταται στο γεγονός ότι από το m > 1 θεωρούνται στοιχειώδη γεγονότα Ei (i = 1,...,m) μαζί με την υπόθεση «

Hk ένα στοιχειώδες γεγονός Ex συνέβη και κανένα άλλο δεν συνέβη στοιχειώδη γεγονότα. δες"

Στα περισσότερα απλή υπόθεσηεξετάζονται δύο μεμονωμένα ασύμβατα αποδεικτικά στοιχεία. Εάν επιβεβαιωθεί

περιμένοντας ένα από αυτά, η υπό όρους πιθανότητα αποδεικτικών στοιχείων γενική εικόναεκφράζεται με τον τύπο l

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) σολ

Η εγκυρότητα του τύπου φαίνεται ξεκάθαρα (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Γεωμετρική ερμηνεία του υπολογισμού του P(Hk E-) για / = 1,...,2 Με ανεξάρτητες υπό όρους στοιχεία

P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),

επομένως, λαμβάνοντας υπόψη (6)

P(Hk E-) = PE Hk) - P(E1 Hk) P(E21Hk) = 1,.,2. (7)

Ομοίως, η πιθανότητα P(HkE-) ενός από τα τρία (/ = 1,...,3) ασύμβατα γεγονότα HkE^ εκφράζεται με τον τύπο

Για παράδειγμα, για i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk) ] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

Η εγκυρότητα αυτού του τύπου επιβεβαιώνεται σαφώς από τη γεωμετρική ερμηνεία που παρουσιάζεται στο Σχ.

Ρύζι. 2. Γεωμετρική ερμηνεία του υπολογισμού του P(Hk E-) για / = 1,...,3

μέθοδος μαθηματική επαγωγήμπορεί να αποδειχθεί γενικός τύποςγια την πιθανότητα Р(Нк Е-) για οποιονδήποτε αριθμό αποδείξεων e, 0=1,...,m):

P(HkE-) = P(E, Hk) - m PE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) + ■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων, γράφουμε την υπό συνθήκη πιθανότητα Р(НкЕ~-) σε δύο μορφές:

^ από το οποίο προκύπτει ότι

P(Hk E -) = P(Hk) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

Χρησιμοποιώντας τον τύπο συνολικής πιθανότητας P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) αποδεικνύεται ότι

E-) \u003d P (HkET)

2 P(HkE-) k \u003d 1

Αντικαθιστώντας στον προκύπτον τύπο τις εκφράσεις για το Р(НкЕ-) με τη μορφή της δεξιάς πλευράς του (8), λαμβάνουμε την τελική μορφή του τύπου για τον προσδιορισμό των εκ των υστέρων υπό όρους πιθανοτήτων των υποθέσεων H^ (k = 1, ...,n) για ένα από τα πολλά θεωρούμενα ασυμβίβαστα μεμονωμένα στοιχεία : (E^\Hk)

P(Hk)[P(E,\Hk) - 2 P(E,\Hk) P(Ep k) +...+ (-1)m-1 P(P P(Erk)] P(H, E ~) =-] = 1(] * ■----(9)

k 1 p t t t

2 P(Hk) 2 [P(E,\Hk) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]

k=1 , = 1 ) = 1() *,) ■! =1

Συγκριτικές εκτιμήσεις. Θεωρείται αρκετά απλό, αλλά ενδεικτικά παραδείγματα, που περιορίζεται στην ανάλυση των υπολογιζόμενων υστέρων υπό όρους πιθανοτήτων μιας από τις δύο υποθέσεις με δύο μεμονωμένα στοιχεία. 1. Πιθανότητες υποθέσεων κάτω από ασυμβίβαστα μεμονωμένα στοιχεία. Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα που ελήφθησαν χρησιμοποιώντας τους τύπους Bayes (2) και (3), χρησιμοποιώντας το παράδειγμα δύο αποδείξεων L. = L και L. = L με τα αρχικά δεδομένα:

P(H1 = 0,7, P(H2) = 0,3, P(L| H^ = 0,1, P(L\n 1) = 0,9, P(L\H2) = 0,6 P(A\H2) = 0,4 Εξεταζόμενα παραδείγματα με την υπόθεση Η1, οι παραδοσιακοί τύποι (2) και (3) οδηγούν στα ακόλουθα αποτελέσματα:

P(N.) P(A\No 0 07

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0,28,

2 P(Hk) P(A\Hk)k = 1

R(N L R(A\N 1) 0 63

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0,84,

2 P(Hk) P(A\Hk) k = 1

σχηματίζοντας διαιρέσεις P (H 1 L) \u003d P (H ^ P (L \ Hp \u003d 0,07; P (H ^ A) \u003d P (H 1) P (n | H ^ \u003d 0,63. 1 από τα προτεινόμενα τύπους σε σχέση με:

R<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

και με τους προτεινόμενους τύπους (4) που δεν έχουν κανονικοποιητικούς διαιρέτες: «και

Έτσι, στην περίπτωση εφαρμογής των προτεινόμενων τύπων, ο λόγος των κανονικοποιημένων πιθανοτήτων είναι ίσος με τον λόγο των κανονικοποιημένων πιθανοτήτων: Κ

rm f P(H 1) P(A\H 1) A11 |

Όταν χρησιμοποιείτε γνωστούς τύπους με την ίδια αναλογία -;-=-= 0,11 κανονικοποιημένα βερόνια

P(H 1) P(A\H 1) «§

αναλογίες που υποδεικνύονται στους αριθμητές, ο λόγος των κανονικοποιημένων πιθανοτήτων που προκύπτουν: 2

Ρ(Η 1) Ρ(Α\Η 1) Ρ(Α\Η 1) 0,63

P (H1 L) \u003d 0,28 P (H 1 L) \u003d 0,84

Δηλαδή, δεν τηρείται η αρχή της διατήρησης των λόγων πιθανότητας και προκύπτουν εσφαλμένα αποτελέσματα. Σε αυτή την περίπτωση, £

στην περίπτωση εφαρμογής γνωστών τύπων, η τιμή της σχετικής απόκλισης του λόγου (11) των εκ των υστέρων υπό όρους και υπό όρους πιθανοτήτων των υποθέσεων από τα σωστά αποτελέσματα (10) αποδεικνύεται πολύ σημαντική, καθώς είναι

°, 33 - °, P x 100 \u003d 242%.. I

2. Πιθανότητες υποθέσεων κάτω από συμβατά μεμονωμένα στοιχεία. Ας συγκρίνουμε τα αποτελέσματα που ελήφθησαν χρησιμοποιώντας τους τύπους Bayes (5) και την κατασκευασμένη σωστή τροποποίηση (9), χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα αρχικά δεδομένα:

P(H1 = 0,7, P(H2) = 0,3, P(E1H1) = 0,4, P(E2H1) = 0,8, P(E1\H2) = 0,7, P(E^ H2) = 0,2,113

Στα παραδείγματα που εξετάζονται με την υπόθεση H 2 στην περίπτωση χρήσης παραδοσιακών τύπων (5):

Ρ(Η 2) Ρ(Ε1 Η 2) Q, 21

P(H 2 E1) =-2-!-2- = - = Q,429,

p(Hk) p(El Hk) k = 1

Ρ(Η2) Ρ(Ε2Η2) Q,Q6

P(H 2 E 2) \u003d -2-- \u003d - \u003d 0,097.

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

Στην περίπτωση εφαρμογής του προτεινόμενου τύπου (9), λαμβάνοντας υπόψη το (7), P(H

Ρ(Η2) 0,168

Ε.) ----- 0,291,

Z P(Hk) Z "

Ρ(Η2) 0,018

Ε0) ----- 0,031.

Z P(Hk) Z k - 1 i - 1

Όταν χρησιμοποιείτε τους προτεινόμενους σωστούς τύπους, λόγω των ίδιων παρονομαστών, ο λόγος P(H2) -

Οι κανονικοποιημένες πιθανότητες, που υποδεικνύονται στους αριθμητές, είναι ίσες με την αναλογία

P(H2)

κανονικοποιημένες πιθανότητες:

Δηλαδή τηρείται η αρχή της διατήρησης των λόγων πιθανότητας.

Ωστόσο, στην περίπτωση εφαρμογής γνωστών τύπων με την αναλογία των κανονικοποιημένων πιθανοτήτων που υποδεικνύονται στους αριθμητές

P (H 2) P (E1 \ H 2) _ 0,21 _3 5 P (H 2) P (E 2 H 2) 0,06,

αναλογία κανονικοποιημένων πιθανοτήτων:

P (H 2 \u003d 0,429 \u003d 4,423. (13)

Ρ(Η2 \e2) 0,097

Δηλαδή, η αρχή της διατήρησης των λόγων πιθανότητας, όπως και πριν, δεν τηρείται. Στην περίπτωση αυτή, στην περίπτωση εφαρμογής των γνωστών τύπων, η τιμή της σχετικής απόκλισης του λόγου (13) των εκ των υστέρων υπό όρους πιθανοτήτων των υποθέσεων από τα σωστά αποτελέσματα (12) αποδεικνύεται επίσης πολύ σημαντική:

9,387 4,423 x 100 = 52,9%.

Συμπέρασμα. Μια ανάλυση της κατασκευής συγκεκριμένων σχέσεων τύπου που εφαρμόζουν τον τύπο Bayes και τις τροποποιήσεις του, που προτείνονται για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, μας επιτρέπει να αναφέρουμε τα ακόλουθα. Η πλήρης ομάδα των συγκρίσιμων 2 πιθανών συνδυασμένων γεγονότων μπορεί να επιλεγεί υποκειμενικά από τον υπεύθυνο λήψης αποφάσεων. Αυτή η επιλογή βασίζεται στα θεωρούμενα αντικειμενικά αρχικά δεδομένα, χαρακτηριστικά μιας τυπικής κατάστασης (συγκεκριμένοι τύποι και αριθμός στοιχειωδών γεγονότων - εκτιμώμενες υποθέσεις και στοιχεία). Πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η υποκειμενική επιλογή άλλων επιλογών της πλήρους ομάδας σε σύγκριση ως προς το βαθμό δυνατότητας.

συνδυασμένα γεγονότα - έτσι, παρέχεται μια σημαντική ποικιλία αναλογιών τύπου κατά την κατασκευή μη παραδοσιακών παραλλαγών τροποποιήσεων του τύπου Bayes. Αυτό, με τη σειρά του, μπορεί να αποτελέσει τη βάση για τη βελτίωση της μαθηματικής υποστήριξης της εφαρμογής λογισμικού, καθώς και για την επέκταση του πεδίου εφαρμογής νέων σχέσεων τύπου για την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων.

Βιβλιογραφικός κατάλογος

1. Gnedenko, B. V. Μια στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία των πιθανοτήτων / B. V. Gnedenko, A. Ya. Khinchin. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144 ρούβλια.

2. Venttsel, E. S. Θεωρία πιθανοτήτων / E. S. Venttsel. - 10η έκδ., σβησμένο. - Μόσχα: Ανώτατο Σχολείο, 2006. - 575 σελ.

3. Andronov. Α. Μ., Θεωρία Πιθανοτήτων και μαθηματικά στατιστικά/ A. M. Andronov, E. A. Kopytov, L. Ya. Gringlaz. - Αγία Πετρούπολη: Peter, 2004. - 481 p.

4. Zmitrovich, A. I. Ευφυή πληροφοριακά συστήματα / A. I. Zmitrovich. - Μινσκ: TetraSistems, 1997. - 496 σελ.

5. Chernorutsky, I. G. Μέθοδοι λήψης αποφάσεων / I. G. Chernorutsky. - Αγία Πετρούπολη: BHV-Petersburg, 2005. - 416 σελ.

6 Naylor, C.-M. Δημιουργήστε το δικό σας ειδικό σύστημα / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 σελ.

7. Romanov, V.P. Ευφυή πληροφοριακά συστήματα στην οικονομία / V.P. Romanov. - 2η έκδ., σβησμένο.

Μόσχα: Εξέταση, 2007. - 496 σελ.

8. Οικονομική αποτελεσματικότητα και ανταγωνιστικότητα / D. Yu. Muromtsev [και άλλοι]. - Tambov: Εκδοτικός Οίκος Tambov. κατάσταση τεχν. un-ta, 2007.- 96 p.

9. Dolgov, A. I. Σωστές τροποποιήσεις του τύπου Bayes για παράλληλο προγραμματισμό / A. I. Dolgov // Τεχνολογίες υπερυπολογιστών: υλικά του 3ου All-Russian. επιστημονικό-τεχνικό συνδ. - Ροστόφ-ον-Ντον. - 2014.- Τόμος 1 - Σ. 122-126.

10. A. I. Dolgov, On the correctness of modifications of the Bayes formula / A. I. Dolgov, Vestnik Don. κατάσταση τεχν. πανεπιστήμιο

2014. - V. 14, No. 3 (78). - Σ. 13-20.

1. Gnedenko, B.V., Khinchin, A.Ya. Μια στοιχειώδης εισαγωγή στη θεωρία των πιθανοτήτων. New York: Dover Publications, 1962, 144 p.

2 Βέντσελ, Ε.Σ. Teoriya veroyatnostey. 10η έκδ., reimpr. Μόσχα: Vysshaya shkola, 2006, 575 σελ. (στα ρώσικα).

3. Andronov, A.M., Kopytov, E.A., Gringlaz, L.Y. Teoriya veroyatnostey και matematicheskaya statistika. Αγία Πετρούπολη: Piter, 2004, 481 p. (στα ρώσικα).

4. Ζμίτροβιτς, Α.1. Intellektual "nye informatsionnye sistemy. Minsk: TetraSistems, 1997, 496 σ. (στα ρωσικά).

5. Chernorutskiy, I.G. Μεθοδολογία prinyatiya resheniy. Αγία Πετρούπολη: BKhV-Peterburg, 2005, 416 p. (στα ρώσικα).

6 Naylor, C.-M. Δημιουργήστε το δικό σας έμπειρο σύστημα. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 p.

7. Romanov, V.P. Intellektual "nye informatsionnye sistemy v ekonomike. 2nd ed., reimpr. Moscow: Ekzamen, 2007, 496 p. (στα ρωσικά).

8. Muromtsev, D.Y., et al. Οικονομικά αποτελεσματικά" και κονκουρεντόσπομπνοστ". Tambov: Izd-vo Tamb. πάει. τεχνολογία un-ta, 2007, 96 p. (στα ρώσικα). ΙΒ

9. Dolgov, Α1. Korrektnye modifikatsii formuly Bayesa dlya παράλληλη "nogo programmirovaniya. Superkomp" yuternye tekhnologii: mat-ly 3-y vseros. επιστημονικο-τεχν. συνδ. Rostov-on-Don, 2014, τόμ. 1, σελ. 122-126 (στα ρωσικά). ^

10. Dolgov, Α1. O korrektnosti modifikatsiy formuly Bayesa. ^ Vestnik of DSTU, 2014, τομ. 14, αρ. 3 (78), σελ. 13-20 (στα ρωσικά). *

Αν η εκδήλωση ΑΛΛΑμπορεί να συμβεί μόνο όταν ένα από τα γεγονότα που σχηματίζονται πλήρης ομάδα ασυμβίβαστων συμβάντων , τότε η πιθανότητα του συμβάντος ΑΛΛΑυπολογίζεται με τον τύπο

Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος συνολικής πιθανότητας .

Εξετάστε ξανά την πλήρη ομάδα των ασυμβίβαστων γεγονότων, των οποίων οι πιθανότητες εμφάνισης είναι . Εκδήλωση ΑΛΛΑμπορεί να συμβεί μόνο μαζί με οποιοδήποτε από τα συμβάντα που θα καλέσουμε υποθέσεις . Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο της συνολικής πιθανότητας

Αν η εκδήλωση ΑΛΛΑσυνέβη, μπορεί να αλλάξει τις πιθανότητες των υποθέσεων .

Σύμφωνα με το θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων

Ομοίως, για άλλες υποθέσεις

Ο τύπος που προκύπτει ονομάζεται Φόρμουλα Bayes (Φόρμουλα Bayes ). Οι πιθανότητες των υποθέσεων ονομάζονται μεταγενέστερες πιθανότητες , ενώ - προηγούμενες πιθανότητες .

Παράδειγμα.Το κατάστημα έλαβε νέα προϊόντα από τρεις επιχειρήσεις. Η ποσοστιαία σύνθεση αυτών των προϊόντων έχει ως εξής: 20% - προϊόντα της πρώτης επιχείρησης, 30% - προϊόντα της δεύτερης επιχείρησης, 50% - προϊόντα της τρίτης επιχείρησης. Επιπλέον, 10% των προϊόντων της πρώτης επιχείρησης υψηλότερης ποιότητας, στη δεύτερη επιχείρηση - 5% και στην τρίτη - 20% των προϊόντων της υψηλότερης ποιότητας. Βρείτε την πιθανότητα ότι ένα τυχαία αγορασμένο νέο προϊόν θα είναι της υψηλότερης ποιότητας.

Λύση.Σημειώστε με ΣΤΟτο γεγονός που συνίσταται στο γεγονός ότι θα αγοραστεί το premium προϊόν, ας υποδηλώσουμε τα γεγονότα που συνίστανται στην αγορά προϊόντων που ανήκουν στην πρώτη, δεύτερη και τρίτη επιχείρηση, αντίστοιχα.

Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο της συνολικής πιθανότητας και στη σημειογραφία μας:

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο συνολικής πιθανότητας, λαμβάνουμε την απαιτούμενη πιθανότητα:

Παράδειγμα.Ένας από τους τρεις σκοπευτές καλείται στη γραμμή του πυρός και ρίχνει δύο βολές. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή για τον πρώτο σκοπευτή είναι 0,3, για τον δεύτερο - 0,5. για το τρίτο - 0,8. Ο στόχος δεν χτυπιέται. Βρείτε την πιθανότητα ότι οι βολές έγιναν από τον πρώτο σκοπευτή.

Λύση.Τρεις υποθέσεις είναι δυνατές:

Ο πρώτος σκοπευτής καλείται στη γραμμή του πυρός,

Ο δεύτερος σκοπευτής καλείται στη γραμμή του πυρός,

Ένας τρίτος σκοπευτής κλήθηκε στη γραμμή του πυρός.

Εφόσον η κλήση οποιουδήποτε σκοπευτή στη γραμμή του πυρός είναι εξίσου δυνατή, τότε

Ως αποτέλεσμα του πειράματος, παρατηρήθηκε το γεγονός Β - μετά τις βολές, ο στόχος δεν χτυπήθηκε. Οι υπό όρους πιθανότητες αυτού του γεγονότος σύμφωνα με τις υποθέσεις που έγιναν είναι:

χρησιμοποιώντας τον τύπο Bayes, βρίσκουμε την πιθανότητα της υπόθεσης μετά το πείραμα:

Παράδειγμα.Σε τρία αυτόματα μηχανήματα επεξεργάζονται εξαρτήματα ίδιου τύπου, τα οποία φτάνουν μετά την επεξεργασία σε κοινό μεταφορέα. Η πρώτη μηχανή δίνει 2% απορρίπτει, η δεύτερη - 7%, η τρίτη - 10%. Η παραγωγικότητα της πρώτης μηχανής είναι 3 φορές μεγαλύτερη από την παραγωγικότητα της δεύτερης και της τρίτης είναι 2 φορές μικρότερη από τη δεύτερη.

α) Ποιο είναι το ποσοστό ελαττωμάτων στη γραμμή συναρμολόγησης;

β) Ποια είναι η αναλογία των μερών κάθε μηχανής μεταξύ των ελαττωματικών εξαρτημάτων του μεταφορέα;

Λύση.Ας πάρουμε τυχαία ένα μέρος από τη γραμμή συναρμολόγησης και ας εξετάσουμε το γεγονός Α - το εξάρτημα είναι ελαττωματικό. Συνδέεται με υποθέσεις σχετικά με το πού κατασκευάστηκε αυτό το εξάρτημα: - ένα τυχαία επιλεγμένο εξάρτημα υποβλήθηκε σε μηχανική κατεργασία στη μηχανή,.

Υπό όρους πιθανότητες (στην συνθήκη του προβλήματος δίνονται με τη μορφή ποσοστών):

Οι εξαρτήσεις μεταξύ των επιδόσεων του μηχανήματος σημαίνουν τα εξής:

Και αφού οι υποθέσεις αποτελούν μια πλήρη ομάδα, τότε .

Έχοντας λύσει το προκύπτον σύστημα εξισώσεων, βρίσκουμε: .

α) Η συνολική πιθανότητα ότι ένα εξάρτημα που λαμβάνεται τυχαία από τη γραμμή συναρμολόγησης είναι ελαττωματικό:

Με άλλα λόγια, στη μάζα των εξαρτημάτων που βγαίνουν από τη γραμμή συναρμολόγησης, το ελάττωμα είναι 4%.

β) Ας είναι γνωστό ότι ένα εξάρτημα που λαμβάνεται τυχαία είναι ελαττωματικό. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Bayes, βρίσκουμε τις υπό όρους πιθανότητες των υποθέσεων:

Έτσι, στη συνολική μάζα των ελαττωματικών εξαρτημάτων στον μεταφορέα, το μερίδιο της πρώτης μηχανής είναι 33%, της δεύτερης - 39%, της τρίτης - 28%.

Πρακτικές εργασίες

Ασκηση 1

Επίλυση προβλημάτων στις κύριες ενότητες της θεωρίας πιθανοτήτων

Στόχος είναι η απόκτηση πρακτικών δεξιοτήτων στην επίλυση προβλημάτων

τμήματα της θεωρίας πιθανοτήτων

Προετοιμασία για την πρακτική εργασία

Να εξοικειωθούν με το θεωρητικό υλικό για το θέμα αυτό, να μελετήσουν το περιεχόμενο του θεωρητικού, καθώς και τις σχετικές ενότητες στη βιβλιογραφία

Εντολή εκτέλεσης εργασιών

Λύστε 5 προβλήματα σύμφωνα με τον αριθμό της επιλογής εργασίας που δίνεται στον Πίνακα 1.

Επιλογές αρχικών δεδομένων

Τραπέζι 1

	αριθμός εργασίας

Η σύνθεση της έκθεσης για την εργασία 1

5 λυμένα προβλήματα σύμφωνα με τον αριθμό παραλλαγής.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

1.. Είναι οι ακόλουθες ομάδες γεγονότων περιπτώσεις: α) εμπειρία - πέταγμα νομίσματος; εξελίξεις: Α'1- την εμφάνιση του θυρεού. Α2- η εμφάνιση ενός αριθμού. β) εμπειρία - πέταγμα δύο νομισμάτων. εξελίξεις: ΣΕ 1- η εμφάνιση δύο θυρεών. ΣΕ 2 -η εμφάνιση δύο ψηφίων. ΣΤΙΣ 3- την εμφάνιση ενός θυρεού και ενός αριθμού. γ) εμπειρία - ρίψη ζαριών. εξελίξεις: C1 -η εμφάνιση όχι περισσότερων από δύο σημείων. C2 -η εμφάνιση τριών ή τεσσάρων σημείων. C3 -την εμφάνιση τουλάχιστον πέντε σημείων· δ) εμπειρία - μια βολή σε ένα στόχο. εξελίξεις: Δ1- Κτύπημα; D2-δεσποινίδα; ε) εμπειρία - δύο βολές στο στόχο. εξελίξεις: Ε0- ούτε ένα χτύπημα. Ε1- ένα χτύπημα; Ε2- δύο χτυπήματα στ) εμπειρία - τραβώντας δύο φύλλα από την τράπουλα. εξελίξεις: F1-η εμφάνιση δύο κόκκινων καρτών. F2- η εμφάνιση δύο μαύρων καρτών;

2. Το Urn A περιέχει λευκό και B μαύρες μπάλες. Μία μπάλα τραβιέται τυχαία από το δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα αυτή η μπάλα να είναι λευκή.

3. Στην λάρνακα Α άσπρη άμμος σι μαύρες μπάλες. Μια μπάλα βγαίνει από το δοχείο και αφήνεται στην άκρη. Αυτή η μπάλα είναι λευκή. Μετά από αυτό, μια άλλη μπάλα λαμβάνεται από το δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα αυτή η μπάλα να είναι επίσης λευκή.

4. Στην λάρνακα Α λευκοί και Β μαύρες μπάλες. Μια μπάλα βγήκε από το δοχείο και έμεινε στην άκρη χωρίς να κοιτάξει. Μετά από αυτό, μια άλλη μπάλα αφαιρέθηκε από το δοχείο. Αποδείχθηκε λευκός. Βρείτε την πιθανότητα ότι η πρώτη μπάλα που βάλατε στην άκρη είναι επίσης λευκή.

5. Από τεφροδόχο που περιέχει Α λευκοί και Β μαύρες μπάλες, βγάζετε μία μία όλες τις μπάλες εκτός από μία. Βρείτε την πιθανότητα η τελευταία μπάλα που έχει απομείνει στο δοχείο να είναι λευκή.

6. Από την τεφροδόχο στην οποία ο Α άσπρες μπάλες και Β μαύρες, βγάζετε στη σειρά όλες τις μπάλες σε αυτό. Βρείτε την πιθανότητα η δεύτερη μπάλα να είναι λευκή.

7. Σε μια τεφροδόχο Α από λευκές και Β από μαύρες μπάλες (ΕΝΑ > 2). Δύο μπάλες βγαίνουν από το δοχείο ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι λευκές.

8. Λευκό και Β στην τεφροδόχο Α μαύρες μπάλες (Α > 2, Β > 3). Πέντε μπάλες βγαίνουν από το δοχείο ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα Rδύο από αυτά θα είναι λευκά και τρία θα είναι μαύρα.

9. Σε κόμμα που αποτελείται από Χ προϊόντα, υπάρχει Εγώελαττωματικός. Από την παρτίδα επιλέγεται για έλεγχο I προϊόντα. Βρείτε την πιθανότητα Rποιος από αυτούς ακριβώς J τα προϊόντα θα είναι ελαττωματικά.

10. Ένα ζάρι ρίχνεται μια φορά. Βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω γεγονότων: ΑΛΛΑ -την εμφάνιση ζυγού αριθμού σημείων· ΣΤΟ- εμφάνιση τουλάχιστον 5 πόντων. ΑΠΟ-εμφάνιση όχι περισσότερο από 5 βαθμούς.

11. Ένα ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα Rότι θα εμφανιστεί ο ίδιος αριθμός πόντων και τις δύο φορές.

12. Δύο ζάρια ρίχνονται ταυτόχρονα. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων: ΑΛΛΑ- το άθροισμα των πόντων που χάθηκαν είναι ίσο με 8. ΣΤΟ- το γινόμενο των πόντων που πέφτουν είναι ίσο με 8. ΑΠΟ-το άθροισμα των πόντων που πέφτουν είναι μεγαλύτερο από το γινόμενο τους.

13. Ρίχνονται δύο νομίσματα. Ποιο από τα παρακάτω συμβάντα είναι πιο πιθανό: ΑΛΛΑ -Τα κέρματα θα βρίσκονται στις ίδιες πλευρές. AT -Τα νομίσματα βρίσκονται σε διαφορετικές πλευρές;

14. Στην λάρνακα Α λευκοί και Β μαύρες μπάλες (ΕΝΑ > 2; σι > 2). Δύο μπάλες βγαίνουν από το δοχείο ταυτόχρονα. Ποιο συμβάν είναι πιο πιθανό: ΑΛΛΑ- μπάλες του ίδιου χρώματος. AT -μπάλες διαφορετικών χρωμάτων;

15. Τρεις παίκτες παίζουν χαρτιά. Σε κάθε ένα από αυτά μοιράζονται 10 φύλλα και μένουν δύο φύλλα στην κλήρωση. Ένας από τους παίκτες βλέπει ότι έχει 6 φύλλα από ένα διαμαντένιο κοστούμι και 4 κάρτες από ένα μη διαμαντένιο κοστούμι. Απορρίπτει δύο από αυτά τα τέσσερα φύλλα και παίρνει την ισοπαλία. Βρείτε την πιθανότητα να αγοράσει δύο διαμάντια.

16. Από τεφροδόχο που περιέχει Παριθμημένες μπάλες, βγάλτε τυχαία μία προς μία όλες τις μπάλες μέσα. Βρείτε την πιθανότητα οι αριθμοί των συρόμενων σφαιρών να είναι με τη σειρά: 1, 2,..., Π.

17. Το ίδιο δοχείο με το προηγούμενο πρόβλημα, αλλά μετά την αφαίρεση κάθε μπάλα μπαίνει ξανά και αναμειγνύεται με άλλες, και ο αριθμός της καταγράφεται. Βρείτε την πιθανότητα να γραφτεί η φυσική ακολουθία των αριθμών: 1, 2,..., n.

18. Μια πλήρης τράπουλα (52 φύλλα) χωρίζεται τυχαία σε δύο ίσα πακέτα των 26 φύλλων. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων: ΑΛΛΑ -Σε καθένα από τα πακέτα θα υπάρχουν δύο άσοι. ΣΤΟ- σε ένα από τα πακέτα δεν θα υπάρχουν άσοι, και στο άλλο - και τα τέσσερα. Αμαρτίαένα από τα πακέτα θα έχει έναν άσο και το άλλο πακέτο θα έχει τρεις.

19. Στο πρωτάθλημα μπάσκετ συμμετέχουν 18 ομάδες, από τις οποίες σχηματίζονται τυχαία δύο όμιλοι των 9 ομάδων ο καθένας. Υπάρχουν 5 ομάδες μεταξύ των συμμετεχόντων του διαγωνισμού

επιπλέον τάξη. Βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων: ΑΛΛΑ -όλες οι ομάδες εκτός κατηγορίας θα πέσουν στον ίδιο όμιλο. ΣΤΟ- δύο ομάδες εκτός κατηγορίας θα μπουν σε έναν από τους ομίλους και τρεις - στον άλλο.

20. Οι αριθμοί γράφονται σε εννέα κάρτες: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Δύο από αυτούς βγαίνουν τυχαία και τοποθετούνται στο τραπέζι με τη σειρά εμφάνισης και μετά διαβάζεται ο αριθμός που προκύπτει , για παράδειγμα 07 (επτά), 14 (δεκατέσσερα) κ.λπ. Βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός να είναι άρτιος.

21. Οι αριθμοί γράφονται σε πέντε κάρτες: 1, 2, 3, 4, 5. Δύο από αυτά, το ένα μετά το άλλο, βγαίνουν. Βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός στη δεύτερη κάρτα να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό της πρώτης.

22. Η ίδια ερώτηση όπως στο πρόβλημα 21, αλλά το πρώτο φύλλο μετά την τραβήξή του τοποθετείται πίσω και αναμιγνύεται με το υπόλοιπο, και ο αριθμός πάνω του γράφεται.

23. Στην λάρνακα Α λευκό, Β μαύρες και Γ κόκκινες μπάλες. Μία-μία, όλες οι μπάλες σε αυτό βγαίνουν από τη λάρνακα και γράφονται τα χρώματά τους. Βρείτε την πιθανότητα το λευκό να εμφανίζεται πριν από το μαύρο σε αυτήν τη λίστα.

24. Υπάρχουν δύο τεφροδόχοι: στην πρώτη η Α λευκοί και Β μαύρες μπάλες? στο δεύτερο Γ λευκό και Δ μαύρος. Μια μπάλα τραβιέται από κάθε τεφροδόχο. Βρείτε την πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι λευκές.

25. Υπό τις συνθήκες του Προβλήματος 24, βρείτε την πιθανότητα οι συρόμενες μπάλες να είναι διαφορετικών χρωμάτων.

26. Υπάρχουν επτά φωλιές στο τύμπανο ενός περίστροφου, πέντε από αυτές είναι γεμάτες με φυσίγγια και δύο έχουν μείνει κενές. Το τύμπανο τίθεται σε περιστροφή, με αποτέλεσμα μια από τις υποδοχές να τοποθετείται τυχαία πάνω στην κάννη. Μετά από αυτό, πιέζεται η σκανδάλη. εάν το κελί ήταν άδειο, η βολή δεν εμφανίζεται. Βρείτε την πιθανότητα Rτο γεγονός ότι, έχοντας επαναλάβει ένα τέτοιο πείραμα δύο φορές στη σειρά, δεν θα πυροβολήσουμε και τις δύο φορές.

27. Υπό τις ίδιες συνθήκες (βλ. Πρόβλημα 26), βρείτε την πιθανότητα να συμβεί και τις δύο φορές η βολή.

28. Υπάρχει ένα Α στην τεφροδόχο. μπάλες με την ένδειξη 1, 2, ..., προς τηνΑπό την τεφροδόχο Εγώμόλις τραβηχτεί μια μπάλα (ΕΓΩ<к), ο αριθμός της μπάλας καταγράφεται και η μπάλα τοποθετείται ξανά στην λάρνακα. Βρείτε την πιθανότητα Rότι όλοι οι καταγεγραμμένοι αριθμοί θα είναι διαφορετικοί.

29. Η λέξη "βιβλίο" αποτελείται από πέντε γράμματα του χωρισμένου αλφαβήτου. Ένα παιδί που δεν ήξερε να διαβάσει σκόρπισε αυτά τα γράμματα και μετά τα έβαλε μαζί με τυχαία σειρά. Βρείτε την πιθανότητα Rτο γεγονός ότι πήρε πάλι τη λέξη «βιβλίο».

30. Η λέξη "ανανάς" αποτελείται από τα γράμματα του χωρισμένου αλφαβήτου. Ένα παιδί που δεν ήξερε να διαβάσει σκόρπισε αυτά τα γράμματα και μετά τα έβαλε μαζί με τυχαία σειρά. Βρείτε την πιθανότητα Rτο γεγονός ότι έχει πάλι τη λέξη «ανανάς

31. Από μια πλήρη τράπουλα (52 φύλλα, 4 κοστούμια), βγαίνουν πολλά φύλλα ταυτόχρονα. Πόσα φύλλα πρέπει να αφαιρεθούν για να πούμε με πιθανότητα μεγαλύτερη από 0,50 ότι ανάμεσά τους θα υπάρχουν φύλλα του ίδιου χρώματος;

32. Νάνθρωποι κάθονται τυχαία σε ένα στρογγυλό τραπέζι (Ν > 2). Βρείτε την πιθανότητα Rότι δύο σταθερά πρόσωπα ΑΛΛΑκαι ΣΤΟθα είναι κοντά.

33. Το ίδιο πρόβλημα (βλ. 32), αλλά ο πίνακας είναι ορθογώνιος, και το Ν το άτομο κάθεται τυχαία κατά μήκος μιας από τις πλευρές του.

34. Αριθμοί από 1 έως Ν.Από αυτά Νεπιλέγονται τυχαία δύο βαρέλια. Να βρείτε την πιθανότητα να γράφονται αριθμοί μικρότεροι από k και στις δύο κάννες (2

35. Αριθμοί από 1 έως Ν.Από αυτά Νεπιλέγονται τυχαία δύο βαρέλια. Να βρείτε την πιθανότητα μια από τις κάννες να έχει αριθμό μεγαλύτερο από k , και από την άλλη - λιγότερο από k . (2

36. Έξοδος μπαταρίας Μπυροβόλα όπλα κατά ομάδας αποτελούμενης από Νστόχους (Μ< N). Τα όπλα επιλέγουν τους στόχους τους διαδοχικά, τυχαία, υπό την προϋπόθεση ότι δεν μπορούν να πυροβολήσουν δύο όπλα στον ίδιο στόχο. Βρείτε την πιθανότητα Rτο γεγονός ότι θα βληθούν στόχοι με αριθμούς 1, 2, ... Μ.

37.. Μπαταρία που αποτελείται από προς τηνπυροβόλα όπλα, πυρά σε ομάδα αποτελούμενη από Εγώαεροσκάφος (προς την< 2). Κάθε όπλο επιλέγει τον στόχο του τυχαία και ανεξάρτητα από τα άλλα. Βρείτε την πιθανότητα ότι όλα προς τηντα όπλα θα πυροβολούν στον ίδιο στόχο.

38. Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου προβλήματος, βρείτε την πιθανότητα όλα τα όπλα να πυροβολούν σε διαφορετικούς στόχους.

39. Τέσσερις μπάλες είναι τυχαία σκορπισμένες σε τέσσερις τρύπες. κάθε μπάλα χτυπά τη μία ή την άλλη τρύπα με την ίδια πιθανότητα και ανεξάρτητα από τις άλλες (δεν υπάρχουν εμπόδια για να μπουν πολλές μπάλες στην ίδια τρύπα). Βρείτε την πιθανότητα ότι θα υπάρχουν τρεις μπάλες σε μία από τις τρύπες, η μία - στην άλλη, και καμία μπάλα στις άλλες δύο τρύπες.

40. Η Μάσα μάλωνε με τον Πέτια και δεν θέλει να πάει μαζί του στο ίδιο λεωφορείο. Υπάρχουν 5 λεωφορεία από τον ξενώνα προς το ινστιτούτο από τις 7 έως τις 8. Όσοι δεν έχουν χρόνο για αυτά τα λεωφορεία καθυστερούν στη διάλεξη. Με πόσους τρόπους μπορούν η Μάσα και η Πέτια να φτάσουν στο ινστιτούτο με διαφορετικά λεωφορεία και να μην αργήσουν στη διάλεξη;

41. Στο τμήμα πληροφορικής της τράπεζας υπάρχουν 3 αναλυτές, 10 προγραμματιστές και 20 μηχανικοί. Για υπερωρίες σε αργία, ο προϊστάμενος του τμήματος πρέπει να διαθέσει έναν υπάλληλο. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

42. Ο επικεφαλής της υπηρεσίας ασφαλείας της τράπεζας πρέπει να τοποθετεί καθημερινά 10 φύλακες σε 10 θέσεις. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

43. Ο νέος πρόεδρος της τράπεζας πρέπει να διορίσει 2 νέους αντιπροέδρους από τους 10 διευθυντές. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

44. Ένα από τα αντιμαχόμενα μέρη συνέλαβε 12 και το άλλο - 15 αιχμαλώτους. Με πόσους τρόπους μπορούν να ανταλλάξουν 7 αιχμάλωτοι πολέμου;

45. Η Petya και η Masha συλλέγουν δίσκους βίντεο. Ο Petya έχει 30 κωμωδίες, 80 ταινίες δράσης και 7 μελοδράματα, η Masha έχει 20 κωμωδίες, 5 ταινίες δράσης και 90 μελοδράματα. Με πόσους τρόπους μπορούν να ανταλλάξουν η Πέτυα και η Μάσα 3 κωμωδίες, 2 ταινίες δράσης και 1 μελόδραμα;

46. Υπό τις συνθήκες του Προβλήματος 45, με πόσους τρόπους μπορούν να ανταλλάξουν η Πέτυα και η Μάσα 3 μελοδράματα και 5 κωμωδίες;

47. Υπό τις συνθήκες του προβλήματος 45, με πόσους τρόπους μπορούν να ανταλλάξουν η Petya και η Masha 2 ταινίες δράσης και 7 κωμωδίες.

48. Ένα από τα αντιμαχόμενα μέρη συνέλαβε 15, και το άλλο - 16 αιχμαλώτους. Με πόσους τρόπους μπορούν να ανταλλάξουν 5 αιχμάλωτοι πολέμου;

49. Πόσα αυτοκίνητα μπορούν να ταξινομηθούν σε 1 πόλη αν ο αριθμός έχει 3 ψηφία και 3 γράμματα );

50. Ένα από τα αντιμαχόμενα μέρη συνέλαβε 14 και το άλλο - 17 αιχμαλώτους. Με πόσους τρόπους μπορούν να ανταλλάξουν 6 αιχμάλωτοι πολέμου;

51. Πόσες διαφορετικές λέξεις μπορούν να σχηματιστούν με την αναδιάταξη των γραμμάτων στη λέξη «μητέρα»;

52. Υπάρχουν 3 κόκκινα και 7 πράσινα μήλα σε ένα καλάθι. Ένα μήλο βγαίνει από αυτό. Βρείτε την πιθανότητα να είναι κόκκινο.

53. Υπάρχουν 3 κόκκινα και 7 πράσινα μήλα σε ένα καλάθι. Ένα πράσινο μήλο το έβγαλαν και το άφησαν στην άκρη. Στη συνέχεια, 1 ακόμη μήλο βγαίνει από το καλάθι. Ποια είναι η πιθανότητα αυτό το μήλο να είναι πράσινο;

54. Σε μια παρτίδα 1.000 ειδών, τα 4 είναι ελαττωματικά. Για έλεγχο, επιλέγεται μια παρτίδα 100 προϊόντων. Ποια είναι η πιθανότητα LLP να μην είναι ελαττωματική η παρτίδα ελέγχου;

56. Στη δεκαετία του '80, το παιχνίδι sportloto 5 από τα 36 ήταν δημοφιλές στην ΕΣΣΔ. Ο παίκτης σημείωσε στην κάρτα 5 αριθμούς από το 1 έως το 36 και λάμβανε έπαθλα διαφόρων ονομασιών αν μάντευε διαφορετικό αριθμό αριθμών που ανακοινώθηκαν από την επιτροπή κλήρωσης. Βρείτε την πιθανότητα ο παίκτης να μην μαντέψει κανέναν αριθμό.

57. Στη δεκαετία του '80, το παιχνίδι "sportloto 5 από 36" ήταν δημοφιλές στην ΕΣΣΔ. Ο παίκτης σημείωσε στην κάρτα 5 αριθμούς από το 1 έως το 36 και λάμβανε έπαθλα διαφόρων ονομασιών αν μάντευε διαφορετικό αριθμό αριθμών που ανακοινώθηκαν από την επιτροπή κλήρωσης. Βρείτε την πιθανότητα ο παίκτης να μαντέψει έναν αριθμό.

58. Στη δεκαετία του '80, το παιχνίδι sportloto 5 από 36 ήταν δημοφιλές στην ΕΣΣΔ. Ο παίκτης σημείωσε στην κάρτα 5 αριθμούς από το 1 έως το 36 και λάμβανε έπαθλα διαφόρων ονομασιών αν μάντευε διαφορετικό αριθμό αριθμών που ανακοινώθηκαν από την επιτροπή κλήρωσης. Βρείτε την πιθανότητα ο παίκτης να μαντέψει 3 αριθμούς.

59. Στη δεκαετία του '80, το παιχνίδι sportloto 5 από τα 36 ήταν δημοφιλές στην ΕΣΣΔ. Ο παίκτης σημείωσε στην κάρτα 5 αριθμούς από το 1 έως το 36 και λάμβανε έπαθλα διαφόρων ονομασιών αν μάντευε διαφορετικό αριθμό αριθμών που ανακοινώθηκαν από την επιτροπή κλήρωσης. Βρείτε την πιθανότητα ο παίκτης να μην μαντέψει και τους 5 αριθμούς.

60. Στη δεκαετία του '80, το παιχνίδι sportloto 6 από 49 ήταν δημοφιλές στην ΕΣΣΔ. Ο παίκτης σημείωσε στην κάρτα 6 αριθμούς από το 1 έως το 49 και λάμβανε έπαθλα διαφόρων ονομασιών αν μάντευε διαφορετικό αριθμό αριθμών που ανακοινώθηκαν από την επιτροπή κλήρωσης. Βρείτε την πιθανότητα ο παίκτης να μαντέψει 2 αριθμούς.

61. Στη δεκαετία του '80, το παιχνίδι "sportloto 6 από 49" ήταν δημοφιλές στην ΕΣΣΔ. Ο παίκτης σημείωσε στην κάρτα 6 αριθμούς από το 1 έως το 49 και λάμβανε έπαθλα διαφόρων ονομασιών αν μάντευε διαφορετικό αριθμό αριθμών που ανακοινώθηκαν από την επιτροπή κλήρωσης. Βρείτε την πιθανότητα ο παίκτης να μην μαντέψει κανέναν αριθμό.

62. Στη δεκαετία του '80, το παιχνίδι "sportloto 6 από 49" ήταν δημοφιλές στην ΕΣΣΔ. Ο παίκτης σημείωσε στην κάρτα 6 αριθμούς από το 1 έως το 49 και λάμβανε έπαθλα διαφόρων ονομασιών αν μάντευε διαφορετικό αριθμό αριθμών που ανακοινώθηκαν από την επιτροπή κλήρωσης. Βρείτε την πιθανότητα ο παίκτης να μαντέψει και τους 6 αριθμούς.

63. Σε μια παρτίδα 1.000 ειδών, τα 4 είναι ελαττωματικά. Για έλεγχο, επιλέγεται μια παρτίδα 100 προϊόντων. Ποια είναι η πιθανότητα LLP ότι μόνο 1 ελαττωματικό θα είναι στην παρτίδα ελέγχου;

64. Πόσες διαφορετικές λέξεις μπορούν να σχηματιστούν με την αναδιάταξη των γραμμάτων στη λέξη «βιβλίο»;

65. Πόσες διαφορετικές λέξεις μπορούν να σχηματιστούν με την αναδιάταξη των γραμμάτων στη λέξη «ανανάς»;

66. 6 άτομα μπήκαν στο ασανσέρ, και ο ξενώνας έχει 7 ορόφους. Ποια είναι η πιθανότητα να βγουν και τα 6 άτομα στον ίδιο όροφο;

67. 6 άτομα μπήκαν στο ασανσέρ, το κτίριο έχει 7 ορόφους. Ποια είναι η πιθανότητα να βγουν και τα 6 άτομα σε διαφορετικούς ορόφους;

68. Κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας, σημειώθηκε διακοπή καλωδίων στο τμήμα μεταξύ 40 και 79 km της γραμμής ηλεκτροδότησης. Υποθέτοντας ότι το διάλειμμα είναι εξίσου δυνατό σε οποιοδήποτε σημείο, βρείτε την πιθανότητα ότι το διάλειμμα έγινε μεταξύ του 40ου και του 45ου χιλιομέτρου.

69. Στο τμήμα 200 χιλιομέτρων του αγωγού αερίου, υπάρχει διαρροή αερίου μεταξύ των σταθμών συμπίεσης Α και Β, η οποία είναι εξίσου δυνατή σε οποιοδήποτε σημείο του αγωγού. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί η διαρροή σε απόσταση 20 km από το A

70. Στο τμήμα μήκους 200 χιλιομέτρων του αγωγού αερίου, εμφανίζεται διαρροή αερίου μεταξύ των σταθμών συμπίεσης Α και Β, η οποία είναι εξίσου δυνατή σε οποιοδήποτε σημείο του αγωγού. Ποια είναι η πιθανότητα η διαρροή να είναι πιο κοντά στο Α παρά στο Β;

71. Το ραντάρ του επιθεωρητή της τροχαίας έχει ακρίβεια 10 km/h και γυρίζει στην πλησιέστερη πλευρά. Τι συμβαίνει πιο συχνά - στρογγυλοποίηση υπέρ του οδηγού ή του επιθεωρητή;

72. Η Μάσα ξοδεύει 40 με 50 λεπτά στο δρόμο της προς το ινστιτούτο, και οποιαδήποτε στιγμή σε αυτό το διάστημα είναι εξίσου πιθανή. Ποια είναι η πιθανότητα να περάσει στο δρόμο από 45 έως 50 λεπτά.

73. Η Petya και η Masha συμφώνησαν να συναντηθούν στο μνημείο του Πούσκιν από τις 12 έως τις 13 ώρες, αλλά κανείς δεν μπορούσε να υποδείξει την ακριβή ώρα άφιξης. Συμφώνησαν να περιμένουν ο ένας τον άλλον για 15 λεπτά. Ποια είναι η πιθανότητα να συναντηθούν;

74. Ψαράδες έπιασαν 120 ψάρια στη λίμνη, 10 από αυτά ήταν δακτυλιωμένα. Ποια είναι η πιθανότητα να πιάσετε ένα δακτυλιωμένο ψάρι;

75. Από ένα καλάθι που περιέχει 3 κόκκινα και 7 πράσινα μήλα, βγάλτε όλα τα μήλα με τη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα το 2ο μήλο να είναι κόκκινο;

76. Από ένα καλάθι που περιέχει 3 κόκκινα και 7 πράσινα μήλα, βγάλτε όλα τα μήλα με τη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα το τελευταίο μήλο να είναι πράσινο;

77. Οι μαθητές θεωρούν ότι από τα 50 εισιτήρια τα 10 είναι «καλά». Η Πέτυα και η Μάσα βγάζουν εναλλάξ από ένα εισιτήριο ο καθένας. Ποια είναι η πιθανότητα ότι η Μάσα πήρε ένα «καλό» εισιτήριο;

78. Οι μαθητές θεωρούν ότι από τα 50 εισιτήρια τα 10 είναι «καλά». Η Πέτυα και η Μάσα βγάζουν εναλλάξ από ένα εισιτήριο ο καθένας. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν και οι δύο «καλό» εισιτήριο;

79. Η Μάσα ήρθε στην εξέταση γνωρίζοντας τις απαντήσεις σε 20 ερωτήσεις του προγράμματος από τις 25. Ο καθηγητής κάνει 3 ερωτήσεις. Ποια είναι η πιθανότητα η Μάσα να απαντήσει σε 3 ερωτήσεις;

80. Η Μάσα ήρθε στην εξέταση γνωρίζοντας τις απαντήσεις σε 20 ερωτήσεις του προγράμματος από τις 25. Ο καθηγητής κάνει 3 ερωτήσεις. Ποια είναι η πιθανότητα η Μάσα να μην απαντήσει σε καμία από τις ερωτήσεις;

81. Η Μάσα ήρθε στην εξέταση γνωρίζοντας τις απαντήσεις σε 20 ερωτήσεις του προγράμματος από τις 25. Ο καθηγητής κάνει 3 ερωτήσεις. Ποια είναι η πιθανότητα η Μάσα να απαντήσει σε 1 ερώτηση;

82. Τα στατιστικά στοιχεία των αιτημάτων τραπεζικών δανείων είναι τα εξής: 10% - κρατικό. αρχές, το 20% - άλλες τράπεζες, το υπόλοιπο - ιδιώτες. Η πιθανότητα αθέτησης του δανείου είναι 0,01, 0,05 και 0,2, αντίστοιχα. Ποιο είναι το ποσοστό των δανείων που δεν επιστρέφονται;

83. η πιθανότητα ο εβδομαδιαίος τζίρος ενός εμπόρου παγωτού να ξεπεράσει τα 2000 ρούβλια. είναι 80% σε καθαρό καιρό, 50% σε μερικώς συννεφιασμένη και 10% σε βροχερό καιρό. Ποια είναι η πιθανότητα ο τζίρος να υπερβεί τα 2000 ρούβλια. εάν η πιθανότητα καθαρού καιρού είναι 20%, και μερικώς συννεφιασμένος και βροχερός - 40% το καθένα.

84. Το λευκό (b) και το C βρίσκονται στη λάρνακα Α μαύρες (η) μπάλες. Δύο μπάλες βγαίνουν από το δοχείο (ταυτόχρονα ή διαδοχικά). Βρείτε την πιθανότητα και οι δύο μπάλες να είναι λευκές.

85. Στην λάρνακα Α λευκοί και Β

86. Στην λάρνακα Α λευκοί και Β

87. Στην λάρνακα Α λευκοί και Β μαύρες μπάλες. Μια μπάλα βγαίνει από τη λάρνακα, σημειώνεται το χρώμα της και η μπάλα επιστρέφει στη λάρνακα. Μετά από αυτό, μια άλλη μπάλα λαμβάνεται από το δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα αυτές οι μπάλες να είναι διαφορετικών χρωμάτων.

88. Υπάρχει ένα κουτί με εννέα νέες μπάλες τένις. Τρεις μπάλες λαμβάνονται για το παιχνίδι. μετά το παιχνίδι επιστρέφονται. Όταν επιλέγουν μπάλες, δεν κάνουν διάκριση ανάμεσα σε παιγμένες και άπαιχτες μπάλες. Ποια είναι η πιθανότητα μετά από τρία παιχνίδια να μην υπάρχουν άπαιχτες μπάλες στο κουτί;

89. Φεύγοντας από το διαμέρισμα, Ν Κάθε επισκέπτης θα φορέσει τις δικές του γαλότσες.

90. Φεύγοντας από το διαμέρισμα, Νοι επισκέπτες με το ίδιο μέγεθος παπουτσιού φορούν γαλότσες στο σκοτάδι. Καθένας από αυτούς μπορεί να ξεχωρίσει τη δεξιά γαλότζα από την αριστερή, αλλά δεν μπορεί να ξεχωρίσει τη δική του από την άλλη. Βρείτε την πιθανότητα ότι κάθε καλεσμένος θα φορέσει γαλότσες που ανήκουν σε ένα ζευγάρι (ίσως όχι το δικό τους).

91. Υπό τις συνθήκες του προβλήματος 90, βρείτε την πιθανότητα να φύγουν όλοι στις γαλότσες τους εάν οι φιλοξενούμενοι δεν μπορούν να διακρίνουν τις σωστές γαλότσες από τις αριστερά και απλώς πάρουν τις δύο πρώτες γαλότσες που συναντούν.

92. Γίνονται πυροβολισμοί στο αεροσκάφος, τα ευάλωτα μέρη του οποίου είναι δύο κινητήρες και το πιλοτήριο. Για να χτυπήσετε (απενεργοποιήσετε) το αεροσκάφος, αρκεί να χτυπήσετε και τους δύο κινητήρες μαζί ή το πιλοτήριο. Υπό δεδομένες συνθήκες πυροδότησης, η πιθανότητα να χτυπηθεί ο πρώτος κινητήρας είναι p1δεύτερος κινητήρας p2,στίβος κοκκορομαχιών p3.Μέρη του αεροσκάφους επηρεάζονται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Βρείτε την πιθανότητα να χτυπηθεί το αεροπλάνο.

93. Δύο σκοπευτές, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, ρίχνουν δύο βολές (ο καθένας στο δικό του στόχο). Πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο με μία βολή για τον πρώτο σκοπευτή p1για το δεύτερο p2.Νικητής του διαγωνισμού είναι ο σκοπευτής, στον στόχο του οποίου θα υπάρχουν περισσότερες τρύπες. Βρείτε την πιθανότητα Rxτι κερδίζει ο πρώτος σουτέρ.

94. πίσω από ένα διαστημικό αντικείμενο, το αντικείμενο ανιχνεύεται με πιθανότητα R.Η ανίχνευση αντικειμένων σε κάθε κύκλο γίνεται ανεξάρτητα από τους άλλους. Βρείτε την πιθανότητα ότι όταν Πκύκλους θα ανιχνευθεί το αντικείμενο.

95. 32 γράμματα του ρωσικού αλφαβήτου είναι γραμμένα σε κομμένες κάρτες αλφαβήτου. Πέντε χαρτιά κληρώνονται τυχαία, το ένα μετά το άλλο, και τοποθετούνται στο τραπέζι με τη σειρά που εμφανίζονται. Βρείτε την πιθανότητα να προκύψει η λέξη «τέλος».

96. Δύο μπάλες διασκορπίζονται τυχαία και ανεξάρτητα η μία από την άλλη σε τέσσερα κελιά που βρίσκονται το ένα μετά το άλλο σε ευθεία γραμμή. Κάθε μπάλα με την ίδια πιθανότητα 1/4 χτυπά κάθε κελί. Βρείτε την πιθανότητα οι μπάλες να πέσουν σε γειτονικά κελιά.

97. Κατά του αεροσκάφους εκτοξεύονται εμπρηστικά βλήματα. Το καύσιμο του αεροσκάφους συγκεντρώνεται σε τέσσερις δεξαμενές που βρίσκονται στην άτρακτο το ένα μετά το άλλο. Τα μεγέθη των δεξαμενών είναι τα ίδια. Για να αναφλεγεί το αεροσκάφος αρκεί να χτυπηθούν δύο οβίδες είτε στην ίδια δεξαμενή είτε σε γειτονικά άρματα μάχης. Είναι γνωστό ότι δύο οβίδες έπληξαν την περιοχή του τανκ. Βρείτε την πιθανότητα να πάρει φωτιά το αεροπλάνο.

98. Από μια πλήρη τράπουλα (52 φύλλα), αφαιρούνται τέσσερα φύλλα ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα και τα τέσσερα αυτά φύλλα να έχουν το ίδιο χρώμα.

99. Από μια πλήρη τράπουλα (52 φύλλα), αφαιρούνται τέσσερα φύλλα ταυτόχρονα, αλλά κάθε φύλλο επιστρέφεται στην τράπουλα αφού το βγάλετε. Βρείτε την πιθανότητα και τα τέσσερα φύλλα να είναι του ίδιου χρώματος.

100. Όταν ανάβει η ανάφλεξη, ο κινητήρας ξεκινά με πιθανότητα R.

101. Η συσκευή μπορεί να λειτουργήσει σε δύο λειτουργίες: 1) κανονική και 2) μη κανονική. Η κανονική λειτουργία παρατηρείται στο 80% όλων των περιπτώσεων λειτουργίας της συσκευής. μη φυσιολογικό - σε 20%. Πιθανότητα βλάβης της συσκευής έγκαιρα tσε κανονική λειτουργία είναι 0,1? στο μη φυσιολογικό - 0,7. Βρείτε τη συνολική πιθανότητα Rαστοχία της συσκευής.

102. Το κατάστημα παραλαμβάνει εμπορεύματα από 3 προμηθευτές: 55% από τον 1ο, 20 από τον 2ο και 25% από τον 3ο. Το μερίδιο του γάμου είναι 5, 6 και 8 τοις εκατό, αντίστοιχα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το αγορασμένο ελαττωματικό προϊόν προήλθε από τον δεύτερο προμηθευτή.

103. Η ροή των αυτοκινήτων από πρατήρια καυσίμων αποτελείται από 60% φορτηγά και 40% αυτοκίνητα. Ποια είναι η πιθανότητα να βρεθεί ένα φορτηγό σε ένα βενζινάδικο εάν η πιθανότητα ανεφοδιασμού είναι 0,1 και ένα αυτοκίνητο είναι 0,3

104. Η ροή των αυτοκινήτων από πρατήρια καυσίμων αποτελείται από 60% φορτηγά και 40% αυτοκίνητα. Ποια είναι η πιθανότητα να βρεθεί ένα φορτηγό σε ένα βενζινάδικο εάν η πιθανότητα ανεφοδιασμού είναι 0,1 και ένα αυτοκίνητο είναι 0,3

105. Το κατάστημα παραλαμβάνει αγαθά από 3 προμηθευτές: 55% από τον 1ο, 20 από τον 2ο και 25% από τον 3ο. Το μερίδιο του γάμου είναι 5, 6 και 8 τοις εκατό, αντίστοιχα. Ποια είναι η πιθανότητα το αγορασμένο ελαττωματικό προϊόν να προέρχεται από τον 1ο προμηθευτή.

106. 32 γράμματα του ρωσικού αλφαβήτου είναι γραμμένα σε κομμένες κάρτες αλφαβήτου. Πέντε χαρτιά κληρώνονται τυχαία, το ένα μετά το άλλο, και τοποθετούνται στο τραπέζι με τη σειρά που εμφανίζονται. Βρείτε την πιθανότητα να λάβετε τη λέξη "βιβλίο".

107. Το κατάστημα παραλαμβάνει προϊόντα από 3 προμηθευτές: 55% από τον 1ο, 20 από τον 2ο και 25% από τον 3ο. Το μερίδιο του γάμου είναι 5, 6 και 8 τοις εκατό, αντίστοιχα. Ποια είναι η πιθανότητα το αγορασμένο ελαττωματικό προϊόν να προέρχεται από τον 1ο προμηθευτή.

108. Δύο μπάλες διασκορπίζονται τυχαία και ανεξάρτητα η μία από την άλλη σε τέσσερα κελιά που βρίσκονται το ένα μετά το άλλο σε ευθεία γραμμή. Κάθε μπάλα με την ίδια πιθανότητα 1/4 χτυπά κάθε κελί. Βρείτε την πιθανότητα να πέσουν 2 μπάλες στο ίδιο κελί

109. Όταν ανάβει η ανάφλεξη, ο κινητήρας αρχίζει να λειτουργεί με πιθανότητα R.Βρείτε την πιθανότητα ο κινητήρας να ξεκινήσει να λειτουργεί τη δεύτερη φορά που ανάβει η ανάφλεξη.

110. Κατά του αεροσκάφους εκτοξεύονται εμπρηστικά βλήματα. Το καύσιμο του αεροσκάφους συγκεντρώνεται σε τέσσερις δεξαμενές που βρίσκονται στην άτρακτο το ένα μετά το άλλο. Τα μεγέθη των δεξαμενών είναι τα ίδια. Για να αναφλεγεί το αεροσκάφος, αρκεί να χτυπήσουμε δύο οβίδες στην ίδια δεξαμενή. Είναι γνωστό ότι δύο οβίδες έπληξαν την περιοχή του τανκ. Βρείτε την πιθανότητα να πάρει φωτιά το αεροπλάνο

111. Κατά του αεροσκάφους εκτοξεύονται εμπρηστικά βλήματα. Το καύσιμο του αεροσκάφους συγκεντρώνεται σε τέσσερις δεξαμενές που βρίσκονται στην άτρακτο το ένα μετά το άλλο. Τα μεγέθη των δεξαμενών είναι τα ίδια. Για να αναφλεγεί το αεροσκάφος, αρκεί να χτυπήσουμε δύο οβίδες σε γειτονικά άρματα μάχης. Είναι γνωστό ότι δύο οβίδες έπληξαν την περιοχή του τανκ. Βρείτε την πιθανότητα να πάρει φωτιά το αεροπλάνο

112. Στην λάρνακα Α λευκοί και Β μαύρες μπάλες. Μια μπάλα βγαίνει από τη λάρνακα, σημειώνεται το χρώμα της και η μπάλα επιστρέφει στη λάρνακα. Μετά από αυτό, μια άλλη μπάλα λαμβάνεται από το δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα και οι δύο μπάλες που τραβήχτηκαν να είναι λευκές.

113. Στην λάρνακα Α λευκοί και Β μαύρες μπάλες. Δύο μπάλες βγαίνουν από το δοχείο ταυτόχρονα. Βρείτε την πιθανότητα αυτές οι μπάλες να είναι διαφορετικών χρωμάτων.

114. Δύο μπάλες διασκορπίζονται τυχαία και ανεξάρτητα η μία από την άλλη σε τέσσερα κελιά που βρίσκονται το ένα μετά το άλλο σε ευθεία γραμμή. Κάθε μπάλα με την ίδια πιθανότητα 1/4 χτυπά κάθε κελί. Βρείτε την πιθανότητα οι μπάλες να πέσουν σε γειτονικά κελιά.

115. Η Μάσα ήρθε στην εξέταση γνωρίζοντας τις απαντήσεις σε 20 ερωτήσεις του προγράμματος από τις 25. Ο καθηγητής κάνει 3 ερωτήσεις. Ποια είναι η πιθανότητα η Μάσα να απαντήσει σε 2 ερωτήσεις;

116. Οι μαθητές θεωρούν ότι από τα 50 εισιτήρια τα 10 είναι «καλά». Η Πέτυα και η Μάσα βγάζουν εναλλάξ από ένα εισιτήριο ο καθένας. Ποια είναι η πιθανότητα να έχουν και οι δύο «καλό» εισιτήριο;

117. Τα στατιστικά στοιχεία των αιτημάτων τραπεζικών δανείων είναι τα εξής: 10% - κρατικό. αρχές, το 20% - άλλες τράπεζες, το υπόλοιπο - ιδιώτες. Η πιθανότητα αθέτησης του δανείου είναι 0,01, 0,05 και 0,2, αντίστοιχα. Ποιο είναι το ποσοστό των δανείων που δεν επιστρέφονται;

118. 32 γράμματα του ρωσικού αλφαβήτου είναι γραμμένα σε κομμένες κάρτες αλφαβήτου. Πέντε χαρτιά κληρώνονται τυχαία, το ένα μετά το άλλο, και τοποθετούνται στο τραπέζι με τη σειρά που εμφανίζονται. Βρείτε την πιθανότητα να προκύψει η λέξη «τέλος».

119 Τα στατιστικά στοιχεία των αιτημάτων τραπεζικού δανείου έχουν ως εξής: 10% - πολιτεία. αρχές, το 20% - άλλες τράπεζες, το υπόλοιπο - ιδιώτες. Η πιθανότητα αθέτησης του δανείου είναι 0,01, 0,05 και 0,2, αντίστοιχα. Ποιο είναι το ποσοστό των δανείων που δεν επιστρέφονται;

120. η πιθανότητα ο εβδομαδιαίος τζίρος ενός εμπόρου παγωτού να ξεπεράσει τα 2000 ρούβλια. είναι 80% σε καθαρό καιρό, 50% σε μερικώς συννεφιασμένη και 10% σε βροχερό καιρό. Ποια είναι η πιθανότητα ο τζίρος να υπερβεί τα 2000 ρούβλια. εάν η πιθανότητα καθαρού καιρού είναι 20%, και μερικώς συννεφιασμένος και βροχερός - 40% το καθένα.