Monom je njegov standardni oblik i stupanj. Lekcija na temu: "Standardni oblik monoma

Napomenuli smo da svaki monom može biti dovesti u standardni oblik. U ovom ćemo članku razumjeti što se zove smanjenje monoma na standardni oblik, koje radnje omogućuju izvođenje ovog procesa i razmotriti rješenja primjera s detaljnim objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Što znači dovesti monom u standardni oblik?

Pogodno je raditi s monomima kada su napisani u standardnom obliku. Međutim, monomi su vrlo često dani u obliku različitom od standardnog. U tim slučajevima uvijek se može prijeći s izvornog monoma na monom standardnog oblika izvođenjem identičnih transformacija. Proces izvođenja takvih transformacija naziva se dovođenje monoma u standardni oblik.

Generalizirajmo gornje razmišljanje. Dovedite monom u standardni oblik- to znači izvoditi s njim takvo identične transformacije da izgleda standardno.

Kako monom dovesti u standardni oblik?

Vrijeme je da shvatimo kako monome dovesti u standardni oblik.

Kao što je poznato iz definicije, monomi nestandardnog oblika su produkti brojeva, varijabli i njihovih potencija, a možda i onih koji se ponavljaju. I monom standardnog oblika može sadržavati u svom zapisu samo jedan broj i varijable koje se ne ponavljaju ili njihove stupnjeve. Sada ostaje razumjeti kako se proizvodi prve vrste mogu svesti na oblik druge?

Da biste to učinili, morate koristiti sljedeće pravilo za svođenje monoma na standardni oblik koji se sastoji od dva koraka:

Prvo se vrši grupiranje numeričkih faktora, kao i identičnih varijabli i njihovih stupnjeva;
Drugo, izračunava se i primjenjuje umnožak brojeva.

Kao rezultat primjene navedenog pravila svaki će se monom svesti na standardni oblik.

Primjeri, rješenja

Ostaje naučiti kako primijeniti pravilo iz prethodnog odlomka pri rješavanju primjera.

Primjer.

Dovedite monom 3·x·2·x 2 u standardni oblik.

Odluka.

Grupirajmo numeričke faktore i faktore s varijablom x. Nakon grupiranja, izvorni monom će poprimiti oblik (3 2) (x x 2) . Umnožak brojeva u prvim zagradama je 6, a pravilo množenja potencije s iste osnove omogućuje da izraz u drugim zagradama bude predstavljen kao x 1 +2=x 3 . Kao rezultat, dobivamo polinom standardnog oblika 6·x 3 .

Donesimo kratka bilješka rješenja: 3 x 2 x 2 \u003d (3 2) (x x 2) \u003d 6 x 3.

Odgovor:

3 x 2 x 2 =6 x 3 .

Dakle, da bi se monom doveo u standardni oblik, potrebno je znati grupirati faktore, izvoditi množenje brojeva i raditi s potencijama.

Za učvršćivanje gradiva riješimo još jedan primjer.

Primjer.

Izrazite monom u standardnom obliku i navedite njegov koeficijent.

Odluka.

Izvorni monom ima jedan numerički faktor −1 u svom zapisu, pomaknimo ga na početak. Nakon toga grupiramo faktore posebno s varijablom a , posebno - s varijablom b , a varijablu m nemamo s čime grupirati, ostavimo kako jest, imamo . Nakon izvođenja operacija sa stupnjevima u zagradama, monom će poprimiti standardni oblik koji nam je potreban, odakle možete vidjeti koeficijent monoma, jednak −1. Minus jedan se može zamijeniti znakom minus: .

U ovoj lekciji dat ćemo rigoroznu definiciju monoma, razmislite razni primjeri iz udžbenika. Prisjetite se pravila množenja potencija s istom bazom. Dajmo definiciju standardnog oblika monoma, koeficijenta monoma i njegovog doslovnog dijela. Razmotrimo dvije osnovne tipične operacije na monomima, naime redukciju na standardni oblik i izračunavanje određene numeričke vrijednosti monoma za zadane vrijednosti njegove doslovne varijable. Formulirajmo pravilo za svođenje monoma na standardni oblik. Naučimo odlučivati tipični zadaci s bilo kojim monomima.

Tema:monomi. Aritmetičke operacije nad monomima

Lekcija:Pojam monoma. standardni prikaz monom

Razmotrimo neke primjere:

3. ;

Nađimo zajedničke značajke za date izraze. U sva tri slučaja, izraz je umnožak brojeva i varijabli podignutih na potenciju. Na temelju toga dajemo definicija monoma : monom se naziva takav algebarski izraz, koji se sastoji od umnoška potencija i brojeva.

Sada dajemo primjere izraza koji nisu monomi:

Pronađimo razliku između ovih izraza i prethodnih. Sastoji se u tome što u primjerima 4-7 postoje operacije zbrajanja, oduzimanja ili dijeljenja, dok u primjerima 1-3, koji su monomi, te operacije nisu.

Evo još nekoliko primjera:

Izraz broj 8 je monom, jer je umnožak potencije i broja, dok primjer 9 nije monom.

Sada saznajmo djelovanja na monome .

1. Pojednostavljenje. Razmotrite primjer #3 ;i primjer #2 /

U drugom primjeru vidimo samo jedan koeficijent - , svaka varijabla se pojavljuje samo jednom, odnosno varijabla " a” predstavlja se u jednoj instanci, kao “”, slično tome, varijable “” i “” pojavljuju se samo jednom.

U primjeru br. 3, naprotiv, postoje dva različita koeficijenta - i , varijablu "" vidimo dva puta - kao "" i kao "", slično tome, varijabla "" se pojavljuje dva puta. Odnosno, ovaj izraz treba pojednostaviti, pa dolazimo do prva radnja koja se izvodi nad monomima je dovođenje monoma u standardni oblik . Da bismo to učinili, dovodimo izraz iz primjera 3 u standardni oblik, zatim definiramo ovu operaciju i učimo kako bilo koji monom dovesti u standardni oblik.

Dakle, razmotrite primjer:

Prvi korak u operaciji standardizacije uvijek je množenje svih numeričkih faktora:

;

Proizlaziti ovu radnju bit će pozvan monomski koeficijent .

Zatim trebate pomnožiti stupnjeve. Množimo stupnjeve varijable " x”prema pravilu množenja potencija s istom bazom, koje kaže da se pri množenju eksponenti zbrajaju:

Sada umnožimo moći na»:

;

Dakle, evo pojednostavljenog izraza:

;

Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Idemo formulirati pravilo standardizacije :

Pomnožite sve numeričke faktore;

Stavite dobiveni koeficijent na prvo mjesto;

Pomnožite sve stupnjeve, odnosno dobijte slovni dio;

To jest, svaki monom karakteriziraju koeficijent i slovni dio. Gledajući unaprijed, primijetit ćemo da se monomi koji imaju isti dio slova nazivaju sličnima.

Sada morate zaraditi tehnika redukcije monoma na standardni oblik . Razmotrite primjere iz udžbenika:

Zadatak: dovesti monom u standardni oblik, imenovati koeficijent i slovni dio.

Za izvršenje zadatka koristimo pravilo dovođenja monoma na standardni oblik i svojstva stupnjeva.

1. ;

3. ;

Komentari na prvi primjer: Za početak, utvrdimo je li ovaj izraz doista monom, za to provjeravamo sadrži li operacije množenja brojeva i potencija te sadrži li operacije zbrajanja, oduzimanja ili dijeljenja. Možemo reći da je ovaj izraz monom, jer je gornji uvjet zadovoljen. Nadalje, prema pravilu dovođenja monoma u standardni oblik, množimo numeričke faktore:

- pronašli smo koeficijent zadanog monoma;

; ; ; odnosno prima se doslovni dio izraza:;

zapišite odgovor: ;

Komentari na drugi primjer: Slijedeći pravilo, izvršavamo:

1) množenje numeričkih faktora:

2) pomnožite potencije:

Varijable i prikazane su u jednom primjerku, odnosno ne mogu se ni s čim pomnožiti, prepisuju se bez promjena, stupanj se množi:

napiši odgovor:

;

NA ovaj primjer monomski koeficijent jednako jedan, i doslovni dio .

Komentari na treći primjer: a slično prethodnim primjerima, izvodimo sljedeće radnje:

1) množenje numeričkih faktora:

;

2) pomnožite potencije:

;

napiši odgovor: ;

NA ovaj slučaj koeficijent monoma je "", a doslovni dio .

Sada razmislite druga standardna operacija na monomima . Budući da je monom algebarski izraz koji se sastoji od doslovnih varijabli koje mogu poprimiti specifične brojčane vrijednosti, onda imamo aritmetiku brojčani izraz, koje treba izračunati. Odnosno, sljedeća operacija na polinomima je izračunavanje njihove specifične numeričke vrijednosti .

Razmotrite primjer. Monom je dan:

ovaj monom je već sveden na standardni oblik, njegov koeficijent je jednak jedinici, a literalni dio

Ranije smo rekli da se algebarski izraz ne može uvijek izračunati, odnosno da varijable koje ulaze u njega možda neće imati nikakvu vrijednost. U slučaju monoma, varijable uključene u njega mogu biti bilo koje, to je značajka monoma.

Dakle u dati primjer potrebno je izračunati vrijednost monoma na , , , .

Stupanj monoma

Za monom postoji koncept njegovog stupnja. Hajdemo shvatiti što je to.

Definicija.

Stupanj monoma standardni oblik je zbroj eksponenata svih varijabli uključenih u njegov zapis; ako u unosu monoma nema varijabli, a on je različit od nule, tada se njegov stupanj smatra nulom; broj nula se smatra monomom, čiji stupanj nije definiran.

Definicija stupnja monoma omogućuje nam davanje primjera. Stupanj monoma a jednak je jedan, jer je a a 1 . Stupanj monoma 5 je nula, jer nije nula i njegov zapis ne sadrži varijable. A umnožak 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 je monom osmog stupnja, budući da je zbroj eksponenata svih varijabli a, x i y 2+1+3+2=8.

Inače, stupanj monoma koji nije napisan u standardnom obliku jednak je stupnju odgovarajućeg monoma standardnog oblika. Za ilustraciju rečenog izračunavamo stupanj monoma 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Ovaj monom u standardnom obliku ima oblik −6·x 8 ·y 4 , njegov stupanj je 8+4=12 . Dakle, stupanj izvornog monoma je 12 .

Monomski koeficijent

Monom u standardnom obliku, koji ima barem jednu varijablu u svom zapisu, je proizvod s jednim numeričkim faktorom - numeričkim koeficijentom. Taj se koeficijent naziva monomni koeficijent. Formalizirajmo gornje razmišljanje u obliku definicije.

Definicija.

Monomski koeficijent je numerički faktor monoma napisan u standardnom obliku.

Sada možemo dati primjere koeficijenata raznih monoma. Broj 5 je koeficijent monoma 5 a 3 po definiciji, slično monomu (−2,3) x y z ima koeficijent −2,3 .

Posebnu pozornost zaslužuju koeficijenti monoma jednaki 1 i −1. Ovdje se radi o tome da oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu. Smatra se da je koeficijent monoma standardnog oblika, koji u svom zapisu nemaju numerički faktor, jednak jedan. Na primjer, monomi a , x z 3 , a t x itd. imaju koeficijent 1, budući da se a može smatrati kao 1 a, x z 3 kao 1 x z 3, itd.

Slično, koeficijent monoma, čiji unosi u standardnom obrascu nemaju numerički faktor i počinju znakom minus, smatra se minus jedan. Na primjer, monomi −x , −x 3 y z 3 itd. imaju koeficijent −1 , jer −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 itd.

Inače, koncept koeficijenta monoma često se naziva monomi standardnog oblika, koji su brojevi bez faktora slova. Koeficijenti takvih monoma-brojeva smatraju se tim brojevima. Tako se, na primjer, koeficijent monoma 7 smatra jednakim 7.

Bibliografija.

Algebra: udžbenik za 7 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 h Dio 1. Udžbenik za studente obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dod. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Lekcija na temu: "Standardni oblik monoma. Definicija. Primjeri"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 7. razred
Elektronički udžbenik "Razumljiva geometrija" za 7.-9
Multimedijski priručnik za učenje "Geometrija u 10 minuta" za 7.-9

Monom. Definicija

Monom je matematički izraz koji predstavlja proizvod glavni faktor i jedna ili više varijabli.

Monomi uključuju sve brojeve, varijable, njihove stupnjeve prirodni pokazatelj:
42; 3; 0; 62; 2 3 ; b 3; sjekira4; 4x3; 5a2; 12xyz 3 .

Često je teško odrediti odnosi li se dati matematički izraz na monom ili ne. Na primjer, $\frac(4a^3)(5)$. Je li monom ili nije? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo pojednostaviti izraz, tj. predstaviti u obliku: $\frac(4)(5)*a^3$.
Sa sigurnošću možemo reći da je ovaj izraz monom.

Standardni oblik monoma

Prilikom izračunavanja poželjno je monom dovesti u standardni oblik. Ovo je najkraći i najrazumljiviji zapis monoma.

Redoslijed dovođenja monoma u standardni oblik je sljedeći:
1. Pomnožite koeficijente monoma (ili numeričke faktore) i stavite rezultat na prvo mjesto.
2. Odaberite sve stupnjeve s istom osnovom slova i pomnožite ih.
3. Ponovite točku 2 za sve varijable.

Primjeri.
I. Reducirajte zadani monom $3x^2zy^3*5y^2z^4$ na standardni oblik.

Odluka.
1. Pomnožite koeficijente monoma $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Sada predstavljamo poput pojmova$15x^2y^5z^5$.

II. Pretvorite zadani monom $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ u standardni oblik.

Odluka.
1. Pomnožite koeficijente monoma $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Sada predstavimo slične članove $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Monomi su jedna od glavnih vrsta izraza koji se proučavaju školski tečaj algebra. U ovom materijalu ćemo vam reći što su ti izrazi, definirati njihov standardni oblik i pokazati primjere, kao i baviti se povezanim konceptima, kao što su stupanj monoma i njegov koeficijent.

Što je monom

Školski udžbenici obično daju sljedeću definiciju ovog pojma:

Definicija 1

Monomeri uključuju brojevi, varijable, kao i njihovi stupnjevi s prirodnim pokazateljem i različiti tipovi djela napravljena od njih.

Na temelju ove definicije možemo dati primjere takvih izraza. Dakle, svi brojevi 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 odnosit će se na monome. Sve varijable, na primjer, x, a, b, p, q, t, y, z također će biti monomi po definiciji. Ovo također uključuje potencije varijabli i brojeva, na primjer, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 i t 15, kao i izraze poput 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z itd. Imajte na umu da monom može sadržavati jedan broj ili varijablu ili više njih, a mogu se spomenuti nekoliko puta kao dio jednog polinoma.

Takve vrste brojeva kao što su cijeli brojevi, racionalni, prirodni također pripadaju monomima. Također može uključivati stvarne i kompleksni brojevi. Dakle, izrazi poput 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 također će biti monomi.

Koji je standardni oblik monoma i kako pretvoriti izraz u njega

Radi lakšeg rada, svi monomi se najprije svode na poseban oblik koji se naziva standardni. Budimo konkretni o tome što to znači.

Definicija 2

Standardni oblik monoma nazvati takav oblik u kojem je produkt numeričkog faktora i prirodni stupnjevi različite varijable. Numerički faktor, koji se naziva i monomni koeficijent, obično se piše prvi s lijeve strane.

Radi jasnoće odabiremo nekoliko monoma standardnog oblika: 6 (ovo je monom bez varijabli), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Ovo također uključuje izraz x y(ovdje će koeficijent biti jednak 1), − x 3(ovdje je koeficijent - 1).

Sada dajemo primjere monoma koje je potrebno dovesti u standardni oblik: 4 a a 2 a 3(ovdje trebate kombinirati iste varijable), 5 x (− 1) 3 y 2(ovdje trebate kombinirati numeričke faktore s lijeve strane).

Obično, u slučaju kada monom ima nekoliko varijabli napisanih slovima, slovni faktori se pišu abecednim redom. Na primjer, preferirani unos 6 a b 4 c z 2, kako b 4 6 a z 2 c. Međutim, redoslijed može biti drugačiji ako to zahtijeva svrha izračuna.

Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Da biste to učinili, morate izvršiti sve potrebne identične transformacije.

Pojam stupnja monoma

Popratni pojam stupnja monoma vrlo je važan. Zapišimo definiciju ovog pojma.

Definicija 3

Stupanj monoma, napisan u standardnom obliku, zbroj je eksponenata svih varijabli koje su uključene u njegov zapis. Ako u njemu nema niti jedne varijable, a sam monom je različit od 0, tada će njegov stupanj biti nula.

Navedimo primjere stupnjeva monoma.

Primjer 1

Dakle, monom a ima stupanj 1 jer je a = a 1 . Ako imamo monom 7 , tada će on imati nulti stupanj jer nema varijabli i različit je od 0 . I ovdje je unos 7 a 2 x y 3 a 2 bit će monom 8. stupnja, jer će zbroj eksponenata svih stupnjeva varijabli koje su u njemu uključene biti jednak 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Standardizirani monom i izvorni polinom imat će isti stupanj.

Primjer 2

Pokažimo kako izračunati stupanj monoma 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. U standardnom obliku može se napisati kao − 6 x 8 y 4. Izračunavamo stupanj: 8 + 4 = 12 . Dakle, stupanj izvornog polinoma također je jednak 12 .

Pojam monomskog koeficijenta

Ako imamo standardizirani monom koji uključuje barem jednu varijablu, tada o njemu govorimo kao o umnošku s jednim numeričkim faktorom. Taj se faktor naziva numerički koeficijent ili monomski koeficijent. Zapišimo definiciju.

Definicija 4

Koeficijent monoma je numerički faktor monoma sveden na standardni oblik.

Uzmimo, na primjer, koeficijente raznih monoma.

Primjer 3

Dakle, u izrazu 8 i 3 koeficijent će biti broj 8, a in (− 2 , 3) x y z oni će − 2 , 3 .

Posebnu pozornost treba obratiti na omjere jednako jedan i minus jedan. U pravilu nisu eksplicitno naznačeni. Vjeruje se da je u monomu standardnog oblika, u kojem nema numeričkog faktora, koeficijent 1, na primjer, u izrazima a, x z 3, a t x, budući da se oni mogu smatrati 1 a, x z 3 - Kako 1 x z 3 itd.

Slično, u monomima koji nemaju numerički faktor i koji počinju znakom minus, možemo uzeti u obzir koeficijent -1.

Primjer 4

Na primjer, izrazi − x, − x 3 y z 3 imat će takav koeficijent, budući da se mogu prikazati kao − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 itd.

Ako monom uopće nema niti jedan literalni množitelj, onda se iu tom slučaju može govoriti o koeficijentu. Koeficijenti takvih monoma-brojeva bit će sami ti brojevi. Tako će, na primjer, koeficijent monoma 9 biti jednak 9.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter