Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χρήση υπολειμμάτων. Επίλυση ολοκληρωμάτων online

Αντίγραφο

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Κράτος εκπαιδευτικό ίδρυμαπιο ψηλά επαγγελματική εκπαίδευση«Ορενμπούρσκι Κρατικό Πανεπιστήμιο» Τμήμα εφαρμοσμένα μαθηματικά IP VASILEGO ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ Συνιστάται για δημοσίευση από το Εκδοτικό και Εκδοτικό Συμβούλιο του κρατικού εκπαιδευτικού ιδρύματος τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης "Orenburg State University" Orenburg

2 BBK 6 ya7 V 9 UDC 7 (7 Κριτής Υποψήφιος Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών, Αναπληρωτής Καθηγητής, Επικεφαλής του Τμήματος Μαθηματικής Ανάλυσης Nevostruev LM Vasilego IP Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με χρήση υπολειμμάτων: Μεθοδολογικές οδηγίες B9 Orenburg: State Educational Institution OSU Κατευθυντήριες γραμμέςπροορίζονται για φοιτητές οικονομικών ειδικοτήτων και τεχνικών ειδικοτήτων μηχανικών Με βάση το κύριο θεώρημα της θεωρίας των υπολειμμάτων προκύπτουν αλγόριθμοι υπολογισμού, οριστικά ολοκληρώματααπό τριγωνομετρικές συναρτήσειςκαι ακατάλληλα ολοκληρώματα δύο τύπων BBK 6 ya7 IP Vasilego, GOU OSU,

3 Εισαγωγή Η λύση σε πολλά προβλήματα στη φυσική, τη μηχανική και ορισμένους κλάδους των μαθηματικών σχετίζεται με τον υπολογισμό ορισμένων ή ακατάλληλων ολοκληρωμάτων.Η εργασία εξετάζει μεθόδους υπολογισμού τέτοιων ολοκληρωμάτων χρησιμοποιώντας τη θεωρία των υπολειμμάτων.Η ενότητα παρέχει βασικές πληροφορίες από τη θεωρία του υπολείμματα Η ενότητα παρέχει παραδείγματα μεθόδων για τον υπολογισμό ορισμένων και ακατάλληλων ολοκληρωμάτων και παραδείγματα επιλογών για ανεξάρτητη εργασία

4 Βασικά στοιχεία της θεωρίας των υπολειμμάτων Υποχρεωτική από βιβλία (και (ο αναγνώστης θα πρέπει να εξοικειωθεί με τις βασικές έννοιες της θεωρίας των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής: αναλυτική συνάρτηση, ολοκλήρωμα συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής πάνω από μια καμπύλη και τις ιδιότητές της , σειρές Taylor και Laurent, κ.λπ. Ορισμός Το μηδέν μιας αναλυτικής συνάρτησης f είναι το σημείο για το οποίο η f (Εάν η f δεν είναι πανομοιότυπα μηδέν σε οποιαδήποτε γειτονιά ενός σημείου, τότε είναι δυνατό να περιγραφεί ένας κύκλος αρκετά μικρής ακτίνας με κέντρο σε ένα σημείο εντός του οποίου δεν θα υπάρχουν άλλα μηδενικά εκτός από το κέντρο Εάν (k f f f (, και (k f (, τότε το σημείο ονομάζεται μηδέν της τάξης k για μια συνάρτηση f Αν k, τότε το μηδέν ονομάζεται απλό, για k > k - πολλαπλά σημεία ορισμού Τα σημεία στα οποία η συνάρτηση f παύει να είναι αναλυτική ονομάζονται μοναδικά σημεία της συνάρτησης f Ορισμός Ένα σημείο ονομάζεται απομονωμένο ενικό σημείο της συνάρτησης f εάν η συνάρτηση f είναι αναλυτική σε κάποια τρυπημένη γειτονιά (δακτύλιος (C< < r}, а в самой точке или не определена, или определена, но не дифференцируема Определение Ряд вида a (a a где { a } - последовательность комплексных чисел, называется рядом Лорана с центром в точке a Ряд (частью ряда Лорана Ряд a, сходящемся в круге < r, называется правильной, сходящийся в области >, που ονομάζεται κύριο μέροςΣειρά Laurent Εξ ορισμού, μια σειρά Laurent συγκλίνει εάν τα κανονικά και τα κύρια μέρη της συγκλίνουν ταυτόχρονα. Επομένως, μια σειρά Laurent συγκλίνει σε έναν δακτύλιο:< < r Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка Определение Изолированная особая точка функции f lm f f называется устранимой, если существует конечный предел

5 Στη συνέχεια, f εάν και μόνο εάν κύριο μέροςΗ σειρά του Laurent με κέντρο σε ένα σημείο απουσιάζει Ορισμός 6 Ένα απομονωμένο ενικό σημείο μιας συνάρτησης f lm f είναι ένα αφαιρούμενο ενικό σημείο μιας συνάρτησης ονομάζεται πόλος εάν Στη συνέχεια f εάν και μόνο εάν το κύριο μέρος μιας σειράς Laurent με κέντρο σε σημείο αποτελείται από m (ένας πεπερασμένος αριθμός όρων : f είναι ένας πόλος της συνάρτησης a a m m a a m m m (((, a, m Ο αριθμός m ονομάζεται τάξη του πόλου Αν m, τότε ο πόλος ονομάζεται απλός Αν για μια συνάρτηση f το σημείο είναι πόλος τάξης m, τότε για τη συνάρτηση το σημείο είναι μηδέν της τάξης m f Ορισμός 7 Απομονωμένο ενικό σημείο της συνάρτησης f lm f δεν υπάρχει Ένα σημείο ονομάζεται ουσιαστικά ενικό σημείο αν f αν και μόνο αν το κύριο μέρος της σειράς Laurent με κέντρο το σημείο περιέχει άπειρο αριθμό όρων είναι ένα ουσιαστικά ενικό σημείο της συνάρτησης Για παράδειγμα, ένα σημείο είναι ένα ουσιαστικά ενικό σημείο της συνάρτησης Πράγματι, ε! Σημειώστε ότι ένα απομονωμένο ενικό σημείο μιας συνάρτησης f είναι ένας πόλος τάξης k αν και μόνο αν σε κάποια διάτρητη γειτονιά του σημείου:< < r, f причем аналитична (k в круге < r и (Вычет функции и правила вычисления его Определение 8 Вычетом однозначной аналитической функции f в изолированной особой точке (в том числе называется значение интеграла f γ d Re s f e

6 όπου η ολοκλήρωση πραγματοποιείται σε ένα γ-κλειστό τμηματικά ομαλό περίγραμμα Jordan που περιέχει ένα σημείο μέσα του και δεν περιέχει άλλα μοναδικά σημεία της συνάρτησης f. Στην περίπτωση αυτή, η ολοκλήρωση πραγματοποιείται στη θετική κατεύθυνση σε σχέση με την περιοχή που περιέχει το σημείο Αν Re s f a είναι ο συντελεστής για (στη σειρά Laurent If, τότε, τότε Re s f a στην επέκταση Laurent της συνάρτησης Υπόλοιπο f σε ένα σημείο, όπου a είναι ο συντελεστής στο f στην περιοχή του σημείου βρίσκεται, βασικά, κατευθείαν εξ ορισμού, και ο κύκλος R μιας αρκετά μεγάλης ακτίνας λαμβάνεται ως περίγραμμα γ Κανόνες για τον υπολογισμό των υπολειμμάτων σε ένα σημείο Αν το σημείο είναι αφαιρούμενο ενικό σημείο για μια συνάρτηση f, τότε Re s f Έστω το σημείο πόλος του πρώτου τάξη (ένας απλός πόλος για Re s f lm f f Τότε (Ειδικά, αν f, όπου οι συναρτήσεις και ψ, (, ψ(, ψ (, τότε η γειτονιά του σημείου Re s f ψ ((Αν ένα σημείο είναι πόλος τάξη > m συναρτήσεις f ψ είναι αναλυτικές στο, τότε Re s f! (m lm m (m f) Για να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα θα χρησιμοποιήσουμε το κύριο θεώρημα της θεωρίας υπολειμμάτων: Αν η συνάρτηση f είναι αναλυτική στο κλειστό χώρο G, που οριοθετείται από μια κλειστή διορθώσιμη καμπύλη Jordan C, εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό μεμονωμένων μοναδικών σημείων a, a, a, που βρίσκονται μέσα στο C, τότε ισχύει ο τύπος f d Re s f ak c k 6

7 Υπολογισμός ολοκληρωμάτων τριγωνομετρικών συναρτήσεων Ολοκληρώματα της μορφής R(cos,s d, όπου (u v R, είναι ορθολογική συνάρτηση, και η συνάρτηση g (R(cos, s) είναι συνεχής στο τμήμα [,], ανάγεται σε ολοκλήρωμα στον κύκλο μονάδας των συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής Έστω e Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τους τύπους του Euler: e cos s λαμβάνουμε e e e s, cos ή s, cos (Επομένως d e d ή Όταν αλλάζουμε από σε d d η μεταβλητή τρέχει γύρω από τον κύκλο, ~ ~ επομένως R d (όπου R R, Δεδομένου ότι η ορθολογική συνάρτηση R ~ στον κύκλο, τότε υπάρχει ένα r > τέτοιο ώστε στον κύκλο< r функция R ~ определена и аналитична всюду за исключением быть может конечного числа изолированных особых точек, находящихся в круге < Взяв в качестве контура С окружность и применяя теорему, получим ~ Re s R, (k a k где таков:, k - полюсы функции a a, a R ~, лежащие в круге < Таким образом, алгоритм вычисления интеграла R(cos,s d надо доказать, что функция R(cos, s s и непрерывна на [ ;]; делаем замену e при которой отрезок [ ;] cos или рациональна относительно переводится в d M C ; s, cos t, d и t множество { } 7

8~Rd; ελέγχουμε τις συνθήκες του θεωρήματος Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε μεμονωμένα ενικά σημεία, k συναρτήσεις R ~ που ανήκουν στο σύνολο C< R ~ аналитична на замкнутом множестве { } { C } G Теперь функция ограниченном окружностью за исключением точек, k ; вычисляем ориентируясь на следующие возможные случаи: ~ а R P многочлен относительно Так как изолированных особых точек нет, то; ~ a б R P (P - многочлен Тогда точка простой R ~ ~ и Re s R a (по определению вычета, поэтому полюс функции a a ; ~ в R причем ψ(, (, ψ (Тогда по правилу ψ ~ ((Re s R и по формуле (; ψ (ψ (~ P г R, где P и Q - многочлены Q Особые точки, k ищутся среди корней (нулей многочлена Q Точки, k могут быть только полюсами (простыми или порядка m Вычет функции R ~ точек, k находят по правилу или по правилу Тогда k ~ Re sr Рассмотрим примеры: dt (cos t Решение Функция cost и непрерывной на [ ;] Полагая f (t является рациональной функцией (cos t t e имеем d cos t, dt 8

9 9 Τώρα d d d Το ολοκλήρωμα (g έχει μοναδικά σημεία που είναι πόλοι δεύτερης τάξης Η συνάρτηση g((το ολοκλήρωμα είναι αναλυτικό στον κύκλο και στον κύκλο< за исключением точки Следовательно, по теореме имеем: (Re 8 (Re g s g s d Пользуясь формулой правила вычисления вычета имеем: lm lm lm lm lm! ((Re g s Таким образом 8 Вычислить s cos d Решение Используя формулы понижения степени: cos s, cos cos получим, что cos cos d Сделаем замену t, тогда cos cos dt t t Функция t t cos cos является рациональной функцией относительно cost и непрерывной на ; Теперь после замены t e имеем 6 8 d

10 Η συνάρτηση (~ R έχει μοναδικά σημεία 8 (6, τα σημεία βρίσκονται μέσα στον κύκλο Και - ένας πόλος δεύτερης τάξης, βρίσκουμε το υπόλειμμά του χρησιμοποιώντας τον κανόνα ~ (6 (6 Re lm s R lm 8(6 8(6 8 Σημείο - ένας απλός πόλος Κατάλοιπο Re s R ~ βρίσκουμε με τον κανόνα ~ Re s R(lm 8 (((Με τον τύπο (έχουμε (8((cos Υπολογίστε d a cos a R, > 8 (8(8 8 υπό την προϋπόθεση ότι< a < и s Решение Рассмотрим интеграл d a cos a поскольку подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны Тогда cos s e d d a cos a a cos a После замены e d, cos, d будем иметь d d a a a(a a a ~ Подынтегральная функция R (аналитична на множестве кроме ~ нуля знаменателя а, который является простым полюсом функции R (Особая точка не принадлежит множеству По формуле (и a ~ a a правилу имеем, что Re s R(lm a a a a a a a a

11 (d Υπολογίστε (s α s e Λύση Ας κάνουμε την αντικατάσταση (s α d (s α e Στη συνέχεια d d s, d και s α (Το ολοκλήρωμα είναι αναλυτικό στο σύνολο εκτός από το μηδέν του παρονομαστή, που είναι ένας απλός πόλος του Το ολοκλήρωμα. Σύμφωνα με τον τύπο (και τον κανόνα, λαμβάνουμε ότι (s α (Re lm (s s α (((Παραδείγματα για ανεξάρτητη απόφασηΥπολογίστε τα ολοκληρώματα: d dt ; ; cos s t s d d ;, ; cos a > a cos cos d,< a < ; as 7 (cos cos d,; cos cos d 9, a < ; a cos a s d 6, < a < ; a s a, s 8, a >; a cos a d (a b cos, a > b > d

12 Υπολογισμός ακατάλληλων ολοκληρωμάτων Κατά τον υπολογισμό ορισμένων τύπων ακατάλληλων ολοκληρωμάτων, θα χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα δύο λήμματα Jordan Λήμμα Έστω η συνάρτηση f( συνεχής στον τομέα D C R, m για μερικά R > και lm R M (R, όπου ( ) max f , C ( C R, m ) M (R C R R R Στη συνέχεια lm f d R C R Λήμμα Έστω m> και για τη συνάρτηση f(πληρούνται οι προϋποθέσεις: f(είναι συνεχής στον τομέα D για κάποιο R >; lm M (R R Τότε lm f e d R C R m Ολοκληρώματα του πρώτου τύπου Ολοκληρώματα της μορφής R(x, όπου P (x R (x είναι ορθολογική συνάρτηση, το Q(x και το πολυώνυμο Q(x δεν εξαφανίζονται στον πραγματικό άξονα και ο βαθμός του είναι τουλάχιστον δύο μονάδες περισσότερο πτυχίοπολυώνυμο Р(x, θα ονομάσουμε ολοκλήρωμα του πρώτου τύπου. Λόγω των συνθηκών που επιβάλλονται παραπάνω στο R(x, c, ικανοποιείται η ανισότητα R(x με κάποια σταθερά C> και επομένως το ολοκλήρωμα x συγκλίνει. Εξάγουμε α τύπος για τον υπολογισμό αυτού του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας υπολείμματα Για να το κάνετε αυτό, θεωρήστε το κλειστό περίγραμμα K τ, που αποτελείται από ένα ημικύκλιο C τ ( C τ, m ) και ένα τμήμα [ τ, τ] του πραγματικού άξονα (βλ. σχήμα y C τ - τ τ x Σχήμα Η κατεύθυνση διέλευσης του περιγράμματος Κ τ φαίνεται στο σχήμα. Θεωρήστε τη συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής R (και έστω, - οι πόλοι αυτής

13 συναρτήσεις που βρίσκονται στο άνω ημιεπίπεδο Παίρνουμε τον αριθμό τ τόσο μεγάλο ώστε όλα τα σημεία να βρίσκονται μέσα στο K τ Αφού το Q (x είναι στον πραγματικό άξονα, τότε υπάρχει μια περιοχή G που περιέχει ένα κλειστό άνω μισό επίπεδο ( C m ) και τέτοια ώστε η συνάρτηση R( να είναι αναλυτική στο G εκτός μόνο από σημεία, Περιοχή G, περίγραμμα K τ και συνάρτηση R(ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος, επομένως είτε τ τ K τ R(d Re sr(k R(x R (d Re sr(C R k k ας περάσουμε στο όριο στο τ Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση είναι δεξί μέροςδεν αλλάζει, και στην αριστερή πλευρά R d από το πρώτο τ Jordan λήμμα, και το ολοκλήρωμα R (x R(x Έτσι, λαμβάνουμε τον τύπο τ k k R(x Re s R(, (Έτσι, ο αλγόριθμος επίλυσης τα ακατάλληλα ολοκληρώματα του πρώτου τύπου είναι τα εξής: δείχνουμε ότι ο παρονομαστής Q(x δεν εξαφανίζεται στον πραγματικό άξονα και ότι ο βαθμός του είναι τουλάχιστον δύο μονάδες μεγαλύτερος από τον βαθμό του πολυωνύμου P(x; P(περνάμε σε η συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής R ; Q(βρίσκουμε σύνθετες ρίζεςπολυώνυμο Q(, που είναι πόλοι της συνάρτησης R(; από τους πόλους που βρέθηκαν της συνάρτησης R(, επιλέγουμε μόνο αυτούς που βρίσκονται στο άνω μισό επίπεδο, για παράδειγμα, σύμφωνα με τους κανόνες (ή (υπολογίζουμε το υπολείμματα Re s R(, k, ; 6 με τον τύπο (υπολογίζουμε ολοκλήρωμα Μερικές φορές τα σημεία και τα 6 εκτελούνται ταυτόχρονα Εξετάστε παραδείγματα Υπολογίστε (x k k C R

14 Λύση Δεδομένου ότι το ολοκλήρωμα (x είναι άρτιο, τότε (x Επειδή το (x δεν εξαφανίζεται στον πραγματικό άξονα και ο βαθμός του πολυωνύμου (το x είναι τέσσερις μεγαλύτερος από τον βαθμό του αριθμητή (x), τότε το ολοκλήρωμα (x είναι ολοκλήρωμα του πρώτου τύπου Θεωρούμε τη συνάρτηση R Ρίζες πολυώνυμο ((είναι, - Σημεία και - πόλοι δεύτερης τάξης της συνάρτησης R(Ο πόλος έπεσε στο άνω μισό επίπεδο Σύμφωνα με τον κανόνα, υπολογίζουμε το υπόλοιπο με σε σχέση με: Re s R(lm (! lm 8 ((lm ((! (Με τον τύπο (υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα x (x (x 9 lm ((Λύση Είναι προφανές ότι το ολοκλήρωμα του πρώτου τύπου Η συνάρτηση R είναι αναλυτική παντού στο επίπεδο, με το ((9 εξαίρεση σημείων, Αυτά τα σημεία είναι απλοί πόλοι της συνάρτησης R(Δύο από αυτά (και βρίσκονται στο άνω μισό επίπεδο) Με τον τύπο (έχουμε Σύμφωνα με ο κανόνας Re s R(lm Re s R(lm (R(x Re s R(Re s R(lm (((9 ((9 (9 (lm ((((((9,

15 Επομένως 6 6 Υπολογίστε το ολοκλήρωμα x, a > (x a Λύση Εφόσον το ολοκλήρωμα είναι άρτιο, τότε x (x a Προφανώς, το ολοκλήρωμα είναι πρώτου τύπου. Θεωρήστε τη συνάρτηση R(Είναι αναλυτική παντού στο επίπεδο εκτός από τα σημεία (a a και a Αυτά τα σημεία είναι οι πόλοι της τρίτης τάξης της συνάρτησης R(Ένα από αυτά (ένα έπεσε στο άνω μισό επίπεδο Σύμφωνα με τον τύπο (και τον κανόνα που έχουμε (a a Re s R(lm lm a a! a a a (a lm a (a a (a 6a Υπολογίστε το ολοκλήρωμα, a >, (a x Λύση - ολοκλήρωμα του πρώτου τύπου Συνάρτηση R(έχει έναν πόλο a n (a τάξης στο επάνω μέρος (a (ένα μισό επίπεδο) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα και τύπος (, λαμβάνουμε Re lm a lm s R a (! a (! a a a! ((((((a (a (((!! Παραδείγματα για ανεξάρτητες λύσεις Υπολογισμός ολοκληρωμάτων: x ; x x ; x

16 ; 7 x ; x x 6 x (bx a, a, b > ; (x a (x b, a, b > ; 7 9 x ; x x ; x 8 8 x 6 (x a, a > ; (x x a, a > 6 ολοκληρώματα του δεύτερου τύπου Τα ολοκληρώματα της μορφής R(x s αx, R(x cos αx) ονομάζονται ολοκληρώματα P(x του δεύτερου τύπου εάν το R (x είναι ορθολογική συνάρτηση, και το Q(x δεν έχει Q(x πραγματικές ρίζες και ο βαθμός Το Q(x είναι τουλάχιστον κατά ένα μεγαλύτερο από το βαθμό του P (x Ας δείξουμε ότι υπό αυτές τις συνθήκες και τα δύο ολοκληρώματα συγκλίνουν. Ολοκληρώνοντας ανά μέρη και λαμβάνοντας υπόψη ότι lm R(x, λαμβάνουμε R(xsαx R(xcosαx α x α R (xcosαx α R (x cosαx) Το ολοκλήρωμα R (x cos αx συγκλίνει απόλυτα, αφού η συνάρτηση R (x έχει το βαθμό του αριθμητή τουλάχιστον δύο μονάδες μικρότερο από το βαθμό του παρονομαστή. Αυτό συνεπάγεται τη σύγκλιση του ολοκληρώματος R(x s αx. Ομοίως αποδεικνύουμε τη σύγκλιση της ολοκληρωτικής βοηθητικής συνάρτησης με τη δύναμη του θεωρήματος, παίρνουμε τ τ αx Cτ α R(x cos αx Ολοκληρώνοντας f R( e κατά μήκος του περιγράμματος K τ (βλ. σχήμα στο α R( x e R(e d Re s f, όπου το τ είναι τόσο μεγάλο ώστε k k όλοι οι πόλοι του R(βρίσκονται μέσα στο K τ Περνώντας στο όριο στο τ και σημειώνοντας ότι α από το δεύτερο λήμμα Jordan R e d φτάνουμε στην ισότητα C τ

17 R e α d Re s f k k Εξισώνοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος, λαμβάνουμε α R(x cos αx Re Re s(R(e k k α R(x s αx m Re s(R(e k k ((/ όπου, k είναι οι πόλοι της συνάρτησης R(, που βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο Εξετάστε παραδείγματα (x s x x x Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Λύση Είναι σαφές ότι το ολοκλήρωμα του δεύτερου τύπου D 8< x x x R, и степень знаменателя на меньше степени числителя (s (s Рассмотрим функцию R(((((Функция R(имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке По формуле (/ имеем m Re s(R(e Используя правило, получаем (e (((e Re s e R(Re s lm ((((lm (e ((e (e e e (cos s Таким образом m e (cos s cos e cos x Вычислить интеграл, a >x α Λύση Αφού κάτω από το ολοκλήρωμα υπάρχει ομοιόμορφη λειτουργία, τότε cos x και R (x, α x a x a Επειδή ο βαθμός του αριθμητή (είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή (x a κατά δύο μονάδες και x a για οποιοδήποτε πραγματικό x, τότε το ολοκλήρωμα 7

18 του δεύτερου τύπου Θεωρούμε τη συνάρτηση R(Συνάρτηση a (a(a R(έχουμε έναν απλό πόλο a στο άνω μισό επίπεδο Σύμφωνα με τον τύπο (και τον κανόνα έχουμε a e e e Re Re s Re Re a a a a a Για να υπολογίσουμε το υπόλειμμα εδώ χρησιμοποιήσαμε τον τύπο ((a Re s, αφού (a, ψ(a και ψ (a Με τον ίδιο τρόπο a ψ(ψ (a ήταν δυνατό να υπολογιστεί το υπόλειμμα στο παράδειγμα Παραδείγματα για ανεξάρτητη λύση Υπολογίστε τα ολοκληρώματα (x s x x s x;; x x (x 9 x s x; x x x s x, a > α β· 8

19 Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν Aleksandrov IA, Sobolev VV Αναλυτικές συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής M: μεταπτυχιακό σχολείο, 98 9 με Bitsadze AV Βασικές αρχές της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής M: Nauka, με τον Ershova VV Λειτουργίες παλμούΛειτουργίες μιγαδικής μεταβλητής Επιχειρησιακός λογισμός Μινσκ: Ανώτατο σχολείο, με Krasnov ML, Kiselev AI, Makarenko GI Λειτουργίες μιγαδικής μεταβλητής Θεωρία σταθερότητας λειτουργικού λογισμού M: Nauka, 987 με 6 Markushevich AI Σύντομο μάθημαθεωρία αναλυτικών συναρτήσεων M: Nauka, σ. 7 Privalov II Εισαγωγή στη θεωρία συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής M: Nauka, 977 σελ. 8 Radygin VM, Golubeva OV Εφαρμογή συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής σε προβλήματα φυσικής και τεχνολογία - M: Ανώτατη κλίμακα, 98 6 σ. 9 Sveshnikov AG, Tikhonov AN Θεωρία συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής M: Nauka, with Sidorov YuV, Fedoryuk MV, Shabunin MI Διαλέξεις για τη θεωρία των συναρτήσεων μιας σύνθετης μεταβλητής M: Nauka, με Solomentsev ED Συναρτήσεις μιας μιγαδικής μεταβλητής και η εφαρμογή τους M: Higher School from Shabbat BV Εισαγωγή στη σύνθετη ανάλυση M: Science, σελ. 9

Πρακτικό μάθημα 8 Υπολείμματα 8 Ορισμός υπολειμμάτων 8 Υπολογισμός υπολειμμάτων 8 Λογαριθμικό υπόλειμμα 8 Ορισμός υπολείμματος Έστω αναλυτικό ένα απομονωμένο ενικό σημείο μιας συνάρτησης σε έναν απομονωμένο ενικό Κατάλοιπο

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Λευκορωσικό Κρατικό Πανεπιστήμιο NI Ilyinkova, OAKononova, NKFilippova Εφαρμογή της θεωρίας των υπολειμμάτων στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Minsk UDC 575/55(75) Λύση

Ολοκλήρωμα μιγαδικής συνάρτησης μεταβλητό ολοκλήρωμααπό το όριο FKP του ολοκληρωτικού αθροίσματος του Riemann σ = = f (t Δ για τη συνάρτηση f (κατά μήκος της καμπύλης ΑΒ, εάν δεν εξαρτάται από τη μέθοδο διαίρεσης της καμπύλης ΑΒ σε στοιχειώδη

Starkov V.N. Υλικά για τη διάλεξη προσανατολισμού Ερώτηση 9. Επέκταση αναλυτικών συναρτήσεων σε σειρές ισχύος Ορισμός. Λειτουργικό εύροςτης μορφής (((... (..., όπου μιγαδικές σταθερές (συντελεστές της σειράς

Μεθοδολογική ανάπτυξηΕπίλυση προβλημάτων με χρήση TFKP Μιγαδικοί αριθμοί Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς Μιγαδικό επίπεδο Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί σε αλγεβρική και τριγωνομετρική εκθετική

Κεφάλαιο 1 Λειτουργικός λογισμός. 1. Ορισμός του μετασχηματισμού Laplace. Ο μετασχηματισμός Laplace συσχετίζει τη συνάρτηση f(t) με μια πραγματική μεταβλητή t με τη συνάρτηση F() μιας μιγαδικής μεταβλητής = x + iy

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν38. Συμπεριφορά μιας αναλυτικής συνάρτησης στο άπειρο. Ειδικά σημεία. Υπολείμματα συνάρτησης..γειτονιά σημείου στο άπειρο.....Επέκταση Laurent σε γειτονιά σημείου στο άπειρο.... 3.Συμπεριφορά

I Περίληψη Σκοπός και στόχοι του κλάδου (ενότητα) Ο σκοπός της κατάκτησης του κλάδου: να δώσει στους μαθητές συστηματική γνώσημε μεθόδους ολοκληρωμένη ανάλυσηκαι διδάξτε τους να εφαρμόζουν αυτή τη γνώση στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων

Bagachuk A.V. Bushueva N.A. Polyakova I.A. Trutnev V.M. THEORY OF FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE Οδηγίες για την εκτέλεση ανεξάρτητης εργασίας Krasnoyarsk 2007 Περιεχόμενα. Γενικές πληροφορίες 3 2. Καθήκοντα

8 Μιγαδικές σειρές αριθμών Θεωρούμε μια σειρά αριθμών με μιγαδικούς αριθμούς της μορφής k a, (46) όπου το (a k) είναι το δεδομένο σειρά αριθμώνμε μιγαδικούς όρους k Η σειρά (46) ονομάζεται συγκλίνουσα αν

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Εκπαιδευτικό Ίδρυμα «Κράτος της Λευκορωσίας Παιδαγωγικό Πανεπιστήμιομε το όνομα Maxim Tank" N T Stelmashuk, V A Shilinets TESTS ON THE TFKP COURSE Εκπαιδευτικά και μεθοδολογικά

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Εθνική Έρευνα Nizhny Novgorod State University με το όνομα NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva ΤΑΞΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΚΡΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΙΚΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ως αποτέλεσμα της μελέτης αυτού του θέματος, ο μαθητής πρέπει να μάθει: να βρει τις τριγωνομετρικές και εκθετικές μορφές ενός μιγαδικού αριθμού σύμφωνα με

Κρατικό Πανεπιστήμιο του Νταγκεστάν Εθνική οικονομίαΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Mukhidinov Magomed Gosengadzhievich Ispagieva Asiyat Dalgatovna Αόριστο integral ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ Makhachkala 2017 Mukhidinov

Διάλεξη 7 Σειρά Taylor και Laurent 7. Σειρά Taylor Σε αυτό το μέρος θα δούμε ότι οι έννοιες μιας σειράς ισχύος και μιας αναλυτικής συνάρτησης ορίζουν το ίδιο αντικείμενο: οποιαδήποτε σειρά ισχύος με θετική ακτίνα σύγκλισης

Περιεχόμενα Εισαγωγή. Βασικές έννοιες.... 4 1. Ολοκληρωτικές εξισώσεις του Volterra... 5 Επιλογές εργασίας για το σπίτι... 8 2. Επίλυση της ολοκληρωτικής εξίσωσης του Volterra. 10 επιλογές για εργασίες για το σπίτι.... 11

~ ~ FKP Παράγωγος συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής Συνθήκες FKPΈννοια Cauchy - Riemann της κανονικότητας του PKP Εικόνα και μορφή μιγαδικού αριθμού Τύπος του PKP: όπου πραγματική λειτουργίαδύο μεταβλητές πραγματικές

M. V. Deikalova ΠΕΡΙΛΗΠΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις για το διαγώνισμα (ομάδα ΜΧ-21, 215) Ερωτήσεις πρώτης συνδιάσκεψης 1 1. Διαφοροποίηση συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής σε σημείο. Συνθήκες Cauchy-Riemann (D'Alembert-Euler).

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΚΔΟΤΙΚΟΣ ΟΙΚΟΣ TSTU ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ GOU VPO "Tambov State Πολυτεχνείο» ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Προβλήματα στη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων Μέρος ACΤην ημέρα το βράδυ και μετά τμήματα αλληλογραφίαςΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Διαδικασιών Ελέγχου, Κρατικό Πανεπιστήμιο της Αγίας Πετρούπολης

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΟΣΧΑΣ με το όνομά του. M.V. Lomonosova ΦΥΣΙΚΗ ΣΧΗΜΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ V.T. Volkov, A.V. Kravtsov, D.V. Minaev, V.Yu. Popov, Ν.Ε. Shapkina. Ερωτήσεις και εργασίες για

Κεφάλαιο μέσα αποτίμησηςγια τη διενέργεια ενδιάμεσης πιστοποίησης μαθητών στο γνωστικό αντικείμενο (ενότητα) Γενικές πληροφορίες Τμήμα Μαθηματικών, Φυσικής και Τεχνολογίες πληροφορικήςΚατεύθυνση εκπαίδευσης 0030 Μαθηματικά

Θεωρία συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής Λέκτορας Alexander Sergeevich Romanov 1. Αναλυτικές συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής Μιγαδικοί αριθμοί. Τριγωνομετρικές και εκθετικές μορφές μιγαδικών αριθμών.

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Εκπαιδευτικό Ίδρυμα "Gomel State University με το όνομα Francis Skorina" A P STAROVOITOV GN KAZIMIROV ZHN KULBAKOVA ΘΕΩΡΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΤΟΥ ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑΤΟΣ

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν37. Σειρά αναλυτικών συναρτήσεων. Επέκταση μιας αναλυτικής συνάρτησης σε σειρά ισχύος. Σειρά Taylor. Σειρά Laurent.. Επέκταση αναλυτικής συνάρτησης σε σειρά ισχύος..... Σειρά Taylor.... 3. Επέκταση αναλυτικής συνάρτησης

ΕΓΚΡΙΘΗΚΕ από τον Αντιπρύτανη για εκπαιδευτικό έργο Yu.A. Samara 10 Ιουνίου 2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Θεωρία συναρτήσεων στον κλάδο: σύνθετη μεταβλητή στον τομέα προετοιμασίας: 010600 σχολές: για όλες τις σχολές

Διάλεξη 9 Στοιχεία της θεωρίας των υπολειμμάτων 9.1 Ορισμός του υπολείμματος Σε αυτήν την ενότητα, εισάγουμε την έννοια του υπολείμματος μιας αναλυτικής συνάρτησης σε ένα απομονωμένο ενιαίο σημείο, το οποίο είναι σημαντικό για εφαρμογές. Λίγα λόγια για τον ίδιο τον όρο. μετράει,

Διάλεξη 5 Ολοκλήρωμα τύπου Cauchy 5.1 Ολοκλήρωμα τύπου Cauchy Έστω C μια προσανατολισμένη τμηματικά ομαλή καμπύλη, η f ορίζεται στην καμπύλη συνεχής λειτουργία. Για οποιοδήποτε σημείο z C \ η συνάρτηση t f(t) z είναι συνεχής στη μεταβλητή

Τμήμα Μεταλλουργικής Σχολής ανώτερα μαθηματικάΟδηγίες RANKS Novokuznetsk 5 Ομοσπονδιακή υπηρεσίακατά εκπαίδευση Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης

Τυπικές εργασίεςμε λύσεις. Παράδειγμα συνάρτησης γάμμα. Βρείτε το προϊόν = 3. Λύση. Πρώτα απ 'όλα, θα αναπροσαρμόσουμε το + έτσι ώστε το προϊόν να ξεκινά από ένα. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε +. 3 Στη συνέχεια αποσυντίθεται

ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΙΝΑΙ Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Η ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΔΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ: a Arch· β ΛΥΣΗ A ΘΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ARH ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Arch(L(ΣΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (LRE±(ZI, LREFORE, ZI, ± ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΧΡΗΣΗ

Laurent Rows Περισσότερα γενικού τύπου σειρά ισχύοςείναι σειρές που περιέχουν θετικές και αρνητικές δυνάμεις z z 0. Όπως οι σειρές Taylor, παίζουν σημαντικός ρόλοςστη θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων.

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών Ρωσική ΟμοσπονδίαΟμοσπονδιακό Δημοσιονομικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης «Σιβηρικό Κράτος βιομηχανικό πανεπιστήμιο»

Σελίδα από το μάθημα 9. Υπολογισμός πραγματικών ολοκληρωμάτων με χρήση υπολειμμάτων Ματ. ανάλυση, appl. μαθηματικά, 4ο εξάμηνο Να βρείτε τα παρακάτω τριγωνομετρικά ολοκληρώματα χρησιμοποιώντας υπολείμματα: A π + cos ϕ. Α π 3

Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης της Ρωσικής Ομοσπονδίας ΡΩΣΙΚΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΚΑΙ ΑΕΡΙΟΥ ΜΕ ΤΟ ΟΝΟΜΑ ΤΟΥ IM GUBKIN ΣΤΟ Melnikov, ΟΧΙ Fastovets ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗ

Λύση τυπικές επιλογές δοκιμαστική εργασίασχετικά με το θέμα Ολοκληρώματα συνάρτησης μιας μεταβλητής Οδηγίες UDC 517.91 Οι κατευθυντήριες γραμμές περιέχουν λεπτομερείς λύσειςτυπικές επιλογές δοκιμής

Κεφάλαιο ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΩΝ Διάλεξη 9 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τα προβλήματα εύρεσης των ακρών (μέγιστων ή ελάχιστων) συναρτήσεων.Σημειώνουμε αμέσως ότι τέτοια προβλήματα είναι μεταξύ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣσυναρτήσεις μιας μεταβλητής Ετοιμάστηκαν υλικά από καθηγητές μαθηματικών του τμήματος γενικής εκπαίδευσης κλάδων για την ηλεκτρονική εξ αποστάσεως εκπαίδευσηΠεριεχόμενο

Μεθοδολογικές οδηγίες για πρακτικά μαθήματα (σεμιναρίου) Ο κύριος στόχος των πρακτικών (σεμιναρίων) μαθημάτων στον κλάδο «Θεωρία συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής» είναι η ικανότητα εφαρμογής λαμβανόμενων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΟΥ ΑΖΕΡΜΠΑΪΖΑΝ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΠΑΚΟΥ Το πρόγραμμα καταρτίστηκε στο Τμήμα Θεωρίας Λειτουργιών και Λειτουργικής Ανάλυσης του Κρατικού Πανεπιστημίου του Μπακού

Μαθηματική ανάλυσηΕνότητα: λειτουργικός λογισμός Θέμα: Μετασχηματισμός Laplace και οι ιδιότητές του Λέκτορας E.G. Pakhomova 2011 11. Πρωτότυπο και εικόνα. Θεώρημα αντιστροφής ΟΡΙΣΜΟΣ 1. Έστω:R Γ. Συνάρτηση

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Διάλεξη Μετασχηματισμός Fourier Η έννοια του ολοκληρωτικού μετασχηματισμού Η μέθοδος των ολοκληρωτικών μετασχηματισμών είναι μια από τις ισχυρές μεθόδους μαθηματική φυσικήείναι μια ισχυρή λύση

ΘΕΜΑ V ΣΕΙΡΑ FOURIER ΔΙΑΛΕΞΗ 6 Αποσύνθεση περιοδική λειτουργίαστη σειρά Fourier Πολλές διεργασίες που συμβαίνουν στη φύση και την τεχνολογία έχουν τις ιδιότητες να επαναλαμβάνονται σε συγκεκριμένα χρονικά διαστήματα.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΟΥ ΚΡΑΤΙΚΟΥ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ RF ΜΟΣΧΑΣ με το όνομα VS Chernomyrdin KOLOMENSKY ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΜΗΜΑ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ EF KALINICHENKO LECTURES ON CALCULCIF

Bagachuk A.V. Bushueva N.A. Polyakova I.A. Trutnev V.M. THEORY OF FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE Οργανωτικές και μεθοδολογικές οδηγίες για την κατάκτηση του κλάδου Krasnoyarsk 2007 1. Γενικές πληροφορίες Πρόγραμμα πειθαρχίας

Βασικές αρχές της λειτουργικής ανάλυσης και της θεωρίας των συναρτήσεων Λέκτορας Sergey Andreevich Treskov 3ο εξάμηνο. Σειρά Fourier. Δήλωση του προβλήματος της επέκτασης μιας περιοδικής συνάρτησης στις απλούστερες αρμονικές. Συντελεστές Fourier

3724 ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΩΝ «ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΚΥΠΛΟΓΡΑΜΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ» 11 Αριθμητική σειρά Έννοια σειράς αριθμών Ιδιότητες σειρά αριθμώνΑπαραίτητο σημάδι σύγκλισης

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο λειτουργικός λογισμός αναφέρεται στον συμβολικό λογισμό, ο οποίος βασίζεται στην κατασκευή της μαθηματικής ανάλυσης ως ένα σύστημα τυπικών πράξεων σε τεχνητά εισαγόμενα

Μιγαδικοί αριθμοί, συναρτήσεις και πράξεις σε αυτούς y ενότητα R πραγματικό μέρος πραγματικός αριθμός, yim φανταστικό μέρος πραγματικός αριθμός iy αλγεβρική μορφή γραφής αριθμών comp Κύρια τιμή του επιχειρήματος

Ολοκληρωμένο πραγματικό Fourier και σύνθετη μορφήγράφοντας το ολοκλήρωμα Fourier Έστω f () μια μη περιοδική συνάρτηση που ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή και ικανοποιεί τις συνθήκες Dirichlet σε οποιαδήποτε πεπερασμένο διάστημα

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Arkhangelsk State Technical University Σχολή Πολιτικών Μηχανικών RANKS Οδηγίες για την ολοκλήρωση εργασιών για ανεξάρτητη εργασία Arkhangelsk

Βασικές αρχές της θεωρίας των ειδικών συναρτήσεων Η ανάγκη μελέτης ειδικών συναρτήσεων της μαθηματικής φυσικής συνδέεται με δύο βασικές συνθήκες. Πρώτον, κατά την ανάπτυξη μαθηματικό μοντέλοφυσικός

Διάλεξη 11 Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με ισχύ και λογαριθμικά βάρη 11.1 Ολοκληρώματα με βάρη ισχύος Θεωρήστε ένα ολοκλήρωμα της μορφής x α 1 f(x) dx, (11.1) όπου ο α είναι ένας μη ακέραιος πραγματικός αριθμός και η f(x) είναι ρητό

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Κρατικό Ίδρυμα Vitebsk ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ" Θέμα. «Σειρά» Τμήμα Θεωρητικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. που αναπτύχθηκε από τον Αναπλ. Ε.Β. Ντουνίνα. Βασικός

Θέμα ενότητας Λειτουργικές ακολουθίες και σειρές Ιδιότητες ομοιόμορφης σύγκλισης ακολουθιών και σειρών Διάλεξη Ορισμοί συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών Ομοιόμορφα

Μαθηματική ανάλυση Ενότητα: Ολοκλήρωση FNP Θέμα: Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους Λέκτορας E.G. Pakhomova 2013 10 10. Καμπυλόγραμμο Καμπυλόγραμμο ολοκληρωτικό ολοκλήρωμα τύπου II II πάνω από συντεταγμένες

MA EVDOKIMOV LA MURATOVA LV LIMANOVA ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΣΤΙΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΟΚΙΜΗΣ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΕΛΕΓΧΟ ΓΝΩΣΕΩΝ Τόμος III ΦροντιστήριοΣαμαρά Σαμαρά Κρατικό Πολυτεχνείο ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Ομοσπονδιακό κρατικό προϋπολογισμό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης Τμήμα "Κρατικό Πανεπιστήμιο του Κεμέροβο"

Journal of Experimental and Theoretical Physics. 948 τ. 8 τεύχος. ΕΝΑ. Tikhonov A.A. Σαμαρά. Σχετικά με την αρχή της ακτινοβολίας Διατυπώθηκε γενική αρχήακτινοβολία για κυματική εξίσωσημε την έννοια ότι οι αποφάσεις

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν 7. Σειρά Power και σειρά Taylor.. Σειρά Power..... Σειρά Taylor.... 4. Επέκταση ορισμένων στοιχειώδεις λειτουργίεςστη σειρά Taylor και Maclaurin.... 5 4. Εφαρμογή της σειράς ισχύος.... 7. Power series

Σελίδα του 9 6ου μαθήματος. Μεμονωμένα μοναδικά σημεία μοναδικού χαρακτήρα (IOTOH) Ματ. ανάλυση, appl. Μαθηματικά, 4ο εξάμηνο A Να αναπτύξετε τη συνάρτηση ln z + 2 z 3 σε μια σειρά Laurent σε μια γειτονιά ενός σημείου. Ρίζες και πολλαπλότητες

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΦΟΡΕΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ «ΣΑΜΑΡΑ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ» Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σχολή "Κρατικό Πανεπιστήμιο Πληροφορικής και Ραδιοηλεκτρονικής της Λευκορωσίας" συστήματα υπολογιστώνκαι δικτύων Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών

Συναρτήσεις Διαφοροποίηση συναρτήσεων 1 Κανόνες διαφοροποίησης Αφού η παράγωγος μιας συνάρτησης προσδιορίζεται όπως στο πραγματικό πεδίο, δηλ. με τη μορφή ενός ορίου, στη συνέχεια χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό και ιδιότητες των ορίων,

Θέμα CURVILINEAR INTEGRALS Διάλεξη CURVILINEAR INTEGRALS OF THE FIRST KIND Προβλήματα που οδηγούν στην έννοια καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμαπρώτου είδους Ορισμός και ιδιότητες ολοκληρώματος γραμμής πρώτου είδους Υπολογισμός

Θεωρία συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής S. G. Bugaeva Σχολή Φυσικής Novosibirsk State University Αυτές οι διαφάνειες συνόδευαν τις διαλέξεις και περιέχουν ορισμένους (όχι όλους!!!) ορισμούς και

1. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων over κλειστό βρόχο. Αφήστε τη λειτουργία f(z)έχει μόνο μεμονωμένα μοναδικά σημεία μέσα στο κλειστό περίγραμμα Г. Τότε το ολοκλήρωμα του f(z)κατά μήκος του περιγράμματος Γ μπορεί να βρεθεί εφαρμόζοντας το Θεώρημα 27.1 στα υπολείμματα: υπολογίζοντας τα υπολείμματα σε μοναδικά σημεία που βρίσκονται μέσα στο περίγραμμα Γ, προσθέτοντας αυτά τα υπολείμματα και πολλαπλασιάζοντας το άθροισμα με 2tgg, λαμβάνουμε το απαιτούμενο ολοκλήρωμα.

Παράδειγμα G1 28.1. Υπολογίστε ολοκλήρωμα

Λύση: Μέσα στον κύκλο z = 2 υπάρχουν δύο μοναδικά σημεία της συνάρτησης f(z) = ( 2 2+i)(^+ 3) 2 'δηλαδή z i = Uz 2= -Γτρίτο ενικό σημείο z%= - 3 βρίσκονται έξω από αυτόν τον κύκλο. Υπολείμματα στα σημεία ±r βρέθηκαν στο Παράδειγμα 27.5: res*/ = 0.01(7-N), res_*/ = 0.01(7- ΣΟΛ).Εφαρμόζοντας τον τύπο (27.2), έχουμε:

Εάν η συνάρτηση f(z)έχει απομονωμένα μόνο μοναδικά σημεία στο εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο C, τότε αντί να υπολογιστεί το άθροισμα των υπολειμμάτων σε πεπερασμένα μοναδικά σημεία, είναι ευκολότερο να βρεθεί το υπόλειμμα στο σημείο στο άπειρο και να χρησιμοποιηθεί το Θεώρημα 27.10 για το άθροισμα των υπολειμμάτων.

Παράδειγμα 28.2. Υπολογίστε ολοκλήρωμα

Λύση. Λειτουργία f(z)= έχει οκτώ μοναδικά σημεία

Λύσεις της εξίσωσης z s 4- 1 = 0. Καθένα από αυτά τα σημεία Ζκείναι πόλος δεύτερης τάξης, αφού στη γειτονιά του σημείου Ζκλειτουργία f(z)μοιάζει με f(z)= , όπου h(z)αναλυτική σε μια γειτονιά

σημεία ΖκΚαι h(zk) f 0. Όλα τα μοναδικά σημεία βρίσκονται μέσα στον κύκλο z= 2. Ο υπολογισμός των υπολειμμάτων σε όλα αυτά τα σημεία είναι πολύ εντάσεως εργασίας. Αλλά το Θεώρημα 27.10 είναι εφαρμόσιμο σε αυτή τη συνάρτηση, η οποία δίνει

Επομένως, αρκεί να βρούμε την έκπτωση στο σημείο zq = eo. Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (27.13). Εδώ

Λειτουργία g(w)αντιπροσωπεύσιμο στη μορφή = - 1 ^ ^. Οπου ω(ω) = --

W(1 + Π β)

Επειδή η γεια (w)αναλυτική σε μια γειτονιά του σημείου wq = 0 και η(0) φά 0, τότε το υπόλοιπο reso$ μπορεί να βρεθεί εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο (27.6 /): reso# = h(0) = 1. Από τις (27.2), (28.1) και (27.13) παίρνουμε:

• 2. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων της μορφής / R(cos ip,αμαρτία dp,Οπου R-

ορθολογική συνάρτηση του κοσ R,αμαρτία R.Τέτοια ολοκληρώματα προκύπτουν σε έναν αριθμό εφαρμογών (για παράδειγμα, κατά την επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών). Ανάγεται στα ολοκληρώματα που συζητήθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο χρησιμοποιώντας την αλλαγή της μεταβλητής 2 = π.χ Στη συνέχεια dz = e tip idp = zidp, που

(βλ. τύπους (12.2)). Όταν αλλάζει Rαπό 0 έως 2 tg το σημείο r περιγράφει έναν κύκλο z= 1. Επομένως, αφού περάσουμε στη μεταβλητή 2, λαμβάνουμε το ολοκλήρωμα μοναδιαίου κύκλου μιας συνάρτησης που αναπαρίσταται ως λόγος δύο πολυωνύμων. καλούνται τέτοιες συναρτήσεις λογικά κλάσματαή κλασματικές ορθολογικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα 28.3. Υπολογίστε ολοκλήρωμα

Λύθηκαν και ε. Πραγματοποιώντας τις παραπάνω αντικαταστάσεις, διαπιστώνουμε ότι το ολοκλήρωμα αυτό ισούται με

Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή και ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης αζ 2 - (ΕΝΑ 2 + )ζ + ΕΝΑ= 0. Διακριτικό

Επομένως, η συνάρτηση ολοκλήρωσης f(z)έχει δύο μοναδικά σημεία z - aκαι 22 = 1/a, καθένα από τα οποία είναι ένας πόλος πρώτης τάξης. Αφού κατά συνθήκη |a| Το Z βρίσκεται μέσα στον κύκλο z= 1, α ΣΟΛ?έξω από αυτό. Από το Θεώρημα 27.1

Για να υπολογίσετε το υπόλειμμα σε ένα σημείο Ζ = αμπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από τους τύπους (27.5), (27.6), (27.6"). Ας εφαρμόσουμε, για παράδειγμα, τον τύπο (27.6). Εδώ

3. Υπολογισμός ακατάλληλων ολοκληρωμάτων. Αφήνω f(x)

λειτουργία που καθορίζεται σε ολόκληρο τον άξονα OH.Ας θεωρήσουμε τον υπολογισμό του ακατάλληλου

ολοκληρώματα f f(x) dx,ορίζεται ως εξής:

Αναπόσπαστο, ορίζεται από την ισότητα(28.2) καλείται ακατάλληλο ολοκλήρωμα με την έννοια της κύριας αξίας.Αν προδοθεί στο (28.2)

υπάρχει, τότε το ολοκλήρωμα J f(x) dxπου ονομάζεται συγκεντρούμενος; αν προ-

δεν υπάρχουν περιπτώσεις λοιπόν αποκλίνων.

Αν καθένα από τα ολοκληρώματα συγκλίνει

(δηλαδή υπάρχουν και τα δύο αντίστοιχα όρια), τότε ακατάλληλο ολοκλήρωμαστο (28.2) επίσης συγκλίνει και ίσο με το άθροισμααυτά τα ολοκληρώματα.

Αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει: από τη σύγκλιση του ολοκληρώματος / f(x)dxΑπό την άποψη του

η κύρια τιμή (δηλαδή από την ύπαρξη του ορίου στην (28.2)) δεν ακολουθεί

φυσά σύγκλιση ολοκληρωμάτων / f(x)dxΚαι / f(x)dx.Για παράδειγμα, μεταξύ

• -οοο

/ xdx

• --^ συγκλίνει με την έννοια της κύριας τιμής και ισούται με μηδέν,
• 1 + Χ*

επειδή η

Ταυτόχρονα, καθένα από τα ολοκληρώματα αποκλίνει.

Υπολογισμός πολλών ακατάλληλων ολοκληρωμάτων

(με την έννοια της κύριας σημασίας) βασίζεται στο παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 28.4. Έστω η συνάρτηση f(x),x 6 (-oo, +os), πληροί τις ακόλουθες δύο προϋποθέσεις:

• 1) συνάρτηση f(z), που προκύπτει με την αντικατάσταση του x με μια μιγαδική μεταβλητή z, έχει στο μιγαδικό επίπεδοΜΕ μόνο μεμονωμένα μοναδικά σημεία, και κανένα από αυτά δεν βρίσκεται στον άξονα OX;
• 2) Αν 7 (I) - ημικύκλιο ακτίνας R με κέντρο στην αρχή, που βρίσκεται στο άνω (ή κάτω) ημιεπίπεδο, Οτι

ειδικά

Μετά το ολοκλήρωμα. Jf(x)dxισοδυναμεί άθροισμα υπολειμμάτων της συνάρτησης f(z)

σε οποιοδήποτε σημείο που βρίσκεται στο πάνω μισό του επιπέδου πολλαπλασιαζόμενο επί 2/Π (αντίστοιχα με το άθροισμα των υπολειμμάτων σε μοναδικά σημεία από το κάτω μισό επίπεδο, πολλαπλασιασμένο με -2 lg).

Απόδειξη. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση όταν το ημικύκλιο 7(R) βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο. Ας πάρουμε ένα κλειστό περίγραμμα Г, που αποτελείται από ένα τμήμα [-I, I] και ένα ημικύκλιο 7(I), με αριστερόστροφη διάβαση (Εικ. 49). Από το Θεώρημα 27.1

όπου το άθροισμα ισχύει για όλα τα μοναδικά σημεία Ζκ, που βρίσκεται μέσα στο περίγραμμα G. Ας περάσουμε στο όριο στο R -> oo.Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (28.2) και (28.3), λαμβάνουμε την απαιτούμενη ισότητα:

όπου το άθροισμα λαμβάνεται σε όλα τα μοναδικά σημεία από το άνω μισό επίπεδο.

Εάν το ημικύκλιο 7(R) βρίσκεται στο κάτω μισό επίπεδο, τότε το αντίστοιχο περίγραμμα Γ θα διανυθεί δεξιόστροφα (αυτή η κατεύθυνση προκύπτει επειδή το τμήμα [-R, R] σε κάθε περίπτωση πρέπει να περάσει από αριστερά προς τα δεξιά, δηλ. την κατεύθυνση της αύξησης Χ).Επομένως, θα προστεθεί ένα σύμβολο μείον στη δεξιά πλευρά του (28.4). Το θεώρημα 28.4 είναι αποδεδειγμένο.

Παράδειγμα 28.5. Υπολογίστε ολοκλήρωμα

Λύση. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση f(z) = ^+ yy Ας ελέγξουμε την εγκυρότητα της συνθήκης (28.3):

Οπου h(z) = --§- ότι.Αφού λιμ h(z)= 1, τότε με επαρκή πόνο

υψηλές αξίες zθα h(z)

Ως εκ τούτου.

(Εδώ f dz= tg R- μήκος ημικυκλίου y(R)).Προχωράμε στην προ-7(«)

υπόθεση στο χέρι R-> ω. λαμβάνουμε (28.3). Οι ακόλουθες εκτιμήσεις ισχύουν τόσο για το άνω όσο και για το κάτω ημικύκλιο. Επομένως, μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε από αυτά ως 7(L). Αφήνω y(R) -άνω ημικύκλιο. Επειδή

Οτι f(z)έχει δύο μοναδικά σημεία z- 3g, zo= -Зг, που είναι πόλοι δεύτερης τάξης. Από αυτά μόνο z= Ζγ. Βρίσκουμε το υπόλειμμα σε αυτό το σημείο χρησιμοποιώντας τον τύπο (27.7) με m = 2:

Σημειώστε ότι αυτό το ολοκλήρωμα θα μπορούσε να υπολογιστεί χωρίς να καταφύγουμε σε μεθόδους σύνθετης ανάλυσης, αλλά με την εύρεση του αντιπαραγώγου του ολοκληρώματος. Όμως ο παραπάνω υπολογισμός είναι πολύ πιο απλός.

Η συλλογιστική που εκτελέσαμε στο Παράδειγμα 28.5 για να ελέγξουμε την κατάσταση (28.3) ισχύει χωρίς τροποποίηση σε οποιαδήποτε συνάρτηση f(z),μπορεί να αναπαρασταθεί ως λόγος δύο πολυωνύμων (δηλαδή, ενός ορθολογικού κλάσματος), εάν ο βαθμός του πολυωνύμου στον παρονομαστή είναι δύο ή περισσότερες μονάδες μεγαλύτερος από τον βαθμό του πολυωνύμου στον αριθμητή. (Στο Παράδειγμα 28.5, ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή είναι 2 και στον παρονομαστή - 4.) Το ακόλουθο θεώρημα δείχνει ότι η συνθήκη (28.3) ικανοποιείται επίσης από μια άλλη σημαντική κατηγορία συναρτήσεων, τα ολοκληρώματα της οποίας προκύπτουν, για για παράδειγμα, στον λειτουργικό λογισμό (βλ. Κεφάλαιο VIII ).

Θεώρημα 28.6 (Λήμμα Ιορδανίας). Έστω η συνάρτηση F(z) απολιτική στο ημιεπίπεδο lm z ^-ΕΝΑ, εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό μεμονωμένων ενικών σημείων, Και lim F(z) = 0. Αν 7(R) - τόξο

κύκλος z = 7?, μισό αεροπλάνο Ini 2^ -α, λοιπόν

Ρύζι. 50

Απόδειξη. Ας εξετάσουμε πρώτα την υπόθεση α > 0. Ας υποδηλώσουμε με Μ(7;) μέγιστη ενότητα F(z)στο τόξο 7(7?). Από λίρες F(z) = 0, λοιπόν

lim ΚΥΡΙΟΣ) = 0.

Ας χωρίσουμε το 7(7?) σε τρία μέρη 7i (ΜΕΓΑΛΟ), 72(7?) και 7з(T?) (Εικ. 50): τόξα 7 i(R)και 72(I) περικλείονται μεταξύ μιας ευθείας γραμμής y = -aκαι άξονας ΟΑ", και το 7з(Т?) είναι ένα ημικύκλιο που βρίσκεται στο ημιεπίπεδο Im z^ 0. Προφανώς, το ολοκλήρωμα πάνω από 7(7;) είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων σε αυτά τα τρία τόξα. Ας αξιολογήσουμε το καθένα ξεχωριστά.

Σε σημεία z = x + iyτα τόξα 71 (7?) και 72 (7?) θα είναι -y Επομένως

Ας συμβολίσουμε με /(7?) τα μήκη και με y?(7?) - κεντρικές γωνίεςτόξο 7i(T?) και 72(7;) (σε ακτίνια). Είναι εύκολο να διακρίνει κανείς (βλ. Εικ. 50) αυτό το αμαρτωλό; =

από πού;>(7?) = arcsin -. Επομένως /(7;) = R

7?arcsin -. Από εδώ παίρνουμε

Έτσι, σε περίπτωση ΕΝΑ> 0 αποδεικνύεται το θεώρημα. Αν ΕΝΑ^ 0, μετά τόξο "y(R)βρίσκεται σε ένα μισό αεροπλάνο Είμαι z^0 και είναι μέρος του τόξου 73 (R);μέρη 7i (R)και 7r(R) απουσιάζουν σε αυτή την περίπτωση. Για 7 (R)ο συλλογισμός που έγινε παραπάνω για το 73(7;) είναι έγκυρος και το Θεώρημα 28.G είναι πλήρως αποδεδειγμένο.

Το νόημα του Θεωρήματος 28.6 είναι αυτό. ποια είναι η λειτουργία F(z)μπορεί να τείνει στο μηδέν αυθαίρετα αργά (σημειώστε ότι στο Παράδειγμα 28.5 η μείωση της συνάρτησης f(z)στο z-? oo ήταν αρκετά γρήγορο ως |z|“ 2). Πολλαπλασιάζοντας όμως με e ltzεξασφαλίζει την τάση του ολοκληρώματος πάνω από 7 (R)στο μηδέν.

Σχόλιο. Για την περίσταση t z = /?, που βρίσκεται στο μισό επίπεδο Im z ^ -ΕΝΑ(φαίνεται με διακεκομμένη γραμμή στο Σχ. 50). Η απόδειξη σε αυτή την περίπτωση είναι παρόμοια με αυτή που δόθηκε παραπάνω για t> 0. Σε περίπτωση t- 0 Το θεώρημα 28.6 είναι λανθασμένο.

Παράδειγμα 28.7. Αξιολογήστε τα ολοκληρώματα

Έτσι, τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη της συνάρτησης f(x)και είναι οι συναρτήσεις των οποίων τα ολοκληρώματα πρέπει να βρεθούν. Να γιατί

είναι εκείνες οι συναρτήσεις των οποίων τα ολοκληρώματα πρέπει να βρεθούν. Να γιατί

/ X€*^ x

• --- dxκαι πάρε από αυτόν ενέργειες + 9

πραγματικά και φανταστικά μέρη, τότε λαμβάνουμε τις απαιτούμενες ποσότητες.

Λειτουργία F(z) = Το .Δ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος 28.6: αυτό z"στ 9

έχει μόνο δύο μοναδικά σημεία z> = ±3t και lim -- = 0. Ec-

z->oΟ Ζ ζ + 9

είναι το 7(/?) τόξο κύκλου z = R,που βρίσκεται στο ημιπλάνο Im z> 0. τότε σύμφωνα με το tcodcmc 28.6

(πήραμε στο (28,5) t= 2). Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα 28.4,

σύμφωνα με την οποία το ολοκλήρωμα / --- dxίσο με το άθροισμα των αφαιρέσεων της συνάρτησης

J x z 4- 9

θέσεις f(z) = --- σε μοναδικά σημεία από το άνω μισό επίπεδο 1 t z > zΕγώ Τζ

Ω πολλαπλασιασμένο επί 2t.Στο μισό αεροπλάνο Im z > 0βρίσκεται το μόνο

Z e i2z

μοναδικό σημείο Ζ= Λειτουργία 3g f(z).Επειδή f(z) = ------,

(z - oi)(z+ Zg)

Οτι z= Zg - πόλος πρώτης τάξης. Το υπόλειμμα σε αυτό το σημείο μπορεί να βρεθεί από οποιοδήποτε από τα sboomul (27.,"V. (27.6L (27.63. Ppimenim (27.63. Zles

Τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη του αριθμού που προκύπτει θα είναι τα απαιτούμενα και τα ολοκληρώματα I και:

(Σημειώστε ότι η ισότητα προς το μηδέν του πρώτου από αυτά τα ολοκληρώματα προκύπτει αμέσως από το γεγονός ότι είναι ολοκλήρωμα του περιττή συνάρτησησε ένα διάστημα συμμετρικό ως προς την αρχή.)

Ολοκλήρωμα μιας ορθολογικής συνάρτησης.

Ας εξετάσουμε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα του ορθολογικού λειτουργίες--σχέσειςδύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) (με μιγαδικούς συντελεστές):

Συγκλίνει εάν ο παρονομαστής δεν έχει πραγματικές ρίζες και ο βαθμός του αριθμητή είναι τουλάχιστον δύο μονάδες μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή.

Πώς να υπολογίσετε την τιμή αυτού του ολοκληρώματος;

Μπορείτε, φυσικά, να πάρετε αόριστο ολοκλήρωμααπό την ορθολογική συνάρτηση και αντικαθιστούν τα όρια. Αλλά αποδεικνύεται ότι μερικές φορές είναι πιο γρήγορο να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι που σχετίζονται με την αναλυτική φύση της συνάρτησης.

Η συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής z, ίση, είναι αναλυτική παντού στο επίπεδο της μεταβλητής z, με εξαίρεση έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων - τις ρίζες του παρονομαστή. Θεωρήστε στο άνω ημιεπίπεδο ένα κλειστό κατά τμήματα ομαλό περίγραμμα L που σχηματίζεται από το τμήμα [-R, R] του πραγματικού άξονα και του ημικυκλίου

όπου το R είναι τόσο μεγάλο ώστε έξω από το προκύπτον ημικύκλιο δεν υπάρχει πλέον ούτε μία ρίζα του παρονομαστή στο άνω μισό επίπεδο.

Μέσα σε αυτό το ημικύκλιο υπάρχει, μιλώντας γενικά, ένας ορισμένος αριθμός ριζών του παρονομαστή, για παράδειγμα (Εικ. 1.3.1).

Δυνάμει του τύπου

παίρνουμε την έκφραση

Ας κατευθύνουμε τώρα το R. Σε ένα ημικύκλιο έχουμε, λόγω των συνθηκών στις μοίρες των πολυωνύμων P(z) και Q(z), όπου το A είναι κάποια σταθερά. Να γιατί

Από αυτό προκύπτει ότι το ολοκλήρωμα

έχει όριο στην τιμή (1.3.1.2). Επειδή όμως το ολοκλήρωμα (1.3.1.1) συγκλίνει, πρέπει να συμπίπτει με το όριο του ολοκληρώματος (1.3.1.3). Ετσι,

ΕΝΑ. Εάν οι ρίζες είναι απλές, τότε σύμφωνα με τον τύπο

και ως εκ τούτου

σι. Σχόλιο. Φέραμε το ολοκλήρωσό τους στο άθροισμα των υπολειμμάτων (πολλαπλασιασμένα με) τη συνάρτηση στο άνω μισό επίπεδο, λαμβάνοντας υπόψη το περίγραμμα L που αποτελείται από το τμήμα [-R, R] και ένα ημικύκλιο.

Αλλά με τον ίδιο τρόπο μπορεί κανείς να συλλογιστεί με ένα περίγραμμα που αποτελείται από ένα τμήμα (που περνά από δεξιά προς τα αριστερά) και ένα ημικύκλιο στο κάτω μισό επίπεδο. θα πάρουμε

όπου οι ρίζες του πολυωνύμου Q(z) βρίσκονται στο κάτω μισό επίπεδο.

Περνώντας στο όριο στο, βρίσκουμε

Το ληφθέν αποτέλεσμα διαφέρει ως προς τη μορφή από το αποτέλεσμα (1.3.1.4). Στην πραγματικότητα, βέβαια, συμπίπτουν, οπότε η διαφορά αυτών των αποτελεσμάτων, δηλαδή πολλαπλασιαζόμενη με το άθροισμα των υπολειμμάτων της συνάρτησης σε όλες τις ρίζες του Q(z), τόσο στο άνω όσο και στο κάτω μισό επίπεδο, είναι ίση με 0.

Αυτό μπορεί επίσης να εμφανιστεί απευθείας. Όπως γνωρίζουμε, αυτό το άθροισμα των υπολειμμάτων συμπίπτει με το ολοκλήρωμα

κατά μήκος ενός πλήρους κύκλου ακτίνας R αρκετά μεγάλος ώστε να περιέχει όλες τις ρίζες του Q(z) μέσα. Αυτό το ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από το R και ταυτόχρονα παραδέχεται την εκτίμηση

Έτσι, το ολοκλήρωμα (8) είναι ίσο με 0. Επομένως

ΕΝΑ. Ολοκληρώματα Fourier. Συχνά συναντάμε ολοκληρώματα της φόρμας

Εάν πληρούται η προϋπόθεση

τότε και τα τρία ολοκληρώματα Fourier συγκλίνουν απόλυτα. Αν στη συνάρτηση f(x) είναι πραγματική και τείνει μονοτονικά στο μηδέν, τα ολοκληρώματα (1.3.2.2) και (1.3.2.3) συγκλίνουν στο, αλλά, γενικά, όχι απόλυτα. Αν f(- x)f(x) (δηλαδή η συνάρτηση f(x) είναι άρτια), τότε το ολοκλήρωμα (1.3.2.3) είναι ίσο με μηδέν, αλλά αν f(- x) = -f(x) (συνάρτηση Η f(x) είναι περιττή), τότε το ολοκλήρωμα (1.3.2.2) είναι ίσο με μηδέν. Επιπλέον, υπάρχει μια προφανής σχέση

άρα στην περίπτωση του πραγματικού f(x), τα ολοκληρώματα (1.3.2.2) και (1.3.2.3) αντιπροσωπεύουν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη του ολοκληρώματος (1.3.2.1).

σι. Οι μέθοδοι ολοκλήρωσης περιγράμματος είναι συχνά χρήσιμες. Ας είναι. είναι ορθολογική συνάρτηση και το πολυώνυμο Q(x) έχει βαθμό τουλάχιστον ένα μεγαλύτερο από το βαθμό του πολυωνύμου P(x) και δεν εξαφανίζεται για το πραγματικό x. Στην περίπτωση αυτή, τα ολοκληρώματα (1.3.2.1) - (1.3.2.3) συγκλίνουν

Έστω οι ρίζες του πολυωνύμου Q(x) που βρίσκεται στο άνω μισό επίπεδο. Σχηματίζουμε ένα κλειστό περίγραμμα που αποτελείται από ένα τμήμα [-R, R] του πραγματικού άξονα και ένα ημικύκλιο.

Ας δείξουμε ότι όταν

Αν, τότε ||=||=. Επομένως, εάν ο βαθμός του πολυωνύμου Q(z) είναι τουλάχιστον δύο μονάδες υψηλότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου P(z), η απόδειξη της σχέσης (1.3.2.5) μπορεί να πραγματοποιηθεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως στο 1.3. .1.

V. Εάν ο βαθμός του πολυωνύμου Q(z) είναι μόνο ένα μεγαλύτερος από τον βαθμό του πολυωνύμου P(z), τότε ο συλλογισμός 1.3.1 δεν λειτουργεί. Για την περίπτωση αυτή καθιερώνουμε το ακόλουθο λήμμα.

Λήμμα. Όταν η ανισότητα είναι αληθινή

(γ - σταθερά).

Απόδειξη. Αφού, αρκεί να εξετάσουμε το ολοκλήρωμα

είναι ακριβώς το μισό από το προηγούμενο. Έχουμε στο

αφού η συνάρτηση για u>0 είναι περιορισμένη. Το λήμμα είναι αποδεδειγμένο.

Το υπόλειμμα μιας συνάρτησης f(z) σε ένα απομονωμένο ενικό σημείο z0 είναι ένας αριθμός όπου το 7 είναι ένας αρκετά μικρός κύκλος και δεν υπάρχουν άλλα μοναδικά σημεία της συνάρτησης f(z). Από τον τύπο για τους συντελεστές της σειράς Laurent προκύπτει αμέσως ότι έτσι, το υπόλειμμα της συνάρτησης /(r) σε ένα απομονωμένο ενικό σημείο zo ίσο με τον συντελεστήγια (r - zq)~] στην επέκταση Laurent αυτής της συνάρτησης στο σημείο z0. Από εδώ, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι το υπόλειμμα σε ένα αφαιρούμενο μοναδικό σημείο είναι ίσο με μηδέν. Ας υποδείξουμε μερικούς τύπους για τον υπολογισμό του υπολείμματος στον πόλο της συνάρτησης /(r). 1. zq - πόλος πρώτης τάξης: 00 Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας με z - zo και περνώντας στο όριο στο z zo, προκύπτει ότι Αν η συνάρτηση f(z) μπορεί να παρασταθεί ως κλάσμα όπου και f(z) είναι αναλυτικές συναρτήσεις , και απλός πόλος, τότε από τον τύπο (3) προκύπτει ότι Παράδειγμα 1. Έστω ότι τα μοναδικά σημεία της συνάρτησης ΕΙΝΑΙ απλοί πόλοι. Επομένως 2. zo είναι πόλος τάξης m: Να εξαλείψει αρνητικές δυνάμεις z - z0 πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας με (z-Zo)m, Υπολείμματα Το κύριο θεώρημα για τα υπολείμματα Εφαρμογή των καταλοίπων στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Αναγωγή μιας συνάρτησης ως προς ένα σημείο στο άπειρο Εφαρμογή των υπολειμμάτων στον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρώματα Ολοκληρώματα από ορθολογικές συναρτήσειςΛήμμα Jordan's Υπολογισμός ολοκληρωμάτων Fresnel Ας διαφοροποιήσουμε τη σχέση m - 1 που προκύπτει και, περνώντας στο όριο στο, λαμβάνουμε το Παράδειγμα 2. Έστω 4 Τα μοναδικά σημεία αυτής της συνάρτησης είναι τα σημεία r = ±i. Αυτοί είναι πόλοι δεύτερης τάξης. Ας υπολογίσουμε, για παράδειγμα, το res/(i). Έχουμε Θεώρημα 21i Έστω η συνάρτηση f(z) αναλυτική παντού στον τομέα D εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό απομονωμένων ενικών σημείων 7, τότε για κάθε κλειστό πεδίο G που βρίσκεται στο D και περιέχει σημεία zn μέσα, ισχύει η ισότητα. Το θεώρημα ακολουθεί από το θεώρημα του Cauchy για έναν πολλαπλασιασμένο τομέα. Ας κατασκευάσουμε κύκλους τόσο μικρής ακτίνας r ώστε οι κύκλοι που οριοθετούνται από αυτούς να περιέχονται στην περιοχή G και να μην τέμνονται μεταξύ τους (Εικ. 29). Ας συμβολίσουμε με G* την περιοχή που προκύπτει από την περιοχή G αφαιρώντας τους κύκλους U και..., U“. Η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στο πεδίο G* και συνεχής στο κλείσιμό της G7. Επομένως, με το θεώρημα του Cauchy για ένα πολλαπλά συνδεδεμένο πεδίο έχουμε Από αυτόν τον τύπο, χρησιμοποιώντας τον ορισμό του υπολείμματος, λαμβάνουμε την απαιτούμενη ισότητα (5). 6.1. Υπόλειμμα συνάρτησης ως προς ένα σημείο στο άπειρο Η συνάρτηση f(z) λέγεται αναλυτική στο σημείο στο άπειρο z = oo αν η συνάρτηση είναι αναλυτική στο σημείο C = 0. Αυτό πρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής: η συνάρτηση g(0 = f (f) μπορεί να επεκταθεί σε αναλυτική ορίζοντας Για παράδειγμα, η συνάρτηση είναι αναλυτική στο σημείο z = oo, αφού η συνάρτηση είναι αναλυτική στο σημείο C = 0. Έστω η συνάρτηση f(r) αναλυτική σε κάποια γειτονιά απείρως απομακρυσμένο σημείο (εκτός από το σημείο z = oo).Το σημείο z = oo λέγεται απομονωμένο ενικό σημείο της συνάρτησης f(z) αν βρίσκεται σε κάποια γειτονιά αυτού του σημείου δεν υπάρχουν άλλα μοναδικά σημεία της συνάρτησης f(z) Η συνάρτηση έχει μη απομονωμένη ιδιομορφία στο άπειρο: οι πόλοι zk = k-k αυτής της συνάρτησης συσσωρεύονται στο άπειρο αν k oo Λένε ότι το z - oo είναι αφαιρούμενος ενικός λεπτό, πόλο ή ουσιαστικά ενικό σημείο της συνάρτησης f(z) ανάλογα με το αν είναι lim f( z).Τα κριτήρια για τον τύπο σημείου στο άπειρο που σχετίζεται με την επέκταση Laurent ποικίλλουν από εκείνα για πεπερασμένα ενικά σημεία. Θεώρημα 22. Αν z - oo είναι ένα αφαιρούμενο ενικό σημείο της συνάρτησης /(z), τότε η επέκταση Laurent f(z) στη γειτονιά αυτού του σημείου δεν περιέχει θετικές δυνάμεις z· eaiu z - oo - πόλος, τότε αυτή η επέκταση περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό θετικούς βαθμούς z, σε περίπτωση ουσιαστικό χαρακτηριστικό- άπειρος αριθμός θετικών δυνάμεων του z. Σε αυτήν την περίπτωση, η επέκταση Laurent της συνάρτησης /(z) στη γειτονιά ενός σημείου στο άπειρο θα ονομάζεται επέκταση σε μια σειρά Laurent που συγκλίνει παντού έξω από έναν κύκλο αρκετά μεγάλης ακτίνας R με το κέντρο στο σημείο z - 0 (εκτός, ίσως, από το ίδιο το σημείο z - oo). Έστω η συνάρτηση f(z) αναλυτική σε κάποια γειτονιά του σημείου z = oo (εκτός, ίσως, από αυτό το ίδιο το σημείο). Το υπόλειμμα της συνάρτησης /(z) στο άπειρο είναι η ποσότητα pae 7 - ένας αρκετά μεγάλος κύκλος \z\ = p, που διασχίζεται δεξιόστροφα (έτσι ώστε η γειτονιά του σημείου z - oo να παραμένει στα αριστερά, όπως στην περίπτωση του το τελικό σημείο z = r). Και από αυτόν τον ορισμό προκύπτει ότι το υπόλειμμα μιας συνάρτησης στο άπειρο είναι ίσο με τον συντελεστή στο z~! στην επέκταση Laurent /(z) στη γειτονιά του σημείου z - oo, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο: Παράδειγμα 3. Για τη συνάρτηση f(z) = έχουμε f(z) = 1 + j. Αυτή η έκφραση μπορεί να θεωρηθεί ως η επέκταση Laurent της κοντά στα + σημεία z = oo. Είναι εύκολο να δούμε ότι το σημείο z = oo είναι ένα αφαιρούμενο ενικό σημείο, και υποθέτουμε, ως συνήθως, /(oo) = 1. Εδώ, επομένως, από αυτό το παράδειγμα προκύπτει ότι το υπόλειμμα μιας αναλυτικής συνάρτησης σε σχέση με ένα απείρως απομακρυσμένο αφαιρούμενο ενικό σημείο (σε διαφορά από ένα πεπερασμένο αφαιρούμενο ενικό σημείο) μπορεί να αποδειχθεί μη μηδενικό. Οι γνωστές επεκτάσεις Taylor των συναρτήσεων e1, cosz, sinz, chz, shz μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως επεκτάσεις Laurent στη γειτονιά του σημείου z - oo. Αφού όλες αυτές οι επεκτάσεις περιέχουν άπειρο σύνολοθετικές δυνάμεις του z, λοιπόν αναγραφόμενες λειτουργίεςΈχω ένα ουσιαστικό χαρακτηριστικό στο σημείο z = oo. Θεώρημα 23. Αν μια συνάρτηση f(z) έχει πεπερασμένο αριθμό μοναδικών σημείων στο εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα όλων των υπολειμμάτων της, συμπεριλαμβανομένου του υπολείμματος στο άπειρο, είναι ίσο με μηδέν. Έτσι, εάν είναι τα πεπερασμένα ενικά σημεία της συνάρτησης f(z), τότε η τελευταία σχέση μπορεί να είναι βολική για χρήση κατά τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων. Παράδειγμα 4. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Οι πόλοι (τελικοί) του ολοκληρώματος είναι οι ρίζες zt της εξίσωσης rz = -1, οι οποίες βρίσκονται όλες μέσα στον κύκλο Στη γειτονιά του σημείου r = oo, η συνάρτηση /(z) έχει την εξής επέκταση: ΑΠΟ ΤΗΝ ΟΠΟΙΑ ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΟΤΙ Δυνάμει του Θεωρήματος 6.2. Εφαρμογή υπολειμμάτων στον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων. Ολοκληρώματα ορθολογικών συναρτήσεων Θεώρημα 24. Έστω f(x) ορθολογική συνάρτηση, δηλ. όπου είναι πολυώνυμα βαθμών nm, αντίστοιχα. Εάν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα (ο βαθμός του παρονομαστή είναι τουλάχιστον δύο μονάδες μεγαλύτερος από τον βαθμό του αριθμητή, τότε p.(*) Qm(z) σε όλους τους πόλους που βρίσκονται στον άνω ημιεπίπεδο (ουσιαστικά μοναδικά σημεία δεν υπάρχει ορθολογική συνάρτηση).4 Θεωρήστε ένα κλειστό περίγραμμα 7, που αποτελείται από ένα τμήμα του πραγματικού άξονα του άνω ημικυκλίου. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το R έχει επιλεγεί να είναι τόσο μεγάλο ώστε το εσωτερικό της περιοχής που οριοθετείται από το περίγραμμα 7 περιέχει όλους τους πόλους της συνάρτησης που βρίσκονται στο άνω μισό επίπεδο (Εικ. 30). Δυνάμει του κύριου θεωρήματος για τα υπολείμματα, υπολογίζω το J. Δυνάμει των συνθηκών στις μοίρες των πολυωνύμων , υπάρχουν θετικούς αριθμούςΤο Do και το M είναι τέτοια ώστε για By ιδιότητα 6 ολοκληρώματα συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής για έχουμε: για Do oo. Ας προχωρήσουμε ισότιμα ​​στο όριο στο R 00. Σημειώστε ότι η δεξιά πλευρά δεν εξαρτάται από το R και ο δεύτερος όρος στην αριστερή πλευρά τείνει στο μηδέν. Έπεται ότι το όριο του πρώτου όρου υπάρχει και είναι ίσο με το όπου.. ,2/ είναι όλοι οι πόλοι της συνάρτησης /(2) που βρίσκονται στο άνω ημιεπίπεδο. Παράδειγμα 5. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Εφόσον το ολοκλήρωμα είναι άρτιο, τότε εξετάστε τη συνάρτηση Υπολείμματα Το κύριο θεώρημα για τα υπολείμματα Εφαρμογή των καταλοίπων στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Αναγωγή μιας συνάρτησης ως προς ένα απείρως απομακρυσμένο σημείο Εφαρμογή των υπολειμμάτων στον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων Ολοκληρώματα ορθολογικών συναρτήσεων Το λήμμα του Jordan Υπολογισμός των ολοκληρωμάτων Fresnel που είναι στον πραγματικό άξονα , δηλ. για r = x, συμπίπτει με /(x). Η συνάρτηση /(z) έχει ένα απομονωμένο ενικό σημείο z στο άνω μισό επίπεδο - ai - έναν πόλο δεύτερης τάξης. Το υπόλειμμα /(r) στο σημείο z = v" είναι ίσο με Χρησιμοποιώντας τον τύπο (10), παίρνουμε ότι το Ολοκλήρωμα είναι της μορφής όπου το A(m, z) είναι μια ορθολογική συνάρτηση των ορισμάτων u και v. Ας εισάγουμε τη μιγαδική μεταβλητή z = etx. Τότε είναι σαφές ότι στην προκειμένη περίπτωση. Έτσι, το αρχικό ολοκλήρωμα μπαίνει στο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής κατά μήκος ενός κλειστού περιγράμματος: όπου το 7 είναι κύκλος μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο στην αρχή: Σύμφωνα με το κύριο θεώρημα για τα υπολείμματα, το ολοκλήρωμα που προκύπτει είναι ίσο με , όπου είναι το άθροισμα των υπολειμμάτων της συνάρτησης ολοκληρώματος F(z) στους πόλους , που βρίσκονται μέσα στον κύκλο 7. Παράδειγμα 6. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση z = e,r. μετά από απλούς μετασχηματισμούς (βλ. τύπους (II)) λαμβάνουμε ότι το Inside κύκλος μονάδαςμε την προϋπόθεση ότι υπάρχει μόνο ένας πόλος (δεύτερης τάξης) Αφαίρεση της συνάρτησης Ολοκληρώματα της μορφής όπου το D(x) είναι σωστό ορθολογικό κλάσμα, και > 0 είναι πραγματικός αριθμός. Κατά τον υπολογισμό τέτοιων ολοκληρωμάτων, το ακόλουθο λήμμα είναι συχνά χρήσιμο. Το Λήμμα του Τζόρνταν. Έστω η συνάρτηση f(z) αναλυτική στο άνω ημιεπίπεδο εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό απομονωμένων ενικών σημείων, και ως \ τείνει να μηδενίζεται ομοιόμορφα ως προς το arg z. Τότε για κάθε θετικό a όπου 7r είναι το άνω ημικύκλιο.Η συνθήκη f(r) να τείνει ομοιόμορφα στο μηδέν σημαίνει ότι στο ημικύκλιο 7R υπολογίζουμε το εντέφαλο υπό μελέτη. Σημειώνοντας ότι στο 7Α Λόγω της γνωστής ανισότητας (βλ. Εικ. 31) που ισχύει για (για να το αποδείξουμε, αρκεί να σημειωθεί ότι και, επομένως, η συνάρτηση ^ μειώνεται στο μισό διάστημα. Σύγκριση τύπων (13 ) και (14), συμπεραίνουμε ότι 4 Ας εισαγάγουμε μια βοηθητική συνάρτηση Παράδειγμα 7. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Είναι εύκολο να δούμε ότι αν r = x, τότε το Jmh(z) συμπίπτει με τη συνάρτηση ολοκλήρωσης Θεωρήστε το περίγραμμα που φαίνεται στο Σχ. 32. Για ένα αρκετά μεγάλο R στο τόξο 7l Η συνάρτηση, λόγω της σχέσης, ικανοποιεί τη συνθήκη στο So, από το Λήμμα του Jordan Με το κύριο θεώρημα για τα υπολείμματα για οποιαδήποτε έχουμε Περνώντας στο όριο στην ισότητα (16) και λαμβάνοντας υπόψη σχέση λογαριασμού (15), λαμβάνουμε ότι Διαχωρίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος αριστερά και δεξιά, έχουμε Λόγω του γεγονότος ότι η συνάρτηση ολοκλήρωσης f(x) - άρτια, τελικά λαμβάνουμε Στο υπό εξέταση παράδειγμα, τη συνάρτηση f (z) δεν έχει μοναδικά σημεία στον πραγματικό άξονα.Ωστόσο μικρή αλλαγήΗ περιγραφόμενη μέθοδος επιτρέπει τη χρήση της στην περίπτωση που η συνάρτηση f(z) έχει μοναδικά σημεία (απλούς πόλους) στον πραγματικό άξονα. Ας σας δείξουμε πώς γίνεται. Παράδειγμα 8. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα 4 έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: όταν συμπίπτει με το ολοκλήρωμα; 2) έχει ιδιομορφία στον πραγματικό άξονα - απλός πόλος στο σημείο r = 0. Θεωρήστε στο άνω ημιεπίπεδο Im z ^ 0 ένα κλειστό περίγραμμα Γ, που αποτελείται από τμήματα του πραγματικού άξονα [-R, -z) , (r,R) και τόξα ημικυκλικών (Εικ. 33). Μέσα σε αυτό το περίγραμμα υπάρχει μόνο ένας πόλος της συνάρτησης h(z) - σημείο z = Н. Σύμφωνα με το κύριο θεώρημα για τα υπολείμματα, μετασχηματίζουμε πρώτα το άθροισμα των ολοκληρωμάτων στα τμήματα (-R, -r| και |r, R) του πραγματικού άξονα. Αντικαθιστώντας το x με ~x στον πρώτο όρο στη δεξιά πλευρά της ισότητας (18) και συνδυάζοντάς το με τον τρίτο όρο, λαμβάνουμε Ας στραφούμε στον δεύτερο όρο του τύπου (18). Εφόσον όπου lim g(z) = 0. τότε η συνάρτηση ολοκληρώματος h(z) μπορεί να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη μορφή: Τότε Υποθέτοντας. παίρνουμε ότι ο τέταρτος όρος στην ισότητα (18) τείνει στο μηδέν ως R -» oo σύμφωνα με το λήμμα του Jordan, αφού η συνάρτηση ^ τείνει στο μηδέν ως |r| oo. Έτσι, όταν η ισότητα (18) παίρνει τη μορφή 6.3. Υπολογισμός των ολοκληρωμάτων Fresnel Ολοκληρώματα Fresnel: Θεωρήστε τη βοηθητική συνάρτηση f(z) = c" και το περίγραμμα Γ που υποδεικνύεται στο σχήμα. Μέσα στο περίγραμμα Γ η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική και με το θεώρημα του Cauchy δείχνουμε ότι όπου Γr2 είναι ημικύκλιο ακτίνας r2. Η συνάρτηση 0(0 = ικανοποιεί τις συνθήκες του λήμματος Jordan, και, επομένως, περνώντας στον τύπο (20) στο όριο ως r -* oo, λαμβάνουμε ότι Στο τμήμα VO: Εξ ου και όπου οι ασκήσεις Βρίσκονται τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη της συνάρτησης: Βρείτε τις εικόνες των πραγματικών και φανταστικών αξόνων κατά την εμφάνιση: Αποδείξτε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο: Χρησιμοποιώντας τις συνθήκες Cauchy-Riemann, βρείτε αν η συνάρτηση είναι αναλυτική τουλάχιστον στο ένα σημείο ή όχι: Ανάκτηση της συνάρτησης /(r) που είναι αναλυτική σε μια γειτονιά του σημείου 20 από το γνωστό πραγματικό μέρος και (ή από το γνωστό φανταστικό μέρος v(x, y)) και την τιμή του f(z0): Δείξτε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι αρμονικές: Can αυτή τη λειτουργίανα είναι το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος μιας αναλυτικής συνάρτησης Βρείτε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της συνάρτησης: Βρείτε το μέτρο και την κύρια τιμή του ορίσματος της συνάρτησης στο υποδεικνυόμενο σημείο zq: Βρείτε τους λογάριθμους των παρακάτω αριθμών: Λύστε την εξίσωση: 38. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα / - η ευθεία που συνδέει τα σημεία z\ = 0 διαγράφεται σε ευθεία γραμμή, β) διακεκομμένο τόξο παραβολής 39. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα - ημικύκλιο Υπολογίστε τα ολοκληρώματα: 43. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα / όπου 7 είναι το πάνω μισό του κύκλου * « άξονας |z| = 1 (επιλεγμένα κατάλοιπα Βασικό θεώρημα για τα υπολείμματα Εφαρμογή καταλοίπων στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων Αναγωγή μιας συνάρτησης ως προς ένα απείρως μακρινό σημείο Εφαρμογή υπολειμμάτων στον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων Ολοκληρώματα ορθολογικών συναρτήσεων Λήμμα Jordan Υπολογισμός ολοκλήρωσης κλάδων Frenel συνάρτηση και l/z για τα οποία 44. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα / ^ dz, όπου το 7 είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα που πηγαίνει από το σημείο zj = 1 στο σημείο Υπολογίστε τα ολοκληρώματα: Βρείτε την ακτίνα σύγκλισης της σειράς: Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Taylor και βρείτε την ακτίνα σύγκλισης της σειράς που προκύπτει: μοίρες z + I. 55. cosz μοίρες 56.--- δυνάμεις z + 2. 57.-^- δυνάμεις z. 58. sh2 z δυνάμεις z. Βρείτε το μηδενικά της συνάρτησης και προσδιορίστε τις τάξεις τους: z Προσδιορίστε την περιοχή σύγκλισης της σειράς: Επεκτείνετε σε σειρά Laurent κοντά στο σημείο z = 0: Επεκτείνετε σε σειρά Laurent στον χρησιμοποιημένο δακτύλιο: Βρείτε τα μοναδικά σημεία και προσδιορίστε τα χαρακτήρας: Βρείτε τα υπολείμματα της συνάρτησης στα ενικά σημεία: Υπολογίστε τα ολοκληρώματα: Προσδιορίστε τον χαρακτήρα του σημείου στο άπειρο: Υπολογίστε τα ολοκληρώματα: Οι απαντήσεις z περνούν από τον άξονα s, όταν το z αλλάζει από -oo σε +oo και αλλάζει από σε -oo και από +oo έως +1 (εξαιρείται το σημείο +1), ο άξονας y μετατρέπεται σε κύκλο. Ο άξονας x μετατρέπεται σε άξονα και, όπως στην άσκηση 5, ο άξονας y μετατρέπεται σε ευθεία γραμμή u ~ 1, που εκτείνεται ακριβώς από το 1 έως το 1 + επίσης και από το 1 - »oo έως το σημείο 1 (το ίδιο το σημείο 1 εξαιρείται

Ορισμός. Τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου στα οποία η συνάρτηση με μία τιμή f(z) είναι αναλυτική ονομάζονται σωστόςΤα σημεία αυτής της συνάρτησης και τα σημεία στα οποία η f(z) δεν είναι αναλυτική καλούνται ειδικόςσημεία (ιδιαίτερα, σημεία στα οποία δεν ορίζεται η f(z)).

Ορισμός. Καλείται το σημείο z 0 μηδέν (ρίζα) τάξης (πολλαπλότητα)αναλυτική συνάρτηση f(z), εάν:

β) υπάρχει, είναι πεπερασμένο και δεν ισούται με μηδέν.

Αν οι ακέραιοι είναι θετικοί αριθμοί, τότε είναι τα μηδενικά (ρίζες) αυτού του πολυωνύμου, που έχουν τάξεις (πολλαπλασιασμούς) αντίστοιχα.

Ορισμός. Αφήνω φά(z) αναλυτική συνάρτηση κοντά στο σημείο z 0, με εξαίρεση το ίδιο το σημείο z 0 . Σε αυτή την περίπτωση, το σημείο z 0 ονομάζεται απομονωμένο ενικό σημείολειτουργίες φά(z).

Υπάρχουν τρεις τύποι μεμονωμένων μοναδικών σημείων μιας συνάρτησης μίας τιμής: :

1) αφαιρούμενο ενικό σημείο - απομονωμένο μοναδικό σημείο z 0, στο οποίο υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο:

2) ένας πόλος kth τάξης – ένα απομονωμένο ενικό σημείο z 0 στο οποίο υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο που δεν είναι ίσο με μηδέν:

(2.41)

αν , τότε z 0 – πόλος πρώτης τάξης (απλός πόλος).

3) ένα ουσιαστικά μοναδικό σημείο - ένα απομονωμένο ενικό σημείο z 0, το οποίο δεν είναι ούτε αφαιρούμενο ούτε πόλος. Δηλαδή δεν υπάρχει ούτε πεπερασμένο ούτε άπειρο.

Θεώρημα (σχετικά με τη σύνδεση μεταξύ μηδέν και πόλου). Αν το σημείο z 0 είναι μηδέν της τάξης k της συνάρτησης f(z), τότε για τη συνάρτηση 1/f(z) αυτό το σημείο είναι πόλος τάξης k.

Έστω η f(z) μια συνάρτηση που είναι αναλυτική σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού D, εκτός από έναν πεπερασμένο αριθμό μεμονωμένων ιδιαίτερων σημείων, και έστω L ένα τμηματικά ομαλό κλειστό περίγραμμα που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στον τομέα D και δεν διέρχεται από τα ενικά σημεία της συνάρτησης f(z).

Αν η περιοχή που οριοθετείται από το περίγραμμα L δεν περιέχει μοναδικά σημεία της συνάρτησης f(z), τότε από το κύριο θεώρημα του Cauchy

.

Εάν στην περιοχή που περιορίζεται από το περίγραμμα L υπάρχουν μοναδικά σημεία της συνάρτησης f(z), τότε η τιμή αυτού του ολοκληρώματος, γενικά, είναι μη μηδενική.

Ορισμός. Το υπόλειμμα μιας αναλυτικής συνάρτησης f(z) ως προς ένα απομονωμένο ενικό σημείο z 0 (ή στο σημείο z 0) λέγεται μιγαδικός αριθμός, ίση με την αξίαολοκλήρωμα, όπου L είναι οποιοδήποτε τμηματικά ομαλό κλειστό περίγραμμα που βρίσκεται στο πεδίο της αναλυτικότητας της συνάρτησης f(z) και περιέχει μέσα του ένα ενιαίο σημείο z 0 της συνάρτησης f(z).

Το υπόλειμμα f(z) σε σχέση με το σημείο z 0 συμβολίζεται με το σύμβολο resf(z 0)(Resf(z 0)) ή έτσι ώστε να έχουμε:

. (2.42)

Το υπόλειμμα μιας συνάρτησης ως προς ένα αφαιρούμενο ενικό σημείο είναι ίσο με μηδέν:

Το υπόλειμμα f(z) σε σχέση με έναν απλό πόλο μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Το υπόλειμμα f(z) σε σχέση με έναν πόλο τάξης k βρίσκεται με τον τύπο:

Αν και το θέμα είναι ένα απλό μηδένκαι δεν είναι μηδέν για , τότε:

. (2.46)

Το θεμελιώδες θεώρημα του Cauchy για τα υπολείμματα. Εάν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε μια κλειστή περιοχή που οριοθετείται από το περίγραμμα L, με εξαίρεση έναν πεπερασμένο αριθμό μοναδικών σημείων που βρίσκονται μέσα, τότε:

Αυτό το θεώρημα έχει μεγάλης σημασίαςγια εφαρμογές.

Ένα από αυτά είναι ο υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων μιας συνάρτησης μιας σύνθετης μεταβλητής.

Σχόλιο. Σε προηγούμενες συζητήσεις σχετικά με τα υπολείμματα, θεωρήθηκε σιωπηρά ότι λαμβάνονται υπόψη πεπερασμένα απομονωμένα μοναδικά σημεία (αυτό είναι σαφές από το γεγονός ότι το ολοκλήρωμα σε ένα κλειστό περίγραμμα λήφθηκε εξ ορισμού στη θετική κατεύθυνση, δηλαδή αριστερόστροφα, και το ενικό σημείο πέφτει μέσα στο περίγραμμα μόνο στην περίπτωση που είναι πεπερασμένο). Στην περίπτωση που θεωρείται άπειρα απομακρυσμένο σημείο, η κατάσταση είναι κάπως διαφορετική. Πιο συγκεκριμένα, ας το διατυπώσουμε έτσι.

Ορισμός.Το υπόλειμμα της συνάρτησης f(z) ως προς ένα σημείο στο άπειρο λέγεται ολοκλήρωμα:

όπου L είναι ένα κλειστό τμηματικά ομαλό περίγραμμα που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στη γειτονιά του σημείου στο οποίο η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική. Η ολοκλήρωση πάνω από το L πραγματοποιείται προς την αρνητική κατεύθυνση αυτού του περιγράμματος, δηλ. έτσι ώστε κατά τη διέλευση του περιγράμματος, το σημείο στο άπειρο παραμένει στα αριστερά. Ετσι:

Παράδειγμα 1

Βρείτε το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα του Cauchy για τα υπολείμματα:

.

Λύση

1) Ας ορίσουμε μεμονωμένα ενικά σημεία της συνάρτησης ολοκληρώματος, σύμφωνα με το Θεώρημα (2.47):

Ειδικά σημεία: .

2) Ας προσδιορίσουμε τα σημεία που βρίσκονται μέσα στην περιοχή ολοκλήρωσης και ας απεικονίσουμε την περιοχή γραφικά (Εικ. 2.7).

Δεν θεωρούμε το σημείο z = 1, αφού δεν βρίσκεται εντός της περιοχής.

3) Ας προσδιορίσουμε τον τύπο του απομονωμένου ενικού σημείου z = 0 που εξετάζουμε. Ας βρούμε το όριο χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.41):

Εφόσον υπάρχει το όριο, το z = 0 είναι πόλος πρώτης τάξης (απλός πόλος).

4) Ας βρούμε το υπόλοιπο της συνάρτησης ως προς τον απλό πόλο z = 0, χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.44):

5) Ας προσδιορίσουμε την τιμή του ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας το κύριο θεώρημα του Cauchy για τα υπολείμματα (2.47):

Απάντηση

Παράδειγμα 2

Βρείτε το ολοκλήρωμα συνάρτησης μιγαδικής μεταβλητής χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα του Cauchy για τα κατάλοιπα.