Mis on võrrandite graafiline lahendus. Segavõrratuste graafiline lahendus

>>Matemaatika: Graafiline lahendus võrrandid

Võrrandite graafiline lahendus

Võtame kokku oma teadmised selle kohta diagrammid funktsioonid. Oleme õppinud, kuidas joonistada järgmisi funktsioone:

y \u003d b (sirge, paralleelne x-teljega);

y = kx (algopunkti läbiv sirgjoon);

y - kx + m (sirge);

y \u003d x 2 (parabool).

Nende graafikute tundmine võimaldab meil vajadusel analüütilist asendada mudel geomeetriline (graafiline), näiteks mudeli y \u003d x 2 (mis on kahe muutujaga x ja y võrdus) asemel vaatleme parabooli koordinaattasand. Eelkõige on see mõnikord kasulik võrrandite lahendamisel. Arutleme mõne näitega, kuidas seda tehakse.

A. V. Pogorelov, Geomeetria 7.-11. klassile, Õpik for õppeasutused

Tunni sisu tunni kokkuvõte tugiraam õppetund esitlus kiirendusmeetodid interaktiivsed tehnoloogiad Harjuta ülesanded ja harjutused enesekontrolli töötoad, koolitused, juhtumid, ülesanded kodutöö aruteluküsimused retoorilised küsimusedõpilastelt Illustratsioonid heli, videoklipid ja multimeedium fotod, pildid, graafika, tabelid, skeemid, huumor, anekdoodid, naljad, koomiksid, tähendamissõnad, ütlused, ristsõnad, tsitaadid Lisandmoodulid kokkuvõtteid artiklid kiibid uudishimulikele petulehtedele õpikud põhi- ja lisaterminite sõnastik muu Õpikute ja tundide täiustaminevigade parandamine õpikus tunnis uuenduse elementide fragmendi uuendamine õpikus vananenud teadmiste asendamine uutega Ainult õpetajatele täiuslikud õppetunnid kalenderplaan aastaks juhised aruteluprogrammid Integreeritud õppetunnid

Tunnis näitasid õpilased programmi teadmisi ja oskusi:

- tunneb ära funktsioonide tüübid, koostab nende graafikud;
– harjutas ruutfunktsiooni konstrueerimise oskusi;
- harjutanud graafilised viisid ruutvõrrandite lahendamine valikumeetodi abil täisruut.

Tahtsin anda Erilist tähelepanu probleemide lahendamine parameetriga, kuna matemaatika USE pakub palju seda tüüpi ülesandeid.

Võimaluse seda tüüpi töid klassiruumis rakendada andsid mulle õpilased ise, kuna neil on piisav teadmistebaas, mida saab süvendada ja laiendada.

Õpilaste eelnevalt koostatud mallid võimaldasid säästa tunniaega. Tunnis õnnestus mul tunni alguses ülesanded ellu viia ja saada oodatud tulemus.

Kehalise kasvatuse minuti kasutamine aitas vältida õpilaste ülekoormamist, säilitada produktiivset motivatsiooni teadmiste saamiseks.

Üldiselt olen tunni tulemusega rahul, kuid arvan, et varuvõimalusi on veel: kaasaegsed uuenduslikud tehnoloogilised vahendid, mida meil kahjuks pole võimalust kasutada.

Tunni tüüp: uuritava materjali koondamine.

Tunni eesmärgid:

Üldharidus ja didaktika:
- arendada õpilaste vaimse tegevuse erinevaid viise;
- kujundada oskus iseseisvalt probleeme lahendada;
- harida õpilaste matemaatilist kultuuri;
- arendada õpilaste intuitsiooni ja oskust saadud teadmisi kasutada.
õppe eesmärgid:
- võtta kokku varem uuritud teave teemal "Rutvõrrandite graafiline lahendamine";
- ruutfunktsioonide kordamine;
- kujundada ruutvõrrandite lahendamise algoritmide kasutamise oskused graafilisel meetodil.
Hariduslik:
- vastu huvi tekitamine õppetegevused, matemaatika ainesse;
- sallivuse (tolerantsi) kujundamine, meeskonnatöö oskus.

TUNNIDE AJAL

I. Aja organiseerimine

- Tänases tunnis üldistame ja konsolideerime ruutvõrrandite graafilise lahenduse erinevatel viisidel.
Edaspidi vajame neid oskusi keskkoolis matemaatikatundides trigonomeetriliste ja logaritmiliste võrrandite lahendamisel, kõverjoonelise trapetsi pindala leidmisel, aga ka füüsikatundides.

II. Kodutööde kontrollimine

Analüüsime tahvlil nr 23,5 (g).

Lahendage see võrrand parabooli ja sirge abil.

Lahendus:

x 2 + x - 6 = 0
Teisendame võrrandi: x 2 \u003d 6 - x
Tutvustame funktsioone:

y \u003d x 2; ruutfunktsioon y \u003d 6 - x lineaarne,
graafik yavl. parabool, graafik yavl. otse,

Koostame funktsioonide graafikud ühes koordinaatsüsteemis (malli järgi)

Saime kaks ristumispunkti.

Otsus ruutvõrrand on nende punktide abstsissid x 1 \u003d - 3, x 2 \u003d 2.

Vastus: - 3; 2.

III. Frontaalne uuring

Mis on graafik ruutfunktsioon?
Kas oskate öelda ruutfunktsiooni graafiku joonistamise algoritmi?
Mis on ruutvõrrand?
Too näiteid ruutvõrranditest?
Kirjutage tahvlile oma ruutvõrrandi näide Mis on koefitsiendid?
Mida tähendab võrrandi lahendamine?
Mitu võimalust tead ruutvõrrandite graafilisest lahendamisest?
Millised on ruutvõrrandite lahendamise graafilised meetodid:

IV. Materjali kinnitamine

Tahvlil otsustavad õpilased esimesel, teisel, kolmandal viisil.

Klass otsustab neljanda

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Teisendan ruutvõrrandi, tõstes esile binoomväärtuse täisruudu:

- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( x - 3) 2+4

Saime ruutvõrrandi:

- (x - 3) 2 + 4 \u003d 0

Tutvustame funktsiooni:

y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4

Vormi y ruutfunktsioon \u003d a (x + L) 2 + m

Graafik yavl. parabool, allapoole suunatud oksad, põhiparabooli nihkumine mööda Ox-telge paremale 3 ühikut, Oy telge pidi 4 ühikut ülespoole, üleval (3; 4).

Ehitame malli järgi.

Leiti parabooli ja x-telje lõikepunktid. Nende punktide abstsissid yavl. selle võrrandi lahendus. x=1, x=5.

Vaatame teisi graafilisi lahendusi tahvli juures. Kommenteerige oma ruutvõrrandite lahendamise viisi.

1 õpilane

Lahendus:

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Tutvustame funktsiooni y \u003d - x + 6x - 5, ruutfunktsiooni, graafik on parabool, oksad on suunatud alla, ülemine

x 0 \u003d - in / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 = 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; punkt (3; 9)
sümmeetriatelg x = 3

Ehitame malli järgi

Saime lõikepunktid Ox teljega, nende punktide abstsissid on ruutvõrrandi lahendus. Kaks juurt x 1 = 1, x 2 = 5

2 õpilane

Lahendus:

- x 2 + 6x - 5 \u003d 0

Teisendame: - x 2 + 6x \u003d 5

Tutvustame funktsioone: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, lineaarfunktsioon, ruutfunktsioon, graafik yavl. rida y || Oh javl. parabool, allapoole suunatud oksad, tipp x 0 \u003d - sisse / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 = 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
sümmeetriatelg x = 3
Ehitame malli järgi
Sai ristumispunktid
paraboolid ja sirge, nende abstsissid on ruutvõrrandi lahendus. Kaks juurt x 1 = 1, x 2 = 5
Seega saab sama võrrandit lahendada erineval viisil ja vastus peaks olema sama.

V. Kehaline kasvatus

VI. Probleemi lahendamine parameetriga

Millistel väärtustel R võrrand x 2 + 6x + 8 = p:
- Kas tal pole juuri?
- Kas tal on üks juur?
Kas sellel on kaks juurt?
Mille poolest see võrrand eelmisest erineb?
Täpselt nii, kiri!
Viitame sellele kirjale kui parameeter, R.
Kuni ta sulle midagi ei räägi. Kuid me jätkame erinevate probleemide lahendamist parameetriga.
Täna lahendame parameetriga ruutvõrrandi graafiline meetod, kasutades kolmandat meetodit, kasutades parabooli ja sirget paralleelset x-telge.
Õpilane aitab õpetajal tahvli juures lahendada.
Kust me otsustama hakkame?

Määrame funktsioonid:

y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p lineaarfunktsioon,
ruutfunktsioon, on graafik sirgjoon
graafik yavl. parabool,
allapoole suunatud oksad

x 0 \u003d - in / 2a,
x 0 = – 6/2 = – 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)

Sümmeetriatelg x = 3, ma ei ehita tabelit, vaid võtan malli y = x 2 ja kinnitan selle parabooli tippu.
Parabool on ehitatud! Nüüd peame tõmbama joone y = p.
Kuhu tuleks joon tõmmata? R saada kaks juurt?
Kuhu tuleks joon tõmmata? Rühe juure saamiseks?
Kuhu tuleks joon tõmmata? R ilma juurteta?
– Niisiis, mitu juurt võib meie võrrandil olla?
Kas teile ülesanne meeldis? Aitäh abi eest! 5. klass.

VII. Iseseisev töö valikute järgi (5 min)

y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6

Lahendage ruutvõrrand graafiliselt, valides endale sobiva viisi. Kui keegi lõpetab ülesande varem, kontrollige oma lahendust muul viisil. Sellele antakse lisamärke.

VIII. Tunni kokkuvõte

- Mida sa tänases tunnis õppisid?
- Täna tunnis lahendasime ruutvõrrandid graafilisel meetodil, kasutades erinevaid lahendusviise ning vaatlesime graafilist meetodit ruutvõrrandi lahendamiseks parameetriga!
- Liigume kodutööde juurde.

IX. Kodutöö

1. Kodune test lk 147 Mordkovitši probleemiraamatust I ja II variandi kohta.
2. Ringil lahendame kolmapäeval V-nda meetodi, (hüperbool ja sirge).

X. Kirjandus:

1. A.G. Mordkovitš. Algebra-8. Osa 1. Õpik õppeasutuste õpilastele. Moskva: Mnemosyne, 2008
2. A.G. Mordkovitš, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustin, E.E. Tultšinskaja. Algebra - 8. Osa 2. Ülesanderaamat õppeasutuste õpilastele. Moskva: Mnemosyne, 2008
3. A.G. Mordkovitš. Algebra 7-9. Metoodiline juhend õpetajale M .: Mnemosyne, 2004
4. L.A. Aleksandrova. Algebra-8. Iseseisev töö õppeasutuste õpilastele./Toim. A.G. Mordkovitš. Moskva: Mnemosyne, 2009

Võrrandite graafiline lahendus

Hiilgeaeg, 2009

Sissejuhatus

Ruutvõrrandite lahendamise vajaduse tingis muinasajal vajadus lahendada alade leidmisega seotud ülesandeid maatükid ja sõjalise iseloomuga mullatöödega, samuti astronoomia ja matemaatika enda arendamisega. Babüloonlased teadsid ruutvõrrandi lahendada umbes 2000 eKr. Nende võrrandite lahendamise reegel, mis on toodud Babüloonia tekstides, langeb sisuliselt kokku tänapäevaste omadega, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid.

Euroopa ruutvõrrandite lahendamise valemid esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud Abakuse raamatus. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides.

Aga üldreegel ruutvõrrandite lahendamise, koefitsientide b ja c kõikvõimalike kombinatsioonidega, sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Aastal 1591 François Viet tutvustas ruutvõrrandite lahendamise valemeid.

AT iidne Babülon võiks lahendada teatud tüüpi ruutvõrrandid.

Diophantos Aleksandriast ja Euclid , Al-Khwarizmi ja Omar Khayyam lahendas võrrandeid geomeetrilisel ja graafilisel viisil.

7. klassis õppisime funktsioone y \u003d C, y= kx , y = kx + m , y = x 2 ,y = - x 2 , 8. klassis - y = √ x , y = |x |, y= kirves 2 + bx + c , y = k / x. 9. klassi algebra õpikus nägin mulle veel tundmatuid funktsioone: y= x 3 , y= x 4 ,y= x 2 n , y= x - 2 n , y= 3 √x , ( x – a ) 2 + (y - b ) 2 = r 2 ja teised. Nende funktsioonide graafikute koostamiseks on olemas reeglid. Ma mõtlesin, kas on muid funktsioone, mis nendele reeglitele järgivad.

Minu tööks on funktsioonide graafikute uurimine ja võrrandite graafiline lahendamine.

1. Millised on funktsioonid

Funktsiooni graafik on koordinaattasandi kõigi punktide kogum, mille abstsissid on võrdsed argumentide väärtustega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega.

Lineaarne funktsioon võrrandiga antud y= kx + b, kus k ja b- mõned numbrid. Selle funktsiooni graafik on sirgjoon.

Funktsioon pöördvõrdelisus y= k / x, kus k¹ 0. Selle funktsiooni graafikut nimetatakse hüperbooliks.

Funktsioon ( x – a ) 2 + (y – b ) 2 = r 2 , kus a , b ja r- mõned numbrid. Selle funktsiooni graafik on ring raadiusega r, mille keskpunkt on punkt A ( a , b).

ruutfunktsioon y = kirves 2 + bx + c kus a, b , Koos- mõned numbrid ja a¹ 0. Selle funktsiooni graafik on parabool.

Võrrand y 2 ( a – x ) = x 2 ( a + x ) . Selle võrrandi graafik on kõver, mida nimetatakse strofiidiks.

Võrrand ( x 2 + y 2 ) 2 = a ( x 2 – y 2 ) . Selle võrrandi graafikut nimetatakse Bernoulli lemniskaadiks.

Võrrand. Selle võrrandi graafikut nimetatakse astroidiks.

Kõver (x 2 y 2 - 2 a x) 2 \u003d 4 a 2 (x 2 + y 2). Seda kõverat nimetatakse kardioidiks.

Funktsioonid: y= x 3 - kuupparabool, y= x 4 , y = 1/ x 2 .

2. Võrrandi mõiste, selle graafiline lahendus

Võrrand on muutujat sisaldav avaldis.

lahendage võrrand- see tähendab kõigi selle juurte leidmist või tõestamist, et neid pole olemas.

Võrrandi juur on arv, mis võrrandisse asendamisel annab õige arvulise võrdsuse.

Võrrandite graafiline lahendamine võimaldab leida juurte täpse või ligikaudse väärtuse, võimaldab leida võrrandi juurte arvu.

Graafikute koostamisel ja võrrandite lahendamisel kasutatakse funktsiooni omadusi, mistõttu nimetatakse meetodit sageli funktsionaalgraafiliseks.

Võrrandi lahendamiseks “jagame” selle kaheks osaks, tutvustame kahte funktsiooni, koostame nende graafikud, leiame graafikute lõikepunktide koordinaadid. Nende punktide abstsissid on võrrandi juured.

3. Funktsiooni graafiku koostamise algoritm

Funktsiooni graafiku tundmine y= f ( x ) , saate funktsioone joonistada y= f ( x + m ) ,y= f ( x )+ l ja y= f ( x + m )+ l. Kõik need graafikud saadakse funktsiooni graafikult y= f ( x ) kasutades paralleeltõlke teisendust: sisse │ m │ skaalaühikud paremale või vasakule piki x-telge ja edasi │ l │ skaalaühikud piki telge üles või alla y .

4. Ruutvõrrandi graafiline lahendus

Ruutfunktsiooni näitel vaatleme ruutvõrrandi graafilist lahendust. Ruutfunktsiooni graafik on parabool.

Mida teadsid vanad kreeklased paraboolist?

Kaasaegne matemaatiline sümboolika tekkis 16. sajandil.

Vana-Kreeka matemaatikud koordinaatide meetod, funktsiooni mõistet polnud. Parabooli omadusi uurisid nad aga üksikasjalikult. Iidsete matemaatikute leidlikkus on lihtsalt hämmastav, sest nad said kasutada ainult jooniseid ja sõnalised kirjeldused sõltuvused.

Enim uuriti täielikult parabooli, hüperbooli ja ellipsi Apollonius Pergast, kes elas 3. sajandil eKr. Ta andis neile kõveratele ka nimed ja näitas, millistele tingimustele vastavad konkreetsel kõveral asuvad punktid (valemeid ju polnud!).

Parabooli konstrueerimiseks on olemas algoritm:

Leiame parabooli A (x 0; y 0) tipu koordinaadid: x 0 =- b /2 a ;

Y 0 \u003d ax umbes 2 + in 0 + c;

Leiame parabooli sümmeetriatelje (sirge x \u003d x 0);

Hoone juhtimispunktide väärtuste tabeli koostamine;

Konstrueerime saadud punktid ja konstrueerime neile sümmeetriatelje suhtes sümmeetrilised punktid.

1. Ehitame algoritmi järgi parabooli y = x 2 – 2 x – 3 . Teljega lõikepunktide abstsissid x ja on ruutvõrrandi juured x 2 – 2 x – 3 = 0.

Selle võrrandi graafiliseks lahendamiseks on viis võimalust.

2. Jagame võrrandi kaheks funktsiooniks: y = x 2 ja y = 2 x + 3

3. Jagame võrrandi kaheks funktsiooniks: y = x 2 –3 ja y =2 x. Võrrandi juurteks on parabooli ja sirge lõikepunktide abstsissid.

4. Teisenda võrrand x 2 – 2 x – 3 = 0 valides funktsioonil täisruudu: y = ( x –1) 2 ja y =4. Võrrandi juurteks on parabooli ja sirge lõikepunktide abstsissid.

5. Jagame võrrandi mõlemad osad liikme kaupa x 2 – 2 x – 3 = 0 peal x, saame x – 2 – 3/ x = 0 Jagame selle võrrandi kaheks funktsiooniks: y = x – 2, y = 3/ x . Võrrandi juurteks on sirge ja hüperbooli lõikepunktide abstsissid.

5. Kraadivõrrandite graafiline lahendamine n

Näide 1 lahendage võrrand x 5 = 3 – 2 x .

y = x 5 , y = 3 – 2 x .

Vastus: x = 1.

Näide 2 lahendage võrrand 3 √ x = 10 – x .

Selle võrrandi juurteks on kahe funktsiooni graafikute lõikepunkti abstsiss: y = 3 √ x , y = 10 – x .

Vastus: x=8.

Järeldus

Arvestades funktsioonigraafikuid: y= kirves 2 + bx + c , y = k / x , y = √ x , y = |x |, y= x 3 , y= x 4 ,y= 3 √x , Märkasin, et kõik need graafikud on üles ehitatud telgede suhtes paralleeltõlke reegli järgi x ja y .

Ruutvõrrandi lahendamise näitel võime järeldada, et graafiline meetod on rakendatav ka n-astme võrrandite puhul.

Graafilised meetodid võrrandite lahendamiseks on ilusad ja arusaadavad, kuid need ei anna 100% garantiid ühegi võrrandi lahendamisele. Graafikute lõikepunktide abstsissid võivad olla ligikaudsed.

9. klassis ja vanemates klassides lähen ikka kurssi muude funktsioonidega. Mind huvitab, kas need funktsioonid järgivad graafikute koostamisel paralleeltõlke reegleid.

peal järgmine aasta Samuti sooviksin käsitleda võrrandi- ja võrratussüsteemide graafilise lahendamise küsimusi.

Kirjandus

1. Algebra. 7. klass. Osa 1. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. Moskva: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. klass. Osa 1. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. Moskva: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. klass Osa 1. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. Moskva: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. VII-VIII klass. – M.: Valgustus, 1982.

5. Matemaatika ajakiri №5 2009; nr 8 2007; nr 23 2008.

6. Võrrandite graafiline lahendamine Interneti saidid: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Võrrandite graafiline lahendus

Hiilgeaeg, 2009

Sissejuhatus

Vajaduse ruutvõrrandite lahendamiseks tingis iidsetel aegadel vajadus lahendada sõjalise iseloomuga maa-alade ja mullatöödega seotud ülesandeid, aga ka astronoomia ja matemaatika enda arengut. Babüloonlased teadsid ruutvõrrandi lahendada umbes 2000 eKr. Nende võrrandite lahendamise reegel, mis on toodud Babüloonia tekstides, langeb sisuliselt kokku tänapäevaste omadega, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid.

Kuid ruutvõrrandite lahendamise üldreegli koos koefitsientide b ja c kõigi võimalike kombinatsioonidega sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Aastal 1591 François Viet tutvustas ruutvõrrandite lahendamise valemeid.

Teatud tüüpi ruutvõrrandeid sai lahendada muistses Babülonis.

Diophantos Aleksandriast ja Euclid, Al-Khwarizmi ja Omar Khayyam lahendas võrrandeid geomeetrilisel ja graafilisel viisil.

7. klassis õppisime funktsioone y \u003d C, y=kx, y =kx+ m, y =x 2,y = -x 2, 8. klassis - y = √x, y =|x|, y=kirves2 + bx+ c, y =k/ x. 9. klassi algebra õpikus nägin mulle veel tundmatuid funktsioone: y=x 3, y=x 4,y=x 2n, y=x- 2n, y= 3√x, (x– a) 2 + (y -b) 2 = r 2 ja teised. Nende funktsioonide graafikute koostamiseks on olemas reeglid. Ma mõtlesin, kas on muid funktsioone, mis nendele reeglitele järgivad.

Minu tööks on funktsioonide graafikute uurimine ja võrrandite graafiline lahendamine.

1. Millised on funktsioonid

Funktsiooni graafik on koordinaattasandi kõigi punktide kogum, mille abstsissid on võrdsed argumentide väärtustega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega.

Lineaarfunktsioon on antud võrrandiga y=kx+ b, kus k ja b- mõned numbrid. Selle funktsiooni graafik on sirgjoon.

Pöördvõrdeline funktsioon y=k/ x, kus k ¹ 0. Selle funktsiooni graafikut nimetatakse hüperbooliks.

Funktsioon (x– a) 2 + (y -b) 2 = r2 , kus a, b ja r- mõned numbrid. Selle funktsiooni graafik on ring raadiusega r, mille keskpunkt on punkt A ( a, b).

ruutfunktsioon y= kirves2 + bx+ c kus a,b, Koos- mõned numbrid ja a¹ 0. Selle funktsiooni graafik on parabool.

Võrrand juures2 (a– x) = x2 (a+ x) . Selle võrrandi graafik on kõver, mida nimetatakse strofiidiks.

/>Võrrand (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Selle võrrandi graafikut nimetatakse Bernoulli lemniskaadiks.

Võrrand. Selle võrrandi graafikut nimetatakse astroidiks.

Kõver (x2 y2 - 2 x)2 =4 a2 (x2 +y2 ) . Seda kõverat nimetatakse kardioidiks.

Funktsioonid: y=x 3 - kuupparabool, y=x 4, y = 1/x 2.

2. Võrrandi mõiste, selle graafiline lahendus

Võrrand on muutujat sisaldav avaldis.

lahendage võrrand- see tähendab kõigi selle juurte leidmist või tõestamist, et neid pole olemas.

Võrrandi juur on arv, mis võrrandisse asendamisel annab õige arvulise võrdsuse.

Võrrandite graafiline lahendamine võimaldab leida juurte täpse või ligikaudse väärtuse, võimaldab leida võrrandi juurte arvu.

Graafikute koostamisel ja võrrandite lahendamisel kasutatakse funktsiooni omadusi, mistõttu nimetatakse meetodit sageli funktsionaalgraafiliseks.

3. Funktsiooni graafiku koostamise algoritm

Funktsiooni graafiku tundmine y=f(x) , saate funktsioone joonistada y=f(x+ m) ,y=f(x)+ l ja y=f(x+ m)+ l. Kõik need graafikud saadakse funktsiooni graafikult y=f(x) kasutades paralleeltõlke teisendust: sisse │ m│ skaalaühikud paremale või vasakule piki x-telge ja edasi │ l│ skaalaühikud piki telge üles või alla y.

4. Ruutvõrrandi graafiline lahendus

Ruutfunktsiooni näitel vaatleme ruutvõrrandi graafilist lahendust. Ruutfunktsiooni graafik on parabool.

Mida teadsid vanad kreeklased paraboolist?

Kaasaegne matemaatiline sümboolika tekkis 16. sajandil.

Vana-Kreeka matemaatikutel ei olnud koordinaatide meetodit ega funktsiooni mõistet. Parabooli omadusi uurisid nad aga üksikasjalikult. Muistsete matemaatikute leidlikkus on lihtsalt hämmastav, sest nad said kasutada ainult jooniseid ja sõltuvuste sõnalisi kirjeldusi.

Parabooli konstrueerimiseks on olemas algoritm:

Leidke parabooli A (x0; y0) tipu koordinaadid: X=- b/2 a;

y0=aho2+in0+s;

Leia parabooli sümmeetriatelg (sirge x=x0);

PAGE_BREAK--

Hoone juhtimispunktide väärtuste tabeli koostamine;

Konstrueerime saadud punktid ja konstrueerime neile sümmeetriatelje suhtes sümmeetrilised punktid.

1. Ehitame algoritmi järgi parabooli y= x2 – 2 x– 3 . Teljega lõikepunktide abstsissid x ja on ruutvõrrandi juured x2 – 2 x– 3 = 0.

Selle võrrandi graafiliseks lahendamiseks on viis võimalust.

2. Jagame võrrandi kaheks funktsiooniks: y= x2 ja y= 2 x+ 3

3. Jagame võrrandi kaheks funktsiooniks: y= x2 –3 ja y=2 x. Võrrandi juurteks on parabooli ja sirge lõikepunktide abstsissid.

4. Teisenda võrrand x2 – 2 x– 3 = 0 valides funktsioonil täisruudu: y= (x–1) 2 ja y=4. Võrrandi juurteks on parabooli ja sirge lõikepunktide abstsissid.

5. Jagame võrrandi mõlemad osad liikme kaupa x2 – 2 x– 3 = 0 peal x, saame x– 2 – 3/ x= 0 Jagame selle võrrandi kaheks funktsiooniks: y= x– 2, y= 3/ x. Võrrandi juurteks on sirge ja hüperbooli lõikepunktide abstsissid.

5. Kraadivõrrandite graafiline lahendaminen

Näide 1 lahendage võrrand x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Vastus: x = 1.

Näide 2 lahendage võrrand 3 √ x= 10 – x.

Selle võrrandi juurteks on kahe funktsiooni graafikute lõikepunkti abstsiss: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Vastus: x=8.

Järeldus

Arvestades funktsioonigraafikuid: y=kirves2 + bx+ c, y =k/ x, y = √x, y =|x|, y=x 3, y=x 4,y= 3√x, Märkasin, et kõik need graafikud on üles ehitatud telgede suhtes paralleeltõlke reegli järgi x ja y.

Ruutvõrrandi lahendamise näitel võime järeldada, et graafiline meetod on rakendatav ka n-astme võrrandite puhul.

9. klassis ja vanemates klassides lähen ikka kurssi muude funktsioonidega. Mind huvitab, kas need funktsioonid järgivad graafikute koostamisel paralleeltõlke reegleid.

Järgmisel aastal tahan käsitleda ka võrrandi- ja võrratussüsteemide graafilise lahendamise küsimusi.

Kirjandus

1. Algebra. 7. klass. Osa 1. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. Moskva: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. klass. Osa 1. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. Moskva: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. klass Osa 1. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. Moskva: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. VII-VIII klass. – M.: Valgustus, 1982.

5. Matemaatika ajakiri №5 2009; nr 8 2007; nr 23 2008.

6. Võrrandite graafiline lahendamine Interneti saidid: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Ruutvõrranditega olete kohtunud juba 7. klassi algebra kursusel. Tuletame meelde, et ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c \u003d 0, kus a, b, c on suvalised arvud (koefitsiendid) ja a. Kasutades oma teadmisi mõningate funktsioonide ja nende graafikute kohta, suudame nüüd, ootamata süstemaatilist uurimist teemal "Kvadrikaalvõrrandid", lahendada mõningaid ruutvõrrandeid ja seda mitmel viisil; vaatleme neid meetodeid ühe ruutvõrrandi näitel.

Näide. Lahendage võrrand x 2 - 2x - 3 = 0.
Lahendus.
ma viisin . Koostame funktsiooni y \u003d x 2 - 2x - 3 graafiku, kasutades § 13 algoritmi:

1) Meil on: a \u003d 1, b \u003d -2, x 0 \u003d \u003d 1, y 0 \u003d f (1) = 1 2 - 2 - 3 \u003d -4. See tähendab, et punkt (1; -4) on parabooli tipp ja sirge x = 1 on parabooli telg.

2) Võtke x-teljel kaks punkti, mis on sümmeetrilised parabooli telje suhtes, näiteks punktid x \u003d -1 ja x \u003d 3.

Meil on f(-1) = f(3) = 0. Ehitame koordinaattasandile punktid (-1; 0) ja (3; 0).

3) Punktide (-1; 0), (1; -4), (3; 0) kaudu joonistame parabooli (joonis 68).

Võrrandi x 2 - 2x - 3 \u003d 0 juured on parabooli ja x-telje lõikepunktide abstsissid; seega võrrandi juured on: x 1 \u003d - 1, x 2 - 3.

II viis. Teisendame võrrandi kujule x 2 \u003d 2x + 3. Koostame funktsioonide y - x 2 ja y \u003d 2x + 3 graafikud ühes koordinaatsüsteemis (joonis 69). Need ristuvad kahes punktis A(-1; 1) ja B(3; 9). Võrrandi juurteks on punktide A ja B abstsissid, mis tähendab, et x 1 \u003d - 1, x 2 - 3.

III viis . Teisendame võrrandi kujule x 2 - 3 = 2x. Koostame funktsioonide y \u003d x 2 - 3 ja y \u003d 2x graafikud ühes koordinaatsüsteemis (joonis 70). Need ristuvad kahes punktis A (-1; - 2) ja B (3; 6). Võrrandi juurteks on punktide A ja B abstsissid, seega x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3.

IV viis. Teisendame võrrandi kujule x 2 -2x 4-1-4 \u003d 0
ja mujal
x 2 - 2x + 1 = 4, st (x - IJ = 4.
Ehitame ühes koordinaatsüsteemis parabooli y \u003d (x - 1) 2 ja sirge y \u003d 4 (joonis 71). Need ristuvad kahes punktis A(-1; 4) ja B(3; 4). Võrrandi juurteks on punktide A ja B abstsissid, seega x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3.

V viis. Jagades liikme liikmega võrrandi mõlemad pooled x-ga, saame

Ehitame samas koordinaatsüsteemis hüperbooli ja sirge y \u003d x - 2 (joonis 72).

Need ristuvad kahes punktis A (-1; -3) ja B (3; 1). Võrrandi juurteks on punktide A ja B abstsissid, seega x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3.

Niisiis lahendasime ruutvõrrandi x 2 - 2x - 3 \u003d 0 graafiliselt viiel viisil. Analüüsime nende meetodite olemust.

ma viisil. Koostage funktsiooni graafik selle lõikepunktis x-teljega.

II viis. Nad teisendavad võrrandi kujule ax 2 \u003d -bx - c, loovad parabooli y \u003d ax 2 ja sirge y \u003d -bx - c, leiavad nende lõikepunktid (võrrandi juured on abstsissid ristumispunktid, kui neid muidugi on).

III viis. Teisendage võrrand kujule ax 2 + c \u003d - bx, koostage parabool y - ax 2 + c ja sirgjoon y \u003d -bx (see läbib alguspunkti); leida nende ristumispunktid.

IV viis. Täisruudu valikumeetodit rakendades teisendatakse võrrand vormiks

Ehitage parabool y \u003d a (x + I) 2 ja sirgjoon y \u003d - m, paralleelne x-teljega; leida parabooli ja sirge lõikepunktid.

V viis. Teisenda võrrand vormiks

Nad loovad hüperbooli (see on hüperbool tingimusel, et ) ja sirge y \u003d - ax - b; leida nende ristumispunktid.

Pange tähele, et neli esimest meetodit on rakendatavad mis tahes võrranditele kujul ax 2 + bx + c \u003d 0 ja viies - ainult nende jaoks, millel on c. Praktikas saate valida meetodi, mis teie arvates kõige paremini sobib see võrrand või kumb sulle rohkem meeldib (või arusaadavam).

Kommenteeri . Vaatamata ruutvõrrandi graafilise lahendamise võimaluste rohkusele on kindel, et iga ruutvõrrandi
saame graafiliselt lahendada, ei. Olgu teil näiteks vaja lahendada võrrand x 2 - x - 3 \u003d 0 (võtame spetsiaalselt võrrandi, mis sarnaneb
vaadeldav näide). Proovime seda lahendada näiteks teisel viisil: teisendame võrrandi kujule x 2 \u003d x + 3, konstrueerime parabooli y \u003d x 2 ja
sirgjoon y \u003d x + 3, nad lõikuvad punktides A ja B (joonis 73), mis tähendab, et võrrandil on kaks juurt. Aga mis need juured on, kasutame joonist
me ei saa öelda - punktidel A ja B pole selliseid "häid" koordinaate nagu ülaltoodud näites. Nüüd kaaluge võrrandit
x 2 - 16x - 95 = 0. Proovime seda lahendada näiteks kolmandal viisil. Teisendame võrrandi kujule x 2 - 95 = 16x. Siin peate ehitama parabooli
y \u003d x 2 - 95 ja sirgjoon y \u003d 16x. Kuid märkmiku lehe piiratud suurus seda ei võimalda, sest parabool y \u003d x 2 tuleb langetada 95 lahtrit allapoole.

Seega on ruutvõrrandi lahendamise graafilised meetodid ilusad ja meeldivad, kuid need ei anna 100% garantiid ühegi ruutvõrrandi lahendamiseks. Me võtame seda hiljem arvesse.