Zadaci predviđanja grade se na promjeni nekih podataka tijekom vremena (prodaja, potražnja, ponuda, BDP, emisija ugljika, stanovništvo...) i projiciranju tih promjena u budućnost. Nažalost, identificirani na povijesnim podacima, trendove mogu narušiti mnogi nepredviđene okolnosti. Dakle, podaci u budućnosti mogu se značajno razlikovati od onoga što se dogodilo u prošlosti. To je problem s predviđanjem.

Međutim, postoje tehnike (koje se nazivaju eksponencijalno izglađivanje) koje omogućuju ne samo pokušaj predviđanja budućnosti, već i numeričko izražavanje neizvjesnosti svega što je povezano s prognozom. Numeričko izražavanje neizvjesnosti stvaranjem intervala predviđanja doista je neprocjenjivo, ali se često zanemaruje u svijetu predviđanja.

Preuzmite bilješku u ili formatu, primjere u formatu

Početni podaci

Recimo da ste obožavatelj Gospodara prstenova i da izrađujete i prodajete mačeve tri godine (Slika 1). Prikažimo prodaju grafički (slika 2). Potražnja se udvostručila u tri godine – možda je to trend? Na ovu ideju ćemo se vratiti malo kasnije. Postoji nekoliko vrhova i dolina na grafikonu, što može biti znak sezonskog kretanja. Konkretno, vrhunci su u mjesecima 12, 24 i 36, koji su slučajno prosinci. Ali možda je to samo slučajnost? Hajde da vidimo.

Jednostavno eksponencijalno izglađivanje

Metode eksponencijalnog izglađivanja oslanjaju se na predviđanje budućnosti na temelju podataka iz prošlosti, gdje su novija opažanja važnija od starijih. Takvo ponderiranje moguće je zbog konstanti izglađivanja. Prva metoda eksponencijalnog izglađivanja koju ćemo isprobati zove se jednostavna eksponencijalno izglađivanje(PES, jednostavno eksponencijalno izglađivanje, SES). Koristi samo jednu konstantu izglađivanja.

Jednostavno eksponencijalno izglađivanje pretpostavlja da vaša vremenska serija podataka ima dvije komponente: razinu (ili srednju vrijednost) i neku pogrešku oko te vrijednosti. Nema trenda ili sezonskih fluktuacija - postoji samo razina oko koje potražnja fluktuira, okružena tu i tamo malim pogreškama. Dajući prednost novijim opažanjima, TEC može izazvati pomake u ovoj razini. Jezikom formula,

Potražnja u trenutku t = razina + slučajna greška blizu razine u trenutku t

Dakle, kako pronaći približnu vrijednost razine? Ako prihvatimo da sve vremenske vrijednosti imaju istu vrijednost, tada bismo jednostavno trebali izračunati njihovu prosječnu vrijednost. Međutim, ovo je loša ideja. Veću težinu treba dati nedavnim opažanjima.

Kreirajmo neke razine. Izračunajte osnovnu vrijednost za prvu godinu:

razina 0 = prosječna potražnja za prvu godinu (mjeseci 1-12)

Za potražnju za mačem, to je 163. Koristimo razinu 0 (163) kao prognozu potražnje za mjesec 1. Potražnja u mjesecu 1 je 165, što je 2 mača iznad razine 0. Vrijedno je ažurirati aproksimaciju osnovne linije. Jednostavna eksponencijalna jednadžba izglađivanja:

razina 1 = razina 0 + nekoliko postotaka × (potražnja 1 - razina 0)

razina 2 = razina 1 + nekoliko postotaka × (potražnja 2 - razina 1)

itd. "Nekoliko postotaka" naziva se konstanta izglađivanja i označava se s alfa. To može biti bilo koji broj od 0 do 100% (0 do 1). Kasnije ćete naučiti kako odabrati alfa vrijednost. NA opći slučaj vrijednost za različite točke u vremenu:

Razina tekućeg razdoblja = razina prethodnog razdoblja +
alfa × (tekuće razdoblje potražnje - razina prethodnog razdoblja)

Buduća potražnja jednaka je zadnjoj izračunatoj razini (slika 3). Budući da ne znate što je alfa, postavite ćeliju C2 na 0,5 za početak. Nakon što je model izgrađen, pronađite alfu tako da je zbroj kvadrata pogreške E2 (ili standardna devijacija– F2) bili minimalni. Da biste to učinili, pokrenite opciju Pronalaženje rješenja. Da biste to učinili, prođite kroz izbornik PODACI –> Pronalaženje rješenja, i postaviti u prozor Mogućnosti pretraživanja rješenja potrebne vrijednosti (slika 4). Za prikaz rezultata predviđanja na grafikonu, prvo odaberite raspon A6:B41 i izradite jednostavan linijski grafikon. Zatim desnom tipkom miša kliknite dijagram, odaberite opciju Odaberite podatke. U prozoru koji se otvori kreirajte drugi red i u njega umetnite predviđanja iz raspona A42:B53 (slika 5).

Možda imate trend

Da bismo testirali ovu pretpostavku, dovoljno je stati Linearna regresija pod podacima o potražnji i izvedite t-test na porastu ove linije trenda (kao u ). Ako je nagib linije različit od nule i statistički značajan (u Studentovom testu vrijednost R manje od 0,05), podatak ima trend (slika 6).

Koristili smo funkciju LINEST koja vraća 10 opisne statistike(ako dosad niste koristili ovu funkciju, preporučam ju) i funkciju INDEX koja vam omogućuje da "izvučete" samo tri potrebne statistike, a ne cijeli skup. Pokazalo se da je nagib 2,54, i to značajan, jer je Studentov test pokazao da je 0,000000012 znatno manje od 0,05. Dakle, trend postoji i ostaje ga uključiti u prognozu.

Eksponencijalno Holtovo izglađivanje s korekcijom trenda

Često se naziva dvostruko eksponencijalno izglađivanje jer ima dva parametra izglađivanja, alfa, umjesto jednog. Ako vremenski niz ima linearni trend, tada:

potražnja tijekom vremena t = razina + t × trend + slučajno odstupanje razina u trenutku t

Holtovo eksponencijalno izglađivanje s korekcijom trenda ima dvije nove jednadžbe, jednu za razinu koja se kreće naprijed u vremenu i drugu za trend. Jednadžba razine sadrži parametar izglađivanja alfa, a jednadžba trenda sadrži gama. Evo kako izgleda nova jednadžba razine:

razina 1 = razina 0 + trend 0 + alfa × (potražnja 1 - (razina 0 + trend 0))

imajte na umu da razina 0 + trend 0 je samo prognoza u jednom koraku od izvornih vrijednosti do 1. mjeseca, dakle potražnja 1 – (razina 0 + trend 0) je odstupanje od jednog koraka. Stoga će jednadžba aproksimacije osnovne razine biti sljedeća:

razina tekućeg razdoblja = razina prethodnog razdoblja + trend prethodnog razdoblja + alfa × (potražnja tekućeg razdoblja - (razina prethodnog razdoblja) + trend prethodnog razdoblja))

Jednadžba ažuriranja trenda:

trenutno razdoblje trenda = prethodno razdoblje trenda + gama × alfa × (trenutno razdoblje potražnje – (razina prethodnog razdoblja) + prethodno razdoblje trenda))

Holtovo izglađivanje u Excelu slično je jednostavnom izglađivanju (Slika 7) i, kao i gore, cilj je pronaći dva koeficijenta uz minimiziranje zbroja kvadrata pogrešaka (Slika 8). Da biste dobili izvornu razinu i vrijednosti trenda (u ćelijama C5 i D5 na slici 7), izgradite grafikon za prvih 18 mjeseci prodaje i dodajte mu liniju trenda s jednadžbom. Unesite početnu vrijednost trenda od 0,8369 i početnu razinu od 155,88 u ćelije C5 i D5. Podaci o prognozi mogu se prikazati grafički (slika 9).

Riža. 7. Eksponencijalno Holtovo izglađivanje s korekcijom trenda; Da biste povećali sliku, desnom tipkom miša kliknite na nju i odaberite Otvori sliku u novoj kartici

Pronalaženje uzoraka u podacima

Postoji način testiranja snage prediktivnog modela - usporediti pogreške same sa sobom, pomaknute za korak (ili nekoliko koraka). Ako su odstupanja slučajna, tada se model ne može poboljšati. Međutim, u podacima o potražnji može postojati sezonski faktor. Koncept pogreške koja je u korelaciji s vlastitom verzijom tijekom drugog razdoblja naziva se autokorelacija (za više o autokorelaciji pogledajte ). Za izračun autokorelacije počnite s podacima o pogrešci prognoze za svako razdoblje (prenesite stupac F na slici 7 u stupac B na slici 10). Sljedeće definirati prosječna greška prognoza (Slika 10, ćelija B39; formula u ćeliji: =PROSJEK(B3:B38)). U stupcu C izračunajte odstupanje pogreške prognoze od srednje vrijednosti; formula u ćeliji C3: =B3-B$39. Zatim, uzastopno pomaknite stupac C stupac udesno i red dolje. Formule u ćelijama D39: =SUMPROIZVOD($C3:$C38,D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/SQRT(36), D43: =-2/SQRT(36).

Što može značiti "sinkrono kretanje" sa stupcem C za jedan od stupaca D: O. Na primjer, ako su stupci C i D sinkroni, tada broj koji je negativan u jednom od njih mora biti negativan u drugom, pozitivan u jednom , pozitivno u prijatelju. To znači da će zbroj umnožaka dvaju stupaca biti značajan (razlike se akumuliraju). Ili, što je isto, što je vrijednost u rasponu D41:O41 bliža nuli, to je niža korelacija stupca (odnosno od D do O) sa stupcem C (slika 11).

Jedna autokorelacija je iznad kritične vrijednosti. Pogreška pomaknuta za godinu korelira sama sa sobom. To znači sezonski ciklus od 12 mjeseci. I to ne čudi. Ako pogledate grafikon potražnje (Slika 2), ispada da postoje vrhunci potražnje svakog Božića i padovi u travnju i svibnju. Razmotrite tehniku ​​predviđanja koja uzima u obzir sezonalnost.

Multiplikativno eksponencijalno Holt-Wintersovo izglađivanje

Metoda se naziva multiplikativna (od multiplicate - umnožiti), jer koristi množenje za obračun sezonalnosti:

Potražnja u trenutku t = (razina + t × trend) × sezonska prilagodba u trenutku t × sve preostale nepravilne prilagodbe koje ne možemo uzeti u obzir

Holt-Wintersovo izglađivanje također se naziva trostruko eksponencijalno izglađivanje jer ima tri parametra izglađivanja (alfa, gama i delta sezonski faktor). Na primjer, ako postoji sezonski ciklus od 12 mjeseci:

Mjesečna prognoza 39 = (razina 36 + 3 × trend 36) x sezonalnost 27

Prilikom analize podataka potrebno je utvrditi kakav je trend u seriji podataka, a koja je sezonalnost. Da biste izvršili izračune koristeći Holt-Winters metodu, morate:

• Glatki povijesni podaci pomoću metode pomičnog prosjeka.
• Usporedite izglađenu verziju vremenske serije s izvornom kako biste dobili grubu procjenu sezonalnosti.
• Dobijte nove podatke bez sezonske komponente.
• Pronađite aproksimacije razine i trenda na temelju ovih novih podataka.

Započnite s izvornim podacima (stupci A i B na slici 12) i dodajte stupac C s izglađenim vrijednostima na temelju pomičnog prosjeka. Budući da sezonalnost ima cikluse od 12 mjeseci, ima smisla koristiti prosjek od 12 mjeseci. Postoji mali problem s ovim prosjekom. 12 je paran broj. Ako izgladite potražnju za 7. mjesec, treba li je smatrati prosječnom potražnjom od 1. do 12. mjeseca ili od 2. do 13. mjeseca? Kako bismo riješili ovu poteškoću, moramo izgladiti potražnju pomoću "pomičnog prosjeka 2x12". To jest, uzmite polovicu od dva prosjeka od 1. do 12. mjeseca i od 2. do 13. mjeseca. Formula u ćeliji C8 je: =(PROSJEK(B3:B14)+PROSJEK(B2:B13))/2.

Izglađeni podaci za mjesece 1–6 i 31–36 nije moguće dobiti jer nema dovoljno prethodnih i sljedećih razdoblja. Radi jasnoće, izvorni i izglađeni podaci mogu se prikazati u dijagramu (Sl. 13).

Sada, u stupcu D, podijelite izvornu vrijednost s izglađenom vrijednošću kako biste dobili procjenu desezoniranja (stupac D na slici 12). Formula u ćeliji D8: =B8/C8. Obratite pažnju na skokove od 20% iznad normalne potražnje u 12. i 24. mjesecu (prosinac), dok u proljeće postoje padovi. Ova tehnika zaglađivanja vam je dala dvije bodovne procjene za svaki mjesec (ukupno 24 mjeseca). Stupac E je prosjek ova dva faktora. Formula u ćeliji E1 je: =PROSJEK(D14,D26). Radi jasnoće, razina sezonskih fluktuacija može se prikazati grafički (Sl. 14).

Sada možete dobiti podatke prilagođene za sezonske fluktuacije. Formula u ćeliji G1: =B2/E2. Izgradite grafikon na temelju podataka u stupcu G, dopunite ga linijom trenda, prikažite jednadžbu trenda na grafikonu (Sl. 15) i upotrijebite koeficijente u sljedećim izračunima.

oblik novi list, kao što je prikazano na sl. 16. Zamijenite vrijednosti u rasponu E5:E16 sa sl. 12 područja E2:E13. Uzmite vrijednosti C16 i D16 iz jednadžbe linije trenda na sl. 15. Postavite vrijednosti konstanti izglađivanja na početak od oko 0,5. Proširite vrijednosti u retku 17 na raspon od 1 do 36 mjeseci. Pokrenite Pronalaženje rješenja za optimizaciju koeficijenata izglađivanja (slika 18). Formula u ćeliji B53: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.

Sada u napravljenoj prognozi trebate provjeriti autokorelacije (slika 18). Budući da se sve vrijednosti nalaze između gornje i donje granice, jasno je da je model dobro razumio strukturu vrijednosti potražnje.

Izgradnja intervala pouzdanosti za prognozu

Dakle, imamo prilično radnu prognozu. Kako postavljate gornje i donje granice koje se mogu koristiti za realistična nagađanja? U tome će vam pomoći Monte Carlo simulacija koju ste već upoznali (vidi također ). Poanta je generirati buduće scenarije ponašanja potražnje i odrediti skupinu u koju spada njih 95%.

Ukloni s lista Excel prognoza iz stanica B53:B64 (vidi sliku 17). Tamo ćete napisati potražnju na temelju simulacije. Potonji se može generirati pomoću funkcije NORMINV. Za buduće mjesece samo ga trebate snabdjeti srednjom (0), standardnom distribucijom (10,37 iz ćelije $H$2) i slučajni broj od 0 do 1. Funkcija će vratiti odstupanje s vjerojatnošću koja odgovara zvonastoj krivulji. Stavite simulaciju pogreške u jednom koraku u ćeliju G53: =NORMINV(RAND();0;H$2). Proširivanje ove formule do G64 daje vam simulacije pogreške predviđanja za 12-mjesečnu prognozu u jednom koraku (Slika 19). Vaše vrijednosti simulacije razlikovat će se od onih prikazanih na slici (zato je to simulacija!).

Uz Forecast Error imate sve što vam je potrebno za ažuriranje razine, trenda i sezonskog faktora. Dakle, odaberite ćelije C52:F52 i rastegnite ih na redak 64. Kao rezultat, imate simuliranu pogrešku prognoze i samu prognozu. Idući od suprotnog, moguće je predvidjeti vrijednosti potražnje. Umetnite formulu u ćeliju B53: =F53+G53 i rastegnite je do B64 (Slika 20, raspon B53:F64). Sada možete pritisnuti tipku F9, svaki put ažurirajući prognozu. Postavite rezultate 1000 simulacija u ćelije A71:L1070, svaki put transponirajući vrijednosti iz raspona B53:B64 u raspon A71:L71, A72:L72, ... A1070:L1070. Ako vam smeta, napišite VBA kod.

Sada imate 1000 scenarija za svaki mjesec i možete koristiti funkciju PERCENTILE da dobijete gornju i donju granicu u sredini intervala pouzdanosti od 95%. U ćeliji A66 formula je: =PERCENTIL(A71:A1070,0,975) i u ćeliji A67: =PERCENTIL(A71:A1070,0,025).

Kao i obično, radi jasnoće, podaci se mogu prikazati u grafički oblik(slika 21).

Dvije su zanimljive točke na grafikonu:

• Margina pogreške raste s vremenom. Ima smisla. Neizvjesnost se gomila svaki mjesec.
• Na isti način, pogreška se povećava u dijelovima koji padaju na razdoblja sezonskog povećanja potražnje. S kasnijim padom, greška se smanjuje.

Na temelju materijala iz knjige Johna Foremana. – M.: Alpina Publisher, 2016. – S. 329–381

Eksponencijalno izglađivanje - više komplicirana metoda prosječne težine. Svako novo predviđanje temelji se na prethodnom predviđanju plus postotna razlika između tog predviđanja i stvarne vrijednosti niza u tom trenutku.

F t \u003d F t -1 + (A t -1 - F t -1) (2)

Gdje: F t – prognoza za razdoblje t

F t-1– prognoza za razdoblje t-1

- konstanta zaglađivanja

A t - 1 – stvarna potražnja ili prodaja za razdoblje t-1

Konstanta izglađivanja je postotak pogreške predviđanja. Svako novo predviđanje jednako je prethodnom predviđanju plus postotak prethodne pogreške.

Osjetljivost korekcije prognoze na pogrešku određena je konstantom izglađivanja, što je njena vrijednost bliža 0, to će se prognoza sporije prilagođavati pogreškama prognoze (tj. više diploma zaglađivanje). Suprotno tome, što je vrijednost bliža 1,0, to je veća osjetljivost i manje izglađivanje.

Izbor konstante izglađivanja uglavnom je stvar slobodnog izbora ili pokušaja i pogreške. Cilj je odabrati takvu konstantu izglađivanja na koju, s jedne strane, prognoza ostaje dovoljno osjetljiva prava promjena vremenske serije podataka, a s druge strane dobro je izgladio skokove uzrokovane slučajnim faktorima. Uobičajeno korištene vrijednosti su u rasponu od 0,05 do 0,50.

Eksponencijalno izglađivanje jedna je od najčešće korištenih metoda predviđanja, dijelom zbog minimalnih zahtjeva za pohranom i jednostavnosti izračuna, a dijelom zbog lakoće kojom se sustav faktora povećanja može promijeniti. jednostavna promjena vrijednostima.

Tablica 3. Eksponencijalno izglađivanje

Razdoblje	Stvarna potražnja	α= 0,1	α = 0,4
prognoza	greška	prognoza	greška
	10 000	-	-	-	-
	11 200	10 000	11 200-10 000=1 200	10 000	11 200-10 000=1 200
	11 500	10 000+0,1(11 200-10 000)=10 120	11 500-10 120=1 380	10 000+0,4(11 200-10 000)=10 480	11 500-10 480=1 020
	13 200	10 120+0,1(11 500-10 120)=10 258	13 200-10 258=2 942	10 480+0,4(11 500-10 480)=10 888	13 200-10 888=2 312
	14 500	10 258+0,1(13 200-10 258)=10 552	14 500-10 552=3 948	10 888+0,4(13 200-10 888)=11 813	14 500-11 813=2 687
	-	10 552+0,1(14 500-10 552)=10 947	-	11 813+0,4(14 500-11 813)=12 888	-

Metode za Trend

Postoje dva važna metoda, koji se može koristiti za razvoj predviđanja kada je prisutan trend. Jedan od njih uključuje korištenje jednadžbe trenda; još je eksponencijalno izglađivanje proširenje.

Jednadžba trenda:

Linearna jednadžba trendovi ima sljedeći pogled:

Y t = a + δ∙ t (3)

Gdje: t - određeni broj vremenskih razdoblja od t=0;

Y t– prognoza razdoblja t;

α - značenje Y t na t=0

δ - nagib linije.

Izravni koeficijenti α i δ , može se izračunati iz statističkih podataka za određeno razdoblje, koristeći sljedeće dvije jednadžbe:

δ= , (4)

α = , (5)

Gdje: n - broj razdoblja,

g– vrijednost vremenske serije

Tablica 3. Razina trenda.

Razdoblje (t)	Godina	Razina prodaje (y)	t∙y	t2
		10 000	10 000
			11 200	22 400
			11 500	34 500
			13 200	52 800
			14 500	72 500
Ukupno:		-	60 400	192 200

Izračunajmo koeficijente linije trenda:

δ=

Dakle, linija trenda Y t = α + δ ∙ t

U našem slučaju, Y t = 43 900+1 100 ∙t,

Gdje t = 0 za period 0.

Napravimo jednadžbu za razdoblje 6 (2015.) i 7 (2016.):

– prognoza za 2015. godinu.

Y 7 \u003d 43 900 + 1 100 * 7 = 51 600

Izgradimo grafikon:

Izglađivanje eksponencijalnog trenda

Varijacija jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja može se koristiti kada vremenska serija pokazuje trend. Ova se varijacija naziva eksponencijalno izglađivanje, izglađivanje temeljeno na trendu ili ponekad dvostruko izglađivanje. Razlikuje se od jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja, koje se koristi samo kada se podaci mijenjaju oko neke prosječne vrijednosti ili imaju skokovite ili postupne promjene.

Ako je serija u trendu i koristi se jednostavno eksponencijalno izglađivanje, tada će sve prognoze zaostajati za trendom. Na primjer, ako se podaci povećaju, tada će svaka prognoza biti podcijenjena. Suprotno tome, smanjenje podataka daje precijenjenu prognozu. Grafički prikaz podataka može pokazati kada je dvostruko izglađivanje bolje od jednostavnog izglađivanja.

Prognoza prilagođena trendu (TAF) sastoji se od dva elementa: izglađene pogreške i faktora trenda.

TAF t +1 = S t + T t, (6)

Gdje: S t – izglađena prognoza;

T t – procjena trenutnog trenda

I S t = TAF t + α 1 (A t - TAF t) , (7)

T t \u003d T t-1 + α 2 (TAF t -TAF t-1 - T t-1) (8)

Gdje α 1 , α 2 su konstante izglađivanja.

Za korištenje ove metode potrebno je odabrati vrijednosti α 1 , α 2 (uobičajenim načinom uklapanja) i napraviti početnu prognozu i procjenu trendova.

Tablica 4. Izglađivanje eksponencijalnog trenda.

Pomični prosjek omogućuje savršeno izravnavanje podataka. Ali njegov glavni nedostatak je da svaka vrijednost u izvornim podacima ima istu težinu. Na primjer, za pomični prosjek koji koristi razdoblje od šest tjedana, svakoj vrijednosti za svaki tjedan daje se 1/6 težine. Za neke prikupljene statistike, novije vrijednosti imaju veću težinu. Stoga se koristi eksponencijalno izglađivanje kako bi se najnovijim podacima dala veća težina. Time je ovaj statistički problem riješen.

Formula za izračun metode eksponencijalnog izglađivanja u Excelu

Donja slika prikazuje izvješće o potražnji za određenim proizvodom za 26 tjedana. Stupac Potražnja sadrži podatke o količini prodane robe. U stupcu "Prognoza" - formula:

Stupac "Pokretni prosjek" definira predviđenu potražnju, izračunatu korištenjem uobičajenog izračuna pomičnog prosjeka s periodom od 6 tjedana:

U zadnjem stupcu "Prognoza", uz gore opisanu formulu, primjenjuje se metoda eksponencijalnog izglađivanja podataka u kojoj vrijednosti zadnjih tjedana imaju veću težinu od prethodnih.

U ćeliju G1 upisuje se koeficijent "Alpha:", koji označava težinu dodjele najnovijim podacima. NA ovaj primjer ima vrijednost od 30%. Preostalih 70% težine raspoređuje se na ostatak podataka. Odnosno, druga vrijednost u smislu relevantnosti (s desna na lijevo) ima težinu jednaku 30% od preostalih 70% težine - ovo je 21%, treća vrijednost ima težinu jednaku 30% ostatka od 70% težine - 14,7% i tako dalje.



Grafik eksponencijalnog izglađivanja

Donja slika prikazuje grafikon potražnje, pomični prosjek i eksponencijalnu prognozu izglađivanja, koja je izgrađena na temelju izvornih vrijednosti:

Imajte na umu da prognoza eksponencijalnog izglađivanja bolje reagira na promjene u potražnji nego linija pomičnog prosjeka.

Podaci za uzastopne prethodne tjedne množe se s alfa faktorom, a rezultat se dodaje ostatku težinskog postotka pomnoženog s prethodnom predviđenom vrijednošću.

Tema 3. Izglađivanje i predviđanje vremenskih serija na temelju trend modela

cilj proučavanje ove teme je stvaranje osnovne osnove za obuku menadžera u specijalnosti 080507 u području izgradnje modela različitih zadataka u području ekonomije, formiranje sustavnog pristupa postavljanju i rješavanju problema predviđanja među studentima. . Predloženi tečaj omogućit će stručnjacima da se brzo prilagode praktični rad, bolje je kretati se znanstvenim i tehničkim informacijama i literaturom u specijalnosti, kako bi donosili sigurnije odluke koje se pojavljuju u radu. Glavni zadaci teme studija su: dobivanje učenika na produbljenom teorijsko znanje na primjenu prognostičkih modela, njihovo stjecanje stabilnih vještina u obavljanju istraživačkog rada, sposobnost rješavanja složenih znanstveni problemi povezana s konstrukcijom modela, uključujući višedimenzionalne, sposobnost logičke analize dobivenih rezultata i određivanje načina za pronalaženje prihvatljivih rješenja.

Dovoljno jednostavna metoda utvrđivanje razvojnih trendova je izglađivanje vremenske serije, odnosno zamjena stvarnih razina proračunatim koje imaju manje varijacije od izvornih podataka. Odgovarajuća transformacija zove se filtriranje. Razmotrimo nekoliko metoda zaglađivanja.

3.1. jednostavni prosjeci

Cilj izglađivanja je izgraditi model predviđanja za buduća razdoblja na temelju prošlih promatranja. U metodi jednostavnih prosjeka, vrijednosti varijable se uzimaju kao početni podaci Y u točkama u vremenu t, a prognozirana vrijednost se određuje kao jednostavni prosjek za sljedeće vremensko razdoblje. Formula za izračun ima oblik

gdje n broj opažanja.

U slučaju kada novo opažanje postane dostupno, novoprimljenu prognozu također treba uzeti u obzir za predviđanje za sljedeće razdoblje. Pri korištenju ove metode, prognoza se provodi usrednjavanjem svih prethodnih podataka, međutim, nedostatak takve prognoze je teškoća njezine upotrebe u trend modelima.

3.2. Metoda pomičnog prosjeka

Ova se metoda temelji na predstavljanju serije kao zbroja prilično glatkog trenda i slučajna komponenta. Metoda se temelji na ideji izračuna teorijske vrijednosti na temelju lokalne aproksimacije. Za izradu procjene trenda u određenoj točki t vrijednostima serije iz vremenskog intervala izračunati teoretsku vrijednost niza. Najrašireniji u praksi izglađivanja serija dobio sam slučaj kada su svi ponderi za elemente intervala su međusobno jednaki. Iz tog razloga, ova metoda je tzv metoda pomičnog prosjeka, jer kada se postupak izvrši, prozor širine od (2 m + 1) kroz cijeli red. Širina prozora obično se uzima neparna, jer se teorijska vrijednost izračunava za središnju vrijednost: broj članova k = 2m + 1 S isti broj razine lijevo i desno od trenutka t.

Formula za izračunavanje pomičnog prosjeka u ovom slučaju ima oblik:

Disperzija pomičnog prosjeka definirana je kao σ 2 /k, gdje kroz σ2 označava varijancu izvornih članova niza, i k interval izglađivanja, pa što je veći interval izglađivanja, to je jače usrednjavanje podataka i manje je promjenjiv trend. Najčešće se glačanje izvodi na tri, pet i sedam članova izvorne serije. Pritom treba voditi računa sljedeće značajke pokretni prosjek: ako uzmemo u obzir niz sa periodične fluktuacije konstantne duljine, izglađivanje na temelju pomičnog prosjeka s intervalom izglađivanja jednakim ili višestrukim periodom potpuno će eliminirati fluktuacije. Često izglađivanje na temelju pomičnog prosjeka transformira niz tako snažno da se identificirani trend razvoja očituje samo u većini u općim crtama, a manji, ali važni za analizu detalji (valovi, zavoji itd.) nestaju; nakon izglađivanja, mali valovi ponekad mogu promijeniti smjer tako da se umjesto "vrhova" pojavljuju suprotne "jame" i obrnuto. Sve to zahtijeva oprez pri korištenju jednostavnog pomičnog prosjeka i tjera na traženje suptilnijih metoda opisa.

Metoda pomičnog prosjeka ne daje vrijednosti trenda za prvi i zadnji mčlanovi reda. Ovaj nedostatak je posebno uočljiv u slučaju kada je duljina reda mala.

3.3. Eksponencijalno izglađivanje

Eksponencijalni prosjek y t je primjer asimetričnog ponderiranog pomičnog prosjeka koji uzima u obzir stupanj starenja podataka: "starije" informacije s manjom težinom ulaze u formulu za izračun izglađene vrijednosti razine serije

Ovdje — eksponencijalna sredina koja zamjenjuje promatranu vrijednost niza y t(izglađivanje uključuje sve primljene podatke trenutni trenutak t), α parametar izglađivanja koji karakterizira težinu trenutnog (najnovijeg) promatranja; 0< α <1.

Metoda se koristi za predviđanje nestacionarnih vremenskih serija sa slučajnim promjenama razine i nagiba. Kako se udaljavamo od sadašnjeg trenutka vremena u prošlost, težina odgovarajućeg člana niza brzo (eksponencijalno) opada i praktički prestaje imati bilo kakav utjecaj na vrijednost .

Lako je vidjeti da nam posljednja relacija omogućuje da damo sljedeću interpretaciju eksponencijalnog prosjeka: ako — predviđanje vrijednosti serije y t, tada je razlika pogreška prognoze. Dakle, predviđanje za sljedeću točku u vremenu t+1 uzima u obzir ono što je postalo poznato u trenutku t pogreška prognoze.

Mogućnost zaglađivanja α je faktor vaganja. Ako α blizu jedinstva, tada prognoza značajno uzima u obzir veličinu pogreške posljednje prognoze. Za male vrijednosti α predviđena vrijednost je blizu prethodne prognoze. Izbor parametra izglađivanja prilično je kompliciran problem. Opća razmatranja su sljedeća: metoda je dobra za predviđanje dovoljno glatkih serija. U ovom slučaju, može se odabrati konstanta izglađivanja minimiziranjem pogreške predviđanja za jedan korak unaprijed procijenjene iz zadnje trećine serije. Neki stručnjaci ne preporučuju korištenje velikih vrijednosti parametra izglađivanja. Na sl. 3.1 prikazuje primjer izglađene serije korištenjem metode eksponencijalnog izglađivanja za α= 0,1.

Riža. 3.1. Rezultat eksponencijalnog izglađivanja pri α =0,1
(1 originalna serija; 2 izglađene serije; 3 ostatka)

3.4. Eksponencijalno izglađivanje
na temelju trenda (Holt metoda)

Ova metoda uzima u obzir lokalni linearni trend koji postoji u vremenskoj seriji. Ako postoji uzlazni trend u vremenskoj seriji, tada je uz procjenu trenutne razine potrebna i procjena nagiba. U Holtovoj tehnici, vrijednosti razine i nagiba izravnavaju se izravno korištenjem različitih konstanti za svaki od parametara. Konstante izglađivanja omogućuju procjenu trenutne razine i nagiba, pročišćavajući ih svaki put kada se naprave nova opažanja.

Holtova metoda koristi tri formule za izračun:

1. Eksponencijalno izglađeni niz (procjena trenutne razine)

(3.2)

1. Evaluacija trenda

(3.3)

1. Prognoza za R razdoblja pred nama

(3.4)

gdje α, β konstante izglađivanja iz intervala .

Jednadžba (3.2) slična je jednadžbi (3.1) za jednostavno eksponencijalno izglađivanje, osim za član trenda. Konstantno β potrebno za izglađivanje procjene trenda. U jednadžbi prognoze (3.3), procjena trenda se množi s brojem razdoblja R, na kojem se temelji prognoza, a zatim se ovaj proizvod dodaje trenutnoj razini izglađenih podataka.

Trajna α i β biraju se subjektivno ili minimiziranjem pogreške predviđanja. Što se veće vrijednosti utega uzmu, to će se brže reagirati na promjene koje su u tijeku i podaci će biti ujednačeniji. Manje težine čine strukturu izglađenih vrijednosti manje ravnom.

Na sl. 3.2 prikazuje primjer izglađivanja niza koristeći Holtovu metodu za vrijednosti α i β jednako 0,1.

Riža. 3.2. Rezultat izglađivanja po Holtu
na α = 0,1 i β = 0,1

3.5. Eksponencijalno izglađivanje s trendom i sezonskim varijacijama (Wintersova metoda)

Ako postoje sezonske fluktuacije u strukturi podataka, troparametarski model eksponencijalnog izglađivanja koji je predložio Winters koristi se za smanjenje pogrešaka u predviđanju. Ovaj pristup je proširenje prethodnog Holt modela. Kako bi se uzele u obzir sezonske varijacije, ovdje se koristi dodatna jednadžba, a ova je metoda u potpunosti opisana s četiri jednadžbe:

1. Eksponencijalno izglađeni niz

(3.5)

1. Evaluacija trenda

(3.6)

1. Procjena sezonalnosti

.

(3.7)

1. Prognoza za R razdoblja pred nama

(3.8)

gdje α, β, γ konstantno izravnavanje za razinu, trend i sezonalnost; s- trajanje razdoblja sezonske fluktuacije.

Jednadžba (3.5) ispravlja izglađeni niz. U ovoj jednadžbi, izraz uzima u obzir sezonalnost u izvornim podacima. Nakon što se u jednadžbama (3.6), (3.7) uzmu u obzir sezonalnost i trend, procjene se izglađuju i predviđa se u jednadžbi (3.8).

Kao iu prethodnoj metodi, utezi α, β, γ može se odabrati subjektivno ili minimiziranjem pogreške predviđanja. Prije primjene jednadžbe (3.5) potrebno je odrediti početne vrijednosti za izglađeni niz L t, trend T t, koeficijenti sezonalnosti S t. Obično se početna vrijednost izglađene serije uzima jednakom prvom opažanju, tada je trend nula, a sezonski koeficijenti jednaki su jedinici.

Na sl. 3.3 prikazuje primjer izglađivanja niza pomoću Wintersove metode.

Riža. 3.3. Rezultat zaglađivanja po Wintersovoj metodi
na α = 0,1 ;β = 0,1; γ = 0,1(1- originalni red; 2 izglađeni red; 3 ostatka)

3.6. Predviđanje na temelju trend modela

Vrlo često vremenske serije imaju linearni trend (trend). Pod pretpostavkom linearnog trenda, morate izgraditi ravnu liniju koja bi najpreciznije odražavala promjenu dinamike tijekom razdoblja koje se razmatra. Postoji nekoliko metoda za konstruiranje ravne linije, ali najobjektivnija s formalnog gledišta bit će konstrukcija koja se temelji na minimiziranju zbroja negativnih i pozitivnih odstupanja početnih vrijednosti niza od ravne crte.

Pravac u dvokoordinatnom sustavu (x, y) može se definirati kao sjecište jedne od koordinata na a kut nagiba prema osi X. Jednadžba za takvu ravnu liniju izgledat će ovako gdje a- točka raskrižja; b kut nagiba.

Da bi ravna linija odražavala tijek dinamike, potrebno je minimizirati zbroj vertikalnih odstupanja. Kada se koristi kao kriterij za procjenu minimizacije jednostavnog zbroja odstupanja, rezultat neće biti baš dobar, jer se negativna i pozitivna odstupanja međusobno poništavaju. Minimiziranje zbroja apsolutnih vrijednosti također ne dovodi do zadovoljavajućih rezultata, budući da su procjene parametara u ovom slučaju nestabilne, postoje i računalne poteškoće u provedbi takvog postupka procjene. Stoga je najčešće korišten postupak minimiziranja zbroja kvadrata odstupanja, odn metoda najmanjih kvadrata(MNK).

Budući da niz početnih vrijednosti ima fluktuacije, model niza će sadržavati pogreške, čiji kvadrati moraju biti minimizirani

gdje je y promatrana vrijednost; y i * teorijske vrijednosti modela; broj opažanja.

Kada modeliramo trend izvorne vremenske serije pomoću linearnog trenda, pretpostavit ćemo da

Dijeljenje prve jednadžbe s n, dolazimo do sljedećeg

Zamjenom dobivenog izraza u drugu jednadžbu sustava (3.10), za koeficijent b* dobivamo:

3.7. Provjera prikladnosti modela

Kao primjer, na sl. 3.4 prikazuje graf linearne regresije između snage automobila x i njegovu cijenu na.

Riža. 3.4. Dijagram linearne regresije

Jednadžba za ovaj slučaj je: na=1455,3 + 13,4 x. Vizualna analiza ove slike pokazuje da za niz promatranja postoje značajna odstupanja od teorijske krivulje. Grafikon reziduala prikazan je na sl. 3.5.

Riža. 3.5. Tablica ostataka

Analiza reziduala regresijske linije može pružiti korisnu mjeru koliko dobro procijenjena regresija odražava stvarne podatke. Dobra regresija je ona koja objašnjava značajnu količinu varijance i, obrnuto, loša regresija ne prati veliku količinu fluktuacije u izvornim podacima. Intuitivno je jasno da će svaka dodatna informacija poboljšati model, tj. smanjiti neobjašnjivi udio varijacije varijable na. Da bismo analizirali regresiju, varijancu ćemo rastaviti na komponente. Očito je da

Posljednji član će biti jednak nuli, jer je to zbroj ostataka, pa dolazimo do sljedećeg rezultata

gdje SS0, SS1, SS2 odrediti ukupni, regresijski i rezidualni zbroj kvadrata.

Regresijski zbroj kvadrata mjeri dio varijance objašnjen linearnim odnosom; preostali dio disperzije, koji se ne objašnjava linearnom ovisnošću.

Svaki od ovih zbrojeva karakterizira odgovarajući broj stupnjeva slobode (HR), koji određuje broj jedinica podataka koje su neovisne jedna o drugoj. Drugim riječima, broj otkucaja srca povezan je s brojem promatranja n a broj parametara izračunat iz ukupnosti tih parametara. U slučaju koji se razmatra, izračunati SS0 određuje se samo jedna konstanta (prosječna vrijednost), dakle otkucaji srca za SS0 bit će (n– 1), broj otkucaja srca za SS 2 - (n - 2) i broj otkucaja srca za SS 1 bit će n - (n - 1)=1, budući da postoji n - 1 konstantna točka u regresijskoj jednadžbi. Kao i zbroj kvadrata, otkucaji srca povezani su prema

Zbrojevi kvadrata povezani s dekompozicijom varijance, zajedno s odgovarajućim otkucajima srca, mogu se smjestiti u takozvanu tablicu analize varijance (ANOVA ANalysis Of VAriance table) (tablica 3.1).

Tablica 3.1

ANOVA tablica

Izvor	Zbroj kvadrata		Srednji kvadrat
Regresija			SS2/ (n-2)

Koristeći uvedenu skraćenicu za sume kvadrata, definiramo koeficijent odlučnosti kao omjer regresijskog zbroja kvadrata prema ukupnom zbroju kvadrata kao

(3.13)

Koeficijent determinacije mjeri udio varijabilnosti u varijabli Y, što se može objasniti korištenjem informacija o varijabilnosti nezavisne varijable x. Koeficijent determinacije mijenja se od nule kada x ne utječe Y, na jedan kad promjena Y potpuno objašnjeno promjenom x.

3.8. Model regresijske prognoze

Najbolje predviđanje je ono s najmanjim odstupanjem. U našem slučaju, konvencionalni najmanji kvadrati daju najbolje predviđanje od svih metoda koje daju nepristrane procjene temeljene na linearnim jednadžbama. Pogreška predviđanja povezana s postupkom predviđanja može doći iz četiri izvora.

Prvo, slučajna priroda aditivnih pogrešaka kojima se rukuje linearna regresija osigurava da će prognoza odstupati od pravih vrijednosti čak i ako je model točno određen i njegovi parametri su točno poznati.

Drugo, sam proces procjene unosi grešku u procjenu parametara koji rijetko mogu biti jednaki pravim vrijednostima, iako su im u prosjeku jednaki.

Treće, u slučaju uvjetne prognoze (u slučaju nepoznatih točnih vrijednosti nezavisnih varijabli), pogreška se uvodi s prognozom eksplanatornih varijabli.

Četvrto, pogreška se može pojaviti jer je specifikacija modela netočna.

Kao rezultat toga, izvori pogrešaka mogu se klasificirati na sljedeći način:

1. priroda varijable;
2. priroda modela;
3. pogreška koju donosi prognoza nezavisnih slučajnih varijabli;
4. greška specifikacije.

Razmotrit ćemo bezuvjetnu prognozu, kada se nezavisne varijable lako i točno predviđaju. Započinjemo naše razmatranje problema kvalitete prognoze s uparenom regresijskom jednadžbom.

Izjava problema u ovom slučaju može se formulirati na sljedeći način: što će biti najbolja prognoza y T+1, pod uvjetom da u modelu y = a + bx opcije a i b točno procijenjena i vrijednost xT+1 znan.

Tada se predviđena vrijednost može definirati kao

Pogreška prognoze tada će biti

.

Pogreška predviđanja ima dva svojstva:

Rezultirajuća varijanca je minimalna među svim mogućim procjenama temeljenim na linearnim jednadžbama.

Iako a i b poznati, pogreška prognoze pojavljuje se zbog činjenice da na T+1 možda neće ležati na regresijskoj liniji zbog pogreške ε T+1, poštujući normalnu distribuciju s nultom sredinom i varijancom σ2. Kako bismo provjerili kvalitetu prognoze, uvodimo normaliziranu vrijednost

Interval pouzdanosti od 95% može se definirati na sljedeći način:

gdje β 0,05 kvantili normalne distribucije.

Granice intervala od 95% mogu se definirati kao

Imajte na umu da u ovom slučaju širina interval pouzdanosti ne ovisi o veličini X, a granice intervala su ravne linije paralelne s regresijskim linijama.

Češće je prilikom konstruiranja regresijske linije i provjere kvalitete prognoze potrebno procijeniti ne samo regresijske parametre, već i varijancu pogreške prognoze. Može se pokazati da u ovom slučaju varijanca pogreške ovisi o vrijednosti (), gdje je srednja vrijednost nezavisne varijable. Osim toga, što je duži niz, točnija je prognoza. Pogreška prognoze se smanjuje ako je vrijednost X T+1 blizu srednje vrijednosti nezavisne varijable, i obrnuto, kada se udaljava od srednje vrijednosti, prognoza postaje manje točna. Na sl. 3.6 prikazuje rezultate predviđanja pomoću jednadžbe linearne regresije za 6 vremenskih intervala unaprijed zajedno s intervalima pouzdanosti.

Riža. 3.6. Predviđanje linearne regresije

Kao što se može vidjeti sa sl. 3.6, ova regresijska linija ne opisuje dobro izvorne podatke: postoji velika varijacija u odnosu na odgovarajuću liniju. O kvaliteti modela može se suditi i po rezidualima koji bi kod zadovoljavajućeg modela trebali biti raspoređeni približno prema normalnom zakonu. Na sl. 3.7 prikazuje graf reziduala, izgrađen korištenjem ljestvice vjerojatnosti.

sl.3.7. Tablica ostataka

Kada se koristi takva ljestvica, podaci koji se pokoravaju normalnom zakonu trebali bi ležati na ravnoj liniji. Kao što je vidljivo sa slike, točke na početku i na kraju perioda promatranja donekle odstupaju od ravne linije, što ukazuje na nedovoljno visoku kvalitetu odabranog modela u obliku jednadžbe linearne regresije.

U tablici. Tablica 3.2 prikazuje rezultate predviđanja (drugi stupac) zajedno s 95% intervalima pouzdanosti (donji treći odnosno gornji četvrti stupac).

Tablica 3.2

Rezultati prognoze

3.9. Multivarijatni regresijski model

U multivarijatnoj regresiji, podaci za svaki slučaj uključuju vrijednosti zavisne varijable i svake nezavisne varijable. Zavisna varijabla g je slučajna varijabla povezana s nezavisnim varijablama sljedećim odnosom:

gdje se određuju koeficijenti regresije; ε komponenta pogreške koja odgovara odstupanju vrijednosti zavisne varijable od pravog omjera (pretpostavlja se da su pogreške neovisne i imaju normalnu distribuciju s nultom sredinom i nepoznatom varijancom σ ).

Za određeni skup podataka, procjene regresijskih koeficijenata mogu se pronaći pomoću metode najmanjih kvadrata. Ako su OLS procjene označene s, tada će odgovarajuća regresijska funkcija izgledati ovako:

Reziduali su procjene komponente pogreške i slični su rezidualama u slučaju jednostavne linearne regresije.

Statistička analiza multivarijantnog regresijskog modela provodi se slično analizi jednostavne linearne regresije. Standardni paketi statističkih programa omogućuju dobivanje procjena parametara modela metodom najmanjih kvadrata, procjena njihovih standardnih pogrešaka. Također, možete dobiti vrijednost t-statistika za provjeru značajnosti pojedinih članova regresijskog modela i vrijednosti F-statistika za testiranje značajnosti regresijske ovisnosti.

Oblik dijeljenja zbroja kvadrata u slučaju multivarijatne regresije sličan je izrazu (3.13), ali će omjer za broj otkucaja srca biti sljedeći

Ponovno naglašavamo da n je obujam opažanja, i k broj varijabli u modelu. Ukupna varijanca zavisne varijable sastoji se od dvije komponente: varijance objašnjene nezavisnim varijablama kroz regresijsku funkciju i neobjašnjene varijance.

Tablična ANOVA za slučaj multivarijatne regresije imat će oblik prikazan u tablici. 3.3.

Tablica 3.3

ANOVA tablica

Izvor	Zbroj kvadrata		Srednji kvadrat
Regresija			SS2/ (n-k-1)

Kao primjer multivarijatne regresije koristit ćemo podatke iz paketa Statistica (podatkovna datoteka Siromaštvo.Sta) Izneseni podaci temelje se na usporedbi rezultata popisa stanovništva iz 1960. i 1970. godine. za slučajni uzorak od 30 zemalja. Nazivi zemalja uneseni su kao nazivi nizova, a nazivi svih varijabli u ovoj datoteci navedeni su u nastavku:

POP_CHNG promjena stanovništva za 1960-1970;

N_EMPLD broj zaposlenih u poljoprivredi;

PT_LOŠI postotak obitelji koje žive ispod granice siromaštva;

TAX_RATE porezna stopa;

PT_PHONE postotak stanova s ​​telefonom;

PT_RURAL postotak ruralnog stanovništva;

STAROST srednji vijek.

Kao zavisnu varijablu biramo značajku Pt_Loše, a kao neovisna - sve ostalo. Izračunati regresijski koeficijenti između odabranih varijabli dani su u tablici. 3.4

Tablica 3.4

Regresijski koeficijenti

Ova tablica prikazuje koeficijente regresije ( NA) i standardizirani koeficijenti regresije ( beta). Uz pomoć koeficijenata NA postavlja se oblik regresijske jednadžbe koja u ovom slučaju ima oblik:

Uključivanje u desnu stranu samo ovih varijabli je zbog činjenice da samo ove značajke imaju vrijednost vjerojatnosti R manji od 0,05 (vidi četvrti stupac tablice 3.4).

Bibliografija

1. Basovski L. E. Predviđanje i planiranje u tržišnim uvjetima. - M .: Infra - M, 2003.
2. Box J., Jenkins G. Analiza vremenskih serija. izdanje 1. Prognoza i upravljanje. – M.: Mir, 1974.
3. Borovikov V.P., Ivčenko G.I. Prognoziranje u sustavu Statistica u Windows okruženju. - M.: Financije i statistika, 1999.
4. vojvoda V. Obrada podataka na računalu u primjerima. - St. Petersburg: Peter, 1997.
5. Ivchenko B. P., Martyshchenko L. A., Ivantsov I. B. Informacijska mikroekonomija. Dio 1. Metode analize i predviđanja. - St. Petersburg: Nordmed-Izdat, 1997.
6. Kričevski M. L. Uvod u umjetne neuronske mreže: Proc. džeparac. - Sankt Peterburg: Sankt Peterburg. država pomorska tehnika. un-t, 1999. (monografija).
7. Soshnikova L. A., Tamashevich V. N., Uebe G. et al. Multivarijantna statistička analiza u ekonomiji. – M.: Jedinstvo-Dana, 1999.

Identifikacija i analiza trenda vremenske serije često se vrši uz pomoć njenog poravnanja ili izglađivanja. Eksponencijalno izglađivanje jedna je od najjednostavnijih i najčešćih tehnika poravnanja serije. Eksponencijalno izglađivanje može se prikazati kao filtar, čiji ulaz sekvencijalno primaju članovi izvorne serije, a na izlazu se formiraju trenutne vrijednosti eksponencijalnog prosjeka.

Neka je vremenski niz.

Eksponencijalno izglađivanje niza provodi se prema rekurentnoj formuli: , .

Što je α manji, to su fluktuacije izvorne serije i šuma više filtrirane, potisnute.

Ako se ova rekurzivna relacija dosljedno koristi, tada se eksponencijalni prosjek može izraziti u smislu vrijednosti vremenske serije X.

Ako do trenutka početka izglađivanja postoje raniji podaci, tada se kao početna vrijednost može koristiti aritmetički prosjek svih ili nekih od dostupnih podataka.

Nakon pojave radova R. Browna, eksponencijalno izglađivanje se često koristi za rješavanje problema kratkoročnog predviđanja vremenskih serija.

Formulacija problema

Neka je dana vremenska serija: .

Potrebno je riješiti problem predviđanja vremenskih serija, tj. pronaći

Horizont predviđanja, potrebno je da

Kako bismo uzeli u obzir zastarjelost podataka, uvodimo nerastući niz težina, zatim

Smeđi model

Pretpostavimo da je D mali (kratkoročna prognoza), a zatim za rješavanje takvog problema upotrijebite smeđi model.

Ako uzmemo u obzir prognozu korak naprijed, onda - pogreška ove prognoze, a nova prognoza se dobiva kao rezultat prilagodbe prethodne prognoze, uzimajući u obzir njezinu pogrešku - bit prilagodbe.

U kratkoročnom predviđanju poželjno je što je brže moguće reflektirati nove promjene i ujedno što je moguće bolje "očistiti" niz od slučajnih fluktuacija. Da. povećati težinu novijih opažanja: .

S druge strane, da bi se izgladila slučajna odstupanja, α se mora smanjiti: .

Da. ova dva zahtjeva su u sukobu. Traženje kompromisne vrijednosti α je problem optimizacije modela. Obično se α uzima iz intervala (0,1/3).

Primjeri

Rad eksponencijalnog izglađivanja na α=0,2 na podacima mjesečnih izvješća o prodaji strane marke automobila u Rusiji za razdoblje od siječnja 2007. do listopada 2008. Bilježimo oštre padove u siječnju i veljači, kada se prodaja tradicionalno smanjuje i povećava početkom ljeto.

Problemi

Model radi samo s malim horizontom prognoze. Trendovi i sezonske promjene nisu uzeti u obzir. Kako bi se uzeo u obzir njihov utjecaj, predlaže se korištenje sljedećih modela: Holt (u obzir se uzima linearni trend), Holt-Winters (multiplikativni eksponencijalni trend i sezonalnost), Theil-Wage (aditivni linearni trend i sezonalnost).