Nasumično se bacaju dvije kocke. Vjerojatnost kocke

U svim zadacima B6 na teorija vjerojatnosti, koji su predstavljeni u Otvorite banku poslova za, potrebno je pronaći vjerojatnost bilo koji događaj.

Trebate znati samo jedno formula, koji se koristi za izračunavanje vjerojatnost:

U ovoj formuli p je vjerojatnost događaja,

k- broj događaja koji nas "zadovoljavaju", u jeziku teorija vjerojatnosti zovu se povoljni ishodi.

n- broj svih mogućih događaja, odn broj svih mogućih ishoda.

Očito je da je broj svih mogućih događaja veći od broja povoljnih ishoda, dakle vjerojatnost je vrijednost manja ili jednaka 1.

Ako a vjerojatnost događaj je jednak 1, što znači da će se taj događaj sigurno dogoditi. Takav se događaj naziva pouzdan. Na primjer, činjenica da će nakon nedjelje biti ponedjeljak je, nažalost, siguran događaj i njegova je vjerojatnost jednaka 1.

Najveće poteškoće u rješavanju zadataka nastaju upravo kod pronalaženja brojeva k i n.

Naravno, kao i u rješavanju bilo kakvih problema, prilikom rješavanja problema na teorija vjerojatnosti morate pažljivo pročitati uvjet kako biste ispravno razumjeli što je dano i što se traži da se pronađe.

Pogledajmo neke primjere rješavanja problema iz iz otvorena banka zadaci za .

Primjer1. U nasumičnom eksperimentu bacaju se dvije kocke. Odredite vjerojatnost da ćete ukupno dobiti 8 bodova. Zaokružite rezultat na najbližu stotinku.

Neka jedan bod padne na prvu kockicu, a zatim 6 može pasti na drugu razne opcije. Stoga, budući da prva kost ima 6 različitih lica, ukupni broj različite opcije je jednako 6x6=36.

No, nismo svime zadovoljni. Prema uvjetu zadatka zbroj izgubljenih bodova trebao bi biti jednak 8. Napravimo tablicu povoljnih ishoda:

Vidimo da je broj ishoda koji nam odgovaraju 5.

Dakle, vjerojatnost da će ispasti ukupno 8 bodova je 5/36=0,13(8).

Još jednom čitamo pitanje problema: potrebno je zaokružiti rezultat na stotinke.

Prisjetimo se pravilo zaokruživanja.

Moramo zaokružiti na stotinke. Ako je sljedeća znamenka iza stotinke (odnosno tisućinke) broj koji je veći ili jednak 5, tada broju u stotinki dodajemo 1, ako je taj broj manji od 5, tada je broj u stotinki znamenke ostaje nepromijenjen.

U našem slučaju 8 je na tisućitom mjestu, pa se broj 3 koji je na stotom mjestu povećava za 1.

Dakle, p=5/36 ≈0,14

Odgovor: 0,14

Primjer 2. Na prvenstvu u gimnastici sudjeluje 20 sportaša: 8 iz Rusije, 7 iz SAD-a, ostali iz Kine. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se ždrijebom. Odredite vjerojatnost da je sportaš koji se prvi natječe iz Kine.

U ovom problemu broj mogućih ishoda je 20 – to je broj svih sportaša.

Odredite broj povoljnih ishoda. To je jednako broju sportaša iz Kine.

Na ovaj način,

Odgovor: 0,25

Primjer 3: U prosjeku, od 1000 prodanih vrtnih pumpi, 5 curi. Nađite vjerojatnost da jedna nasumično odabrana pumpa ne propušta.

U ovom problemu n=1000.

Zanimaju nas pumpe koje ne cure. Njihov broj je 1000-5=995. Oni.

Zadaci za kocka vjerojatnost ništa manje popularan od problema s bacanjem novčića. Stanje takvog problema obično zvuči ovako: pri bacanju jednog ili više kocke(2 ili 3), kolika je vjerojatnost da je zbroj bodova 10, ili broj bodova 4, ili umnožak broja bodova, ili djeljiv s 2 umnožak broja bodova, i tako na.

Primjena klasične formule vjerojatnosti glavna je metoda za rješavanje problema ove vrste.

Jedan umri, vjerojatnost.

Situacija je vrlo jednostavna s jednom kockicom. određuje se formulom: P=m/n, gdje je m broj povoljnih ishoda događaja, a n broj svih elementarnih jednako mogućih ishoda eksperimenta s bacanjem kocke ili kocke.

Problem 1. Kocka se baca jednom. Kolika je vjerojatnost da dobijete paran broj bodova?

Budući da je kocka kocka (ili se još naziva i obična kocka, kocka će pasti na svim stranama s istom vjerojatnošću, jer je uravnotežena), kocka ima 6 strana (broj bodova od 1 do 6, koji obično se označavaju točkama), što znači da je u zadatku ukupan broj ishoda: n=6. Događaju pogoduju samo ishodi u kojima ispada lice s parnim točkama 2,4 i 6, za kocku takvih lica: m=3. Sada možemo odrediti željenu vjerojatnost kocke: P=3/6=1/2=0,5.

Zadatak 2. Kocka se baca jednom. Koja je vjerojatnost da dobijete najmanje 5 bodova?

Takav se problem rješava analogno gore navedenom primjeru. Kod bacanja kocke ukupan broj jednako mogućih ishoda je: n=6, a zadovoljiti uvjet zadatka (ispalo najmanje 5 bodova, odnosno ispalo je 5 ili 6 bodova) samo 2 ishoda, što znači m =2. Zatim nalazimo željenu vjerojatnost: P=2/6=1/3=0,333.

Dvije kocke, vjerojatnost.

Prilikom rješavanja problema s bacanjem 2 kocke, vrlo je zgodno koristiti posebnu tablicu rezultata. Na njemu je vodoravno ucrtan broj bodova koji je pao na prvoj, a okomito broj bodova koji je pao na drugoj kockici. Izradak izgleda ovako:

Ali postavlja se pitanje što će biti u praznim ćelijama tablice? Ovisi o zadatku koji treba riješiti. Ako u zadatku pričamo o zbroju bodova, onda se tu upisuje zbroj, a ako o razlici, onda se upisuje razlika i tako dalje.

Zadatak 3. Bačene su 2 kocke u isto vrijeme. Kolika je vjerojatnost da dobijete zbroj manji od 5 bodova?

Prvo morate odrediti koliki će biti ukupni broj ishoda eksperimenta. Sve je bilo očito kada bacanje jedne kocke 6 strana kocke - 6 ishoda eksperimenta. Ali kada već postoje dvije kockice, tada se mogući ishodi mogu prikazati kao uređeni parovi brojeva oblika (x, y), gdje x pokazuje koliko je bodova palo na prvu kockicu (od 1 do 6), a y - koliko je bodova palo na drugu kockicu (od 1 do 6). Ukupno će biti sljedeći brojčani parovi: n=6*6=36 (36 ćelija odgovara njima u tablici ishoda).

Sada možete popuniti tablicu, za to se u svaku ćeliju upisuje broj zbroja bodova koji je pao na prvu i drugu kocku. Ispunjena tablica izgleda ovako:

Zahvaljujući tablici, odredit ćemo broj ishoda koji pogoduju događaju "ukupni pad manje od 5 bodova". Izbrojimo broj ćelija, vrijednost zbroja u kojoj će biti manje od broja 5 (to je 2, 3 i 4). Radi praktičnosti, slikamo preko takvih ćelija, one će biti m = 6:

S obzirom na podatke iz tablice, kocka vjerojatnost jednako: P=6/36=1/6.

Zadatak 4. Bačene su dvije kocke. Odredite vjerojatnost da će umnožak broja bodova biti djeljiv s 3.

Da bismo riješili zadatak, napravit ćemo tablicu umnožaka bodova koji su pali na prvoj i drugoj kockici. U njemu odmah odabiremo brojeve koji su višekratnici 3:

Zapisujemo ukupan broj ishoda pokusa n=36 (obrazloženje je isto kao u prethodnom zadatku) i broj povoljnih ishoda (broj ćelija koje su osjenčane u tablici) m=20. Vjerojatnost događaja je: P=20/36=5/9.

Zadatak 5. Kocka je bačena dva puta. Kolika je vjerojatnost da će razlika između broja bodova na prvoj i drugoj kockici biti između 2 i 5?

Odrediti kocka vjerojatnost Zapišimo tablicu bodovnih razlika i u njoj označimo one ćelije u kojima će vrijednost razlike biti između 2 i 5:

Broj povoljnih ishoda (broj osjenčanih ćelija u tablici) jednak je m=10, ukupan broj jednako vjerojatnih elementarni ishodi bit će n=36. Određuje vjerojatnost događaja: P=10/36=5/18.

U slučaju jednostavnog događaja i kada bacate 2 kocke, morate sastaviti tablicu, zatim u njoj odabrati potrebne ćelije i podijeliti njihov broj s 36, to će se smatrati vjerojatnošću.

Odgovor lijevo Gost

S jednom kockicom situacija je bezobrazno jednostavna. Podsjećam da se vjerojatnost nalazi po formuli P=m/n
P
=
m
n
, gdje je n
n
- broj svih jednako mogućih elementarnih ishoda pokusa s bacanjem kocke ili kocke, a m
m
- broj ishoda koji idu u prilog događaju.

Primjer 1. Kocka se baca jednom. Kolika je vjerojatnost da dobijete paran broj bodova?

Kako je kocka kocka (kažu i obična kocka, odnosno kocka je uravnotežena, tako da pada na sve strane s istom vjerojatnošću), lica kocke su 6 (s brojem bodova od 1 do 6, obično označeno bodovima), zatim i ukupan broj ishoda u zadatku n=6
n
=
6
. Samo takvi ishodi su povoljni za događaj kada ispadne lice sa 2, 4 ili 6 bodova (samo parni), takva lica su m = 3
m
=
3
. Tada je željena vjerojatnost P=3/6=1/2=0,5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Primjer 2. Bačena je kocka. Odredite vjerojatnost da dobijete najmanje 5 bodova.

Raspravljamo na isti način kao u prethodnom primjeru. Ukupan broj jednako vjerojatnih ishoda pri bacanju kocke n=6
n
=
6
, a uvjet "ispalo najmanje 5 bodova", odnosno "ispalo ili 5 ili 6 bodova" zadovoljavaju 2 ishoda, m=2
m
=
2
. Tražena vjerojatnost je P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Ne vidim ni smisla navoditi više primjera, idemo na dvije kockice, gdje je sve zanimljivije i teže.

Dvije kockice

Kada su u pitanju problemi s bacanjem 2 kocke, vrlo je zgodno koristiti tablicu rezultata. Nacrtajmo broj točaka na prvoj kockici vodoravno, a broj točaka na drugoj kockici okomito. Uzmimo takvu prazninu (obično to radim u Excelu, možete preuzeti datoteku ispod):

tablica bodovanja za bacanje 2 kocke
A što je s ćelijama tablice, pitate se? I ovisi o tome kakav ćemo problem riješiti. Bit će zadatak o zbroju bodova - tamo ćemo napisati zbroj, o razlici - zapisat ćemo razliku i tako dalje. Počinjemo li?

Primjer 3. Bačene su 2 kocke u isto vrijeme. Odredite vjerojatnost da je ukupan broj bacanja manji od 5.

Prvo, pozabavimo se ukupnim brojem ishoda eksperimenta. kad smo bacili jednu kockicu, sve je bilo očito, 6 lica - 6 ishoda. Ovdje već postoje dvije kosti, tako da se ishodi mogu predstaviti kao uređeni parovi brojeva oblika (x, y)
x
,
g
, gdje je x
x
- koliko je bodova palo na prvoj kockici (od 1 do 6), y
g
- koliko je bodova palo na drugoj kockici (od 1 do 6). Očito će biti n=6⋅6=36 takvih parova brojeva
n
=
6
⋅
6
=
36
(i odgovaraju samo 36 ćelija u tablici ishoda).

Sada je vrijeme za popunjavanje tablice. U svaku ćeliju unijet ćemo zbroj bodova koji su ispali na prvoj i drugoj kockici i dobit ćemo sljedeću sliku:

tablica bodovanja za bacanje 2 kocke
Sada će nam ova tablica pomoći pronaći broj ishoda koji favoriziraju događaj "ukupno manje od 5" ishoda. Da bismo to učinili, brojimo ćelije u kojima je vrijednost zbroja manja od 5 (odnosno 2, 3 ili 4). Radi jasnoće, obojit ćemo ove ćelije, one će biti m = 6
m
=
6
:

tablica zbroja bodova manjih od 5 pri bacanju 2 kocke
Tada je vjerojatnost: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Primjer 4. Bačene su dvije kocke. Odredite vjerojatnost da je umnožak broja bodova djeljiv s 3.

Izrađujemo tablicu umnožaka bodova koji su pali na prvoj i drugoj kockici. Odmah odaberite u njemu one brojeve koji su višekratnici 3:

tablica bodovanja za bacanje 2 kocke
Ostaje još samo napisati da je ukupan broj ishoda n=36
n
=
36
(vidi prethodni primjer, obrazloženje je isto), a broj povoljnih ishoda (broj popunjenih polja u gornjoj tablici) m=20
m
=
20
. Tada će vjerojatnost događaja biti jednaka P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Kao što vidite, ovaj tip zadatka, uz pravilnu pripremu (da izdvojimo još par zadataka), može se riješiti brzo i jednostavno. Za promjenu, napravimo još jedan zadatak s drugom tablicom (sve tablice možete preuzeti na dnu stranice).

Primjer 5. Kocka se baca dva puta. Odredite vjerojatnost da će razlika između broja bodova na prvoj i drugoj kockici biti od 2 do 5.

Zapišimo tablicu bodovnih razlika, označimo ćelije u njoj u kojima će vrijednost razlike biti između 2 i 5:

tablica razlika bodova za bacanje 2 kocke
Tako da je ukupan broj jednako mogućih elementarnih ishoda n=36
n
=
36
, a broj povoljnih ishoda (broj popunjenih polja u gornjoj tablici) je m=10
m
=
10
. Tada će vjerojatnost događaja biti jednaka P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Dakle, u slučaju kada se radi o bacanju 2 kocke i jednostavan događaj, trebate izgraditi tablicu, odabrati potrebne ćelije u njoj i podijeliti njihov broj s 36, to će biti vjerojatnost. Osim zadataka o zbroju, umnošku i razlici broja bodova, tu su i zadaci o modulu razlike, najmanjem i najvećem broju bodova koji su ispali (prikladne tablice možete pronaći u Excel datoteci) .