U više složene strukture možda će biti potrebno opetovano primjenjivati ​​teorem o dekompoziciji. Dakle, slika 2.2 prikazuje ekspanziju u odnosu na element 7 (gornji red), a zatim u odnosu na element 8 (donji red). Rezultirajuće četiri podmreže imaju serijski paralelne strukture i više ne zahtijevaju proširenja. Lako je vidjeti da se u svakom koraku broj elemenata u rezultirajućim podmrežama smanjuje za jedan, a broj podmreža koje zahtijevaju daljnje razmatranje parovi. Stoga je opisani proces u svakom slučaju konačan, a broj rezultirajućih serijsko-paralelnih struktura bit će 2 m , pri čemu će t - broj elemenata nad kojima je trebalo provesti razlaganje. Složenost ove metode može se procijeniti na 2 m , što je manje od složenosti iscrpnog nabrajanja, ali je ipak neprihvatljivo za proračun pouzdanosti stvarnih komutacijskih mreža.

Slika.2.2 Sekvencijalna dekompozicija mreže

Metoda sekcija ili skupova putova

Razmotrimo drugu metodu za izračun strukturne pouzdanosti mreža. Pretpostavimo, kao i prije, da je potrebno odrediti vjerojatnost mrežne povezanosti između dati par čvorovi A,B. Kriterij ispravnog rada mreže u ovaj slučaj je prisutnost barem jednog načina prijenosa informacija između razmatranih čvorova. Pretpostavimo da imamo popis mogući načini u obliku popisa elemenata (čvorova i komunikacijskih smjerova) uključenih u svaki put. NA opći slučaj putovi će biti ovisni, budući da se svaki element može uključiti u nekoliko putova. Pouzdanost R s bilo koji s-ro put može se izračunati korištenjem formule serijske veze R s =p 1s p 2s …p ts , gdje je p - pouzdanost i-ti s-ro element puta.

Željena pouzdanost H AB ovisi o pouzdanosti svake staze i mogućnostima njihovih križanja zajedničkim elementima. Označite pouzdanost koju pruža prvi r staze, kroz H r . Dodavanje sljedeće (r+1) -te staze s pouzdanošću R r+1, očito će dovesti do povećanja pouzdanosti konstrukcije, koja će sada biti određena udruživanjem dvaju događaja: barem jedan od prvih r je upotrebljiv staze ili uslužni (r+1) - ti put. Vjerojatnost da se ovaj kombinirani događaj dogodi, uzimajući u obzir moguća ovisnost. kvarovi (r+1) - th i drugi putovi

H r+i =H r +R r+i -R r+1 H r/(r+1), (2.10)

gdje je H r/ (r+1) vjerojatnost upotrebljivosti barem jednog od prvih r puteva, pod uvjetom da je (r+1) -ti put uslužan.

Iz definicije uvjetna vjerojatnost H r/ (r+1) slijedi da se prilikom izračunavanja mora uzeti u obzir vjerojatnost ispravnog rada svih elemenata uključenih u (r+1) -ti put jednako jednom. Radi pogodnosti daljnjih izračuna, zadnji član izraza (2.10) predstavljamo u sljedećem obliku:

R r+1 H r/ (r+1) = R r+1 ¤ H r (2.11)

gdje simbol (¤) znači da se pri množenju pokazatelji pouzdanosti svih elemenata uključenih u prvi r put i zajednički s (r+l) -tim putem zamjenjuju jednim. Uzimajući u obzir (2.11), možemo prepisati (2.10):

?H r+1 = R r+1 ¤ P r (2.12)

gdje je?H r+1 =H r+1 -H r - povećanje pouzdanosti konstrukcije s uvođenjem (r+1) -te staze; Q r =1 - H r je vjerojatnost da će prvih r putova istovremeno propasti.

S obzirom da je povećanje pouzdanosti?H r+1 numerički jednako smanjenju nepouzdanosti?Q r+1, dobivamo sljedeću jednadžbu u konačnim razlikama:

?P r+1 =R r+1 ¤ P r (2.13)

Lako je provjeriti da je rješenje jednadžbe (2.13) funkcija

Q r = (1-R 1) ¤ (1-R 2) ¤…¤ (1-R r) ( 2.14)

U slučaju neovisnih putova, operacija simboličkog množenja poklapa se s običnim množenjem, a izraz (2.14) slično kao (2.4) daje faktor vremena mirovanja sustava koji se sastoji od elemenata povezanih paralelno. U općem slučaju, potreba da se uzmu u obzir zajednički elementi puteva prisiljava nas da izvršimo množenje prema (2.14) u algebarski oblik. U ovom slučaju, broj članova u rezultirajućoj formuli s množenjem svakim sljedećim binomom se udvostručuje i konačni rezultat imat će 2 r člana, što je ekvivalentno iscrpnom nabrajanju ukupnosti svih r putova. Na primjer, pri r=10, broj članova u konačnoj formuli će premašiti 1000, što je već izvan dosega ručnog brojanja. S daljnjim povećanjem broja putova, mogućnosti modernih računala brzo se iscrpljuju.

Međutim, gore uvedena svojstva simboličke operacije množenja omogućuju drastično smanjenje složenosti izračunavanja. Razmotrimo ta svojstva detaljnije. Prema operaciji simboličkog množenja, sljedeće pravilo vrijedi za pokazatelj pouzdanosti p i bilo kojeg elementa:

str i ¤ str i =str i . (2.15)

Podsjetimo da drugi faktor (2.15) ima značenje vjerojatnosti ispravnog rada i-tog elementa pod uvjetom njegove upotrebljivosti, koja je, očito, jednaka jedan.

Kako bismo skratili daljnje izračune, uvodimo sljedeću oznaku za nepouzdanost i-tog elementa:

=1-str i (2.16)

Uzimajući u obzir (2.15) i (2.16), možemo napisati sljedeće jednostavna pravila transformacije izraza koji sadrže p i p :

p i ¤p i =p i (2.17)

p i p j ¤ =p i p j -p i p s

Za primjer korištenja ovih pravila u izračunu pouzdanosti, razmotrite najjednostavniju komunikacijsku mrežu prikazanu na Sl. Sl.2.3 Slova na rubovima grafikona označavaju pokazatelje pouzdanosti odgovarajućih komunikacijskih linija.

Radi jednostavnosti smatrat ćemo čvorove idealno pouzdanim. Pretpostavimo da je za komunikaciju između čvorova A i B moguće koristiti sve staze koje se sastoje od tri ili manje povezanih linija, t.j. razmotrimo podskup puteva (m) = (ab, cdf, cgb, ahf). Odredimo prirast pouzdanosti koji osigurava svaki sljedeći put, prema formuli (2.12) uzimajući u obzir (2.14):

Zr+1=Rr+1¤ (¤1¤…¤) (2.18),

Slika.2.3 - Primjer računske mreže na ograničenom podskupu putova

Slika 2.4 - Primjer mreže za izračun pouzdanosti punog skupa putova, gdje je Ri=1-R1 sličan (2.16).

Primjenjujući sukcesivno formulu (2.18) i pravila simboličkog množenja (2.17). na mrežu koja se razmatra, dobivamo

Z 2 =cdf¤ () =cdf*;

Z 3 =cgb¤ (¤) =cgb**;

Z 4 =ahf¤ (¤¤) =ahf**.

Prilikom izračuna posljednjeg prirasta koristili smo pravilo 4, koje se može nazvati pravilom za upijanje dugih lanaca kratkim; u ovom slučaju, njegova primjena daje b¤cgb=b . Ako su dopušteni drugi putevi, kao što je cdhb put , onda nije teško izračunati prirast pouzdanosti koji on osigurava?H 5 =cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. Rezultirajuća pouzdanost mreže sada se može izračunati kao zbroj prirasta svake od razmatranih staza:

H R =?H i (2.19)

Dakle, za razmatrani primjer, pod pretpostavkom da je pouzdanost. svi elementi mreže su isti, tj. a=b=c=d=f=h=g=p, dobivamo H 5 =p 2 +p 3 (1-p 2) + +2p 3 (1-p) (1-p 2) +p 4 (1-p) 3 . U strojnoj implementaciji proračun se također može temeljiti na formuli (2.13), uzimajući u obzir činjenicu da

P r =?Q i (2.20)

Prema (2.13) imamo sljedeće odnos recidiva

P r+i =Q r -R r+1 ¤ P r . (2.21)

Na početno stanje Q 0 \u003d l u svakom sljedećem koraku, od prethodno dobivenog izraza za Q r, treba oduzeti proizvod pouzdanosti sljedeće (r + 1) -te putanje istim izrazom, u kojem su samo pokazatelji pouzdanosti svi elementi uključeni u (r + 1) - th put moraju biti jednaki jedan.

Kao primjer, izračunajmo pouzdanost mreže prikazane na slici 2.4 s obzirom na čvorove A i B , između kojih postoji 11 mogućih načina prijenosa informacija. Svi izračuni su sažeti u tablici 2.1: popis elemenata uključenih u svaki put, rezultat množenja pouzdanosti ovog puta s vrijednošću Q r dobivenog uzimanjem u obzir svih prethodnih putova i rezultat pojednostavljenja sadržaja trećeg stupca prema pravilima (2.17). Konačna formula za q AB nalazi se u zadnjem stupcu, čita se od vrha do dna. Tablica u potpunosti prikazuje sve izračune potrebne za izračun pouzdanosti konstrukcije razmatrane mreže.

Tablica 2.1 Rezultati proračuna pouzdanosti mreže prikazani na slici 2.4

Da biste smanjili količinu izračuna, zagrade se ne smiju nepotrebno otvarati; ako međurezultat omogućuje pojednostavljenja (donošenje sličnih pojmova, stavljanje u zagrade zajedničkog faktora, itd.), treba ih izvesti.

Objasnimo nekoliko koraka izračuna. Budući da je Q 0 = 1 (ako nema puteva, mreža je prekinuta), tada je za Q 1 iz (2.21) Q 1 =1 - ab=ab. Poduzimamo sljedeći korak (6.21) za Q 2 =ab-fghab==ab*fgh i tako dalje.

Razmotrimo detaljnije korak u kojem se uzima u obzir doprinos puta 9. Umnožak pokazatelja pouzdanosti njegovih sastavnih elemenata, zabilježenih u drugom stupcu tablice 2.1, prenosi se u treći. Sljedeći u uglate zagrade upisuje se vjerojatnost prekida svih prethodnih osam putova, akumulirana u četvrtom stupcu (počevši od prvog retka), uzimajući u obzir pravilo (2.15), prema kojem se pokazatelji pouzdanosti svih elemenata uključenih u put 9 zamjenjuju jedinicama . Pokazalo se da je doprinos četvrtog, šestog i sedmog reda jednak nuli prema pravilu 1. Nadalje, izraz u uglatim zagradama pojednostavljuje se prema pravilima (2.17) na sljedeći način: b =b (fhc-hfc-fhc ) =bc (h-fh) =bchf . Slično, proračun se vrši za sve ostale putove.

Korištenje razmatrane metode omogućuje dobivanje opća formula pouzdanost konstrukcije, koja u razmatranom slučaju sadrži samo 15 članova umjesto maksimalnog broja 2 11 =2048, dobivenu izravnim množenjem vjerojatnosti kvara ovih putova. U strojnoj implementaciji metode prikladno je sve elemente mreže predstaviti u pozicijskom kodu kao niz bitova i koristiti ugrađene Booleove funkcije za implementaciju logičkih elemenata transformacija (2.17).

Do sada smo razmatrali pokazatelje strukturalne pouzdanosti mreže u odnosu na namjenski par čvorova. Ukupnost takvih pokazatelja za sve ili neke podskupove parova može sasvim u potpunosti okarakterizirati strukturnu pouzdanost mreže u cjelini. Ponekad se koristi drugi, integralni, kriterij pouzdanosti konstrukcije. Prema ovom kriteriju, mreža se smatra funkcionalnom ako postoji veza između svih njezinih čvorova i postavljen je zahtjev za vjerojatnost takvog događaja.

Za izračunavanje pouzdanosti konstrukcije prema ovom kriteriju dovoljno je uvesti generalizaciju koncepta puta u obliku stabla koje povezuje sve zadane mrežne čvorove. Tada će se mreža spojiti ako postoji barem jedno spojno stablo, a izračun se svodi na množenje vjerojatnosti kvara svih razmatranih stabala, uzimajući u obzir prisutnost zajedničkih elemenata. Vjerojatnost. Q s kvar s-tog stabla definira se slično kao i vjerojatnost kvara puta

gdje je p - i-ro indikator pouzdanosti elementa uključenog u s-e stablo; n s broj elemenata u s-tom stablu.

Razmotrimo, na primjer, najjednostavniju mrežu u obliku trokuta, stranice. koji su ponderirani pokazateljima pouzdanosti a, b, c odgovarajuće grane. Za povezanost takve mreže dovoljno je postojanje barem jednog od stabala ab, bc, ca. . Koristeći rekurentnu relaciju (2.12) utvrđujemo vjerojatnost da je ova mreža povezana H . cb=ab+bca+cab. Ako je a=b=c=p , dobivamo sljedeća vrijednost vjerojatnost veze, koju je lako provjeriti nabrajanjem: H . cb \u003d 3r 2 -2r 3.

Za izračunavanje vjerojatnosti povezivanja dovoljno razgranatih mreža, umjesto popisa stabala povezivanja, u pravilu je prikladnije koristiti popis odjeljaka (y) koji dovode do gubitka mrežne povezanosti prema kriteriju koji se razmatra. Lako je pokazati da sva gore uvedena pravila simboličkog množenja vrijede za sekciju, ali umjesto pokazatelja pouzdanosti elemenata mreže, kao početne podatke treba koristiti pokazatelje nepouzdanosti q=1-p . Doista, ako se sve staze ili stabla mogu smatrati uključenima "paralelno", uzimajući u obzir njihovu međuovisnost, tada su svi dijelovi uključeni u tom smislu "uzastopno". Označimo vjerojatnost da ne postoji niti jedan uslužni element u nekom odjeljku s s r s . Tada se može pisati

R s =q 1s q 2s …q ms , (2.22)

gdje je q - indeks nepouzdanosti i-ro elementa uključenog u s-e odjeljak.

Vjerojatnost H cb mrežne povezanosti tada se može predstaviti slično kao (2.14) u simboličkom obliku

H cb = (1-str 1 ) ¤ ( 1 2 ) ¤…¤ ( 1 r) (2.23)

gdje je r - broj razmatranih sekcija. Drugim riječima, da bi mreža bila spojena, potrebno je da barem jedan element u svakoj dionici istovremeno radi, uzimajući u obzir međusobnu ovisnost dionica o zajedničkim elementima. Formula (2.23) je u određenom smislu dualna formuli (2.14) i dobiva se iz potonje zamjenom staza s rezovima i vjerojatnosti dobrog rada s vjerojatnošću da budu u stanju kvara. Slično dualna s obzirom na formulu (2.21) je rekurzivna relacija

H r+1 =H r - R r+1 ¤ H r (2.24)

Na primjer, izračunajmo vjerojatnost povezivanja trokutaste mreže razmatrane gore sa skupom sekcija ab, bc, ca. Prema (2.23) pod početnim uvjetom H 0 =1 imamo H cd =ab-bca-cab. Uz iste pokazatelje nepouzdanosti elemenata mreže a=b=c=q, dobivamo H cb =1-q 2 -2q 2 (1 - q). Ovaj rezultat je isti kao onaj dobiven ranije korištenjem metode nabrajanja stabla.

Metoda sekcija može se, naravno, koristiti i za izračunavanje vjerojatnosti mrežne povezanosti s obzirom na odabrani par čvorova, posebno u slučajevima kada je broj sekcija u mreži koja se razmatra značajan. manje od broja nule. Međutim, najveći učinak u smislu smanjenja složenosti proračuna daje istodobna uporaba obje metode, što će se dalje razmatrati.

Pronalaženje neodređenog integrala (skupa antiderivata ili "anti-izvoda") znači vraćanje funkcije iz poznate derivacije ove funkcije. Obnovljeni skup antiderivata F(x) + S za funkciju f(x) uzima u obzir integracijsku konstantu C. Po brzini putovanja materijalna točka(derivacija) zakon gibanja ove točke (primitivni) može se obnoviti; prema ubrzanju gibanja točke – njezinoj brzini i zakonu gibanja. Kao što vidite, integracija je široko polje za djelovanje Sherlocka Holmesa iz fizike. Da, iu gospodarstvu su mnogi koncepti predstavljeni kroz funkcije i njihove derivate, pa je stoga, na primjer, moguće obnoviti volumen proizvodnje proizvedene u odgovarajuće vrijeme produktivnošću rada u određenom trenutku (derivat).

Za pronalaženje neodređenog integrala potreban je prilično mali broj osnovnih integracijskih formula. Ali proces pronalaženja je mnogo teži od puke primjene ovih formula. Sva složenost ne odnosi se na integraciju, već na dovođenje integrabilnog izraza u takav oblik koji omogućuje pronalaženje neodređenog integrala pomoću gore navedenih osnovnih formula. To znači da za početak prakse integracije trebate aktivirati rezultate dobivene u Srednja škola vještine transformacije izražavanja.

Naučit ćemo pronaći integrale koristeći se svojstva i tablicu neodređenih integrala iz lekcije o osnovnim pojmovima ove teme (otvara se u novom prozoru).

Postoji nekoliko metoda za pronalaženje integrala, od kojih varijabilna metoda zamjene i metoda integracije po dijelovima- obavezni džentlmenski set za sve koji su uspješno položili višu matematiku. Međutim, korisnije je i ugodnije početi učiti integraciju metodom ekspanzije na temelju sljedeća dva teorema o svojstvima neodređenog integrala, koje ćemo ovdje ponoviti radi praktičnosti.

Teorem 3. Konstantni faktor u integrandu može se izvaditi iz predznaka neodređenog integrala, t.j.

Teorem 4. Neodređeni integral algebarskog zbroja konačan broj funkcije je algebarski zbroj neodređeni integrali tih funkcija, t.j.

(2)

Osim toga, sljedeće pravilo može biti korisno u integraciji: ako izraz integranda sadrži konstantni faktor, tada se izraz antiderivata množi recipročnim iznosom konstantnog faktora, tj.

(3)

Budući da je ova lekcija uvod u rješavanje integracijskih problema, važno je napomenuti dvije stvari koje su ili već početno stanje, ili malo kasnije može vas iznenaditi. Iznenađenje je zbog činjenice da je integracija inverzna operacija diferencijacije i da se neodređeni integral s pravom može nazvati "anti-derivativnim".

Prva stvar koja se ne treba čuditi prilikom integracije. U tablici integrala među formulama tablice izvedenica postoje formule koje nemaju analoga . To su sljedeće formule:

Međutim, može se provjeriti da se derivacije izraza na desnoj strani ovih formula podudaraju s odgovarajućim integrandima.

Druga stvar koju ne treba čuditi prilikom integracije. Iako je derivacija bilo koje elementarne funkcije također elementarna funkcija, neodređeni integrali nekih elementarnih funkcija više nisu elementarne funkcije . Primjeri takvih integrala su:

Sljedeće vještine bit će korisne za razvoj tehnike integracije: smanjivanje razlomaka, dijeljenje polinoma u brojniku razlomka s monomom u nazivniku (da se dobije zbroj neodređenih integrala), pretvaranje korijena u stepen, množenje monoma s polinom, podizanje na stepen. Ove vještine su potrebne za transformaciju integranda, što bi trebalo rezultirati zbrojem integrala prisutnih u tablici integrala.

Zajedničko pronalaženje neodređenih integrala

Primjer 1 Pronađite neodređeni integral

.

Odluka. U nazivniku integranda vidimo polinom u kojem je x na kvadrat. To je gotovo siguran znak da se tablični integral 21 (s tangentom luka rezultata) može primijeniti. Iz nazivnika vadimo faktor-dva (postoji takvo svojstvo integrala - iz predznaka integrala se može izvaditi konstantni faktor, gore je spomenuto kao teorem 3). Rezultat svega ovoga:

Sada je nazivnik zbroj kvadrata, što znači da možemo primijeniti spomenuti tablični integral. Konačno dobijamo odgovor:

.

Primjer 2 Pronađite neodređeni integral

Odluka. Ponovno primjenjujemo teorem 3 - svojstvo integrala, na temelju kojeg se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka integrala:

Na integrand primjenjujemo formulu 7 iz tablice integrala (promjenjive u stupnju):

.

Smanjujemo rezultirajuće razlomke i imamo konačni odgovor:

Primjer 3 Pronađite neodređeni integral

Odluka. Primjenjujući prvo teorem 4, a zatim teorem 3 na svojstva, nalazimo ovaj integral kao zbroj triju integrala:

Sva tri dobivena integrala su tabela. Koristimo formulu (7) iz tablice integrala za n = 1/2, n= 2 i n= 1/5, a zatim

kombinira sve tri proizvoljne konstante koje su uvedene kada pronalazeći tri integrali. Stoga u sličnim situacijama treba uvesti samo jednu proizvoljnu konstantu (konstantu) integracije.

Primjer 4 Pronađite neodređeni integral

Odluka. Kada se u nazivniku integranda nalazi monom, brojnik možemo podijeliti nazivnikom član po član. Izvorni integral se pretvorio u zbroj dvaju integrala:

.

Da bismo primijenili tablični integral, pretvaramo korijene u stepene i evo konačnog odgovora:

Nastavljamo zajedno nalaziti neodređene integrale

Primjer 7 Pronađite neodređeni integral

Odluka. Ako transformiramo integrand kvadriranjem binoma i dijeljenjem brojnika nazivnikom član po član, tada izvorni integral postaje zbroj triju integrala.

Ova mala lekcija omogućit će ne samo svladavanje tipičan zadatak, što je u praksi prilično uobičajeno, ali i za objedinjavanje materijala članka Proširenje funkcija u nizove stepena. Mi ćemo trebati tablica proširenja funkcija u snaga reda , koji se može dobiti na stranici Matematičke formule i tablice. Osim toga, čitatelj mora razumjeti geometrijsko značenje određeni integral i posjeduju elementarne integracijske vještine.

Također treba napomenuti da je točnost do tri decimale najpopularnija. U upotrebi je i druga točnost izračuna, obično 0,01 ili 0,0001.

Sada druga faza rješenja:
Prvo mijenjamo integrand u rezultirajući red potenciranja:

Zašto se to uopće može učiniti? Ova činjenica objasnio u razredu o proširenje funkcija u nizove stepena je beskonačan polinomski graf točno poklapa s grafom funkcije ! Štoviše, u ovom slučaju, izjava je istinita za bilo koju vrijednost "x", a ne samo za interval integracije.

U sljedećem koraku pojednostavljujemo svaki pojam što je više moguće:

Bolje je to učiniti odmah kako se u sljedećem koraku ne biste zbunili s nepotrebnim izračunima.

Tehnika izračuna je standardna: prvo u svaki pojam zamjenjujemo 0,3, a zatim nulu. Za izračune koristimo kalkulator:

Koliko članova serije treba uzeti za konačne izračune? Ako konvergentni niz znak naizmjenično, onda apsolutna greška modulo ne prelazi zadnji odbačeni član niza. U našem slučaju već je treći član niza manji od tražene točnosti od 0,001, pa ako ga odbacimo, sigurno ćemo pogriješiti ne veću od 0,000972 (shvatite zašto!). Dakle, za konačni izračun dovoljna su prva dva člana: .

Odgovor: , točno na 0,001

Od čega je došao ovaj broj geometrijska točka vizija? je približna površina zasjenjene figure (vidi gornju sliku).

Primjer 2

Približno izračunajte određeni integral, nakon što je prethodno proširio integrand u potencijski niz, s točnošću od 0,001

Ovo je primjer za neovisna odluka. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Nekako sam, nezasluženo, zaobišao arktangens, nikad ga ne stavljajući u red. Ispravimo grešku.

Primjer 3

Izračunajte određeni integral s točnošću od 0,01 koristeći serijsko proširenje integranda.

Odluka: Postoji jaka sumnja da je uzet ovaj integral, međutim rješenje nije najjednostavnije.

Proširimo integrand u Maclaurinov niz. Koristimo razlaganje:

U ovom slučaju


Ovdje je bila sreća da su stupnjevi na kraju ipak ostali netaknuti, frakcijski potenci bilo bi teže integrirati.

Tako:

Također se događa. Članovi s kolicima - studentu je lakše.

Odgovor: s točnošću od 0,01.

Opet, imajte na umu da je preciznost od 0,01 ovdje zajamčena samo zbog konvergentnog niza znak naizmjenično. Za red sa pozitivnih članova na primjer, serija takva procjena se ne može napraviti, budući da zbroj odbačenog "repa" lako može prijeći 0,00089. Što učiniti u takvim slučajevima? Reći ću vam na kraju lekcije. U međuvremenu ću otkriti tajnu da se u svim današnjim primjerima redovi izmjenjuju.

I, naravno, treba se kontrolirati raspon konvergencije niza. U razmatranom primjeru, usput rečeno, "sječen" je: (zbog korijen) , ali naš integracijski segment u potpunosti leži u ovoj regiji.

Što se događa ako pokušate riješiti neki nezakonit slučaj kao ? Funkcija će se također savršeno proširiti u seriju, članovi serije će također biti izvanredno integrirani. Ali kad počnemo zamjenjivati ​​vrijednost Gornja granica prema Newton-Leibnizovoj formuli to ćemo vidjeti brojevi će rasti u nedogled, odnosno svaki sljedeći broj bit će veći od prethodnog. Niz konvergira samo na segmentu . Ovo nije paranoja, u praksi se to događa s vremena na vrijeme. Razlog je tipkarska pogreška u zbirci zadataka ili priručniku za obuku, kada su autori previdjeli da integracijski interval „ispuzi“ izvan područja konvergencije serije.

Neću razmatrati integral s arcsinusom, budući da je naveden u Crvenoj knjizi. Bolje je dodatno razmotriti nešto "proračunsko":

Primjer 4

Izračunajte definitivni integral s točnošću od 0,001 proširenjem integranda u niz i integracijom ovog niza po članu.

Ovo je "uradi sam" primjer. Što se nule tiče, ona ovdje nije smetnja - pati samo integrand popravljiv jaz u točki i stoga nepravilan integral nije ležao ovdje i u blizini, t.j. još uvijek se radi o određeni integral. Tijekom rješenja vidjet ćete da se rezultirajući niz lijepo konvergira na nulu.

U zaključku, pogledajmo još nekoliko primjera koji su nešto kompliciraniji.

Primjer 5

Izračunajte definitivni integral s točnošću od 0,001 proširenjem integranda u niz i integracijom ovog niza po članu.

Odluka: Analizirajući integrand, dolazimo do zaključka da trebamo koristiti binomnu ekspanziju. Ali prvo, funkcija mora biti predstavljena u odgovarajućem obliku:

Nažalost, nijedan poseban slučaj binomna ekspanzija nije prikladna i morat ćemo koristiti glomaznu opću formulu:

U ovom slučaju: ,

Bolje je pojednostaviti razgradnju već u ovoj fazi što je više moguće. Također napominjemo da nam očito ne treba četvrti član niza, budući da se i prije integracije u njemu pojavio razlomak, koji je očito manji od tražene točnosti od 0,001.

Na ovu lekciju naučit ćemo pronaći integrale nekih vrsta razlomaka. Za uspješnu asimilaciju materijala potrebno je dobro razumjeti izračune članaka.

Kao što je već navedeno, u integralni račun ne postoji prikladna formula za integraciju razlomka:

I stoga, postoji tužan trend: što je razlomak "fantastičniji", to je teže iz njega pronaći integral. S tim u vezi, moramo pribjeći raznim trikovima, o kojima ćemo sada raspravljati.

Metoda dekompozicije numeratora

Primjer 1

Pronađite neodređeni integral

Provjeri.

Na lekciji Neodređeni integral. Primjeri rješenja riješili smo se umnoška funkcija u integrandu, pretvarajući ga u zbroj prikladan za integraciju. Ispada da se ponekad i razlomak može pretvoriti u zbroj (razliku)!

Analizirajući integrand, uočavamo da i u brojniku i u nazivniku imamo polinome prvog stupnja: x i ( x+3). Kada brojnik i nazivnik sadrže polinome isto stupnjeva pomaže sljedeća umjetna tehnika: u brojniku moramo samostalno organizirati isti izraz kao u nazivniku:

.

Obrazloženje može biti sljedeće: „U brojniku je potrebno organizirati ( x+ 3) da se integral dovede u tablični, ali ako dodam trojku na “x”, tada, da se izraz ne bi promijenio, moram oduzeti istu trojku.

Sada možemo podijeliti brojnik nazivnikom član po član:

Kao rezultat toga, postigli smo ono što smo željeli. Koristimo prva dva pravila integracije:

Spreman. Provjerite sami ako želite. primijetiti da

u drugom integralu je "jednostavan" složena funkcija. U lekciji se raspravljalo o značajkama njegove integracije Metoda promjene varijable u neodređenom integralu.

Inače, razmatrani integral se također može riješiti promjenom metode varijable, označavajući , ali će rješenje biti puno duže.

Primjer 2

Pronađite neodređeni integral

Provjeri

Ovo je "uradi sam" primjer. Treba napomenuti da ovdje metoda zamjene varijable više neće raditi.

Važna pažnja! Primjeri br. 1, 2 su tipični i uobičajeni.

Konkretno, takvi integrali često nastaju tijekom rješavanja drugih integrala, posebno kada integracija iracionalne funkcije (korijenje).

Gornja metoda također radi u slučaju ako je najveća snaga brojnika veća od najveće snage nazivnika.

Primjer 3

Pronađite neodređeni integral

Provjeri.

Počinjemo birati brojnik. Algoritam odabira brojača je otprilike ovako:

1) U brojniku trebamo organizirati 2 x-1 ali eto x 2. Što uraditi? zaključujem 2 x-1 u zagradama i pomnožite sa x, kao: x(2x-1).

2) Sada pokušavamo otvoriti ove zagrade, što se događa? Uzmi: (2 x 2 -x). Već bolje, ali bez dvojke x 2 u početku nije u brojniku. Što uraditi? Moramo pomnožiti s (1/2), dobivamo:

3) Ponovo otvorimo zagrade, dobivamo:

Ispalo je pravo x 2! Ali problem je što se pojavio dodatni pojam (-1/2) x. Što uraditi? Kako se izraz ne bi promijenio, našoj konstrukciji moramo dodati isto (1/2) x:

. Život je postao lakši. Je li moguće ponovno organizirati u brojniku (2 x-1)?

4) Možete. Pokušavamo: . Proširi zagrade drugog pojma:

. Žao nam je, ali imali smo u prethodnom koraku (+1/2) x, ne (+ x). Što uraditi? Drugi član trebate pomnožiti s (+1/2):

.

5) Opet, radi provjere, otvorite zagrade u drugom pojmu:

. Sada je u redu: primljeno (+1/2) x od konačne konstrukcije stavka 3! Ali opet postoji mali "ali", pojavio se dodatni izraz (-1/4), što znači da moramo dodati (1/4) našem izrazu:

.

Ako je sve učinjeno ispravno, tada bi prilikom otvaranja svih zagrada trebali dobiti izvorni brojnik integranda. Provjeravamo:

Ispalo je.

Tako:

Spreman. U prošlom terminu primijenili smo metodu dovođenja funkcije pod diferencijal.

Ako pronađemo derivaciju odgovora i dovedemo izraz do zajednički nazivnik, tada dobivamo točno originalni integrand

Razmatrana metoda razgradnje x 2 u zbroju nije ništa drugo nego obrnuta radnja da se izraz dovede do zajedničkog nazivnika.

Algoritam za odabir brojnika u slični primjeri Najbolje je to učiniti u obliku nacrta. Uz neke vještine, funkcionirat će i mentalno.

Osim algoritma odabira, možete koristiti i dijeljenje polinoma polinomom po stupcu, ali, bojim se, objašnjenja će zauzeti još više prostora, pa neki drugi put.

Primjer 4

Pronađite neodređeni integral

Provjeri.

Ovo je "uradi sam" primjer.