U stvari, da biste pronašli područje figure, ne trebate toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, puno vise aktualno pitanje bit će vaše znanje i vještine crtanja. U tom smislu, korisno je osvježiti grafiku glavnog elementarne funkcije, i, barem, moći izgraditi ravnu liniju i hiperbolu.

Krivocrtni trapez je ravna figura omeđena osi, ravnim linijama i grafom kontinuirane funkcije na segmentu koji ne mijenja predznak na tom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje apscisa:

Zatim kvadrat krivolinijski trapez brojčano je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.

U pogledu geometrije određeni integral- ovo je PODRUČJE.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Na primjer, razmotrimo određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu dopuniti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednako površini odgovarajući krivolinijski trapez.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava zadatka. Prvo i ključni trenutak rješenja - građenje crteža. Štoviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izrade nacrta preporučujem sljedeći redoslijed: prvi bolje je konstruirati sve linije (ako postoje) i samo nakon- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Funkcionalne grafove isplativije je graditi točkasto.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da jednadžba definira os):

Na segmentu se nalazi graf funkcije preko osi, zato:

Odgovor:

Nakon izvršenja zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. NA ovaj slučaj„Okom“ brojimo broj ćelija na crtežu - dobro, bit će upisano oko 9, čini se da je istina. Sasvim je jasno da kada bismo imali, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena greška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđen linijama, i koordinatne osi.

Riješenje: Napravimo crtež:

Ako se krivolinijski trapez nalazi ispod osovine(ili barem ne viši dana os), tada se njegova površina može pronaći formulom:

U ovom slučaju:

Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvih geometrijsko značenje, onda može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Pronađite područje ravna figura, omeđen linijama , .

Riješenje: Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju sjecišta linija. Nađimo točke sjecišta parabole i pravca. To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije je Gornja granica integracija .

Najbolje je ne koristiti ovu metodu ako je moguće..

Puno je isplativije i brže graditi linije točku po točku, dok se granice integracije otkrivaju kao da su “sami od sebe”. Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica još uvijek se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s nitima nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na intervalu veće ili jednako neki kontinuirana funkcija, tada se površina figure ograničene grafovima ovih funkcija i ravnih linija , , može pronaći formulom:

Ovdje više nije potrebno razmišljati gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, i, grubo rečeno, bitno je koji je grafikon GORE(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom odozgo i ravnom linijom odozdo.
Na segmentu prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Primjer 4

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , , , .

Riješenje: Prvo napravimo crtež:

Lik čiju površinu trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se događa "greška", da morate pronaći područje figure koje je zasjenjeno u zelenoj boji!

Ovaj primjer je također koristan jer se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala.

Stvarno:

1) Na segmentu iznad osi nalazi se pravolinijski grafikon;

2) Na segmentu iznad osi je graf hiperbole.

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

U ovom ćete članku naučiti kako pomoću integralnih izračuna pronaći područje figure omeđene linijama. Prvi put se s formulacijom ovakvog problema susrećemo u srednjoj školi, kada je tek završeno učenje pojedinih integrala i kada je vrijeme da se pristupi geometrijskoj interpretaciji stečenog znanja u praksi.

Dakle, ono što je potrebno za uspješno rješenje Problemi pronalaženja površine figure pomoću integrala:

• Sposobnost ispravnog crtanja crteža;
• Sposobnost rješavanja određenog integrala korištenjem poznata formula Newton-Leibniz;
• Sposobnost da se "vidi" isplativije rješenje - tj. razumjeti kako će u ovom ili onom slučaju biti prikladnije provesti integraciju? Duž x-osi (OX) ili y-osi (OY)?
• Pa, gdje bez točnih izračuna?) To uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke izračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Gradimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na komadu papira u kavezu, u velikom mjerilu. Iznad svakog grafa olovkom potpisujemo naziv ove funkcije. Potpis grafikona je napravljen isključivo radi praktičnosti daljnjih izračuna. Nakon što dobijemo grafikon željene brojke, u većini slučajeva odmah će biti jasno koje će se granice integracije koristiti. Tako rješavamo problem grafička metoda. Međutim, događa se da su vrijednosti granica frakcijske ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne izračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno postavljene, tada pronalazimo točke međusobnog presjeka grafova i vidimo jesu li naši grafičko rješenje s analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su grafovi funkcija smješteni, postoje različiti pristupi pronaći površinu figure. Smatrati različiti primjeri pronaći površinu figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje krivocrtnog trapeza. Što je krivolinijski trapez? Ovo je ravna figura omeđena x-osi (y=0), ravno x = a, x = b i svaka krivulja kontinuirana na intervalu od a prije b. U isto vrijeme, ova brojka nije negativna i nalazi se ne niže od x-osi. U ovom slučaju, površina krivocrtnog trapeza numerički je jednaka određenom integralu izračunatom pomoću Newton-Leibnizove formule:

Primjer 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Koje linije definiraju lik? Imamo parabolu y = x2 - 3x + 3, koji se nalazi iznad osi OH, nije negativan, jer sve točke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, s obzirom na ravne linije x = 1 i x = 3 koji idu paralelno s osi OU, su granične linije figure s lijeve i desne strane. Dobro y = 0, ona je x-os, koja ograničava lik odozdo. Dobivena figura je osjenčana, kao što se vidi na slici lijevo. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer krivocrtnog trapeza, koji zatim rješavamo koristeći Newton-Leibnizovu formulu.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 analiziran je slučaj kada se krivolinijski trapez nalazi iznad x-osi. Sada razmotrite slučaj kada su uvjeti problema isti, osim što funkcija leži ispod x-osi. Do standardna formula Dodan je Newton-Leibnizov minus. Kako riješiti takav problem, razmotrit ćemo dalje.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure omeđene linijama y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

NA ovaj primjer imamo parabolu y=x2+6x+2, koji potječe ispod os OH, ravno x=-4, x=-1, y=0. Ovdje y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 i x = -1 to su granice unutar kojih će se izračunati određeni integral. Načelo rješavanja problema pronalaženja područja figure gotovo se u potpunosti podudara s primjerom broj 1. Jedina je razlika u tome što dana funkcija nije pozitivan, a sve je također kontinuirano na intervalu [-4; -1] . Što ne znači pozitivno? Kao što je vidljivo sa slike, lik koji se nalazi unutar zadanog x ima isključivo "negativne" koordinate, što trebamo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja zadatka. Tražimo područje figure koristeći Newton-Leibnizovu formulu, samo s znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.

Prijeđimo na aplikacije integralni račun. U ovoj lekciji analizirat ćemo tipičan i najčešći zadatak. izračunavanje površine ravnog lika pomoću određenog integrala. Konačno sve tražeći smisao u viša matematika- neka ga nađu. Nikad ne znaš. U stvarnom životu morat ćete aproksimirati ljetnu kućicu s elementarnim funkcijama i pronaći njezinu površinu pomoću određenog integrala.

Za uspješno savladavanje gradiva potrebno je:

1) razumjeti neodređeni integral barem na prosječnoj razini. Stoga bi lutke prvo trebale pročitati lekciju Ne.

2) Znati primijeniti Newton-Leibnizovu formulu i izračunati određeni integral. S određenim integralima na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose Određeni integral. Primjeri rješenja. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, stoga će vaše znanje i vještine crtanja također biti hitan problem. Minimalno se mora znati izgraditi ravna linija, parabola i hiperbola.

Počnimo s krivolinijskim trapezom. Krivolinijski trapez je ravna figura omeđena grafom neke funkcije g = f(x), os VOL i linije x = a; x = b.

Površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu

Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Određeni integral. Primjeri rješenja rekli smo da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisna činjenica. Sa stajališta geometrije, određeni integral je POVRŠINA. To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Promotrimo određeni integral

Integrand

definira krivulju na ravnini (može se nacrtati po želji), a sam određeni integral brojčano je jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Primjer 1

, , , .

Ovo je tipična izjava zadatka. Najvažnija točka odluke je konstrukcija crteža. Štoviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izrade nacrta preporučujem sljedeći redoslijed: prvi bolje je konstruirati sve linije (ako postoje) i samo nakon- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Tehnika točkaste konstrukcije može se naći u referentni materijal Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo također možete pronaći materijal koji je vrlo koristan u odnosu na našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.

Napravimo crtež (imajte na umu da jednadžba g= 0 određuje os VOL):

Nećemo šrafirati krivuljasti trapez, ovdje je očito koje je područje u pitanju. Rješenje se nastavlja ovako:

Na intervalu [-2; 1] graf funkcije g = x 2 + 2 nalazi se preko osiVOL, zato:

Odgovor: .

Tko ima poteškoća s izračunavanjem određenog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule

,

uputiti na predavanje Određeni integral. Primjeri rješenja. Nakon izvršenja zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "okom" brojimo broj ćelija na crtežu - dobro, bit će upisano oko 9, čini se da je točno. Posve je jasno da kad bismo imali, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure omeđene linijama xy = 4, x = 2, x= 4 i os VOL.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje a odgovor na kraju lekcije.

Što učiniti ako se nalazi krivolinijski trapez ispod osovineVOL?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama g = e-x, x= 1 i koordinatne osi.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako je krivolinijski trapez potpuno ispod osovine VOL , tada se njegova površina može pronaći formulom:

U ovom slučaju:

.

Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, tada on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Odredite površinu ravne figure omeđene linijama g = 2x – x 2 , g = -x.

Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju sjecišta linija. Pronađite sjecišta parabole g = 2x – x 2 i ravno g = -x. To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije a= 0, gornja granica integracije b= 3. Često je isplativije i brže konstruirati pravce točku po točku, a granice integracije se otkrivaju kao da su “same od sebe”. Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica još uvijek se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s nitima nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljamo da se u točkastoj konstrukciji granice integracije najčešće pronalaze “automatski”.

A sada radna formula:

Ako na segmentu [ a; b] neka kontinuirana funkcija f(x) veće ili jednako neka kontinuirana funkcija g(x), tada se površina odgovarajuće figure može pronaći formulom:

Ovdje više nije potrebno razmišljati gdje se lik nalazi - iznad osi ili ispod osi, već bitno je koji je grafikon GORE(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa stoga od 2 x – x 2 se mora oduzeti - x.

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom g = 2x – x 2 gornje i ravno g = -x Od ispod.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor: .

Zapravo, školska formula za površinu krivocrtnog trapeza u donjoj poluravnini (vidi primjer br. 3) je poseban slučaj formule

.

Budući da os VOL dana je jednadžbom g= 0, te graf funkcije g(x) nalazi se ispod osi VOL, onda

.

A sada nekoliko primjera za neovisno rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure omeđene linijama

U tijeku rješavanja zadataka za izračunavanje površine pomoću određenog integrala ponekad se dogodi smiješna zgoda. Crtež je napravljen ispravno, proračuni su bili točni, ali, zbog nepažnje, ... pronašao područje pogrešne figure.

Primjer 7

Prvo nacrtajmo:

Lik čiju površinu trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često odluče da moraju pronaći područje figure koje je zasjenjeno zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan jer se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala. Stvarno:

1) Na segmentu [-1; 1] iznad osovine VOL graf je ravan g = x+1;

2) Na segmentu iznad osi VOL nalazi se graf hiperbole g = (2/x).

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Odgovor:

Primjer 8

Izračunajte površinu figure omeđene linijama

Predstavimo jednadžbe u "školskom" obliku

i nacrtajte liniju:

Iz crteža se vidi da je naša gornja granica “dobra”: b = 1.

Ali koja je donja granica? Jasno je da to nije cijeli broj, ali što?

Može biti, a=(-1/3)? Ali gdje je jamstvo da je crtež napravljen sa savršenom točnošću, moglo bi se i pokazati a=(-1/4). Što ako graf uopće nismo dobili kako treba?

U takvim slučajevima potrebno je potrošiti dodatno vrijeme i analitički precizirati granice integracije.

Pronađite sjecišne točke grafova

Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu:

.

Posljedično, a=(-1/3).

Daljnje rješenje je trivijalno. Glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima. Računica ovdje nije najlakša. Na segmentu

, ,

prema odgovarajućoj formuli:

U zaključku lekcije razmotrit ćemo dva teža zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure omeđene linijama

Rješenje: Nacrtaj ovu figuru na crtežu.

Za crtanje od točke do točke morate znati izgled sinusoide. Općenito, korisno je znati grafove svih elementarnih funkcija, kao i neke vrijednosti sinusa. Nalaze se u tablici vrijednosti trigonometrijske funkcije . U nekim slučajevima (na primjer, u ovom slučaju) dopušteno je konstruirati shematski crtež, na kojem se grafikoni i granice integracije moraju načelno ispravno prikazati.

Ovdje nema problema s granicama integracije, one slijede izravno iz uvjeta:

- "x" se mijenja od nule do "pi". Donosimo daljnju odluku:

Na segmentu, graf funkcije g= grijeh 3 x koji se nalazi iznad osi VOL, zato:

(1) Možete vidjeti kako su sinusi i kosinusi integrirani u neparne potencije u lekciji Integrali trigonometrijskih funkcija. Odvajamo jedan sinus.

(2) Koristimo osnovni trigonometrijski identitet u obliku

(3) Promijenimo varijablu t= cos x, tada: nalazi se iznad osi , dakle:

.

.

Bilješka: uočite kako je uzet integral tangente u kocki, ovdje posljedica glavne trigonometrijski identitet

.

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure omeđene linijama

Primjena integrala na rješenje primijenjenih zadataka

Izračun površine

Određeni integral kontinuirane nenegativne funkcije f(x) brojčano je jednak područje krivuljastog trapeza ograničenog krivuljom y \u003d f (x), osi O x i ravnim linijama x \u003d a i x \u003d b. U skladu s tim, formula površine je napisana na sljedeći način:

Razmotrite neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.

Zadatak broj 1. Izračunajte površinu omeđenu linijama y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x = 0, x \u003d 2.

Riješenje. Izgradimo figuru čiju ćemo površinu morati izračunati.

y \u003d x 2 + 1 je parabola čije su grane usmjerene prema gore, a parabola je pomaknuta prema gore za jednu jedinicu u odnosu na os O y (slika 1).

Slika 1. Graf funkcije y = x 2 + 1

Zadatak broj 2. Izračunajte površinu omeđenu linijama y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 u rasponu od 0 do 1.

Riješenje. Graf ove funkcije je parabola grane koja je usmjerena prema gore, a parabola je pomaknuta prema dolje za jednu jedinicu u odnosu na O y os (slika 2).

Slika 2. Grafikon funkcije y \u003d x 2 - 1

Zadatak broj 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure omeđene linijama

y = 8 + 2x - x 2 i y = 2x - 4.

Riješenje. Prva od ove dvije linije je parabola s granama usmjerenim prema dolje, jer je koeficijent pri x 2 negativan, a druga linija je ravna linija koja siječe obje koordinatne osi.

Da bismo konstruirali parabolu, nađimo koordinate njenog vrha: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa vrha; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je njegov vrh.

Sada nalazimo točke sjecišta parabole i pravca rješavajući sustav jednadžbi:

Izjednačavanje desnih strana jednadžbe čije su lijeve strane jednake.

Dobivamo 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ili x 2 - 12 \u003d 0, odakle .

Dakle, točke su točke presjeka parabole i pravca (slika 1).

Slika 3. Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Izgradimo ravnu liniju y = 2x - 4. Ona prolazi kroz točke (0;-4), (2; 0) na koordinatnim osima.

Da biste izgradili parabolu, također možete imati njezine sjecišne točke s osi 0x, to jest, korijene jednadžbe 8 + 2x - x 2 = 0 ili x 2 - 2x - 8 = 0. Prema Vieta teoremu, to je lako pronaći njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = četiri.

Slika 3 prikazuje lik (parabolični segment M 1 N M 2) omeđen ovim linijama.

Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegovo područje može se pronaći pomoću određenog integrala pomoću formule .

S obzirom na ovaj uvjet dobivamo integral:

2 Izračunavanje obujma rotacijskog tijela

Volumen tijela dobiven rotacijom krivulje y \u003d f (x) oko osi O x izračunava se formulom:

Kod rotacije oko O y osi formula izgleda ovako:

Zadatak broj 4. Odredite volumen tijela dobivenog rotacijom krivocrtnog trapeza omeđenog ravnim linijama x \u003d 0 x \u003d 3 i krivuljom y \u003d oko osi O x.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 4).

Slika 4. Grafik funkcije y =

Željeni volumen jednak je

Zadatak broj 5. Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom krivuljastog trapeza omeđenog krivuljom y = x 2 i ravnima y = 0 i y = 4 oko osi O y .

Riješenje. Imamo:

Pregled pitanja

Određeni integral. Kako izračunati površinu figure

Sada prelazimo na razmatranje primjena integralnog računa. U ovoj lekciji analizirat ćemo tipičan i najčešći zadatak. Kako koristiti određeni integral za izračunavanje površine figure u ravnini. Konačno, oni koji traže smisao u višoj matematici - neka ga nađu. Nikad ne znaš. U stvarnom životu morat ćete aproksimirati ljetnu kućicu s elementarnim funkcijama i pronaći njezinu površinu pomoću određenog integrala.

Za uspješno savladavanje gradiva potrebno je:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjoj razini. Stoga bi lutke prvo trebale pročitati lekciju Ne.

2) Znati primijeniti Newton-Leibnizovu formulu i izračunati određeni integral. S određenim integralima na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose Određeni integral. Primjeri rješenja.

U stvari, da biste pronašli područje figure, ne trebate toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izradu crteža, pa će vaše znanje i vještine crtanja biti puno relevantnije pitanje. S tim u vezi, korisno je osvježiti pamćenje grafova glavnih elementarnih funkcija i, barem, znati izgraditi ravnu liniju, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (mnogi trebaju) uz pomoć metodološki materijal i članke o geometrijskim transformacijama grafova.

Zapravo, svatko je upoznat s problemom nalaženja površine pomoću određenog integrala još od škole, a mi ćemo ići malo ispred školski plan i program. Ovaj članak možda uopće ne postoji, ali činjenica je da se problem javlja u 99 slučajeva od 100, kada student muči omraženi toranj s entuzijazmom svladavajući kolegij više matematike.

Materijali ove radionice prezentirani su jednostavno, detaljno i s minimumom teorije.

Počnimo s krivolinijskim trapezom.

Krivolinijski trapez naziva se ravna figura omeđena osi, ravnim linijama i graf funkcije kontinuirane na segmentu koji ne mijenja predznak na tom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje apscisa:

Zatim površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Određeni integral. Primjeri rješenja Rekao sam da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da iznesemo još jednu korisnu činjenicu. Sa stajališta geometrije, određeni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure. Na primjer, razmotrimo određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu dovršiti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava zadatka. Prvi i najvažniji trenutak odluke je izrada crteža. Štoviše, crtež mora biti izgrađen PRAVO.

Prilikom izrade nacrta preporučujem sljedeći redoslijed: prvi bolje je konstruirati sve linije (ako postoje) i samo nakon- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Funkcionalne grafove isplativije je graditi točku po točku, s tehnikom točkaste konstrukcije možete pronaći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo također možete pronaći materijal koji je vrlo koristan u odnosu na našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Napravimo crtež (imajte na umu da jednadžba definira os):

Neću šrafirati krivolinijski trapez, očito je o kojoj površini ovdje govorimo. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije preko osi, zato:

Odgovor:

Tko ima poteškoća s izračunavanjem određenog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , uputiti na predavanje Određeni integral. Primjeri rješenja.

Nakon izvršenja zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "okom" brojimo broj ćelija na crtežu - dobro, bit će upisano oko 9, čini se da je točno. Posve je jasno da kad bismo imali, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor bio negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 2

Izračunajte površinu lika omeđenog linijama , , i osi

Ovo je primjer "uradi sam". Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Što učiniti ako se nalazi krivolinijski trapez ispod osovine?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama i koordinatnim osima.

Riješenje: Napravimo crtež:

Ako se krivolinijski trapez nalazi ispod osovine(ili barem ne viši dana os), tada se njegova površina može pronaći formulom:
U ovom slučaju:

Pažnja! Nemojte brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, tada on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u upravo razmatranoj formuli.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se od najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Nađite površinu ravnog lika omeđenog linijama , .

Riješenje: Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju sjecišta linija. Nađimo točke sjecišta parabole i pravca. To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije, gornja granica integracije.
Najbolje je ne koristiti ovu metodu ako je moguće..

Puno je isplativije i brže graditi linije točku po točku, dok se granice integracije otkrivaju kao da su “sami od sebe”. Tehnika konstrukcije od točke do točke za različite grafikone detaljno je objašnjena u pomoći Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica još uvijek se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili konstrukcija s nitima nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vraćamo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljam da se kod gradnje po točkama granice integracije najčešće pronalaze “automatski”.

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na intervalu veće ili jednako neka kontinuirana funkcija, tada se površina figure ograničena grafovima tih funkcija i ravnih linija može pronaći formulom:

Ovdje više nije potrebno razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, i, grubo rečeno, bitno je koji je grafikon GORE(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Završetak rješenja može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom odozgo i ravnom linijom odozdo.
Na segmentu prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Zapravo, školska formula za područje krivuljastog trapeza u donjoj poluravnini (vidi jednostavan primjer br. 3) poseban je slučaj formule . Budući da je os dana jednadžbom , a nalazi se graf funkcije ne viši sjekire, dakle

A sada nekoliko primjera za neovisno rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Odredite površinu figure omeđenu linijama , .

U tijeku rješavanja zadataka za izračunavanje površine pomoću određenog integrala ponekad se dogodi smiješna zgoda. Crtež je napravljen ispravno, izračuni su bili točni, ali zbog nepažnje ... pronašao područje pogrešne figure, tako se tvoj pokorni sluga zeznuo nekoliko puta. Ovdje pravi slučaj iz života:

Primjer 7

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , , , .

Riješenje: Prvo napravimo crtež:

…Eh, crtež je ispao sranje, ali čini se da je sve čitljivo.

Lik čiju površinu trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom.(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se događa "greška", da morate pronaći područje figure koje je osjenčano zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan jer se u njemu površina figure izračunava pomoću dva određena integrala. Stvarno:

1) Na segmentu iznad osi nalazi se pravolinijski grafikon;

2) Na segmentu iznad osi je graf hiperbole.

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Odgovor:

Prijeđimo na jedan smisleniji zadatak.

Primjer 8

Izračunaj površinu figure omeđene linijama,
Predstavimo jednadžbe u "školskom" obliku i nacrtajmo točku po točku:

Iz crteža se vidi da je naša gornja granica “dobra”: .
Ali koja je donja granica? Jasno je da to nije cijeli broj, ali što? Može biti ? Ali gdje je jamstvo da je crtež napravljen sa savršenom točnošću, moglo bi se i pokazati. Ili korijen. Što ako graf uopće nismo dobili kako treba?

U takvim slučajevima potrebno je potrošiti dodatno vrijeme i analitički precizirati granice integracije.

Nađimo točke sjecišta pravca i parabole.
Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu:


,

Stvarno,.

Daljnje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima, izračuni ovdje nisu najlakši.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Pa, u zaključku lekcije, razmotrit ćemo dva teža zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure omeđene linijama , ,

Riješenje: Nacrtaj ovu figuru na crtežu.

K vragu, zaboravio sam potpisati raspored, a ponavljanje slike, oprostite, nije vruće. Nije crtež, ukratko, danas je dan =)

Za konstrukciju po točkama potrebno je poznavati izgled sinusoide (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se pronaći u trigonometrijska tablica. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju) dopušteno je konstruirati shematski crtež na kojemu se grafikoni i granice integracije moraju načelno ispravno prikazati.

Ovdje nema problema s granicama integracije, one slijede izravno iz uvjeta: - "x" se mijenja od nule do "pi". Donosimo daljnju odluku:

Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad osi, dakle: