Modul 6. Objašnjavanje novog gradiva

Modul broja uvodi novi koncept u matematici. Analizirajmo detaljno što je modul broja i kako raditi s njim?

Razmotrite primjer:

Iz kuće smo otišli u trgovinu. Prošlo je 300 m, matematički se ovaj izraz može napisati kao +300, značenje broja 300 iz znaka "+" se neće promijeniti. Udaljenost ili modul broja u matematici je isti i može se napisati na sljedeći način: |300|=300. Predznak modula broja označen je s dvije okomite crte.

A onda unutra obrnuti smjer hodao 200m. Matematički Povratno putovanje možemo napisati kao -200. Ali ne kažemo tako “otišli smo minus dvjesto metara”, iako smo se vratili, jer udaljenost kao veličina ostaje pozitivna. Zbog toga je u matematici uveden koncept modula. Udaljenost ili modul od -200 možete napisati na sljedeći način: |-200|=200.

Svojstva modula.

Definicija:
Modul broja ili apsolutna vrijednost broja je udaljenost od početne točke do odredišta.

Modul cijelog broja koji nije jednak nuli uvijek je pozitivan broj.

Modul je napisan ovako:

1. Modul pozitivan broj jednaka samom broju.
| a|=a

2. Modul negativan broj jednaki suprotni broj.
|- a|=a

3. Modul nule, jednak nuli.
|0|=0

4. Moduli suprotnih brojeva su jednaki.
| a|=|-a|=a

Povezana pitanja:
Što je modul broja?
Odgovor: Modul je udaljenost od početne točke do odredišta.

Ako stavite znak “+” ispred cijelog broja, što se događa?
Odgovor: broj neće promijeniti svoje značenje, na primjer, 4=+4.

Ako stavite znak “-” ispred cijelog broja, što se događa?
Odgovor: broj će se promijeniti u npr. 4 i -4.

Koji brojevi imaju isti modul?
Odgovor: pozitivni brojevi i nula će imati isti modul. Na primjer, 15=|15|.

Koji brojevi imaju modul - suprotan broj?
Odgovor: za negativne brojeve, modul će biti jednak suprotnom broju. Na primjer, |-6|=6.

Primjer #1:
Odredite modul brojeva: a) 0 b) 5 c) -7?

Odluka:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Primjer #2:
Postoje li dvije razni brojevičiji su moduli jednaki?

Odluka:
|10|=10
|-10|=10

Moduli suprotnih brojeva su jednaki.

Primjer #3:
Koja dva suprotna broja imaju modulo 9?

Odluka:
|9|=9
|-9|=9

Odgovor: 9 i -9.

Primjer #4:
Učinite sljedeće: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Odluka:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Primjer #5:
Odredi: a) modul broja 2 b) modul broja 6 c) modul broja 8 d) modul broja 1 e) modul broja 0.
Odluka:

a) modul broja 2 označava se kao |2| ili |+2| Ovo je isto.
|2|=2

b) modul broja 6 označava se kao |6| ili |+6| Ovo je isto.
|6|=6

c) modul broja 8 označava se kao |8| ili |+8| Ovo je isto.
|8|=8

d) modul broja 1 označava se kao |1| ili |+1| Ovo je isto.
|1|=1

e) modul broja 0 označava se kao |0|, |+0| ili |-0| Ovo je isto.
|0|=0

Negativni cijeli brojevi

Termometar prikazan na sl. 3.1 prikazuje temperaturu od 7°C. Ako temperatura padne za 4°, termometar će pokazati 3° topline. Pad temperature odgovara radnji s prirodnim brojevima: 7-4 \u003d 3.

Ako temperatura padne za 7°, termometar će pokazati 0°: 7-7 = 0.

Ako temperatura padne za 9°, tada će termometar pokazivati -2° (2° mraza). Ali rezultat oduzimanja 7-9 nije izražen kao nenegativan cijeli broj, iako ima stvarno značenje.

Ilustriramo oduzimanje na određenom broju nenegativnih cijelih brojeva.

1) Brojimo 4 broja lijevo od broja 7 i dobijemo 3:

2) Izbrojimo 7 brojeva lijevo od broja 7 i dobijemo 0:

Nemoguće je izbrojati 9 brojeva u nizu nenegativnih brojeva od broja 7 lijevo. Kako bi radnja 7-9 bila izvediva, proširujemo raspon nenegativnih brojeva. Da bismo to učinili, pišemo lijevo od nule redoslijedom brojeva 1, 2, 3, dodajući znak minus (-) svakom od njih, što će pokazati da je broj lijevo od nule. Ovi brojevi se čitaju ovako: "minus jedan", "minus dva", - "minus tri" itd.:

Desno od broja 0 su cijeli brojevi, koji se također nazivaju cijeli pozitivni brojevi.

Lijevo od broja 0 su cijeli negativni brojevi.

Broj 0 nije ni pozitivan ni negativan. Odvaja pozitivne i negativne brojeve.

Dobiveni niz brojeva naziva se pored cijelih brojeva. Dakle, prirodni, cijeli negativni brojevi i nula tvore niz cijelih brojeva. Desno i lijevo, ovaj niz se može nastaviti unedogled.

Potpišite pravila. Apsolutna vrijednost broja

Vjeruje se da ako stavite znak plus (+) ispred cijelog broja, to ne mijenja sam broj. Na primjer; 5 = +5, -5 = +(-5).

Određeni broj cijelih brojeva može se napisati ovako:

Cijeli brojevi koji se razlikuju samo predznakom nazivaju se suprotni.

Na primjer, 1 i -1, -5 i 5, 10 i -10 su suprotni brojevi.

Ako stavite znak minus (-) ispred cijelog broja, tada ćete dobiti broj koji je nasuprot njemu: - (+1) \u003d -1, - (-2) \u003d +2.

Jedini broj koji se ne mijenja kada mu prethodi znak minus je 0; 0 = -0 = +0. Nula se smatra suprotnošću same sebi.

Suprotno od a označava se s -a. Imajte na umu da -a može biti pozitivno, negativno ili nula. Na primjer, ako je a \u003d + 2, tada -a \u003d -2, jer - (+2) \u003d -2; ako a \u003d -3, tada -a \u003d +3, jer - (-3) \u003d +3; ako je a - 0, tada je -a = 0, jer je -0 = 0.

Predstavimo novi koncept - apsolutna vrijednost broja.

Modul pozitivnog broja je sam broj..

Na primjer, modul od +3 je +3. Napiši: |+3| = +3.

Modul broja 0 je broj 0. Pisati:

Modul negativnog broja je njegov suprotan broj.. Na primjer, modul od -4 je +4. Pisati:

Dakle, modul cjeline brojevi-pozitivan broj ili nula.

Modul pozitivnog ili negativnog broja pokazuje gdje se od nule (desno ili lijevo) ovaj broj nalazi u nizu cijelih brojeva. Nasuprotni brojevi imaju isti modul.

Svrha lekcije:

Unesite definiciju modula broja, oznaku modula broja. Naučite pronaći modul broja.
Formiranje općih obrazovnih vještina učenika, sposobnost samoorganiziranja, samokontrole, međusobne kontrole, samopoštovanja.
Razvoj i bogaćenje govora učenika.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak.

2. Matematički diktat.

Učenici zapisuju svoje odgovore na dva lista karbonskog papira. Jedan list se predaje učitelju na provjeru, na drugom listu uspoređuju svoje odgovore s odgovorima učitelja koji su unaprijed ispisani na ploči. Za svaki točno riješen zadatak daju si "+". Prebrojite "+" i ocijenite sami sebe. Za pet "+" ocijenite "5", za četiri "+" ocijenite "4" itd.

Podaci za drugu opciju navedeni su u uglatim zagradama.

3. Objašnjenje novog gradiva.

Konstruirajmo koordinatni pravac; što je potrebno da takva linija postoji? (ishodište, pozitivan smjer, jedan segment).

Vježba 1. Označimo na koordinatnoj liniji točke A(4), B(2), C(-6), K(-4). Pronađite udaljenost od ishodišta do svake od točaka.

točka	Koordinirati	odjeljak	udaljenost (u pojedinačnim segmentima)
I	4	OA	4
NA	2	OV	2
S	- 6	OS	6
Do	- 4	u redu	4

Za takvu udaljenost izmišljeno je posebno ime - modul.

modul nazivaju se brojevi a udaljenost(u jediničnim segmentima) od ishodišta do točke A(a).

Oni pišu: \u003d 4; =2,=6, =4. Oni glase: "Modul broja 4 je 4. Modul broja -6 je 6, itd."

Zadatak 2. Pomoću uzorka koordinatne crte pronađite module brojeva 3; 2,5; osam.

, .

Brojevi 3; 2,5; 8 - što? Što je s njihovim modulima? Donesite zaključak. ( Modul pozitivnog broja jednak je samom tom broju, tj. ako je a pozitivan, tada je =a).

Zadatak 3. Pomoću predloška koordinatnog pravca pronađite module brojeva -2;

Brojevi -2; -3; -4,2 - što? Što je s njihovim modulima? Donesite zaključak. (Modul negativnog broja jednak je njegovom suprotnom broju, tj. ako je a negativan, tada je = - a).

Zašto jednako modulu nula? =0. (Modul nule je nula.)

Zadatak 4. Za svaki broj u retku pronađite modul tog broja u stupcu. Nacrtajte strelicu od broja do modula.

Brojevi 4 i -4; 3 i -3; 2 i -2; 1 i -1 - što? A moduli svakog para brojeva? Donesite zaključak. ( Moduli suprotnih brojeva su jednaki. Modul bilo kojeg broja je nenegativan broj).

Definicija modula može se napisati ovako:

4. Učvršćivanje novog gradiva.

"Testiraj se".

Dovršite zadatak i provjerite.

-10 0 -1,28

Izvršiti pisanim putem br.934; 937 (1 bar); 938.

5. Rezultat lekcije.

Što je modul broja?
Može li modul biti negativan?
Koliki je modul nule?
Zamišljen je negativan broj čiji je modul 5. Koji je broj zamišljen?
Zamišljen je pozitivan broj čiji je modul 8. Koji je broj zamišljen?

Uzimajući u obzir rad tijekom sata, komentiraju se i vrednuju odgovori učenika.

Književnost.

Vilenkin N.Ya. itd. Udžbenik. Matematika. 6. razred.
Smjernice za nastavnike i studente na temu "Pozitivni i negativni brojevi", TSPI, 1988.
Shevrin L.N., A.G. Gein i dr. Matematika: Udžbenik-govornik za 5-6 čel.

U ovoj lekciji ćemo govoriti o tome da se broj sastoji od predznaka i količine. Osim toga, uvodimo pojam modula broja, koji će označavati količinu, ne uzimajući u obzir znak broja. Također ćemo razgovarati o svojstvima modula i kako raditi s njim.

Uveli smo pozitivne brojeve, prirodne brojeve, a zatim i razlomke za označavanje količine: stablo, litra mlijeka (slika 1).

Riža. 1. Primjer korištenja pozitivnih brojeva

Zatim smo unijeli negativne brojeve: na primjer, . Sada broj, osim količine, sadrži i znak koji označava što treba učiniti s tom količinom - dodati ili oduzeti. Odnosno, nakon što su uvedeni negativni brojevi, možemo reći da se svaki broj sastoji od količine (stvarno postojeće) i znaka (koji smo mi izmislili da pojednostavimo pisanje aritmetičke operacije).

Ali ponekad je važna samo jedna karakteristika - količina, a predznak nas ne zanima.

Razmotrimo takav primjer. Za taksista je važno koliku je dužinu puta koji savladava s putnikom (slika 2).

Riža. 2. Kilometar

Doista, ako se na kraju putovanja putnik vrati kući, to ne znači da ne duguje vozaču taksija, budući da je od početka putovanja prešao određenu udaljenost (slika 3).

Slika 3. Put kojim je prošao taksi

Neka sada taksi može voziti samo po ravnoj liniji (desno ili lijevo). Već imamo odgovarajući model - koordinatnu liniju (slika 4).

Riža. 4. Analogija s koordinatnom linijom

Recimo da kupci voze jednu milju ulijevo, zatim jednu milju udesno, pa još jednu milju udesno, pa još jednu milju ulijevo. Kao rezultat toga, automobil se odvezao km lijevo od početne točke: (slika 5).

Riža. 5. Koliko je auto prešao (izračunajte pomoću brojevne crte)

Ali ipak je put koji je taksi prešao mnogo duži: km.

Da bismo izračunali put, dodali smo samo količine, bez uzimanja u obzir predznaka.

Naziva se dio broja koji označava količinu apsolutna vrijednost(ili modul broja). To jest, možemo reći ovo: bilo koji broj sastoji se od znaka i apsolutna vrijednost(modul). Ako je znak plus, tada se zbog kratkoće obično ne piše.

Na primjer, broj ima predznak minus i modul, broj ima predznak plus i modul (slika 6).

Riža. 6. Od čega se sastoje suprotni brojevi

Primjer: Automobil je prešao milje na cesti. Koristimo za ovu situaciju matematički model- brojevni pravac. Auto iz točke mogao se kretati udesno ili ulijevo. Možete to reći: pomicanje km udesno, pomicanje km ulijevo. Ali imamo zgodan alat, negativne brojeve. Stoga, ukratko, možemo reći ovo: pomak ili pomak (slika 7).

Riža. 7. Mogući pokreti stroja

Kretanje je bilo različito, ali se automobil udaljio od početne točke (od) za istu udaljenost - km. Ali - ovo je modul (i za broj i za).

Odnosno, o modulu broja se može reći ovako: modul je udaljenost od broja do nule (zapravo, ova je definicija univerzalnija, ali o tome ćete učiti u srednjoj školi).

U fizici se ova dva pojma nazivaju:

kreće se: njemu je važan rezultat - gdje si bio i gdje si završio;
staza: ovdje je bitna udaljenost koju smo priješli i nije bitno gdje smo na kraju završili.

Dakle, ako se automobil pomaknuo od točke na km udesno, a zatim ulijevo km, tada će se vratiti na početnu točku. Pomak je , ali je put jednak km (slika 8).

Riža. 8. Kretanje i put

Kretanje od jedne do druge točke prikazano je segmentom sa strelicom. nazovi ga vektor(Sl. 1).

Riža. 9. Vektor

Ovdje je situacija kao s brojevima: postoji kvantitativni dio (dužina) i postoji smjer (broj ih je imao samo dva ( i ), ali ovdje može biti beskonačno mnogo smjerova).

Sam vektor označen je strelicom na vrhu. Duljina vektora naziva se modul (zapamtite, kao broj: modul je kvantitativni dio) i označava se ravnim zagradama ili jednostavno kao segment (slika 2).

Riža. 10. Zapis vektora i njegove duljine

Ako trebamo stići s jedne točke na drugu, ne možemo uvijek ići ravnom linijom. Na primjer, od točke prelazimo na točku , zaobilazeći travnjak po kojem je zabranjeno hodati. Odnosno dvaput smo se selili i. Konačni pomak (slika 3).

Riža. 11. Kreći se

je zbroj dva kretanja:

. Ovo ne vrijedi za staze. Duljina odsječka manja je od zbroja duljina odsječaka i:

. Prava linija je kraća od obilaznice.

Sve se to može napisati u jednoj nejednakosti: . To znači sljedeće: zbroj dva pomaka je konačni pomak. Njegova je duljina manja od zbroja duljina svakog poteza zasebno: .

Razmislite može li ovdje postojati jednakost ako su vektori pomaka različito smješteni? I suprotnog predznaka, odnosno znak

Razmotrimo takav primjer. Osoba hoda sa psom, kreće se od točke do točke u ravnoj liniji, dok se pas također kreće s jedne na drugu stranu, koliko to povodnik dopušta (slika 4).

Riža. 12. Ilustracija za primjer

(slika 5).

Riža. 13. Kretanje čovjeka

Kretanje psa je sastavljeno od komada i također je na kraju jednako (slika 6).

Riža. 14. Premještanje psa

Ali ako dodamo ne pomake, već staze, tj. ne vektora, nego njihovih modula, ispada da je pas pretrčao udaljenost dva ili tri puta dužu. Pas, čineći isti pokret s vlasnikom, mogao bi trčati i na i više puta, sve je ograničeno njegovom aktivnošću.

Postoji takav zadatak: mjerenje duljine obalne crte. S kretanjem od točke do točke uz obalu sve je jasno. Ovo je vektor (slika 7).

Riža. 15. Kreći se

Ali staza je sastavljena od komada (slika 8). Čini se da je ovdje kao kod psa: trebate dodati module takvih pomaka, vektore.

Riža. 16. Komadići staze

Ali ako pogledate točnije, svaki takav pomak sastoji se od još manjih pomaka. Staza se snažno povećava (slika 9).

Riža. 17. Uzlazni put

Ali to nije sve: ako pogledate još točnije, onda su podijeljeni na male pomake. Obala je sve razvedenija (sl. 10). I nikad kraja.

Riža. 18. Raščupano obala

Odnosno, na ovaj se način ne može točno izmjeriti duljina obalne crte.

Tako se ispostavlja da, bez odstupanja daleko od općeg vektora pomaka, možete dobiti vrlo veliki (poput staze psa) ili čak beskonačnu stazu (poput obale).

Modul broja dogovoreno je označavati okomitim zagradama. Dakle, modul pozitivnog broja jednak je samom broju, modul negativnog broja također je jednak, odnosno suprotnom broju: , .

Ostaje pitanje: koliki je modul nule? Udaljenost od nule do nule je nula. Stoga se modul nule smatra jednakim nuli: .

Dakle, već znamo sve da damo više precizna definicija koliki je modul broja.

Apsolutna vrijednost broja- ovo je broj jednak samom sebi ako je broj pozitivan, suprotan broju ako je negativan, i nije bitno koliko (najviše ili suprotno) ako je broj nula. Neka bude ti: .

Da bi zapis bio kraći, spojimo prvi i treći red. A definicija sada zvuči ovako: modul broja jednak je samom broju, ako je nenegativan (pozitivan ili nula), i suprotnom broju, ako je negativan: .

Ova definicija ne objašnjava suštinu modula. Ali o suštini smo već govorili prije. To je praktičan alat za izvođenje aritmetičkih operacija. Ova će definicija biti posebno korisna kada rješavamo jednadžbe s modulom.

Ako zanemarimo zadatke o putu i kretanju, onda je pronalaženje modula zanimljivo na drugi način. Ranije smo izvodili operacije na dva ili više brojeva. Na primjer, uzeli su dva broja, zbrojili ih, dobili novi broj, zbroj: . Ili usporediti dva broja: .